M - Příprava na 11. zápočtový testM - Příprava na 11. zápočtový test 1 4. Dvojice úhlů střídavých (mají stejnou velikost) Rovinné útvary I. Trojúhelník Trojúhelník

M - Příprava na 11. zápočtovýtest

Určeno pro studenty dálkového studia.

Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.

VARIACE

1

M - Příprava na 11. zápočtový test 1

Geometrické útvary a jejich vlastnosti±

Planimetrie

Planimetrie je geometrie zabývající je rovinnými útvary (= rovinná geometrie).

Základní geometrické prvky a útvary:

Bod - nejmenší geometrický útvarZnázorňujeme:

Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. «AB)Znázorňujeme:

Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka Polopřímka: Znázorňujeme:

Zapisujeme: ®AB Úsečka: Znázorňujeme:

Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme |AB| = 20 cmPozn.: Platí, že ®AB ¹ ®BA

Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Znázorňujeme:

nebo Zapisujeme: «ABC nebo «pC

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11 1 z 69


Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. Zapisujeme: ®ABC nebo ®pC

Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme:

Zapisujeme: |úhel ABC| = aÚhel může být:• nulový (velikost 0°)• ostrý (velikost 0° < a < 90°)• pravý (velikost 90°)• tupý (velikost 90° < a < 180°)• přímý (velikost 180°)• plný (velikost 360°)Jiné dělění:• úhel konvexní (velikost 0° < a < 180°)• úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 180° < a < 360°)

Dvojice úhlů v rovině:1. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost)

2. Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 180°)

3. Dvojice úhlů souhlasných (mají stejnou velikost)



4. Dvojice úhlů střídavých (mají stejnou velikost)

Rovinné útvary

I. Trojúhelník

Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly.• Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180°.• Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 180°.• Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech.• Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší

než strana třetí).• Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů.• Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá

orthocentrum.• Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se

nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru 1 : 2, větší díl je blíže k vrcholu.• Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy

rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost.• Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy

trojúhelníka.• Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká

všech tří stran.• obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c• obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (1/2).a.va

• obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (1/2).a.b.sing• pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec:

2

)).().(.(

cbas

csbsassS

++=

---=

Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků:

A. Obecný trojúhelník• nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedenéB. Ostroúhlý trojúhelník



• trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostréC. Pravoúhlý trojúhelník• trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré• zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90° a

zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45°.• u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany

odvěsny• u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z

Thaletovy věty• pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S =

(1/2).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami• v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c

2 = a

2 + b

2 (při označení přepony písmenem c)

• v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce:

c

a

přepona

protilehlá==asin

c

b

přepona

přilehlá==acos

b

a

přilehlá

protilehlátg ==a

a

b==

protilehlá

přilehlácotga

D. Tupoúhlý trojúhelník• má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré• dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrumE. Rovnoramenný trojúhelník• má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna• vnitřní úhly při základně jsou shodné• trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu• výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně• střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti• výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí• na ose souměrnosti leží i těžiště• rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý• obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 2a + cF. Rovnostranný trojúhelník• má všechny strany stejně dlouhé• má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60°• má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 120°• je osově souměrný - má tři osy souměrnosti• střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm• výšky jsou zároveň i těžnice• obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a• výška se vypočte podle vzorce v = a.Ö3/2

II. Čtyřúhelník

A. Obecný čtyřúhelník• má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti• čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky |AC| = e, |BD| = f• součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360°B. Rovnoběžník• čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné• obvod rovnoběžníka se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b)• obsah rovnoběžníka se vypočte podle vzorce S = a . va

• každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné• součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 180°• úhlopříčky se navzájem půlí• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček

a) čtverec• má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90°



• úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé• průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček• je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti (2 osy stran a 2 prodloužené úhlopříčky)• obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a• obsah se vypočte podle vzorce S = a

2 nebo také S = u

2/2

• úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.Ö2b) obdélník• má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné• má všechny vnitřní úhly pravé• úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí• průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané• je středově souměrný podle středu úhlopříček• je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran• obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b)• obsah se vypočte podle vzorce S = a.b• pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova větac) kosočtverec• má všechny strany stejně dlouhé• každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné• každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180°• úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček• je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami• obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a• obsah se vypočte podle vzorce S = a.va nebo také S = u1.u2/2• lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříčekd) kosodélník• má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné• má každé dva protější vnitřní úhly shodné• každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180°• úhlopříčky se navzájem půlí• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček

C. Lichoběžník• čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné;

rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena• obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d• obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce

( )2

.caS

v+=

a) rovnoramenný lichoběžník• má obě ramena shodná• má oba vnitřní úhly při každé základně shodné• úhlopříčky jsou shodné• je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základenb) pravoúhlý lichoběžník• má právě dva vniřní úhly pravé• jedno rameno je kolmé k oběma základnám

III. Pravidelný pětiúhelník• má všechny strany shodné• má všechny vnitřní úhly shodné• postup konstrukce:

• sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD• najdeme střed K úsečky SB



• sestrojíme úsečku KC• obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L• úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníka; tuto úsečku naneseme kružítkem na

původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníka

IV. Pravidelný šestiúhelník• má všechny stany shodné• je středově souměrný• je osově souměrný- má 6 os souměrnosti• sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných

rovnostranných trojúhelníků• každý vnitřní úhel má velikost 120°• lze opsat i vepsat kružnici• postup konstrukce:

• sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r• na kružnici zvolíme libovolný bod A• z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného

šestiúhelníka

V. Pravidelný osmiúhelník• má všechny strany shodné• je středově souměrný• je osově souměrný - má čtyři osy souměrnosti• lze opsat i vepsat kružnici

VI. Kruh, kružnice a jejich části

Základní pojmy:

Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(S; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r.

Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice.

Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí.

Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d.

Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr.

Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh:1. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice.



2. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou.3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto

případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou.

Tečna je vždy kolmá na poloměr.

Osa tětivy vždy prochází středem kružnice.

Úhel a nazýváme obvodový úhel; úhel w nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového.

KružnicePro výpočet délky kružnice platí vzorce:l = 2.p.r nebo l = p.d

KruhPro výpočet obvodu kruhu platí vzorce:o = 2.p.r nebo o = p.d

Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce:S = p.r

2 nebo S = p.d

2/4

Kruhový oblouk

Pro délku kruhového oblouku a platí:

ap

.180

.ra =

nebo a

p.

360

.da =

Soustředné kružnice



Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stjný střed, ale různý poloměr.

Kruhová výsečJedná se o rovinný útvar.

Pro obsah kruhové výseče S platí:

ap

.360

.rS

2

= nebo

ap

.1440

.dS

2

=

Kruhová úsečJedná se opět o rovinný útvar.

MezikružíRovinný útvar.

Obsah mezikruží:



S = p . (R2 - r

2)

Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1563

2.

4 100 krátVýsledek:

1547

3.

2 řešení:Výsledek:

1574

4.

0,08 m2, 800 cm

2Výsledek:

1531

5.

3,14 cm2Výsledek:

1545



6.

Není zavlažováno 61,81 m2, třetí strana pole je 33,94 m.Výsledek:

1537

7.

414 m2Výsledek:

1567

8.

Výsledek:

1613

9.

10Výsledek:

1584

10.

30 mVýsledek:

1521

11.

o = 24 cm; S = 41,6 cm2Výsledek:

1602



12.

b)

Výsledek:

1595

13.

280 KčVýsledek:

1513

14.

Výsledek:

1626



15.

204 cm2Výsledek:

1614

16.

4 cmVýsledek:

1600

17.

54 cm2Výsledek:

1586

18.

58°Výsledek:

1590

19.

249 cm2Výsledek:

1627

20.

4 krátVýsledek:

1585

21.

|AF| = 5 cm, |BC| = 1 cmVýsledek:

1522

22.

0,35 mVýsledek:

1530



23.

3350 m2Výsledek:

1596

24.

9,18 cmVýsledek:

1609

25.

5 cmVýsledek:

1628

26.

700 m2; 160 mVýsledek:

1593



27.

, Výsledek:

1517

28.

13,9 cmVýsledek:

1588

29.

3 200 m2Výsledek:

1555

30.

77,8 %Výsledek:

1587

31.

4,8 cmVýsledek:

1543

32.

Výsledek:

1578

33.

Poloměr kružnice opsané: 4,62 cmPoloměr kružnice vepsané: 2,31 cm60,5 %

Výsledek:

1607



34.

4 cm2Výsledek:

1617

35.

7,5 haVýsledek:

1520

36.

Výsledek:

1599

37.

11Výsledek:

1581

38.

30 cmVýsledek:

1536

39.

NemohouVýsledek:

1566

40.

Výsledek:

1559



41.

Výsledek:

1523

42.

88 cmVýsledek:

1528

43.

Výsledek:

1562

44.

Výsledek:

1604

45.

90°Výsledek:

1541



46.

46 cmVýsledek:

1616

47.

4/5Výsledek:

1564

48.

5,7 mVýsledek:

1548

49.

Výsledek:

1623

50.

480 cm2

26 cm

Výsledek:

1601

51.

2 400 cm2Výsledek:

1525



52.

16 trojúhelníkůVýsledek:

1618

53.

0,8 mVýsledek:

1508

54.

27 obdélníkůVýsledek:

1561

55.

53,7 cm2Výsledek:

1518

56.

75°Výsledek:

1597

57.

Výsledek:

1515

58.

17,32 cmVýsledek:

1610



59.

a = 110°, b = 70°, c = 60°, d = 50°, e = 60°, f = 70°, g = 60°, h = 110°Výsledek:

1509

60.

50°Výsledek:

1511

61.

40,2 m2Výsledek:

1570

62.

Výsledek:

1549

63.

Výsledek:

1591

64.

Výsledek:

1514



65.

Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABCńa obrázku.

Oba obsahy jsou shodnéVýsledek:

1580

66.

Čtverec má větší obsah než obdélník.Výsledek:

1565

67.

140 mVýsledek:

1611

68.

6,075 cm2Výsledek:

1540

69.

75°Výsledek:

1594

70.

20°Výsledek:

1589



71.

Výsledek:

1519

72.

10 cmVýsledek:

1603

73.

155°, resp. 205°Výsledek:

1615

74.

60 cm2Výsledek:

1553

75.

34,9 %Výsledek:

1533

76.

70°Výsledek:

1512

77.

977 m2Výsledek:

1569

78.

Výsledek:

1620

79.

2 řešení: 10,5 cm; 1,5 cmVýsledek:

1550



80.

v = 6,06 cmABD

Výsledek:

1556

81.

1/2Výsledek:

1575

82.

Zmenšení obsahu o 20 %Zmenšení obvodu o 11,11 %

Výsledek:

1576

83.

57,74 cm2Výsledek:

1554

84.

Výsledek:

1535



85.

6,6 dm2Výsledek:

1572

86.

TupoúhlýVýsledek:

1577

87.

5 cmVýsledek:

1507

88.

ABDVýsledek:

1557

89.

112 dlaždicVýsledek:

1534

90.

50 cm2Výsledek:

1529



91.

56,25 cm2Výsledek:

1592

92.

65,1 %Výsledek:

1606

93.

0,4 mVýsledek:

1532

94.

15Výsledek:

1598

95.

94°Výsledek:

1546

96.

Výsledek:

1516



97.

Výsledek:

1542

98.

, , Výsledek:

1526

99.

Výsledek:

1621

100.

25 mmVýsledek:

1622

101.

795, 2 m2Výsledek:

1624



102.

120°Výsledek:

1510

103.

193 mVýsledek:

1625

104.

Výsledek:

1558

105.

Výsledek:

1551

106.

Výsledek:

1527



107.

52 cmVýsledek:

1560

108.

24,3 cm2Výsledek:

1539

109.

40 mVýsledek:

1524

110.

, , Výsledek:

1544

111.

|BC| = 10 cm, obsah je 54 cm2Výsledek:

1579

112.

19 cm2Výsledek:

1608

113.

6Výsledek:

1582



114.

, , Výsledek:

1583

115.

13,5 cmVýsledek:

1612

116.

NeVýsledek:

1538

117.

v = 4,33 cm

Výsledek:

1552

118.

5 cmVýsledek:

1568

119.

Výsledek:

1605



Pythagorova věta±

Pythagorova věta

Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami.

Důkaz:

Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí:a

2 = c . ca

b2 = c . cb

----------------Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme:a

2 + b

2 = c . ca + c . cb = c . (ca + cb) = c . c = c

2

CBDPlatí také věta obrácená:

Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c2 = a

2 + b

2, pak jde o pravoúhlý

trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C.

Důkaz:

Zvolme pravoúhlý trojúhelník A´BĆ´takový, aby při vrcholu C´ byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy:a´ = ab´ = bPro přeponu trojúhelníka A´BĆ´platí Pythagorova věta:c´

2 = a´

2 + b´

2 = a

2 + b

2 = c

2

Z toho vyplývá, žec´ = cTrojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A´BĆ´(sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C´(který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat.

Ukázkové příklady:

Příklad 1:

Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý.

Řešení:

a = 4 cmb = 5 cmc = 6 cmc´= ? [cm]-----------------------Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c´. Pokud bude platit c´ = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý.

64154´ 2222 ¹=+=+= bac

Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý.



Pythagorova věta - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1347

2.

Výsledek:

1345

3.

12 cmVýsledek:

1344

4.

1 092 cm2Výsledek:

1343

5.

1,4 mVýsledek:

1339

6.

4,9 cmVýsledek:

1350

7.

0,6 cmVýsledek:

1340

8.

110 mVýsledek:

1342

9.

1,78 cmVýsledek:

1349

10.

6,06 cmVýsledek:

1341

11.

Výsledek:

1348



12.

12Výsledek:

1346

Shodná zobrazení±

Shodná zobrazení

Zobrazení nazveme shodné, jestliže útvary představující vzor a obraz jsou shodné.

Body, které se zobrazují samy na sebe, nazýváme body samodružné.

Mezi shodná zobrazení patří:

I. Identita (totožnost)

Identita je shodné zobrazení, kdy vzor a obraz jsou stejné (identické) útvary. Identita (totožnost) má nekonečně mnoho samodružných bodů.

Zapisujeme: I: Útvar A ---> Útvar B

II. Posunutí (translace)

Posunutí je shodné zobrazení, které je dáno vektorem posunutí (orientovanou úsečkou). Posunutí nemá žádné samodružné body.

Zapisujeme: T[AB]: Útvar A ---> Útvar B

III. Osová souměrnost

Osová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jednou přímkou, zvanou osa souměrnosti. Osová souměrnost má nekonečně samodružných bodů a jsou jimi všechny body ležící na ose souměrnosti. Můžeme tvrdit, že osová souměrnost má i nekonečně mnoho samodružných přímek, mezi něž patří jednak osa souměrnosti, ale i všechny přímky, které jsou k ose souměrnosti kolmé.

Zapisujeme: O[<-->p]: Útvar A ---> Útvar B

IV. Středová souměrnost

Středová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jedním bodem, zvaným střed souměrnosti. Středová souměrnost má právě jeden samodružný bod, kterým je právě střed souměrnosti.

Zapisujeme: S[S]: Útvar A ---> Útvar B

V. Otočení (rotace)

Otočení je shodné zobrazení, které je dáno jedním pevným bodem (středem otáčení) a úhlem otočení. Úhel otočení považujeme za kladný, otáčíme-li útvar proti směru hodinových ručiček a pokud otáčíme útvar po směru hodinových ručiček, pak považujeme úhel za záporný. Rotace má právě jeden samodružný bod, kterým je střed rotace.

Zapisujeme: R[S; +30°]: Útvar A ---> Útvar B



Pozn.: Středová souměrnost je vlastně zvláštní případ rotace.

Shodná zobrazení - procvičovací příklady±

1.

Výsledek:

1685

2.

Výsledek:

1693

3.

Výsledek:

1687

4.

Výsledek:

1694

5.

Výsledek:

1692

6.

Výsledek:

1697



7.

Výsledek:

1684

8.

Výsledek:

1698

9.

Výsledek:

1683

10.

Výsledek:

1688

11.

Výsledek:

1695

12.

Výsledek:

1691

13.

Výsledek:

1681



14.

Výsledek:

1686

15.

Výsledek:

1696

16.

Výsledek:

1689

17.

Výsledek:

1682

18.

Výsledek:

1690

19.

Výsledek:

1699

Jehlan komolý±

Komolý jehlan

Komolý jehlan je těleso, které vznikne z jehlanu klasického odříznutím jeho špičky.

Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovými komolými jehlany, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou dolní podstavy jehlanu.



Objem komolého jehlanu se vypočte tak, že sečteme obsahy obou podstav, k součtu připočteme druhou odmocninu součinu obsahů obou podstav a vzniklý výsledek vynásobíme jednou třetinou výšky jehlanu.

( )2121 .3

1SSSSvV ++=

Povrch komolého jehlanu se vypočte jako součet obsahů obou podstav a obsahu pláště tělesa.

S = S1 + S2 + SQ

Příklad 1:

Řešení:



Kužel komolý±

Komolý kužel

Komolý kužel je těleso, které vznikne z klasického rotačního kužele odříznutím jeho špičky.

Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovým kuželem, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou spodní podstavy kužele.

Objem komolého kužele se vypočte jako jedna třetina součinu výšky kužele a Ludolfova čísla, násobená součtem druhé mocniny poloměru spodní podstavy, druhé mocniny poloměru horní podstavy a součinu obou poloměrů.

Povrch komolého kužele je roven součtu obsahů obou kruhových podstav a obsahu pláště komolého kužele.



QSSSS ++= 21

Příklad 1:

Řešení:

Příklad 2:

Řešení:



Posloupnosti±

Posloupnosti

Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel.

Funkční hodnota této funkce přiřazená každému kladnému číslu se nazývá n-tý člen posloupnosti. Nejčastěji se značí an, bn, apod.

a1 ... 1. člen posloupnostia2 ... 2. člen posloupnostia3 ... 3. člen posloupnosti...a7 ... 7. člen posloupnostia8 ... 8. člen posloupnosti...an ... n-tý člen posloupnosti

Posloupnost {an} se zapisuje:

Ohraničená posloupnost

Nechť je dána posloupnost {an} a číslo C > 0.



Platí-li

obecně pak

,

pak je posloupnost {an} ohraničená.

Rostoucí posloupnost

Nechť je dána posloupnost {an} = a1, a2, a3, ... , an, an+1, ... . Platí-li:

pak je posloupnost rostoucí. Každý následující člen je tedy vždy větší než člen předcházející.



Klesající posloupnost

Nechť je dána posloupnost {an} = a1, a2, a3, ... , an, an+1, ... . Platí-li:

pak je posloupnost klesající. Každý následující člen je tedy vždy menší než člen předcházející.

Konečná posloupnost



Posloupnost se nazývá konečná (tj. má konečný počet členů), jestliže jejím definičním oborem je konečná množina D Ì N, tzn., že její definiční obor je množina prvních k přirozených čísel.

Například předpis pro n-tý člen bude {2n - 1}, číslo k = 6.

Nekonečná posloupnost

Posloupnost se nazývá nekonečná (tj. má nekonečný počet členů), jestliže jejím definičním oborem je celá množina N.

Zadání posloupnosti rekurentně



Je-li u posloupnosti zadán její první člen a dále (n+1). člen vyjádřený pomocí n-tého členu, říkáme, že je posloupnost zadána rekurentně.

Posloupnosti - procvičovací příklady±

1. Napište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně

1; 2; 1; 1; 0; -1Výsledek:

2150

2. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená.

Posloupnost je omezená.Výsledek:

2131

3. Stanovte n-tý člen posloupnosti:

Výsledek:

2120


Posloupnost je rostoucí.Výsledek:

2136


Posloupnost je klesající.Výsledek:

2124

6. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem

přičemž hodnoty členů a1, a2 udávají kořeny níže napsané kvadratické rovnice a platí a1 < a2. Určete prvních pět členů této posloupnosti.

-14; 10; 34; 82; 222Výsledek:

2148




Výsledek:

2119



2123

9. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem.an = 1 kde n je přirozené číslo.Výsledek:

2142

10. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem an+1 = 2 - an, přičemž a1 = 0. Sledujte jednotlivé členy posloupnosti a určete její n-tý člen jako funkci indexu n.Výsledek:

2128

11. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem.

Výsledek:

2145


Výsledek:

2116

13. Napište prvních pět členů posloupnosti dané rekurentně

0; 1; 2; 1; -4Výsledek:

2149


Výsledek:

2143


Výsledek:

2117




Výsledek:

2115

17. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem

přičemž hodnotu členu a1 udává přirozené číslo, které je řešením nerovnice

Napište první čtyři členy této posloupnosti.

1; 1; 1/2; 1/6Výsledek:

2134


Výsledek:

2147


Výsledek:

2146


Výsledek:

2122

21. Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen.

Výsledek:

2139

22. Stanovte n- tý člen posloupnosti:

Výsledek:

2114



2125




Výsledek:

2144


Výsledek:

2140


n2 - 1Výsledek:

2118


Posloupnost není rostoucí ani klesající.Výsledek:

2138


Výsledek:

2121

29. Zjistěte, které z čísel 10, 35, 50 je členem posloupnosti

35Výsledek:

2133



2135


Posloupnost je nerostoucí.Výsledek:

2137

32. Určete níže uvedenou posloupnost rekurentním vzorce

Výsledek:

2126




Výsledek:

2141

34. Jsou dány posloupnosti. Rozhodněte, které z nich jsou omezené.

Pouze poslední posloupnost je omezená.Výsledek:

2132

35. Určete níže zadanou posloupnost rekurentním vzorcem

Výsledek:

2127



2129



2130

Aritmetická posloupnost±

Aritmetická posloupnost

1, 2, 3, 4, 5, 6, ... , an-1, an, an+1

V tomto případě platí, že (an - an-1) = 1

2, 4, 6, 8, 10, ... , an-1, an, an+1 V tomto případě platí, že (an - an-1) = 2

1, 3, 5, 7, 9, ... , an-1, an, an+1 V tomto případě platí, že (an - an-1) = 2

1, 3/2, 2, 5/2, ... , an-1, an, an+1 V tomto případě platí, že (an - an-1) = 1/2

Ve všech uvedených případech platí, že an+1 = an + d

Jde o aritmetické posloupnosti. Číslu d říkáme diference aritmetické posloupnosti.

Definice:



Jestliže v posloupnosti {an} platí rekurentní vzorec an+1 = an + d, kde d je dané číslo (tedy konstantní) a nezávislé na n , nazývá se taková posloupnost aritmetickou posloupností. Číslo d nazýváme difernecí.

Mějme obecně aritmetickou posloupnosta1

a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2da4 = a3 + d = a1 + 3d...an = a1 + (n - 1)d

Věta 1:Pro výpočet n-tého členu aritmetické posloupnosti pomocí prvního členu a diference platí vzorecan = a1 + (n - 1)d, kde n je přirozené číslo.

Věta 2:Pro dva libovolné členy ar, as aritmetické posloupnosti platí rovnost:as = ar + (s - r)d

Příklad 1:

První dva členy aritmetické posloupnosti jsou 40 a 37. Určete dvanáctý člen.

Řešení:

40, 37, 34, 31, 28, 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, ...

an = a1 + (n - 1)da12 = 40 + 11.dProtože d = -3, pak a12 = 40 + 11.(-3) = 7

Příklad 2:

V aritmetické posloupnosti známe 10. a 20. člen. Jsou 25, -15 (po sobě). Určete d, a1, a50.

Řešení:

a10 = a1 + 9d = 25a20 = a1 + 19d = -15 -------------------Získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Pokud ji vyřešíme, dostaneme a1 = 61, d = -4Pak stačí dopočítat a50 = 61 + 49 . (-4) = -135

Příklad 3:

Mezi čísla 3,7 a 6,8 máme vložit 9 čísel tak, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost.Pozn.: Říkáme, že provádíme tzv. interpolaci devíti členů mezi daná dvě čísla.

Řešení:

a1 = 3,7a11 = 6,8 = 3,7 + 10d---------------------------d = 0,31



3,7; 4,01; 4,32; 4,63; 4,94; 5,25; 5,56; 5,87; 6,18; 6,49; 6,80

Věta 3:

V aritmetické posloupnosti {an} platí pro součet sn jejích prvních n členů následující vzorec:

( )nn aan

s += 12

Příklad 4:

Vypočtěte součet prvních n lichých čísel.

Řešení:

a1 = 1an = 1 + (n - 1) . 2 = 2n - 1

( ) ( ) 21 121

22nn

naa

ns nn =-+=+=

Aritmetická posloupnost - procvičovací příklady±

1.

1. řešení je 3, druhé řešení je 4.Výsledek:

2205

2.

Výsledek:

2201

3.

d = 0,5, an+1 = an + 0,5, a1 = (a + 1)/2Výsledek:

2198



4.

Výsledek:

2191

5. Rozměry kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Jak jsou velké, měří-li jejich součet 24 cm a objem kvádru je 312 cm3?Výsledek:

2193

6.

Výsledek:

2207

7.

9Výsledek:

2195

8.

Výsledek:

2192

9.

10Výsledek:

2190

10.

Výsledek:

2203

11.

1. řešení:

2. řešení:

3. řešení:

Výsledek:

2209



12.

Výsledek:

2196

13.

Výsledek:

2194

14.

Výsledek:

2202

15.

1. řešení je 42, 2. řešení je (-33)Výsledek:

2204

16.

Výsledek:

2199

17.

Výsledek:

2200

18.

190Výsledek:

2206



19.

Výsledek:

2208

20.

Výsledek:

2197

21.

Výsledek:

2210

Geometrická posloupnost±

Geometrická posloupnost

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...Zde platí: a2 = 2a1 a3 = 2a2 atd.

1, 1/3, 1/9, 1/27, ...Zde platí: a2 = (1/3)a1 a3 = (1/3)a2 atd. obecně an = (1/3)an-1



Následující člen je vždy nějakým násobkem členu předcházejícího.

Definice:Jestliže v posloupnosti {an} platí rekurentní vzorec an+1 = an . q, kde q je dané číslo nezávislé na n (= konstanta), nazýváme takovou posloupnost geometrickou posloupností. Číslo q nazýváme kvocientem geometrické posloupnosti.

a2 = a1 . qa3 = a2 . q = a1 . q

2

a4 = a3 . q = a1 . q3

.

.

.an = a1 . q

n-1

Věta 1:Pro výpočet n-tého členu geometrické posloupnosti z prvního členu a z kvocientu platí vzorec an = a1 . q

n-1, kde

n je přirozené číslo.

Věta 2:Pro libovolné dva členy ar, as geometrické posloupnosti platí rovnost:as = ar . q

s-r

Věta 3:Součet prvních n členů geometrické posloupnosti {an} je určen vzorcem:

1

1.1

-

-=

q

qas

n

n

kde q ¹ 1

Pozn.: Je-li q < 1, pak je vhodné použít vztahu q

qas

n

n-

-=

1

1.1

Je-li q = 1, pak dostáváme posloupnost a1, a1, a1, ... a pro součet prvních n členů pak platí: sn = n.a1

Příklad 1:

Je dáno a8 = -40, a9 = -80. Určete příslušnou geometrickou posloupnost.Pozn.: Určit geometrickou posloupnost znamená zapsat její 1. člen a kvocient.

Řešení:

a8 = a1 . q7 = -40

a9 = a1 . q8 = -80

------------------Získali jsme soustavu rovnic. Při jejím řešení je vhodné použít postup, že druhou rovnici vydělíme rovnicí první. Dostaneme tak q = 2 a dosazením do jedné z rovnic pak vypočteme, že a1 = -5/16

Příklad 2:

Najděte 4 čísla, která tvoří část geometrické posloupnosti o součtu 360, víte-li, že poslední číslo je 9krát větší než druhé číslo. Určete danou posloupnost.

Řešení:

n = 4sn = 360



a4 = 9 . a1 . q-----------------

1

1.360

4

1-

-=

q

qa

9.a1.q = a1 . q3

----------------------Z druhé rovnice q1 = +3 q2 = -3Po dosazení do rovnice první dostáváme(a1)1 = 9(a1)2 = -18

Hledané posloupnosti tedy mohou být dvě, a to:9, 27, 81, 243-18, 54, -162, 486

Geometrická posloupnost - procvičovací příklady±

1.

a1 = 6, q = 2Výsledek:

2228

2.

Výsledek:

2223

3.

425Výsledek:

2213

4.

Výsledek:

2225

5.

Výsledek:

2224

6.

Úloha má tři řešení:Výsledek:

2216

7.

a1 = 5, q = 2Výsledek:

2227



8.

Vložená čísla: 10, 20, 40, 80, 160, 320 Výsledek:

2212

9.

280Výsledek:

2217

10.

595Výsledek:

2218

11.

s10 = a2/1024Výsledek:

2214

12.

1. řešení: 1622. řešení: 2/3

Výsledek:

2226

13.

n = 4sn = 120

Výsledek:

2220

14.

27 cm3Výsledek:

2215

15.

Výsledek:

2222



16. Doplňte zbývající čísla v tabulce:

Výsledek:

2229

17.

Výsledek:

2219

18. Doplňte zbývající čísla v tabulce:

Výsledek:

2230

19.

6Výsledek:

2221



20.

1. řešení: 1, 2, 4, 82. řešení: 8, 4, 2, 1

Výsledek:

2211

Analytická geometrie±

Analytická geometrie

Analytická geometrie je odvětví matematiky - vznikla už v 17. století. Za její zakladatele jsou považováni francouzští matematici René Descartes a Pierre Fermat. Podstatou analytické geometrie je převedení geometrické úlohy pomocí souřadnic na úlohu algebraickou, zpravidla na řešení soustavy rovnic. Výsledné řešení se pak interpretuje zpět geometricky.

Základní pojmy

Narýsujeme-li dvě na sebe kolmé přímky v rovině, dostáváme souřadný systém. Přímky nazýváme souřadné osy a tu, která je vodorovně, nazveme osou x a tu, která je svisle, nazveme osou y. Průsečík obou os označujeme zpravidla O a nazýváme ho počátek souřadného systému.Kladné poloosy označujeme šipkou a na obou osách vyznačíme měřítko - pravidelné dílky - zpravidla po 1 cm.Chceme-li zobrazit bod v souřadném systému, zobrazujeme jeho první souřadnici vždy na ose x a druhou souřadnici vždy na ose y. Bod vždy zapisujeme např. A[2; 3].

Vzdálenost dvou bodů v rovině

Nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[xA ; yA ] a B[xB ; yB]. Chceme-li určit jejich vzdálenost, postupujeme následovně:

Pro vzniklý trojúhelník pak použijeme Pythagorovu větu a dostaneme vzorec:

Příklad 1:

Vypočtěte vzdálenost bodů K[5; 7] a L[2; 11].

Řešení:

( ) ( ) 57115222

=-+-=KL



Příklad 2:

Jsou dány body A[1; 3], B[-1; x]. Určete číslo x tak, aby |AB| = Ö5.

Řešení: Má platit:

( ) ( ) 53222

=-+- x

4 + (x - 3)2 = 5

Dostaneme dvě řešení x1 = 4, x2 = 2

Střed úsečky v rovině

Opět nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[xA ; yA ] a B[xB ; yB]. Chceme-li určit střed úsečky, kterou tyto body určují, postupujeme následovně:

Souřadnice středu S[xS; yS] pak zapíšeme:

Příklad 3:

Jsou dány body A[2; -3], B[-5; 4]. Určete střed úsečky AB.

Řešení:

( )2

3

2

52-=

-+=Sx

( )2

1

2

43=

+-=Sy

Závěr: S[-3/2; 1/2]

Vektory±

Vektory

Orientovanou úsečkou nazýváme nenulovou úsečku, u níž je označen jeden z jejích krajních bodů za počáteční a druhý za koncový.



Leží-li orientované úsečky AB, CD na téže přímce, pak je nazýváme souhlasně orientované, je-li jedna z polopřímek AB, CD částí druhé, případně jestliže obě polopřímky splývají. Rovnoběžně orientované úsečky se jmenují nesouhlasně orientované, jestliže nejsou orientovány souhlasně.

Množina všech souhlasně orientovaných úseček AB, CD, ... téže velikosti se nazývá vektorem (nenulovým) a označuje se buď tučně tištěným písmem (při psaní je někdy podtrhujeme) nebo znakem

Každá z daných orientovaných úseček se nazývá umístěním vektoru u.Vektor u je určen kterýmkoliv svým umístěním AB, proto ho také nazýváme vektorem AB a píšeme u = AB. Jsou-li orientované úsečky AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou si rovny a píšeme AB = CD.

Množina všech nulových úseček se nazývá nulovým vektorem a označuje se o. Při jeho každém umístění splývá bod počáteční s bodem koncovým; je-li A = B, pak AB = o.

Jsou-li orientované úsečky AB, CD rovnoběžné, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou rovnoběžné; také říkáme, že vektor AB je rovnoběžný s přímkou AB nebo s přímkou CD.

Nulový vektor pokládáme za rovnoběžný s každou přímkou.

Jsou-li orientované úsečky AB, CD souhlasně (nesouhlasně) orientovány, pak říkáme, že také vektory AB, CD jsou souhlasně (nesouhlasně) orientovány nebo že jsou souhlasně (nesouhlasně) rovnoběžné.

Je-li vektor AB roven vektoru CD, pak úsečky AD, BC mají týž střed. (1)

Mají-li úsečky AD, BC týž střed, pak je vektor AB roven vektoru CD. (2)

Mějme nyní dvě umístění AB, CD téhož vektoru u; to znamená, že je AB = CD. Podle věty (1) mají pak úsečky AD, BC týž střed. Zvolme nyní soustavu souřadnic, ve které je A[a1; a2], B[b1; b2], C[c1; c2], D[d1; d2]. Potom platí pro souřadnice společného středu úseček AD, BC jednak vzorec

2

DAS

+=

a jednak vzorec

2

CBS

+=

Je tedy

22

CBDA +=

+

(3)

A + D = B + C, čili D - C = B - A (4)Tato symbolická rovnice zastupuje tyto dvě rovnice:d1 - c1 = b1 - a1 d2 - c2 = b2 - a2 (5)Obráceně - platí-li při stejném označení souřadnic všech bodů obě rovnice (5), tj. platí-li rovnice (4), pak platí též rovnice (3). To však znamená, že střed úsečky AD je týž jako střed úsečky BC. Podle věty (2) je tedy vektor AB roven vektoru CD, čili úsečky AB, CD jsou umístěním téhož vektoru.

Závěr:Jsou-li AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak pro souřadnice bodů A, B, C, D platí rovnice vyjádřené jedinou symbolickou rovnicí D - C = B - A.

Mějme dvě umístění téhož vektoru u. Souřadnice příslušných bodů nechť jsou A[a1; a2], B[b1; b2], C[c1; c2], D[d1; d2]. Pak platí u1 = b1 - a1 = d1 - c1 u2 = b2 - a2 = d2 - c2 (vyplývá z předešlého závěru). Čísla u1, u2 nejsou závislá na umístění vektorů u. Tato čísla budeme nazývat souřadnice vektoru u. Jsou to souřadnice koncového



bodu takového umístění vektoru, jehož počáteční bod leží v počátku souřadného systému. Je-li jedno z umístění daného vektoru u, pak budeme opět používat symbolického zápisu u = B - A.

Závěr:Je-li orientovaná nebo nulová úsečka AB umístěním vektoru u, pak pro souřadnice bodů A[a1; a2], B[b1; b2] a vektoru u = (u1; u2) platí rovniceu1 = b1 - a1

u2 = b2 - a2

které symbolicky vyjadřujeme jedinou rovnicí u = B - A.

Příklad 1:

Zjistěte souřadnice vektoru u = AB, je-li A[-3; 4], B[-4; 2].

Řešení:

u1 = -4 - (-3) = -4 + 3 = -1u2 = 2 - 4 = -2u = (-1; -2)

Příklad 2:

Umístěte vektor u = (2; -7) do bodu A[-4; 1].

Řešení:

Hledáme bod B[x2; y2] takový, aby bylo u = AB.x2 = -4 + 2 = -2y2 = 1 + (-7) = -6Bod B má souřadnice [-2; -6].

Velikost vektoru

Definice:Velikostí vektoru u = (u1; u2) rozumíme velikost kteréhokoliv jeho umístění.

Věta:Velikost vektoru u = (u1; u2) vypočteme podle vzorce

2

2

2

1 uuu +=®

Vektor, jehož velikost je rovna jedné, budeme nazývat jednotkovým vektorem.

Příklad 1:

Určete velikost vektoru u = (3; 2).

Řešení:

|u| = Ö(32 + 2

2) = Ö13

Vektor u má velikost Ö13.

Příklad 2:

Určete velikost vektoru u, je-li dáno jeho umístění AB, kde A[-2; 3], B[-2; -1].



Řešení:

u1 = -2 + 2 = 0u2 = -1 - 3 = -4|u| =Ö(0

2 + (-4)

2) = Ö16 = 4

Vektor u má velikost 4.

Příklad 3:

Vektor a = (a1; a2) je jednotkový. Zjistěte a2, je-li a1 = 0,5.

Řešení:

15,02

22 =+ a

a22 = 3/4(a2)1 = Ö3/2 (a2)2 = -Ö3/2Dostali jsme tedy dva jednotkové vektory a1 = (0,5; Ö3/2) a a2 = (0,5; -Ö3/2).

Součin čísla a vektoru

Součinem reálného čísla a vektoru bude opět vektor. Má shodný směr a orientaci s původním vektorem za předpokladu, že k je kladné číslo. Je-li číslo k záporné, pak je příslušný vektor opačně orientovaný. Velikost výsledného vektoru je rovna |k| násobku velikosti vektoru původního.

Věta 1:Mějme k libovolné reálné číslo a u libovolný vektor, který má souřadnice (u1; u2). Vektor k.u má souřadnice (k.u1; k.u2).

Věta 2:Jsou-li dány nenulové rovnoběžné vektory u, v, pak existuje jediné reálné číslo k ¹ 0 takové, že v = k . u.

Příklad 1:

Je dán vektor a = (-2; 3). Vypočtěte souřadnice vektoru b = k.a pro k = 3/2.

Řešení:

b1 = (3/2) . (-2) = -3b2 = (3/2) . 3 = 9/2Vektor b má souřadnice (-3; 9/2).

Příklad 2:

Vypočtěte souřadnice středu S úsečky OA, kde je O počátek soustavy souřadnic a A[3; 4].

Řešení:

Vektor OS = (1/2) . OA, protos1 = (1/2) . 3 = 3/2s2 = (1/2) . (-4) = -2Střed úsečky OA má souřadnice [3/2; -2].

Sčítání vektorů

Věta 1:Má-li vektor u souřadnice (u1; u2) a vektor v souřadnice (v1; v2), pak vektor u + v má souřadnice (u1 + v1; u2 +



v2).

Věta 2:Pro sčítání vektorů platí zákon komutativní.

Věta 3:Pro sčítání vektorů platí zákon asociativní i zákon distributivní.

Věta 4:Má-li vektor u souřadnice (u1; u2) a vektor v souřadnice (v1; v2), pak vektor u - v má souřadnice (u1 - v1; u2 - v2).

Příklad 1:

Zjistěte souřadnice vektoru c = a + b, jestliže a = (-2; 1), b = (-2; -2).

Řešení:c1 = -2 + (-2) = -2 - 2 = -4c2 = 1 + (-2) = 1 - 2 = -1Vektor c má souřadnice (-4; -1).

Příklad 2:

Zjistěte souřadnice vektoru d = a + b + c, je-li a = (1; 2), b = (0; 1), c = (2; 1).

Řešení:

d1 = 1 + 0 + 2 = 3d2 = 2 + 1 + 1 = 4Vektor d má souřadnice (3; 4).

Příklad 3:

Je dán vektor a = (-4; 3). Napište souřadnice vektoru -a.

Řešení:

Vektor -a má souřadnice (4; -3).

Příklad 4:

Vypočtěte souřadnice vektoru z = u - v, jestliže u = (-3; 5), v = (-2; -4).

Řešení:

z1 = -3 - (-2) = -1z2 = 5 - (-4) = 9Vektor z má souřadnice (-1; 9).

Pozn.: Pokud uvažujeme vektory v prostoru, jsou všechny výpočty naprosto analogické, vektory mají ale 3 souřadnice.

Lineární kombinace vektorů

Věta 1:Má-li vektor u souřadnice (u1; u2) a vektor v souřadnice (v1; v2), a jsou-li k, l reálná čísla, pak výraz k.u + l.v nazýváme lineární kombinací vektorů u, v.



Umístíme-li vektory u, v do roviny např. r, pak výsledný vektor w = k.u + l.v leží také v rovině r.

Lineární závislost a nezávislost vektorů

Věta 1:Dva vektory u, v nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich napsat jako násobek druhého vektoru, např. u = k.v, kde k je libovolné reálné číslo.

Tento případ nastane, právě když je lze umístit na jednu přímku.

Věta 2:Jsou-li dva vektory rovnoběžné, jsou též lineárně závislé.

Věta 3:Jsou-li dva vektory lineárně závislé, pak jsou buď rovnoběžné, nebo aspoň jeden z nich je nulový.

Věta 4:Dva vektory nazýváme lineárně nezávislé, nelze-li žádný z nich vyjádřit jako násobek druhého vektoru, tj. nelze-li je umístit na jednu přímku.

Věta 5:Tři vektory u, v, w nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních dvou; např. ve tvaru w = k.u + l.v, kde k, l jsou reálná čísla.

Pozn.: Tento případ nastane právě tehdy, když lze vektory u, v, w umístit do jedné roviny.

Věta 6:Nejsou-li vektory u, v, w lineárně závislé, nazýváme je lineárně nezávislé. Takové vektory nelze umístit do jedné roviny.

Příklad 1:

Zjistěte, zda jsou vektory u = (2; -12), v = (-1; 6) lineárně závislé, či lineárně nezávislé.

Řešení:

Kdyby byly vektory u, v lineárně závislé, pak by existovalo reálné číslo k takové, že by platilo u = k.v.2 = -1k -12 = 6kk1 = -2 k2 = -2Vzhledem k tomu, že k1 = k2, pak platí, že u = k.v. Proto vektory u, v jsou lineárně závislé (jsou rovnoběžné).

Příklad 2:

Zjistěte, zda jsou vektory u = (12; 1; 14), v = (1; 3; 0), w = (2; 1; 2) lineárně závislé, či lineárně nezávislé.

Řešení:

Kdyby byly vektory u, v, w lineárně závislé, pak by bylo možno jeden z nich napsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů - např. u = k.v + l.w, kde k, l jsou reálná čísla.12 = k + 2l1 = 3k + l14 = 2l-------------------Ze třetí rovnice je l = 7; po dosazení do první i druhé rovnice vyjde k = -2. Platí u = -2v + 7w.Vektory u, v, w jsou tedy lineárně závislé.



Příklad 3:

Určete a2 tak, aby vektory a = (2; a2; 5), b = (1; 2; 1), c = (5; 2; 2) byly lineárně závislé.

Řešení:

Pokusme se najít reálná čísla k, l taková, aby platilo a = k.b + l.c2 = k + 5la2 = 2k + 2l5 = k + 2l------------------Odečteme-li první rovnici od třetí, dostaneme l = -1. Dosadíme-li l = -1 do první rovnice, dostaneme k = 7. Dosadíme-li l = -1, k = 7 do druhé rovnice, dostaneme a2 = 12.Aby vektory a, b, c byly lineárně závislé, musí být a2 = 12; potom je a = 7b - c.

Příklad 4:

Zjistěte, zda vektory u = (1; 3; 5), v = (1; 3; -2), w = (-3; -9; 6) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé.

Řešení:

Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w.1 = k - 3l3 = 3k - 9l5 = -2k + 6l-----------------Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. O lineární závislosti či nezávislosti vektorů u, v, w však zatím nemůžeme udělat žádný závěr. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w.1 = m - 3n3 = 3m - 9n-2 = 5m + 6n-----------------Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla m, n existují; m = 0, n = -1/3. Platí tedy v = 0.u - (1/3).w, tj. v = (-1/3).w.Vektory u, v, w jsou lineárně závislé.

Příklad 5:

Zjistěte, zda vektory u = (0; 0; 1), v = (2; 1; 1), w = (1; 1; 1) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé.

Řešení:

Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w.0 = 2k + l0 = k + l1 = k + l-----------------Řešením zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w.2 = n1 = n1 = m + n-----------------Řešením této soustavy zjistíme, že taková m, n neexistují. Ani nyní ještě nemůžeme udělat závěr o lineární závislosti či nezávislostivektorů. Zbývá zjistit, zda existují taková reálná čísla p, q, aby platilo w = p.v + q.u.1 = 2q



1 = q1 = p + q------------------Řešením dané soustavy zjistíme, že taková čísla p, q neexistují. Protože ani jeden z vektorů u, v, w nelze zapsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů, nejsou vektory u, v, w lineárně závislé. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně nezávislé.

Úhel dvou vektorů

Každé dva vektory můžeme vždy umístit tak, aby měly společný počáteční bod. Při umístění vektorů u, v do bodu A označme jejich koncové body B a C. Může pak nastat několik různých situací:1. Vektory jsou rovnoběžné

• souhlasně rovnoběžné• nesouhlasně rovnoběžné

2. Vektory svírají nějaký dutý úhel (polopřímky AB, AC svírají tento úhel)

Úhel vektorů je v případě souhlasně rovnoběžných vektorů roven nule, v případě nesouhlasně rovnoběžných vektorů roven 180°.

Odvození vzorce pro určení úhlu dvou vektorů:Nechť vektory u = (u1; u2), v = (v1; v2) spolu svírají dutý úhel. Nechť dále platí, že u = AB, v = CD. K výpočtu úhlu vektorů potřebujeme znát ještě velikost vektoru BC. K jeho určení provedeme následující konstrukci. Do bodu B umístíme vektor -v; jeho koncový bod označíme D. AD je umístění vektoru u - v. Protože obrazec ADBC je rovnoběžník, je zřejmé, že i CB je umístění vektoru u - v.

Trojúhelník ABC má tedy tyto délky stran:|AB| = |u|, |AC| = |v|, |BC| = |u - v|

Podle kosinové věty pak platí:|u - v|

2 = |u|

2 + |v|

2 - 2 . |u| . |v| . cos j

Po dosazení dostaneme:(u1 - v1)

2 + (u2 - v2)

2 = u12 + u22 + v12 + v22 - 2 . |u| . |v| . cos j

Po odstranění závorek a sloučení dostaneme-2u1v1 - 2u2v2 = -2 . |u| . |v| . cos j Protože oba vektory u, v jsou nenulové, můžeme psát:

vu .cos 2211 vuvu +

=f

Pomocí tohoto vzorce můžeme tedy vypočítat úhel dvou vektorů.Pozn.: Pokud by byly vektory zadány třemi souřadnicemi, pak by v čitateli zlomku bylo u1v1 + u2v2 + u3v3

Příklad 1:



Vypočtěte úhel vektorů u = (-1; 2) a v = (1; 3)

Řešení:

1091

541

=+=

=+=

v

u

( )2

2

10.5

3.21.1cos =

+-=f

f = 45°

Oba vektory spolu svírají úhel 45°.

Příklad 2:Vypočtěte úhel vektorů a = (-2; 1; 2), b = (-2; -2; 1)

Řešení:

( )

( ) ( ) 3122

3212

222

222

=+-+-=

=++-=

b

a

( )( ) ( )4444,0

9

4

3.3

1.22.12.2cos ==

+-+--=f

f = 63°40´

Úhel obou vektorů je 63°40´.

Skalární součin dvou vektorů

Skalární součin dvou vektorů je reálné číslo, nikoliv tedy vektor!Platí:|u| . |v| . cos f = u1v1 + u2v2

Neboliu . v = |u| . |v| . cos f

Závěr: u . v = u1v1 + u2v2

Pozn.: V prostoru by platilo: u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Příklad 1:

Vypočtěte skalární součin a . b, je-li |a| = 2, |b| = 1 a svírají-li vektory a, b úhel o velikosti 120°.

Řešení:

a . b = 2 . 1 . cos 120°= 2 . (-0,5) . = -1

Skalární součin obou vektorů je tedy roven -1.

Příklad 2:

Vypočtěte skalární součin vektorů a = (2; -3), b = (3; 2) a úhel vektorů a, b.



Řešení:

a . b = 2 . 3 + (-3) . 2 = 6 - 6 = 0

Skalární součin obou vektorů je tedy roven nule.

Podle vzorce

ba

ba

.

.cos =f

Protože ale a . b je rovno nule, pak musí být rovno nule i cos f. Odtud pak dostaneme, že f = 90°.

Oba vektory jsou tedy na sebe kolmé.

Příklad 3:

Je dán vektor a. Vypočtěte skalární součin a . a.

Řešení:

a . a = |a| . |a| . cos 0°a . a = |a|

2

Kolmost vektorů

Skalární součin dvou nenulových vektorů a, ba . b = |a| . |b| . cos f je roven nule, jestliže vektory svírají pravý úhel, tj. je-li f = 90°.

Věta platí i obráceně - tedy je-li skalární součin dvou nenulových vektorů roven nule, jsou vektory k sobě kolmé.

Příklad 1:

Ověřte, že vektory a = (3; 2; 1), b = (2; -3; 0) jsou navzájem kolmé.

Řešení:

Platí, že vektory jsou na sebe kolmé , jestliže platí:u1v1 + u2v2 + u3v3 = 0Pokud do rovnice dosadíme, dostaneme3 . 2 + 2 . (-3) + 1 . 0 = 0Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b je roven nule, vektory a, b jsou tedy kolmé.

Příklad 2:

Určete souřadnici n2 vektoru n tak, aby vektory n = (3; n2; 2) a v = (1; -2; 4) byly navzájem kolmé.

Řešení:

Podle podmínky pro kolmost vektorů v závislosti na jejich skalárním součinu musí platit:3 . 1 + n2 . (-2) + 2 . 4 = 0Odtud dostaneme:n2 = 5,5



Vektory n, v jsou k sobě kolmé pro n2 = 5,5.

Vektory - procvičovací úlohy±

1.

Výsledek:

2299

2.

2,5Výsledek:

2303

3.

1. řešení:

, 2. řešení:

,

Výsledek:

2287

4.

Výsledek:

2297

5.

Výsledek:

2291

6.

, ,

Výsledek:

2300

7.

-2Výsledek:

2304

8.

Výsledek:

2296

9.

Výsledek:

2285



10.

1. řešení:

2. řešení:

Výsledek:

2288

11.

Výsledek:

2289

12.

Výsledek:

2294

13.

Výsledek:

2301

14.

Výsledek:

2302

15.

Výsledek:

2298

16.

Výsledek:

2286

17.

Výsledek:

2295

18.

Výsledek:

2293



19.

Výsledek:

2292

20.

AnoVýsledek:

2290


Obsah


Geometrické útvary a jejich vlastnosti 1

Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 9

Pythagorova věta 29

Pythagorova věta - procvičovací příklady 30

Shodná zobrazení 31

Shodná zobrazení - procvičovací příklady 32

Jehlan komolý 34

Kužel komolý 36

Posloupnosti 38

Posloupnosti - procvičovací příklady 42

Aritmetická posloupnost 46

Aritmetická posloupnost - procvičovací příklady 48

Geometrická posloupnost 51

Geometrická posloupnost - procvičovací příklady 53

Analytická geometrie 56

Vektory 57

Vektory - procvičovací úlohy 67

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)15.12.2007 21:28:11

Documents

M - Příprava na 11. zápočtový testM - Příprava na 11. zápočtový test 1 4. Dvojice úhlů střídavých (mají stejnou velikost) Rovinné útvary I. Trojúhelník Trojúhelník