ZAVRNI RADKoso savijanje ravnih tapova (sveuilini preddiplomski studij)

Mentor : Doc. dr. sc. DIANA IMI 0082032412

Studentica: MAJA BANIEK Matini broj :

Zagreb, listopad, 2008. g

SADRAJ :

1.SAETAK........................................................................................................................1 2.KOSOSAVIJANJE............................................................................................................3 istokososavijanje..........................................................................................................5 Poloajneutralneosi........................................................................................................7 Dimenzioniranjeiprovjerauvjetavrstoe...................................................................10 Provjerauvjetakrutosti.................................................................................................13 Kososavijanjesilama....................................................................................................16 . 3.NUMERIKIPRIMJER .................................................................................................... 7 . 1 2.ZAKLJUAK.................................................................................................................... 7 3

1. SAETAKKosim savijanjem naziva se takav oblik savijanja pri kojemu se ravnina djelovanja momenta savijanja ne poklapa ni s jednom od glavnih sredinjih osi tromosti poprenog presjeka nosaa po emu se koso savijanje razlikuje od obinog savijanja ravnog tapa kod kojeg se ravnina djelovanja momenta savijanja poklapa sa jednom od glavnih sredinjih osi tromosti poprenog presjeka. Ovisno o vrsti optereenja na popreni presjek nosaa imamo nekoliko sluajeva kosog savijanja : isto koso savijanje, popreno koso savijanje ili koso savijanje silama, ravninsko koso savijanje i prostorno koso. Razmotrit emo sluaj istog kosog savijanja kod kojeg u bilo kojem presjeku tapa ravnina djelovanja momenta savijanja prolazi teitem poprenog presjeka i sa glavnom osi tromosti zatvara kut a. Ako u svakoj toki presjeka u smjeru noramle nanesemo vektor naprezanja sx , skup vrhova tih vektora, kao i pri obinom savijanju, tvore ravninu. Presjenica te ravnine s ravninom poprenog presjeka jest neutralna os presjeka. Jednadbu neutralne osi presjeka dobit emo pomou jednadbe pravca koji prolazi kroz ishodite koordinatnog sustava (teite poprenog presjeka). Poloaj neutralne osi pri istom kosom savijanju moemo odrediti i pomou sredinje elipse tromosti poprenog presjeka. Neutralna os pri istom kosom savijanju usporedna je sa tangentom na sredinju elipsu tromosti u toki u kojoj elipsa sijee ravninu djelovanja optereenja. Normalno naprezanje je pri kosom savijanju razmjerno udaljenosti promatrane toke od neutralne osi. Izrazom da maksimalna naprezanja, normalna ili posmina, moraju biti manja ili jednaka doputenim normalnim i posminim naprezanjima kontroliramo uvjete vrstoe poprenog presjeka i provodimo dimenzioniranje poprenog presjeka. Diferencijalnom jednadbom elastine linije tapa dobivamo veliinu progiba, koji za razliku od obinog savijanja kod kojeg je progib u smjeru glane osi tromosti i u ravnini djelovanja optereenja, u sluaju kosog savijanja zatvara sa glavnom osi z kut b. Pri kosom savijanju ukupni progib usmjeren je okomito na neutralnu os, tj. nosa se savija u ravnini okomitoj na neutralnu os. Ravnina savijanja nosaa ne poklapa se s ravninom djelovanja vanjskog optereenja.

Koso savijanje primjenjuje se kod krovnih nosaa, kad opterenje nije u smjeru glavnih osi tromosti. Najpovoljniji popreni presjek kod tako optereenih nosaa je Z presjek uz najekonominiju iskoristivost materijala u odnosu na ostale oblike presjeka.

2. KOSO SAVIJANJEPromatra se ravni tap izloen djelovanju vanjskog optereenja, koje lei u jednoj ravnini ravnini optereenja, koja prolazi kroz uzdunu os tapa. Pod djelovanjem danog optereenja uzduna os tapa se iskrivljuje (mijenja se zakrivljenost tapa). Takav oblik optereenja i deformacije tapa naziva se savijanje. tap izloen savijanju se naziva nosaem. Ako se ravnina djelovanja momenta savijanja , odnosno ravnina optereenja ne poklapa ni s jednom od glavnih sredinjih osi tromosti poprenog presjeka (slika 1.) onda je to sluaj kosog savijanja. U tom sluaju ravnine savijanja tapa ne podudaraju se s ravninom djelovanja momenta savijanja.glavne ravnine

y F z

x

uzduna os nosaca

glevne sredinje osi tromosti

Slika 1. Ako u poprenim presjecima djeluje poprena sila i moment savijanja (slika 2.) onda je to popreno koso savijanje ili koso savijanje silama.

F1

F2

y z

x

Slika 2.

isto koso savijanje (koso savijanje spregovima) je takav sluaj kosog savijanja kad u poprenim presjecima tapa djeluje samo moment savijanja (slika 3.).

M

y z

x

Slika 3. Sluaj kada optereenje koje savija tap djeluje u jednoj ravnini koja prolazi kroz os tapa, ali se ne poklapa ni s jednom od glavnih sredinjih osi tromosti presjeka naziva se ravninsko koso savijanje (slika 2.). U tom je sluaju elastina linija tapa ravninska krivulja u ravnini koja se ne poklapa s ravninom djelovanja optereenja, to je karakteristino za koso savijanje. Ako optereenje koje savija tap ne lei u jednoj ravnini, smjerovi se djelovanja rezultntnog momenta savijanja u razliitim poprenim presjecima tapa ne podudaraju. Sluaj se zove prostorno koso savijanje, a elastina linija tapa je u tom sluaju prostorna krivulja.

F2 F1

F3 F1

F2

F3

y z

x

y

z

Slika 4.

2.1. ISTO KOSO SAVIJANJE U bilo kojem presjeku tapa ravnina djelovanja momenta savijanja m-m prolazi teitem poprenoga presjeka i s glavnom osi tromosti z zatvara kut (slika 5.). Pretpostavimo da su y i z glavne sredinje osi tromosti presjeka, a xy i xz dvije glavne ravnine. Za takav popreni presjek je centrifugalni moment tyz = 0. Vektor momenta savijanja M okomit je na ravninu m-m i s drugom glavnom osi tromosti y zatvara kut . Moment savijanja M moemo rastaviti na komponente:M y = M cos

Mz = M sin

(1)

M = My + Mz

koje predstavljaju momente savijanja oko glavni osi tromosti y i z. Prema tome, isto koso savijanje moemo promatrati kao istodobno savijanje tapa u dvjema glavnim ravninama xz i xy. Moment savijanja My djeluje na vlakna prvog kvadranta u ravnini xz tako da se one produljuju (isteu) pa u toki A(y,z) poprenog presjeka moment savijanja My izaziva normalno vlano naprezanje:My Iy

x1 =

z

(2)

gdje je Iy glavni moment tromosti obzirom na os y. Moment savijanja Mz djeluje u ravnini xy i u promatranoj toki A(y,z) izaziva normalno vlano naprezanje:

x2 =

Mz y, Iz

(3)

Gdje je Iz glavni moment tromosti obzirom na os z.

mniz2 M Mz My

y

t

z

zo

iyK y yo t

1

A

o. n.

m

zn

+

Slika 5. Ukupno normalno naprezanje u promatranoj toki A(y,z) poprenog presjeka zbog djelovanja momenta savijanja M dobit emo superpozicijom : = x1 + x 2

x =

My Iy

z+

Mz y Iz

(4)

Ako izraz (1) uvrstimo u izraz (4) dobit emo ukupno normalno naprezanje u toki A : cos sin z+ x = M y I Iz y

(5)

2.2. POLOAJ NEUTRALNE OSI Za razliku od obinog savijanja kod kosog savijanja neutralna os nije okomita na ravninu djelovanja momenta savijanja. Iz izraza (5) slijedi da izmeu naprezanja x i koordinata y i z postoji linearna ovisnost. Ako u svakoj toki presjeka u smjeru normale nanesemo vektor naprezanja x, skup svih vrhova tih vektora, kao i pri obinu savijanju, tvore ravninu. Presjenica te ravnine s ravninom poprenog presjeka jest neutralna os presjeka. Jednadu neutrelne osi dobit emo ako u izraz (5) stavimo da je x=0 (dijagram normalnog naprezanja se mijenja linearno (slika 5.), a na neutralnoj osi normalno naprezanje ima vrijednost nula).

cos sin z+ y=0 Iy Iz

(6)

Jednadba (6) jest jednadba pravca koji prolazi ishoditem koordinatnog sustava (teitem poprenog presjeka). Iz izraza (6) slijedi : Iy z = tg y Iz

Oznaimo li s f kut to ga neutralna os (pravac n-n (slika 5.)) zatvara s osi y, dobivamo:

tg = tg

Iy Iz

= tg

iy iz

2 2

(7)

gdje su iy i iz glavni sredinji polumjeri tromosti poprenog presjeka. Iz jednadbe (7) slijedi da u opem sluaju kut || nije jednak kutu a, to znai da neutralna os n-n nije okomita na ravninu djelovanja rezultantnog momenta savijanja m-m, a to i ini razliku izmeu kosog i obinog savijanja. Neutralna os moe biti okomita na ravninu djelovanja optereenja samo kada se ravnina djelovanja optereenja poklapa s jednom od glavnih sredinih osi tromosti presjeka (tg = 0 ili tg = ) ili kada je:I y = Iz ,

jer je u tom sluaju svaka sredinja os ujedno i glavna os tromosti presjeka (kruni i kvadratni presjeci). Poloaj neutralne osi pri istom kosom savijanju moemo odrediti pomou sredinje elipse tromosti poprenog presjeka ija jednadba glasi: y2 iz2

+

z2 iy2

=1

Jednadba je tangente na elipsu u toki K(y0, z0) u kojoj elipsa sijee ravninu djelovanja optereenja ova:

yy 0 iz2

+

zz 0 iy2

=1

i odatle dobivamo:2 2

iy y iy z= 2 0 y+ z0 iz z 0

ili:2 2 2

z=

iy iz

tg y +

iy

z0

Tangens kuta to ga tangenta na elipsu zatvara s osi y jest:2 2

tg =

iy iz

tg =

Iy Iz

tg

Iz usporedbe ovog izraza s izrazom (7) dobivamo da je = . Zbog toga je neutralna os pri istom kosom savijanju usporedna s tangentom na sredinju elipsu tromosti u toki u kojoj elipsa sijee ravninu djelovanja optereenja. To znai da su preavci n-n i m-m konjugirani promjeri sredinje elipse tromosti. Izraz (6) predstavlja implicitni oblik jednadbe neutralne osi pri kosom savijanju. Normalni oblik jednadbe dobit emo tako da se jednadba (6) podjeli s drugim korijenom zbroja kvadrata koeficijenata:cos sin z+ y Iy Iz cos 2 Iy2

+

sin 2 Iz2

=0

Iz analitike je geometrije poznato da se udaljenost zadane toke od pravca dobije tako da se u normalni oblik jednadbe pravca uvrste koordinate zadane toke pa je udaljenost neke toke A(x, y) poprenog presjeka od neutralne osi n-n (slika 5.) :

=

cos sin z+ y Iy Iz cos 2 Iy2

+

sin 2 Iz2

=0

i odatle: cos sin cos 2 sin 2 z+ y = + 2 2 Iy Iz Iy Iz

Ako dobiveni izraz uvrstimo u izraz (5), dobivamo: x = M cos 2 Iy2

+

sin 2 Iz2

(8)

Vidimo da je pri kosom savijanju normalno naprezanje razmjerno udaljenosti promatrane toke od neutralne osi. Normalno naprezanje x poprima ekstremne vrijednosti u tokama presjeka, koje su naudaljenije od neutralne osi (toke 1 i 2 na slici 5. ). Da bismo odredili toke presjeka koje su najudaljenije od neutralne osi potrebno je odrediti neutralnu os i tangirati presjek tangentama paralelnim s neutralnom osi.

2.3. DIMENZIONIRANJE I PROVJERA UVJETA VRSTOE Dimenzioniranje ili provjera postojeih dimenzija obavlje se, u ovom sluaju (slika 6.), na osnovi izraza (4), uz uvjet da treba odrediti presjek gdje je moment savijanja maksimalan. Ako doputena vlana i tlana naprezanja nisu jednaka, imat emo dva uvjeta vrstoe:My Iy My

x max = x(1) = x min = x( 2 )

z1 +

Mz y 1 v dop Iz

M = z 2 + z y 2 t dop Iy Iz

(9)

V dop - doputeno vlano naprezanje V dop - doputeno tlano naprezanje

Ako je v dop = t dop = dop , proraun vrstoe provodi se prema, po apsolutnoj vrijednosti, najveem naprezanju: x dop .

max

(10)

Kod nekih se presjeka odreivanje najveih naprezanja znatno pojednostavljuje jer se moe lako utvrditi u kojim se tokama pojavljuju najvea normalna naprezanja. Kod pravokutnog presjeka (slika 6.) toke u uglovima presjeka najudaljenije su toke od neutralne osi i ujedno najudaljenije toke i od glavnih osi tromosti pa je z1 = z max , y 1 = y max . Normalna naprezanja primaju ekstremne vrijednosti u tokama 1 i 2 i odreene su izrazom: M y Mz . x max = + W min Wz y

(11)

Uvjet vrstoe glasi:My Wy

+

Mz dop Wz

ili:

1 Wy

W 1 M y + y Mz = W (My + Mz ) dop Wz y

i odatle:

Wy

1 dop

(M

y

+ Mz )

ili:

Wy

M (cos + sin ) . dop

(12)

Mz/Wz

+

m2

n

-

-

+ M Mz

-

y

My

h

+1 My/Wy

+ +b

+o. n.

m

zn

+

Slika 6.

Za pravokutni je presjek koeficijent :bh 2 Wy h = = 62 = . W z hb b 6

Najvea naprezanja u nosaima iji presjeci imaju dvije osi simetrije odreuju se pomou izraza (11), a dimenzioniranje pomou izraza (12). Pri tome je prije toga potrebno izabrati odnos Wy Wz = . Kao vrijednost koeficijenata u prvoj se aproksimaciji uzima 8,5 10 za presjeke I,

odnosno 6 8 za presjeke [ .

2.4. PROVJERA UVJETA KRUTOSTI Diferencijalna jednadba projekcije elastine linije tapa na glavne ravnine xz i xy bit e:My d2 w ; = 2 EI y dx

M d2 v = z , 2 EIz dx

(13)

Gdje je w progib u smjeru glavne osi tromosti z, a v progib u smjeru glavne osi tromosti y. Ukupni e progib biti:

f = v2 + w2

(14)

Prema grafoanalitikoj metodi, progib tapa u smjeru glavnih osi tromosti presjeka odreeni su izrazima:

w=

My EI y

v=

Mz EIz

(15)

Ravnine djelovanja fiktivnih momenata savijanja My I M z i rezultantnog fiktivnog momenta savijanja M = M y + Mz i M pa imamo: My = M cos ;Mz = M sin 2 2

poklapaju se s pripadajuim ravninama djelovanja My, Mz

w=i:

M cos ; EIy

v=

M sin EIz

f = v2 + w2 =

M cos 2 sin 2 + 2 2 E Iy Iz

mM Mz My v f w

y

sa vij an ja

rav n

i nau ne

op t ere cen jtra a ln

vn ina

a

ra

m

Oznaimo li s kut to ga vektor ukupnog progiba f zatvara s osi z (slika 7. ), bit e: M sin EI y Iy v = = tg w EIz M cos Iz

n

os

n

z

Slika 7.

tg =

(16)

Iz usporedbe izraza (7) i (16) slijedi da je:tg = tg

ili

=

to znai da je pri kosom savijanju ukupni progib usmjeren okomito na neutralnu os n-n, tj. nosa se savija u ravnini okomitoj na neutralnu os. Ravnina savijanja nosaa ne poklapa se s ravninom djelovanja vanjskog optereenja.

2.5. KOSO SAVIJANJE SILAMA

y

bz Ty

0 Tz

xy

A

xz

by

zSlika 8. U opem sluaju kosog savijanja silama rastavimo sile na komponente koje lee u glavnim ravninama xy, i xz. U poprenom presjeku tapa djeluju momenti savijanja My, Mz i poprene sile Ty i Tz . Normalna naprezanja u nekom presjeku tapa moemo odrediti pomou istih izraza kao i za sluaj istog kosog savijanja.

Komponente posminih naprezanja, paralelne sa glavnim osima tromosti presjeka, moemo odrediti pomou izraza:Tz S y Iy b y

xz =

;

xy =

Ty S z Iz b z

(17)

gdje su: by bz irina presjeka u visini promatrane toke A, u smjeru usporenom s osi y, irina presjeka u visini promatrane toke A, u smjeru usporenom s osi z,

Sy i Sz statiki moment povrine odrezanog dijela poprenog presjeka (slika 8. ) s obzirom na glavne sredinje osi tromosti y i z. Puno posmino naprezanje u promatranoj toki A jest:

= 2 xy + 2 xz .

(18)

U opem sluaju kosog savijanja silama ravnina djelovanja momenta savijanja u razliitim je presjecima razliito orjentirana s obzirom na glavne osi tromosti presjeka. Odatle slijedi da neutralna os tapa biti prostorna krivulja, tj. postojat e prostorno koso savijanje. U sluaju kosog savijanja silama, dovoljno je kontrolirati uvjete vrstoe za normalna naprezanja u opasnome presjeku. Poloaj opasnog presjeka pri ravninskome kosom savijanju moemo nai neposredno iz konfiguracije dijagrama My i Mz , jer momenti savijanja My i Mz dostiu najvee vrijednosti u istom presjeku, koji je ujedno i opasan presjek. Pri prostornom kosom savijanju presjeci s najveim vrijednostima momenata savijanja My i Mz esto se ne podudaraju. U tom sluaju ne moemo izravno odrediti poloaj opasnog presjeka, ve proraun treba provesti za nekoliko presjeka koje moemo pretpostaviti opasnim.

3. NUMERIKI PRIMJER:Za zadani nosa prikazan na slici treba: a) odrediti geometrijske karakteristike poprenog presjeka, nacrtati elipsu tromosti i odrediti poloaj neutralne osi poprenog presjeka b) odrediti normalna i posmina naprezanja u karakteristinim presjecima nosaa i nacrtati pripadne dijagrame naprezanja c) kontrolirati uvjete vrstoe d) postaviti diferencijalnu jednadbu elastine linije nosaa i odrediti progib i kut zaokreta u karakteristinim presjecima nosaa e) kontrolirati uvjete krutostif 1 = l 300

dop = 140MPa ,

dop = 90MPa ,

E = 2 10 5 MPa ,

3

1

9

9

1

3

2

20 cm

2

1

2 q = 20 kN

F= 20 kN

1 FAl =4,0 m

2 FBa = 1,0 m

M

M=20,0 kNm

Mmax=30,625 kNm

T 35 kN

x = 1,75 m

20 kN 45 kN

20 kN

Reakcije u leajevima: Uvjeti ravnotee:

M

A

=0

q 4,0 2 FB 4,0 + F 5,0 = 0 2 FB = 65kN

M

B

=0 q 4,0 2 + F 1,0 = 0 2

FA 4,0

FA = 35kN

Maksimalni moment u polju:

Mmax T = 0 FA q x = 0 35 20 x = 0 x = 1,75m q x2 20 1,75 2 = 35 175 , = 30,625kNm 2 2

Mmax = Fa x

a) geometrijske karakteristike poprenog presjeka, elipsa tromosti i poloaj neutralne

osi poprenog presjeka

y

T

z

Slika 11. Povrina:A = ( 200 10 ) + (130 20 ) 2 = 7200 mm2

Momenti tromosti:

130 20 3 10 210 3 Iy = + 130 20 110 2 2 + = 70,81 10 6 mm4 12 12 20 130 3 210 10 3 Iz = + 130 20 110 2 2 + = 12,02 10 6 mm4 12 12 Centrifugalni moment tromosti:

Iyz = 130 20 30 110 + 130 20 ( 30) ( 110) = 17,16 10 6 mm4

Glavni momenti tromosti:I y + Iz 2 70,81 + 12,02 1 2 Iz ) 4 I2 yz = 2 2

Iu,v =

1 2

(I

y

(70,81 12,02)2 4 17,16 2 10 6 =

= (41,415 23,866 ) 10 6Iu = 65, ,281 10 6 mm4

Iv = 17,549 10 6 mm4

Smjer glavnih osi tromosti:Iyz I y Iz 2 17,16 10 6 = 0,58377 0 = 15,138 0 (70,81 12,02) 10 6

tg2 0 =

=

Kontrola:Iy + Iz = Iu + Iz

70,81 106 + 12,02 106 = 65,281 106 + 17,549 106

82,83 106 = 82,83 106

0=0Neutralna os:

tg =

Iu 65,281 tg0 = tg( 15,138) = 0,9882 = 44,66 0 Iv 17,549

1

u

iu

. o. n

y

iv

2

v

zSlika 9.

b) normalna i posmina naprezanja u karakteristinim presjecima nosaa i pripadni dijagrami naprezanja Pri prelasku iz koordinatnog sustava y,z u koordinatni sustav u,v (slika 13.) koristimo jednadbe transformacije.

f

yzuA vA

y

A

v

z,

Slika 10.

u A = y cos 0 + z sin 0 v A = z cos 0 y sin 0

0 = 15,138 O cos 0 = 0,9652996 sin 0 = 0,2611447y[mm] 1 2 +35,0 -35,0 z[mm] +65,0 -65,0 u[mm] +65,0 -65,0 v[mm] -106,7 +106,7

Karakteristini presjeci nosaa su na mjestima maksimalnih momenata 1 i 2. Normalna naprezanja : Karakteristini presjek 1-1 (slika 11.) :

cos 0 sin 0 1 = min = Mmax v1 + u1 = Iv Iu 0,2611447 0,9652996 = 30,625 10 6 ( 106,7 ) + 65,0 = 77,946MPa 6 6 17,549 10 65,281 10

cos 0 sin 0 2 = max = Mmax v2 + u1 = Iv Iu 0,2611447 0,9652996 = 30,625 10 6 106,7 + ( 65,0 ) = +77,946MPa 6 6 17,549 10 65,281 10

1

1

,94 u 77 =-

iu iv

. n.o

y

2

v,94 77 =+

z

2

SLika 11. Karakteristini presjek 2-2 (slika 12.) : cos 0 sin 0 0,2611447 0,9652996 ( 106,7 ) + 65,0 = 1 = Mmax v1 + u1 = 20,0 10 6 6 6 Iv 17,549 10 65,281 10 Iu = +50,90MPa

cos 0 sin 0 1 = Mmax v2 + u1 = 20,0 10 6 Iu Iv = 50,90MPa

0,2611447 0,9652996 106,7 + ( 65,0 ) = 65,281 10 6 17,549 10 6

1

1

0 0,9 5 =+

u

iu iv

. n.o

y

2

v,90 50 =Slika 12.

z

2

Posmina naprezanja:

u

y

v

zSlika 13.

T3

T3

u

T3Avd

y

TV

s/2*s in

D

v

zSlika 14.

s/2*s

in

T3

T3

B

vB

= 15,138 o Tu = sin Tz = 16,97kN Tv = cos Tz = 62,74kN

1. dio :

v D = z cos y sin = 110 cos 15,138 o 95 sin15,13 o = 130,99mm s 2 S u1 = s1 t 1 v D + 1 sin = s1 2 (130,99 + 0,131 s1 ) = 251,98 s1 + 0,262 s1 = 2 = 22531,27mm 3 TV S u1 62,74 10 3 22531,27 = = 10,83N / mm 2 = 10,83MPa 3 Iu t 1 65,281 10 2

uv =

2. dio :

v B = z cos y sin = 110 cos 15,138 o 35 sin15,13 o = 97,04mm s 2 S u2 = s 2 t 2 v B + 2 sin = s 2 2 (97,04 + 0,131 s 2 ) = 194,08 s 2 + 0,2611 s 2 = 2 = 7112,65mm 3 TV S u2 62,74 10 3 7112,65 = = = 3,42N / mm 2 = 3,42MPa 3 Iu t 2 65,281 10 2

uv

3. dio :

v C = z cos y sin = 110 cos 15,138 o 0 sin 15,13 o = 106,18mm s 2 S u3 = s 3 t 3 v C 3 sin = 106,18 s 3 0,483 s 3 = 2 = 5835,5mm 3 TV S u3 62,74 10 3 5835,5 = = 5,61N / mm 2 = 5,61MPa 3 Iu t 3 65,281 10 2

uv =

T3

T3

u

T3

ys/2*c o uD s uB s/2*c os

TVA

Tu T3 T3

B

D

v

z

Slika 15.

1. dio

uD = y cos z sin = 95 cos 15,138 o 110 sin15,13 o = 62,97mm s 2 S u1 = s1 t 1 uD 1 sin = 125,95 s1 0,965 s1 = 2 = 3256,125mm 3 TV S u1 16,97 10 3 3256,125 = = = 1,57N / mm 2 = 157MPa , 3 Iv t 1 17,549 10 2

uv

2. dio

uB = y cos z sin = 35 cos 15,138 o 110 sin15,13 o = 62,51mm s 2 S u2 = s 2 t 2 uB 2 sin = 125,02 s 2 + 0,965 s 2 = 2 = 3193,58mm 3 TU S u2 16,97 10 3 3193,58 = = 1,54N / mm 2 = 1,54MPa 3 Iv t 2 17,549 10 2

uv =

3.dio

v C = z sin = 28,73mm S u3 = s 3 t 3 u C = 28,73 s 3 = 3160,3mm 3 uv = TU S u3 16,97 10 3 3160,3 = = 3,06N / mm 2 = 3,06MPa Iv t 3 17,549 10 3 2

= 2 uv1 + 2 uv 2

Za 1. dio:

1 = 2 uv1 + 2 uv 2 = 10,83 2 + 1,57 2 = 10,94MPaZa 2. dio:

2 = 2 uv1 + 2 uv 2 = 3,42 2 + 154 2 = 3,75MPa ,Za 3. dio:

2 = 2 uv1 + 2 uv 2 = 5,612 + 3,06 2 = 6,39MPa

c) kontrola uvjeta vrstoe Karakteristini presjek 1-1 : 2 = max = +77,946MPa dop = 140MPa

Karakteristini presjek 2-2 : 1 = max = +50,90MPa dop = 140MPa

Kontrola posminih naprezanja :1 = 10,94MPa dop = 90MPa

d) elastina linija nosaa, progibi i kutevi zaokreta u karakteristinim presjecima nosaa Grafoanalitiki postupak :2 q = 20 kN F= 20 kN a) 1 FAl =4,0 m

1

2 FBa = 1,0 m

M

M=20,0 kNm

A BMmax=30,625 kNm

C

b)

T

x = 1,75 m

c) FA FB FB TC FA MC

Slika 16. Moment savijanja u polju je:

q x2 M( x ) = 35 x 2Moment savijanja na prepustu:

M( x1 ) = 20 x1Na slici 16b. prikazan je fiktivni nosa s fiktivnim optereenjem u obliku dijagrama momenta savijanja zadanog nosaa. Fiktivni nosa rastavljamo na dva dijela kao to je prikazano na slici 16c.

Pri odreivanju fiktivnih reakcija ukupno fiktivno optereenje zamjenjujemo koncentriranim silama u teitu odgovarajuih povrina (slika 16c.) :

1 =

1 4,0 20 = 40kNm 2 2 2 4,0 40 = 106,67kNm 2 3 1 1,0 20 = 10kNm 2 2

2 =

3 =

Iz uvjeta

M

A

= 0 dobivamo :

FB 4,0 + 106,67 2,0 40

8 =0 3

FB = 26,67kNm 2

Progib u karakteristinom presjeku 1-1 : Moment :M11 = 70,02kNm 2

Progib :M11 sin 70,02 sin = = 0,0052m = 0,52cm E Iv 0,351 10 4 M11 cos 70,02 cos = = 0,0051m = 0,51cm E Iu 1,306 10 42 2

fu =

fv =

f11 = fu + fv = 0,73cm

Presjek C :

TC = 26,67 + 10 = 16,67kNm 2 MC = 26,67 1,0 + 10 2 = 20,0kNm 3 3

Progib :

fu =

M C sin 20 sin = = 0,0015 m = 0,15 cm E Iv 0,351 10 4 M C cos 20 cos = = 0,0015 m = 0,15 cm E Iu 1,306 10 4 fu + f v2 2

fv =

fC =

= 0,021cm

Kut zaokreta:

u( C ) =

TC sin 16,67 sin = = 0,0012rad = 0 o 0'4,46" 4 E Iv 0,351 10 TC cos 16,67 coc = = 0,0012rad = 0 o 0'4,46" 4 E Iu 1,306 102 2

v(C) =

( C ) = u + v = 0,0017rad = 0 o 0'6,11"

e) kontrola uvjeta krutostif 1 = l 300

Provjera krutosti u presjeku 1-1 :0,73 f 1 = 0,001825 < = = 0,00333 400 l 300

Provjera krutosti u presjeku C :0,21 f 1 = 0,0005 < = = 0,00333 400 l 300

Nosa zadovoljava uvjete krutosti!

ZAKLJUAK : U numerikom dijelu zadatka ravnina vanjskog optereenja ne poklapa se s jednom od glavih ravnina poprenog presjeka pa se stoga radi o kosom savijanju. Kako je centrifuglani moment tromosti poprenog presjeka razliit od nule glavne osi tromosti u i v su u odnosu na osi x i y pod kutem f. Zbog toga smo morali koristiti jednadbe transformacije pri prelasku iz jednog koordinatnog sustava u drugi koordinatni sustav. Kritini presjeci nalaze se na mjestima maksimalnih momenata gdje raunamo i maksimalna naprezanja te provjeravamo uvjete vrstoe. Dijagram normalnih naprezanja je linearan, a maksimalna naprezanja su na mjestima toaka presjeka koje su najudaljenije od neutralne osi poprenog presjeka. Kod posminih naprezanja sredite posmika se ne poklapa sa teitem poprenog presjeka jer je popreni presjek nesimetrian. Pretpostavili smo da poprena sila, koja predstavlja optereenje, prolazi sreditem posmika i projicirali smo je na glavne sredinje osi tromosti. Pri proraunu posminih naprezanja zanemarili smo uvijanje poprenog presjeka i u obzir uzeli samo savijanje. Grafoanalitikim postupkom prikazali smo fiktivni nosa sa fiktivnim optereenjem u obliku dijagrama momenata savijanja zadanog nosaa i rastavili ga na dva dijela. Pri odreivanju fiktivnih reakcija ukupno fiktivno optereenje smo zamjenili koncentriranim silama u teitu odgovarajuih povrina. Tim postupkom dobili smo progibe i kuteve zaokreta u kritinim presjecima. Kontrolu uvjeta krutosti proveli smo usporedbom dobivenog progiba sa zadanim doputenim progibom. Dobiveni progib mora biti manji ili jednak zadanom doputenom progibu.