Click here to load reader
Upload
zoran-grahovac
View
273
Download
17
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Masinski fakultet Banja Luka 2014 Otpornost materijala Doc, dr. Strain Posavljak Predavanja
Citation preview
OTPORNOST MATERIJALA
Doc. Dr Strain Posavljak3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA1OTPORNOST MATERIJALADeformacije i Hukov zakon pri ravanskom stanju napona3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA2Deformacije pri ravanskom stanju napona odrediemo na osnovu saznanja o deformacijama pri dvoosnom naprezanju i istom smicanju.To isto vai i za Hukov zakon.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA3
Ravansko stanje napona Poduna deformacija x 3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA4
Ravansko stanje napona Poduna deformacija y 3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA5
Ravansko stanje napona Ugaona deformacija 3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA6
Iz prethodnog proizilazi da Hukov zakon koji povezuje deformacije i napone kod ravanskog stanja napona, ima oblik
Hukov zakon koji povezuje napone i deformacije kod ravanskog stanja napona.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA7Ravansko stanje napona, Transformacija deformacija pri rotaciji koordinatnog sistema
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA8
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA9
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA10
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA11Slian je transformacionom izrazu za napon.Transformacioni izraz za deformaciju
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA12
Sabiranjem prva dva izraza dobijamo prvu invarijantu deformacija
Na osnovu slinosti sa transformacionim izrazima za napone dobijamo komplet transformacionih izraza za deformacije.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA13
Ako prva dva izraza pomnoimo, a trei kvadriramo i rezultate tih operacija oduzmemo, dobiemo drugu invarijantu deformacija
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA14Glavne deformacije
Pravci glavnih deformacija
Prostorno stanje napona i deformacija3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA15U najveem broju sluajeva imamo posla sa prostornim stanjem napona i deformacija.Prostorno stanje napona i deformacija za Dekartov koordinatni sistem definiu odgovarajui tenzori.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA16Tenzor naponaTenzor deformacija
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA17Hukov zakon sluaju prostornog stanja napona i deformacija, na osnovu onoga to smo spoznali kod ravanskog stanja napona, glasi:
Ovaj oblik Hukovog zakona povezuje deformacije i napone.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA18
Hukov zakon koji povezuje napone i deformacije (temperatura nije uzeta u obzir)3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA19Prostorno stanje napona i deformacija,Uticaj temperature
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA20Prostorno stanje napona, naponi za kosu ravan, glavni naponiNeka je naponsko stanje u taki T nekog optereenog tela definisano tenzorom
Komponente tenzora napona na stranicama elementarnog paralelepipeda zapremine dxdydz
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA21Iz elementarnog paralelepipeda zapremine dxdydz izdvojimo elementarni tetraedar sa bazom koja sadri taku T i lei u ravni definisanoj normalom nU taki T, na bazi elementarnog tetraedra povrine dAn, deluju komponente ukupnog napona pn: pnx, pny i pnz.Normala n sa pravcima osa x, y i z zaklapa uglove a, b i g. Elementarni tetraedar izdvojen iz elementarnog paralelepipeda zapremine dxdydz
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA22Za
Povrine strana elementarnog tetraedra koje su paralelne ravnima xyz koordinatnog sistema, iznose:
Koristan izraz:
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA23
Svaki zamiljeno izolovani deli optereenog tela, pa i na elementarni tetraedar, mora biti u ravnotei !Ravnoteu elementarnog tetraedra obezbeuju nulte sume sila u pravcima osa x, y i z.
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA24
Koijeve jednaine
Pomou Koijevih jednaina dolazimo do ukupnog napona pn i njegove komponente n za proizvoljnu kosu ravan
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA25Sa poznatim pn i n u mogunosti smo da odredimo i tangencijalnu komponentu ukupnog napona, za proizvoljnu kosu ravan Meu svim moguim ravnima, kojima bi pripadala taka T, postoje ravni kod kojih je ukupni napon u pomenutoj taki kolinearan sa odgovara-juim normalama. U ovom sluaju je u taki T
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA26Za sluaj kolinearnosti ukupnog napona i normale n, u taki T imamo samo normalnu komponentu napona i tada je
Koijeve jednaine
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA27Sistem homogenih linearnih jednaina sa nepoznatim kosinusima pravca normale (l, m i n).
Sve jednaine jednaine ovog sistema jednake nuli (0) ako je determinanta sistema jednaka nuli (0)
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA28
Kubna jednaina ija tri korena predstavljaju glavne napone 1, 2 i 3
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA29Invarijante napona u kubnoj jednaini
glase:3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA30
Glavni tangencijalni naponi
Glavne ravni tangencijalnih napona:
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA31
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA32Prostorno stanje napona, pravci glavnih napona
Ove dve jednaine i jednaina kompatibilnosti uglova daju sistem:
Sukcesivnim unoenjem napona i (i=1,2,3) u ovaj sistem dolazimo do kosinusa smerova li , mi , ni , (i=1,2,3).3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA33
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA34
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA35
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA36
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA37
Troosnog stanja naponaTroosno stanje napona i deformacijaHukov zakon za sluaj troosnog naprezanja (uticaj temperature nije uzet u obzir).
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA38
Drugi oblik Hukovog zakona za sluaj troosnog naprezanja (uticaj temperature nije uzet u obzir).
Ravansko stanje deformacija3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA39Ravansko stanje deformacija se javlja kod tela sa velikom dimenzijom u pravcu jedne ose.Primer su kontinualno optereeni gredni nosai (ravansko stanje deformacija imamo na mestima dovoljno uidaljenim od oslonaca).Ravansko stanje deformacija imamo u cjevovodima pod pritiskom i sl.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA40Hukov zakon za ravansko stanje deformacija:U sluaju ravanskog stanja deformacija, osim napona x i y postoji i napon z koji se odreuje iz uslova:
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA41
Elipsoidi, elipse i Morovi krugovi napona i deformacija3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA42Grafiko predstavljanje stanja napona i stanja deformacija u proizvoljnoj taki optereenog deformabilnog tela, vri se elipsoidima, elipsama i Morovim krugovima.Elipsoidima predstavljamo trodimenzionalne sluajeve.Elipsama predstavljamo dvodimenzionalne sluajeve.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA43Morovim krugovima mogue je predstaviti jednodimenzionalne, dvodimenzionalne i trodimenzionalne sluajeve.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA44Elipsoid i elipsa naponaPrelaze u oblikAko pravce glavnih napona proglasimo za ose Dekartovog sistema onda Koijeve jednaine
Elipsoid napona (Lameov elipsoid)3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA45Kod ravanskog stanja napona imamo elipsu napona
Elipsa napona Elipsoid napona Morov krug napona u sluaju ravanskog stanja napona
Poi emo od izraza za transformaciju napona pri rotaciji koordinatnog sistema:3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA46
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA47
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA48
Ovo je Morov krug napona radijusa R i koordinata centra (a,b)
O predznacima napona
O predznacima napona postoji dogovor (konvencija).Razlikovaemo dve konvencije o predznacima.Jednu koja se odnosi na analitiki i drugu koja se odnosi na grafiki metod prikazivanja napona.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA493/20/2014OTPORNOST MATERIJALA50
Analitiki metodGrafiki metod3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA51Sada za primer, grafiki, pomou Morovog kruga, predstavimo naponsko stanje stanje u nekoj taki sredinje povrine ploe.Neka su za kvadratni elementarni deo poznati normalni i tangencijalni naponi x , y i .
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA521)
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA532)
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA543)
Za odreivanje pravaca glavnih normalnih napona 1 i 2 koristimo pol P.543/20/2014OTPORNOST MATERIJALA554)
Pravci glavnih normalnih napona 1 i 2 ?3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA565)
Ugao 21 i 1 ?3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA576)
Izaberimo sada proi-zvoljnu taku H.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA58
7)Naponi H i H ?Pravac napona H ?Slian Morovom krugu napona je Morov krug deformacija.Kod Morovog kruga napona u koordinatnom sistemu, ispod ose se crtaju tangencijalni naponi koji obru suprotno kazaljci na asovniku, a iznad tangencijalni naponi koji obru u smeru kazaljke na asovniku.Kod Morovog kruga deformacija u ,/2 sistemu, pozitivna ugaona deformacija se nanosi ispod ose, a negativna iznad.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA593/20/2014OTPORNOST MATERIJALA60Troosno stanje napona, Morovi krugovi napona
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA61ZADATAK 1
Zadat je tenzor napona
(Naponi su u MPa)
Grafiki pomou Morovog kruga napona odrediti:
Glavne normalne napone i maksimalni tangencijalni napon. Pravce glavnih normalnih napona, a zatim nacrtati odgovarajue naponske elemente.TEHNIKO SMICANJEisto smicanje je u praksi vrlo teo ostvariti.Isto je, skoro uvek, povezano sa savijanjem.U veini sluajeva savijanje je dominantno. Ponekad je situacija obrnuta.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA62Pri seenju tapa, osim smicanja, javlja se i savijanje momentom M, stim to je smicanje jae izraeno.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA63Seenje tapa
Slinu situaciju imamo i u sluaju probijanja otvora na limovima.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA64Teniko smicanje u slubi probijanja otvora na limovima
Probleme tehnikog smicanja imamo kod:Zakovanih veza (sa jednosenim ili viesenm zakivcima),Zavarenih veza,Osovinica preko kojih se prenosi vuna sila,Zavrtnjeva preko kojih se prenosi obrtni moment.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA653/20/2014OTPORNOST MATERIJALA66Zakovane vezePrimer zakovane veze sa jednim jednosenim zakivkom
Moment savijanja ?Napon smicanja ?Bitno za dimenzionisanje zakivka:
d Dozvoljeni napon smicanja
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA67Primer zakovanih veza sa viesenim zakivcimaOpti izraz za napon smicanja je:
m broj povrina smicanja
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA68Zavarene vezePrimer zavarene vezeNapon smicanja je:
l Duina varaa Debljina vara
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA69Osovinice preko kojih se prenosi vuna silaPrimer osovinice preko koje se prenosi vuna sila
Napon smicanja je:
3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA70Zavrtnjevi preko kojih se prenosi obrtni moment
Primer zavrtnjeva preko kojih se prnosi obrtni moment (kod krute spojnice)Uz pretpostavku da svi zavrtnjevi podjednako uestvuju u prenosu obrtnog momenta, napon smicanja je: