Kreativno Ponavljanje i Uvjezbavanje

KREATIVNO UVJEBAVANJE I PONAVLJANJE U NASTAVI

MATEMATIKE

OPI CILJEVI NASTAVE MATEMATIKE

OPI CILJEVI - ope matematike kompetencije koje bi uenicitrebali razviti do kraja (obaveznog) obrazovanja:

matematika argumentacija

sposobnost rjeavanja problema i modeliranje

matematiki jezik i komunikacija

pozitivan stav prema matematici

racionalna i efikasna upotreba tehnologije

OPI CILJEVI NASTAVE MATEMATIKE - DETALJNIJE

Nastava matematike uenicima treba omoguiti:

razvoj pozitivnog stava prema matematici i interesa za nju, te samopouzdanja u vlastiti matematiki potencijal

prihvaanje matematike kao smislene aktivnosti i njene primjene kao korisnog alata u raznim situacijama

uvid u povijest matematike i razvoj razumijevanja za njenu vanu ulogu u razliitim kulturama i djelatnostima

razvoj vjetina i sposobnosti logikog miljenja, zakljuivanja i generaliziranja, te matematike argumentacije

OPI CILJEVI NASTAVE MATEMATIKE - DETALJNIJE (2)

Nastava matematike uenicima treba omoguiti (nastavak):

razvoj svijesti o vrijednosti matematikog jezika i vjetina usmenog i pisanog komuniciranja sadraja i ideja u kojima je prirodno koristiti matematiki jezik i simbole

razvoj vjetina i sposobnosti postavljanja, formuliranja i rjeavanja problema uz pomo matematike, te interpretiranja, usporeivanja i vrednovanja rjeenja u odnosu na izvornu problemsku situaciju

razvoj vjetina i sposobnosti upotrebe jednostavnih matematikih modela te kritikog pristupa pretpostavkama, ogranienjima i primjeni tih modela

razvoj vjetina racionalnog i efikasnog koritenja tehnologije (ICT i ostali prikladni alati)

MATEMATIKE KOMPETENCIJE OPE I SPECIFINE

OPE MATEMATIKE KOMPETENCIJE

RJEAVANJE PROBLEMA

SPECIFINE MATEMATIKE KOMPETENCIJE

(VEZANE UZ SADRAJE)

KOMUNICIRANJE

MODELIRANJE

MATEMATIKO REPREZENTIRANJE

ARGUMENTIRANJE

SPECIFINI CILJEVI NASTAVE MATEMATIKE

SPECIFINI CILJEVI znanja i vjetine podijeljeni ravnopravno prema matematikim spoznajnim podrujima u kojima se od uenika oekuje napredak:

Brojevi i raunanje

Algebra

Veliine i mjerenje

Geometrija (oblici i prostor)

Podaci, vjerojatnost i statistika

Funkcije

SUVREMENA NASTAVA MATEMATIKE

Obino opisana sintagmom:

NASTAVA ORIJENTIRANA UENICIMA

To podrazumijeva metode aktivne nastave, tj:

dominantnu ueniku (a ne uiteljevu) aktivnost pri:

formuliranju matematikih koncepata (tzv. uenje otkrivanjem)

uvjebavanju i usustavljivanju obraenih matematikih sadraja (kreativno vjebanje i ponavljanje)

razvijanje odgovornosti uenika za vlastiti uspjeh i napredovanje u matematici

NASTAVA MATEMATIKE (2)

U obaveznom obrazovanju to znai:

MNOGO PRAKTINIH UENIKIH AKTVNOSTI

Za sobom povlai:

izmijenjenu ulogu uitelja

uitelj kao organizator (menader) procesa uenja i pouavanja, a ne kao (jedini) autoritet znanja

upotrebu raznolikih i raznovrsnih nastavnih sredstava i izvora znanja, a ne vie samo udbenika i zbirki zadataka

METODE AKTIVNE NASTAVE

Zato emo sada vidjeti nekoliko primjera praktinih uenikih aktivnosti pri:

uvoenju novih matematikih koncepata ili svojstava matematikih pojmova

uvjebavanju i ponavljanju nastavnih sadraja

USVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA PAPIROM I KARAMA

Primjer.

izraze za povrinu paralelograma, trokuta, trapeza, te etverokuta s okomitim dijagonalama uenici mogu otkriti sami praktinom aktivnou izrezivanja iz papira i preslagivanja novih likova u one koje su ve usvojili

ovu je aktivnost mogue proiriti i na sastavljanje tangrama

slinu aktivnost moemo provesti i pri otkrivanju Pitagorinog pouka

USVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA MJERENJEM I

APROKSIMACIJOMPrimjer. Izraz za opseg kruga (duljinu krunice) i broj

Cilj aktivnosti:

mjerenjem otkriti vezu opsega kruga i njegovog polumjera

Potreban materijal:

fiziki objekti oblika valjka (vaze, ae, konzerve...)

konac

metar (oznaeno ravnalo)

dvije debele vee knjige tvrdih korica

tablica za zapisivanje rezultata mjerenja


APROKSIMACIJOM (2)Tok aktivnosti:

predmetima oblika valjka najprije izmjerimo promjer stavljanjem izmeu dviju uspravnih debljih knjiga uz rub stola i zabiljeimo u pripremljenu tablicu

konac omotamo oko baze valjka i flomasterom oznaimo puni krug na koncu

izmjerimo duljinu konca do oznake

izmjerene veliine upiemo u tablicu

mjerenja izvrimo za razliite valjkaste predmete

za svaki krug izraunamo omjer opsega i promjera (kalkulatorom)


APROKSIMACIJOM (3)

MJERENJE PROMJERA KRUGA (KNJIGAMA NA RUBU STOLA)

d = 2r


APROKSIMACIJOM (4)TABLICA ZA REZULTATE MJERENJA

PROMJER d

OPSEG O

OMJER O/d


APROKSIMACIJOM (5)Poeljna diskusija:

potrebno je voditi rauna o mjernim jedinicama (opseg i promjer moraju biti izmjereni istom mjernom jedinicom)

omjeri O/d e biti izmeu 3.13 i 3.16 potrebno je prodiskutirati kako tonost mjerenja utjee na rezultat

obavezno prodiskutirati na koliko decimala ima smisla raunati O/d, budui da su i O i d izmjereni priblino (na milimetar)


APROKSIMACIJOM (6)

Primjer. Izraz za povrinu kruga i broj

Cilj aktivnosti:

mjerenjem otkriti vezu povrine kruga i njegovog polumjera

Potreban materijal:

milimetarski papir za svaki par (ili tim) uenika

estar

tablica za zapisivanje rezultata mjerenja



svaki par (tim) uenika na milimetarskom papiru konstruira krug zadanog polumjera

vie parova (timova) moe konstruirati krug istog polumjera

prebrojavanjem kvadratnih milimetara i centimetara (na milimetarskom papiru) uenici mjere povrinu kruga i upisuju u tablicu

vode rauna o mjernim jedinicama

mogu imati razliite strategije prebrojavanja (rade samo za pola kruga i rezultat pomnoe sa 2, najprije prebroje cijele kvadratne centimetre, a onda ostatak itd.)

za svaki krug izraunaju omjer povrine i kvadrata prolumjera r . r(kalkulatorom)


APROKSIMACIJOM (8)Vana diskusija:

razliiti parovi uenika dobit e razliite izmjerene povrine kruga istog polumjera

tonost mjerenja i utjecaj strategije mjerenja na rezultat

omjer P / (r . r) svima e biti izmeu 3.13 i 3.16

prodiskutirati na koliko je decimala razumno raunati omjer


APROKSIMACIJOM (9)Primjer. Izraz za oploje kugle

Cilj aktivnosti:

mjerenjem otkriti vezu oploja kugle i njenog polumjera

Potreban materijal:

deblji papir (A4 formata) za svaki par uenika

1 vea narana za svaki par uenika

no za rezanje voa



svaki par (tim) uenika razree naranu du glavnog presjeka (kruga iji je polumjer jednak polumjeru kugle)


APROKSIMACIJOM (11)

Tok aktivnosti (nastavak):

na papiru treba nekoliko puta (npr. 5) napraviti otisak presjeka narane

paljivo treba oguliti naranu i korom popuniti krune otiske

zakljuak: popunjena su priblino 4 otiska

oploje kugle (povrina naranine kore) 4 je puta vee od povrine glavnog kruga, tj. O = 4r2

STATISTIKA - CRTANJEDIJAGRAMA

Primjer.

U 7b. razredu meu uenicima je provedena anketa o boji razrednih majica na maturalnom putovanju. Ponuene su bile crvena, uta, plava i zelena boja, a rezultati ankete dani su tablicom. Prikaite ih grafiki.

BOJA plava crvena zelena utaBROJ

UENIKA 10 4 7 9

STATISTIKA - CRTANJEDIJAGRAMA (2)

Rjeenje.Mogua su dva adekvatna prikaza podataka: stupastim dijagramom krunim dijagramom

ODABIR BOJA

10

4

7

9

0

2

4

6

8

10

12

plava crvena zelena uta

plavacrvenazelenauta

ODABIR BOJA - RELATIVNI PRIKAZ

plava. 34%uta. 30%

zelena. 23%crvena. 13%

plava

crvena

zelena

uta


Daljnja pitanja za analizu i provjeru razumijevanja koncepta stupastog i krunog dijagrama:

to se deava sa stupastim dijagramom ukoliko udvostruimo broj uenika koji su odabrali plavu boju? Zato?

10

4

79

20

4

79

0

5

10

15

20

25

plava crvena zelena uta


to se deava s krunim dijagramom u tom sluaju? Zato?

50,0%

10,0%

22,5%

17,5%

plavacrvenazelenauta

ODABIR BOJA - RELATIVNI PRIKAZ

plava. 34%uta. 30%

zelena. 23%crvena. 13%

plava

crvena

zelena

uta


Daljnja pitanja za analizu i provjeru razumijevanja koncepta stupastog i krunog dijagrama:

to se sa svakim od dijagrama deava ukoliko udvostruimo broj uenika kod svake boje? Zato?

to se deava ukoliko broj uenika kod svake boje upola smanjimo? Zato?

to se deava ukoliko broj uenika kod svake boje smanjimo za 3? Zato?

Uenike nakon toga treba potaknuti da samostalno kreiraju pitanja oblika to e se s dijagramom dogoditi ako...?

STUPASTI DIJAGRAM - SKALIRANJEPrimjer.Sljedea tablica prikazuje prosjenu godinju plau u kompaniji KOMPA d.o.o. u zadnjih 15 godina. Novinari Podnevnog lista zamolili su gu Kompi, predsjednicu uprave ove kompanije, da za njihovu poslovnu kolumnu pripremi stupasti dijagram koji prikazuje ove podatke. Da ste ga Kompi, kako biste postavili vertikalnu skalu na dijagramu da naglasite:

(a) da prosjena plaa u kompaniji raste,(b) stabilnost kompanije?

Kako biste vertikalnu skalu postavili da ste nepristrani novinar koji eli to preciznije prikazati promjenu prosjene plae u kompaniji KOMPA d.o.o?

GODINA PLAA (u tisuama kn) GODINAPLAA (u

tisuama kn)

1996. 55,8

57,8

53,48

60

59,5

1997.

1998.

1999.

2000.

GODINA PLAA (u tisuama kn)

1991. 52,5 2001. 56,1

1992. 53,25 2002. 55,4

1993. 53,35 2003. 57,5

1994. 57,4 2004. 58

1995. 52 2005. 56,9

STUPASTI DIJAGRAM SKALIRANJE (2)

Rjeenje.Vertikalnu skalu prilagoavamo zahtjevu.

PROSJENA GODINJA PLAA U KOMPA d.o.o.

48

50

52

54

56

58

60

62

1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005.

GODINA

P

R

O

S

J

E

N

A

P

L

A

A

(

U

T

I

S

U

A

M

A

k

n

)

dijagram nepristranog novinara(bez namjetanja)


PROSJENA GODINJA PLAA U KOMPA d.o.o.

40

60

80

1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005.

GODINA

P

R

O

S

J

E

N

A

P

L

A

A

(

U

T

I

S

U

A

M

A

k

n

)

vertikalno skaliranje smanjuje razlike u visinama(stabilnost kompanije)


RAST PLAA U KOMPA d.o.o.

152154156158160162164166168170172174

1991. - 1993. 1994. - 1996. 1997. - 1999. 2000. - 2002. 2003. - 2005.

RAZDOBLJE

P

L

A

A

(

u

t

i

s

u

a

m

a

k

n

)

ovako plae rastu(grupiranje podataka)


PLAE U KOMPA d.o.o.

255

260

265

270

275

280

285

290

1991. - 1995. 1996. - 2000. 2001. - 2005.

RAZDOBLJE

P

L

A

E

(

u

t

i

s

u

a

m

a

k

n

)

nije ba svako grupiranje poeljno

STUPASTI DIJAGRAM MANIPULIRANJE PODACIMA

Primjer.Policijska uprava jedne upanije eli pokazati efikasnost primjene zakona o sigurnosti u prometu (odredba o 0.0 promila). Kako da prikae prikupljene podatke?

MJESECBROJ NESREA

POD UTJECAJEM ALKOHOLA

MJESECBROJ NESREA

POD UTJECAJEM ALKOHOLA

srpanj 5

4

1

travanj 3 listopad 2

1

3

kolovoz

rujan

studeni

prosinac

sijeanj 2

veljaa 1

oujak 1

svibanj 4

lipanj 5

STUPASTI DIJAGRAM MANIPULIRANJE PODACIMA (2)

Rjeenje.Neke od mogunosti su:

- skaliranje vertikalne osi- grupiranje podataka (podaci po npr. tromjesejima)- prikazivanje selekcije podataka (npr. podatke za svaki trei mjesec)

JEDNA SLIKA ZA TISUU RIJEIo

o

o

o

o

o o

o

o

*

*

*

*

*

*

*

*

*

x

xx

x

x

xx

x

x

Koje sve geometrijske pouke moemo oitati s ove slike?

MATEMATIKI BINGO

Cilj aktivnosti: na zanimljiv i zabavan nain uvjebati operacije s cijelim brojevima

Potreban materijal:

prazan Bingo listi za svakog uenika

ispisana lista svih cijelih brojeva od -15 do 15 za voditelja igre (za kontrolu igre)

31 kartica s po jednim zadatkom ije je jedinstveno rjeenje cijeli broj od -15 do 15 (rjeenja su razliita, tj. zastupljeno je svih 31 brojeva)

MATEMATIKI BINGO (2)

PRAZNA BINGO KARTICA ZA SVAKOG IGRAA

MATEMATIKI BINGO (3)Tok igre:

svaki igra kemijskom olovkom po volji svoj Bingo listi ispuni razliitim cijelim brojevima od -15 do 15 (njih 25)

5 -4 -2 12 0

-7 10 -10 1 9

3 -5 -14 2 -9

-1 4 6 -6 8

-8 11 -12 13 15

PRIMJER ISPUNJENOG BINGO LISTIA


Tok igre (nastavak):

voditelj igre nasumce izvlai karticu sa zadatkom i zadatak zapisuje na plou (ili ita naglas)

svaki uenik samostalno rjeava postavljeni zadatak i njegovo rjeenje (cijeli broj od -15 do 15) zaokruuje na svom Bingo listiu (ako na njemu postoji taj broj)

voditelj igre izvlai novu karticu sa zadatkom itd.

pobjednik je uenik koji prvi na svom listiu ima sve zakruene brojeve u jednom retku, stupcu ili dijagonali


PRIMJER 31 KARTICE SA ZADACIMA:

(-5) . 3 = - 9 - 5 = 13 . (-1) = 4 . (-3) = -12 (-1) =

5 . (-2) = (-3) . 3 = (-10) (-2) = - 4 3 = - 7 (-1) =

- 5 + 0 = - 8 : 2 = 9 : (-3) = 0 2 = - 8 : 8 =

-7 - (-7) = -2 - (-3) = - 8 : (-4) = - 9 : (-3) = 8 : 2 =

(-1) . (-5) = (-3)(-2) = (-7)(-1) = (-4)(-2) = (-18) : (-2) =

20 : 2 = 9 + 2 = 7 - (-5) = 5 - (-8) = 7 - (-7) =

6 - (-9) =


Mogue modifikacije aktivnosti:

zadaci mogu biti drukiji, npr. s vie (istih ili razliitih) raunskih operacija ili problemski (tekstualni)

aktivnost se moe primijeniti i u drugom matematikom kontekstu

ekvivalentni razlomci

operacije s razlomcima

razliiti prikazi racionalnih brojeva (razlomak, decimalni broj, postotak)

sukladnost trokuta

opsezi i povrine itd.


Mogue potekoe:

uenici razliitih matematikih sposobnosti

mogua pomo:

slabijim uenicima dozvoliti upotrebu kalkulatora

aktivnost provoditi u parovima

svaki postavljeni zadatak rijeiti na ploi (rjeavaju uenici!)

MATEMATIKI LANAC

Cilj aktivnosti:

aktiviranjem cijelog razreda uvjebati ili ponoviti raun s racionalnim brojevima i njihovim razliitim zapisima

Potreban materijal:

dovoljan broj kartica sa zadacima, tako da svaki uenik u razredu dobije bar dvije kartice

npr. 61 kartica za razred od 30 uenika jedna kartica je za uitelja koji poinje igru

MATEMATIKI LANAC (2)

Tok aktivnosti: na svakoj od kartica nalazi se broj te zadatak vezan uz taj broj

Moj broj je (neki konkretni broj).

Tko ima broj koji je (neka konkretna funkcija)

mog broja?

rjeenje svakog zadatka nalazi se na tono jednoj od preostalih kartica (rjeenja su razliita, kao i brojevi na karticama)


Tok aktivnosti (nastavak):

svaki uenik nasumce bira odreeni broj kartica sa zadacima

uitelj zadrava jednu karticu i poinje igru itajui tekst sa kartice

svi uenici (svatko za sebe) rjeavaju postavljeni zadatak, a netko od njih i na ploi (ako je potrebno)

uenik koji na svojoj kartici ima broj koji je rjeenje zadatka nastavlja igru na isti nain

pobjednik je uenik koji prvi ostane bez svih kartica

igra se nastavlja dok se ne rijee svi zadaci

ako su svi zadaci tono rijeeni, rjeenje zadnjega od njih je broj na uiteljevoj kartici (broj kojim je igra zapoela)

PRIMJER LANCA S 20 KARTICA


Mogue modifikacije:

zadaci mogu biti razliitih razina zahtjevnosti pa uitelj moe odabrati koje od njih e dati uenicima ispodprosjenih, a koje onima iznadprosjenih matematikih sposobnosti

ova aktivnost moe se primijeniti i u drugim matematikim kontekstima

POTAPANJE PODMORNICA

Cilj aktivnosti:

igrom u parovima, na zabavan nain uvjebati crtati i itati toke u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini

Potreban materijal:

dva identina pravokutna koordinatna sustava u ravnini i prazna tablica za biljeenje toka igre za svakog igraa

PRIMJER PRAVOKUTNOG KOORDINATNOG SUSTAVA ZA IGRU

TABLICA ZA BILJEENJE KOORDINATA TOAKA I POGODAKA/PROMAAJA PROTIVNIKIH PODMORNICA

POTAPANJE PODMORNICATok aktivnosti:

standardna igra potapanja podmornica

igrai igraju u paru, a svakom od njih na raspolaganju su tri podmornice, sa susjednim tokama udaljenima za jedininu duljinu:

jedna dvotokovna

jedna trotokovna

jedna etverotokovna

njih svaki igra po vlastitom izboru smjeta u koordinatni sustav, horizontalno ili vertikalno

cilj je svakog igraa u to manje pokuaja pogoditi sve protivnike podmornice

podmornica je potopljena ako su pogoene sve njene (cjelobrojne) toke

PRIMJER RASPOREDA PODMORNICA

potopljena dvotokovnapodmornica

IGRA MEMORIJE ILI KARATATRI RAZLIITA PRIKAZA RACIONALNOG BROJA

IGRA KARATAEKVIVALENTNI RAZLOMCI

IGRA KARATA (2)

KREATIVNO UVJEBAVANJE I PONAVLJANJE U NASTAVI MATEMATIKEOPI CILJEVI NASTAVE MATEMATIKE OPI CILJEVI NASTAVE MATEMATIKE - DETALJNIJEOPI CILJEVI NASTAVE MATEMATIKE - DETALJNIJE (2)MATEMATIKE KOMPETENCIJE OPE I SPECIFINESPECIFINI CILJEVI NASTAVE MATEMATIKE SUVREMENA NASTAVA MATEMATIKENASTAVA MATEMATIKE (2)METODE AKTIVNE NASTAVEUSVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA PAPIROM I KARAMAUSVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA MJERENJEM I APROKSIMACIJOMUSVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA MJERENJEM I APROKSIMACIJOM (2)USVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA MJERENJEM I APROKSIMACIJOM (3)USVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA MJERENJEM I APROKSIMACIJOM (4)USVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA MJERENJEM I APROKSIMACIJOM (5)USVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA MJERENJEM I APROKSIMACIJOM (6)USVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA MJERENJEM I APROKSIMACIJOM (7)USVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA MJERENJEM I APROKSIMACIJOM (8)USVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA MJERENJEM I APROKSIMACIJOM (9)USVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA MJERENJEM I APROKSIMACIJOM (10)USVAJANJE MATEMATIKIH KONCEPATA MJERENJEM I APROKSIMACIJOM (11)STATISTIKA - CRTANJE DIJAGRAMASTATISTIKA - CRTANJE DIJAGRAMA (2)STATISTIKA - CRTANJE DIJAGRAMA (3)STATISTIKA - CRTANJE DIJAGRAMA (4)STATISTIKA - CRTANJE DIJAGRAMA (5)STUPASTI DIJAGRAM - SKALIRANJESTUPASTI DIJAGRAM SKALIRANJE (2)STUPASTI DIJAGRAM SKALIRANJE (3)STUPASTI DIJAGRAM SKALIRANJE (4)STUPASTI DIJAGRAM SKALIRANJE (5)STUPASTI DIJAGRAM MANIPULIRANJE PODACIMASTUPASTI DIJAGRAM MANIPULIRANJE PODACIMA (2)JEDNA SLIKA ZA TISUU RIJEIMATEMATIKI BINGOMATEMATIKI BINGO (2)MATEMATIKI BINGO (3)MATEMATIKI BINGO (4)MATEMATIKI BINGO (5)MATEMATIKI BINGO (6)MATEMATIKI BINGO (7)MATEMATIKI LANACMATEMATIKI LANAC (2)MATEMATIKI LANAC (3)MATEMATIKI LANAC (4)POTAPANJE PODMORNICAPOTAPANJE PODMORNICAIGRA MEMORIJE ILI KARATAIGRA KARATAIGRA KARATA (2)

Documents

Kreativno Ponavljanje i Uvjezbavanje