Otpornost materijala 2011

I

SADRŽAJ

1. PREDMET I ZADACI OTPORNOSTI MATERIJALA.......................................................1

1.2.FIZIČKE OSOBINE MATERIJALA.......................................................................3

1.3. OBLIK TELA.............................................................................................................4

1.4. SPOLJAŠNJE SILE...................................................................................................5

1.5 UNUTRAŠNJE SILE I NAPONI...............................................................................7

2. DEFORMACIJE......................................................................................................................11

2.1 Dužinska deformacija (dilatacija e)……………………………............…………12

2.2 Ugaona, smičuća deformacija, deformacija klizanja .............................................13

3. PRETPOSTAVKE OTPORNOSTI MATERIJALA...........................................................14

4. VEZA NAPONA I DEFORMACIJE – HUKOV ZAKON..................................................15

5. POASONOV KOEFICIJENT……………………………...........................................…….17

6. ZAPREMINSKA – KUBNA DILATACIJA……………...........................................……..18

7. DOZVOLJENI NAPON I STEPEN SIGURNOSTI.............................................................20

8. OPŠTI SLUČAJ OPTEREĆENJA LINIJSKIH NOSEĆIH ELEMENATA..............................................................................................................................22

9. NAPREZANJE U PODUŽNOM PRAVCU..........................................................................24

9.1 Aksijalno naprezanje – Presečne sile………………..................………………….24

9.2 Aksijalno naprezanje – Pretpostavka o naponima i pretpostavka o deformacijama (pretpostavka o ravnim poprečnim presecima).................................26

9.3 Aksijalno naprezanje – Hukov zakon…………………………….……………….27

9.4 Aksijalno naprezanje – Naponi, deformacije, izduženja ......................................27

9.5 Sen Venanov princip ………………………………………………….……………29

9.6 Koncentracija napona...............................................................................................31

9.7 Dimenzionisanje aksijalno napregnutih štapova ……………...............…………32

9.8 Uticaj temperature …………………………………....................…………………33

II

9.9 Uticaj sopstvene težine …………………….……………………………………….35

9.10 Uticaj centrifugalnih sila ………........……………………………………………38

9.11 Aksijalno naprezanje – Statička neodređenost.....................................................42

9.12 Aksijalno naprezanje – Statički određeni i statički neodređeni sistemi štapova, Plan pomeranja................................................................................................................45

10. ANALIZA STANJA NAPONA I DEFORMACIJA…………………………..………….47

10.1 Jednoosno naprezanje – Naponi u kosom preseku……………….……………..47

10.2 Ravansko stanje napona…………………………………………………………..53

10.3 Ekstremne vrednosti normalnih napona ?............................................................57

10.4 Tangencijalni naponi (naponi smicanja, smičući naponi) za ravni glavnih normalnih napona? .........................................................................................................60

10.5 Ekstremne vrednosti napona smicanja ? ……………...............………………..61

10.6 Dvoosno naprezanje.................................................................................................65

10.7 Specijalni slučajevi dvoosnog naprezanja ……………..........…………………..67

10.8 Dvoosno naprezanje – Transformacija napona....................................................68

10.9 Čisto smicanje...........................................................................................................69

10.10 Čisto smicanje – Transformacija napona …………….............………………..69

10.11 Čisto smicanje – Glavni normalni naponi …………..........……………………69

10.12 Čisto smicanje – Deformacije...............................................................................70

10.13 Deformacije i Hukov zakon pri ravanskom stanju napona...............................73

10.14 Ravansko stanje napona – Transformacija deformacija pri rotaciji koordinatnog sistema ………………………………………….....................………….75

10.15 Prostorno stanje napona i deformacija…………………………………………76

10.16 Prostorno stanje napona i deformacija – Uticaj temperature...........................78

10.17 Ravansko stanje deformacija……………………………………………………78

10.18 Elipse, elipsoidi i Morovi krugovi napona i deformacija………………….…..80

III

10.19 Morov krug napona u slučaju ravanskog stanja napona ..................................80

10.20 O predznacima napona........................................................................................81

11. TEHNIČKO SMICANJE......................................................................................................86

11.1 Zakovane veze..........................................................................................................87

11.2 Zavarene veze...........................................................................................................88

11.3 Osovinice preko kojih se prenosi vučna sila …………............................………89

11.4 Zavrtnjevi preko kojih se prenosi obrtni moment …..............................……….89

12. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE POPREČNIH PRESEKA..............................90

12.1 Statički moment………………………………………………….………………..91

12.2 Aksijalni momenti inercije……………………………………………………..…92

12.3 Centrifugalni moment inercije................................................................................93

12.4 Polarni moment inercije..........................................................................................94

12.5 Opšti izraz za geometrijske karakteristike poprečnih preseka...........................94

12.6 Pravilo o sabiranju geometrijskih karakteristika ………………………….….95

12.7 Promena momenata inercije pri translaciji koordinatnog sistema…………….96

12.8 Promena momenata inercije pri rotaciji koordinatnog sistema………………100

12.9 Ekstremne vrednosti aksijalnih momenata inercijeIx iIy...............................102

12.10 Kojoj od ekstremnih vrednosti odgovara ϕ=α ? ..........................................102

12.11 Koje izraze koristiti za određivanje ekstremnih vrednosti aksijalnih momenata inercije ?.......................................................................................................104

12.12 Maksimalna vrednost centrifugalnog momenata inercijeIxy.........................105

12.13 Koji izraz koristiti za određivanje maksimalnog centrifugalnog momenta inercije ? .......................................................................................................................105

12.14 Morov krug inercije…………………………………………………………….107

12.15 Poluprečnici inercije…………………………………………..………………..108

12.16 Elipsa inercije……………………………………………….…………………..108

IV

12.17 Dodatne geometrijske karakteristike poprečnih preseka……………………109

12.18 Aksijalni otporni momenti za ose x i y ……………………………………....109

12.19 Polarni otporni moment za pol O ......................................................................110

13. UVIJANJE............................................................................................................................112

13.1 Konvencija o predznaku momenta uvijanja………...................................……112

13.2 Uvijanje štapova kružnog poprečnog preseka....................................................113

13.3 Uvijanjem štapova kružnog poprečnog preseka – Pretpostavke......................114

13.4 Uvijanjem štapova kružnog poprečnog preseka – Jednačine ravnoteže..........116

13.5 Uvijanjem štapova kružnog poprečnog preseka – Veza između ugla klizanja i ugla uvijanja...................................................................................................................117

13.6 Uvijanje štapova kružnog poprečnog preseka – Relativni ugao uvijanja........118

13.7 Uvijanje štapova kružnog poprečnog preseka – Ugao uvijanja........................119

13.8 Uvijanje štapova kružnog poprečnog preseka – Naponi smicanja...................121

13.9 Dimenzionisanje vratila kružnog i kružno-prstenastog poprečnog preseka............................................................................................................................122

13.10 Provere vratila…………………………………………….…………………….124

13.11 Uštede u materijalu korišćenjem šupljih vratila……...............………………125

13.12 Problemi uvijanja štapova………………………………..................…………129

14. SAVIJANJE………………………………………………...........................................…..132

14.1 Čisto savijanje…………………………………………..................................…..133

14.2 Čisto savijanje – Pretpostavke..............................................................................133

14.3 Savijanje silama…………………………………………...……………………..141

14.4 Savijanje silama – Pretpostavke...........................................................................142

14.5 Savijanje silama – Naponi smicanja.....................................................................144

14.6 Savijanje silama – Dokaz o postojanju naponi smicanja...................................146

14.7 Savijanje silama – Napon smicanja za proizvoljnu tačku..................................146

V

14.8 Savijanje silama – raspodela napona smicanje po visini poprečnih preseka greda................................................................................................................................149

14.9 Savijanje silama – Glavni naponi.........................................................................154

14.10 Savijanje – Dimenzionisanje grednih nosača…………..................………….157

14.11 Savijanje silama – Lokalni naponi.....................................................................158

14.12 Savijanje – Stepen korišćenja poprečnih preseka.............................................159

14.13 Savijanje – Idealni oblik grednih nosača...........................................................162

14.14 Savijanje – Ojačavanje nosača lamelama..........................................................166

14.15 Savijanje – Provere..............................................................................................170

14.16 Deformisanje greda pri savijanju.......................................................................171

14.17 Granični uslovi za prostu gredu i konzolu.........................................................174

14.18 Deformisanje pri savijanju – Kontinualno opterećena prosta greda (q=const, A=const)..........................................................................................................................175

14.19 Deformisanje pri savijanju – Prosta greda opterećena koncentrisanim momentom (A=const)....................................................................................................177

14.20 Deformisanje pri savijanju – Konzola opterećena silom na slobodnom kraju (A=const).........................................................................................................................179

14.21Deformisanje pri savijanja–Prosta greda opterećena koncentrisanom silom................................................................................................................................181

14.22 DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ELASTIČNIH LINIJA..........................182

14.23 REŠENJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA ELASTIČNIH LINIJA ....182

14.24 REŠENJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA ELASTIČNIH LINIJA ....182

14.25 KLEPŠOV POSTUPAK ………………………………………………………185

14.26 Savijanje - Statički određeni neprekidni gredni nosači sa Gerberovim zglobovima......................................................................................................................188

14.27 Savijanje – Statički neodređeni problem…………………………………….197

14.28Koso savijanje………………………………………………………………...….203

VI

14.29 PRETPOSTAVKE ZA SLUČAJ ČISTOG SAVIJANJA …………………...204

14.30 PRETPOSTAVKE ZA SLUČAJ SAVIJANJE SILAMA ...............................204

14.31 Normalni naponi pri kosom savijanju……………………………………..…207

14.32 Koso savijanje – Neutralna osa..........................................................................207

14.33 Postupak proračuna greda izloženih kosom savijanju.....................................208

15 EKSCENTRIČNO ZATEGNUTI ILI PRITISNUTI ŠTAPOVI……………………….208

15.1 Ekscentrično opterećena stubna bušilica ……………………………………....208

15.2 Ekscentrično zategnuti ili pritisnuti štapovi – Normalni naponi……………..209

15.3 Ekscentrično zategnuti ili pritisnuti štapovi – Neutralna osa…………………211

15.4 Ekscentrično zategnuti ili pritisnuti štapovi – Dimenzionisanje……………...215

15.5 Ekscentrično zategnuti ili pritisnuti štapovi – Jezgro preseka..........................216

16. STABILNOST LINIJSKIH NOSEĆIH ELEMENATA..................................................217

16.1 Izvijanje u elastičnoj oblasti..................................................................................220

16.2 Ojlerova hiperbola.................................................................................................226

16.3 Izvijanje – Omega postupak.................................................................................228

17. ENERGETSKI METODI..................................................................................................230

17.1 Deforrmacijski rad – Potencijalna energija deformacije...................................231

17.2 Deformacijski rad izražen pomoću spoljašnjih sila............................................231

17.3 Deformacijski rad izražen pomoću unutrašnjih sila – Napona.........................235

17.4 Specifični deformacijski rad.................................................................................238

17.5 Deformacijski rad izražen preko presečnih sila..................................................239

17.6 Opšti izraz za deformacijski rad izražen preko presečnih sila.........................246

17.7 Deformacijski rad pri opštem slučaju opterećenja izražen preko presečnih sila....................................................................................................................................247

17.8 Teoremi o uzajamnosti..........................................................................................248

17.9 Deformacijski rad i dopunski rad........................................................................256

VII

17.10 Primena deformacijskog rada (Potencijalne energije deformacije)...............260

17.11 Primena dopunskog rada....................................................................................262

17.12 Koeficijenti elastičnosti i krutosti.......................................................................270

17.13 Primena energetskih metoda za određivanje pomeranja kod Statički određenih konstrukcija.................................................................................................272

17.14 Metod jediničnih opterećenja – Maksvel-Morov metod, Maksvel-Morovi integrali...........................................................................................................................276

17.15 Primena energetskih metoda za rešavanje statički neodređenih konstrukcija....................................................................................................................280

17.16 Princip minimuma potencijalne energije deformacije (deformacijskog rada)................................................................................................................................284

17.17 Kanonske jednačine metoda sila........................................................................285

17.18 Specifični deformacijski rad promene zapremine i promene oblika.............287

19 SLOŽENA NAPREZANJA.................................................................................................292

OTPORNOST MATERIJALA

1

1. PREDMET I ZADACI OTPORNOSTI MATERIJALA

Otpornost materijala je posebna nauĉna disciplina kojom su obuhvaćeni inţenjerski metodi proraĉuna:

Ĉvrstoće,

Krutosti i

Stabilnosti

delova mašina i konstrukcija.

Ĉvrstoća je sposobnost konstrukcije da izdrţi zadato opterećenje, a da joj pri tome naponi ne preĊu odreĊenu granicu i da ne doĊe do njenog popuštanja.

Krutost je sposobnost konstrukcije da se odupre opterećenjima i da se ne deformiše iznad odreĊene granice.

Stabilnost je sposobnost konstrukcije da zadrţi ravnoteţni oblik pri deformacijama koje odgovaraju zadatom opterećenju.

Osim naziva OTPORNOST MATERIJALA koji je tradicionalan i ne odgovara stavrnosti, u literaturi se srećemo i sa nazivom NAUKA O ĈVRSTOĆI.

U svetskoj literaturi srećemo sljedeće nazive:

STRENGTH OF MATERIALS (na engleskom)

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИЯЛОВ (na ruskom)

FESTIGKEITSLEHRE (na nemaĉkom)

RESISTANCE DES MATERIAUX (na francuskom)

Otpornost materijala predstavlja osnovu za:

Proraĉun mašinskih elemenata i

Teoriju konstrukcija.

MeĊutim, kao što je Otpornost materijala neĉemu osnova, tako i ona ima svoje osnove.

Njene osnove su:

Matematika (u teorijskom smislu)


2

Mehanika (u teorijskom smislu)

Fizika (u teorijskom i eksperimentalnom smislu)

Nauka o materijalima (u teorijskom i eksperimentalnom smislu)

Osvrnimo se na Mehaniku kao teorijsku osnovu, ito na njena dva dela:

Statiku i

Dinamiku.

Statika prouĉava zakone slaganja sila i uslove ravnoteţe materijalnih tela pod dejstvom sila.

Dinamika prouĉava kretanje materijalne taĉke i materijalnih tela pod dejstvom sila.

Materijalna tela koja su predmet statike i dinamike, posmatraju se kao kruta tela.

Kruto telo je telo koje se pri delovanju spoljašnjih sila ne menja oblik (ne deformiše se), tj. rastojanje mu se izmeĊu bilo koje dve taĉke ne menja.

Suprotno krutom telu je ĉvrsto ili deformabilno telo.

Ĉvrsto telo je telo koje pri delovanju spoljašnjih sila menja oblik (deformiše se) tako da mu se rastojanje izmeĊu bilo koje dve taĉke generalno razlikuje od rastojanja koje je bilo pre dejstva sila.

Otpornost materijala prouĉava ĉvrsta tela.

Svakom ĉvrstom telu mogu se pridruţiti sljedeća tri parametra:

Opterećenje (spoljašnje sile),

Geometrija (dimenzionisani oblik) i

Materijalnost (materijal sa svojim osobinama).

Iz “igre” sa ova tri parametra proizilaze zadaci Otpornosti materijala.

Prvi zadatak

Poznati su opterećenje i materijal od kojeg će se izraditi neka konstrukcija ili neki njen deo, zadatak je da se odredi geometrija sa kojom će biti zadovoljeni uslovi ĉvrstoće, krutosti i stabilnosti.

NAPOMENA: Ovaj zadatk se ĉesto sreće pri projektovanju novih mašina i ureĊaja i još se zove zadatkom dimenzionisanja.


3

Drugi zadatak

Poznati su geometrija i opterećenje konstrukcije. Zadatak je da se odredi raspodela napona i deformacija i na sonovu toga odabere materijal potrebne ĉvrstoće.

Treći zadatak

Poznati su geometrija i materijal za izradu. Zadatak je da se sprovede analiza napona i deformacija i na osnovu toga odredi dozvoljeno opterećenje konstrukcije.

Glavni zadatak Otpornosti materijala je iznalaţ enje povoljne geometrije konstrukcija i delova koji ih ĉine, uz što je moguće manji utrošak materijala, a da uslovi ĉvrstoće, krutosti i stabilnosti pri zadatom opterećenju budu zadovoljeni.

1.2 FIZIĈKE OSOBINE MATERIJALA

Ako se sve taĉke ĉvrstog tela po rasterećenju vraćaju u prvobitane poloţaje kaţe se da je materijal od kojeg je telo napravljeno, elastiĉan.

Materijal moţe biti:

Idealno elastiĉan i

Delimiĉno elastiĉan.

Eksperimentima je pokazano da su do odreĊene granice elastiĉni:

Ĉelik,

Liveno gvoţĊe,

Drvo,

Kamen.

Materijal je neelastiĉan (plastiĉan) ako se sve taĉke ĉvrstog tela po rasterećenju ne vrate u prvobitne poloţaje, zbog ĉega telo ostaje trajno deformisano.

Viskoelastiĉani materijali su materijali kod kojih dolazi do puzanja (pri konstantnom opterećenju ĉvrstog tela imamo rast deformacija u vremenu) i relaksacije (u deformisanom ĉvrstom telu naponi opadaju u vremenu).

Materijal ĉvrstog tela je homogen ako su mu sve ĉestice iste. U suprotnom je nehomogen (ĉestice su mu meĊusobno razliĉite).

Materijal je izotropan ako su mu fiziĉke osobine svake ĉestice u svim proizvoljno izabranim pravcima iste. U suprotnom je anizotropan.


4

Materijal je ortotropan (ortogonalno izotropan), tj. ima razliĉite fiziĉke osobine u dva ili tri ortogonalna pravca (npr. kompoziti)

1.3 OBLIK TELA

Većina rešenja Otpornosti materijala odnosi se na trodimenzionalna tela jednostavnijeg oblika kao što su:

Štapovi,

Grede,

Ploĉe i

Ljuske.

Štapovi i grede spadaju u linijske noseće elemente i kod njih je jedna dimenzija (duţina) znatno veća od druge dve (širine i visine).

Štap je kao linijski noseći element opterećen samo u jednom ito poduţnom pravcu, zateznom ili pritisnom silom ili momemtom uvijanja.

Greda moţe biti opterećena i upravno na poduţnu osu.

Zavisno od oblika osa štapovi (grede) mogu biti:

Pravi,

Blago zakrivljeni,

Krivi,

Prostorno savijeni.

Primer uvijenog štapa je burgija.

Površinski noseći elementi su ploĉe i ljuske. Kod njih je jedna dimenzija (debljina) znatno manja od druge dve (širine i duţine).

Ploĉe su ravni površinski noseći elementi, dok su ljuske zakrivljeni površinski noseći elementi sa srednjim površinama podjednako udaljenim od spoljnih površina.

Na ovom kursu Otpornosti materijala uglavnom će se razmatrati:

Pravi štapovi (grede) i

Ravanske ili prostorne konstrukcije sastavljene od više pravih štapova (greda).


5

1.4 SPOLJAŠNJE SILE

Spoljašnje sile koje deluju na konkretno ĉvrsto telo mogu biti:

Površinske i

Zapreminske.

Površinske sile su posledica kontakta konkretnog ĉvrstog tela sa drugim telima i sredinom koja ga okruţuje.


6

U zapreminske sile ubrajamo:

Teţinu (sile gravitacije),

Centrifugalne sile,

Inercijalne sile,

Sile magnetnog privlaĉenja (odbijanja).

Površinske sile se u proraĉunima inţenjerskih konstrukcija (u zadacima otpornosti materijala) prikazuju kao kontinualna (konstantna ili promenljiva) opterećenja.

Za primere nekih od površinskih sila mogu se uzeti:

Pritisak teĉnosti,

Pritisak gasa,

Teţina snega,

Pritisak vetra, ...

U poseban sluĉaj spoljašnjih sila spadaju koncentrisana opterećenja (koncentrisane sile i koncentrisani momenti) koja su rezultat uprošćavanja i svoĊenja na taĉku.

Zapreminske sile deluju na svaku ĉesticu ĉvrstog tela i srazmerne su njegovoj masi.

Prema naĉinu delovanja u vremenu spoljašnje sile mogu biti:

Statiĉke i

Dinamiĉke.

Statiĉke sile se ne menjaju u vremenu. Postepeno rastu do neke konaĉne (radne) vrednosti, a zatim ostaju konstantne, pa se zato pojave ubrzanja i inercijalnih sila moţe zanemariti.

Dinamiĉke sile mogu biti:

Udarne (trenutne, kratkotrajne) i

Promenljive u vremenu (stohastiĉki promenljive ili promenljive po odreĊenom zakonu).


7

1.5 UNUTRAŠNJE SILE I NAPONI

Unutar ĉvrstog tela opterećenog spoljašnjim silama, izmeĊu delića (kristala, molekula, atioma), pojavljuju se dodatne unutrašnje sile koje se protive delovanju spoljašnjih sila.

Za opisivanje unutrašnjih sila uveden je pojam napona.

Da bi opisali unutrašnje sile i objasnili pojam napona posluţićemo se metodom fiktivnog (zamišljenog) preseka.


8


9

Posmatrano na nivou Dekartovog koordinatnog sistema, moguće je generisati sliku napona u tom sistemu.

Kroz proizvoljnu taĉku opterećenog ĉvrstog tela moţe se posmatrati beskonaĉno mnogo zamišljenih preseka sa beskonaĉno mnogo normala n i napona pn.

Dokazano je kako je dovoljno je pznavati komponente ukupnih napona pni (i=1,2,3) za 3 meĊusobno ortogonalna preseka da bi se odredili komponentni naponi za bilo koji proizvoljni presek.

Za ĉvrsto telo u Dekartovom koordinatnom sistemu tri meĊusobno ortogonalna preseka treba posmatrati kao preseke dobijene ravnima paralelnim ravnima tog sistema.

Devet (3x3=9) komponenti napona vezanih za ravni xy, yz, i zx Dekartovog koordinatnog sistema jesu komponente tenzora napona.

Tenzorom napona se definiše naponsko stanje u proizvoljnoj taĉki opterećenog ĉvrstog tela.


10


11

2. DEFORMACIJE

Ĉvrsta tela opterećena spoljašnjim silama menjaju oblik i dimenzije (deformišu se).

Za opisivanje promene oblika i dimenzija uveden je pojam deformacija.

U opštem sluĉaju razlikujemo:

Duţinsku i

Ugaonu deformaciju.


12

Duţinska deformacija (dilatacija e)


13

Ugaona, smiĉuća deformacija, deformacija klizanja

Ugaona deformacija je vezana za taĉku i ravan.

Za taĉku T(x,y,z) i ravni xy, yz, zx Dekartovog koordinatnog sistema, ugaone deformacije oznaĉavamo sa

Kao što tenzor napona definiše naponsko stanje u proizvoljnoj taĉki opterećenog ĉvrstog tela, tako tenzor deformacija definiše deformaciono stanje.

zxyzxy γ, γ,γ


14

3. PRETPOSTAVKE OTPORNOSTI MATERIJALA

Pretpostavke o materijalu:

Materijal je neprekidan,

Materijal je homogen i izotropan

Materijal je linearno elastiĉan

Pretpostavke o deformacijama:

Deformacije su male u poreĊenju sa dimenzijama tela

ε 0.001 (0.1 %)

Pretpostavke o silama:

Spoljašnje sile su statiĉke.

Pretpostavka o nezavisnosti delovanja opterećenja (princip superpozicije):

Ukupan rezultat uticaja svih opterećenja jednak je algebarskom zbiru uticaja svih pojedinaĉnih opterećenja.

Pretpostavka o uslovima ravnoteţe:

Uslovi ravnoteţe se definišu uvek u odnosu na oblik i dimenzije konstrukcije pre njene deformacije.


15

NEKE JEDINICE SI SISTEMA

SI Koristi se

Duţina m cm

Površina m2 cm2

Sila N kN

Moment Nm kNcm

Napon Pa* kN/cm2

Linijsko pomeranje

m cm

Ugaono pomeranje rad rad, stepen

4. VEZA NAPONA I DEFORMACIJE – HUKOV ZAKON

Naponi i deformacije su posledica delovanja opterećenja (spoljašnjih sila) na konkretnu konstrukciju.

U kakvoj su vezi napon i deformacija?

Robert Huk (Robert Hook, 1635-1703) je prvi eksperimentalno dokazao linearnu zavisnost sile F i izduţenja opruge Dl. On je 1660. objavio rad pod naslovom “Ut tensio sic vis” (“Onakva deformacija kakva sila”).

Huk je ovu zakonitost formulisao 1676., a zvaniĉno ju je objavio 1678.

2mN 1Pa 1


16

• Linearna zavisnost izmeĊu sile i odgovarajuće deformacije koja vaţi za idealno elastiĉno telo (do granice proporcionalnosti) poznata je kao Hukov zakon.

• Na osnovu slike zatezanja štapa silom F

σ - Normalni napon

E – Modul elastiĉnosti uveden od strane Tomasa Junga 1807.


17

- Duţinska deformacija (dilatacija)

5. POASONOV KOEFICIJENT

Posmatrajmo deo zategnutog štapa kruţnog popreĉnog preseka.

Neka je materijal štapa:

Homogen,

Izotropan i

Idealno elastiĉan (do granice proporcionalnosti).

• Za izotropne materijale koji podleţu Hukovom zakonu, eksperimentalno je ustanovljena veza popreĉne i poduţne dilatacije

• Koeficijent proporcionalnosti n u gornjem izrazu naziva se Poasonov koeficijent (uveo ga Simon Dany Poisson 1828.).

.. podužpopreč


18

6. ZAPREMINSKA – KUBNA DILATACIJA

Posmatrajmo ponovo deo zategnutog štapa kruţnog popreĉnog preseka.

Neka je štap opterećen na zatezanje.


19

ZADATAK

Na osnovu donje slike izvesti izraz za zapreminsku deformaciju.


20

7. DOZVOLJENI NAPON I STEPEN SIGURNOSTI

Zavisnost napona σ i specifiĉnog izduţenja ε, moţe se predstaviti monotonom naponsko-deformacionom krivom (inţenjerskom krivom).

Monotona naponsko-deformaciona kriva (inţenjerska kriva) dobija se ispitivanjem materijala.

Obiĉno se u tu svrhu koriste glatke cilindriĉne epruvete koje se izlaţu zatezanju ili pritisku.

Pri dobijanju monotone naponsko-deformacione krive zanemaruje se promena popreĉnog preseka epruvete.

Napon je jednak odnosu sile F i površine poĉetnog popreĉnog preseka A0 , tj.

Pri rešavanju problema ĉvrstoće konstrukcija, za materijale koji nemaju izraţenu granicu teĉenja, koristi se konvencionalna granica teĉenja Rp0,2 , kojoj odgovara napon pri deformaciji ε = 0,2%

U sluĉaju opterećenja na pritisak koristi se pritisna ĉvrstoća Rcm .

0AF


21

Konvencionalnoj granica gnjeĉenja Rcp odgovara napon pri deformaciji ε = -0,2%.

Doizvoljeni napon σd predstavlja graniĉnu vrednost napona sa kojom se garantuje nosivost konkretne konstrukcije.

Ovaj napon je uveden zbog:

Sluĉajnog prekoraĉenja proraĉunskog opterećenja,

Realne nehomogenosti meterijala,

Korozije koja izaziva smanjenje popreĉnih preseka.

Dozvoljeni napon se izraĉunava korišćenjem sljedećih izraza:

• U prethodnom izrazu S (S>1) je stepen ili koeficijent sigurnosti (S nema dimenziju).

• Proraĉunski napon uporeĊen sa dozvoljenim naponom:

SRe

d S

Rmd

dprorač .


22

8. OPŠTI SLUĈAJ OPTEREĆENJA LINIJSKIH NOSEĆIH ELEMENATA

Posmatraćemo linijski noseći element proizvoljno opterećen koncentrisanim silama.

Koristeći metod zamišljenog preseka, linijski noseći element podelimo na dva dela (deo I i deo II).

Zamišljeni popreĉni presek je normalan na poduţnu osu koja je prava i prolazi kroz teţišta svih popreĉnih preseka.


23

Iz prethodnog zakljuĉujemo da se opšti sluĉaj opterećenja (naprezanja) linijskih nosećih elmenata moţe posmatrati kao zbir pojedinaĉnih naprezanja:

Poduţnog (aksijalnog) naprezanja,

Uvijanja i

Savijanja.


24

Sile u popreĉnom preseku (preseĉne sile) moţemo izraziti pomoću napona.

Na taj naĉin se dobija 6 uslova (jednaĉina) ravnoteţe.

9. NAPREZANJE U PODUŢNOM PRAVCU

Naprezanje u poduţnom pravcu (aksijalno naprezanje) imamo kod štapova opterećenih poduţnim silama.

9.1 Aksijalno naprezanje – Preseĉne sile

Samo je poduţna sila razliĉita od nule, a sve ostale sile jednake su nuli.

Preseĉne sile N(z) – Primer 1

0

00

tyX

yx

MMMTT

N


25



FFFzN A

FFA

FFFzN A

FFA


26

9.2 Aksijalno naprezanje – Pretpostavka o naponima i pretpostavka o deformacijama (pretpostavka o ravnim popreĉnim presecima)

Normalni napon je razliĉit od nule, a tangencijalni naponi su jednaki nuli.

Popreĉni preseci su pre deformisanja upravni na osu linijskog nosećeg elementa.

Posle deformisanja, popreĉni preseci i dalje ostaju upravni na osu.

Generalno se za deformacije moţe pretpostaviti:

FFA 2

FFFFFzNFFFzN

ABC

AAB

222

0 zzz

0 zyzx


27

9.3 Aksijalno naprezanje – Hukov zakon

Huhov zakon za sluĉaj aksijalnog naprezanja, definisan je na sljedeći naĉin:

Napon σz se menja od preseka do preseka.

Za odreĊen presek napon σz je konstantan.

9.4 Aksijalno naprezanje – Naponi, deformacije, izduţenja

zz E E

zz


28

Popreĉni presek je konstantan, A = const

Popreĉni presek je promenljiv, A = A(z)


29

Normalna preseĉna sila N(z) = N = const i popreĉni presek A(z) = A = const

9.5 Sen Venanov princip

U sluĉaju aksijalno napregnutih štapova, izrazi za napone σz

vaţe za mesta dovoljno udaljena od mesta delovanja opterećenja.

Za primer ćemo posmatrati stvarne noseće elemente.


30

Raspodela napona u stvarnom nosećem element


31

Dva statiĉki ekvivalentna opterećenja ĉija su delovanja ograniĉena na mali deo konture, u taĉki dovoljno udaljenoj od mesta delovanja, izazivaju identiĉne napone.

Ovo razmatranje, bez teorijskog dokaza, a eksperimentalno potvrĊeno, naziva se Sen-Venanov princip (Saint-Venant, 1797-1886).

Sen-Venanov princip za štap glasi:

Dva statiĉki ekvivalentna opterećenja konkretnog štapa, u dovoljno udaljenim presecima od mesta delovanja izazivaju iste napone.

9.6 Koncentracija napona

Pri nagloj promeni dimenzija popreĉnih preseka štapova, treba voditi raĉuna o pojavi koja se zove koncentarcija napona.

Teorijski i eksperimentalno je dokazano da na mestima nagle promene dimenzija popreĉnih preseka, zbog raznih zareza, prelaznih zaobljenja, otvora i sl., dolazi do lokalnog povećanja napona.

Posmatrajmo aksijalno napregnut štap sa jednim prelaznim zaobljenjem radijusa r i izraţenom koncentracijom napona.


32

9.7 Dimenzionisanje aksijalno napregnutih štapova

Dimenzionisanje aksijalno napregnutih štapova (odreĊivanje površina popreĉnih preseka) vrši se prema dozvoljenom naponu σd.


33

Ako su nam poznate sile N(z) za preseke štapa A(z) treba proveriti:

9.8 Uticaj temperature

Fiziĉka karakteristika kojom se opisuje osetljivost materijala na promene temperature naziva se koeficijent linearnog širenja α [K-1] (u literaturi se kod štapova naziva i koeficijent temperaturskog izduţenja).

Primera radi, koeficijent linearnog širenja za ĉelik iznosi:

Izraz za poduţnu deformacija T , štapa u homogenom temperaturnom polju, kojem je sa sobne temperature T, dignuta temperatura na (T+T), glasi

1610512 - K,α

TT


34

Razmotrimo sada situaciju kad izduţenje zagrijanog štapa ima ograniĉenje:

• Ograniĉenje dovoljno udaljeno i

• Ograniĉenje nije dovoljno udaljeno.

Ako ograniĉenje nije dovoljno udaljeno onda će se štap osloniti na ograniĉenje (oslonac) i u njemu će se zbog reakcija u osloncima pojaviti i naponi.

Zbog ovog se uticaj temperature, pri projektovanju konstrukcija, mora uzeti u obzir.


35

Sluĉaj ΔT≠0, N(z)≠0

9.9 Uticaj sopstvene teţ ine

Sopstvena teţina spada u grupu zapreminskih sila.

Razmotrimo uticaj sopstvene teţine na štap popreĉnog preseka, A const.


36

U razmatranje uvedimo sljedeće veliĉine:

Specifiĉnu masu .................. ρ

Ubrzanje zemljine teţe ........ g

Specifiĉnu teţinu .................. γ=ρ∙g


37


38

9.10 Uticaj centrifugalnih sila


39


40

Sluĉaj A(r) = A

SR

rC drrArF 2

sR

rC

rArF2

22

22

22 rRArF SC

22

12 S

SC R

rRArF


41

Sluĉaj štapa popreĉnog preseka A i duţine RS

ZADATAK 1

Štap prikazan na slici, aksijalno je napregnut.


42

1. Skicirati dijagram normalnih preseĉnih sila N(z).

2. Odrediti pomeranje taĉaka A, B, C, D, E i F.

3. Odrediti napon i deformaciju za presek definisan kordinatom zF = 2,5a .

ZADATAK 2

Štap prikazan na slici, opterećen je sopstvenom teţinom.

1. Skicirati raspodele napona, deformacija i izduţenja .

2. Napisati izraze na osnovu kojih su skicirane traţene raspodele.

9.11 Aksijalno naprezanje – Statiĉka neodreĊenost

Konstrukcija je statiĉki odreĊena ako joj se sve nepoznate veliĉine (reakcije veza, i sve preseĉne sile) mogu odrediti iz raspoloţivih uslova ravnoteţe.

Ako je broj nepoznatih veliĉina n, a broj raspoloţivih statiĉkih uslova ravnoteţe s tada k=n-s predstavlja stepen statiĉke neodreĊenosti koji je jednak broju prekobrojnih veza.

Stepen statiĉke neodreĊenosti k=n-s pokazuje koliko je puta posmatrana konstrukcija neodreĊena.

Ovaj stepen ukazuje na broj dopunskih uslova koje treba postaviti da bi odredili n nepoznatih veliĉina za posmatranu konstrukciju.

Dopunski uslovi proizilaze iz uslova deformacija .

Za n=s imamo da je k=0 (u ovom sluĉaju konstrukcija je statiĉki odreĊena).


43

Pri rešavanju statiĉki neodreĊenih konstrukcija koristimo dva metoda, ito:

Metod sila i

Metod pomeranja.

Princip nezavisnosti opterećenja je osnova za oba navedena metoda.

Metod sila koji će se ovde koristiti objasnićemo na dva primera.

Posmatraćemo:

Statiĉki neodreĊen štap opterećen silom F i

Statiĉki neodreĊen štap u homogenom temperaturnom polju.

Statiĉki neodreĊen štap opterećen silom F


44

Statiĉki neodreĊen štap u homogenom temperaturnom polju


45

9.12 Aksijalno naprezanje – Statiĉki odreĊeni i statiĉki neodreĊeni sistemi štapova, Plan pomeranja

Rešavanje problema sistema štapova, obiĉno se svodi se na iznalaţenje sila u štapovima kao i iznalaţenje pomeranja zajedniĉkih ĉvorova.

U postupak rešavanja uvodi se plan pomeranja.

Plan pomeranja objasnićemo na primeru sistema od dva štapa.


46

ZADATAK 1

Na slici je prikazan sistem štapova opterećen silom F.

Odrediti:

1. Preseĉne sile.

2. Napone i deformacije.

3. Pomeranje ĉvora C.

AElSl

cos1lCCC


47

ZADATAK 2

Na slici je prikazan vezan sistem štapova , preko krute grede opterećen silom F.

Odrediti:

1. Preseĉne sile.

2. Napone i deformacije.

3. Pomeranje taĉaka A, B i C.

10. ANALIZA STANJA NAPONA I DEFORMACIJA

Razmatranja u ovom delu odnosiće se na:

Jednoosno naprezanje (naprezanje u 1 pravcu),

Ravansko stanje napona,

Ravansko stanje deformacija,

Dvoosno naprezanje (naprezanje u 2 pravca),

Ĉisto smicanje,

Prostorno stanje napona i deformacija,

Troosno naprezanje (naprezanje u 3 pravca)

Elipse, elipsoide i Morove krugove napona i deformacija.

10.1 Jednoosno naprezanje – Naponi u kosom preseku

Jednoosno naprezanje odnosi se na aksijalno (poduţno) napregnute (opterećene) štapove.

Da bi smo odredili naponsko stanje u nekoj taĉki aksijalno (poduţno) napregnutog štapa potrebno je poznavati sve vektore napona u svim mogućim pravcima vezanim za tu taĉku.

Za poĉetak posmatrajmo prizmatiĉni štap.


48

Štap presecimo zamišljenom kosom ravni koja je odreĊena normalom n.

Rezultat takvog presecanja je zamišljeni kosi presek koji prizmatiĉni štap deli na levi i desni deo.

Normala n zamišljene kose ravni sa osom z zaklapa ugao .

Radi jednostavnosti prikaţimo samo glavni pogled prizmatiĉnog štapa .

Ako levi i desni deo štapa zamišljeno razdvojimo, onda njihov meĊusobni uticaj nademeštamo suprotno usmerenim unutrašnjim silama sa kojima će razdvojeni delovi štapa biti u stanju ravnoteţe.

Ove unutrašnje sile mogu se posmatrati kao zamišljene (fiktivne) spoljašnje sile, kako za levi tako i za desni deo štapa.

Uoĉimo sada jedan elementarni deo na levom delu našeg štapa.


49

Ovaj elementarni deo se zahvaljujući metodu preseka, moţe izdvojiti i zasebno posmatrati.

Prouĉimo uslove pod kojima će izdvojeni elementarni deo štapa biti u stanju ravnoteţe.

Kao prvo, izdvojeni elementarni deo moţe biti u stanju ravnoteţe ako je pravac napona pn kolinearan sa osom z.


50

Kada će naponi σn i τn imati maksimalne vrednost i?

U svrhu daljih analiza posmatraćemo aksijalno napregnut pljosnati štap.


51

Opet radi jednostavnosti, prikaţimo glavni pogled ovog štapa sa uoĉenim i izdvojenim kvadratnim elementarnim delom kojem su 4 strane definisane normalama n1 , n2 , n3 i n4 .

Na stranama kvadratnog elementarnog dela definisanim pomenutim normalama imamo:

Normalne napone ........... σn1 , σn2 , σn3 , σn4 i

Tangencijalne napone ..... τn1 , τn2 , τn3 , τn4 .

Analizirajmo stanje ravnoteţe tankog elementarnog dela na ovoj slici.

PoĊimo od onog što već znamo, a to su izrazi za napone u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa (kosi presek je odreĊen normalom n koja sa osom z zaklapa ugao ).


52

2sin21

2cos121

zn

zn

2cos121

zn

23

2

4

3

2

1

2cos32cos2

32cos2cos

2cos22cos2cos2cos

2cos2cos2

2cos2cos

2cos2cos

4

3

2

1

42

31

nn

nn

????

4

3

2

1

n

n

n

n


53

10.2 Ravansko stanje napona

Dobar deo mašinskih i graĊevinskih konstrukcija, kao što su

Rezervoari teĉnosti i gasa,

Brodske i avionske konstrukcje,

Mostovi,

Oplata mašina alatki i ţeljezniĉkih vagona, ...

napravljeni su i od površinskih nosećih elemenata (tankih ploĉa ili ljuski).

Zbog male debljine ovih nosećih elemenata moţe se pretpostaviti da im je raspodela napona po debljini ravnomerna.

Posmatrajmo tanku pravougaonu ploĉu u kojoj je zbog opterećenja, izazvano ravansko stanje napona.

Naponi σx , σy i τ ove ploĉe, svedeni su na srednju površinu.


54

I ovde ćemo radi jednostavnosti posmatrati glavni pogled ploĉe sa uoĉenim i izdvojenim elementarnim delom.


55


56

Odavde proizilazi logiĉan zakljuĉak da je zbir normalnih napona, za bilo koji par meĊusobno upravnih osa koje prolaze kroz jednu taĉku, isti.


57

10.3 Ekstremne vrednosti normalnih napona ?


58

Ekstremne vrednosti normalnih napona nazivaju se glavni normalni naponi.

Ravni u kojima ti naponi deluju nazivaju se glavne ravni ili ravni glavnih normalnih napona.

Odgovarajući pravci nazivaju se glavni pravci ili pravci glavnih normalnih napona.


59

NAPOMENE


60

10.4 Tangencijalni naponi (naponi smicanja, smiĉući naponi) za ravni glavnih normalnih napona?


61

10.5 Ekstremne vrednosti napona smicanja ?


62

Ravni u kojima deluju ekstremni naponi smicanja nazivaju se ravnima ekstremnih napona smicanja.

U kom meĊusobnom poloţaju stoje ravni glavnih normalnih napona i ravni ekstremnih napona smicanja?

yx

xytg

22

xy

yxtg

22

122 tgtg

4


63

Veza izmeĊu max,min i 1,2 kod ravanskog stanja napona definisana je dakle izrazom

Pošto predznak tangencijalnog napona nema fiziĉkog znaĉenja (za izotropne materijale) obe njegove ekstremne vrednosti moţemo oznaĉiti sa max

221

minmax,

22max 4

21

xyyx 2

21max


64

Ravansko stanje napona moţemo posmatrati kao jedno sloţeno naprezanje kod kojeg se stanje napona definiše tenzorom


65

10.6 Dvoosno naprezanje

Dvoosno naprezanje ili naprezanje u dva pravca srećemo kod površinskih nosećih elemenata (npr. ploĉa).

Posmatrajmo tanku ploĉu napregnutu u x i y pravcu.

yxy

yxx

y

x

00

00

xy

yx


66

Razmotrimo sada deformisanje izdvojenog elementarnog dela na bazi principa superpozicije.

x Ex

Ey

y Ex

E

y


67

Iz razmatranja deformisanja izdvojenog elementarnog dela, dvoosno napregnute tanke ploĉe, slede veze deformacija i napona

10.7 Specijalni sluĉajevi dvoosnog naprezanja


68

10.8 Dvoosno naprezanje – Transformacija napona

2sin21

2cos21

21

yxxy

yxyxx


69

10.9 Ĉisto smicanje

Podsetimo se na ĉinjenicu da smo saglasno principu superpozicije ravansko stanje napona, posmatrano kao sloţeno naprezanje, razloţili na:

Naprezanje u dva pravca i

Ĉisto smicanje (naprezanje na ĉisto smicanje).

Sada se pozabavimo problemom ĉistog smicanja.

10.10 Ĉisto smicanje – Transformacija napona

10.11 Ĉisto smicanje – Glavni normalni naponi


70

10.12 Ĉisto smicanje – Deformacije

Osvrnimo se na kvadratni elementarni deo ploĉe izloţen ĉistom smicanju.

Deformisanje navedenog elementa moţemo definisati:

Promenom pravog ugla izmeĊu meĊusobno normalni strana, za ugao klizanja γ i

Promenom duţina dijagonala d za Δd.


71

Pri ĉistom smicanju u ravnima zaokrenutim za =±/4 u odnosu na uoĉeni poduţni pravac, pojaviće se samo normalni naponi intenziteta .

U jednom pravcu je zatezanje, a u drugom pritisak (ovo jednu dijagonalu izduţuje, a drugu skraćuje).

U ravnima najvećeg napona smicanja nema normalnih napona. Ovakvo stanje naprezanja naziva se ĉisto smicanje.

Prisetimo se sada specijalnog sluĉaja dvoosnog naprezanja

Hukov zakon koji povezuje deformacije i napone za ovaj sluĉaj dvoosnog naprezanja glasi

yx


72

Na osnovu ove

slike i ovako

definisnog

Hukovog zakona

moţemo zakljuĉiti

da kod ĉistog

smicanja vaţi

Modul klizanja G je fiziĉka karakteristika materijala koja povezuje napon smicanja i odgovarajuću ugaonu deformaciju.

Isti se izraţava u MPa ili drugim jedinicama kao i modul elastiĉnosti E.

Zavisnost napona smicanja od ugaone deformacije moţe se dobiti eksperimentalno.

-γ kriva koja se pri tome dobije, sliĉna je - krivoj (inţenjerskoj naonsko-deformacionoj krivoj) sa kojom smo se ranije upoznali.

Za dobijanje -γ krive konkretnog metalnog materijala koriste se tanke cevi koja se izlaţu uvijanju momentom Mt .

0

1

xy

yx E

1E


73

10.13 Deformacije i Hukov zakon pri ravanskom stanju napona

Deformacije pri ravanskom stanju napona odredićemo na odnovu saznanja o deformacijama pri dvoosnom naprezanju i ĉistom smicanju.

To isto vaţi i za Hukov zakon.

Ravansko stanje napona – Poduţna deformacija x

x Ex

Ey

0

0y Ex

E

y


74

Ravansko stanje napona – Poduţna deformacija y

Ravansko stanje napona – Ugaona deformacija γ

Iz prethodnog proizilazi da Hukov zakon koji povezuje deformacije i napone kod ravanskog stanja napona, ima oblik

Hukov zakon koji povezuje napone i deformacije kod ravanskog stanja napona.

G 0 0

G

E

E

xy

xyy

yxx

2

2

1

1

G

E

E

xy

yxy

yxx

1

1


75

10.14 Ravansko stanje napona – Transformacija deformacija pri rotaciji koordinatnog sistema

Sabiranjem prva dva izraza dobijamo prvu invarijantu deformacija

Izrazi su napisani na osnovu sliĉnosti sa transformacionim izrazima za napone.

Ako prva dva izraza pomnoţimo, a treći kvadriramo i rezultate tih operacija oduzmemo, dobićemo drugu invarijantu deformacija

I ovi izrazi su napisani na osnovu sliĉnosti sa transformacionim izrazima za napone.

1Iyxyx

2

22

21

21 Ixyyxxyyx

222,1 2

121

xyyxyx

yx

xytg

2


76

10.15 Prostorno stanje napona i deformacija

U najvećem broju sluĉajeva imamo posla sa prostornim stanjem napona i deformacija.

Prostorno stanje napona i deformacija za Dekartov koordinatni sistem definišu odgovarajući tenzori,

Tenzor napona

Tenzor deformacija

Hukov zakon sluĉaju prostornog stanja napona i deformacija, na osnovu onoga što smo spoznali kod ravanskog stanja napona, glasi

Ovaj oblik Hukovog zakona povezuje

deformacije i napone.

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

21

21

21

21

21

21

G

G

G

E

E

E

zxzx

yzyz

xyxy

yxzz

xzyy

zyxx

1

1

1


77

Hukov zakon koji povezuje napone i deformacije (temperatura nije uzeta u obzir)

Hukov zakon u sluĉaju troosnog naprezanja (tri ose su pravci glavnih normalnih napona)

zxzx

yzyz

xyxy

yxzz

xzyy

zyxx

GGG

E

E

E

121 1

121 1

121 1

G

G

G

E

E

E

zxzx

yzyz

xyxy

yxzz

xzyy

zyxx

1

1

1

000

1211

1211

1211

31

23

12

2133

1322

3211

E

E

E


78

10.16 Prostorno stanje napona i deformacija – Uticaj temperature

Za odreĊivanje glavnih normalnih napona 1 , 2 i 3 , za sluĉaj troosnog stanja napona, koristi se kubna jednaĉina

Invarijante napona

Glavni tangencijalni naponi

10.17 Ravansko stanje deformacija

Ravansko stanje deformacija se javlja kod tela sa velikom dimenzijom u pravcu jedne ose.

Primer su kontinualno opterećeni gredni nosaĉi.

Ravansko stanje deformacija imamo na mestima dovoljno uidaljenim od oslonaca.

G

G

G

TE

TE

TE

zxzx

yzyz

xyxy

yxzz

xzyy

zyxx

1

1

1

zxzx

yzyz

xyxy

yxzz

xzyy

zyxx

GGG

TEE

TEE

TEE

21

121 1

21

121 1

21

121 1

0322

13 III

2223

2222

1

2 xyzzxyyzxzxyzxyzyx

zxyzxyxzzyyx

zyx

I

I

I

232

23

2

3113

221

12


79

Hukov zakon za ravansko stanje deformacija:

Hukov zakon za prostorno stanje deformacija:

G

E

E

xyxy

xzyy

zyxx

1

1


80

10.18 Elipse, elipsoidi i Morovi krugovi napona i deformacija

Grafiĉko predstavljanje stanja napona i stanja deformacija u proizvoljnoj taĉki opterećenog deformabilnog tela, vrši se elipsama, elipsoidima i Morovim krugovima.

Elipsama predstavljamo dvodimenzionalne sluĉajeve.

Elipsoidima predstavljamo trodimenzionalne sluĉajeve.

Morovim krugovima moguće je predstaviti jednodimenzionalne, dvodimenzionalne i trodimenzionalne sluĉajeve.

10.19 Morov krug napona u sluĉaju ravanskog stanja napona

Poći ćemo od izraza za transformaciju napona pri rotaciji koordinatnog sistema:

2cos2sin21

2sin2cos21

21

xyyxxy

xyyxyxx

2

2cos2cos2sin2sin21

2sin2cos2sin2cos21

21

2222

2

22222

xyxyyxyxxy

xyxyyxyxyxx

2222

21

21

xyyxxyyxx


81

10.20 O predznacima napona

O predznacima napona postoji dogovor (konvencija).

Razlikovaćemo dve konvencije o predznacima.

Jednu koja se odnosi na analitiĉki i drugu koja se odnosi na grafiĉki metod prikazivanja napona.


82

Sada za primer, grafiĉki, pomoću Morovog kruga, predstavimo naponsko stanje stanje u nekoj taĉki središnje površine ploĉe.

Neka su za kvadratni elementarni deo poznati normalni i tangencijalni naponi σx , σy i τ.


83

Za odreĊivanje pravaca glavnih normalnih napona σ1 i σ2 koristimo pol P.


84

Pravci glavnih normalnih napona σ1 i σ2 ?

Ugao 21 i 1 ?


85

Izaberimo sada proi-zvoljnu taĉku H.

Pravac napona σH ? Naponi σH i H ?


86

Sliĉan Morovom krugu napona je Morov krug deformacija.

Kod Morovog kruga napona u σ-τ koordinatnom sistemu, ispod σ ose se crtaju tangencijalni naponi koji obrću suprotno kazaljci na ĉasovniku, a iznad tangencijalni naponi koji obrću u smeru kazaljke na ĉasovniku.

Kod Morovog kruga deformacija u ε-(1/2) sistemu, pozitivna ugaona deformacija se nanosi iznad ε ose, a negativna ispod.

Glavni naponi kod ravanskog stanja napona su ose elipse definisane jednaĉinom

Glavni naponi kod prostornog stanja napona su ose elipsoida definisanog jednaĉinom

11. TEHNIĈKO SMICANJE

Ĉisto smicanje je u praksi vrlo tešo ostvariti.

Isto je skoro uvek je povezano sa savijanjem.

U većini sluĉajeva savijanje je dominantno.

Ponekad je situacija obrnuta.

Pri seĉenju štapa, osim smicanja, javlja se i savijanje momentom M, stim što je smicanje jaĉe izraţeno.

122

2

21

2

123

2

22

2

21

2


87

Sliĉnu situaciju imamo i u sluĉaju probijanja otvora na limovima.

Probleme tehniĉkog smicanja imamo kod:

Zakovanih veza (sa jednoseĉnim ili višeseĉnm zakivcima),

Zavarenih veza,

Osovinica preko kojih se prenosi vuĉna sila,

Zavrtnjeva preko kojih se prenosi obrtni moment.

11.1 Zakovane veze


88

11.2 Zavarene veze


89

11.3 Osovinice preko kojih se prenosi vuĉna sila

11.4 Zavrtnjevi preko kojih se prenosi obrtni moment


90

12. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE POPREĈNIH PRESEKA

Popreĉni presek je geometrijska figura (slika) u preseĉnoj ravni koja je normalna na osu štapa ili grede, odnosno srednju površinu ploĉe ili ljuske.

U svrhu analize razliĉitih vidova naprezanja linijskih i površinskih nosećih elemenata, potrebno je poznavati geometrijske karakteristike popreĉnih preseka.

Što se tiĉe geometrijskih karakteristika popreĉnih preseka obradićemo:

Površinu,

Statiĉki moment,

Aksijalni moment inercije (tromosti),

Centrifugalni moment inercije i

Polarni moment inercije,

Posmatraćemo proizvoljni popreĉni presek u xy ravni Dekartovog koordinatnog sistema.

Površina popreĉnih preseka

Površina proizvoljnog popreĉnog preseka definisana je izrazom

Dimenzija površine je

NAPOMENA: Površine popreĉnih preseka se koriste pri rešavanju problema aksijalnog naprezanja i tehniĉkog smicanja.

A

dAA


91

12.1 Statiĉki momenti

Statiĉki momenti proizvoljnog popreĉnog preseka, za ose x i y, definisani su izrazima

Dimenzija ovih momenata je

Vezu statiĉkih momenata popreĉnog preseka i koordinata njegovog teţišta xT i yT definišu izrazi

Za sluĉaj da su ose x i y ujedno i teţišne ose

Ay

Ax

dAxS

dAyS


92

Statiĉki moment popreĉnog preseka, za posmatranu osu, predstavlja geometrijsku karakteristiku jednaku proizvodu veliĉine površine popreĉnog preseka i rastojanja njegovog teţišta od posmatrane ose.

12.2 Aksijalni momenti inercije

Aksijalni momenti inercije proizvoljnog popreĉnog preseka, za ose x i y, definisani su izrazima

Dimenzija ovih momenata je

Aksijalni moment inercije popreĉnog preseka, za posmatranu osu, predstavlja geometrijsku karakteristiku jednaku proizvodu površine popreĉnog preseka i kvadrata rastojanja njegovog teţišta od posmatrane ose.

Ay

Ax

dAxI

dAyI

2

2


93

12.3 Centrifugalni moment inercije

Centrifugalni moment inercije proizvoljnog poprečnog

preseka, za par upravnih osa x i y, definisan je izrazom

Dimenzija ovog momenata je

Centrifugalni moment inercije popreĉnog preseka, za par posmatranih upravnih osa, predstavlja geometrijsku karakteristiku jednaku proizvodu površine popreĉnog preseka i rastojanja njegovog teţišta od para posmatranih upravnih osa.

Centrifugalni moment inercije za presek sa makar jednom osom simetrije, jednak je nuli.

A

xy dAxyI

A

xy dAxyI

][][ 42 LLLL

000

xyI

21

21

21

xxyy

dAdAdA

0 xyxy dII

0222111 dAyxdAyxdI xy


94

12.4 Polarni moment inercije

Polarni moment inercije površine proizvoljnog popreĉnog preseka (moment inercije za pol O) definisan je izrazom

Polarni moment inercije površine popreĉnog preseka, za posmatrani pol, predstavlja geometrijsku karakteristiku jednaku zbiru aksijalnih momenata inercije za ose kojima je posmatrani pol koordinatni poĉetak (ishodište).

12.5 Opšti izraz za geometrijske karakteristike popreĉnih preseka

Geometrijske karakteristike koje smo razmatrali generalno moţemo definisati momentom (m+n)-tog reda datog u obliku:


95

12.6 Pravilo o sabiranju geometrijskih karakteristika

Pravilo o sabiranju geometrijskih karakteristika odnosi se na sloţene popreĉne preseke.

Za primer ćemo posmatrati jedan sloţeni presek.


96

Ako se sloţeni popreĉni presek sastoji od n pojedinaĉnih delova onda oznaka za sabiranje u izrazima sa prethodnog slajda dobija oblik

Za oslabljen popreĉni presek, nekad je prikladnije geometrijske karakteristike izraziti kao razliku geometrijskih karakteristika pojedinih delova.

12.7 Promena momenata inercije pri translaciji koordinatnog sistema

Neka su u xy koordinatnmom sistemu poznati momenti inercije Ix , Iy , Ixy .

Potraţimo momente inercije I , I , I u krdinatnom sistemu kojem su ose paralelne sa osama xy koordinatnog sistema (koji je nastao translacijom xy koordinatnog sistema).

n

i 1


97

Izrazi za momente inercije I, I i I proizvoljnog popreĉnog preseka, u koordinatnom sistemu, po definiciji glase


98

Izraz za polarni moment inercije I01, proizvoljnog popreĉnog preseka u koordinatnom sistemu, po definiciji glasi

Do izraza kojim je definisana promena polarnog momenta inercije pri translaciji koordinatnog sistema

xy SbSaArII 22001

xy

xyyx

yyxx

SbSaArI

SbSaAbaII

SaAaISbAbII

2

2

22

20

22

2201


99

Ako se saglasno ovoj slici koordinatni poĉetak O podudara sa teţištem T, onda vaţi:

Momenti inercije popreĉnog preseka, za osu koja ne prolazi kroz njegovo teţište, jednaki su zbiru momenata inercije za paralelnu teţišnu osu i poloţajnih momenta inercije.

Ovo pravilo o raĉunanju momenta inercije, po autoru Štajneru, zove se Štajnerovo pravilo ili Štajnerov teorem.


100

12.8 Promena momenata inercije pri rotaciji koordinatnog sistema

Neka su u xy koordinatnmom sistemu poznati momenti inercije Ix , Iy , Ixy .

Potraţimo momente inercije Ix ,Iy ,Ixy uxy krdinatnom sistemu kojem su ose paralelne sa osama xy koordinatnog sistema (koji je nastao translacijom xy koordinatnog sistema).

Veza koordinata taĉaka, uxy i xy kordinatnim sistemima, prema slici levo, definisana je izrazima


101

Sliĉno kao kod napona, sabiranjem prva dva izraza dobijamo prvu invarijantu momemata inercije

Ponov, sliĉno kao kod napona, ako prva dva izraza pomnoţimo, a treći izraz kvadriramo i rezultate tih operecija oduzmemo, dobićemo drugu invarijantu momenata inercije

10 IIIII yxyx

222 xyyxxyyx IIIIII


102

12.9 Ekstremne vrednosti aksijalnih momenata inercijeIx iIy

Ekstremne vrednosti aksijalnih momenata inercijeIx iIy odredićemo iz uslova da je prvi izvod po υ funkcija

jednak nuli (0).

proizilazi da se ekstremne vrednosti aksijalnih momenata inercije (max i min) odnose na koordinatni sistem koji je u odnosu na xy koordinatni sistem zarotiran za ugao .

12.10 Kojoj od ekstremnih vrednosti odgovara = ?

Odgovor na ovo pitanje dobićemo na osnovu analize drugih izvoda po , ovih funkcija

2sin2cos21

21

2sin2cos21

21

xyyxyxy

xyyxyxx

IIIIII

IIIIII

2sin2cos21

21

2sin2cos21

21

xyyxyxy

xyyxyxx

IIIIII

IIIIII

dd

02cos22sin

xyyxyx III

dId

dId

yx

xy

III

tg

2

2

2sin2cos21

21

2sin2cos21

21

xyyxyxy

xyyxyxx

IIIIII

IIIIII


103

PoĊimo od ovog što već imamo

U ovom izrazu ćemo razlikovati dva sluĉaja:

Rotacijom x ose za ugao dobija se osax za koju aksijalni moment inercije Ix ima maximalnu (max) vrednost.

2cos22sin xyyxyx III

dId

dId

dd

02cos42sin22

2

2

2

xyyxyx III

dId

dId

yx

xyyxyx

IIIII

dId

dId

2cos42 22

2

2

2

xy

yx

IIII

)2

)1


104

Rotacijom y ose za ugao dobija se osay za koju aksijalni moment inercije Iy ima maximalnu (max) vrednost.

12.11 Koje izraze koristiti za odreĊivanje ekstremnih vrednosti aksijalnih momenata inercije ?

Ovo su izrazi za odreĊivanje ekstremnih vrednosti aksijalnih momenata inercije.


105

12.12 Maksimalna vrednost centrifugalnog momenata inercijeIxy

Maksimalnu verednost centrifugalnog momenta inercijeIxy odredićemo iz uslova da je prvi izvod po υ , funkcije

jednak nuli (0).

Odavde zakljuĉujemo da ćemo maksimalnu vrednost momenta inercije Ixy imati za neki ugao =.

12.13 Koji izraz koristiti za odreĊivanje maksimalnog centrifugalnog momenta inercije ?

2cos2sin21

xyyxxy IIII

2sin22cos221

xyyxxy III

dId

xy

yx

III

tg2

2

2cos2sin21

xyyxxy IIII

dd

02sin22cos

xyyxxy III

dId


106

Ekstremne vrednosti aksijalnih momenata inercije jesu vrednosti glavnih momenata inercije I1,2 kojima odgovaraju glavne ose inercije (1) i (2).

Ako su ose x i y težišne ose, onda se moţe govoriti i o glavnim težišnim momentima inercije i odgovarajućim glavnim težišnim osama inercije i tada imamo:

Za par glavnih teţišnih osa inercije centrifugalni moment inercije jednak je nuli (0).

222,1minmax, 4

21

21

xyyxyx IIIIIII

22max, 4

21| xyyxxyxy IIIII

yx II )1

012

2min

1max

II

III

III

xy

y

x

xy II )2

012

1max

2min

II

III

III

xy

y

x


107

12.14 Morov krug inercije

Promenu momenata inercije pri rotaciji koordinatnog sistema moguće je predstaviti grafiĉki korišćenjem Morovog kruga inercije (tromosti).

Morov krug inercije sliĉan je Morovom krugu napona i Morovom krugu deformacija.

Tvrdnju o sliĉnosti pozkrepićemo sliĉnošću odgovarajućih izraza za napone i momente inercije.

222

221

421

21

421

21

xyyxyx

xyyxyx

IIIIII

IIIIII

222

221

421

21

421

21

xyyxyx

xyyxyx

22max 4

21

xyyx

22max , '' 4

21

xyyxyx IIII

121 Iyx

121 I yx IIII


108

ZAPAŢANJE:

PotvrĊuje se sliĉnost izraza za glavne napone i glavne momenata inercije !

Morovog kruga inercije se crta u Ix/Iy – Ixy koordinatnom sistemu.

Iznad Ix/Iy ose nanose se pozitivne vrednosti momenta Ixy , a ispod negativne.

Glavne teţišne momente inercije i glavne teţišne ose inercije odreĊujemo na potpuno identiĉan naĉin kao što odreĊujemo glavne napone i pravce glavnih napona.

12.15 Polupreĉnici inercije

Polupreĉnik inercije je veliĉina koja se odreĊuje pomoću izraza

Dimenzija polupreĉnika inercije je: 𝑳

Za teţišne ose x i y: Za glavne teţišne ose (1) i (2):

12.16 Elipsa inercije

Elipsa inercije prostire se u pravcu prostiranja površine popreĉnog preseka.

Jednaĉina navedene elipsa je oblika:

AIi 0i

AI

i

AIi

yy

xx

min2

2

max1

1

iAIi

iAIi


109

12.17 Dodatne geometrijske karakteristike popreĉnih preseka

Ostalo nam je još da obradimo dodatne geometrijske karakteristike popreĉnih preseka, ito:

Aksijalni otprni moment (otporni moment za osu) i

Polarni otporni moment.

12.18 Aksijalni otporni momenti za ose x i y

Aksijalni otporni momenti Wx i Wy za ose x i y koriste se pri rešavanju problema savijanja.

maxyIw x

x maxxI

w yy


110

12.19 Polarni otporni moment za pol O

Polarni otporni moment W0 koiste se pri rešavanju problema uvijanja.

ZADATAK 1

Odrediti geometrijske karakteristike popreĉnih preseka datih na slici.

max

00

Iw


111

ZADATAK 2

Na slici je prikazana je geometrijska fugura.

1. Odrediti vrednosti momenata inercije Ix , Iy i Ixy za teţišne ose x i y.

2. Odrediti vrednosti i pravce glavnih teţišnih momenta inercije.

3. Nacrtati pravce glavnih teţišnih momenata inercije i elipsu inercije.


112

13. UVIJANJE

Problem uvijanja se javlja kod mašinskih elemanata koji prenose snagu obrtanjem.

Element oblika štapa koji prenosi snagu obrtanjem zove se vratilo.

Dakle, vratila su opterećen na uvijanje.

Element oblika štapa, koji se obrće a na prenosi snagu, već je napregnut na savijanje, zove se osovina.

Izraz za snagu koja se prenosi obrtanjem glasi:

P – Snaga u [W]

Mt – Obrtni (torzioni) moment (moment uvijanja) u [Nm]

- Ugaona brzina u [rad∙s-1]

Ugaona brzina ω zavisi od uĉestanosti obrtanja n i iznosi:

n – Uĉestanost obrtanja u [s-1]

13.1 Konvencija o predznaku momenta uvijanja

Moment uvijanja (torzije) Mt je pozitivan (+) ako mu je smer suprotan smeru kazaljke na ĉasovniku.

Moment uvijanja Mt je negativan (-) ako mu se smer podudara sa smerom kazaljke na ĉasovniku.

Predznak o momentu uvijanja UvoĊenjem ovakvih oznaka moguće je uspostaviti sliĉnost sa predznacima normalnih preseĉnih sila kod aksijalno napregnutih štapova.

U popreĉnom preseku štapa napregnutog na uvijanje, pojaviće se samo moment uvijanja (torzije), a sve ostale preseĉne sile biće jednake su nuli

tMP

n 2


113

Moment uvijanja moţe biti:

1) Koncentricani Mt (deluje u ravni

upravnoj na poduţnu osu štapa) i

2) Kontinualni m (konstantan po duţini

štapa ili je u funkciji od koordinate z)

13.2 Uvijanje štapova kruţnog popreĉnog preseka

Da bi se problem uvijanja štapova kruţnog popreĉnog preseka lakše shvatio, za primer ćemo uzeti štap sa uoĉenom izvodnicom AA’.

Štap kruţnog popreĉnog preseka sa uoĉenom izvodnicom AA’

000

000

t

y

x

y

x

MMMNTT


114

Ako posmatrani štap napregnemo na uvijanje on će se deformisati.

Izvodnica AA’ će zauzeti poloţaj AA”.

Deformacija štapa je definisana uglom klizanja (za izvodnicu AA’ ugao klizanja je R jer se ista nalazi na omotaĉu valjka polupreĉnika R).

Ugao klizanja izaziva rotaciju kraja štapa definisanu priraštajem d, ugla uvijanja .

13.3 Uvijanjem štapova kruţnog popreĉnog preseka – Pretpostavke

Da bi se rešili problemi uvijanja štapova kruţnog popreĉnog preseka, uvedene su sljedeće pretpostavke:

Pretpostavka o naponima,

Pretpostavka o deformacijama i

Pretpostavka o proširenom Hukovom zakonu.

Pretpostavka o naponima

U popreĉnom preseku štapa izloţenog samo uvijanju imamo napone smicanja.

Svi ostali naponi jednaki su nuli (0).

00

00

z

z

zy

zx


115

Na štapu sa kruţnim popreĉnim presekom, izloţenom uvijanju uoĉimo zamišljeni element duţine dz.

Iz uoĉenog zamišljenog elementa, na udaljenosti od ose, izdvojimo zamišljeni cevni element debljine d, a zatim iz njega izdvojimo zamišljeni elementarni deo.


116

Iz pretpostavke da se na popreĉnom preseku štapa, pri delovanju momenta uvijanja, pojavljuju samo naponi smicanja, na udaljenosti veliĉina ovih napona jednaka .

Pretpostavka o deformacijama

Popreĉni preseci štapa kruţnog popreĉnog preseka, ravni i upravni na osu štapa pre delovanja momenta uvijanja, ostaju ravni i upravni na osu štapa i posle delovanja momenta uvijanja.

Promena duţina svih izvodnica štapa pri delovanju momenta uvijanja moţe se zanemariti (izvodnice ostaju pribliţno iste i posle delovanja momenta uvijanja).

Pretpostavka o proširenom Hukovom zakonu

Ako za aksijalno napregnut štap vaţi Hukov zakon u obliku

onda za štap izloţen uvijanju vaţi prošireni Hukov zakon formulisan na naĉin

13.4 Uvijanjem štapova kruţnog popreĉnog preseka – Jednaĉine ravnoteţe

Podsetimo se jednaĉina ravnoteţe u sluĉaju opšteg opterećenja linijskih mosećih elemenata.

E


117

Jednaĉine ravnoteţe kod štapova kruţnog popreĉnog preseka koji su opterećeni na uvijanje imaju oblik

13.5 Uvijanjem štapova kruţnog popreĉnog preseka – Veza izmeĊu ugla klizanja i ugla uvijanja

Zamislimo da smo iz štapa izloţenog uvijanju izdvojili neki unutrašnji valjak duţine dz i polupreĉnika .

Uoĉena izvodnica AB ovog unutrašnjeg valjka zbog deformisanja se premesti u poloţaj AB1.

A Atzxzyz

Ayz

Ayzy

Axz

Axzx

MydAxdANdA

MxdATdA

MydATdA

)6 )3

)5 )2

)4 )1


118

13.6 Uvijanje štapova kruţnog popreĉnog preseka – Relativni ugao uvijanja


119

13.7 Uvijanje štapova kruţnog popreĉnog preseka – Ugao uvijanja

U svrhu izvoĊenja izraza za odreĊivanje ugla uvijanja poći ćemo od izraza za relativni ugao uvijanja

dz

zdzIG

zMz t

0

'


120

Ugao uvijanja na duţini z

Za ukupnu duţinu štapa ugao uvijanja iznosi

dzzIG

zMdzzzd t

0

'

zt

z

dzzIG

zMdzzz0 00

'

lt

l

dzzIG

zMdzzlz0 00

'


121

13.8 Uvijanje štapova kruţnog popreĉnog preseka – Naponi smicanja

Za izvoĊenje izraza pomoću kojeg ćemo odrediti napone smicanja štapa kruţnog popreĉnog preseka, koji je napregnut na uvijanje, iskoristićemo izraz

Uproizvoljnom preseku štapa maksimalni napon smicanja iznosiće

Najveća vradnost napona smicanja na rasponu štapa napregnutog na uvijanje je na mestu za koje vaţi

Za

Korišćenjem izraza dolazi se do raspodele napona smicanja po popreĉnom preseku.

zGGzz',

zIGzMz t

0

'

zIzMz t

z0

,

zWzMz t

z0

max

max0max,

zWzM t

z

constIzI 00 constzW 0

0

max,max, W

M tz

zIzMz t

z0

,


122

13.9 Dimenzionisanje vratila kruţnog i kruţno-prstenastog popreĉnog preseka

Dimenzionisanje vratila kruţnog i kruţno-prstenastog popreĉnog preseka vrši se:

Prema dozvoljenom naponu smicanja (τd) i

Prema dozvoljenom relativnom uglu uvijanja (’d).

Dimenzionisanje prema dozvoljenom naponu smicanja

Za ovaj kriterijum dimenzionisanja vaţi:

Za vratilo kruţnog popreĉnog preseka

(puno vratilo) polarni otporni

moment je: Potreban preĉnik punog vratila

d

t

zWzMz

max0max

d

t zMzW

0

d

t zMd

16

3

3

16

d

t zMd

16

3

0dW


123

Za vratilo kruţno-prstenastog popreĉnog preseka (šuplje vratilo) polarni otporni moment je:

Potreban preĉnik šupljeg vratila:

Odnos unutrašnjeg du i vanjskog d = dv preĉnika šupljeg vratila

Dimenzionisanje prema dozvoljenom relativnom uglu uvijanja

Za ovaj kriterijum dimenzionisanja vaţi:

Za vratilo kruţnog popreĉnog preseka (puno vratilo) polarni moment inercije je:

Potreban preĉnik punog vratila:

Za vratilo kruţno-prstenastog popreĉnog preseka (šuplje vratilo) polarni moment inercije je:

d

t zMzW

0 d

t

zWzMz

max0max

d

t zMd

43

116

43

0 116

dW

3 41 16

d

t zMd

dd

dd u

v

u

'

max0max

'

dt

zIGzMz

'0 d

t

GzMzI

'

4

32 d

t

GzMd

32

4

0dI

4 'd

32 G

zMd t

'

max0max

'

dt

zIGzMz

'0 d

t

GzMzI

'

44

1

32 d

t

GzMd

44

0 132

dI


124

Potreban preĉnik šupljeg vratila:

13.10 Provere vratila

Ĉesto je za konkretno vratilo potrebnmo izvršiti proveru, ito:

Proveru ĉvrstoće,

Proveru krutosti i

Proveru nosivosti.

Provera čvrstoće

τd – Dozvoljeni (dopušteni) napon smicanja

Za A=const

Provera krutosti

τd – Dozvoljeni (dopušteni) relativni ugao uvijanja

Za I0=const

Provera nosivosti

Prema dozvoljenom naponu smicanja τd

Prema dozvoljenom relativnom uglu uvijanja ’d

4 4'd 1

32

G

zMd t

d

tz zW

zMz

max0max

dt

WM

0

max,

dt

zIGzM '

max0

max'

dt

IGM '

0

max,max

'

dt WzM 0

dt IGzM '0


125

13.11 Uštede u materijalu korišćenjem šupljih vratila

Podsetomo se da je napon smicanja z(z), pri uvijanju vratila, linearna funkcija od polupreĉnika njegovog kruţnog popreĉnog preseka.

Raspodela napona smicanja pri uvijanju vratila kruţnog popreĉnog preseka prikazana je grafiĉki.

Grafiĉki prikaz raspodele napona smicanja smicanja pri uvijanju vratila kruţnog popreĉnog preseka

ZAPAŢANJE: Unutrašnji deo vratila je manje napregnut na uvijanje od spoljašnjeg dela.

IDEJA: Uz malo povećanje spoljašnjeg preĉnika i primenu kruţno-prstenastog popreĉnoh preseka ostvariti uštedu u materijalu.

Posmatrajmo dva vratila od istog materijala, kruţnog i kruţno-prstenastog popreĉnog preseka !

zIzMz t

z0

R 0


126

Kružni i kružno-prstenasti poprečni presek vratila

Zone (oblasti) iskorišćenosti materijala kod punih vratila ?

Razmotrimo sluĉaj vratila V1 kruţnog i vratila V2 kruţno-prstenastog popreĉnog preseka koja su od istog materijala, iste duţine i istog momenta uvijanja Mt.


127

Da bi vratila V1 i V2 imala istu nosivost, potrebno je da im maksimalni naponi smicanja imaju istu vrednost.

Koristeći oznake na slici sa prethodnog slajda odredimo odnose:

Preĉnika: Teţina: Uglova uvijanja:

Odnos preĉnika (kriterijum dozvoljenog napona smocanja d !

Odnos teţina (prema izrazima za izraĉunavanje teţina)!

21 maxmax VV

2

1

dd

2

1

QQ

2

1

3 4

3 4d

3

d

2

1 1

1 16

16

t

t

M

M

dd

21 dd

3

2

dd

222

111

2

1

lAlA

QQ

222

21

23

22

21

23

22

21

2

1

2

1

144

4

d

ddd

ddd

d

AA

QQ

21

21

ll


128

1 , 2 – Specifiĉne teţine vratila V1 i V2

l1 , l2 – Duţine vratila V1 i V2

A1 , A2 – Površine popreĉnih preseka vratila V1 i V2

ZAKLJUĈAK: Sa šupljim vratilom je ostvarena ušteda u materijalu.

Odnos uglova uvijanja (prema izrazima za izraĉunavanje uglova uvijanja) !

2

221

2

1

1

ddQQ

3

2

22

332

2222

2

3 24

2

1

11

111

11

QQ

3 4

2

1 1 dd

21 QQ

2'2

1'

1

2

1

ll

1,0

2,0

2,0

1,0

2

1

II

IGMIG

M

t

t

32

132

41

442

2

1

d

d

21

2,0

'1

1,0

'1

llIG

MIG

M

t

t

442

2,0

41

1,0

132

32

dI

dI

1

2

3 42

1

11

dd


129

ZAKLJUĈAK: Uz uštedu materijala, kod šupljeg vratila imamo i veću krutost.

13.12 Problemi uvijanja štapova

Problemi uvijanja koje ćemo rešavati odnose se na:

Štapove kruţnog i kruţno-prstenastog popreĉnog preseka (površina preseka A=const),

Štapove kruţnog i kruţno-prstenastog popreĉnog preseka (površina preseka A≠const).

Sliĉno kao i problemi aksijalnog naprezanja štapova i problemi uvijanja štapova mogu biti:

Statiĉki odreĊeni i

Statiĉki neodreĊeni.

Primer statiĉki odreĊenog i statiĉki neodreĊenog štapa opterećenog na uvijanje

44

1

2

2

1 1

dd

3 4

2

1 1 dd

3 43

4

344

34

3 44

4

2

1

11

11

11

1

1

21


130

Statički neodreĎen problem uvijanja – Metod sila


131

ZADATAK 1

Na slici je prikazan štap opterećen na uvijanje.

1. Odrediti preseĉne momente uvijanja Mt(z), relativne uglove uvijanja ’(z), uglove uvijanja (z), maksimalne napone smicanja max(z) i nacrtati odgovarajuće dijagrame.

2. Prema dozvoljenom naponu na uvijanje d = 5 kN/cm2 i prema dozvoljenom relativnom uglu uvijanja ’d= 1,5 /m, odrediti potrebne preĉnike štapa na delovima i (usvojene vrednosti preĉnika zaokruţiti na cele mm).


132

14. SAVIJANJE

U posebnu grupu mašinskih elemenata opterećenih na savijanje spadaju:

Vratla i

Osovine.

Vratila su u opštem sluĉaju, osim na savijanje, opterećena još na zatezanje (pritisak) i na uvijanje.

Prema principu nezavisnosti, svako od opterećenja, moţe se razmatrati odvojeno.

Sa zatezanjem (pritiskom), odnosno sa aksijalnim ili poduţnim opterećenjem (naprezanjem) već smo se upoznali.

Upoznali smo se i sa naprezanjem na uvijanje.

Aksijalno naprezanje i naprezanje na uvijanje odnosili su se na štapove kao linijske noseće elemente.

Naprezanje na savijanje ili samo, savijanje, odnosi se na linijske noseće elemente koji se zovu grede (gredni nosaĉi).

Poduţne ose štapova su pri aksijalnom naprezanju ili pri naprezanju na uvijanje ostajale nepromenjene.

Ravne grede sa svojim poduţnim osama, pri savijanju se zakrivljuju.

Savijanje se moţe podeliti na:

Ĉisto savijanje i

Savijanje silama.


133

14.1 Ĉisto savijanje

U svrhu razumevanja ovog problema, poći ćemo od opšteg sluĉaja opterećenja grede.

Izabraćemo jedan popreĉni presek grede (izabrani popreĉni presek).

Iz grede ćemo izdvojiti deo koji sadrţi izabrani popreĉni presek, a zatim ćemo posmatrati napone na tom preseku.

Naponi na izabranom popreĉnom preseku grede pri opštem sluĉaju opterećenja

Na izabranom popreĉnom preseku grede, pri opštem sluĉaju opterećenja , imamo napone:

Normalni napon tangencijalne napone

14.2 Ĉisto savijanje – Pretpostavke

U svrhu rešavanja problema ĉistog savijanja, kao i kod drugih vidova naprezanja, usvojene su izvesne pretpostavke, ito:

Pretpostavka o naponima,

Pretpostavka o deformacijama i

Pretpostavka o vezi napona i deformacija.

Čisto savijanje – Pretpostavka o naponima

U sluĉaju ĉistog savijanja grede, normalni napon je razliĉit od nule, dok su tangencijalni naponi jednaki nuli.

z zzyzx , ,


134

Na osnovu pretpostavke o naponima, jednaĉine ravnoteţe za izabrani popreĉni presek izdvojenog grednog dela, glase:

Čisto savijanje – Pretpostavka o deformacijama

Jednostavnosti radi, posmatraćemo gredu konstantnog pravougaonog popreĉnog preseka (A=const).

Zamislimo da sve strane grede sadrţe ortogonalnu mreţu linija.

Greda se, kako je već reĉeno, pri savijanju zakrivljuje, pa joj se na jednoj strani poduţna vlakna izduţuju, a na drugoj skraćuju.

Ak se poduţna vlakna na jednoj strani savijene grede izduţuju, a na drugoj skraćuju, logiĉno je zakljuĉiti da u savijenoj gredi postoje vlakna koja nisu promenila svoju duţinu.

Ova vlakna ze sovu neutralna vlakna, a odgovarajuća površina koja ih sadrţi, neutralna površina (neutralna ravan pre savijanja).

Trag neutalne površine na yz ravni predstavlja neutralnu liniju n-n.

Vratimo se na gredu sa ortogonalnom mreţom linija i pogledajmo šta se dešava sa popreĉnim presecima.

0z 0 zzyzx

A Azxzyz

Az

Azy

Axz

Azx

ydAxdAdA

xdAdA

MydAdA

0 )6 0 )3

0 )5 0 )2

0 )4 0 )1


135

Popreĉni preseci grede opterećene na ĉisto savijanje ostaju ravni !!!

Popreĉni preseci grede pre (gore) i posle ĉistog savijanja (dole)

Iz ĉinjenice da popreĉni preseci grede izloţene ĉistom savijanju, ostaju ravni, sledi

Na izolovanm grednom delu duţine dz, u ravni yz, posmatrajmo vlakno a-a na gornoj strani grede, vlakno b-b na donjoj strani grede, neutralno vlakno n-n i vlakno c-c na udaljenost y.

Izolovani gredni

element posle ĉistog savijanja

0z 0 zyzx

dddy

dzdz

z

yKyz


136

- Radijus krivine (zakrivljenosti)

K – Krivina (zakrivljenost) jednaka reciproĉnoj vrednosti radijusa krivine (zakrivljenosti)

Čisto savijanje – Pretpostavka o vezi napona i deformacija

Vezu napona i deformacija u sluĉaju ĉistog savijanja grednih nosaĉa, definiše Hukovog zakona

Kod ĉistog savijanja

Normalni napon σz zavisi samo od koordinate y

Vratimo se ponovo na jednaĉine ravnoteţe

Normalni napon σz srećemo u trećoj, ĉetvrtoj i petoj jednaĉini.

Pod kojim će uslovima pomenute jednačine biti zadovoljene?

zz E

zyy zKEσ zz ,

yzKyz

constKzK

yzz

A Azxzyz

Az

Azy

Axz

Azx

ydAxdAdA

xdAdA

MydAdA

0 )6 0 )3

0 )5 0 )2

0 )4 0 )1


137

Da bi treća jednaĉina ravnoteţe bila zadovoljena potrebno je da osa x popreĉnog preseka, oko koje se greda savija, bude teţišna osa, jer tada je statĉki moment Sx za tu osu jednak nuli (0).

Da bi peta jednaĉina ravnoteţe bila zadovoljena potrebno je da ose x i y popreĉnog preseka, budu glavne teţišne ose, jer tada je centrifugalni moment inercije Ixy jednak nuli (0).

Do sada smo pretpostavili da su površina popreĉnog preseka grede kao i aksijalni moment inercije za osu x, konstante (A=const i Ix=const).


138

Sada uzmimo da su Aconst i Ixconst .

I u ovom sluĉaju, ako su ose x i y glavne teţišne ose, biće Sx = 0 i Ixy = 0.

Samim tim biće zadovljene treća i peta jednaĉina ravnoteţe o kojima je već bilo reĉi.

Ovakvo savijanje se zove savijanje oko glavne teţišne ose inercije.


139

Ako se gredni nosaĉ savija oko ose x koja je i teţišna i simetralna osa popreĉnog preseka, onda u najudaljenijim suprotnim taĉkama preseka, od te ose, imamo maksimalne vrednosti normalnih napona koje su u apsolutnom smislu jednake.

Kod preseka kojima osa x jeste teţišna, ali nije simetralna osa, u najudaljenijim taĉkama od te ose, u apsolutnom smislu imamo maksimalne vrednosti normalnih napona koje nisu jednake.

Pozitivne vrednosti normalnog napona odnose se na vlakna koja se izdužuju, a negativne na vlakna koja se skraćuju.

Prikaţimo to na primerima.

Primer 1: Rasodela normalnog napona po visini T-profilnog popreĉnog poreseka grednog nosaĉa


140

Primer 2: Rasodela normalnog napona po visini I-profilnog popreĉnog poreseka grednog nosaĉa

Primer 3: Rasodela normalnog napona po visini pravougaonog popreĉnog poreseka grednog nosaĉa


141

Iz raspodela napona na prethodnim slikama zakljuĉujemo sljedeće:

Sva vlakna koja leţe u ravni xz ostaj nepromenjene duţine.

Ravan xz je neutralna ravan.

Teţišna osa z koja leţi u neutralnoj ravni naziva se neutralna linija ili elastiĉna linija.

Napomena: Zakljuĉci i izrazi do kojih smo došli vaţe i u sluĉaju ĉistog savijanja grede oko ose y, momentima My.

14.3 Savijanje silama

Savijanje grednih nosaĉa popreĉnim silama znatno je sloţenije od ĉistog savijanja.

Naponi smicanja izazvani delovanjem popreĉnih sila, pojavljuju se u:

Ravnima upravnim na osu z i

Ravnima u pravcu ose z.

Zato za posledicu imamo krivljenje (vitoperenje) popreĉnih preseka.

Krivljenje (vitoperenje) popreĉnih preseka grednog nosaĉa opterećenog na savijanje popreĉnim silama oko ose x

Pri savijanju grednih nosaĉa silama, oko x ose, za preseseĉne sile vaţi:

0

00

tyx

yy

xx

MMTNzTT

zMM


142

14.4 Savijanje silama – Pretpostavke

I kod problema savijanja silama, kao i kod problema ĉistog savijanja, uvodimo:

Pretpostavku o naponima,

Pretpostavku o deformacijama i

Pretpostavku o vezi napona i deformacija.

Savijanje silama – Pretpostavka o naponima

Pri savijanju silama oko ose x (silama u ravni yz), u proizvoljnom popreĉnom preseku upravnom na osu z, postoje moment savijanja Mx i popreĉne sile Ty i logiĉno je pretpostaviti da su normalni napon i tanencijalni naponi u tom popreĉnom preseku, generalno razliĉiti od nule.

Savijanje silama – Pretpostavka o deformacijama

Zbog krivljenja (vitoperenja) popreĉnih preseka, a na osnovu pretpostavke o naponima, da se zakljuĉiti da vaţi sljedeće:

Za materijale koji se najĉešće koriste u tehnici eksperimentalno je utvrĊeno da vitoperenje (izuzev kod tankozidnih greda) zanemarljivo malo utiĉe na poduţne deformacije vlakana i raspodelu normalnih napona.

Zbog ovoga se kod savijanja silama pretpostavlja da su:

Savijanje silama – Pretpostavka o vezi napona i deformacija

Vezu normalnog napona i poduţne deformacije (dilatacije) u sluĉaju savijanja grednih nosaĉa silama, kao i u sluĉaju ĉistog savijanja, definiše Hukov zakon

0zσ00

zy

zx

0z 00

zy

zx

zz E


143

Pretpostavlja se da u sluĉaju savijanja grednih nosaĉa silama, kao i kod uvijanja, za tangencijalne napone vaţi prošireni Hukov zakon

Savijanje silama – Normalni naponi

U sluĉaju savijanja grednih nosaĉa silama moment savijanja oko x ose

Pošto se uticaj popreĉnih sila na poduţne deformacije vlakana zanemaruje, normalni naponi se kao i u sluĉaju ĉistog savijanja, mogu izraziti na naĉin:

Za Ix=const duţ cele grede, imamo da je

Kao kod ĉistog savijanja, i kod savijanja silama, za y = ymax , imamo maksimalnu vrednost normalnog napona

Za Ix=Ix(z)const vaţi:

NAPOMENA: Sliĉni izrazi vaţe i u sluĉaju savijanja oko ose y, momentima savijanja My.

zyzy

zxzx

GG

constzMM xx

yzKEzσ zz

y

IzMzσ

x

xzz

x

x

IzMzKE

y

IzMz

x

xz

maxmaxmax, W

zMyI

zMz x

x

xz

yzIzMzy

x

xzz ,

zWzMy

zIzMz

x

x

x

xz maxmax,

maxmax

zWzM

x

x


144

14.5 Savijanje silama – Naponi smicanja

Uzmimo u razmatranje gredni element duţine dz.

Neka je greda izloţena savijanju oko ose x pri ĉemu je Mx=Mx(z)const.

Gredni element duţine dz prikazan je na narednoj slici.

Glavne teţišne ose izabranog popreĉnog preseka koji pripada tom grednom elementu, jesu ose x i y.

Naponi smicanja tangiraju konturu popreĉnog preseka.

Komponente ovih napona u taĉkama A i B, u opštem sluĉaju ne moraju biti jednake.

Veza izmeĊu komponenti zx i zy dinisana je izrazom

tgzyzx


145

Posvetimo se sada projekcijama napona smicanja u pravcu ose y.

Posmatraćemo gredu pravougaonog popreĉnog preseka izloţenu savijanju silama u ravni yz.

Raspodela napona smicanja za pravougaoni popreĉni presek

Ovo se zasniva na ĉinjenici da su

vitoperenja popreĉnih preseka

zanemarivo mala.

Sprovedimo sada analizu napona smicanja za gredu sa jednostruko simetriĉnim popreĉnim presekom (osa y je simetralna osa).

Na jednostruko simetriĉnom preseku posmatraćemo duţ AB na udaljenosti y od ose x.

Pravci napona smicanja se seku u taĉki O.

Primer jednostruko simetriĉnog preseka

sa raspodelom napona smicanja

za posmatranu duţ AB

0zy

zx


146

14.6 Savijanje silama – Dokaz o postojanju naponi smicanja

Posmatraćemo jednostruku konzolu sa pravougaonim popreĉnim presekom površine bh, na kraju opterećenu silo F, i dvostruku konzolu sa pravougaonim popreĉnim presecima površine 2[b(h/2)], na isti naĉin opterećenu.

Kod dvostruke konzole će se pojaviti klizanje na dodirnim površinama.

Kod jednostruke konzole neće se pojaviti klizanje, ali će se zato pojaviti naponi smicanja.

Uz dokaz o postojanju napona smicanja pri savijanju silama

14.7 Savijanje silama – Napon smicanja za proizvoljnu taĉku

Posmatrajmo sada gredni element duţine dz sa simetriĉnim popreĉnim presecima koji ga ograniĉavaju.

Na udaljenosti y od ose x uoĉimo površinu dz koja će gredni element podeliti na gornji donji deo.

Na gornjem delu popreĉnih preseka uoĉimo elementarne površine.

Na jednu elementarnu površinu deluje napon z a na drugu (z+dz).

Na gornjoj površini popreĉnog preseka deluje napon smicanja zy .

Na osnovu stava o konjugovanosti napona smicanja, na površini dz delovaće naponi smicanja yz.


147

Uz odreĊivanje napona smicanja za proizvoljnu taĉku, pri savijanju silama


148

ZAKLJUĈAK: Za odreĊivanje napona smicanja u proizvoljnoj taĉki popreĉnog preseka grede, izloţene savijanju silama, koristi se Formula Ţuravskog.

max(z) za konkretno z grede konstantnog popreĉnog preseka (Ix=const), izraĉunava se pomoću izraza

max u celoj gredi konstantnog popreĉnog preseka (Ix=const), izraĉunava se pomoću izraza

Formula Ţuravskog za grede promenljivog popreĉnog preseka (Ix = Ix(z) const) glasi

max(z) za konkretno z grede promenljivog popreĉnog preseka (Ix = Ix(z) const), izraĉunava se pomoću izraza

max u gredi promenljivog popreĉnog preseka (Ix = Ix(z) const), izraĉunava se pomoću izraza

S

max

xmax

yI

zTz

x

y

S

max

xmax,max

x

y

IT

,,S, x

zyzy

zIzT

zyx

yzy

S

max

xmax

zz

zIzT

zx

y

,,S

max

xmax

zyzy

zIzT

x

y


149

ZADATAK 1

Greda na Slici 1 opterećena je na savijanje silama F.

1. Odrediti poloţaj kritiĉnog (opasnog) popreĉnog preseka.

2. Nacrtati raspodelu normalnih napona po visini kritiĉnog popreĉnog preseka sa upisanim vrednostima napona u taĉkama K i L.

14.8 Savijanje silama – raspodela napona smicanje po visini popreĉnih preseka greda

Da bi došli do raspodele napona smicanja po visini popreĉnog presek konkretne grede, primenićemo formulu Ţuravskog.

Primenu ove formule izvršićemo za

Pravougaoni i

Trougaoni popreĉni presek.

Raspodela napona smicanja po visini pravougaonog poprečnog preseka

Površina:

Aksijalni moment inercije za osu x:

Formula Ţuravskog:

ZAPAŢANJE: Raspodela napona smicanja po visini pravougaonog popreĉnog preseka je u direktnoj vezi sa koliĉnikom

hbA

12

3bhI x

x

x

y SIT

xS


150

Statički moment površineA :

Za

ZAPAŢANJE: IzmeĊu y = -h/2 i y = h/2 mora postojati maksimalna vrednost napona smicanja = max .

Maksimalni napon smicanja je u taĉki za koju je

ZAKLJUĈAK: Maksimalni napon smicanja je u težištu pravougaonog poprečnog preseka.

AyS ix

yhA

2 AyS

ix

1

yhhyi 22

12

yhyi 22

1

yhyhAyS

ix

222111

22

221 yhSx

yfSx1

2hy 0y

2h

21yf

ξS 2

2

1x

0'1

yfS

dyd x

22

1 221 yhyfSx

dyd

yyfSdyd x

'1

0

0

'1

yyf


151

Raspodela napona smicanja za pravougaoni popreĉni presek

0y

22

221 yhSx

8

2

max

hSx

maxmax

x

x

y SIT

12

3bhI x

bhTh

bhT yy

23

812 2

3maxA

Ty

23

max

12

3bhI x

x

x

y SIT

2

2

3 22112

yhbh

Ty

22

221 yhSx


152

Raspodela napona smicanja po visini trougaonog poprečnog preseka

Trougaoni popreĉni presek grede

Površina trougla:

Aksijalni moment inercije za osu x:

Formula Ţuravskog:

2hbA

36

3bhI x

x

x

y SIT

yhA

32

21 AyS

ix

1

yhyyi 3

231

yhyi 33

2

yhyhSx

32

21

3321

yhyhSx

32

21

3321

22

32

31

92

31

32

331 yhyhyhyhyhSx


153

ZAPAŢANJE: IzmeĊu y = -h/3 i y = 2h/3 mora postojati maksimalna vrednost napona smicanja = max .

Maksimalni napon smicanja je u taĉki za koju je

ZAKLJUĈAK: Maksimalni napon smicanja nije u težištu trougaonog poprečnog preseka.

22

93227 h

yhyhSx

yfSx

2

hy32

22

93227 h

yhyhSx

0

32

hy

xS

hy31

22

93227 h

yhyhSx

0

31

hy

xS

0'2

yfS

dyd x

dyd

22

93227 h

yhyhSx

yhyfSdyd x

32

9'

2

0

32

9'

2 yhyf 6hy

6hy

22

93227 h

yhyhSx

12

2

max

hSx

maxmax

x

x

y SIT

36

3bhI x

bhTh

bhT yy 3

1236 2

3max

Abh 2A

Ty

23

max


154

Raspodela napona smicanja povisini trougaonog popreĉnog preseka

ZADATAK 1

Pretpostaviti da je prosta greda izloţena savijanju silama i definisati raspodelu napona smicanja po visini:

1. Kruţnog,

2. I-profilnog i

3. T-profilnog popreĉnog preseka.

14.9 Savijanje silama – Glavni naponi

Pri savijanju silama izrazi za normalne napone i napone smicanja glase:

• Neka su primera radi, za bilo koji popreĉni presek kontinualno opterećene grede, poznate raspodele raspodele normalnih napona i napona smicanja.

36

3bhI x

x

x

y SIT

22

3 93227

36hy

hyh

bhTy

22

93227 h

yhyhSx

2

93232

hy

hy

ATy

yI

M

x

xz

x

x

y SIT


155

Kontinualno opterećena greda

Normalni naponi i naponi smicanja po središnjem preseku kontinualno opterećene grede i naponski elemenati

Glavni normalni naponi:

Pravci glavnih normalnih napona:

222,1 4

21

2

z

z

z

tg

22


156

Normalni naponi i naponi smicanja po središnjem preseku kontinualno opterećene grede i glavni naponski elemenati

Dvije familije linija kojima se tangente poklapaju sa pravcima glavnih napona zovu se trajektorije glavnih napona.

Trajektorije glavnih napona se retko primenjuju.

Praktiĉnije u praksi, za slikovit prikaz 1D, 2D i 3D naponskog stanja, jesu izonaponske linije (linije duţ kojih izabrani napon ima istu vrednost).

Primer trajektorija glavnih normalnih napona, kontinualno opterećene konzole

Primer izonaponskih linija grede izloţene ĉistom savijanju


157

NE PRIPADA PROBLEMIMA SAVIJANJA, A MOŢE BITI OD KORISTI !!!

Korišćenjem izonaponskih linija lako otkrivamo lokalnu koncentraciju napona.

14.10 Savijanje – Dimenzionisanje grednih nosaĉa

U sluĉaju ĉistog savijanja grednih nosaĉa, proraĉunski napon ne sme preći vrednost dozvoljenog napona na savijanje, tj. treba da vaţi

U sluĉaju savijanja greda silama, osim normalnih napona imamo i napone smicanja, i strogo posmatrano, radi se o sloţenom opterećenju.

Inţenjerski posmatrano, u većini sluĉajeva uticaj napona smicanja moţe se zanemariti.

Npr. za odnose:

naponi smicanja se zanemaruju i usvoja se kriterijum dimenzionisanja prihvaćen kod ĉistog savijanja.

dz max,

10hl


158

Ako je osa x oko koje se vrši savijanje glavna težišna osa i osa simetrije onda generalno za proraĉunski napon vaţi:

Kada je osa x oko koje se vrši savijanje glavna težišna osa, ali nije i osa simetrije onda generalno za proraĉunski napon vaţi:

de / dp ..... Dozvoljeni napon na zatezanje / pritisak

NAPOMENA: Ovo se mora imati u vidu jer neki materijali ne podnose podjednako dobro istovremeno naprezanje na pritisak i zatezanje (liveno gvoţĊe, beton, ...)

Greda konstantnog popreĉnog preseka:

NAPOMENA: Pri usvajanju dimenzija treba voditi raĉuna o stepenima sigurnosti, standardima, propisima i sl.

14.11 Savijanje silama – Lokalni naponi

PoĊimo od izraza za raspodelu normalnog napona po visini popreĉnih preseka grednog nosaĉa

d

x

x

x

xyy zW

zMyzIzMzy

maxmax

,

de

x

x yzIzM

max,2

dp

x

x yzIzM

max,1

dx

x

WM

max,

d

xx

MW

max,

yzIzMzy

x

xzz ,


159

Saglasno Sen Venanovom principu ovaj izraz daje dosta dobre rezultate na mestima dovoljno udaljenim od mesta delovanja opterećenja.

Pri izvoĊenju izraza za normalni napon pretpostavka je da se vlakna grednog nosaĉa ne izlaţu meĊusobnom pritisku.

Ova pretpostavka je pri ĉistom savijanju potpuno prihvatljiva.

Kod npr. kontinualno opterećenih grada u gornjim vlaknima bi se pojavio i normalni napon y .


Iz inţenjerske prakse se zna da normalni napon y iznosi 1-2 % od vrednosti normalnog napona z , pa se moţe zanemariti.

14.12 Savijanje – Stepen korišćenja popreĉnih preseka

Izraz za raspodelu normalnog napona z , savijanju izloţenih greda je linearna funkcija koja za konkretan popreĉni presek zavisi od y koordinate.

Podsetimo se raspodele normalnog napona za pravougaoni popreĉni presek grede izloţene savijanju.


160


Zona slabog iskorišćenja materijala

Raspodela normalnog napona za pravougaoni popreĉni presek grede (z=z0)

yI

zM

x

xzzz

00


161

Raspodela normalnog napona za

pravougaoni popreĉni presek grede (z=z0)

IDEJA: Središnji slabo iskorišćeni deo pravougaonog popreĉnog preseka izbaciti.

Novo rešenje sa boljim stepenom

iskorišdenjem materijala

Upotrebom I profila obezbeĊujemo veći stepen iskorišćenosti materijala.

Za 100 % iskorišćen I profil stepen iskorišćenost nekog drugog profila, za iste površine A, moţe se odrediti pomoću

:100:, xIx WW

100,

Ix

x

WW


162

ZADATAK 2

Uzeti profil I30, pravougaoni profil h=3b i kruţno-prstenasti profil, i za 100 % iskorišćen profila I30, odrediti stepene iskorišćenosti ostalih profila iz uslova jednakosti površina.

14.13 Savijanje – Idealni oblik grednih nosaĉa

U svrhu boljeg iskorišćenja materijala inţenjeri su se odavno zanimali oblicima popreĉnih preseka grednih nosaĉa.

Zanimali su ih idealni oblici popreĉnih preseka sa kojima će grede, uz najmanji utrošak materijala, imati zahtevanu ĉvrstoću, krutost i stabilnost.

Od ovoga se otišlo i dalje. Postavilo se pitanje idealnog oblika grede u celini.

Uzmimo za primer vratilo koje je u praksi sloţeno opterećeno.

Na osnovu principa nezavisnosti opterećenja, savijanje vratila posmatraćemo odvojeno.

Neka je vratilo konstantnog, kruţnog popreĉnog preseka.

Primer vratila opterećenog na savijanje


163

ZAPAŢANJE: Levo i desno od mesta maksimalnog momenta savijanja, greda ima slabo iskorišćenje materijala.

Kriterijum dimenzionisanja:

Proraĉunski model vratila sa dijagramom momenata savijanja (vratilo svedeno na prostu gredu)

Kod idealnog oblika vratila, svedenog na prostu gredu, popreĉni preseci su u funkciji od z i saglasno tome vaţi:

Najudaljenija vlakna od neutralne površine, pri savijanju su najbolje iskorišćena.

Na osnovu ovoga da se zakljuĉiti da bi optimalni oblik grede ĉinila dva tanka lima podjednako udaljena od neutralne ravan.

Idealni oblik grede

d

xx

MW

max,

zfzMW

d

xx


164

NEDOSTATAK:Cena ovakve grede je mnogo veća od cene prekomerno upotrebljenog materijala, pa se ista ne primenjuje.

Primer odreĎivanja idealnog oblika grede

U prvom koraku ćemo definisati proraĉunski model prikazanog nosaĉa.

Gredni nosač kojem treba odrediti idealni oblik


165

Levo i desno od preseka delovanja sile F.

Proraĉunski model nosaĉa sa dijagramom momenata savijanja

d ... Potreban preĉnik na mestu delovanja sile F.

Iz uslova

lbaFMzM xazx

max,

d

xx

MW

max, 3

32

dlbaFd

32

3dWx

332 z

lbFzdd

d

xx

zMW


166

Levi podraspon grede

Desni podraspon grede

14.14 Savijanje – Ojaĉavanje nosaĉa lamelama

Pravljenje grednih nosaĉa idealnog oblika moţe se rešiti korišćenjem standardnih profila koji se mogu ojaĉati limovima (lamelama).

Ovi limovi se postavljaju na pojaseve profila, na gornju i donju stranu.

Ojaĉavanje grednog nosaĉa lamelama, prikazano je na narednoj slici.

332

dlbaFd

3

azdzd

3bzdzd


167

Ojaĉavanje grednog nosaĉa lamelama

Primer ojačavanja lamelama

Vrednost maksimalnog normalnog napona treba smanjiti za 50%, ojaĉanjem grede prikazane na narednoj slici.

Ojaĉanje izvršiti sa dve lamele, sa gornje i donje strane (širina jednaka širini pojasa profila).

Greda koju treba ojaĉati (dijagram momenata savijanja poznat)

PoĊimo od uslova zadatka da maksimalni napon treba smanjiti za 50% (za polovinu) i još poĊimo od izraza za maksimalni napon kod grede konstantnog popreĉnog preseka.

Treba potražiti preseke sa duplo manjim momentima savijanja.

x

x

WM max,

max x

x

x

x

WM

WM 1

222max,max,max


168

Moment savijanja je za 50% (duplo) manji od maksimalnog je za preseke koji sadrţe taĉku K levo i taĉku K desno od oslonca B.

Potrebnu vrednost otpornog moment I profila u taĉkama K:

Preseci kod kojih je moment savijanja za 50% manji od maksimalnog

Potrebna duţina nosaĉa za ojaĉanje zbog simetrija iznosi:

2max 4

121 aqMM K

d

Kx

MW

azal K 59,020

22, 4

12

aqzqzYzM KKAlevoK az 0

aazK 707,022


169

Dodavanjem lamela menje se površina popreĉnog preseka I profila.

Za

23

,0 22122

hbbII prxx 2,0 2

1 bhbII prxx

012

3

b

2,0 21 bhbII prxx

max

00 y

IW xx

22

max

hy

22

21 2

,

0

h

hbIW

prx

x


170

Za h>> iz

Debljina lima

14.15 Savijanje – Provere

U nekim praktiĉnim sluĉajevima savijanja, potrebno je izvršiti provere, ito:

Proveru ĉvrstoće,

Proveru nosivosti i

Proveru krutosti.

Provera ĉvrstoće, A=A(z)

Provera nosivosti, A=A(z)

Provera krutosti je vezana za deformacije i biće obraĊena posle analize deformisanja greda izloţenih savijanju.

2

21 2

,

max

00

h

hbI

yIW

prxx

x hbWW prxx 21

,0

dprx

aqW2

2

,

d

Kx

MW

dprx

aqhbW

22

1 2

,

hb

Waqprx

d

,

2

22

d

x

x

zWzM

maxmax

d

x

x

y

zyzyS

zIzT

maxmax ,

,

dxx zWzM


171

ZADATAK 3

Greda na Slici 1 je opterećena na savijanje.

1. Dimenzionisati kritiĉni popreĉni presek i preseke na udaljenosti l/4 od oslonca A i oslonca B.

2. Odrediti I i U profile koji će osigurati nosivost grede.

14.16 Deformisanje greda pri savijanju

Pri savijanju grede dolazi do promene njenog pravolinijskog oblika.

Greda se deformiše (pojavljuju se ugibi i nagibi).

Promena oblika greda opisuje se elastičnim linijama.

Primer elastiĉne linije

Elastiĉna linija je kriva ĉiji je krivina (zakrivljenost) definisana izrazom:

m 3lcmkN 15σ 2d

23 2 '

"

1 zu

zuzK


172

Ovo je taĉna diferencijalna jednaĉina elastiĉne linije iz koje se direktnim integraljenjem dolazi do ugiba u=u(z).

Osim što se pomere za u=u(z), teţišne taĉke popreĉnih preseka greda doţive i rotaciju za izvestan ugao (translacija i rotacija).

Pomeranje i rotacija teţišnih taĉaka popreĉnih preseka grede i konzole

Nagib elastiĉne linije je definisan uglom

zfzIE

zM

zu

zu

x

x

23 2 '

"

1

zutg '


173

Predznaci nagiba elastične linije

Za imamo da je

Taĉna diferencijalna jednaĉina elastiĉne linije.

Pribliţna diferencijalna jednaĉina elastiĉne linije.

Pošto su predznaci drugog izvoda i momenta savijanja uvek suprotni, pribliţna diferencijalna jednaĉina elastiĉne linije ima svoj konaĉan oblik

Nagib

Ugib

U svrhu rešavanja pribliţne diferencijalne jednaĉine elastiĉne linije

potrebno je poznavati: Moment savijanja oko težišne ose x

E - Modul elastičnosti i

Moment inercije poprečnog preseka za težišnu osu x

Azzu

0

'

Blzzu

'

lu1000

2max 1 1 2 ' zu

zfzIE

zM

zu

zu

x

x

23 2 '

"

1

zfzIE

zMzux

x

"

zfzIE

zMzux

x

" 1' Czdzzfzu

211 CzCzdzCzzu

zfzIE

zMzux

x

"

zMM xx

zI x


174

REZIME: Opšti izrazi za nagib i ugib savijene grede imaju oblik

Integracione konstante C1 i C2 , u ovim rešenjima pribliţne diferencijalne jednaĉine elastiĉne linije,odreĊujemo iz graniĉnih uslova.

14.17 Granični uslovi za prostu gredu i konzolu

Graniĉni uslovi za prostu gredu glase:

Ugibi za oslonce jednaki su nuli (0).

Graniĉni uslovi za konzolu glase:

Za konzolu su nagib i ugib na mestu

ukleštenja jednaki nuli (0).

1' Czdzzfzu

211 CzCzdzCzzu

000 210

CCzu

z

021

ClClzulz

21,CC

000 10

'

Czuz

000 210

CCzu

z

21,CC


175

14.18 Deformisanje pri savijanju – Kontinualno opterećena prosta greda (q=const, A=const)

Reakcije u osloncima:

Moment savijanja oko ose x:

Kontinualno opteredena prosta greda (q=const, A=const)

Diferencijalna jednaĉina elastiĉne linije:

Graniĉni uslovi: 0

qlYY BA 21

2

2zqzYzM Ax

2

22zqzqlzM x

zMzuIE xx " 2"

22 zqzqlzuIE x

2

22zqzqlzM x

132'

64 CzqzqlzuIE x

2143

2412 CzCzqzqlzuIE x

0

00

lz

z

zu

zu 2143

2412 CzCzqzqlzuIE x

00024

012

2143

0

CCqqlzuIE

zx02 C

02412

143

lClqlqlzuIE

lzx 31 24

lqC


176

024

2

31

C

lqC

2143

132'

2412

64

CzCzqzqlzuIE

CzqzqlzuIE

x

x

424

323'

2 24

461 24

lz

lz

lz

IElqzu

lz

lz

IElqzu

x

x

2lz

424

42 24

lz

lz

lz

IElqzu

x

x

mxlz IElqfzu 384

5 4

2

0z

323' 461

24

lz

lz

IElqzu

x

x

zA IElqzu 24

3

0

'


177

14.19 Deformisanje pri savijanju – Prosta greda opterećena koncentrisanim momentom (A=const)



Prosta greda opterećena koncentrisanim momentom


Graniĉni uslovi:

lz

x

lzB IElqzu 24

3'

323' 461

24

lz

lz

IElqzu

x

lMYY BA

zYzM Ax

zl

MzM x

zMzuIE xx " zl

MzuIE x "

zl

MzM x 12'

2 Cz

lMzuIE x

213

6 CzCz

lMzuIE x

0

00

lz

z

zu

zu 21

3

6 CzCz

lMzuIE x


178

Za z=0:

Za z=l:

0006

213

0

CC

lMzuIE

zx 02 C

06

13

0

lCl

lMzuIE

zx lMC61

06

2

1

C

lMC

213

12'

6

2

CzCzl

MzuIE

Czl

MzuIE

x

x

3

2'

3 6

31 6

lz

lz

IElMzu

lz

IElMzu

x

x

0 31 6 2

'

lz

IElMzu

x

0 312

lz lz

33

3

3 6

lz

lz

IElMzu

x

xlz IE

lMfzu 6

273 2

max33


179

14.20 Deformisanje pri savijanju – Konzola opterećena silom na slobodnom kraju (A=const)

Konzola opterećena silom na slobodnom kraju (A=const)




2' 31

6

lz

IElMzu

x0z

xzA IE

lMzu 6

0

'

2' 31

6

lz

IElMzu

x

lz x

lzB IElMzu

3 '

FYA

AAx MzYzM lFzFzM x

zMzuIE xx " lFzFzuIE x "

lFzFzM x 1

2' 2

CzFlzFzuIE x

2123

26 CzCzlFzFzuIE x


180

Graniĉni uslovi:

0

0

0

0

'

z

z

zu

zu

213

12'

26

2

CzCzFlzFzuIE

CzFlzFzuIE

x

x

0002

06

0002

213"

12'

CCFlFzuIE

CFlFzuIE

x

x

021 CC

021 CC

213

12'

26

2

CzCzFlzFzuIE

CzFlzFzuIE

x

x

322

22'

3 6

2 2

lz

lz

IElFzu

lz

lz

IElFzu

x

x

lz

322

22'

3 6

2 2

lz

lz

IElFzu

lz

lz

IElFzu

x

x

x

lz

xlz

IElFfzu

IElFzu

3

2

3

max

2

max'


181

14.21Deformisanje pri savijanja–Prosta greda opterećena koncentrisanom silom

Prosta greda opterećena koncentrisanom silom


MOMENTI SAVIJANJA NA PODRASPONIMA

FlbYA

FlaYB

FlbYA

zFlbzM x

1,

azFzFlbzM x

2,


182

14.22 DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ELASTIČNIH LINIJA

14.23 REŠENJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA ELASTIČNIH LINIJA

Podraspon 0 z a :

14.24 REŠENJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA ELASTIČNIH LINIJA

Podraspon a z a+b :

12'

1 2CzF

lbzuEI x

zFlbzuEI x

"

1

213

1 6CzCzF

lbzuEI x

azFzFlbzuEI x

"

2

3

22'

2 22CazFzF

lbzuEI x

43

33

2 66CzCazFzF

lbzuEI x


183

Graniĉni uslovi:

azaz

lz

azaz

z

zuzuzu

zuzuzu

||0|

||

0|

21

2

'2

'1

01

azaz

lz

azaz

z

zuzuzu

zuzuzu

||0|

||

0|

21

2

'2

'1

01 213

1 6CzCzF

lbzuEI x

0006

| 213

01

CCF

lbzuEI zx

02 C

azaz

lz

azaz

z

zuzuzu

zuzuzu

||0|

||

0|

21

2

'2

'1

01 12'

1 2CzF

lbzuEI x

3

22'

2 22CazFzF

lbzuEI x

12'

1 2| CaF

lbzuEI azx

3

22'

2 22| CaaFaF

lbzuEI azx

31 CC

azaz

lz

azaz

z

zuzuzu

zuzuzu

||0|

||

0|

21

2

'2

'1

01 213

1 6CzCzF

lbzuEI x

43

33

2 66CzCazFzF

lbzuEI x


184

Sloţeni postupak integracije diferencijalnih jednaĉina elastiĉnih linija za dva podraspona o kojem je bilo reĉi, pojednostavio je KLEBŠ (njegov postupak sintegracije izuĉava se kao KLEPŠOV postupak).

06

| 13

1

aCaF

lbzuEI azx

41

33

2 66| CaCaaFaF

lbzuEI azx

04 C

azaz

lz

azaz

z

zuzuzu

zuzuzu

||0|

||

0|

21

2

'2

'1

01

43

33

2 66CzCazFzF

lbzuEI x

00

66| 3

33

2

lCalFlF

lbzuEI lzx

lb

lbFlCC

32

31 6

222

1 16 l

zlb

lz

lb

EIFlzu

x

3223

2 16 l

azlz

lb

lz

lb

EIFlzu

x

223

6|

l

bla

EIFlzu

xaz


185

14.25 KLEPŠOV POSTUPAK

N osnovu ĉinjenice da kod integracionih konstanti u diferencijalnim jednaĉinama elestiĉne linije, u dva polja (podraspona) vaţe jednakosti

dolazimo do zakljuĉka da se dve diferencijalne jednaĉine mogu svesti na jednu

Integracione konstante C1 i C2 odreĊujemo iz graniĉnih uslova

FlbYA

FlaYB

42

31

CCCC

z-a|FzFlbzuEI x

"

z-a|FzFlbzuEI x

"

2

2

2

12' z-a|FCzF

lbzuEI x

6

6

3

213 z-a|FCzCzF

lbzuEI x

6

6

3

213 z-a|FCzCzF

lbzuEI x


186

Za ovaj graniĉnu uslov iz

Za ovaj graniĉnu uslov iz

6

6

3

213 z-a|FCzCzF

lbzuEI x

6 00

6

3

213

0

z-a|FCCFl

bzuEIzx

02 C

6

6

3

213 z-a|FCzCzF

lbzuEI x

6 0

6

3

13 l-a|FlClF

lbzuEI

lzx

bal

lb

lbFlC

32

1 6

lb

lbFlC

32

1 6

2

2

2

12' z-a|FCzF

lbzuEI x

2222' 3| 31

6 laz

lz

lb

lb

EIFlzu

x


187

Izrazi za nagib u’(z) i ugib u(z) proste grede

opterećene koncentrisanom silom F imaju

oblik

0

6

2

32

1

C

lb

lbFlC

6

6

3

213 z-a|FCzCzF

lbzuEI x

3223

| 16 l

azlz

lb

lz

lb

EIFlzu

x

2222' 3| 31

6 laz

lz

lb

lb

EIFlzu

x

3223

| 16 l

azlz

lb

lz

lb

EIFlzu

x

0z

2222' 3| 31

6 laz

lz

lb

lb

EIFlzu

x

l

blb

la

EIFlzu

xzA 1

6|

2

0'


188

14.26 Savijanje - Statiĉki odreĊeni neprekidni gredni nosaĉi sa Gerberovim zglobovima

Sa aspekta STATIKE vrednost momenata savijanja u Gerberovim zglobovima neprekidnih grednih nosaĉa, jednaka je nuli (0).

Sa aspekata OTPORNOSTI MATERIJALA zglobna veza se ponaša kao elastiĉni oslonac.

Problemi u vezi sa proraĉunom deformacija nosaĉa sa zglobnim vezama, najlakše se rešavaju zamišljenim rastavljanjem nosaĉa na osnovne podraspone tipa:

Proste grede,

Grede sa prepustima i

lz

2222' 3| 31

6 laz

lz

lb

lb

EIFlzu

x

l

alb

la

EIFlzu

xlzB 1

6|

2'

az

3223

| 16 l

azlz

lb

lz

lb

EIFlzu

x

223

6|

l

bla

EIFlzu

xaz


189

Konzole.

Da bi se rešio problem grednih nosaĉa sa Gerberovim zglobovima, potrebno je:

Nosaĉ rastaviti na podraspone (proste grede, grede sa prepustima i konzole),

Zglobnoj popreĉnoj sili YG kod jednog od podraspona dodeliti ulogu reakcije u elastiĉnom osloncu.

Kod drugog , odgovarajućeg podraspona, popreĉnoj sili YG dodeliti ulogu koncentrisane sile.

Statiĉki odreĊen gredni nosaĉ sa zglobom G

PROSTA GREDA

Popreĉnoj sili YG dodeljena uloga reakcije u elastiĉnom osloncu.

Ppopreĉnoj sili YG dodeljena uloga koncentrisane sile.

GREDA SA PREPUSTOM

Primer nosaĉa sa zglobovima G1 i G2

GREDA SA PREPUSTOM

PROSTA GREDA


190

Prosta greda G2D

Greda sa prepustom G1CG2

Greda sa prepustom ABG1

Sa poznatim statiĉkim veliĉinama neprekidnih nosaĉa sa zglobovima, svedenih na proste grede, grede sa prepustima i konzole, moţemo odrediti veliĉine deformacija koje nas interesuju.

U tablicama OTPORNOSTI MATERIJALA moguće je naći mnoštvo podataka o ugibima i nagibima prostih greda i konzola.

Od interesa je da još vidimo šta je sa gredama sa prepustima, ito gredama sa:

0DM

i

iY 0 2G

D

YY

0CM

i

iY 0 1G

C

YY

0AM

i

iY 0 B

A

YY


191

Levim prepustom,

Desnim prepustom i

Sa dva prepusta.

LEVI PREPUST

Na vertikalno pomeranje i rotaciju prepusta utiĉe savijanje raspona AB.

Savijanje prepusta se posmatra kao savijanje konzole.

Rotacija prepusta oko bliţeg oslonca (oslonca A) definisana je nagibom A proste grede za taj oslonac.

Ako bi raspona AB imao beskonaĉno veliku krutost, deformisanje prepusta KA bi se posmatralo kao deformisanje konzole.

Konzolni ugib fk , krajnje taĉke K prepusta, tada bi predstavljao sumu konzolnih ugiba fki od svakog i-tog opterećenja.

Rotacija prepusta duţine a nastaje usled savijanja raspona AB, izazvanog od svih opterećenja (ukljuĉujući i opterećenja prepusta koja su redukovana na bliţi oslonac).

Kad bi prepust KA bio neopterećen, on bi se zarotirao oko oslonca A za ugao A

i

KiK ff KonzolnoKonzolno


192

Ukupan nagib A , za oslonac A grede sa levim prepustom, jednak je sumi i-tih nagiba Ai izavanih i-tim opterećenjima grede AB.

Pomeranje fk krajnje taĉke K prepusta (pomeranje usled rotacije) je u funkciji od nagiba A i iznosi.

Ukupno pomeranje fk krajnje taĉke K prepusta iznosi:

Ugib ( fz ) proizvoljne taĉke na rasponu AB jednak je zbiru i-tih (pojedinaĉnih) ugiba ( fzi ) izavanih i-tim (pojedinaĉnim) opterećenjima koja deluju na raspon AB, ukljuĉujući i opterećenja koja su u vidu momenta savijanja MA , redukovana sa prepusta na bliţi oslonac A.

aafi

AiAK

rotacije Usled

affffi

Aii

KiKKK

Konzolnorotacije UsledKonzolno

Azi

ziz Mfff


193

PRIMER GREDE SA LEVIM PREPUSTOM

Pomeranje krajnje taĉke K:

Na osnovu odgovarajućih tabliĉnih podataka izraz

Prelazi u oblik

Na osnovu opšteg izraza za sraĉunavanje ugiba fz proizvoljne taĉke na rasponu AB

sledi ugib za središnju taĉku C raspona AB

4

q KonzolnoF Konzolno lfff AMA

MA

qAKKK

4

q KonzolnoF Konzolno lfff AMA

MA

qAKKK

43324

6244843

2

343 l

EI

llqlFl

EIMl

EIql

EIql

EIFf

xxxxxK

Azi

ziz Mfff

AMC

MC

qCClzz fffff

2


194

DESNI PREPUST

Sliĉno gredi sa levim prepustom, ukupno pomeranje krajnje taĉke K, desnog prepusta, iznosi:

GREDA SA DVA PREPUSTA

Uticaj desnog prepusta sa krajnjom taĉkom D, na pomeranje krajnje taĉke L levog prepusta, uzima se u obzir preko opterećenja desnog prepusta redukovanih na moment savijanja MB.

Je sabirak u

39

22

24

2317

16324

163845 l

EIF

EI

llqlFl

EIMl

EIqf

xxxxC

affffi

Bii

KiKKK


BMA

affffi

Aii

LiLLL



195

• Vaţi i suprotno: Uticaj levog prepusta sa krajnjom taĉkom L, na pomeranje krajnje taĉke D desnog prepusta, uzima se u obzir preko opterećenja levog prepusta redukovanih na moment savijanja MA.

je sabirak u

GREDA SA ELASTIĈNIM OSLONCEM

Kod greda sa Gerberovim zglobovima proraĉun deformacija je sliĉan prethodnim objašnjenjima.

MeĊutim, kod ovakvih greda imamo još rotaciju podraspona na kojem se nalazi elastiĉni oslonac.

Vratimo se sada na nosaĉ sa dva zgloba i razmotrimo jedan njegov podraspon sa elastiĉnim osloncem.

AMB

affffi

Bii

DiDDD



196

Pomeranje od svih spoljašnjih sila koje deluju na gredu G1CG2 .

ZADATAK 1

Na Slici 1 je prikazana kontinualno opterećena greda.

1. Odrediti q pri kojem će maksimalni ugib I20 profilne grede iznositi fmax=2 mm ako je duţina grede l=5 m.

2. Odrediti napon σz na mestu maksimalnog ugiba.

affi i

CiGG

Konzolno

2'2

12"2 GG fkf

lak 2

"2

'22 GGG fff

11 Gi

ziz fkff

lzk 1


197

14.27 Savijanje – Statiĉki neodreĊeni problemi

Sve što smo do sada u vezi sa savijanjem izuĉavali odnosilo se na statiĉki odreĊene probleme.

Ovoga puta prelazimo na statiĉki neodreĊene probleme grednih nosaĉa izloţenih ĉistom savijanju ili savijanju silama.

Sva opterećenja će i dalje pripadati jenoj ravni.

U okviru ovog izlaganja srešćemo se sa grednim nosaĉima:

Sa jednim rasponom i dopuštenim poduţnim pomeranjem,

Sa jednim rasponom i spreĉenim poduţnim pomeranjem i sa

Neprekidnim nosaĉima sa više raspona.

Gredni nosač sa jednim rasponom i dopuštenim podužnim pomeranjem

Ovaj neodreĊeni problem moţe rešiti uklanjanjem suvišnih oslonaca.

Ovde je uklonjen oslonac B i za suvišnu nepoznatu veliĉinu uzeta reakcija

Suvišnu nepoznatu veliĉinu

odredićemo iz uslova pomeranja kraja konzole

SFB

SFB

0B


198

Umetanje zgloba je drugi naĉin rešavanja neodreĊenosti ovog grednog nosaĉa

Na mestu ukleštenja umetnut je zglob, a za suvišnu nepoznatu veliĉinu uzet reaktivni moment u ukleštenju A

koji se odreĊuje iz uslova da je nagib na mestu ukleštenja jednak nuli (0)

Zgloba se moţe umetnuti na bilo koje mesto i tako se na mnogo naĉina ovaj neodreĊen nosaĉ moţe pretvoriti u odreĊen.

Prema ovoj slici, za ovako umetnuti zglob, suvišna nepoznata je moment S koji kod statiĉki neodreĊenog nosaĉa stvarno postoji i koji bi se odredio iz uslova da da na mestu umetnutog zgloba imamo nagibe

Gredni nosač sa jednim rasponom i sprečenim podužnim pomeranjem

Ovakav gredni nosaĉ, realno je 1x statiĉki neodreĊen, meĊutim, zbog toga što su poduţne komponente reakcija zanemarivo male u odnosu na popreĉne, nosaĉ se bez njih pretvara u statiĉki odreĊen.

Zanemarivanjem horizontalnih komponenti reakcija sa satiĉki neodreĊenog problema, prelazi se na statiĉki odreĊen problem.

SM A

0A

desnolevo 0ukuno


199

U ovom sluĉaju poduţne komponente reakcija ne smemo zanemariti.

Suvišna nepoznata veliĉina je

Suvišnu nepoznatu veliĉinu, horizontalnu komponentu reakcije u osloncu B,

odredićemo iz uslova da je poduţno pomeranja oslonca B

Gredni nosaĉ je 3x statiĉki neodreĊen

Sniţenje nivoa neodreĊenosti uvoĊenjem slobodnog poduţnog pomeranja (gredni nosaĉ postaje 2x neodreĊen)

SFBh

SFBh

0Bh


200

Gredni nosaĉ je 3x statiĉki neodreĊen

Sada je nosaĉ statiĉki odreĊen.

Suvišne nepoznate veliĉine

odredićemo iz uslova pomeranja kraja konzole

Gredni nosači sa više raspona (neprekidni gredni nosači)

Problem se moţe rešiti uklanjanjem suvišnih oslonaca.

321 // SSS

000

3

2

1


201

Suvišne nepoznate veliĉine odredićemo iz uslova pomeranja

U sluĉaju opruţnih elastiĉnih oslonaca i-to pomeranje iznosi

ci ... Krutost odgovarajuće opruge

Ovaj problem se moţe rešiti i umetanjem zglobova

Momente kao suvišne nepoznate veliĉine

odredićemo iz uslova jednakosti nagiba sa obe strane zgloba

Ako se iz posmatranog neprekidnog nosaĉa izdvoje dva susedna raspona koja se zatim razdvoje na zajedniĉkom osloncu, onda se moţe primeniti uslov

KSSS ,...,, 21Ki

i

,...,10

iii Sc

KSS ,...,1

Kkkk

,...,2,1


202

Ako se iz posmatranog neprekidnog nosaĉa izdvoje dva susedna raspona koja se zatim razdvoje na zajedniĉkom osloncu, onda se moţe primeniti uslov

Ovo je obrazac tri momenta (Klapejronov obrazac) koji se ispisuje za sve k=1,...,K (K=N-2), što daje N-2 jednaĉine sa po tri nepoznata momenta po ĉemu je i obrazac dobio ime.

ZADATAK 1

Na Slici 1 je prikazan gredni nosaĉ opterećen sa q=5 kN/m i F=10 kN. Sila F je pod uglom 60 prema z osi. Popreĉni presek grede je pravougaonik bxh=5 cm x 10 cm. Duţina nosaĉa je l=4 m.

1. Odrediti statiĉke veliĉine grednog nosaĉa.

aopterecenjzadatihodMM

aopterecenjzadatihodMMqkkkkk

qkkkkk

,

,

1

1

qk

k

kk

k

kkk

qk

k

kk

k

kkk

IElM

IElM

IElM

IElM

66

66

1

1

1

1

11

qk

qk

k

kk

k

k

k

kk

k

kk

IElM

IEl

IElM

IElM

63336

1

1

1

1

11


203

14.28Koso savijanje

U prethodnim izlaganjima u vezi sa savijanjem grednih nosaĉa, razmatrani su problemi:

Ĉistog savijanja i

Savijanja silama.

Razmatrani su samo sluĉajevi savijanja oko jedne od glavnih teţišnih osa inercija.

Druga teţišna osa inercije leţala je u ravni dejstva opterećenja.

Pri savijanju silama oko ose x, u popreĉnim presecima smo imali:

Popreĉne (transverzalne) sile Ty(z) i

Momente savijanja Mx(z).

Pri savijanju silama oko ose y, u popreĉnim presecima smo imali:

Popreĉne (transverzalne) sile Tx(z) i

Momente savijanja My(z).

U sluĉaju ĉistog savijanja, popreĉne sile bile su jednake nuli (0), a momenti savijanja bili su konstantni.

Normalni naponi pri ĉistom savijanju odreĊivani su pomoću izraza

U opštem sluĉaju savijanja, ravan dejstva opterećenja moţe zaklapati proizvoljan ugao sa glavnim teţišnim osama inercije.

Takav sluĉaj savijanja zovemo koso savijanje.

Pri razmatranju kosog savijanja ostajemo na istim pretpostavkama koje su vaţile i u sluĉaju savijanja oko glavnih teţišnih osa inercije.

Ovde ćemo se se ukratko prisetiti tih pretpostavki i prikazati tri primera kosog savijanja.

constM x constM y

yyI

Mz

x

xz xx

IM

zy

yz


204

14.29 PRETPOSTAVKE ZA SLUĈAJ ĈISTOG SAVIJANJA

Pretpostavka o naponima:

Pretpostavka o deformacijama:

Veza napona i deformacija:

14.30 PRETPOSTAVKE ZA SLUĈAJ SAVIJANJE SILAMA

Pretpostavka o naponima:

Pretpostavka o deformacijama:

Veza napona i deformacija:

Za napone smicanja koristili smo Formule Ţuravskog

0z 0zx 0zy

0z 0zx 0zy

yI

MyzKEEx

xzz

0z 0zx 0zy

0z 0zx 0zy

yI

MyzKEEx

xzz

zxzx G

zyzy G

ySzIzT x

x

yzy

xSzIzT y

y

xzx


205

Koso savijanje (Primer 1)



206


Sada se zadrţimo na ĉistom kosom savijanju grede proizvoljnog popreĉnog preseka.

Glavne teţišne ose (1) i (2) oznaĉićemo sa (u) i (v).

Ugao koji trag ravni opterećenja s-s zaklapa sa teţišnom osom 1, odnosno u, oznaĉićemo sa .

Odgovarajući vektor momenta savijanja M mora biti upravan na trag ravni opterećenja.

Proizvoljni popreĉni presek grede izloţene kosom savijanju

M/M (s-s)

cossin

MMMM

v

u


207

14.31 Normalni naponi pri kosom savijanju

Konaĉan izraz za normalne napone izazvane kosim savijanjem

14.32 Koso savijanje – Neutralna osa

Neutralna osa je skup taĉaka u kojima je normalni napon jednak nuli (0)

Normalni napon je jednak nuli (0) za

cossin

MMMM

v

u

vu MM

vI

MMu

uu

uI

MMv

vv

vu MM uI

MvI

M

v

v

u

u

cossin

MMMM

v

u

uI

MM

vI

MM

v

vv

u

uu

u

Iv

IM

vu

cossin

0cossin

u

Iv

IM

vu

0cossin u

Iv

I vu

u

IIv

v

u

ctg ukv

tgctg

v

u

IIk


208

14.33 Postupak proračuna greda izloženih kosom savijanju

Izraĉunati glavne teţišne momente inercije.

Odrediti pravce glavnih teţišnih osa.

Odrediti popreĉni presek sa najvećim momentom savijanja.

U tom preseku odrediti poloţaj neutralne ose.

Odrediti taĉke koje su najudaljenije od neutralne linije i nacrtati dijagram raspodele napona po popreĉnom preseku.

15 EKSCENTRIĈNO ZATEGNUTI ILI PRITISNUTI ŠTAPOVI

U poglavlju koje se odnosilo na poduţno ili aksijalno naprezanje štapova razmatrali smo štapove kod kojih su opterećenja delovala duţ teţišne linije popreĉnih preseka.

Ovo nam je dozvolilo da usvojimo pretpostavku o ravnomernoj raspodeli normalnih napona po celom popreĉnom preseku.

U praksi se mogu sresti delovi konstrukcija kod kojih je opterećenje paralelno poduţnoj osi i u odnosu na nju ekscentriĉno pomereno.

15.1 Ekscentriĉno opterećena stubna bušilica


209

Ekscentriĉno opterećeni elementi poluţnih mehanizama

15.2 Ekscentrično zategnuti ili pritisnuti štapovi – Normalni naponi

Štap proizvoljnog popreĉnog preseka štapa moţe biti opterećen zateznom ili pritisnom silom F.

Glavne teţišne ose popreĉnog preseka oznaĉimo sa u i v.

Napadnu taĉku zatezne, odnosno pritisne sile oznaĉimo sa N0 (u0 , v0).

Sluĉaj ekscentriĉnog zatezanja

Da bi se rešio problem ekscentriĉnog zatezanja ili

ekscentriĉnog pritiska sila F se redukuje na teţište

popreĉnog preseka.

Pri redukovanju sile na teţište popreĉnog preseka dobija se poduţna sila i spreg koji izaziva ĉisto koso savijanje.


210

Pogodno je moment sprega razloţiti na dve komponente, Mu i Mv , koje savijaju oko glavnih teţišnih osa.

Ekscentriĉno zatezanje:

Ekscentriĉni pritisak:

Redukcijom ekscentriĉne zatezne ili pritisne sile iz napadne taĉke u teţište popreĉnog preseka dobijamo sloţeno naprezanje koje se sastoji od:

Poduţnog (aksijalnog) naprezanja i

Dva savijanja oko glavnih teţišnih osa.

Prema principu nezavisnosti opterećenja, moţe se napisati da poduţna sila u štapu izaziva napon

Napon od momenata savijanja iznosi:

0vFMu

0uFM v

AFF

uI

MvI

MMMv

v

u

uvu ,

0

0

uFMvFM

v

u

u

IuFv

IvFMM

vuvu

00,


211

Napon od sloţenog naprezanja, jednak je zbiru napona (F) i napona (Mu , Mv)

A ................ Površina popreĉnog preseka

iu , iv .......... Glavni polupreĉnici inercije

F ................ Zatezna (pritisna) sila

N(u0 , v0) .... Napadna taĉka sile

(u,v) ........... Koordinate zaĉke u kojoj se

traţi napon.

15.3 Ekscentrično zategnuti ili pritisnuti štapovi – Neutralna osa

Linija koja spaja taĉke u kojima je vrednost normalnog napona jednaka nuli (0)

je neutralna osa.

Normalni napon je jednak nuli (0) za

Jednaĉina neutralne ose

vu MMF , AFF

uI

uFvI

vFMMvu

vu

00,u

IuFv

IvF

AF

vu

00

uI

uFvI

vFAF

vu

00

v

ivu

iu

AF

uv20

201

AiIAiI

vv

uu

2

2

01 20

20

v

ivu

iu

AF

uv

01 20

20 v

ivu

iu

uv

120

20 v

ivu

iu

uv


212

Jednaĉina neutralne ose (segmentni oblik)

Poloţaj neutralne ose u odnosu na napodnu taĉku sile

Neutralna osa deli popreĉni presek na dva dela, na zategnuti i pritisnuti deo.

Neutralna osa uvek prolazi kroz kvadrant suprotan kvadrantu u kojem je napadna taĉka zatezne (pritisne) sile.

Zavisno od poloţaja napadne taĉke, dijagram raspodele normalnih napona u popreĉnom preseku moţe imati razliĉite oblike.

Poloţaji neutralnih osa u odnosu na napadnu taĉku sile, sa raspodelom napona, dati su na narednim slikama.

120

20 v

ivu

iu

uv

100

bv

au

0

2

0 uia v

0

2

0 vib u


213

Poloţaj neutralne ose i dijagram raspodele napona

Poloţaj napadne taĉke N0 proizvoljan.

Napadna taĉka N0 na glavnoj teţišnoj osi v.


214




215


N0 i teţište se podudaraju.

15.4 Ekscentrično zategnuti ili pritisnuti štapovi – Dimenzionisanje

Maksimalni normalni napon je u najudaljenijim taĉkama od neutralne ose i isti se koristi za dimenzionisanje ekscentriĉno zategnutih (pritisnutih) štapova.

Dozvoljeni napon na zatezanje jednak dozvoljenom naponu na pritisak:

Kod krtih ili krto-plastiĉnih materijala dozvoljeni naponi na zatezanje d,z i pritisak d,p se razlikuju

Obiĉno je

Zbog ovoga se moraju proveriti naponi u najudaljenijim taĉkama od neutralne linije, tj. treba da naponi u najudaljenijim taĉkama zadovolje uslove:

d max

pdzd ,,

zdpd ,,

pdp

zdz

,max,

,max,


216

15.5 Ekscentrično zategnuti ili pritisnuti štapovi – Jezgro preseka

Pitanje: Gde se nalaze napadne taĉke za koje bi napon po celom preseku imao isti znak?

U traganju za odgovorom dovoljno se zadrţati na graniĉnom sluĉaju jer tada problem postaje inverzan problemu odreĊivanja neutralne ose za poznatu napadnu taĉku.

Povuĉemo nj (j=1,2,3,...) tangenti popreĉnog preseka sa odseĉcima na glavnim teţišnim osama, aj i bj .

Jednaĉina neutralne ose (segmentni oblik)

Uz odreĊivanje jezgra preseka

Uzima se onoliko tangenti koliko je potrebno da taĉke Nj (j=1,2,3,...) ĉine vrhove zatvorenog poligona koji se zove jezgro preseka (najmanje 3 tangente).

ZADATAK 2

Na Slici 1 je prikazan popreĉni presek ekscentriĉno zategnutog kratkog štapa.

1. Definisati jednaĉinu neutralne ose za poznatu napadnu taĉku sile.

2. Odrediti jezgro preseka.

100

bv

au

j

uj

j

vj

biv

aiu

2

2


217

16. STABILNOST LINIJSKIH NOSEĆIH ELEMENATA

U poĉetku smo rekli da je Otpornost materijala posebna nauĉna disiplina kojom su obuhvaćeni metodi proraĉuna:

Ĉvrstoće,

Krutosti i

Stabilnosti

delova mašina i konstrukcija.

Do sada smo prouĉavali napone i deformacije kod:

Aksijalno opterećenih štapova (zategnutih i pritisnutih),

Smicanja (ĉistog i tehniĉkog),

Štapova opterećenih na uvijanje,

Savijanja grednih nosaĉa i konzola( ukljuĉujući i Gerberove gredne nosaĉe)

Pri tome su nas interesovale ĉvrtoća i krutost.

U ovom delu ćemo se upoznati sa stabilnošću štapova kao linijskih nosećih elemenata.

Razmotrićemo uslove pod kojima dolazi do gubitka elastiĉne stabilnosti štapova konstantnog popreĉnog preseka.

Štap sa poduţnom osom kao idealno pravom linijom i pravcem dejstva pritisne sile podudarnim sa tom osom, predstavlja prosti štap.

Sila pri kojoj dolazi do savijanja, odnosno izvijanja konkretnog štapa, naziva se kritiĉna sila izvijanja, a odgovarajuće naprezanje (opterećenje) naprezanje (opterećenje) na izvijanje.

Na naredni slikama su primeri konstrukcija kod kojih moţe doći do izvijanja kad opterećenje dostigne kritiĉnu vrednost.


218

Hidrocilindar

Izvijanje nastupa kada sila F dostigne kritiĉnu vrednost Fkr , tj. kada je F = Fkr .

Ravna rešetka

Izvijanje nastupa kad pritisna sila u nekom od štapova dostigne kritiĉnu vrednost F = Fkr .

NAPOMENA: Primenom metoda Statike potrebno je otkriti pritisnute štapove.

Ram

Izvijanje vertikalnih štapova će nastupiti pri F = Fkr .

Eksperimentalnim ispitivanjem je dokazano da se savijanje štapa u sluĉaju izvijanja vrši oko ose sa najmanjim momentom inercija I2 = Imin.

Pre nego što uĊemo dublje u problem izvijanja, na dva primera krutih tela, objasnićemo pojamove:


219

Stabilne,

Labilne i

Indiferentne ravnoteţe.

Stabilna ravnoteţa: Po prestanku dejstva poremećajne sile telo se vraća u prvobitan ravnoteţni poloţaj.

Labilna ravnoteţa: Po prestanku dejstva poremećajne sile telo se udaljava od prvobitnog ravnoteţnog poloţaja dok se ne umiri u novom ravnoteţnom poloţaju.

Indiferentna ravnoteţa: Po prestanku dejstva poremećajne sile telo zauzima novi ravnoteţni poloţaj blizak prvobitnom ravnoteţnom poloţaju.

Mogući sluĉajevi ravnoteţe valjka

Mogući sliĉajevi ravnoteţe štapa


220

16.1 Izvijanje u elastiĉnoj oblasti

U ovom sluĉaju, kad pritisna sila F dostigne kritiĉnu vrednost Fkr , moguće je da štap ostane prav ili da se izvije (iz pravog preĊe u izvijeni oblik).

Iz pravog u izvijeni oblik štap prelazi pri uvoĊenju malog popreĉnog poremećaja.

Tada mu osa kao idealno prava linija prelazi u krivu liniju u = u(z).

Zavisno od naĉina oslanjanja štapa razlikujemo ĉetiri osnovna sluĉaja izvijanja.

Prvi slučaj izvijanja

Posmatrajmo štap koji je zglobno oslonjen na oba kraja pre i posle dostizanja kritiĉne sile F = Fkr .

Izvijanje štapa pre (gore) i posle dostizanje kritiĉne sile (dole)

Pribliţna diferencijalna jednaĉina elastiĉne linije:

Moment savijanja iznosi:

Homogena diferencijalna jednaĉina drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

zMzuEI x "min zuFzuEI "

min

zuFzM x

0"min zuFzuEI zuFzuEI "

min

02" zukzumin

2

IEFk


221

0

Za integracionu konstantu C1 moţe se reći da je neodreĊena jer za z=l/2 imamo:

Za n=1 elastiĉna linija ima oblik polutalasa sinusoide i predstavlja tzv. osnovni harmonik.

Za n=2,3,4, ... dobijamo harmonike višeg reda.

Osnovni harmonik i harmonici višeg reda

Drugi slučaj izvijanja

Razmotrimo sluĉaj štapa koji je na jednom kraju uklešten, a na drugom slobodan.

nkl lnk

kzCkzCzu cossin 21 zl

nCzuu sin1

01max2

Cfzu

lz


222

Graniĉni uslovi i opterećenje štapa su isti kao kod zglobno oslonjenog štapa duţine 2l,

Jedino graniĉni uslovi na polovini raspona tog štapa odgovaraju graniĉnim uslovima ukleštene konzole.

Štap na jednom kraju uklešten, a na drugom slobodan

Najmanja vrednost kritiĉne sile u ovom sluĉaju iznosi:

Treći slučaj izvijanja

Razmotrimo sluĉaj obostrano ukleštenog štapa.

Rrastojanje izmeĊu prevojnih taĉaka elastiĉne linije, zbog simetrije iznosi l/2.

Zbog toga što je u prevojnim taĉkama elastiĉne linije moment savijanja jednak nuli (0), središnji deo štapa će se ponašati kao zglobno oslonjen štap.

2min

2

2 lIEFF kr


223

Obostrano uklešten štap izloţen izvijanju

Kritiĉna sila za obostrano uklešten štap iznosi:

Četvrti slučaj izvijanja

Razmotrimo štap koji je na jednom kraju uklešten, a na drugom zglobno oslonjen.

Štap na jednom kraju uklešten, a na drugom zglobno oslonjen

Moment savijanja:

Pribliţna diferencijalna jednaĉina elastiĉne linije:

2min

2

2

lIEFF kr

2min

2

5,0 lIEFkr

zYzuFzM A

zYzuFzuEI A "min


224

Homogena diferencijalna jednaĉina ĉetvrtog reda

Opšte rešenje homogene diferencijalne jednaĉine ĉetvrtog reda sa konstantnim koeficijentima je oblika:

Integracione konstante u ovoj jednaĉini odredićemo iz graniĉnih uslova:

zYzuFzuEI A "min

AYzuFzTdz

zdMzuEI '"'min

dzd

dzd

zuFdz

zdTzuEI IV "min

0"2 zukzu IV

0"2 zukzu IV

min

2

IEFk

4321 cossin CzCkzCkzCzu

0

0

)0( 0

0

'

0

"

0

lz

lz

Az

z

zu

zu

Mzu

zu

4321 cossin CzCkzCkzCzu

0

0

)0( 0

0

'

0

"

0

lz

lz

Az

z

zu

zu

Mzu

zu

321' sincos CkzkCkzkCzu

kzkCkzkCzu cossin 22

21

"


225

Da bi postojao ugib, integracione konstante u ovom sistemu moraju biti razliĉitte od nule

Ovo je transcedentna jednaĉina kojoj je najmanji koren

kzkCkzkCzuCzCkzCkzCzu

cossin

cossin2

22

1"

4321

00 cos0 sin

000 cos0 sin2

22

10

"

43210

kkCkkCzu

CkCkCkCzu

z

z

0z

00

22

42

kCCC

00

4

2

CC

lz

321'

4321

sincos

cossin

CkzkCkzkCzuCzCkzCkzCzu

0cos

0 sin

31'

31

CklkCzu

lCklCzu

lz

lz

0

0

0

01cos

sin

klklkl

D kltgkl

00

3

1

CC

kltgkl 493,4kl

min

2

IEFk

22 191,20

lk

2min

19,20 lIEF

2min 19,20

lIEFkr

2min

2

7,0 lEIFkr


226

Redukovane duţine za ĉetiri osnovna sluĉaja izvijanja

16.2 Ojlerova hiperbola

Koristeći pojam redukovane duţine, lr , moţemo napisati opšti izraz za kritiĉnu silu izvijanja.

Ovde uvedimo pojam vitkost štapa r :

Minimalni polupreĉnik inercije

2min

2

rkr l

IEF

2min

2

rkr l

IEF

minilr

r

AIi min

min


227

Izraza za kritiĉni napon σkr pri kojem dolazi do izvijanja

štapova

U teoriji izvijanja ovaj izraz predstavlja Ojlerovu hiperbolu.

Granicu do koje vaţi izraz za kritiĉni napon izvijanja

σP ... Granica proporcionalnosti

P ... Vitkost na granici proporcionalnosti

ZAKLJUĈAK:

Izvijanje u neelestiĉnoj oblasti imamo za

Izvijanje u neelastiĉnoj oblasti

Za štapove kod kojih je

izraz za kritiĉnu silu izvijanja

jer neupotrebljiv jer smo tada u neelastiĉnoj oblasti.

Rešiti problem izvijanja u neelastiĉnoj oblasti, znaĉi primeniti teoriju elasto-plastiĉnosti.

Zbog komplikovanosti matematiĉkog aparata, za izvijanje štapova u neelastiĉnoj oblasti koristimo empirijske izraze za izraĉunavanje vrednosti kritiĉnog napona.

Na osnovu eksperimenata, Tetmajer je definisao linearnu zavisnost izmeĊu kritiĉnog napona izvijanja σkr i vitkosti .

2min

2

rkr l

IEF

minilr

r 2min

22 il rr

AIi min2

min

AIl rr

min22 2

2 A

rkr

EF

2

2

r

kr EA

F

2

2

r

krkr

EA

F

2

2

rkr

E

P

Pkr

E

2

2

Pr

PP

E

Pr

pr

2min

2

rkr l

IEF


228

Linearna zavisnost kritiĉnog napona izvijanja , prema TETMAJERU, glasi

B , C ... Konstante koje zavise od vrste materijala.

Bolja aproksimacija se dobija ako se koristi nelinearna zavisnost kritiĉnog napona izvijanja i vitkosti

Dţonson-Ostenfeldova (Johnson-Ostenfeld) parabola

16.3 Izvijanje – Omega postupak

Jedan od najjednostavnijih postupaka za izraĉunavanje vrednosti kritiĉnog napona izvijanja, zasnovan na stvarnoj pritisnoj sili, je omega postupak.

Podaci o koeficijentu , za razne materi-jale, mogu se naći u tablicama (priruĉni-cima).

dc ... Dozvoljeni napon na pritisak

dk ... Dozvoljeni napon na izvijanje

Stabilnost nosećih ĉeliĉnih konstrukcija

Stabilnost nosećih ĉeliĉnih konstrukcije se proverava i za to postoje odgovarajući standardi.

Najveća pritisna za noseće ĉeliĉne konstrukcije izraĉunava se iz uslova:

CBkr

mkr CB 2m

2 CBkr

dckr AF

1dk

dc

N

AN i

dikr ,

krkr AFF

1


229

Koeficijenti N se za linije iz dijagrama , takoĊe mogu naći u tablicama (priruĉnicima).

N

AN i

dikr ,

NN

E

EE


230

ZADATAK 1

Na Slici 1 je prikazan U20 profilni stub.

1. Odrediti kritiĉnu silu izvijanja stuba sa slike za h = 2 m i h = 1 m, ako su:

E= 2105 MPa

σP = 180 MPa

σT = 220 MPa

σ0 = 310 MPa

17. ENERGETSKI METODI

U prethodnim tematskim jedinicama sreli smo se sa statiĉki neodreĊenim problemima kod:

Poduţno (aksijalno) opterećenih štapova,

Štapova opterećenih na uvijanje i

Grednih nosaĉa opterećenih na savijanje.

Za rešavanje ovih problema korišćen je metod sila, a dopunski uslovi su se odnosili na pomeranja.

MeĊutim, postoji niz neodreĊenih problema koji se na taj naĉin ne mogu rešiti.

U delu koji sledi, pokazaćemo da se većina problema, kod koji se traţe pomeranja, najlakše rešava primenom energetskih metoda, bilo da isti pripadaju grupi statički odreĎenih ili grupi statički neodreĎenih problema.

Osim za odreĊivanje pomeranja i sila u konstrukcijama, energetski metodi su osnova za prouĉavanje stabilnosti konstrukcija.

Pribliţna rešenja u vezi sa analizom deformacija, stabilnosti i oscilacija (vibracija) elastiĉnih tela, takoĊe se baziraju na energetskim metodima.


231

U svrhu rešavanja izvesnih tehniĉkih problema, ostalo nam je da se upoznamo sa pristupima zasnovanim na energetskim metodima.

Ovo podrazumeva i upoznavanje sa bitnim i veoma korisnim teoremima.

17.1 Deforrmacijski rad – Potencijalna energija deformacije

Delovi mašina i konstrukcija, usled opterećenja kojima su izloţeni, menjaju oblik (deformišu se).

Napadne taĉke sila će se pomeriti, i na tim pomeranjima, sile će izvršiti odreĊeni rad.

To će u posmatranom mašinskom delu izazvati promenu energije (potencijalne, kinetiĉke, toplotne).

Ako napadne sile, svoje pune vrednosti dostiţu postepeno, i ako se za vreme odrţavanja ravnoteţe mogu zanemariti ubrzanja taĉaka posmatranog mašinskog dela (ili konstrukcije), onda se moţe reći da je ukupna promena energije deformisane konstrukcije jednaka ukupnoj promeni potencijalne energije.

Pod pretpostavkom da je konstrukcija izraĊena od idealno elastičnog materijala, moţe se govoriti o unutrašnjoj ili potencijalnoj energiji elastiĉne deformacije.

Umesto pojma potencijalne energije elastiĉne deformacije, u tehnici se koristi i pojam deformacijskog rada.

Ako sa rad spoljašnjih sila oznaĉimo sa R, a potencijalnu energiju elastiĉne deformacije - deformacijski rad, sa Ad, onda na osnovu zakona o oĉuvanju energije moţemo napisati da je

Predstavlja zapis Klapejronovog teorema definisanog na sljedeći naĉin. Rad izvršen od strane spoljašnjih sila na elastičnom telu (konstrukciji) za vreme njegovog deformisanja, jednak je deformacijskom radu (potencijalnoj energiji deformacije) akumuliranom u posmatranom elastičnom telu.

17.2 Deformacijski rad izraţen pomoću spoljašnjih sila

Jednostavnosti radi, poći ćemo od poduţno opterećene opruge i poduţno opterećenog štapa.

dAR


232

Pomeranje napadne taĉke sile F, oznaĉeno sa , u oba sluĉaja je jednako.

Za krutost opruge k i proizvoljno pomeranje napadne taĉke sile,

U krajnjem poloţaju imaćemo

Zavisnost sile i pomeranja je linearna !!!

Na celom pomeranju , od poĉetka delovanja sile (F=0), do njene krajnje vrednosti F, izvršeni rad će iznositi

Ako se iz proizvoljnog poloţaja z , napadna taĉka sile pomerila za dz sila će na tom pomeranju izvršiti rad koji će iznositi

z0 zz kF

zz Fk

1

kF Fk

1

0

dFAR d

dFdAdR d


233

Linearna zavisnost sile i pomeranja

Za ĉvrsto telo (konstrukciju), kojem se materijal ponaša po Hukovom zakonu (linearno elastiĉno se ponaša), rad koji izvrši spoljašnja sila F na pomeranju iznosi

i isti jednak je površini trougla u dijagramu

0

dFAR d

FAR d 21


234

Ovo predstavlja Klapejronovog stav.

Rad spoljašnje sile pri statičkom opterećenju konstrukcije sa linearno elastičnim ponašanjem, jednak je polovini proizvoda krajnjih vrednosti sile i pomeranja njene napadne tačke, tj., polovini vrednosti koju bi imao, kada bi sila od početka delovala u punom iznosu

Deformacijski rad je kvadratna funkcija pomeranja.

Deformacijski rad je kvadratna funkcija spoljašnje sile.

FAR d 21

FAR d 21

kF 2

2kAd

FAR d 21

Fk1

k

FAd 2

2


235

17.3 Deformacijski rad izraţen pomoću unutrašnjih sila – Napona

Ĉvrsto telo (konstrukcija) usled delovanja spoljašnjih sila menja oblik i dimenzije i u svim njegovim delovima se akumulira potencijalna energija jednaka deformacijskom radu.

U svrhu izvoĊenja izraza za deformacijski rad, kod najopštijeg sluĉaja naprezanja, najpre ćemo izvesti odgovarajuće izraze za jednostavne sluĉajeve.

Deformacijski rad usled normalnih napona

Posmatraćemo zapreminski element izolovan iz opterećenog ĉvrstog tela (konstrukcije), kojem je zapremina dV = dx dy dz i na koji deluje normalni napon u jednom (z) pravcu.

Izolovani zapreminski element na koji deluje normalni napon jednom (z) pravcu

Proizvod normalnog napona z i površine dxdy , moţe se posmatrati kao spoljašja sila koja pri postepenom poratu opterećenja ĉvrstog tela (konstrukcije), raste od nule (0) do vrednosti zdxdy .

Duţina elementa dz će se usled delovanja sile zdxdy uvećati za (dz)

zdz

dz

dzdz z


236

Izraz za deformacijski rad izraţen preko normalnog napona z i deformacije εz.

Deformacijski rad usled napona smicanja

I ovde ćemo posmatrati zapreminski element izolovan iz opterećenog ĉvrstog tela (konstrukcije), kojem je zapremina dV = dx dy dz i na koji deluju samo naponi smicanja.

Izolovani zapreminski element na koji deluju samo naponi smicanja

Ako na stranicama zapreminskog elementa deluju samo naponi smicanja, koji pripadaju istoj ravni (ravni koja je paralelna sa ravni yz), moţe se prihvatiti da na stranici dxdz postoji smiĉuća sila koja raste od nule (0) do yzdxdz

dzdz z dzdxdydA zd 21

dzdxdydA zzd 21

dxdydzdA zzd 21

dxdydzdV dVdA zzd 21


237

Usled delovanja ove sile, pravi uga izmeĊu y i z pravca će se promeniti za ugao klizanja yz i napadna taĉka te iste sile će se pomeriti za

Izraz za deformacijski rad izraţen preko napona smicanja yz i deformacije klizanja yz .

Deformacijski rad pri složenom opterećenju

Generalno se moţe reći da na stranama zapreminskog elementa, izolovanog iz opterećenog ĉvrstog tela (konstrukcije), postoje sve komponente tenzora napona [σ]

Izolovani zapreminski element na koji deluju sve komponente tenzora napona [σ]

dytg yzyz

dyyz

dxdzdA yzd 21 dydxdzdA yzyzd

21 dxdydzdA yzyzd

21

dVdA yzyzd 21

zzyzx

yzyyx

xzxyx


238

Na osnovu izraz za deformacijski rad izraţen preko normalnog napona z i deformacije εz

i na osnovu izraza za deformacijski rad izraţen preko napona smicanja yz i deformacije klizanja yz

moţe se doći do izraza za deformacijske radove izraţene preko ostalih komponenti tenzora napona i odgovarajućih deformacija, a zatim uz podršku principa superpozicije i do izraza za deformacijski rad pri sloţenom opterećenju

17.4 Specifiĉni deformacijski rad

Specifiĉni deformacijski rad (Ad’) predstavlja deformacijski rad (dAd) sveden na jedinicu zapremine i saglasno ovome moţemo napisati da je.

Za sluĉaj u kojem se pojavljuje normalni naponi u jednom pravcu, specifiĉni deformacijski rad iznosi

dVdA zzd 21

dVdA yzyzd 21

dVdA zxzxyzyzxyxyzzyyxxd 21

dVdAdA d

d '

dV

dA

zxzxyzyzxyxy

zzyyxxd

) 21

(

) 21'

zxzxyzyzxyxy

zzyyxxdA

(

21' dA


239

Za sluĉaj u kojem se pojavljuju naponi smicanja u jednoj ravni, specifiĉni deformacijski rad iznosi

Ovim se ustvari proširuje Klapejronov stav izraţen u obliku

Od ranije su nam poznati izrazi kojima je definisan izvorni Hukov zakon

17.5 Deformacijski rad izraţen preko preseĉnih sila

Razmatrajući sluĉaj opšteg opterećenja linijskih nosećih elemenata pokazali smo da ima šest (6) preseĉnih sila:

Normalna preseĉna sila N,

Preseĉni moment uvijanja (torzije) Mt ,

Preseĉni moment savijanja Mx ,

Preseĉni moment savijanja My ,

21' dA

FAR d 21


240

Popreĉna preseĉna sila Tx i

Popreĉna preseĉna sila Ty .

Specifični deformacijski rad izražen preko presečne normalne sile N

U popreĉnim presecima poduţno napregnutog štapa pojavljuje se samo preseĉna sila N(z) i odgovarajući normalni napon z(z).

Napona smicanja jednak je nuli (0).

Uz analizu deformacijskog rada izraţenog preko preseĉne normalne sile


241

Deformacijski rad izražen preko presečnog momenta uvijanja

U popreĉnim presecima štapa napregnutog na uvijanje pojavlju se samo preseĉni momenti uvijanja Mt(z) i odgovarajući napon smicanja z(,z).

Normalni napon z jednak je nuli (0).

Uz analizu deformacijskog rada izraţenog preko preseĉnog momenta uvijanja

constFzN

constEA

dzzAEzNA

l

Nd 2

1

0

2

,

EAlFAd 2

2

GzA z

Md t 2

2'

,

zIzMz t

z0

,

220

2'

, 2

zIGzMA t

Md t

zA

dAdzdV V

'd,MMd dVAA

tt

21

,

l

zA

tMd dzdA

zIGzMA

t0

220

2

, 2

1

dzzIGzMA

lt

Md t

21

0 0

2

,


242

Deformacijski rad izražen preko presečnog momenta savijanja

Kod greda izloţenih ĉistom savijanju kao i savijanju silama, u popreĉnim presecima je pojavljuju preseĉni momenti savijanja Mx(z) ili My(z) i dogovarajući naponi z(y,z).

Uz analizu deformacijskog rada izraţenog preko preseĉnih momenata savijanja

Deformacijski rad usled momenta savijanja Mx

Deformacijski rad usled momenta savijanja My

constMzM t

constGI 0

dzzIGzMA

lt

Md t

21

0 0

2

, 0

2

, 2GIlMA

tMd

EzA z

Md x 2

2'

,

yzIzMzy

x

xz ,

22

2'

, 2y

zIEzMA

x

xMd x

zA

dAdzdV V

'd,MMd dVAA

xx

21

,

l

zAx

xMd dzdAy

zIEzMA

x0

22

2

, 2

1

dzzIEzMA

l

x

xMd x

2

1

0

2

,

dz

zIEzM

Al

y

yMd y

2

1

0

2

,


243

Deformacijski rad izražen preko presečnih poprečnih sila

Kod greda izloţenih savijanju silama, u popreĉnim presecima je pojavljuju preseĉni momenti savijanja Mx(z) ili My(z) i odgovarajuće popreĉne sile Ty(z) i Tx(z).

Usled pojave popreĉnih sila u popreĉnim presecima se pojavljuju naponi smicanja Tzy(z) ili Tzx(z).

Uz deformacijski rad izraţen preko preseĉnih popreĉnih sila

GzA z

Td y 2

2'

,

x

x

yzy

SzIzT

z

2

2

2'

, 2

x

x

yTd

SzIG

zTA

y

zA

dAdzdV V

'd,MMd dVAA

tt

21

,


244

Kx i Ky su koeficijenti oblika popreĉnog preseka.


245

ZADATAK 1

Odrditi koeficijente oblika Kx pravougaonog i kruţnog popreĉnog preseka

Slika 1 – Pravougaoni i kruţni popreĉni presek


246

17.6 Opšti izraz za deformacijski rad izraţen preko preseĉnih sila

Na osnovu napred izloţenog moţe se napisati i opšti izraz za deformacijski rad izražen preko bilo koje od pesečnih sila, a izvršen na elementarnom delu štapa (grede) duţine ds

s ... Koordinata duţ štapa,

am/bm ... Granice intervala u kojima se menja

bilo koja od veliĉina F(s)/(s)/J(s),

F(s) ... Bilo koja od 6 preseĉnih sila,

(s) ... Odgovarajuća fiziĉka karaktristika,

J(s) ... Odgovarajuća geometrijska

F(s)

N(z)

Mt(z)

Mx(z)

My(z)

Ty(z) Tx(z)

(s) E G E E G G

J(s) A(z)

I0(z) Ix(z) Iy(z) A(z)/Kx

A(z)/Ky

dssJs

sFdAd

2

21

n

m

b

ad

m

m

dssJs

sFA1

2

21

n

m

b

ad

m

m

dssJs

sFA1

2

21

n

m

b

ad

m

m

dssJs

sFA1

2

21


247

17.7 Deformacijski rad pri opštem sluĉaju opterećenja izraţen preko preseĉnih sila

U izvesnim sluĉajevima se na popreĉnom preseku linijskog nosećeg elmenta mogu pojaviti sve preseĉne sile koje deluju na elementarnom delu dužine dz.

Tada će na osnovu nezavisnosti opterećenja (principa superpozicije) deformacijski rad biti jednak zbiru deformacijskih radova od svih presečnih sila, na elementarnom delu duţine dz.

dAd ... Elementarni deformacijski rad u jednom zapreminskom elementu

Ad ... Ukupni deformacijski rad na celoj duţini linijskog nosećeg elementa.

Za konstrukciju sastavljenu od n delova (štapova i greda) vaţi

)()()( )()()(

xdydyd

xdtddd

TdATdAMdAMdAMdANdAdA

dzGATdz

GAT

dzEI

M

dzEI

MdzGIMdz

EANdA

y

x

x

y

y

y

x

ttd

222

222222

2

0

22

l

y

xl

x

yl

y

y

l

x

xl

tl

d

dzGA

zTdzGA

zTdz

EIzM

dzEI

zMdzGI

zMdzEA

zNA

0

2

0

2

0

20

2

0 0

2

0

2

221

221

221

221

21

21

n

m

b

a y

xn

m

b

a x

yn

m

b

a y

y

n

m

b

a x

xn

m

b

a

tn

m

b

ad

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

dzGA

zTdzGA

zTdz

EIzM

dzEI

zMdzGI

zMdzEA

zNA

1

2

1

2

1

2

1

2

1 0

2

1

2

221

221

221

221

21

21


248

ZADATAK 2

Na donjoj slici imamo štap i gredu pravougaonog popreĉnog peseka i iste duţine.

Odrediti ukupne deformacijske radove

štapa i grede za l=3m, F=25 kN, M=25

kNm i popreĉni presek (10 cm ×18 cm).

Slika 2 – Štap i greda

17.8 Teoremi o uzajamnosti

Dva su teorema o uzajamnosti koji se primenjuju pri rešavanju velikog broja problema Otpornosti materijala i Teorije elastiĉnosti, i to:

Teorem o uzajamnosti radova i

Teorem o uzajamnosti pomeranja.

Teorem o uzajamnosti radova

Naslovni teorem je opšti teorem otpornosti materijala i primenjuje se na sve sisteme opterećenja za koje se moţe primeniti princip nezavisnosti opterećenja (princip superpozicije).

Za primer uzmimo gredu opterećenu sa dve koncentrisane sile.


249

Uz teorem o uzajamnosti radova

Uopštenja radi, taĉke u kojima deluju dve sile pratićemo pod onakama i i j.

U tom sluĉaju ćemo koncentrisane sile pratiti pod oznakama Si i Sj.

Prema principu nezavisnosti opterećenja posmatraćemo prvo delovanje sile Si u taĉki i , koja postepenim rastom nule (0) do pune vrednosti, pomeri taĉku i za i(Si).

Usled delovanja sile Si pomeriće se i taĉka j za j(Si).

Sluĉaj grede na koju deluje samo sila Si

Na pomeranju i(Si), sila Si će pri porastu od nule do svoje pune vrednosti izvršiti rad

koji je jednak površini trougla

Sada zamislimo da smo gredi dodali silu Sj koja će takoĊe rasti od nule (0) do svoje pune vrednosti.

Sila Sj će taĉku j pomeriti za j(Sj), a taĉku i za i(Sj).

iii SS 21


250

Sila Si će u svom punom iznosu, posle dodavanja sile Sj , nastaviti da vrši rad na pomeranju i(Sj).

Greda sa punom vrednošću sile Si i dodatom silom Sj koja je porasla do svoje pune vrednosti

Na pomeranju i(Sj), sila Si će sa svojom punom vrednošću izvršiti rad

koji je jednak površini pravougaonika.

Na pomeranju j(Sj), sila Sj će pri porastu od nule do svoje pune vrednosti izvršiti rad

koji je jednak površini trougla.

Sile Si i Sj, zajedno će izvršiti rad

jii SS

jjj SS 21

jjjjiiiiid SSSSSSA 21

21


251

Prema principu nezavisnosti opterećenja moţemo redosled sila promeniti i prvo posmatrati delovanje sile Sj u taĉki j, koja će postepenim rastom nule (0) do pune vrednosti, pomeriti taĉku j za j(Sj).

Usled delovanja sile Sj pomeriće se i tačka i za i(Sj).

Slučaj grede na koju deluje samo sila Sj

Na pomeranju j(Sj), sila Sj će pri porastu od nule do svoje pune vrednosti izvršiti rad koji je, sliĉno kao i u prethodnom sluĉaju, jednak površini trougla.

Sada zamislimo da smo gredi dodali silu Si koja će takoĊe rasti od nule (0) do svoje pune vrednosti.

Sila Si će taĉku i pomeriti za i(Si), a taĉku j za j(Si).

Sila Sj će u svom punom iznosu, posle dodavanja sile Si , nastaviti da vrši rad na pomeranju j (Si).

Greda sa punom vrednošću sile Sj i dodatom silom Si koja je porasla do svoje pune vrednosti

Na pomeranju j(Si), sila Sj će sa svojom punom vrednošću izvršiti rad koji je jednak površini pravougaonika.

jjj SS 21

ijj SS


252

Sile Sj i Si, zajedno će izvršiti rad

Sile Si i Sj, zajedno će izvršiti rad

Zbog nezavisnosti od redosleda sledi

Ovo predstavlja Beti-Rejlijev teorem o uzajamnosti radova.

Ovo je proširenje Beti-Rejlijev teorema o uzajamnosti radova na sistem.

Teorem o uzajamnosti radova – Primer

Koristeći izraz

jiiijjjjjd SSSSSSA 21

21


21

ijjjii SSSS

m

jijj

m

jjii SSSS

11


21


253

odrediti deformacijski rad grede

REŠENJE

Teorem o uzajamnosti pomeranja

Teorem o uzajamnosti pomeranja moţe se na sliĉan naĉin izvesti kao i teorem o uzajamnosti radova.

S’ druge strane, teorem o uzajamnosti pomeranja moţe se posmatrati i kao poseban sluĉaj teorema o uzajamnosti radova kod kojeg su sile Si i Sj imaju jedinične vrednosti.

U svrhu izvoĊenja teorema o uzajamnosti pomeranja uvešćemo pojam uticajnih (Maksvelovih) koeficijenata elastiĉnosti ij.

EI

FlS48

3

11 EI

MlS16

2

21

EI

MlS322 222211111

21

21 SSSSSSAd

EIMlM

EIMlF

EIFlFAd 32

1 16482

1 23

EIFlS

16

2

12

EIlM

EIFMl

EIlFAd 6

1696

2232


254

Uz izvoĊenje teorema o uzajamnosti pomeranja

Uticajni koeficijent elastiĉnosti ij predstavlja pomeranje proizvoljne taĉke i u pravcu delovanja sile Si , usled delovanja jediniĉne sile Sj =1.

Vaţi i obrnuto - Uticajni koeficijent elastiĉnosti ji predstavlja pomeranje proizvoljne taĉke j u pravcu delovanja sile Sj , usled delovanja jediniĉne sile Si =1.

Imajući u vidu šta uticajni koeficijenti elastiĉnosti predstavljaju, za pomeranja na slici moţemo napisati da iznose

Izraz za teorem o uzajamnosti radova

Jednakost uticajnih koeficijenata predstavlja teorem o uzajamnosti pomeranja (poznat i kao Maksvelov teorem o uzajamnosti ).

U linearno elstičnom telu (konstrukciji), pomeranje proizvoljne tačke i u pravcu delovanja sile Si , izazvano jediničnim koncentrisanim opterećenjem (silom ili momentom) Sj koje deluje u tački j, jednako je pomeranju tačke j u pravcu delovanja sile Sj, izazvanom jediničnim koncentrisanim opterećenjem Si = 1 koje deluje u tački i.

Na osnovu ovoga, moţe se reći da uticajni koeficijenti elastiĉnosti imaju osobinu simetriĉnosti.

Korišćenjem uticajnih koeficijenata elastiĉnosti, pomeranje i, proizvoljne taĉke i, izazvano delovanjem sila S1, S2, ..., Sj, ..., Sn, iznosi

Teorem o uzajamnosti pomeranja – Primer

Koristeći izraz

ijiij

jijji

SSSS

ijjjii SSSS ijji SSSS jiij jiij

nji SSSS inij2i21i1

n

jji S

1ij

ijjjii SSSS


255

dokazati teorem o uzajamnosti pomeranja i odrediti uticajne koeficijente elastiĉnosti za gredu

REŠENJE

Ovim je dokazan teorem o uzajamnosti pomeranja za gredu na slici.

Uvedimo sada jediniĉne sile

Ovim je dokazana simetriĉnost uticajnih elestiĉnih koeficijenata za gredu na slici.

EI

MlS

EIFlS

3

48

22

3

11

EI

FlS

EIMlS

16

162

12

2

21

122211 SSSS

16

16

22

EIFlM

EIMlF

16

16

22

EIFlM

EIMlF

11

2

1

SMSF

EI

FlS

EIMlS

16

162

12

2

21

EI

lS

EIlS

161

161

2

12

2

21

11

1221

2112

SS

EIl

16

2

2112


256

17.9 Deformacijski rad i dopunski rad

Pre svega, prisetimo se osnovnih sluĉajeva naprezanja sa poznatim izrazima kojima se definiše meĊusobna zavisnost sila i pomeranja njihovih napadnih taĉaka.

Aksijalno naprezanje štapa

Uvijanje štapa

Savijanje konzole

Savjanje grede

U svim navedenim sluĉajevima naprezanja, sreli smo se sa koncentrisanim opterećenjima S (silama ili momentima).

Zavisnost izmeĊu sila i pomeranja njihovih napadnih taĉaka i obrnuto je linearna.

U nekim sluĉajevima ova veza moţe biti i nelinearna.

EAlFl

lEAlF

0GIlM

lGIM 0

EIlFf

3

3

3

3lEIfF

EIlM

3

lEIM 3


257

PRIMER NELINEARNE ZAVISNOSTI

Odrediti pomeranje srednjeg zgloba 2-štapnog sistema

REŠENJE

Plan pomeranja

Sile u štapovima

222 lll

cos221FFF

cos21

EAFl

EAlFl

lll

cos EAFll

2

2


258

Ovo je primer geometrijske nelinearnosti.

U nekim sluĉajevima se moţe pojaviti i fiziĉka nelinearnost (materijal se ponaša nelinearno elastiĉno).

U bilo kojem sluĉaju nelinearnosti govorimo o nelinearnom elastiĉnom ponašanju i meĊusobna zavisnost sile i pomeranje njene napadne taĉke je nelinearna.

Dijagramski prikaz nelinearnog ponašanja

Šrafirane površine na slici predstavljaju deformacijski rad Ad (levo) i dopunski rad A*d (desno).

Deformacijski rad

Zanemarivanjem kinetiĉke i toplotne energije, prihvatamo da se ukupan rad spoljašnjih sila pretvara u potencijalnu energiju deformacije – deformacijski rad.

Priraštaj rada spoljašnjih sila, jednak priraštaju deformacijskog rada, za telo (konstrukciju) sa nelinearno elastiĉnim ponašanjem, dat je izrazom

222 lll

llllllllll

22 2 2222

EAFll

2

2

ll 22 EAFl33 3

3 lEAF 3

EAFl

dSdAdR d


259

Priraštaj deformacijskog rada:

Ukupni deformacijski rad iznosiće

Dopunski rad

Za telo (konstrukciju) sa nelinearnim elastiĉnim ponašanjem i zavisnošću izmeĊu pomeranja i sile, moţemo definisati priraštaj tzv. dopunskog rada

Priraštaj dopunskog rada:

Ukupni dopunski rad iznosiće

Dopunski rad nma jasan fiziĉki smisao, ali je prema slici levo jasno, da zbir ova dva rada iznosi

dSdAd

0

dSAd

dSSdAd *

dSSdAd *

S

d dSSA0

*

SAA dd *


260

Deformacijski i dpunski rad u sluĉaju nelinearnog (levo) i linearnog elastiĉnog ponašanja ponašanja tela (desno)

Deformacijski i dopunski rad su u sluĉaju linearnog elastiĉnog ponašanja jenaki i iznose

17.10 Primena deformacijskog rada (Potencijalne energije deformacije)

Posmatraćemo proizvoljno opterećen deo konstrukcije sastavljene od linijskih nosećih elemenata (štapova, greda).

Proizvoljno opterećen deo konstrukcije

Na deo konstrukcije deluju koncentrisanih opterećenja (sila ili momenata)

SAA dd 21*

),...,2,1( niSi


261

Ponašanje je nelinearno elastiĉno

Neka je za svaku od sila

Ukupan deformacijski rad dela konstrukcije iznosi

Pod pretpostavkom da jedino pomeranje i proizvoljne taĉke i u kojoj deluje sila Si , doţivi promenu pomeranja di u pravcu delovanja sile Si, a sva ostala pomeranja ostanu nepromenjena, tj. imamo da je

Promena ukupnog deformacijskog rada

Ovo predstavlja Prvi Kastiljanov teorem (ili Lagranţov ili Lagranţ-Kastiljanov teorem)

iii SS

nniidd SSSSAA ,,,,, 2211

nidd AA ,...,,...,, 21

0......0

1121

nii

i

dddddd

iid dSdA

nidd AA ,...,,...,, 21

n

ii

i

dd dAdA

1

0......0

1121

nii

i

dddddd

ii

dd dAdA

iid dSdA

niSAi

i

d ,...,2,1


262

Prvi kastiljanov teorem glasi: Ako se potencijalna enrgija deformacije , deformacijski rad, akumuliran u elastiĉnoj konstrukciji, izrazi kao funkija pomeranja (linijskih ili ugaonih) i(i=1,2,...,n), onda je parcijalni izvod deformacijskog rada Ad po i-tom pomeranju i-te taĉke jednak odgovarajućem i-tom koncentrisanom opterećenju (sili ili momentu) Si koje deluje u i-toj taĉki, a u smeru tog pomeranja.

Prvi kastiljanov teorem predstavlja osnovu za metod pomeranja.

17.11 Primena dopunskog rada

Sada ćemopretpostaviti da se iz poznate veze

Moţe uspostaviti veza

Ponašanje je nelinearno elastiĉno

Ukupan dopunski rad iznosi

iii SS

iii S

iii S

nniidd SSSSAA ,,,,, 2211**

nidd SSSSAA ,...,,...,, 21**


263

Za sluĉaj

promena ukupnog dopunskog rada će iznositi

Ovo predstavlja Groti-Engeserov teorem koji vaţi za bilo kakvu elastiĉnu konstrukciju.

Groti-Engeserov teorem glasi: Ako se dopunski rad A*d izrazi ka funkcija koncentrisanih opterećenja Si(i=1,2,...,n) onda je parcijalni izvod tog rada po i-tom koncentrisanom opterećenju (sili ili momentu) koje deluje u i-toj taĉki, jednak i-tom pomeranju i u pravcu i smeru sile Si koja u i-toj taĉki deluje.

Ovaj teorem predstavlja osnovu za metod sila.

Ako je u pitanju linearno elastiĉno ponašanje konstrukcije onda su dopunski i deformacjski rad jednaki

Ovo predstavlja Drugi Kastiljanov teorem koji vaţi samo za linearno elastiĉnu konstrukciju.

0......0

1121

nii

i

dSdSdSdSdSdS

iid dSdA *

nidd SSSSAA ,...,,...,, 21**

n

ii

i

dd dS

SAdA

1

**

0......0

1121

nii

i

dSdSdSdSdSdS

ii

dd dS

SAdA

**

iid dSdA *

niSA

ii

d ,...,2,1 *

dd AA *

niSA

SA

ii

d

i

d ,...,2,1 *


264

Drugi Kastiljanov teorem glasi: Ako se u linearno elastiĉnoj konstrukciji deformacijski rad Ad izrazi kao funkcija sila, koje deluju na konstrukciju, onda je parcijalni izvod tog rada po i-tom koncentrisanom opterećenju Si koje deluje u i-toj taĉki, jednak i-tom pomeranju i , a u smeru delovanja tog opterećenja.

U sluĉaju linearno elastiĉnog ponašanja konstrukcije moguće je primeniti oba Kastiljanova teorema.

Jedan naĉin izvoĊenja ovih teorema već je izloţen.

Sada ćemo oba Kastiljanova teorema izvesti na jedan drugi naĉin.

U svrhu izvoĊenja drugog Kastiljanovog teorema posmatraćemo prostu gredu opterećenu sa tri (3) koncentrisane sile.

Uz izvoĊenje drugog Kastiljanovog teorema

Usled sila Fi (i=1,2,3) nastaju pomeranja i(Fj) (i,j=1,2,3) za koja vaţi

Sada, kako smo to i ranije radili, zamislimo da na gredu prvo deluje sila F1 od nule do svoje krajnje vrednosti, zatim sila F2 od nule do svoje krajnje vrednosti i na kraju sila F3 od nule do svoje krajnje vrednosti.

Saglasno ovakvom posmatranju delovanja napadnih sila grede, definisaćemo izraz za deformacijski rad Ad.

3332321313

3232221212

3132121111

F F F F F F

F F F

3,2,1 F 3

1ij

ij

ji


265

Deformacijski rad za gredu na slici iznosi

Deformacijski rad izraţen

kao kvadratna forma sila

333

322222

311211111

21

21

21

FF

FFFF

FFFFFFAd

3,2,1 F 3

1ij

ij

ji

333

322222

311211111

21

21

21

FF

FFFF

FFFFFFAd

2333

32232

222

311321122

111

21

21

21

F

FFF

FFFFFAd


266

Iz

Deformacijski rad je funkcija sila.

Ovim je izveden drugi Kastiljanov teorem koji vaţi samo za sisteme sa linearnim elastiĉnim ponašanjem.

U svrhu izvoĊenja prvog Kastiljanovog teorema posmatraćemo prostu gredu opterećenu sa dve (2) koncentrisane sile.

2333

32232

222

311321122

111

21

21

21

F

FFF

FFFFFAd

3,2,1 iFAA idd

2333

32232

222

311321122

111

21

21

21

F

FFF

FFFFFAd

3332321313

3232221212

3132121111

FFFFA

FFFFA

FFFFA

d

d

d

3332321313

3232221212

3132121111

FFFFA

FFFFA

FFFFA

d

d

d

3332321313

3232221212

3132121111

F F F F F F

F F F

33

22

11

FAFAFA

d

d

d

3,2,1

iFA

ii

d


267

Uz izvoĊenje prvog Kastiljanovog teorema

Izrazi za pomeranja: odnosno

Uticajni koeficijenti krutosti

2221212

2121111

F F F F

2222121

1212111

F F F F

2222121

1212111

F F F F

2221

1211

D 2

122211 D

222

1211

D

221

1112

D

2121221 D

1212112 D

DDF

DDF

22

11

2121221 D

1212112 D

211

121

2

212

122

1

DDF

DDF

2221212

2121111

kkFkkF

2,1 2

1

ikF jj

iji

2122211 D

jiijk k


268

Deformacijski rad za gredu na slici iznosi

22222112

2111 2

121 FFFFAd

22222112

2111 2

121 FFFFAd

2

2

22

1

12

1

2

21

1

11

FFAF

FAA

FFAF

FAA

ddd

ddd

2

2222121

2

1212111

2

1

2222121

1

1212111

1

FFFFFFA

FFFFFFA

d

d

2221212

2121111

kkFkkF

21

1

211

1

1 kFkF

222

212

2

1 kFkF

2221212

2121111

F F F F

2

2222121

2

1212111

2

1

2222121

1

1212111

1

FFFFFFA

FFFFFFA

d

d

2221212

2121111

kkA

kkA

d

d


269

Ovim je izveden prvi Kastiljanov teorem.

Primer primene prvog Kastiljanovog teorema i Groti-Engeserovog teorema

Za dvoštapni sistem

odrediti deformacijski i dopunski rad, a zatim primeniti prvi Kastiljanov teorem i Groti-Engeserov teorem.

Klasiĉanim pristupom, za ovaj problem smo dobili meĊusobne zavisnosti sile F i pomeranja njene napadne taĉke

Deformacijski rad:

2221212

2121111

kkFkkF

2221212

2121111

kkA

kkA

d

d

22

11

FA

FA

d

d

2,1

iFAi

i

d

3 EAFlF

33

lEAFF

dFAd 0

dlEAAd

0

33

434

lEAAd


270

Prvi Kastiljanov teorem:

Dopunski rad:

Groti-Engeserov teorem

NAPOMENA: Drugi Kastiljanov teorem, ovde se ne moţe primeniti jer je meĎusobna veza sile i pomeranja, nelinearna.

17.12 Koeficijenti elastiĉnosti i krutosti

Uopštavanjem posmatranih primera moguće je doći do još nekih zakljuĉaka.

Uopštavanje pomeranja:

Uopštavanje uticajnih koeficijenata elastiĉnosti:

434

lEAAd

33

lEAAd

FAd

33

lEAF

dFFAF

d 0

* 3

EAFlF

34

* 43

EAFlAd

dFEAFlA

F

d 0

3*

34

* 43

EAFlAd

FAd

*

3*

EAFl

FAd

3

EAFl

nin

jji ,...,2,1 F

1ij

njiS j

i ,...,2,1, ij


271

Uopštavanje sila:

Uopštavanje uticajnih koeficijenata krutosti:

Fiziĉko znaĉenje uticajnih koeficijenata krutosti: Uticajni koeficijenti krutosti kij predstavljaju koncentrisano opterećenje (silu ili momemt) koje mora da deluje u tački i da bi izazvalo odgovarajuće jedinično pomeranje (linijsko ili ugaono) u tački j , pri čemu su pomeranja ostalih tačaka jednaka nuli (0).

Ilustracija uticajnih koeficijenata elastiĉnosti

niSA

i

d ,...,2,1 i

nji

S j

i ,...,2,1, ij

nji

SSA

ji

d ,...,2,1, 2

ij

nikS j

n

jiji ,...,2,1

1

njikij ,...,2,1, S

j

i

njikij ,...,2,1, S

j

i

niSA

i

d ,...,2,1 i

njik

iij ,...,2,1,

A

j

d2


272

Ilustracija uticajnih koeficijenata krutoski

17.13 Primena energetskih metoda za odreĊivanje pomeranja kod Statiĉki odreĊenih konstrukcija

Primena drugog Kastiljanovog teorema

Kod jednostavnijih sluĉajeva, sa do dva opterećenja, drugi Kastiljanov teorem je moguće direktno primeniti.

Direktnom primenom drugog Kastiljanovog teorema, odrediti pomeranja napadne taĉaka koncentrisanih opterećenja


273

Primena prvog Kastiljanovog teorema i Groti-Engeserovog teorema

Primeniti naslovne teoreme na dvoštapni sistem

Prvi Kastiljanov teorem:

Groti-Engeserov teorem:

Kod sloţenijih konstrukcija, ili pri postojanju više opterećenja, izraĉunavanje deformacijskog rada se usloţnjava i traje.

Ako je npr. treba naći pomeranje proizvoljne taĉke, jednostavnije je naći izvod izraza kojim je definisan deformacijski rad.

Objasnimo ovo korišćenjem opšteg izraza za deformacijski rad.

EAlFAd 2

2

0

2

2GIlMAd

)2

2

lzEAFl

EAlF

FFAd

)2 00

2

lzGIMl

GIlM

MMAd

434

lEAAd

34

* 43

EAFlAd

FlEA

lEAAd

33

434

33

4*

43

EAFl

EAFl

FFAd


274

Opšti izraz za deformacijski rad:

Za opšti sluĉaj opterećenja moţe se napisati:

Ovde je pretpostavljeno da preseĉne sile zavise od z.

Ako se poduţne i popreĉne sile zanemare dobiće se:

Savijanje oko x ose - Proizvoljno promenljivog popreĉnog preseka:

Savijanje oko x ose – Savojna krutost nije ista za celu gredu:

Savijanje oko x ose – Isti materijal i isti popreĉni presek grede:

dssJs

sFAn

md

21

1

b

a

2m

m

m

b

a ii

di

m

m

dsS

sFsJs

sFSA

m

b

a i

x

my

x

m

b

a i

y

mx

y

m

b

a i

y

my

y

m

b

a i

x

mx

x

m

b

a i

t

m

t

m

b

a imi

di

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

dzST

GATdz

ST

GAT

dzS

MEIM

dzS

MEIM

dzSM

GIMdz

SN

EAN

SA

0

m

b

a i

y

my

y

m

b

a i

x

mx

x

m

b

a i

t

m

t

i

di

m

m

m

m

m

m

dzS

MEIM

dzS

MEIM

dzSM

GIM

SA

0

m

b

a i

x

mx

xi

m

m

dzS

MEIM

m

b

a i

xx

mxi

m

m

dzS

MMEI

1

m

b

a i

xx

xi

m

m

dzS

MMEI

1


275

Ako je potrebno odrediti pomeranje taĉke i u kojoj ne deluje odgovarajuće koncentrisano opterećenje, u toj taĉki treba dodati fiktivno (zamišljeno) nulto koncentrisano opterećenje Si.

Nakon toga primeniti odgovarajuće izraze.

Objasnimo to na jednom primeru.

PRIMER: Primenom Kastiljanovog teorema odrediti nagib na mestu levog oslonca grede sa prepustom

Reakcije:

lMFaFY

lMFaY

AB

AA

m

b

a AmA

dA

m

m

dzMM

EIzM

MA 0


276

m zm (EI)m M(zm) M(zm)/MA

1 0, l 2EI MA- (Fa+MA)z1/l 1-z1/l

2 0, a EI - Fz2 0

17.14 Metod jediniĉnih opterećenja – Maksvel-Morov metod, Maksvel-Morovi integrali

Izraĉunati deformacijski rad izraţen preko preseĉnih veliĉina, preseĉne veliĉine (sile i momente) treba poznavati.

Osvrnimo se sada na deo neke konstrukcije koji je izloţen savijanju.

Moment u naznaĉenom preseku iznosi

dzlzz

lFa

EI

l

A 1 2

1 1

01

EIFal

A 12

2222111 MzaFzaaFMzM


277

Moment savijanja M(z) koji potiĉe od jediniĉne sile Si=1.

2222111 MzaFzaaFMzM

1 1 1

1

MzazMM

zM

1 121

1

FzazMzaaF

zM

1 22

2

FzazMzaF

zM

1 1 2

2

MzazMM

zM

zMSzazM

SzM

ii

1


278

Zanemarene poduţne i popreĉne sile:

Ovo je metod jediniĉnih opterećenja ili Maksvel-Morov metod.

Redosled primene Maksvel-Morovog metoda:

1. Sa konstrukcije ukloniti opterećenja i u taĉki ĉije se pomeranje traţi dodati jediniĉno opterećenje (silu ili moment),

2. Ustanoviti broj polja u kojima se menjaju vrednosti preseĉnih veliĉina (moment savijanja kod savijanja),

3. Odrediti reakcije u osloncima od zadatih opterećenja i dodatog jediniĉnog opterećenja,

4. U svim poljima ispisati izraze za preseĉne sile (momente savijanja kod savijanja) usled zadatih opterećenja,

5. U svim poljima ispisati izraze za preseĉne sile (momente savijanja kod savijanja) usled jediniĉnog opterećenja.

m

b

ayi

my

qy

m

b

axi

mx

qx

m

b

ati

m

qt

i

m

m

m

m

m

m

dzMEIM

dzMEIM

dzMGIM

0


279

PRIMER: Primenom Maksvel-Morovog metoda odrediti ugib kraja grede sa prepustom

m zm (EI)m Mq(zm) MC(zm)

1 0, l 2EI M- Mz1/l -az1/l

2 0, a EI 0 -1 z2

lMYY q

Bq

A

laYY BA

1

10

1 12

1 dzla

lzM

EIf

l

C

EIMlafC 12


280

17.15 Primena energetskih metoda za rešavanje statiĉki neodreĊenih konstrukcija

Najpre smo upoznali sa statiĉki nodreĊenim štapovima opterećenim na zatezanje/pritisak i na uvijanje.

Posle toga smo se upoznali sa statiĉki neodreĊenim grednim nosaĉima.

Ovoga puta ćemo se upoznati sa sloţenijim statiĉki neodreĊenim konstrukcijama – Okvirima (ramovima).

Stepen neodreĊenosti okvira (1) iznosi

Ravanski okvir 1 sluĉaj

Pretvaranje 1 statiĉki neodreĊenog okvira (1) u statiĉki odreĊen okvir:

(1.1) Desni zglobni nepomiĉni oslonac pretvoren u pomiĉni.

(1.2) Levi zglobni nepomiĉni oslonac pretvoren u pomiĉni.

(1.3) Umetnut zglob.




(2.1) Uklonjen desni zglobni nepomiĉni oslonac.

(2.2) Ukleštenje pretvoreno u zglobnim nepomiĉnim oslonac , a desni zglobni nepomiĉni oslonac pretvoren u pomiĉni.

(2.3) Ukleštenje pretvoreno u zglobni pomiĉni oslonac.

134 snk

235 snk


281




(3.1) Uklonjeno desno ukleštenje.

(3.2) Levo ukleštenje pretvoreno u zglobni nepomiĉnim oslonac, a desno zglobni pomiĉni oslonac.

(3.3) Izvršeno presecanje i dobijena dva statiĉki odreĊena sklopa.

Sve reakcije okvira sa zatvorenom konturom (4) mogu se odrediti iz uslova ravnoteţe.

’Ravanski okvir 4 sluĉaj

U zatvorenoj konturi postoje tri nepoznate preseĉne veliĉine pa je okvir (4) spoljašnje statiĉki odreĊen

i 3 unutrašnje statiĉki neodreĊen

(4.1) i (4.2) Okvir se presecanjem pretvara u unutrašnje statiĉki odreĊen okvir.

Ravanski okvir – 5. Sluĉaj

336 snk

3spn3unn


282

Pretvaranje 3 spoljašnje i 3 unutrašnje statiĉki neodreĊenog okvira (5) u statiĉki odreĊen okvir:

(5.1) Uklonjeno desno ukleštenje i izvršeno presecanje zatvorene konture.

(5.2) Sa dva presecanja dobili smo dva statiĉki odreĊena sklopa.

Napomene:

Kod statiĉki neodreĊenih grednih nosaĉa pri primeni metoda sila dovoljno je bilo ukloniti suvišne veze i time se statiĉki neodreĊeni gredni nosaĉi pretvarali u statiĉki odreĊene (dopunski uslovi su definisani preko pomeranja).

Pomeranje proizvoljne taĉke statiĉki neodreĊene konstrukcije moguće je odrediti direktnom primenom drugog Kastiljanovog teorema i Maksvel-Morovog metoda.

Na primeru statiĉki neodreĊene konstrukcije, proširićemo dosad steĉena saznanja.

Broj spoljašnjih nepoznatih nsp , broj unutrašnjih nepoznatih nun i ukupan broj nepoznatih n, broj uslova ravnoteţe s i stepen neodreĊenosti k jednak broju suvišnih nepoznatih, za konstrukciju (6):


283

Deset suvišnih veza ovde je uklonjeno na naĉin (6.1) i saglasno ovom dopunski uslovi definisani preko pomeranja, glase

Uopšten zapis dopunskih uslova definisani preko pomeranja:

Broj elastiĉnih oslonaca je:

Drugi Kastiljanovog teorem:

103133

133103

1011332

snks

nnnnn

usp

un

sp

10 9,...,2,1 0

0 izaiza

ii

kppizapiza

ii ,...,2,1

,...,2,1 0

0

pk

kiSA

i

di ,...,2,1


284

Drugi Kastiljanovog teorem za konstrukciju (6), prema (6.1):

Uopšteno, za sve nepomiĉne oslonce imali bi:

17.16 Princip minimuma potencijalne energije deformacije (deformacijskog rada)

Uopšteni dopunski uslovi definisani, za sve nepomiĉne oslonce:

predstavljaju i uslove potrebne da potencijalna energija deformacije (deformacijski rad) ima stacionarnu vrednost (koja je minimalna kada se konstrukcija nalazi u stanju ravnoteže).

Ovo je princip minimuma deformacijskog rada (princip Manabrea i Kastiljana).

Iz principa minimuma deformacijskog rada (principa Manabrea i Kastiljana), izvodi se zakljuĉak:

Ako su u posmatranoj konstrukciji sa linearnim ponašanjem, pomeranja koja odgovaraju suvišnim nepoznatim veličinama jednaka nuli (0), onda suvišne nepoznate Si,Sj,...,Sk imaju vrednosti za koje je potencijalna energija deformacije minimalna.

Princip minimuma deformacijskog rada je samo specijalan sluĉaj opštijeg principa minimuma dopunskog rada iz kojeg se izvodi se zakljuĉak:

Ako su pomeranja koja odgovaraju suvišnim nepoznatim veličinama jednaka nuli (0), onda za konstrukciju sa proizvoljnim elastičnim ponašanjem suvišne nepoznate Si,Sj,...,Sk imaju vrednosti za koje je dopunski rad minimalan.

10,...,2,1

i

SA

i

di

10 9,...,2,1 0

0 izaiza

SA

ii

di

kiSA

i

d ,...,2,1 0

kiSA

i

d ,...,2,1 0


285

17.17 Kanonske jednaĉine metoda sila

Saglasno pomeranju proizvoljne taĉke konstrukcije u funciji od uticajnih koeficijenata elastiĉnosti i koncentrisanih opterećenja, dopunske uslove napišimo u obliku

Ovo je sistem kanonskih jednaĉina metoda sila.

ij i i (i=1,2,...,k), u navedenom sistemu, moţemo odrediti primenom Maksvel-Morovog metoda (primenom Maksvel-Morovih integrala).

Primena Maksvel-Morovog metoda za odreĎivanje uticajnih koeficijenata elstičnosti

Na osnovu, od ranije poznate uopštene formulacije Maksvel-Morovog metoda, za pomeranja od zadatih opterećenja moţemo napisati

Za ij jednako pomeranju i-te taĉke usled delovanja jediniĉne sile Sj=1, Fq u ovom izrazu moţemo zameniti preseĉnom veliĉinom usled jediniĉne sile Sj=1 i dobiti:

kiiliS iij

k

jiji ,...,2,1 0 0

1

kppizapiza

Si

ij

k

jiji ,...,2,1

,...,2,1 0

01

kkkkkjkjkk

iikikjijii

kkjj

kkjj

SSSS

SSSS

SSSSSSSS

02211

02211

02222222121

01111212111

,0......

,0......

,0...... ,0......

dsF

JF

im

b

a m

qqii

m

m

jijm

b

a m

ii

m

b

a m

jij dsF

JFdsF

JF m

m

m

m


286

Opšti sluĉaj opterećenja:

Savijanje sa uvijanjem (zanemarene normalne i popreĉne preseĉne veliĉine ):

Savijanje oko jedne ose:

Proizvoljno promenljiv popreĉni presek.

Savojna krutost nije ista.

Isti materijal i isti popreĉni presek.

NAPOMENA:

Kanonske jednačine metoda sila sa Maksvel-Morovoim metodom za odreĎivanje ij i i (i=1,2,...,k) u njima, doživele su primenu kod ravanskih linijskih konstrukcija (sa proizvoljnim opterećenjima, opterećenjima u ravni konstrukcije i opterećenjima ravni koja je normalna na ravan konstrukcije (pogledati preporučenu literaturu).

dzT

GTdzT

GT

dzMEM

dzMEM

dzMGMdzN

EN

xjm

b

a m

xiyj

m

b

a m

yi

yjm

b

a m

yixj

m

b

a m

xi

tjm

b

a m

tij

m

b

a m

iij

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

A

A

I

I

I

A

yx

yx

0

zTT

zTT

zMMzMMzMM

zNN

xx

yy

yy

xx

tt

dzM

GM

dzMEM

dzMEM

tjm

b

a m

ti

yjm

b

a m

yixj

m

b

a m

xiij

m

m

m

m

m

m

I

I

I

0

yx

zMM

zMMzMM

tt

yy

xx

dzM

EM

jm

b

a m

iij

m

m

I

dzMM

E jm

b

ai

mij

m

m

I 1

dzMME j

m

b

aiij

m

m

I

1

zMM


287

17.18 Specifiĉni deformacijski rad promene zapremine i promene oblika

Proizvoljni zapreminski element ĉvrstog opterećenog tela

posle deformisanja imaće zapreminu

Ovo se dobije posle zanemarivanja malih veliĉina višeg reda !!!

U sluĉaju koordinatnog sistema kojem su ose pravci glavnih dilatacija vaţi

dxdydzdV

)()()( dzdzdydydxdxdVdV

dz(dz)dz

dy(dy)dy

dx(dx)dxdVdV ΔΔΔ 1 1 1

dxdydzdVdV zyx 1 1 1 dxdydzdV

dV 1 1 1 zyxdVdV

zyxdV

dV

1 1 11

zyxdV

dV

1 1 11

VdV

dV

zyxV

321 V

2133

1322

3211

1

1

1

E

E

E


288

Srednji napon σs:

Modul zapreminske deformacije ili modul kompresije.

Srednja deformacija εs

Specifiĉni deformacijski rad

Sa poznatim glavnim normalnim naponima izraz za specifiĉni deformacijski rad glasi

3321

s 32121

EV

sV E

213

213

EK Vs K

s

s

s

s

s

s

3

2

1

3

2

1

000000

000000

000000

3321

s 321 V sV 3

s

s

s

s

s

s

3

2

1

3

2

1

000000

000000

000000

zxzxyzyzxyxyzzyyxxdA 21'

332211'

21

dA


289

Specifiĉni deformacijski rad moţemo predstaviti kao zbir dva dela

Koristeći srednji napon i zapreminsku deformaciju , rad utrošen na promenu zapremine moţemo izarziti u obliku

2133

1322

3211

1

1

1

E

E

E

13322123

22

21

' 221

E

Ad

13322123

22

21

' 221

E

Ad

21323

13222

32121

1 1

1 1

1 1

E

E

E

133221

23

22

21

' 12

21 1 21

EAd

VsV

dA 21)('


290

3-osno stanje napona






3321

s

32121

EV

VsV

dA 21)(' 2321

)('

621

E

A Vd

VsV

dA 21)('

321213

EK vs

2321

)('

216

EA Vd

13322123

22

21

' 221

E

Ad

2321)('

621

E

A Vd

)(')('' Od

Vdd AAA

)('')(' Vdd

Od AAA

213

232

221

)('

61

E

A Od

13322123

22

21

' 221

E

Ad

2122

21

' 221

E

Ad

2'

21

EAd

2321)('

621

E

A Vd

221)('

621

E

A Vd

2)('

621

EA V

d


291




Hidrostatiĉko stanje napona:

ZAPAŢANJE: Ukupan specifični deformacijski rad jednak je specifičnom deformacijskom radu utrošenom na promenu zapremine i pri hidrostatiĉkom stanju napona nema promene oblika.

213

232

221

)('

61

E

A Od

2122

21

)('

31

E

A Od 21

22

21

)('

61

G

A Od

2)('

31

EA O

d

2)('

61

GA O

d GE 12

321 s

13322123

22

21

' 221

E

Ad

2'

2213

sd EA

2'

2213

sVd

EA

2321

)('

621

E

A Vd


292

19 SLOŢENA NAPREZANJA

Na poĉetku kursa OTPORNOSTI MATERIJALA upoznali smo se sa pojmom napona i deformacija.

Napone i deformacije prouĉavali smo kod:

Aksijalnog naprezanja,

Smicanja,

Uvijanja,

Savijanja i

Izvijanja.

U svakom od sluĉajeva nabrojanih naprezanja postavljalo se pitanje nosivosti konstrukcija.

Kod aksijalno napregnutih štapova dovoljno jebilo uporediti stvarni napona sa nekom graniĉnom vrednošću.

Traţilo se da stvarni napon bude manji ili jednak graniĉnoj vrednost (da je ne prekoraĉi).

Zavisno od toga šta uzimamo za graniĉnu vrednost, kod aksijalno napregnutih štapova moguće je definisati nekoliko kriterijuma.

Graniĉna vrednost je zatezna ćvrstoća Rm– Kriterijum zatezne ĉvrstoće

Graniĉna vrednost je granica teĉenja ReH ili konvencionalna granica teĉenja Rp0.2 – Kriterijum teĉenja

Graniĉna vrednost je dozvoljeni napon d definisan na osnovu zatezne ĉvrstoće ili granice teĉenja i stepena sigurnosti - Kriterijum dozvoljenog napona

U oblasti do garnice proporcionalnosti P , gde vaţi Hukov zakon, moţe se definisati graniĉna vrednost deformacija

Graniĉna vrednost napona smicanja je

mRmax

2.0max

max

p

eH

RR

d max

Emax

max

2maxz


293

Graniĉna vrednost ukupnog specifiĉnog deformacijskog rada

Monotona naponsko-deformaciona kriva

Specifiĉni deformacijski rad jednak je površini osenĉenog trougla.

Graniĉna vrednost specifiĉnog deformacijskog rada za promenu oblika, pri aksijalnom naprezanju štapova iznosi

Kod aksijalno napregnutih štapova normalni napon sz jednak je glavnom normalnom naponu s1.

Kod dvoosnog naprezanja (ravnog stanja napona) imamo dva glavna normalna napona.

U opštem sluĉaju srećemo se sa problemima 3-osnog stanja napona.

Troosno stanje napona: Naponi na pozitivnim stranama zapreminskog elementa

2' zzdA

2' dA

22

'

31

6 zzO

d EGA

1 z

222,1 4

21

21

yxyx


294

Troosno stanje napoana - Tenzor napona

Troosno stanje napoana - Tenzor deformacija

Za odreĊivanje glavnih normalnih napona 1 , 2 i 3 , za sluĉaj 3-osnog stanja napona, koristi se kubna jednaĉina

Invarijante napona

Glavni tangencijalni naponi:

U sluĉaju 2-osnog ili 3-osnog stanja napona problem odreĊivanja graniĉnog stanja sa kojim bi se poredili naponi je znatno sloţeniji.

Pri 2-osnom i 3-osnom stanju napona graniĉno stanje definišu funkcije

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

21

21

21

21

21

21

0322

13 III

2223

2222

1

2 xyzzxyyzxzxyzxyzyx

zxyzxyxzzyyx

zyx

I

I

I

232

23

2

1331

221

12

0, 21 F 0,, 321 F


295

Graniĉno stanje kod 2-osnog stanja napona

ZAPAŢANJE: Dozvoljeno stanje napona je u sluĉaju kad se taĉka nalazi unutar graniĉne krive ili na graniĉnoj krivoj.

Graniĉno stanje kod 3-osnog stanja napona

ZAPAŢANJE: Dozvoljeno stanje napona je u sluĉaju kad se taĉka nalazi unutar graniĉne površine ili na graniĉnoj površini.

Da bi se odredio najpovoljniji odnos glavnih normalnih napona pri 2-osnom i 3-osnom stanju napona, do zatezne ĉvrstoće ili do granice teĉenja, trebalo bi izvesti mnogo eksperimenata.

Zbog ovog se postavilo pitanje korišćenja rezultata strandardnih ispitivanja materijala na zatezanje, u svrhu procene razaranja konstrukcija.

Neki od mogućih vidova razaranja su:


296

Razaranje materijala ili konstrukcije usled loma (pojave novih ili proširenja postojećih naprslina).

Razaranje materijala ili konstrukcije usled teĉenja materijala (teĉenje moţe da izazove brzo iscrpljivanje konstrukcije nekad praćeno i promenom oblika preko prihvatljivih granica).

Razaranje usled izvijanja (gubitak stabilnosti delova moţe da izazove povećanje elastiĉnih i plastiĉnih deformacija iznad prihvatljivih granica).

Razaranje usled prkoraĉenja dozvoljenih napona i deformacija.

Za nas je interesantno razaranje usled prekoraĉenja dozvoljenih napona i deformacija.

Kod sloţenih naprezanja treba odrediti idealni napon i (u literaturi se umesto pojma idealni napon može sresti i pojam ekvivalentni napon) koji bi se uporeĊivao sa dozvoljenim naponom pri aksijalnom naprezanju.

Ovaj problem se rešava primenom hipoteza o razaranju materijala meĊu kojima su:

Hipoteza najvećeg normalnog napona,

Hipoteza najveće deformacije,

Hipoteza najvećeg napona smicanja,

Hipoteza graničnog elastičnog stanja – Morova hipoteza,

Hipoteza najvećeg specifičnog deformacijskog rada,

Hipoteza najvećeg specifičnog deformacijskog rada utrošenog na promenu oblika.

Hipoteza najvećeg normalnog napona

Ova hipoteza smatra se najstarijom i retko se primenjuje (potiĉe od Galileja, a dpunili su je Lame, Navije i Rankin).

Prema hipotezi najvećeg normalnog napona, granično stanje u materijalu pri složenom naprezanju nastupa, kada najveći glavni normalni napon dostigne vrednost dozvoljenog napona pri aksijanom naprezanju.


297

Za napone zatezanja 1>2>3 koristimo

Za napone pritiska 3<2<1 koristimo

Za napon zatezanja 1>0 i napon pritiska 3<0 koristimo

ZAPAŢANJA:

1. Kod hipoteze najvećeg glavnog normalnog napona koriste se samo dva glavna napona, a treći se ne koristi.

2. Eksperimentima je dokazano da stanje materijala zavisi od svih napona.

3. Ova hipoteza daje dobre rezultate kod krtih materijala i to kad je jedan glavni napon po apsolutnoj vrednosti znatno veći od druga dva.

U sluĉaju ravanskog stanja napona (savijanja silama) koristimo sljedeće izraze

Kod ĉistog smicanja koristimo

Hipoteza najveće linearne deformacije

Hipotezu je postavio Mariot, a dopunili su je Sen-Venan, Ponsle i Grashof.

Hipoteza glasi: Granično stanje materijala, pri složenom naprezanju nastupa, kada linijska deformacija dostigne vrednost granične deformacije pri aksijalnom naprezanju.


edei ,1max,

cdci ,3max,

cdci

edei

,3max,

,1max,

cdci

edei

,22

2max,

,22

1max,

421

21

421

21

cdci

edei

,2max,

,1max,

EEE

EEEcd

cdci

ci

eded

eiei

,,2133min

,,

,,3211max

,,

1

1


298


Sen-Venanovi izrazi

Ĉisto smicanje:

=0,3

1 = - 2 =

Hipoteza najvećeg napona smicanja

Hipotezu je definisao Kulon i ista glasi: Granično stanje materijala pri složenom naprezanju nastupa kada najveći napon smicanja dostigne vrednost najvećeg napona smicanja pri aksijalnom naprezanju.

EEE

EEEcd

cdci

ci

eded

eiei

,,122min

,,

,,211max

,,

1

1

EEE

EEE

cdcd

cici

eded

eiei

,,

222min

,,

,,

221max

,,

42

12

11

42

12

11

cdci

edei

,22

,

,22

,

42

12

1

42

12

1

3,0

cdci

edei

,22

,

,22

,

4 65,0 35,0

4 65,0 35,0

cdci

edei

,,

,,

3,11

3,11

3,1

3,1

,,

,,

cdci

edei

ei max,max


299

2-osno stanje napona:

Savijanje silama (x = , y = 0):

2

421

22

24

21

22,

max,2221

max,

,

,max,

2221max

,,

cdcyx

cici

edeyx

eiei

2

421

22

24

21

22,

max,2221

max,

,

,max,

2221max

,,

cdcyx

cici

edeyx

eiei

cdyxci

edyxei

,22

21,

,22

21,

4

4

cdci

edei

,22

21,

,22

21,

4

4


300

ZAPAŢANJE: Hipoteza najvećeg napona smicanja kod plastičnih materijala ima dobru saglasnost sa eksperimentima.

Morova hipoteza

Morova hipoteza glasi: Granično stanje materijala pri složenom naprezanju nastupa onda kada Morov krug napona, koji odgovara konkretnom tenzoru napona, dodirne graničnu krivu.

Pri sloţenom stanju napona napon 2 malo utiĉe na graniĉne vrednosti napona pri kojima dolazi do razaranja.

Sa dovoljnom taĉnošću smatramo da granicu razaranja odreĊuju naponi 1 i 3.

Ovim se se odreĊivanje graniĉnog stanja kod troosnog stanja napona svodi na ravansko stanje napona.

Morov krug, pri kojem za odreĊenu kombinaciju napona 1 i 3 , nastupa graniĉno stanje u materijalu, zovemo graniĉni Morov krug.

Familija ovih krugova je izmeĊu dveju envelopa, koje predstavljaju graniĉne krive.

Morova hipoteza – Graniĉno stanje


301

Hipoteza najvećeg specifičnog deformacijskog rada

Ovu hipotezu je postavio Beltrami i ista glasi: Granično stanje materijala pri složenom naprezanju nastupa kada specifični deformacijski rad dostigne vrednost specifičnog rada pri aksijalnom naprezanju.



ZAPAŢANJE: Hipoteza najvećeg specifiĉnog deformacijskog rada nije potvrĊena eksperimentima pa se skoro i ne primenjuje.

Hipoteza najvećeg specifičnog deformacijskog rada utrošenog na promenu oblika

Ovu hipotezu je postavio Huber, a razradili su je fon Mizes i Henki i ista glasi: Granično stanje materijala pri složenom naprezanju nastupa kada specifični deformacijski rad utrošen na promenu oblika, dostigne vrednost specifičnog rada utrošenog na promenu oblika pri aksijalnom naprezanju.

',

'edd AA

EEE

A did 2

221

2

2

13322123

22

21

2'

cdci

edei

,13322123

22

21,

,13322123

22

21,

2

2

cdci

edei

,2122

21,

,2122

21,

2

2

Oed

Od AA '

,'


302




Ĉisto smicanje:

ZAPAŢANJE: Hipoteza najvećeg specifiĉnog deformacijskog rada utrošenog na promenu oblika ima dobru saglasnost sa eksperimentima i praktiĉno je potisnula hipotezu najvećeg specifiĉnog rada (uključena su sva tri glavna normalna napona).

Savijanje sa uvijanjem

Problem savijanja sa uvijanjem je tipiĉan za vratila (elemente koji sluţe za prenos snage obrtanjem).

MeĊutim uz savijanje i uvijanja, vratila su u najopštijem sluĉaju, izloţena zatezanju i pritisku izazvanom dejstvom aksijalnih sila.

U kritiĉnom preseku vratila opterećenih na svijanje i uvijanje imamo

213

232

221

'

61

E

A Od

221

'

31

31

dO

d EEA

2213

232

221

2

31

61

61

di EEE

cdci

edei

,2

132

322

21,

,2

132

322

21,

22

22

cdci

edei

,2221

21,

,2221

21,

cdci

edei

,,

,,

3

3


303

Da bi odredili rezultirajući idealni (ekvivalentni) napon za kritiĉni presek, treba primeniti neku od izloţenih hipoteza o razaranju materijala.

Vratilo kruţnog popreĉnog preseka - Hipoteza najvećeg normalnog napona

Idealni moment pri savijanju sa uvijanjem:

Vratilo kruţnog popreĉnog preseka - Hipoteza najveće linearne deformacije

Vratilo kruţnog popreĉnog preseka - Hipoteza najvećeg napona smicanja

x

tt

x

f

WM

WMWM

20max

max

edi ,22 4

21

21

x

tt

x

f

WM

WMWM

20max

max

22

21

tffi MMMM

edi ,22 4

21

21

x

tt

x

f

WM

WMWM

20max

max

22

21

21

tffi MMMM

2265,035,0 tffi MMMM

3,0

edi ,22 4


304

Vratilo kruţnog popreĉnog preseka - Hipoteza najvećeg specifičnog deformacijskog rada

Vratilo kruţnog popreĉnog preseka - Hipoteza najvećeg specifiĉnog deformacijskog rada utrošenog na promenu oblika

x

tt

x

f

WM

WMWM

20max

max

22tfi MMM

edi ,2122

21 2

edi ,22 12

x

tt

x

f

WM

WMWM

20max

max

22 121

tfi MMM

edi ,2122

21

edi ,23

x

tt

x

f

WM

WMWM

20max

max

22

43

tfi MMM

Documents

Otpornost materijala 2011