Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas VIII 1€¦ · 2 Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas VIII 9. Jawaban: d 32p2qr3: 96pq 2r = 23 22 32p qr 96pq r = 32 96

Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas VIII 1

2 Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas VIII

9. Jawaban: d

32p2qr3 : 96pq2r2 = 2 3

2 232p qr96pq r

= 3296 × p(2 – 1)q(1 – 2)r(3 – 2)

= 13 pq–1r

= pr3q

10. Jawaban: c3x2 :

26x4

= 32 x :

32 x2

= 32

3 22

x

x = 2

xx

= 1x

11. Jawaban: c–(8p3qr2)3 = –83(p3)3q3(r2)3

= –512p9q3r6

12. Jawaban: c(3x – 4y)2 = (3x – 4y)(3x – 4y)

= 3x(3x – 4y) – 4y(3x – 4y)= 9x2 – 12xy – 12xy + 16y2

= 9x2 – 24xy + 16y2

13. Jawaban: a(6x + 5)2 + (–7x – 4)2

= (36x2 + 60x + 25) + (49x2 + 56x + 16)= 36x2 + 49x2 + 60x + 56x + 25 + 16= 85x2 + 116x + 41

14. Jawaban: b(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(x – 4)3 = (x + (–4))3

= x3 + 3x2(–4) + 3x(–4)2 + (–4)3

= x3 – 12x2 + 48x – 64

15. Jawaban: d

4r2(r – 3) : r(r – 3)2 = 2

24r (r 3)r(r 3)

−− =

4rr 3−

16. Jawaban: b

24x6q7 : (4q2x3 × 3qx) = 6 7

2 324x q

4q x 3qx× =

6 7

3 424x q12q x

= 2412 ×

6

4xx

× 7

3qq

= 2x2q4

Bab I Faktorisasi BentukAljabar

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c5p2 – 7p + 8 – p2 + 3p – 10= 5p2 – p2 – 7p + 3p + 8 – 10= 4p2 – 4p – 2

2. Jawaban: c5(3x – 1) – 12x + 9= 15x – 5 – 12x + 9= (15 – 12)x – 5 + 9= 3x + 4

3. Jawaban: d8(3x + 6y) + 3(2x – 6y) = 24x + 48y + 6x – 18y

= 30x + 30y

4. Jawaban: a(x2 – 4x + y) – (2x – 2y + x2)= x2 – 4x + y – 2x + 2y – x2

= (1 – 1)x2 + (–4 – 2)x + (1 + 2)y= –6x + 3y

5. Jawaban: b5a2(2a3 + 11c) = 5a2(2a3) + 5a2(11c)

= 10a5 + 55a2c

6. Jawaban: d(x + 2)(2x – 1) = x(2x – 1) + 2(2x – 1)

= 2x2 – x + 4x – 2= 2x2 + 3x – 2

7. Jawaban: a(2x – 3)(–3x + 5) = 2x(–3x + 5) – 3(–3x + 5)

= –6x2 + 10x + 9x – 15= –6x2 + 19x – 15

8. Jawaban: c(3y – 4)(4x2 + 6xy + y2)= 3y(4x2 + 6xy + y2) – 4(4x2 + 6xy + y2)= 12x2y + 18xy2 + 3y3 – 16x2 – 24xy – 4y2


17. Jawaban: b

28p5q7r4 × (3q2pr3 : 6q2r3p4) = 28p5q7r4 × 31

2p= 14p2q7r4

18. Jawaban: dKeliling = 2((2x + 2) + (2x – 1))

= 2(4x + 1)= (8x + 2) cm

19. Jawaban: bs = (2x – 3) cmL = s2 = (2x – 3)2

= (2x)2 + 2(2x)(–3) + (–3)2

= (4x2 – 12x + 9) cm2

20. Jawaban: c = (x – 2) m

p = (x – 2) + 6 m = (x + 4) mLuas = p ×

= (x + 4)(x – 2)= (x2 + 2x – 8) m2

B. Uraian1. a. 6a + 3a – 9a + 7b = (6 + 3 – 9)a + 7b = 7b

b. 10x2 – 3xy – 5y2 – 18x2 + 5xy + y2

= (10 – 18)x2 + (5 – 3)xy + (1 – 5)y2

= –8x2 + 2xy – 4y2

c. 4 + 3p + 5(p – 2) = 4 + 3p + 5p – 10= 8p – 6

d. 2(a – 3b) + 3(2a + 7b)= 2a – 6b + 6a + 21b= 2a + 6a – 6b + 21b= 8a + 15b

2. a. (3r – 9s) + (7r + 16s)= 3r – 9s + 7r + 16s= 3r + 7r + 16s – 9s= 10r + 7s

b. (3a + 9 – 6b) + (11b + 7a – 5)= 3a + 9 – 6b + 11b + 7a – 5= 3a + 7a – 6b + 11b + 9 – 5= 10a + 5b + 4

c. (–x2 + 6xy + 3y2) + (3x2 – 4xy – 7y2)= –x2 + 6xy + 3y2 + 3x2 – 4xy – 7y2

= –x2 + 3x2 + 6xy – 4xy + 3y2 – 7y2

= 2x2 + 2xy – 4y2

d. 6(2y2 – 3x + 6) + 7(3y2 – 2x + 6)= 12y2 – 18x + 36 + 21y2 – 14x + 42= 12y2 + 21y2 – 18x – 14x + 36 + 42= 33y2 – 32x + 78

3. a. (10a + 9b – 12) – (9a + 8b – 2)= 10a – 9a + 9b – 8b – 12 + 2= (10 – 9)a + (9 – 8)b – 12 + 2= a + b – 10

b. (4p – 11q – 9r) – (9p + 8q – 8r)= 4p – 9p – 11q – 8q – 9r + 8r= (4 – 9)p – (11 + 8)q – (9 – 8)r= –5p – 19q – r

c. (17y2 + 11y + 18) – (15y2 + 2y – 24)= 17y2 – 15y2 + 11y – 2y + 18 + 24= (17 – 15)y2 + (11 – 2)y + 18 + 24= 2y2 + 9y + 42

d. 15(4y2 + 6y + 3) + 11(2y2 – 4y – 5)= 60y2 + 90y + 45 + 22y2 – 44y – 55= 60y2 + 22y2 + 90y – 44y + 45 – 55= (60 + 22)y2 + (90 – 44)y + 45 – 55= 82y2 + 46y – 10

4. a. –5a2(2a2 + 8a2b – 5ab2)= (–5 × 2)a4 – (5 × 8)a4b + (–5 × (–5))a3b2

= –10a4 – 40a4b + 25a3b2

b. (2x – 6)(5x – 2) = 2x(5x – 2) – 6(5x – 2)= 10x2 – 4x – 30x + 12= 10x2 – 34x + 12

c. (3x – 4y)(12x2 – 16xy + 9y2)= 3x(12x2 – 16xy + 9y2) – 4y(12x2 – 16xy + 9y2)= 36x3 – 48x2y + 27xy2 – 48x2y + 64xy2 – 36y3

= 36x3 – (48 + 48)x2y + (27 + 64)xy2 – 36y3

= 36x3 – 96x2y + 91xy2 – 36y3

d. 8p4qr2 : 2pq2r2

= 4 2

2 28p qr2pq r

= 82 ×

4pp × 2

qq ×

2

2rr

= 4 × p3 × 1q × 1 =

34pq

5. a. (4p2q)3 = 43p6q3 = 64p6q3

b. (5a + 3b)2 = (5a)2 + 2(5a)(3b) + (3b)2

= 25a2 + 30ab + 9b2

c. (7a2 – 4a)2 = (7a2)2 – 2(7a2)(4a) + (4a)2

= 49a4 – 56a3 + 16a2

d. (2q + 3p – 7)2

= (2q + 3p – 7)(2q + 3p – 7)= 2q(2q + 3p – 7) + 3p(2q + 3p – 7) – 7(2q + 3p – 7)

= 4q2 + 6pq – 14q + 6pq + 9p2 – 21p – 14q – 21p + 49

= 4q2 + 12pq – 28q – 42p + 9p2 + 49

6. a. (3a + 4)4 = 1(3a)4 + 4(3a)3(4) + 6(3a)2(4)2

+ 4(3a)(4)3 + 1(4)4

Suku ke-3: 6(3a)2(4)2 = 6 × 9a2 × 16 = 864a2

Jadi, koefisien suku ke-3 yaitu 864.


b. (x + 3y)3 = 1(x)3 + 3(x)2(3y) + 3(x)(3y)2

+ 1(3y)3

Suku ke-2:3(x)2(3y) = 3 × x2 × 3y

= 9x2yJadi, koefisien suku ke-2 yaitu 9.

c. (a – 2b)4 = a4 + 4a3(–2b) + 6a2(–2b)2

+ 4a(–2b)3 + (–2b)4

Suku ke-2:4a3(–2b) = –8a3bJadi, koefisien suku ke-2 yaitu –8.

d. (–2x + 5y)5 = (–2x)5 + 5(–2x)4(5y)+ 10(–2x)3(5y)2 + 10(–2x)2(5y)3

+ 5(–2x)(5y)4 + (5y)5

Suku ke-4:10(–2x)2(5y)3 = 10 × 4x2 × 125y3

= 5.000x2y3

Jadi, koefisien suku ke-4 yaitu 5.000.

e. (2m – 3)5 = (2m)5 + 5(2m)4(–3) + 10(2m)3(–3)2

+ 10(2m)2(–3)3 + 5(2m)(–3)4

+ (–3)5

Suku ke-5:5(2m)(–3)4 = 10m(81)

= 810mJadi, koefisien suku ke-5 yaitu 810.

7. a. 12x4y6z3 × (10xyz2 : 15x3y4z)

= 12x4y6z3 × 2

3 410xyz15x y z

= 12x4y6z3 × 2 32z

3x y

= 8x2y3z4

b. (2x – 4)(x + 3) + 4x(x – 2)= 2x(x + 3) – 4(x + 3) + 4x2 – 8x= 2x2 + 6x – 4x – 12 + 4x2 – 8x= 6x2 – 6x – 12

c. (3x + 2)(3x – 2) – (3x – 2)2

= (3x)2 – 22 – ((3x)2 + 2(3x)(–2) + (–2)2)= 9x2 – 4 – (9x2 – 12x + 4)= 9x2 – 4 – 9x2 + 12x – 4= 12x – 8

d. (x + 2y)3 – (x – y)(x2 + y2)= x3 + 3x2(2y) + 3x(2y)2 + (2y)3 – x(x2 + y2)

+ y(x2 + y2)= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 – x3 – xy2 + x2y + y3

= 7x2y + 11xy2 + 9y3

8. L = p × = (5x + 3)(3x + 1)= 5x(3x + 1) + 3(3x + 1)= 15x2 + 5x + 9x + 3= 15x2 + 14x + 3

Jadi, luas persegi panjang yang dibuat Fiko15x2 + 14x + 3.

9.

Kuadrat panjang sisi miring segitiga:d2 = (4x – 3)2 + (7x + 2)2

= 16x2 – 24x + 9 + 49x2 + 28x + 4= 65x2 + 4x + 13

10. Panjang rusuk kubus I = x cmPanjang rusuk kubus II = (x – 2) cmVI + VII = x3 + (x – 2)3

= x3 + (x – 2)(x – 2)(x – 2)= x3 + (x – 2)(x2 – 4x + 4)= x3 + x(x2 – 4x + 4) – 2(x2 – 4x + 4)= x3 + x3 – 4x2 + 4x – 2x2 + 8x – 8= (2x3 – 6x2 + 12x – 8) cm3

d4x – 3

7x + 2

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: cFaktor persekutuan terbesar 4p2 dan 2pq adalah 2p.Sehingga, pemfaktorannya:4p2 – 2pq = 2p(2p – q)

2. Jawaban: bFaktor persekutuan terbesar 9xy2z3 dan 12x2z2

adalah 3xz2, sehingga pemfaktorannya:9xy2z3 + 12x2z2 = 3xz2(3y2z + 4x)Jadi, salah satu faktornya 3y2z + 4x.

3. Jawaban: ax2 + 2xy + y2 = (x + y)2

49a2 + 70a + 25 = (7a)2 + 2(7a)(5) + 52

= (7a + 5)2

4. Jawaban: dp2 = x2 + 18x + 81

= x2 + 2(x)(9) + 92

= (x + 9)2

Diperoleh p = x + 9.q2 = x2 – 8x + 16

= x2 – 2(x)(4) + 42

= (x – 4)2

Diperoleh q = x – 4.Jadi, p + q = x + 9 + x – 4 = 2x + 5.


5. Jawaban: a25x4 – 40x2y + 16y2 = (5x2)2 – 2(5x2)(4y) + (4y)2

= (5x2 – 4y)2

Jadi, faktornya adalah 5x2 – 4y.

6. Jawaban: b4x2 – 9y2 = (2x)2 – (3y)2

= (2x + 3y)(2x – 3y)

7. Jawaban: b25a2 – 16(b + c)2 = (5a)2 – (4(b + c))2

= (5a + 4(b + c))(5a – 4(b + c))= (5a + 4b + 4c)(5a – 4b – 4c)

8. Jawaban: cx2 + 13x + 40 = x2 + 5x + 8x + 40

= x(x + 5) + 8(x + 5)= (x + 8)(x + 5)

9. Jawaban: a

10a2 + 19a + 6 = (10a 15)(10a 4)

10+ +

= 5(2a 3) 2(5a 2)

10+ × +

= (5a + 2)(2a + 3)

10. Jawaban: d

–5x2 – 3x + 2 = ( 5x 5)( 5x 2)5

− − − +−

= 5(x 1)(2 5x)5

− + −−

= (x + 1)(2 – 5x)

11. Jawaban: cx2 – 13xy + 36y2 = x2 – 4xy – 9xy + 36y2

= x(x – 4y) – 9y(x – 4y)= (x – 4y)(x – 9y)

12. Jawaban: a2st – 4sn – 10pn + 5pt= 2st – 4sn + 5pt – 10pn= 2s(t – 2n) + 5p(t – 2n)= (2s + 5p)(t – 2n)= (t – 2n)(2s + 5p)

13. Jawaban: bL = x2 + 24x + 144⇒ s2 = (x + 12)2 ⇔ s = (x + 12)

14. Jawaban: c

L = 12 x2 + 2x – 16

⇒ 12 × a × t =

12 x2 + 2x – 16

⇔ a × t = x2 + 4x – 32 = (x + 8)(x – 4)

Jadi, alas = (x + 8) dan tinggi = (x – 4).

15. Jawaban: c5.0502 – 4.9502 = (5.050 + 4.950)(5.050 – 4.950)

= 10.000 × 100 = 1.000.000

2 25.050 4.950− = 1.000.000 = 1.000

B. Uraian1. a. 4x2 – 2x = 2x(2x – 1)

b. ab2 + a2b = ab(b + a)c. 3p2 – 4pq + 6pq2 = p(3p – 4q + 6q2)d. 18m3n + 3mn2 – 12mnp = 3mn(6m + n – 4p)

2. a. a2 – 12a + 36 = a2 – 2(a)(6) + 62 = (a – 6)2

b. 4t2 + 20t + 25 = (2t)2 + 2(2t)(5) + 52

= (2t + 5)2

c. p2 + 16pq + 64q2 = p2 + 2(p)(8q) + (8q)2

= (p + 8q)2

d. 9x2 – 24xy + 16y2 = (3x)2 – 2(3x)(4y) + (4y)2

= (3x – 4y)2

3. a. 25a2 – 16b2 = (5a)2 – (4b)2= (5a + 4b)(5a – 4b)

b. p2q2 – 16r2 = (pq)2 – (4r)2

= (pq + 4r)(pq – 4r)c. 64x4 – 81y4 = (8x2)2 – (9y2)2

= (8x2 + 9y2)(8x2 – 9y2)d. 9(s + t)2 – (s – 2t)2

= (3(s + t))2 – (s – 2t)2

= (3(s + t) + (s – 2t))(3(s + t) – (s – 2t))= (4s + t)(2s + 5t)

4. a. p2 – 2p – 63 = p2 + 7p – 9p – 63= p(p + 7) – 9(p + 7)= (p – 9)(p + 7)

b. 33 + 8x – x2 = 33 + 11x – 3x – x2

= 11(3 + x) – x(3 + x)= (11 – x)(3 + x)

c. x2 – 15xy + 14y2 = x2 – 14xy – xy + 14y2

= x(x – 14y) – y(x – 14y)= (x – 14y)(x – y)

d. a2 + 10ab – 56b2 = a2 + 14ab – 4ab – 56b2

= a(a + 14b) – 4b(a + 14b)= (a + 14b)(a – 4b)

e. 12x2 + 17x + 6 = (12x 9)(12x 8)

12+ +

= 3(4x 3) 4(3x 2)

12+ × +

= (4x + 3)(3x + 2)

f. 6x2 + x – 15 = (6x 10)(6x 9)

6+ −

= 2(3x 5) 3(2x 3)

6+ × −

= (3x + 5)(2x – 3)


g. 1 + 3a – 18a2 = ( 3 18a)(6 18a)

18− − −

−

= 3(1 6a) 6(1 3a)

18− + × −

−= (1 + 6a)(1 – 3a)

h. 12x2 + 13xy – 4y2 = (12x 16y)(12x 3y)

12+ −

= 4(3x 4y) 3(4x y)

12+ × −

= (3x + 4y)(4x – y)

5. a. L = 12 × alas × tinggi

⇔ alas × tinggi = 2L

= 2(x2 – 32 x – 21)

= 2x2 – 3x – 42= 2x2 – 12x + 7x – 42= 2x(x – 6) + 7(x – 6)= (2x + 7)(x – 6)

Jadi, alas = (2x + 7) cm dan tinggi (x – 6) cm.

b. L = s2

s2 = 16x2y2 + 72xy + 81⇔ s2 = (4xy)2 + 2(4xy)(9) + 92

⇔ s2 = (4xy + 9)2

⇔ s = 2(4xy 9)+ = 4xy + 9Jadi, panjang sisi persegi (4xy + 9) cm.

c. L = alas × tinggi= x2 + 7x + 10= x2 + 2x + 5x + 10= x(x + 2) + 5(x + 2)= (x + 5)(x + 2)

Jadi, alas = (x + 5) cm dan tinggi = (x + 2) cmatau alas = (x + 2) cm dan tinggi (x + 5) cm.

d. L = panjang × lebar

= 8x2 + 10x + 3

= (8x 6)(8x 4)

8+ +

= 2(4x 3) 4(2x 1)

8+ × +

= (4x + 3)(2x + 1)Panjang = (4x + 3) cmLebar = (2x + 1) cmK = 2(panjang + lebar)

= 2(4x + 3 + 2x + 1)= 2(6x + 4)= 12x + 8

Jadi, keliling pekarangan (12x + 8) cm.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: b

212p 3pq

4q q−−

= 3p(4 q)q(4 q)

−− =

3pq

2. Jawaban: b

23x + 15

x + 3x 10− = 3(x 5)

(x 5)(x 2)+

+ − = 3

x 2−

3. Jawaban: d2

2x 10x 163x 24x

− − −+

= (x 2)(x 8)

3x(x 8)− + +

+

= – x 23x+

4. Jawaban: b

2x2 + x – 6 = (2x 4)(2x 3)

2+ −

= 2(x 2)(2x 3)

2+ −

= (x + 2)(2x – 3)4x2 – 9 = (2x)2 – 32

= (2x + 3)(2x – 3)

Jadi, 2

22x x 6

4x 9+ −

− =

(x 2)(2x 3)(2x 3)(2x 3)

+ −+ − =

x 22x 3

++

5. Jawaban: d1x – x =

1x –

2xx

= 21 x

x−

6. Jawaban: c2

3x + 3x 2

9x+

= 69x +

3x 29x

+ =

3x 89x

+

7. Jawaban: b1

2a b+ +

12a b− =

(2a b) (2a b)(2a b)(2a b)

− + ++ −

= 2 24a

(2a) b− = 2 2

4a4a b−

8. Jawaban: a

2x 5x 9

+−

– x 3x 3

−+

= x 5

(x 3)(x 3)+

+ − – (x 3)(x 3)(x 3)(x 3)

− −+ −

= 2

2 2x 5 (x 3)

x 3+ − −

−

= 2

2x 5 x 6x 9

x 9+ − + −

−

= 2

2x 7x 4

x 9− + −

− ×

11

−−

= 2

2x 7x 4

9 x− +

−

9. Jawaban: a2x 10x 25

2x 10− +

− × 1

x 5− = (x 5)(x 5)2(x 5)− −

− × 1

x 5− =

12


10. Jawaban: a23x : 2

45x

= 23x ×

25x4

= 22 5x

3x 4×

×

= 210x

12x =

5x6

11. Jawaban: a4x

x 4− : 2

28x

x 6x + 8−=

4xx 4− ×

2

2x 6x 8

8x− +

= 4x

x 4− × 2(x 4)(x 2)

8x− −

= x 22x−

12. Jawaban: b21

a

– 32a

b

+ 2b

3c

= 21

a –

3

38ab

+ 2

2b9c

= 3 2 5 2 2 5

2 3 29b c 72a c a b

9a b c− +

13. Jawaban: a

x yy x2 2x y

−

−=

2 2x yxy xy2 2x y

−

− =

2 2x yxy

2 2x y

−

− =

2 2

2 2x y

xy(x y )−

− = 1xy

14. Jawaban: aL = p ×

⇔ = Lp =

26x x 352x 5

+ −+

= (3x 7)(2x 5)2x 5

− ++

= 3x – 7

15. Jawaban: c

L = 12 × alas × tinggi

⇔ Tinggi = 2L

alas = 22(6x 26x 28)4(x 2)

+ ++

= 23x 13x 14

x 2+ +

+

= (3x 7)(x 2)x 2

+ ++

= (3x + 7) cm

B. Uraian

1. a.4x 2yy 2x

−− =

2(2x y)1(2x y)

−− − =

21− = –2

b.24y 9

2y + 3− = (2y 3)(2y 3)

2y 3+ −

+ = 2y – 3

c.2

2x 2x 32x x 1

− −+ − =

(2x 2)(2x 1)

2

(x 1)(x 3)+ −

+ −

= (x 1)(x 3)(x 1)(2x 1)

+ −+ − =

x 32x 1

−−

d.2 2

2 2p + 14pq + 49qp + 2pq 35q−

= (p 7q)(p 7q)(p 7q)(p 5q)

+ ++ − = p 7q

p 5q+−

2. a. 3a 1+

– 42a 3−

= 3(2a 3) 4(a 1)(a 1)(2a 3)

− − ++ −

= 6a 9 4a 4(a 1)(2a 3)

− − −+ −

= 2a 13(a 1)(2a 3)

−+ −

b. 21

x 1− + 1

2x 2+= 1

(x 1)(x 1)− + + 1

2(x 1)+

= 2 x 12(x 1)(x 1)

+ −− +

= x 12(x 1)(x 1)

+− +

= 12(x 1)−

c. 2x 1

x 5x 6−

− + – 2

4x 8x 4x 3

−− +

= x 1(x 2)(x 3)

−− −

– 4(x 2)(x 1)(x 3)

−− −

= 2(x 1) 4(x 2)(x 2)

(x 1)(x 2)(x 3)− − − −

− − −

= 2 2(x 1) (2(x 2))

(x 1)(x 2)(x 3)− − −− − −

= ((x 1) 2(x 2))((x 1) 2(x 2))(x 1)(x 2)(x 3)

− − − − + −− − −

= (x 1 2x 4)(x 1 2x 4)(x 1)(x 2)(x 3)

− − + − + −− − −

= ( x 3)(3x 5)(x 1)(x 2)(x 3)

− + −− − −

= (x 3)(3x 5)(x 1)(x 2)(x 3)

− − −− − −

= (3x 5)(x 1)(x 2)

− −− −

d. xx 6−

– 2yx 6+

+ 23xy

36 x−

= x(x 6)(x 6)(x 6)

+− +

– 2y(x 6)(x 6)(x 6)

−− +

+ 3xy(x 6)(x 6)− − +

= 2x 6x 2xy 12y 3xy

(x 6)(x 6)+ − + −

− +

= 2

2x 6x 5xy 12y

x 36+ − +

−

3. a. 12ab11c

× 121ac26b

= 212ab6b

× 121ac11c

= 2ab × 11a

= 222a

b

b. 22m 8

m+ × 2

3m2m 32−

= 2(m 4)m+ × 2

32(m 16)−

= 3(m 4)m(m 4)(m 4)

+− +

= 3m(m 4)−

c.26y

2x 3− : 2y

4x 6−=

26y2x 3−

× 4x 62y

−

= 26y

2y × 2(2x 3)

2x 3−

−

= 3y × 2 = 6y


d.23p p 2

4p− −

: 26p 4p

8p(p 1)+−

= (3p 2)(p 1)4p

+ − : 2p(3p 2)8p(p 1)

+−

= (3p 2)(p 1)4p

+ − × 4(p 1)3p 2

−+

= 2(p 1)

p−

4. a.43x

4y

= 4 4

4 43 x4 y

= 4

481x64y

b.2 2 2

x yx y

− −

= 2

(x y)(x + y)x y

− −

= (x + y)2

= x2 + 2xy + y2

c. 2

37p3q

+ 3

25

6q

= 3

2 3(7p)(3q )

+ 2

3 25

(6q )

= 3

6343p27q

+ 625

36q

= 3

61.372p + 75

108q

d.2

x1

+

32xy

– y3zy

= 21x

+ 3

38xy

– 13z

= 3 3 2 2 3

2 33y z + 8x (3x z) x y

3x y z−

= 3 5 2 3

2 33y z + 24x z x y

3x y z−

5. a. p = 1x 2

+

cm

= 1x 1

+

cm

t = 1x cm

L = 2(p + t + pt)

= 2

1x 2+ ×

1x 1+ + 1

x 1+ × 1

x + 1

x 2+ ×

1x

= 2

1(x 2)(x 1)+ + + 1

x(x 1)+ + 1

x(x 2)+

= 2x (x 2) (x 1)

x(x 1)(x 2) + + + + + +

= 23x 3

x(x 1)(x 2) + + +

= 6(x 1)x(x 1)(x 2)

++ +

= 6x(x 2)+

Jadi, luas permukaan balok 6

x(x 2) +

cm2.

b.

t = 2x + 5L = a × t

⇒ 6x2 + 27x + 30 = a × (2x + 5)

⇔ a = 26x 27x 30

2x 5+ +

+ = 3(x 2)(2x 5)

2x 5+ +

+

= 3(x + 2)

AB = 13 a =

13 × 3(x + 2) = x + 2

AC2 = AB2 + t2

= (x + 2)2 + (2x + 5)2

= x2 + 4x + 4 + 4x2 + 20x + 25= 5x2 + 24x + 29

Jadi, kuadrat sisi miring jajargenjang5x2 + 24x + 29.

A B

C

t13 a

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c15x2 – 3xy + 6y2 – 18x2 + 5xy + 2y2

= (15 – 18)x2 + (5 – 3)xy + (6 + 2)y2

= –3x2 + 2xy + 8y2

2. Jawaban: b2(3x2 – 2x + 5) + 3(6x2 + 2x – 7)= 6x2 – 4x + 10 + 18x2 + 6x – 21= (6 + 18)x2 + (6 – 4)x + 10 – 21= 24x2 + 2x – 11

3. Jawaban: c–7(3y2 + 2y – 7) – (–6(5x + 4y – 13))= –21y2 – 14y + 49 + 30x + 24y – 78= –21y2 + (24 – 14)y + 30x + 49 – 78= –21y2 + 10y + 30x – 29

4. Jawaban: c(2x – 2)(x + 5) = 2x(x + 5) – 2(x + 5)

= 2x2 + 10x – 2x – 10= 2x2 + 8x – 10

5. Jawaban: b(4x – 3y)(16x2 – 12xy + 9y2)= 4x(16x2 – 12xy + 9y2) – 3y(16x2 – 12xy + 9y2)= 64x3 – 48x2y + 36xy2 – 48x2y + 36xy2 – 27y3

= 64x3 – 96x2y + 72xy2 – 27y3

6. Jawaban: d

8p2q3 : 4p2q = 2 3

28p q4p q

= 84 ×

2

2pp

× 3q

q

= 2 × 1 × q2

= 2q2

7. Jawaban: c32p5q8r4 : (2p3q2r × 8pq4r3)= 32p5q8r4 : 16p4q6r4

= 2pq2


8. Jawaban: b(–2x – 3)2 – (–2x + 3)2

= 4x2 + 12x + 9 – 4x2 + 12x – 9= 24x= (–4x)(–6)Jadi, faktornya (–4x) dan (–6).

9. Jawaban: bFPB dari 6ab2 dan 9a2b adalah 3ab.6ab2 – 9a2b = 3ab(2b) – (3ab)(3a)

= 3ab(2b – 3a)

10. Jawaban: cp2 – 8p + 16 = p2 – 2 × 4 × p + 42

= (p – 4)2

11. Jawaban: a4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2(2x)(3y) + (3y)2

= (2x + 3y)2

2 24x 12xy 9y+ + = 2(2x 3y)+= 2x + 3y

12. Jawaban: d

25a2 – 60ab + 36b2 = (25a 30b)(25a 30b)

25− −

= 5(5a 6b) 5(5a 6b)

25− × −

= (5a – 6b)2

Jadi, faktornya (5a – 6b).

13. Jawaban: d4x2 – 25y2 = (2x)2 – (5y)2

= (2x – 5y)(2x + 5y)

14. Jawaban: cx2 + 5x + 6Pasangan bilangan yang hasil kalinya 6 danjumlahnya 5 yaitu 2 dan 3.Jadi, pemfaktorannya (x + 2)(x + 3).

15. Jawaban: c

12x2 – x – 35 = (12x 21)(12x 20)

12− +

= 3(4x 7) 4(3x 5)

12− × +

= (4x – 7)(3x + 5)Jadi, faktornya (3x + 5) dan (4x – 7).

16. Jawaban: ca2 – 20ab + 75b2 = a2 – 15ab – 5ab + 75b2

= a(a – 15b) – 5b(a – 15b)= (a – 15b)(a – 5b)

Jadi, faktornya (a – 15b) dan (a – 5b).

17. Jawaban: b

15 – 7b – 2b2 = ( 2b 10)( 2b 3)

2− − − +

−

= 2(b 5)( 2b 3)

2− + − +

−= (b + 5)(–2b + 3)

18. Jawaban: c6c

8ac + 16bc = 6c

8c(a 2b)+ = 3

4(a 2b)+

19. Jawaban: b6x 15

12x 30++

= 3(2x 5)6(2x 5)

++

= 36

= 12

20. Jawaban: a2

26x x 2

4x 1+ −

−=

(6x 4)(6x 3)62 2(2x) 1

+ −

−

= (3x 2)(2x 1)(2x 1)(2x 1)

+ −+ −

= 3x 22x 1

++

21. Jawaban: c34x

+ 56x

= 912x

+ 1012x

= 1912x

22. Jawaban: d

25

a 6a + 9− + 2

7a 9−

= 5(a 3)(a 3)− −

+ 7(a 3)(a 3)− +

= 25(a 3) 7(a 3)

(a 3) (a 3)+ + −− +

= 25a 15 7a 21

(a 3) (a 3)+ + −− +

= 212a 6

(a 3) (a + 3)−

−

23. Jawaban: c4

x + 3 – 3

x 2−= 4(x 2) 3(x 3)

(x 3)(x 2)− − ++ −

= 4x 8 3x 9(x 3)(x 2)

− − −+ −

= x 17(x 3)(x 2)

−+ −

24. Jawaban: a2a

a + 4 ×

2a 163a− =

2a3a

× 2a 16a 4

−+

= a3

× (a 4)(a 4)a 4

− ++

= a(a 4)3−

25. Jawaban: a2

2m 6m 9m m 6

− +− −

: 2

2m 2m 15

m 2m+ −

+

= (m 3)(m 3)(m 3)(m + 2)

− −−

: (m 3)(m + 5)m(m + 2)−

= (m 3)(m + 2)

− × m(m + 2)(m 3)(m + 5)−

= mm + 5

26. Jawaban: d2

2

35p2q

+ 3

211pq

q

= 6

6125p

8q +

2 2

6121p q

q

= 2 26

6

q125p + 968pq8


27. Jawaban: b4

2x 1

2 2x−

− =

2 2

2(x 1)(x 1)

2(x 1)− +

− − = –

2x + 12

28. Jawaban: a2p2

+ 1

p 1− =

2 pp

2p 1

+

− = 2

2 pp(p 1)

+−

29. Jawaban: aLpersegi 1 = (3x – 4)2 = 9x2 – 24x + 16Lpersegi 2 = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9

Selisih luas kedua persegi= (9x2 – 24x + 16) – (4x2 + 12x + 9)= 9x2 – 4x2 – 24x – 12x + 16 – 9= (5x2 – 36x + 7) cm2

30. Jawaban: dLuas = p × ⇒ 2x2 + 2x – 12 = (2x – 4)

⇔ = 22x 2x 122x 4+ −

−

= 2 2(x x 6)

2+ −

(x 2)−

= ( x 2− )(x 3)

x 2

+−

= x + 3Jadi, lebar lapangan tersebut (x + 3) m.

B. Uraian1. a. 8k + 7m – 3km – 14k + 6km

= 8k – 14k – 3km + 6km + 7m= (8 – 14)k – (3 – 6)km + 7m= –6k + 3km + 7mBanyak suku = 3.

b. 10x3 – 5x3y2 – 4x3 + 15y2 + 8x2y3 – 17y2

= 10x3 – 4x3 + 15y2 – 17y2 – 5x3y2 + 8x2y3

= (10 – 4)x3 + (15 – 17)y2 – 5x3y2 + 8x2y3

= 6x3 – 2y2 – 5x3y2 + 8x2y3

Banyak suku = 4.c. a(a + 3b) + 2a(4a + 5b)

= a2 + 3ab + 8a2 + 10ab= a2 + 8a2 + 3ab + 10ab= 9a2 + 13abBanyak suku = 2.

d. 3(5x + 4y – 8) – 4(3x + 5y – 7)= 15x + 12y – 24 – 12x – 20y + 28= 15x – 12x + 12y – 20y – 24 + 28= 3x – 8y + 4Banyak suku = 3.

2. a. 3x(2x2 + 4xy) – 21xy2 = 6x3 + 12x2y – 21xy2

b. (6xy – 9y)(4xy + 3y)= 24x2y2 – 36xy2 + 18xy2 – 27y2

= 24x2y2 – 18xy2 – 27y2

c. 8a3b2c5 × (15a5b7c3 : 5a2b3c3)

= 8a3b2c5 × 5 7 3

2 3 315a b c5a b c

= 8a3b2c5 × 3a3b4 = 24a6b6c5

d. (2x – 3)3

= (2x)3 + 3(2x)2(–3) + 3(2x)(–3)2 + (–3)3

= 8x3 – 18x2 + 54x – 27

3. a. 11a2b3c + 6a2b2 – 8a3c2

= a2(11b3c + 6b2 – 8ac2)

b. 81(2x + 3y)2 – (2x + 3y)= (2x + 3y)(81(2x + 3y) – 1)= (2x + 3y)(162x + 243y – 1)

c. 4x2 – 9 = (2x)2 – 32

= (2x + 3)(2x – 3)

d. (a – 2b)2 – b2 = (a – 2b + b)(a – 2b – b)= (a – b)(a – 3b)

4. a. x2 + 2x – 15 = x2 + (–5 + 3)x + (–5)(3)= (x – 5)(x + 3)

b. a2 – 6ab + 8b2

= a2 + (–4b – 2b)a + (–4b)(–2b)= (a – 4b)(a – 2b)

c. 30 – 7x – x2 = (3)(10) – 10x + 3x – x2

= 10(3 – x) + x(3 – x)= (10 + x)(3 – x)

d. 10y2 – 43y + 12 = (10y 40)(10y 3)

10− −

= 10(y 4)(10y 3)

10− −

= (y – 4)(10y – 3)

5. a. x2 – 6x + 9 = x2 – 2(x)(3) + 32

= (x – 3)2

2x 6x 9− + = 2(x 3)− = x – 3

b. 4a2 + 4a + 1 = (2a)2 + 2(2a)(1) + 12

= (2a + 1)2

24a 4a 1+ + = 2(2a 1)+ = 2a + 1

c. p2 + 10pq + 25q2 = p2 + 2(p)(5q) + (5q)2

= (p + 5q)2

2 2p 10pq 25q+ + = 2(p 5q)+ = p + 5q

d. 9x2 – 12xy + 4y2 = (3x)2 – 2(3x)(2y) + (2y)2

= (3x – 2y)2

2 29x 12xy 4y− + = 2(3x 2y)−

= 3x – 2y


6. a.2

2x x 2

x 4+ −

− = (x 2)(x 1)

(x 2)(x 2)+ −+ −

= x 1x 2

−−

b.2

2 24a 12ab

a 6ab 9b+

+ + = 2

4a(a 3b)(a 3b)

++

= 4aa 3b+

7. a. 2y + 4y 9−

+ 2y + 3

= y 4(y 3)(y 3)

+− +

+ 2y + 3

= y 4 2(y 3)(y 3)(y 3)+ + −

− +

= y 4 2y 6(y 3)(y 3)

+ + −− +

= 23y 2y 9

−−

b. 22p 3

p 3p 4−

− − – 1

p 1+= 2p 3

(p 4)(p 1)−

− + – 1

p 1+

= 2p 3 (p 4)(p 4)(p 1)

− − −− +

= p 1(p 4)(p 1)

+− +

= 1p 4−

8. a. 220

a 3a− × a

5 = 20a

5a(a 3)− = 4

a 3−

b. 4x 204x+ :

2

2x 3x 10

x+ −

= 4x 204x+ ×

2

2x

x 3x 10+ −

= 24x (x 5)

4x(x 5)(x 2)+

+ −

= xx 2−

9. pA = pB = 2x + 3

Misal: kuadrat panjang diagonal B = bkuadrat panjang diagonal A = a

Maka b = pB2 + B

2

5x2 + 18x + 18 = (2x + 3)2 + B2

⇔ B2 = 5x2 + 18x + 18 – (2x + 3)2

= 5x2 + 18x + 18 – 4x2 – 12x – 9= x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

⇔ B = x + 3

LA = 2LB ⇒ pA A = 2pB B⇔ pB A = 2pB B⇔ A = 2 B = 2(x + 3)

a = pA2 + A

2

= (2x + 3)2 + (2(x + 3))2

= 4x2 + 12x + 9 + 4(x2 + 6x + 9)= 4x2 + 12x + 9 + 4x2 + 24x + 36= 4x2 + 4x2 + 12x + 24x + 9 + 36= 8x2 + 36x + 45

Jadi, kuadrat panjang diagonal A adalah8x2 + 36x + 45.

10. L = 12 × d1 × d2

⇔ d2 = 1

2Ld

= 22(x x 12)x 3− −

+

= 2(x 4)(x 3)x 3

− ++

= 2(x – 4)= 2x – 8

Jadi, panjang diagonal yang lain dari belah ketupattersebut (2x – 8) cm.

Bab II Relasi dan Fungsi

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: b1 dua kurangnya dari 32 dua kurangnya dari 43 dua kurangnya dari 5Jadi, relasi yang tepat dari himpunan A kehimpunan B adalah dua kurangnya dari.

2. Jawaban: d1 akar kuadrat dari 12 akar kuadrat dari 43 akar kuadrat dari 94 akar kuadrat dari 16Jadi, relasi yang tepat akar kuadrat dari.

3. Jawaban: aDiagram panah:

Himpunan pasangan berurutannya:{(5, 3), (7, 3), (7, 5), (9, 3), (9, 5), (9, 7)}

4. Jawaban: c1 faktor dari 2 2 faktor dari 41 faktor dari 4 2 faktor dari 61 faktor dari 6 3 faktor dari 62 faktor dari 2

P lebih dari→→→→→

3579

3579

P


Diagram Cartesius:

5. Jawaban: cFungsi adalah relasi khusus yang mengawankansetiap anggota domain dengan tepat satu anggotakodomain. Pilihan a dan d bukan fungsi, karenaada anggota domain yaitu 4 yang tidak mempunyaikawan. Pilihan b bukan fungsi karena ada anggotadomain yaitu 3 dan 5 yang mempunyai dua kawan.Jadi, yang merupakan fungsi adalah pilihan c.

6. Jawaban: bPada diagram Cartesius, sumbu mendatar sebagaidomain dan sumbu tegak sebagai kodomain.Pada (i) dan (ii), elemen-elemen domain (sumbudatar) mempunyai tepat satu kawan denganelemen-elemen kodomain (sumbu tegak).Jadi, diagram (i) dan (ii) merupakan fungsi.

7. Jawaban: cPada himpunan pasangan berurutan, bilanganpertama merupakan anggota domain danbilangan kedua merupakan anggota range.Jadi, domainnya {–3, –1, 1, 3, 5}.

8. Jawaban: dRange dari pemetaan yang ditunjukkan oleh dia-gram Cartesius merupakan himpunan ordinat titik-titik pada bidang Cartesius. Himpunan titik-titikpada bidang Cartesius di atas = {(0, 2), (1, 2),(2, 1), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 1)}. Ordinat titik-titiknya 1, 2, dan 3.Jadi, range = {1, 2, 3}.

9. Jawaban: an(P) = 3n(Q) = 4Banyak pemetaan dari P ke Q= n(Q)n(P) = 43 = 64

10. Jawaban: cA = {1, 3, 5, 7, 9} ⇒ n(A) = 5B = {1, 2, 5, 10} ⇒ n(B) = 4Banyak fungsi dari B ke A= n(A)n(B) = 54 = 625

11. Jawaban: bFungsi A ke B merupakan korespondensi satu-satu jika:1) n(A) = n(B);2) setiap anggota A mempunyai tepat satu

kawan di B;3) setiap anggota B mempunyai tepat satu

kawan di A.(ii) bukan korespondensi satu-satu karena d ∈ Qmempunyai dua kawan di P dan b ∈ P mempunyaidua kawan di q.(iii) bukan korespondensi satu-satu karena f ∈ Qmempunyai dua kawan di P.Jadi, diagram panah (i) dari (iv) merupakankorespondensi satu-satu.

12. Jawaban: aA = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ⇒ n(A) = 6B = {–2, –1, 0, 1, 2} ⇒ n(B) = 5C = {1, 2, 3, 4, 6, 12} ⇒ n(C) = 6D = {5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} ⇒ n(D) = 7Dua himpunan dapat berkorespondensi satu-satujika jumlah anggota kedua himpunan sama. Olehkarena n(A) = n(C) = 6 maka himpunan A danhimpunan C dapat berkorespondensi satu-satu.

13. Jawaban: aPilihan b, c, dan d bukan merupakankorespondensi satu-satu karena banyak anggotadomain (bilangan I) tidak sama dengan banyakanggota range (bilangan II).

14. Jawaban: b

Jadi, anak yang memiliki buku Kimia dan Fisikaadalah Joko.

15. Jawaban: cKeterangan tersebut dapat digambar dalamdiagram panah berikut.

Terlihat bahwa anak yang menyukai olahraga tenisyaitu Bob dan Rudi.

Q

P

6

4

2

1 2 3

Dedi

Joko

Roni

Fisika

Kimia

Biologi

A B

sepak bolaJim

Tom

Bobrenang

Ruditenis

A B


B. Uraian1. a. Bukan pemetaan, karena terdapat anggota

domain yang mempunyai kawan lebih darisatu di kodomain yaitu z.

b. Pemetaan.c. Bukan pemetaan, karena terdapat anggota

domain yang tak punya kawan di kodomain,yaitu 4.

d. Pemetaan.e. Bukan pemetaan, karena terdapat anggota

domain (bilangan pertama) yang mempunyaipasangan lebih dari satu di kodomain(bilangan kedua), yaitu (5, h) dan (5, f).

f. Pemetaan.g. Bukan pemetaan, karena terdapat anggota

himpunan nama mempunyai jabatan lebihdari satu, yaitu Deni yang mempunyai jabatankepala gudang sekaligus sebagai kepalapemasaran.

2. a. Banyak pemetaan dari A = {a, b, c} keB = {1, 2} = 23 = 8.

b. Banyak pemetaan dari B = {1, 2} keA = {a, b, c} = 32 = 9.

3. a. Misal M = merah, G = kuning, dan H = hijau.K = {M, G, H}L = {A, B, C}Diagram panah korespondensi satu-satu.

AB

a

b

c

1

2

AB

a

b

c

1

2

AB

a

b

c

1

2

AB

a

b

c

1

2

AB

a

b

c

1

2

AB

a

b

c

1

2

AB

a

b

c

1

2

AB

a

b

c

1

2

AB

a

b

c

1

2

A

a

b

c 2

A

a

b

c 2

B B

1 1

A

a

b

c 2

A

a

b

c 2

B B

1 1

BA

a

b

c

A

a

b

c 2

B

1

2

1

B

1

A

a

b

c 2

A

a

b

c 2

B

1

K

MGH

AB

C

L

K

MGH

AB

C

L

K

MGH

AB

C

L

K

MGH

AB

C

L

K

MGH

AB

C

L

K

MGH

AB

C

L

b. Dari diagram panah yang telah dibuat,terdapat 6 korespondensi satu-satu yangmungkin.Cara lain:

Jika n(A) = n(B) = p maka banyakkorespondensi satu-satu= p × (p – 1) × (p – 2) × . . . × 2


n(K) = n(L) = 3Banyak korespondensi satu-satu= 3 × 2 × 1 = 6

4. a. Belgia beribu kota di BrusselBelanda beribu kota di AmsterdamInggris beribu kota di LondonItali beribu kota di RomaPortugal beribu kota di LisabonJadi, pemetaan yang memasangkan setiapanggota A ke B adalah beribu kota di.

b. Domain = {Belgia, Belanda, Inggris,Itali, Portugal}

Kodomain = {Amsterdam, Brussel, Kopenhagen,London, Lisabon, Roma, Paris}

Range = {Amsterdam, Brussel, London,Roma, Lisabon}

c. Himpunan pasangan berurutan= {(Belgia, Brussel), (Belanda, Amsterdam),

(Inggris, London), (Itali, Roma),(Portugal, Lisabon)}

Diagram panah:

5. a.

b. Badu dan Vivi selama seminggu berlatih ber-sama hanya sekali, yaitu pada hari Sabtu.

c. Mereka berempat tidak pernah berlatih padahari yang sama.

d. Pemain yang berlatih pada hari Sabtu yaituAdi, Badu, dan Vivi.

Senin

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

Sabtu

Minggu

Adi

Nani

Badu

Vivi

A B→→→→→berlatih pada hari

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: bDari diagram di atas tampak bahwa oleh fungsi f,4 di A dipetakan ke 3 di B. Jadi, nilai f(4) = 3.

2. Jawaban: dRumus fungsi:f(x) = –2x + 5f(–4) = –2(–4) + 5 = 8 + 5 = 13Jadi, nilai f(–4) = 13.

3. Jawaban: cFungsi: f: x → x2 – 1Rumus fungsi: f(x) = x2 – 1f(8) = 82 – 1 = 63f(5) = 52 – 1 = 24Nilai f(8) – f(5) = 63 – 24 = 39.

4. Jawaban: bf(x) = 9 – 3xf(p) = 15⇒ 9 – 3p = 15⇔ –3p = 15 – 9⇔ –3p = 6

⇔ p = 63− = –2

Jadi, nilai p = –2.

5. Jawaban: cf(x) = ax + 3f(1) = 2 ⇒ a · 1 + 3 = 2

⇔ a = 2 – 3⇔ a = –1

Diperoleh f(x) = –x + 3f(4) = –4 + 3 = –1

6. Jawaban: a–1 → (–1)2 + 1 = 20 → 02 + 1 = 11 → 12 + 1 = 22 → 22 + 1 = 53 → 32 + 1 = 10x → x2 + 1Jadi, rumus f(x) yang mungkin f(x) = x2 + 1.

7. Jawaban: aDomain fungsi f(x) = 2x – 1 adalah {x | 0 ≤ x ≤ 3,x ∈ R}.Untuk x = 0 ⇒ f(0) = 2 · 0 – 1 = –1 diperolehkoordinat titik (0, –1).Untuk x = 3 ⇒ f(3) = 2 · 3 – 1 = 5 diperolehkoordinat titik (3, 5).

AmsterdamBrusselKopenhagenLondonLisabonRomaParis

A

BelgiaBelanda

InggrisItali

Portugal

B→→→→→beribu kota di


Garis yang melalui titik (0, –1) dan (3, 5) adalahpilihan a dan d, sedangkan garis yang domainnya0 ≤ x ≤ 3 adalah pilihan a. Jadi, grafik yang sesuaiadalah pilihan a.

8. Jawaban: bGrafik a, c, dan d bukan merupakan grafik fungsi(pemetaan) karena ada nilai x yang mempunyaidua kawan (peta) di Y.Grafik b merupakan grafik fungsi karena setiapanggota X mempunyai tepat satu kawan di Y.

9. Jawaban: cPeluru jatuh ke tanah berarti y = 0, ini sama artinyamenentukan t sehingga y = f(t) = 0.t = 7 ⇒ f(7) = 54(7) – 6(7)2

= 378 – 294 = 84t = 8 ⇒ f(8) = 54(8) – 6(8)2

= 432 – 384 = 48t = 9 ⇒ f(9) = 54(9) – 6(9)2

= 486 – 486 = 0t = 10 ⇒ f(10) = 54(10) – 6(10)2

= 540 – 600 = –60Jadi, pada detik ke-9 peluru tersebut jatuh ketanah.

10. Jawaban: d

Misal f(n) = n(n + 1)2

, n ∈ bilangan asli.

n = 1 → f(1) = 1(1+ 1)

2 = 1

n = 2 → f(2) = 2(2 + 1)

2 = 3

n = 3 → f(3) = 3(3 + 1)

2 = 6

n = 4 → f(4) = 4(4 + 1)

2 = 10

n = 13 → f(13) = 13(13 + 1)

2 = 91

n = 14 → f(14) = 14(14 + 1)

2 = 105

Oleh karena f(14) = 105 > 100 maka n = 13. Jadi,banyak bilangan segitiga yang kurang dari 100ada 13.

B. Uraian1. A = {0, 1, 2, 5}

a. f(x) = 3x – 11f(0) = 3(0) – 11 = 0 – 11 = –11f(1) = 3(1) – 11 = 3 – 11 = –8f(2) = 3(2) – 11 = 6 – 11 = –5f(5) = 3(5) – 11 = 15 – 11 = 4Jadi, range = {–11, –8, –5, 4}.

b. f(x) = 2x 1x 1

− ++

f(0) = 2(0) 10 1

− ++

= 11

= 1

f(1) = 2(1) 11 1

− ++

= – 12

f(2) = 2(2) 12 1

− ++

= – 33

= –1

f(5) = 2(5) 15 1

− ++

= – 96

= – 32

Jadi, range = {1, –12 , –1, –

32 }.

c. f(x) = 2x 5x 62x 1

− + −+

f(0) = 20 5(0) 62(0) 1

− + −+

= 61

− = –6

f(1) = 21 5(1) 62(1) 1

− + −+

= – 23

f(2) = 12(2)

65(2)22

+−+− = 0

f(5) = 25 5(5) 62(5) 1

− + −+

= – 611

Jadi, range = {–6, –23 , 0, –

611 }.

2. a. Rumus fungsi:f(x) = ax + bf(0) = 6 ⇒ a(0) + b = 6

⇔ b = 6Diperoleh rumus fungsi sementaraf(x) = ax + 6f(–2) = 16 ⇒ a(–2) + 6 = 16

⇔ –2a + 6 = 16⇔ –2a = 10⇔ a = –5

Jadi, rumus fungsi f(x) = –5x + 6.

b. Domain: {–5, –1, 2, 5, 10}f(–5)= –5(–5) + 6 = 31f(–1)= –5(–1) + 6 = 11f(2) = –5(2) + 6 = –4f(5) = –5(5) + 6 = –19f(10)= –5(10) + 6 = –44Range: {–44, –19, –4, 11, 31}

c. f(x) = –5x + 6f(p) = 56⇒ –5p + 6 = 56

⇔ –5p = 50

⇔ p = 50

5− = –10

Jadi, nilai p yang memenuhi –10.

3. Rumus fungsi: f(x) = 3x – 5a. f(x + 2) = 3(x + 2) – 5

= 3x + 6 – 5= 3x + 1


f(2x – 1) = 3(2x – 1) – 5= 6x – 3 – 5= 6x – 8

f(–x + 5) = 3(–x + 5) – 5= –3x – 15 – 5= –3x – 20

Jadi, f(x + 2) = 3x + 1, f(2x – 1) = 6x – 8, danf(–x + 5) = –3x – 20.

b. f(x) = 3x – 5f(a + 2) = 3(a + 2) – 5

= 3a + 6 – 5= 3a + 1

f(2a – 1) = 3(2a – 1) – 5= 6a – 3 – 5= 6a – 8

f(a + 2) = f(2a – 1)⇒ 3a + 1 = 6a – 8⇔ 3a – 6a = –8 – 1⇔ –3a = –9⇔ a = 3Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 3.

4. a. Fungsi f: x → 2x – 3Rumus fungsi f(x) = 2x – 3Domain: {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}Tabel titik bantu:

Grafik fungsi f(x) = 2x – 3:

b. Fungsi g: x → –12 x + 3

Rumus fungsi g(x) = –12 x + 3

Domain = {x | –2 ≤ x < 7, x ∈ bilangan real}

Tabel titik bantu:

x –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

g(x) = – 12 x + 3 4 7

2 3 52 2 3

2 1 12 0

Grafik fungsi f(x) = –12 x + 3:

c. Fungsi h: x → x2 – 2x – 8Rumus fungsi h(x) = x2 – 2x – 8Domain: {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}Tabel titik bantu:

Grafik:

5. a. Rumus fungsi:s(t) = 2t2 + 3ts(4) = 2 × 42 + 3 × 4 = 44Jadi, jarak yang ditempuh setelah 4 detik44 meter.

Y

X0

54

32

1

–3 –1–2 1 2 3 4 5 6–1–2

Y

X0–5 –4 –3 –2–1 1 2 3 4 5

4321

–1–2–3–4–5–6–7–8–9

–10–11–12–13

x –3 –2 –1 0 1 2 3 4

h(x) = x2 – 2x – 8 7 0 –5 –8 –9 –8 –5 0

Y

X0

87654321

–4 –3 –2–1 1 2 3 4 5–1–2

–3–4–5–6–7–8–9

–10–11–12–13

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

f(x) = 2x – 3 –11 –9 –7 –5 –3 –1 1 3


b. s(8) = 2 × 82 + 3 × 8 = 152Jadi, jarak yang ditempuh setelah 8 detik152 meter.

c. Selisih jarak pada saa t = 5 dan t = 10= s(10) – s(5)= 2 × 102 + 3 × 10 – (2 × 52 + 3 × 5)= 230 – 65= 165 meter

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d–4 dua kali dari –2

–1 dua kali dari –12

2 dua kali dari 16 dua kali dari 3Jadi, relasi dari A ke B yaitu dua kali dari.

2. Jawaban: aFaktor prima dari 9 adalah 3.Faktor prima dari 12 adalah 2 dan 3.Faktor prima dari 18 adalah 2 dan 3.Faktor prima dari 28 adalah 2 dan 7.Diagram Cartesius yang sesuai adalah pilihan a.

3. Jawaban: dRelasi x dua kali dari y:22 dua kali dari 1126 dua kali dari 1330 dua kali dari 1534 dua kali dari 17Himpunan pasangan berurutannya:{(22, 11), (26, 13), (30, 15), (34, 17)}

4. Jawaban: d2 satu kurangnya dari 33 satu kurangnya dari 44 satu kurangnya dari 55 satu kurangnya dari 6Jadi, relasi yang tepat satu kurangnya dari.

5. Jawaban: b

Dari diagram panah di atas terlihat bahwa:1) Nana mengikuti les piano dan renang.2) Vivi mengikuti les piano.

3) Jovita mengikuti les tari dan renang.4) Rahma mengikuti les tari.Jadi, anak yang hanya mengikuti satu les saja Vividan Rahma.

6. Jawaban: dSuatu himpunan pasangan berurutan merupakanfungsi apabila setiap anggota domain dituliskansekali pada setiap pasangan bilangan.Pada (ii), ada anggota domain yang dituliskan(dipasangkan) empat kali yaitu 3.Pada (iii), ada anggota domain yang tidakdituliskan (tidak mempunyai pasangan) yaitu 9.Jadi, yang merupakan fungsi yaitu (i) dan (iv).

7. Jawaban: bSetiap provinsi memiliki tepat satu ibu kota.Jadi, provinsi dan ibu kotanya merupakan pemetaan.

8. Jawaban: cFungsi dinyatakan dalam diagram panah.

Domain = {4, 6, 8}Kodomain = {1, 2, 3, 4, 5}Daerah hasil = range = anggota kodomain yangmempunyai kawan di domain = {1, 3, 5}.

9. Jawaban: bPada himpunan pasangan berurutan {(3, 5), (4, 2),(3, 1), (7, 1), (2, 3)}, ada anggota domain yangmempunyai dua kawan yaitu (3, 5), dan (3, 1). Padafungsi, anggota domain harus mempunyai tepatsatu kawan. Sehingga (3, 5) dan (3, 1) salahsatunya harus dibalik menjadi (3, 5) dan (1, 3) atau(5, 3) dan (3, 1).Jadi, pasangan berurutan yang dibalik (3, 5)menjadi (5, 3).

10. Jawaban: bPada grafik (i) dan (iii), setiap x mempunyai kawany dan hanya satu kawan. Jadi, (i) dan (iii)merupakan fungsi.Pada grafik (ii), untuk suatu x mempunyai kawanlebih dari satu.Pada grafik (iv), terdapat x yang mempunyaikawan lebih dari satu.Jadi, (ii) dan (iv) bukan fungsi.

11. Jawaban: dA = {31, 37, 41, 43}Banyak pemetaan yang mungkin pada A= n(A)n(A) = 44 = 256

Nana

Vivi

Jovita

Rahma

les piano

les tari

les renang

A B→→→→→mengikuti

X Y

468

12345

→→→→→tiga lebihnya dari


12. Jawaban: dQ = {a, b, c, d, e}n(Q) = 5P = {1, 2}n(P) = 2Banyak fungsi dari himpunan Q ke P= n(P)n(Q)

= 25 = 32Jadi, ada 32 fungsi yang mungkin dapat dibuat.

13. Jawaban: dPerhatikan:n(A) = 3 n(A) ≠ n(B)n(B) = 4Oleh karena n(A) ≠ n(B)maka fungsi yang di-tunjukkan dalam dia-gram panah bukantermasuk korespondensisatu-satu.

14. Jawaban: aSuatu fungsi A → B berkorespondensi apabila:1) n(A) = n(B);2) setiap anggota A mempunyai tepat satu

kawan di B;3) setiap anggota B mempunyai tepat satu

kawan di A.Pada pilihan b terdapat anggota B yang mempunyaidua kawan di A yaitu (b, 2) dan (c, 2) sehinggabukan fungsi korespondensi satu-satu.Pada pilihan c terdapat anggota A yang mempunyaidua kawan di b yaitu (b, 2) dan (b, 3) sehinggabukan fungsi korespondensi satu-satu.Pada pilihan d terdapat anggota B yang mempunyaitiga kawan di A yaitu (a, 1), (b, 1), dan (c, 1)sehingga bukan korespondensi satu-satu.

15. Jawaban: dHimpunan pasangan berurutan (x, y) untuk x ∈ Xdan y ∈ Y: {(7, 6), (8, 5), (9, 8), (10, 7)}X = {7, 8, 9, 10} dan Y = {5, 6, 7, 8} ⇒ n(X) = n(Y)Setiap x mempunyai tepat satu kawan y.Setiap y mempunyai tepat satu kawan x.Dengan demikian, pasangan berurutan tersebutmerupakan korespondensi satu-satu.

16. Jawaban: cA = {1, 2, 3, 4} ⇒ n(A) = 4B = {0, 1, 2, 3, 4} ⇒ n(B) = 5C = {–3, –2, –1, 0, 1} ⇒ n(C) = 5D = {2, 3, 5, 7} ⇒ n(D) = 4n(A) = n(D) sehingga himpunan A dan D dapatberkorespondensi satu-satu.n(B) = n(C) sehingga himpunan B dan C dapatberkorespondensi satu-satu.

17. Jawaban: d(i) Setiap negara mempunyai satu bendera

negara. Akan tetapi, ada bendera yang samabentuk dan warnanya dari dua negara.Jadi, negara dengan benderanya tidak dapatberkorespondensi satu-satu.

(ii) Pada umumnya setiap siswa mempunyai satutempat duduk dan setiap tempat duduk hanyaditempati satu siswa.Jadi, siswa dan tempat duduk dapatberkorespondensi satu-satu.

(iii) Setiap siswa mempunyai satu tanggal lahir.Akan tetapi, ada tanggal lahir yang merupakantanggal lahir dari dua atau lebih siswa.Jadi, siswa dengan tanggal lahir tidak dapatberkorespondensi satu-satu.

(iv) Setiap negara mempunyai satu lagukebangsaan dan setiap lagu kebangsaanmerupakan lagu kebangsaan suatu negara.Jadi, negara dengan lagu kebangsaannyadapat berkorespondensi satu-satu.

Jadi, yang dapat berkorespondensi satu-satuadalah (ii) dan (iv).

18. Jawaban: b

Jadi, banyak korespondensi satu-satu yangmungkin ada 6 cara.

19. Jawaban: aDari gambar grafik diperoleh:Untuk x = 3 diperoleh y = –1 → f(3) = –1Jadi, bayangan dari 3 adalah –1.

20. Jawaban: c

f(x) = 12 x +

32

f(4) = 12 (4) +

32 = 2 +

32 =

72

Jadi, bayangan dari 4 adalah 72 .

A B

pqrs

xyz

P Q

abc

abc

P Q

abc

abc

P Q

abc

abc

P Q

abc

abc

P Q

abc

abc

P Q

abc

abc


21. Jawaban: dRumus fungsi:f(x) = 3 – 5xf(–4) = 3 – 5(–4) = 3 + 20 = 23

22. Jawaban: cRumus fungsi: f(x) = ax + 5f(3) = 20 ⇒ 3a + 5 = 20 ⇔ 3a = 15 ⇔ a = 5

23. Jawaban: dh(x) = 3 – x2

h(–3)= 3 – (–3)2 = 3 – 9 = –6h(–1)= 3 – (–1)2 = 3 – 1 = 2h(1) = 3 – 12 = 3 – 1 = 2h(3) = 3 – 32 = 3 – 9 = –6h(5) = 3 – 52 = 3 – 25 = –22Jadi, daerah hasil (range)nya {–22, –6, 2}.

24. Jawaban: df(x) = 2x + 2f(–3) = 2(–3) + 2 = –4f(4) = 2(4) + 2 = 10Oleh karena daerah asalnya berupa bilangan realmaka daerah hasilnya juga bilangan real.Jadi, daerah hasilnya {f(x) | –4 ≤ f(x) ≤ 10, x ∈ R}.

25. Jawaban: bf(x) = 2x + 5f(a) = 7 ⇒ 2a + 5 = 7

⇔ 2a = 7 – 5⇔ 2a = 2

⇔ a = 22 = 1

Jadi, nilai a = 1.

26. Jawaban: af(x) = 2x + nf(2) = 1 ⇒ 2 · 2 + n = 1

⇔ 4 + n = 1⇔ n = –3

Sehingga diperoleh fungsi f(x) = 2x – 3.f(7) – f(4) = (2 · 7 – 3) – (2 · 4 – 3)

= 11 – 5= 6

27. Jawaban: bf(x) = x2 – 2x + cf(2) = 1 ⇒ 22 – 2 · 2 + c = 1

⇔ 4 – 4 + c = 1⇔ c = 1

28. Jawaban: cMisal f(x) = 5 – 2x2

x = –2 ⇒ f(–2) = 5 – 2(–2)2 = –3x = –1 ⇒ f(–1) = 5 – 2(–1)2 = 3x = 4 ⇒ f(4) = 5 – 2(4)2 = –27Jadi, rumus fungsi yang mungkin f(x) = 5 – 2x2.

29. Jawaban: df(x) = 3x2 – 8 ⇒ 100 = 3x2 – 8

⇔ 100 + 8 = 3x2

⇔ x2 = 108

3 = 36

⇔ x = 36 = 6Jadi, 100 adalah bayangan dari 6.

30. Jawaban: ah(x) = –x2 + 4x – 1h(–2) = –(–2)2 + 4(–2) – 1 = –13 ⇒ (–2, –13)h(–1) = –(–1)2 + 4(–1) – 1 = –6 ⇒ (–1, –6)h(0) = –02 + 4(0) – 1 = –1 ⇒ (0, –1)h(1) = –12 + 4(1) – 1 = 2 ⇒ (1, 2)h(2) = –22 + 4(2) – 1 = 3 ⇒ (2, 3)h(3) = –32 + 4(3) – 1 = 2 ⇒ (3, 2)h(4) = –42 + 4(4) – 1 = –1 ⇒ (4, –1)h(5) = –52 + 4(5) – 1 = –6 ⇒ (5, –6)Grafik fungsi h(x) = –x2 + 4x – 1:

B. Uraian1. a.

b. {(1, 8), (2, 9), (3, 8), (4, 9)}c. Relasi R suatu pemetaan karena setiap

anggota himpunan S dikawankandengan tepat satu anggota himpunan T.

2. a. Diagram panah:

Y

0

32

–21

–1 1 2 3 4 5–1

–6

–13

X

→→→→→

1

2

3

4

S TR

8

9

ABDina

Alfa

SitaBimaDoniRudi

37383940


b.

c. Himpunan pasangan berurutan:{(Dina, 38), (Alfa, 37), (Sita, 38), (Bima, 40),(Doni 39), (Rudi, 39)}

3. Pemetaan dari A ke B adalah relasi khusus yangmemasangkan setiap anggota A dengan tepatsatu anggota B.a. Bukan pemetaan, karena

ada anggota P yang tidakmempunyai kawan di Q,yaitu 5.

b. Bukan pemetaan, karenaada anggota A yangmempunyai kawan di Blebih dari satu, yaitu m.

c. Pemetaan, karena setiapanggota M mempunyaitepat satu kawan di N.

d. Pemetaan, karena setiap anggota M mem-punyai tepat satu kawan di N.

e. Bukan pemetaan, karena terdapat anggotaP yang mempunyai kawan di R lebih dari satu,yaitu Joko.

f. Bukan pemetaan, karena terdapat anggotaA yang yang tidak mempunyai kawan di B,yaitu Zenith.

g. Pemetaan, karena setiap elemen padasumbu mendatar (domain) mempunyai tepatsatu kawan di sumbu tegak.

4. Rumus fungsi:f(x) = 2(x + 1)2 – 3f(–3) = 2(–3 + 1)2 – 3 = 5 ⇒ (–3, 5)f(–2) = 2(–2 + 1)2 – 3 = –1 ⇒ (–2, –1)f(–1) = 2(–1 + 1)2 – 3 = –3 ⇒ (–1, –3)f(0) = 2(0 + 1)2 – 3 = –1 ⇒ (0, –1)f(1) = 2(1 + 1)2 – 3 = 5 ⇒ (1, 5)f(2) = 2(2 + 1)2 – 3 = 15 ⇒ (2, 15)f(3) = 2(3 + 1)2 – 3 = 29 ⇒ (3, 29)

A

B

40

39

38

37

Dina Alfa Sita Bima Doni Rudi

v

x

yz

a

b

cd

M N

m

n

o

5

8

9

10

A B

5

6

7

8

a

b

c

P Q

a. Daerah hasil fungsi f = {–3, –1, 5, 15, 29}b. Grafik fungsi f:

c. Misal:Domain: P = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} ⇒ n(P) = 7Daerah hasil: Q = {–3, –1, 5, 15, 29} ⇒ n(Q) = 5Oleh karena n(P) ≠ n(Q) maka fungsi tersebutbukan merupakan fungsi satu-satu.

5. a. A = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat,Sabtu, Minggu}

n(A) = 7B = {2, 3, 5, 7, 11} ⇒ n(B) = 5n(A) ≠ n(B)Oleh karena n(A) ≠ n(B) maka himpunan Atidak dapat berkorespondensi satu-satudengan himpunan B.

b. C = {a, e, i, o, u}D = {Jakarta, Bandung, Surabaya, Yogyakarta,

Semarang}n(C) = n(D) = 5Oleh karena n(C) = n(D) maka himpunan Cdapat berkorespondensi satu-satu denganhimpunan D.

c. E = {Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni,Juli, Agustus, September, Oktober,November, Desember}

n(E) = 12F = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat,

Sabtu, Minggu}n(F) = 7Oleh karena n(E) ≠ n(F) maka himpunan Etidak dapat berkorespondensi satu-satudengan himpunan F.

d. G = {2, 4, 6, 8} ⇒ n(G) = 4H = {2, 3, 5, 7} ⇒ n(H) = 4n(H) = n(D) = 5Oleh karena n(G) = n(H) maka himpunan Gdapat berkorespondensi satu-satu denganhimpunan H.

Y

X0

29

15

5

–3–2

–1 1 2 3–1

–3


6. a. f(x) = 4x + 1f(a) = 25 ⇒ 4a + 1 = 25

⇔ 4a = 25 – 1

⇔ a = 244 = 6

Jadi, nilai a yang memenuhi 6.

b. g(x) = 10 – 3x, g(a) = 16g(a) = 16 ⇒10 – 3a = 16

⇔ –3a = 16 – 10⇔ –3a = 6

⇔ a= 63− = –2

Jadi, nilai a yang memenuhi –2.

c. h(x) = 2x 1

x+

, h(a) = 73

h(a) = 73 ⇒ 2a 1

a+

= 73

⇔ 3(2a + 1) = 7a⇔ 6a + 3 = 7a⇔ –a = –3⇔ a = 3

Jadi, nilai a yang memenuhi 3.

7. K = {x | x < 5, x ∈ bilangan cacah}= {0, 1, 2, 3, 4}

n(K) = 5L = {x | –4 < x < 2, x ∈ bilangan bulat}

= {–3, –2, –1, 0, 1}n(L) = 5M = {x | x ≤ 3, x ∈ bilangan asli}

= {1, 2, 3}n(M) = 3a. Banyak pemetaan dari himpunan K ke

himpunan M = n(M)n(K) = 35 = 243b. Banyak pemetaan dari himpunan M ke

himpunan K = n(K)n(M) = 53 = 125c. Banyak pemetaan dari himpunan M ke

himpunan L = n(L)n(M) = 55 = 3.125

8. a. Pemetaannya:

9. Misal: panjang = xlebar = x – 6

a. Keliling persegi panjang:K(x) = 2 × (panjang + lebar)

= 2 × (x + x – 6)= 2 × (2x – 6)= 4x – 12 (terbukti)

Jadi, keliling persegi panjang K(x) = 4x – 12.b. Luas persegi panjang:

L(x) = panjang × lebar= x(x – 6)= x2 – 6x (terbukti)

Jadi, luas persegi panjang L(x) = x2 – 6x.c. Rumus fungsi:

K(x) = 4x – 12 dan L(x) = x2 – 6x1) Untuk x = 7

K(7) = 4(7) – 12 = 16 cmL(7) = 72 – 6(7) = 7 cm2

Jadi, untuk x = 7 kelilingnya 16 cm danluasnya 7 cm2.

2) Untuk x = 8K(8) = 4(8) – 12 = 20 cmL(8) = 82 – 6(8) = 16 cm2


3) Untuk x = 10K(10) = 4(10) – 12 = 28 cmL(10) = 102 – 6(10) = 40 cm2


10. a. Rumus fungsi:s(t) = 10t – 5t2Untuk t = 2 ⇒ s(2) = 100(2) – 5(2)2

= 200 – 20= 180 m

Jadi, jarak yang ditempuh pesawat 180 m.b. Untuk t = 10 ⇒ s(10) = 100(10) – 5(10)2

= 1.000 – 500= 500 m

Jadi, pesawat menempuh jarak 500 m daritempat pendaratan.

C → PF → AG → SJ → UO → KQ → NV → M

W→ HX → DY → TZ → E4 → R5 → LB → I

b. GBFCOFQ F4YB5Z4B berarti SIAPKANARTILERI.

Bab III Persamaan Garis Lurus

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: cGaris y = 2x digeser ke kanan 6 satuan makapersamaan garis menjadi:y = 2(x – 6) ⇔ y = 2x – 12


Garis y = 2x – 12 memotong sumbu X maka y = 0,sehingga diperoleh:0 = 2x – 12 ⇔ 2x = 12

⇔ x = 6Jadi, garis y = 2x – 12 memotong sumbu X di titik(6, 0).

2. Jawaban: aGaris memotong sumbu X berarti nilai y = 0,sehingga diperoleh:(i) y = 2x – 3 ⇒ 0 = 2x – 3

⇔ x = 32

Jadi, garis y = 2x – 3 memotong sumbu X di

titik (32 , 0).

(ii) 4y + 2x = 6 ⇒ 4(0) + 2x = 6⇔ 2x = 6⇔ x = 3

Jadi, garis 4y + 2x = 6 memotong sumbu X dititik (3, 0).

(iii)12 y + 3x – 7 = 0 ⇒ 0 + 3x – 7 = 0

⇔ x = 73

Jadi, garis 12 y + 3x – 7 = 0 memotong

sumbu X di titik (73 , 0).

3. Jawaban: cTabel dari persamaan x + 2y – 2 = 0

Jadi, x + 2y – 2 = 0 melewati (0,1) dan (2, 0).

Tabel dari persamaan 2y – 4x + 8 = 0.Jadi, 2y – 4x + 8 = 0 melewati(0, –4) dan (2, 0).

Disimpulkan bahwa titik yang dilewati garis-garistersebut (2, 0).

4. Jawaban: aSubstitusikan (1, 2) ke persamaan I, II, III, dan IV.Diperoleh:I. y = –2x + 4

⇔ 2 = –2 × 1 + 4⇔ 2 = 2 (benar)

II. y = –5x + 7⇔ 2 = –5 × 1 + 7⇔ 2 = 2 (benar)

III. y = 12 x –

32

⇔ 2 = 12 × 1 –

32

⇔ 2 = –1 (salah)

IV. 3y – x = 7⇔ 3 × 2 – 1 = 7⇔ 5 = 7 (salah)

Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 1)adalah persamaan I dan II.

5. Jawaban: aPerhatikan pilihan jawabanyang ada. Buatlah tabeluntuk mengetahui titik yang

dilalui garis y = –53 x.

Jadi, garis y = –53 x melalui titik (0, 0) dan (–3, 5).

Gambar grafik yang melalui (0, 0) dan (–3, 5) adalahgambar pada pilihan a.

6. Jawaban: bTabel grafik y = 3x + 6 yaitu:

Hubungkan titik (0, 6) dan (–2, 0) sehinggadiperoleh grafik berikut.

7. Jawaban: d

Buat tabel untuk y = 23 x – 2

Garis y = 23 x – 2 melalui titik (0, –2) dan (3, 0).

Grafik yang sesuai adalah grafik pada pilihan d.

8. Jawaban: aBuat tabel untuk 3x – 2y + 6 = 0.

Grafik 3x – 2y + 6 = 0 melalui titik (0, 3) dan (–2, 0).Grafik yang sesuai adalah pada pilihan a.

x 0 2

y 1 0

x 0 2

y –4 0

x

0

–3

y

0

5

(x, y)

(0, 0)

(–3, 5)

Y

X

6

–2 0

x

0

–2

y

6

0

(x, y)

(0, 6)

(–2, 0)

x

0

3

y

–2

0

(x, y)

(0, –2)

(3, 0)

x

0

–2

y

3

0

(x, y)

(0, 3)

(–2, 0)


9. Jawaban: cTabel grafik 2x – y = 3 yaitu:

Hubungkan titik (0, –3) dan (2, 1) sehinggadiperoleh grafik berikut.

Jadi, grafik garis dengan persamaan tersebutadalah pilihan c.

10. Jawaban: cPersamaan garis mula-mula y = x + 1.Oleh karena digeser ke bawah 3 satuan,persamaan menjadi:y = (x + 1) – 3⇔ y = x – 2Jadi, persamaan garis setelah digeser yaituy = x – 2.

11. Jawaban: d

Persamaan grafik: y = 34 x – 3.

Grafik (garis) digeser 4 satuan ke kanan makapersamaan garis baru:

y = 34 (x – 4) – 3 ⇔ y =

34 x – 3 – 3 ⇔ y =

34 x – 6

12. Jawaban: bI. Garis a melalui (0, 0) dan (1, 2) maka per-

samaan garisnya y = 2x.II. Garis b melalui (0, 0) dan (1, 3) maka per-

samaan garisnya y = 3x.III. Garis c melalui (0, 0) dan (–3, 2) maka per-

samaan garisnya y = –23 x.

IV. Garis d melalui (0, 0) dan (–2, 1) maka per-

samaan garisnya y = –12 x.

Jadi, pernyataan yang benar I dan III.

13. Jawaban: cPersamaan garis 3x – 11y + 7 = 0.Ujikan x = 6, x = –4, dan x = 5.Untuk x = 6 ⇒ 3(6) – 11y + 7 = 0

⇔ 18 + 7 – 11y = 0

⇔ y = 2511

Untuk x = –4 ⇒ 3(–4) – 11y + 7 = 0⇔ –12 – 11y + 7 = 0⇔ –11y = 5

⇔ y = –511

Untuk x = 5 ⇒ 3(5) – 11y + 7 = 0⇔ 15 – 11y + 7 = 0⇔ 15 – 11y + 7 = 0⇔ –11y = –22⇔ y = 2

Jadi, titik yang terletak pada garis 3x – 11y + 7 = 0adalah (5, 2).

14. Jawaban: a I. y = 2x – 7

Substitusi (3, –1) ke I:⇒ –1 = 2(3) – 7⇔ –1 = 6 – 7⇔ –1 = –1 (benar)

II. y = 3x – 10Substitusi (3, –1) ke II:⇒ –1 = 3(3) – 10⇔ –1 = 9 – 10⇔ –1 = –1 (benar)

III. y = 5 – 6xSubstitusi (3, –1) ke III:⇒ –1 = 5 – 6(3)⇔ –1 = 5 – 18⇔ –1 = –13 (salah)

Jadi, garis yang melewati titik (3, –1) adalah per-samaan I dan II.

15. Jawaban: aPertambahan waktu ditunjukkan pada sumbu Xdan jumlah bakteri ditunjukkan pada sumbu Y.Perkembangan bakteri digambarkan sebagaigrafik garis lurus. Dari tabel terlihat bahwa semakinbertambahnya waktu, semakin bertambah jumlahbakteri. Dengan kata lain, grafik ini semakin kekanan semakin ke atas.Jadi, gambar yang tepat pada pilihan a.

B. Uraian

1. a. Tabel grafik y = 32 x

Grafik melalui (0, 0) dan (2, 3).

x

0

2

y

–3

1

(x, y)

(0, –3)

(2, 1)

Y

X(2, 1)

(0, –3)

x

0

2

y

0

3

(x, y)

(0, 0)

(2, 3)

3

2X

Y

0


b. Tabel grafik y = 2x – 4

Grafik melalui (0, –4) dan (2, 0).

c. Tabel grafik 5x – 2y – 10 = 05x – 2y – 10 = 0 ⇔ –2y = –5x + 10

⇔ y = 52 x – 5

Grafik melalui (0, –5) dan (2, 0).

2. a. Garis y = 3x + 4 melalui (a, 4) maka:4 = 3 · a + 4 ⇔ 0 = 3 · a

⇔ a = 0Jadi, nilai a = 0.

b. Garis 2y + 3x = 6 melalui (2, b) maka:2 · b + 3 · 2 = 6 ⇔ 2 · b + 6 = 6

⇔ 2b = 0⇔ b = 0

Jadi, nilai b = 0.

3. (i) Titik A(12, a) terletak pada y = 56 x – 5 maka:

a = 56 (12) – 5 ⇔ a = 10 – 5

⇔ a = 5

(ii) Titik B(8, b) terletak pada 34 x + 2y + 12 = 0

maka:34 (8) + 2b + 12 = 0 ⇔ 6 + 2b + 12 = 0

⇔ 2b = –18⇔ b = –9

Jadi, nilai b2 – a2 = (–9)2 – (5)2 = 81 – 25 = 56.

4. Misal: jarak (s) = 100 kmwaktu (t) = 10 jam

Persamaan s = vt ⇒ v = st = 100

10 = 10 sehingga

persamaan grafik fungsi dituliskan s = 10t.Grafik fungsinya:

5. a. Untuk membuat garis dengan persamaanQ = 20 – 4P, terlebih dahulu dibuat tabel:

Jadi, grafiknya:

b. Dengan melihat grafik di atas kita dapatmengetahui bahwa nilai Q tertinggi 20.Jadi, permintaan tertinggi 20 unit.

c. Dengan melihat grafik di atas, kita juga tahubahwa nilai P tertinggi 5.Jadi, harga tertinggi Rp5.000,00.

x

0

2

y

–5

0

(x, y)

(0, –5)

(2, 0)

–4

2 X

Y

0

x

0

2

y

–4

0

(x, y)

(0, –4)

(2, 0)

–5

2 X

Y

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

100

t (jam)

Jara

k (k

m)

s

0 20

5

P

Q

Q

0

20

P

5

0

(Q, P)

(0, 5)

(20, 0)

A. Pilihan Ganda1. Jawaban: b

A (–3, 4p) dan B (9, p)

mAB = B A

B A

y yx x

−−

= p 4p9 + 3

− ⇔ 2 = 3p

12−

⇔ 24 = –3p⇔ p = –8

Jadi, nilai 12 p =

12 (–8) = –4.


2. Jawaban: d

mAB = yx

∆∆ =

24 =

12

mCD = yx

∆∆ =

33 = 1

mEF = yx

∆∆ =

53

mGH= yx

∆∆ =

43

− = –

43

Jadi, pernyataan yang tidak sesuai dengangambar pernyataan d.

3. Jawaban: aGaris tersebut melalui titik (4, 0) dan (0, –4)sehingga gradien garis yaitu:

m = 2 1

2 1

y yx x

−− =

4 00 4

− −− =

44

−− = 1

4. Jawaban: dSemua gambar pada pilihan melalui titik (2, –1)maka langkah selanjutnya mencari gradienmasing-masing gambar.Oleh karena gradiennya bernilai negatif, garismiring ke kiri. Jadi, kemungkinannya pada gambarb dan d.Gambar b melalui titik (–1, 2) dan (2, –1), sehingga

gradiennya = 1 2

2 ( 1)− −− − =

33

− = –

33 = –1.

Gambar d melalui titik (–1, 1) dan (2, –1), sehingga

gradiennya = 1 1

2 ( 1)− −− − =

23

− = –

23 .

Jadi, gambar garis yang melalui titik (2, –1) dan

bergradien –23 adalah gambar d.

5. Jawaban: cGaris k // dan garis k ⊥ p.

mk = 32

Oleh karena garis k // maka m = mk = 32 .

Oleh karena garis k ⊥ p maka:

mk · mp = –1 ⇔ 32 mp = –1 ⇔ mp = –

23

Jadi, gradien garis dan p berturut-turut 32 dan –

23 .

6. Jawaban: bMencari gradien garis k : y + 2x – 4 = 0.y + 2x – 4 = 0 ⇔ y = –2x + 4Nilai koefisien x adalah –2 maka mk = –2.Garis tegak lurus garis k maka:m × mk = –1 ⇔ m × (–2) = –1

⇔ m = 12

Garis melalui titik (n, n + 1) dan (5, 5) maka:

m = 5 (n 1)5 n− +

− =

12 ⇔ 5 n 1

5 n− −

−=

12

⇔ 2(4 – n) = 5 – n⇔ 8 – 2n = 5 – n⇔ n = 3

Jadi, nilai n = 3.

7. Jawaban: dGradien garis h : mh = 1.Garis g // h maka mg = mh = 1.Garis g melalui titik A(p – 1, p) dan B(p, p + 1)maka:

mg = p 1 33 (p 1)

+ −− − = 1 ⇔ p 2

4 p−− = 1

⇔ p – 2 = 4 – p⇔ 2p = 6⇔ p = 3

A(p – 1, 3) = A(3 – 1, 3) = (2, 3)B(3, p + 1) = B(3, 3 + 1) = (3, 4)

8. Jawaban: cGaris yang sejajar memiliki gradien sama.Gradien garis yang menghubungkan titik (3, 5) dan(–1, –3) adalah:

m = 5 ( 3)3 ( 1)

− −− −

= 84 = 2

Gradien garis yang menghubungkan dua titikkoordinat:

(4, 6) dan (9, –4) → m = 4 69 4

− −−

= 105

− = –2

(0, 4) dan (2, 2) → m = 2 42 0

−−

= 22

− = –1

(1, 3) dan (5, 11) → m = 11 35 1

−−

= 84

= 2

(3, 1) dan (–5, 5) → m = 5 15 3

−− −

= 48−

= –12

Jadi, garis yang sejajar dengan garis yangmenghubungkan titik (3, 5) dan (–1, –3) adalahgaris yang menghubungkan titik (1, 3) dan (5, 11).

9. Jawaban: bDua garis yang memiliki gradien m1 dan m2 tegaklurus jika m1 × m2 = –1.Gradien garis yang menghubungkan titik (5, 3) dan(–1, 0) adalah:

m = 3 05 ( 1)

−− −

= 36 =

12

Gradien garis yang tegak lurus dengan garis diatas harus mempunyai nilai m = –2.Gradien garis yang menghubungkan dua titikkoordinat:

(–5, –3) dan (–3, –4) → m = 4 ( 3)3 ( 5)

− − −− − −

= –12

(–5, –3) dan (–1, –11) → m = 1 = 8

4−

= –2


(–5, –3) dan (3, 1) → m = 1 ( 3)3 ( 5)

− −− −

= 48 = 1

(–5, –3) dan (3, 13) → m = 13 ( 3)3 ( 5)

− −− −

= 168 = 2

Jadi, garis yang tegak lurus dengan garis yangmenghubungkan titik (5, 3) dan (–1, 0) adalah garisyang menghubungkan titik (–5, –3) dan (–1, –11).

10. Jawaban: bMenentukan gradien garis 2x + 3y – 8 = 0.2x + 3y – 8 = 0 ⇔ 3y = 8 – 2x

⇔ y = 83 –

23 x

Nilai koefisien x adalah –23 , sehingga m = –

23

Karena garis p sejajar garis 2x + 3y – 8 = 0 maka

mp = m = –23 .

11. Jawaban: b P(2, –3) dan Q (0, 5)

mPQ = 5 + 30 2− =

82− = –4

Oleh karena g ⊥ PQ, maka:mg × mPQ = –1 ⇔ mg × (–4) = –1

⇔ mg = 14

12. Jawaban: aA(0, –3) dan B(6, 0)

mAB = 0 36 0

+−

= 12

Oleh karena OQ ⊥ AB maka:

mAB × mOQ = –1 ⇔ 12 × mOQ = –1

⇔ mOQ = –1 × 2 = –2

13. Jawaban: cMencari gradien dari setiap pilihan.I. 2x + y= 7 2x + y= 8

⇔ y = 7 – 2x ⇔ y = 8 – 2xm1 = –2 m2 = –2Oleh karena m1 = m2 = –2 maka kedua garissejajar.

II. 2x + y = 9 x + 2y = 10

⇔ y = 9 – 2x ⇔ y = –12 x + 5

m1 = –2 m2 = –12

Oleh karena m1 × m2 ≠ –1 maka kedua garistidak tegak lurus.

III. 3x + 4y = 9 4x – 3y = 2

⇔ y = –34 x +

94 ⇔ y =

43 x –

23

m1 = –34 m2 =

43

Oleh karena m1 × m2 = –34 ×

43 = –1 maka

kedua garis tegak lurus.

Jadi, pasangan garis yang saling tegak lurus3x + 4y = 9 dengan 4x – 3y = 2.

14. Jawaban: dMenentukan gradien garis 2x – 4y = 3.2x – 4y = 3 ⇔ 4y = 2x – 3

⇔ y = 12 x –

34

Nilai koefisien x adalah 12 maka m =

12 .

Garis AB sejajar garis 2x – 4y = 3 maka

mAB = m1 = 12 .

mAB = 8 (p 4)p 10− +

−⇒ 1

2 = 4 p

p 10−

−⇔ p – 10 = 8 – 2p⇔ 3p = 18⇔ p = 6

Jadi, koordinat titik A(10, p + 4) = A(10, 10).

15. Jawaban: a

Gradien garis y = 54 x + 3 adalah

54 .

Gradien garis yang tegak lurus garis y = 54 x + 3

adalah –45 .

Gradien garis yang melalui titik:

(i) (1, –1) dan (–4, 3) → m = 3 ( 1)4 1− −

− − = –

45

(ii) (–2, 3) dan (–4, –3) → m = 3 34 ( 2)− −

− − − =

62

−− = 3

(iii) (1, 1) dan (–4, –3) → m = 3 14 1

− −− −

= 45

−− =

45

(iv) (2, –3) dan (–4, 3) → m = 3 ( 3)4 2− −

− − =

66− = –1

Jadi, garis yang tegak lurus garis y = 54 x + 3

adalah garis yang menghubungkan titik (1, –1) dan(–4, 3).

B. Uraian

1. a. mAB = yx

∆∆

= 4

3−

= –43

b. mBC = yx

∆∆

= 24 =

12

c. mAC = yx

∆∆

= 2

7−

= –27

2. a. A(–5, 6) dan B(7, 4)

mAB = B A

B A

y yx x

−−

= 4 67 5

−+

= 2

12−

= –16


b. KL // AB maka mKL = mAB = –16

c. PQ ⊥ AB ⇒ mPQ × mAB = –1

⇔ mPQ = –AB

1m

= – 16

1

− = 6

3. A(4, b + 3) dan B(–b, 4), AB // gg : 2x – 12y = 5 ⇔ 12y = 2x – 5

⇔ y = 16 x –

512

Gradien garis g : mg = 16 .

Oleh karena AB // g maka mAB = mg = 16 .

mAB = 4 b 3b 4

− −− −

⇒ 16 = 1 b

b 4−

− −

⇔ –b – 4 = 6 – 6b⇔ 5b = 10⇔ b = 2

P(–4a, 2) dan Q(2, 3a), PQ ⊥ hh : 5x + 2y = 3

⇔ 2y = –5x + 3

⇔ y = –52 x +

32

Gradien garis h : mh = –52 .

Oleh karena PQ ⊥ h maka mPQ × mh = –1

mPQ × –52 = –1

⇔ mPQ = 25

mPQ = 3a 22 + 4a

− ⇒ 25

= 3a 22 + 4a

−

⇔ 4 + 8a = 15a – 10⇔ 7a = 14⇔ a = 2

Jadi, nilai (a + b)2 = (2 + 2)2 = 42 = 16.

4. Sketsa dari soal tersebut dapat digambarkanseperti gambar di bawah ini.

BC = 2 2AC AB−

= 2 25 3−= 4 m

Kemiringan (gradien) tangga = BCAB = 4 m

3 m =

43

Jadi, kemiringan (gradien) tangga tersebut 43 .

5. a. Gradien diagonal AC = C A

C A

y yx x

−−

= 5 ( 2)4 ( 2)

− −− −

= 76

b. Gradien diagonal DB = B D

B D

y yx x

−−

= 2 54 ( 2)− −− −

= 76

− = – 76

5 m

3 mA B

C

A. Pilihan Ganda1. Jawaban: a

Garis y = 3x + 8 memotong sumbu X jika nilai y = 0.Diperoleh:0 = 3x + 8

⇔ x = –83

Dengan demikian, y = 3x + 8 memotong sumbu X

di titik (–83 , 0).

Garis y = 3x + 8 memotong sumbu Y jika nilai x = 0.Diperoleh:y = 3(0) + 3

= 0 + 3= 3

Dengan demikian, y = 3x + 8 memotong sumbu Ydi titik (0, 3).

2. Jawaban: aGaris h melalui titik (x1, y1) = (0, –2) dan (x2, y2) = (3, 0)maka persamaan garis h :

1

2 1

y yy y

−−

= 1

2 1

x xx x

−−

⇒y + 20 + 2 =

x 03 0

−−

⇔ 3y + 6 = 2x⇔ 3y = 2x – 6

⇔ y = 23 x – 2

3. Jawaban: bPersamaan garis k dicari dengan dua tahapsebagai berikut.Gradien garis k : m = –2, sehingga diperolehhubungan:

m = –2 = 2 1

2 1

y yx x

−−

⇒ –2 = b 67 4

−−

⇔ –2 = b 63−

⇔ –6 = b – 6⇔ b = 0

Jadi, garis k melalui (4, 6) dan (7, 0).


Persamaan garis k yaitu:y – y1 = m(x – x1)⇔ y – 6 = –2(x – 4) ⇔ y = –2x + 8 + 6

4. Jawaban: aGradien garis h adalah 3, sehingga diperolehhubungan:

m = 3 = 2 1

2 1

y yx x

−−

⇒ 3 = 3 5a 1

−−

⇔ 3(a – 1) = –2⇔ 3a – 3 = –2⇔ 3a = 1

⇔ a = 13

Jadi, garis h melalui (1, 5) dan (13 , 3).

Persamaan garis h yaitu:y – y1 = m(x – x1) ⇔ y – 5 = 3(x – 1)

⇔ y = 3x + 2

Jadi, nilai a = 13 dan persamaan garis h : y = 3x + 2.

5. Jawaban: dPersamaan garis yang dicari tegak lurus dengan

garis bergradien –16 .

m1 × m2 = –1

⇔m1 × 16

− = –1

⇔ m1 = –1 × (–6) = 6Persamaan garis yang melalui (12, 10) danbergradien m1 = 6 yaitu:y – y1 = m1(x – x1)y – 10 = 6(x – 12)⇔ y = 6x – 72 + 10⇔ y = 6x – 62Jadi, persamaan garis tersebut y = 6x – 62.

6. Jawaban: by = –5x + 8 melalui N(a + 5, –7) sehinggadiperoleh:y = –5x + 8⇔ –7 = –5(a + 5) + 8⇔ –7 = –5a – 25 + 8⇔ 5a = –10⇔ a = –2Disimpulkan bahwa y = –5x + 8 melalui titikN(–2 + 5, –7) = N (3, –7).

Garis h bergradien 12 dan melalui titik N(3, –7).

Diperoleh:h: y – y1 = m(x – x1)

⇔ y + 7 = 12 (x – 3)

⇔ y = 12 x –

32 – 7

⇔ y = 12 x –

172

⇔ 2y – x + 17 = 0

7. Jawaban: b5x – 2y + 6 = 0 memotong sumbu X(y = 0):5x – 0 + 6 = 0 ⇔ 5x = –6

⇔ x = – 65

Garis memotong sumbu Y di titik (– 65

, 0).Garis 5x – 2y + 6 = 0 memotong sumbu Y(x = 0):0 – 2y + 6 = 0 ⇔ –2y = –6

⇔ y = 3Garis memotong sumbu Y di titik (0, 3).Jadi, pernyataan yang benar pilihan b.

8. Jawaban: cGaris melalui titik (–4, 7) dan (10, –1).Persamaan garisnya:y 71 7−

− − =

x + 410 + 4 ⇔ y 7

8−

− = x + 414

⇔ 14y – 98 = –8x – 32⇔ 7y – 49 = –4x – 16⇔ 7y + 4x – 33 = 0

Jadi, persamaan garisnya 7y + 4x – 33 = 0.

9. Jawaban : aGaris melalui A(5, –1) dan B(–3, 2).

Persamaan garis AB: y + 12 + 1

= x 53 5

−− −

⇔ y + 13 =

x 58

−−

⇔ –8(y + 1) = 3(x – 5)⇔ –8y – 8 = 3x – 15⇔ 8y = –3x + 7

⇔ y = 18 (–3x + 7)

Jadi, persamaan garisnya y = 18 (–3x + 7).

10. Jawaban: cGaris melalui titik P(0, 3) dan titik Q(4, 0)

Persamaan garis PQ:y 30 3

−− =

x 04 0

−−

⇔ 4(y – 3) = –3x⇔ 4y – 12 = –3x⇔ 4y = –3x + 12

⇔ y = –34 x + 3

Jadi, persamaan garis PQ: y = –34 x + 3.

11. Jawaban: b

y = 17 (–8x – 10) melalui titik P dan Q

Masukkan (x, y) dari pilihan jawaban yang ada.

(x, y) = (2, 3) ⇒ 3 = 17 (–24 – 10)

⇔ 3 = 17 (–34)

⇔ 3 ≠ –347


Titik (2, 3) tidak dilalui garis y = 17 (–8x – 10).

(x, y) = (–3, 2) ⇒ 2 = 17 (–8(–3) – 10)

⇔ 2 = 17 (24 – 10)

⇔ 2 = 17 (14)

⇔ 2 = 2

Titik (–3, 2) dilalui garis y = 17 (–8x – 10).

(x, y) = (4, –6) ⇒ –6 = 17 (–8(4) – 10)

⇔ –6 = 17 (–32 – 10)

⇔ –6 = 17 (–42)

⇔ –6 = –6

Titik (4, –6) dilalui garis y = 17 (–8x – 10).

Oleh karena (–3, 2) dalam pilihan berpasangandengan (4, –6) maka garis melalui titik P(–3, 2)dan Q(4, –6).Titik-titik pada pilihan a, c, dan d tidak dilalui oleh

garis y = 17 (–8x – 10). Cobalah dengan memasuk-

kan nilai (x, y) ke persamaan garis.

12. Jawaban: d

y = –34 (2x + 4) ⇒ y = –

32 x – 3

(i) x = 0 ⇒ y = –32 (0) – 3 = –3

Garis melalui titik (0, –3).

(ii) Gradien garis adalah m = –32 .

(iii) x = 2 ⇒ y = –32 (2) – 3 = –3 – 3 = –6

Garis melalui titik (2, –6).Jadi, pernyataan yang benar pernyataan d.

13. Jawaban: cy = 2x + 21P(a, –27) ⇒ –27 = 2a + 21

⇔ 2a = –27 – 21⇔ 2a = –48⇔ a = –24

14. Jawaban: b

(x, y) = (2, –1) ⇒ I. –1 = 32 × 2 – 4

= 3 – 4= –1 (benar)

(x, y) = (2, –1) ⇒ II. –1 = 18 (2 × 2 – 3)

= 18 × 1

= 18 (salah)

(x, y) = (2, –1) ⇒ III. 2 × –1 = 2 – 4⇔ –2 = –2 (benar)

Jadi, persamaan garis yang melalui titik (2, –1)adalah I dan III.

15. Jawaban: cMisalkan gradien garis 2y + 4x – 4 = 0 adalah m.2y + 4x – 4 = 0 ⇔ 2y = –4x + 4

⇔ y = –2x + 2Oleh karena nilai koefisien x adalah –2 maka m = –2.Misal garis g tegak lurus garis 2y + 4x – 4 = 0 maka:mg × m = –1 ⇒ mg (–2) = –1

⇔ mg = 12

Persamaan garis g yang bergradien mg = 12 dan

melalui titik (x1, y1) = (–2, –4):

y – y1 = mg (x – x1) ⇔ y – (–4) = 12 (x – (–2))

⇔ y + 4 = 12 (x + 2)

⇔ y = 12 x – 3

⇔ 12 x – y – 3 = 0

Persamaan garis ini dapat ditulis dalam bentuksetara sebagai berikut.

(i)12 x – y – 3 = 0 × 16 8x – 16y – 48 = 0

(ii)12 x – y – 3 = 0 × 6 3x – 6y – 18 = 0

(iii)12 x – y – 3 = 0 × 4 2x – 4y – 12 = 0

Jadi, persamaan garis II dan III tegak lurus dengangaris 2y + 4x – 4 = 0 dan melalui (–2, –4).

B. Uraian1. Gradien garis p yaitu:

mp = B A

B A

y yx x

−−

= 3 ( 4)

9 12− −

− −

= 721− = –

13

mq = 12 × mp

= –16

Garis q melalui titik C(6, 2) sehingga diperoleh:y – yC = mq(x – xC)

⇔ y – 2 = –16 (x – 6)

⇔ y = –16 x + 3

Jadi, persamaan garis q adalah y = –16 x + 3.


2. a. P(–1, 8) dan Q(3, –2)

Persamaan garis PQ: y 82 8

−− −

= x 13 1

++

⇔ y 810−

− = x 1

4+

⇔ 4y – 32 = –10x – 10⇔ 4y + 10x – 22 = 0⇔ 2y + 5x – 11 = 0

b. K(–2, 0) dan L(0, 2)

Persamaan garis KL: y 02 0

−−

= x 20 2

++

⇔ y2 =

x 22+

⇔ 2y = 2x + 4⇔ 2y – 2x – 4 = 0⇔ y – x – 2 = 0

c. G(4, 1) dan H(–2, 7)

Persamaan garis GH:y 17 1

−− =

x 42 4

−− −

⇔ –6(y – 1) = 6(x – 4)⇔ –6y + 6 = 6x – 24⇔ 6x + 6y – 30 = 0⇔ x + y – 5 = 0

3. Misal persamaan garis: y = mx + c

maka dapat ditulis y = –53 x + c

(x, y) = (–3, 7) ⇒ 7 = –53 (–3) + c

⇔ 7 = 5 + c⇔ c = 2

Diperoleh persamaan garis y = –53 x + 2.

(x, y) = (3, a) ⇒ a = –53 (3) + 2

⇔ a = –5 + 2⇔ a = –3

(x, y) = (b, –8) ⇒ – 8 = –53 b + 2

⇔ 53 b = 10

⇔ b = 6Jadi, (a + b)2 = (–3 + 6)2 = 32 = 9.

4. a. Garis p melalui titik A(1, 1) dan B(8, 2).Persamaan garis p yaitu:

1

2 1

y yy y

−− = 1

2 1

x xx x

−−

⇔ y 12 1

−−

= x 18 1

−−

⇔ y – 1 = x 1

7−

⇔ 7y – 7 = x – 1⇔ 7y – x – 6 = 0

b. Garis q melalui titik B(8, 2) dan C(3, 8).Persamaan garis q yaitu:

1

2 1

y yy y

−− = 1

2 1

x xx x

−−

⇔ y 28 2

−−

= x 83 8

−−

⇔ y 26− =

x 85

−−

⇔ –5y + 10 = 6x – 48⇔ –5y – 6x + 58 = 0⇔ 5y + 6x – 58 = 0

c. Garis r melalui titik C(3, 8) dan A(1, 1).Persamaan garis r yaitu:

1

2 1

y yy y

−− = 1

2 1

x xx x

−−

⇔ y 81 8

−−

= x 31 3

−−

⇔ y 87

−−

= x 3

2−

−⇔ –2y + 16 = –7x + 21⇔ –2y + 7x – 5 = 0⇔ 2y – 7x + 5 = 0

Jadi, persamaan garis p: 7y – x – 6 = 0,q: 5y + 6x – 58 = 0, dan r: 2y – 7x + 5 = 0.

5. Misal: jarak = swaktu = tkecepatan = v

Jarak = kecepatan × waktu

s = v × t ⇔ v = st

Oleh karena jarak sejauh 250 km ditempuh selama10 jam maka kecepatan rata-ratanya:

v = 25010 = 25 km/jam

Untuk t = 1 jam maka s = v × t = 25 × 1 = 25 km.Ilustrasi soal tersebut dapat digambarkan:

Ambil titik (1, 25) dan (10, 250). Titik (10, 250)diperoleh dari soal yaitu jarak dua pantai 250 kmdan ditempuh selama 10 jam.Jadi, persamaan garis yang menyatakanhubungan antara jarak dan waktu adalah:

s 25250 25

−− =

t 110 1

−− ⇔ 9s – 225 = 225t – 225

⇔ 9s = 225t⇔ s = 25t

Jadi, persamaan garisnya s = 25t.

0 10

25

250

t

s

1



Misalkan gradien garis g : x – 2y + 6 = 0 adalah m1.x – 2y + 6 = 0 ⇔ 2y = x + 6

⇔ y = 12 x + 3

Gradien garis g : m1 = 12

Persamaan garis yang akan dicari sejajar dengangaris g : x – 2y + 6 = 0, sehingga gradiennya

m2 = m1 = 12 .

Persamaan garis melalui (1, 2) dengan gradien

m2 = 12 yaitu:

y – y1 = m2(x – x1) ⇔ y – 2 = 12 (x – 1)

⇔ y – 2 = 12 x –

12

⇔ y = 12 x +

32

⇔ x – 2y + 3 = 0

2. Jawaban: d

Persamaan garis bergradien –12 dan melalui

(2, –3) yaitu:

y – y1 = m(x – x1) ⇔y – (–3)= –12 (x – 2)

⇔ y + 3 = –12 x + 1

⇔ y = –12 x – 2

Garis ini melalui titik (a, 5) dan (–1, b) sehinggadiperoleh:

5 = –12 a – 2 ⇔ 7 = –

12 a

⇔ a = –14

b = –12 (–1) – 2 ⇔ b =

12 – 2

⇔ b = –112

Jadi, a + b = –14 + (–112 ) = –15

12 .

3. Jawaban: aMisalkan gradien garis adalah m .2x + 3y = 6 ⇔ 3y = 6 – 2x

⇔ y = 2 – 23 x

Diperoleh gradien garis : m = –23 .

Garis k ⊥ sehingga:

mk × m = –1 ⇔ mk × 23

− = –1

⇔ mk = 32

Persamaan garis k yaitu:

y – y1 = mk(x – x1) ⇔ y – 3 = 32 (x – (–2))

⇔ y – 3 = 32 x + 3

⇔ y = 32 x + 6

⇔ 2y – 3x – 12 = 0

Jadi, persamaan garis k adalah y = 32 x + 6 atau

2y – 3x – 12 = 0.

4. Jawaban: d2x + 5y + 10 = 0 ⇔ 5y = – 2x – 10

⇔ y = – 25 x – 2

Diperoleh gradien garis 2x + 5y + 10 adalah

m1 = –25 .

Gradien garis yang tegak lurus garis 2x + 5y + 10:

m1 × m2 = –1 ⇔ m2 × –25 = –1

⇔ m2 = 52

Persamaan garis yang melalui (–6, –8) dan

bergradien m2 = 52 yaitu:

y – y1 = m2(x – x1) ⇔ y – (–8) = 52 (x – (–6)

⇔ y + 8 = 52 x + 15

⇔ 2y + 16 = 5x + 30

⇔ 2y – 5x – 14 = 0

Jadi, persamaan garis tersebut 2y – 5x – 14 = 0.

5. Jawaban: cMisalkan garis 4x + 6y + 3 = 0 bergradien m1.4x + 6y + 3 = 0 ⇔ 6y = –4x – 3

⇔ y = –46 x –

12

⇔ y = –23 x –

12

Gradiennya: m1 = –23 .

Oleh karena garis k sejajar garis 4x + 6y + 3 = 0

maka gradien garis k : m2 = m1 = –23 .


Persamaan garis k yaitu:y – y1 = m2(x – x1)

⇔ y – 3 = –23 (x – 8)

⇔ y – 3 = –23 x +

163

⇔ y = –23 x +

163 + 3

⇔ y = –23 x +

16 93+

⇔ y = –23 x +

253

⇔ 3y + 2x – 25 = 0

6. Jawaban: c3x + 4y = 8 ⇔ 4y = –3x + 8

⇔ y = – 34 x + 2

Diperoleh gradien garis 3x + 4y = 8 yaitu m1 = –34 .

Gradien garis yang tegak lurus garis 3x + 4y = 8:

m1 × m2 = –1 ⇔ 43

− × m2 = –1

⇔ m2 = 43

Persamaan garis melalui (2, –4) dan bergradien

m2 = 43 :

y – (–4) = m2(x – 2) ⇔ y + 4 = 43 (x – 2)

⇔ 3y + 12 = 4x – 8⇔ 4x – 3y = 20

7. Jawaban: b

Gradien garis : m = yx

∆∆ =

42 = 2

Garis k ⊥ ⇒ mk × m = –1⇔ mk × 2 = –1

⇔ mk = –12

Persamaan garis k yang melalui titik P(0, –4) dan

bergradien mk = –12 :

y – y1 = mk(x – x1) ⇔ y – (–4) = –12 (x – 0)

⇔ y = –12 x – 4

⇔ x + 2y + 8 = 0

8. Jawaban: b

mAB = B A

B A

y yx x

−− = 8 ( 7)

3 2− −

− − =

155− = –3

Misalkan garis h melalui P(–6, 1) dan tegak lurus

garis AB maka mh × mAB = –1 ⇔ mh = AB

1m− =

13 .

Persamaan garis h melalui P(–6, 1) dan

bergradien mh = 13 :

y – y1 = mh(x – x1)

⇔ y – 1 = 13 (x – (–6))

⇔ y = 13 x + 2 + 1

⇔ y = 13 x + 3

9. Jawaban: b–3x + y – 2 = 0⇔ y = 3x + 2Gradien = m1 = 3.Gradien garis yang sejajar dengan –3 + y – 2 = 0adalah m2 = m1 = 3.Persamaan garis yang melalui titik (3, –1) danbergradien m2 = 3:y – y1 = m2(x – x1)⇔ y – (–1) = 3(x – 3)⇔ y + 1 = 3x – 9⇔ 3x – y – 10 = 0

10. Jawaban: c2x + 3y + 6 = 0 ⇔ 3y = –2x – 6

⇔ y = –23 x – 2

Gradien = m1 = –23

Persamaan garis yang sejajar garis 2x + 3y + 6 = 0

adalah m2 = m1 = –23 .

Garis k melalui titik (–2, 5) dan bergradien m2 = –23 ,

sehingga persamaannya:y – y1 = m2(x – x1)

⇔ y – 5 = –23 (x – (–2))

⇔ y – 5 = –23 x –

43

⇔ 3y – 15 = –2x – 4⇔ 3y + 2x – 11 = 0

11. Jawaban: aGradien garis y = 2x + 5 adalah m1 = 2.Oleh karena garis g sejajar maka mg = m1 = 2.Persamaan garis g : y – 2 = 2(x – (–3))

⇔ y = 2x + 6 + 2⇔ y = 2x + 8

Titik potong garis g dengan sumbu Y(x = 0):y = 2(0) + 8 = 0 + 8 = 8

Jadi, titik potongnya (0, 8).


12. Jawaban: bTitik-titik pada garis 3x – 2y = 10

Titik-titik pada garis –6x + y = 4

Kedua garis berpotongan di titik P(–2, –8).Persamaan garis yang melalui titik P dan tegaklurus sumbu X adalah x = –2.

13. Jawaban: aGradien masing-masing garis yaitu:I. 2y = x + 5

⇔ y = 12 x +

52

Gradien = m1 = 12

II. 2y = 6x – 8⇔ y = 3x – 4Gradien = m2 = 3

III. 4y = 2x – 12

⇔ y = 12 x – 3

Gradien = m3 = 12

IV. 2y = –6x + 4⇔ y = –3x + 2Gradien = m4 = –3

Diperoleh: m1 = m3 = 12 .

Jadi, persamaan garis yang saling sejajar yaitupersaman garis I dan persamaan garis III.

14. Jawaban: dGradien masing-masing garis yaitu:I. y = –2x + 4

Gradien = m1 = –2

II. 2y = x – 6

⇔ y = 12 x – 3

Gradien = m2 = 12

III. 2y = –x + 4

⇔ y = –12 x + 2

Gradien = m3 = –12

IV. 2y = –4x – 5

⇔ y = –2x – 52

Gradien = m4 = –2Diperoleh: m1 = m4 = –2.Jadi, persamaan garis yang saling sejajar yaitupersamaan garis I dan IV.

15. Jawaban: d–6x + 3y – 4 = 0 ⇔ 3y = 6x + 4

⇔ y = 2x + 43

I. Gradien garisnya: m = 2II. Memotong sumbu Y (x = 0):

y = 0 + 43 =

43 ⇒ (0,

43 )

III. x = –3 maka y = 2 · (–3) + 43

= –6 + 43 =

18 + 43

−

= 143

− ⇒ (–3, 143

−)

IV. 12 = –2 × – 6–6 = –2 × 38 = –2 × –4

Oleh karena 12, –6, dan 8 berturut-turutmerupakan kelipatan –2 dari –6, 3, dan –4maka kedua garis saling berimpit.Jadi, pernyataan yang benar I, II, dan IV.

B. Uraian1. a. 3y – 4x + 6 = 0 ⇔ 3y = 4x – 6

⇔ y = 43 x – 2

Diperoleh m1 = 43 .

Oleh karena garis g sejajar garis 3y – 4x + 6 = 0

maka m2 = m1 = 43 .

Persamaan garis g adalah:

y – (–6) = m2(x – 3) ⇒ y + 6 = 43 (x – 3)

⇔ y = 43 x – 4 – 6

⇔ y = 43 x – 10

X

Y

P

4

–2 –1 0 4

3x – 2y = 10

1

–2

–5

–8

–6x + y = 4

x 0 4

y –5 1

x 0 –1

y 4 –2


b. 3y – 2x + 3 = 0 ⇔ 3y = 2x – 3

⇔ y = 23 x – 1

Diperoleh m1 = 23

Oleh karena garis h tegak lurus garis 3y – 2x+ 3 = 0 maka:

m1 × m2 = –1 ⇔ m2 = –1

1m = –

32 .

Persamaan garis h adalah:

y – (–2) = m2(x – 3) ⇒ y + 2 = –32 (x – 3)

⇔ y = –32 x +

92 –

42

⇔ y = –32 x +

52

⇔ 2y + 3x – 5 = 0c. Gradien garis k yang melalui titik (–5, 6) dan

(9, –1):

m1 = 1 69 + 5

− − =

714−

= –12

Oleh karena garis tegak lurus garis k maka:

m × m1 = –1 ⇒ –12 m = –1

⇔ m = 2Persamaan garis adalah:y – 4 = m (x + 2) ⇒ y – 4 = 2(x + 2)

⇔ y – 4 = 2x + 4⇔ y = 2x + 4 + 4⇔ y = 2x + 8

2. a. 2y = 3x + 8 ⇔ y = 32 x + 4

Diperoleh m1 = 32

6y = 2x – 12 ⇔ y = 26 x –

126

⇔ y = 13 x – 2

Diperoleh m2 = 13 .

Oleh karena m1 ≠ m2 maka kedua garistersebut saling berpotongan.

b. 8x + 16y – 32 = 0 ⇔ 16y = –8x + 32

⇔ y = –12 x + 2

Diperoleh m1 = –12

3x + 6y = 12 ⇔ 6y = –3x + 12

⇔ y = –12 x + 2


Oleh karena m1 = m2 maka kedua garistersebut saling sejajar.

c. 5x – 2y + 3 = 0 dengan 4y – 10x – 6 = 0Terlihat bahwa:–10 = –2 × 5

4 = –2 × –2–6 = –2 × 3

Oleh karena –10, 4, dan –6 merupakankelipatan –2 dari 5, –2, dan 3 maka keduagaris tersebut saling berimpit.

3. Garis g : ax + by + c = 0.Garis : px + qy + r = 0.Garis g dan garis dikatakan berimpit jika:

ap =

bq =

cr

g1 : (m – 1)x + (m + 1)y + n = 0g2 : 2x + 3y + 10 = 0Garis g1 berimpit dengan garis g2 jika:

m 12−

= m 1

3+

= n

10 ⇔ 3(m – 1) = 2(m + 1)

⇔ 3m – 3 = 2m + 2⇔ m = 5

m 13+

= n

10 ⇒ 5 13+

= n

10

⇔ 63 =

n10

⇔ n = 20

4. Oleh karena PQRS persegi panjang maka S(2, 7).Persamaan garis yang melalui Q(10, 3) danS(2, 7):

Q

S Q

y yy y

−− = Q

S Q

x xx x

−−

y 37 3

−−

= x 102 10

−−

⇔ y 34− =

x 108

−−

⇔ y – 3 = x 10

2−−

⇔ y = –12 x + 5 + 3

⇔ y = –12 x + 8

5. Misal tembok A sebagaisumbu Y dan tanahsebagai sumbu X makadapat digambarkanseperti di samping.

Persamaan garis k : y = 4x . . . (i)

Garis melalui titik (12 ,

12 ) dan (0, 1).

X

Yk

2

1

12

0 12


Y

XO 1 2 3 4 5

–1

–2

–3

–4

Persamaan garis :

12

y 1

1

−−

= 12

x 0

0

−−

⇔ 12

y 1−−

= 12

x

⇔ y – 1 = –x⇔ y = –x + 1 . . . (ii)Perpotongan kedua garis sebagai berikut.Substitusikan (i) ke (ii):4x = –x + 1 ⇔ 5x = 1

⇔ x = 15

Substitusikan x = 15 ke (i):

y = 4x ⇒ y = 4 × 15

= 45

Jadi, jarak pusat rambu-rambu dari tembok A

adalah 15 meter dan tinggi pusat rambu-rambu

dari tanah 45 meter.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: cPersamaan 2x = 4y berbentuk garis lurus, karenaterdiri atas 2 variabel dan pangkat tertinggivariabel-variabelnya satu.

2. Jawaban: cPersamaan garis lurus melalui titik (0, –3) dan(5, 0) sehingga diperoleh:

1

2 1

y yy y

−−

= 1

2 1

x xx x

−−

⇔ y + 30 + 3

= x 05 0

−−

⇔ (y + 3)5 = 3x⇔ 5y – 3x + 15 = 0

3. Jawaban: bGaris melalui titik (–72, 60) dan (–68, 54) sehinggadiperoleh:

m = 2 1

2 1

y yx x

−−

= 54 6068 + 72

−−

= 64−

= –32

4. Jawaban: bh: 2x – y + 6 = 0⇔ y = 2x + 6⇔ mh = 2

g: 5x – 2y + 20 = 0⇔ 2y = 5x + 20

⇔ y = 52 x + 10

⇔ mg = 52

Jadi, pernyataan yang benar adalah mg > mh.

5. Jawaban: c2x – 6y – 9 = 0⇔ 6y = 2x – 9

⇔ y = 13 x –

32

Gradien garis tersebut yaitu 13 .

6. Jawaban: bDari gambar diperoleh titik-titik yang dilalui garis,yaitu A(0, –3) dan B(4, 0). Diperoleh:

A

B A

y yy y

−−

= A

B A

x xx x

−−

⇔ y + 30 + 3 =

x 04 0

−−

⇔ 4y + 12 = 3x⇔ 4y – 3x + 12 = 0

7. Jawaban: bTabel grafik 3x – 4y = 12 sebagai berikut.

x y (x, y)

0 –3 (0, –3)4 0 (4, 0)

Jadi, grafik garisnya adalah pilihan b.

8. Jawaban: ay = 3x – 5 mempunyai gradien m = 3Garis yang sejajar dengan y = 3x – 5 bergradien 3.

9. Jawaban: b

mAB = 4 + 51 3− − =

94− = –

94

Oleh karena AB ⊥ h maka:

mAB × mh = –1 ⇔ mh = –AB

1m

= 94

1−−

= 49


10. Jawaban: bSyarat dua garis sejajar adalah gradiennya sama(m1 = m2).Garis pertama:3x – 2y + 5 = 0 ⇔ 2y = 3x + 5

⇔ y = 32 x +

52

Diperoleh m1 = 32

Garis kedua:ax – 4y + 2 = 0 ⇔ 4y = ax + 2

⇔ y = a4 x +

12

Diperoleh m2 = a4

Kedua garis sejajar maka:

m1 = m2 ⇒ 32 =

a4

⇔ 12 = 2a⇔ a = 6

11. Jawaban: cPersamaan garis melalui pangkal koordinat (0, 0)dan bergradien –3 adalah:y = mx ⇒ y = –3x

⇔ y + 3x = 0

12. Jawaban: c

y = –13 (2x + 3) ⇔ y = –

23 x – 1

Gradien garis y = –23 x – 1 adalah –

23 .

13. Jawaban: ag : 3x – 2y + 6 = 0 ⇔ 2y = 3x + 6

⇔ y = 32 x + 3

Diperoleh mg = 32

Garis sejajar garis g maka m = mg = 32 .

Persamaan garis yang bergradien 32 adalah

persamaan garis 6x – 4y + 3 = 0.

14. Jawaban: c3x + 2y = –8 ⇔ 2y = –3x – 8

⇔ y = –32 x – 4


Gradien garis yang sejajar dengan 3x + 2y = –8:

m2 = m1 = –32 .

Persamaan garis yang melalui titik (–4, 4) dansejajar 3x + 2y = –8 adalah:

y – 4 = m2(x + 4) ⇒ y – 4 = –32 (x + 4)

⇔ y = –32 x – 6 + 4

⇔ y = –32 x – 2

⇔ 2y = –3x – 4⇔ 2y + 3x + 4 = 0

15. Jawaban: b6x – y + 5 = 0 ⇔ y = 6x + 5Diperoleh gradien = m = 6.Oleh karena garis saling tegak lurus maka:

m1 × m = –1 ⇔ m1 = –1m = –

16 .

Garis 2x + 12y – 8 = 0 memiliki gradien –16

sehingga garis 2x + 12y – 8 = 0 tegak lurus garis6x – y + 5 = 0.

16. Jawaban: b4x – 3y + 2 = 0 ⇔ 3y = 4x + 2

⇔ y = 43 x +

23

Diperoleh m = 43

Oleh karena kedua garis saling tegak lurus maka:

m1 × m = –1 ⇔ m1 × 43 = –1 ⇔ m1 = –

34

Persamaan garis yang melalui (–2, 6) dan tegaklurus 4x – 3y + 2 = 0 adalah:

y – 6 = m1(x + 2) ⇒ y – 6 = –34 (x + 2)

⇔ y = –34 x –

32 +

122

⇔ y = –34 x +

92

⇔ y = –34 x +

184

⇔ 4y = –3x + 18⇔ 4y + 3x – 18 = 0

17. Jawaban: dPerhatikan pasangan garis pada pilihan d.Koefisien x: 8 = 2 × 4Koefisien y: –6 = 2 × (–3)konstanta: 4 = 2 × 2Oleh karena 8, –6, dan 4 berturut-turut merupakankelipatan 2 dari 4, –3, dan 2 maka kedua garistersebut berimpit.

18. Jawaban: aGaris y = –3x + 5 mempunyai gradien: m = –3.Oleh karena garis g sejajar y = –3x + 5 makamg = m = –3.


Persamaan garis g yang melalui titik (–3, 2):y – y1 = m(x – x1)y – 2 = –3(x + 3)⇔ y = –3x – 9 + 2⇔ y = –3x – 7Titik potong garis g terhadap sumbu Y (x = 0):y = –3(0) –7

= 0 – 7 = –7Diperoleh titik potong (0, –7).

19. Jawaban: cJika garis y = m1x + b1 dan y = m2x + b2 salingberpotongan maka m1x + b1 = m2x + b2.

g : 3x – 2y = 10 ⇔ y = 32 x – 5

: –6x + y = 4 ⇔ y = 6x + 4Garis g dan saling berpotongan maka:32 x – 5 = 6x + 4 ⇔ 3x – 10 = 12x + 8

⇔ 9x = –18⇔ x = –2

Substitusikan nilai x = –2 ke persamaan garis gatau untuk memperoleh nilai y.

g : y = 32 x – 5 ⇒ y =

32 × (–2) – 5

= –3 – 5 = –8Titik potong kedua garis adalah (–2, –8) = (p, q).Jadi, nilai p – q = –2 – (–8) = 6.

20. Jawaban: dKedua garis berimpit maka:k 2

4+ = 1 k

3−−

= k 42−

k 24+ = 1 k

3−−

⇔ –3k – 6 = 4 – 4k

⇔ k = 10atau1 k

3−−

= k 42− ⇔ 2 – 2k = –3k + 12

⇔ k = 10atauk 2

4+ = k 4

2− ⇔ 2k + 4 = 4k – 16

⇔ 2k = 20⇔ k = 10

21. Jawaban: aGradien garis = m

m = 2 1

2 1

y yx x

−−

= 6 25 1

−− = 1

Garis g tegak lurus garis sehingga diperoleh:mg × m = –1⇔ mg × 1 = –1⇔ mg = –1

Persamaan garis g yaitu:y – 10 = mg(x – 2)⇔ y = –1(x – 2) + 10⇔ y = –x + 12⇔ y + x = 12

22. Jawaban: cMisalkan garis melalui titik (2, 4) dan (20, 12).

m = 2 1

2 1

y yx x

−−

= 12 420 2

−−

= 8

18 = 49

Garis k tegak lurus dengan garis sehinggadiperoleh:mk × m = –1

⇔ mk × 49 = –1

⇔ mk = –94

Garis k melalui titik (–6, –8) sehingga persamaangaris k yaitu:y + 8 = m(x + 6)

⇔ y + 8 = –94 x –

544

⇔ 4y + 32 = –9x – 54⇔ 4y = –9x – 86

Garis h dihasilkan dengan menggeser garis ksebanyak 10 satuan ke kiri. Diperoleh:h: 4y = –9(x + 10) – 86⇔ 4y = –9x – 90 – 86⇔ 4y + 9x + 176 = 0Jadi, persamaan garis h adalah 4y + 9x + 176 = 0.

23. Jawaban: d

Gradien garis a = ma = 9 68 + 1

− =

39 =

13

Gradien garis b = mbma × mb = –1

⇔ 13 × mb = –1

⇔ mb = –3mc = mb – 3

= –3 – 3= –6

24. Jawaban: aDari gambar diketahui A(1, 1), B(5, 1) dan C(5, 4).

mAC = C A

C A

y yx x

−−

= 4 15 1

−−

= 34


Persamaan garis miring AC yang melalui (1, 1)yaitu:y – 1 = mAC(x – 1)

⇔ y = 34 x –

34 + 1

⇔ 4y – 3x – 1 = 0

25. Jawaban: bDari gambar tersebut diperoleh:• koordinat titik A(2, 3)• koordinat titik B(10, –3)• koordinat titik C(10, 9)Persamaan garis lurus AB yaitu:

A

B A

y yy y

−− = A

B A

x xx x

−−

⇔ y 33 3−

− − = x 2

10 2−−

⇔ y 36

−− =

x 28−

⇔ 8y – 24 = –6x + 12⇔ 8y + 6x – 36 = 0⇔ 4y + 3x – 18 = 0

Persamaan garis lurus AC yaitu:

A

C A

y yy y

−− = A

C A

x xx x

−−

⇔ y 39 3

−− =

x 210 2

−−

⇔ y 36−

= x 2

8−

⇔ 8y – 24 = 6x – 12⇔ 8y – 6x – 12 = 0⇔ 4y – 3x – 6 = 0

26. Jawaban: bGradien garis tersebut dicari dengan cara berikut.

Gradien = m = d bc a

−−

Karena c > a ⇒ c – a > 0.Karena d > b ⇒ d – b > 0, sehingga diperoleh:

m = d bc a

−−

> 0

Karena gradien bernilai positif maka gambar garisyang mungkin adalah pilihan b.

27. Jawaban: cNilai m dicari dengan langkah berikut.

m = 2 1

2 1

y yx x

−−

= 7 145 20

−−

= 7

15

15m + 1 = 15 × 7

15 + 1 = 8

28. Jawaban: aDiketahui A(0, 4), C(6, 10), E(4, 2), dan F(7, 5)

mAC = C A

C A

y yx x

−−

= 10 46 0

−− = 1

mEF = F E

F E

y yx x

−−

= 5 27 4

−− =

33 = 1

mAC = mEF = 1 sehingga kedua garis tersebutsejajar.

29. Jawaban: cGradien garis g:

mg = B A

B A

y yx x

−−

= 17 86 + 12

− =

12

Gradien garis h yaitu:mg × mh = –1

⇔ 12 × mh = –1

⇔ mh = –2Kedua garis berpotongan di titik A(–12, 8). Artinyagaris g dan garis h melalui titik A(–12, 8).

mh = C A

C A

y yx x

−−

⇔ –2 = 4 8

a + 12− −

⇔ –2a – 24 = –12⇔ –2a = 12⇔ a = –6Persamaan garis h yaitu:

A

C A

y yy y

−− = A

C A

x xx x

−−

⇔ y 84 8−

− −= x + 12

6 + 12−

⇔ y 812−

−= x + 12

6⇔ 6y – 48 = – 12x – 144⇔ 6y + 12x + 96 = 0⇔ y + 2x + 16 = 0

30. Jawaban: cPermasalahan di atas dapat digambarkan sebagaiberikut.

A B

CD

Y

X

654

3

2

1

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9–1

–2


Diperoleh koordinat titik C(8, 4). Persamaan garisdiagonal AC yaitu:

A

C A

y yy y

−− = A

C A

x xx x

−−

⇔ y + 24 + 2

= x + 38 + 3

⇔ y + 26

= x + 311

⇔ 11y + 22 = 6x + 18

⇔ 11y – 6x + 4 = 0

B. Uraian

1. a. mg = –95

Diperoleh:ax + 5y = –45⇔ 5y = –ax – 45

⇔ y = –a5 x – 9

Diperoleh mg = –a5

⇔ –a5 = –

95

⇔ a = 9

b. Garis h melalui titik (18, 20) dan tegaklurus garis g, sehingga diperoleh:

mg × mh = –1

⇔ –95 × mh = –1

⇔ mh = 59

Persamaan garis h:y – y1 = mh(x – x1)

⇔ y – 20 = 59 (x – 18)

⇔ y = 59 x – 10 + 20

⇔ y = 59 x + 10

Jadi, persamaan garis h adalah h: y = 59 x + 10

atau h: 9y – 5x – 90 = 0.

2. Perhatikan bahwa garis g melalui titik A(–4, 2) danB(3, 6).

mg = B A

B A

y yx x

−−

= 6 23 + 4

− =

47

a. Garis h tegak lurus garis g sehinggadiperoleh:mg × mh = –1

⇔ 47

× mh = –1

⇔ mh = –74

Garis h melalui titik (1, –6) sehinggapersamaannya:y – y1 = mh(x – x1)

⇔ y + 6 = –74 (x – 1)

⇔ y = –74 x –

74 – 6

⇔ y = –74 x –

314

⇔ 4y + 7x + 31 = 0Jadi, persamaan garis h: 4y + 7x + 31 = 0.

b. Garis tegak lurus garis h dan melalui titik (7, 6).Diperoleh:m × mh = –1

⇔ m × –74 = –1

⇔ m = 47

Persamaan garis :y – y1 = m (x – x1)

⇔ y – 6 = 47 (x – 7)

⇔ y = 47 x – 4 + 6

⇔ y = 47 x + 2

⇔ 7y – 4x – 14 = 0Jadi, persamaan garis : 7y – 4x – 14 = 0.

3. a. Misal garis k mempunyai persamaan:y = 3x – 8Membuat tabel:

Jadi, garis k melalui titik (0, –8) dan (1, –5).

b. Misal garis mempunyai persamaan:4x – 3y + 3 = 0Membuat tabel:

X

Y

1

–5

–8

0

k

x

0

1

y

–8

–5

(x, y)

(0, –8)

(1, –5)

x

3

–3

y

5

–3

(x, y)

(3, 5)

(–3, –3)


Jadi, garis melalui titik (3, 5) dan (–3, –3).

4. a. Persamaan garis yang melalui titik (–5, 6) dan

bergradien m = –112 adalah:

y – y1 = m(x – x1)

y – 6 = –32 (x + 5)

⇔ y – 6 = –32 x –

152

⇔ y = –32 x –

152 +

122

⇔ y = –32 x –

32

⇔ 2y + 3x + 3 = 0

b. Mencari gradien garis 3x – 4y + 2 = 0.3x – 4y + 2 = 0⇔ 4y = 3x + 2

⇔ y = 34 x +

12

Diperoleh m = 34

Oleh karena garis tegak lurus maka:

m1 × m = –1 ⇔ m1 × 34 = –1

⇔ m1 = –43

Persamaan garis yang melalui titik (–5, 6) dantegak lurus 3x – 4y + 2 = 0:y – y1 = m1(x – x1)

y – 6 = –43 (x + 5)

⇔ y – 6 = –43 x –

203

⇔ y = –43 x –

203 + 6

⇔ y = –43 x –

23

⇔ 3y = –4x – 2⇔ 3y + 4x + 2 = 0

c. Gradien garis yang melalui titik (–4, 5) dan(2, –6) adalah:

m = 2 1

2 1

y yx x

−−

= 6 52 + 4

− − = 116

−

Oleh karena garis sejajar maka m1 = m = –116 .

Jadi, persamaan garis yang melalui titik(–5, 6) dan sejajar garis yang melalui titik(–4, 5) dan (2, –6) adalah:y – y1 = m1(x – x1)

y – 6 = –116 (x + 5)

⇔ y = –116 x –

556 +

366

⇔ 6y = –11x – 19⇔ 6y + 11x + 19 = 0

5. a. mAB = B A

B A

y yx x

−−

= 6 + 98 + 4

− = 3

12 = 14

Jadi, gradien garis AB = 14 .

b. KL // AB maka mKL = mAB = 14

Jadi, gradien garis KL = 14 .

c. PQ ⊥ AB ⇒ mPQ × mAB = –1

⇔ mPQ = –AB

1m

⇔ mPQ = – 14

1 = –4

Jadi, gradien garis PQ = –4.

6. PQRS suatu persegi panjang maka R(6, 11).Persamaan garis yang melalui P dan R:

P

R P

y yy y

−−

= P

R P

x xx x

−− ⇔ y 4

11 4−− =

x 16 1

−−

⇔ 5(y – 4) = 7(x – 1)⇔ 5y – 20 = 7x – 7⇔ 5y – 7x – 13 = 0

7. a. P = –30 + 5BBuat tabel terlebih dahulu:

X

Y

5

3–3

–3

0

B

0

6

P

–30

0

(B, P)

(0, –30)

(6, 0)


Grafik:

b. Diketahui B = 12P = –30 + 5(12)

= –30 + 60 = 30Jadi, pendapatannya Rp300.000,00.

c. Agar memperoleh keuntungan maka P > 0.P > 0 ⇒ –30 + 5B > 0

⇔ 5B > 30⇔ B > 6

Jadi, barang yang harus dijual minimum6 buah.

8. Gradien garis g = mg

mg = B A

B A

y yx x

−−

= 2 82 6−

− −

= 68

−− =

34

Garis h tegak lurus garis g sehingga mh = –43

Garis sejajar garis h sehingga m = mh = –43

Persamaan garis yaitu:y – y1 = m (x – x1)

⇔ y – 1 = –43 (x – 3)

⇔ y = –43 x + 4 + 1

⇔ 3y + 4x – 15 = 0

9. Titik D terletak di tengah-tengah AB sehinggakoordinat titik A (1, 3).Titik E terletak di tengah-tengah BC sehinggakoordinat titik E(3, 0).Gradien garis AC = mAC

mAC = C A

C A

y yx x

−−

= 0 35 1

−− = –

34

Gradien garis DE = mDE

mDE = E D

E D

y yx x

−−

= 3

2

0

3 1

−−

= –3 2

2 = –

34

Diperoleh mAC = mDE = –34 sehingga disimpulkan

bahwa DE sejajar dengan AC.

10. a. Garis melalui titik (–5, –7) sehingga diperoleh:y – y1 = m(x – x1)⇔ y + 7 = –2(x + 5)⇔ y = –2x – 10 – 7⇔ y = –2x – 17

b. Garis melalui titik (8, –12) sehingga diperoleh:y – y2 = m(x – x1)⇔ y + 12 = –2(x – 8)⇔ y = –2x + 16 – 12⇔ y = –2x + 4

P

B60

–30

Latihan Ulangan Tengah SemesterA. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c6x2 + 7x – 3 = 6x2 – 2x + 9x –3

= 2x(3x – 1) + 3(3x – 1)= (3x – 1)(2x + 3)

2. Jawaban: dLuas trapesium = 2x2 – 5x – 3

⇒ 12 × AB(AD + BC) = 2x2 – 5x – 3

⇔ 12 AB(x + 3 + 3x – 1) = 2x2 – 5x – 3

⇔ 12 AB(4x + 2) = (2x + 1)(x – 3)

⇔ AB(2x + 1) = (2x + 1)(x – 3)⇔ AB = (x – 3)Jadi, tinggi trapesium (x – 3).

3. Jawaban: d

− −− −

2

23x x 23x 2x 1

= + −+ −

(3x 2)(x 1)(3x 1)(x 1) =

++

3x 23x 1

4. Jawaban: c

+ −21

x 3x 10 : +x

x 5 = + −21

x 3x 10 ×

+x 5x

= ++ −2x 5

x(x 3x 10)

= +

+ −x 5

x(x 5)(x 2) = −1

x(x 2)


5. Jawaban: c

−

2

12

yy

– −

y2y 1

= −

2

2y 12

y – −

y2y 1

= −

22y2y 1

– −y

2y 1

= −−

22y y2y 1

= −

−y(2y 1)

2y 1 = y

6. Jawaban: b−2x 1

x =

2xx

– 1x = x –

1x = 2

x2 – 21x

= x2 –

21x

⇔ 4 = (x – 1x )(x +

1x )

⇔ 4 = 2(x + 1x )

⇔ x + 1x =

42 = 2

7. Jawaban: b+ − −

+ +

3

2(x 1) 4x 4

x 4x 3 = + − +

+ +

3(x 1) 4(x 1)(x 1)(x 3)

= + + −+ +

2(x 1)((x 1) 4)(x 1)(x 3)

= + + + −+

(x 1 2)(x 1 2)x 3

= + −+

(x 3)(x 1)x 3

= x – 1

8. Jawaban: b−

−

2 24x y4x 2y =

−−

2 2(2x) y2(2x y)

= − +

−(2x y)(2x y)

2(2x y)

= +2x y2

9. Jawaban: b

−22

n 9 –

+21

n 3n=

+ − −− +

2 2

22(n 3n) (n 9)

n(n 9)(n 3)

= + − +

+ − +

2 22n 6n n 9n(n 3)(n 3)(n 3)

= + +

− +

2

2n 6n 9

n(n 3)(n 3)

= +

− +

2

2(n 3)

n(n 3)(n 3)

= −1

n(n 3)

10. Jawaban: c

−1

1 x +

+2

1 x +

−22x

x 1= −

−1

x 1 +

+2

x 1 + − +

2x(x 1)(x 1)

= − + + − +

− +(x 1) 2(x 1) 2x

(x 1)(x 1)

= − − + − +

− +x 1 2x 2 2x

(x 1)(x 1)

= −

− +3x 3

(x 1)(x 1)

= −

− +3(x 1)

(x 1)(x 1) = +3

x 1

11. Jawaban: b10x2 + 11x + 3 = (5x + 3)(2x + 1)12x2 – 4x – 5 = (6x – 5)(2x + 1)(10x2 + 11x + 3) dan (12x2 – 4x – 5) mempunyaifaktor yang sama yaitu (2x + 1).Jadi, faktor persekutuan dari kedua bentuk aljabaradalah (2x + 1).

12. Jawaban: a1x +

1y =

12 ⇔

+y xxy =

12

⇔ +x y4 =

12

⇔ x + y = 2

1x –

1y = 2 ⇔ −y x

xy = 2

⇔ −y x2 = 2

⇔ x – y = –4x2 – y2 = (x – y)(x + y)

= (–4)(2)= –8

13. Jawaban: a(p + q)2 = p2 + 2pq + q2

= p2 + q2 + 2pq= 10 + 2 × 3 = 16

⇔ p + q = ± 16 = ± 4

Oleh karena p > 0 dan q > 0 maka p + q > 0,sehingga p + q = 4(p – q)2 = p2 – 2pq + q2

= p2 + q2 – 2pq= 10 – 2 × 3 = 4

⇔ p – q = ± 4 = ± 2

Oleh karena q > p maka p – q < 0, sehinggap – q = –2.p2 – q2 = (p – q)(p + q)

= (–2)(4) = –8


14. Jawaban: c−

+21

a1a

4

2=

−

+

2

21 4a

a1 2a

a

= − 2

21 (2a)

a × +

a1 2a

= − +

+(1 2a)(1 2a)

a(1 2a)

= −1 2aa = 1

a – 2

15. Jawaban: b4 merupakan kelipatan dari 26 merupakan kelipatan dari 2 dan 38 merupakan kelipatan dari 2 dan 49 merupakan kelipatan dari 3Jadi, relasi dari himpunan A ke himpunan B yaitukelipatan dari.

16. Jawaban: c

Dari diagram panah di atas diperoleh bahwa gadisyang hobi menyanyi, memasak, dan melukisadalah Rini.

17. Jawaban: aPilihan a merupakan fungsi karena setiap anggotadomain mempunyai tepat satu pasangan di kodomain.Pilihan b bukan fungsi karena ada anggota domain(yaitu 4) tidak mempunyai pasangan di kodomain.Pilihan c bukan fungsi karena ada anggotadomain (yaitu 3) mempunyai lebih dari satupasangan di kodomain.Pilihan d bukan fungsi karena ada anggotadomain (yaitu 2 dan 4) mempunyai lebih dari satupasangan di kodomain.

18. Jawaban: cPilihan a bukan pemetaan karena ada anggotadomain (yaitu c) mempunyai kawan lebih dari satu.Pilihan b bukan pemetaan karena ada anggotadomain mempunyai lebih dari satu kawan dikodomain (yaitu c) dan ada anggota domain tidakmempunyai kawan di kodomain (yaitu d).Pilihan c merupakan fungsi karena setiap anggotadomain mempunyai tepat satu kawan di kodomain.Pilihan d bukan fungsi karena ada anggota domainyang mempunyai lebih dari satu kawan dikodomain (yaitu 1) dan ada anggota domain tidakmempunyai kawan di kodomain (yaitu 2).

Ani

Indah

Rini

Susi

Menyanyi

Membaca

Melukis

Memasak

hobi→

19. Jawaban: bPilihan a bukan fungsi karena ada anggota domain(yaitu b, c, dan d) tidak mempunyai kawan dikodomain dan ada anggota domain (yaitu a)mempunyai lebih dari satu kawan di kodomain.Pilihan b merupakan fungsi karena setiap anggotadomain mempunyai tepat satu kawan di kodomain.Pilihan c bukan fungsi karena ada anggota domain(yaitu c) tidak mempunyai kawan di kodomain.Pilihan d bukan fungsi karena ada anggota domain(yaitu c) mempunyai lebih dari satu kawan dikodomain.

20. Jawaban: dPilihan a, b, dan c merupakan fungsi karena untuksetiap x ∈ R mempunyai tepat satu kawan di R.Pilihan d bukan fungsi karena anggota domain(x = 5) mempunyai lebih dari satu kawan di R.

21. Jawaban: dBanyak pemetaan dari himpunan B ke himpunan Ayang dapat dibuat = 35 = 243.

22. Jawaban: bHimpunan pasangan berurutan dari diagramCartesius tersebut adalah pilihan b.

23. Jawaban: aA = {x | 0 < x ≤ 6, x ∈ bilangan bulat}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

f(1) = 12 × 1 + 1 = 1

12

f(2) = 12 × 2 + 1 = 2

f(3) = 12 × 3 + 1 = 2

12

f(4) = 12 × 4 + 1 = 3

f(5) = 12 × 5 + 1 = 3

12

f(6) = 12 × 6 + 1 = 4

Oleh karena domain B = {bilangan bulat} makarange f = {2, 3, 4}.

24. Jawaban: dBerdasarkan grafik, 3 adalah bayangan dari 4.Jadi, 4 adalah prapeta dari 3.

25. Jawaban: cf : x → (3x – 4) maka f(x) = 3x – 4.f(n – 2) = 8 ⇔ 3(n – 2) – 4 = 8

⇔ 3n – 6 – 4 = 8⇔ 3n – 10 = 8⇔ 3n = 18⇔ n = 6


26. Jawaban: aGrafik fungsi f(x) = ax2 – 2x + 3 melalui titik (1, 4)maka f(1) = 4.

f(1) = a · 12 – 2 · 1 + 3⇔ 4 = a + 1⇔ a = 3Persamaan grafik menjadi f(x) = 3x2 – 2x + 3.f(–1) = 3(–1)2 – 2(–1) + 3

= 3 + 2 + 3= 8

f(2) = 3(2)2 – 2(2) + 3= 12 – 4 + 3= 11

Nilai f(–1) – f(2) = 8 – 11 = –3.

27. Jawaban: bKetinggian bola = 16 m maka:h(t) = 16⇔ 7 + 6x – x2 = 16⇔ x2 – 6x + 9 = 0⇔ (x – 3)2 = 0⇔ x – 3 = 0⇔ x = 3Jadi, pada detik ke-3 ketinggian bola mencapai16 m.

28. Jawaban: a

y = 2 – 23 x

X 0 3Y 2 0

Grafik y = 2 – 23 x melalui titik (0, 2) dan (3, 0).

Jadi, grafik yang sesuai pilihan a.

29. Jawaban: cSubstitusi titik (3, 1) ke persamaan garis:a. Oleh karena 2 × 3 + 3 × 1 ≠ 3 maka garis2x + 3y = 3 tidak melalui titik (3, 1).b. Oleh karena 3 × 3 + 2 × 1 ≠ 3 maka garis3x + 2y = 3 tidak melalui titik (3, 1).c. Oleh karena 2 × 3 – 3 × 1 = 3 maka garis 2x– 3y = 3 melalui titik (3, 1).Jadi, persamaan garis yang melalui titik (3, 1)adalah 2x – 3y = 3.

30. Jawaban: aGaris ax + y = 5 melalui titik (–1, 9) maka:a(–1) + 9 = 5

⇔ –a + 9 = 5⇔ –a = –4⇔ a = 4Jadi, nilai a = 4.

31. Jawaban: dGaris melalui titik A(–2, 3) dan B(5, –1) gradiengaris:

m = −−

B A

B A

y yx x

= − −− −1 3

5 ( 2) = –

47

Jadi, gradien garis h adalah –47 .

32. Jawaban: cg : 3x – 2y = 2 ⇔ 2y = 3x – 2

⇔ y = 32 x – 1

Oleh karena koefisien x pada persamaan y = 32 x – 1

adalah 32 maka garis g mempunyai gradien m =

32 .

Garis g sejajar garis h, maka gradien garis g sama

dengan gradien garis h (mg = mh = 32 ).

Garis h melalui titik A(1, n) dan B(–4, –7) maka:

mh = −−

B A

B A

y yx x

⇔ 32 =

− −− −7 n4 1

⇔ 32 =

− −−7 n

5

⇔ 2(–7 – n) = 3(–5)⇔ –14 – 2n = –15⇔ –2n = –1

⇔ n = 12

Jadi, nilai n = 12 .

33. Jawaban: b : 2x – 3y = 5 ⇔ 3y = 2x – 5

⇔ y = 23 x –

53

Oleh karena koefisien x pada persamaan y = 23 x –

53

adalah 23 maka garis : 2x – 3y = 5 mempunyai

gradien m = 23 .

Misalkan m1 adalah gradien garis yang tegak lurusdengan garis maka:

m1m = –1 ⇔ m1 × 23 = –1

⇔ m1 = –32


Garis yang mempunyai gradien m1 = –32 tegak

lurus garis .a. 6x – 4y = 12 ⇔ 4y = 6x – 12

⇔ y = 64 x –

124

⇔ y = 32 x – 3

Gradien garis 6x – 4y = 12 adalah ma = –32 ≠ m1.

b. 9x + 6y = 18 ⇔ 6y = –9x + 18

⇔ y = –96 x +

186

⇔ y = –32 x + 3

Gradien garis 9x + 6y = 18 adalah

mb = –32 = m1.

Oleh karena mb = m = –32 maka garis

9x + 6y = 18 tidak tegak lurus garis .Jadi, persamaan garis yang tegak lurus garis adalah pilihan b.

34. Jawaban: dGaris melalui titik A(–3, 2) dan B(4, 6).Persamaan garis:

−−

A

B A

y yy y

= −−

A

B A

x xx x

⇔ −−

y 26 2 =

− −− −

x ( 3)4 ( 3)

⇔ −y 24 =

+x 37

⇔ 7(y – 2) = 4(x + 3)⇔ 7y – 14 = 4x + 12⇔ 4x – 7y = –26

35. Jawaban: c : 2x + 5y = 4 ⇔ 5y = –2x + 4

⇔ y = –25 x +

45

Garis mempunyai gradien m = –25 . Oleh karena

garis g // maka gradien garis g yaitu (m1) sama

dengan gradien garis , sehingga m1 = m = –25 .

Persamaan garis g:y – yA = m1(x – xA)

⇔ y – (–3) = –25 (x – 2)

⇔ y + 3 = –25 x +

45

⇔ 5y + 15 = –2x + 4⇔ 2x + 5y = –11Jadi, persamaan garis g: 2x + 5y = –11.

36. Jawaban: bg: 6x – 8y = 3 ⇔ 8y = 6x – 3

⇔ y = 68 x –

38

⇔ y = 34 x –

38

Garis g mempunyai gradien m = 34 .

Misalkan gradien garis = m1.Oleh karena ⊥ g maka m1m = –1.Sehingga diperoleh:

m1 × 34 = –1 ⇔ m1 = –

43

Garis melalui pangkal koordinat makapersamaan garis :

y = m1x ⇔ y = –43 x

⇔ 3y = –4x⇔ 4x + 3y = 0

37. Jawaban: buntuk x = 0 maka 3 × 0 – 5y = 15

⇔ 0 – 5y = 15⇔ y = –3

Garis memotong sumbu Y di titik A(0, –3)untuk y = 0 maka 3x – 5 × 0 = 15

⇔ 3x = 15⇔ x = 5

Garis memotong sumbu X di titik B(5, 0).

Garis g digeser ke kanan 3 satuan menjadi garis g'.Titik A(0, –3) dan B(5, 0) terletak pada garis g.Jika garis g digeser ke kanan 3 satuan makakoordinat A dan B menjadi A'(3, –3) dan B'(8, 0).Persamaan garis g':

′−′ ′−

A

B A

y yy y =

′−′ ′−

A

B A

x xx x

⇔− −− −

y ( 3)0 ( 3) =

−−

x 38 3

⇔ +y 33 =

−x 35

⇔ 5(y + 3) = 3(x – 3)⇔ 5y + 15 = 3x – 9⇔ 3x – 5y = 24

Y

X

g g'

AA'

B B'0

–3

3 5


38. Jawaban: cGaris h memotongsumbu X di titik (3, 0)dan memotongsumbu Y di titik (0, 4).

Garis h digeser ke atas 4 satuan menjadi h'. Garish' sejajar h.h: 4x + 3y = 12

⇔ 3y = –4x + 12

⇔ y = –43 x + 4

Garis h mempunyai gradien m = –43 . Oleh karena

garis h' sejajar h maka gradien garis h' adalah

m1 = m = –43 .

Persamaan garis h':

y = m1x + c ⇔ y = –43 x + c

Garis h' memotong sumbu Y di titik (0, 8) makapersamaan garis h' menjadi:

y = –43 x + 8 ⇔ 3y = –4x + 24

⇔ 4x + 3y = 24

39. Jawaban: ag: 2x + 5y = 6

⇔ 5y = –2x + 6

⇔ y = –25 x +

65

Garis g mempunyai gradien m = –25 .

Garis sejajar garis g maka gradien garis adalah

m1 = m = –25 .

Persamaan garis :

y = m1x + c ⇔ y = –25 x + c

Garis memotong sumbu Y di titik (0, –4) maka

persamaan garis menjadi y = –25 x – 4.

Y

X

8

4

0 3

h h'

Garis memotong sumbu X maka y = 0. Sehinggadiperoleh:

0 = –25 x – 4 ⇔ –

25 x = 4

⇔ –2x = 20⇔ x = –10

Jadi, garis memotong sumbu X di titik (–10, 0).

40. Jawaban: aGaris h: ax + 3y = 4 melalui titik (1, –1) maka:a(1) + 3(–1) = 4 ⇔ a – 3 = 4

⇔ a = 7Persamaan garis h menjadi:7x + 3y = 4 ⇔ 3y = –7x + 4

⇔ y = –73 x +

43

Garis h mempunyai gradien m = –73 .

Misalkan gradien garis g adalah m1.Oleh karena h ⊥ g maka m1m = –1.Sehingga diperoleh:

m1 − 7

3= –1

⇔ m1 = 37

Persamaan garis g:

y = m1x + c ⇔ y = 37 x + c

Garis g memotong sumbu X di titik (3, 0) maka:

0 = 37 × 3 + c ⇔ c = –

97

Persamaan garis g menjadi:

y = 37 x –

97 ⇔ 7y = 3x – 9

⇔ 3x – 7y = 9

B. Uraian

1. a. +2

x 2 – −

12x 3

– −

+ −

2

25x x

2x x 6

= +2

x 2 – −

12x 3

– −

− +

25x x(2x 3)(x 2)

= − − + − +

− +

22(2x 3) (x 2) 5x x(2x 3)(x 2)

= − − − − +

− +

24x 6 x 2 5x x(2x 3)(x 2)

= − −

− +

2x 2x 8(2x 3)(x 2)

= − +− +

(x 4)(x 2)(2x 3)(x 2)

= −−

x 42x 3


b. +3

x 2 –

−

2

2x

x 4 + −

1x 2

= +3

x 2 –

− +

2x(x 2)(x 2)

+ −1

x 2

= − − + +− +

23(x 2) x (x 2)(x 2)(x 2)

= − − + +− +

23x 6 x x 2(x 2)(x 2)

= − + −− +

2x 4x 4(x 2)(x 2)

= − − +− +

2(x 4x 4)(x 2)(x 2)

= − −− +

2(x 2)(x 2)(x 2)

= − −+

(x 2)x 2

= −+

2 xx 2

c. −2

x 2 – −

− −

2

25x x

x x 2 – +

2x 1

= −2

x 2 – −

− +

25x x(x 2)(x 1)

– +2

x 1

= + − + − −− +

22(x 1) 5x x 2(x 2)(x 2)(x 1)

= + − + − +− +

22x 2 5x x 2x 4(x 2)(x 1)

= − +− +

2x 5x 6(x 2)(x 1)

= − −− +

(x 2)(x 3)(x 2)(x 1)

= −+

x 3x 1

2. a. −−

y 32y 4

× −− −

2

2y 4

y y 6

= −−

y 32(y 2) ×

− +− +

(y 2)(y 2)(y 3)(y 2)

= −−

y 32(y 2)

× −−

y 2y 3

= − −− −

(y 3)(y 2)2(y 3)(y 2)

= 12

b.−

+ +

2

22x 8

2x 5x 2 : − −

+

2x x 22x 1

= −

+ +

22(x 4)(2x 1)(x 2) ×

+− −2

2x 1x x 2

= − +

+2(x 2)(x 2)

x 2 × − +1

(x 2)(x 1) = +2

x 1

c.− − −+ − −

2

2x (3 y)x 3yx (4 y)x 4y :

++

x yx 4

= − + −+ − −

2

2x 3x xy 3yx 4x xy 4y ×

++

x 4x y

= − + −+ − +

x(x 3) y(x 3)x(x 4) y(x 4) ×

++

x 4x y

= − ++ −

(x 3)(x y)(x 4)(x y) ×

++

x 4x y =

−−

x 3x y

3. Luas ABCD = 12 × AC × BD

⇔ (14x2 + 17x + 5) = 12 × (2x + 3 + 5x + 2) × BD

⇔ 28x2 + 34x + 10 = (7x + 5) × BD

⇔ BD = + ++

228x 34x 107x 5

= + ++

(4x 2)(7x 5)7x 5

= 4x + 2

Panjang OD = OB = 12 BD =

12 (4x + 2) = 2x + 1

Jadi, panjang OD = 2x + 1.

4. a.

b. Anak yang hanya menyukai soto dan sataiadalah Citra.

c. Anak yang menyukai soto, bakso, dan sopadalah Bagus.

5. a. Seorang ibu kemungkinan mempunyai lebihdari satu anak, maka relasi ibu dari bukanfungsi.

b. Seorang anak pasti mempunyai satu bapak,maka relasi anak dari bapak merupakan fungsi.

c. Seorang adik kemungkinan mempunyai lebihdari satu kakak, maka relasi adik dari bukanfungsi.

d. Seseorang kemungkinan mempunyai lebihdari satu saudara sepupu, maka relasisepupu dari bukan fungsi.

6. A = {1, 2, 4} dan n(A) = 3B = {2, 5} dan n(B) = 2Banyak pemetaan yang mungkin dari himpunanB ke himpunan A = 32 = 9.Pemetaan tersebut sebagai berikut.

Ade

Bagus

Citra

Desta

Soto

Bakso

Satai

Sop

B A

1

2

4

2

5

B A

1

2

4

2

5

B A

1

2

4

2

5

B A

1

2

4

2

5

B A

1

2

4

2

5

B A

1

2

4

2

5


7. f : x → 8x + 5 maka f(x) = 8x + 5f(n – 1) = f(2n + 1)⇔ 8(n – 1) + 5 = 8(2n + 1) + 5⇔ 8n – 8 = 16n + 8⇔ 8n = –16⇔ n = –2Nilai n2 + n + 1 = (–2)2 – 2 + 1 = 3.

8. Tabel pasangan nilai (x, y).

GarisNilai

Melalui Titikx y

5x + 3y = 8 1 1 (1, 1)–2 6 (–2, 6)

3x – 2y = 7 1 –2 (1, –2)–1 –5 (–1, –5)

4x + 3y = 10 1 2 (1, 2)–2 6 (–2, 6)

Grafik:

9. Garis g melalui titik A(–2, 0) dan B(4, 3).Gradien garis g:

m = B A

B A

y yx x

−−

= 3 0

4 ( 2)−

− −

= 36 =

12

Garis h tegak lurus garis g maka gradien garis hadalah m1 = –2.Garis h melalui titik C(4, 0) dan bergradien m1 = 2maka persamaan garis h:

y – yC = m1(x – xC)⇔ y – 0 = –2(x – 4)⇔ y = –2x + 8

10. Gradien garis g:

m1 = B A

B A

y yx x

−−

= 2n 1 13 ( 3)

− −− − =

2n 26−

Gradien garis h:

m2 = Q P

Q P

y yx x

−−

= 1 52 (1 n)

− −− − = 6

1 n−+

Garis g tegak lurus h maka m1m2 = –1.

⇒ 2n 26−

× 6

1 n−+ = –1

⇔ 2n – 2 = 1 + n⇔ n = 3Sehingga diperoleh:

m1 = 2n 2

6−

= 2 3 2

6× −

= 46 =

23

m2 = 61 3−+ =

64

− = –

32

Persamaan garis g:y – yA = m1(x – xA)

⇔ y – 1 = (x – (–3))⇔ 3(y – 1) = 2(x + 3)⇔ 3y – 3 = 2x + 6⇔ 2x – 3y = –9Persamaan garis h:

y – yQ = m2(x – xQ)

⇔ y – (–1) = –32 (x – 2)

⇔ 2(y + 1) = –3(x – 2)⇔ 2y + 2 = –3x + 6⇔ 3x + 2y = 4

B A

1

2

4

2

5

B A

1

2

4

2

5

B A

1

2

4

2

5

Y

X

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

4x + 3y = 10

5x + 3y = 8

3x –

2y

= 7


Bab IV Sistem Persamaan LinearDua Variabel

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: a5p + q = 3 memuat dua variabel yaitu p dan qdengan pangkat variabelnya satu.

2. Jawaban: bKedua persamaan pada pilihan b mempunyai duavariabel yang sama dan pangkat dari variabel-variabel tersebut satu.

3. Jawaban: cBilangan yang satu suku dengan x adalah –5 danbilangan yang satu suku dengan y adalah –2.

4. Jawaban: c2x – 3y = 7 ⇔ 2x = 3y + 7

⇔ x = 32 y +

72

5. Jawaban: a2x + 2y = 5 ⇔ 2x = 5 – 2y

⇔ x = 52 – y

6. Jawaban: a(0, 6) → 2(0) + 6 = 6 (benar)(1, 4) → 2(1) + 4 = 6 (benar)(2, 2) → 2(2) + 2 = 6 (benar)(3, 0) → 2(3) + 0 = 6 (benar)

Jadi, {(0, 6), (1, 4), (2, 2), (3, 0)} merupakanpenyelesaian dari persamaan 2x + y = 6.

7. Jawaban: cDalam mencari persamaan yang ekuivalen,diperbolehkan menjumlahkan, mengurangi,mengalikan, dan membagi dengan bilangan yangsama pada kedua ruas.

8. Jawaban: a{(–2, –2)} merupakan penyelesaian dari

22x2 −

– 4

6y5 + = –2 karena:

2( 2) 22

− − –

5( 2) 64

− += –2

⇔ 62

− –

10 + 64

−= –2

⇔ –3 – (–1) = –2⇔ –2 = –2 (benar)

9. Jawaban: aUntuk x = 2 dan y = –2(i) 2x – y = 6 ⇒ 2(2) – (–2) = 6

⇔ 4 + 2 = 6⇔ 6 = 6 (benar)

(ii) 3x + 2y = 2 ⇒ 3(2) + 2(–2) = 2⇔ 6 – 4 = 2⇔ 2 = 2 (benar)

Jadi, x = 2 dan y = –2 merupakan akarpenyelesaian dari 2x – y = 6 dan 3x + 2y = 2.

10. Jawaban: cMasukkan nilai x dan y ke dalam kedua per-samaan tersebut. x dan y merupakan akar apabilanilainya benar untuk kedua persamaan tersebut.Pada pilihan c, x = 4 dan y = 2

(i)12 (x + 2y) = 4 ⇒ 1

2 (4 + 2(2)) = 4

⇔ 12 (4 + 4) = 4

⇔ 4 = 4 (benar)

(ii)31

(2x – 3y) = 23 ⇒

31

(2(4) – 3(2)) = 23

⇔31

(8 – 6) = 23

⇔ 23 =

23 (benar)

Jadi, x = 4 dan y = 2 merupakan penyelesaian

dari sistem persamaan 12 (x + 2y) = 4 dan

31

(2x – 3y) = 23 .

B. Uraian1. Persamaan a, d, e, f, dan g terdiri atas dua variabel

dan masing-masing variabel berpangkat satumaka merupakan persamaan linear dua variabel.

2. a, c, d, dan h merupakan sistem persamaan lineardua variabel karena setiap persamaan memuat duavariabel yang masing-masing variabel berpangkatsatu.

3. (a, –1) merupakan penyelesaian dari bx + ay = 4dan ax + 5y = –1 maka:

(i) b × a + a × (–1) = 4 ⇔ ab – a = 4(ii) a × a + 5 × (–1) = –1 ⇔ a2 – 5 = –1

⇔ a2 = 4⇔ a = ± 2

Nilai a = ± 2 disubstitusikan ke persamaan (i):a = 2 ⇒ 2b – 2 = 4

⇔ 2b = 6⇔ b = 3

a = –2 ⇒ –2b + 2 = 4⇔ –2b = 2⇔ b = –1

Jadi, nilai a = 2 dan b = 3 atau a = –2 dan b = –1.


4. Terlebih dahulu diuji satu per satu apakah tiappasangan x dan y merupakan akar daripersamaan 5(x + 1) – 3(y + 1) = 2.a. Untuk x = 2 dan y = –1

5(2 + 1) – 3(–1 + 1) = 5(3) – 3(0)= 15≠ 2

Jadi, x = 2 dan y = –1 bukan akar daripersamaan 5(x + 1) – 3(y + 1) = 2.

b. Untuk x = –1 dan y = 95(–1 + 1) – 3(9 + 1) = 5(0) – 3(10)

= –30≠ 2

Jadi, x = –1 dan y = 9 bukan akar daripersamaan 5(x + 1) – 3(y + 1) = 2.

c. Untuk x = 0 dan y = 05(0 + 1) – 3(0 + 1) = 5(1) – 3(1)

= 2 (benar)Jadi, x = 0 dan y = 0 merupakan akar daripersamaan 5(x + 1) – 3(y + 1) = 2.

d. Untuk x = 4 dan y = 35(4 + 1) – 3(3 + 1) = 5(5) – 3(4)

= 13≠ 2

Jadi, x = 4 dan y = 3 bukan akar daripersamaan 5(x + 1) – 3(y + 1) = 2.

e. Untuk x = 3 dan y = 55(3 + 1) – 3(5 + 1) = 5(4) – 3(6)

= 2Jadi, x = 3 dan y = 5 merupakan akar daripersamaan 5(x + 1) – 3(y + 1) = 2.

5. Jika x = a dan y = b disubstitusikan ke sistempersamaan x + y = 3 dan 2x – 3y = 6 bernilaibenar maka x = a dan y = b merupakan akar darisistem persamaan tersebut.a. x = 5 dan y = 3

x + y = 3 ⇒ 5 + 3 = 3 (salah)2x – 3y = 16 ⇒ 2(5) – 3(3) = 16

⇔ 10 – 9 = 16 (salah)Jadi, x = 5 dan y = 3 bukan akar sistempersamaan.

b. x = 5 dan y = –2x + y = 3 ⇒ 5 – 2 = 3 (benar)2x – 3y = 16 ⇒ 2(5) – 3(–2) = 16

⇔ 10 + 6 = 16 (benar)Jadi, x = 5 dan y = –2 merupakan akar sistempersamaan.

c. x = 4 dan y = –2 bukan akar sistem persama-an.

d. x = 3 dan y = 5 bukan akar sistem persamaan.

e. x = –1 dan y = 4x + y = 3 ⇒ –1 + 4 = 3 (benar)2x – 3y = 16 ⇒ 2(–1) – 3(4) = 16

⇔ –2 – 12 = 16 (salah)Jadi, x = –1 dan y = 4 bukan akar sistempersamaan.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: cEliminasi y:5x + 3y = 14 × 2 10x + 6y = 283x – 2y = –3 × 3 9x – 6y = –9

–––––––––––– +19x = 19

⇔ x = 1Nilai x = 1 disubstitusikan ke persamaan5x + 3y = 14.

5(1) + 3y = 14⇔ 3y = 9⇔ y = 3Jadi, himpunan penyelesaiannya {(1, 3)}.

2. Jawaban: cEliminasi b:2a – 3b = 114a + 3b = 13––––––––––– +

6a = 24

⇔ a = 246 = 4

Eliminasi a:2a – 3b = 11 × 2 4a – 6b = 224a + 3b = 13 × 1 4a + 3b = 13

––––––––––– ––9b = 9

⇔ b = –1Jadi, nilai a + b = 4 + (–1) = 3.

3. Jawaban: a2x – y = 5⇔ y = 2x – 5Substitusikan y = 2x – 5 ke persamaan x + 2y = 0:x + 2(2x – 5) = 0⇔ x + 4x – 10 = 0⇔ 5x – 10 = 0⇔ 5x = 10⇔ x = 2Substitusikan x = 2 ke persamaan y = 2x – 5:y = 2(2) – 5 = 4 – 5 = –1Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2, –1)}.


4. Jawaban: bMencari titik potong kedua garis berarti sama denganmencari penyelesaian sistem persamaannya.2x + 5y = 6 × 1 2x + 5y = 63x + y = –4 × 5 15x + 5y = –20

–––––––––––– ––13x = 26

⇔ x = –2Substitusi x = –2 ke salah satu persamaan:

2x + 5y = 6⇔ 2(–2) + 5y = 6⇔ 5y = 10⇔ y = 2Jadi, titik potong kedua garis itu (–2, 2).

5. Jawaban: cEliminasi kedua persamaan:4x – 3y = 1 × 2 8x – 6y = 23x + 2y = 5 × 3 9x + 6y = 15

––––––––––– +17x = 17

⇔ x = 1Substitusi x = 1 ke salah satu persamaan:

4x – 3y = 1⇔ 4(1) – 3y = 1⇔ –3y = –3⇔ y = 1Titik potong kedua garis tersebut (1, 1). Garis yangmelalui (1, 1) adalah y = x, karena jika (1, 1)disubstitusikan ke y = x diperoleh pernyataan yangbernilai benar.y = x, untuk x = 1 dan y =1 maka ⇔ 1 = 1 (benar)

6. Jawaban: bGaris dengan persamaan x + 2y – 3 = 0 melalui

titik (0, 32 ) dan (3, 0).

Garis dengan persamaan 3x – y – 2 = 0 melalui

titik (0, –2) dan (23 , 0).

Titik potong kedua grafik tersebut (1, 1).Jadi, grafik yang benar pada pilihan b.

7. Jawaban: a5x + 2y = –3 . . . (1)7x + 8y = 1 . . . (2)

Eliminasi y dari (1) dan (2):5x + 2y = –3 × 4 20x + 8y = –127x + 8y = 1 × 1 7x + 8y = 1

–––––––––––– –13x = –13

⇔ x = –1Substitusikan x = –1 ke (1):

5(–1) + 2y = –3⇔ –5 + 2y = –3⇔ 2y = 2⇔ y = 1Nilai x – y = –1 – 1 = –2.

8. Jawaban: bEliminasi x dari kedua persamaan:5x – 3y = 20 × 3 15x – 9y = 603x – 5y = –4 × 5 15x – 25y = –20

––––––––––––– –16y = 80

⇔ y = 8016 = 5

Eliminasi y dari kedua persamaan:5x – 3y = 20 × 5 25x – 15y = 1003x – 5y = –4 × 3 9x – 15y = –12

––––––––––––– –16x = 112

⇔ x = 7Nilai 6x – 4y = 6 × 7 – 4 × 5 = 22.

9. Jawaban: c12 x +

15 y = –2 (dikali 10) ⇔ 5x + 2y = –20

13 x –

14 y = –9 (dikali 12) ⇔ 4x – 3y = –108

Eliminasi y dari kedua persamaan:5x + 2y = –20 × 3 15x + 6y = –604x – 3y = –108 × 2 8x – 6y = –216

–––––––––––––– +23x = –276

⇔ x = −27623 = –12

Substitusi nilai x = –12 ke 5x + 2y = –20:⇒ 5(–12) + 2y = –20⇔ 2y = –20 + 60 = 40

⇔ y = 402 = 20

Sehingga p = x = –12 dan q = y = 20Jadi, nilai p + q = (–12) + 20 = 8.

10. Jawaban: d+x 34 –

−y 23 = 1

34 (dikali 12)

⇔ 3(x + 3) – 4(y – 2) = 21⇔ 3x – 4y = 21 – 9 – 8⇔ 3x – 4y = 4 . . . (1)

−x 32 –

+y 43 = 2

12 (dikali 6)

⇔ 3(x – 3) – 2(y + 4) = 15⇔ 3x – 2y = 15 + 9 + 8⇔ 3x – 2y = 32 . . . (2)Eliminasi x dari (1) dan (2):3x – 4y = 43x – 2y = 32–––––––––– –

–2y = –28

⇔ y = −−282 = 14


Substitusi nilai y = 14 ke (1):⇒ 3x – 4(14) = 4⇔ 3x – 56 = 4⇔ 3x = 4 + 56 = 60

⇔ x = 603 = 20

Jadi, akar sistem persamaan tersebut x = 20 dany = 14.

B. Uraian1. a. Titik bantu untuk 2x + y = 5 dan x – 4y = –2

2x + y = 5 x – 4y = –2

• Garis 2x + y = 5 dan x – 4y = –2berpotongan di titik (2, 1). Jadi,penyelesaian dari sistempersamaan 2x + y = 5 danx – 4y = –2 adalah (2, 1).

b. Titik bantu untuk x + y = –2 dan x + y = –1x + y = –2 x + y = –1

• Garis x + y = –2 dan x + y = –1 tidakmemiliki titik potong atau himpunanpenyelesaiannya = { } atau φ. Hal inikarena gradien kedua garis samasedangkan konstantanya berbeda.

c. Titik bantu untuk garis 3x + 2y = 7 dan

112 x = 3

12 – y

3x + 2y = 7 112 x = 3

12 – y

• Garis 3x + 2y = 7 dan 1x = 3 – y memilikitak hingga banyak titik potong ataupenyelesaian karena kedua garis ituekuivalen.

2. a. Eliminasi y dari kedua persamaan:2x + 5y = 16 × 1 2x + 5y = 16

x – y = 1 × 5 5x – 5y = 5––––––––––– +

7x = 21⇔ x = 3

Eliminasi x dari kedua persamaan:2x + 5y = 16 × 1 2x + 5y = 16

x – y = 1 × 2 2x – 2y = 2–––––––––– –

7y = 14⇔ y = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(3, 2)}.b. Eliminasi y dari kedua persamaan:

4x + y = 1,5 × 2 8x + 2y = 3–x + 2y = 0,75 × 1 –x + 2y = 0,75

–––––––––––– –9x = 2,25

⇔ x = 0,25Eliminasi x dari kedua persamaan:

4x + y = 1,5 × 1 4x + y = 1,5–x + 2y = 0,75 × 4 –4x + 8y = 3

–––––––––––– +9y = 4,5

⇔ y = 0,5Jadi, himpunan penyelesaiannya {(0,25, 0,5)}.

x

y

1

3

0

5

x

y

–2

0

2

1

Y

X

x – 4y = –2

2x + y = 50 2

1

5

–2

Y

X–2 –1 0

–1

–2 x + y = –1x + y = –2

x

y

0

–2

–2

0

x

y

0

–1

–1

0

Y

X

3x + 2y = 7

1 12 x = 3 1

2 – y

0

x 0 73

y 72 0

x 0 73

y 3 12 0


c. 2x – 3y = 0x – y + 1 = 0 ⇔ x – y = –1Eliminasi y dari kedua persamaan:2x – 3y = 0 × 1 2x – 3y = 0

x – y = –1 × 3 3x – 3y = –3–––––––––– –

–x = 3⇔ x = –3

Eliminasi x dari kedua persamaan:2x – 3y = 0 × 1 2x – 3y = 0

x – y = –1 × 2 2x – 2y = –2–––––––––––– –

–y = 2⇔ y = –2

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(–3, –2)}.d. Eliminasi y dari kedua persamaan:

3x – 2y = 12 × 2 6x – 4y = 1

x + 4y = 113 × 1 x + 4y = 1

13

–––––––––––– +

7x = 213

⇔ x = 13

Eliminasi x dari kedua persamaan:

3x – 2y = 12 × 1 3x – 2y =

12

x + 4y = 113 × 3 3x + 12y = 4

––––––––––––– –

–14y = –312

⇔ y = 14

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(13 ,

14 )}.

e. 4x = 5y + 13 ⇔ 4x – 5y = 133y = 7 – 5x ⇔ 5x + 3y = 7Eliminasi y dari kedua persamaan:4x – 5y = 13 × 3 12x – 15y = 395x + 3y= 7 × 5 25x + 15y = 35

–––––––––––––– +37x = 74

⇔ x = 2Eliminasi x dari kedua persamaan:4x – 5y = 13 × 5 20x – 25y = 655x + 3y = 7 × 4 20x + 12y = 28

––––––––––––– ––37y = 37

⇔ y = –1Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,–1)}.

Catatan:Penyelesaian sistem persamaan menggunakanmetode substitusi akan diperoleh hasil sama.

3. a.a2 +

b5 = –

21

⇔ 5a + 2b = –5 . . . (1)

a3 +

b4 =

14 ⇔ 4a + 3b = 3 . . . (2)

Eliminasi b dari (1) dan (2):5a + 2b = –5 × 4 20a + 8b = –204a + 3b = 3 × 5 20a + 15b = 15

–––––––––––––– ––7b = –35

⇔ b = 357

−− = 5

Substitusikan nilai b = 5 ke persamaan (2):⇒ 4a + 15 = 3⇔ 4a = 3 – 15 = –12

⇔ a = –124 = –3

Jadi, penyelesaiannya a = –3 dan b = 5.

b.21

x – 51

y = 1 ⇔51

y = 21

x – 1 . . . (1)

31

x – 51

y = 4 . . . (2)

Substitusi persamaan (1) ke (2):

⇒31

x – (21

x – 1) = 4

⇔ –16 x + 1 = 4

⇔ –16 x = 3

⇔ x = –18Substitusi nilai x = –18 ke persamaan (1):

⇒51

y = 21

(–18) – 1

⇔51

y = –10

⇔ y = –50Jadi, penyelesaiannya x = –18 dan y = –50.

c. Eliminasi x dari kedua persamaan:0,2x + 0,3y = 1,8 × 20 4x + 6y = 360,4x – 0,2y = 0,4 × 10 4x – 2y = 4

––––––––––– –8y = 32

⇔ y = 4Eliminasi y dari kedua persamaan:0,2x + 0,3y = 1,8 × 20 4x + 6y = 360,4x – 0,2y = 0,4 × 30 12x – 6y = 12

––––––––––– +16x = 48

⇔ x = 3Jadi, penyelesaiannya x = 3 dan y = 4.


4. a.x 1

2−

– y + 1

3 = 13 (dikali 6)

⇔ 3(x – 1) – 2(y + 1) = 2⇔ 3x – 3 – 2y – 2 = 2⇔ 3x – 2y = 7 . . . (1)x + 1

2 + 3y 1

3−

= 0 (dikali 6)

⇔ 3(x + 1) + 2(3y – 1) = 0⇔ 3x + 3 + 6y – 2 = 0⇔ 3x + 6y = –1 . . . (2)Eliminasi x dari (1) dan (2):3x – 2y = 73x + 6y = –1––––––––––– –

–8y = 8 ⇔ y = –1Substitusi nilai y = –1 ke persamaan (1):⇒ 3x – 2(–1) = 7⇔ 3x + 2 = 7⇔ 3x = 5

⇔ x = 53

Jadi, x + 2y = 53 + 2(–1) = –

13 .

b. Eliminasi q dari kedua persamaan:5p – 3q = 17p + 3q = 2–––––––––– +

12p = 3 ⇔ p = 14

Substitusi nilai p = 14 ke persamaan

5p – 3q = 1:

⇒ 5(14 ) – 3q = 1

⇔ –3q = 1 – 54 = –

14

⇔ q = 1

12

Jadi, nilai p = 14 dan q =

112 .

c.p q

3−

+ p + q

2 = 113 (dikali 6)

⇔ 2(p – q) + 3(p + q) = 8⇔ 2p – 2q + 3p + 3q = 8⇔ 5p + q = 8 . . . (1)

p q5−

+ p + q

4 = 1 (dikali 20)

⇔ 4(p – q) + 5(p + q) = 20⇔ 4p – 4q + 5p + 5q = 20⇔ 9p + q = 20 . . . (2)

Eliminasi q dari (1) dan (2):5p + q = 89p + q = 20––––––––––– –

–4p = –12 ⇔ p = 3Substitusi nilai p = 3 ke persamaan (1):⇒ 5(3) + q = 8⇔ 15 + q = 8⇔ q = 8 – 15 = –7Sehingga diperoleh sistem persamaan baru:x + y = p ⇒ x + y = 3x – y = q ⇒ x – y = –7 ––––––––– +

2x = –4 ⇔ x = –2Substitusi x = –2 ke x + y = 3:⇒ –2 + y = 3⇔ y = 5Jadi, 10x + 5y = 10(–2) + 5(5) = 5.

5. Misalkan 1x = a dan 1

y = b maka sistem

persamaan menjadi:1x +

2y

= 3

20 ⇒ a + 2b = 3

20

⇔ a = –2b + 3

20 . . . (1)

3x

+ 5y

= 14 ⇒ 3a + 5b =

14 . . . (2)

Substitusi (1) ke (2):

⇒ 3 (–2b + 3

20 ) + 5b = 14

⇔ –6b + 920 + 5b =

520

⇔ –6b + 5b = 5

20 – 920

⇔ –b = –4

20

⇔ b = 15

Substitusi nilai b = 15 ke (1):

⇒ a = –2(15 ) +

320

⇔ a = –8

20 + 3

20 = –5

20 = –14

Diperoleh:1x = a ⇒ 1

x = –14 ⇔ x = –4

1y

= b ⇒ 1y

= 15 ⇔ y = 5

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(–4, 5)}.



Misal: x = banyak motory = banyak mobil

Jumlah motor dan mobil = 25.⇔ x + y = 25 . . . (1)Jumlah roda motor dan mobil = 80.⇔ 2x banyak motor + 4 × banyak mobil = 90⇔ 2x + 4y = 80 . . . (2)Jadi, sistem persamaannya:

x + y = 252x + 4y = 80

2. Jawaban: aMisal: x = harga 1 meter kain corak

y = harga 1 meter kain polosDari soal di atas dapat dibuat model matematikasebagai berikut.

x = 3y . . . (1)5x + 4y = 228.000 . . . (2)

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)diperoleh:

5(3y) + 4y = 228.000⇔ 15y + 4y = 228.000⇔ 19y = 228.000⇔ y = 12.000Substitusi y = 12.000 ke persamaan (1):

x = 3y⇔ x = 3(12.000)⇔ x = 36.000Jadi, harga kain corak dan kain polos masing-masing per meter Rp36.000,00 dan Rp12.000,00.

3. Jawaban: aMisal: x = harga sebungkus kacang

y = harga sebungkus keripikDiperoleh sistem persamaan:

3x + 4y = 2.0006x + 2y = 2.350

Eliminasi x dari kedua persamaan:3x + 4y = 2.000 × 2 6x + 8y = 4.0006x + 2y = 2.350 × 1 6x + 2y = 2.350

–––––––––––––– –6y = 1.650

⇔ y = 275Jadi, harga sebungkus keripik Rp275,00.

4. Jawaban: aMisal: x = harga 1 kg terigu

y = harga 1 kg berasSistem persamaannya:

6x + 10y = 84.00010x + 5y = 70.000

Eliminasi y dari kedua persamaan:6x + 10y = 84.000 × 1 6x + 10y = 84.00010x + 5y = 70.000 × 2 20x + 10y = 140.000

––––––––––––––––– ––14x = –56.000

⇔ x = 4.000Substitusi nilai x = 4.000 ke 10x + 5y = 70.000:⇒ 10(4.000) + 5y = 70.000⇔ 40.000 + 5y = 70.000⇔ 5y = 30.000⇔ y = 6.000Nilai 8x + 20y = 8(4.000) + 20(6.000)

= 32.000 + 120.000 = 152.000Jadi, harga 8 kg terigu dan 20 kg berasRp152.000,00.

5. Jawaban: bMisal: x = umur ayah sekarang

y = umur anak perempuan sekarangDari persoalan di atas dapat dibuat modelmatematika sebagai berikut.

x – y = 26 . . . (1)(x – 5) + (y – 5) = 34 ⇔ x + y = 24 . . . (2)

Penyelesaian SPLDV:Eliminasi y:

x – y = 26x + y = 44

––––––––––– +2x = 70


x – y = 26⇔ 35 – y = 26⇔ y = 35 – 26⇔ y = 9Umur ayah sekarang 35 tahun dan umur anaksekarang 9 tahun.Lima tahun yang akan datang, umur ayah= 35 + 5 = 40 tahun, dan umur anak perempuan= 9 + 5 = 14 tahun.

6. Jawaban: cMisal: x = harga 1 kg apel

y = harga 1 kg jerukSistem persamaannya:

3x + 5y = 85.000 . . . (1)5x + 7y = 123.000 . . . (2)

Eliminasi x dari (1) dan (2):3x + 5y = 85.000 × 5 15x + 25y = 425.0005x + 7y = 123.000 × 3 15x + 21y = 369.000

––––––––––––––––– –4y = 56.000

⇔ y = 14.000


Substitusi nilai y = 14.000 ke (1):⇒ 3x + 5(14.000) = 85.000⇔ 3x + 70.000 = 85.000⇔ 3x = 15.000⇔ x = 5.000Nilai x + y = Rp5.000,00 + Rp14.000,00

= Rp19.000,00Jadi, harga 1 kg apel dan 1 kg jeruk Rp19.000,00.

7. Jawaban: aMisal: x = banyak makanan yang dihabiskan

kerbau dalam sehariy = banyak makanan yang dihabiskan

kambing dalam sehariSistem persamaannya:

2x + 3y = 13 . . . (1)5x + 7y = 32 . . . (2)

Eliminasi x dari (1) dan (2):2x + 3y = 13 × 5 10x + 15y = 655x + 7y = 32 × 2 10x + 14y = 64

––––––––––––– –y = 1

Substitusi nilai y = 1 ke persamaan (1):2x + 3(1) = 13 ⇔ 2x = 10

⇔ x = 5Pakan yang diperlukan dalam sehari:10y + 20x = 10(1) + 20(5)

= 10 + 100= 110 kg

Uang yang harus dikeluarkan per harinya= Rp2.200,00 × 110 = Rp242.000,00

8. Jawaban: dMisal: x = pembilang pecahan

y = penyebut pecahanSistem persamaannya:x 2y 3

++

= 34 ⇔ 4(x + 2) = 3(y + 3)

⇔ 4x + 8 = 3y + 9⇔ 4x – 3y = 1 . . . (1)

x 1y 4

−+

= 13 ⇔ 3(x – 1) = 1(y + 4)

⇔ 3x – 3 = y + 4⇔ 3x – y = 7 . . . (2)

Eliminasi y dari (1) dan (2):4x – 3y = 1 × 1 4x – 3y = 13x – y = 7 × 3 9x – 3y = 21

–––––––––––– ––5x = –20

⇔ x = 4Substitusi nilai x = 4 ke (2):⇒ 3 × 4 – y = 7⇔ –y = 7 – 12 = –5⇔ y = 5

Jadi, pecahan itu adalah xy

= 45 .

9. Jawaban: bMisal: x = harga buku tulis

y = harga bolpoinModel matematika dari soal:

3x + 5y = 43.0004x + 2y = 34.000

Penyelesaian SPLDV:Eliminasi y:3x + 5y = 43.000 × 2 6x + 10y = 86.0004x + 2y = 34.000 × 5 20x + 10y = 170.000

––––––––––––––––– ––14x = –84.000

⇔ x = 6.000Substitusi x = 6.000 ke salah satu persamaan:

3x + 5y = 43.000⇔ 3(6.000) + 5y = 43.000⇔ 18.000 + 5y = 43.000⇔ 5y = 25.000⇔ y = 5.000Harga 5 buku tulis dan 7 bolpoin:5x + 7y = 5(6.000) + 7(5.000)

= 30.000 + 35.000= 65.000

Jadi, Neni harus membayar Rp65.000,00 untukmembeli 5 buku tulis dan 7 bolpoin.

10. Jawaban: cMisal: x = banyak penumpang anak-anak

y = banyak penumpang dewasaJumlah kursi = 50Sistem persamaannya:x + y = 50 . . . (1)1.500x + 2.000y = 85.000⇔ 3x + 4y = 170 . . . (2)Eliminasi x dari (1) dan (2):

x + y = 50 × 3 3x + 3y = 1503x + 4y= 170 × 1 3x + 4y = 170

–––––––––––– ––y = –20

⇔ y = 20Substitusi nilai y = 20 ke persamaan (1):⇒ x + 20 = 50⇔ x = 50 – 20 = 30Jadi, banyak penumpang anak-anak dalam sekaliperjalanan 30 orang.Oleh karena dalam sehari bus tersebut melakukan6 kali perjalanan maka banyak penumpang anak-anak 6 × 30 orang = 180 orang.


B. Uraian1. Misal: x = uang A mula-mula

y = uang B mula-mulaSistem persamaannya:A – B = 60.000 . . . (1)

A – 15 A = B +

15 A

⇔ A – 15 A –

15 A – B = 0

⇔ 35 A – B = 0 . . . (2)

Eliminasi B dari (1) dan (2):A – B = 60.000

35 A – B = 0––––––––––––––– –

25 A = 60.000

⇔ A = 150.000Substitusi nilai A = 150.000 ke (1):⇒ 150.000 – B = 60.000⇔ B = 90.000Jadi, jumlah uang mereka mula-mula:A + B = Rp150.000,00 + Rp90.000,00

= Rp240.000,00

2. Misalkan: x = banyak tepung jenis A per kilo-gram yang dapat diproduksi perhari

y = banyak tepung jenis B per kilo-gram yang dapat diproduksi perhari

Permasalahan di atas dapat dibuat tabel sebagaiberikut.

Model matematikanya:2x + y = 18 . . . (1)

x + 121

y = 12 ⇔ 2x + 3y = 24 . . . (2)

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2):2x + y = 18

2x + 3y = 24––––––––––– –

–2y = –6 ⇔ y = 3Substitusi nilai y = 3 ke persamaan (1):2x + y = 18 ⇒ 2x + 3 = 18 ⇔ 2x = 15 ⇔ x = 7,5Produksi tepung sepasang mesin (mesin I danmesin II) dalam sehari = x + y = 7,5 + 3 = 10,5 kg.

Produksi tepung 5 pasang mesin dalam sehari= 5 × 10,5 = 52,5 kg.Produksi tepung selama 1 minggu = 6 × 52,5= 315 kg = 3,15 kuintal.Jadi, pabrik tersebut dapat memproduksi tepung3,15 kuintal dalam seminggu.

3. Misal: x = banyak mobily = banyak motor

Sistem persamaannya:Terdapat 15 kendaraan yang terdiri dari sepedamotor dan mobil ⇒ x + y = 15 . . . (1)Jumlah roda seluruhnya ada 50⇒ 4x + 2y = 50 . . . (2)Eliminasi y dari (1) dan (2):x + y = 15 × 2 2x + 2y = 304x + 2y = 50 × 1 4x + 2y = 50

––––––––––– ––2x = –20 ⇔ x = 10

Substitusi nilai x = 10 ke persamaan (1):10 + y = 15 ⇔ y = 5Jumlah uang yang diperoleh tukang parkir:1.000x + 500y = 1.000(10) + 500(5)

= 10.000 + 2.500= 12.500

Jadi, jumlah uang yang diperoleh tukang parkirRp12.500,00.

4. a. Misal: x = banyak pengunjung anak-anaky = banyak pengunjung dewasa

Sistem persamaannya:x + y = 50 . . . (1)15.000x + 20.000y = 850.000 ⇔ 3x + 4y = 170 . . . (2)

Eliminasi x dari (1) dan (2):x + y = 50 × 3 3x + 3y = 1503x + 4y = 170 × 1 3x + 4y = 170

–––––––––––– ––y = –20

⇔ y = 20Substitusi nilai y = 20 ke persamaan (1):x + 20 = 50 ⇔ x = 30Jadi, dalam setiap kali pemutaran film banyakpengunjung anak-anak 30 orang dan banyakpengunjung dewasa 20 orang.

b. Oleh karena dalam sehari dilakukan 6 kalipemutaran film dan tiket selalu habismaka banyak pengunjung dalam sehari= 6 × 50 orang = 300 orang.

5. Misal: V1 = volume larutan alkohol 12%V2 = volume larutan alkohol 20%

Sistem persamaan linearnya:V1 + V2 = 120 . . . (1)12%V1 + 20%V2 = 15% × 120 (dikali 25)

⇔ 3V1 + 5V2 = 450 . . . (2)

Jenis Tepung (kg)

A (x)B (y)

Operasi Mesin PerHari (jam)

Proses Mesin I(Jam)

21

18

Proses Mesin II(Jam)

11 1

2

12


Eliminasi V1 dari (1) dan (2):V1 + V2 = 120 × 3 3V1 + 3V2 = 360

3V1 + 5V2 = 450 × 1 3V1 + 5V2 = 450–––––––––––––– –

–2V2 = –90

⇔ V2 = 902

−− = 45

Substitusi nilai V2 = 45 ke (1):V1 + 45 = 120 ⇔ V1 = 120 – 45

⇔ V1 = 75Jadi, Rina harus mencampurkan 75 cc larutanalkohol 12% dan 45 cc larutan alkohol 20%.

A. Pilihan Ganda1. Jawaban: d

Kedua persamaan pada pilihan d mempunyai duavariabel yang sama dengan pangkat variabelnyasatu maka termasuk SPLDV.

2. Jawaban: dDengan mengalikan kedua ruas dengan bilangan

12 diperoleh: 2

12 x – 1 = y

Dengan mengurangi y pada kedua ruas diperoleh:

212 x – 1 – y = y – y

⇔ 212 x – 1 – y = 0

Jika kedua ruas ditambah 1, diperoleh:

212 x – 1 + 1 – y = 0 + 1

⇔ 212 x – y = 1

Diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan

5x – 2 = 2y adalah 212 x – y = 1.

3. Jawaban: cMencari absis titik potong adalah mencari nilai xdalam penyelesaian sistem persamaan tersebut.Eliminasi y dari kedua persamaan:3x + y + 1 = 0 × 3 9x + 3y + 3 = 0x + 3y – 5 = 0 × 1 x + 3y – 5 = 0

–––––––––––––– –8x + 8 = 0

⇔ x = 8

8−

= –1

Jadi, absis titik potong kedua garis adalah –1.

4. Jawaban: dBilangan yang satu suku dengan y adalah –7.

5. Jawaban: aPenyelesaian (5, 5) berarti x = 5 dan y = 5.Substitusi (5, 5) ke masing-masing persamaan:I. x – 2y = –5 ⇒ 5 – 2(5) = –5 (benar)

3x – y = 10 ⇒ 3(5) – (5) = 10 (benar)II. 5x – 4y = 5 ⇒ 5(5) – 4(5) = 5 (benar)

y – 2x = –5 ⇒ 5 – 2(5) = 5 (benar)III. 2y – 3x = 5 ⇒ 2(5) – 3(5) = 5 (salah)Jadi, sistem persamaan yang mempunyaipenyelesaian (5, 5) adalah I dan II.

6. Jawaban: cKedua persamaan memuat dua variabel yang samabegitu juga pangkatnya sehingga dapat diselesaikandengan memisalkan x2 = a dan y2 = b (misalnya),kemudian setelah diperoleh penyelesaian SPLDVdilanjutkan lagi mencari nilai x dan y.

7. Jawaban: cMisal: x = harga buku

y = harga pensilSistem persamaannya:

5x + 3y = 9.300 . . . (1)x = y + 900 ⇔ x – y = 900 . . . (2)

Eliminasi x dari kedua persamaan:5x + 3y = 9.300 × 1 5x + 3y = 9.300

x – y = 900 × 5 5x – 5y = 4.500–––––––––––––– –

8y = 4.800⇔ y = 600

Substitusi nilai y = 600 ke (2):⇒ x – 600 = 900⇔ x = 900 + 600 = 1.500Nilai 2x + y = 2 × 1.500 + 600 = 3.600.Jadi, harga dua buku dan satu pensil Rp3.600,00.

8. Jawaban: aEliminasi y dari kedua persamaan:4x + 2y = 2 × 2 8x + 4y = 47x + 4y = 2 × 1 7x + 4y = 2 ––––––––––– –

x = 2Substitusi nilai x = 2 ke 4x + 2y = 2:⇒ 4(2) + 2y = 2⇔ 8 + 2y = 2⇔ 2y = –6⇔ y = –3Jadi, nilai 2x + 5y = 2(2) + 5(–3) = –11.

9. Jawaban: cEliminasi x pada kedua persamaan:2x + 3y = 182x – y = 2

–––––––––– –4y = 16

⇔ y = 4


Substitusi y = 4 ke salah satu persamaan:2x – y = 2

⇔ 2x – 4 = 2⇔ 2x = 6⇔ x = 32x – 3y = 2(3) – 3(4) = 6 – 12 = –6

10. Jawaban: cEliminasi y dari kedua persamaan:–2x + 4y = –6 × 1 –2x + 4y = –63x + 2y = 0 × 2 6x + 4y = 0

–––––––––––– ––8x = –6

⇔ x = 34

Substitusi x = 34 ke salah satu persamaan:

3x + 2y = 0

⇔ 3(34 ) + 2y = 0

⇔ 2y = 9

4−

⇔ y = 9

8−

Garis yang melalui titik (34 ,

98

−) adalah

8x – 8y = 15, karena 8(34 ) – 8(

98

−) = 15

⇔ 6 + 9 = 15 (benar)

11. Jawaban: bMisalkan dua bilangan tersebut adalah a dan b.Sistem persamaannya:

a + b = 90 . . . (1)a – b = 18 . . . (2)

Eliminasi a dari (1) dan (2):a + b = 90a – b = 18––––––––– –

2b = 72 ⇔ b = 722 = 36

Nilai b = 36 disubstitusikan ke a + b = 90.a + 36 = 90

⇔ a = 90 – 36⇔ = 54Perbandingan kedua bilangan = 54 : 36 = 3 : 2.Jadi, perbandingan kedua bilangan yang dimaksud3 : 2 atau 2 : 3.

12. Jawaban: cMisal: p = sudut pertama

q = sudut keduaSistem persamaannya:

p + q = 180° . . . (1)13 p + q = 90° . . . (2)

Eliminasi q dari (1) dan (2):p + q = 180°

13 p + q = 90°–––––––––––– –

23 p = 90°

⇔ p = 90° × 32

= 135°Nilai p = 135° disubstitusikan ke p + q = 180°:⇒ 135° + q = 180°⇔ q = 180° – 135°⇔ q = 45°Jadi, besar sudut pertama 135° dan besar sudutkedua 45°.

13. Jawaban: bKedua persamaan tersebut ekuivalen sehinggamemiliki tak hingga banyak penyelesaian:

1

2

aa

= 1

2

bb

= 1

2

cc

14. Jawaban: dMisal: x = harga sepotong baju

y = harga sepotong celanaSistem persamaannya:

3x + 4y = 450.000 . . . (1)5x + 2y = 400.000 . . . (2)

Eliminasi y dari (1) dan (2):3x + 4y = 450.000 × 1 3x + 4y = 450.0005x + 2y = 400.000 × 2 10x + 4y = 800.000

–––––––––––––––– ––7x = –350.000

⇔ x = 50.000Substitusi x = 50.000 ke persamaan (1):

3(50.000) + 4y = 450.000⇔ 150.000 + 4y = 450.000⇔ 4y = 300.000⇔ y = 75.000Jadi, harga sepotong baju dan celana berturut-turut Rp50.000,00 dan Rp75.000,00.

15. Jawaban: bAkar dari persamaan adalah suatu nilai yangapabila disubstitusikan ke persamaan tersebutakan memenuhi persamaan itu.a. x = 2 dan y = –1

Substitusikan ke persamaan x – 2 = 23 (y + 1),

diperoleh: 2 – 2 = 23 (–1 + 1)

⇔ 0 = 0 (benar)x = 2 dan y = –1 merupakan akar persamaan


b. x = –1 dan y = –10

Substitusi ke persamaan x – 2 = 23 (y + 1)

diperoleh: –1 – 2 = 23 (–10 + 1) (salah)

⇔ –3 = 23 (–9) (salah)

⇔ –3 = –6 (salah)x = 2 dan y = –1 bukan akar persamaan

c. x = 1 dan y = –1,5


diperoleh: 1 – 2 = 23 (–2,5 + 1)

⇔ –1 = 23 (–1,5)

⇔ –1 = 23 (–

32 )

⇔ –1 = –1 (benar)x = 1 dan y = –1,5 merupakan akar persamaan

d. x = 0 dan y = –4


diperoleh: 0 – 2 = 23 (–4 + 1)

⇔ –2 = 23 (–3)

⇔ –2 = –2 (benar)x = 0 dan y = –4 merupakan akar persamaan

16. Jawaban: dSistem persamaannya:

f(–5) = 32 ⇔ –5a + b = 32 . . . (1)f(4) = –13 ⇔ 4a + b = –13 . . . (2)

Eliminasi b dari (1) dan (2):–5a + b = 324a + b = –13

–––––––––––– ––9a = 45

⇔ a = 45

9− = –5

Substitusi nilai a = –5 ke (2):⇒ 4 × (–5) + b = –13⇔ b = –13 – (–20) = 7Diperoleh a = –5 dan b = 7.f(x) = ax + b = –5x + 7Jadi, bentuk fungsi tersebut f(x) = –5x + 7.

17. Jawaban: cMisal: x = harga 1 baju

y = harga 1 celanaSistem persamaannya:

6x + 4y = 480.000 ⇔ 3x + 2y = 240.0003x + 6y = 480.000

Eliminasi x dari kedua persamaan:3x + 2y = 240.0003x + 6y = 480.000––––––––––––––– –

–4y = –240.000⇔ y = 60.000Substitusi y = 60.000 ke 3x + 2y = 240.000:

3x + 2(60.000) = 240.000⇔ 3x + 120.000 = 240.000⇔ 3x = 120.000⇔ x = 40.0002x + 5y = 2(40.000) + 5(60.000) = 380.000Jadi, harga 2 baju dan 5 celana Rp380.000,00.

18. Jawaban: cx 1

2−

– y = –3 (dikali 2)

⇔ x – 1 – 2y = –6⇔ x – 2y = –5 . . . (1)

2x 13

− + +

y 22+

= 3 (dikali 6)

⇔ –4x + 2 + 3y + 6 = 18⇔ –4x + 3y = 10 . . . (2)Eliminasi x dari (1) dan (2) diperoleh:

x – 2y = –5 × 4 4x – 8y = –20–4x + 3y= 10 × 1 –4x + 3y = 10

––––––––––––– +–5y = –10

⇔ y = 2Substitusi nilai y = 2 ke (1):⇒ x – 2 × 2 = –5⇔ x – 4 = –5⇔ x = –1Jadi, nilai x2 + y2 = (–1)2 + 22 = 1 + 4 = 5.

19. Jawaban: dEliminasi y dari kedua persamaan:3x – 2y = 7 × 1 3x – 2y = 72x + y = 14 × 2 4x + 2y = 28

––––––––––– +7x = 35


2x + y = 14⇔ 2(5) + y = 14⇔ y = 14 – 10⇔ y = 4–2x + 3y = –2(5) + 3(4)

= –10 + 12 = 2

20. Jawaban: aEliminasi x dari kedua persamaan:2x + 3y = 20 × 3 6x + 9y = 603x + 5y = 15 × 2 6x + 10y = 30

––––––––––– ––y = 30

⇔ y = –30


Substitusi y = –30 ke salah satu persamaan:2x + 3y = 20

⇔ 2x + 3(–30) = 20⇔ 2x = 20 + 90⇔ x = 55x + 2y = 55 + 2(–30)

= 55 – 60 = –5

21. Jawaban: bMisal: x = harga 1 kg salak

y = harga 1 kg kedondongModel matematika dari persoalan di atas sebagaiberikut.

3x + 2y = 19.5002x + 3y = 20.000


––––––––––––– –5x = 18.500

⇔ x = 3.700Harga 2 kg salak = 2 × 3.700 = Rp7.400,00.

22. Jawaban: cMisal: x = harga 1 buku

y = harga 1 pensilModel matematika dari persoalan di atas sebagaiberikut.

3x + 2y = 11.5004x + 3y = 16.000


––––––––––––– –⇔ x = 2.500

Substitusi x = 2.500 ke salah satu persamaan:4x + 3y = 16.000

⇔ 4(2.500) + 3y = 16.000⇔ 3y = 16.000 – 10.000⇔ 3y = 6.000⇔ y = 2.0002x + y = 2(2.500) + 2.000

= 5.000 + 2.000= 7.000

Jadi, jumlah uang yang harus dibayar Ika sebesarRp7.000,00.

23. Jawaban: cSistem persamaan: y = 3x – 10 ⇔ 3x – y = 10

x – 2y = 0Eliminasi y dari kedua persamaan:3x – y = 10 × 2 6x – 2y = 20x – 2y = 0 × 1 x – 2y = 0

–––––––––– –5x = 20

⇔ x = 4

Substitusi x = 4 ke salah satu persamaan:x – 2y = 0

⇔ 4 – 2y = 0⇔ 2y = 4⇔ y = 21x +

1y =

14 +

12

= 14 +

24

= 34

Jadi, nilai 1x +

1y dengan x dan y penyelesaian

sistem persamaan y = 3x – 10 dan x – 2y = 0

adalah 34 .

24. Jawaban: bMenentukan absis berarti menentukan nilai padasistem persamaan:

2x + 4y = 8 . . . (1)5x + 2y = –4 . . . (2)

Eliminasi y pada kedua persamaan:2x + 4y = 8 × 2 2x + 4y = 85x + 2y = –4 × 2 10x + 4y = –8

––––––––––– ––8x = 16

⇔ x = –2Jadi, absis titik potong kedua garis tersebut adalahx = –2.

25. Jawaban: cPersamaan garis: 6x – y = 2

3x = 2y – 5 ⇔ 3x – 2y = –5Eliminasi y dari kedua persamaan:

6x – y = 2 × 2 12x – 2y = 43x – 2y = –5 × 1 3x – 2y = –5

––––––––––– –9x = 9


6x – y = 2⇔ 6(1) – y = 2⇔ y = 4Diperoleh x = 1 dan y = 4x : y = 1 : 4

26. Jawaban: a

Misalkan 1x = a dan

1y = b.

Sistem persamaan di atas dapat diubah menjadi:

2a + 3b = 135 ⇔ 10a + 15b = 8 . . . (1)

3a – 4b = 7

10 ⇔ 30a – 40b = 7 . . . (2)


Eliminasi a dari kedua persamaan (misalpersamaan (i)):10a + 15b = 8 × 3 30a + 45b = 2430a – 40b = 7 × 1 30a – 40b = 7

––––––––––––– –85b = 17

⇔ b = 15

Substitusi b = 15 ke persamaan (1):

10a + 15(15 ) = 8

⇔ 10a + 3 = 8⇔ 10a = 5

⇔ a = 12

Diperoleh: a = 12 , berarti x = 2

b = 15 , berarti y = 5

Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaantersebut {(2, 5)}.

27. Jawaban: cMisalkan kedua bilangan bulat itu x dan y.Model matematika dari soal di atas:

x + y = 2 . . . (1)2x + 5 = –1 . . . (2)

Dari persamaan (2) diperoleh:2x + 5 = –1

⇔ 2x = –6⇔ x = –3Substitusi x = –3 ke persamaan (1)

x + y = 2⇔ –3 + y = 2⇔ y = 5Diperoleh: x = –3 dan y = 5.x2 + y2 = (–3)2 + 52 = 9 + 25 = 34

28. Jawaban: aSistem persamaan: 2x + 5y = 3

3x – y = 13Eliminasi y dari kedua persamaan:2x + 5y = 3 × 1 2x + 5y = 3

3x – y = 13 × 5 15x – 5y = 65––––––––––– +

17x = 68⇔ x = 4

Substitusi x = 4 ke salah satu persamaan:3x – y = 13

⇔ 3(4) – y = 13⇔ –y = 13 – 12⇔ y = –1Diperoleh: x = 4 dan y = –1.x2y + xy2 = 42(–1) + 4(–1)2 = 16(–1) + 4(1)

= –16 + 4 = –12Jadi, x2y + xy2 = –12.

29. Jawaban: dMisalkan bilangan pertama a dan bilangan kedua b.Model matematika dari soal di atas:

a + b = 15 . . . (1)a = 2b . . . (2)

Substitusikan a = 2b ke persamaan (1):a + b = 15

⇔ 2b + b = 15⇔ 3b = 15⇔ b = 5Substitusi nilai b = 5 ke salah satu persamaan:

a = 2b⇔ a = 2(5)⇔ a = 10Diperoleh: a = 10 dan b = 5Nilai a · b = 10 × 5 = 50Jadi, hasil kali kedua bilangan itu adalah 50.

30. Jawaban: bMisal: x = harga 1 ekor ayam

y = harga 1 ekor itikModel matematika persoalan di atas:

4x + 5y = 295.0002x + 3y = 165.000

Eliminasi x dari kedua persamaan:4x + 5y = 295.000 × 1 4x + 5y = 295.0002x + 3y = 165.000 × 2 4x + 6y = 330.000

––––––––––––––– ––y = –35.000

⇔ y = 35.000Substitusi y = 35.000 ke salah satu persamaan:

2x + 3y = 165.000⇔ 2x + 3(35.000) = 165.000⇔ 2x = 165.000 – 105.000⇔ x = 30.000

Hubungan: yx

= 35.00030.000

⇔ y = 76

x.

B. Uraian

1. Persamaan garis yang melalui (0, –1) dan (52 , 0)

adalah –x + 52 y = –

52 ⇔ 2x – 5y = 5.

Persamaan garis yang melalui (0, –4) dan (4, 0).–4x + 4y = –16 ⇔ x – y = 4Jadi, grafik di atas merupakan penyelesaian darisistem persamaan 2x – 5y = 5 dan x – y = 4.

2. a.2x 3

2−

+ 3

4y + = 2

61

(dikali 6)

⇔ 3(2x – 3) + 2(y + 4) = 13⇔ 6x – 9 + 2y + 8 = 13⇔ 6x + 2y = 14⇔ 3x + y = 7 . . . (1)


42x +

– 2

2y3 − = 5

41

(dikali 4)

⇔ x + 2 – 2(3y – 2) = 21⇔ x + 2 – 6y + 4 = 21⇔ x – 6y = 15 . . . (2)Eliminasi x dari (1) dan (2):3x + y = 7 × 1 3x + y = 7x – 6y = 15 × 3 3x – 18y = 45 –––––––––––– –

19y = –38⇔ y = –2

Substitusi y = –2 ke persamaan (1):3x + (–2) = 7 ⇔ 3x = 9

⇔ x = 3Jadi, penyelesaiannya x = 3 dan y = –2.

b. 3a + 14b = 3

10⇔ 9a + 42b = 10 . . . (1)

a + 13

b = 61

⇔ 6a + 2b = 1 . . . (2)

Eliminasi a dari (1) dan (2):9a + 42b = 10 × 2 18a + 84b = 206a + 2b = 1 × 3 18a + 6b = 3

–––––––––––––– –78a = 17

⇔ a = 1778

Substitusi nilai a = 1778 ke persamaan (2):

6 × 1778 + 2b = 1 ⇔ 2b = 1 –

10278

⇔ 2b = –4

13

⇔ b = –2

13

Jadi, penyelesaiannya a = 1778 dan b = –

213 .

3. Misal: B = umur BudiR = umur Rina

Sistem persamaannya:(B – 5) + (R – 5) = 25⇔ B + R = 35 . . . (1)(B + 2) – (R + 2) = 5⇔ B – R = 5 . . . (2)Eliminasi R dari (1) dan (2):B + R = 35B – R = 5–––––––––– +

2B = 40⇔ B = 20Substitusi nilai B = 20 ke B + R = 35:⇒ 20 + R = 35⇔ R = 35 – 20 = 15Jadi, umur Budi 20 tahun dan umur Rina 15 tahun.

4. Misalkan kedua bilangan itu a dan b.Model matematika dari soal di atas sebagaiberikut.

a + b = 15a – b = 19

Eliminasi a dari kedua persamaan:a + b = 15a – b = 19–––––––– –

2b = –4⇔ b = –2Substitusi b = –2 ke salah satu persamaan:

a + b = 15⇔ a – 2 = 15⇔ a = 17Jadi, bilangan tersebut 17 dan –2.

5. Misalkan kedua sudut itu A dan B dengan A = 5B.Model matematika dari soal di atas sebagaiberikut.

A + B = 180°A = 5B

Substitusi A = 5B ke persamaan A + B = 180°A + B = 180°

⇔ 5B + B = 180°⇔ 6B = 180°⇔ B = 30°

A = 5B⇔ A = 5 × 30°⇔ A = 150°Jadi, kedua sudut tersebut 150° dan 30°.

6. Misal: A = usia Andi sekarangD = usia Dewi sekarang

Model matematika dari soal di atas:A = D + 13 ⇔ A – D = 13 . . . (1)A + 9 = 2(D + 9) ⇔ A + 9 = 2D + 18

⇔ A – 2D = 9 . . . (2)Eliminasi (1) dan (2):

A – D = 13A – 2D = 9–––––––––– –

D = 4Substitusi D = 4 ke salah satu persamaan:

A – D = 13⇔ A – 4 = 13⇔ A = 17Dua tahun lalu : umur Dewi = 4 – 2 = 2 tahun

: umur Andi = 17 – 2 = 15 tahunJadi, dua tahun yang lalu umur Dewi 2 tahun danAndi 15 tahun.


7. Misal: p = panjang= lebar

Model matematika yang terbentuk dari soal di atas:2p + 2 = 84 ⇔ p + = 42 . . . (1)

p = + 8 ⇔ p – = 8 . . . (2)Eliminasi l dari kedua persamaan:p + = 42p – = 8–––––––– +

2p = 50⇔ p = 25Substitusi p = 25 ke salah satu persamaan:

p + = 42⇔ 25 + = 42⇔ = 17Luas = p × = 25 × 17 = 425 cm2

Jadi, luas persegi panjang 425 cm2.

8. Misal: x = banyak motor jenis NSR 500y = banyak motor jenis CBR 600

Sistem persamaannya:8x + 12y = 216 ⇔ 2x + 3y = 54 . . . (1)2x + 2y = 48 ⇔ x + y = 24 . . . (2)

Eliminasi x dari (1) dan (2):2x + 3y= 54 × 1 2x + 3y = 54

x + y = 24 × 2 2x + 2y = 48–––––––––––– –

y = 6Jadi, banyak motor jenis CBR 600 yang dapatdiproduksi 6 unit.

9.

Misal: x = harga sepotong rotiy = harga sebungkus kacang

Sistem persamaannya:2x + 3y = 4.750 . . . (1)5x + 4y = 9.250 . . . (2)

Eliminasi x dari (1) dan (2):2x + 3y = 4.750 × 5 10x + 15y = 23.7505x + 4y = 9.250 × 2 10x + 8y = 18.500

––––––––––––––––– –7y = 5.250

⇔ y = 750

Jenis Motor

NSR 500CBR 600

Total

Waktu DesainKontruksi

812

216

Waktu Finalisasi

22

48

Substitusi y = 750 ke persamaan (1):2x + 3(750) = 4.750 ⇔ 2x + 2.250 = 4.750

⇔ 2x = 2.500⇔ x = 1.250

Diperoleh harga sepotong roti Rp1.250,00 dansebungkus kacang Rp750,00.Uang yang disediakan untuk mentraktir 40 teman-temannya yang masing-masing makan sepotongroti dan sebungkus kacang adalah:40 × (Rp1.250,00 + Rp750,00) = Rp80.000,00.

10. Misal: x = banyak semangkay = banyak melon

Sistem persamaannya:x + y = 80 . . . (1)3.500x + 4.500y = 326.000⇔ 7x + 9y = 652 . . . (2)Eliminasi y dari (1) dan (2):

x + y = 80 × 9 9x + 9y = 7207x + 9y = 652 × 1 7x + 9y = 652

––––––––––––– –2x = 68

⇔ x = 34Eliminasi x dari (1) dan (2):

x + y = 80 × 7 7x + 7y = 5607x + 9y = 652 × 1 7x + 9y = 652 –––––––––––– –

–2y = –92⇔ y = 46

Jadi, di rak terdapat semangka 34 buah dan melon46 buah.

Nama

FajarLia

Roti

25

Kacang

34

Bayar

4.7509.250

Bab V Teorema Pythagoras

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: a

EB = AB – AE= 25 – 20 = 5

BC = 2 2CE EB+

= 2 212 5+ = 144 25+ = 169 = 13 cmJadi, panjang sisi BC = 13 cm.

A B

CD 20 cm

12 c

m

E

12 c

m

5 cm


2. Jawaban: aMisal belah ketupat tersebut ABCD.AC = 24 cmBD = 32 cm

AE = 12 × AC =

12 × 24 = 12 cm

BE = 12 × BD =

12 × 32 = 16 cm

AB2 = AE2 + BE2

= 122 + 162

= 144 + 256 = 400⇔ AB = 400 = 20 cmJadi, panjang sisi belah ketupat tersebut 20 cm.

3. Jawaban: bMisal panjang sisi ketiga = aa2 = 242 + 72

= 576 + 49= 625

⇔ a = 625 = 25 cmJadi, panjang sisi ketiga 25 cm.

4. Jawaban: dUkuran-ukuran pada segitiga siku-siku membentuktripel Pythagoras.Oleh karena 52 = 32 + 42 dan 252 = 72 + 242 makaukuran-ukuran segitiga 3 cm, 4 cm, 5 cm dan7 cm, 24 cm, 25 cm membentuk tripel Pythagoras.Jadi, 3 cm, 4 cm, 5 cm dan 7 cm, 24 cm, 25 cmmerupakan ukuran segitiga siku-siku.

5. Jawaban: aSegitiga CDE siku-siku di D.DE2 = CE2 – CD2

= 152 – 92

= 144

⇔ DE = 144 = 12 cm

Keliling ABCDE = AB + BC + CD + DE + AE= 15 + 10 + 9 + 12 + 10= 56 cm

6. Jawaban: bSegitiga EFD dan ∆CDF sama bentuk dan ukuran.Panjang CD = DESegitiga EFD siku-siku di F.DE2 = EF2 + DF2

= 32 + 42

= 25

⇔ DE = 25 = 5 cm

Keliling bangun = AB + BC + CD + DE + AE= 6 + 4 + 5 + 5 + 4= 24 cm

7. Jawaban: bMenggunakan rumus Pythagoras

AB = 2 2AC BC−

= 2 240 24−

= 1.600 576−

= 1.024 = 32 cm

BD = 2 2CD BC−

= 2 225 24− = 625 576− = 49 = 7 cmAD = AB – BD

= 32 – 7 = 25 cmJadi, nilai x = 25 cm.

8. Jawaban: b(i) p2 = q2 – r2

⇔ p2 + r2 = q2

∆PQR siku-siku di Q, maka ∠Q = 90°(iii) r2 = p2 – q2

⇔ r2 + q2 = p2

∆PQR siku-siku di P, maka ∠P = 90°Jadi, pernyataan yang benar (i) dan (iii).

9. Jawaban: cBD = 12 cmPanjang sisi = ss2 + s2 = 122

⇔ 2s2 = 144⇔ s2 = 72⇔ s = 72

= ×36 2 = 6 2

Jadi, panjang sisi persegi tersebut 6 2 cm.

10. Jawaban: aML2 = MN2 + NL2

⇔ NL2 = ML2 – MN2 = (2,5)2 – 22 = 6,25 – 4 = 2,25

⇔ NL = 2,25 = 1,5

L∆MNL = 12

× MN × NL = 12

× 2 × 1,5 = 1,5 cm2

L∆KLM = 2 × L∆MNL

= 2 × 1,5 = 3,00 cm2

Jadi, luas segitiga KLM 3,00 cm2.

11. Jawaban: aAB2 = AC2 + BC2

⇔ (5x)2 = 182 + (4x)2

⇔ 25x2 = 324 + 16x2

⇔ 25x2 – 16x2 = 324⇔ 9x2 = 324⇔ x2 = 36⇔ x = 36 = 6

A

B

C

D

E

A B

C

Dx

40 cm

24 c

m

25 c

m

A B

CD

s

s

12 cm


AC = 18 cmBC = 4x = 4(6) = 24 cm.

L = AC BC

2×

= 18 24

2×

= 216 cm2

Jadi, luas segitiga ABC 216 cm2.

12. Jawaban: d

Luas segitiga kincir = 12

× alas × tinggi

1,5 = 12

× 1,5 × tinggi ⇔ tinggi = 2

Panjang sisi miring segitiga kincir

= 2 21,5 2+ = 2,25 4+ = 6,25 = 2,5

Keliling kincir = 4 × 2,5 + 4 × 2 = 18 cm.

13. Jawaban: c(4n)2 + (3n)2 = 202

⇔16n2 + 9n2 = 202

⇔ 25n2 = 400⇔ n2 = 400 : 25⇔ n2 = 16

⇔ n = 16 = 4

14. Jawaban: dx2 = 122 + 92

= 144 + 81 = 225⇔ x = 225 = 15 cmy2 = x2 + 202 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625⇔ y = 625 = 25 cmx + y = 15 + 25 = 40 cm

15. Jawaban: c2EF = AF ⇔ 2EF = 6

⇔ EF = 3AE2 = EF2 + AF2

= 32 + 62

= 9 + 36 = 45

⇔ AE = 45 = 9 5× = 3 5AC2 = AB2 + BC2

= 102 + 52

= 100 + 25 = 125

⇔ AC = 125 = 5 25× = 5 5

AE : AC = 3 5 : 5 5 = 3 : 5Jadi, perbandingan AE dan AC adalah 3 : 5.

B. Uraian1. a. AC2 = AB2 + BC2

= 82 + 62

= 100⇔ AC = 100

= 10

Luas ∆ABC = 12 × BC × AB =

12 × AC × BD

⇔ BC × AB= AC × BD⇔ 6 × 8 = 10 × BD⇔ BD = 4,8

AD2= AB2 – BD2

⇔ r2 = 82 – (4,8)2

= 40,96

⇔ r = 40,96 = 6,4

Jadi, nilai r = 6,4.

b. AC2 = BC2 – AB2

= 252 – 72

= 625 – 49= 576

⇔ AC = 576 = 24r2 = DC2 + AC2

= 102 + 242

= 100 + 576 = 676⇔ r = 676 = 26Jadi, nilai r = 26.

c.

AC2 = AB2 + BC2

= 402 + 402

⇔ AC = 22 40× = 40 2

BD = AC = 40 2

DE = 12

× BD

= 12

× 40 2 = 20 2

Jadi, nilai r = 20 2 .

d. AC2 = AB2 + BC2

132 = 122 + BC2

⇔ BC2 = 132 – 122 = 25

⇔ BC = 25 = 5AD2 = AB2 + BD2

202 = 122 + BD2

⇔ BD2 = 202 – 122 = 256⇔ BD = 256 = 16BD = BC + CD16 = 5 + r ⇔ r = 16 – 5 = 9Jadi, nilai r = 9.BD = BC + CD16 = 5 + r ⇔ r = 16 – 5 = 9Jadi, nilai r = 9.

A

B C

DEF

6 cm

6 cm

4 cm

r

6

8

A

B C

D

A B

CD 10

r

25

7

r

40

A B

CD

E

II

II

r20

13

12A B

C

D


2. PS : PQ = 6 : 5 ⇔ 12 : PQ = 6 : 5⇔ 6PQ = 12 × 5

⇔ PQ = 12 5

6×

= 10 cm

PT : PQ = 2 : 5 ⇔ PT : 10 = 2 : 5⇔ 5PT = 2 × 10

⇔ PT = 2 10

5×

= 4 cm

TQ = PQ – PT = 10 – 4 = 6 cm

Luas ∆TQU = 15 luas PQRS

⇔ 12 × QU × TQ =

15 × PS × PQ

⇔ 12 × QU × 6 =

15 × 12 × 10

⇔ 3QU = 24⇔ QU = 8 cm∆TQU siku-siku di Q.TU2 = TQ2 + QU2

= 62 + 82 = 100

⇔ TU = 100 = 10 cmJadi, panjang TU = 10 cm.

3. Keliling ∆ABC = 36⇔ AC + AB + BC = 36⇔ 2AC + 10 = 36⇔ 2AC = 26⇔ AC = 13 cm

∆ADC siku-siku di DCD2 = AC2 – AD2

= 132 – 52 = 144

⇔ CD = 144 = 12 cm

Luas ∆ABC = 12 × AB × CD

= 12 × 10 × 12 = 60 cm2

Jadi, luas segitiga 60 cm2.

4.

Misalkan: panjang AB = BC = AC = a

panjang BD = 12

BC = 12

a

AB2 = BD2 + AD2

a2 = (12

a)2 + 122

⇔ a2 = 14

a2 + 144

⇔ a2 – 14

a2= 144

⇔34

a2 = 144

⇔ a2 = 192

⇔ a = 192 = 8 3Keliling ∆ABC = AB + BC + AC

= 8 3 + 8 3 + 8 3= 24 3

Jadi, keliling ∆ABC 24 3 cm.

5. a. Sisi terpanjangnya PR = 30 cm ⇔ PR2 = 900PQ2 + QR2 = 182 + 212

= 324 + 441 = 765Oleh karena PR2 lebih besar dari PQ2 + QR2

maka sudut yang menghadap sisi PRmerupakan sudut tumpul. Jadi, segitiga PQRtumpul.

b. Yang merupakan sudut tumpul adalah sudutyang menghadap sisi PR, yaitu sudut PQR.

A 5 D 5 B

C

A B

C

Da

a

12

12a

12a

A. Pilihan Ganda1. Jawaban: c

Perbandingan sisi-sisi segitiga ABCAB : AC : BC = 3 : 1 : 2⇔ AB : BC = 3 : 2

⇔ AB = 32

× BC

⇔ AB = 32

× 10 3

⇔ AB = 15 cmJadi, panjang AB = 15 cm.

2. Jawaban: aPerbandingan sisi-sisi ∆ABCAB : AC : BC = 1 : 1 : 2Menentukan panjang BC⇔ AB : BC = 1 : 2

⇔ BC = 21

× AB

⇔ BC = 2 × 40⇔ BC = 40 2Jadi, panjang BC = 40 2 cm.

A

C

10 3

30°

60°

B

A B

C

40 cm45°


3. Jawaban: dPerbandingan sisi-sisi ∆PQRPR : PQ : QR = 1 : 3 : 2Menentukan panjang PRPR : PQ = 1 : 3

⇔ PR = 13

× PQ

= 13

× 24 3 = 24 cm

Menentukan panjang QRPQ : QR = 3 : 2

⇔ QR = 23

× PQ = 23

× 24 3 = 48 cm

Jadi, panjang PR = 24 cm dan QR = 48 cm.

4. Jawaban: d∆ADC siku-siku di D dan besar ∠C = 30° makaperbandingan sisi-sisi pada ∆ADC:AD : AC : CD = 1 : 2 : 3⇔ AD : AC = 1 : 2⇔ AD : 12 = 1 : 2⇔ 2AD = 12 × 1⇔ AD = 6 cmAC : CD = 2 : 3⇔ 12 : CD = 2 : 3⇔ 2CD = 12 3⇔ CD = 6 3Panjang AB = AD + DB = 6 + 15 = 21 cm

Luas ∆ABC = 12 × AB × CD

= 12 × 21 × 6 3

= 63 3 cm2

5. Jawaban: d∆CDE siku-siku di E dan besar ∠C = 60° makaperbandingan sisi-sisi ∆CDE:CD : DE : EC = 2 : 3 : 1⇔ CD : DE = 2 : 3⇔ CD : 18 = 2 : 3⇔ 3 CD = 2 × 18

⇔ CD = 2 183

× = 12 3 cm

∆ACD siku-siku di D dan besar ∠C = 60° makaperbandingan sisi-sisi ∆ACD:CD : AD : AC = 1 : 3 : 2⇔ CD : AD = 1 : 3⇔ 12 3 : AD = 1 : 3⇔ AD = 12 3 × 3 = 36 cm

Luas persegi panjang ABCD = AD × CD= 36 × 12 3= 432 3 cm2

6. Jawaban: a

Panjang PR = 24 cm maka OP = 242 = 12 cm.

∆POS siku-siku di O dan ∠P = 30° maka per-bandingan sisi-sisi ∆POS:PS : OP : OS = 2 : 3 : 1

⇔ PS : OP = 2 : 3

⇔ PS : 12 = 2 : 3

⇔ 3 PS = 2 × 12

⇔ PS = 2 12

3×

= 8 3 cm

Panjang PQ = QR = RS = PS = 8 3 cm.Keliling PQRS = 4 × PS = 4 × 8 3 = 32 3 cm2.

7. Jawaban: bPerbandingan sisi ∆KLMKM : KL : ML = 3 : 1 : 2Sisi terpendek di hadapansudut yang besarnya 30°,yaitu KL.KL : ML = 1 : 2

⇔ KL = 12

× ML = 12

× 8 = 4

Jadi, panjang sisi terpendek 4 cm.

8. Jawaban: b

Besar salah satu sudut jajargenjang 120° makabesar sudut yang lain 60°.∆ABE siku-siku di E dan ∠B = 60° maka per-bandingan sisi-sisi ∆ABE:AB : AE : BE = 2 : 3 : 1

⇔ AB : AE = 2 : 3

⇔ 18 : AE = 2 : 3

⇔ 2AE = 18 3

⇔ AE = 9 3

Luas jajargenjang = BC × AE= 30 × 9 3

= 270 3 cm2

P Q

R

60°

24 330°

8 cm

K L

M

30°

60°

A

B C

D

E

18 c

m

30 cm

18 cm

30 cm60° 120°


9. Jawaban: d∆ACD siku-siku di D dan ∠A = 60° maka per-bandingan sisi-sisi ∆ACD:AD : CD : AC = 1 : 3 : 2⇔ AD : CD = 1 : 3⇔ 6 : CD = 1 : 3⇔ CD = 6 3

Luas ABCD = 2 × 12 × AD × CD

= 1 × 6 × 6 3= 36 3 cm2

Jadi, luas layang-layang 36 3 cm2.

10. Jawaban: d∆ABD siku-siku di B dan ∠D = 60° maka per-bandingan sisi-sisi ∆ABD:AD : AB : BD = 2 : 3 : 1⇔ AD : AB = 2 : 3⇔ 36 : AB = 2 : 3⇔ 2AB = 36 3⇔ AB = 18 3AB : BD = 3 : 1⇔ 18 3 : BD = 3 : 1⇔ 3 BD = 18 3⇔ BD = 18 cm∆ABC siku-siku di B dan ∠C = 30° maka per-bandingan sisi-sisi ∆ABC:AC : BC : AB = 2 : 3 : 1⇔ BC : AB = 3 : 1⇔ BC : 18 3 = 3 : 1⇔ BC = 18 3 × 3⇔ = 54 cmBD + DC = BC⇔ 18 + DC = 54⇔ DC = 54 – 18

= 36 cm

11. Jawaban: cABGH merupakan persegi panjang.Panjang HG = AB = 6 cmPanjang AH = BGBG dan AH merupakan diagonal sisi kubus.

Panjang AH = BG = 2 2BC CG+

= 2 26 6+

= 36 2× = 6 2

Luas ABGH = AB × BG

= 6 × 6 2 = 36 2 cm2

12. Jawaban: cMisalkan panjang rusuk kubus = sBG merupakan diagonal sisi kubus.BG2 = BC2 + CG2

162 = s2 + s2

⇔ 256 = 2s2

⇔ s2 = 128

⇔ s = 2 64×

= 8 2AG merupakan diagonal ruang kubus.

Panjang AG = s 3

= 8 2 × 3

= 8 6 cm

13. Jawaban: cAG merupakan diagonal ruang balok.AC2 = AB2 + BC2 = 102 + 82 = 164AG2 = AC2 + CG2 = 164 + 62 = 164 + 36 = 200

⇔ AG = 200

= 2 100×

= 10 2

Jadi, panjang AG = 10 2 cm.

14. Jawaban: cMisal AB = jarak antara A dan B

AB = 2 2B A B A(x x ) (y y )− + −

= 2 2(2 ( 4)) (15 7)− − + −

= 2 26 8+

= 36 64+

= 100 = 10

15. Jawaban: d

PQ = 2 2Q P Q P(x x ) (y y )− + −

⇔ 17 = 2 2(a ( 3)) ( 5 10)− − + − −

⇔ 172 = (a + 3)2 + 225

⇔ 289 = (a + 3)2 + 225⇔ 64 = (a + 3)2

⇔ (a + 3)2= ± 64⇔ a + 3 = ± 8⇔ a + 3 = 8 atau a + 3 = –8⇔ a = 5 atau a = –11Jadi, nilai a yang memenuhi 5 atau –11.


16. Jawaban: d

∆DEC siku-siku di E dan ∠C = 60° maka per-bandingan sisi-sisi ∆DEC:

EC : DE : DC = 1 : 3 : 2⇔ EC : DC = 1 : 2⇔ EC : 16 = 1 : 2⇔ 2EC = 16 × 1⇔ EC = 8 cm

DE : DC= 3 : 2

⇔ DE: 16 = 3 : 2

⇔ 2DE = 16 3

⇔ DE = 8 3

Panjang AD = AB = BE = DE = 8 3 cmPanjang BC = BE + EC

= (8 3 + 8) cm

Luas ABCD = 12 × AB × (AD + BC)

= 12 × 8 3 × (8 3 + 8 3 + 8)

= 4 3 × (16 3 + 8)

= (192 + 32 3 ) cm2

Jadi, luas trapesium (192 + 32 3 ) cm2.

17. Jawaban: d

Jurusan 030° diukur dari arahutara searah jarum jam.A : tempat keberangkatan

kapalAC : jarak kapal sekarang

dari tempat semula∆BEC siku-siku di E dan ∠B= 60° maka perbandingansisi-sisi ∆BEC:

BE : EC : BC = 1 : 3 : 2

⇔ EC : BC = 3 : 2

⇔ EC : 60 3 = 3 : 2

⇔ 2EC = 60 3 × 3

⇔ EC = 60 3

2×

= 90

BE : BC = 1 : 2

⇔ BE: 60 3 = 1 : 2

⇔ 2BE = 60 3

⇔ BE = 30 3

∆ADC siku-siku di D.

Panjang AD = BE = 30 3Panjang DE = AB = 60Panjang DC = DE + EC

= 60 + 90

= 150AC2 = AD2 + DC2

= (30 3 )2 + 1502

= 2.700 + 22.500= 25.200

⇔ AC = 25.200

= 3.600 7×

= 60 7Jadi, jarak kapal sekarang dari tempat semula

60 7 mil.

18. Jawaban: cAD : tinggi layang-layang

dari permukaan tanahBC : tinggi anakCD : panjang benang

layang-layangPanjang DE = AD – AE

= 160 – 140= 20 m

∆CED siku-siku di E dan besar ∠C = 30° makaperbandingan sisi-sisi ∆CED:CD : CE : ED = 2 : 3 : 1⇔ CD: ED = 2 : 1⇔ CD : 20 = 2 : 1⇔ CD = 2 × 20⇔ = 40 mJadi, panjang benang layang-layang 40 m.

A

B C

D

E

16 cm

60°

B T

U

S

A

B

C

D

E

030°

060°

90603

mil

60 mil

30 3 mil

60

AB

C

D

E30°

140

m


19. Jawaban: d

A : posisi awal IwanD : posisi akhir Iwan∆DAE siku-siku di EDA2 = DE2 + EA2

= 1502 + (150 3 )2 = 90.000

⇔ DA = 90.000 = 300 kmPerbandingan panjang sisi-sisi ∆DAE :DE : EA : DA = 150 : 150 3 : 300

= 1 : 3 : 2Oleh karena DE : EA : DA = 1 : 3 : 2 maka∠A = 30° dan ∠D = 60°.α adalah posisi Iwan yang diukur dari arah utarasearah jarum jam.α = sudut refleks BAD

= 360° – (∠DAE + ∠EAB)= 360° – (30° + 90°) = 240°

Jadi, posisi Iwan sekarang pada jurusan 240°.

20. Jawaban: c

A : tempat Amir mulai menyeberangC : tempat Amir sampai di seberangAC : jarak yang ditempuh AmirAB : lebar sungaiAmir menyeberangi sungai selama 2 menit.AC = kecepatan × waktu

= 24 m

menit × 2 menit = 48 m

∆BAC siku-siku di B dan ∠A = 30° maka per-bandingan sisi-sisi ∆BAC:BC : AB : AC = 1 : 3 : 2⇔ AB : AC = 3 : 2⇔ AB : 48 = 3 : 2⇔ 2AB = 48 3⇔ AB = 24 3Jadi, lebar sungai 24 3 m.

A

BC

D

E

F

120

km15

0 km

120 km

30°

150 3 km

150 3 kmα

B T

U

S

A

B

30°

C

B. Uraian1.

a. Perbandingan sisi-sisi ∆ABCAB : AC : BC = 1 : 3 : 2Menentukan panjang BCAB : BC = 1 : 2

⇔ BC = 21

× AB = 2 × 6 = 12 cmJadi, panjang sisi persegi BC = 12 cm.

b. Lpersegi = BC2 = 122 = 144 cmMenentukan panjang ACAB : AC = 1 : 3

⇔ AC = 31

× AB = 31

× 6 = 6 3 cm

Lsegitiga ABC = 12

× AB × AC = 12

× 6 × 6 3

= 18 3 cm2

c. Keliling persegi = 4 × BC = 4 × 12 = 48 cm.Keliling segitiga = AB + BC + AC

= 6 + 12 + 6 3

= (18 + 6 3 ) cm

2. LPQRS = PQ × QR⇔ 16 3 = 4 3 × QR

⇔ QR = 16 34 3

= 4 cm

PR2 = PQ2 + QR2 = (4 3 )2 + 42 = 48 + 16 = 64

⇔ PR = 64 = 8 cmPQ : QR : PR = 4 3 : 4 : 8 = 3 : 1 : 2Oleh karena PQ : QR : PR = 3 : 1 : 2 dan sudut tmenghadap sisi QR (sisi terpendek) maka sudutt = 30°.

3. Panjang PR = 2 2R P R P(x x ) (y y )− + −

= 2 2(14 2) (1 10)− + −

= 144 81+= 15 satuan

Panjang QR = 2 2

R Q R Q(x x ) (y y )− + −

= 2 2(14 2) (1 ( 15))− + − −

= 144 256+= 20 satuan

A

B

C D

E6

30°


Luas ∆PQR = 12 × PR × QR

= 12 × 15 × 20

= 150 satuan luasJadi, luas segitiga PQR 150 satuan luas.

4. Panjang rusuk kubus: s = 18 cmAH merupakan diagonal sisi kubus.Panjang AH = s 2 = 18 2 cmBH merupakan diagonal ruang kubus.Panjang BH = s 3 = 18 3 cmKeliling ∆ABH = AB + BH + AH

= 18 + 18 2 + 18 3= 18(1 + 2 + 3 ) cm

5.

Banyaknya tangga yang dibuat = 2 buah.Misalkan: panjang tangga = a

jarak tangga dari lantai = btinggi tembok = c

Dari gambar di sampingdiperoleh:

a : b : c = 2 : 1 : 3⇔ a : b = 2 : 1⇔ a : 3 = 2 : 1⇔ a = 2 × 3

= 6 mPanjang tangga: a = 6 mPanjang tangga secara keseluruhan = 2 × 6 m

= 12 m.Biaya pembuatan tangga per 0,5 meter= Rp125.000,00Biaya total pembuatan tangga

= 12 m0,5 m × Rp125.000,00

= Rp3.000.000,00Jadi, biaya total pembuatan tangga kantor tersebutsebesar Rp3.000.000,00.

temboklantai dua

lantai satu

lantai dasar

4 m

4 m

3 m

a

b

c

60°

30°


AC2 = BC2 – AB2

= 352 – 212 = 784AC = 784 = 28 cm

2. Jawaban: ca2 + b2 = c2

⇔7,52 + b2 = 19,52

⇔ b2 = 19,52 – 7,52

⇔ b2 = 380,25 – 56,25⇔ b2 = 324

⇔ b = 324 = 18

3. Jawaban: b

L∆PQR = PQ PR

2× ⇔ PR = PQR2 L

PQ∆×

⇔ PR = 2 30

5×

= 12

QR = 2 2PQ QR+

= 2 25 12+

= 25 144+= 169 = 13

Jadi, panjang QR = 13 cm.

4. Jawaban: cKL2 = KM2 + LM2

262 = KM2 + 102

⇔ KM2 = 262 – 102 = 576⇔ KM = 576 = 24 cm

L∆KLM = 12

× KM × LM = 12

× KL × MN

12

× 24 × 10 = 12

× 26 × MN⇔ 120 = 13 × MN

⇔ MN = 12013

≈ 9,2 cm

5. Jawaban: c∆ADC siku-siku di D.AD2 = AC2 – CD2

= 172 – 152

= 289 – 225= 64

⇔ AD = 64 = 8∆ABD siku-siku di D.AB2 = AD2 + BD2

= 82 + 62

= 64 + 36 = 100


⇔ AB = 100 = 10⇔ 2x – 8 = 10⇔ 2x = 10 + 8⇔ 2x = 18⇔ x = 9Jadi, nilai x adalah 9.

6. Jawaban: aMisalkan segitiga itu ABC.Berlaku teorema Pythagoras:

AC2 = AB2 + BC2

⇔ 102 = (x + 2)2 + x2

⇔ 102 = x2 + 4x + 4 + x2

⇔ 100 = 2x2 + 4x + 4⇔ 2x2 + 4x – 96 = 0⇔ x2 + 2x – 48 = 0⇔ (x – 6)(x + 8) = 0⇔ x = 6 atau x = –8x = –8 (tidak memenuhi karena panjang sisi tidak

mungkin negatif)x = 6 (memenuhi)BC = x = 6AB = x + 2 = 8

L∆ABC = 12 × AB × BC =

12 × 8 × 6 = 24 cm2

Jadi, luas daerah segitiga 24 cm2.

7. Jawaban: aMisalkan BC = amaka AC = 2a∆ABC siku-siku di B.AC2 = BC2 + AB2

⇔ (2a)2 = a2 + (12 3 )2

⇔ 4a2 = a2 + 432⇔ 3a2 = 432⇔ a2 = 144⇔ a = 12Jadi, panjang BC = 12 cm.

8. Jawaban: cLN = 2 × NO = 2 × 12 = 24 cm

Luas KLMN = 12 × LN × KM

⇔ 252 = 12 × 24 × KM

⇔ 252 = 12 × KM

⇔ KM = 25212 = 21 cm

Pada segitiga siku-siku NOM berlaku:OM2 = MN2 – NO2

= 202 – 122 = 256

⇔ OM = 256 = 16 cmOK = KM – OM

= 21 – 16 = 5 cm

A

B C

x + 210

x

Pada segitiga siku-siku KOL berlaku:KL2 = OK2 + OL2 = 52 + 122

= 25 + 144 = 169

⇔ KL = 169 = 13 cm

Jadi, panjang KL = 13 cm.

9. Jawaban: aAC2 = BC2 – AB2

= 62 – 32

= 36 – 9 = 27

⇔ AC = 27 = 9 3×

= 3 3 mJadi, tinggi pohon kelapa yang dapat

dicapai oleh tangga 3 3 m.

10. Jawaban: d∆AED siku-siku di E.AE2 = AD2 – DE2

= 102 – 82

= 100 – 64 = 36

⇔ AE = 36 = 6

AE = 25 CE

⇔ CE = 52 AE =

52 × 6 = 15 cm

∆DEC siku-siku di E.DC2 = DE2 + CE2 = 82 + 152

= 64 + 225= 289

⇔ DC = 289 = 17 cmPanjang AB = AD = 10 cmPanjang BC = DC = 17 cmKeliling ABCD:K = AB + BC + CD + DA

= 10 + 17 + 17 + 10= 54 cm

Jadi, keliling bangun ABCD 54 cm.

11. Jawaban: bAK = BL = 2 cmKB = 5 cm∆AKB siku-siku di B.AB2 = AK2 + KB2

= 22 + 52

= 29

⇔ AB = 29

LABCD = AB × BC

= 29 × 29= 29 cm2

Jadi, luas persegi ABCD 29 cm2.

A B

C

6 m

3 m

A B

C

6 cm

3 cm


A B

C

1,21,3

U

T

S

B

12. Jawaban: a

C : tempat kapalAC2 = AB2 + BC2

⇔ 1,32 = AB2 + 1,22

⇔ AB2 = 1,32 – 1,22 = 0,25⇔ AB = 0,25 = 0,5Jadi, jarak antara pos A dan pos B 0,5 km.

13. Jawaban: aEC = AB = 8∆DEC siku-siku di E.DC2 = ED2 + EC2

102 = ED2 + 82

⇔ ED2 = 102 – 82

= 36 m⇔ ED = 36 = 6AD = ED + EA

= 6 + 4= 10 n

LABCD = 12

× (jumlah sisi sejajar) × tinggi

= 12

× (AD + BC) × AB

= 12

× (10 + 4) × 8 = 56 m2

Biaya pengecatan = 56 × Rp2.000,00= Rp112.000,00

Jadi, biaya yang diperlukan Rp112.000,00.

14. Jawaban: cMenggunakan rumus Pythagoras.

OB = 2 2OA AB+

= 2 210 10+ = 22 10×

= 10 2 cm

OC = 2 2OB BC+

= 2 2(10 2) 10+ = 200 100+

= 300 = 10 3 cm

OD = 2 2OC CD+

= 2 2( 300) 10+ = 300 100+

= 400 = 20 cmJadi, garis yang panjangnya 20 cm adalah OD.

A B

C

D

-------------------------------

10 m

8 m

8 m

4 m

E

15. Jawaban: dPerhatikan ∆DEC

DE = 2 2CE DC−

= 2 213 5−

= 169 25−

= 144 = 12 cm

AE = 34 DE =

34 × 12 = 9 cm

Perhatikan ∆AED

AD = 2 2AE DE+

= 2 29 12+

= 81 144+

= 225 = 15 cmBC = AD = 15 cmKeliling ABCD= AD + DC + CB + (BE + EA)= 15 + 5 + 15 + (14 + 9)= 58 cm

16. Jawaban: b

Luas ∆STR = 24 cm2

12 × ST × RT = 24

⇔ 12 × ST × 8 = 24

⇔ ST = 6 cm∆STR siku-siku di T, maka:

SR = 2 2ST RT+

= 2 26 8+ = 100 = 10 cmPS = SR = 10 cmPerhatikan ∆QUR.QU = PT = PS + ST = 16 cmUR = UT – TR = PQ – TR = 18 – 8 = 10 cmLuas PQRS= luas PQUT – luas SRT – luas QUR

= (18 × 16) – 24 – 12 (10 × 16)

= 288 – 24 – 80 = 184 cm2

A

D

E9

12

P Q

R

S

T

18 cm

8 cm

6 cm

10 cm

10 cm

16 cm

U


17. Jawaban: b

A : tempat kapal mula-mulaC : tempat akhir kapalAC : jarak kapal sekarang dari tempat semula∆CDB siku-siku di D dan ∠B = 60° maka per-bandingan sisi-sisi ∆CDB:DB : DC : BC = 1 : 3 : 2⇔ DB : BC = 1 : 2⇔ DB : 200 = 1 : 2⇔ 2DB = 200⇔ DB = 100Panjang DA = DB – AB

= 100 – 80= 20

DC : BC = 3 : 2⇔ DC : 200 = 3 : 2⇔ 2DC = 200 3⇔ DC = 100 3∆DAC siku-siku di D.AC2 = DA2 + DC2

= 202 + (100 3 )2

= 400 + 30.000= 30.400

⇔ AC = 30.400

= 1.600 19× = 40 19

Jadi, jarak kapal sekarang dari tempat semula

40 19 mil.

18. Jawaban: cAB : tinggi AndiBC : jarak Andi dari

menaraCD : tinggi menara

B T

U

S

A B

C

D

200 mil

80 mil060°

Panjang AE = BC = 200 m∆AED siku-siku di E dan ∠A = 60° maka per-bandingan sisi-sisi ∆AED:AE : ED : AD = 1 : 3 : 2

⇔ AE : ED = 1 : 3

⇔ 200 : ED = 1 : 3

⇔ ED = 200 3= 340 m

Tinggi menara = CE + ED= 1,6 + 340= 341,6 m

19. Jawaban: dBD merupakan diagonal sisi kubus.Panjang sisi kubus: s = 14 cm

Panjang BD = s 2 = 14 2 cm

Luas ∆BHD = 12 × BD × DH

= 12 × 14 2 × 14 cm

= 98 2 cm2

20. Jawaban: dAC merupakan diagonal sisi ABCD.AC2 = AB2 + BC2

= 42 + 32 = 25

⇔ AC = 25 = 5 cmAG merupakan diagonal ruang balok ABCD.EFGH.AG2 = AC2 + CG2

= 25 + 122 = 169

⇔ AG = 169 = 13 cm∆ACG siku-siku di C dan CT ⊥ AG maka:

Luas ∆ACG = 12 × AC × CG =

12 × AG × CT

⇔ AC × CG = AG × CT⇔ 5 × 12 = 13 × CT

⇔ CT = 5 12

13×

= 6013 = 4

813 cm

21. Jawaban: bDB2 = AB2 + AD2 = 482 + 362 = 3.600

⇔ DB = 3.600 = 60DF2 = DB2 + BF2

⇔ 652 = 602 + BF2

⇔ BF2 = 652 – 602

= 625

⇔ BF = 625 = 25 cm

A

B 200 m C

D

E60°

160 m


Lpermukaan balok

= 2 × LABCD + 2 × LABFE + 2 × LBCGF

= 2 × (48 × 36) + 2 × (48 × 25) + 2 × (36 × 25)= 3.456 + 2.400 + 1.800= 7.656 cm2

Jadi, luas permukaan balok 7.656 cm2.

22. Jawaban: aAC merupakan diagonal sisi ABCD.AC2 = AB2 + BC2

= 162 + 122

= 400

⇔ AC = 400 = 20 cmAG merupakan diagonal ruang kubusABCD.EFGH.AG2 = AC2 + GC2

= 400 + 152

= 625

⇔ AG = 625 = 25 cm

Panjang RC = AR = 12 AC =

12 × 20 = 10 cm

Panjang AP = PG = 12 × AG =

12 × 25 = 12,5 cm

∆ARP siku-siku di RPR2 = AP2 – AR2

= (12,5)2 – 102 = 56,25

⇔ PR = 56,25 = 7,5 cm

Luas PRCG = 12 × RC × (PR + GC)

= 12 × 10 × (7,5 + 15) = 112,5 cm2

23. Jawaban: dSegi enam beraturan tersusun dari enam buahsegitiga sama sisi yang kongruen.OA = OB = AB = r

AT = 12 AB

OT = 30 cm∆ATO siku-siku di T.OA2 = AT2 + OT2

⇔ AB2 = AT2 + OT2

⇔ AB2 = (12 AB)2 + 302

⇔AB2 – 14 AB2 = 900

⇔ 34 AB2 = 900

⇔ AB2 = 900 × 43 ⇔ AB2 = 1.200

⇔ AB = 1.200

= ×400 3 = 20 3

Jadi, jari-jari lingkaran 20 3 cm.

AB

C

DE

F

O

rT

24. Jawaban: c

L = + ×(10 26) DE

2

⇔ 270 = ×36 DE2

⇔ 36DE = 540

⇔ DE = 54036 = 15

∆AED siku-siku di E.⇔ AD2 = AE2 + DE2 = 82 + 152 = 64 + 225

⇔ AD = 289 = 17 mBC = AD = 17 mK = AB + BC + CD + AD

= 26 + 17 + 10 + 17 = 70 m

Banyak pohon = 70 m5 m = 14 pohon

Jadi, dibutuhkan 14 batang pohon.

25. Jawaban: dAD : tinggi anak = 150 cm = 1,5 m.DE : jarak anak dengan tiang bendera = 12 mAC : jarak kepala anak dengan tiang benderaCE : tinggi tiang bendera.∆ABC siku-siku di B.CB2 = AC2 – AB2

= 132 – 122

= 169 – 144= 25

⇔ CB = 25 = 5 mBE = AD = 1,5 mCE = CB + BE

= 5 + 1,5= 6,5

Jadi, tinggi tiang bendera 6,5 m.

26. Jawaban: cPanjang rusuk kubus: s = 10 cm.AH dan BG merupakan diagonal sisi kubus.

Panjang AH = BG = s 2 = 10 2 cm.T titik tengah BG maka

TG = TB = 12 BG

= 12 × 10 2 = 5 2 cm

AH sejajar BG dan GH tegak lurus BG maka ATGHberbentuk trapesium siku-siku.

Luas ATGH = 12 × HG × (AH + TG)

= 12 × 10 × (10 2 + 5 2 )

= 5 × 15 2

= 75 2 cm2

A B

CD

E

10 m

26 m

A B

C

D E

13 m

12 m

1,5 m


27. Jawaban: aPanjang sisi kubus: s = 9 cm.TQ merupakan diagonal sisi kubus.

Panjang TQ = s 2 = 9 2 cmQW merupakan diagonal ruang kubus.

Panjang QW = s 3 = 9 3 cmTW ⊥ TQ maka ∠QTW siku-siku.Oleh karena itu, ∆TQW siku-siku di T.

Luas ∆TQW = 12 × TQ × TW =

12 × QW × TO

⇔ TQ × TW = QW × TO

⇔ 9 2 × 9 = 9 3 × TO

⇔ TO = 9 2

3 =

93 6 = 3 6 cm

∆TOW siku-siku di O.

OW2 = TW2 – TO2 = 92 – (3 6 )2 = 27

⇔ OW = 27 = 3 3 cm

OQ = QW – OW = 9 3 – 3 3 = 6 3 cm

Nilai OW : OQ = 3 3 : 6 3 = 1 : 2

28. Jawaban: cPanjang sisi-sisi ∆ABC:

AB = 2 2B A B A(x x ) (y y )− + −

= 2 2(6 2) (5 2)− + −

= 16 9+ = 5 satuan

BC = 2 2C B C B(x x ) (y y )− + −

= 2 2(2 6) (8 5)− + −

= 16 9+ = 5 satuan

AC = 2 2C A C A(x x ) (y y )− + −

= 2 2(2 2) (8 2)− + −

= 0 36+ = 6 satuan

Keliling ∆ABC = AB + BC + AC= 5 + 5 + 6= 16 satuan

29. Jawaban: c

Panjang AC = 2 2C A C A(x x ) (y y )− + −

= 2 2(6 2) (7 5)− + −

= 16 4+ = 20

= 4 5× = 2 5

Panjang BD = 2 2D B D B(x x ) (y y )− + −

= 2 2(3 7) (8 0)− + −

= 16 64+ = 80

= 16 5× = 4 5

Luas layang-layang = 12 × AC × BD

= 12 × 2 5 × 4 5 = 20

30. Jawaban: c

Panjang PR = 2 2R P R P(x x ) (y y )− + −

= 2 2(12 0) ( 1 7)− + − −

= 144 64+

= 208 = 16 13× = 4 13Luas belah ketupat = 52

⇔ 12 × PR × QS = 52

⇔ 12 × 4 13 × QS = 52

⇔ QS = 52

2 13

= 52 132 13× = 2 13

Panjang QS = 2 2S Q S Q(x x ) (y y )− + −

⇔ 2 13 = 2 2(8 4) (n 0)− + −

⇔ 2 13 = 216 n+

⇔ (2 13 )2 = 16 + n2

⇔ 52 = 16 + n2

⇔ n2 = 36

⇔ n = ± 36 = ±6Jadi, nilai n = 6 atau n = –6.

B. Uraian1. Luas ∆ABC = 100

⇔ 12 × AB × DC = 100

⇔ 12 × 25 × DC = 100

⇔ DC = 8 cmAD : DB = 2 : 3

⇔ DB = 35 AB =

35 × 25 = 15 cm

∆CDB siku-siku di D.BC2 = DC2 + DB2 = 82 + 152 = 289

⇔ BC = 289 = 17 cm


Luas ∆CDB = 12 × DB × DC =

12 × BC × DE

⇔ DB × DC = BC × DE⇔ 15 × 8 = 17 × DE⇔ DE ≈ 7,06 cm

2. Sisi-sisi belah ketupat sama panjang.Keliling ABCD = AB + BC + CD + AD80 = 4 × AB

⇔ AB = 804

= 20 cm

BO = 12

BD = 12

× 24 = 12 cm

AO2 = AB2 – BO2 = 202 – 122 = 256⇔ AO = 256 = 16AC = 2AO = 2 × 16 = 32 cmJadi, panjang AC = 32 cm.

3. DO = 12

BD = 12

× 16 = 8 cmDC = 10 cmDC2 = DO2 + CO2

⇔ 102 = 82 + CO2 ⇔ CO2 = 102 – 82 = 36⇔ CO = 36 = 6 cmAC = 2 × CO = 2 × 6 = 12 cm

PO = 12

× DO = 12

× 8 = 4 cm

PQ = 2 × PO = 2 × 4 = 8 cmLdaerah yang diarsir = LABCD – LAQCP

= 12

× AC × BD – 12

× AC × PQ

= 12

× 12 × 16 – 12

× 12 × 8

= 96 – 48 = 48 cm2

Jadi, luas daerah yang diarsir 48 cm2.

4. a. DE2 = AD2 – AE2

= 252 – 72

= 625 – 49 = 576⇔ DE = 576 = 24Jadi, panjang garistinggi DE = 24 cm.

b. CF = DE = 24 cmBF2 = CB2 – CF2

= 262 – 242

= 676 – 576 = 100

⇔ BF = 100 = 10 cmAF = AB – BF

= 20 – 10 = 10 cmAC2 = AF2 + CF2

= 102 + 242

= 100 + 576 = 676

⇔ AC = 676 = 26 cmJadi, panjang diagonal AC = 26 cm.

A B

CD

E

25 26

7

20F

5. CE : tinggi layang-layang dari permukaan tanahAB : tinggi Adi∆BDC siku-siku di D.CD2 = CB2 – BD2

= 1502 – 1202

= 8.100⇔ CD = 8.100

= 90 mDE = AB = 1,5 mCE = CD + DE

= 90 + 1,5 = 91,5Jadi, tinggi layang-layang dari permukaan tanah91,5 m.

6. FC = 12

EC = 12

AB

= 12

× 8 = 4 m

∆DFC siku-siku di F.DF2 = DC2 – FC2

= 52 – 42 = 9⇔ DF = 9 = 3 m

L∆CDE= 12

× EC × DF

= 12

× 8 × 3 = 12 m2

LABCE= AB × BC = 8 × 8 = 64 m2

Luas tembok = L∆CDE + LABCE

= 12 + 64 = 76 m2

Biaya pengecatan = 76 × Rp1.750,00/m2

= Rp133.000,00

7.

HP2 + AH2 = HP2 + EP2 = 25HP2 + DH2 =HP2 + GP2 = 9

––––––––––––– –EP2 – GP2 = 16 . . . (i)

EP2 + BE2 = EP2 + CG2 = 160 . . . (ii)Persamaan (ii) dikurang persamaan (i):EP2 + CG2 = 160EP2 – GP2 = 16––––––––––––––– –CG2 + GP2 = 144Oleh karena ∆PCG siku-siku di G maka:

CP = 2 2CG GP+

= 144 = 12Jadi, panjang CP = 12.

120 m

A

B

C

D

E

150 m

Adi Endra1,5 m

A B

C

D

EF

8 m

8 m

5 m

A B

CD

3

5

E

F

G

P

160

H


8. AC2 = 3202 = 102.400AB2 + BC2 = 2502 + 2002

= 102.500Oleh karena AB2 + BC2 ≠ AC2

maka segitiga ABC bukansegitiga siku-siku.Jadi, bingkai itu tidak berbentuk persegi panjang.

9. Perhatikan gambar di disamping.∆ACB siku-siku di A dan∠B = 60° maka per-bandingan sisi-sisi ∆ACB:AB : AC : BC = 1 : 3 : 2⇔ AB : BC = 1 : 2⇔ 100 : BC = 1 : 2⇔ BC = 2 × 100

= 200Jadi, jarak kota C dari Badalah 200 km.

10. Panjang rusuk kubus: s = 4 cm.AG dan CE merupakan diagonal ruang kubus.Panjang AG = CE = s 3 = 4 3 cm.AC merupakan diagonal sisi kubus.Panjang AC = s 2 = 4 2 cm.Titik O merupakan titik tengah AG dan CE maka:

Panjang OA = OC = 12 CE =

12 × 4 3 = 2 3 cm

Perhatikan gambar ∆OAC di bawah.

OT2 = OC2 – TC2 = (2 3 )2 – (2 2 )2 = 12 – 8 = 4

⇔ OT = 4 = 2 cm

Luas ∆OAC = 12 × AC × OT

= 12 × 4 2 × 2

= 4 2 cm2

A B

CD

U

U

A

B

C

170°

080°

90°

100 km60° 20

0°

A C

O

T2 2 cm 2 2 cm

23

cm2

3 cm

Latihan Ulangan Akhir Semester


x2y2(y + 2x2y) – 3x2(y3 – xy4) + 2x3y4 – 5x4y3

= x2y3 + 2x4y3 – 3x2y3 + 3x3y4 + 2x3y4 – 5x4y3

= x2y3 – 3x2y3 + 2x4y3 – 5x4y3 + 3x3y4 + 2x3y4

= –2x2y3 – 3x4y3 + 5x3y4

2. Jawaban: a5(3a – b) = 15a – 5b7(a – 2b) = 7a – 14b

––––––––– – 8a + 9b

3. Jawaban: d

(2x – 12 )2 = (2x)2 – 2 · (2x) ·

12 +

212

= 4x2 – 2x + 14

ax2 + bx + c = 4x2 – 2x + 14

Sehingga diperoleh a = 4, b = –2, dan c = 14 .

Nilai a + b – c = 4 + (–2) – 14

= 134 .

4. Jawaban: b(2a – 1)2 – (a + 1)2

= ((2a – 1) + (a + 1))((2a – 1) – (a + 1))= (2a – 1 + a + 1)(2a – 1 – a – 1)= 3a(a – 2)Jadi, salah satu faktornya (a – 2).

5. Jawaban: d12x2 – 11x – 15

= 1

12 (12x + 20)(12x – 9)

= 1

12 · 4(3x + 5) · 3(4x – 3)

= 1

12 · 12(3x + 5)(4x – 3)

= (3x + 5)(4x – 3)

6. Jawaban: b2

22x + 5x 42

x 36−

− = (2x 7)(x + 6)

(x + 6)(x 6)−

− = 2x 7

x 6−−

7. Jawaban: b

22x(x + 4) 3(x + 1)

2x 9x + 4−

−=

2

22x + 8x 3x + 3

2x 9x + 4−

−

= 2

22x + 5x 32x 9x + 4

−−

= (2x 1)(x + 3)(2x 1)(x 4)

−− − =

x + 3x 4−

Sehingga diperoleh a = 1, b = 3, c = 1, dan d = –4.Jadi, ad – bc = 1(–4) – 3(1) = –4 – 3 = –7.


8. Jawaban: a2

2x x 2

2x + 3x + 1− − : 2

(x 2)2x x 1

−− −

= 2

2x x 2

2x + 3x + 1− − ×

22x x 1(x 2)

− −−

= (x 2)(x + 1)(2x + 1)(x + 1)

− × (2x + 1)(x 1)(x 2)

−−

= x – 1

9. Jawaban: cx

1 3x− + 4

5 + x +

2

22x + 3x 35 14x 3x

−− −

= x1 3x−

+ 45 + x

+ 22x + 3x 3

(5 + x)(1 3x)−

−

= 2x(5 + x) + 4(1 3x) + 2x + 3x 3

(5 + x)(1 3x)− −

−

= 2 25x + x + 4 12x + 2x + 3x 3

(5 + x)(1 3x)− −

−

= 23x 4x + 1

(5 + x)(1 3x)−

−

= (3x 1)(x 1)(5 + x)(3x 1)

− −− −

= – (x 1)5 + x

− = 1 x5 + x

−

10. Jawaban: bSuatu relasi disebut pemetaan jika setiap anggotadomain dikawankan dengan tepat satu anggotakodomain. Jadi, pasangan berurutan yangmerupakan pemetaan A dan C.

11. Jawaban: dJika banyak anggota himpunan A = n dan banyakanggota himpunan B = m, maka banyaknyapemetaan yang dapat dibuat dari A ke B adalah mn.Diketahui n(A) = 4 dan n(B) = 3 maka banyaknyapemetaan yang dapat dibuat dari A ke B adalah34 = 81.

12. Jawaban: af(x) = 2x – 5

x –3 –2 –1 0 1 2 3

f(x) –11 –9 –7 –5 –3 –1 1

Jika nilai dalam tabel digambarkan dalamkoordinat Cartesius maka diperoleh gambarseperti pilihan a.

13. Jawaban: aA = {1, 2, 3, 4}f: x → x2 – 5x = 1 → f(1) = 12 – 5 = –4x = 2 → f(2) = 22 – 5 = –1x = 3 → f(3) = 32 – 5 = 4x = 4 → f(4) = 52 – 5 = 11Range fungsi = {–4, –1, 4, 11}

14. Jawaban: d

f(x – 2) = 5x 12−

f(–1) = f(1 – 2) = 5(1) 12

− = 5 1

2−

= 2

f(1) = f(3 – 2) = 5(3) 1

2−

= 15 1

2−

= 7

f(–1) + 1) = f(0) = f(2 – 2) = 5(2) 1

2−

= 92 = 4

12

f(–1) + f(1) – f((–1) + 1) = 2 + 7 – 412 = 4

12

15. Jawaban: cf(x) = ax + bf(1) = 2 ⇒ a · 1 + b = 2

⇔ a + b = 2 . . . (i)f(–2) = 11 ⇒a(–2) + b = 11

⇔ –2a + b = 11 . . . (ii)Eliminasi b dari (i) dan (ii):

a + b = 2–2a + b = 11––––––––––– –

3a = –9⇔ a = –3

Eliminasi a dari (i) dan (ii):a + b = 2 × 2 2a + 2b = 4

–2a + b = 11 × 1 –2a + b = 11–––––––––––– +

3b = 15⇔ b = 5

Jadi, rumus fungsinya f(x) = –3x + 5.

16. Jawaban: cGaris tersebut melalui titik (–4, 0) dan (0, 3) maka

gradien = yx

∆∆ = 2 1

2 1

y yx x

−−

= 3 00 ( 4)

−− −

= 43

.

17. Jawaban: a

mPQ = Q P

Q P

y yx x

−−

–1 = 25y7

−−

⇔ –1 = 7 y3−

⇔ –3 = 7 – y ⇔ y = 10

18. Jawaban: c(i) g: ax + by = c ⇔ by = c – ax

⇔ y = cb

– ab

x

Gradien garis g: m1 = –ab .

(ii) h: px + qy = r ⇔ qy 2 = r – px

⇔ y = rq

– pq

x

Gradien garis h: m2 = –pq .


Kedua garis saling tegak lurus maka berlaku:

m1 × m2 = –1 ⇒ – ab

× pq

−

= –1

⇔ ab

× pq

= –1

⇔ apbq

= –1

⇔ ap = –bq⇔ ap + bq = 0

19. Jawaban: dPersamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan (a, b)

adalah y = ba x.

Oleh karena garis h melalui titik (0, 0) dan (–8, 6)

maka persamaan garisnya adalah y = 68− x atau y

= –34 x.

20. Jawaban: bTitik A, B, dan C segaris berarti gradien yangmenghubungkan dua titik tersebut sama danmempunyai persamaan garis sama.

•––––––––––––––•––––––––––––––––––––––•A(2, –5) B(5, k) C(6, 7)

Gradien garis AB = gradien garis BC

B A

B A

y yx x

−− = C B

C B

y yx x

−−

⇒ k ( 5)

5 2− −

− = 7 k6 5

−− ⇔ k 5

3+

= 7 k

1−

⇔ k + 5 = 21 – 3k⇔ k + 3k = 21 – 5⇔ 4k = 16

⇔ k = 164

⇔ k = 4

21. Jawaban: aPersamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1)dan (x2, y2):

1

2 1

y yy y

−− = 1

2 1

x xx x

−−

Persamaan garis lurus yang melalui titik (–2, 3)dan (–4, –2):

y 32 3

−− − = x ( 2)

4 ( 2)− −

− − −⇒ y 3

5−− =

x 22

+−

⇔ –2(y – 3) = –5(x + 2)⇔ –2y + 6 = –5x – 10⇔ 2y – 5x – 16 = 0

22. Jawaban: dGaris lurus memiliki gradien m = –3 dan melaluititik (–2, 5).Persamaan garis:y – y1 = m(x – x1)

y – 5 = –3(x + 2)⇔ y = –3x – 6 + 5⇔ y = –3x – 1

23. Jawaban: c

Garis 3x + 4y = 8 mempunyai gradien m1 = –43

.Misal m2 gradien garis yang tegak lurus garis3x + 4y = 8, maka:

m1 × m2 = –1 ⇒ –43

× m2 = –1

⇔ m2 = 34

Persamaan garis yang melalui titik (1, 2) dan

bergradien m2 = 34

.

y – y1 = m2(x – x1)

y – 2 = 34

(x – 1)

⇔ 3y – 6 = 4x – 4⇔ 3y – 4x = 6 – 4⇔ 4x – 3y = –2

24. Jawaban: bGaris y = mx + 3 melalui titik (1, 1) sehinggadiperoleh:1 = m(1) + 3 ⇒ 1 = m + 3

⇔ m = 1 – 3 = –2Persamaan garis menjadi y = –2x + 3.Titik (5, p) dilalui garis y = –2x + 3 maka:p = –2(5) + 3

= –10 + 3 = –7

25. Jawaban: aGaris k sejajar garis , sehingga gradien garis ksama dengan gradien (mk = m )Menentukan gradien garis k

mk = m = yx

∆∆ =

0 49 0

−− =

49

−

Persamaan garis yang melewati titik (5, 6) dan

bergradien mk = –49 :

(y – y1) = mk(x – x1)

y – 6 = –49 (x – 5)

⇔ y – 6 = 4x + 20

9−

⇔ 9y – 54 = –4x + 20⇔ 9y + 4x – 74 = 0


26. Jawaban: bTitik (–3, 8) dilalui garis 2y – px + 5 = 0 maka:2(8) – p(–3) + 5 = 0⇔ 16 + 3p + 5 = 0⇔ 21 + 3p = 0⇔ 3p = –21⇔ p = –7Persamaan garis menjadi 2y + 7x + 5 = 0Titik (a, 1) dilalui garis 2y + 7x + 5 = 0 maka:2(1) + 7(a) + 5 = 0⇔ 2 + 7a + 5 = 0⇔ 7 = –7a⇔ a = –1

27. Jawaban: cMisal harga sebuah buku = x dan harga sebuahbolpoin = y.Harga 5 buku dan 3 bolpoin Rp16.000,00 makapersamaannya 5x + 3y = 16.000.Harga 4 buku dan 2 bolpoin Rp12.400,00 makapersamaannya 4x + 2y = 12.400.Jadi, bentuk sistem persamaan permasalahantersebut adalah:

5x + 3y = 16.0004x + 2y = 12.400

28. Jawaban: dGaris melalui titik (–2, 0) dan (0, 1)Persamaan garis :

1

2 1

y yy y

−−

= 1

2 1

x xx x

−− ⇔ y 0

1 0−− =

x ( 2)0 ( 2)

− −− −

⇔ y1 =

x + 24

⇔ 2y = x + 2⇔ x – 2y = –2

Garis g melalui titik (4, 0) dan (0, 5).Persamaan garis g:

1

2 1

y yy y

−−

= 1

2 1

x xx x

−− ⇔ y 0

5 0−− = x 4

0 4−−

⇔ y5 =

x 44

−−

⇔ –4y = 5x – 20⇔ 5x + 4y = 20

Jadi, sistem persamaannya:x – 2y = –2 dan 5x + 4y = 20.

29. Jawaban: dEliminasi y:4x – 3y = 15 × 2 8x – 6y = 30

–3x + 2y = –12 × 3 –9x + 6y = –36 ––––––––––––– +

–x = –6

⇔ x = 16

−−

= 6

Substitusi x = 6 ke 4x – 3y = 15:4(6) – 3y = 15

⇔ 24 – 3y = 15⇔ –3y = 15 – 24⇔ –3y = –9

⇔ y = 39

−−

⇔ y = 3Jadi, himpunan penyelesaiannya {(6, 3)}.

30. Jawaban: aEliminasi y:3x – 2y = 7 × 1 3x – 2y = 72x + y = 14 × 2 4x + 2y = 28

––––––––––– +7x = 35

⇔ x = 5

Substitusi x = 5 ke 3x – 2y = 7:3(5) – 2y = 7

⇔ 15 – 2y = 7⇔ –2y = –8

⇔ y = 82

−− = 4

Penyelesaiannya a = 5 dan b = 4.Jadi, nilai a + b = 5 + 4 = 9.

31. Jawaban: dPada persegi panjang berlaku sisi-sisi yang sejajarsama panjang, sehingga:2x = y + 2 ⇒ 2x – y = 2 . . . (i)2y + 1 = x + y + 2 ⇒ 2y – x – y = 2 – 1

⇔ –x + y = 1 . . . (ii)Eliminasi y dari persamaan (i) dan (ii):

2x – y = 2–x + y = 1

–––––––––– +x = 3

Substitusi x = 3 ke 2x – y = 2:2(3) – y= 2 ⇔ 6 – y = 2 ⇔ y = 4Panjang = 2(4) + 1 = 9Lebar = 2(3) = 6Keliling = 2(panjang + lebar)

= 2(9 + 6)= 30 cm

32. Jawaban: dMisal: harga 1 kaos = x rupiah

harga 1 baju = y rupiahSistem persamaannya:

3x + 2y = 280.000x + 3y = 210.000


Eliminasi x:3x + 2y = 280.000 × 1 3x + 2y = 280.000x + 3y = 210.000 × 3 3x + 9y = 630.000

––––––––––––––– ––7y = –350.000

⇔ y = 7000.350

−−

⇔ y = 50.000

Substitusi y = 50.000 ke 3x + 2y = 280.000:3x + 2(50.000) = 280.000

⇔ 3x + 100.000 = 280.000⇔ 3x = 280.000 – 100.000

⇔ x = 3000.180

⇔ x = 60.000Harga 1 kaos Rp60.000,00 dan harga 1 bajuRp50.000,00.Jadi, total harga 6 kaos dan 6 baju= (6 × Rp60.000,00) + (6 × Rp50.000,00)= Rp360.000,00 + Rp300.000,00= Rp660.000,00

33. Jawaban: d

Eliminasi 1y

:

x5

– y3

= 1

x7

+ y3

= 2––––––––– +

x12

= 3 ⇔ x = 4

Eliminasi 1x :

x5

– y3

= 1 × 7x

35 – y

21= 7

x7

+ y3

= 2 × 5x

35 + y

15= 10

––––––––––––– –

–y

36 = –3 ⇔ y = 12

Jadi, nilai 1x –

1y =

14 –

112 =

312 –

112 =

212 =

16 .

34. Jawaban: bx y

5−

+ x + y

4 = 1 ⇔ 4(x y)20

− +

5(x + y)20 = 1

⇔ 4x – 4y + 5x + 5y = 20⇔ 4x + 5x – 4y + 5y = 20⇔ 9x + y = 20 . . . . (i)

x y3−

+ x + y

2 = 113 ⇔ 2(x y)

6−

+ 3(x + y)

6 = 43

⇔ 2(x – y) + 3(x + y) = 8⇔ 2x – 2y + 3x + 3y = 8⇔ 2x + 3x – 2y + 3y = 8⇔ 5x + y = 8 . . . . (ii)

Eliminasi y pada persamaan (i) dan (ii).9x + y = 205x + y = 8–––––––––– –

4x = 12

⇔ x = 124 = 3

Substitusikan x = 3 ke persamaan (i).9(3) + y = 20 ⇒ 27 + y = 20

⇔ y = 20 – 27 = –7Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = –7.

35. Jawaban: dMisal: x = banyak tepung kedelai (dalam kg)

y = banyak tepung jagung (dalam kg)Bentuk model matematikanya sebagai berikut.16%x + 9%y = 12% × 350⇔ 0,16x + 0,09y = 42 . . . (i)x + y = 350 . . . (ii)Menyelesaikan sistem persamaan linear dengancara eliminasi-substitusi:0,16x + 0,09y = 42 × 100 16x + 9y = 4.200

x + y = 350 × 9 9x + 9y = 3.150–––––––––––––– –

7x = 1.050

⇔ x = 1.050

7

⇔ x = 150Substitusikan x = 150 ke persamaan (ii):x + y = 350 ⇒ 150 + y = 350

⇔ y = 200Jadi, banyak tepung yang harus dicampurkan150 kg tepung kedelai dan 200 tepung jagung.

36. Jawaban: cPada segitiga siku-siku berlakukuadrat sisi miring sama denganjumlah kuadrat sisi siku-sikunya.Pada gambar segitiga PQR disamping berlaku:PR2 = PQ2 + QR2, atauPQ2 = PR2 – QR2,QR2 = PR2 – PQ2

37. Jawaban: b∆PQR siku-siku di Q

PQ = 2 2PR QR−

= 2 217 8− = 289 64− = 225 = 15 cm

∆SQR siku-siku di Q

SQ = 2 2SR QR−

= 2 210 8− = 100 64− = 36 = 6 cm

PS = PQ – SQ= 15 – 6 = 9 cm

sisi siku-sikuP Q

R

sisi m

iring

sisi

sik

u-si

ku


38. Jawaban: cMisalkan balok ABCD.EFGH.EC diagonal ruang.

AC = 2 2AB BC+

= 2 212 9+

= 144 81+

= 225 = 15 cm

Segitiga ACE siku-siku di A, sehingga:

AE = 2 2EC AC−

= 2 217 15− = 289 225− = 64 = 8 cm

Jadi, tinggi balok 8 cm.

39. Jawaban: aABCD berbentuk persegi panjang, sehingga BD= AC. Oleh karena AE, AC, dan AF jari-jari se-perempat lingkaran maka:AE = AF = AC = BD = 30 cmAB = AE – BE = 30 – 6 = 24 cmPerhatikan ∆ siku-siku ABD. Dengan rumusPythagoras berlaku:

AD = 2 2BD AB−

= 2 230 24−

= 900 576−

= 324 = 18 cm

Jadi, luas ABCD = AB × AD = 24 × 18 = 432 cm2.

40. Jawaban: bMisal PT = panjang kawat

PT = 2 2TA AP+

= 2 26 4,5+

= 36 20,25+

= 56,25= 7,5

Jadi, panjang kawat 7,5 meter.

B. Uraian

1. a.2x + 22x

+ 2x 1

x−

= 2x + 22x

+ 2(2x 1)

2x−

= 2x + 2 + 4x 2

2x−

= 2x + 4x2x

= 12 x + 2

A P

T

6 cm

4,5 mtanah

kawat

b.3 x2x + 1

− –

24x + x + 32x + 1

= 23 x 4x x 3

2x + 1− − − −

= 24x 2x

2x + 1− −

= 2(4x + 2x)

2x + 1−

= 2x(2x + 1)2x + 1

−

= –2x

2. a. x2 – 7x + 12Bentuk aljabar tersebut dapat difaktorkanmenjadi (x + p)(x + q) dengan syarat:p + q = –7 diperoleh p = –3p · q = 12 q = –4

Jadi, x2 – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4).

b. 3x2 + 7x – 20Bentuk aljabar tersebut dapat difaktorkan

menjadi 13 (3x + p)(3x + q).

dengan p + q = 7 dan p · q = 3(–20)diperoleh p = 12 dan q = –5.

Sehingga diperoleh faktorisasi:3x2 + 7x – 20

= 13 (3x + 12)(3x – 5)

= 13 · 3(x + 4)(3x – 5)

= (x + 4)(3x – 5)Jadi, 3x2 + 7x – 20 = (x + 4)(3x – 5).

3. a. f(x) = 2x – 5f(–3) = 2(–3) – 5

= –6 – 5 = –11Jadi, f(–3) = –11

b. f(a) = –3–3 = 2a – 5⇔ 2a = 2⇔ a = 1Jadi, untuk f(a) = –3 maka a = 1.

c. f(x) = 2x – 5Domain –3 ≤ x ≤ 2Mensubstitusikan batas nilai domain ke fungsitersebut.f(–3) = 2(–3) – 5 = –6 – 5 = –11f(2) = 2(2) – 5 = 4 – 5 = –1Jadi, rangenya {–11 ≤ f(x) ≤ –1}.

4. Diketahui fungsi f(x) = px + q. Pada diagram panahtersebut diperoleh pemetaan sebagai berikut.f(2) = 7 ⇒ 2p + q = 7 . . . . (1)f(4) = 11 ⇒ 4p + q = 11 . . . . (2)


Menentukan nilai p dan q dengan cara eliminasi -substitusi.2p + q = 7 . . . . (1)4p + q = 11 . . . . (2)––––––––––– –

–2p = –4p = 2

Substitusikan nilai p = 2 ke persamaan (1)2(2) + q = 7 ⇒ 4 + q = 7

⇔ q = 3Sehingga fungsi tersebut dapat ditulis f(x) = 2x + 3.f(a) = 19 ⇒ 2a + 3 = 19

⇔ 2a = 16⇔ a = 8

f(b) = 27 ⇒ 2b + 3 = 27⇔ 2b = 24⇔ b = 12

Jadi, nilai a = 8 dan b = 12.

5. a. Garis melalui titik (x1, y1) = (8, 0) dan (x2, y2) =(2, –4).Gradien garis yaitu:

m = 2 1

2 1

y yx x

−− =

4 02 8

− −− =

46

−− =

46 =

23

Jadi, gradien garis adalah 23 .

b. Persamaan garis adalah persamaan garis

yang bergradien m = 23 dan melalui titik (8, 0).

y – y1 = m (x – x1)

y – 0 = 23 (x – 8)

⇔ y = 23 x – 16

3⇔ 3y = 2x – 16⇔ 3y – 2x + 16 = 0Jadi, persamaan garis adalah 3y – 2x + 16 = 0.

6. Garis y = –2x + 3 memiliki gradien m1 = –2 garis tegak lurus dengan garis y = –2x + 3 makahubungan hubungan gradiennya:m × m1 = –1

m × –2 = –1 ⇔ m = 12

Garis yang melalui titik (4, –1) dan sejajar garis

bergradien m = 12 maka persamaannya:

y – y1 = m (x – x1)

y – (–1) = 12 (x – 4)

⇔ y + 1 = 12 x – 2

⇔ y = 12 x – 3

Jadi, persamaan garis adalah y = 12 x – 3.

7. 23x

+ 22y

= 3536

× 5 215x

+ 210y

= 17536

25x

– 24y

= 2936

× 3 215x

– 212y

= 8736

––––––––––––––– –

222y

= 8836

⇔ y2= 9

⇔ y = ± 9⇔ y = ±3

Oleh karena y > 0 maka y = 3.

Substitusi y = 3 ke persamaan 23x

+ 22y

= 3536

:

23x

+ 223

= 3536

⇔ 23x

+ 29

= 3536

⇔ 23x

= 34

⇔ x2 = 4⇔ x = ± 4⇔ x = ±2Oleh karena x > 0 maka x = 2.Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2, 3)}.

8. Misal: a = harga sebuah bukub = harga sebuah bolpoin

Model matematika:12a + 24b = 48.000⇔ a + 2b = 4.000 . . . (1)36a + 12b = 69.000⇔ 12a + 4b = 23.000 . . . (2)Eliminasi b dari (1) dan (2)a + 2b = 4.000 × 2 2a + 4b = 8.00012a + 4b = 23.000 × 1 12a + 4b = 23.000

––––––––––––––– – –10a = –15.000⇔ a = 1.500

Substitusi a = 1.500 ke persamaan (1):1.500 + 2b = 4.000⇔ 2b = 2.500⇔ b = 1.250Diperoleh harga sebuah buku Rp1.500,00 danharga sebuah bolpoin Rp1.250,00.Harga 5 buku + 2 bolpoin:= 5 × Rp1.500,00 + 2 × Rp1.250,00= Rp7.500,00 + Rp2.500,00= Rp10.000,00Uang kembalian = Rp20.000,00 – Rp10.000,00

= Rp10.000,00Jadi, uang kembalian yang diterima BudiRp10.000,00.


9. ∆ABE siku-siku di E karenaAB2 = AE2 + BE2

Perhatikan ∆ACE.EC = BE – BC

= 24 – 18= 6 cm

∆ACE siku-siku di E.AC2 = AE2 + EC2

= 182 + 62

= 324 + 36= 360

Perhatikan ∆ADC dan ∆BCD.Misalkan BD = x maka AD = AB – x

= 20 – xCD2 = AC2 – AD2 atauCD2 = BC2 – BD2

Sehingga:AC2 – AD2 = BC2 – BD2

⇔ 360 – (30 – x)2 = 182 – x2

⇔ 360 – (900 – 60x + x2) = 324 – x2

⇔ –540 + 60x – x2 = 324 – x2

⇔ 60x = 864⇔ x = 14,4Sehingga diperoleh:CD2 = BC2 – BD2

= 182 – x2

= 324 – 14,42

= 324 – 207,36= 116,64

CD = 116,64= 10,8

Jadi, tinggi CD = 10,8 cm.

10.

Panjang AB = GC = 6 mPanjang CF = DE = 7,5 mPanjang AG = BC = 15 m

Segitiga CFG siku-siku di G.FG2 = CF2 – GC2

= (7,5)2 – 62 = 56,25 – 36 = 20,25

⇔ FG = 20,25 = 4,5

Tinggi rumah susun A = AG + FG= 15 + 4,5 = 19,5

Jadi, tinggi rumah susun A 19,5 meter.

A B

C

D

E

F

G

7,5 m

6 m

15 m

Documents

Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas VIII 1€¦ · 2 Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas VIII 9. Jawaban: d 32p2qr3: 96pq 2r = 23 22 32p qr 96pq r = 32 96