KAJIAN STABILITAS MODEL TINGKAT BUNGA RENDLEMAN …trihandika.staff.gunadarma.ac.id/Publications/files/4174/Prosiding... · pergerakan tingkat bunga di masa depan merupakan bagian

KAJIAN STABILITAS MODEL TINGKAT BUNGA Mathematical Science

KAJIAN STABILITAS MODEL TINGKAT BUNGA RENDLEMAN-BARTTER

Tri Handhika dan Murni

Program Magister Matematika, Departemen Matematika, Universitas Indonesia, Depok

[email protected] ; [email protected]

Abstrak

Umumnya investor dalam pasar keuangan tergolong risk averse di mana risiko tersebut berhubungan erat dengan pergerakan tingkat bunga. Ketidakpastian pergerakan tingkat bunga di masa depan merupakan bagian penting dalam teori pengambilan keputusan keuangan, misalnya dalam menentukan harga suatu produk turunan tingkat bunga atau dalam hal manajemen risiko. Penelitian ini mengkaji daerah stabilitas model tingkat bunga Rendleman-Bartter (RB) yang dipengaruhi oleh parameter model RB tersebut. Kriteria stabilitas yang akan dibahas adalah kriteria stabilitas stokastik asimtotik dan stabilitas mean-square. Kajian ini sangat dibutuhkan untuk menguji apakah hasil taksiran parameter model RB menghasilkan solusi yang masih mendekati solusi masalah sebenarnya atau tidak. Hal ini berdasarkan solusi suatu model tingkat bunga, tidak hanya ditentukan oleh metode penaksiran parameter yang digunakan tetapi juga dipengaruhi oleh stabilitas model.

Kata kunci: Model Rendleman-Bartter; Stabilitas model stokastik.

1. PENDAHULUAN Umumnya investor dalam pasar keuangan tergolong risk averse di mana risiko

tersebut berhubungan erat dengan pergerakan tingkat bunga. Ketidakpastian pergerakan

tingkat bunga di masa depan merupakan bagian penting dalam teori pengambilan

keputusan keuangan. Ketidakpastian ini juga merupakan kendala dalam menentukan

harga suatu produk turunan tingkat bunga maupun dalam hal manajemen risiko. Secara

matematis, fenomena perubahan tingkat bunga dapat dimodelkan dengan Persamaan

Diferensial Stokastik (PDS). Solusi PDS bergantung pada parameter yang kenyataannya

tidak diketahui nilainya. Masalah perilaku model PDS di sembarang waktu t disebut juga

sebagai stabilitas model stokastik yang merupakan kriteria penting dalam melakukan

peramalan (forecasting). Hal ini berdasarkan solusi suatu model tingkat bunga, tidak

hanya ditentukan oleh metode penaksiran parameter yang digunakan tetapi juga

dipengaruhi oleh stabilitas model. Kriteria stabilitas model stokastik yang akan dibahas

adalah kriteria stabilitas stokastik asimtotik dan stabilitas mean-square dari salah satu

model tingkat bunga, yakni model Rendleman-Bartter (model RB). Model RB ini

mendeskripsikan pergerakan tingkat bunga (short rate) menurut satu sumber risiko atau

satu variabel ketidakpastian, yaitu Berdasarkan kriteria-kriteria stabilitas tersebut,

dapat diketahui nilai parameter yang mengakibatkan model RB menjadi stabil. Hal ini

Prosiding Seminar Nasional Sains III; Bogor, 13 November 2010 382


diperoleh melalui identifikasi apakah parameter yang dimaksud terletak pada daerah

stabilitasnya atau tidak. Pada akhir makalah, akan dilengkapi pula dengan ilustrasi daerah

stabilitas model RB.

2. BAHAN DAN METODE Permasalahan pada penelitian ini diselesaikan melalui studi literatur. Prosedur awal

yang dilakukan dalam penelitian ini adalah menentukan solusi eksplisit model RB melalui

penerapan Rumus Ito dengan terlebih dahulu diberikan Lemma berikut ini [4]:

Misalkan [ ]: 0,U T ×ℜ→ℜ memiliki turunan-turunan parsial yang kontinu ,U Ut x

∂ ∂∂ ∂

, dan

2

2

Ux

∂∂

. Maka untuk sembarang [ ], 0t t t T+ Δ ∈ , dan ,x x x+ Δ ∈ℜ terdapat konstanta-

konstanta 0 1, 0 1α β≤ ≤ ≤ ≤ sedemikian sehingga

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )2

22

, , , ,

1 , .2

U UU t t x x U t x t t x t t x xt x

U t x x xx

α

β

∂ ∂+ Δ + Δ − = + Δ Δ + Δ

∂ ∂∂

+ + Δ Δ∂

Selanjutnya, dari Lemma di atas dapat dikembangkan menjadi Rumus Ito sebagai

berikut [4]:

Misalkan untuk di mana U seperti dalam Lemma di atas dan ( ,t tY U t X= ) 0 t T≤ ≤ tX

memenuhi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,t t

t s us sX X e u du f u dWω ω ω ω− = +∫ ∫ ω

dengan , Te f ω∈L . Maka

( ) ( ) ( )

( )

22

2

1, , ,2

,

t

t s u u u u us

t

u u us

U U UY Y u X e u X f u X dut x x

Uf u X dWx

⎧ ⎫∂ ∂ ∂− = + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭

∂+

∂

∫

∫(1)

dengan probabilitas 1, untuk sembarang 0 s t T≤ ≤ ≤ .

Penerapan Rumus Ito tersebut diperlukan karena model RB termasuk dalam

kategori PDS, yakni persamaan diferensial dengan efek random yang memiliki variasi tak

terbatas [4]. Solusi PDS tidak dapat diperoleh dengan menerapkan Integral Riemann,



integral Lebesgue, maupun integral Riemann-Stieltjes, melainkan dengan menerapkan

Integral Ito ataupun Integral Stratonovich yang memerlukan Rumus Ito di atas.

Prosedur selanjutnya adalah menentukan stabilitas model RB. Namun, sebelumnya

akan dibahas beberapa kriteria stabilitas model stokastik. Misalkan diberikan masalah

nilai awal stokastik berikut ini:

( ) ( )t t tdX f X dt g X dW= + t untuk 0 ,t T≤ ≤

0 0 ,X x= (2)

dengan maka ( ) ( )0 0f g= = 0, 0tX ≡ merupakan solusi stasioner dari masalah nilai

awal stokastik tersebut. Terdapat banyak cara dalam mendefinisikan stabilitas model

stokastik untuk solusi stasioner. Dalam penelitian ini, hanya akan dibahas stabilitas

stokastik asimtotik dan stabilitas mean-square. Selanjutnya, asumsikan bahwa 0 0X ≠ ,

maka stabilitas stokastik asimtotik dan stabilitas mean-square masing-masing

didefinisikan sebagai berikut [1]:

a) Jika li 0tX = dengan probabilitas 1, maka 0tXmt→∞

≡ stabil secara stokastik asimtotik.

b) Jika ( )2li 0tt= , maka 0tXm E X

→∞≡ stabil secara mean-square. (3)

Berdasarkan definisi di atas, akan ditentukan stabilitas model RB.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada Hasil dan Pembahasan berikut, pertama-tama akan ditunjukkan solusi

eksplisit beserta kriteria stabilitas model PDS

t t tdX aX dt bX dWt= + (4)

dengan dan W merupakan suatu proses Wiener pada waktu . Selanjutnya,

solusi eksplisit dan kriteria stabilitas tersebut dapat diimplementasikan ke dalam model

RB yang persamaannya ekivalen dengan PDS persamaan (4). Pada makalah ini akan

dilengkapi pula ilustrasi kriteria stabilitas model RB yang dinyatakan sebagai suatu daerah

stabilitas. Kemudian, dilakukan uji kestabilan model RB menggunakan parameter-

parameter yang terletak di dalam maupun di luar daerah stabilitas tersebut.

,a b∈ t t

Sebelum menentukan kriteria stabilitas model PDS tersebut, terlebih dahulu akan

diselesaikan solusi eksplisit model PDS dengan menggunakan Rumus Ito yang telah

dibahas pada Bab II di atas. Misalkan ( ),t tt X= x x=Y U dengan U t , maka

berdasarkan persamaan (1) diperoleh

( ), ln



( )

( )

1

1

2 20 20 0

12

0 0 0

12

00

1 1 1 10 ,2

1 lim ; , ,2

1 lim ,2

j j

j j

t t

t u u uu u u

Nt

t t jt j

Nt

t tN j

Y Y aX b X du bX dWX X X

ta b du b W W t j t tN

a b du b W W

δδ δ

+

+

−

→=

−

→∞=

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪− = + + − +⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

∑∫

∑∫

u

21 .2 ta b t bW⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Dengan pemisalan di mana ( ,tY U t X= )t ( ), lnU t x x= diperoleh

20

1exp .2t tX X a b t bW⎧ ⎫⎛ ⎞= − +⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭

t

(5)

Selanjutnya, pandang persamaan (2) dengan mensubstitusikan ( )tf X aX= dan

diperoleh ( )tg X bX= t

tt t tdX aX dt bX dW= + untuk 0 ,t T≤ ≤

0 0 ,X x= (6)

dengan dan W merupakan suatu proses Wiener pada waktu t . Sekarang, akan

ditunjukkan stabilitas stokastik asimtotik dari

,a b∈ t

tX .

Berdasarkan persamaan (5) diperoleh bentuk mutlak berikut ini:

( ) ( ) 20

1exp exp . exp2t tX X at bW b⎛ ⎞= ⋅ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠t ⋅

(7)

Misalkan dan , maka persamaan (7) menjadi a u vi= + b m ni= +

( ) ( )

( )

2 20

20

1exp exp ,2

1 exp exp Re ,2

t t

t

X X mW u m n t

X mW a b t

⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

dengan bentuk limit

( ) 20

1lim lim exp exp Re .2t tt t

X X mW a b→∞ →∞

t⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ −⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦ (8)

Kemudian, pembuktian ini akan dilanjutkan melalui dua tahap sebagai berikut:



Tahap pertama, jika diketahui 21Re 02

a b⎛ ⎞− <⎜ ⎟⎝ ⎠

, maka akan ditunjukkan 0tX ≡

stabil secara stokastik asimtotik pada waktu besar. Berdasarkan definisi pada

persamaan (3.a), stabil secara stokastik asimtotik pada waktu besar, berarti

bahwa

t

0tX ≡ t

lim 0ttX

→∞= dengan probabilitas 1. Oleh karena 21Re 0

2a b⎛ ⎞− <⎜ ⎟⎝ ⎠

, maka

persamaan (8) menjadi

( )0lim lim exp 0 0t tt tX X mW

→∞ →∞= ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦

dengan probabilitas 1.

Selanjutnya pada tahap kedua, jika diketahui 0tX ≡ stabil secara stokastik

asimtotik pada waktu t besar, maka akan ditunjukkan 21Re 02

a b⎛ ⎞− <⎜ ⎟⎝ ⎠

. Misalkan

21Re 02

a b⎛ ⎞− >⎜ ⎟⎝ ⎠

, maka dari persamaan (8) diperoleh

( ) 20

1lim lim exp exp Re .2t tt t

X X mW a b→∞ →∞

t⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞= ⋅ −⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦

Karena diketahui bahwa stabil secara stokastik asimtotik pada waktu besar

maka persamaan di atas menjadi

0tX ≡ t

( )

( )

20

2

1lim exp exp Re 0,2

1lim exp exp Re 0.2

tt

tt

X mW a b t

mW a b t

→∞

→∞

⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⋅ − =⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦

⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⋅ − =⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦

Persamaan terakhir di atas hanya terpenuhi jika ( )lim exp 0ttmW

→∞=⎡⎣ ⎤⎦ atau

21lim exp Re 02t

a b t→∞

⎡ ⎤⎧ ⎛ ⎞−⎨⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦

⎫=⎬⎥ . Oleh karena 21Re 0

2a b⎛ ⎞− >⎜ ⎟⎝ ⎠

, maka

21lim exp Re 02t

a b t→∞

⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞−⎨⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦

≠⎬ sehingga ( )lim exp ttmW

→∞⎡ ⎤⎣ ⎦ haruslah 0 atau .

Akan tetapi, . Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa

tmW →−∞

tmW−∞ < < ∞ lim 0ttX

→∞=

dengan probabilitas 1. Oleh karena itu, haruslah 21Re 02

a b⎛ ⎞− <⎜ ⎟⎝ ⎠

.



Dengan pembuktian dua tahap tersebut, telah terbukti bahwa solusi stasioner

stabil secara stokastik asimtotik pada waktu besar jika dan hanya jika 0tX ≡ t

21Re 0.2

a b⎛ ⎞− <⎜ ⎟⎝ ⎠ (9)

Berikut ini akan ditunjukkan pula bahwa solusi stasioner 0tX ≡ juga stabil secara

mean-square. Berdasarkan persamaan (5) diperoleh bentuk mutlak kuadrat sebagai

berikut:

( ) ( )2

2 22 2 20

1exp exp exp .2t tX X at b t bW⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

Misalkan dan , maka a u vi= + b m ni= + 2tX menjadi

( ) ( ){ } ( )2 2 2 20 exp 2 exp exp 2 ,t tX X ut m n t mW= ⋅ − − ⋅

sehingga

( ) ( )( ){ }( )( ){ }

2 2 2 20

2 20

exp 2 ,

exp 2Re .

tE X X u m n t

X a b t

= + +

= +

dengan bentuk limit

( ) ( )( ){ }2 2 20lim lim exp 2Re .tt t

E X X a b t→∞ →∞

⎡ ⎤= ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦ (10)

Kemudian, pembuktian ini juga akan dilakukan melalui dua tahap sebagai berikut:

Tahap pertama, jika diketahui 0tX ≡ stabil secara mean-square, maka akan

ditunjukkan ( ) 22Re 0a b+ < . Berdasarkan definisi pada persamaan (3.b), stabil

secara mean-square, berarti bahwa

0tX ≡

( )2lim 0ttE X

→∞= . Dengan demikian persamaan (10)

menjadi

( ) ( )( ){ }2 2 20lim lim exp 2Re 0,tt t

E X X a b t→∞ →∞

⎡ ⎤= + =⎢ ⎥⎣ ⎦

atau

( )( ){ }2lim exp 2Re 0.t

a b t→∞

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦



Persamaan terakhir ini hanya dipenuhi jika ( ) 22Re 0a b+ < .

Selanjutnya pada tahap kedua, jika diketahui ( ) 22Re 0a b+ < , maka akan

ditunjukkan stabil secara mean-square. Oleh karena 0tX ≡ ( ) 22Re 0a b+ < , maka

persamaan (10) menjadi

Dengan pembuktian dua tahap tersebut, solusi stasioner

( )2 20lim 0 0.tt

E X X→∞

= ⋅ =

0tX ≡ juga stabil secara mean-

square jika dan hanya jika

( ) 22 Re 0.a b+ < (11)

Kriteria stabilitas pada persamaan (9) dan (11) di atas dapat diterapkan pada salah

satu model tingkat bunga dalam bidang keuangan, dalam hal ini model RB yang

persamaannya ekivalen dengan model PDS persamaan (4) untuk seperti

diberikan berikut ini [5]:

,a b∈

,t t tdr ardt brdWt= + (12)

dengan adalah tingkat bunga (short rate) pada waktu t , adalah parameter

ekspektasi laju pengembalian, b adalah parameter standar deviasi yang menunjukkan

volatilitas short rate, sedangkan W adalah suatu proses Wiener pada waktu t .

Berdasarkan persamaan (8), stabilitas stokastik asimtotik model RB memenuhi b a .

Sedangkan, berdasarkan persamaan (9) stabilitas mean-square model RB memenuhi

. Kriteria stabilitas stokastik asimtotik dan stabilitas mean-square model RB di

atas dapat diilustrasikan sebagai daerah stabilitas model stokastik dengan menggunakan

software Maple 11 sebagai berikut:

tr a

t

2 2>

a2 2b < −

2b2b

Gambar 1.a Daerah stabilitas stokastik

asimtotik model RB

aGambar 1.b Daerah stabilitas mean-

square model RB

a



Berdasarkan kedua gambar di atas, terlihat bahwa daerah stabilitas mean-square

model RB terletak di dalam daerah stabilitas stokastik asimtotik model RB atau dengan

kata lain solusi model RB yang stabil secara mean-square juga akan stabil secara

stokastik asimtotik tetapi tidak berlaku sebaliknya. Dengan memilih salah satu nilai

parameter yang terletak di dalam daerah stabilitas model RB tersebut dapat terlihat

bahwa stabil secara stokastik asimtotik dan stabil secara mean-square seperti

diilustrasikan pada Gambar 2.a dan 2.b. Kedua gambar tersebut diperoleh melalui

implementasi metode Euler-Maruyama terhadap persamaan (12) dengan menggunakan

software Matlab 7.01 berikut ini [3]:

0tr ≡

Gambar 2.a Uji kestabilan stokastik asimtotik

model RB dengan dan

1a =2b =

Gambar 2.b Uji kestabilan mean-square model

RB dengan dan 1a = − 1b =

Gambar 2.a mengilustrasikan sebuah lintasan tingkat bunga model RB terkait

dengan kestabilan stokastik asimtotik untuk 1a 2b= dan = . Sedangkan, Gambar 2.b

mengilustrasikan suatu lintasan yang merupakan rata-rata dari 10.000 simulasi lintasan

model RB terkait dengan kestabilan mean-square untuk 1a = − dan . Nilai 1b = tr dan

( )2tE r 0 pada masing-masing lintasan semakin lama akan menuju nol sehingga tr ≡

memenuhi kestabilan stokastik asimtotik maupun kestabilan mean-square. Akan tetapi,

jika dipilih nilai parameter yang terletak di luar daerah stabilitas model RB, maka terlihat

bahwa tidak stabil baik secara stokastik asimtotik maupun secara mean-square.

Hal ini terjadi karena semakin lama baik nilai

0tr ≡

tr dan ( )2tE r menuju tak hingga, seperti

diilustrasikan pada gambar berikut ini:

Gambar 3.a Uji ketidakstabilan stokastik

asimtotik model RB dengan dan 2a = 1b =

Gambar 3.b Uji ketidakstabilan mean-square

model RB dengan dan 1a =2b =



4. KESIMPULAN DAN PROSPEK Berdasarkan Hasil dan Pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa model RB

memiliki kriteria stabilitas mean-square dan stabilitas stokastik asimtotik. Jika diperoleh

taksiran parameter model RB yang masuk dalam kriteria stabilitas mean-square maka

taksiran parameter tersebut juga masuk dalam kriteria stabilitas stokastik asimtotik.

Taksiran parameter yang masuk dalam paling tidak salah satu kriteria tersebut akan

menghasilkan solusi model RB yang stabil.

UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Ibu Bevina D.

Handari dan Bapak Gatot F. Hertono selaku pembimbing. Pendanaan penelitian ini

diperoleh melalui dana Riset Unggulan Universitas Indonesia (RUUI) tahun anggaran

2010.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Allen, E. (2007), Modeling with Ito Stochastic Differential Equations, Netherland: Springer.

[2] Anggono, S. (2004), Kajian Stabilitas pada Masalah dan Metode Numerik untuk Persamaan Diferensial Stokastik, Depok: Departemen Matematika, Universitas Indonesia.

[3] Higham, D. J. (2001), An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations, SIAM Review, Vol. 43, No. 3, pp. 525-546.

[4] Kloeden, P. E. and Platen, E. (1992), Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Heidelberg: Springer-Verlag.

[5] Yolcu, Y. (2005), One-Factor Interest Rate Models: Analytic Solutions and Approximations, Turkey: Department of Financial Mathematics, Middle East Technical University.


Documents

KAJIAN STABILITAS MODEL TINGKAT BUNGA RENDLEMAN …trihandika.staff.gunadarma.ac.id/Publications/files/4174/Prosiding... · pergerakan tingkat bunga di masa depan merupakan bagian