Kontra József a Nyelvi És Strukturális Tényezők Befolyása a Szöveges Feladatok Megoldására

MAGYAR PEDAGGIA 101. vf. 1. szm 545. (2001)

A NYELVI S STRUKTURLIS TNYEZK BEFOLYSA A SZVEGES FELADATOK MEGOLDSRA

Kontra Jzsef Kaposvri Egyetem, Csokonai Vitz Mihly Pedaggiai Fiskolai Kar,

Pedaggiai Tanszk

Ren Descartes (15961650) Szablyai-ban a problmamegolds egyetemes mdsze-rt kvnta bemutatni. Noha Descartes elgondolsa nem vlik be mindig, szmos fontos esetben hasznlhat. Ezt az eljrst kveti egy tanul, ha egyenletek fellltsval old meg egy szveges feladatot, s ezzel mintegy felkszl az abban rejl gondolat komo-lyabb alkalmazsra is (Plya, 1979). A szveges egyenletek teht joggal szerepelnek a tananyagban (Hajnal s Nmethy, 1989). 1

Ugyanakkor tudnunk kell, hogy a matematikarn elsajttott ismeretek nehezen transzferlhatk olyan feladatokra is, amelyek jllehet a tanrai tpusoktl valamelyest eltrnek megmaradnak a matematika keretei kztt (Novick, 1992; Csap s Korom, 1998). Msrszt a sokfle kapcsolat keressre egysges instrukci nem fogalmazhat meg. A gyakorlat azt mutatja, az iskolai szveges feladatok ltalban a nehezebb prob-lmk kz tartoznak (Mosonyi, 1972; Bthory, 1989; Majoros, 1992; Karcsony, 1994). Megjegyezzk, hogy 1997-ben orszgos reprezentatv mintkon vgzett mrsek adatai szerint a szveges feladatok megoldsban a tanulk tlagos teljestmnyei lnyegesen jobbak voltak, mint a korbbi, 1972-ben mrt teljestmnyek (Vidkovich s Csap, 1998). Egyszersmind megfigyelhet volt, hogy a szveges matematikai feladatmegold kszsgek az iskolai plyafuts sorn vgig fejldnek, habr kiderlt az is, hogy a tanu-lk egy rsznl e kszsgek teljestmnyei mg a 10. vfolyamon sem rik el az eszkz-szer hasznlathoz szksges szintet (Halsz, 2000).

ppen ezrt szaktanri szempontbl ugyangy tanulsgos vgiggondolni, hogy mirt bizonyul tbbnyire nehznek az egyik, s feltnen knnynek a msik feladat. Ilyenkor gondolhatunk feladatszerkesztsi hibkra is. Pldul a bonyolult szveg megakadlyoz-hatja a tanult abban, hogy a feladatot megrtse, s a matematikai megoldst megadja (Csap, 1993). A teljes kphez hozztartozik, hogy a tanknyvek slyos tvedseket tar-talmazhatnak: a vrusos rszeket az olvas nem rti (nem rtheti) (Ksa, 1994).

1 Hajnal s Nmethy a szveges egyenleteket azzal indokolja, hogy a mindennapi letbl vett megfigyelsek

(mrsek) alapjn matematikai sszefggseket kell felismerni, azaz megfelel matematikai modellt kell ke-resni s felrni (1989. 90. o.). Knyvkben ksbb pedig megemltik, hogy az gynevezett szveges felada-toknl (gy, idzjelben) mg az ismeretlenek megvlasztsa is befolysolhatja a megolds munkjnak a mennyisgt (1989. 163. o.).

5

Kontra Jzsef

Vizsglatunkban a teljestmnyek szempontjbl a problmk (esetnkben mozg-si feladatok) Lepik (1990) nyomn meghatrozott paramtereivel foglalkozunk. Adata-ink lehetv teszik, hogy a feladatok megbzhatsgt is tanulmnyozzuk. A felmrsbe bevont 9. osztlyosok sszltszma 630 f volt.

Szveges feladatok olvassa s megrtse

Visszatr tanri panasz, hogy azok a tanulk, akik kpesek aritmetikai feladatok sikeres megvlaszolsra, gyakorta eredmnytelenek olyan szveges problmk megoldsban, amelyekhez ugyanazon alapvet szmtsi mveletek vgrehajtsa szksges. Taln nem is kell kln hangslyozni, ms szjrs felttelezhet a szveges matematikai probl-mk megoldsakor, mint amikor a tanulk egyenletekkel tallkoznak (ld. egyszerst stratgia reduce strategy vs. elklnt stratgia isolate strategy; Mayer, 1982). Be-vezet ttekintsnk teht elssorban arrl szl, mit is jelent egy adott szveges feladat lefordtsa az algebra nyelvre. Mely kognitv folyamatok alkotjk a matematikai prob-lmamegolds alapjait? Mit tudnak a szveges egyenletek eredmnyes megoldi? Ezen az ton el kell jutnunk a msik megkzeltshez, amely a feladatok jellemzit teszi vizs-glat trgyv. Ez pedig visszavezet a szveges problmk megoldsbeli nehzsgeinek alapvet forrsaihoz, a feladatok rtelmezshez s megrtshez.

A matematikai problmamegolds kognitv folyamatai

Alkalmas kiindulsknt megadjuk Mayer felfogshoz csatlakozva a matematikai problmamegolds ngy f sszetevjt (Mayer, Larkin s Kadane, 1984; Mayer, Lewis s Hegarty, 1992; Mayer s Hegarty, 1998): transzlci, integrls, tervezs s vgrehaj-ts. A transzlcis folyamatban a megold a problmban szerepl minden egyes kije-lents bels mentlis reprezentlsn tevkenykedik. Az integrls a relevns inform-cik beplst foglalja magban egy koherens mentlis reprezentciba. A tervezs a problma megoldsnak megszerkesztst jelenti. (A tervezs s a tudatos ttekints: a metakognitv megkzelts Fisher, 1999.) A vgrehajts pedig a terv kivitelezse. Az 1. tblzatban kzlt plda segtheti a pedaggusokat a relatve gyengbben teljest ta-nulk metakognitv tudatossgnak fejlesztsben (Cardelle s Elawar, 1994).

Mayer s Hegarty (1998) kutatsai szerint a teljests akadlyainak oka inkbb a problmk reprezentlsban van, mint a megoldsi eljrs vgrehajtsban. A szerzk direkt vagy kzvetlen transzlcis stratginak nevezik azt az eljrst, amikor az integr-lsi folyamatban a megold tartalmilag kivonatolja (kiragadja) azokat a szmokat s kulcskifejezseket, amelyek a vgrehajtshoz az aritmetikai mveleteket megalapozzk.

Termszetesen gyakran elfordul, hogy a kulcsszavak nem megfelel mveleteket sejtetnek, vagyis a pusztn szavakra (felsznre) ptett megoldsi terv nagy valszn-sggel helytelen. Drmai pldval szolgl ehhez Reusser (Bransford, Zech, Schwartz, Barron s Vye, 1998). Feladata a kvetkez volt: Egy hajn 26 brny s 10 kecske van. Hny ves a kapitny? A tanulknak mintegy 3/4-e megprblta (mechanikusan) kisz-

6

A nyelvi s strukturlis tnyezk befolysa a szveges feladatok megoldsra

mtani a vlaszt! Egy tdik osztlyos gyerek megoldsa: 26 + 10 = 36 (Bransford s Stein, 1993).

1. tblzat. Egy problma megoldsa Mayer modellje nyomn (ld. CardelleElawar, 1994)

Feladat: Mennyibe kerl egy 16,5 m hossz s 12,7 m szles terem parkettaanyaga, ha 1 dm2 parketta ra 50,50 Ft?

Fzis Szksges tuds Plda

Transzlci Milyen alakzat a terem?

Hny dm2 1 m2?

A terem tglalap. (Nyelvi informci)

1 m2 = 100 dm2 (Trgyi tuds)

Integrls Mekkora a tglalap terlete? A terlet a hosszsg s a szlessg szorzata. (Sma-elzetes tuds)

Tervezs Melyek a megolds lpsei (procedural steps)?

1. A tglalap terletnek kiszmtsa (hossz-sg szlessg).

2. tszmts: Hny dm2 parketta szksges?

3. A kltsg meghatrozsa a parketta egysgrval.

(Stratgiai tuds) Vgrehajts Hogyan kell szmolni

a tizedes trtekkel? Hov kell tenni a szorzatban a tizedesvesszt?

1. 16,5 m 12,7 m = ___ m22. ___ m2 ___ dm23. ___ dm2 50,50 Ft/dm2 = ___ Ft (Aritmetikai szmtsok)

Hasonlkppen rdekes eredmnyeket kaptunk a zokniproblma esetn: A fik-

ban a fekete s a barna zoknik 4:5 arnyban vannak keverve. Hny zoknit kell kihznod ahhoz, hogy biztosan legyen egy azonos szn prod? (Megolds: hrmat.) A direkt for-dtsos mdszer a 4 s 5 szmokat knlja, s ekknt hibhoz vezethet, hiszen a megol-ds tekintetben az arnypr lnyegtelen (Sternberg, 1998). A feladatot ltalnos iskol-soknak (5. osztly: 135 f, 7. osztly: 232 f; ld. Kontra, 1999) s kzpiskolsoknak (ebben a tanulmnyban szerepet kap iskolkbl: a 9. vfolyamon 73 gimnazistnak s 123 szakkzpiskolsnak, tovbb a 11. vfolyamon 59 gimnazistnak s 101 szakk-zpiskolsnak) adtuk fel. A vlaszok vfolyamonknti szzalkos eloszlst az 1. bra mutatja. Lthat, hogy a feladaton nyjtott teljestmnyek 44% alattiak. Az tdikesek teljestmnye (18,5%) lnyegesen gyengbbnek bizonyult, mint a msik hrom korcso-port: MannWhitney-prbval mindhrom sszehasonlts eredmnyeknt p < 0,001 addott. A hetedikes, a kilencedikes s a tizenegyedikes tanulk (3744% kztti) ered-mnyessge a KruskalWallis-prba alapjn (az egyszempontos varianciaanalzis alkal-

7

Kontra Jzsef

mazst a variancik jelents klnbsge nem tette lehetv) szmotteven nem kln-bzik (p > 0,05).

A fentiekkel egyttvve elgondolkodtat ms elemzsek tanulsga, hogy br haznk-ban az oktats nagymrtkben hozzjrul a tanulk pontatlan, naiv elkpzelseinek kija-vtshoz (tegyk hozz, risi mennyisg tantrgyi tudst kvetel meg), mg a kzp-iskols kor vge fel is jelents a megtanult, de meg nem rtett vagy flrertelmezett is-meretek arnya. A tanulk tudsa mdfelett kontextusfgg, voltakpp csak azt tudjk, amivel elbb a tanrn adott formban tallkoztak (B. Nmeth, 1998; Csap s Korom, 1998; Dobi, 1998).

18,5

37,943,9 42,5

0

20

40

60

80

100

5. vf. 7. vf. 9. vf. 11. vf.

Helyes

1. bra A zokniproblma megoldsainak arnya vfolyamonknti bontsban (%)

gy tnik, iskolai tanulmnyaik rvn a tanulk rendelkezhetnek megfelel feladat-

vgrehajtsi kpessgekkel (hasznljk a jl begyakorolt aritmetikai s algebrai eljrso-kat), mde bizonyos gondolkodsi egyebek kztt a problmareprezentcis kpes-sgeik fejletlenek. Dnt kpessg pldul: (1) az a kpessg, hogy a problmaszituci kvalitatv megrtsn alapul megoldsi tervet kialaktsuk (a szksges szmtsokat megtervezzk), (2) az a kpessg, hogy a problmban lert helyzetet (sematikus) brk-kal reprezentljuk, (3) az a kpessg, hogy az informcikat megfelelen szervezzk, a smkat (schemata) kezeljk, valamint (4) az a kpessg, hogy analgikat lltsunk fel (Schultz, s Lochhead, 1991; Dreyfus s Eisenberg, 1998; Skemp, 1975). Ezekhez mg hozzvehetk a metakognitv kpessgek (Graeber, 1994; Fisher, 1999).

Egybirnt szmolni kell azzal, hogy a kevsb sikeres problmamegoldk mdszere alighanem a kzvetlen transzlcis stratgia. Ezzel sszefggsben utalnunk kell arra, hogy a problmamodellez megkzelts ugyanazt a transzlcis eljrst tartalmazza, de egy eltr integrlsi folyamatban a problmamegold a problmban lert szituci mo-delljnek rtelmi megszerkesztsre trekszik. Az gy kapott megoldsi terv felteheten

8


helyes, mg ha a kulcskifejezsek nem helynval mveleteket sugalmaznak is. E szem-llettel a megoldsi terv vgrehajtsa a problma reprezentcijnak termszetes fo-lyomnya (Mayer s Hegarty, 1998). Jl tudjuk a kznapi tanri tapasztalatokbl, hogy a feladatmegolds kulcslpse a feladat szvegnek pontos megrtse s az adatok helyes kigyjtse. Persze fel lehet vetni, hogy a mrtkvlts, a rejtett adatok kiszmtsa jabb nehzsgeket jelenthet. Aki ezeket a lpseket sikeresen vgzi el, mr ltalban kny-nyebben boldogul a megolds tovbbi lpseivel (Vidkovich s Csap, 1998).

Az eddigiekbl az a kp bontakozik ki, hogy a j tanulk, akik ltalban jl oldanak meg matematikai feladatokat, a problmkrl szlesebb vagy ms reprezentcit kpesek kialaktani, gy beszlhetnk a problmk megfelel reprezentlsrl (megrtsrl), s metakogncijuk is valsznleg fejlettebb (Kontra, 1999). sszhangban a problma-megolds klasszikus elmleteivel mondhatjuk, hogy a szveges feladatok megoldsnak legkreatvabb mozzanata a problma jelentsnek felismershez kapcsoldik. Emltsk itt meg, hogy haznkban az ltalnos iskols letkorban a jobb kpessgekkel rendel-kez gyerekek jobb jegyeket kapnak, a kzpiskolban viszont a kevsb j kpessg tanulk is szerezhetnek j osztlyzatokat, s a j gondolkodsi kpessgek sem mindig j tanulk (Csap, 1998; Kontra, 2000).

A feladatmegrts segtse: a szveges feladatok felosztsai

Most rtnk ahhoz a krdskrhz, hogyan hatnak a problmk sajtsgos jellegze-tessgei a megoldsmintra. Kiss gyakorlatiasabban a direkt transzlcis stratgit gy jellemezhetnnk, hogy br gyakran vezet helytelen eredmnyre elnye a minimlis memriaigny, tovbb a problmatpusok ismerettl val fggetlensg (Mayer s Hegarty, 1998). Mindazonltal problmkkal szembekerlve a megoldk tbbszr hasz-nljk hasonl problmk megoldsa sorn nyert tapasztalataikat. Fontos krlmny azonban, hogy a kezdk hajlamosabbak olyan hibkat vteni, amelyek a forrs- s cl-problmk kztti felszni-strukturlis hasonlsgokon alapulnak, mg a tapasztaltabbak (haladk) jobban gyelnek a mly-strukturlis motvumokra (Novick, 1992; Ben-Zeev, 1998).

Valban, pldul a matematika (szveges feladatok) (Hinsley, Hayes s Simon, 1977), valamint a fizika (Chi, Feltovich s Glaser, 1981) terletn empirikusan feltrtk, hogy a problmamegoldk a problmkat tpusokba soroljk. A problmaosztlyokhoz kapcsold tuds az gynevezett problmatpus-sma (problem-type schemata), amely-ben visszatkrzdnek a relevns fogalmak, elvek, szablyok, eljrsok, relcik, mve-letek stb. (Anderson s Thompson, 1989; Ross s Kennedy, 1990; Greeno, 1991; Novick s Holyoak, 1991). Ajnlatos teht, hogy a tanulk lnyegesen klnbz problmkkal tallkozzanak. Ez a krds tvezet a problmk osztlyozsnak tmjba (Kontra, 1996).

Az a gondolat, hogy nagyon sokfle feladatot kell megoldanunk, a kzpiskolai matematikaoktatsban ismers. J plda erre Hajnal s Nmethy (1989) llspontja, amely szerint kiragadhatunk egy-egy tpus problmakrt, pldul mozgsi, vagy munkavgzsi, vagy keversi feladatokat, de ha kizrlag ilyeneket trgyalunk, ta-

9

Kontra Jzsef

ntvnyaink nem veszik szre a matematikai modellalkots rdekessgt s szpsgt. Krds persze, hogy milyen tpus problmakrk kzl vlaszthatunk.

A tbbfle megkzelts, feloszts kzl a kvetkezkben azokat tekintjk t, ame-lyek pedaggiai nzpontbl szerintnk a leginkbb tanulsgosnak grkeznek. Alapos elemzsre azonban nem vllalkozhatunk, csupn nhny fontosabb mozzanatot emelnk ki. Mikzben a matematikai szveges feladatok fbb rendezsi elveivel foglalkozunk, rintjk a tanulk gondolkodsnak nhny, a szempontokhoz kapcsold jellemzjt is.

Hazai pldk

Elsknt kt (tipikus) felosztst mutatunk be. Az egyikben Br (1979) a szveges feladatokat a kvetkezkppen foglalta ssze: (1) aritmetikai jelleg egyenletek, (2) r-szek szmtsval kapcsolatos egyenletek, (3) szzalkszmtssal kapcsolatos egyenle-tek, (4) geometriai trgy egyenletek, (5) fizikai tartalm egyenletek (teljestmnyhez, mozgsokhoz, fajslyhoz meg egyb fizikai alapfogalmakhoz kapcsold egyenletek) s (6) grafikus mdszerrel megoldhat egyenletek. (Megjegyzend, hogy Br az elsfok s a msodfok egyenletek tpuscsoportjait kln alfejezetekben adja meg. A msodfok egyenletekre vonatkoz tagolsban az aritmetikai s a rszek szmtsval kapcsolatos egyenletek kzsen, azaz egy tpuscsoportban szerepelnek.) A msik osztlyozs Gyetvn s Varga (1992) alapjban hasonl, de kt feladatcsoport esetben az a felada-tunk, hogy a megadott egyenletet megoldjuk, mg a tbbi feladatokban nincs megad-va konkrtan az egyenlet, hanem szvegbe rejtve: (1) aritmetikai jelleg (konkrtan megadott) egyenletek, (2) rszek szmtsval kapcsolatos (szvegbe rejtett) egyenletek, (3) szzalkszmtssal kapcsolatos (szvegbe rejtett) egyenletek s (4) geometriai tr-gy (szvegbe rejtett) egyenletek, valamint (5) grafikus mdszerrel megoldhat (konkr-tan megadott) egyenletek. (Most is elklntve olvashatunk az elsfok s a msodfok egyenletekrl. Itt azonban a msodfok egyenletre vezet feladatok esetben a szzalk-szmtssal s a rszek szmtsval kapcsolatos egyenletek vannak egytt.)

Ami e kt feloszts sszefondst illeti, utalnunk kell a kategrik tg rtelmez-sre. Pldul Gyetvn s Varga (1992) knyvben a rszek szmtsval kapcsolatos egyenletek csoportjban lev feladatok kzl nhnyat az els csoportostsban az arit-metikai jelleg egyenletek kz sorolhatnnk. Plda (elsfok egyenlet): Egy ktjegy szm jegyeinek sszege 10. Ha a jegyeit felcserljk, 36-tal nagyobb szmot kapunk. Melyik ez a szm? (46. o.) Amellett egyttes munkra vonatkoz feladat fellelhet a fi-zikai tartalm (Br, 1979) s a rszek szmtsval kapcsolatos egyenleteknl (Gyetvn s Varga, 1992). A dolgot tovbb bonyoltja a kmiai trgy, gynevezett keversi fel-adatok besorolsa. Igaz, a keversi feladatok egy rsze nem kmiai, hanem fizikai jelleg (Mosonyi, 1972). Ugyanakkor a keversi feladatokat mindkt rendszerben a szzalk-szmtssal kapcsolatos egyenleteknl talljuk meg.

Nyilvnval, hogy a szzalkszmtssal kapcsolatos egyenletek kln kategriaknt trtn kiemelse nehezti az osztlyozst. Ugyanis szmos feladatot knnyen tfogal-mazhatunk gy, hogy a mdosts utn mr a szzalkszmtssal kapcsolatos egyenle-tekhez is tartozhatna. Vegynk egy pldt a rszek szmtsval kapcsolatos egyenletek kzl: Egy lda dtital slynak harmadrsze az vegek slya, negyedrsze pedig a l-10


da slya. Hatrozza meg a lda dtital slyt, ha az dtital slya 10 kp! (Gyetvn s Varga, 1992. 43. o.) A mdostott feladat: Egy lda dtital tmegnek 33%-a az ve-gek tmege, 25%-a pedig a lda tmege. Hatrozza meg a lda dtital tmegt, ha az dtital tmege 10 kg! (Elfordulhat, hogy a testnek nem a tmegt, hanem a r hat nehzsgi ert kvnjuk hangslyozni. Ekkor a sly helyesebben a slyer szt hasz-nljuk. A megrts-segts problmjhoz tartozik, hogy ehhez ismeretre van szksg a fogalomrl. De vajon a tanul tud(hat)ja-e, mit jelent az, hogy az dtital slya 10 kp? (A nemzetkzi mrtkegysg-rendszerrl, az SI alkalmazsnak hazai elrendels-rl ld. Csengeri knyvt, 1981.)

A grafikus mdszerrel megoldhat egyenletek kapcsn alapjban vve hasonl mondhat el. Itt a tpusfeladatok kztt mozgsi feladatokat (fizikai tartalm egyenle-teket) tallunk (Br, 1979). Valban, ezeknl a grafikus eljrs igen elnys (egyebek kztt szemlletes) szokott lenni (Baranyi, 1992). Hanem ez a fogs elvileg brmely egyismeretlenes egyenlet (s nmely ktismeretlenes s egyb egyenlet) megoldsnl ignybe vehet. Tudjuk persze, htrnya az a pontatlansg, ami a fggvnykpek meg-rajzolsval meg a kzs pontok x koordintinak a leolvassval jr. Ez okbl ms megoldsi mdszer keresse is ajnlatos (Hajnal s Nmethy, 1992). Amit javasolhatunk az az, hogy a kzpiskolai tanulk szmra elhatrolhat a lineris programozsi felada-toknak egy nagyon specilis a grafikus mdszerrel megoldhat esete (lsd Hajnal, Nemetz, Pintr s Urbn, 1982; Kaufmann, 1982; Czapry, 1986; Flekin, 1996).

Megprbltuk rzkeltetni, hogy a matematikai szveges feladatok bemutatott ktfle tagolsa (a tanknyvekben s a feladatgyjtemnyekben tbbnyire hasonlk tallhatk) bizonytalan. Vannak ugyan (tartalom szerint) krlhatrolhat tmk (a) a geometriai trgy egyenletek, (b) a srsghez (keverses feladatok), (c) a mozgsokhoz, (d) a teljestmnyhez (pldul egyttes munka, vzcsapos feladatok) kapcsold egyenle-tek, valamint (e) szmok meghatrozsra utal (pldul helyi rtkes egyenletek) (Mo-sonyi, 1972; Dezs s des, 1997) , de a tbbi feladat idzett sztvlasztsrl az lls-pontunk negatv.

Els kzeltsben azt mondhatjuk, hogy felesleges egy-kt nehezen megragadhat csoport (aritmetikai s rszek szmtsval kapcsolatos egyenletek) kpzsvel bvteni a kzismert tpus problmakrket (a, b, , e). E tekintetben tmaszkodhatunk az tte-kinthetsg alapelvre, s a tbbieknek az egyb (rezidulis) kategrit nyithatjuk meg (Nagy, 1985). Valjban ppen a sokfle feladat elfordulsa miatt az egyb kateg-ria ilyenforma finomtsa (jabb feladatcsoportok megadsa) az iskolai gyakorlatban nem ltszik indokoltnak. Az a nem sok problma, amelyekkel a matematikarkon eb-ben a tmakrben foglalkozhatunk, vgtelenl vltozatos lehet. Nzzk konkrt pld-kon: (1) A labdarg-bajnoksg szi s tavaszi forduljban sszesen 306 mrkzst jtszottak a csapatok. Hny csapat mrkztt? (2) Hrman 21 hordt kaptak. Ezek k-zl 7 flig, 7 egszen tele van borral, 7 pedig res. Hogyan kell osztozkodniuk, hogy a bornak az sszekeverse s tntse nlkl mindenki 7 hordt s egyenl mennyisg bort kapjon? (3) Egy finak ugyanannyi lenytestvre van, mint fitestvre. Leny-testvrnek feleannyi lenytestvre van, mint fitestvre. Hny fi s hny leny van a csaldban? (Gimesn, 2000). Vgl pedig fontos, hogy e rendszerbl kiindulva a

11

Kontra Jzsef

tartalom dimenzitl elklntve kezelhet a grafikus mdszer alkalmazsa meg a szza-lkszmts ismeretnek a kvetelmnye.

Az elmondottak termszetesen nem jelentik azt, hogy nem trekedhetnk a (tartalmi-lag) sszetartozk kisebb csoportokba val foglalsra. (Teljessgre trekedni a trgykr kimertsben remnytelen vllalkozs.) Tekintsnk egypr jellegzetes esetet: letkorral (Kosztolnyi, Mike, Palnkain, Szederknyin s Vincze, 2000), eladssal/vsrlssal, szlltssal, s pnzsszeg felosztsval, kapcsolatos egyenletek stb. Ilyenfajta sszefog-lals hasznos lehet a tmakr teljes megvilgtsa s a rgzts rdekben. Tovbbi megerstst jelent, ha az sszekt szlakat is egybegyjtjk, tudatostjuk. Az alkal-mazhatsgot, hasznlhatsgot pldk segtsgvel ellenrizhetjk. Mgis komoly kr-dsek merlnek fel.

A feladat struktrjnak szerepe

Hinsley, Hayes s Simon (1977: idzi Ben-Zeev, 1998) megmutattk, hogy a matema-tikai problmkat kzpiskolsok s fiskolai hallgatk az els egynhny sz alapjn kpesek klnbz tpusokba rendezni. Pldul, az Egy folyami gzs kezdet problmk a foly problmaosztly visszakeressre adtak utastst. A problmk sa-jtsgos jellegzetessgei lnyegben egy sokkal ltalnosabb megoldsmintra utastot-tak. Pedaggiai szempontbl nem mellzhet, hogy a nagy gyakorisg problmk tbb jl kpzett smval kapcsoldhatnak. E kontextusban megjelenhet egy alapvet kompli-kci: a helytelen kategorizls (a nem megfelel sma felhasznlsa) hibs teljest-mnyhez vezethet (Mayer, 1984). Hinsley s munkatrsai gy talltk, hogy egy probl-ma becsaphat egy tanult, ha a tartalma egy bizonyos smra utal (pldul hrom-szg), de valjban klnbz tpus (pldul tsebessgid). Ezek utn azt mondhat-juk, hogy a htkznapian hasznlt (alkalmasint feladatgyjtemnyekben fellelhet) kate-grik meglehetsen felsznes s egyoldal osztlyozsbl szrmaznak.

Kimondva-kimondatlanul biztostani kell, hogy a tanulk egysgben lssk a mate-matikt. Induljunk ki a kvetkez feladatbl. A gprnnek 120 oldalt kellett legpel-nie. Ha rnknt 2 oldallal tbbet rt volna le, akkor kt rval hamarabb lett volna k-szen. Hny ra alatt rta le a szveget a gprn? (Gimesn, 2000) Tegyk most fel, hogy feladatunk ekkpp mdosul: Egy turista 120 km utat tett meg, mindennap ugyan-annyit haladva. Ha naponta 2 km-rel tbbet tett volna meg, akkor kt nappal elbb rt volna az t vgre. Hny nap alatt tette meg az utat a turista? Logikusnak ltszik, ha egy tanul tudja, hogyan hasznlja az t = sebessgid sszefggst, s jl ismeri az tsebessgid problmkat, akkor az els (nem mozgsi) feladat szmra rutinszer. rdemes ismt utalnunk arra, hogy a sikeres problmamegoldk szitucis modellptk, akik a problmban lert szituci megrtsre trekszenek. Ha klnbz szitucikban ugyanazt a struktrt felismerjk, meg tudunk oldani problmkat analogikusan (Dreyfus s Eisenberg, 1998). Ez arra figyelmeztet bennnket, hogy helyes osztlyozsnl a prob-lma tpusa mr a megolds tpusra is utal (Plya, 1979).

Ha a legtbb iskolai csoportostsra gondolunk, akkor knny beltni, hogy a felada-tok struktrja szempontjbl nehezen hasznosthatk. Pldul a tanul felismeri, hogy (pldul) mozgsi feladattal ll szemben, de nem tudja, hogy ezt a felsznes lerst mi-12


knt hasznlja fel a konkrt szmtsi mveletekhez. A j megrts rdekben nyilvn-valan szksges a mozgsi feladatok (struktra szerint megklnbztetett) alcsoport-jainak szmbavtele. Mayer, Larkin s Kadane (1984) nyomn nhnyat a 2. tblzatban mutatunk be (lsd mg Mayer s Hegarty, 1998). Ez a plda is rzkelteti, hogy elha-trolhat a felszni struktra s a mly struktra (Schoenfeld, 1985).

A problmamegfogalmazs szerepe

A kvetkezkben abbl az alapvet megfontolsbl indulunk ki, hogy a feladat tol-mcsolsa, megszvegezse befolysolhatja a problmareprezentcit (s gy a megol-dst). Ezt tapasztaljuk akkor is, ha a fogalmazs sugalmazsra a tanul az egyenlet fel-lltsakor azt a mennyisget kvnja nvelni, amelyik mr eleve nagyobb (Mosonyi, 1972; Mayer, Lewis s Hegarty, 1992). Komoly szemantikai problma a kvetkez: a hasonl sz mst jelenthet a matematikai s htkznapi szhasznlatban (Hart, 1981).

2. tblzat. Ngy problmatpus az egyszer mozgsokra vonatkoz feladatok krbl (Mayer, Larkin s Kadane, 1984)

Problma lersa Propozicionlis struktra Plda

Egy test elindul, amelyet ksbb egy msik kvet nagyobb sebessggel.

(A test sebessge) = ___ (B test sebessge) = ___ (A s B test mozgsideje) = ___ (A tallkozsig eltelt id) = ?

A 350 km/h tlagsebessggel re-pl teherszllt gp utn 2 r-val ugyanabba az irnyba egy msik gpet indtanak 600 km/h tlagsebessggel. Hny ra ml-va ri utol ez a teherszllt g-pet?

Kt test kzs kezd-pontbl indul ellenttes irnyba.

(A test sebessge) = ___ (B test sebessge) = ___ (A s B test tvolsga) = ___ (Id) = ?

Kt testet egyszerre indtanak egy helyrl ellenttes irnyba 36 m/s s 20 m/s tlagsebessg-gel. Hny msodperc mlva lesz a tvolsguk 574 m?

Egy test A pontbl B pontba mozog, majd visszatr.

(Sebessg Abl Bbe) = ___ (Sebessg Bbl Aba) = ___ (Mozgsid) = ___ (Teljes t) = ?

Kt helyisg kztti autbuszj-raton a kocsik tlagsebessge egyik irnyban 40 km/h, a msik irnyban 60 km/h. Egy teljes for-dul menetideje 1,5 ra. Mek-kora a kt helyisg kztti t-volsg?

Kt test mozog egyms-sal szembe.

(A test sebessge) = ___ (B test sebessge) = ___ (A s B test tvolsga) = ___ (Id) = ?

Kt falubl, amelyek egymstl 10 km tvolsgra vannak, egy-szerre indul egy-egy aut egy-mssal szembe. Az egyik 45 km/h, a msik 50 km/h tlagse-bessggel halad. Mennyi id mlva tallkoznak?

13

Kontra Jzsef

A bizonytalan ismeretek felhasznlsa, az alkalmazott eljrsok, szablyok, valamint a (taln szemlletesnek tartott) magyarzatok rtelmezse kln erprba. A kvetkez vitathat definci egy 6. osztlyos tanknyvben (Andrsyn, Czegldyn, Czegldy, Hajd s Novkn, 1989) tallhat: A trtet egyszerstjk, ha a trtet nagyobb trtr-szekbl lltjuk el. Pldul .. A harmad nagyobb trtrsz, mint a kilenced, mert az egszet kevesebb egyenl rszre osztjuk. Ktsgkvl megzavarhatja a gyerekeket, hogy egy mondaton bell ugyanaz a sz kt klnbz jelentssel szerepel: A trtet egyszerstjk esetben a trtszmra, mg ha a trtet nagyobb trtrszekbl llt-juk el esetben a trtszm ltal jellt trtmennyisgre kell gondolnunk, hiszen csak egy mennyisget lehet rszekbl ellltani (Majoros, 1992. 49. o.). A nyelv szereprl, az elnevezsek minsgrl a tanulk szmfogalmnak kialaktsval kapcsolatban ugyancsak beszlhetnk (Fuson, Fraivillig s Burghardt, 1992; Miller, 1992; Miller s Parades, 1998). Sajnos a fogalmi zavarok az vek folyamn egyre hibsabb feladatmeg-oldsokhoz vezetnek.

32

96 =

Amint az elz pldk is mutatjk, a megfogalmazs tl sszetett dolog ahhoz, hogy egy (valamilyen ltalnos) nyelvi szempontknt kezeljk. (A nyelvi vltozk megvlasz-tsnak lehetsgeirl ld. Laborde, 1990). Az osztlyozs krdshez tartozik, hogy brmelyik megfogalmazsbeli vons, nyelvi sajtsg szempontt vlhat, ha azt vltoz-knt kezeljk. E krdskr vizsgldsok trgya lehet. (Ebben a tanulmnyban ld. A vizsglat vltozrendszere cm rszt.)

Az elvonatkoztats s az ltalnosts szempontjai

Az algebrai ismeretek tovbbi megalapozst jelenti a betabsztrakci (Molnr, 1967). Az absztrakcis szinteket tekintve a nagyszm lehetsgbl nhny alapvet, l-nyegesen klnbz s egyrtelmen megklnbztethet fokot clszer eltrbe llta-ni. Elszr is kt szempontot el kell klntennk: (1) az ltalnostst (egyedekhal-mazok, szmadatokparamterek) s (2) az absztrahlst (konkrt dolgokabsztrakt dol-gok) (Nagy, 1985). Gondoljunk pldul arra, hogy a sokszg a hromszgnl ltalno-sabb, de nem absztraktabb (Cser, 1972).

Plya (1988) nyomn ltalnostsnak mondjuk, ha a dolgok egy adott halmazrl egy azt tartalmaz bvebb halmazra vltunk. (ltalnosthatunk egy dologrl a dolgot tartalmaz egsz osztlyra.) Pldul, amikor ngyzet helyett tglalapot vagy (esetleg k-sbbi ltalnostskor) ngy oldal poligonokat vizsglunk. ltalnostunk, ha egy llan-dt vltozval, egy rgztett szmot 2k-val vagy (jabb ltalnostskor) n-nel helyettes-tnk. Vegyk szre, a kt pldban az ltalnostst eltr mdon vgeztk.

Szveges feladatokban gyakran vltoz helyett rgztett rtket vizsglunk. Ha lta-lnos adatok (betk) helyett csupn szmadatokkal dolgozunk, elmarad a kpletek tanul-sgos vizsglata s az eredmnyek rtkes ellenrzse. A szmokrl betkre trve olyan problmkhoz juthatunk, amelyeknek egszen ms (s sokkal rdekesebb) inter- pretcija is lehet (Plya, 1979; Kiessling s Krner, 1985; Karcsony, 1994). Ese-tnkben ezt hangslyozva egyedi szveges feladatoknak nevezhetjk azokat a szveges feladatokat, amelyekben a megadott mennyisgek szmrtkkel szerepelnek (azaz nem paramterek jellik ezeket). A tbbi feladatot ltalnosnak minstjk. Els kzelts-

14


ben megelgedhetnk dichotm kategrikkal, egyszeren egyedinek vagy ltalnosnak tekintve a feladatokat. Tovbbi lehetsg az gy definilt ltalnos feladatok megkln-bztetse az ltalnossg mrtke alapjn: egy sokfokozat skla (sklarendszer) meg-tervezse (az elmondottak rtelmben), mely az egy paramteres felvetstl a tbb pa-ramteresen keresztl a megszortsok korltozsig terjed. Kt dolog biztos: (1) amit l-talnostunk, az mr lehet korbbi ltalnosts eredmnye, egyttal (2) egy feladaton bell tbb ltalnostsi lehetsg knlkozhat. Az elhatrols teht itt is csak hangsly s nzpont krdse.

Mieltt az absztrakci szempontjbl a feladatok trgyai (azaz a bennk lev dol-gok), s eszerint a feladatok kztt klnbsget tennnk, kicsit idzznk mg az ltal-nosts tmjnl: hogyan tkrzdhet a matematikai megrts, elfelttel-tuds sznvo-nala az ltalnosts szoksos buktatiban.

A szveges feladatok megoldsa egyenletek fellltsra s rendezsre pl. Csak-hogy az egyenletrendezsek kzben sok feltn hiny s hiba tapasztalhat. Ma is szlel-het a kvetkez Beke Man (1900, idzi Hajnal s Nmethy, 1989. 89. o.) ltal em-ltett hiba: Ha az x + a = b s = b alak egyenleteket mr hibtlanul oldjk meg a ta-nulk, mg mindig hibt ejtenek az a x = b, az = b egyenletek megoldsnl.

x a

Elfordulhat, hogy az egyenletek megoldsnak tantsakor az talaktsok (azonos talaktsok, mrlegelv) s az ekvivalens egyenletekhez kapcsold fogalmak (megold-si lpsek, eszkzjelleg ismeretek) elsajttsa megrts nlkli vagy csak rszben megrtett (Csap, 1992). Steinberg, Sleeman s Ktorza (1990) vizsglatban a tanulk-nak meg kellett hatrozniuk, melyik egyenletprok egyenletei ekvivalensek. A legtbb gyerek ismerte az talaktsok szerept, mgis ez a tuds a vlaszaikban (a ksr ma-gyarzataikban) pontatlanul tkrzdtt: az talaktsokon alapul magyarzatok arnya alacsony volt. A tanulk majdnem egyharmada az egyenletek ekvivalencijnak el-dntsekor inkbb kiszmolta a megoldsokat. Mg az x + 2 = 5 s x + 2 2 = 5 2 egyenletprnl is, ahol az els egyenlet megoldshoz tapad a msodik.

a x

A szerzk egyebek kztt lehetsgesnek tartjk, hogy a tanulk rtettk az ekvi-valens egyenletek fogalmt, azonban szksges volt (a bizonyossg kedvrt), hogy mindegyik esetet ellenrizzk. Utalnak Fischban (1982) tanulmnyra, amely szerint a gyerekek az ltalnos eset bizonytsa utn is szksgesnek vltk a specilis esetek el-lenrzst. Mindenesetre gyanthat, hogy szmos tanul bizonytalan abban, hogy ekvi-valens talaktssal kapott egyenletnek ugyanaz-e a megoldsa.

Valsznleg a dolgot nehezti, ha az egyenletben tbb vltoz fordul el (paramte-res egyenletek). A geometria, a fizika kpletei ilyen egyenleteknek foghatk fel. Ezek-ben brmelyik betvel jellt mennyisget vehetjk ismeretlennek, a tbbit megadottnak (ismertnek). Pldul sok egyes trapz terletnek kiszmtstl jutunk az ltalnost-sig. De a betegytthats egyenleteknl jabb problmk jelentkeznek: csak a gyk disz-kutlsa s ellenrzse utn tekinthetjk a feladatot megoldottnak. Ilyenkor jl szolgl, ha mind a megolds kzben, mind pedig az ismeretlen vgs kifejezsnl a konstansnak (ismertnek) tekintett betegytthatk meg nem engedett rtkeit is szmon tartjuk. E vo-natkozsban tudnunk kell, hogy 9. osztlyban mr termszetes kvnalom a gyors egyen-letrendezs (Hajnal s Nmethy, 1989).

15

Kontra Jzsef

A tovbbiakban a szveges feladatoknak az absztrakci szempontjbl trtn meg-klnbztetsvel foglalkozunk. Ehhez a f strukturlis vltozkat vesszk alapul: a mennyisgeket s a mennyisgek kztti kapcsolato(ka)t (Lepik, 1990). Ezek mind dol-gok sajtsgai, teht a dolgoktl elvonatkoztatva absztrakt dolgok: a mennyisg a dol-goknak szmmal kifejezhet s jellemezhet tulajdonsga, a relcik, egyenlsgek s hasonlk pedig tbb dolog kztt fennll sajtsgok. Marad a krds, hogy azok a dol-gok, amelyeknek a sajtsgairl sz van, maguk is sajtsgok-e. Ha nem sajtsgok, azaz nem absztrakt dolgok, akkor azok konkrt dolgok. (Val igaz, hogy ltalban klnleges nehzsget okoz az elemzsben az absztrakci itercija: a msodlagos, a harmadlagos stb. absztrakci.) Elvileg egyrtelmen eldnthet, hogy adott dolog konkrt-e vagy absztrakt (Nagy, 1985). Ily mdon konkrt szveges feladatoknak nevezhetjk azokat a szveges feladatokat, amelyekben konkrt dolgok sajtsgairl van sz. A tbbi felada-tot egyszeren absztraktnak mondjuk. Ha most az absztrakt dolgok szmt is figyelmnk krbe vonnnk, akkor a feladatokrl szlhatnnk az absztrakci mrtke szerint.

A problmkat jellemezve utalnunk kell a kvetkez pedaggiai elemzsre (Nagy, 1985). Az absztrahls jl ismerten klnbz szinteken valsulhat meg. A tevkenysg eszkzeit tekintetbe vve megklnbztethet az absztrakci manipulatv, kpmsi, ver-blis s szimbolikus szintje. Persze e ngy alapvet szinten bell is tbb fokozat mk-dik. Ha az adott dolog megismersben trtn elrehaladst, a dologba val egyre m-lyebb behatolst vesszk figyelembe, akkor az absztrakci behatolsi szintjeit kapjuk: formai, viselkedsi, szerkezeti s mkdsi szinteket. Ezzel 42 = 16 szint kztt tehetnk klnbsget. A legalacsonyabb absztrakcis (a legkonkrtabb) szintet a manipulatv s a formai szint egyttese adja. A legmagasabb absztrakcit a formlis s a mkdsi szin-tek adjk kzsen. Elssorban a manipulci s a szemlltets jelenti a konkretizlst mint pedaggiai kvetelmny. E szintelemzs pedaggiai tanulsga pedig tmnk szem-pontjbl: az letkornak meg a tudsbeli feltteleknek megfelel absztrakcis szinteken vrhat csak a szveges feladatok megrtse, a kijellt tuds feldolgozsa s elsajtt-sa.

Lssunk most pldkat. Az iskolai matematika a legtbb tanul szmra szimblu-moknak olyan manipulcija, ahol a szimblikus struktrk jelentse kimerl a szimb-likus jellsekben (Greeno, 1991). A vzcsapos feladatoknl nehzsget idzhet el, ha a tanul nem rti az egsz munka absztrakt 1-gyel trtn jellst. Llektani s md-szertani szempontbl is teljesen helytelen lenne abbl kiindulni, hogy vlasszuk a kert terlett egysgnyinek, mert a tanulk szmra korntsem termszetes, hogy az egsz kert konkrt kpzethez az absztrakt egysget (az 1-et) kapcsoljk! (Farag, 1960, idzi: Mosonyi, 1972. 114. o.)

De nemcsak a matematikai jellsek absztrakt vilga jelenthet gondot. Egyebek mel-lett a keverses pldknl a hibk szmt befolysolhatja az is, hogy szilrd anyagot, fo-lyadkot vagy gzt kell-e egy oldszerben feloldani. A magyarzat csak a trgykrrel lehetsges: a konyhas kzbe vehet, mindennap lthat anyag, semmi klnset sem je-lent mg a tapasztalatszegny gyermekeknek sem, ezzel szemben a ssav gz, a s-savoldatot ssavnak szoktk nevezni. A ssav fogalma is zavaros lehet, nem foghat meg, nem a mindennapos letben, hanem iskolban, laboratriumban esetleg egyes ta-nulknl , gyrban hasznlt anyag (Mosonyi, 1972. 112. o.). Ksrlettel megmutathat, 16


hogy a htani trgykr nehezebb a gyermek szmra, mint az anyagok keverse, mg abban az esetben is, ha az oldott anyag gz. Ezt termszetesnek kell tartanunk, hi-szen a kalria absztraktabb fogalom a gyermek szmra mint a gz (Mosonyi, 1972. 114. o.).

A kvetkez feladat nehzsge abban rejlik, hogy a megolds azt kvnja a tanulk-tl, hogy a problmt egy sokkal ltalnosabb absztrakt krnyezetben lssk: Egy par-kolban csak kerkprok s autk vannak. Ha sszesen 20 kerk van, akkor mennyi a kerkprok s az autk szma? ltalnos iskolai tanrok gy talltk, hogy br a gyere-kek ltalban gond nlkl kiszmtjk a parkolban tallhat kerekek szmt, ha ismert a kerkprok s az autk szma, csak kevesen rendelkeznek a megrts olyan mlysgvel, hogy kpesek az alapproblma megfordtsnak megoldsra (Dreyfus s Eisenberg, 1998).

A zokni-problma s a most emltett pldk tanulsgai utn mr nem is igazn meglep egy mai (kilencedik osztlyos) kzpiskolai tlagtanul elutast magatartsa pldul a kvetkez (csillaggal nem megjellt, rettsgizknek sznt) feladat lttn: Hromfle vizes oldatunk van. sszettelk: 4% NaCl s 17% KCl; 13% NaCl s 6% KCl; 8% NaCl s 3% KCl. Milyen arnyban keverjk a hrom oldatot, hogy a keverk-ben 10% NaCl s 5% KCl legyen? (Gimesn, 2000). Nem azrt idegenkedik a gyerek a matematika tanulstl az iskolban, mert lusta, rossz , hanem valami olyat krnek tle, ami teljesthetetlen a szmra. (Majoros, 1992. 9. o.) Mr a legelejn az a veszly fenyeget, hogy akik nem rtettk meg az anyagot, sikertelensgk miatt tlsgosan szo-rongkk vlhatnak: minl szorongbb egy tanul, annl jobban igyekszik, de annl ke-vsb kpes a dolgok megrtsre, s gy mg szorongbb vlhat (Skemp, 1975).

Smk kialaktsa s fejlesztse

Miutn a szveges feladatokat a tartalom, az ltalnosts s az elvonatkoztats (absztrahls) szempontjbl vzlatosan bemutattuk, trjnk vissza a sma tmjhoz. Amint lttuk, sma hasznlatval egy adott szveg szemantikus relcii s matematikai struktrja kztt ltesthet lekpezs. Mivelhogy a sma alap gondolkods kvnatos a matematikai tapasztalatok szervezsnl, a legtbb tanul szmra az iskolai szveges egyenletek nehzsgnek egyik oka bizonyra a feladatok vltozatossga (Berger s Wilde, 1987). Vilgos, tbb klnbz smval kell rendelkeznnk, hogy nagyobb esllyel birkzzunk meg a vratlannal (Skemp, 1975).

s ami taln mg ennl is jelentsebb: Silver (1990) rmutat arra hivatkozva Sweller s mtsai. (Sweller s Levine 1982; Sweller, Mawer s Ward 1983; Owen s Sweller 1988) tanulmnyaira , hogy a clspecifikus problmk (3. tblzat) megoldsa-kor a tanulk inkbb ltalnos stratgikat alkalmaznak, amelyek br bizonyos felada-tok vagy problmk megoldsakor hatkonyak, a fogalmak s eljrsok kztti kapcso-latok megtallsra vagy a tuds szervezsre nem kifejezetten hasznosthatk (Pierce, Duncan, Gholson, Ray s Kamhi, 1993). Vagyis a nem clspecifikus problmk lehets-get knlnak a tanulknak a lnyeges relcikat kiemel stratgik hasznlatra, ami se-gthet a hasznlhatbb kpessgek, valamint egy jobban szervezett tuds, gy a smk ki-alaktsban s fejlesztsben. Doblaev (1957, idzi: Brugman, 1995) szerint az explicit

17

Kontra Jzsef

krds nlkl problmk segtsgvel a tanulk megtanulhatjk, hogyan kell a megoldst nyjt krdst feltenni, amikor egyenletek fellltsval oldanak meg problmkat, egy-szersmind automatikusan felkszlnek egy szintzisen alapul mdszer alkalmazsra a problmamegoldsban.

3. tblzat. Pldk cl- s nem clspecifikus problmkra (Silver, 1990. nyomn)

Clspecifikus problma

va s Kati kerkprral mennek iskolba. va 800 m, Kati 1200 m tvolsgban lakik az iskoltl. va minden reggel 4 perc alatt teszi meg az utat az iskolba. Hny perc alatt r Kati az iskolba, ha ugyanakkora tlagsebessggel halad, mint va?

Nem clspecifikus problma

va s Kati kerkprral mennek iskolba. va 800 m, Kati 1200 m tvolsgban lakik az is-koltl. va minden reggel 4 perc alatt teszi meg az utat az iskolba. rj le s oldj meg any-nyi klnbz problmt, amennyit csak tudsz!

E szemllet lnyeges konzekvencikkal jrhat a tantst illeten: eltrbe kerlhet a

problmafelvets (problem posing) (Brown s Walter, 1977, 1983; Kilpatrick, 1987; Gonzales, 1994). Ennek nyomn ersdhet a tanrok rdekldse a tbb megolds problmk (4. tblzat) irnt (Borasi, 1986; Moses, Bjork s Goldenberg, 1990). Vgl, de nem utolssorban: az ilyenszer feladatok nlkl a tanulk hajlamosabbak a szveges problmkrl azt gondolni, hogy csak egy helyes megoldsuk ltezik, amelyhez vala-mennyi szksges informci adott (nem tbb, nem kevesebb). Egy problmval tall-kozva pedig ezek a nzetek (belief systems; Schoenfeld, 1985) hibs teljestmnyhez ve-zethetnek (Bransford, Zech, Schwartz, Barron s Vye, 1998).

4. tblzat. Problma egy s tbb megoldsi lehetsggel

Egymegolds problma

Tz- s hszforintos cmletekben 240 forin-tom van. A tzesek s hszasok arnya 2:3. Hny db tzforintosom s hny db hszfo-rintosom van?

Tbb megolds problma

Tz- s hszforintos cmletekben 240 forintom van. Hny db tzforintosom s hny db hsz-forintosom van?

Ktsgtelen, hogy a tanulk gyakran nem klnbztetik meg a problmban meglev

lnyeges informcit a lnyegtelentl (Novick, 1992). Vegyk ehhez hozz, hogy a kez-d olvask (novice readers) gyenge pontja a mellkes aprsgok kikerlse, a figyelem tudatos irnytsa (Stanovich s Cunningham, 1991). Nem vletlen teht, hogy ugyan-csak nehzkesen klntik el a flsleges adato(ka)t vagy informci(ka)t. Nagyon lehet-sges, hogy ez htrltatja a megoldst, st hibkhoz vezethet (Fung Lin Ng Li, 1990). me egy szksgtelen informcit tartalmaz feladat: Egy kocsi els kereknek tmrje 50 cm, a hts 75 cm. Mekkora tvolsgon fordul az els kerk 50 fordulattal keveseb-

18


bet, mint a hts kerk fordulatai szmnak a ktszerese, ha a tengelyek tvolsga 175 cm? Ilyenkor termszetesen tbb adatra kell reaglnunk: az informcik feldolgoz-sa jobban terheli a rvid tv memrinkat (sajtos szerept kiemel rtelmi nyomatk-kal munkamemrinak is nevezik), ms szval korltozott kapacitsunk megnehezti az informcik kezelst.

Az informcifelvtel jelentsgt hangslyozand, nem lehet emlts nlkl hagyni a hinyos problmkat: azokat, amelyeknl kvnatos vagy nlklzhetetlen tovbbi in-formcik felkutatsa, bevezetse (Pollak, 1987; Vidkovich s Csap, 1998). Valsz-n, hogy a matematikai feladatok megoldsban jratos tanulk szmra a zavar k-rlmnyek felismerse ltalban knnyebb (Low s Over, 1990). Az elmondottakat kt pldval egsztjk ki. (1) Egy 30 cm hossz s 20 cm szles, tglalap alak doboztetn 200 cm2 nagysg nylst kell vgni gy, hogy a nyls szle mindentt egyenl tvol-sgra legyen a doboz szltl. (Mi lehet a krds?) (2) Kt szntelep kzl az egyiken 185 tonna szn van. Ha errl naponta 15 tonna szenet, s a msikrl 18 tonna szenet szl-ltanak el naponta. Hny nap mlva marad a msikon msflszer annyi szn, mint az el-sn? (Hinyzik a msikon lev szn tmege.)

sszegezve elmondhat, hogy a tanulk olvasni tudsa s olvassmegrtsnek fej-lettsge a szveges matematikai feladatok megoldsra kzvetlen hatssal lehet: a helyes megoldsi eljrs a problma jelentsnek felismersn, megrtsn alapul, rtsd a sike-res problmartelmezshez tbbre van szksg, mint a problma minden szavnak elol-vassa (Lukcsn s Rbai, 1971. 58. o.), meghatroz a problmareprezentci. Ezrt kvnatos minl tbb problmatpus ismerete. Itt egyarnt gondolunk fogalmaink s s-mink tudatosulsra, a kztk lev kapcsolatok s struktrjuk megrtsre, valamint a velk val manipulcikra.

Mdszer

A vizsglat vltozrendszere

A mrs cljnak megvalstshoz alapveten a Lepik (1990) ltal kiprblt 31 vl-toz nyjtott kiindulsi alapot. Felhasznlsuk lehetv teszi az eredmnyek prhuzamba lltst (a vizsglatok megegyez s eltr feltteleinek, sajtossgainak tudatban). A tovbbfejleszts konkrt lehetsgeinek feltrsa rdekben a lert szempontok alap-jn 5 mutatt vezettnk be (ezekre majd a jellsrendszernkben a + jel utal).

Minthogy kt rszterlet kapott nagyobb szerepet a vizsglt tnyezk meghatrozsa-kor, elklnthetk a felszni (nyelvi elemekre vonatkoz) jellemzk s a struktrval kapcsolatos vltozk. Az els csoport Lepik nyomn a kvetkez mutatkat tartal-mazza:

F1: Karakterek szma (szkz nlkl). Idetartoznak az alfabetikus jelek, szmok, rsjelek vagy a szimblumtblbl beilleszthet rajzos jelek, szimblumok.

F2: Betk szma.

19

Kontra Jzsef

F3: Szavak szma (az egyenlsgjelek, a mennyisgjelek, a szmrtkek s a mrtkegysgjelek trlse utn).

F4: Szavak szma (az egyenlsgjelekkel, a mennyisgjelekkel, a szmrtkek-kel s a mrtkegysgjelekkel egytt).

F5: tlagos szhossz (F2/F3). F6: Legalbb 6 bets szavak szma. F7: Legalbb 9 bets szavak szma. F8: Legalbb 12 bets szavak szma. F9: Legalbb 6 bets szavak relatv gyakorisga (F6/F3).

F10: Legalbb 9 bets szavak relatv gyakorisga (F7/F3). F11: Legalbb 12 bets szavak relatv gyakorisga (F8/F3). F12: Mondatok szma. F13: tlagos mondathossz a karakterek (szkz nlkl) szintjn (F1/F12). F14: tlagos mondathossz a szavak szintjn (F3/F12). Ez a vltozrendszer (F1, F2, , F14) lehetv teszi kt j mutat bevezetst: F+15: tlagos mondathossz a szavak szintjn (F4/F12). F+16: Nem bet karakterek szma (szkz nlkl) (F1-F2). Mieltt a tbbi vltozt bemutatnnk, kiss rszletesebben meg kell ismerkednnk a

feladatok szerkezetnek fontosabb tnyezivel, jellemzivel. Persze ahhoz, hogy a fizikai mennyisgek kztti kapcsolatokrl ttekinthet kpet kapjunk, szksges bizonyos fo-galmak tisztzsa (miknt azt Lepik tette).

A relcis rendszer szemlltetsre bra (grf) knlkozik (Plya, 1979. 162. o.; Csa-p, 1992). Minden mennyisgnek megfeleltethet egy pont. Vegyk most figyelembe, hogy vannak megadott s meghatrozand (ismeretlen) mennyisgek. A megoldshoz azonban szksg lehet segdismeretlenek bevezetsre (meghatrozsra) is (Plya, 1979). A hromfle mennyisget eltr szimblumokkal jelljk: i = megadott meny-nyisg, j = krdezett mennyisg, k = segdismeretlen, ahol i, j, k olyan indexeket je-lent, amelyek mindegyike az 1, 2, , n rtkeket veszi fel. A mennyisgek kztti kap-csolatokat egyenletek (formulk) rjk le. Jellje ezeket a l szimblum (l = 1, 2, , n), s a pont helyett csompontot mondunk. Ehhez meg kell jegyezzk, hogy a pontokat a csompontokon keresztl a grf lei (vonaldarabok) ktik ssze. A pontokat s csom-pontokat a grf cscsainak nevezzk. Az leket irnytjuk, azaz megjelljk (rajzban rendszerint nyllal), melyik pontbl (csompontbl) melyik csompontba (pontba) megy.

Gondolatmenetnkbl kvetkezik, hogy egy adott sszefggsbe behelyettestend mennyisgek pontjaibl nyilak futnak be az sszefggst kpvisel csompontba, s az onnan kilp irnytott vonal a meghatrozand mennyisg pontjban vgzdik. A grf brzolsa egyszer: alkalmazzuk ezt az eljrst a megadott mennyisgek pontjaibl ki-indulva, s folytassuk a vonalrendszert addig (a csompontokon tvezet lek rajzols-val), amg a krdezett mennyisg pontjba nem jutunk.

Ezek utn a msodik kategria elemei Lepik sszefoglalsa alapjn: S1: Megadott mennyisgek szma. S2: Krdezett mennyisgek szma. S3: Segdismeretlenek szma.

20


S4: Meghatrozand mennyisgek szma (S2 + S3). S5: Grf pontjainak szma (S1 + S4). S6: Formulk (szksges, alkalmazand kpletek) szma. S7: Egyenletek szma. (Egyenlet felrsa, matematikai modell megfogalmazsa: a

feladatot a tanul a megoldshoz matematikai formban lltja fel.) S8: Grf csompontjainak szma (S6 + S7). S9: Grf cscsainak szma (S5 + S8).

S10: Grf leinek szma. S11: Pontok fokszmainak maximuma. (A grf egy cscshoz illeszked lvgek

szmt a cscs fokszmnak vagy rviden a cscs foknak nevezzk.) S12: Csompontok fokszmainak maximuma. S13: lek s pontok arnya (S10/S5). S14: lek s csompontok arnya (S10/S8). S15: lek s cscsok arnya (S10/S9). S16: Grf kreinek szma. (A kr olyan zrt vonal, amely nem megy t ktszer

egyetlen cscson sem. A zrt vonal egymshoz cscsban csatlakoz lek soro-zatbl ll, s nincs olyan l, amely az lsorozatban ktszer fordul el, tovbb a kezd- s vgpont egybeesik.)

Vgl Lepik megemlti a kt terletet egysgben megjelent egyetlen vltozjt: FS1: Szavak s lek arnya (F3/S10). gy vljk, e felptsben termszetesen vetdik fel hrom tovbbi mutat bevezetse: FS+2: Karakterek (szkz nlkl) s lek arnya (F1/S10). FS+3: Szavak s lek arnya (F4/S10). FS+4: Nem bet karakterek (szkz nlkl) s lek arnya (F+16/S10). Tovbbi krds az, hogy a tanulk milyen mrtkben teljestettk a kvetelmnyeket.

Legfkpp azt kell tudnunk, hogy az egyes feladatokra hny pontot adjunk. A tanulk teljestmnyvel, a feladatok megoldsa sorn vgzett munkjval kapcsolatosan Lepiknl kt vltoz szerepel. Az egyik a gondolatmenetet emeli ki: j vagy nem j. A vlasz pontrtke 1 pont, amennyiben a logikai lpsek helyesek, vagyis a feladatmegol-ds menete j (az eredmny lehet hibs numerikus tveds miatt). Ha viszont rossz a megolds terve, tves a tovbbhalads tja, akkor nulla pontot r. A msik vltoz a megoldsi id, annak kifejezse, hogy egy adott feladat megoldsa mennyi idt vett ignybe. A tesztek megratsakor a tanulktl megkveteltk, hogy a lapokra lerjk az egyes megoldsok megkezdsnek s befejezsnek idpontjait.

Szksges itt rviden rmutatni, a gyakorlatban felmerl nhny problmra. Ami a dichotomizlst illeti, klnsen kilezett vlik az rtkelsi objektivits krdse, hi-szen a tanulk teljestmnyeiben felbukkan hibknak tbb oka lehet. Pldul egy egyenlet fellltsnl elkvetett hiba tbbek kztt eredhet a fogalmak tisztzatlan voltbl, alapulhat megszokson, formalizmuson, s hinyos elismereteken, mde szr-mazhat egyszeren figyelmetlensgbl, feledkenysgbl, st visszavezethet rzelmi tnyezkre is (Mosonyi, 1972). Vagyis egy elrs lehet vletlen, de hibs gondolkods eredmnye is. rthet, hogy zavart kelthetnek az eljelhibk. Tovbbi fogyatkossg: egy tvesztst klnbz sllyal (pontrtkkel) lehet szmba venni a mozgsegyenletek

21

Kontra Jzsef

felrsakor (szmthat), illetve az ismeretlenek kiszmtsakor (nem szmt). gy tnik, az rtkels dichotomizlsa egyben megnehezti a tanulk teljestmnyeinek a besorol-st. A minsts ezton nagymrtkben hordoz szubjektv elemeket.

Hangslyoznunk kell mg a feladatok komplexitst, illetve a krdses rtkels e komplexitshoz viszonytott egyszersgt. Minden tovbbi rvels nlkl belthat, ha a tanulk figyelmt a feladatelemekkel kapcsolatos nehzsgek ktik le, akkor kevsb kpesek megragadni a gondolatmenetet a maga egszben. Gyakran elfordul, hogy a tanul a kitztt feladat egy rszt meg tudja oldani, a msik rszt nem. Mint lthat, a kt kategria tl kevs annak a vltozatossgnak a kezelsre, ami a nem hibtlan meg-oldsok tekintetben megfigyelhet.

Ez mgis a dolgoknak csupn az egyik oldala. Csak jelezzk e helytt, hogy egy-egy helyes vlasz jelentheti a betanult feladatmegoldsi receptek felmondst is. Szlss-ges esetben a tanulnak knyszerknt kell vlasztania a tanr ltal kijellt utat: a mate-matikt nem kell rteni, csak a szablyokat megtanulni! (erre pldt is emlt Majoros, 1992, 57. o.) Nem zrhat ki a kpletek gondolkods nlkli kirsa a fggvnytblzat-bl sem. s mg ezeken fell csals is megeshet. Tapasztalataink szerint egy-kt orient-l megjegyzs egy egsz osztly teljestmnyt befolysolhatja. Legfbb hiba, hogy pusztn egyetlen (a megoldshoz szksges s elgsges) egyenlet tuds nlkli felrsa helyesnek minstett vlaszadst jelenthet.

Mindezek eredjeknt problematikusnak reztk, hogy a teljestmny sznvonalval kapcsolatban csak egyetlen alternatv lehetsg maradjon (1 pont vagy 0 pont). Ezrt egy a pedaggiai kutatsokban kzismert, az iskolai gyakorlathoz kzelebb ll, viszonylag egyszer pontozsi eljrst alkalmaztunk. Mindegyik feladat megoldsra a tanulk ma-ximlisan annyi nyerspontot kaphattak, amennyi logikai lpst, vlaszt vagy egyb nl-lan rtkelhet egysget (itemet) tartalmazott a megolds (itemenknt 1 pont). ppen ezrt a tesztek ksztsekor szem eltt tartottuk, hogy a szmadatok a megoldsokat le-hetleg ne neheztsk.

A megoldsi id mrse ugyancsak okozhat gyakorlati szempontbl problmt. Sz-molni kell azzal, hogy tbb tanul a teszt megoldsa kzben psztzik a feladatok k-ztt. Ekkor a megfelel idpontok rgztse zavar lehet, s ilyenkppen befolysolhatja a teljestmnyt. Fokozza a nehzsget, ha a tanul nagy fontossgot tulajdont az ers munkatempnak (ez kivitelezsi hibkhoz vezethet). Nem feledkezhetnk meg arrl sem, hogy ezek az adatok nbevallsosak. (Egy relisabb kphez ez megtlsnk sze-rint megfigyels is szksges volna.) Ennek folytn felmrsnkben ezt a mutatt nem hasznltuk.

Termszetesen a teljestmnyek elemzsekor nem mellzhet egy olyan vizsglat, amely az eredmnyek megbzhatsgt rtkeli. A feladatok szintjn ltalban nem szo-ks kiszmolni a reliabilitst. Ugyanakkor j tudni, hogy egy adott csoportban az egyes feladatok segtsgvel mennyire megbzhatan lehet egymstl elklnteni a klnbz kpessg tanulkat. Ezrt foglalkoztunk a feladatokra kiszmtott reliabilitsrtkeknek a nyelvi s a strukturlis vltozkhoz fzd kapcsolataival.

22


A tesztek s a tesztfeladatok

A vizsglat clkitzst tekintve szmtsba vettk azt, hogy a tanulk tudnak els-fok kifejezseket brzolni, hiszen az elsfok egyismeretlenes egyenletek megoldsa szemlletes geometriai tartalmat kaphat, s gy tudatosabb lehet. Kvetkezskppen gy gondoltuk, hogy a grafikus mdszerrel megoldhat feladatok hasznos indtkul szolgl-hatnak. Voltakpp az, hogy a tanulk a mennyisgek sszefggseit, vltozsait brzol-ni tudjk, nemcsak a matematikban, hanem a fizikban (s mg ms tantrgyban) is fontos. Ennek megfelelen a fizikai tartalm szveges feladatok kzl az egyenes vonal mozgsokra vonatkoz feladatokat vlasztottuk.

A felhasznlt iskolai pldkra jellemz miknt arra Borasi (1986) klnbz mate-matikai pldk strukturlis analzise alapjn rmutatott , hogy a problmk kontextusa teljes, a felttelek lersa egyrtelm, s minden szksges adat (ltalnos adat, bet he-lyett szmadat) adott. A problma megfogalmazsa (az expozci), amely krds form-jban jelenik meg: szabatos s vilgos. A krdsre adand vlaszt pedig szmszer eredmnyek jelentik. A megolds a tanult v = alapkplet segtsgvel lehetsges.

A feladatsorok sszelltsakor kln figyelmet fordtottunk az olyan feladatok ki-szrsre, ahol az elismeretnek, a matematikai kvetelmnyeknek tl nagy jelentsge lehet. Nyilvnvalan kzpiskolai tanulkkal szemben elvrhat kvetelmny: biztosan s tudatosan szmoljanak a tizedes trtekkel. Mindamellett a szmadatok szndkosan olyanok voltak, hogy egyben numerikus knnytst is jelentsenek, vagyis a szmtsok sorn a szmolsi mveletek szempontjbl egyszer szmok forduljanak el. Megje-gyezzk, a tanulk a feladatok megoldshoz segdeszkzknt szmolgpet, fggvny-tblzatot hasznlhattak.

s t

A mreszkzk fejlesztse kt fzisban trtnt. Elszr (1996 mjusjniusban) kt kzpiskolra kiterjed prbamintn (9. o.: 124 f; 10. o.: 94 f) a kivlasztott fel-adatokat kiprbltuk, bemrtk, aztn a prbamrs tapasztalatainak ismeretben a fel-adatokat alaktottuk s vltoztattuk, egyben elvgeztk a vglegesnek tekinthet feladat-sor vltozatokra osztst. A feladatok nyelvi elemeivel, struktrjval kapcsolatos vlto-zinak alapvet statisztikai mutatit az 5. tblzatban kzljk.

A mrshez ngy (A, B, C s D) feladatlap-vltozatot lltottunk ssze. Mindegyik tesztlapra nyolc feladat kerlt. (Lepik 35 feladatot alkalmazott sszesen 6 teszten.) A m-rlapokat gy alaktottuk, hogy kzel azonos nehzsgek legyenek (a tervezett mrsi id 45 perc).

Az adatfelvtel

Az adatokat 1998 mrciusban vettk fel Bcs-Kiskun megyben, Csongrd megy-ben, valamint Somogy megyben. A Szegedi Tudomnyegyetem Pedaggiai Tanszke, szemly szerint Vidkovich Tibor indtotta el, szervezte s irnytotta a mrst. A kilen-cedikes mintba (amelyet GSZ-szel fogunk jellni) 15 kzpiskolbl 9 gimnziumi s 15 szakkzpiskolai osztly (sszesen 630 f) kerlt. A kt rszminta jellsre bevezet-

23

Kontra Jzsef

hetjk az iskolatpusok nevnek nagy kezdbetit: G: gimnzium, SZ: szakkzpiskola. Lepik (1990) 150 1315 ves tanulval 5 iskola osztlyaiban dolgozott.)

5. tblzat. A szveges feladatok nyelvi elemeivel, struktrjval kapcsolatos vltozi-nak statisztikai mutati

Nyelvi jellemzk tlag Szrs

Struktrval kapcsolatos

vltozk tlag Szrs

F1 180,3 74,7 S1 3,59 0,80 F2 160,1 69,5 S2 1,06 0,25 F3 28,2 11,6 S3 2,41 1,52 F4 35,4 12,9 S4 3,47 1,48 F5 5,6 0,4 S5 7,06 2,09 F6 13,4 6,3 S6 1,97 0,82 F7 6,3 3,0 S7 1,56 1,11 F8 1,5 1,7 S8 3,53 1,46 F9 46,9 6,2 S9 10,59 3,53 F10 22,1 5,8 S10 10,69 4,51 F11 5,0 5,3 S11 2,00 0,36 F12 2,8 1,2 S12 3,13 0,34 F13 67,9 23,5 S13 1,46 0,25 F14 10,6 3,6 S14 3,02 0,08 F+15 13,4 4,4 S15 0,98 0,12 F+16 20,2 7,9 S16 1,13 1,13 FS1 2,85 1,10

FS+2 18,24 7,33 FS+3 3,58 1,25 FS+4 2,08 0,89 Az adatfelvteli objektivits biztostsra mrsi tmutatkban rgztettk a vizsglat

ltalnos cljait, meg a tesztelsi helyzet egyrtelm lerst a kzremkd pedaggu-sok szmra. Krtk ket, hogy a tesztek megratsa eltt gondoskodjanak a felmrsbe bevont tanulk megfelel motivlsrl. Elengedhetetlen irnyelv volt, hogy egy-egy osztlyban a ngy tesztvltozat arnyosan (vegyk gy, hogy a vltozatok mindegyikre kzeltleg azonos szm tanul jusson) s vletlenszeren kerljn kiosztsra akkp-pen, hogy az egyms mellett lk eltr legyen. Pontosan meghatroztuk a fellegyel tanrok ltal kzlhet informcikat (mint pldul a mrs trgyt, a rendelkezsre ll idt, a hasznlhat segdeszkzket, tovbb a kitlts szablyait). A mrst bevezet rvid tjkoztatt kveten a tanulk semminem segtsget nem kaphattak.

24


A kzpiskolai minta jellemzse

A tesztlapvltozatok s az iskolatpusok alapjn csoportostott minta bels arnyait, eloszlst a 6. tblzat mutatja. (A ksbbi jellseknl a kvetkez sorrendet kvetjk majd: iskolatpus tesztvltozat. Pldul GA az A vltozatot megold gimnziumi tanu-lk csoportjt jelenti.)

6. tblzat. A 9. osztlyos minta eloszlsa

Tanulk szma (arnyuk)

Kzp-iskolk szma

Osztlyok szma (9. o.) A vltozat B vltozat C vltozat D vltozat sszesen

Bcs-Kiskun m. 6 9 59 63 53 53 228 (9,37%) (10,00%) (8,41%) (8,41%) (36,19%)

Gimnzium 4 29 30 29 27 115 (4,60%) (4,76%) (4,60%) (4,29%) (18,25%) Szakkzpiskola 5 30 33 24 26 113

(4,76%) (5,24%) (3,81%) (4,13%) (17,94%) Csongrd m. 5 8 67 60 54 58 239 (10,63%) (9,52%) (8,57%) (9,21%) (37,94%)


(7,46%) (6,83%) (6,67%) (6,67%) (27,62%) Somogy megye 4 7 44 40 37 42 163 (6,98%) (6,35%) (5,87%) (6,67%) (25,87%)


(4,44%) (4,13%) (3,33%) (4,13%) (16,03%) sszesen 15 24 170 163 144 153 630 (26,98%) (25,87%) (22,86%) (24,29%) (100%)

Az egyes vltozatok szerint a 7. tblzat sszegzi az 1997/98-as tanv flvi (vizsg-

latunkban nagyobb sllyal megjelen) tantrgyi eredmnyeit a populcira vonatkoz-lag. Mdunk van annak ellenrzsre, hogy az ilyen tpus feladatok megoldsa ssze-kapcsolhat a kvetkez tantrgyakkal: a matematika (M), a fizika (F), az irodalom (I) s a nyelvtan (NY). Az osztlyzatok mellett felhasznltuk mg az osztlyzatok tlagol-sval kapott sszestett mutatt, melyet a relevns tanulmnyi eredmnyessg (RTE) t-fog jellemzjeknt kezelnk. Mrselmleti szempontbl ez legalbb annyira megbz-hat mutatnak tekinthet, mint a tanulmnyi tlag. Magtl rtetd, hogy ezeket a vl-tozkat (meglev adatokat) tettk vizsglat trgyv a mintk sszevonsakor.

25

Kontra Jzsef

7. tblzat. A Szveges feladatok A, B, C s D tesztvltozatt megold tanulk fonto-sabb tanulmnyi eredmnyei az iskolatpus szerinti bontsban2

Matematika Fizika Irodalom Nyelvtan RTE Minta tlag szrs tlag szrs tlag szrs tlag szrs tlag szrs

G 3,47 1,11 3,50 0,93 3,88 0,90 3,80 0,90 3,66 0,74 GA 3,37 1,13 3,49 1,06 3,90 1,01 3,86 0,90 3,65 0,81 GB 3,66 1,03 3,59 0,92 4,07 0,81 3,92 0,88 3,81 0,73 GC 3,47 1,47 3,47 0,86 3,84 0,92 3,82 0,96 3,65 0,75 GD 3,38 1,10 3,45 0,85 3,71 0,82 3,61 0,85 3,54 0,67 SZ 2,73 1,04 2,63 0,94 3,14 0,95 3,01 1,04 2,84 0,77 SZA 2,67 1,03 2,67 0,89 3,10 0,90 3,04 1,12 2,85 0,77 SZB 2,81 1,12 2,70 1,07 3,03 0,96 2,96 1,04 2,85 0,82 SZC 2,80 1,01 2,63 0,97 3,18 1,02 3,05 1,06 2,84 0,83 SZD 2,66 0,98 2,52 0,81 3,26 0,95 3,01 0,95 2,81 0,69 GSZ 3,02 1,12 3,00 1,03 3,43 1,00 3,32 1,06 3,19 0,86 GSZA 2,94 1,11 3,01 1,04 3,41 1,02 3,36 1,11 3,19 0,88 GSZB 3,14 1,16 3,07 1,11 3,43 1,03 3,32 1,08 3,26 0,91 GSZC 3,07 1,12 3,01 1,01 3,45 1,03 3,36 1,09 3,20 0,89 GSZD 2,93 1,09 2,92 0,94 3,43 0,93 3,24 0,96 3,13 0,77

Eredmnyek

Mivel a vizsglat cljainak megfelelen a statisztikai elemzseket a feladatok mintjn vgezzk majd el, felmerl a krds, van-e klnbsg a tantrgyi osztlyzatok (M, F, I, NY s RTE) szempontjbl az eltr tesztvltozatokat megold tanulk kztt. Ennek el-dntsre a G, SZ s GSZ mintk szintjn a ngy tanulcsoport adataival 15 (3x5) statisz-tikai prbt hajtottunk vgre. sszesen 14 (egyszempontos) varianciaanalzist vgeztnk. Egy esetben (a GSZ mintn az RTE mutatra nzve) az sszehasonltand csoportok (GSZA, GSZB, GSZC s GSZD) variancijnak egyenlsgre vonatkoz felttel nem teljeslt, gy a KruskalWallis-prbt alkalmaztuk. A szmtsok eredmnyei nem rik el a szignifikanciahatrt: p > 0,05. Ezek szerint a csoportok statisztikailag nem klnbznek a vizsglt relevns vltozk tekintetben. Ezzel ugyan nem bizonytottuk, hogy egy popu-lcibl valk, de legalbb meggyzdtnk rla, hogy nem az ellenkezje teljesl-e.

Minthogy a tovbbtanulsi szoksokban az a gyakorlat, hogy a legjobb osztlyzato-kat elr s bizonyra a legjobb kpessg tanulk tbbsge gimnziumban folytatja ta-nulmnyait, megvizsgltuk a gimnazistk s a szakkzpiskolsok osztlyzataiban tall-hat klnbsgeket (7. tblzat). A GA s SZA mintk fizika eredmnynek sszehason-ltsakor a variancik eltrse lnyeges, ezrt itt nemparamteres eljrst, a MannWhitney-prbt alkalmaztuk. Egybknt a ktmints t-prbt vlasztottuk. A 25 (5x5)

2 G: gimnzium, SZ: szakkzpiskola, GSZ: gimnzium s szakkzpiskola

26


sszehasonlts eredmnye mind szignifikns (a gimnazistk elnyre): irodalombl a GD s SZD mintk eltrsvel kapcsolatban p < 0,01, a tbbi 24 esetben p < 0,001.

Ahhoz, hogy egy teszt betlthesse funkciit, szksg van megfelel rtkel rend-szerre. Viszonytsi rendszernkben azt mrjk, hogy a tanulk milyen szzalkos mr-tkben teljestettk a kitztt kvetelmnyeket. A szzalkos teljestmnymutatk rvid-tsnek sablonos formja (feladatoknl): [{tesztvltozat betjele} {feladat sorszma} szt] (az szt betpr a szzalkos teljestmnyre utal). Pldul az A1szt mutat az A vlto-zat 1. feladatnak (ezt A1 jelli) szzalkos teljestsrl ad informcit. A teljes A teszt-vltozatra az Aszt jells vonatkozik (azaz: [{tesztvltozat betjele} szt]). A feladatso-rokban (A, B, C s D) nyjtott teljestmnyeket ngy tblzatban foglaljuk ssze (8., 9., 10. s 11. tblzat). A ktfle iskolatpus (G s SZ) teszteredmnyeinek (Aszt, Bszt, Cszt s Dszt) statisztikai kirtkelse sorn (a variancik klnbzsge miatt) MannWhitney-prbt alkalmaztunk. A gimnazistk s a szakkzpiskolsok adatai ismt er-sen szignifikns (p < 0,001) klnbsgeket mutatnak (mindenkor a gimnazistk javra).

8. tblzat. Az A vltozat eredmnyei (%-ban)

Gimnzium (n = 65)

Szakkzpiskola (n = 105)

Gimn. s szakkzpisk. (n = 170)

tlag szrs tlag szrs tlag szrs A1szt 71,5 40,5 38,6 43,4 51,2 45,2 A2szt 67,3 43,3 50,0 43,0 56,6 43,8 A3szt 17,8 33,0 3,9 16,0 9,2 24,8 A4szt 28,7 37,6 16,7 31,6 21,3 34,4 A5szt 31,0 41,2 10,2 23,4 18,2 32,9 A6szt 28,6 41,6 16,9 34,1 21,3 37,5 A7szt 16,5 30,4 5,0 11,2 9,4 21,4 A8szt 34,8 43,8 6,0 16,6 17,0 33,1 Aszt 32,7 27,0 14,7 15,6 21,6 22,4

9. tblzat. A B vltozat eredmnyei (%-ban)

Gimnzium (n = 61)



tlag szrs tlag szrs tlag szrs B1szt 82,5 35,8 53,3 47,9 64,2 45,9 B2szt 67,5 43,6 43,5 46,7 52,5 46,9 B3szt 45,5 46,9 13,0 29,0 25,2 39,8 B4szt 61,1 43,4 25,6 38,1 38,9 43,5 B5szt 50,0 46,6 9,0 20,7 24,3 38,3 B6szt 38,3 42,1 12,1 21,4 21,9 33,2 B7szt 32,3 35,5 10,1 22,6 18,4 30,0 B8szt 37,9 44,1 10,2 26,1 20,6 36,4 Bszt 50,4 29,2 20,4 20,0 31,6 27,9

27

Kontra Jzsef

10. tblzat. A C vltozat eredmnyei (%-ban)

Gimnzium (n = 57)



tlag szrs tlag szrs tlag szrs C1szt 87,1 31,3 68,6 41,7 75,9 38,9 C2szt 40,4 32,0 30,3 30,3 34,3 31,3 C3szt 44,4 43,3 21,1 34,9 30,3 40,0 C4szt 17,8 22,8 8,8 11,1 12,3 17,2 C5szt 18,1 32,6 10,3 28,8 13,4 30,5 C6szt 25,8 34,4 11,8 24,2 17,4 29,4 C7szt 18,9 27,7 9,5 16,7 13,2 22,1 C8szt 14,5 25,0 4,9 13,7 8,7 19,5 Cszt 28,4 22,3 16,6 15,3 21,3 19,2

11. tblzat. A D vltozat eredmnyei (%-ban)

Gimnzium (n = 59)



tlag szrs tlag szrs tlag szrs D1szt 70,3 42,7 58,0 45,4 62,7 44,6 D2szt 50,5 39,2 18,5 26,8 30,8 35,6 D3szt 16,0 32,3 1,4 8,1 7,0 22,1 D4szt 39,4 37,1 15,7 28,3 24,8 33,9 D5szt 16,5 31,4 4,3 12,5 9,0 22,5 D6szt 29,9 39,5 11,7 22,8 18,7 31,5 D7szt 27,3 39,5 7,3 20,0 15,0 30,6 D8szt 12,2 23,3 2,5 9,1 6,2 16,8 Dszt 28,4 24,7 10,4 9,9 17,3 19,3

A tesztek mint mreszkzk jellemzsre elsknt a reliabilitsokat szmtottuk ki, hiszen az eredmnyek hasznlhatsga szempontjbl ez az egyik legfontosabb adat. A reliabilitsmutatk becslsre a Cronbach-fle alfa koefficienst hasznltuk. Tekintettel arra, hogy a reliabilits populcifgg, mind a hrom tanulcsoportban (G, SZ s GSZ) meghatroztuk a tesztvltozatok bels konzisztencijrl tjkoztat mutatkat. A reli-abilitsrtkeket a 12. tblzatban kzljk.

12. tblzat. Az A, B, C s D tesztvltozat reliabilitsa (Cronbach-) Reliabilits Teszt-

vltozat Itemek szma Gimnzium Szakkzpiskola Gimn. s szakkzpisk.

A 45 0,96 0,92 0,96 B 45 0,96 0,94 0,97 C 38 0,95 0,91 0,94 D 46 0,96 0,85 0,95

28


rdemes megjegyezni, hogy a tesztels tantrgyi sajtossgai nyilvnulnak meg ab-ban, hogy a szoksos 45 percre tervezett tesztek matematikbl s fizikbl tbbnyire nem hosszabbak 4050 itemnl. Esetnkben ez jellemz (A/45, B/45, C/38, D/46).

A tesztfeladatok reliabilitst (Cronbach ) a 13. tblzatban mutatjuk be. Klnsen alacsony rtket (0,14) kaptunk az A vltozat 7. (ngy itemes) feladatnl a szakkzp-iskolsok krben. Az okok pontosabb feltrshoz tovbbi vizsgldsra van szksg. Mdunk van pldul annak ellenrzsre, a feladat nehzsgnek milyen szerepe van abban, hogy a klnbz kpessg tanulkat nem lehet egymstl megbzhatan el-klnteni.

13. tblzat. A tesztfeladatokra kiszmtott reliabilitsrtkek (Cronbach-) Reliabilits Teszt

feladat Itemek szma Gimnzium Szakkzpiskola Gimn. s szakkzpisk.

A1 2 0,78 0,79 0,81 A2 4 0,94 0,90 0,92 A3 7 0,95 0,92 0,94 A4 6 0,92 0,93 0,93 A5 7 0,96 0,90 0,94 A6 7 0,97 0,97 0,97 A7 4 0,85 0,14 0,74 A8 8 0,97 0,86 0,96 B1 3 0,93 0,95 0,95 B2 6 0,97 0,98 0,97 B3 4 0,96 0,89 0,94 B4 8 0,97 0,96 0,97 B5 6 0,97 0,84 0,95 B6 3 0,85 0,46 0,77 B7 7 0,90 0,88 0,90 B8 8 0,97 0,95 0,97 C1 3 0,92 0,89 0,90 C2 3 0,74 0,66 0,70 C3 3 0,86 0,84 0,86 C4 8 0,82 0,41 0,73 C5 6 0,93 0,97 0,95 C6 7 0,91 0,88 0,90 C7 4 0,75 0,45 0,66 C8 4 0,68 0,51 0,65 D1 2 0,85 0,84 0,84 D2 5 0,85 0,77 0,85 D3 7 0,95 0,83 0,95 D4 8 0,92 0,91 0,92 D5 4 0,87 0,51 0,81 D6 3 0,83 0,58 0,76 D7 8 0,96 0,91 0,95 D8 9 0,89 0,76 0,87

29

Kontra Jzsef

Pldnkban a tanulk szzalkos eloszlsa: 2 pont 1,9%, 1 pont 16,2%, 0 pont 81,9% (n = 105; a feladatra 4 pont adhat). Ami az itemeket illeti, a ngy item kzl az A7c esetben kaptak legtbben (15 f; 14,3%) 1 pontot. Itt az alternatv dnts arra vonatko-zik, hogy a v = kplet szerepel-e a megoldsban: igen vagy nem? A formult felr 15 tanul kzl az A7a itemnl pusztn egy f rt el 1 pontot, egyttal az A7b itemre mind-egyikk 0 pontot kapott. A tanulk helynek vizsglata tovbb rnyalja a kpet: a 15 osztlybl hromban tallhat meg az emltett 15 tanul kzl 12. Amennyiben ez a h-rom osztly a mintnkban nem szerepelne, akkor a 4 itemet tartalmaz feladat reliabilit-sa javulna: a 82 fs mintn a Cronbach 0,34 lenne.

s t

A teszteredmnyek s a ngy tanulcsoport sszehasonltshoz kiemelt osztlyzatok kapcsolatait kutatva kzenfekv a gondolat, hogy kiszmtjuk a vltozk kztti korrel-cikat. A gimnziumi, a szakkzpiskolai s az egsz mintra szmtott korrelcis egytthatk a 15. tblzatban tallhatk.

15. tblzat. Az osztlyzatok s a teszteredmnyek sszefggsei (korrelcis egyttha-tk)

Teszteredmnyek Minta Tantrgy

Aszt Bszt Cszt Dszt Matematika 0,56*** 0,59*** 0,60*** 0,33* Fizika 0,30* 0,52*** 0,33* 0,15 Irodalom 0,36** 0,46*** 0,35** -0,04 Nyelvtan 0,51*** 0,50*** 0,29* -0,14

G

RTE 0,55*** 0,66*** 0,53*** 0,13 Matematika 0,54*** 0,38*** 0,31** 0,37*** Fizika 0,44*** 0,43*** 0,30* 0,45*** Irodalom 0,46*** 0,37*** 0,34** 0,37*** Nyelvtan 0,43*** 0,31** 0,36** 0,44***

SZ

RTE 0,60*** 0,50*** 0,45*** 0,49*** Matematika 0,59*** 0,55*** 0,50*** 0,42*** Fizika 0,45*** 0,57*** 0,40*** 0,40*** Irodalom 0,49*** 0,54*** 0,39*** 0,21* Nyelvtan 0,52*** 0,51*** 0,39*** 0,21*

GSZ

RTE 0,63*** 0,67*** 0,55*** 0,39***

Megjegyzs: RTE a ngy tantrgyi osztlyzat tlagolsval kapott sszestett mutat. *: p < 0,05; **: p < 0,01; ***: p < 0,001.

Vgl a feladatok krben vgzett sszefggsvizsglat eredmnyeit mutatjuk be. A

feladatok szvegvel (nyelvi elemeivel), tovbb struktrjval kapcsolatos vltozk s a megoldsi szint (szzalkos teljestmnymutatk) viszonyt a Spearman-fle rangkor-relcis egytthat segtsgvel kzeltjk meg. A G, SZ s GSZ mintkon kapott rt-

30


keket a 16. tblzatban tntettk fel. A vltozkhoz s feladatok reliabilitshoz tartoz rangkorrelcis egytthatk a 17. tblzatbl olvashatk ki.

16. tblzat. Rangkorrelcik a feladatok nyelvi elemeivel, struktrjval kapcsolatos vltozi s a szzalkos teljestmnymutat kztt

Vltozk Gimnzium Szakkzpiskola Gimnzium s szakkzpiskola F1 -0,59*** -0,63*** -0,63*** F2 -0,55** -0,59*** -0,58*** F3 -0,59*** -0,61*** -0,61*** F4 -0,69*** -0,76*** -0,74*** F5 -0,01 -0,15 -0,08 F6 -0,52** -0,55** -0,54** F7 -0,48** -0,56** -0,53** F8 -0,35 -0,44* -0,39* F9 -0,09 -0,20 -0,13 F10 -0,06 -0,16 -0,11 F11 -0,17 -0,23 -0,20 F12 -0,34 -0,35* -0,34 F13 -0,31 -0,31 -0,34 F14 -0,32 -0,30 -0,34 F+15 -0,36* -0,38* -0,40* F+16 -0,74*** -0,73*** -0,76*** S1 -0,52** -0,65*** -0,57** S2 -0,03 -0,10 -0,08 S3 -0,48** -0,62*** -0,54** S4 -0,49** -0,66*** -0,57** S5 -0,51** -0,70*** -0,59*** S6 -0,14 -0,21 -0,16 S7 -0,58*** -0,76*** -0,67*** S8 -0,49** -0,65*** -0,56** S9 -0,50** -0,70*** -0,59** S10 -0,49** -0,66*** -0,56*** S11 -0,45** -0,46** -0,44* S12 -0,20 -0,30 -0,24 S13 -0,31 -0,46** -0,37* S14 -0,05 -0,15 -0,09 S15 -0,32 -0,44* -0,37* S16 -0,31 -0,46** -0,38* FS1 -0,13 0,09 -0,06 FS+2 -0,12 0,04 -0,07 FS+3 -0,12 0,08 -0,05 FS+4 -0,23 -0,06 -0,19

Megjegyzs: *: p < 0,05; **: p < 0,01; ***: p < 0,001.

31

Kontra Jzsef

17. tblzat. Rangkorrelcik a feladatok nyelvi elemeivel, struktrjval kapcsolatos vltozi s reliabilitsa kztt

Vltozk Gimnzium Szakkzpiskola Gimnzium s szakkzpiskola F1 0,15 -0,05 0,09 F2 0,15 -0,04 0,09 F3 0,12 -0,07 0,06 F4 0,17 -0,06 0,11 F5 0,36* 0,26 0,37* F6 0,21 -0,01 0,15 F7 0,28 0,09 0,25 F8 0,18 0,07 0,17 F9 0,36* 0,15 0,29 F10 0,41* 0,37* 0,47** F11 0,17 0,13 0,19 F12 0,31 0,20 0,27 F13 -0,25 -0,32 -0,26 F14 -0,32 -0,40* -0,35 F+15 -0,28 -0,36* -0,29 F+16 0,22 0,00 0,18 S1 0,20 -0,09 0,08 S2 0,08 0,08 0,07 S3 0,38* 0,10 0,34 S4 0,41* 0,12 0,37* S5 0,36* 0,04 0,29 S6 0,51** 0,45** 0,52** S7 0,14 -0,24 0,04 S8 0,39* 0,11 0,34 S9 0,37* 0,04 0,30 S10 0,41* 0,11 0,35 S11 0,24 0,08 0,18 S12 0,18 -0,03 0,11 S13 0,45* 0,21 0,42* S14 0,29 0,07 0,23 S15 0,42* 0,20 0,40* S16 0,39* 0,20 0,40* FS1 -0,40* -0,24 -0,40* FS+2 -0,30 -0,20 -0,31 FS+3 -0,41* -0,26 -0,42* FS+4 -0,34 -0,28 -0,34

Megjegyzs: *: p < 0,05; **: p < 0,01; ***: p < 0,001.

32


Az eredmnyek rtelmezse

Legelszr a tesztels eredmnyeivel (a mrt adatokkal) foglalkozunk, majd rtrnk a vizsglt vltozk kzti kapcsolatok ismertetsre.

Jelen esetben a kirtkels s az rtelmezs sorn fokozott figyelmet kell fordtanunk az adatok minsgre. A feladatok jellemzsre kt (mrni kvnt) vltozt vezettnk be: a nehzsget becsl szzalkos teljestmnymutatt s a reliabilitst. Mindkt mutat populcifgg, fggnek annak a mintnak tulajdonsgaitl, amelyen megllaptottuk ket. Meg kell teht fontolnunk, hogy a mr emltett knyszer(helyzet)bl ered elj-rsunk (a ngy tesztvltozat adatainak sszeolvasztsa) megfelel-e a kvnalmaknak.

A ngy csoport egyforma esllyel indult: a csoportosts randomizci (sorsols) tjn trtnt. Nem biztos, hogy ezzel kiegyenltett csoportokat kaptunk, mde nem tn-tettnk ki szempontokat, nem kvettnk el szisztematikus hibt. Vilgos, egyes esetek-ben nagyon j a csoportbeoszts, mskor kevsb. Ezt clszernek tartottuk megvizsgl-ni nhny fontosnak tartott tnyez segtsgvel. Csak el kellett dntennk, hogy milyen szempontokat vlasztunk ki, hiszen minden jelensget egsz sor tnyez befolysol azokon kvl is, amiket vizsglunk (Hajtman, 1971).

Nzzk meg ezt a krdst kicsit rszletesebben. Ebben az esetben vlasz kaphat arra nzve, hogy van-e lnyeges klnbzsg az alkalmazhat tuds szempontjbl) a kr-dses mintk kztt. A szveges feladatokban kzs, hogy olyan ismeretekrl kell sz-mot adniuk a tanulknak, amelyekkel elzetes felkszls nlkl is rendelkeznik kell. A tanulk relevns tudsnak a megtlshez az iskolkban nyilvntartott, az iskolai tel-jestmnyeket hivatalosan bemutat adatokat (az osztlyzatokat) gyjtttk ssze: a ma-tematika s a fizika mellett, amely trgyak tudsra vizsglatunk kzvetlenl irnyul, ezttal felvettk az irodalom- s a nyelvtanjegyeket (tekintettel az olvassi teljestmny irnyt szerepre), tovbb ezeket a trgyakat leginkbb jellemz kzprtket (a je-gyek tlagt: RTE). Az osztlyzatok termszetes ingadozsai s pontatlansgai ellenre feltehet, hogy a jegyeket a tuds hatrozza meg. (A tuds terminust sajtos rtelemben mint tfog gyjtfogalmat hasznljuk.) Dntsnket megersti, ha a vizsglatban hasznlt tesztek eredmnyeivel reprezentlt tuds s a megvlasztott jegyek statisztikai-lag sszefggenek.

Vrakozsunknak megfelelen a 15. tblzatban a korrelcis egytthatk (noha nem tl magasak) majdnem mind szignifiknsak. rdekes mdon a gimnazistknl a D vlto-zat esetben (eltekintve a matematikajegytl) a kapott rtkek tlsgosan kicsik ahhoz, hogy bellk a vltozk kzti kapcsolatra lehessen kvetkeztetni: mindegyikre vonatko-zan p > 0,05. (Mindenesetre vizsglatunkban matematikai szveges problmkat szere-peltettnk.) Fontos alhzni, hogy a kzpiskolai tanulk matematikai eredmnyessge s teszteredmnyek kztt pozitv jelleg sszefggsek vannak.

Mr lttuk, a kiemelt vltozink esetben a prbk nem adtak szignifikns eredm-nyeket. Ezzel voltakppen kszen volnnk: gy tnik, az egyszer randomizcival nyert csoportok kztt nincs olyan karakterbeli klnbsg, amely dnten befolysolhatja a vizsglat kimenetelt.

33

Kontra Jzsef

Trjnk most r az sszefggsek elemzsre. Elszr a nyelvi jellemzk kapcsola-tait tekintjk t, majd megnzzk a strukturlis vltozk vlheten befolysol hatst a szveges feladatok megoldsra. Ekzben az eredmnyek tovbbi rtelmezst segten-d, ptnk a megelz vizsglatok adataira is. Mindez egytt segtheti egy teljesebb kp kialaktst.

Lepik (1990) lerja, hogy tanulmnyban a nyelvi vltozk (linguistic variables) kzl csupn a szavak s lek arnya (vizsglatunkban FS1 jelli) mutatott szignifikns korre-lcit a teljestmnnyel (helyes stratgik alkalmazsval) (r = 0,49; p < 0,01). Ez az ex-pozciban (a problma megfogalmazsban) az informcisrsg (density of informa-tion) szerept mutatja: a problmahelyzet rszletesebb, kimertbb lersa tmaszt jelent-het a matematikai relcik felismershez, egyszersmind megrtshez. A szerz mg megjegyzi, hogy br vizsglatban egyszer sem sikerlt kimutatni, Jerman s Rees (1972) adatai szerint a hosszsggal kapcsolatos vltozk (problem length variables) ignybe vehetk annak elrejelzsre, hogy a tanulk milyen stratgit hasznlnak az adott (matematikai) szveges problmban.

Ugyanakkor a megoldsi id tekintetben mr mutatkoztak sszefggsek. A legma-gasabb korrelcit (r = 0,55; p < 0,01) Lepik a szszmnl (nlunk F3) tapasztalta: ha a problma megfogalmazsban a szavak szma nagyobb volt, a megoldshoz tbb idre volt szksg. Ami a tbbi vltozt illeti, a pozitv korrelcis egytthatk kztt mg 5 szignifikns akadt: az egytthatk a mi jellseinkkel az F1, F2, F4, F12 vltozkhoz (mind szignifikns a p = 0,01 valsznsgi szinten is) s az F14 vltozhoz (amelyre nzve p < 0,05) tartoznak. Ezekre az eredmnyekre hivatkozva megemltjk, hogy e t-nyezk hatsa kln figyelmet rdemel egy problmahelyzetben, ha a feladatra idkorlt adott (Wood, 1991). Kiemelsre mlt mg az is, hogy megrtst kifejez hamis nvallo-mst (illusion of knowing) vlthat ki a szveg hosszsga (paragraph effect) (Glenberg, Wilkinson s Epstein, 1992).

A dolgot tovbb bonyoltja, hogy meglep mdon a legalbb 6 bets szavak szma s relatv gyakorisga negatv szignifikns sszefggsben volt a megoldsi idvel. (A je-llseinket felhasznlva: F6 esetben r = 0,38, p < 0,05, F9-nl pedig r = 0,43, p < 0,01). Magyarzatul Lepik azt hozza fel, hogy a szban forg szavak jrszt a tanu-lk ltal jl ismert, a megoldst elsegt (ezenkppen a megoldsi idt cskkent) ma-tematikai terminusok lehettek. A vgn pedig gy foglalja ssze az elemzst, hogy a szveges problmk megoldsakor a szveg megfelel olvashatsga (readability level) a sikerhez szksges, de nem elgsges kvetelmny (Austin s Lee, 1982, idzi Lepik, 1990).

A mi vizsglatunkban a teljestmny szempontjbl feltrt sszefggseket ltva el-mondhatjuk, hogy esetnkben a nyelvi vltozk nagyobb sllyal jelennek meg. De azt a krlmnyt nem hagyhatjuk figyelmen kvl, hogy a mi mintinkban az FS1 s a sz-zalkos teljestmnymutat kztti korrelcis egytthatk nemcsak kicsik, hanem mg csak nem is szignifiknsak. rdemes arra is felfigyelni, hogy a kt iskolatpus sszefg-gsrendszere lnyegben (az F8 s az F12 vltozkat nem szmtva 8 kapcsolat) ugyan-gy alakult (16. tblzat). A legszorosabb sszefggsek mindegyik mintn az F4 s az F+16 esetben lelhetk (rS < 0, 0,69 < rS < 0,76, p < 0,001). Megfigyelhet az a ten-dencia, hogy a szveg terjedelmvel kapcsolatos vltozk nagyobb rtkei elrevettik az 34


alacsonyabb teljestmnyt. Ilyen pldul a karakterek szma (F1, F2 s F+16), a szavak szma (F3 s F4), a hossz szavak szma (F6 s F7, lsd mg F8), az tlagos mondat-hossz a szavak szintjn (F+15), valamint a szakkzpiskolsoknl a mondatok szma (F12) (16. tblzat).

A vizsglat kezdetn eleve abbl a feltevsbl indultunk ki, amit a kapott eredm-nyek altmasztanak, hogy a feladat szvege a szveges egyenletek megoldst befoly-sol tnyez: az olvasand szvegek klnbz nehzsgek lehetnek. Az ttekinthetet-len, sszebonyoltott megfogalmazs esetn megrtsi (szvegrtsi) problmk merl-hetnek fel. A szvegrts ersen fgg a szvegek fajtjtl is: a tanulk a trtneteket knny, mg a tnylersokat nehz szvegnek tartjk (Tark, 1999). Ebben a megvilg-tsban megrthetjk, hogy ekkor a megoldshoz tbb idre lehet szksg. St ilyen k-rlmnyek kztt a tanul idzavarba kerlhet: kapkodni kezd, bizonytalann vlhat, s ekkpp hibt hibra halmozhat. Szmos tanul rgtn az utalszavak keresshez kezd anlkl, hogy alaposan vgigolvasn a feladatot (Ben-Zeev, 1998).

Eredmnyeink emlkeztetnek a kzoktats ltalnosan elfogadott felfogsra, misze-rint az oktats eredmnyessge szempontjbl az egyik legfontosabb tudselem az olva-ssi kpessg: a tanulk olvasni tudsa s olvassmegrtsnek fejlettsge minden ms tanulsi eredmnyre kzvetlen hatssal van (Vidkovich s Cs. Czachesz, 1999). Ahogy az elz rszben lttuk, mind az irodalom-, mind a nyelvtanjegyek kapcsolatba hozhatk a teszteredmnyekkel. Annak rdekben, hogy megtudjuk, milyen tnyezk llhatnak az sszefggsek mgtt, praktikus elklnteni a j s a gyenge olvasnak tartott tanulk olvassi magatartst. Termszetesen nem vllalkozhatunk a mkd kpessgek rsz-letes feltrsra, az albbiakban mindssze hangslyozni szeretnnk az olvassi nehz-sgeknek az olvasott szvegek megrtsben jtszott szerept (minderrl rszletesebben Tark, 1999; Solso, 1988).

A j s a gyenge olvask kztti klnbsg tipikus eseteknt emlthetjk, hogy a gyakorlott olvask figyelme a szveg jelentsre sszpontosul. Kutatsok bizonytjk, hogy a gyengn olvask a szvegsszefggsek megtallsa rdekben nem futjk t, nem olvassk el jra a szveget, az informcikat nem integrljk, nem kvetkeztetnek, s jobbra nem alkalmazzk a gyakorlott olvaskra jellemz stratgikat. S ez nem csu-pn olvass krdse: a sikertelen tanulk az jraolvassbeli tbblet-erfesztseiket je-lents mrtkben a szmokra fordtjk, a sikeres tanulk pedig a vltozk neveire. Ez sszhangban van azzal a mr idzett lltssal, hogy a sikertelen tanulk inkbb kzvet-len transzlcis stratgihoz folyamodnak, mg a sikeresek nagy valsznsggel a prob-lmamodellez stratgit alkalmazzk (Mayer s Hegarty, 1998).

Az olvass minsge (gyengesge illetve gyakorlottsga) letkor szerint is differen-cildik. Szmolhatunk azzal, hogy a fiatalabbak nem alkalmaznak stratgikat, nem tudjk megklnbztetni a lnyegi s a sz szerinti felidzst. Ezek s hasonl krdsek gyorsan elvezetnek ahhoz a konklzihoz, hogy a visszaemlkezs elemzse egy tovbbi hasznos megkzeltsi mdot jelent a matematikai megrts kutatsban. Pldul Mayer s Hegarty (1998) kutatsi beszmolja rmutat az emlkezs szerepre a szveges problmk megoldsban.

Sajt adataink alapjn a kzpiskolt illeten vgeredmnyben azt llthatjuk, hogy azoktl a feladatoktl vrhat magasabb reliabilits, amelyek megfogalmazsban

35

Kontra Jzsef

a legalbb 9 bets szavak relatv gyakorisga (F10) nagyobb (G: rS = 0,41, p < 0,05; SZ: rS = 0,37, p < 0,05; GSZ: rS = 0,47, p < 0,01). Ms szval az ilyen feladatok ltal-ban megbzhatbban klntik az eltr kpessg kzpiskolai (9. osztlyos) tanulkat. A gimnazistk krben az tlagos szhossz (F5) s a legalbb 6 bets szavak relatv gyakorisga (F9) hzza magval a megbzhatsgot (mind a kett esetben: rS = 0,36, p < 0,05). Mindez pedig arra utal, hogy a hosszabb szavak (tbbihez viszonytott) szapo-rtsval alkalmasint ersebben szelektlhatunk. A szakkzpiskolsoknl a reliabilitsra az tlagos mondathossz a szavak szintjn (F14 s F+15) ad informcit. Itt a prba lltott vltozk kztt ellenttes, negatv korrelcis sszefggsek tallhatk: F14 s Cronbach : rS = 0,40, p < 0,05, meg F+15 s Cronbach : rS = 0,36, p < 0,05. Ugyan-akkor j tudni, hogy a kzpiskolsokat (G, SZ s GSZ) tekintve az F+15 a szzalkos teljestmnymutatval negatv lineris kapcsolatban van (16. tblzat).

Ezzel kapcsolatban felvethet, hogy az tlagos nehzsg itemek ltalnossgban n-velik a reliabilitst, ekkor vrhat a legjobb elklnts (Schelten, 1980; Horvth, 1993). A tesztszerkeszts folyamatban jl figyelembe vehet szably, hogy a homogn teszt-itemek nehzsge 0,2 s 0,8 kzt mozogjon, a heterogn tesztek itemjeinek nehzsge pedig 0,5 krl legyen (Horvth, 1997). (Persze a teszt cljtl fgg, hogy milyen ne-hzsg itemeket vlasztunk.)

A tovbbiakban a strukturlis vltozk szerepvel foglalkozunk. Elszr jfent Lepik (1990) eredmnyeit mutatjuk be rviden. Szmtsai szerint a helyes megoldsmenet el-fordulshoz fzd kapcsolatokat illeten a 16 korrelcis egytthatbl 10 volt szigni-fikns (ld. S3, S4, S7, S8, S9, S10, S11, S13, S15 s S16, amelyekre nzve p < 0,05). St, e tz negatv egytthat kzl t szignifikns volt a p = 0,01 szinten is (S3, S4, S8, S9 s S10). A legmagasabb abszolt rtkek az S3, S4 s S8 vltozkhoz tartoztak (0,54 < r < 0,55): a segdismeretlenek, a meghatrozand mennyisgek, valamint a formulk s egyenletek szmhoz.

A megoldsi idvel szintn 11 mutat (S2, S5, S7, s S9S16) volt pozitv korrelci-ban. Hozztehet, hogy itt az sszes tallt kapcsolatot ers szignifikancival (p < 0,01) ki lehetett mondani. A legersebb sszefggs a krdezett mennyisgek szmval (S2) mutatkozott (r = 0,62). Vgl Lepik a kt teljestmnymutatt egyttesen tekintve a k-vetkez 6 vltozt emelte ki: S7, S9, S10, S11, S15 s S16.

Elemzsnket most a strukturlis vltozk s a szzalkos teljestmny kapcsolataira vonatkoz sajt eredmnyeinkkel s a bellk levonhat kvetkeztetsekkel folytatjuk. Vizsglatunk sszhangban Lepik vizsglatbl megismert eredmnyekkel (s ms elem-zsekkel) megersti, hogy a szveges feladatok szerkezetnek (struktrjnak) krds-kre fontos kontextust knl a nehzsgek tanulmnyozshoz: a kzpiskolban (GSZ) 12 negatv korrelcis sszefggst tapasztaltunk (p < 0,05). A 16. tblzatbl ltjuk, hogy 8 esetben p < 0,01, radsul ebbl hromra vonatkozan p < 0,001. Figyeljk meg, hogy a ngy kivtel (S2, S6, S12 s S14) Lepiknl ugyancsak szerepelt. rdekes, hogy a gimnazista mintn az S13, S15 s S16 nem rulkodik a teljestmnyekrl.

Esetnkben a nehzsgek legfbb magyarz elvnek az egyenletek szma (S7) te-kinthet (G, SZ, s GSZ: rS < 0, 0,58 < rS < 0,76, p < 0,001). Emellett a megadott s a meghatrozand mennyisgek szma (S5) gyszintn jl jelzi a megoldsok sznvonalt (G, SZ, s GSZ: rS < 0, 0,51 < rS < 0,70, p < 0,01). Arra gondolhatunk, hogy a bo-36


nyolultabb feladatok megoldsban az egyik kritikus tnyez a problmatr mrete (a mozgsok lehetsges szma a problmban; Szab, 1997); mi tbb, a munkamemrinak is megvannak a maga korltai.

Ezek utn vegyk szemgyre a strukturlis vltozk s a reliabilits kztti ssze-fggseket (17. tblzat). Azonnal lthat, hogy e vltozcsoport egytthati kztt tbb a szignifikns, mint a nyelvi vltozk esetben. Vgl is a struktra a matematika egyik f jellemzje: a tnyek kevsb fontosak, mint ms tudomnyokban, msrszrl a tnyek kztti kapcsolatok, a kapcsolatok kztti kapcsolatok, gy az egsz struktra, sokkal fontosabb (Dreyfus s Eisenberg, 1998).

Mg hatrozottabban rzkelhet a kt iskolatpus adatainak eltrse: mg a gimna-zistknl tzszer (tovbbi eseteket jelent az FS1 s FS+3 vltozkkal kapcsolatos kt rS rtk), a szakkzpiskolsoknl pusztn egyszer mondhat ki a szignifikancia (llaptha-t meg kapcsolat). Ennek szmos oka lehet. (A 13. tblzat adatai alapjn nem hozhatjuk szba, hogy a szakkzpiskolsok rszmintjn esetleg tl kicsi a reliabilits varian-cija.)

gy tnik, a megbzhatsg jellemzsre legfkpp a megoldshoz szksges formu-lk szma (S6) hasznlhat fel (G, SZ, s GSZ: 0,45 < rS < 0,52, p < 0,01). Minl tbb kpletet kell ismerni (a helyes felrsok pontrtkt 1-gyel vettk figyelembe), annl el-trbben reaglnak a tanulk a feladatra, s annl jobban lehet a feladattal kztk k-lnbsget tenni.

Ezen a ponton nem kerlhetjk meg a nemzetkzi s hazai felmrsek megllapt-st: a tanulk javarszben jl megtanuljk a tananyagot, s kpesek annak reprodukl-sra, amennyiben azt olyan kontextusban krik tlk, amilyenben elsajttottk. Persze az ismeretek mennyisgi nvekedse nem vonja automatikusan maga utn a mlyebb megrtst, a tuds j helyzetekben val alkalmazhatsgt (Csap s Korom, 1998). r-demes ismt megjegyezni, hogy a formulk szma (S6) s a szzalkos teljestmnymu-tat egyttvltozsa nem ltalnosthat, vagyis nagy valsznsggel az ltalunk a G, SZ s GSZ mintkon szlelt kapcsolatok a vletlen (a mintavteli ingadozs) hatsnak tulajdonthat (16. tblzat).

sszegzs

A gyakorlati krdsek megoldsban a matematikai eszkzk, mdszerek egyre jelent-sebb szerephez jutnak. Ehhez azonban a feladatot vagy problmt t kell fogalmazni a matematika nyelvre. Gyakorta tesszk ezt meglehetsen egyszer esetekben, mg ha trtnetesen nem is vesznk rla tudomst. Ugyanakkor a gondot tbbnyire nem a mate-matikai mvelet(ek) jelenti(k), hanem annak felismerse, hogy az adott problmahelyzet-ben milyen mvelet(ek)re van szksg. A viszonyokat kifejez szavak rtelmezsnek tantsa, a tanulk felksztse a klnbz adatok kztti sszefggsek keressre tb-bek kztt a matematika tantsa sorn, szveges egyenleteken keresztl trtnhet.

Valban, a Szveges feladatok tesztekben nyjtott teljestmnyek (gy a szvegesfel-adat-megold kszsgek fejlettsge) s a matematikai eredmnyessg kztt sszefgg-

37

Kontra Jzsef

seket talltunk a kzpiskolban. Tudjuk, a tanulk tanulmnyaik sorn sok idt tltenek szveges egyenletek megoldsval, s nem csak matematikarkon (lsd pldul fizika). Nem mondhat, hogy ezek feladatmegold rk (st trgyak) nem fejlesztenek kszs-geket, kpessgeket.

Csakhogy a szveges egyenletek megoldsa (pldul a kzpiskolai matematikaokta-tsban) annyira megszokott kifejezss vlhat, hogy az igazi lnye s clja szinte elhal-vnyodik (Hajnal s Nmethy, 1989). A problma abban rejlik, hogy esetenknt a tan-rkon nem derl ki, hogy ebben a tananyagrszben szerepl feladatok megoldsa mi-lyen ltalnosabb gondolkodsfejleszt clokat szolgl. Utalhatunk arra, hogy empirikus vizsglatok eredmnyei szerint kevs a kapcsolat az egyes tantrgyak kztt, s szinte nincs sszefggs az iskolban tanultak s a htkznapi let kztt sem (Csap s B. Nmeth, 1995; B. Nmeth, 1998). Egyszval nem kap figyelmet a transzfer.

De egyltaln milyen matematikai szveges problmkkal tallkozhatnak a tanulk? S ez mg nem minden. rdemes azon is tprengeni, hogy a tants akkor lehet hatkony, ha figyelembe veszi a tanul mindenkori gondolkodsi sajtossgait. Ezrt foglalkoztunk ebben a kutatsban a szveges feladatok minsgvel, jsgval (nhny jellemzjvel) is.

Mivel a krdsekre adand vlaszok gondolkodsi feladatokk vlnak, vizsglatunk-ban a problma (a feladat) s a megrts, megolds (a teljestmny) termszetesen ssze-fondik egymssal. Ami a tantsi gyakorlatot illeti, nemcsak a tananyagot kell ismer-nnk, hanem valami (lehetleg pontos) kppel kell rendelkeznnk arrl is, hogy milyen termszet az a tuds, milyen jellegek azok a rendszerek, amelyek a tanulk pszichi-kumban kialakulnak (Csap, 1993; Majoros, 1992).

A problmamegolds irodalmban meg szoks klnbztetni a problmamegoldsi eljrs kt f jellegzetessgt: a tartalmi s a strukturlis tnyezkhz kthet reprezen-tcit s a megoldst. gy a szveges feladatok tanulmnyozsakor abbl indultunk ki, hogy a legtbb tanulnak nagyobb nehzsget okoz egy clravezet problmareprezen-tci megteremtse, mint a megoldsi eljrs vgrehajtsa. Ez azt sugallja, hogy a s-mk hasznlata a sikeres teljestmny fontos eleme. s ismt: a matematikai szveges problmk smaszerkesztse felleli a helyes szmols kpessgt, de olyan tnyezk is befolysoljk, mint a szemantika s a nyelv (Ben-Zeev, 1998).

Minthogy a nagy gyakorisg problmk tbb jl kpzett smval kapcsoldnak, a bevezetben klns figyelmet kapott a tanknyvekben tallhat feladatok osztlyozsa, a fontosabb (gyakoribb) problmatpusok azonostsa. ttekintsnkben hrom lnyeges szempontot emeltnk ki, (1) a tartalom, (2) az ltalnosts (egyedek halmazok, para-mterek) s (3) az absztrahls (konkrt dolgok absztrakt dolgok) aspektust.

Annak rdekben, hogy megtudjuk, milyen tnyezk llhatnak a matematikai szve-ges feladatok esetben elrt teljestmnyek mgtt a kzpiskolban, egy szakirodalom-bl tvett eljrst hasznltunk. Lepik (1990) mdszert kvetve az ltalunk kivlasztott (egyszer mozgsi) feladatokat nyelvi s szerkezeti elemekre vonatkoz mutatkkal jellemeztk. Az j felmrst egyrszt a teljestmnymutatk populcifggse indokolja. Msrsz

Documents

Kontra József a Nyelvi És Strukturális Tényezők Befolyása a Szöveges Feladatok Megoldására