Upload
banenina
View
167
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
5/28/2018 Koso Savijanje
1/39
ZAVRNI RAD
Koso savijanje ravnih tapova(sveuilini preddiplomski studij)
Mentor : Studentica:Doc. dr. sc. DIANA IMI MAJA BANIEK
Matini broj :0082032412
Zagreb, listopad, 2008. g
5/28/2018 Koso Savijanje
2/39
SADRAJ :
1.SAETAK........................................................................................................................ 1
2.KOSOSAVIJANJE............................................................................................................ 3
istokososavijanje..........................................................................................................5
Poloajneutralneosi........................................................................................................7
Dimenzioniranjeiprovjerauvjetavrstoe...................................................................10
Provjerauvjetakrutosti.................................................................................................13
Kososavijanjesilama.....................................................................................................16
3.NUMERIKIPRIMJER..................................................................................................... 17
2.ZAKLJUAK.................................................................................................................... 37
5/28/2018 Koso Savijanje
3/39
1. SAETAK
Kosim savijanjem naziva se takav oblik savijanja pri kojemu se ravnina djelovanja
momenta savijanja ne poklapa ni s jednom od glavnih sredinjih osi tromosti poprenog
presjeka nosaa po emu se koso savijanje razlikuje od obinog savijanja ravnog tapa kod kojeg
se ravnina djelovanja momenta savijanja poklapa sa jednom od glavnih sredinjih osi tromosti
poprenog presjeka.
Ovisno o vrsti optereenja na popreni presjek nosaa imamo nekoliko sluajeva kosog
savijanja : isto koso savijanje, popreno koso savijanje ili koso savijanje silama, ravninsko koso
savijanje i prostorno koso.
Razmotrit emo sluaj istog kosog savijanja kod kojeg u bilo kojem presjeku tapa
ravnina djelovanja momenta savijanja prolazi teitem poprenog presjeka i sa glavnom osi
tromosti zatvara kut a.
Ako u svakoj toki presjeka u smjeru noramle nanesemo vektor naprezanja sx , skup
vrhova tih vektora, kao i pri obinom savijanju, tvore ravninu. Presjenica te ravnine s ravninom
poprenog presjeka jest neutralna os presjeka. Jednadbu neutralne osi presjeka dobit emo
pomou jednadbe pravca koji prolazi kroz ishodite koordinatnog sustava (teite poprenogpresjeka). Poloaj neutralne osi pri istom kosom savijanju moemo odrediti i pomou sredinje
elipse tromosti poprenog presjeka. Neutralna os pri istom kosom savijanju usporedna je sa
tangentom na sredinju elipsu tromosti u toki u kojoj elipsa sijee ravninu djelovanja
optereenja. Normalno naprezanje je pri kosom savijanju razmjerno udaljenosti promatrane
toke od neutralne osi.
Izrazom da maksimalna naprezanja, normalna ili posmina, moraju biti manja ili jednaka
doputenim normalnim i posminim naprezanjima kontroliramo uvjete vrstoe poprenog
presjeka i provodimo dimenzioniranje poprenog presjeka.
Diferencijalnom jednadbom elastine linije tapa dobivamo veliinu progiba, koji za
razliku od obinog savijanja kod kojeg je progib u smjeru glane osi tromosti i u ravnini
djelovanja optereenja,u sluaju kosog savijanja zatvara sa glavnom osi z kut b. Pri kosom
savijanju ukupni progib usmjeren je okomito na neutralnu os, tj. nosa se savija u ravnini
okomitoj na neutralnu os. Ravnina savijanja nosaa ne poklapa se s ravninom djelovanja
vanjskog optereenja.
5/28/2018 Koso Savijanje
4/39
Koso savijanje primjenjuje se kod krovnih nosaa, kad opterenje nije u smjeru glavnih
osi tromosti. Najpovoljniji popreni presjek kod tako optereenih nosaa je Z presjek uz
najekonominiju iskoristivost materijala u odnosu na ostale oblike presjeka.
5/28/2018 Koso Savijanje
5/39
2. KOSO SAVIJANJE
Promatra se ravni tap izloen djelovanju vanjskog optereenja, koje lei u jednoj ravnini
ravnini optereenja, koja prolazi kroz uzdunu os tapa. Pod djelovanjem danog optereenja
uzduna os tapa se iskrivljuje (mijenja se zakrivljenost tapa). Takav oblik optereenja i
deformacije tapa naziva se savijanje. tap izloen savijanju se naziva nosaem.
Ako se ravnina djelovanja momenta savijanja , odnosno ravnina optereenja ne poklapa
ni s jednom od glavnih sredinjih osi tromosti poprenog presjeka (slika 1.) onda je to sluaj
kosog savijanja. U tom sluaju ravnine savijanja tapa ne podudaraju se s ravninom djelovanja
momenta savijanja.
xy
zF glevne sredinjeosi tromosti
uzduna os nosaca
glavne ravnine
Slika 1.
Ako u poprenim presjecima djeluje poprena sila i moment savijanja (slika 2.) onda je to
popreno koso savijanjeilikoso savijanje silama.
xy
z
F2F1
Slika 2.
5/28/2018 Koso Savijanje
6/39
isto koso savijanje(koso savijanje spregovima)je takav sluaj kosog savijanja kad u
poprenim presjecima tapa djeluje samo moment savijanja (slika 3.).
M
xy
z
Slika 3.
Sluaj kada optereenje koje savija tap djeluje u jednoj ravnini koja prolazi kroz os
tapa, ali se ne poklapa ni s jednom od glavnih sredinjih osi tromosti presjeka naziva se
ravninsko koso savijanje (slika 2.). U tom je sluaju elastina linija tapa ravninska krivulja u
ravnini koja se ne poklapa s ravninom djelovanja optereenja, to je karakteristino za koso
savijanje.Ako optereenje koje savija tap ne lei u jednoj ravnini, smjerovi se djelovanja
rezultntnog momenta savijanja u razliitim poprenim presjecima tapa ne podudaraju. Sluaj se
zove prostorno koso savijanje, a elastina linija tapa je u tom sluaju prostorna krivulja.
xy
z
F3
F1
F2 F3F2F1
z
y
Slika 4.
5/28/2018 Koso Savijanje
7/39
2.1. ISTO KOSO SAVIJANJE
U bilo kojem presjeku tapa ravnina djelovanja momenta savijanja m-m prolazi teitem
poprenoga presjeka i s glavnom osi tromostiz zatvara kut (slika 5.).
Pretpostavimo da suyiz glavne sredinje osi tromosti presjeka, axyixzdvije glavne ravnine. Za
takav popreni presjek je centrifugalni momenttyz= 0.
Vektor momenta savijanja M okomit je na ravninu m-m i s drugom glavnom osi tromosti
yzatvara kut. Moment savijanja M moemo rastaviti na komponente:
= cosMMy = sinMMz (1)
zy MMM +=
koje predstavljaju momente savijanja oko glavni osi tromosti y i z. Prema tome, isto koso
savijanje moemo promatrati kao istodobno savijanje tapa u dvjema glavnim ravninamaxzixy.
Moment savijanja Mydjeluje na vlakna prvog kvadranta u ravninixztako da se one produljuju
(isteu) pa u toki A(y,z) poprenog presjeka moment savijanja My izaziva normalno vlano
naprezanje:
zI
M
y
y
1x = (2)
gdje je Iy glavni moment tromosti obzirom na osy.
Moment savijanja Mzdjeluje u ravninixyi u promatranoj toki A(y,z) izaziva normalno
vlano naprezanje:
yI
M
z
z2x = , (3)
Gdje je Izglavni moment tromosti obzirom na osz.
5/28/2018 Koso Savijanje
8/39
z
y
m
m
M
Mz
My
n
n
n.o.
Ky
o
zoz
yA
2
t
t
1
-
+
iz
iy
Slika 5.
Ukupno normalno naprezanje u promatranoj toki A(y,z) poprenog presjeka zbogdjelovanja momenta savijanja M dobit emo superpozicijom :
2x1x +=
yI
Mz
I
M
z
z
y
y
x += (4)
5/28/2018 Koso Savijanje
9/39
Ako izraz (1) uvrstimo u izraz (4) dobit emo ukupno normalno naprezanje u toki A :
+
= y
I
sinz
I
cosM
zy
x (5)
2.2. POLOAJ NEUTRALNE OSI
Za razliku od obinog savijanja kod kosog savijanja neutralna os nije okomita na ravninu
djelovanja momenta savijanja.
Iz izraza (5) slijedi da izmeu naprezanja xi koordinata yizpostoji linearna ovisnost.
Ako u svakoj toki presjeka u smjeru normale nanesemo vektor naprezanja x, skup svih vrhova
tih vektora, kao i pri obinu savijanju, tvore ravninu. Presjenica te ravnine s ravninom
poprenog presjeka jest neutralna ospresjeka.
Jednadu neutrelne osi dobit emo ako u izraz (5) stavimo da je x=0 (dijagram
normalnog naprezanja se mijenja linearno (slika 5.), a na neutralnoj osi normalno naprezanje ima
vrijednost nula).
0yI
sinz
I
cos
zy
=
+
(6)
Jednadba (6) jest jednadba pravca koji prolazi ishoditem koordinatnog sustava
(teitem poprenog presjeka). Iz izraza (6) slijedi :
z
y
I
I
tgy
z
=
5/28/2018 Koso Savijanje
10/39
Oznaimo li s f kut to ga neutralna os (pravac n-n (slika 5.)) zatvara s osi y,
dobivamo:
2
z
2
y
z
y
i
itgI
Itgtg == (7)
gdje su iyi izglavni sredinji polumjeri tromosti poprenog presjeka.
Iz jednadbe (7) slijedi da u opem sluaju kut || nije jednak kutu a, to znai da
neutralna os n-n nije okomita na ravninu djelovanja rezultantnog momenta savijanja m-m, a to i
ini razliku izmeu kosog i obinog savijanja. Neutralna os moe biti okomita na ravninu
djelovanja optereenja samo kada se ravnina djelovanja optereenja poklapa s jednom od glavnih
sredinih osi tromosti presjeka (tg= 0 ili tg= ) ili kada je:
,zy II =
jer je u tom sluaju svaka sredinja os ujedno i glavna os tromosti presjeka (kruni i kvadratni
presjeci).
Poloaj neutralne osi pri istom kosom savijanju moemo odrediti pomou sredinje
elipse tromosti poprenog presjeka ija jednadba glasi:
1i
z
i
y2
y
2
2
z
2
=+
Jednadba je tangente na elipsu u toki K(y0,z
0) u kojoj elipsa sijee ravninu djelovanja
optereenja ova:
1i
zz
i
yy2
y
0
2
z
0 =+
5/28/2018 Koso Savijanje
11/39
i odatle dobivamo:
0
2
y
0
0
2
z
2
y
z
iy
z
y
i
iz +=
ili:
0
2
y
2
z
2
y
z
iytg
i
iz +=
Tangens kuta to ga tangenta na elipsu zatvara s osiyjest:
== tgI
Itg
i
itg
z
y
2
z
2
y
Iz usporedbe ovog izraza s izrazom (7) dobivamo da je = . Zbog toga je neutralna os
pri istom kosom savijanju usporedna s tangentom na sredinju elipsu tromosti u toki u kojoj
elipsa sijee ravninu djelovanja optereenja. To znai da su preavci n-n i m-m konjugirani
promjeri sredinje elipse tromosti.Izraz (6) predstavlja implicitni oblik jednadbe neutralne osi pri kosom savijanju.
Normalni oblik jednadbe dobit emo tako da se jednadba (6) podjeli s drugim korijenom
zbroja kvadrata koeficijenata:
0
I
sin
I
cos
yI
sinz
I
cos
2
z
2
2
y
2
zy =
+
+
Iz analitike je geometrije poznato da se udaljenost zadane toke od pravca dobije tako
da se u normalni oblik jednadbe pravca uvrste koordinate zadane toke pa je udaljenost neke
toke A(x, y) poprenog presjeka od neutralne osi n-n (slika 5.) :
5/28/2018 Koso Savijanje
12/39
0
I
sin
I
cos
yI
sinz
I
cos
2
z
2
2
y
2
zy =
+
+
=
i odatle:
2
z
2
2
y
2
zy I
sin
I
cosy
I
sinz
I
cos +
=
+
Ako dobiveni izraz uvrstimo u izraz (5), dobivamo:
2
z
2
2
y
2
xI
sinI
cosM += (8)
Vidimo da je pri kosom savijanju normalno naprezanje razmjerno udaljenosti promatrane
toke od neutralne osi. Normalno naprezanje x poprima ekstremne vrijednosti u tokama
presjeka, koje su naudaljenije od neutralne osi (toke 1 i 2 na slici 5. ).
Da bismo odredili toke presjeka koje su najudaljenije od neutralne osi potrebno je
odrediti neutralnu os i tangirati presjek tangentama paralelnim s neutralnom osi.
2.3. DIMENZIONIRANJE I PROVJERA UVJETA VRSTOE
Dimenzioniranje ili provjera postojeih dimenzija obavlje se, u ovom sluaju (slika 6.),
na osnovi izraza (4), uz uvjet da treba odrediti presjek gdje je moment savijanja maksimalan.
Ako doputena vlana i tlana naprezanja nisu jednaka, imat emo dva uvjeta vrstoe:
dopt2
z
z2
y
y
)2(xminx
dopv1
z
z1
y
y
)1(xmaxx
yI
Mz
I
M
yI
Mz
I
M
+==
+==
(9)
dopV - doputeno vlano naprezanje
dopV - doputeno tlano naprezanje
5/28/2018 Koso Savijanje
13/39
Ako je , proraun vrstoe provodi se prema, po apsolutnoj
vrijednosti, najveem naprezanju:
dopdoptdopv ==
dopmaxx . (10)
Kod nekih se presjeka odreivanje najveih naprezanja znatno pojednostavljuje jer se
moe lako utvrditi u kojim se tokama pojavljuju najvea normalna naprezanja. Kod
pravokutnog presjeka (slika 6.) toke u uglovima presjeka najudaljenije su toke od neutralne osi
i ujedno najudaljenije toke i od glavnih osi tromosti pa je max1 zz = , .max1 yy =
Normalna naprezanja primaju ekstremne vrijednosti u tokama 1 i 2 i odreene suizrazom:
+=
z
z
y
y
min
maxx
W
M
W
M. (11)
Uvjet vrstoe glasi:
dop
z
z
y
y
W
M
W
M+
ili:
( ) dopzyyzzy
yy
MMW
1M
W
WM
W
1+=
+
i odatle:
( )zydop
y MM1
W +
5/28/2018 Koso Savijanje
14/39
ili:
( + sincosM
W dopy ). (12)
z
y
m
m
1
M
Mz
My
n
n
n.o.
-
+
h
b
++
+-
--
-+
2
-
+
-
+
Mz/Wz
My/Wy
Slika 6.
Za pravokutni je presjek koeficijent :
b
h
6
hb
6
bh
W
W2
2
z
y === .
5/28/2018 Koso Savijanje
15/39
Najvea naprezanja u nosaima iji presjeci imaju dvije osi simetrije odreuju se pomou
izraza (11), a dimenzioniranje pomou izraza (12). Pri tome je prije toga potrebno izabrati odnos
=z
y
W
W. Kao vrijednost koeficijenata u prvoj se aproksimaciji uzima 8,5 10 za presjeke I,
odnosno 6 8 za presjeke [ .
2.4. PROVJERA UVJETA KRUTOSTI
Diferencijalna jednadba projekcije elastine linije tapa na glavne ravninexzixybit e:
y
y
2
2
EI
M
dx
wd= ;
z
z
2
2
EI
M
dx
vd= , (13)
Gdje je w progib u smjeru glavne osi tromostiz, a v progib u smjeru glavne osi tromostiy.
Ukupni e progib biti:
22 wvf += (14)
Prema grafoanalitikoj metodi, progib tapa u smjeru glavnih osi tromosti presjeka
odreeni su izrazima:
y
y
EI
Mw=
z
z
EI
Mv= (15)
Ravnine djelovanja fiktivnih momenata savijanja yM I zM i rezultantnog fiktivnog
momenta savijanja2
z
2
y MMM += poklapaju se s pripadajuim ravninama djelovanja My, Mz
i M pa imamo:
= cosMMy ; = sinMMz
5/28/2018 Koso Savijanje
16/39
yEI
cosMw
= ;
zEI
sinMv
=
i:
2
z
2
2
y
2
22
Isin
Icos
EMwvf +=+=
z
y
m
m
M
Mz
My
n
n
neutraln
aos
ravnin
aopte
rece
nja
f
v
w
ravnin
asavija
nja
Slika 7.
Oznaimo li s kut to ga vektor ukupnog progibafzatvara s osiz(slika 7. ), bit e:
=
== tg
I
I
cosMEI
EIsinM
w
vtg
z
y
z
y (16)
5/28/2018 Koso Savijanje
17/39
Iz usporedbe izraza (7) i (16) slijedi da je:
= tgtg ili =
to znai da je pri kosom savijanju ukupni progib usmjeren okomito na neutralnu os n-n, tj.
nosa se savija u ravnini okomitoj na neutralnu os. Ravnina savijanja nosaa ne poklapa se s
ravninom djelovanja vanjskog optereenja.
2.5. KOSO SAVIJANJE SILAMA
z
yTz
Ty
A
xz
xy
by
bz 0
Slika 8.
U opem sluaju kosog savijanja silama rastavimo sile na komponente koje lee u
glavnim ravninama xy, i xz. U poprenom presjeku tapa djeluju momenti savijanja My, Mz i
poprene sile Ty i Tz. Normalna naprezanja u nekom presjeku tapa moemo odrediti pomou
istih izraza kao i za sluaj istog kosog savijanja.
5/28/2018 Koso Savijanje
18/39
Komponente posminih naprezanja, paralelne sa glavnim osima tromosti presjeka,
moemo odrediti pomou izraza:
yy
yz
xz bI
ST
= ; zz
zy
xy bI
ST
= (17)
gdje su:
by - irina presjeka u visini promatrane toke A, u smjeru usporenom s osiy,
bz - irina presjeka u visini promatrane toke A, u smjeru usporenom s osiz,
Syi Sz statiki moment povrine odrezanog dijela poprenog presjeka (slika 8. ) s obzirom na
glavne sredinje osi tromostiyiz.
Puno posmino naprezanje u promatranoj toki A jest:
xz2
xy2 += . (18)
U opem sluaju kosog savijanja silama ravnina djelovanja momenta savijanja u
razliitim je presjecima razliito orjentirana s obzirom na glavne osi tromosti presjeka. Odatle
slijedi da neutralna os tapa biti prostorna krivulja, tj. postojat e prostorno koso savijanje.
U sluaju kosog savijanja silama, dovoljno je kontrolirati uvjete vrstoe za normalna
naprezanja u opasnome presjeku. Poloaj opasnog presjeka pri ravninskome kosom savijanju
moemo nai neposredno iz konfiguracije dijagrama My i Mz , jer momenti savijanja My i Mz
dostiu najvee vrijednosti u istom presjeku, koji je ujedno i opasan presjek.
Pri prostornom kosom savijanju presjeci s najveim vrijednostima momenata savijanja
My i Mz esto se ne podudaraju. U tom sluaju ne moemo izravno odrediti poloaj opasnog
presjeka, veproraun treba provesti za nekoliko presjeka koje moemo pretpostaviti opasnim.
5/28/2018 Koso Savijanje
19/39
3. NUMERIKI PRIMJER:
Za zadani nosaprikazan na slici treba:
a) odrediti geometrijske karakteristike poprenog presjeka, nacrtati elipsu tromosti i
odrediti poloaj neutralne osi poprenog presjeka
b) odrediti normalna i posmina naprezanja u karakteristinim presjecima nosaa i
nacrtati pripadne dijagrame naprezanja
c) kontrolirati uvjete vrstoe
d) postaviti diferencijalnu jednadbu elastine linije nosaa i odrediti progib i kut
zaokreta u karakteristinim presjecima nosaa
e) kontrolirati uvjete krutosti
MPa140dop = , , ,MPa90dop = MPa102E5=
300
1
l
f=
9 1 3
2
20cm
2
3 1 9
5/28/2018 Koso Savijanje
20/39
F= 20 kN
FA FB
q = 20 kN
Mmax=30,625 kNm
45 kN
20 kN 20 kN35 kN
x = 1,75 m
l =4,0 m a = 1,0 m
M=20,0 kNmM
T
1
1
2
2
Reakcije u leajevima:
Uvjeti ravnotee:
kN35F
00,1F2
0,4q0,4F
0M
kN65F
00,5F0,4F2
0,4q
0M
A
2
A
B
B
B
2
A
=
=+
=
=
=+
=
5/28/2018 Koso Savijanje
21/39
Maksimalni moment u polju:
kNm625,302
75,12075,135
2
xqxFM
m75,1x
0x2035
0xqF
0TM
22
amax
A
max
=
=
=
=
==
=
a) geometrijske karakteristike poprenog presjeka, elipsa tromosti i poloaj neutralneosipoprenog presjeka
y
z
T
Slika 11.Povrina:
72002)20130()10200( =+=A mm2
5/28/2018 Koso Savijanje
22/39
Momenti tromosti:
63
23
y 1081,7012
21010
21102013012
20130
I =
+
+
= mm4
63
23
z 1002,1212
10210211020130
12
13020I =
+
+
= mm4
Centrifugalni moment tromosti:
6
yz 1016,17)110()30(201301103020130I =+= mm4
Glavni momenti tromosti:
( ) ( )
( ) 6
622yz
22
zy
zy
v,u
10866,23415,41
1016,17402,1281,702
1
2
02,1281,70I4II
2
1
2
III
=
=
+=
+=
6
u 10281,,65I = mm4
6
v 10549,17I = mm4
Smjer glavnih osi tromosti:
0
06
6
zy
yz
0 138,1558377,010)02,1281,70(
1016,172
II
I2tg ==
=
=
5/28/2018 Koso Savijanje
23/39
Kontrola:
+=+ zuzy IIII 6666 10549,1710281,651002,121081,70 +=+
66 1083,821083,82 =
00=
Neutralna os:
00
v
u 66,449882,0)138,15(tg549,17281,65tg
IItg ====
5/28/2018 Koso Savijanje
24/39
y
z
n.o.
u
v
1
2
iv
iu
Slika 9.
5/28/2018 Koso Savijanje
25/39
b) normalna i posmina naprezanja u karakteristinim presjecima nosaa i pripadnidijagrami naprezanja
Pri prelasku iz koordinatnog sustavay,zu koordinatni sustav u,v (slika 13.) koristimo
jednadbe transformacije.
y
zv
Ay
zvA
uA
f
,Slika 10.
00A
00A
sinycoszv
sinzcosyu
=
+=
2611447,0sin
9652996,0cos
138,15
0
0
O
0
=
=
=
y[mm] z[mm] u[mm] v[mm]
1 +35,0 +65,0 +65,0 -106,7
2 -35,0 -65,0 -65,0 +106,7
Karakteristini presjeci nosaa su na mjestima maksimalnih momenata 1 i 2.
Normalna naprezanja :
Karakteristini presjek 1-1 (slika 11.) :
5/28/2018 Koso Savijanje
26/39
( ) MPa946,770,6510549,17
2611447,07,106
10281,65
9652996,010625,30
uI
sinv
I
cosM
66
6
1
v
01
u
0maxmin1
=
+
=
=
+
==
( ) MPa946,770,6510549,17
2611447,07,106
10281,65
9652996,010625,30
uI
sinv
I
cosM
66
6
1
v
02
u
0maxmax2
+=
+
=
=
+
==
y
z
n.o.
u
v
1
2
iv
iu
2=+77
,94
1=-77
,94
SLika 11.
Karakteristini presjek 2-2 (slika 12.) :
( )
MPa90,50
0,6510549,17
2611447,07,106
10281,65
9652996,0100,20u
I
sinv
I
cosM
66
6
1
v
01
u
0max1
+=
=
+
=
+
=
5/28/2018 Koso Savijanje
27/39
( )
MPa90,50
0,6510549,17
2611447,07,106
10281,65
9652996,0100,20u
I
sinv
I
cosM
66
6
1
v
02
u
0max1
=
=
+
=
+
=
y
z
n.o.
u
v
1
2
iv
iu
2=-50
,90
1=+50,9
0
Slika 12.
5/28/2018 Koso Savijanje
28/39
Posmina naprezanja:
y
z
u
v
Slika 13.
y
z
u
v
D
vd
s/2*sin
T3
T3T3
T3 T3
TV
B
A
v
B
s/2*sin
Slika 14.
5/28/2018 Koso Savijanje
29/39
kN74,62TcosT
kN97,16TsinT
138,15
zv
zu
o
==
==
=
1. dio :
( )
MPa83,10mm/N83,10210281,65
27,225311074,62
tI
ST
mm27,22531
s262,0s98,251s131,099,1302ssin2
svtsS
mm99,13013,15sin95138,15cos110sinycoszv
2
3
3
1u
1uVuv
3
2
11111
D111u
oo
D
==
=
=
=
=+=+=
+=
===
2. dio :
( )
MPa42,3mm/N42,3210281,65
65,71121074,62
tI
ST
mm65,7112
s2611,0s08,194s131,004,972ssin2
svtsS
mm04,9713,15sin35138,15cos110sinycoszv
2
3
3
2u
2uV
uv
3
2
22222
B222u
ooB
==
=
=
=
=+=+=
+=
===
5/28/2018 Koso Savijanje
30/39
3.dio :
MPa61,5mm/N61,5210281,65
5,58351074,62
tI
ST
mm5,5835
s483,0s18,106sin2
s
vtsS
mm18,10613,15sin0138,15cos110sinycoszv
2
3
3
3u
3uVuv
3
2
33
3
C333u
oo
C
==
=
=
=
==
=
===
y
z
u
v
D
uD
T3
T3T3
T3 T3
TV
B
A
uB
s/2*cos
Tu
s/2*cos
Slika 15.
5/28/2018 Koso Savijanje
31/39
1.dio
MPa57,1mm/N57,1210549,17
125,32561097,16
tI
ST
mm125,3256
s965,0s95,125sin2
sutsS
mm97,6213,15sin110138,15cos95sinzcosyu
2
3
3
1v
1uVuv
3
2
11
1
D111u
oo
D
==
=
=
=
==
=
===
2.dio
MPa54,1mm/N54,1210549,17
58,31931097,16
tI
ST
mm58,3193
s965,0s02,125sin2
sutsS
mm51,6213,15sin110138,15cos35sinzcosyu
2
3
3
2v
2uUuv
3
2
222
B222u
oo
B
==
=
=
=
=+=
=
===
3.dio
MPa06,3mm/N06,3210549,17
3,31601097,16
tI
ST
mm3,3160s73,28utsS
mm73,28sinzv
2
3
3
3v
3uUuv
3
3C333u
C
==
=
=
===
==
2uv2
1uv2 +=
5/28/2018 Koso Savijanje
32/39
Za 1. dio:
MPa94,1057,183,10 222uv2
1uv2
1 =+=+=
Za 2. dio:MPa75,354,142,3 222uv
21uv
2
2 =+=+=
Za 3. dio:
MPa39,606,361,5 222uv2
1uv2
2 =+=+=
5/28/2018 Koso Savijanje
33/39
c) kontrola uvjeta vrstoe
Karakteristini presjek 1-1 :
140MPa77,946MPa dopmax2 =+==
Karakteristini presjek 2-2 :
140MPa50,90MPa dopmax1 =+==
Kontrola posminih naprezanja :
MPa90MPa94,10 dop1 ==
5/28/2018 Koso Savijanje
34/39
d) elastina linija nosaa, progibi i kutevi zaokreta u karakteristinim presjecimanosaa
Grafoanalitiki postupak :
F= 20 kN
FA FB
q = 20 kN
Mmax=30,625 kNmx = 1,75 m
l =4,0 m a = 1,0 m
M=20,0 kNmM
T
1
1
2
2
FAFA
FB
FB
TCMC
CB
A
a)
b)
c)
Slika 16.
Moment savijanja u polju je:
2
xqx35)x(M
2=
Moment savijanja na prepustu:
11 x20)x(M =
Na slici 16b. prikazan je fiktivni nosas fiktivnim optereenjem u obliku dijagrama
momenta savijanja zadanog nosaa. Fiktivni nosarastavljamo na dva dijela kao to je prikazano
na slici 16c.
5/28/2018 Koso Savijanje
35/39
Pri odreivanju fiktivnih reakcija ukupno fiktivno optereenje zamjenjujemo
koncentriranim silama u teitu odgovarajuih povrina (slika 16c.) :
2
3
2
2
2
1
kNm10200,12
1
kNm67,106400,43
2
kNm40200,42
1
==
==
==
Iz uvjeta = 0MA dobivamo :
03
8400,267,1060,4FB =+
2
B kNm67,26F =
Progib u karakteristinom presjeku 1-1 :
Moment :
2
11 kNm02,70M =
5/28/2018 Koso Savijanje
36/39
Progib :
cm73,0fff
cm51,0m0051,010306,1
cos02,70
IE
cosMf
cm52,0m0052,010351,0
sin02,70
IE
sinMf
2
v
2
u11
4
u
11v
4
v
11u
=+=
==
=
=
==
=
=
Presjek C :
3
C
2
C
kNm0,203
2100,167,26M
kNm67,161067,26T
=+=
=+=
Progib :
cm021,0fff
cm15,0m0015,010306,1
cos20
IE
cosMf
cm15,0m0015,010351,0
sin20IEsinMf
2
v
2
uC
4u
Cv
4v
Cu
=+=
==
=
=
==
=
=
5/28/2018 Koso Savijanje
37/39
Kut zaokreta:
"11,6'00rad0017,0
"46,4'00rad0012,010306,1
coc67,16
IE
cosT
"46,4'00rad0012,010351,0
sin67,16
IE
sinT
o2
v
2
u)C(
o
4u
C)C(v
o
4v
C)C(u
==+=
==
=
=
==
=
=
5/28/2018 Koso Savijanje
38/39
e) kontrola uvjeta krutosti
300
1
l
f=
Provjera krutosti u presjeku 1-1 :
00333,0300
1
l
f001825,0
400
73,0==
5/28/2018 Koso Savijanje
39/39
ZAKLJUAK :
U numerikom dijelu zadatka ravnina vanjskog optereenja ne poklapa se s jednom od
glavih ravnina poprenog presjeka pa se stoga radi o kosom savijanju. Kako je centrifuglani
moment tromosti poprenog presjeka razliit od nule glavne osi tromosti ui vsu u odnosu na osi
x i y pod kutem f. Zbog toga smo morali koristiti jednadbe transformacije pri prelasku iz
jednog koordinatnog sustava u drugi koordinatni sustav.
Kritini presjeci nalaze se na mjestima maksimalnih momenata gdje raunamo i
maksimalna naprezanja te provjeravamo uvjete vrstoe. Dijagram normalnih naprezanja je
linearan, a maksimalna naprezanja su na mjestima toaka presjeka koje su najudaljenije od
neutralne osi poprenog presjeka. Kod posminih naprezanja sredite posmika se ne poklapa sa
teitem poprenog presjeka jer je popreni presjek nesimetrian. Pretpostavili smo da poprena
sila, koja predstavlja optereenje, prolazi sreditem posmika i projicirali smo je na glavne
sredinje osi tromosti. Pri proraunu posminih naprezanja zanemarili smo uvijanje poprenog
presjeka i u obzir uzeli samo savijanje.
Grafoanalitikim postupkom prikazali smo fiktivni nosa sa fiktivnim optereenjem u
obliku dijagrama momenata savijanja zadanog nosaa i rastavili ga na dva dijela. Pri odreivanju
fiktivnih reakcija ukupno fiktivno optereenje smo zamjenili koncentriranim silama u teitu
odgovarajuih povrina. Tim postupkom dobili smo progibe i kuteve zaokreta u kritinim
presjecima.
Kontrolu uvjeta krutosti proveli smo usporedbom dobivenog progiba sa zadanim
doputenim progibom. Dobiveni progib mora biti manji ili jednak zadanom doputenom progibu.