Otpornost materijala Predavanje Br. 3

OTPORNOST MATERIJALA

Doc. Dr Strain Posavljak3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA1OTPORNOST MATERIJALAANALIZA STANJA NAPONA I DEFORMACIJA3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA2Razmatranja u ovom delu odnosie se na:Jednoosno naprezanje (naprezanje u 1 pravcu),Ravansko stanje napona,Ravansko stanje deformacija,Dvoosno naprezanje (naprezanje u 2 pravca),isto smicanje,Prostorno stanje napona i deformacija,Troosno naprezanje (naprezanje u 3 pravca)Elipse, elipsoide i Morove krugove napona i deformacija.Jednoosno naprezanje Naponi u kosom preseku3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA3Jednoosno naprezanje odnosi se na aksijalno (poduno) napregnute (optereene) tapove.Da bi smo odredili naponsko stanje u nekoj taki aksijalno (poduno) napregnutog tapa potrebno je poznavati sve vektore napona u svim moguim pravcima vezanim za tu taku.Za poetak posmatrajmo prizmatini tap.tap presecimo zamiljenom kosom ravni koja je odreena normalom n.Rezultat takvog presecanja je zamiljeni kosi presek koji prizmatini tap deli na levi i desni deo.Normala n zamiljene kose ravni sa osom z zaklapa ugao .3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA4Aksijalno napregnut prizmatini tap, zamiljenom kosom ravni preseen na dva dela

Radi jednostavnosti prikaimo samo glavni pogled prizmatinog tapa .3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA5Glavni pogled aksijalno napregnutog prizmatinog tapa, zamiljenom kosom ravni preseenog na dva dela

Ako levi i desni deo tapa zamiljeno razdvojimo, onda njihov meusobni uticaj nademetamo suprotno usmerenim unutranjim silama sa kojima e razdvojeni delovi tapa biti u stanju ravnotee.3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA6Zamiljeno razdvojeni delovi prizmatinog tapa

Ove unutranje sile mogu se posmatrati kao zamiljene (fiktivne) spoljanje sile, kako za levi tako i za desni deo tapa.Uoimo sada jedan elementarni deo na levom delu naeg tapa.Ovaj elementarni deo se zahvaljujui metodu preseka, moe izdvojiti i zasebno posmatrati.3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA73/11/2014OTPORNOST MATERIJALA8Uoen i izdvojen elementarni deo prizmatinog tapaNAPOMENA: Izdvojeni elementarni deo je u ravnotei zbog kolinearnosti ukupnog napona pn i napona sz(pn dAn = sz dAz).

3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA9Prouimo uslove pod kojima e izdvojeni elementarni deo tapa biti u stanju ravnotee.Ukupni napon pn je razloen na dve kompo-nente: Komponentu sn u pravcu normale n i kompo-nentu tn u prvcu tangente t.Izdvojeni elementarni deo prizmatinog tapa

Uslovi ravnotee ?

3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA10

Kada e naponi n i n imati maksimalne vrednost i? 3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA11

ZAPAANJE: Za = /4 normalni napon sn i maksimalni tangencijalni napon tn,max imaju iste vrednosti.

U svrhu daljih analiza posmatraemo aksijalno napregnut pljosnati tap.3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA12Aksijalno napregnut pljosnati tap

Opet radi jednostavnosti, prikaimo glavni pogled ovog tapa sa uoenim i izdvojenim kvadratnim elementarnim delom kojem su 4 strane definisane normalama n1 , n2 , n3 i n4 .Na stranama kvadratnog elementarnog dela definisanim pomenutim normalama imamo:Normalne napone ........... n1 , n2 , n3 , n4 iTangencijalne napone ..... n1 , n2 , n3 , n4 .3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA133/11/2014OTPORNOST MATERIJALA14Glavni pogled aksijalno napregnutog pljosnatog tapa sa uoenim i izdvojenim elementarnim delom

3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA15Analizirajmo stanje ravnotee tankog elementarnog dela na ovoj slici.Poimo od onog to ve znamo, a to su izrazi za napone u kosom preseku aksijalno napregnutog tapa (kosi presek je odreen normalom n koja sa osom z zaklapa ugao ).

Izdvojeni elementarni deo (naponski element) aksijalno napregnutog pljosnatog tapa



Ravansko stanje naponaDobar deo mainskih i graevinskih konstrukcija, kao to suRezervoari tenosti i gasa,Brodske i avionske konstrukcje,Mostovi,Oplata maina alatki i eljeznikih vagona, ... napravljeni su i od povrinskih noseih elemenata (tankih ploa ili ljuski).3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA18Zbog male debljine ovih noseih elemenata moe se pretpostaviti da im je raspodela napona po debljini ravnomerna.Posmatrajmo tanku pravougaonu plou u kojoj je zbog optereenja, izazvano ravansko stanje napona.Naponi x , y i ove ploe, svedeni su na srednju povr. 3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA193/11/2014OTPORNOST MATERIJALA20Ravansko stanje napona kod tanke pravougaone ploe

I ovde emo radi jednostavnosti posmatrati glavni pogled ploe sa uoenim i izdvojenim elementarnim delom.3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA213/11/2014OTPORNOST MATERIJALA22Glavni pogled ploe sa uoenim i izdvojenim elementarnim delom


Izdvojeni elementarni deo ploe

Uslovi ravnotee elementarnog dela ?




Izdvojeni elementarni deo ploe u dva koordinatna sistema3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA27

Izrazi za napone kao rezultat transformacije koordinatnog sistema. Ako umesto ugla uvrstimo ugao (+/2) dobiemo da vai


Sabiranjem prva dva izraza dobijamo prvu invarijantu napona

Iz ovog proizilazi da je zbir normalnih napona, za bilo koji par meusobno upravnih osa koje prolaze kroz jednu taku, isti.


Ako prva dva izraza pomnoimo, a trei kvadriramo i rezultate tih operacija oduzmemo, dobiemo drugu invarijantu napona


Ekstremne vrednosti normalnih napona ?

Ekstremne vrednosti ovog napona imamo kada je njegov izvod po jednak nuli.

Oigledno je da ugao ima dve vrednosti koje se razlikuju za /2.3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA31


Ekstremne vrednosti normalnih napona.Ekstremne vrednosti normalnih napona nazivaju se glavni normalni naponi.Ravni u kojima ti naponi deluju nazivaju se glavne ravni ili ravni glavnih normalnih napona.Odgovarajui pravci nazivaju se glavni pravci ili pravci glavnih normalnih napona.

3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA333/11/2014OTPORNOST MATERIJALA34

Sabiranjem prva dva izraza opet dobijamo prvu invarijantu napona

3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA35NAPOMENEVrednost ugla odreuje se pomou izraza

Dobijena vrednost unese se u

odreuje pravac glavnog napona 1 odreuje pravac glavnog napona 23/11/2014OTPORNOST MATERIJALA36

Tangencijalni naponi (naponi smicanja, smiui naponi) za ravni glavnih normalnih napona?


Bitna karakteristika: U ravnima glavnih normalnih napona nema napona smicanja.3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA38

Ekstremne vrednosti napona smicanja ?

Ekstremne vrednosti ovog napona imamo kada je njegov izvod po jednak nuli.



Ravni u kojima deluju ekstremni naponi smicanja nazivaju se ravnima ekstremnih napona smicanja.U kom meusobnom poloaju stoje ravni glavnih normalnih napona i ravni ekstremnih napona smicanja?3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA41


U kakvoj su vezi max,min i 1,2 ?3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA43

3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA44Veza izmeu max,min i 1,2 kod ravanskog stanja napona definisana je dakle izrazom

Poto predznak tangencijalnog napona nema fizikog znaenja (za izotropne materijale) obe njegove ekstremne vrednosti moemo oznaiti sa max

3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA45Ravansko stanje napona moemo posmatrati kao jedno sloeno naprezanje kod kojeg se stanje napona definie tenzorom


Ravansko stanje napona posmatrano kao sloeno naprezanjeNaprezanje u dva pravca (dvoosno naprezanjeisto smicanje (naprezanje na isto smicanje)


Dvoosno naprezanje3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA48Dvoosno naprezanje ili naprezanje u dva pravca sreemo kod povrinskih noseih elemenata (npr. ploa).Posmatrajmo tanku plou napregnutu u x i y pravcu.483/11/2014OTPORNOST MATERIJALA49

Tanka ploa napregnuta u x i y pravcu3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA50

Glavni pogled tanke ploa napregnuta u x i y pravcu sa uoenim i izdvojenim elementarnim delom

Razmotrimo sada deformisanje izdvojenog elementarnog dela na bazi principa superpozicije.3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA51


3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA53Iz razmatranja deformisanja izdvojenog elementarnog dela, dvoosno napregnute tanke ploe, slede veze deformacija i napona

Dva oblika Hukovog zakona pri dvoosnom naprezanju.Veze napona i deformacija

3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA54Specijalni sluajevi dvoosnog naprezanja

3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA55Dvoosno naprezanje Transformacija naponaZa dvoosno naprezanje vai

Transformacioni izrazi za napone u sluaju ravanskog stanja napona, glase


isto smicanjePodsetimo se na injenicu da smo saglasno principu superpozicije ravansko stanje napona, posmatrano kao sloeno naprezanje, razloili na:Naprezanje u dva pravca iisto smicanje (naprezanje na isto smicanje).Sada se pozabavimo problemom istog smicanja.3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA573/11/2014OTPORNOST MATERIJALA58Transformacioni izrazi za napone u sluaju ravanskog stanja napona, glase

isto smicanje Transformacija naponaZa isto smicanje vai


Glavni normalni naponi pri istom smicanuisto smicanje Glavni normalni naponi

isto smicanje Deformacije

Osvrnimo se na kvadratni elementarni deo ploe izloen istom smicanju.Deformisanje navedenog elementa moemo definisati:Promenom pravog ugla izmeu meusobno normalni strana, za ugao klizanja iPromenom duina dijagonala d za d.3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA603/11/2014OTPORNOST MATERIJALA61Deformisanje kvadratnog elementarnog dela ploe pri istom smicanju

Promena duina dijagonala:Promena pravog ugla:


3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA63Pri istom smicanju u ravnima zaokrenutim za =/4 u odnosu na uoeni poduni pravac, pojavie se samo normalni naponi intenziteta .U jednom pravcu je zatezanje, a u drugom pritisak (ovo jednu dijagonalu izduuje, a drugu skrauje).U ravnima najveeg napona smicanja nema normalnih napona. Ovakvo stanje naprezanja naziva se isto smicanje.

3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA64Prisetimo se sada specijalnog sluaja dvoosnog naprezanja

Hukov zakon koji povezuje deformacije i napone za ovaj sluaj dvoosnog naprezanja glasi

Na osnovu ove slike i ovako definisnog Hukovog zakona moemo zakljuiti da kod istog smicanja vai:


G je modul klizanja

Modul klizanja G je fizika karakteristika materijala koja povezuje napon smicanja i odgovarajuu ugaonu deformaciju.Isti se izraava u MPa ili drugim jedinicama kao i modul elastinosti E.Zavisnost napona smicanja od ugaone deformacije moe se dobiti eksperimentalno.- kriva koja se pri tome dobije, slina je - krivoj (inenjerskoj naonsko-deformacionoj krivoj) sa kojom smo se ranije upoznali.3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA66Za dobijanje - krive konkretnog metalnog materijala koriste se tanke cevi koja se izlau uvijanju momentom Mt . 3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA67Ilustracija - krive dobijene ispitivanjem na uvijanje tanke eline cevi

3/11/2014OTPORNOST MATERIJALA68ZADATAK 1

Zadat je tenzor napona

(Naponi su u MPa)

Odrediti:

Glavne normalne napone i njihove pravce.Tenzor napona za sluaj rotacije xy koordinatnog sistema za ugao =60.

Documents

Otpornost materijala Predavanje Br. 3