VIŠA TEHNIČKA ŠKOLA

ČAČAK

TEHNIČKA MEHANIKA OTPORNOST MATERIJALA

(teorija i zadaci)

PREDMETNI NASTAVNIK

Dr Ivo Vlastelica, profesor

2

1. ZADATAK I METODE OTPORNOSTI MATERIJALA

Otpornost materijala bavi se metodama proračuna i odreĎivanja unutrašnjih sila i deformacija u elementima

mašina i drugih tehničkih konstrukcija (mehanizmi, vozila, brodske i avionske konstrukcije, zgrade, mostovi

itd.), koje su podvrgnute delovanju spoljašnjih sila. Pri tom se glavni problem svodi na iznalaženje odnosa

izmedu spolašnjih sila (opterećenja) i unutrašnjih sila i deformacija posmatranog elementa. Osim toga, jedan od

primarnih zadataka otpornosti materijala sastoji se u tome, da pri tom budu zadovoljeni zahtevi sigurnosti i

ekonomičnosti.U statici krutih tela razmatra se samo ravnoteža čvrstih tela, uz pretpostavku da su

nedeformabilna. Pomoću te hipoteze o krutosti mogu se rešavati samo statički odreĎeni zadaci. Pri rešavanju

statički neodreĎenih (hiperstatičkih) zadataka moramo napustiti tu hipotezu, tj. moramo uzeti u obzir i

deformacije čvrstih tela. Zbog spoljašnjih sila pojavljuju se unutrašnje sile, kojima se telo opire spoljašnjem

opterećenju. Veličina tog otpora zavisi od stepena deformabilnosti i fizičko-mehaničkih svojstava materijala, od

kojega je telo izraĎeno. Deformacija tela se nastavlja sve dok ne nastupi ravnoteža izmeĎu konačnih vrednosti

spoljašnjeg opterećenja i unutrašnjih sila. Takvo stanje tela naziva se napregnuto stanje. Kad se uspostavi

ravnoteža izmeĎu spoljašnjih i unutrašnjih sila, telo se ponaša kao kruto telo i zato se tada mogu primeniti

metode i zakoni statike krutih tela. Tako npr. u nekom tipičnom proračunu dimenzija nekog elementa mašine

gotovo sav posao (oko 95%) je statika, nezavisno od upotrebljenog materijala, i samo na kraju dodajemo

vrednosti za module elastičnosti i dozvoljene napone za izabrani materijal.

U otpornosti materijala rešavaju se uglavnom ovi zadaci:

1) Određivanje dimenzija elemenata mašinskih konstrukcija tako, da bi konstrukcija mogla sigurno izdržati

predviĎena opterećenja, tj. da unutrašnje sile ne prekorače dopuštenu granicu. To je tzv. dimenzionisanje

konstrukcije. Pri tom treba voditi računa i o zahtevima ekonomičnosti. Tako odreĎene dimenzije polazna su

tačka za dalje tehničko oblikovanje elementa, odnosno konstrukcije.

2) Proveravanje čvrstoće izvedene konstrukcije, što se sastoji u izračunavanju unutrašnjih sila za zadano

opterećenje kada su poznate dimenzije konstrukcije, te u poreĎenju s najvećim dopuštenim vrednostima

unutrašnjih sila. U nekim slučajevima treba ispitati nosivost konstrukcije (npr. dizalice), tj. najveću vrednost

spoljašnjih sila dopuštenu za zadane dimenzije konstrukcije, a da pri tom unutrašnje sile ostanu u dopuštenim

granicama.

3) Qdredivanje deformacija,koje takoĎer moraju ostati u dopuštenim granicama. To je tzv. proveravanje

krutosti, tj. oblika i dimenzija pod zadanim opterećenjem.

U otpornosti materijala pretpostavljamo, da u većini slučajeva imamo posla sa statičkom ravnotežom sila.

MeĎutim, upravo u mašinskoj industriji često se susrećemo s problemima dinamičkog karaktera. Zato treba pri

razmatranju takvih problema uzeti u obzir i deformacije usled dinamičkih opterećenja, koje mogu uticati na

funkcionisanje dela mašine (npr. ugao nagiba rukavca osovine u ležaju, ugib vratila na mestu učvršćenja

zupčanika, i sl). Ako na element mašine ili konstrukcije deluju promenljive sile mogu se pojaviti vibracije, zbog

čega se mogu povećati naponi i ugroziti normalno funkcionisanje mašine odnosno konstrukcije, te čvrstoću

njihovih sastavnih delova. U tom slučaju treba izvršiti još i proračun vibracija.

2. SPOLJAŠNJE I UNUTRAŠNJE SILE

2.1 SPOLJAŠNJE SILE

Na telo deluju spoljašnje sile, koje prema dejstvu delimo na zapreminske i površinske. Zapreminske sile

napadaju sve tačke tela i srazmerne su u svakoj tački njenoj masi. Takve su sile: sila težine, inerciona sila itd.

Površinske sile napadaju samo tačke spoljašnje površine tela i ne zavise od mase tela. Takve su sile: meĎusobni

pritisak tela pri dodiru, pritisak tečnosti ili gasa na telo isl.

2.2 UNUTRAŠNJE SILE. DEFINICIJA NAPONA

Spoljašnje sile koje deluju na neko telo nastoje da razdvoje ili približe pojedine čestice tela, čemu se

suprotstavljaju unutrašnje sile meĎu česticama. Kao rezultat istovremenog delovanja unutrašnjih i spoljašnjih

sila telo menja oblik i dimenzije, drugim rečima kažemo da se telo deformiše. Zamislimo telo proizvoljnog

oblika pod delovanjem niza sila prema slici 2.1. Presecimo telo (u mislima) na dva dela. Radi jednostavnosti

neka je površina preseka ravna. Ako je telo bilo u ravnoteži pod delovanjem spoljašnih sila, bit će i svaki deo

3

tela u ravnoteži pod delovanjem spoljašnjih i unutrašnjih sila koje deluju na mestu preseka. Podelimo površinu

preseka na niz elementarnih površina iA kako je prikazano na slici 2.1b.

Slika 2.1

Na svakoj elementarnoj površini deluje elementarna unutrašnja sila iF . Te sile menjaju se po smeru i veličini,

a i očito zavise o veličini elementarne površine. Smer sile iF i površine iA definišemo kao vektor srednjeg

napona, tj.

Što je manja površina iA , bit će manja i sila iF , a srednji napon manje će se razlikovati od pravog napona.

Vektor napona u nekoj tački T definisan je izrazom

Površina iA teži nuli tako da uvek sadrži tačku T, kako je pokazano na slici 2.2. Apsolutna vrednost p vektora

napona zove se punim naponom. Sila iF i vektor napona p nisu u opštem slučaju normalni na presek, nego

sa spoljašnjom normalom čine neki ugao .Vektor napona možemo rastaviti na normalnu komponentu ,koja

je normalna na presek i tangencijalnu komponentu , koja leži u ravni preseka. Te su komponente prikazane na

slici 2.2 i odreĎene izrazima

Slika 2.2

4

Umesto normalne komponente napona često kraće kažemo normalni napon, a umesto tangencijalne komponente

napona kažemo tangencijalni napon. Ugao izmeĎu n i p veci je od nule, a manji od 180°, tako da normalni

napon može biti pozitivan ili negativan, dok je tangencijalni napon uvek pozitivan. To ima i svoj fizički smisao.

Naime, ako je 0° 90°, normalni napon deluje kao na slici 2.2a, tj. nastoji da odvoji čestice tela. U tom

slučaju napon je pozitivan ili zatežući. Ako je 90° 180°, normalni napon deluje kao na slici 2.2b, tj. on je

negativan ili pritiskujići. Smer delovanja tangencijalnih napona nema nikakvo fizičko značenje kod izotropnih

materijala. Zbog toga, dok ne uvedemo koordinatni sistem, nećemo definisati predznak tangencijalnog napona

Normalnim naponom telo se opire meĎusobnom primicanju ili razmicanju svojih čestica. Smicajnim naponom

telo se opire klizanju jednog sloja čestica po drugom. Raspored i veličina napona zavise od veličine i oblika tela i

od veličine i rasporeda opterećenja. Naponi mogu zavisiti i od materijala od kojeg je izraĎeno.

2.2.1 Osnovne vrste opterećenja i naponskih stanja

Na primeru štapa, najčešće primenjenom elementu konstrukcija, definišemo osnovne vrste opterećenja i

odgovarajućih naponskih stanja. U zavisnosti od položaja delovanja spo1jnih sila prema osi štapa, razlikujemo

četiri osnovna vida opterećenja:

- aksija1no opterećenje (sl.2.2.1 a i b),

- opterećenje na smicanje ( sl.2.2.1 c),

- opterećenje na uvijanje (sl.2.2.1 d) i

- opterećenje na savijanje ( čisto - sl.2.2.1 e i savijanje silama - sl.2.2.1 f ).

Slika 2.2.1

Poseban slučaj aksijalnog opterećenja na pritisak, kada je dužina štapa prema poprečnom preseku velika, je

izvijanje, pri čemu se javlja napon na izvijanje. Ovaj oblik opterećenja biće posebno obradjen. U skladu sa

iz1oženom pode1om opterećenja, smatraćemo da postoje odgovarajuća četiri osnovna naponska stanja i to:

- aksijalno naponsko stanje (sl. 2.2.1a - zatezanje i sl. 2.2.1b - pritisak ).

- napon pri smicanju (sl. 2.2.1c),

- napon pri uvijanju (sl. 2.2.1d) i

- napon pri savijanju (s1. 2.2.1e i i).

2.3 DEFORMACIJA

2.3.1 Pomeranje, duţinska, ugaona i zapreminska deformacija

Pod delovanjem spoljašnjih sila tela se deformišu, tj. menja svoj oblik i dimenzije. Pojedine čestice tela

pomeraju se u nove položaje. Vektor koji spaja početni i konačni položaj čestice naziva se vektor pomeranja.

Pomeranje se razlikuje od puta koji je čestica prešla u toku deformisanja i koji ne mora biti prav. Tačka A

odreĎuje početni položaj, a tačka 1A konačni položaj jedne čestice. Vektor 1b AA je vektor pomeranja

čestice.

5

Slika 2.3

Deformacija tela prikazuje se promenom veličine (zapremine) i promenom oblika. Zamislimo gumenu ploču na

kojoj smo ucrtali razne likove: kvadrate, kružnice i sl. Ako ploču rastežemo tako jednoliko u njenoj ravni, da se

dimenzije likova menjaju, pri čemu kvadrat ostaje kvadrat, a kružnica kružnica, kažemo da je došlo samo do

promene veličine, dok je oblik ostao isti. Prelazi li kružnica u elipsu, a kvadrat u pravougaonik ili romb, pri

čemu površina lika ostaje nepromenjena, kažemo da je došlo do promene oblika. U najvećem broju slučajeva

telo se deformiše tako da istovremeno menja i oblik i veličinu. Pojam deformacija u nekoj tački B tela vezan je

uz promenu oblika i veličine neposredne okoline te tačke. Zamislimo pravac ABC koji prolazi kroz tačku B. Sve

čestice tela koje su ležale na pravcu ABC bit će nakon deformisanja na nekoj krivoj 1 1 1A B C , kako je prikazano

na slici 2.4. Vrlo mali element pravca dužine l nakon deformisanja promenit će dužinu za iznos l .

Istovremeno će promeniti orijentaciju za mali ugao .U vezi s tim definiše se linijska-dužinska i ugaona

deformacija. Kako kroz jednu tačku možemo povući beskonačno mnogo pravaca, mogli bismo očekivati da je za

poznavanje stanja deformacije u toj tački potrebno poznavati beskonačno mnogo podataka. Definicija ugaone i

linijske deformacije data je na slici 2.4. Dve male dužine AB i AC prave pravi ugao BAC. Nakon deformisanja

tela čestice B, A i C prelaze u položaj 1B , 1A I 1C . Dužinsku deformaciju označavamo sa , a ugaonu sa .

Indeksima oznacavamo pravce, odnosno ose na koje se odnosi deformacija.

Slika 2.4

Po definiciji dužinska je deformacija u tački A za pravac AB odreĎena izrazom

Uopšteno možemo reći da je dužinska deformacija definisana izrazom

Prema tom izrazu dužinska deformacija predstavlja relativno pomeranje. U izrazu nije naznačeno na koji se

pravac odnosi, zato znak nema indeksa koji bi se odnosio na odreĎeni pravac ili osu. Ugaona deformacija

Nedeformisano telo

Deformisano telo

6

definiše se uvek u odnosu na dva meĎusobno upravna pravca i izražava iznos za koji će se promeniti pravi ugao

meĎu tim pravcima. Ugaona deformacija u tački A na slici 2.4 za pravce AB i AC definisana je izrazom

Analogno izrazu definiše se zapreminska deformacija :

3. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3.2 Momenti inercije

Veličina napona i krutost aksijalno opterećenih štapova zavise, izmedu ostalog, i od površine poprečnog

preseka A. Kod savijanja i uvijanja štapova veličina i raspored napona i njihova krutost zavise ne sarno od

veličine nego i od oblika poprečnog preseka. Na slici 3.2 prikazana su dva jednaka štapa opterećena jednakim

momentom savijanja. Oba štapa imaju jednaku površinu poprečnog preseka A = bh. U prvom slučaju savijanje se

vrši oko manje stranice (vektor momenta savijanja paralelan je s manjom stranicom), a u drugom slučaju oko

veće stranice. Iz iskustva znamo da su deformacije i naponi u prvom slučaju mnogo manja. U ovom ćemo

poglavlju proučavati neke geometrijske karakteristike ravnih preseka koje imaju veliko značenje u teoriji

uvijanja i savijanja štapova. Te su karakteristike: polarni, aksijalni i centrifugalni moment inercije.

Slika 3.2

Polarni moment inercije neke ravne površine definisan je izrazom

gdje je pI polarni moment inercije za pol O (početak koordinatnog sistema). Ostale su oznake definisane na slici

3.1.

Aksijalni momenti inercije odnose se uvek na neku osu. Aksijalni momenti inercije za osu y i z dati su

izrazom

Centrifugalni momenti inercije definišu se uvek za dve ose.

Polarni moment inercije može se dovesti u vezu sa aksijalnim momentima inercije. Naime, prema slici 3.1

je2 2 2y z , pa je

7

odnosno

Prema tome je zbir aksijalnih momenata inercije za dve meĎusobno upravne ose jednak polarnom momentu

inercije oko preseka osa i ne zavisi od njihove orijentacije, tj. njihov je zbir invarijantan pri rotaciji koordinatnog

sistema. Polarni i aksijalni momenti inercije po definiciji su uvek pozitivni. Centrifugalni moment inercije može

biti pozitivan, negativan ili jednak nuli. Ako koordinatni sistem zaokrenemo za 90°, promeniće se znak

centrifugalnog momenta. Prema slici 3.3 a centrifugalni moment inercije je pozitivan jer su u čitavom području

koordinate y i z pozitivne. Za položaj koordinatnog sistema, prema slici 3.3 b, centrifugalni je moment negativan

jer je u čitavom području proizvod yz negativan. Ako je makar jedna koordinata ose ujedno osa simetrije

preseka, centrifugalni moment inercije u odnosu na te ose jednak je nuli. To možemo dokazati pomocu slike 3.4.

Slika 3.3 Slika 3.4

Postavimo koordinatni sistem tako da osa z bude osa simetrije. Svakoj elementarnoj površini 1dA koja se nalazi

desno od ose z odgovara simetrično postavljena površina 2dA levo od ose z. Elementarni centrifugalni moment

inercije svakog takvog para iznosi

Budući da je 2dA = 1dA = dA, 2 1Y Y i 2 1Z Z za sve simetrično postavljene elementarne površine, bit će

odnosno

3.2.1 Promena momenata inercije pri translaciji koordinatnog sistema

Prilikom rešavanja praktičnih problema obično se služimo gotovim rešenjima za momente inercije, koja se za

pravilne preseke i standardne profile mogu naći u tablicama. Obično su u tom slučaju dati momenti inercije za

ose koje prolaze kroz težista poprečnog preseka. Ako znamo momente inercije za jedan koordinatni sistem,

8

možemo pomoću izraza za transformaciju odrediti momente inercije za proizvoljno pomereni koordinatni sistem.

Svako pomeranje koordinatnog sistema možemo rastaviti na translaciju u smeru ose y i ose z za a i b i na rotaciju

za ugao .Analiziraćemo promenu momenata inercije posebno pri translaciji, a posebno pri rotaciji koordinatnog

sistema. Neka su poznati momenti inercije Iy, Iz i Iyz za koordinatne ose y i z koje prolaze kroz težište preseka T.

Veza izmeĎu starih i novih koordinata glasi

Slika 8

Ovi izrazi se nazivaju Štajnerovo pravilo. Štajnerovo pravilo aksijalnog momenta inercije glasi: Aksijalni

moment inercije oko osa koja ne prolaze kroz tezište jednak je momentu inercije oko paralelne težišne ose

uvećanom za proizvod površine preseka i kvadrata udaljenosti težista od zadane ose. Štajnerovo pravilo

centrifugalnog momenta inercije glasi: Centrifugalni moment u odnosu na zadani koordinatni sistem jednak je

centrifugalnom momentu inercije u odnosu na paralelni težišni koordinatni sistem uvećanom za proizvod

površine preseka i kordinata težišta u zadanom koordinatnom sistemu.

4. AKSIJALNO NAPONSKO STANJE

Ako na telo deluju kolinearne sile, onda kažemo da je telo napregnuto aksijalno duž ose. Mi ćemo posmatrati

aksijalno napregnuti štap, koji predstavlja aksijalno opterećeno telo kod koga je jedna dimenzija znatno veća od

preostale dve.

4.1. Napon u poprečnom preseku

Neka je telo,oblika prizmaticnog štapa, sl.4.1, poprečnog preseka A opterećeno aksijalnom silom F. Telo će se

deformisati i dostići neko ravnotežno stanje. Da bismo odredili napon u preseku štapa upravnom na uzdužnu osu,

zamislićemo da smo štap presekli sa ravni p-p upravnom na tu osu. Površinske sile u raznim tačkama preseka

imaju u stvarnosti različite veličine, pa dijagram normalnog napona ima oblik dat na sl.4.1 . Dakle, elementarna

normalna sila dF na površini dA je:

9

Slika 4.1

Aproksimiranjem stvarnog naponskog stanja idealnim, tj.uzimajući da je

možemo doći do srednjeg normalnog napona u poprečnom preseku. Naime, iz uslova ravnoteže dela štapa levo

od preseka p-p, sl.4.1, sledi

Normalni napon istezanja smatramo pozitivnim; dok se pritisak smatra negativnim. Ako, u opštem slučaju

aksijalno opterećene grede,odredimo dijagram aksijlne sile F (takav dijagram je prikazan za primer na sl.4.1,

onda je u nekom poprečnom preseku normalni napon

Ovde treba napomenuti da se aksijalna sila aF odredjuje na način kako je uobičajeno u Statici, tj.

10

4.2. Deformacije

Pri delovanju aksijalnih sila javljaju se uzdužne i poprečne deformacije. Pod predpostavkom da su ravnomerne

deformacije duž štapa, apsolutno izduženje (skraćenje) računamo preko izraza:

Specificno izduženje (skraćenje) z koje predstavlja izduženje (skraćenje) jedinice dužine, dobijamo

Ovako odreĎena dilatacija se često zove relativna i predstavlja bezdimenzionu veličinu. Ponekad se izražava u

procentima, tj.

Napomenimo, da z definisano gornjom jednačinom predstavlja srednju deformaciju štapa. U stvarnosti z nije

isto za razne tačke poprečnog preseka i za razne preseke, tj. imamo da je

Eksperimentalno se utvrĎuje da pri aksijalnom naprezanju nastaju i deformacije u poprečnom pravcu, pri cemu

je deformacija u poprecnom pravcu p proporcionalna uzdužnoj deformaciji z tj.

Ovde je Poasonov koeficijent kao karakteristika materijala,koji je za razne materijale odre]en

eksperimentalnim putem. Za metale približno je = 1/3. Znak minus u ječini pokazuje da je poprečna

deformacija suprotnog znaka od uzdužne,što znači da se pri istezanju poprečni presek smanjuje, a pri pritisku -

povećava. Naravno i ovde treba imati u vidu da su deformacije u stvari srednje deformacije svih tačaka preseka i

svih posmatranih preseka.

4.3. Hukov zakon

Ovde cemo napisati u analitičkom obliku vezu izmeĎu napona i deformacije pri aksijalnom naprezanju.

gde je E Jangov modul elastičnosti. On ima dimenziju napona. Jednačina predstavlja Hukov zakon. Ova

jednačina važi za male deformacije (elastične).

4.4. Uticaj temperature

Temperatura utiče na promenu zapremine materijala, jer se sva tela pri povećanju temperature šire, a pri

smanjenju-skupljaju.Tako se pri promeni temperature za t , javlja povećanje dužine tela za

11

pri čemu je -- koeficijent linearnog širenja i predstavlja povećanje jedinice dužine pri promeni temperature za 01 C . Prema tome linearna deformacija z je:

Promena temperature u materijalu može da izazove i napone, koje zovemo termički naponi, što ćemo pokazati

na jednom primeru. Posmatrajmo nenapregnut štap dužine 1, koji se nalazi izmedju krutih zidova A i B, bez

zazora, na temperaturi t. Pri promeni temperature za t javlja se uzdužna deformacija ,koja iznosi

Da bi dužina 1 ostala nepromenjena moraju postojati pritiskujuće sile F u tačkama A i B, koje su tolike da

skračuju štap za l l t , odnosno izazivaju normalne napone t veličine

Odavde dobijamo pritiskujuće sile:

Slika 4.2

Na kraju treba istaći da se navedena analiza pojedinih uticaja na ponašanje materijala odnosi na niske (sobne)

temperature. Pri visokim temperaturama (znatno većim od sobnih) dolazi do značajnih promena strukture

materijala, a time i mehaničkih osobina i izdržljivosti materijala.

4.5 Dozvoljeni napon

Stvarni napon mora biti manji od čvrstoče materijala, inače bi došlo do loma konstrukcije. Kako stvarni napon

može biti veći od računskog mora se osigurati da maksimalni računski napon ne bude veći od dozvoljenog

napona doz ( doz ) koji se definiše za krte materijale kao:

Mdoz

a za žilave materijale kao:

Tdoz

Gde je M zatezna čvrstoća materijala , T granica tečenja a stepen sigurnosti.

5. SMICANJE

U uvodu smo videli da je u slučaju delovanja spoljnih sila na malom meĎusobnom rastojanju sl.2.2.1.(c) greda

napregnuta na čisto smicanje. U daljem izlaganju razmotri ćemo malo detaljnije napone i deformacije u slučaju

čistog smicanja.

12

5.1. Naponi pri čistom smicanju

Posmatrajmo deo grede I, sl.5.1(a), posebno izdvojen,u čijem preseku su normalni naponi jednaki fiuli ( 0 ),

sl.5.2. Tada presek As opterećuje napadna sila Fs a ravnoteža se održava unutrašnjim poprečnim silama, pri cemu

je sila dF na elementarnoj površini

Prema tome, za posmatrani deo grede, statički uslov ravnoteže je:

Slika 5.1

Ako je tangencijalni napon po celom preseku ravnomeran, onda je:

pri čemu je usvojena aproksimacija da je smicajni napon isti u svim tačkama preseka. Odavde je smicajni napon:

13

Slika 5.2

5.2. Deformacije pri smicanju

Razmotrimo, dalje, deformacije koje se javljaju pri smicanju. Radi toga posmatrajmo pravouglu prizmu

ABCDEFGH, na čijim stranama deluju ravnomerno rasporeĎene sile, tj. naponi na smicanje ,sl.5.3(a), pri čemu

se ta prizrna nalazi u ravnoteži. Njena deformacija, prirodno, svodi se na to da se ona iz pravougaone pretvara u

kosu usled malog obrtanja i pomeranja svake od njenih strana u pravcu naznačenih napona, prema sl.5.3(b). Pri

tome svaki poprečni presek prizme prelazi iz pravougaonika u paralelogram, sl.5.3(c) - gde su, radi uočavanju,

izvršena poklapanja stranica AB i A'B'. Ocigledno je sa sl.5.3(c) da je pomeranje stranice DC izvršeno za

veličinu DD'= CC' klizanjem strane DC paralelno strani AB. Ovako opisana deformacija zove se deformacija

smicanja, a odsečak DD' apsolutno smicanje ravni DCGF u odnosu na raven ABCD, koje ćemo oznaciti sa ms

S obzirom da veličina apsolutnog smicanja (1%) zavisi od rastojanja izmeĎu ravni smicanja (h),to je podesnije

da se za

Slika 5.3

karakteristiku deformacije smicanja koristi relativno smicanje, tj. odnos

Sa slike se vidi da je

pa kako je pri malim deformacijama y mala veličičina to je tg , tj.

14

gde je ugao smicanja. Očigledno da ce pravi uglovi pre deformacije, BAD i BCD, posle deformacije biti

jednaki / 2 , odnosno / 2 , pri čemu je došlo do promene za ugao smicajne deformacije .

5.3 Osnovne vrste zadataka pri smicanju

U praksi postoji više vrsta zadataka u oblasti napona na smicanje. Ovde ćemo sve zadatke podeliti u nekoliko

karakterističnih grupa. Ako je zadovoljena relacija

onda su naponi u konstrukciji u granicama dozvoljenih. Dimenzionisanje elemenata opterećenih na smicanje vrši

se iz uslova

Nosivost poznatog elementa konstrukcije napregnutog na smicanje odreĎujemo iz jednačine :

PRIMER NaĎi srednje tangencijalni napon u zavarenom spoju, prema slici 5.4a. Zadano: F, I, h.Smicanje će nastati po

ravnima za koje je površina smicanja najmanja. To su, u tom slučaju, ravni koje sa ravnima štapova čine ugao od

45°, prema slici 5.4.b. Površina smicanja iznosi A=21hcos45°, pa je

Slika 5.4

6. UVIJANJE GREDA KRUŢNOG POPREČNOG PRESEKA

U slučaju kada je greda opterećena samo spregovima u ravnima upravnim na osu, kažemo da je opterećena na

uvijanje. Ovde ćemo izložiti probleme uvijanja samo kružnih i kružno - prstenastih

greda (vratila).

ravni smicanja

smicanja

15

Slika 6.1

6.1. Opterećenje na uvijanje

Ako na neku gredu AB (sl.6.1) deluju takva spoljašnja opterećenja (sile i spregovi) da se njihovo ukupno dejstvo

svodi na spregove u ravnima upravnim na osu, onda kažemo da je greda opterećena na čisto uvijanje. U slucaju

kada, osim spregova, imamo i delovanje poprečnih sila, što je češći slučaj u praksi, onda bi se osim uvijanja u

gredi javilo i savijanje U slučaju da se greda AB, opterećena samo spregovima m1, m2, ..., mn, nalazi u statičkoj

ravnoteži (ili se obrće ravnomerno - kada nema inercijalnih momenata) , važi jednačina ravnoteže oblika:

odakle se može odrediti jedan nepoznati spreg; to je, na primer, spreg uklještenja - sl.6.2.

Slika 6.2

Spregovi se u ovom slučaju obično zovu obrtni momenti, momenti uvijanja.

Čisto uvijanje se dosta retko sreće. Ovde navodimo primer alata za izradu navoja, opterećenog silama F kojima

se alat obrće i momentom otpora mA materijala u kome se navoj izraĎuje , sl.6.4.

6.2. Naponi i deformacija pri uvijanju

Osnovne jednačine uvijanja navešćemo posmatrajući gredu kružnog poprečnog preseka uklješenu jednim

krajem, a opterećenu momentom uvijanja m , prema sl.6.5. Pritom polazimo od sledeće

dve predpostavke (hipoteze) o načinu deformisanja materijala. Svaki poprečni presek i posle deformacije ostaje

ravan, što znači da nema vitoperenja preseka. Ova predpostavka je i eksperimentalno proverena kod kružnog i

kružnoprstenastog preseka pri malim deformacijama. Napomenimo da kod drugih preseka ova predpostavka ne

važi. Dakle, pri uvijanju sve tačke se pomeraju u ravnima preseka (paralelno x, y ravni).

16

Slika 6.4

Pomeranje tačaka se vrši po kružnim lukovima čiji su centri u težištu preseka (na uzdužnoj osi simetrije z). Ovo

znači da tacka A prelazi u položaj A', a B - u B', prema sl.6.5. Pri tome je ugao uvijanja preseka u odnosu na

nepomični - isti za sve tačke posmatranog preseka. Na osnovu ovoga sledi da uzdužna vlakna pri uvijanju

dobijaju svoj oblik (helikoidalni).

Slika 6.5

Očigledno je da je ugao smicanja maksimalan kod perifernih vlakana - na rastojanju R ( 1 ) a minimalan za r = O

- gde je = O. Ovo znaci da se osa vratila z ne uvija, tj. ona je neutralna osa.

Maksimalni napon na uvijanje je:

gde je

polarni otporni moment a 0I polarni moment inercije.

Napon uvijanja vlakna na udaljenju r odredjuje se iz jednačine,

17

Slika 6.8

6.3. Ugao uvijanja preseka

Izraz za odreĎivanje ugla uvijanja

Ovom jednačinom odreĎen je, uopšte, i relativni ugao uvijanja dva preseka vratila na meĎusobnom udaljenju 1

( AB -preseci A i B) .Dakle, ugao uvijanja (ugao meĎusobnog zaokretanja) dva preseka srazmeran je momentu

uvijanja (Mu) i rastojanja izmedju preseka (1), a obrnuto srazmeran modulu klizanja (G) - kojim su uzete u obzir

karakteristike materijala,i polarnom momentu inercije preseka (I0) - karakteristici poprečnog preseka. Ugao

uvijanja u stepenima je

Veličina GI0 = T zove se krutost pri uvijanju. OdreĎivanje ugla uvijanja ima značaja za postavljanje dopunskih

jednačina kod statički neodreĎenih greda izloženih uvijanju, zatim za dimenzionisanje na osnovu dozvoljenog

ugla uvijanja i za proveru krutosti.

Dim e n z i o n i s a nj e greda opterecenih na uvija- vrši se na dva nacina.

1) Prema dozvoljenom naponu odakle dobijamo

0t

ud

MW

gde je ud dozvoljeni napon na uvijanje a

maxt uM M - apsolutna vrednost maksimalnog momenta

uvijanja. Zamenjujući vrednosti za polarni otporni moment W0 za

pojedine preseke dobijamo:

- za kružni presek

- za kružno - prstenasti presek

2) Prema dozvoljenom uglu uvijanja d - polarni moment inercije je

18

- za kružni presek

- za kružno - prstenasti presek

Usvajamo veću od dve vrednosti prečnika

7. SAVIJANJE ŠTAPOVA

7.1. Uvod

Do sada smo razmatrali rastezanje, sabijanje i uvijanje štapova. U svim tim slučajevima uzdužna je osa štapa pri

deformisanju ostala nepromenjena, tj. ravna. Nasuprot tome, pri savijanju se ravni štapovi zakrivljuju, a

zakrivljeni štapovi menjanju svoju zakrivljenost. Ako se spoljašnje sile u nekom poprečnom preseku redukuju na

spreg, kažemo da je štap opterećen na čisto savijanje ili savijanje spregovima, a ako se u poprečnom preseku

javljaju i poprečne sile, govorimo o poprečnom savijanju ili savijanju silama. Na slici 7.1a prikazan je štap

savijen spregovima, a na slici 7.1b štap savijen silama. Ako moment savijanja deluje oko glavne ose poprečnog

preseka štapa, imamo obično savijanje, a ako moment savijanja ne deluje ni oko jedne glavne ose, imamo koso

savijanje.

Slika 7.1

7.2. Naponi i defonnacije pri čistom savijanju

Radi postupnosti razmatraće se čisto savijanje prizmatičnog štapa čiji poprečni presek ima jednu osu simetrije,

kako je prikazano na slici 7.2a. Savijanje se izvodi u ravni koja sadrži uzdužnu osu štapa x i osu simetrije z.

Nakon opterećenja štap se deformiše, a uzdužna osa prelazi u zakrivljenu liniju koja se naziva elasticna linija.

Pokazat ćemo da je u slučaju čistog savijanja ta linija kružnica. Zamislimo da smo štap presekli u niz manjih

delova, kako je prikazano na slici 7.2c. Svaki je deo geometrijski identičan, ima ista e1astična svojstva i jednako

je opterećen, pa će očito i zakrivljenost svakog dela biti jednaka. Prema tome, elastična je linija kriva koja ima

konstantnu zakrivljenost, a to je kružnica.

Pretpostavke o deformisanju i raspodeli napona.Pri analizi čistog savijanja uvodimo ove pretpostavke o

deformisanju štapa, odnosno o rasporedi napona:

1. Poprečni preseci nakon deformisanja ostaju ravni i normalni na elasticnu liniju.

2. Sve komponente napona osim x jednake su nuli.

19

Slika 7.2 Slika 7.3

Prva je pretpostavka potpuno ispunjena, što sledi iz uslova simetrije. Uočimo jedan element sa slike 7.2c. Ako se

leva strana elementa ispupči, mora se ispupčiti i desna, pa će element izgledati kao na slici 7.3a, tj. deformisani

element mora biti simetričan u odnosu na osu A - A, Kako se svi elementi deformišu na isti način, takav način

deformisanja doveo bi do pojave pukotina. Kad bi se poprečni preseci deformisali konkavno, pojavile bi se

pukotine kao na slici 7.4b, što se takoĎer ne dešava. Egzaktna analiza tog problema u teoriji elastičnosti pokazuje

da su obe gornje pretpostavke u celosti ispunjene, osim, eventualno, u neposrednoj blizini mesta gdje deluju

spregovi.

Geometrijska analiza. Zamislimo prizmatični štap na čijoj je strani ucrtana pravougaona mreža kao na slici

7.4a. Nakon opterećenja horizontalne crte prelaze u kružnice, a vertikalne crte se naginju i ostaju normalne na te

kružnice, slika 7.4b. Pravougaoni elementi se deformišu, ali ostaju ortogonalni, tj. stranice deformisanog

elementa seku se pod pravim uglom. Uzdužna vlakna na

Slika 7.4

gornjoj strani štapa skraćuju se, a na donjoj strani produžuju. Negde u sredini grede postoje vlakna koja ne

menjaju dužinu. Ta vlakna prave neutralnu površinu štapa. Odaberimo centar koordinatnog sistema na neutralnoj

površini. Uočimo jedan element štapa, npr. ABCD. Taj je element uvećano prikazan je na slici 7.4c.

Isprekidanom linijom je prikazan početni oblik elementa ABCD, a punom crtom deformisani element.

Deformacija vlakna EF iznosi:

gdje je EF = GH = dx = d dužina vlakna pre deformisanja, a E1F1= ( + z) d dužina vlakna nakon

deformisanja, tako da je

Ovim se pokazuje da se deformacija x menja linearno po preseku nosača.

U neutralnoj površini nosača jednake su nuli: s jedne strane su pozitivne a s druge negativne. Kad bismo znali

poluprečnik zakrivljenosti elastične linije i položaj neutralne površine (npr. udaljenost AG na slici 7.4c),

mogli bismo pomoću tog izraza odrediti x na svakom mestu.

20

Primena Hookeova zakona. Pomocu Hookeova zakona možemo dobiti izraz za raspodelu napona. Kako, prema

pretpostavci, u štapu vlada jednoosno stanje napona, imamo da je

7.3. Normalni i tangencijalni naponi pri savijanju silama

Kod čistog savijanja u poprečnom preseku pojavljuju se samo normalni naponi koji se redukuju na moment

savijanja My, tj.

Kako ti naponi ne doprinose pojavi poprečne sile, neminovno se moraju kod poprečnog savijanja pojaviti

tangencijalni naponi xz tako da je

Gde je Qz poprečna sila , Sy statički moment inercije, b širina preseka i Iy moment inercije

7.4 Proracun čvrstoće, racionalni oblici poprečnog preseka

U opštem slučaju savijanja grede pojavljuju se normalni i tangencijalni naponi; meĎutim, za uobičajene raspone i

oblike poprečnog preseka normalni su naponi mnogo veći od tangencijalnih, pa se proračun čvrstoće izvodi

prema najvećem normalnom naponu. U prilog tome je i činjenica da tangencijalni napon išcezava tamo gdje je

normalni napon najveći, tj. u krajnjim vlaknima poprečnog preseka. Prema tome, uslov čvrstoće pri savijanju

glasi

gdje je Wy=Iy/zmax aksijalni otporni moment, zmax udaljenost krajnjeg vlakna od neutralne ose i dop dozvoljeni

normalni napon. Ovde smo pretpostavili da materijal grede ima jednaku zatežuću i pritisnu čvrstoću. Da bi bio

ispunjen uslov čvrstoće, oblik i dimenzije poprečnog preseka grede moraju biti tako odabrani da je

8. IZVIJANJE

8.1 Stabilna, labilna i indiferentna ravnoteţa

U uvodnom poglavlju spomenuli smo da je zadatak nauke o čvrstoći da proučava čvrstoću, kruto sti i stabilnost

sastavnih delova konstrukcija i samih konstrukcija. Do sada smo proučavali probleme napona i deformacija

štapova pri rastezanju, sabijanju, uvijanju, savijanju i smicanju i u vezi s tim probleme čvrstoće i krutosti

štapova. U ovom poglavlju upoznat ćemo se s problemima elastične stabilnosti. Pojam stabilnosti ravnoteže

objasnit ćemo prvo na primeru krutog tela.

Deformabilni oblik tela može biti stabilan, labilan ili indiferentan, što ćemo objasniti pomocu slike 8.2. Na slici

8.2a prikazan je štap koji je na donjem kraju ukliješten, a na gornjem opterećen silom F. Zamišljamo da je štap

idealno ravan, idealno centrično opterećen i izraĎen od homogenog materijala. U tom slucaju štap će se pod

delovanjem sile F skratiti, ali će zadržati raven oblik. Zamislimo, sada, da na štap deluje mala bočna sila F.

Moguća su opet tri slučaja ponašanja štapa:

21

1. Pod delovanjem sile F štap se izvije u stranu. Nakon uklanjanja sile F štap se ponovo vraća u ravan oblik,

kako je prikazano na slici 8.2b. U tom slučaju govorimo o stabilnoj elastičnoj ravnoteži. Taj slučaj nastupa kada

je sila F malena.

Slika 8.2

2. Štap se izvija u stranu i nakon uklanjanja bočne sile zadržava izvijen oblik (indiferentna elastična ravnoteža).

Taj slučaj nastupa pri tzv. kriticnoj sili Fkr a prikazan je na slici 8.2c.

3. Pri najmanjoj bočnoj sili štap se jako izvija u stranu (sl. 8.2d), pri čemu može doći do loma štapa (nestabilna

elastična ravnoteža). Taj slučaj nastupa kad je F> Fkr.

U stvarnosti štap nije nikada idealno ravan i homogen, a niti je idealno centrično opterećen. Već i najmanje

odstupanje sile od centričnog pravca ili pojava nehomogenog materijala izaziva isti učinak kao i mala bočna sila

F. Prema tome uvek dolazi do izvijanja kada pritisna sila F preĎe kritičnu vrednost.

13.2. Izvijanje štapa u elastičnom području,Eulerova kritična sila

Da bismo odredili kritičnu silu pri kojoj počinje izvijanje štapa, razmotrit ćemo štap na slici 8.3a. Štap je na oba

kraja vezan pomoću nepomicnog zgloba i centricno opterećen silom F. Dok je sila manja od kriticne sile

izvijanja. tj. dok F < Fkr, štap ostaje ravan. Čim sila dostigne kritičnu vrednost, počinje kritčno izvijanje, a

uzdužna osa štapa prelazi u elasticnu liniju w= w (x), kako je prikazano na slici 8.3b.

Slika 8.3

Na slici 8.4 date su vrednosti dužine izvijanja za najčešće slučajeve učvršćenja štapova. Kako se vidi na slici,

dužina izvijanja jeste dužina jednog polutalasa sinusoidne ili kosinusne funkcije, tj. dužina izmeĎu dve tačke

izvijanja.

Slika 8.4

22

Kritičnu silu izvijanja po Eulerou dobijamo iz izraza

Uvest ćemo pojam kritičnog napona /kr krF A . Treba imati na umu da se ovde ne radi o stvarnom naponu u

nekoj tački nego o prosečnom naponu po preseku štapa. TakoĎer je prema Imin/A = imin pa možemo pisati

bezdimenzionalna karakteristika štapa i naziva se vitkost štapa. Predhodni izraz prikazan je grafički na slici 8.5 i

ima oblik hiperbole. Pri velikoj vitkosti kr teži nuli, što

Slika 8.5

se dobro slaže s eksperimentima jer se vrlo vitki štapovi izvijaju već i pri najmanjem opterećenju (npr. vlastitom

težinom).

Kritična vitkost štapa p se odreĎuje na osnovu Modula elastičnosti E i napona na granici tečenja p ,

p

p

E

8.3 Izvijanje štapa u plastičnom području

Za vrednosti vitkosti p kritični napon kr se odreĎuje prema Tetmajerovom eksperimentalnom obrascu

(naprimer za čelične štapove)

31 0.114kr

Na osnovu kritičnog napona a za poznati poprečni presek štapa odreĎuje se kritična sila izvijanja

kr krF A