Trojúhelník

Trojúhelník - ∆𝐴𝐵𝐶 určují tři body 𝐴, 𝐵, 𝐶, které neleží na jedné přímce. Trojúhelník je rovněž

možno považovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

C Body 𝐴, 𝐵, 𝐶, se nazývají vrcholy trojúhelníku

𝜸, 𝜸,

𝜸 Úsečky 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, jsou strany trojúhelníku

𝒃 𝒂 Konvexní úhly 𝐵𝐴𝐶, 𝐴𝐵𝐶, 𝐵𝐶𝐴 jsou vnitřní úhly

trojúhelníku, vedlejší úhly k těmto úhlům jsou vnější úhly

𝜶, 𝜶 𝜷 𝜷,

A 𝜶, 𝜷, B

Rozdělení trojúhelníků podle stran:

Různostranné – obecné Rovnoramenné Rovnostranné

žádné dvě strany nejsou shodné dvě strany, ramena, jsou shodná všechny strany jsou shodné

třetí, základna, je různá

Rozdělení trojúhelníků podle vnitřních úhlů:

Ostroúhlé Pravoúhlé Tupoúhlé

všechny vnitřní úhly ostré jeden vnitřní úhel pravý protější jeden vnitřní úhel je tupý

strana přepona, ostatní odvěsny

Další vztahy platné v trojúhelníku:

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je úhel přímý (180° )

Velikost vnějšího úhlu trojúhelníku je rovna součtu velikostí vnitřních úhlů při ostatních

vrcholech.

Součet dvou stran je větší než strana třetí (trojúhelníková nerovnost)

Proti větší straně leží větší vnitřní úhel a proti většímu vnitřnímu úhlu leží větší strana

Střední příčka Výška trojúhelníku

𝑪 𝑪

𝒗𝒄

𝑩𝟏 𝑨𝟏 𝑽

𝒗𝒂 𝒗𝒃

A 𝑪𝟏 B A B

Střední příčka je úsečka spojující středy Výška je úsečka spojující vrchol trojúhelníku

dvou stran. Je rovnoběžná se třetí stranou s patou kolmice vedené z protilehlé strany.

a její délka je polovinou délky strany. Výšky se protínají ve společném průsečíku V

nazývaném ortocentrum. V ostroúhlém

trojúhelníku leží uvnitř, v pravoúhlém splývá

s vrcholem pravého úhlu a v tupoúhlém leží

vně trojúhelníku.

Těžnice trojúhelníku

𝑪 Úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol

trojúhelníku a střed protější strany se nazývá

𝒕𝒄 těžnice. Těžnice (označujeme 𝑡𝑎, 𝑡𝑏 , 𝑡𝑐) se

𝑩𝟏 T 𝑨𝟏 protínají ve společném bodě T nazývaném

𝒕𝒂 𝒕𝒃 těžiště trojúhelníku.

Vzdálenost těžnice od vrcholu je rovna třetinám

A 𝑪𝟏 B délky příslušné těžnice.

Kružnice opsaná trojúhelníku

𝑪 Kružnice, která prochází všemi vrcholy

trojúhelníku se nazývá trojúhelníku opsaná.

𝒌 Její poloměr označujeme r a její střed 𝑺𝒐 je

𝑺𝒐 průsečíkem os stran trojúhelníku. V ostroúhlém

𝒓 trojúhelníku leží uvnitř, v pravoúhlém je středem

přepony a v tupoúhlém leží vně trojúhelníku.

A B

𝑪 Kružnice, která se dotýká všech tří stran

trojúhelníku se nazývá trojúhelníku vepsaná.

𝒌 Její poloměr označujeme 𝒓 a její střed 𝑺𝒗 je

𝑺𝒗 průsečíkem os stran trojúhelníku.

𝝆

A B

V rovnostranném trojúhelníku splývá střed kružnice opsané se středem kružnice vepsané,

ortocentrem a těžištěm 𝑆𝑜 = 𝑆𝑉 = 𝑉 = 𝑇

PS 20-25

1. Jsou dány tři různé body A, B, C, které neleží na jedné přímce. Narýsujte

trojúhelník ABC.

C

A B

a) Symbolicky zapište ∆𝐴𝐵𝐶 jako průnik tří polorovin

b) Označte 𝛼, 𝛽, 𝛾 vnitřní úhly trojúhelníku ABC a 𝛼´, 𝛽´, 𝛾´ jeho vnější úhly

c) Dopočítejte velikosti vyznačených úhlů, je-li 𝛽 = 57°50´ a 𝛾´ = 119°20´.

𝛼 = 𝛼´ = 𝛽´ = 𝛾 =

d) V trojúhelníku ABC označte strany a, b, c a uspořádejte jejich délky podle

velikosti vzestupně. Symbolicky zapište:

2. V trojúhelníku KLM sestrojte těžiště T a ortocentrum V. Doplňte věty.

M

K

L

a) Ortocentrum každého ostroúhlého trojúhelníku leží uvnitř trojúhelníku.

b) Ortocentrum každého tupoúhlého trojúhelníku leží trojúhelníku.

c) Ortocentrum každého pravoúhlého trojúhelníku

d) Těžiště trojúhelníku leží uvnitř tohoto trojúhelníku.

3. Sestrojte střed S kružnice vepsané a střed O kružnice opsané trojúhelníku GHI.

V obrázku vyznačte poloměr 𝝆 kružnice vepsané a poloměr r kružnice opsané.

Kružnice narýsujte. Doplňte následující věty.

I

G H

a) Střed kružnice opsané každému ostroúhlému ∆ leží tohoto ∆

b) Střed kružnice opsané každému tupoúhlému ∆ leží vně tohoto ∆

c) Střed kružnice opsané každému pravoúhlému ∆

d) Střed kružnice vepsané trojúhelníku leží uvnitř tohoto ∆

4. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá.

a) Součet velikostí všech vnitřních úhlů v tupoúhlém trojúhelníku je větší než

součet všech vnitřních úhlů v ostroúhlém trojúhelníku.

b) V každém trojúhelníku pro výšku a těžnici vedenou z téhož vrcholu X platí:

𝑣𝑥 ≤ 𝑡𝑥

c) V každém rovnostranném trojúhelníku splývá těžiště, střed kružnice

vepsané, střed kružnice opsané a ortocentrum

d) V každém rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly při základně shodné

5. Vypočítejte velikosti neznámých úhlů podle obrázku

39° 𝛿

44°

휀

116°

𝛾 𝜎

𝜔

𝛼 56°

28° 𝛽

6. Ke každé dvojici délek úseček přiřaďte třetí délku tak, aby bylo možno sestrojit

čtyři trojúhelníky zadané vzniklými délkami stran. Každou délku využijte právě

jednou.

A) 20, 25 1) 46

B) 12, 28 2) 42

C) 31, 18 3) 49

D) 28, 22 4) 39

7. V trojúhelníku 𝐴𝐵𝐶 s délkami stran 𝑎 = 294; 𝑏 = 306,6; 𝑐 = 480 byly určeny

délky těžnic: 𝑡𝑎 = 375,0; 𝑡𝑏 = 367,2; 𝑡𝑐 = 180,0.

𝐶

𝐵1 𝐴1

𝑇

𝐴 𝐶1 𝐵

a) Obvod ∆𝐴𝐶1𝐶 je ____________________________

b) Obvod ∆𝐵𝐵1𝐶1 je ___________________________

c) Obvod ∆𝐴𝐵𝐶𝑇 je ____________________________

d) Obvod ∆𝐴1𝐵1𝑇 je ____________________________

8. Odchylka výšek, které jsou vedeny na ramena rovnoramenného trojúhelníku

𝐴𝐵𝐶, je 38°. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku 𝐴𝐵𝐶.

𝐶

𝑣𝑐

𝑣𝑎

38°

𝐴 𝐵

𝛼 = 𝛽 = 𝛾 =

9. Vyberte správnou odpověď.

𝐷 𝐶

𝛿

𝐸

𝐴 𝐵

Pokud |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶| = |𝐶𝐸|, je velikost úhlu 𝛿 vyznačeného na obrázku:

a) 120° b) 112,5° c) 135° d) 150° e) nelze určit

10. Vyberte správnou odpověď:

𝐶

휀

𝐷 𝐴 𝐵 𝐸

Body 𝐷, 𝐴, 𝐵, 𝐸 leží na přímce. Pokud |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶| = |𝐴𝐶| = |𝐵𝐸| = |𝐴𝐷|, je

velikost úhlu 휀 vyznačeného na obrázku:

a) 120° b) 112,5° c) 135° d) 150° e) nelze určit

11. Je dán∆𝐴𝐵𝐶. Vypočítejte velikost úhlu 휀, který svírá výška na stranu c a

spojnice vrcholu C se středem kružnice trojúhelníku vepsané.

𝐶

𝐴

115°

40°

𝐵

12. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů 𝛼, 𝛽, 𝛾 trojúhelníku a rozhodněte, zda je

trojúhelník ostroúhlý, pravoúhlý nebo tupoúhlý.

a) 𝛽 = 𝛼 + 25°, 𝛾 = 45°

b) 𝛼: 𝛽 = 1: 2, 𝛽: 𝛾 = 1: 3

c) 𝛼 + 𝛽 = 135°, 𝛽 + 𝛾 = 135°

d) 𝛼 + 𝛽 = 125°, 𝛾 − 𝛽 = 45°

Shodnost trojúhelníků

Trojúhelník 𝐴𝐵𝐶 je shodný s trojúhelníkem 𝐴,𝐵,𝐶 , mají-li shodné všechny sobě odpovídající

strany a úhly. Zapisujeme: ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴,𝐵,𝐶 ,

Věty o shodnosti trojúhelníků:

Věta sss:

Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve všech třech stranách, jsou shodné.

Věta sus:

Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné.

Věta usu:

Jestliže se dva trojúhelníky shodují v jedné straně a ve dvou úhlech k ní přilehlých, jsou

shodné.

Věta Ssu:

Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich, jsou shodné.

Podobnost trojúhelníků

Trojúhelník 𝐴,𝐵,𝐶 , je podobný trojúhelníku 𝐴𝐵𝐶, existuje-li kladné reálné číslo k tak, že pro strany

trojúhelníku platí: 𝑎, = 𝑘 ∙ 𝑎 , 𝑏, = 𝑘 ∙ 𝑏 , 𝑐 , = 𝑘 ∙ 𝑐

Je-li 𝑘 > 1 je podobnost zvětšením, je-li 𝑘 < 1 je podobnost zmenšením. (k=1 je shodnost)

Zapisujeme: ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐴,𝐵,𝐶 ,

Věty o shodnosti trojúhelníků:

Věta sss:

Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve všech třech poměrech stran, jsou podobné.

Věta uu:

Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou úhlech, jsou podobné.

Věta sus:

Jestliže se dva trojúhelníky shodují v jednom úhlu a v poměru délek stran ležících na jeho

ramenech, jsou podobné.

Věta Ssu:

Jestliže se dva trojúhelníky shodují v poměru délek dvou odpovídajících si stran a v úhlu

proti větší z nich, jsou podobné.

PS 27 – 34

1. Jsou dány trojúhelníky 𝐴𝐵𝐶 a 𝐾𝐿𝑀. Platí: ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐿𝑀𝐾. Doplňte:

a) |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| =

b) |∢𝐵𝐴𝐶| = |∢𝐴𝐵𝐶| = |∢𝐴𝐶𝐵| =

2. Rozhodněte, které trojúhelníky jsou shodné. Shodnost trojúhelníků zapište.

Výsledky uspořádejte do tabulky.

𝐶 𝑍 20 𝑌 𝑀 𝑉 20 𝑈

55° 60°

30 25 28 30 25

55°

𝐴 20 𝐵 𝑋 𝑁 26 𝑂 𝑇

𝐻 𝐽 𝐿 𝑅 𝐸 𝐷

55° 85° 85°

26 26 28 32 26

32

65° 55°

𝐼 𝐺 𝐾 𝑃 20 𝑄 𝐹

shodnost trojúhelníků použitá věta o shodnosti

3. Jsou dány trojúhelníky 𝐴𝐵𝐶 a 𝑇𝑈𝑉. Platí: ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝑉𝑇𝑈. Doplňte:

a) |𝐴𝐵|: |𝑉𝑇| =

b) |∢𝐵𝐴𝐶| = |∢𝐴𝐵𝐶| = |∢𝐴𝐶𝐵| =

4. Rozhodněte, které trojúhelníky jsou podobné. Podobnost trojúhelníků zapište.

Výsledky uspořádejte do tabulky.

𝐵 20 𝐴 𝐼 𝑍 𝑌 𝐿

50° 30

30 25 42

68° 75°

𝐶 52° 𝑋 𝑈 𝐽 21 𝐾

𝑂 𝐺 36 𝐻 28 𝑅

105 𝐹 150 180 𝑃 52°

75°

𝑀 150 24

62° 50° 𝑉 120 𝑇 𝑄

𝑁 𝐷 𝐸

podobnost trojúhelníků použitá věta o podobnosti

5. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá.

a) Dva rovnostranné trojúhelníky jsou shodné, pokud se shodují v jedné straně.

b) Dva rovnoramenné trojúhelníky jsou shodné, pokud se shodují v základně a

úhlu proti základně.

c) Dva pravoúhlé trojúhelníky jsou shodné, pokud se shodují v jednom ostrém

úhlu a nejdelší straně.

d) Každé dva rovnostranné trojúhelníky jsou podobné.

e) Každý trojúhelník podobný rovnoramennému trojúhelníku je také

rovnoramenný.

f) Každé dva pravoúhlé trojúhelníky se stejnou délkou přepony jsou podobné.

6. V rovnoramenném trojúhelníku 𝐴𝐵𝐶 je 𝑆𝑏 střed strany 𝐴𝐶 a 𝑆𝑐 střed strany𝐴𝐵.

Kolmice na rameno 𝐴𝐶 vedená 𝑆𝑏 protne přímku 𝐴𝐵 v bodě 𝐿, přímku 𝐵𝐶 v bodě

𝑋. Kolmice na rameno 𝐴𝐵 vedená 𝑆𝑐 protne přímku 𝐴𝐶 v bodě 𝑀, přímku 𝐵𝐶

v bodě𝑌. Dokažte následující tvrzení.

𝐴

𝑆𝑐 𝑆𝑏

𝐿 𝑀

𝑋 𝑌

𝐵 𝐶

a) ∆𝐴𝑆𝑐𝐶 ≅ 𝐴𝑆𝑏𝐵

b) ∆𝐵𝐶𝑆𝑐 ≅ ∆𝐶𝐵𝑆𝑏

c) |𝑆𝑏𝐿| = |𝑆𝑐𝑀|

d) |𝑆𝑏𝑌| = |𝑆𝑐𝑋|

7. Dané úsečky rozdělte v daném poměru.

a) AB v poměru 3:2 b) CD v poměru 2:5

𝐴 𝐵 𝐶 𝐷

8. Dané úsečky zkraťte v daném poměru.

a) EF v poměru 3:8 b) GH v poměru 5:7

𝐸 𝐹 𝐺 𝐻

9. Dané úsečky zvětšete v daném poměru.

a) IJ v poměru 6:5 b) KL v poměru 9:4

𝐼 𝐽 𝐾 𝐿

10. Jsou dány úsečky o délkách a, b, c. Sestrojte úsečku délky d tak, aby platilo

a:b = c:d

a b c d

11. Platí : ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹. Vypočítejte délky zbývajících stran, je-li dáno:

a) 𝑎 = 14, 𝑐 = 16, 𝑒 = 27, 𝑓 = 24

b) 𝑏 = 84, 𝑐 = 63, 𝑑 = 10, 𝑒 = 12

12. Vypočítejte výšku stromu, který vrhá stín dlouhý 7m. Víte, že stín svislé

metrové tyče má ve stejném okamžiku délku 140 cm.

13. Strany trojúhelníku ABC mají velikost 7 m, 9 m, 12 m. Vypočítejte velikosti

stran trojúhelníku DEF, který je podobný trojúhelníku ABC, jestliže obvod

trojúhelníku DEF je:

a) 70 m

b) 14 m

17. Výška na základnu rovnoramenného trojúhelníku má velikost 12,5 cm, ramena

mají délku 15 cm. Vypočítejte poloměr kružnice trojúhelníku opsané.

18. Mezi třemi sloupy, jejichž paty leží v jedné přímce, je nataženo lanko.

Vypočítejte výšku x třetího sloupu. (rozměry jsou v cm)

400 325 x

250 600

19. Ocelová nájezdová rampa pro vozíčkáře a kočárky je v určitém místě podepřena sloupkem,

jehož výška h je 45% celkového výškového rozdílu v rampy. Určete vzdálenost paty sloupku

od budovy, je-li počátek rampy 15 m od budovy.

budova

v

h

15 m

20. V lichoběžníku PQRS se základnami PQ a RS platí: |∢𝑃𝑅𝑄| = |∢𝑃𝑆𝑅|, |𝑃𝑄| = 33 𝑑𝑚,

|𝑅𝑆| = 15 𝑑𝑚. Vypočítejte délku úhlopříčky PR.

21. Vinohrad o 15 řádcích má tvar trojúhelníku 𝑅1𝑉𝐾1. První řádek je totožný se

stranou 𝑅1𝐾1 a má délku 120 m. Další řádky jsou s ním rovnoběžné, body 𝑅2až

𝑅15rozdělují vzdálenost 𝑅1𝑉 na 15 stejných dílů. Určete délku druhého,

čtvrtého a desátého řádku.

𝐾1 𝐾2

𝐾3 𝐾4

𝐾14 𝐾15

𝑉

𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 ….. 𝑅14 𝑅15

Příklady k domácí přípravě

1. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů 𝛼, 𝛽, 𝛾 trojúhelníku a rozhodněte, zda je

trojúhelník ostroúhlý, pravoúhlý nebo tupoúhlý.

a) 𝛽 = 𝛼 + 32°, 𝛾 = 64° b) 𝛼 + 𝛽 = 72°, 𝛽 = 2 ∙ 𝛼

2. V rovnostranném trojúhelníku ABC se stranou 𝑎 = 18𝑐𝑚 má výška

𝑣 = 15,6𝑐𝑚. Vypočtěte obvody trojúhelníků ∆𝐴𝑆𝑐𝐶 a ∆𝐵𝐶𝑇.

𝐶

𝑆𝑏 𝑇 𝑆𝑎

𝐴 𝑆𝑐 𝐵

3. Pro trojúhelníky platí: ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐾𝐿𝑀. Vypočtěte zbývající strany

trojúhelníků, pokud 𝑎 = 4𝑐𝑚 𝑏 = 6𝑐𝑚 𝑙 = 90𝑐𝑚 𝑚 = 120𝑐𝑚

4. Vypočtěte výšku stromu, který vrhá stín délky 21 m, víte-li, že ve stejném

okamžiku 2m vysoký pilíř plotu vrhá stín dlouhý 3m.