GIMNAZIJA „MUHSIN RIZVIĆ“ školska 2009/2010.godina

KAKANJ

Ime i prezime učenika: Alem Zekić

Izborno područje: matematičko-informatičko

Odjeljenje: 3

Maturski rad

iz

informatike

TEMA: KOSI HITAC - EXCEL

Mentor:

mr. sci. prof. Sead Delić, dipl.ing.el.

Kakanj, aprila 2010. godine

2

Sadržaj

1. Opis problema 3

1.1. Uvod 3

1.2. Jednačina kosog hica 4

1.3. Daljina dometa kod kosog hica 7

1.4. Maksimalna visina kod kosog hica 7

2. Modeliranje kosog hica 9

3. Listing koda programa 11

4. Zaključak 13

5. Literatura 14

3

1. OPIS PROBLEMA

1.1. Uvod

Kretanje tijela koje je bačeno izvjesnom početnom brzinom pod nekim uglom,

odnosno koso prema horizontu naziva se kosi hitac. U svakodnevnom životu se srećemo s

kretanjima koja se mogu opisati modelom kosog hica. Jedno od takvih kretanja je i

ispaljivanje topovske kugle iz topa.

Kosi hitac je složeno kretanje iz jednolikog kretanja zadanim pravcem, koje tijelo

treba da vrši po zakonu inercije uslijed početne brzine i jednako ubrzanog kretanja pod

utjecajem Zemljine teže. Otuda je putanja kosog hica parabola. Ugao što ga čini pravac

početne brzine sa pravcem horizonta nazIva se nagibni ili elevacioni ugao.

Ako po zakonu nezavisnosti

kretanja smatramo da tijelo prvo izvrši

jedno, a zatim drugo komponentno

kretanje istog trajanja onda rezultujuću

putanju kosog hica možemo

konstrukcijom dobiti ovako:

Na liniji AE uzmemo jednake

odsječke AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 =

A4A5 = A5A6 . Dužine ovih odsječaka

predstavljaju puteve koje bi tijelo

prešlo kad bi se kretalo pod utjecajem

početne brzine V0. Ako , iz tačaka A1,

A2, A3, A4, A5, A6 u kojima bi tijelo

trebalo da se nalazi po isteku 1, 2, 3, 4, 5, 6 sekundi povučemo vertikalne prave dužine A1I , A2 II , A3

III , A4 IV , A5 V, A6 VI treba da se međusobno odnose kao kvadrati vremena, tj. da se odnose

kao 1:4:9:16:25:36.

Kao što vidimo dobivena parabola ima obe svoje grane. U prvoj grani tijelo se podiže

do najviše tačke C iznad horizonta koja se zove tjeme parabole, a u drugoj grani tijelo pada

4

naniže. Ali u oba slučaja se kreće tako da se istovremeno udaljava u horizintalnom pravcu od

početne tačke A. Odstojanje od horizonta do tjemena parabole zove se visina dometa (CD), a

rastojanje između polazne tačke A i tačke B, do koje tijelo dobaci, zove se daljina dometa

(AB).

Na osnovu izloženog može se reći:

Kosi hitac je kretanje tijela pod utjecajem početne brzine u pravcu nagnutom prema

horizontu pod izvjesnim uglom. Putanja kosog hica je parabola čije se tjeme nalazi u najvišoj

dostignutoj tački iznad horizonta.

1.2. Jednačina kosog hica

Da bismo mogli odrediti položaje tijela u ma kome trenutku na paraboli, potrebno je da

izvedemo jednačinu kosog hica. Za tu svrhu smatraćemo polaznu tačku A kosog hica kao

početak pravouglog koordinatnog sistema XAY. Početna brzina ��

→ čini sa pozitivnom smjerom

5

X ose nagibni ugao α. Pod utjecajem početne brzine ��

→ kada ne bi djelovala Zemljina teža

tijelo bi se kretalo jednoliko u pravcu AE po zakonu inercije. Međutim pod utjecajem zemljine

teže tijelo istovremeno treba da vrši slobodno padanje. Stoga početnu brzinu ��

→ razložićemo

na dvije komponente: jednu ��� (horizontalnu brzinu u pravcu X ose) i drugu ��� (usponsku

brzinu) u pravcu Y ose.

Iz pravouglog trougla AGF dobijamo da je intenzitet tih komponenti:

��� = ���� (1)

��� =����� (2)

Horizontalna komponenta početne brzine ima konstantnu vrijednost u toku kretanja

tijela, jer ona je projekcija komponente brzine koju tijelo treba da ima u pravcu AE. Ako u

jednoj proizvoljnoj tački putanje M konstruišemo brzinu �→ onda će njene projekcije na X osu i

Y osu biti ��

→ i ��

→.

Intenzitet brzine horizontalne komponente ��

→ ima konstantnu vrijednost i jednak je

intenzitetu horizonatlne komponente početne brzine, tj. �� = ���, pa će prema jednačini (1)

biti:

�� = ���� (3)

Na osnovu toga pri konstrukciji tangente u tački M, treba imati u vidu da je AG = ND

= ML. Usponska komponenta početne brzine ��� ustvari je početna brzina vertikalnog hica,

jer se pod njenim utjecajem tijelo kreće vertikalno naviše pri istovremenom djelovanju

zemljine teže u suprotnom smjeru. Prema tome intenzitet vertikalne komponente brzine ��

u ma kojoj tački putanje ima vrijednost �� = ��� − ��, a otud na osnovu jednačine (2) biće:

�� = ����� − �� (4)

Kao što vidimo ova komponenta je promjenjiva i mijenja svoju vrijednost u toku

vremena. Pošto je član gt na desnoj strani posljednje jednačine pozitivan i raste sa vremenom

6

t, izlazi da je intenzitet usponske komponente stalno opada, ukoliko je vrijeme kretanja t duže,

može biti i negativan.

Pošto je kosi hitac složeno kretanje treba odrediti horizontalnu i vertikalnu

komponentu kretanja. Horizontalna komponenta x jeste put koji tijelo pređe u vremenu t

konstantnom brzinom ��, dakle jednolikim kretanjem. Prema tome komponentni put duž X

ose iznosi � = ���� = ��� ili na osnovu jednačina (1) i (3):

� = ����� (5)

Vrijednost komponente puta duž Y ose, tj. puta koji tijelo pređe u vremenu t kao

vertikalni hitac iznosi � = ���� −���

�, ili

� = ������ −���

� (6)

Put ove vertikalne komponente možemo također kao i kod vertikalnog hica odrediti

pomoću srednje brzine �� =������

�, dakle svođenjem jednako usporednog kretanja na

jednoliko.

Dobivene jednačine (5) i (6) jesu parametarske jednačine putanje kosog hica, u

kojima je parametar promjenjivo vrijeme t. Za svaku vrijednost t dobijamo određene

vrijednosti x i y koje nam određuju koordinate tačke u kojoj se tijelo nalazi u posmatranom

trenutku.

Iz jednačina (5) i (6) izvodi se opšta jednačina putanje kosog hica:

��� = ��� −���

2������

7

1.3. Daljina dometa kod kosog hica

Daljinu dometa AB možemo odrediti iz jednačine (7) ako stavimo da je y = 0, jer

znamo da putanja kosog hica tada dodiruje X osu, dakle, ako je:

0 = ��� −���

���#���$

.

Ako ovu jednačinu podijelimo sa x, sa pretpostavkom da x nije nula dobićemo:

0 = �� −�

���#���$

�,

Proizilazi da je:

� =���

�#���$

��� =

����#���$

��%&$

#��$, tj. � =

���

�2��� ��

Iz trigonometrije znamo da je 2��� �� = ���2 , pa zadnju jednačinu možemo napisati

ovako:

� =��

�

����2

Da bi smo ovu vrijedost x-a, koja određuje daljinu dometa razlikovali od ostalih

vrijednosti x-a, označićemo daljinu dometa sa Dx pa ćemo stoga posljednju jednačinu zapisati

ovako:

'� =���

����2 (8)

Jednačina (8) određuje daljinu dometa kod kosog hica.

1.4. Maksimalna visina kod kosog hica

Maksimalnu visinu koju postiže tijelo kod kosog hica možemo odrediti ovakvim

razmatranjem:

Po principu nezavisnoti dejstva sila tijelo se podiže naviše. Zavisnost y od vremena t:

��� = ��� sin −���

2

8

+�

+�= �� sin − �� = 0

Kada ovu jednačinu izjednačimo sa nulom dobićemo maksimalnu visinu tijela, a za vrijeme t0

uzimamo:

�� =�� sin

�

Nakon toga izražavamo funkciju y(t0):

���� = ��

�����

���� −

�

2

�������

��

Iz prethodne jednačine slijedi:

���� = �,-� = . =����%&�$

�� (8)

Jednačina (8) daje maksimalnu visinu tijela.

9

2. Modeliranje kosog hica

Za modeliranje kosog hica korisitio sam kombinaciju znanja iz matematike, fizike i

tehnologija Microsoft Excela i Visual Basica. Modeliranje sam radio na praktičnom primjeru

ispaljivanja topovske kugle iz topa. Slijedi izgled modela.

Model sam predstavio u XY koordinatnom sistemu Microsoft Excela.

Konture topa i topovsku cijev odredio sam sa dužima u koridnatnom sistemu koje

određuju dvije tačke zadane (x,y) koodrinatama u XY kordinatnom sistemu.

Rotacija cijevi od 0 do 90 stepeni određena je slijedećim jednačinama:

� = + sin� ∙ � i � � + cos� ∙ �

Gdje je d dužina cijevi topa, α nagibni ugao, a � � �2

34�.

Za prikazivanje kružnice na grafiku kao točka topa koristio sam slijedeće jednačine:

� � 5 sin 6 i � � 5 cos 6

Gdje r poluprečnik kruga, a 6 � ��2

34� (n je broj tačaka; 6 se računa za svaku tačku).

10

Za efekat trzanja topa, nakon ispaljivanja kugle koristio sam funkciju:

� � 78�9 sin�:�

U kojoj je ; vrijeme trzanja topa, a : brzina trzanja topa.

Za određivanje položaja topovske kugle koristio sam parametarske jednačine:

� � �����

� � ������ −���

�

Za određivanje položaja uz vjetar, na prvu jednačinu � � �����< se dodaje ili oduzima

brzina vjetra u ovisnosi od smjera.

� � ����� ��8�

Od gotovih elemeta Visual Basica koristio sam Spin Button, Command Button i

Picture Box.

Spin Button sam koristio za efikasno mijenjanje vrijednosti nagibnog ugla i vrijednosti

početne brzine. Povezao sam ih sa odgovarajućim ćelijama.

Picture Box sam koristio sa grafičko određivanje smjera vjetra, prikazujući slike koje

su prethodno izrađene u alatu za grafiku.

Command Button sam koristio za izvršavanje programskog koda koji omogućava

kretanje tačke (topovske kugle) u XY koordinatnom sistemu, koji određuje brzinu i smjer

vjetra, te koji vraća sve varijable na početne vrijednosti.

U programskom kodu sam koristio strukturu grananja (If uslov then naredba), petlju

(Do while uslov naredba Loop), Public sub proceduru i Rnd funkciju koja služi sa slučajni

odabir brojeva.

11

3. Listing koda programa

Option Explicit

Dim Pokusaj As Integer

Dim Bodovi As Long

Dim v, t, g, a As Long

Dim X, Y As Long

Public Sub OdrediMetu()

Range("g67") = (Int(100 * Rnd))

End Sub

Public Sub PromjeniVjetar()

Range("I45") = Int(4 * Rnd)

If Range("I45") = 1 Then Range("J45") = (Int(5 * Rnd))

If Range("I45") = 2 Then Range("J45") = (0)

If Range("I45") = 3 Then Range("J45") = (Int(-5 * Rnd))

If Range("I45") = 1 Then smjer.Picture = plus.Picture

If Range("I45") = 2 Then smjer.Picture = nula.Picture

If Range("I45") = 3 Then smjer.Picture = minus.Picture

End Sub

Private Sub PucajPrekidac_Click()

Range("C64") = 0

Do While (Range("I55") > 0) Or (Range("H69") = 1)

Range("G55") = Range("G55") + Range("G56")

Range("i69") = Range("G55")

Range("C64") = Range("C64") + 1

X = v * t * cos(a)

12

Y = v * t sin(a) – (g * t * t)/2

DoEvents

Loop

Range("G55") = 0

Pokusaj = Pokusaj + 1

Range("M31") = Pokusaj

Bodovi = 1000 / Pokusaj

Range("N31") = Bodovi

If Range("H69") = 1 Then PucajPrekidac.Enabled = 0

PromjeniVjetar

End Sub

Private Sub Nova_igraPrekidac_Click()

PucajPrekidac.Enabled = 1

Pokusaj = 0

Bodovi = 1000

OdrediMetu

Range("M31") = Pokusaj

Range("N31") = Bodovi

PromjeniVjetar

End Sub

13

4. Zaključak

Računarske simulacije zasnovane na matematičkom modeliranju sistema u fizici,

kvantnoj mehanici, hemiji, biologiji, inžinjeringu, ekonomskim sistemima, psihologiji i

društvenim naukama za osnovni cilj imaju sticanje najboljeg uvida u rad navedenih sistema.

Ne postoji bolji način uvida u funkcionisanje bilo kojeg sistema, otvaranja vidika,

edukacije i razvoja vlastite percepcije od računarske simulacije zasnovane na matematičkom

modeliranju.

14

5. Literatura

- Dr Boško V. Pavlović, Stonoje V. Milojević; Praktikum računskih vežbanja iz Fizike;

Naučna Knjiga; Beograd, 1975.

- Eric A. Smith, Valor Whisler, Hank Marquis; Visual Basic 6; Mikro knjiga; Beograd; 1999.

15

Komentari

16

PRILOG BROJ 1.

CD - model kosog hica u Excelu.