SVEUČILIŠTE U SPLITU

POMORSKI FAKULTET U SPLITU

ZAVOD ZA BRODOSTROJARSTVO

TEHNIČKA MEHANIKA IIPredavanje I

Nastavnik:

doc.dr.sc.Đorđe Dobrota

SPLIT, ožujak 2021.

Poglavlja u predavanjima

DINAMIKA ČESTICE

1 UVOD

2 JEDNADŽBA GIBANJA

2.1 Plan (dijagram) slobodnog tijela

2.2 Pravocrtno gibanje čestice

2.3 Krivocrtno gibanje čestice

Zadaci iz skripte-Vježbe

PRIMJER 1 PRIMJER 38

PRIMJER 2 PRIMJER 39

PRIMJER 36 PRIMJER 40

PRIMJER 37

ZNAČAJNI ISHODI UČENJA

Konceptualno znanje

• Formulirati dinamički problem pravocrtnog i krivocrtnog gibanja čestice u ravnini primjenom II Newtonovog zakona.

• Odrediti jednadžbe gibanja na osnovu plana slobodnog tijela.

• Primijeniti jednadžbe gibanja i kinematičke izraze za konstantno i promjenjivo ubrzanje za rješavanje dinamičkih problema kod pravocrtnog i krivornoggibanja čestice u ravnini.

DODATNI PRIMJERI

• PRIMJER 1-2019: Tijekom ispitivanja kočenja, automobil s pogonom na stražnje kotače se od početne brzine v0=100 km/h zaustavi nakon prijeđenog puta od s=50 m. Ukoliko sva četiri kotača postižu jednaku silu kočenja (sila trenja klizanja), izračunaj silu kočenja na svakom kotaču. Pretpostavlja se konstantno usporenje automobila mase m=1500 kg.

Zadano: m=1500 kg, v0=v1=100 km/h, s0=x0=x1=0, s=x=x2=50 m.

Slika. Položajna skica automobila u primjeru 1.

v0=v1=100 km/h v=v2=0

s=50 m

m=1500 kg

• Rješenje:

• Automobil se prije kočenja pravocrtno giba u desno po horizontalnoj ravnini (u smjeru osi x). Nakon kočenja automobil usporava gibanje u tom smjeru sve do zaustavljanja.

• Na slici je prikazan plan slobodnog tijela automobila u primjeru.

• Prema slici na automobil djeluje sila F, težina G, normalna sila N i sila trenja T na svakom kotaču.

Slika. Plan slobodnog tijela automobila u primjeru.

y

x

v

G

N

4T

• Sila kočenja, tj. sila trenja na svakom kotaču može se izračunati postavljajući jednadžbe gibanja prema II Newtonovom zakonu (po osi x i y):

• Prema jednadžbi (I) nepoznanice su sila trenja T i usporenje a. Jednadžbu statičke ravnoteže po osi y u ovom primjeru nije potrebno razmatrati.

• Uz pretpostavku konstantnog usporenja automobila, usporenje a može se izračunati iz kinematičkog izraza koji povezuje ubrzanje, brzinu i prijeđeni put kada je a=konst.:

y

x

v

G

N

4T

4

X xF m a m a

T m a

0

0

y yF m a

N G

(I)

(II)

2 2

0 0

2

0

3

32

0

2

2 ( )

0 2 ( 0)

100 10

3,6 10 m7,72

2 2 50 s

v v a x x

v a x

va

x

• Sila kočenja svakog kotača (sila trenja klizanja) T prema (I) iznosi:

• Pozitivna veličina sile T potvrđuje pravilno postavljeni smjer iste.

y

x

v

G

N

4T

4 : 4

1500 ( 7,72)2895 N

4

=2895 N

T m a

T

T

• PRIMJER 2-2019: Ukoliko je koeficijenti kinetičkog trenja između bloka i površine μk=0,3, odredi udaljenost koji blok prijeđe u vremenu t=3 s i brzinu u tom trenutku nakon što se primjeni sila F=200 N. Blok ima masu m=50 kg i započinje gibanje iz stanja mirovanja.

Zadano: μk=0,3, m=50 kg, F=200 N, v0=v1=0, t0=t1=0, t=t2=3 s,

s0=x0=x1=0.

Položajna skica u primjeru 2.

Fm

v

30º

μk

Rješenje:

• Na slici prikazan je plan slobodnog tijela bloka. Blok se pod djelovanjem sile F pravocrtno giba u desno po horizontalnoj ravnini (u smjeru osi x).

• Prema slici na blok djeluje sila F, težina G, normalna sila N i sila trenja T.

• Pošto na blok djeluju konstantne sile, put s i brzina v mogu se izračunati korištenjem kinematičkih izraza za a=konst.:

F

30º

Fy

Fx x

G

NT

y

a,v

Plan slobodnog tijela bloka

2 2 2

0 0

0 0

1 1 10 0

2 2 2

( ) 0 ( 0)

s s v t a t a t a t

v v a t t a t a t

(I)

• U izrazima (I) nepoznanica je ubrzanje a. Isto se može izračunati iz jednadžbe gibanja po osi x:

• U izrazu (II) nepoznanice su ubrzanje a i normalna sila N.

• Sila N može se izračunati postavljajući jednadžbu statičke ravnoteže po osi y (nema gibanja):

F

30º

Fy

Fx x

G

NT

y

a,v

ocos30

X x

X

k

F m a m a

F T m a

F N m a

(II)

o

o o

0

0

sin 30 0

sin 30 50 9,81 200sin 30 390,5 N

y y

y

F m a

N F G

N F m g

N m g F

• Uz izračunatu silu N, ubrzanje bloka prema izrazu (I) iznosi:

• Prema izrazima (I) prijeđeni put s i brzina v iznose:

F

30º

Fy

Fx x

G

NT

y

a,vo

o o

2

cos30 :

cos30 200cos30 0,3 390,5 m1,121

50 s

k

k

F N m a m

F Na

m

21 11,121 3 5,04 m

2 2

m1,121 3 3,36

s

s a t

v a t

• PRIMJER 3-2019: Na blok mase m=80 kg djeluje sila F=90t2 N usmjerena pod kutom 20º. Odredi brzinu bloka u trenutku vremena t=2 s. Koeficijent statičkog trenja je μs=0,4, a koeficijent dinamičkog trenja μk=0,3. Prethodno izračunaj vrijeme (t0=t) početka gibanja bloka.

Zadano: μs=0,4, μk=0,3, m=80 kg, F=90t2 N, t=t2=2 s,

s0=x0=x1=0.

Položajna skica u primjeru 2.

Fm

v

20º

μk

Rješenje:

• Na slici prikazan je plan slobodnog tijela bloka.

• Blok se pod djelovanjem sile F pravocrtno giba u desno u smjeru osi x.

• Prema slici na blok djeluje sila F, težina G, normalna sila N i sila trenja T.

• Pošto ubrzanje nije konstantno već je funkcija vremena, tj. a=f(t), jer je primjenjena vanjska sila F=90t2 funkcija vremena, prvo je potrebnoizračunati vrijeme t0=t1 početka gibanja. U tom trenutku sila F postajedovoljno velika za savladavanje otpora podloge pa nastupa klizanje.

• Tada vrijedi:

F

20º

Fy

Fx x

G

NT

y

a,v

Slika. Plan slobodnog tijela bloka

max sT T N

• Vrijeme početka gibanja može se odrediti postavljajući jednadžbe statičke ravnoteže po osi x i y.

• U jednadžbi (I) nepoznanice su vrijeme t normalna sila N.

• Sila N može se odrediti iz jednadžbe statičke ravnoteže po osi y:

F

20º

Fy

Fx x

G

NT

y

a,v

2 o

2

0

0

90 cos20 0

84,57 0,4 0

X

X

s

F

F T

t N

t N

(I)

2 o

2 o 2 o

2

0

0

90 sin 20 0

90 sin 20 80 9,81 90 sin 20

784,8 30,78

y

y

F

N F G

N t m g

N m g t t

N t

(II)

• Pošto imamo dvije jednadžbe s dvije nepoznanice, uvrštenjem izraza (II) u (I) dobiva se vrijeme početka gibanja t0:

• U sljedećem koraku potrebno iz jednadžbe gibanja po osi x postaviti izraz za ubrzanje. Pri tomu će biti potrebno koristiti i izraz (II) za normalnu silu N:

F

20º

Fy

Fx x

G

NT

y

a,v2

2 2

2 2

2

0

84,57 0,4 0

84,57 0,4(784,8 30,78 ) 0

84,57 313,92 12,31 0

(84,57 12,31) 313,92

313,921,8 s

96,88

t N

t t

t t

t

t t

2 o

2

2 2

2

22

90 cos20

84,57 0,3

84,57 0,3(784,8 30,78 ) 80

(84,57 9,23) 235,44 80 :80

(84,57 9,23) 235,441,172 2,943

80

X x

X

k

F m a m a

F T m a

t N m a

t N m a

t t a

t a

ta t

(III)

• Brzina bloka može se izračunati integrirajući kinematički izraz koji vezuje ubrzanje, brzinu i vrijeme:

• Uvrštavajući dobiveni izraz za ubrzanje (III) u izraz (IV), brzina bloka u trenutku vremena t=2 s iznosi:

F

20º

Fy

Fx x

G

NT

y

a,v

(IV)

0 0

2 s

0 1,8 s

tv

v t

dva dt

dt

dv a dt

dv adt

0 0

0

2 s 2 s

2

0 1,8 s 1,8 s

2 s 2 s

2

0 1,8 s 1,8 s

3 2 s 2 s

0 1,8 s 1,8 s

3 2

(1,172 2,943)

1,172 2,943

1,172 2,9433

0 0,39(2 1,8 ) 2,943(2 1,8)

m0,847 0,588 0,258

s

tv

v t

v

v

v

dv adt t dt

dv t dt dt

tv t

v

v

• PRIMJER 4-2019: Kugla (slika) mase m=30 kg u položaju 1 (φ=0º) ima brzinu v0=v1=4 m/s. Odredi silu u užetu S i brzinu v=v2

kada postigne položaj 2 (φ=20º). Dimenzije kugle se zanemaruju.

• Zadano: m=30 kg, v0=v1=4 m/s, s0=s1=0, φ0=φ1=0º, φ=φ2=20º .

Slika. Položajna skica uz primjer 4

φ

R=

4 m

m

1

2

v0

Rješenje:

• Na slici prikazan je plan slobodnog tijela kugle u primjeru.

• Prema slici na kuglu djeluje sila u užetu S i težina G kugle.

• Kugla se krivocrtno giba udesno uzduž poznate zakrivljene krivulje.

• To je kružnica polumjera R pa je prikladni koordinatni sustav za opisivanje gibanja prirodni koordinatni sustav s n i t osima.

Slika. Plan slobodnog tijela kugle

G

S

Gn

Gt

at

an

φ

tn

• Tražena sila i brzina u položaju 2 može se izračunati primjenom jednadžbi gibanja:

G

S

Gn

Gt

at

an

φ

tn

2

2

2

2

cos

cos

n n

n

vF m a m

R

vS G m

R

vS G m

R

vS m g m

R

(I)

sin

sin :

sin

t t

n t

t

t

t

F m a

G m a

G m a

m g m a m

g a

(II)

• U jednadžbama (I) i (II) nepoznanice su brzina v (položaj 2) i tangencijalna

komponenta ubrzanja at.

• Pošto ubrzanje at nije konstantno već je funkcija puta, tj. at=f(s), jerkomponenta težine Gn mijenja svoju veličinu po sinus funkciji kuta φ (od položaja 1 do položaja 2), prvo je potrebno postaviti izraz za ubrzanje, a potom koristiti diferencijalnu jednadžbu koja povezuje ubrzanje, brzinu i put.

• Diferencijalna jednadžba koja povezuje ubrzanje, brzinu i put je:

• Uz spustituciju ds=Rdφ i uvrštenjem (II) u (III) dobiva se tražena brzina v:

G

S

Gn

Gt

at

an

φ

tn

(III)tvdv a ds

o o

o o0 0

o

o

20 20

0 0 0

2 20

0 0

2 2 0 o

0

22 20 o0

( sin )

( sin ) sin

cos2

1( ) cos 20 cos0

2

4cos 20 cos0 9,81 4(0,9396 1) 5,623

2 2 2

m2 5,623 3,353

s

t

v

v

v

vdv a Rd g Rd

vdv g Rd g R d

vg R

v v g R

vvg R

v

• Sila u užetu S prema (I) iznosi:

• Brzina v mogla se direktno izračunati primjenom Zakona kinetičke energije:

G

S

Gn

Gt

at

an

φ

tn

2

2

2o

cos

cos

3,35330 9,81 cos20 30 360,87 N

4

vS m g m

R

vS m g m

R

S

2 2

1 1

o o2

o o1

o

o

1 2 1 2

2 2

2 1

20 20

2 2

2 1

0 0

202 2 o o

2 1

0

2 2o o2 1

2 2

2

1 1

2 2

1 1sin :

2 2

1 1cos (cos 20 cos0 )

2 2

(cos 20 cos0 )2 2

49,81 4(0

2 2

k k

s s

t t

s s

t

E E W

m v m v F ds G ds ds Rd

m v m v G Rd m g R d m

v v g R g R

v vg R

v

2

,9396 1) 5,623

m2 5,623 3,353

sv

• PRIMJER 1-2017: Opruga krutosti c= 200 N/m nerastegnuta je kada je blok mase 25 kg u položaju A. Odredi ubrzanje bloka kada prijeđe put iz položaja A do položaja B od s=0,4 m. Kontaktna površina između bloka i plohe je glatka.

Zadano: m=25 kg, c=200 N/m, F=100 N, s0=0, s=0,4 m,

l=0,3 m.

Položajna skica uz primjer 1

F

c

s

m F

v

l

A B

• PRIMJER 2-2017: Na blok mase m=10 kg pričvršćena je opruga krutosti c=500 N/m. Ukoliko na blok djeluje sila F=500 N, potrebno je odrediti njegovu brzinu kada isti prijeđe put od s=0,5 m. Kada je s0=0, blok je u mirovanju, a opruga je nedeformirana. Trenje između bloka i podloge se zanemaruje.

Zadano: m=10 kg, c=500 N/m, F=500 N,s0=s1=0, s=s2=0,5 m.

Položajna skica uz primjer 2

4

53 F

c

s

m

Rješenje:

• Na slici je prikazan plan slobodnog tijela bloka u primjeru.

• Prema slici na blok djeluje sila F, težina G, normalna sila N i elastična silaopruge Fe.

• Blok se pravocrtno giba u desno po horizontalnoj ravnini (u smjeru osi x) pod djelovanjem sile F.

• Tom gibanju se opire elastična sila opruge Fe jer se gibanjem bloka opruga deformira tj. skrati pod djelovanje sile F koja djeluje kao tlačna sila.

Slika. Plan slobodnog tijela bloka

1 o

4cos

5

3sin

5

3tan 0,75

4

tan 0,75 38,86

x

y

F F F

F F F

F

G

N

FeFy

Fx

5

4

3

α

y

x

v

• Pošto ubrzanje nije konstantno već je funkcija puta, tj. a=f(s), jer je elastična sila promjenjiva, prvo je potrebno postaviti izraz za ubrzanje, a potom koristiti diferencijalnu jednadžbu koja povezuje ubrzanje, brzinu i put.

• Izraz za ubrzanje a može se postaviti iz jednadžbe gibanja:

• Jednadžbu statičke ravnoteže (II), nema gibanja po osi y, nije potrebno koristiti jer nema trenja (zanemaruje se) pa i silu N nije potrebno izračunati.

• Prema (I), izraz za ubrzanje je:

4

5

X x

x e

F m a m a

F F m a

F c s m a

0

0

y y

y

F m a

N G F

(I)

(II)

4:

5

4 4500 500

5 5 40 5010

eF c s m a m

F c s s

a sm

(III)

F

G

N

FeFy

Fx

5

4

3

α

y

x

v

• Diferencijalna jednadžba koja povezuje ubrzanje, brzinu i put je:

čijom se integracijom uz uvrštenje (III) dobiva tražena brzina

vdv ads

0 0

0,5 m 0,5 m 0,5 m 0,5 m

0 0 0 0 0

2 20,5 m 0,5 m

0 0 0

2 2

(40 50 ) 40 50

40 502 2

1( 0) 40(0,5 0) 25 0,5 0 20 6,25 13,75

2

m2 13,75 5,24

s

sv

v s

v

vdv ads

vdv ads s ds ds sds

v ss

v

v

F

G

N

FeFy

Fx

5

4

3

α

y

x

• PRIMJER 3-2017: Ukoliko motor razvija vučnu silu u sajli od F= (10t2+100) gdje je t vrijeme u sekundama, odredi brzinu bloka mase 25 kg kada je t=4 s. Koeficijent statičkog i kinetičkog trenja su μs=0,3 i μk=0,25. Blok je početno u mirovanju.

Zadano: F= (10t2+100), m=25 kg, t0=0, t=4 s, μs=0,3 i μk=0,25.

Položajna skica uz primjer 3

m

μs , μk

v

• PRIMJER 4-2017: Na blok mase 80 kg djeluje sila usmjerena pod kutom α i čija se magnituda povećava sve dok blok ne počne kliziti. Odredi početno ubrzanje bloka ukoliko je koeficijent statičkog trenja μs=0,5, a koeficijent dinamičkog trenja μk=0,3.

Zadano: m=80 kg, μs=0,5, μk=0,3, α=20°.

Položajna skica uz primjer 4

Fm

v

α

μs , μk