Jpcaceres Undergrad Thesis

8/10/2019 Jpcaceres Undergrad Thesis

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEESCUELA DE INGENIERIADepartamento de Ingeniera Estructural y Geotcnica

MODELACIN, ANLISISNO-LINEAL Y DISIPACIN DEENERGA DE ESTRUCTURAS

PLANAS SOMETIDAS ATERREMOTOS

JUAN PABLO CCERES CHOMALI

Memoria para optar al ttulo deIngeniero Civil, con Diploma en Ingeniera Estructural

Profesor Supervisor:RAFAEL RIDDELL C.

Santiago de Chile, 2001


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEESCUELA DE INGENIERIADepartamento de Ingeniera Estructural y Geotcnica

MODELACIN, ANLISIS NO-LINEALY DISIPACIN DE ENERGA DE

ESTRUCTURAS PLANAS SOMETIDASA TERREMOTOS

JUAN PABLO CCERES CHOMALI

Memoria presentada a la Comisin integrada por los profesores:

RAFAEL RIDDELL C.

JUAN CARLOS DE LA LLERA M.

JORGE CREMPIEN L.

Quienes recomiendan que sea aceptada para completar las exigenciasdel ttulo de Ingeniero Civil, con Diploma en Ingeniera Estructural

Santiago de Chile, 2001


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ii

A mi padre,

A mi madre, por la presencia

incondicional, y a mis hermanos,Para Aisen, quien me mostr el colorde la ternura,

A mis amigos de siempre, y aXenakis, por la msica.


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iii

AGRADECIMIENTOS

Gran parte de mi formacin como ingeniero se la debo al profesor Juan

Carlos De la Llera. Su aporte e inters constante en la investigacin y la docencia

son de gran inspiracin para desarrollar trabajos como este. Tambin quisiera

reconocer los aportes realizados por el profesor Rafael Riddell, quien me gui en

varios aspectos relacionados con el curso de esta investigacin, y la disposicin a

participar en este trabajo del profesor Jorge Crempien.

Agradezco en especial a mi padre Nivaldo Cceres por su confianza

siempre infinita, a todos mis compaeros y amigos de la universidad, sin los que mi

aprendizaje no hubiese sido lo mismo, y en particular el apoyo e inters constante de

mi amigo y compaero Eduardo Jahnke.

El desarrollo de esta investigacin forma parte del Proyecto FONDECYT

199012, Demanda de Disipacin de Energa Durante Terremotos y Dao

Estructural, el cual es coordinado por el profesor Rafael Riddell.


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INDICE GENERAL

Pg.

DEDICATORIA .......................................................................................................... ii

AGRADECIMIENTOS .............................................................................................. iii

INDICE DE TABLAS ................................................................................................ vi

INDICE DE FIGURAS.............................................................................................. vii

RESUMEN................................................................................................................ xvi

I. INTRODUCCIN.............................................................................................. 1

1.1 Motivacin y Objetivos.............................................................................. 1

1.2 Contenido del Estudio ................................................................................ 2

II. MODELO DE EDIFICO DE CORTE................................................................ 3

2.1 Sistema Considerado y Ecuacin de Movimiento ..................................... 3

2.2 Propiedades del Sistema............................................................................. 6

2.3 Expresiones de Energa .............................................................................. 72.4 Ejemplo Numrico ..................................................................................... 8

III. ENERGA DISIPADA EN EDIFICIOS DE CORTE ...................................... 15

3.1 Modelos Analizados................................................................................. 15

3.2 Registros de Terremotos Usados.............................................................. 15

3.3 Ductilidad y Disipacin de Energa en Altura ......................................... 17

3.4 Espectros de Energa por Histresis......................................................... 38

3.5 Interpretacin de Resultados .................................................................... 43

IV. MODELO DE EDIFICIO DE MARCO FLEXURAL..................................... 45

4.1 Sistema Considerado y Ecuacin de Movimiento ................................... 45

4.2 Propiedades del Sistema........................................................................... 47

V. ELEMENTOS NO-LINEALES Y MTODO DE INTEGRACIN............... 53

5.1 Elemento Elastoplstico........................................................................... 53


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5.1.1 Modelacin del elemento............................................................... 53

5.1.2 Implementacin ............................................................................. 54

5.1.3 Ejemplo.......................................................................................... 55

5.2 Elemento Viga con Plastificacin en los Extremos ................................. 56

5.2.1 Modelacin del elemento............................................................... 56

5.2.2 Implementacin ............................................................................. 60

5.2.3 Validacin del modelo................................................................... 62

5.2.4 Ejemplo.......................................................................................... 63

5.3 Elemento Columna con Plastificacin en los Extremos Definida a

travs de una Curva de Interaccin .......................................................... 66

5.3.1 Modelacin del elemento............................................................... 665.3.2 Descripcin de la rtula pstica con interaccin N-M .................. 69

5.3.3 Implementacin ............................................................................. 72

5.3.4 Validacin del modelo................................................................... 76

5.3.5 Ejemplo.......................................................................................... 78

5.4 Mtodo de Integracin ............................................................................. 82

5.4.1 Planteamiento de las ecuaciones.................................................... 82

5.4.2 Propiedades del sistema en tiempo discreto .................................. 83

5.4.3 Implementacin ............................................................................. 85

VI. EDIFICIO HOLIDAY INN.............................................................................. 87

6.1 Descripcin del Edificio........................................................................... 87

6.2 Modelacin del Edificio........................................................................... 90

6.3 Resultados del Anlisis ............................................................................ 97

6.4 Interpretacin de resultados ................................................................... 126

VII. CONCLUSIONES.......................................................................................... 129

BIBLIOGRAFA...................................................................................................... 132


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vi

INDICE DE TABLAS

Pg.

Tabla 2.1: Propiedades edificio de 5 piso .................................................................. 10

Tabla 3.1: Edificios utilizados con sus perodos (T1) y frecuencias (f1)

fundamentales ....................................................................................... 15

Tabla 6.1: Propiedades estructurales de los elementos y materiales ......................... 94

Tabla 6.2: Enfierraduras de las columnas .................................................................. 95

Tabla 6.3: Enfierraduras de las vigas ......................................................................... 96

Tabla 6.4: Masas transalcionales del edificio y del marco modelado........................ 96

Tabla 6.5: Perodos y formas modales elsticos del modelo analizado ..................... 98


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INDICE DE FIGURAS

Pg.

Figura 2.1: Modelo de edificio de corte con columnas elastoplsticas........................ 3

Figura 2.2: Deformacin lateral de columnas.............................................................. 4

Figura 2.3: Modelo elastoplstico................................................................................ 4

Figura 2.4: Registro Sylmar, componente N00E (1994) ............................................. 8

Figure 2.5: Edificio de corte de cinco pisos con sus propiedades ............................. 10

Figura 2.6: Historia de desplazamientos .................................................................... 11

Figura 2.7: Historia de esfuerzos de corte por piso ................................................... 12

Figura 2.8: Curvas fuerza-deformacin por piso ....................................................... 13

Figura 2.9: Ductilidad por piso .................................................................................. 14

Figura 2.10: Energa disipada por histresis por piso................................................ 14

Figura 3.1: Registro de El Centro, componente S00E (1940) ................................... 16

Figura 3.2: Registro de Sylmar, componente N00E (1994)....................................... 16

Figura 3.3: Registro de Melipilla, componente N00E (1985).................................... 17

Figura 3.4: Registro de Llolleo, componente N10E (1985)....................................... 17

Figura 3.5: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro,componente S00E (1940) ................................................................................. 18

Figura 3.6: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7

pisos para El Centro, componente S00E (1940)............................................... 18


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viii

Figura 3.7: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para El

Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 19

Figura 3.8: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y

13 pisos para El Centro, componente S00E (1940).......................................... 19



Figura 3.10: Energa disipada por histresis de los edificios de 14, 15, 16, 17,

18 y 19 pisos para El Centro, componente S00E (1940).................................. 20




39 y 45 pisos para El Centro, componente S00E (1940).................................. 21

Figura 3.13: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El


Figura 3.14: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y100 pisos para El Centro, componente S00E (1940)........................................ 22

Figura 3.15: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar,

componente N00E (1994)................................................................................. 23


pisos para Sylmar, componente N00E (1994) .................................................. 23

Figura 3.17: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos paraSylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 24

Figura 3.18: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12

y 13 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) .......................................... 24


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ix

Figura 3.19: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para

Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 25


18 y 19 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ..................................... 25




39 y 45 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ..................................... 26

Figura 3.23: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para


Figura 3.24: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y

100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)........................................... 27

Figura 3.25: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla,

componente N00E (1985)................................................................................. 28

Figura 3.26: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7pisos para Melipilla, componente N00E (1985) ............................................... 28


Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 29


y 13 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)....................................... 29

Figura 3.29: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos paraMelipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 30


18 y 19 pisos para Melipilla, componente N00E (1985).................................. 30


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x




39 y 45 pisos para Melipilla, componente N00E (1985).................................. 31




100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)........................................ 32

Figura 3.35: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo,

componente N10E (1985)................................................................................. 33


pisos para Llolleo, componente N10E (1985) .................................................. 33


Llolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 34

Figura 3.38: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12y 13 pisos para Llolleo, componente N10E (1985).......................................... 34




18 y 19 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)..................................... 35

Figura 3.41: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos paraLlolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 36


39 y 45 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)..................................... 36


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xi




100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ........................................... 37

Figura 3.45: Espectro de energa por histresis para El Centro, componente

S00E (1940) ...................................................................................................... 39

Figura 3.46: Espectro de energa por histresis para Sylmar, componente N00E

(1994)................................................................................................................ 40

Figura 3.47: Espectro de energa por histresis para Melipilla, componente

N00E (1985) ..................................................................................................... 41

Figura 3.48: Espectro de energa por histresis para Llolleo, componente N10E

(1985)................................................................................................................ 42

Figura 4.1: Modelo de edificio de marco flexural ..................................................... 46

Figura 4.2: Curva de interaccin................................................................................ 47

Figura 4.3: Largo de plastificacin de las vigas ........................................................ 48

Figura 4.4: Largo de plastificacin de las columnas.................................................. 48

Figura 4.5: Definicin de deformaciones de las rtulas de las columnas.................. 49

Figura 4.6: Definicin del elemento elstico de largo Lp .......................................... 49

Figura 4.7: Curva de interaccin tpica de una seccin de hormign armado........... 51

Figura 4.8: Procedimiento para obtener la curva de interaccin de una seccin

de hormign armado para ser utilizada en el modelo de marco flexural.......... 52

Figura 5.1: Definicin del elemento elastoplstico................................................... 53

Figura 5.2: Relacin fuerza-deformacin elastoplstica............................................ 54


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xii

Figura 5.3: Historia de deformaciones del elemento elastoplstico .......................... 55

Figura 5.4: Historia de fuerzas del elemento elastoplstico ...................................... 55

Figura 5.5: Curva fuerza-deformacin elemento elastoplstico ................................ 56

Figura 5.6: Definicin del macro-elemento viga ....................................................... 57

Figura 5.7: Deformacin de la rtula ......................................................................... 58

Figura 5.8: Relacin fuerza-deformacin de la rtula en vigas................................. 59

Figura 5.9: Definicin del elemento elstico interno de la viga ................................ 62

Figura 5.10: Historia de deformaciones del macro-elemento viga............................ 64

Figura 5.11: Historia de fuerzas del macro-elemento viga ........................................ 65

Figura 5.12: Curvas de momento-rotacin para las rtulas elastoplsticas ............... 65

Figura 5.13: Definicin del macro-elemento columna .............................................. 66

Figura 5.14: Definicin de la rtula de las columnas ................................................ 67

Figura 5.15: Deformacin elstica de la rtula con interaccin ................................ 70

Figura 5.16: Deformacin elstica y plstica de la rtula con interaccin ................ 71

Figura 5.17: Vrtice en la curva de interaccin ......................................................... 72

Figura 5.18: Definicin del macro-elemento columna para ser utilizado como

macro-elemento viga ........................................................................................ 75

Figura 5.19: Obtencin de momento plstico (Mp) de las rtulas para utilizar el

macro-elemento viga ........................................................................................ 76

Figura 5.20: Geometra del elemento elstico interno viga ....................................... 77

Figura 5.21: Historia de deformaciones del macro-elemento columna ..................... 79


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xiii

Figura 5.22: Historia de fuerzas del macro-elemento columna ................................. 80

Figura 5.23: Curvas de interaccin e historias de fuerzas M-N de las rtulasplsticas ............................................................................................................ 81

Figura 5.24: Curvas fuerzas-deformaciones de las rotulas plsticas ......................... 82

Figura 6.1: Planta tpica del edificio .......................................................................... 89

Figura 6.2: Elevacin transversal tpica..................................................................... 90

Figura 6.3: Modelacin geomtrica del marco resistente correspondiente al eje

transversal A: numeracin de elementos .......................................................... 93

Figura 6.4: Dimensiones de elementos y extremos rgidos ....................................... 94

Figura 6.5: Disposicin geomtrica de las enfierraduras de las columnas ................ 95

Figura 6.6: Registro medido en la base del edificio (Northridge, 1994) ................... 97

Figura 6.7: Formas modales elsticas del modelo analizado..................................... 99

Figura 6.8: Historias de desplazamientos relativos a la base................................... 100

Figura 6.9: Historia de deformaciones de entrepisos (drifts)................................... 101

Figura 6.10: Historia de esfuerzos de corte por piso ............................................... 102

Figura 6.11: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en

el extremo inferior de las columnas del 1 piso.............................................. 103


el extremo superior de las columnas del 1 piso............................................. 104






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xiv















Figura 6.22: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento enel extremo superior de las columnas del 6 piso............................................. 114





Figura 6.25: Curvas de momento-deformacin en rtulas de vigas del 1 piso....... 117





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xv




Figura 6.32: Energa disipada en cada piso por hitresis de las columnas .............. 124

Figura 6.33: Energa disipada en cada piso por hitresis de las vigas ..................... 124

Figura 6.34: Energa total disipada por hitresis en cada piso................................. 125

Figura 6.35: Grfico comparativo de las energas disipadas por hitresis encada piso ......................................................................................................... 125

Figura 6.36: Espectro de energa por histresis para el registro medido en la

base del edificio (Northridge, 1994), componente horizontal; y energa

disipada por histresis para el marco analizado (*)........................................ 128


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xvi

RESUMEN

Diferentes herramientas se han creado para predecir el comportamiento

no-lineal de estructuras durante un movimiento ssmico. Este trabajo aborda el

problema para estructuras planas, donde se implementan y analizan modelos

correspondientes a dos tipos bsicos, edificios de corte y marcos flexurales.

El modelo de edificio de corte considera columnas con constitutiva

elastoplstica en todos los pisos. Para este tipo estructural se utilizan cuatro registros

ssmicos, para los cuales se analizan edificios entre dos y cien pisos. Con esto se

obtienen distribucin de ductilidades y energa disipada por histresis en altura para

cada modelo. Adems se realizan espectros de energa para cada registro, los que se

comparan con los espectros correspondientes a sistemas de un grado de libertad.

Por su parte, el modelo de marco flexural se conforma de elementos en

los que la plastificacin se concentra en rtulas de sus extremos. Las vigas tienen

rtulas elastoplsticas, mientras que las columnas poseen rtulas que dan cuanta del

estado lmite de plastificacin. En estas la fluencia ocurre cuando se alcanza alguna

de las combinaciones de carga axial y flexural definidas a travs de una curva de

interaccin.

El modelo de marco flexural implementado se utiliza para analizar un

marco de un edificio real, el cual sufri daos estructurales severos durante el

terremoto de Northridge. Con los resultados obtenidos se calcula la distribucin de

energa disipada por histresis en altura, y as poder compararla con los espectros

estudiados para los edificios de corte. Adems se muestra que el comportamiento de

la estructura analizada predice en forma bastante correcta el comportamiento real,

con una modelacin sencilla y transparente para el usuario.

Para integrar todos los modelos de este estudio, se ha escogido un

mtodo de tipo predictor-corrector orden 2, con las ecuaciones de movimiento

expresadas en espacio estado.


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1

I. INTRODUCCIN

1.1 Motivacin y Objetivos

La filosofa de diseo ssmico en boga establece un marco conceptual de

comportamiento, segn el cual se generan los cdigos y disean las estructuras. Este

es que para sismos de baja intensidad la estructura debe comportarse en forma

elstica, para movimientos moderados a fuertes se admiten incursiones en el rango

inelstico y daos no estructurales limitados, mientras que para sismos severos de

baja probabilidad de ocurrencia en la vida til de la estructura se aceptarn daos

importantes pero sin colapso.

Por esto, dado que el dao es el parmetro clave de diseo, el anlisis no-

lineal cobra una importancia fundamental en la prediccin del comportamiento de

una estructura sometida a un movimiento ssmico.

La presencia de elementos dctiles permite disear estructuras para

esfuerzos menores a los que requerira un diseo elstico. Esto se debe a la capacidad

que tienen estos elementos de disipar energa sin llegar a la rotura o al colapso. Por

consiguiente un parmetro clave en el diseo y anlisis sismorresistente es la

prediccin y control de la disipacin de energa por histresis. Lo que se busca es

establecer cuales son los elementos que disiparn energa para as disearlos

conforme a ello.

El estudio del comportamiento no-lineal de estructuras puede llevarse a

cabo utilizando mtodos de variada complejidad, tanto en la modelacin como en el

anlisis. Estos van desde los que utilizan factores de reduccin y amplificacin de los

parmetros de la respuesta elstica de la estructura, hasta la utilizacin de elementos

finitos o elementos fibra.

Los principales objetivos de la presente investigacin son:

1. Determinar la distribucin de ductilidades y energa disipada por histresis en

altura de varios edificios de corte no-lineales, y adems desarrollar espectros de

energa disipada por histresis de estos edificios y compararlos con los de un

grado de libertad.


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2

2. Desarrollar e implementar elementos no-lineales para modelar marcos flexurales

planos. Estos deben dar cuanta del comportamiento real de un edificio

estructurado en basa a marcos con la mayor precisin posible, pero manteniendo

una modelacin sencilla y transparente para el usuario, adems de lograr que la

integracin numrica sea de bajo costo.

1.2 Contenido del Estudio

El desarrollo de este estudio se divide principalmente en tres bloques

temticos:

1. En el Captulo II se describen los modelos de edificios de corte utilizados,

mientras que la distribucin de ductilidades y energa disipada por histresis en

altura, as como los espectros, se muestran y discuten en el Captulo III.

2. La modelacin general de los marcos flexurales se describe en el Captulo IV. El

Capitulo VI contiene un ejemplo para un edificio real, en el cual se utiliza un

marco flexural modelado como se explica en el Captulo IV.

3. En el Captulo V se explica la modelacin e implementacin de cada uno de los

elementos no-lineales utilizados en el estudio. Este captulo contiene adems el

mtodo de integracin tipo predictor-corrector orden 2 que se utiliza para analizartodos los modelos, tanto los edificios de corte como los marcos flexurales.

Las principales conclusiones obtenidas, as como algunas sugerencias

para investigaciones futuras se incluyen en el Captulo VII.


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3

II. MODELO DE EDIFICO DE CORTE

El modelo de edifico de corte consiste en un marco en el cual las vigas se

suponen infinitamente rgidas, mientras que toda la deformacin y ductilidad se

concentra en las columnas, las que se consideran axialmente rgidas. Por ello estas

columnas son elementos de una deformacin, que corresponde a la deformacin de

entrepiso.

2.1 Sistema Considerado y Ecuacin de Movimiento

Los sistemas estudiados son edificios de corte no-lineales de diferentes

nmeros de pisos. La Figura 2.1 muestra el tpico modelo general utilizado en este

estudio.

m

m

m

m

m

u2

un-1

u3

un

u1Vigas Rgidas

( )tgu&&

Columnas

Elastoplsticas

h

h

h

h

m

m

m

m

m

u2

un-1

u3

un

u1Vigas Rgidas

( )tgu&&

Columnas

Elastoplsticas

h

h

h

h

m

m

m

m

u2

un-1

u3

un

u1Vigas Rgidas

( )tgu&&

Columnas

Elastoplsticas

h

h

h

h

Figura 2.1: Modelo de edificio de corte con columnas elastoplsticas

La relacin fuerza-deformacin para cada piso corresponde a una

constitutiva elastoplstica. Esta se define a travs de una rigidez elstica inicial total


21/150

4

k y a una fuerza de fluencia total del piso Fy(Figs. 2.2 y 2.3). La deformacin lateral

de entrepiso se define como v.

F

F

k/2 k/2

v F

F

k/2 k/2

v

Figura 2.2: Deformacin lateral de columnas

1

k

1

k

1

k

F(v)

v

Fy

-Fy

uy

1

k

1

k

1

k

F(v)

v

Fy

-Fy

uy

Figura 2.3: Modelo elastoplstico

La ecuacin del movimiento de este sistema, cuando se le somete a un

movimiento ssmico en la base, puede escribirse como

( ) ( ) ( ) ( )ttt gT urMvFLuCuM &&&&& =++ (2.1)

donde Mes la matriz de masas; Ces la matriz de amortiguamiento; ues el vector de

desplazamientos relativos de las masas con respecto al suelo; v=Lu, en que Les la

matriz de transformacin cinemtica;Fes el vector de fuerzas de los elementos no-lineales; v es el vector de deformaciones de los elementos no-lineales; gu&& es la

aceleracin del suelo; y res el vector de influencia.


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5

El amortiguamiento viscoso, el cual disipa energa durante todas las fases

de respuesta (elsticas y plsticas), fue modelado a travs de una matriz de

amortiguamiento C clsica. El modelo considera una razn de amortiguamiento

constante para todos los modos, correspondiente a = 5%.

Para calcular la matriz de amortiguamiento C, se obtiene primero lasolucin al problema de valores y vectores propios generalizado del par MK, , en

donde la matriz de rigidez K se calcula utilizando las rigideces iniciales (en rango

elstico) de cada columna. Para obtener los valores y vectores propios del sistema se

resuelve la ecuacin

i2ii = MK (2.2)

donde i corresponde a la i-sima forma modal del sistema y i a la frecuencia

propia del modo.

Conocidas las razones de amortiguamiento modal es posible obtener la

matriz C realizando la operacin

C

=

nnn

222

111

1

M2

M2

M2

O (2.3)

donde [ ]n21 = L es la matriz de formas modales; i es la razn de

amortiguamiento del i-simo modo y Mies la masa correspondiente al modo i

Es una conocida propiedad del lgebra lineal que los modos de vibracin

son ortogonales con respecto a la matrices Ky M. Por lo tanto, las masas modales

Mise obtienen de la ecuacin

=

n

2

1

T

M

M

M

OM (2.4)


23/150

6

2.2 Propiedades del Sistema

La relacin constitutiva fuerza-deformacin de cada columna quedadefinida por su rigidez k en el rango elstico y su fuerza de fluencia Fy.

Los valores iniciales de la rigidez (elstica) se determinan de modo que

satisfagan dos condiciones:

(a) se debe obtener un periodo fundamental T1, considerando la masa total del

edificio como unitaria. La masa de cada piso es entonces m=1/n, donde n es el

nmero de pisos, y

(b) la aplicacin de las fuerzas estticas laterales equivalentes del cdigo UBC-1994

debe producir un incremento lineal en las deformaciones de los pisos, i.e., los

drift de entrepiso deben ser iguales en todo el edificio.

La distribucin de las fuerzas estticas laterales equivalentes del cdigo

UBC-1994 se determina utilizando la frmula

( )

=

=

N

1ijj

jjtbj

hw

hwFVF (2.5)

donde wjes el peso del piso j; hjes la altura del piso j; Vb es el esfuerzo de corte

basal; y Ftes la fuerza adicional del ltimo piso. Esta ltima se define como

6.3T

6.3T7.0

7.0T

V25.0

VT07.0

0

F

1

1

1

b

b1t


24/150

7

Las fuerzas de fluencia de los elementos se determinan utilizando el

espectro de respuesta no-lineal de un grado de libertad para el registro ssmico

requerido. Para esto se elige una ductilidad objetivo de diseo (p.e., =5), con lo que

se determina la pseudo-aceleracin Ay correspondiente al periodo fundamental T1.

Consecuentemente, el esfuerzo de corte basal Vbyse calcula como

Wg

AV yby = (2.8)

donde W es el peso total del edificio y Ayes la pseudo-aceleracin del espectro de

respuesta inelstico correspondiente al periodo fundamental T1 y a un

amortiguamiento viscoso = 5%.

El esfuerzo de corte basal Vby corresponde tambin a la fuerza de

fluencia Fydel primer piso. Para obtener la fuerza de fluencia del resto de los pisos

se multiplica este esfuerzo de corte por los factores de esfuerzo de corte en cada piso

segn la distribucin de fuerzas estticas del UBC (Ecs. (2.5) y (2.6)).

2.3 Expresiones de Energa

Durante un movimiento ssmico, el suelo transmite energa a la estructura

a travs de su base. Parte de esa energa es almacenada temporalmente en la

estructura en forma de energa cintica y de deformacin. El resto se disipa por

amortiguamiento y deformacin inelstica, esta ltima correspondiente a la energa

disipada por la histresis de las columnas.

La variable estudiada en esta seccin es la energa disipada por histresis

EH. El objetivo es hacer una comparacin de la energa disipada en sistemas de un

grado de libertad con los edificios de mltiples grados de libertad. Para esto se

compara la energa disipada en edificios con igual periodo fundamental que lossistemas correspondientes de un grado de libertad. El anlisis y estudio de los

espectros de energa de los sistemas de un grado de libertad se encuentran en el

trabajo de Garca y Riddell (1995).


25/150

8

La energa disipada por histresis corresponde a la suma de las reas

encerradas en cada ciclo por las curvas de fuerza-deformacin de cada piso de los

edificios. La energa disipada por histresis corresponde a

( ) dtv)v(Fdv)v(FEft

0

u

0

iH == & (2.9)

donde ( )iHE es la Energa disipada por histresis en el piso i; v es la deformacin de

entrepiso; y F(v) es la fuerza del elemento en funcin de su deformacin v.

Para obtener la energa disipada por histresis total ( totHE ) del edificio, se

realiza la sumatoria de las energas disipadas en cada piso

( )=

=n

1i

iH

totH EE (2.10)

2.4 Ejemplo Numrico

A continuacin se presenta un ejemplo para explicar en detalle el

procedimiento por el cual se calculan las propiedades del sistema. Este corresponde a

un edificio de corte de 5 pisos con masa total unitaria. Como input se utiliza el

registro de Sylmar, componente N00E, terremoto de Northridge, California, 17 de

enero de 1994.

0 10 20 30 40 50 60 70-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (seg)

ace

lerac

in

(g)

Figura 2.4: Registro Sylmar, componente N00E (1994)


26/150

9

El periodo fundamental objetivo del edificio es

seg5.0105

10pisosNT1 ===

con lo que se obtiene del espectro inelstico de Sylmar para una ductilidad objetivo

=5, una deformacin de fluencia

uy = 2.7377 cm.

La pseudo-aceleracin correspondiente es

Ay = 2

uy= (2/0.5)2

2.7377 = 0.4407 g

El peso total del edificio con masa unitaria m=1 kgfseg2/cm es

W = mg = g

Y entonces el esfuerzo de corte basal es

Vby= 432.3149 kgf

Para obtener la distribucin de las fuerzas laterales estticas equivalentesdel cdigo UBC-1994, se realiza el procedimiento explicado en la Seccin 2.2, con

lo que se obtienen las fuerzas estticas equivalentes indicadas en la Tabla 2.1.

La rigidez de cada piso se determina de modo que la aplicacin de las

fuerzas estticas equivalentes produzcan un incremento lineal en las deformaciones

de los pisos. Es decir, los drift de entrepiso deben ser iguales en todo el edificio.

Adems el perodo fundamental del edificio T1debe ser igual a 0.5 seg. Con esto se

obtienen las rigideces indicadas en la Tabla 2.1.

Por ltimo, las fuerzas de fluencia de cada piso se obtienen multiplicando

el esfuerzo de corte basal Vby por los factores de esfuerzo de corte en cada piso

segn la distribucin de fuerzas estticas (Tabla 2.1).


27/150

10

Tabla 2.1: Propiedades edificio de 5 piso

Fj(kgf) kj(kgf/cm) Fjy(kgf)

5 piso 144.1050 157.9137 144.1050

4 piso 115.2840 284.2446 259.3889

3 piso 86.4630 378.9928 345.8519

2 piso 57.6420 442.1583 403.4939

1 piso 28.8210 473.7410 432.3149

m

m

m=1/5 kgfseg2/cm

m

m

u2

u4

u3

u5

u1

432.3473.7

403.5442.2

345.9379.0

259.4284.2

144.1157.9

Fjy (kgf)kj (kgf/cm)

m

m

m=1/5 kgfseg2/cm

m

m

u2

u4

u3

u5

u1

432.3473.7

403.5442.2

345.9379.0

259.4284.2

144.1157.9


432.3473.7

403.5442.2

345.9379.0

259.4284.2

144.1157.9


403.5442.2

345.9379.0

259.4284.2

144.1157.9


Figure 2.5: Edificio de corte de cinco pisos con sus propiedades

En las figuras siguientes se presentan los resultados del anlisis del

edificio. La respuesta incluye las historias de desplazamientos y fuerzas, las curvas

fuerza-deformacin, las ductilidades y la energa disipada en cada piso.


28/150

11

-20

-10

0

10

20

Piso 5

-20

-10

0

10

20

Piso 4

-20

-10

0

10

20

Piso 3

Desplazamiento(cm)

-20

-10

0

10

20

Piso 2

0 10 20 30 40 50 60-20

-10

0

10

20

Piso 1

Tiempo (seg)

Figura 2.6: Historia de desplazamientos


29/150

12

-500

0

500

Piso 5

-500

0

500

Piso 4

-500

0

500

Piso 3

EsfuerzodeCorte(kgf)

-500

0

500

Piso 2

0 10 20 30 40 50 60-500

0

500

Piso 1

Tiempo (seg)

Figura 2.7: Historia de esfuerzos de corte por piso


30/150

13

-500

0

500

Columnas piso 5

-500

0

500

Columnas piso 4

-500

0

500

Columnas piso 3

EsfuerzodeCorte(kgf)

-500

0

500

Columnas piso 2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-500

0

500

Columnas piso 1

Deformacin (cm)

Figura 2.8: Curvas fuerza-deformacin por piso


31/150

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

Nmero

de

Piso

(cm)

Figura 2.9: Ductilidad por piso

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

1

2

3

4

5

Nmero

de

Piso

EH(kgf cm)

Figura 2.10: Energa disipada por histresis por piso


32/150

15

III. ENERGA DISIPADA EN EDIFICIOS DE CORTE

3.1 Modelos Analizados

Para poder representar una amplia gama de perodos fundamentales, se

selecciona una muestra de edificios de corte de diferente nmero de pisos. En cada

uno, el perodo fundamental corresponde a un dcimo del nmero de pisos, como se

explic en la Seccin 2.2. Para cada registro utilizado se analizaron 29 edificios de

corte. La seleccin se realiza de forma que las frecuencias fundamentales se

distribuyan en forma aproximadamente equitativa en la escala logartmica. Los

edificios utilizados se muestran en la Tabla 3.1.

Tabla 3.1: Edificios utilizados con sus perodos (T1) y frecuencias (f1)

fundamentales

N Pisos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16T1 (seg) 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6f1 (hz) 5.00 3.33 2.50 2.00 1.67 1.43 1.25 1.11 1.00 0.91 0.83 0.77 0.71 0.67 0.63

N Pisos 17 18 19 21 24 28 33 39 45 53 62 73 85 100T1 (seg) 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.8 3.3 3.9 4.5 5.3 6.2 7.3 8.5 10f1 (hz) 0.59 0.56 0.53 0.48 0.42 0.36 0.30 0.26 0.22 0.19 0.16 0.14 0.12 0.10

El diseo de cada edificio se realiz en la forma explicada en la Seccin

2.2. La ductilidad objetivo para todos los modelos es =5.

3.2 Registros de Terremotos Usados

Los registros utilizados en este Captulo corresponden a cuatro

acelerogramas, dos de ellos registrados en Chile en 1985 (Melipilla y Llolleo), y losotros dos registrados en California, uno en 1940 (El Centro) y el otro en 1994

(Sylmar).

Para corregir los valores iniciales del movimiento del suelo se prefija un

pulso de aceleracin de dos segundos para cada registro. Con esto se logra que todas


33/150

16

las condiciones iniciales (aceleracin, velocidad y desplazamiento) sean iguales a

cero.

En las figuras siguientes se muestran los registros utilizados.

0 10 20 30 40 50 60-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

aceleracin(g)

Figura 3.1: Registro de El Centro, componente S00E (1940)

0 10 20 30 40 50 60 70-1

-0.5

0

0.5

1

acelerac

in(g)

Figura 3.2: Registro de Sylmar, componente N00E (1994)


34/150

17

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-1

-0.5

0

0.5

1

aceleracin(g)

Figura 3.3: Registro de Melipilla, componente N00E (1985)

0 20 40 60 80 100 120-1

-0.5

0

0.5

1

aceleracin(g)

Figura 3.4: Registro de Llolleo, componente N10E (1985)

3.3 Ductilidad y Disipacin de Energa en Altura

El anlisis de los edificios permite obtener los dos parmetros relevantes

de esta seccin, la ductilidad y la energa disipada por histresis en cada piso. En esta

seccin se muestran los grficos correspondientes a la distribucin en altura de las

ductilidades y la disipacin de energa por histresis de los 29 edificios de corteanalizados con cada registro (Figs. 3.5 a 3.44), lo que resulta en un total de 116

sistemas analizados.


35/150

18

0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Alturare

lativa

5 pisos

0 2 4 6 8 10 120

0.5

16 pisos

Ductilidad

0 2 4 6 8 10 12

7 pisos

Ductilidad

Figura 3.5: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro,

componente S00E (1940)

0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Alturare

lativa

5 pisos

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.5

16 pisos

EH(kgf cm)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

7 pisos

EH(kgf cm)


pisos para El Centro, componente S00E (1940)


36/150

19

0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Alturare

lativa

11 pisos

0 2 4 6 8 100

0.5

112 pisos

Ductilidad

0 2 4 6 8 10

13 pisos

Ductilidad


Centro, componente S00E (1940)

0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Alturare

lativa

11 pisos

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

0.5

112 pisos

EH(kgf cm)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

13 pisos

EH(kgf cm)

Figura 3.8: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y

13 pisos para El Centro, componente S00E (1940)


37/150

20

0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Alturare

lativa

17 pisos

0 5 10 15 20 25 300

0.5

118 pisos

Ductilidad

0 5 10 15 20 25 30

19 pisos

Ductilidad



0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Alturare

lativa

17 pisos

0 200 400 600 800 10000

0.5

118 pisos

EH(kgf cm)

0 200 400 600 800 1000

19 pisos

EH(kgf cm)


18 y 19 pisos para El Centro, componente S00E (1940)


38/150

21

0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Alturare

lativa

33 pisos

0 10 20 30 40 50 600

0.5

139 pisos

Ductilidad

0 10 20 30 40 50 60

45 pisos

Ductilidad



0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Alturare

lativa

33 pisos

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

0.5

139 pisos

EH(kgf cm)

0 100 200 300 400 500 600 700 800

45 pisos

EH(kgf cm)


39 y 45 pisos para El Centro, componente S00E (1940)


39/150

22

0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Alturare

lativa

0 50 100 150

85 pisos

Ductilidad

0 50 100 1500

0.5

1100 pisos

Ductilidad

Figura 3.13: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El


0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Alturare

lativa

0 50 100 150 200 250

85 pisos

EH(kgf cm)

0 50 100 150 200 2500

0.5

1100 pisos

EH(kgf cm)


100 pisos para El Centro, componente S00E (1940)


40/150

23

0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Alturare

lativa

5 pisos

0 5 10 150

0.5

16 pisos

Ductilidad

0 5 10 15

7 pisos

Ductilidad

Figura 3.15: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar,

componente N00E (1994)

0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Alturare

lativa

5 pisos

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.5

16 pisos

EH(kgf cm)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

7 pisos

EH(kgf cm)


pisos para Sylmar, componente N00E (1994)


41/150

24

0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Alturare

lativa

11 pisos

0 5 10 15 200

0.5

112 pisos

Ductilidad

0 5 10 15 20

13 pisos

Ductilidad


Sylmar, componente N00E (1994)

0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Alturare

lativa

11 pisos

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

0.5

112 pisos

EH(kgf cm)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

13 pisos

EH(kgf cm)


y 13 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)


42/150

25

0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Alturare

lativa

17 pisos

0 5 10 15 20 250

0.5

118 pisos

Ductilidad

0 5 10 15 20 25

19 pisos

Ductilidad



0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Alturare

lativa

17 pisos

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

0.5

118 pisos

EH(kgf cm)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

19 pisos

EH(kgf cm)


18 y 19 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)


43/150

26

0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Alturare

lativa

33 pisos

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

139 pisos

Ductilidad

0 5 10 15 20 25 30 35 40

45 pisos

Ductilidad



0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Alturare

lativa

33 pisos

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.5

139 pisos

EH(kgf cm)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

45 pisos

EH(kgf cm)


39 y 45 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)


44/150

27

0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Alturare

lativa

0 50 100 150

85 pisos

Ductilidad

0 50 100 1500

0.5

1100 pisos

Ductilidad



0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Alturare

lativa

0 100 200 300 400 500 600 700 800

85 pisos

EH(kgf cm)

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

0.5

1100 pisos

EH(kgf cm)


100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)


45/150

28

0

0.5

1

2 pisos 3 pisos

0

0.5

1

4 pisos

Alturare

lativa

5 pisos

0 5 10 150

0.5

1

6 pisos

Ductilidad

0 5 10 15

7 pisos

Ductilidad

Figura 3.25: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla,


0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Alturare

lativa

5 pisos

0 1000 2000 3000 4000 50000

0.5

16 pisos

EH(kgf cm)

0 1000 2000 3000 4000 5000

7 pisos

EH(kgf cm)


pisos para Melipilla, componente N00E (1985)


46/150

29

0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Alturare

lativa

11 pisos

0 5 10 15 20 250

0.5

112 pisos

Ductilidad

0 5 10 15 20 25

13 pisos

Ductilidad


Melipilla, componente N00E (1985)

0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Alturare

lativa

11 pisos

0 500 1000 15000

0.5

112 pisos

EH(kgf cm)

0 500 1000 1500

13 pisos

EH(kgf cm)


y 13 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)


47/150

30

0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Alturare

lativa

17 pisos

0 10 20 30 40 500

0.5

118 pisos

Ductilidad

0 10 20 30 40 50

19 pisos

Ductilidad



0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Alturare

lativa

17 pisos

0 200 400 600 800 1000 12000

0.5

118 pisos

EH(kgf cm)

0 200 400 600 800 1000 1200

19 pisos

EH(kgf cm)


18 y 19 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)


48/150

31

0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Alturare

lativa

33 pisos

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

139 pisos

Ductilidad

0 5 10 15 20 25 30 35 40

45 pisos

Ductilidad



0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Alturare

lativa

33 pisos

0 200 400 600 800 10000

0.5

139 pisos

EH(kgf cm)

0 200 400 600 800 1000

45 pisos

EH(kgf cm)


39 y 45 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)


49/150

32

0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Alturare

lativa

0 20 40 60 80 100

85 pisos

Ductilidad

0 20 40 60 80 1000

0.5

1100 pisos

Ductilidad



0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Alturare

lativa

0 50 100 150 200 250 300 350

85 pisos

EH(kgf cm)

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.5

1100 pisos

EH(kgf cm)


100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)


50/150

33

0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Alturare

lativa

5 pisos

0 5 10 15 200

0.5

16 pisos

Ductilidad

0 5 10 15 20

7 pisos

Ductilidad

Figura 3.35: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo,


0

0.5

12 pisos 3 pisos

0

0.5

14 pisos

Alturare

lativa

5 pisos

0 2000 4000 6000 8000 10000 120000

0.5

16 pisos

EH(kgf cm)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

7 pisos

EH(kgf cm)


pisos para Llolleo, componente N10E (1985)


51/150

34

0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Alturare

lativa

11 pisos

0 5 10 15 20 250

0.5

112 pisos

Ductilidad

0 5 10 15 20 25

13 pisos

Ductilidad


Llolleo, componente N10E (1985)

0

0.5

18 pisos 9 pisos

0

0.5

110 pisos

Alturare

lativa

11 pisos

0 1000 2000 3000 4000 50000

0.5

112 pisos

EH(kgf cm)

0 1000 2000 3000 4000 5000

13 pisos

EH(kgf cm)


y 13 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)


52/150

35

0

0.5

1

14 pisos 15 pisos

0

0.5

1

16 pisos

Alturare

lativa

17 pisos

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

18 pisos

Ductilidad

0 5 10 15 20 25 30

19 pisos

Ductilidad



0

0.5

114 pisos 15 pisos

0

0.5

116 pisos

Alturare

lativa

17 pisos

0 500 1000 1500 20000

0.5

118 pisos

EH(kgf cm)

0 500 1000 1500 2000

19 pisos

EH(kgf cm)


18 y 19 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)


53/150

36

0

0.5

1

21 pisos 24 pisos

0

0.5

1

28 pisos

Alturare

lativa

33 pisos

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

39 pisos

Ductilidad

0 5 10 15 20 25 30 35 40

45 pisos

Ductilidad



0

0.5

121 pisos 24 pisos

0

0.5

128 pisos

Alturare

lativa

33 pisos

0 500 1000 1500 20000

0.5

139 pisos

EH(kgf cm)

0 500 1000 1500 2000

45 pisos

EH(kgf cm)


39 y 45 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)


54/150

37

0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Alturare

lativa

0 10 20 30 40 50 60 70 80

85 pisos

Ductilidad

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.5

1100 pisos

Ductilidad



0

0.5

153 pisos 62 pisos

0

0.5

173 pisos

Alturare

lativa

0 100 200 300 400 500 600 700 800

85 pisos

EH(kgf cm)

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

0.5

1100 pisos

EH(kgf cm)


100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)


55/150

38

3.4 Espectros de Energa por Histresis

Para representar en forma conveniente la energa disipada por histresispor unidad de masa EH para cada uno de los modelos, se utilizan espectros de

energa. Un estudio detallado de los espectros de energa para sistemas de un grado

de libertad se encuentra en el estudio realizado por Garca y Riddell (1995). Los

espectros de energa se representan mediante un grfico logartmico en el que en las

ordenadas se muestra la raz de la energa disipada por histresis por unidad de masa,

HE . Esta cantidad tiene unidades de velocidad.

El objetivo es hacer una comparacin cualitativa entre la energa disipada

por histresis de los edificios de corte de varios pisos con los sistemas de un grado de

libertad, analizados en el estudio antes mencionado. Por esto en los espectros de

energa se incluyen las curvas correspondientes a ductilidades =1.5; =2; =3; =5;

=10.

Las Figuras 3.45 a 3.48 muestran los espectros de energa para cada uno

de los registros analizados.


56/150

0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 200.2

0.5

1

2

5

10

20

50

100

200

Edificios (objetivo =5)

Frecuencia (Hz)

Eh1/2

(cm/seg)

Figura 3.45: Espectro de energa por histresis para El Centro, componente S00E (19


57/150

0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 200.2

0.5

1

2

5

10

20

50

100

200


Frecuencia (Hz)

Eh1/2

(cm/seg)

Figura 3.46: Espectro de energa por histresis para Sylmar, componente N00E (199


58/150

0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 200.2

0.5

1

2

5

10

20

50

100

200


Frecuencia (Hz)

Eh1/2

(cm/seg)

Figura 3.47: Espectro de energa por histresis para Melipilla, componente N00E (19


59/150

0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 200.2

0.5

1

2

5

10

20

50

100

200


Frecuencia (Hz)

Eh1/2

(cm/seg)

Figura 3.48: Espectro de energa por histresis para Llolleo, componente N10E (198


60/150

43

3.5 Interpretacin de Resultados

Los espectros de energa para sistemas de varios grados de libertad

(edificios de corte) muestran una tendencia similar a los de un grado de libertad. Esto

se aprecia en que la mayor disipacin de energa se concentra en la regin central de

frecuencias, donde los registros tienen mayor potencia en su espectro en frecuencia

(Fourier). Para las frecuencias extremas la disipacin es menor.

En los registros de carcter impulsivo de las Figuras 3.45 y 3.46 (El

Centro y Sylmar), la mayor disipacin de energa se concentra entre 0.5 y 3 Hz. En

estos registros la curva de varios grados de libertad se aproxima bastante al espectro

para =5, entre las frecuencias 0.3 y 3 Hz. Esto es particularmente notorio en el

espectro de Sylmar (Fig. 3.46), registro que consiste en prcticamente un impulso.

Para frecuencias fundamentales correspondientes a los edificios entre 5 y 33 pisos

(0.3 y 2 Hz), el espectro de Sylmar de edificios y un grado de libertad con =5 son

prcticamente coincidentes. En este mismo rango de frecuencias tambin existe un

buen ajuste para El Centro. Esto se debe a que en estos edificios la variacin de la

disipacin de energa en altura es aproximadamente lineal. Esto se puede apreciar

claramente en los edificios entre 13 y 18 pisos analizados para el registro de Sylmar

(Figs. 3.18 y 3.20). Adems para estos mismos edificios la ductilidad en altura semantiene dentro del mismo rango de valores, con excepcin del primer piso (Figs.

3.17 y 3.19). Esto implica que el comportamiento de esto edificios esta regido

principalmente por el modo fundamental de la estructura. Como la ductilidad de

diseo fue escogida a partir de la frecuencia fundamental de cada edificio, es de

esperar que si estos se comportan de acuerdo a ese modo, la disipacin de energa de

los sistemas de un grado de libertad est en directa correspondencia con los edificios

de corte.

Los registros chilenos (Melipilla y Llolleo) concentran su mayor

disipacin de energa en frecuencias ms altas que los registros americanos. El

espectro obtenido para el registro de Melipilla (Fig. 3.47) muestra que la mayor

disipacin de energa se produce en el rango de frecuencias comprendido entre 2 y 5

Hz, mientras que para el registro de Llolleo (Fig. 3.48) concentra su disipacin entre

1 y 5 Hz. En esta misma zona de frecuencias, la aproximacin del espectro de


61/150

44

edificios con el espectro para =5 es adecuada. La zona de buen ajuste corresponde

para el registro de Melipilla a los edificios entre 2 y 5 pisos (2 y 5 Hz), mientras que

para el registro de Llolleo a los edificios entre 2 y 8 pisos (1.25 y 5 Hz)

aproximadamente. Al igual que en el caso de los registros americanos, estos edificios

se comportan de acuerdo a su primer modo de vibracin, los que se aprecia en la

poca variacin que tiene la ductilidad en altura (Fig. 3.25 para Melipilla y Fig. 3.35

para Llolleo).

En la zona de frecuencias bajas, correspondiente a los sistemas ms

flexibles de varios pisos, existe en general una mayor disipacin en los edificios que

en los sistemas de un grado de libertad. Esto se produce ya que en este rango de

frecuencias la influencia de los modos altos se hace cada vez ms importante a

medida que el edificio crece en altura. Esto se ve, p.e., en la distribucin de

ductilidades de los edificios de gran altura analizados para Llolleo (Figs. 3.39, 3.41 y

3.43). En estos grficos se aprecia la desproporcin existente entre las ductilidades

de los pisos superiores e inferiores en comparacin con los pisos intermedios. Por

esto la disipacin de energa no responde a una distribucin correspondiente al modo

fundamental, y como el diseo se realiza de acuerdo a ese modo, la energa

disipada para sistemas de un grado de libertad no corresponde a la de estos edificios.


62/150

45

IV. MODELO DE EDIFICIO DE MARCO FLEXURAL

El modelo de edificio de marco flexural es el que representa en forma

ms precisa el comportamiento de un marco real de columnas y vigas. La

modelacin consta de elementos con deformacin por corte y flexural (la

deformacin axial de las vigas est restringida por la losa rgida), y con columnas

que adems se deforman axialmente.

4.1 Sistema Considerado y Ecuacin de Movimiento

Para dar cuenta del comportamiento no-lineal de un marco flexural, se

opt por una modelacin en la cual la plastificacin se concentra en rtulas plsticas

que se forman en los extremos de los elementos. Este supuesto se basa en el

comportamiento de estructuras reales luego de movimientos ssmicos. En ellas se

observa que la rtula se producen general en los extremos de las vigas y columnas,

donde se concentra la fluencia del acero y la plastificacin del hormign.

En el caso de las vigas la plastificacin ocurre cuando se supera el

momento de fluencia en el extremo del elemento. Este momento queda definido por

los materiales y la seccin de cada viga.

En las columnas de la estructura el efecto de la fuerza axial es

considerable, por lo que la rtula plstica debe considerar la interaccin entre el

momento flector M y la carga axial N. Esto se debe a que un incremento de la carga

axial produce una variacin en el momento plstico de la seccin. Las

combinaciones entre carga axial y momento para las cuales se produce la

plastificacin de la seccin se conoce habitualmente como curva de interaccin del

elemento (superficie de fluencia en el caso tridimensional). Esta superficie queda

definida para una seccin en base a su geometra y materiales.

La Figura 4.1 muestra el modelo tpico de marco flexural considerado en

este estudio. En este se aprecia que cada piso tiene un solo grado de libertad

horizontal, mientras que el resto de los nodos (achurados) del modelo tienen adems

grados de libertad verticales y rotacionales. Los nodos no-achurados son nodos

internos de los elementos, donde se forman las rtulas plsticas.


63/150

46

Figura 4.1: Modelo de edificio de marco flexural

La ecuacin que gobierna el movimiento del marco flexural bajo la

accin de un movimiento ssmico en la base, se expresa como

( ) ( ) ( ) ( )ttt gT urMvFLuCuM &&&&& =++ (4.1)

donde Mes la matriz de masas; Ces la matriz de amortiguamiento; ues el vector de

desplazamientos relativos de las masas con respecto al suelo; L es la matriz de

transformacin cinemtica (v =Lu);Fes el vector de fuerzas de los elementos no-lineales; v es el vector de deformaciones de los elementos no-lineales; gu&& es la

aceleracin del suelo, la cual puede tener una componente horizontal y otra vertical;

y res vector de influencia.

Los elementos no-lineales utilizados en la modelacin corresponden a

vigas y columnas.


64/150

47

Las vigas consideran deformacin por corte y flexural. Los extremos del

elemento corresponden a rtulas elastoplsticas, en las que se define su rigidez

elstica k y su momento de fluencia My.

Por su parte, las columnas consideran deformacin axial, flexural y de

corte. En sus extremos existen rtulas elastoplsticas, definidas a travs de una

superficie de interaccin (M-N). En la Figura 4.2 se muestra un modelo de curva de

interaccin.

M

N

Curva de Interaccin

M

N

Curva de Interaccin

Figura 4.2: Curva de interaccin

4.2 Propiedades del Sistema

Los modelos analizados en este estudio corresponden a marcos de

hormign armado. Para ajustar las propiedades de vigas y columnas, es necesario

definir un criterio a travs del cual asignar las propiedades de las rtulas en los

extremos de los elementos.

Para determinar las propiedades de las rtulas plsticas se define un largo

de plastificacin del elemento, Lp. Este corresponde a la menor de las dimensiones

entre el alto y el ancho de la seccin del elemento. Con esto se define adems L que

es la longitud del elemento elstico central, como se muestra en la Figura 4.3.


65/150

48

Lp LpLLp LpL

Figura 4.3: Largo de plastificacin de las vigas

Para obtener las propiedades de las columnas, definimos un largo de

plastificacin del elemento Lp y un largo L del elemento elstico igual al definido

para las vigas, como se muestra en la Figura 4.4.

L

Lp

Lp

L

Lp

Lp

Figura 4.4: Largo de plastificacin de las columnas

Para determinar las propiedades de rigidez inicial de las rtulas, se

analiza primero el caso de las columnas que es ms general. De hecho, la rigidez

elstica de las vigas se deduce de la misma forma que la de las columnas, sin

considerar los esfuerzos axiales, que estn desacoplados de los flexurales.


66/150

49

El objetivo es determinar la rigidez elstica de la rtula, definida como se

indica en la Figura 4.5, a partir del elemento elstico de largo Lpque se muestra en la

Figura 4.6.

Figura 4.5: Definicin de deformaciones de las rtulas de las columnas

Lp

1 2

Lp

1 2

Figura 4.6: Definicin del elemento elstico de largo Lp

La matriz de rigidez Krdel elemento de largo Lpresulta

=

2

1

2

1

pp

pp

pp

pp

2

1

2

1

r

LIE4LIE200

LIE2LIE400

00LEALEA

00LEALEA

M

M

N

N

444444444 3444444444 21K

(4.2)

Como las rigideces axiales y flexurales estn desacopladas, podemos

escribir la siguiente relacin

=

2

1

pp

pp

2

1

LEALEA

LEALEA

N

N

4444 34444 21K

(4.3)

Una de las posibles relaciones cinemticas entre las deformaciones de la

rtula y las deformaciones del elemento elstico (existen infinitas, sin embargo,

todas dan el mismo resultado) es


67/150

50

{

=

r

1

0

2

1

a

(4.4)

Luego, la rigidez axial de la rtula es

prTr LEAk == aKa

lo cual es coherente con la rgidez axial de un elemento elstico de largo Lp.

Para determinar la rigidez flexural de la rtula, no es posible realizar un

procedimiento similar al caso anterior. Esto se debe a que no existe una relacin

cinemtica inequvoca entre las deformaciones de la rtula y las del elemento

elstico que produzca una rigidez desacoplada entre 1 y 2. Es por eso que en este

caso se utiliza la deformada en la viga que provoca que no exista esfuerzo de corte.

Esta es la correspondiente a 1 = -1 y 2 = 1. Con esto, la rigidez flexural de la rtulaes pLIE2k = .

Resumiendo, las propiedades de los elementos rtula son pLIE2k =

para las vigas y pLIE2k = ; pLEAk = para las columnas.

Los momentos de fluencia para las vigas y las curvas de interaccin paralas columnas se calculan a parir de sus propiedades geomtricas y de los materiales

utilizados.

En el caso de las columnas, la curva de interaccin se define por

simplicidad a travs de un polgono de seis vrtices. En la Figura 4.7 se presenta una

curva de interaccin tpica para una seccin de hormign armado. En ella My

corresponde al momento de fluencia con P=0; Pb y Mb a los esfuerzos axial y

momento para el balance; Pyces la carga axial de rotura en compresin; y Pytes la

carga axial de fluencia en traccin.


68/150

51

M

P

Pyc

Pyt

My Mb-Mb -My

Pb

M

P

Pyc

Pyt

My Mb-Mb -My

Pb

Figura 4.7: Curva de interaccin tpica de una seccin de hormign armado

Para utilizar la curva de interaccin en el modelo de marco flexural, es

necesario tener en cuenta dos aspectos. Primero, la curva de interaccin mostrada en

la Figura 4.7 considera la carga de compresin P como positiva en compresin,

mientras que en el modelo de la rtula la carga positiva corresponde traccin

(Seccin 5.3). Por esto es necesario invertir los signos de la carga axial en la curva,

como se indica en la Figura 4.8.

Cuando la estructura se encuentra en reposo, las columnas soportan una

carga de compresin esttica. Esta es la carga inicial con la que la estructura inicia su

movimiento durante un terremoto. Para considerar la carga axial de compresin

inicial en las columnas, que afecta directamente al momento flector en que la

columna se plastifica, se opt por realizar una translacin vertical de la curva. La

magnitud de esta translacin corresponde a la carga inicial N0. Este procedimiento se

ilustra esquemticamente en la Figura 4.8.


69/150


70/150

53

V. ELEMENTOS NO-LINEALES Y MTODO DE INTEGRACIN

En esta investigacin se implementaron tres elementos no-lineales. El

elemento elastoplstico se utiliza para modelar las columnas en los edificios de corte.

Para la modelacin de los marcos flexurales se crearon dos macro-elementos, uno

utilizado para modelar las vigas y el otro para las columnas.

La implementacin computacional se realiza en MATLAB, utilizando

algunas rutinas y la estructura organizacional del toolbox de anlisis estructural

MECANO.

5.1 Elemento Elastoplstico

El primer elemento utilizado en este estudio es el correspondiente al

unidimensional elstoplastico. La deformacin y la fuerza F del elemento pueden

corresponder a una geometra axial (N-u), geometra de corte (V-v), a una geometra

asociada a momento y giro (M-), as como a cualquier relacin geomtrica de una

dimensin.

5.1.1 Modelacin del elemento

El elemento elastoplstico puede ser modelado de la siguiente manera:

Figura 5.1: Definicin del elemento elastoplstico

La constitutiva elastoplstica queda definida por una rigidez elstica k yuna fuerza de fluencia Fy. Al inicio de la carga el sistema es lineal elstico con

rigidez k, mientras no se exceda la fuerza de fluencia Fy. La deformacin para la cual

la fluencia comienza es y. Cuando el elemento alcanza Fy fluye, mantenindose la

fuerza constante mientras la deformacin avance en la misma direccin. En esta

etapa la rigidez tangente es cero.


71/150

54

La Figura 5.2 muestra un ciclo tpico de carga, descarga y nueva carga

para un elemento elastoplstico. Las cargas y descargas se producen siempre con la

misma rigidez elstica k. Adems la deformacin de fluencia Fyes simtrica, es decir

para las dos direcciones de deformacin, el elemento fluye con la misma fuerza.

1

k

1

k

1

k

F()

Fy

-Fy

y

1

k

1

k

1

k

F()

Fy

-Fy

y

Figura 5.2: Relacin fuerza-deformacin elastoplstica

5.1.2 Implementacin

Se considera que la integracin se encuentra en un instante k, en el cual

se conoce el estado del elemento, es decir su deformacin ky su fuerza Fk. Interesa

conocer el estado del elemento en el instante siguiente k+1, en el que se conoce (a

travs de un predictor) la deformacin k+1del elemento. En ese instante se quiere

determinar su fuerza Fk+1.

El algoritmo utilizado para calcular la fuerza es el siguiente:

Etapa i):Se evala la fuerza tentativa en el instante k+1 tal que 1kF + = Fk+ k(k+1- k).

Etapa ii):

si 1kF + > Fy, entonces Fk+1= Fy

si 1kF + < -Fy, entonces Fk+1= -Fy


72/150

55

si -Fy 1kF + Fyentonces Fk+1= Fk+ k(k+1- k).

5.1.3 Ejemplo

A continuacin se muestra un ejemplo de un elemento elastoplstico con

rigidez elstica k=1 y fuerza de fluencia Fy=1. Para eso se le impone una historia de

deformaciones, y se evalan las fuerzas del elemento. Los resultados se presentan en

las figuras siguientes.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3

-2

-1

0

1

2

3

De

formac

in

()

Figura 5.3: Historia de deformaciones del elemento elastoplstico

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-1

-0.5

0

0.5

1

Fuerza

(F)

Figura 5.4: Historia de fuerzas del elemento elastoplstico


73/150

56

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fuerza(F)

Deformacin ()

Figura 5.5: Curva fuerza-deformacin elemento elastoplstico

5.2 Elemento Viga con Plastificacin en los Extremos

El macro-elemento viga creado debe dar cuanta del efecto de

plastificacin en los extremos de las vigas, en los que se produce una relacin

elastoplstica.

5.2.1 Modelacin del elemento

El macro-elemento viga consta de tres elementos ensamblados en serie.

El elemento central es una viga flexural, con propiedades elsticas. En los extremosse conectan rtulas (i y j) en las que su relacin giro y momento (M-) es

elastoplstica. La modelacin considera la siguiente distribucin de grados de

libertad (GDLs):


74/150

57

v1

v6v5 v4

v3

v2

i j

v1

v6v5 v4

v3

v2

i j

Figura 5.6: Definicin del macro-elemento viga

Los primeros cuatro GDLs corresponden a las deformaciones conocidas

e impuestas sobre el elemento, y en los cuales se aplican las fuerzas externas. Estos

cuatro GDLs sern llamados GDLs externos. Las deformaciones de los dos GDLsrestantes, 5 y 6, son desconocidas y son calculadas a partir de la condensacin

esttica realizada. A estos se les llama GDLs internos.

Las propiedades del elemento central elstico son un largo L, momento

de inercia I, mdulo de elasticidad E, un mdulo de corte G y un rea de corte A s. La

matriz de rigidez elstica del elemento (sin considerar las rigideces de los elementos

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