OTPORNOST MATERIJALA

Doc. Dr Strain Posavljak3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA1OTPORNOST MATERIJALAPREDMET I ZADACI OTPORNOSTIMATERIJALA3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA2Otpornost materijala je posebna nauna disciplina kojom su obuhvaeni inenjerski metodi prorauna:vrstoe,Krutosti iStabilnostidelova maina i konstrukcija.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA3vrstoa je sposobnost konstrukcije da izdri zadato optereenje, a da joj pri tome naponi ne preu odreenu granicu i da ne doe do njenog poputanja. Krutost je sposobnost konstrukcije da se odupre optereenjima i da se ne deformie iznad odreene granice.Stabilnost je sposobnost konstrukcije da zadri ravnoteni oblik pri deformacijama koje odgovaraju zadatom optereenju.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA4Osim naziva OTPORNOST MATERIJALA koji je tradicionalan i ne odgovara stavrnosti, u literaturi se sreemo i sa nazivom NAUKA O VRSTOI.U svetskoj literaturi sreemo sljedee nazive:STRENGTH OF MATERIALS (na engleskom) (na ruskom)FESTIGKEITSLEHRE (na nemakom)RESISTANCE DES MATERIAUX (na francuskom)

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA5Otpornost materijala predstavlja osnovu za:Proraun mainskih elemenata iTeoriju konstrukcija.Meutim, kao to je Otpornost materijala neemu osnova, tako i ona ima svoje osnove.Njene osnove su:Matematika (u teorijskom smislu)Mehanika (u teorijskom smislu)Fizika (u teorijskom i eksperimentalnom smislu)Nauka o materijalima (u teorijskom i eksperimentalnom smislu)

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA6Osvrnimo se na Mehaniku kao teorijsku osnovu, ito na njena dva dela:Statiku iDinamiku.Statika prouava zakone slaganja sila i uslove ravnotee materijalnih tela pod dejstvom sila.Dinamika prouava kretanje materijalne take i materijalnih tela pod dejstvom sila.

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA7Materijalna tela koja su predmet statike i dinamike, posmatraju se kao kruta tela.Kruto telo je telo koje se pri delovanju spoljanjih sila ne menja oblik (ne deformie se), tj. rastojanje mu se izmeu bilo koje dve take ne menja.Suprotno krutom telu je vrsto ili deformabilno telo.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA8vrsto telo je telo koje pri delovanju spoljanjih sila menja oblik (deformie se) tako da mu se rastojanje izmeu bilo koje dve take generalno razlikuje od rastojanja koje je bilo pre dejstva sila.Otpornost materijala prouava vrsta tela.Svakom vrstom telu mogu se pridruiti sljedea tri parametra:Optereenje (spoljanje sile),Geometrija (dimenzionisani oblik) iMaterijalnost (materijal sa svojim osobinama).3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA9Iz igre sa ova tri parametra proizilaze zadaci Otpornosti materijala.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA10Prvi zadatakPoznati su optereenje i materijal od kojeg e se izraditi neka konstrukcija ili neki njen deo, zadatak je da se odredi geometrija sa kojom e biti zadovoljeni uslovi vrstoe, krutosti i stabilnosti.NAPOMENA: Ovaj zadatk se esto sree pri projektovanju novih maina i ureaja i jo se zove zadatkom dimenzionisanja.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA11Drugi zadatakPoznati su geometrija i optereenje konstrukcije. Zadatak je da se odredi raspodela napona i deformacija i na sonovu toga odabere materijal potrebne vrstoe.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA12Trei zadatakPoznati su geometrija i materijal za izradu. Zadatak je da se sprovede analiza napona i deformacija i na osnovu toga odredi dozvoljeno optereenje konstrukcije.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA13Glavni zadatak Otpornosti materijala je iznalaenje povoljne geometrije konstrukcija i delova koji ih ine, uz to je mogue manji utroak materijala, a da uslovi vrstoe, krutosti i stabilnosti pri zadatom optereenju budu zadovoljeni. FIZIKE OSOBINE MATERIJALA3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA14Ako se sve take vrstog tela po rastereenju vraaju u prvobitane poloaje kae se da je materijal od kojeg je telo napravljeno, elastian.Materijal moe biti:Idealno elastian iDelimino elastian.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA15Eksperimentima je pokazano da su do odreene granice elastini:elik,Liveno gvoe,Drvo,Kamen.Materijal je neelastian (plastian) ako se sve take vrstog tela po rastereenju ne vrate u prvobitne poloaje, zbog ega telo ostaje trajno deformisano.

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA16Viskoelastiani materijali su materijali kod kojih dolazi do puzanja (pri konstantnom optereenju vrstog tela imamo rast deformacija u vremenu) i relaksacije (u deformisanom vrstom telu naponi opadaju u vremenu).Materijal vrstog tela je homogen ako su mu sve estice iste. U suprotnom je nehomogen (estice su mu meusobno razliite).3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA17Materijal je izotropan ako su mu fizike osobine svake estice u svim proizvoljno izabranim pravcima iste. U suprotnom je anizotropan.Materijal je ortotropan (ortogonalno izotropan), tj. ima razliite fizike osobine u dva ili tri ortogonalna pravca (npr. kompoziti)

17OBLIK TELA3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA18Veina reenja Otpornosti materijala odnosi se na trodimenzionalna tela jednostavnijeg oblika kao to su:tapovi,Grede,Ploe iLjuske.tapovi i grede spadaju u linijske nosee elemente i kod njih je jedna dimenzija (duina) znatno vea od druge dve (irine i visine).3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA19tap je kao linijski nosei element optereen samo u jednom ito podunom pravcu, zateznom ili pritisnom silom ili momemtom uvijanja.Greda moe biti optereena i upravno na podunu osu.Zavisno od oblika osa, tapovi (grede) mogu biti:Pravi,Blago zakrivljeni,

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA20Krivi,Prostorno savijeni.Primer uvijenog tapa je burgija.Povrinski nosei elementi su ploe i ljuske. Kod njih je jedna dimenzija (debljina) znatno manja od druge dve (irine i duine).Ploe su ravni povrinski nosei elementi, dok su ljuske zakrivljeni povrinski nosei elementi sa srednjim povrinama podjednako udaljenim od spoljnih povrina.

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA21Na ovom kursu Otpornosti materijala uglavnom e se razmatrati:Pravi tapovi (grede) iRavanske ili prostorne konstrukcije sastavljene od vie pravih tapova (greda). 3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA22

Neki od moguih oblika linijskih noseih elemenata3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA23

Neki od moguih oblika linijskih noseih elemenataPovrinski nosei elementiPLOALJUSKA

SPOLJANJE SILE3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA24Spoljanje sile koje deluju na konkretno vrsto telo mogu biti:Povrinske iZapreminske.Povrinske sile su posledica kontakta konkretnog vrstog tela sa drugim telima i sredinom koja ga okruuje.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA25U zapreminske sile ubrajamo:Teinu (sile gravitacije),Centrifugalne sile,Inercijalne sile,Sile magnetnog privlaenja (odbijanja).Povrinske sile se u proraunima inenjerskih konstrukcija (u zadacima otpornosti materijala) prikazuju kao kontinualna (konstantna ili promenljiva) optereenja.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA26Za primere nekih od povrinskih sila mogu se uzeti:Pritisak tenosti,Pritisak gasa,Teina snega,Pritisak vetra, ...U poseban sluaj spoljanjih sila spadaju koncentrisana optereenja (koncentrisane sile i koncentrisani momenti) koja su rezultat uproavanja i svoenja na taku.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA27Zapreminske sile deluju na svaku esticu vrstog tela i srazmerne su njegovoj masi.Prema nainu delovanja u vremenu spoljanje sile mogu biti:Statike iDinamike.Statike sile se ne menjaju u vremenu. Postepeno rastu do neke konane (radne) vrednosti, a zatim ostaju konstantne, pa se zato pojave ubrzanja i inercijalnih sila moe zanemariti.

273/7/2014OTPORNOST MATERIJALA28Dinamike sile mogu biti:Udarne (trenutne, kratkotrajne) iPromenljive u vremenu (stohastiki promenljive ili promenljive po odreenom zakonu).

Ilustracija sila u vremenuUNUTRANJE SILE I NAPONI3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA29Unutar vrstog tela optereenog spoljanjim silama, izmeu delia (kristala, molekula, atoma), pojavljuju se dodatne unutranje sile koje se protive delovanju spoljanjih sila.Za opisivanje unutranjih sila uveden je pojam napona.Da bi opisali unutranje sile i objasnili pojam napona posluiemo se metodom fiktivnog (zamiljenog) preseka.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA30Zamiljeni presekZamiljena ravan

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA31pn Ukupni napon u taki T na ravni sa normalom n

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA32Napon je vezan za taku i za odreenu ravan, koja prolazi kroz tu taku, a definisana je normalom n.Napon u taki T(x,y,z) za ravan definisanu normalom n je

ZAKLJUAK: Napon je funkcija koordinata take T.

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA33Napon pn se u optem sluaju, saglasno prikazanoj slici, ne poklapa sa normalom n, i moe se razloiti na komponente u prvcu normale n i tangenti t1 i t2 , komponente

n Normalni naponn1, n2 Tangencijalni (smiui) naponi

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA34Naponi u Dekartovom koordinatnom sistemuPosmatrano na nivou Dekartovog koordinatnog sistema, mogue je generisati sliku napona u tom sistemu.

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA35Kroz proizvoljnu taku optereenog vrstog tela moe se posmatrati beskonano mnogo zamiljenih preseka sa beskonano mnogo normala n i napona pn.Dokazano je kako je dovoljno je pznavati komponente ukupnih napona pni (i=1,2,3) za 3 meusobno ortogonalna preseka da bi se odredili komponentni naponi za bilo koji proizvoljni presek.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA36Za vrsto telo u Dekartovom koordinatnom sistemu tri meusobno ortogonalna preseka treba posmatrati kao preseke dobijene ravnima paralelnim ravnima tog sistema.Devet (3x3=9) komponenti napona vezanih za ravni xy, yz, i zx Dekartovog koordinatnog sistema jesu komponente tenzora napona.Tenzorom napona se definie naponsko stanje u proizvoljnoj taki optereenog vrstog tela.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA37Matrini zapis tenzora napona je oblika

U ovom tenzoru imamo jednakost napona

Dokaz imamo na 39. slajdu.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA38Komponente tenzora napona na stranama elementarne zapremine Komponente tenzora napona su negativne ako im je:- Na pozitivnim stranama smer negativan i- Na negativnom stranama smer pozitivan. Komponente tenzora napona su pozitivne ako im je:- Na pozitivnim stranama smer pozitivan i- Na negativnom stranama smer negativan.

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA39Naponi smicanja u x i y pravcu

Iz nulte sume momenata oko sredinje ose z1 sledi

Po analogiji su

Posmatrajmo napone smicanja u x i y pravcu i odgovarajue sile.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA40DEFORMACIJEvrsta tela optereena spoljanjim silama menjaju oblik i dimenzije (deformiu se).Za opisivanje promene oblika i dimenzija uveden je pojam deformacija.U optem sluaju razlikujemo:Duinsku iUgaonu deformaciju.

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA41Duinska deformacija (dilatacija e)

Srednja duinska deformacijaDuinska deformacija

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA42Duinska deformacija (dilatacija) je vezana za taku i pravac.Za taku T(x,y,z) i pravac n imamo duinsku deformaciju (dilataciju)Za ose x, y i z Dekartovog koordinatnog sistema, duinske deformacije (dilatacije) oznaavamo sa

ZAKLJUAK: Duinska deformacija (dilatacija) je funkcija koordinata take T.

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA43Ugaona, smiua deformacija, deformacija klizanjaUgaona, smiua deformacija, deformacija klizanja , predstavlja promenu pravog ugla.

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA44Ugaona deformacija je vezana za taku i ravan.Za taku T(x,y,z) i ravni xy, yz, zx Dekartovog koordinatnog sistema, ugaone deformacije oznaavamo saKao to tenzor napona definie naponsko stanje u proizvoljnoj taki optereenog vrstog tela, tako tenzor deformacija definie deformaciono stanje.

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA45Matrini zapis tenzora deformacija je oblika

PRETPOSTAVKE OTPORNOSTI MATERIJALA3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA46Pretpostavke o materijalu:Materijal je neprekidan,Materijal je homogen i izotropanMaterijal je linearno elastianPretpostavke o deformacijama:Deformacije su male u poreenju sa dimenzijama tela 0.001 (0.1 %)3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA47Pretpostavke o silama:Spoljanje sile su statike.Pretpostavka o nezavisnosti delovanja optereenja (princip superpozicije):Ukupan rezultat uticaja svih optereenja jednak je algebarskom zbiru uticaja svih pojedinanih optereenja. Pretpostavka o uslovima ravnotee:Uslovi ravnotee se definiu uvek u odnosu na oblik i dimenzije konstrukcije pre njene deformacije.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA48

Ilustracija principa superpozicijeNEKE JEDINICE SI SISTEMA3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA49SIKoristi seDuinamcmPovrinam2cm2SilaNkNMomentNmkNcmNaponPa*kN/cm2Linijsko pomeranjemcmUgaono pomeranjeradrad, stepen

*OPTI SLUAJ OPTEREENJA LINIJSKIH NOSEIH ELEMENATA3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA50Posmatraemo linijski nosei element proizvoljno optereen koncentrisanim silama.Koristei metod zamiljenog preseka, linijski nosei element podelimo na dva dela (deo I i deo II).Zamiljeni popreni presek je normalan na podunu osu koja je prava i prolazi kroz teita svih poprenih preseka.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA51Opti sluaj optereenja linijskog noseeg elementa, zamiljenom ravni podeljenog na dva dela

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA52Uticaj dela II na deo I zamenjen rezultantnom silom FR (glavnim vektorom) i rezultantnim momentom MR (glavnim momentom) na zamiljenom poprenom presekuRezultantna sila FR (glavni vektor) i rezultantni moment MR (glavni moment) na zamiljenom poprenom preseku, u Dekartovom koordinatnom sistemu mogu se razloiti na komponente u pravcima osa x, y i z.

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA53Komponente dobijene razlaganjem rezultantne sile (glavnog vektora) i rezultantnog momenta (glavnog momenta)Poprene (transverzalne) sile: Fx = Tx Fy = Ty Poduna sila:Fz = N Momenti uvijanja (torzije):Mz = Mt (oko ose z)Momenti savijanja (fleksije):Mx = Mfx (oko ose x)My = Mfy (oko ose y)

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA54Iz prethodnog zakljuujemo da se opti sluaj optereenja (naprezanja) linijskih noseih elmenata moe posmatrati kao zbir pojedinanih naprezanja:Podunog (aksijalnog) naprezanja (zbog N),Smicanja (zbog Tx i Ty)Uvijanja (zbog Mt) iSavijanja (zbog Mx i My).Sile u poprenom preseku (presene sile) moemo izraziti pomou napona.Na taj nain se dobija 6 uslova (jednaina) ravnotee.3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA55

Naponi na elementarno maloj (diferencijalnoj) povrini poprenog preseka

VEZA NAPONA I DEFORMACIJE HUKOV ZAKON3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA56Naponi i deformacije su posledica delovanja optereenja (spoljanjih sila) na konkretnu konstrukciju.U kakvoj su vezi napon i deformacija?Robert Huk (Robert Hook, 1635-1703) je prvi eksperimentalno dokazao linearnu zavisnost sile F i izduenja opruge Dl. On je 1660. objavio rad pod naslovom Ut tensio sic vis (Onakva deformacija kakva sila).3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA57Huk je ovu zakonitost formulisao 1676., a zvanino ju je objavio 1678.Linearna zavisnost izmeu sile F i izduenja opruge Dl, prema Huku se definie prostim izrazom

F Sila izraena u [N]k Koeficijent krutosti opruge izraen u [N/m]Dl Izduenje izraeno u [m]Zategnuta opruga

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA58Linearna zavisnost izmeu sile i odgovarajue deformacije koja vai za idealno elastino telo (do granice proporcionalnosti) poznata je kao Hukov zakon.Na osnovu slike zatezanja tapa silom F

Zategnuti tapmoemo zakljuiti da takoe vai

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA59

Ilustracija Hukovog zakonaHukov zakon Normalni naponE Modul elastinosti uveden od strane Tomasa Junga 1807. Duinska deformacija (dilatacija)

POASONOV KOEFICIJENT3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA60Posmatrajmo deo zategnutog tapa krunog poprenog preseka.Neka je materijal tapa:Homogen,Izotropan iIdealno elastian (do granice proporcionalnosti).3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA61Sluaj zatezanja:Sluaj pritiska:

Deo zategnutog tapa krunog poprenog preseka

3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA62Za izotropne materijale koji podleu Hukovom zakonu, eksperimentalno je ustanovljena veza poprene i podune dilatacije

Koeficijent proporcionalnosti n u gornjem izrazu naziva se Poasonov koeficijent (uveo ga Simon Dany Poisson 1828.).3/7/2014OTPORNOST MATERIJALA63

Metali, generalno .......... 0,25