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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEESCUELA DE INGENIERIADepartamento de Ingeniera Estructural y Geotcnica
MODELACIN, ANLISISNO-LINEAL Y DISIPACIN DEENERGA DE ESTRUCTURAS
PLANAS SOMETIDAS ATERREMOTOS
JUAN PABLO CCERES CHOMALI
Memoria para optar al ttulo deIngeniero Civil, con Diploma en Ingeniera Estructural
Profesor Supervisor:RAFAEL RIDDELL C.
Santiago de Chile, 2001
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEESCUELA DE INGENIERIADepartamento de Ingeniera Estructural y Geotcnica
MODELACIN, ANLISIS NO-LINEALY DISIPACIN DE ENERGA DE
ESTRUCTURAS PLANAS SOMETIDASA TERREMOTOS
JUAN PABLO CCERES CHOMALI
Memoria presentada a la Comisin integrada por los profesores:
RAFAEL RIDDELL C.
JUAN CARLOS DE LA LLERA M.
JORGE CREMPIEN L.
Quienes recomiendan que sea aceptada para completar las exigenciasdel ttulo de Ingeniero Civil, con Diploma en Ingeniera Estructural
Santiago de Chile, 2001
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A mi padre,
A mi madre, por la presencia
incondicional, y a mis hermanos,Para Aisen, quien me mostr el colorde la ternura,
A mis amigos de siempre, y aXenakis, por la msica.
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AGRADECIMIENTOS
Gran parte de mi formacin como ingeniero se la debo al profesor Juan
Carlos De la Llera. Su aporte e inters constante en la investigacin y la docencia
son de gran inspiracin para desarrollar trabajos como este. Tambin quisiera
reconocer los aportes realizados por el profesor Rafael Riddell, quien me gui en
varios aspectos relacionados con el curso de esta investigacin, y la disposicin a
participar en este trabajo del profesor Jorge Crempien.
Agradezco en especial a mi padre Nivaldo Cceres por su confianza
siempre infinita, a todos mis compaeros y amigos de la universidad, sin los que mi
aprendizaje no hubiese sido lo mismo, y en particular el apoyo e inters constante de
mi amigo y compaero Eduardo Jahnke.
El desarrollo de esta investigacin forma parte del Proyecto FONDECYT
199012, Demanda de Disipacin de Energa Durante Terremotos y Dao
Estructural, el cual es coordinado por el profesor Rafael Riddell.
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INDICE GENERAL
Pg.
DEDICATORIA .......................................................................................................... ii
AGRADECIMIENTOS .............................................................................................. iii
INDICE DE TABLAS ................................................................................................ vi
INDICE DE FIGURAS.............................................................................................. vii
RESUMEN................................................................................................................ xvi
I. INTRODUCCIN.............................................................................................. 1
1.1 Motivacin y Objetivos.............................................................................. 1
1.2 Contenido del Estudio ................................................................................ 2
II. MODELO DE EDIFICO DE CORTE................................................................ 3
2.1 Sistema Considerado y Ecuacin de Movimiento ..................................... 3
2.2 Propiedades del Sistema............................................................................. 6
2.3 Expresiones de Energa .............................................................................. 72.4 Ejemplo Numrico ..................................................................................... 8
III. ENERGA DISIPADA EN EDIFICIOS DE CORTE ...................................... 15
3.1 Modelos Analizados................................................................................. 15
3.2 Registros de Terremotos Usados.............................................................. 15
3.3 Ductilidad y Disipacin de Energa en Altura ......................................... 17
3.4 Espectros de Energa por Histresis......................................................... 38
3.5 Interpretacin de Resultados .................................................................... 43
IV. MODELO DE EDIFICIO DE MARCO FLEXURAL..................................... 45
4.1 Sistema Considerado y Ecuacin de Movimiento ................................... 45
4.2 Propiedades del Sistema........................................................................... 47
V. ELEMENTOS NO-LINEALES Y MTODO DE INTEGRACIN............... 53
5.1 Elemento Elastoplstico........................................................................... 53
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5.1.1 Modelacin del elemento............................................................... 53
5.1.2 Implementacin ............................................................................. 54
5.1.3 Ejemplo.......................................................................................... 55
5.2 Elemento Viga con Plastificacin en los Extremos ................................. 56
5.2.1 Modelacin del elemento............................................................... 56
5.2.2 Implementacin ............................................................................. 60
5.2.3 Validacin del modelo................................................................... 62
5.2.4 Ejemplo.......................................................................................... 63
5.3 Elemento Columna con Plastificacin en los Extremos Definida a
travs de una Curva de Interaccin .......................................................... 66
5.3.1 Modelacin del elemento............................................................... 665.3.2 Descripcin de la rtula pstica con interaccin N-M .................. 69
5.3.3 Implementacin ............................................................................. 72
5.3.4 Validacin del modelo................................................................... 76
5.3.5 Ejemplo.......................................................................................... 78
5.4 Mtodo de Integracin ............................................................................. 82
5.4.1 Planteamiento de las ecuaciones.................................................... 82
5.4.2 Propiedades del sistema en tiempo discreto .................................. 83
5.4.3 Implementacin ............................................................................. 85
VI. EDIFICIO HOLIDAY INN.............................................................................. 87
6.1 Descripcin del Edificio........................................................................... 87
6.2 Modelacin del Edificio........................................................................... 90
6.3 Resultados del Anlisis ............................................................................ 97
6.4 Interpretacin de resultados ................................................................... 126
VII. CONCLUSIONES.......................................................................................... 129
BIBLIOGRAFA...................................................................................................... 132
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INDICE DE TABLAS
Pg.
Tabla 2.1: Propiedades edificio de 5 piso .................................................................. 10
Tabla 3.1: Edificios utilizados con sus perodos (T1) y frecuencias (f1)
fundamentales ....................................................................................... 15
Tabla 6.1: Propiedades estructurales de los elementos y materiales ......................... 94
Tabla 6.2: Enfierraduras de las columnas .................................................................. 95
Tabla 6.3: Enfierraduras de las vigas ......................................................................... 96
Tabla 6.4: Masas transalcionales del edificio y del marco modelado........................ 96
Tabla 6.5: Perodos y formas modales elsticos del modelo analizado ..................... 98
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INDICE DE FIGURAS
Pg.
Figura 2.1: Modelo de edificio de corte con columnas elastoplsticas........................ 3
Figura 2.2: Deformacin lateral de columnas.............................................................. 4
Figura 2.3: Modelo elastoplstico................................................................................ 4
Figura 2.4: Registro Sylmar, componente N00E (1994) ............................................. 8
Figure 2.5: Edificio de corte de cinco pisos con sus propiedades ............................. 10
Figura 2.6: Historia de desplazamientos .................................................................... 11
Figura 2.7: Historia de esfuerzos de corte por piso ................................................... 12
Figura 2.8: Curvas fuerza-deformacin por piso ....................................................... 13
Figura 2.9: Ductilidad por piso .................................................................................. 14
Figura 2.10: Energa disipada por histresis por piso................................................ 14
Figura 3.1: Registro de El Centro, componente S00E (1940) ................................... 16
Figura 3.2: Registro de Sylmar, componente N00E (1994)....................................... 16
Figura 3.3: Registro de Melipilla, componente N00E (1985).................................... 17
Figura 3.4: Registro de Llolleo, componente N10E (1985)....................................... 17
Figura 3.5: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro,componente S00E (1940) ................................................................................. 18
Figura 3.6: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7
pisos para El Centro, componente S00E (1940)............................................... 18
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Figura 3.7: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para El
Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 19
Figura 3.8: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y
13 pisos para El Centro, componente S00E (1940).......................................... 19
Figura 3.9: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para El
Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 20
Figura 3.10: Energa disipada por histresis de los edificios de 14, 15, 16, 17,
18 y 19 pisos para El Centro, componente S00E (1940).................................. 20
Figura 3.11: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para El
Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 21
Figura 3.12: Energa disipada por histresis de los edificios de 21, 24, 28, 33,
39 y 45 pisos para El Centro, componente S00E (1940).................................. 21
Figura 3.13: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El
Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 22
Figura 3.14: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y100 pisos para El Centro, componente S00E (1940)........................................ 22
Figura 3.15: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar,
componente N00E (1994)................................................................................. 23
Figura 3.16: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7
pisos para Sylmar, componente N00E (1994) .................................................. 23
Figura 3.17: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos paraSylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 24
Figura 3.18: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12
y 13 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) .......................................... 24
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Figura 3.19: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para
Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 25
Figura 3.20: Energa disipada por histresis de los edificios de 14, 15, 16, 17,
18 y 19 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ..................................... 25
Figura 3.21: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para
Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 26
Figura 3.22: Energa disipada por histresis de los edificios de 21, 24, 28, 33,
39 y 45 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ..................................... 26
Figura 3.23: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para
Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 27
Figura 3.24: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y
100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)........................................... 27
Figura 3.25: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla,
componente N00E (1985)................................................................................. 28
Figura 3.26: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7pisos para Melipilla, componente N00E (1985) ............................................... 28
Figura 3.27: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para
Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 29
Figura 3.28: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12
y 13 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)....................................... 29
Figura 3.29: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos paraMelipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 30
Figura 3.30: Energa disipada por histresis de los edificios de 14, 15, 16, 17,
18 y 19 pisos para Melipilla, componente N00E (1985).................................. 30
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Figura 3.31: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para
Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 31
Figura 3.32: Energa disipada por histresis de los edificios de 21, 24, 28, 33,
39 y 45 pisos para Melipilla, componente N00E (1985).................................. 31
Figura 3.33: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para
Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 32
Figura 3.34: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y
100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)........................................ 32
Figura 3.35: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo,
componente N10E (1985)................................................................................. 33
Figura 3.36: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7
pisos para Llolleo, componente N10E (1985) .................................................. 33
Figura 3.37: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para
Llolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 34
Figura 3.38: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12y 13 pisos para Llolleo, componente N10E (1985).......................................... 34
Figura 3.39: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para
Llolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 35
Figura 3.40: Energa disipada por histresis de los edificios de 14, 15, 16, 17,
18 y 19 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)..................................... 35
Figura 3.41: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos paraLlolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 36
Figura 3.42: Energa disipada por histresis de los edificios de 21, 24, 28, 33,
39 y 45 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)..................................... 36
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Figura 3.43: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para
Llolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 37
Figura 3.44: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y
100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ........................................... 37
Figura 3.45: Espectro de energa por histresis para El Centro, componente
S00E (1940) ...................................................................................................... 39
Figura 3.46: Espectro de energa por histresis para Sylmar, componente N00E
(1994)................................................................................................................ 40
Figura 3.47: Espectro de energa por histresis para Melipilla, componente
N00E (1985) ..................................................................................................... 41
Figura 3.48: Espectro de energa por histresis para Llolleo, componente N10E
(1985)................................................................................................................ 42
Figura 4.1: Modelo de edificio de marco flexural ..................................................... 46
Figura 4.2: Curva de interaccin................................................................................ 47
Figura 4.3: Largo de plastificacin de las vigas ........................................................ 48
Figura 4.4: Largo de plastificacin de las columnas.................................................. 48
Figura 4.5: Definicin de deformaciones de las rtulas de las columnas.................. 49
Figura 4.6: Definicin del elemento elstico de largo Lp .......................................... 49
Figura 4.7: Curva de interaccin tpica de una seccin de hormign armado........... 51
Figura 4.8: Procedimiento para obtener la curva de interaccin de una seccin
de hormign armado para ser utilizada en el modelo de marco flexural.......... 52
Figura 5.1: Definicin del elemento elastoplstico................................................... 53
Figura 5.2: Relacin fuerza-deformacin elastoplstica............................................ 54
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Figura 5.3: Historia de deformaciones del elemento elastoplstico .......................... 55
Figura 5.4: Historia de fuerzas del elemento elastoplstico ...................................... 55
Figura 5.5: Curva fuerza-deformacin elemento elastoplstico ................................ 56
Figura 5.6: Definicin del macro-elemento viga ....................................................... 57
Figura 5.7: Deformacin de la rtula ......................................................................... 58
Figura 5.8: Relacin fuerza-deformacin de la rtula en vigas................................. 59
Figura 5.9: Definicin del elemento elstico interno de la viga ................................ 62
Figura 5.10: Historia de deformaciones del macro-elemento viga............................ 64
Figura 5.11: Historia de fuerzas del macro-elemento viga ........................................ 65
Figura 5.12: Curvas de momento-rotacin para las rtulas elastoplsticas ............... 65
Figura 5.13: Definicin del macro-elemento columna .............................................. 66
Figura 5.14: Definicin de la rtula de las columnas ................................................ 67
Figura 5.15: Deformacin elstica de la rtula con interaccin ................................ 70
Figura 5.16: Deformacin elstica y plstica de la rtula con interaccin ................ 71
Figura 5.17: Vrtice en la curva de interaccin ......................................................... 72
Figura 5.18: Definicin del macro-elemento columna para ser utilizado como
macro-elemento viga ........................................................................................ 75
Figura 5.19: Obtencin de momento plstico (Mp) de las rtulas para utilizar el
macro-elemento viga ........................................................................................ 76
Figura 5.20: Geometra del elemento elstico interno viga ....................................... 77
Figura 5.21: Historia de deformaciones del macro-elemento columna ..................... 79
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Figura 5.22: Historia de fuerzas del macro-elemento columna ................................. 80
Figura 5.23: Curvas de interaccin e historias de fuerzas M-N de las rtulasplsticas ............................................................................................................ 81
Figura 5.24: Curvas fuerzas-deformaciones de las rotulas plsticas ......................... 82
Figura 6.1: Planta tpica del edificio .......................................................................... 89
Figura 6.2: Elevacin transversal tpica..................................................................... 90
Figura 6.3: Modelacin geomtrica del marco resistente correspondiente al eje
transversal A: numeracin de elementos .......................................................... 93
Figura 6.4: Dimensiones de elementos y extremos rgidos ....................................... 94
Figura 6.5: Disposicin geomtrica de las enfierraduras de las columnas ................ 95
Figura 6.6: Registro medido en la base del edificio (Northridge, 1994) ................... 97
Figura 6.7: Formas modales elsticas del modelo analizado..................................... 99
Figura 6.8: Historias de desplazamientos relativos a la base................................... 100
Figura 6.9: Historia de deformaciones de entrepisos (drifts)................................... 101
Figura 6.10: Historia de esfuerzos de corte por piso ............................................... 102
Figura 6.11: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en
el extremo inferior de las columnas del 1 piso.............................................. 103
Figura 6.12: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en
el extremo superior de las columnas del 1 piso............................................. 104
Figura 6.13: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en
el extremo inferior de las columnas del 2 piso.............................................. 105
Figura 6.14: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en
el extremo superior de las columnas del 2 piso............................................. 106
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Figura 6.15: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en
el extremo inferior de las columnas del 3 piso.............................................. 107
Figura 6.16: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en
el extremo superior de las columnas del 3 piso............................................. 108
Figura 6.17: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en
el extremo inferior de las columnas del 4 piso.............................................. 109
Figura 6.18: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en
el extremo superior de las columnas del 4 piso............................................. 110
Figura 6.19: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en
el extremo inferior de las columnas del 5 piso.............................................. 111
Figura 6.20: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en
el extremo superior de las columnas del 5 piso............................................. 112
Figura 6.21: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en
el extremo inferior de las columnas del 6 piso.............................................. 113
Figura 6.22: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento enel extremo superior de las columnas del 6 piso............................................. 114
Figura 6.23: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en
el extremo inferior de las columnas del 7 piso.............................................. 115
Figura 6.24: Curvas de interaccin, historias de esfuerzos axial y momento en
el extremo superior de las columnas del 7 piso............................................. 116
Figura 6.25: Curvas de momento-deformacin en rtulas de vigas del 1 piso....... 117
Figura 6.26: Curvas de momento-deformacin en rtulas de vigas del 2 piso....... 118
Figura 6.27: Curvas de momento-deformacin en rtulas de vigas del 3 piso....... 119
Figura 6.28: Curvas de momento-deformacin en rtulas de vigas del 4 piso....... 120
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Figura 6.29: Curvas de momento-deformacin en rtulas de vigas del 5 piso....... 121
Figura 6.30: Curvas de momento-deformacin en rtulas de vigas del 6 piso....... 122
Figura 6.31: Curvas de momento-deformacin en rtulas de vigas del 7 piso....... 123
Figura 6.32: Energa disipada en cada piso por hitresis de las columnas .............. 124
Figura 6.33: Energa disipada en cada piso por hitresis de las vigas ..................... 124
Figura 6.34: Energa total disipada por hitresis en cada piso................................. 125
Figura 6.35: Grfico comparativo de las energas disipadas por hitresis encada piso ......................................................................................................... 125
Figura 6.36: Espectro de energa por histresis para el registro medido en la
base del edificio (Northridge, 1994), componente horizontal; y energa
disipada por histresis para el marco analizado (*)........................................ 128
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RESUMEN
Diferentes herramientas se han creado para predecir el comportamiento
no-lineal de estructuras durante un movimiento ssmico. Este trabajo aborda el
problema para estructuras planas, donde se implementan y analizan modelos
correspondientes a dos tipos bsicos, edificios de corte y marcos flexurales.
El modelo de edificio de corte considera columnas con constitutiva
elastoplstica en todos los pisos. Para este tipo estructural se utilizan cuatro registros
ssmicos, para los cuales se analizan edificios entre dos y cien pisos. Con esto se
obtienen distribucin de ductilidades y energa disipada por histresis en altura para
cada modelo. Adems se realizan espectros de energa para cada registro, los que se
comparan con los espectros correspondientes a sistemas de un grado de libertad.
Por su parte, el modelo de marco flexural se conforma de elementos en
los que la plastificacin se concentra en rtulas de sus extremos. Las vigas tienen
rtulas elastoplsticas, mientras que las columnas poseen rtulas que dan cuanta del
estado lmite de plastificacin. En estas la fluencia ocurre cuando se alcanza alguna
de las combinaciones de carga axial y flexural definidas a travs de una curva de
interaccin.
El modelo de marco flexural implementado se utiliza para analizar un
marco de un edificio real, el cual sufri daos estructurales severos durante el
terremoto de Northridge. Con los resultados obtenidos se calcula la distribucin de
energa disipada por histresis en altura, y as poder compararla con los espectros
estudiados para los edificios de corte. Adems se muestra que el comportamiento de
la estructura analizada predice en forma bastante correcta el comportamiento real,
con una modelacin sencilla y transparente para el usuario.
Para integrar todos los modelos de este estudio, se ha escogido un
mtodo de tipo predictor-corrector orden 2, con las ecuaciones de movimiento
expresadas en espacio estado.
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I. INTRODUCCIN
1.1 Motivacin y Objetivos
La filosofa de diseo ssmico en boga establece un marco conceptual de
comportamiento, segn el cual se generan los cdigos y disean las estructuras. Este
es que para sismos de baja intensidad la estructura debe comportarse en forma
elstica, para movimientos moderados a fuertes se admiten incursiones en el rango
inelstico y daos no estructurales limitados, mientras que para sismos severos de
baja probabilidad de ocurrencia en la vida til de la estructura se aceptarn daos
importantes pero sin colapso.
Por esto, dado que el dao es el parmetro clave de diseo, el anlisis no-
lineal cobra una importancia fundamental en la prediccin del comportamiento de
una estructura sometida a un movimiento ssmico.
La presencia de elementos dctiles permite disear estructuras para
esfuerzos menores a los que requerira un diseo elstico. Esto se debe a la capacidad
que tienen estos elementos de disipar energa sin llegar a la rotura o al colapso. Por
consiguiente un parmetro clave en el diseo y anlisis sismorresistente es la
prediccin y control de la disipacin de energa por histresis. Lo que se busca es
establecer cuales son los elementos que disiparn energa para as disearlos
conforme a ello.
El estudio del comportamiento no-lineal de estructuras puede llevarse a
cabo utilizando mtodos de variada complejidad, tanto en la modelacin como en el
anlisis. Estos van desde los que utilizan factores de reduccin y amplificacin de los
parmetros de la respuesta elstica de la estructura, hasta la utilizacin de elementos
finitos o elementos fibra.
Los principales objetivos de la presente investigacin son:
1. Determinar la distribucin de ductilidades y energa disipada por histresis en
altura de varios edificios de corte no-lineales, y adems desarrollar espectros de
energa disipada por histresis de estos edificios y compararlos con los de un
grado de libertad.
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2
2. Desarrollar e implementar elementos no-lineales para modelar marcos flexurales
planos. Estos deben dar cuanta del comportamiento real de un edificio
estructurado en basa a marcos con la mayor precisin posible, pero manteniendo
una modelacin sencilla y transparente para el usuario, adems de lograr que la
integracin numrica sea de bajo costo.
1.2 Contenido del Estudio
El desarrollo de este estudio se divide principalmente en tres bloques
temticos:
1. En el Captulo II se describen los modelos de edificios de corte utilizados,
mientras que la distribucin de ductilidades y energa disipada por histresis en
altura, as como los espectros, se muestran y discuten en el Captulo III.
2. La modelacin general de los marcos flexurales se describe en el Captulo IV. El
Capitulo VI contiene un ejemplo para un edificio real, en el cual se utiliza un
marco flexural modelado como se explica en el Captulo IV.
3. En el Captulo V se explica la modelacin e implementacin de cada uno de los
elementos no-lineales utilizados en el estudio. Este captulo contiene adems el
mtodo de integracin tipo predictor-corrector orden 2 que se utiliza para analizartodos los modelos, tanto los edificios de corte como los marcos flexurales.
Las principales conclusiones obtenidas, as como algunas sugerencias
para investigaciones futuras se incluyen en el Captulo VII.
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3
II. MODELO DE EDIFICO DE CORTE
El modelo de edifico de corte consiste en un marco en el cual las vigas se
suponen infinitamente rgidas, mientras que toda la deformacin y ductilidad se
concentra en las columnas, las que se consideran axialmente rgidas. Por ello estas
columnas son elementos de una deformacin, que corresponde a la deformacin de
entrepiso.
2.1 Sistema Considerado y Ecuacin de Movimiento
Los sistemas estudiados son edificios de corte no-lineales de diferentes
nmeros de pisos. La Figura 2.1 muestra el tpico modelo general utilizado en este
estudio.
m
m
m
m
m
u2
un-1
u3
un
u1Vigas Rgidas
( )tgu&&
Columnas
Elastoplsticas
h
h
h
h
m
m
m
m
m
u2
un-1
u3
un
u1Vigas Rgidas
( )tgu&&
Columnas
Elastoplsticas
h
h
h
h
m
m
m
m
u2
un-1
u3
un
u1Vigas Rgidas
( )tgu&&
Columnas
Elastoplsticas
h
h
h
h
Figura 2.1: Modelo de edificio de corte con columnas elastoplsticas
La relacin fuerza-deformacin para cada piso corresponde a una
constitutiva elastoplstica. Esta se define a travs de una rigidez elstica inicial total
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4
k y a una fuerza de fluencia total del piso Fy(Figs. 2.2 y 2.3). La deformacin lateral
de entrepiso se define como v.
F
F
k/2 k/2
v F
F
k/2 k/2
v
Figura 2.2: Deformacin lateral de columnas
1
k
1
k
1
k
F(v)
v
Fy
-Fy
uy
1
k
1
k
1
k
F(v)
v
Fy
-Fy
uy
Figura 2.3: Modelo elastoplstico
La ecuacin del movimiento de este sistema, cuando se le somete a un
movimiento ssmico en la base, puede escribirse como
( ) ( ) ( ) ( )ttt gT urMvFLuCuM &&&&& =++ (2.1)
donde Mes la matriz de masas; Ces la matriz de amortiguamiento; ues el vector de
desplazamientos relativos de las masas con respecto al suelo; v=Lu, en que Les la
matriz de transformacin cinemtica;Fes el vector de fuerzas de los elementos no-lineales; v es el vector de deformaciones de los elementos no-lineales; gu&& es la
aceleracin del suelo; y res el vector de influencia.
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5
El amortiguamiento viscoso, el cual disipa energa durante todas las fases
de respuesta (elsticas y plsticas), fue modelado a travs de una matriz de
amortiguamiento C clsica. El modelo considera una razn de amortiguamiento
constante para todos los modos, correspondiente a = 5%.
Para calcular la matriz de amortiguamiento C, se obtiene primero lasolucin al problema de valores y vectores propios generalizado del par MK, , en
donde la matriz de rigidez K se calcula utilizando las rigideces iniciales (en rango
elstico) de cada columna. Para obtener los valores y vectores propios del sistema se
resuelve la ecuacin
i2ii = MK (2.2)
donde i corresponde a la i-sima forma modal del sistema y i a la frecuencia
propia del modo.
Conocidas las razones de amortiguamiento modal es posible obtener la
matriz C realizando la operacin
C
=
nnn
222
111
1
M2
M2
M2
O (2.3)
donde [ ]n21 = L es la matriz de formas modales; i es la razn de
amortiguamiento del i-simo modo y Mies la masa correspondiente al modo i
Es una conocida propiedad del lgebra lineal que los modos de vibracin
son ortogonales con respecto a la matrices Ky M. Por lo tanto, las masas modales
Mise obtienen de la ecuacin
=
n
2
1
T
M
M
M
OM (2.4)
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6
2.2 Propiedades del Sistema
La relacin constitutiva fuerza-deformacin de cada columna quedadefinida por su rigidez k en el rango elstico y su fuerza de fluencia Fy.
Los valores iniciales de la rigidez (elstica) se determinan de modo que
satisfagan dos condiciones:
(a) se debe obtener un periodo fundamental T1, considerando la masa total del
edificio como unitaria. La masa de cada piso es entonces m=1/n, donde n es el
nmero de pisos, y
(b) la aplicacin de las fuerzas estticas laterales equivalentes del cdigo UBC-1994
debe producir un incremento lineal en las deformaciones de los pisos, i.e., los
drift de entrepiso deben ser iguales en todo el edificio.
La distribucin de las fuerzas estticas laterales equivalentes del cdigo
UBC-1994 se determina utilizando la frmula
( )
=
=
N
1ijj
jjtbj
hw
hwFVF (2.5)
donde wjes el peso del piso j; hjes la altura del piso j; Vb es el esfuerzo de corte
basal; y Ftes la fuerza adicional del ltimo piso. Esta ltima se define como
6.3T
6.3T7.0
7.0T
V25.0
VT07.0
0
F
1
1
1
b
b1t
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Las fuerzas de fluencia de los elementos se determinan utilizando el
espectro de respuesta no-lineal de un grado de libertad para el registro ssmico
requerido. Para esto se elige una ductilidad objetivo de diseo (p.e., =5), con lo que
se determina la pseudo-aceleracin Ay correspondiente al periodo fundamental T1.
Consecuentemente, el esfuerzo de corte basal Vbyse calcula como
Wg
AV yby = (2.8)
donde W es el peso total del edificio y Ayes la pseudo-aceleracin del espectro de
respuesta inelstico correspondiente al periodo fundamental T1 y a un
amortiguamiento viscoso = 5%.
El esfuerzo de corte basal Vby corresponde tambin a la fuerza de
fluencia Fydel primer piso. Para obtener la fuerza de fluencia del resto de los pisos
se multiplica este esfuerzo de corte por los factores de esfuerzo de corte en cada piso
segn la distribucin de fuerzas estticas del UBC (Ecs. (2.5) y (2.6)).
2.3 Expresiones de Energa
Durante un movimiento ssmico, el suelo transmite energa a la estructura
a travs de su base. Parte de esa energa es almacenada temporalmente en la
estructura en forma de energa cintica y de deformacin. El resto se disipa por
amortiguamiento y deformacin inelstica, esta ltima correspondiente a la energa
disipada por la histresis de las columnas.
La variable estudiada en esta seccin es la energa disipada por histresis
EH. El objetivo es hacer una comparacin de la energa disipada en sistemas de un
grado de libertad con los edificios de mltiples grados de libertad. Para esto se
compara la energa disipada en edificios con igual periodo fundamental que lossistemas correspondientes de un grado de libertad. El anlisis y estudio de los
espectros de energa de los sistemas de un grado de libertad se encuentran en el
trabajo de Garca y Riddell (1995).
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8
La energa disipada por histresis corresponde a la suma de las reas
encerradas en cada ciclo por las curvas de fuerza-deformacin de cada piso de los
edificios. La energa disipada por histresis corresponde a
( ) dtv)v(Fdv)v(FEft
0
u
0
iH == & (2.9)
donde ( )iHE es la Energa disipada por histresis en el piso i; v es la deformacin de
entrepiso; y F(v) es la fuerza del elemento en funcin de su deformacin v.
Para obtener la energa disipada por histresis total ( totHE ) del edificio, se
realiza la sumatoria de las energas disipadas en cada piso
( )=
=n
1i
iH
totH EE (2.10)
2.4 Ejemplo Numrico
A continuacin se presenta un ejemplo para explicar en detalle el
procedimiento por el cual se calculan las propiedades del sistema. Este corresponde a
un edificio de corte de 5 pisos con masa total unitaria. Como input se utiliza el
registro de Sylmar, componente N00E, terremoto de Northridge, California, 17 de
enero de 1994.
0 10 20 30 40 50 60 70-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (seg)
ace
lerac
in
(g)
Figura 2.4: Registro Sylmar, componente N00E (1994)
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9
El periodo fundamental objetivo del edificio es
seg5.0105
10pisosNT1 ===
con lo que se obtiene del espectro inelstico de Sylmar para una ductilidad objetivo
=5, una deformacin de fluencia
uy = 2.7377 cm.
La pseudo-aceleracin correspondiente es
Ay = 2
uy= (2/0.5)2
2.7377 = 0.4407 g
El peso total del edificio con masa unitaria m=1 kgfseg2/cm es
W = mg = g
Y entonces el esfuerzo de corte basal es
Vby= 432.3149 kgf
Para obtener la distribucin de las fuerzas laterales estticas equivalentesdel cdigo UBC-1994, se realiza el procedimiento explicado en la Seccin 2.2, con
lo que se obtienen las fuerzas estticas equivalentes indicadas en la Tabla 2.1.
La rigidez de cada piso se determina de modo que la aplicacin de las
fuerzas estticas equivalentes produzcan un incremento lineal en las deformaciones
de los pisos. Es decir, los drift de entrepiso deben ser iguales en todo el edificio.
Adems el perodo fundamental del edificio T1debe ser igual a 0.5 seg. Con esto se
obtienen las rigideces indicadas en la Tabla 2.1.
Por ltimo, las fuerzas de fluencia de cada piso se obtienen multiplicando
el esfuerzo de corte basal Vby por los factores de esfuerzo de corte en cada piso
segn la distribucin de fuerzas estticas (Tabla 2.1).
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10
Tabla 2.1: Propiedades edificio de 5 piso
Fj(kgf) kj(kgf/cm) Fjy(kgf)
5 piso 144.1050 157.9137 144.1050
4 piso 115.2840 284.2446 259.3889
3 piso 86.4630 378.9928 345.8519
2 piso 57.6420 442.1583 403.4939
1 piso 28.8210 473.7410 432.3149
m
m
m=1/5 kgfseg2/cm
m
m
u2
u4
u3
u5
u1
432.3473.7
403.5442.2
345.9379.0
259.4284.2
144.1157.9
Fjy (kgf)kj (kgf/cm)
m
m
m=1/5 kgfseg2/cm
m
m
u2
u4
u3
u5
u1
432.3473.7
403.5442.2
345.9379.0
259.4284.2
144.1157.9
Fjy (kgf)kj (kgf/cm)
432.3473.7
403.5442.2
345.9379.0
259.4284.2
144.1157.9
Fjy (kgf)kj (kgf/cm)
403.5442.2
345.9379.0
259.4284.2
144.1157.9
Fjy (kgf)kj (kgf/cm)
Figure 2.5: Edificio de corte de cinco pisos con sus propiedades
En las figuras siguientes se presentan los resultados del anlisis del
edificio. La respuesta incluye las historias de desplazamientos y fuerzas, las curvas
fuerza-deformacin, las ductilidades y la energa disipada en cada piso.
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11
-20
-10
0
10
20
Piso 5
-20
-10
0
10
20
Piso 4
-20
-10
0
10
20
Piso 3
Desplazamiento(cm)
-20
-10
0
10
20
Piso 2
0 10 20 30 40 50 60-20
-10
0
10
20
Piso 1
Tiempo (seg)
Figura 2.6: Historia de desplazamientos
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12
-500
0
500
Piso 5
-500
0
500
Piso 4
-500
0
500
Piso 3
EsfuerzodeCorte(kgf)
-500
0
500
Piso 2
0 10 20 30 40 50 60-500
0
500
Piso 1
Tiempo (seg)
Figura 2.7: Historia de esfuerzos de corte por piso
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13
-500
0
500
Columnas piso 5
-500
0
500
Columnas piso 4
-500
0
500
Columnas piso 3
EsfuerzodeCorte(kgf)
-500
0
500
Columnas piso 2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-500
0
500
Columnas piso 1
Deformacin (cm)
Figura 2.8: Curvas fuerza-deformacin por piso
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14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
Nmero
de
Piso
(cm)
Figura 2.9: Ductilidad por piso
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000
1
2
3
4
5
Nmero
de
Piso
EH(kgf cm)
Figura 2.10: Energa disipada por histresis por piso
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III. ENERGA DISIPADA EN EDIFICIOS DE CORTE
3.1 Modelos Analizados
Para poder representar una amplia gama de perodos fundamentales, se
selecciona una muestra de edificios de corte de diferente nmero de pisos. En cada
uno, el perodo fundamental corresponde a un dcimo del nmero de pisos, como se
explic en la Seccin 2.2. Para cada registro utilizado se analizaron 29 edificios de
corte. La seleccin se realiza de forma que las frecuencias fundamentales se
distribuyan en forma aproximadamente equitativa en la escala logartmica. Los
edificios utilizados se muestran en la Tabla 3.1.
Tabla 3.1: Edificios utilizados con sus perodos (T1) y frecuencias (f1)
fundamentales
N Pisos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16T1 (seg) 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6f1 (hz) 5.00 3.33 2.50 2.00 1.67 1.43 1.25 1.11 1.00 0.91 0.83 0.77 0.71 0.67 0.63
N Pisos 17 18 19 21 24 28 33 39 45 53 62 73 85 100T1 (seg) 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.8 3.3 3.9 4.5 5.3 6.2 7.3 8.5 10f1 (hz) 0.59 0.56 0.53 0.48 0.42 0.36 0.30 0.26 0.22 0.19 0.16 0.14 0.12 0.10
El diseo de cada edificio se realiz en la forma explicada en la Seccin
2.2. La ductilidad objetivo para todos los modelos es =5.
3.2 Registros de Terremotos Usados
Los registros utilizados en este Captulo corresponden a cuatro
acelerogramas, dos de ellos registrados en Chile en 1985 (Melipilla y Llolleo), y losotros dos registrados en California, uno en 1940 (El Centro) y el otro en 1994
(Sylmar).
Para corregir los valores iniciales del movimiento del suelo se prefija un
pulso de aceleracin de dos segundos para cada registro. Con esto se logra que todas
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16
las condiciones iniciales (aceleracin, velocidad y desplazamiento) sean iguales a
cero.
En las figuras siguientes se muestran los registros utilizados.
0 10 20 30 40 50 60-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
aceleracin(g)
Figura 3.1: Registro de El Centro, componente S00E (1940)
0 10 20 30 40 50 60 70-1
-0.5
0
0.5
1
acelerac
in(g)
Figura 3.2: Registro de Sylmar, componente N00E (1994)
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17
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-1
-0.5
0
0.5
1
aceleracin(g)
Figura 3.3: Registro de Melipilla, componente N00E (1985)
0 20 40 60 80 100 120-1
-0.5
0
0.5
1
aceleracin(g)
Figura 3.4: Registro de Llolleo, componente N10E (1985)
3.3 Ductilidad y Disipacin de Energa en Altura
El anlisis de los edificios permite obtener los dos parmetros relevantes
de esta seccin, la ductilidad y la energa disipada por histresis en cada piso. En esta
seccin se muestran los grficos correspondientes a la distribucin en altura de las
ductilidades y la disipacin de energa por histresis de los 29 edificios de corteanalizados con cada registro (Figs. 3.5 a 3.44), lo que resulta en un total de 116
sistemas analizados.
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18
0
0.5
12 pisos 3 pisos
0
0.5
14 pisos
Alturare
lativa
5 pisos
0 2 4 6 8 10 120
0.5
16 pisos
Ductilidad
0 2 4 6 8 10 12
7 pisos
Ductilidad
Figura 3.5: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro,
componente S00E (1940)
0
0.5
12 pisos 3 pisos
0
0.5
14 pisos
Alturare
lativa
5 pisos
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000
0.5
16 pisos
EH(kgf cm)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
7 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.6: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7
pisos para El Centro, componente S00E (1940)
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19
0
0.5
18 pisos 9 pisos
0
0.5
110 pisos
Alturare
lativa
11 pisos
0 2 4 6 8 100
0.5
112 pisos
Ductilidad
0 2 4 6 8 10
13 pisos
Ductilidad
Figura 3.7: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para El
Centro, componente S00E (1940)
0
0.5
18 pisos 9 pisos
0
0.5
110 pisos
Alturare
lativa
11 pisos
0 200 400 600 800 1000 1200 14000
0.5
112 pisos
EH(kgf cm)
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
13 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.8: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y
13 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
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37/150
20
0
0.5
114 pisos 15 pisos
0
0.5
116 pisos
Alturare
lativa
17 pisos
0 5 10 15 20 25 300
0.5
118 pisos
Ductilidad
0 5 10 15 20 25 30
19 pisos
Ductilidad
Figura 3.9: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para El
Centro, componente S00E (1940)
0
0.5
114 pisos 15 pisos
0
0.5
116 pisos
Alturare
lativa
17 pisos
0 200 400 600 800 10000
0.5
118 pisos
EH(kgf cm)
0 200 400 600 800 1000
19 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.10: Energa disipada por histresis de los edificios de 14, 15, 16, 17,
18 y 19 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
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38/150
21
0
0.5
121 pisos 24 pisos
0
0.5
128 pisos
Alturare
lativa
33 pisos
0 10 20 30 40 50 600
0.5
139 pisos
Ductilidad
0 10 20 30 40 50 60
45 pisos
Ductilidad
Figura 3.11: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para El
Centro, componente S00E (1940)
0
0.5
121 pisos 24 pisos
0
0.5
128 pisos
Alturare
lativa
33 pisos
0 100 200 300 400 500 600 700 8000
0.5
139 pisos
EH(kgf cm)
0 100 200 300 400 500 600 700 800
45 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.12: Energa disipada por histresis de los edificios de 21, 24, 28, 33,
39 y 45 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
8/10/2019 Jpcaceres Undergrad Thesis
39/150
22
0
0.5
153 pisos 62 pisos
0
0.5
173 pisos
Alturare
lativa
0 50 100 150
85 pisos
Ductilidad
0 50 100 1500
0.5
1100 pisos
Ductilidad
Figura 3.13: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El
Centro, componente S00E (1940)
0
0.5
153 pisos 62 pisos
0
0.5
173 pisos
Alturare
lativa
0 50 100 150 200 250
85 pisos
EH(kgf cm)
0 50 100 150 200 2500
0.5
1100 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.14: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y
100 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
8/10/2019 Jpcaceres Undergrad Thesis
40/150
23
0
0.5
12 pisos 3 pisos
0
0.5
14 pisos
Alturare
lativa
5 pisos
0 5 10 150
0.5
16 pisos
Ductilidad
0 5 10 15
7 pisos
Ductilidad
Figura 3.15: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar,
componente N00E (1994)
0
0.5
12 pisos 3 pisos
0
0.5
14 pisos
Alturare
lativa
5 pisos
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000
0.5
16 pisos
EH(kgf cm)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
7 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.16: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7
pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
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41/150
24
0
0.5
18 pisos 9 pisos
0
0.5
110 pisos
Alturare
lativa
11 pisos
0 5 10 15 200
0.5
112 pisos
Ductilidad
0 5 10 15 20
13 pisos
Ductilidad
Figura 3.17: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para
Sylmar, componente N00E (1994)
0
0.5
18 pisos 9 pisos
0
0.5
110 pisos
Alturare
lativa
11 pisos
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000
0.5
112 pisos
EH(kgf cm)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
13 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.18: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12
y 13 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
8/10/2019 Jpcaceres Undergrad Thesis
42/150
25
0
0.5
114 pisos 15 pisos
0
0.5
116 pisos
Alturare
lativa
17 pisos
0 5 10 15 20 250
0.5
118 pisos
Ductilidad
0 5 10 15 20 25
19 pisos
Ductilidad
Figura 3.19: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para
Sylmar, componente N00E (1994)
0
0.5
114 pisos 15 pisos
0
0.5
116 pisos
Alturare
lativa
17 pisos
0 1000 2000 3000 4000 5000 60000
0.5
118 pisos
EH(kgf cm)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
19 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.20: Energa disipada por histresis de los edificios de 14, 15, 16, 17,
18 y 19 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
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43/150
26
0
0.5
121 pisos 24 pisos
0
0.5
128 pisos
Alturare
lativa
33 pisos
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.5
139 pisos
Ductilidad
0 5 10 15 20 25 30 35 40
45 pisos
Ductilidad
Figura 3.21: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para
Sylmar, componente N00E (1994)
0
0.5
121 pisos 24 pisos
0
0.5
128 pisos
Alturare
lativa
33 pisos
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000
0.5
139 pisos
EH(kgf cm)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
45 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.22: Energa disipada por histresis de los edificios de 21, 24, 28, 33,
39 y 45 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
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44/150
27
0
0.5
153 pisos 62 pisos
0
0.5
173 pisos
Alturare
lativa
0 50 100 150
85 pisos
Ductilidad
0 50 100 1500
0.5
1100 pisos
Ductilidad
Figura 3.23: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para
Sylmar, componente N00E (1994)
0
0.5
153 pisos 62 pisos
0
0.5
173 pisos
Alturare
lativa
0 100 200 300 400 500 600 700 800
85 pisos
EH(kgf cm)
0 100 200 300 400 500 600 700 8000
0.5
1100 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.24: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y
100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
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45/150
28
0
0.5
1
2 pisos 3 pisos
0
0.5
1
4 pisos
Alturare
lativa
5 pisos
0 5 10 150
0.5
1
6 pisos
Ductilidad
0 5 10 15
7 pisos
Ductilidad
Figura 3.25: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla,
componente N00E (1985)
0
0.5
12 pisos 3 pisos
0
0.5
14 pisos
Alturare
lativa
5 pisos
0 1000 2000 3000 4000 50000
0.5
16 pisos
EH(kgf cm)
0 1000 2000 3000 4000 5000
7 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.26: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7
pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
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46/150
29
0
0.5
18 pisos 9 pisos
0
0.5
110 pisos
Alturare
lativa
11 pisos
0 5 10 15 20 250
0.5
112 pisos
Ductilidad
0 5 10 15 20 25
13 pisos
Ductilidad
Figura 3.27: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para
Melipilla, componente N00E (1985)
0
0.5
18 pisos 9 pisos
0
0.5
110 pisos
Alturare
lativa
11 pisos
0 500 1000 15000
0.5
112 pisos
EH(kgf cm)
0 500 1000 1500
13 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.28: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12
y 13 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
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47/150
30
0
0.5
114 pisos 15 pisos
0
0.5
116 pisos
Alturare
lativa
17 pisos
0 10 20 30 40 500
0.5
118 pisos
Ductilidad
0 10 20 30 40 50
19 pisos
Ductilidad
Figura 3.29: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para
Melipilla, componente N00E (1985)
0
0.5
114 pisos 15 pisos
0
0.5
116 pisos
Alturare
lativa
17 pisos
0 200 400 600 800 1000 12000
0.5
118 pisos
EH(kgf cm)
0 200 400 600 800 1000 1200
19 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.30: Energa disipada por histresis de los edificios de 14, 15, 16, 17,
18 y 19 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
8/10/2019 Jpcaceres Undergrad Thesis
48/150
31
0
0.5
121 pisos 24 pisos
0
0.5
128 pisos
Alturare
lativa
33 pisos
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.5
139 pisos
Ductilidad
0 5 10 15 20 25 30 35 40
45 pisos
Ductilidad
Figura 3.31: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para
Melipilla, componente N00E (1985)
0
0.5
121 pisos 24 pisos
0
0.5
128 pisos
Alturare
lativa
33 pisos
0 200 400 600 800 10000
0.5
139 pisos
EH(kgf cm)
0 200 400 600 800 1000
45 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.32: Energa disipada por histresis de los edificios de 21, 24, 28, 33,
39 y 45 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
8/10/2019 Jpcaceres Undergrad Thesis
49/150
32
0
0.5
153 pisos 62 pisos
0
0.5
173 pisos
Alturare
lativa
0 20 40 60 80 100
85 pisos
Ductilidad
0 20 40 60 80 1000
0.5
1100 pisos
Ductilidad
Figura 3.33: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para
Melipilla, componente N00E (1985)
0
0.5
153 pisos 62 pisos
0
0.5
173 pisos
Alturare
lativa
0 50 100 150 200 250 300 350
85 pisos
EH(kgf cm)
0 50 100 150 200 250 300 3500
0.5
1100 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.34: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y
100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
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50/150
33
0
0.5
12 pisos 3 pisos
0
0.5
14 pisos
Alturare
lativa
5 pisos
0 5 10 15 200
0.5
16 pisos
Ductilidad
0 5 10 15 20
7 pisos
Ductilidad
Figura 3.35: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo,
componente N10E (1985)
0
0.5
12 pisos 3 pisos
0
0.5
14 pisos
Alturare
lativa
5 pisos
0 2000 4000 6000 8000 10000 120000
0.5
16 pisos
EH(kgf cm)
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
7 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.36: Energa disipada por histresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7
pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
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51/150
34
0
0.5
18 pisos 9 pisos
0
0.5
110 pisos
Alturare
lativa
11 pisos
0 5 10 15 20 250
0.5
112 pisos
Ductilidad
0 5 10 15 20 25
13 pisos
Ductilidad
Figura 3.37: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para
Llolleo, componente N10E (1985)
0
0.5
18 pisos 9 pisos
0
0.5
110 pisos
Alturare
lativa
11 pisos
0 1000 2000 3000 4000 50000
0.5
112 pisos
EH(kgf cm)
0 1000 2000 3000 4000 5000
13 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.38: Energa disipada por histresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12
y 13 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
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52/150
35
0
0.5
1
14 pisos 15 pisos
0
0.5
1
16 pisos
Alturare
lativa
17 pisos
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
18 pisos
Ductilidad
0 5 10 15 20 25 30
19 pisos
Ductilidad
Figura 3.39: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para
Llolleo, componente N10E (1985)
0
0.5
114 pisos 15 pisos
0
0.5
116 pisos
Alturare
lativa
17 pisos
0 500 1000 1500 20000
0.5
118 pisos
EH(kgf cm)
0 500 1000 1500 2000
19 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.40: Energa disipada por histresis de los edificios de 14, 15, 16, 17,
18 y 19 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
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53/150
36
0
0.5
1
21 pisos 24 pisos
0
0.5
1
28 pisos
Alturare
lativa
33 pisos
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.5
1
39 pisos
Ductilidad
0 5 10 15 20 25 30 35 40
45 pisos
Ductilidad
Figura 3.41: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para
Llolleo, componente N10E (1985)
0
0.5
121 pisos 24 pisos
0
0.5
128 pisos
Alturare
lativa
33 pisos
0 500 1000 1500 20000
0.5
139 pisos
EH(kgf cm)
0 500 1000 1500 2000
45 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.42: Energa disipada por histresis de los edificios de 21, 24, 28, 33,
39 y 45 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
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54/150
37
0
0.5
153 pisos 62 pisos
0
0.5
173 pisos
Alturare
lativa
0 10 20 30 40 50 60 70 80
85 pisos
Ductilidad
0 10 20 30 40 50 60 70 800
0.5
1100 pisos
Ductilidad
Figura 3.43: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para
Llolleo, componente N10E (1985)
0
0.5
153 pisos 62 pisos
0
0.5
173 pisos
Alturare
lativa
0 100 200 300 400 500 600 700 800
85 pisos
EH(kgf cm)
0 100 200 300 400 500 600 700 8000
0.5
1100 pisos
EH(kgf cm)
Figura 3.44: Energa disipada por histresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y
100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
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55/150
38
3.4 Espectros de Energa por Histresis
Para representar en forma conveniente la energa disipada por histresispor unidad de masa EH para cada uno de los modelos, se utilizan espectros de
energa. Un estudio detallado de los espectros de energa para sistemas de un grado
de libertad se encuentra en el estudio realizado por Garca y Riddell (1995). Los
espectros de energa se representan mediante un grfico logartmico en el que en las
ordenadas se muestra la raz de la energa disipada por histresis por unidad de masa,
HE . Esta cantidad tiene unidades de velocidad.
El objetivo es hacer una comparacin cualitativa entre la energa disipada
por histresis de los edificios de corte de varios pisos con los sistemas de un grado de
libertad, analizados en el estudio antes mencionado. Por esto en los espectros de
energa se incluyen las curvas correspondientes a ductilidades =1.5; =2; =3; =5;
=10.
Las Figuras 3.45 a 3.48 muestran los espectros de energa para cada uno
de los registros analizados.
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56/150
0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 200.2
0.5
1
2
5
10
20
50
100
200
Edificios (objetivo =5)
Frecuencia (Hz)
Eh1/2
(cm/seg)
Figura 3.45: Espectro de energa por histresis para El Centro, componente S00E (19
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57/150
0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 200.2
0.5
1
2
5
10
20
50
100
200
Edificios (objetivo =5)
Frecuencia (Hz)
Eh1/2
(cm/seg)
Figura 3.46: Espectro de energa por histresis para Sylmar, componente N00E (199
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58/150
0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 200.2
0.5
1
2
5
10
20
50
100
200
Edificios (objetivo =5)
Frecuencia (Hz)
Eh1/2
(cm/seg)
Figura 3.47: Espectro de energa por histresis para Melipilla, componente N00E (19
8/10/2019 Jpcaceres Undergrad Thesis
59/150
0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 200.2
0.5
1
2
5
10
20
50
100
200
Edificios (objetivo =5)
Frecuencia (Hz)
Eh1/2
(cm/seg)
Figura 3.48: Espectro de energa por histresis para Llolleo, componente N10E (198
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60/150
43
3.5 Interpretacin de Resultados
Los espectros de energa para sistemas de varios grados de libertad
(edificios de corte) muestran una tendencia similar a los de un grado de libertad. Esto
se aprecia en que la mayor disipacin de energa se concentra en la regin central de
frecuencias, donde los registros tienen mayor potencia en su espectro en frecuencia
(Fourier). Para las frecuencias extremas la disipacin es menor.
En los registros de carcter impulsivo de las Figuras 3.45 y 3.46 (El
Centro y Sylmar), la mayor disipacin de energa se concentra entre 0.5 y 3 Hz. En
estos registros la curva de varios grados de libertad se aproxima bastante al espectro
para =5, entre las frecuencias 0.3 y 3 Hz. Esto es particularmente notorio en el
espectro de Sylmar (Fig. 3.46), registro que consiste en prcticamente un impulso.
Para frecuencias fundamentales correspondientes a los edificios entre 5 y 33 pisos
(0.3 y 2 Hz), el espectro de Sylmar de edificios y un grado de libertad con =5 son
prcticamente coincidentes. En este mismo rango de frecuencias tambin existe un
buen ajuste para El Centro. Esto se debe a que en estos edificios la variacin de la
disipacin de energa en altura es aproximadamente lineal. Esto se puede apreciar
claramente en los edificios entre 13 y 18 pisos analizados para el registro de Sylmar
(Figs. 3.18 y 3.20). Adems para estos mismos edificios la ductilidad en altura semantiene dentro del mismo rango de valores, con excepcin del primer piso (Figs.
3.17 y 3.19). Esto implica que el comportamiento de esto edificios esta regido
principalmente por el modo fundamental de la estructura. Como la ductilidad de
diseo fue escogida a partir de la frecuencia fundamental de cada edificio, es de
esperar que si estos se comportan de acuerdo a ese modo, la disipacin de energa de
los sistemas de un grado de libertad est en directa correspondencia con los edificios
de corte.
Los registros chilenos (Melipilla y Llolleo) concentran su mayor
disipacin de energa en frecuencias ms altas que los registros americanos. El
espectro obtenido para el registro de Melipilla (Fig. 3.47) muestra que la mayor
disipacin de energa se produce en el rango de frecuencias comprendido entre 2 y 5
Hz, mientras que para el registro de Llolleo (Fig. 3.48) concentra su disipacin entre
1 y 5 Hz. En esta misma zona de frecuencias, la aproximacin del espectro de
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edificios con el espectro para =5 es adecuada. La zona de buen ajuste corresponde
para el registro de Melipilla a los edificios entre 2 y 5 pisos (2 y 5 Hz), mientras que
para el registro de Llolleo a los edificios entre 2 y 8 pisos (1.25 y 5 Hz)
aproximadamente. Al igual que en el caso de los registros americanos, estos edificios
se comportan de acuerdo a su primer modo de vibracin, los que se aprecia en la
poca variacin que tiene la ductilidad en altura (Fig. 3.25 para Melipilla y Fig. 3.35
para Llolleo).
En la zona de frecuencias bajas, correspondiente a los sistemas ms
flexibles de varios pisos, existe en general una mayor disipacin en los edificios que
en los sistemas de un grado de libertad. Esto se produce ya que en este rango de
frecuencias la influencia de los modos altos se hace cada vez ms importante a
medida que el edificio crece en altura. Esto se ve, p.e., en la distribucin de
ductilidades de los edificios de gran altura analizados para Llolleo (Figs. 3.39, 3.41 y
3.43). En estos grficos se aprecia la desproporcin existente entre las ductilidades
de los pisos superiores e inferiores en comparacin con los pisos intermedios. Por
esto la disipacin de energa no responde a una distribucin correspondiente al modo
fundamental, y como el diseo se realiza de acuerdo a ese modo, la energa
disipada para sistemas de un grado de libertad no corresponde a la de estos edificios.
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IV. MODELO DE EDIFICIO DE MARCO FLEXURAL
El modelo de edificio de marco flexural es el que representa en forma
ms precisa el comportamiento de un marco real de columnas y vigas. La
modelacin consta de elementos con deformacin por corte y flexural (la
deformacin axial de las vigas est restringida por la losa rgida), y con columnas
que adems se deforman axialmente.
4.1 Sistema Considerado y Ecuacin de Movimiento
Para dar cuenta del comportamiento no-lineal de un marco flexural, se
opt por una modelacin en la cual la plastificacin se concentra en rtulas plsticas
que se forman en los extremos de los elementos. Este supuesto se basa en el
comportamiento de estructuras reales luego de movimientos ssmicos. En ellas se
observa que la rtula se producen general en los extremos de las vigas y columnas,
donde se concentra la fluencia del acero y la plastificacin del hormign.
En el caso de las vigas la plastificacin ocurre cuando se supera el
momento de fluencia en el extremo del elemento. Este momento queda definido por
los materiales y la seccin de cada viga.
En las columnas de la estructura el efecto de la fuerza axial es
considerable, por lo que la rtula plstica debe considerar la interaccin entre el
momento flector M y la carga axial N. Esto se debe a que un incremento de la carga
axial produce una variacin en el momento plstico de la seccin. Las
combinaciones entre carga axial y momento para las cuales se produce la
plastificacin de la seccin se conoce habitualmente como curva de interaccin del
elemento (superficie de fluencia en el caso tridimensional). Esta superficie queda
definida para una seccin en base a su geometra y materiales.
La Figura 4.1 muestra el modelo tpico de marco flexural considerado en
este estudio. En este se aprecia que cada piso tiene un solo grado de libertad
horizontal, mientras que el resto de los nodos (achurados) del modelo tienen adems
grados de libertad verticales y rotacionales. Los nodos no-achurados son nodos
internos de los elementos, donde se forman las rtulas plsticas.
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Figura 4.1: Modelo de edificio de marco flexural
La ecuacin que gobierna el movimiento del marco flexural bajo la
accin de un movimiento ssmico en la base, se expresa como
( ) ( ) ( ) ( )ttt gT urMvFLuCuM &&&&& =++ (4.1)
donde Mes la matriz de masas; Ces la matriz de amortiguamiento; ues el vector de
desplazamientos relativos de las masas con respecto al suelo; L es la matriz de
transformacin cinemtica (v =Lu);Fes el vector de fuerzas de los elementos no-lineales; v es el vector de deformaciones de los elementos no-lineales; gu&& es la
aceleracin del suelo, la cual puede tener una componente horizontal y otra vertical;
y res vector de influencia.
Los elementos no-lineales utilizados en la modelacin corresponden a
vigas y columnas.
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Las vigas consideran deformacin por corte y flexural. Los extremos del
elemento corresponden a rtulas elastoplsticas, en las que se define su rigidez
elstica k y su momento de fluencia My.
Por su parte, las columnas consideran deformacin axial, flexural y de
corte. En sus extremos existen rtulas elastoplsticas, definidas a travs de una
superficie de interaccin (M-N). En la Figura 4.2 se muestra un modelo de curva de
interaccin.
M
N
Curva de Interaccin
M
N
Curva de Interaccin
Figura 4.2: Curva de interaccin
4.2 Propiedades del Sistema
Los modelos analizados en este estudio corresponden a marcos de
hormign armado. Para ajustar las propiedades de vigas y columnas, es necesario
definir un criterio a travs del cual asignar las propiedades de las rtulas en los
extremos de los elementos.
Para determinar las propiedades de las rtulas plsticas se define un largo
de plastificacin del elemento, Lp. Este corresponde a la menor de las dimensiones
entre el alto y el ancho de la seccin del elemento. Con esto se define adems L que
es la longitud del elemento elstico central, como se muestra en la Figura 4.3.
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Lp LpLLp LpL
Figura 4.3: Largo de plastificacin de las vigas
Para obtener las propiedades de las columnas, definimos un largo de
plastificacin del elemento Lp y un largo L del elemento elstico igual al definido
para las vigas, como se muestra en la Figura 4.4.
L
Lp
Lp
L
Lp
Lp
Figura 4.4: Largo de plastificacin de las columnas
Para determinar las propiedades de rigidez inicial de las rtulas, se
analiza primero el caso de las columnas que es ms general. De hecho, la rigidez
elstica de las vigas se deduce de la misma forma que la de las columnas, sin
considerar los esfuerzos axiales, que estn desacoplados de los flexurales.
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El objetivo es determinar la rigidez elstica de la rtula, definida como se
indica en la Figura 4.5, a partir del elemento elstico de largo Lpque se muestra en la
Figura 4.6.
Figura 4.5: Definicin de deformaciones de las rtulas de las columnas
Lp
1 2
Lp
1 2
Figura 4.6: Definicin del elemento elstico de largo Lp
La matriz de rigidez Krdel elemento de largo Lpresulta
=
2
1
2
1
pp
pp
pp
pp
2
1
2
1
r
LIE4LIE200
LIE2LIE400
00LEALEA
00LEALEA
M
M
N
N
444444444 3444444444 21K
(4.2)
Como las rigideces axiales y flexurales estn desacopladas, podemos
escribir la siguiente relacin
=
2
1
pp
pp
2
1
LEALEA
LEALEA
N
N
4444 34444 21K
(4.3)
Una de las posibles relaciones cinemticas entre las deformaciones de la
rtula y las deformaciones del elemento elstico (existen infinitas, sin embargo,
todas dan el mismo resultado) es
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{
=
r
1
0
2
1
a
(4.4)
Luego, la rigidez axial de la rtula es
prTr LEAk == aKa
lo cual es coherente con la rgidez axial de un elemento elstico de largo Lp.
Para determinar la rigidez flexural de la rtula, no es posible realizar un
procedimiento similar al caso anterior. Esto se debe a que no existe una relacin
cinemtica inequvoca entre las deformaciones de la rtula y las del elemento
elstico que produzca una rigidez desacoplada entre 1 y 2. Es por eso que en este
caso se utiliza la deformada en la viga que provoca que no exista esfuerzo de corte.
Esta es la correspondiente a 1 = -1 y 2 = 1. Con esto, la rigidez flexural de la rtulaes pLIE2k = .
Resumiendo, las propiedades de los elementos rtula son pLIE2k =
para las vigas y pLIE2k = ; pLEAk = para las columnas.
Los momentos de fluencia para las vigas y las curvas de interaccin paralas columnas se calculan a parir de sus propiedades geomtricas y de los materiales
utilizados.
En el caso de las columnas, la curva de interaccin se define por
simplicidad a travs de un polgono de seis vrtices. En la Figura 4.7 se presenta una
curva de interaccin tpica para una seccin de hormign armado. En ella My
corresponde al momento de fluencia con P=0; Pb y Mb a los esfuerzos axial y
momento para el balance; Pyces la carga axial de rotura en compresin; y Pytes la
carga axial de fluencia en traccin.
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M
P
Pyc
Pyt
My Mb-Mb -My
Pb
M
P
Pyc
Pyt
My Mb-Mb -My
Pb
Figura 4.7: Curva de interaccin tpica de una seccin de hormign armado
Para utilizar la curva de interaccin en el modelo de marco flexural, es
necesario tener en cuenta dos aspectos. Primero, la curva de interaccin mostrada en
la Figura 4.7 considera la carga de compresin P como positiva en compresin,
mientras que en el modelo de la rtula la carga positiva corresponde traccin
(Seccin 5.3). Por esto es necesario invertir los signos de la carga axial en la curva,
como se indica en la Figura 4.8.
Cuando la estructura se encuentra en reposo, las columnas soportan una
carga de compresin esttica. Esta es la carga inicial con la que la estructura inicia su
movimiento durante un terremoto. Para considerar la carga axial de compresin
inicial en las columnas, que afecta directamente al momento flector en que la
columna se plastifica, se opt por realizar una translacin vertical de la curva. La
magnitud de esta translacin corresponde a la carga inicial N0. Este procedimiento se
ilustra esquemticamente en la Figura 4.8.
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V. ELEMENTOS NO-LINEALES Y MTODO DE INTEGRACIN
En esta investigacin se implementaron tres elementos no-lineales. El
elemento elastoplstico se utiliza para modelar las columnas en los edificios de corte.
Para la modelacin de los marcos flexurales se crearon dos macro-elementos, uno
utilizado para modelar las vigas y el otro para las columnas.
La implementacin computacional se realiza en MATLAB, utilizando
algunas rutinas y la estructura organizacional del toolbox de anlisis estructural
MECANO.
5.1 Elemento Elastoplstico
El primer elemento utilizado en este estudio es el correspondiente al
unidimensional elstoplastico. La deformacin y la fuerza F del elemento pueden
corresponder a una geometra axial (N-u), geometra de corte (V-v), a una geometra
asociada a momento y giro (M-), as como a cualquier relacin geomtrica de una
dimensin.
5.1.1 Modelacin del elemento
El elemento elastoplstico puede ser modelado de la siguiente manera:
Figura 5.1: Definicin del elemento elastoplstico
La constitutiva elastoplstica queda definida por una rigidez elstica k yuna fuerza de fluencia Fy. Al inicio de la carga el sistema es lineal elstico con
rigidez k, mientras no se exceda la fuerza de fluencia Fy. La deformacin para la cual
la fluencia comienza es y. Cuando el elemento alcanza Fy fluye, mantenindose la
fuerza constante mientras la deformacin avance en la misma direccin. En esta
etapa la rigidez tangente es cero.
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La Figura 5.2 muestra un ciclo tpico de carga, descarga y nueva carga
para un elemento elastoplstico. Las cargas y descargas se producen siempre con la
misma rigidez elstica k. Adems la deformacin de fluencia Fyes simtrica, es decir
para las dos direcciones de deformacin, el elemento fluye con la misma fuerza.
1
k
1
k
1
k
F()
Fy
-Fy
y
1
k
1
k
1
k
F()
Fy
-Fy
y
Figura 5.2: Relacin fuerza-deformacin elastoplstica
5.1.2 Implementacin
Se considera que la integracin se encuentra en un instante k, en el cual
se conoce el estado del elemento, es decir su deformacin ky su fuerza Fk. Interesa
conocer el estado del elemento en el instante siguiente k+1, en el que se conoce (a
travs de un predictor) la deformacin k+1del elemento. En ese instante se quiere
determinar su fuerza Fk+1.
El algoritmo utilizado para calcular la fuerza es el siguiente:
Etapa i):Se evala la fuerza tentativa en el instante k+1 tal que 1kF + = Fk+ k(k+1- k).
Etapa ii):
si 1kF + > Fy, entonces Fk+1= Fy
si 1kF + < -Fy, entonces Fk+1= -Fy
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si -Fy 1kF + Fyentonces Fk+1= Fk+ k(k+1- k).
5.1.3 Ejemplo
A continuacin se muestra un ejemplo de un elemento elastoplstico con
rigidez elstica k=1 y fuerza de fluencia Fy=1. Para eso se le impone una historia de
deformaciones, y se evalan las fuerzas del elemento. Los resultados se presentan en
las figuras siguientes.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3
-2
-1
0
1
2
3
De
formac
in
()
Figura 5.3: Historia de deformaciones del elemento elastoplstico
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-1
-0.5
0
0.5
1
Fuerza
(F)
Figura 5.4: Historia de fuerzas del elemento elastoplstico
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-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fuerza(F)
Deformacin ()
Figura 5.5: Curva fuerza-deformacin elemento elastoplstico
5.2 Elemento Viga con Plastificacin en los Extremos
El macro-elemento viga creado debe dar cuanta del efecto de
plastificacin en los extremos de las vigas, en los que se produce una relacin
elastoplstica.
5.2.1 Modelacin del elemento
El macro-elemento viga consta de tres elementos ensamblados en serie.
El elemento central es una viga flexural, con propiedades elsticas. En los extremosse conectan rtulas (i y j) en las que su relacin giro y momento (M-) es
elastoplstica. La modelacin considera la siguiente distribucin de grados de
libertad (GDLs):
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v1
v6v5 v4
v3
v2
i j
v1
v6v5 v4
v3
v2
i j
Figura 5.6: Definicin del macro-elemento viga
Los primeros cuatro GDLs corresponden a las deformaciones conocidas
e impuestas sobre el elemento, y en los cuales se aplican las fuerzas externas. Estos
cuatro GDLs sern llamados GDLs externos. Las deformaciones de los dos GDLsrestantes, 5 y 6, son desconocidas y son calculadas a partir de la condensacin
esttica realizada. A estos se les llama GDLs internos.
Las propiedades del elemento central elstico son un largo L, momento
de inercia I, mdulo de elasticidad E, un mdulo de corte G y un rea de corte A s. La
matriz de rigidez elstica del elemento (sin considerar las rigideces de los elementos