TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA... · Otpornost materijala se u opštem smislu bavi naprezanjima, deformacijama i pomeranjima koja su nastala zbog različitih opterećenja

UNIVERZITET U NIŠU

FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU

TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA -

Dr Darko Mihajlov, doc.

- 8. PREDAVANJE -

OTPORNOST MATERIJALA

1. ČAS

2. ČAS

Predmet izučavanja Otpornosti materijala – vrste čvrstih tela;

Sile koje dejstvuju na čvsto telo;

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

Određivanje unutrašnjih sila u čvrstom telu;

Naponi u poprečnom preseku čvrstog tela;

Zadatak Otpornosti materijala; Vrste zadataka;

Osnovne pretpostavke u Otpornosti materijala;

Deformacija čvrstog tela – pojam i vrste;

Mala deformacija čvrstog tela;

Osnovni oblici opterećenje čvrstog tela;

Otpornost materijala se

u opštem smislu bavi

naprezanjima,

deformacijama i

pomeranjima

koja su nastala zbog

različitih opterećenja.



Ako se ove veličine mogu odrediti za sve vrednosti opterećenja, od

početnog malog, pa sve do lomnog opterećenja, dobija se ukupna

slika mehaničkog ponašanja tela.



Puno razumevanje mehaničkog ponašanja je vrlo bitno za sigurno

dimenzionisanje svih konstrukcija, počev od:

kuća,

mostova,

mašina,

motora,

podmornica,

brodova,

antena, pa sve do

aviona.

Otpornost materijala je zbog toga osnovni

predmet u mnogim tehničkim disciplinama.

Otpornost materijala je posebna tehnička

disciplina i predstavlja deo Mehanike

čvrstog tela.

Izučava naponsko-deformaciona stanja,

odnosno naprezanja i deformacije

čvrstog (deformabilnog) tela pri različitim

dejstvima (opterećenjima), uvođenjem

izvesnih pretpostavki i pojednostavljenih

matematičkih izraza koji su pogodni za

inženjersku praksu.



Galileo Galilei (1564-1642),

utemeljitelj moderne

mehanike i fizike



Predmet izučavanja Otpornosti materijala –

vrste čvrstih tela (1/2)

Štap Ploča

Masiv

Ljuska



Predmet izučavanja Otpornosti materijala –

vrste čvrstih tela (2/2)

ŠTAP - telo čija je dužina znatno veća od dimenzija njegovog

poprečnog preseka.

Prema obliku:

Prav ili

Kriv;

Prema poprečnom preseku:

Pun (masivan);

Tankozidni sa otvorenim ili

zatvorenim profilom.

Stephen Timoshenko

(1878 -1972),

otac modernog

mašinskog inženjerstva i

Nauke o čvrstoći materijala

Osnovni zadatak Otpornosti materijala

predstavlja dimenzionisanje elemenata

konstrukcija, uzimajući pritom u obzir vrstu

materijala, kao i oblik i stepen spoljašnjeg

opterećenja samih elemenata.

Dimenzionisanje obuhvata:

Proračun čvrstoće elemenata konstrukcija;

Proračun krutosti elemenata konstrukcija i

Proračun stabilnosti elemenata konstrukcija.


Zadatak Otpornosti materijala (1/3)


Dimenzionisanje podrazumeva određivanje dimenzija sastavnih

elemenata konstrukcije po kriterijumu maksimalne uštede

materijala, pri čemu mora da se obezbedi bezbednost konstrukcije.

Dimenzionisanje se vrši tako što se na osnovu spoljašnjih dejstava

određuju najveće vrednosti sila u preseku, a zatim se na osnovu

njih nalaze izrazi za najveće napone u zavisnosti od relevantnih

dimenzija.

Dimenzije se određuju korišćenjem uslova da stvarni maksimalni

napon ne sme da pređe dozvoljenu vrednost napona u zavisnosti

od vrste materijala. Na ovaj način je moguće odrediti najviše jednu

dimenziju tela.




Proračun čvrstoće konstrukcije podrazumeva određivanje

dimenzija elemenata, zavisno od odabranog materijala, koje

isključuju mogućnost loma, odnosno garantuju bezbednost

konstrukcije.



Proračun krutosti (deformabilnosti) konstrukcije podrazumeva

određivanje dimenzija elemenata, zavisno od odabranog

materijala, koje obezbeđuju deformacije u dozvoljenim granicama,

kao i određivanje deformacija dimenzionisanih elementa pod

spoljašnjim opterećenjem.


Proračun stabilnosti konstrukcije podrazumeva proveru

sposobnosti konstrukcije da pod spoljašnjim opterećenjem

sačuva svoj prvobitni oblik i ne izgubi stabilnu ravnotežu.

Zadati su:

oblik,

opterećenje i

materijal konstrukcije od kojeg će biti izrađena.

Treba odrediti poprečne dimenzije tako da budu zadovoljeni

uslovi čvrstoće, krutosti i stabilnosti.



Tri vrste zadataka u Otpornosti materijala (1/5)

- 1. vrsta zadataka -




Zadati su:

dimenzije i

opterećenje konstrukcije.

Treba naći raspored naprezanja i deformaciju i na osnovu toga

odabrati materijal koji ima potrebnu čvrstoću i ostala

mehanička i elastična svojstva.





Za jednu već izvedenu konstrukciju su poznate

dimenzije i

svojstva materijala.

Treba odrediti dopušteno opterećenje na osnovu izvršene

analize naprezanja i deformacija.





U svim zadacima se pojavljuju tri parametra:

dimenzije konstrukcije,

opterećenje i

mehanička svojstva materijala.

Dva parametra su uvek poznata ili se slobodno biraju, dok se

treći određuje metodama Otpornosti materijala.




Na prvi pogled izgleda da se naprezanja mogu dovoljno smanjiti

jednostavno povećanjem dimenzija delova konstrukcije tako da

budu zadovoljena sva tri uslova: čvrstoća, krutost i stabilnost.

Međutim, to nije uvek moguće, jer glavni deo opterećenja u

mnogim konstrukcijama predstavljaju sopstvena težina, sile

inercije i sl., a ove sile rastu s porastom dimenzija konstrukcije.

Osim toga, porastom sopstvene težine raznih vozila, brodova,

aviona i dr., smanjuje se njihova nosivost, a povećava utrošak

pogonske energije.

Prema tome, rešenje problema ne leži u povećanju dimenzija

konstrukcije, nego u iznalaženju povoljnih oblika i dimenzija koji

uz zadato opterećenje zadovoljavaju uslove čvrstoće, krutosti i

stabilnosti uz što manji utrošak materijala.

U Otpornosti materijala se izučava čvrsto telo koje je idealizovano,

tako da ima sledeća svojstva:

Materijal je elastičan – Elastičnost je svojstvo materijala da se

vraća u prvobitno stanje nakon uklanjanja, odnosno prestanka

dejstva spoljašnjih opterećenja. Telo (element sistema – mašine

ili građevinske konstrukcije) se ponaša elastično samo do jedne

određene granice koja se naziva granica elastičnosti.

Između naprezanja i deformacija postoji linearna zavisnost do

određene granice koja se naziva granica proporcionalnosti.

Telo se posmatra kao neprekidna sredina, odnosno kontinuum;


Osnovne/opšte pretpostavke u Otpornosti materijala (1/2)


1.

2.

3.

Telo je homogeno i izotropno, što podrazumeva da ima ista

mehanička svojstva u svim tačkama i za sve pravce kroz te tačke;

Deformacije tela su male u odnosu na konačne dimenzije tela, što

omogućuje primenu principa superpozicije, po kome

redosled dejstava sila nije bitan, pa njihovi uticaji mogu da se

razmatraju pojedinačno, a zatim da se superponiraju. Jednačine

ravnoteže postavljaju na nedeformisanom telu.

Pretpostavka ravnih poprečnih preseka – ravni poprečni preseci

koji su pri deformaciji nosača normalni na osu nosača, ostaju

ravni i normalni i u odnosu na deformisanu osu nosača

(Bernulijeva hipoteza).



6.

5.

Osnovne/opšte pretpostavke u Otpornosti materijala (2/2)

4.

Čvrsto telo pod dejstvom spoljašnjih sila donekle menja svoj oblik

i zapreminu, odnosno, deformiše se.



Promena oblika i dimenzije tela, izazvana dejstvom spoljašnjih

sila, predstavlja deformaciju.

Deformacije mogu biti elastične i plastične.

Deformacija – pojam i vrste (1/3)

Elastične deformacije su privremene i one nestaju po uklanjanju

spoljašnjih sila, tj. telo se vraća u prvobitni oblik i na prvobitne

dimenzije po prestanku dejstva spoljašnjih sila.



Plastične deformacije su trajne, tj. po prestanku dejstva sila telo

zadržava novi deformisani oblik i dimenzije.

Razaranje tela nastaje kada deformacije pređu granicu kidanja ili

gnječenja materijala, tj. kada međumolekularne sile popuste pod

dejstvom spoljašnjih sila tako da nastaju prsline, pukotine ili

lomovi.


Tehničke konstrukcije moraju biti izvedene tako da ne dođe do

većih deformacija elemenata, pogotovo ne do loma.



Konstruktor mora pogodnim

materijalom, oblikom i

dimenzijama elemenata da

osigura dovoljnu čvrstoću

konstrukcije.


Na telo dejstvuju spoljašnje i unutrašnje sile.

Spoljašnje sile izazivaju tela svojim dejstvom na posmatrano telo.

Prema načinu dejstva, spoljašnje sile mogu biti

zapreminske ili površinske.

Prema rasporedu dejstva, spoljašnje sile mogu biti

koncentrisane i kontinualne.

U telu se pod dejstvom spoljašnjih sila javljaju dopunske

unutrašnje sile između atoma, a koje nestaju po prestanku dejstva

spoljašnjih sila u uslovima elastičnih deformacija.


Sile koje dejstvuju na telo (1/2)


Telo je u ravnoteži kada na njega

dejstvuju dve kolinearne sile

jednakih veličina i suprotnih

smerova.



Prema Zakonu akcije i reakcije:

Usled dejstva tereta, spoljašnjih

sila, pojaviće se sile koje se

odupiru dejstvu spoljašnjih sila -

unutrašnje sile.

y

y

0: 0.UY F G

Sile koje dejstvuju na telo (2/2)

Za analizu naprezanja, odnosno određivanje unutrašnjih sila koje

se javljaju kao posledica različitih spoljašnjih opterećenja tela,

najčešće se primjenjuje Metoda preseka.

Metodom preseka se na mestu preseka određuju rezultanta

unutrašnjih sila i rezultujući moment unutrašnjih sila pomoću :

Uslova ravnoteže,

Raspodele naprezanja po preseku

(pomoću pretpostavke o deformisanju);

Veze između naprezanja i deformacija.



Određivanje unutrašnjih sila u čvrstom telu (1/8)

Sen-Venanov princip (1/2)



Po Sen-Venanovom principu se dejstvo površinskih sila, koje su

raspoređene po relativno maloj površini, može zameniti statički

ekvivalentnim opterećenjem koje se redukuje na glavni vektor i

glavni moment za težište površine kao redukcionu tačku.

U okviru Metode preseka se za analizu naprezanja tela usled

dejstva spoljašnjih sila često koriste

Sen-Venanov princip i

Princip superpozicije uticaja.


Sen-Venanov princip (2/2)



Prema Sen-Venanovom principu, raspored spoljašnjih sila je bitan

samo u neposrednoj, veoma maloj okolini njihovog dejstva, te se

kao takav može zanemariti.

Sen-Venanov princip se može primeniti u slučaju kada je oblast

dejstva opterećenja mala u odnosu na dimenzije tela.

Princip superpozicije uticaja

Princip superpozicije uticaja (princip nezavisnosti dejstva sila)

dozvoljava da se pojedinačno dejstvo sila posmatra bilo kojim

redosledom i zatim izvrši sabiranje dobijenih rezultata.




Na čvrsto (deformabilno) telo dejstvuje

uravnotežen sistem spoljašnjih sila.

Telo je štap proizvoljnog preseka sa

zakrivljenom osom.

Telo se preseče nekom ravni i uticaj

uklonjenog dela I tela na deo II zameni

unutrašnjim silama koje se redukuju na

težište C površine preseka , pri čemu se

dobija redukciona rezultanta unutrašnjih sila

koja je jednaka glavnom vektoru

unutrašnjih sila i rezultujući redukcioni

spreg unutrašnjih sila čiji je moment

jednak glavnom momentu unutrašnjih sila. Redukcija unutrašnjih sila

na težište preseka

0....., 21 nFFF

-


-

iR

i

CMi

CM

Glavni vektor i glavni moment unutrašnjih

sila mogu da se razlože na komponente u

odnosu na Dekartov koordinatni sistem u

prostoru 0xyz:



Komponente unutrašnjih sila u

preseku


i

y z y z

T

R N T N T T N i T j T k

x y z x y zM M M M M i M j M k

Moment

uvijanja

Komponente

momenta savijanja

Normalna

sila

Komponente

tranverzalne sile

x



Komponente unutrašnjih sila koje dejstvuju

na odsečeni deo tela (II) moraju da budu u

ravnoteži sa spoljašnjim silama koje

dejstvuju na isti deo tela.

Prema tome, jednačine ravnoteže za

unutrašnje i spoljašnje sile koje dejstvuju na

posmatrani odsečeni deo tela (II), a

raspoređene su proizvoljno u prostoru,

mogu se napisati u sledećem obliku,

uzimajući u obzir sve sile (spoljašnje i

unutrašnje) za odsečeni deo tela:

Komponente unutrašnjih sila u

preseku


(1) Σ 0 ; (2) Σ 0 ; (3) Σ 0 ;

(4) Σ 0 ; (5) Σ 0 ; (6) Σ 0 .x y z

X Y Z

M M M

x

; ; ;

;

;

.

x y zy z yz

A A A

x zy yz

A

y x

A

z x

A

N dA T dA T dA

M z y dA

M z dA

M y dA




1F

2F

3F

z

zM

N xxM

y

yT

yM

C

xx dA

yz yz dA zy

zy dA

dA

zy

zT




Komponente

momenta savijanja

Komponente tranverzalne sile

Moment uvijanja

Normalna sila

I

Komponente unutrašnjih sila u preseku za I deo tela



U preseku , u okolini

tačke 0, uoči se elementarna

površina . Unutrašnje sile,

koje dejstvuju na elementa-

rnu površinu , redukuju se

na tačku 0 tako da je

redukciona rezultanta jedna-

ka rezultanti unutrašnjih sila

, jer je vrednost momenta

redukcionog sprega unutra-

šnjih sila jednaka nuli zbog

beskonačno male elementa-

rne površine :

Naponi u poprečnom preseku (1/9)

Srednji ukupan napon i ukupan napon

-

A

R

A

A0

lim 0A

M

A



Količnik rezultante unutra-

šnjih sila koje dejstvuju na

elementarnu površinu i

elementarne površine pre-

dstavlja srednji (prosečni)

ukupan napon u tački 0

za ravan sa normalom .

Pravac i smer srednjeg

ukupnog napona se poklapa

sa smerom i pravcem

rezultante unutrašnjih sila.



,n sr

n



Srednji ukupan napon u tački 0 za deo tela (I) sa

normalom :


Srednji ukupan napon

i ukupan napon

n

Srednji ukupan napon u tački 0 za deo tela (II) sa

normalom :

n

A

Rsrn

,

srnsrnA

R,,



Granična vrednost srednjeg

ukupnog napona kada

elementarna površina teži

nuli zove se totalan (ukupan)

napon u tački 0 za ravan

sa normalom .

Ukupan napon je vektor čiji

se pravac ne poklapa ni sa

pravcem rezultante unutra-

šnjih sila, ni sa pravcem

normale na ravan preseka

.



,n sr

n

n

A

n

-




Srednji ukupan napon

i ukupan napon

Ukupan napon u tački 0 za deo tela (I) sa normalom :

n

,0 0

lim limn n srA A

R dR

A dA

Ukupan napon u tački 0 za deo tela (II) sa normalom :

n

-0

limn nA

R dR

A dA



Ukupan napon u tački 0 preseka sa

normalom se može razložiti na komponentne

napone - jedan u pravcu normale na presek, koji

se zove normalni napon , i jedan tangencijalni

(smičući) napon u ravni preseka :


Razlaganje ukupnog napona

na komponentne napone

n

n

n n n

n

-

n

-

Tangencijalni (smičući) napon može da se

razloži na dva tangencijalna (smičuća) napona

i u istoj ravni preseka : nm

nl

n n nm nl

n

pravac normale na ravan preseka

pravac napona u ravni preseka



Za uvedene jedinične vektore , pri čemu je

, izraz za ukupan napon se

može napisati u obliku:

ili


Razlaganje ukupnog napona

na komponentne napone

lmn

,,

1n m l

n n nm nln m l

, ,n n nm nl

Dakle, napon je vezan za određenu tačku i ravan kojoj pripada ta tačka.

Broj ravni preseka koje sadrže tu tačku (0) je neograničen, pa će prema tome

za tu tačku postojati beskonačan broj ukupnih napona.

Skup svih ukupnih napona u toj tački (0) se naziva stanje napona.

dx

dy

dz



To su tri vektora napona: , i ,

sa po tri komponentna napona, koji se

mogu napisati u obliku matrice tenzora

napona, i oni u potpunosti određuju

naponsko stanje u tački 0:


Komponentni naponi u

Dekartovom koordinatnom sistemu

Međutim, ovaj problem može da se uprosti, jer te vrednosti podležu vezama,

tj. nisu potpuno nezavisne, tako da je dovoljno da se za usvojeni Dekartov

koordinatni sistem u prostoru, u okolini tačke 0 u odnosu na elementarnu

zapreminu dV, posmatraju ukupni naponi čije su normale zapravo ose

koordinatnog sistema.

x y z

;

;

;

x x xy xz x xy xz

y y yx yz yx y yz

z z zx zy zx zy z

i j k

i j k

i j k




Komponentni naponi u

Dekartovom koordinatnom sistemu

Dakle, stanje napona u tački 0 je

određeno sa devet komponentnih

napona, tri normalna i šest

tangencijalnih, koji se predstavljaju u

obliku kvadratne šeme koja se zove

matrica tenzora napona ili tenzor

napona:

x xy xz

yx y yz

zx zy z

dx

dy

dz



Mala deformacija čvrstog tela (1/6)

Deformacije: dilatacija i klizanje

Pod malom deformacijom čvrstog tela se podrazumevaju male promene

oblika i zapremine tela pod dejstvom spoljašnjih sila.

Relativni položaji čestica tela se pri maloj deformaciji tela menjaju, a samim

tim i položaji posmatranih čestica tela.

Ako se uoče dve tačke čvrstog tela

na malom, beskonačno bliskom

rastojanju pre dejstva spo-

ljašnjih sila, po opterećenju se ovo

rastojanje menja, jer tačke A i B

prelaze u nove položaje A’ i B’ bli-

ske prethodnim: ,

pri čemu se rastojanje menja za

dužinu koja se zove apsolutna

(ukupna) promena dužine.

l

dl

AB dl

A B dl dl





Apsolutna (ukupna) promena dužine nastaje kao posledica pojave normalnog

napona u čvrstom telu.

Odnos apsolutne (ukupne) promene dužine i prethodne dužine predstavlja

srednju dilataciju (srednju relativnu promenu dužine u okolini tačke A i

pravcu AB):

Granična vrednost ove srednje

vrednosti kada teži nuli zove se

dilatacija (specifična promena

dužine u tački A za pravac AB):

dl

dlsr

dl

0

limdl

dl

dl





U opštem slučaju, dilatacija bi za neku drugu duž kroz tačku A imala neku

drugu vrednost, tj. dilatacija je veličina koja se odnosi na tačku i pravac kroz

tu tačku. Ona može da bude pozitivna i tada predstavlja relativno izduženje, ili

negativna, kada predstavlja relativno skraćenje.

Dilatacija je neimenovani broj.

Duž AB pod dejstvom spoljašnjeg

opterećenja ne menja samo dužinu,

već i pravac, tako da je za potpuno

poznavanje deformacije u okolini

posmatrane tačke potrebno da se

odredi promena ugla između

pravaca.





Ako se posmatra prav ugao sa temenom u tački K čvrstog tela pre

deformacije, čiji kraci prolaze kroz tačke M i N, taj ugao se posle deformacije

promenio za ugao koji se zove ugao klizanja.

Granična vrednost promene pravog ugla, kada duži KM i KC teže nuli,

predstavlja klizanje u tački

K za ravan MKN.

Klizanje je mera promene oblika

tela kao posledica dejstva

tangencijalnog napona i zove se

deformacija smicanja.

Klizanje može da bude pozitivno

ako prav ugao postaje oštar i

obrnuto, negativno ako prav ugao

postaje tup.

21 MKN





Analogno određivanju stanja napona, može da se govori o određivanju stanja

deformacije. Kroz bilo koju tačku čvrstog tela može da se postavi bezbroj

duži i ravni, i da se za svaku od njih odrede dilatacija i klizanje. Skup tih

vrednosti određuje stanje deformacije u datoj tački.

Stanje deformacije u posmatranoj

tački je u potpunosti određeno sa

devet veličina i to tri dilatacije i šest

klizanja, koje takođe mogu da se

predstave u obliku kvadratne

matrice u odnosu na Dekartov

koordinatni sistem i za elementarnu

zapreminu u okolini posmatrane

tačke.





Kvadratna matrica u odnosu na

Dekartov koordinatni sistem, za

elementarnu zapreminu u okolini

posmatrane tačke, zove se matrica

tenzora deformacije ili tenzor

deformacije:

x xy xz

yx y yz

zx zy z

Dejstvo spoljašnjih sila na neko telo zove se opterećenje.

Kada na čvrsto telo dejstvuju spoljašnje sile, kaže se da je ono

podvrgnuto određenom obliku opterećenja i usled toga

napregnuto, odnosno da je u određenom stanju naprezanja.



Osnovni oblici opterećenja tela (1/4)




U Statici je dokazano da postoje tri statička elementa:

sila, moment sile i spreg sila, koji izazivaju različita kretanja:

sila - translatorno, spreg - obrtno, dok moment sile ima dvojako

dejstvo - kao sila i spreg, tj. može izazvati translaciju i rotaciju.

Pod dejstvom spoljašnjih sila na čvrsto telo navedenim statičkim

elementima, nastaje naponsko-deformaciono stanje u čvrstom

telu proizvoljnog oblika, čija je analiza veoma složen zadatak koji

izučava Teorija elastičnosti.




Međutim, većina sastavnih elemenata konstrukcije ima oblik tzv.

prizmatičnih nosača (štapova), pa se problem određivanja

naponsko-deformacionog stanja pojednostavljuje tako što se

uvode prethodno pobrojane hipoteze i principi prema kojima

osnovne vrste naprezanja mogu da se analiziraju posebno, a

zatim da se izvrši superpozicija uticaja.

Ravan prizmatični nosač

konstantnog poprečnog

preseka

Ravan prizmatični nosač

promenljivog poprečnog

preseka

Zakrivljen prizmatični nosač

konstantnog poprečnog

preseka




U zavisnosti od načina dejstva spoljašnjeg opterećenja na telo,

razlikuje se pet osnovnih oblika opterećenja:

Aksijano opterećenje - zatezanje ili sabijanje (pritisak),

Smicanje,

Uvijanje,

Savijanje i

Izvijanje.

1. Šta je zadatak Otpornosti materijala?

2. Koje su vrste zadataka u Otpornosti materijala?

3. Koje su osnovne pretpostavke u Otpornosti materijala?

4. Šta se podrazumeva pod deformacijom čvtstog tela i koje su

vrste deformacija?

5. Definisati sile koje dejstvuju na čvrsto telo;

6. Objasniti način određivanja unutrašnjih sila u čvrstom telu;

7. Definisati napone u poprečnom preseku čvrstog tela;

8. Objasniti male deformacije čvrstog tela pod dejstvom

spoljašnjih sila;

9. Koji su osnovni oblici opterećenja čvrstog tela?

Kontrolna pitanja 8



Documents

TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA... · Otpornost materijala se u opštem smislu bavi naprezanjima, deformacijama i pomeranjima koja su nastala zbog različitih opterećenja