of 51/51
5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRI ČNO NAPREZANJErc5.gaf.ni.ac.rs/dec/mehanika/homes/mehanika/Otpornost materijala I... · otpornost materijala i. ekscentri

  • View
    311

  • Download
    17

Embed Size (px)

Text of ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRI ČNO NAPREZANJErc5.gaf.ni.ac.rs/dec/mehanika/homes/mehanika/Otpornost...

  • 5. PREDAVANJE ISTO KOSO SAVIJANJEEKCENTRINO NAPREZANJE

    OTPORNOST MATERIJALA I

  • ISTO KOSO SAVIJANJE

    Pod pravim savijanjem podrazumeva se sluaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni inercije poprenog preseka.

    Koso savijanje je sluaj kada ravan savijanja see osu tapa z, a ne poklapa se ni sa jednom od glavnih ravni inercije poprenog preseka.

    Pri kosom savijanju tap se savija istovremeno oko obe glavne ose poprenog preseka.

  • PRIMERI U KOJIMA SE JAVLJA ISTO KOSO SAVIJANJE

    x

    xx

    x

    y

    y

    yy

    x, y teine ose

    (1), (2) glavne centralne ose

  • PRIMERI U KOJIMA SE JAVLJA ISTO KOSO SAVIJANJE krovna ronjaa

    ronjaa

    ronjaa

  • ISTO KOSO SAVIJANJE

    Posmatra se greda izloena dejstvu momenata M na krajevima tako da ravan savijanja - prolazi kroz teite poprenog preseka i zaklapa sa glavnom osom inercije y ugao .

    Vektor rezultujueg momenta savijanja M upravan je na ravan savijanja i ima dve svoje komponente:

    xM Mcos = yM Msin =

  • ISTO KOSO SAVIJANJE

    Pri istom kosom savijanju greda je optereena na savijanje u ravni koja see osu tapa z, ali se ne poklapa ni sa jednom od glavnih ravni.

    Momenti Mx i My izazivaju savijanje tapa oko odgovarajuih osa: Mx oko ose x i My oko ose y, tj. izazivaju isto pravo savijanje u glavnim ravnima inercije yz, odnosno xz.

  • ISTO KOSO SAVIJANJE

  • ISTO KOSO SAVIJANJE NORMALNI NAPON

    Momenti Mx =Mcos deluju u ravni yz, pa u taki (x,y) preseka izazivaju isto pravo savijanje, tj. normalni napon

    Momenti My =Msin deluju u ravni xz i u taki (x,y) preseka izazivaju isto pravo savijanje, tj. normalni napon

    xz

    x

    My

    I =

    yz

    y

    Mx

    I =

  • Vai princip superpozicije:

    Ukupan normalni napon u taki (x,y) preseka nastao usled jednovremenog dejstva momenata Mx i My jednak je algebarskom zbiru napona koji se javljaju posebno od komponente Mx i komponente My

    yxz

    x y

    MMy x

    I I = +

    ISTO KOSO SAVIJANJE NORMALNI NAPON

    Naponi od Mx i My su kolinearni deluju upravno na presek pa se mogu algebarski sabrati.

  • ISTO KOSO SAVIJANJE NORMALNI NAPON

    z je linerana funkcija koordinata x i y

    Ukupan normalni napon u taki (x,y) preseka nastao od istovremenog dejstva spregova Mx i My

    yxz

    x y

    MMy x

    I I = +

    zx y

    M cos Msiny x

    I I + =

    xM M cos= yM M sin=

  • ISTO KOSO SAVIJANJE NORMALNI NAPON

    Normalni naponi u poprenom preseku:

    Normalni napon od My

    Normalni napon od Mx

    Ukupan normalni napon

  • ISTO KOSO SAVIJANJE DILATACIJE

    Primenom Hukovog zakona odreuju se podune i poprene dilatacije

    Poduna dilatacija:

    Poprena dilatacija

    =p

    E

    =yx

    zx y

    MM1y x

    E I I

    = +

    yxx

    x y

    MMy x

    E I I

    = +

    yxy

    x y

    MMy x

    E I I

    = +

  • ISTO KOSO SAVIJANJE NEUTRALNA OSAKao kod istog pravog savijanja, i kod istog kosog savijanja postoje u preseku take u kojima je normalni napon jednak nuli.

    Neutralna osa predstavlja geometrijsko mesto taaka u poprenom preseku u kojima je normalni napon jednak nuli.

    zx y

    x y

    cos sin0, M y x 0

    I I

    cos sinM 0, y x 0

    I I

    = + =

    + =

    Ovo je jednaina prave kroz koordinatni poetak koja je u sluaju kosog savijanja neutralna osa n-n.

    Za razliku od pravog savijanja neutralna osa nije upravna na ravan dejstva spregova .

    Poto je:

  • ISTO KOSO SAVIJANJE POLOAJ NEUTRALNE OSE

    Jednaina neutralne ose moe da se napie u obliku: x y

    cos siny x 0

    I I

    + =

    x

    y

    Iy tg x

    I

    =

    y tg x=

    x

    y

    Iytg tg

    x I = =

  • ISTO KOSO SAVIJANJE POLOAJ NEUTRALNE OSE

    Ugao odreuje poloaj neutralne ose n-n (mereno od pozitivnog smera x ose).

    Upravno na pravac neutralne ose n-n nalazi se osa s-s, koja predstavlja presek ravni savijanja grede i ravni poprenog preseka.

    Za razliku od istog pravog savijanja, kod istog kosog savijanja neutralna osa nije upravna na ravan u kojoj deluju spregovi M.

    x

    y

    Iyarc tg arc tg tg

    x I

    = =

  • yxz

    x y

    MMy x

    I I = +

    zx y

    M cos Msiny x

    I I + =

    ISTO KOSO SAVIJANJE MAKSIMALNI NORMALNI NAPON. USLOV VRSTOE

    Ukupan normalni napon kod kosog savijanja je linarna funkcija koordinata x i y. Normalni napon je jednak nuli na neutralnoj osi, linearno raste sa udaljenjem take od te ose, a najvee vrednosti dostie u najudaljenijim takama od neutralne ose.

  • ISTO KOSO SAVIJANJE DIMENZIONISANJE

    Pri dimenzionisanju grede mora biti zadovoljen uslov:

    zx y

    M cos Msiny x

    I I + =

  • ISTO KOSO SAVIJANJE PRIMER

    Greda pravougaonog poprenog preseka b x h = 6 x 12cm optereena je na krajevima momentom M = 1 kNm, kao na slici. Odrediti poloajneutralne ose poprenog preseka i maksimalni napon.

    = 600 + 1800 = 2400

    Ix = 864cm4 Iy= 216cm

    4

    y tg x=

    x

    y

    Iy tg x 4 3 x

    I

    = =

    tg 4 3 = ( ) 0arc tg 4 3 82= =

  • ISTO KOSO SAVIJANJE PRIMER

    Maksimalni napon je u najudaljenijim takama od neutralne ose , tj. u takama A i B.

    zx y

    M cos Msiny x

    I I + =

  • Odrediti maksimalni normalni napon i poloaj neutralne ose.

    Maksimalni napon zatezanja se javlja u taki B, a najvei napon pritiska u taki C.

    Ose x i y su glavne centralne ose inercije.Obe komponente momenta su negativne,to je na slici prikazano.U odnosu na neutralnu osu najudaljenije su take B i D.Taka B se nalazi na delu preseka kogaobe komponente momenta zateu,dok se taka D nalazina delu preseka kogaoba momenta pritiskaju.

  • EKSCENTRINO NAPREZANJE

    OTPORNOST MATERIJALA I

  • EKSCENTRINI PRITISAK ILI ZATEZANJE

    Ekscentrini pritisak je sloeno

    naprezanje koje se sastoji od aksijalnog naprezanja i kosog

    savijanja.

    Sila koja deluje u pravcu paralelnom osi nosaa u taki

    A (ex, ey) redukuje se na teite pa postoji:

    Sila u teitu preseka i moment

    usled redukcije sile na teite

  • EKSCENTRINI PRITISAK ILI ZATEZANJE

    Ukoliko je greda optereena na krajevima aksijalnom silom koja ne prolazi kroz teite poprenog preseka imamo sluaj ekscentrinog naprezanja grede.

    ex i ey ekscentriciteti sile

    y y

  • Redukcijom sile F na teite poprenog preseka dobija se sila F koja deluje u teitu preseka u pravcu ose tapa i spregovi sa momentima:

    koji izazivaju ista prava savijanja oko osa x i y.

    Ekscentrini pritisak predstavlja kombinaciju aksijalnog naprezanja i savijanja grede u ravni xz i ravni yz.

    EKSCENTRINONAPREZANJE

    x yM F e= y xM F e=

    y

    y

  • EKSCENTRINI PRITISAK NORMALNI NAPON

    Napon koji se javlja u gredi se moe odrediti pomou izraza:

    napon usled aksijalne sile

    yxz

    x y

    MMFy x

    A I I =

    napon usled Mx

    napon usled My

    Momenti Mx i My izazivaju ista prava savijanja oko osa x i y (u svim takama kvadranta u kome je taka A taj napon je negativan).

    Sila F izaziva aksijalno naprezanje (normalni napon je sa znakom minus jer sila pritiska ceo presek).

  • yxz

    x y

    MMFy x

    A I I =

    Stanje napona je linearno ali nije homogeno, jer zavisi od poloaja take u poprenom preseku.

    y xz

    x y

    F e F eFy x

    A I I

    =

    U svim takama kvadranta u kome je taka A vai ovaj izraz.

    Sila pritiska ceo presek, momenti u odnosu na ose x i y su takvi da izazivaju negativan napon u svim takama kvadranta u kome se nalazi taka A.

    y

  • Stanje napona je linearno ali nije homogeno, jer zavisi od poloaja take u poprenom preseku.

  • yxz

    x y

    MMFy x

    A I I =

    Sila F se uzima u apsolutnom iznosu; Koordinate take u kojoj deluje sila

    (ex i ey) se uzimaju sa svojim znacima;

    Koordinate take u kojoj se odreuje napon (x i y) su tekue koordinate.

  • yxz

    x y

    MMFy x

    A I I =

    yxA A A

    x y

    MMFy x

    A I I = + +

    yxB B B

    x y

    MMFy x

    A I I = +

    yxC C C

    x y

    MMFy x

    A I I =

    yxD D D

    x y

    MMFy x

    A I I = +

  • EKSCENTRINI PRITISAK NORMALNI NAPON

    ex i ey koordinate napadne take sile ekscentriciteti,

    x i y koordinate take poprenog preseka u kojoj se odreuje napon,

    ix i iy glavni centralni poluprenici inercije poprenog preseka grede

    yxz

    x y

    MMFy x

    A I I = x yM F e=

    y xM F e= y x

    zx y

    F e F eFy x

    A I I

    =

    y yx xz 2 2

    x y x y

    e A ee A eF F1 y x 1 y x

    A I I A

    = + + = + +

    i i

    2 xx

    I

    A=i y2y

    I

    A=i

  • EKSCENTRINO NAPREZANJE NEUTRALNA OSA

    Kako je

    Jednaina neutralne ose

    Neutralna osa je prava linija koja ne prolazi kroz teite preseka (postoji slobodan lan u jednaini prave).

    Neutralna osa je geometrijsko mesto taaka u kojima je normalni napon z=0

    y xz 2 2

    x y

    e eF1 y x 0

    A

    = + + =

    i i

    F0

    A

    y x2 2

    x y

    e e1 y x 0+ + =

    i i

  • EKSCENTRINO NAPREZANJE NEUTRALNA OSA

    Neutralna osa:

    Odseci neutralne ose na koordinatnim osama x i y su:

    y x2 2

    x y

    e e1 y x 0+ + =

    i i

    2x

    y

    2y

    x

    x 0 y be

    y 0 xe

    = = =

    = = =

    i

    ia

    2 2y x

    x y

    be e

    = = i i

    a

    Iz dobijenih obrazaca se vidi da ovi odseci ne zavise od veliine sile F, ve samo od poloaja njene napadne take (ex i ey) i oblika poprenog preseka (ix i iy, tj. Ix i Iy).

  • to se popudara sa jednainom neutralne ose. Prema tome, vai pravilo:

    Jednaina glavne centralne elipse inercije:

    Ako se pretpostavi da se napadna taka A (ex, ey) sile F nalazi ba na elipsi inercije, tada e za konjugovanu taku B (-ex, -ey) , koja je takoe na elipsi, jednaina tangente na elipsu imati oblik:

    Ako je kod ekscentrinog pritiska napadna taka sile na centralnoj elipsi inercije, tada se neutralna osa poklapa sa tangentom na elipsu inercije u konjugovanoj taki.

    EKSCENTRINO NAPREZANJE VEZA POLOAJA NEUTRALNE OSE I CENTRALNE ELIPSE INERCIJE

    2 2

    2 2y x

    x y1 0+ =

    i i

    yx2 2

    y x

    eex y 1 0+ + =

    i iyx

    2 2y x

    eex y 1 0 =

    i itj.

  • Ukoliko se napadna taka sile pomera po pravoj koja prolazi kroz teite poprenog preseka, neutralna osa se paralelno pomera u istom smeru.

    Ukoliko se napadna taka sile pomera po pravoj m-m koja ne prolazi kroz teite poprenog preseka, odgovarajua neutralna osa se obre oko take A za koju je prava m-m neutralna osa.

  • SPECIJALNI SLUAJ EKSCENTRINOG PRITISKA -NAPADNA TAKA SILE JE NA JEDNOJ OD GLAVNIH OSA INERCIJE

    Neka je napadna taka sile je na osi x, koja je glavna osa, tada je: x ye 0, e 0 =

    Izraz za normalni napon tada je: x xzy y

    F e eF Fx 1 x

    A I A

    = = + i

    a jednaina neutralne linije je u tom sluaju: x

    y

    e1 x 0+ =

    i

    tj. neutralna osa je u tom sluaju prava paralelna sa osom y.

    Kada je napadna taka sile na osi y neutralna osa je prava paralelna sa osom x, a kada ne na osi x, neutralna osa je prava paralelna sa osom y.

  • Primer: Nai ekstremne vrednosti normalnog napona za stub pravougaonog poprenog preseka, optereenog u taki A ekscentrinom silom pritiska F

    2 2

    x y x y

    h bA b h, i , i , e 0, e e

    12 12= = = = =

    y xz

    x y

    F e F eFy x

    A I I

    =

    y xz

    x y

    F e F eFy x

    A I I

    = 2

    F 12ey 1

    b h h = +

    Sledi da e ekstremne vrednosti napona biti na krajnjim vlaknima, tj. za y=h/2:

    z,max

    z,min

    F 6e1

    b h h

    F 6e1

    b h h

    = +

    = + 2h

    y12e

    = Neutralna osa ima jednainu:

    tj. paralelna je osi x.

    y

    x

    -

  • Poloaj neutralne linije ne zavisi od veliine sile F, ve samo od poloaja njene napadne take i oblika poprenog preseka.

    Neutralna linija se nalazi uvek u dijagonalno suprotnom kvadrantu u odnosu na kvadrant u kome je napadna taka sile.

    Teite poprenog preseka je uvek izmeu neutralne ose i napadne take sile.

    to je napadna taka sile udaljenija, to je neutralna linija blia teitu.

    Ako se napadna taka sile nalazi na nekoj od osa, neutralna linija je upravna na tu osu.

  • JEZGRO PRESEKA

    Neutralna osa je geometrijsko mesto taaka u kojima je normalni napon jednak nuli.Ona deli povrinu poprenog preseka na dva dela: u jednom delu su naponi zatezanja, a u drugom, u kome se nalazi napadna taka sile pritiska, su naponi pritiska.

    Neutralna osa se udaljuje od teita preseka kada mu se napadna taka pribliava i obratno.Kada se toliko priblii teitu da neutralna osa dodiruje presek, tada je u dodirnoj taki N normalni napon jednak nuli, a u svim takama preseka vlada napon istog znaka.

    Ako se taka jo priblii teitu, neutralna osa je van preseka, pa je opet u svim takama preseka napon istog znaka.

  • U konstrukcijama se esto koriste ekscentrino pritisnuti stubovi izraeni od materijala koji dobro podnose pritisak, a veoma slabo zatezanje (beton).

    U tom sluaju moraju napadne take sila da budu takve da neutralna osa bude van povrine preseka, ili da ga dodiruje.

    Napadne take sila ije neutralne ose obavijaju konturu preseka omeuju deo povrine preseka koja se naziva jezgro preseka.

    Pogodnim odabiranjem dimenzija preseka nastoji se da se u takvim konstrukcijama postigne da napadna sila rezultante pritiskajuih sila padne unutar jezgra preseka.

  • EKSCENTRINO NAPREZANJE GREDE JEZGRO PRESEKA

    Skup napadnih taaka sila, ije neutralne ose tangiraju (obavijaju) konturu poprenog preseka grede,ograniava malu povrinu oko teita poprenog preseka grede koja se naziva jezgro preseka.

    Ako je napadna taka sile van jezgra, u jednom delu preseka je zatezanje, a u drugom pritisak.Odreivanje jezgra preseka je od velike vanosti u tehnikoj praksi jer pojedini materijali (beton) dobro podnose pritisak,a veoma slabo zatezanje.

    Ukoliko je napadna taka sile unutar jezgra, u svim takama preseka vlada napon istog znaka.

  • JEZGRA POPRENIH PRESEKA NEKIH RAVNIH FIGURA

    Ukoliko sila deluje na konturi jezgra odgovarajue neutralne ose su tangente na konturu poprenog preseka (ne smeju je sei).

  • 2 2y x

    x y

    be e

    = = i i

    a

    JEZGRO KRUNOG POPRENOG PRESEKA

    Odseci neutralne ose na koordinatnim osama x i y su:

    Trai se poloaj take A pri kome bi neutralna osa n n tangirala krug poluprenika R. Odseci ove ose su: a = i b = R.

    4

    xx y 2

    RI R4A R 2

    = = = =

    i i

    Zbog simetrije sledi da je jezgro preseka krug poluprenika R/4.

    2

    2y

    xx x

    2

    2x

    yy y

    R2

    e 0e e

    RR2

    b b R ee e 4

    = = = =

    = = = =

    ia a

    i

  • Odseci neutralne ose n1-n1 nakoordinatnim osama x i y su:

    b, b ,

    2= = a

    3 3

    2 2y2 2x

    x y

    b h h bII h b12 12,

    A b h 12 A b h 12= = = = = =i i

    2 2y x

    x y

    be e

    = = i i

    a

    2

    xx

    12

    yy

    bb b12 e2 e 6 b

    A ,06h

    12 e 0e

    = =

    = =

    Neutralnoj osi n1-n1 odgovara taka A1(ex,ey):

    Neutralnoj osi n2-n2 odgovara taka A2(ex,ey):

    h, b ,

    2= =a

    Odseci neutralne ose n2-n2 nakoordinatnim osama x i y su:

    2

    xx

    22

    yy

    b12 e 0e h

    A 0,6h

    h h12 e2 e 6

    = =

    = =

    Odreivanje jezgra preseka za pravougaoni popreni presek dimenzija bxh

  • Odseci neutralne ose n3-n3 nakoordinatnim osama x i y su:

    b, b ,

    2= = a

    3

    bA ,0

    6

    Neutralnoj osi n3-n3 odgovara taka A3:

    Neutralnoj osi n4-n4 odgovara taka A4 sa koordinatama:

    Odseci neutralne ose n4-n4 na koordinatnim osama x i y su:h

    , b ,2

    = = a

    4

    hA 0,

    6

    Osim taaka A1, A2, A3 i A4, kojima odgovaraju neutralne ose koje se poklapaju sa ivicama pravougaonika, u svakom temenu pravougaonika ima beskonano mnogo tangenata na konturu pravougaonika. Njima odgovaraju take na konturi jezgra. Prava A1A2 je deo konture jezgra koja odgovara svim moguim neutralnim osama koje dodiruju pravougaonik u temenu P. Slino vai i za strane A2A3, A3A4 i A4A1.Prema tome jezgro pravougaonika ima oblik romba sa dijagonalama b/3 i h/3.

  • Poligonalnom konveksnom preseku odgovara poligonalno jezgro i to tako da svakom vrhu datog poligona odgovara strana konture jezgra, a svakoj strani poligona odgovara vrh konture jezgra.

    Ako presek nije konveksan, otpadaju izrazmatranja one tangente na vrhovima P1i P2 koje bi sekle povrinu preseka, tj. Za konstrukciju jezgra merodavne su tangente n1-n1, n2-n2, n3-n3, n4-n4 i n5-n5.

    Postupak: odrede se redom sve karakteristine take konture jezgra koje odgovaraju tangentama koje obavijaju (ne seku) konturu preseka, pa se spajanjem tih taaka dobija cela kontura jezgra preseka.

  • EKSCENTRINO NAPREZANJE DIMENZIONISANJE

    Pri dimenzionisanju ekscentrino pritisnute grede neophodno je da bude zadovoljen uslov:

    gde su doz+ i doz- dozvoljeni naponi na zatezanje,

    odnosno pritisak.

    Ekstremne vrednosti napona javljaju se u takama najudaljenijim od neutralne ose poprenog preseka, pa su te take merodavne za dimenzionisanje.

    maxz doz

    + + maxz doz

  • Primer Ekscentrino naprezanje Jezgro preseka Dimenzionisanje

    Za popreni presek kao na slici odrediti poloaj neutralne ose ako ekscentrina sila pritiska F = 100 kN deluje u taki A. Dimenzionisati nosa ako je doz = 16 kN/cm2. Odrediti jezgro preseka.

  • Primer Ekscentrino naprezanje Dimenzionisanje

  • Primer Ekscentrino naprezanje odreivanje jezgra preseka

    n1-n1:

    n2-n2:

    n3-n3:

    n4-n4:

  • Primer Ekscentrino naprezanje

    Drveni stub pravougaonog poprenog preseka 15 x 20 cm optereen je ekscentrinom silom pritiska od 90 kN koja deluje u taki N (3 cm,3 cm). Odrediti poloaj neutralne ose i maxsimalne normalne napone.

  • Naponi u takama A i C su: