Universidade Federal de AlagoasUnidade Acadêmica Centro de Tecnologia

RELATÓRIO DE AULA PRÁTICA

DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS

MACEIÓ/AL - 2015

Universidade Federal de AlagoasUnidade Acadêmica Centro de Tecnologia

RELATÓRIO DE AULA PRÁTICA

DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS

Relatório do experimento acima citado realizado no Laboratório de Física Experimental 1, sob orientação do professor Andréa Ferreira , como requisito para avaliação da disciplina de Laboratório de Física I.

ALUNOS: ANNA CARINE ARAÚJO

VICTORIA DE LIMA VIANA

YSLEY TICIANE DALTRO

MACEIÓ/AL – 2015

SUMÁRIO

1. Objetivos 03

2. Material utilizado 04

3. Fundamentação teórica 06

4. Procedimento experimental 08

5. Resultados e discussão 09

6. Conclusões 14

7. Anexos 15

8. Referências 18

1. OBJETIVO

Medir a dimensão dos corpos com formas geométricas irregulares.

2. MATERIAIS UTILIZADOS

Régua milimetrada de 30 cm;

Paquímetro;

2 folhas de papel tamanho A4;

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

O conhecimento acerca das dimensões dos corpos, sejam eles uniformes ou irregulares, é imprescindível, respectivamente, para a determinação do espaço em que está inserido e o nível de ocupação do espaço pelo corpo estudado.

Na primeira forma de dimensionamento, se utiliza da chamada geometria euclidiana, pois as formas geométricas dos corpos estudadas tem a dimensão (d) inteira, variando entre 1 (unidimensional), 2 (bidimensional) e 3 (tridimensional), também encontramos formas adimensionais, ou seja, 0D, caso de um ponto, dito objeto adimensional.

No entanto, sabemos que a grande maioria de formas e fenômenos encontrados na natureza, por exemplo, o padrão de formação das nuvens, o relevo de áreas geográficas, o assoalho marinho e a faixa litorânea de uma região (com suas baías, golfos e penínsulas) não se caracterizam como formas geométricas elementares, caso de uma esfera de aço maciça de densidade uniforme.

Essas formas irregulares não podem ser explicadas pelo modelo euclidiano, foi aí que Benoit Mandelbrot, na década de 1960, começou o estudo de formas ditas auto similares e utilizou pela primeira vez em 1975 o termo fractal, derivado do latim, que significa quebrado ou fraturado. O fractal então é um objeto que, quando subdividido, cada uma das partes é semelhante entre si e o objeto original, em todos os níveis de escalas. Como exemplo de um fractal, temos o triângulo de Waclaw Sierpinski.

A obtenção da dimensão fractal pode ser expressa por medições experimentais, no uso do paquímetro, ou por deduções, no uso da régua, casos referidos neste trabalho. Em ambos, obteve-se a partir de uma subdivisão da figura, no caso, a folha de papel A4.

Na realização do experimento, os limites da dimensão são 2 e 3, ou seja, 2<d<3, significando que transformou-se um objeto de duas dimensões, papel sem amassar, em um objeto de três dimensões, após o papel ser amassado em formas ‘esféricas’.

Existem alguns métodos de estimativas do dimensionamento de um fractal, contudo, não são todos que podem ser utilizados para quaisquer estruturas. Segundo, Backes e Martinez (2005), isso ocorre devido às diferenças dos métodos utilizados, ou seja, cada um utiliza um tipo diferente de medição para cada objeto analisado.

O método utilizado no presente experimento foi o método que cruza dados da Massa e Diâmetro, pois, de acordo com a Massa, a densidade, o Volume e o Diâmetro, pode-se relacionar os parâmetros Massa e Diâmetro, tal que:

D=KM1/d (1)

Onde D equivale ao Diâmetro, K representa uma constante, M é a massa do corpo e d a dimensão do mesmo, que, no experimento, deve ser 2<d<3.

Essa fórmula é obtida de uma fórmula inicial, M=ρV=ρ(D/2)³4π/3=ρD³(π/6), onde m é a massa, ρ é a densidade volumétrica de massa, V o volume e D o diâmetro.

De acordo com a dimensionalidade do objeto, o d pode ser 3(tridimensional), 2(bidimensional) ou 1(unidimensional).

4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

Uma das folhas de papel A4 foi separada enquanto a outra foi dividida conforme mostrado na figura 01;

7 (sete) esferas foram construídas amassando-se uma folha de papel A4 e em seguidas as demais frações;

À menor fração foi atribuída a massa de 1, e às seguintes 2, 4, 8, 16, 32, 64. Assim a enésima fração, nesta mesma ordem tem a massa relativa igual a 2n

Figura 01 – diagrama de divisão de uma folha para o experimento de fractais.

Fez-se 7 medidas com o paquímetro em diâmetros diferentes da esfera. Anotaram-se os resultados em uma tabela. Repetiu-se as medições, posteriormente, com a régua milimetrada de

30cm. Anotaram-se os resultados em uma tabela.

5. RESULTADO E DISCUSSÃO

Concluído o procedimento experimental, tinha-se 7 (sete) partes (‘esferas’) de papel de dimensão A4. As medições dos diâmetros (Dn) realizadas com o papel de dimensão A4(paquímetro) encontram-se na Tabela 01. As medições dos diâmetros (Dn) realizadas com o papel de dimensão A4(régua) estão na tabela 02. Os valores para desvio padrão e variância de ambas medições estão nas Tabelas 01.1 e 02.1 respectivamente.

O <D> é a média aritmética dos valores de diâmetros (Dn) encontrados para cada esfera.

∑i=1

n Din

A incerteza estimada poderá ser obtida, de maneira mais apurada, através da maneira aritmética dos desvios absolutos.

¿ ΔD>¿∑i=1

n ΔDin

=¿Di−¿D>¿n

Esses dados, tanto o valor médio quanto o desvio padrão, são expostos na tabela e o modo de calculá-los está exposto nos Anexos 7.1 e 7.2.

TABELA 01- ESFERAS DE PAPEL DE DIMENSÃO A4 (PAQUÍMETRO)

1 2 4 8 16 32 64

D1 0.57 0,75 1,38 1,55 2,29 3,03 3,35

D2 0,56 0,73 1,26 1,49 2,36 3,41 2,96

D3 0,57 0,87 1,46 1,93 2,15 2,91 3,67

D4 0,49 0,92 1,19 1,77 2,07 3,43 3,24

D5 0,58 0,81 1,57 1,79 2,29 2,75 3,07

D6 0,48 0,87 1,26 1,77 2,48 3,25 3,39

D7 0,57 0,87 1,58 1,98 2,06 3,57 3,53

<D> 0,55 0,83 1,39 1,75 2,25 3,19 3.32

<ΔD> 0,04 0,06 0,13 0,14 0,13 0,25 0,19

TABELA 01.1- ESFERAS DE PAPEL DE DIMENSÃO A4 (PAQUÍMETRO) Variância e Desvio Padrão(σ)

1 2 4 8 16 32 64

Variânci 0,00152 0,0042 0,0210 0,0279 0,0216 0,0788 0,0529

aDesvio Padrão

( σ)0,038 0,064 0,1449 0,167 0,1469 0,280 0,230

GRÁFICO 1- ESFERAS DE PAPEL DE DIMENSÃO A4 (PAQUÍMETRO)

TABELA 02.1- ESFERA DE PAPEL DE DIMENSÃO A4 (RÉGUA) Variância e Desvio Padrão(σ)

1 2 4 8 16 32 64

Variância 0,08 0,11 0,11 0,10 0,13 0,36 0,34

Desvio Padrão

( σ)0,283 0,331 0,331 0,316 0,360 0,6 0,583

TABELA 02- ESFERA DE PAPEL DE DIMENSÃO A4 (RÉGUA)

1 2 4 8 16 32 64

D1 0,8 0,8 1,3 2,3 2,6 3,7 4,0

D2 0,9 1,0 1,5 2,1 2,7 4,2 3,3

D3 0,7 1,1 1,7 2,5 2,4 4,4 3,7

D4 0,6 1,2 1,6 2,2 2,5 3,4 3,4

D5 0,7 1,1 1,8 2,4 2,3 3,9 4,3

D6 0,5 1,2 1,7 2,3 2,7 4,3 3,4

D7 0,7 1,2 1,6 2,2 2,6 3,3 3,2

<D> 0,7 1,1 1,6 2,3 2,5 3,9 3,6

ΔD 0,08 0,11 0,11 0,1 0,13 0,36 0,34

GRÁFICO 2 - ESFERA DE PAPEL DE DIMENSÃO A4 (RÉGUA)

Com os dados de <D> e de ΔD construímos o gráfico logxlog do diâmetro versus a massa (M). Embasados na fórmula:

D=kM 1 /d

Sabendo que n= 1/d e que d é a dimensão que procuramos.

Aplicando log nos dois membros da equação teremos:

log D=logK +n logM

Dessa forma percebe-se a semelhança entra a equação acima e a equação de uma reta, onde a, o coeficiente angular da reta, é igual a n.

y=b+a x (3)

A fim de obtermos o coeficiente a , duas retas paralelas foram traçadas no gráfico e obtivemos

a (máximo)= ΔyΔx (4) e

a (mínimo)= Δy 'Δx (5)

Como n=a, teremos que:

n= ΔyΔx

Para o máximo valor de n, teremos:

n (máximo )= 71184

=0,385⟹d (mínimo)= 10,385

=2,597

Já, para o mínimo valor de n, teremos:

n (mínimo )= 59184

=0,320⟹d (máximo)= 10,320

=3,118

Fazendo a média de d (mínimo) e d (máximo ), encontraremos:

¿d>¿2,8

A incerteza é dada por:

Δd=|dmáx−dmín|2

=±0,260≅±0,3

Portanto, obtivemos d (dimensão):

d=2,8±0,3

6. CONCLUSÕES

Com base nesse experimento, pudemos observar que a melhor inclinação para o retângulo, que passava pela maioria dos diâmetros expressos nos gráficos em função da massa, nos fornecia a dimensão procurada. Para ‘esferas’ feitas com folha de papel de dimensão de A4 (paquímetro), obtivemos d=2,8±0,3 , satisfazendo a hipótese, que 2<d<3 (2 refere-se a dimensão de partida das esferas e 3 a dimensão do espaço em que vivemos). Da mesma forma, para as ‘esferas’ da folha de papel de dimensão de A4(régua) cujo d=2,2±0,1.

Diferente de uma esfera tridimensional de densidade uniforme cujo d=3(inteiro), e de uma moeda de densidade uniforme cujo d=2(inteiro), obtivemos para as ‘esferas’ do experimento um d (fracionário) dentro da condição esperada. O que caracteriza um sólido de estrutura complexa cujo d é denominado ‘dimensão fractal’ e tais sólidos denominados ‘fractais’.

7. ANEXOS7.1. Calculo de <D> e ΔD da esfera de papel de dimensão

A4(paquímetro) de massa 1

Lembrando que a média é achada pela fórmula,

¿D>¿∑i=1

n Din

E a incerteza por,

¿ ΔD>¿∑i=1

n ΔDin

=¿Di−¿D>¿n

Usando os dados da tabela temos que,

¿D1≥0,57+0,56+0,57+0,49+0,58+0,48+0,57

7≅ 0,55

¿∆ D1>¿|0,57−0,55|+|0,56−0,55|+…+|0,57−0,55|

7≅ 0,04

D1=0,55±0,04

Onde D1 é diâmetro médio da bola de papel de massa 1.

7.2. Cálculo de <D> e de ΔD para a esfera de papel de massa 02.

Usando os dados de D2 da Tabela 01, temos,

¿D2≥0,75+0,73+0,87+0,92+0,81+0,87+0,87

7≅ 0,83

¿∆ D2>¿|0,75−0,83|+|0,73−0,83|+…+|0,87−0,83|7

≅ 0,06

D2=0,83±0,06

7.3. Cálculo da dimensão com a esfera de folha de papel de dimensão A4 (régua)

Com os dados da tabela 2 foi feito um gráfico do log D versus log M (onde D é o diâmetro médio obtido e M é a massa) baseado na equação (1):

D=K M n

Sabemos que n=1/d e d é a dimensão procurada.

Aplicando log nos dois membros da equação teremos:

log D=logK +n logM

Dessa forma percebemos a semelhança entra a equação acima e a equação de uma reta onde a, o coeficiente angular da reta, é igual a n.

y=b+a x

A fim de obtermos o coeficiente a , duas retas paralelas foram traçadas no gráfico e obtivemos:

a (máximo)= ΔyΔx e

a (mínimo)= Δy 'Δx

Como n=a, teremos que:

n= ΔyΔx

Para o máximo valor de n, teremos:

n (máximo )= 84184

=0,456⟹d (mínimo)= 10,456

=2,190

Já, para o mínimo valor de n, teremos:

n (mínimo )= 79184

=0,429⟹d (máximo)= 10,429

=2,329

Fazendo a média de d (mínimo) e d (máximo ), encontraremos:

¿d>¿2,2

A incerteza é dada por:

Δ d=|d máx−dmín|2

=±0,069≅±0,1

Portanto, foi obtido d (dimensão):

d=2,2±0,1

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Geometria fractal. Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/geometria-fractal/> Acessado: 13 Mai. 2015

<http://www2.ic.uff.br/~aconci/aula1.html> Acessado: 13 Mai. 2015

<http://professorandrios.blogspot.com.br/2011/06/geometria-fractal-arte-e-matematica-em.html> Acessado: 13 Mai. 2015

Disponível em:<http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/grandezas/exemplos/links/monolog.htm> Acessado em: 13 Mai. 2015

Disponível em: <https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&cad=rja&uact=8&ved=0CD8QFjAE&url=http%3A%2F%2Fwww.lbd.dcc.ufmg.br%2Fbdbcomp%2Fservlet%2FTrabalho%3Fid%3D5385&ei=WJTVaqwBcmjgwSJ7oDwDg&usg=AFQjCNFxGZ5IdI4Du8fSIovv2TqJyBH8kg&bvm=bv.93112503,d.eXY> Acessado em: 13 Mai. 2015

Disponível em: <http://moodle.stoa.usp.br/file.php/1192/FEP113aula_sintese_fractais_Chubaci_2010.pdf> Acessado em: 13 Mai. 2015