Ajuste de DatosLa interpolacin presupone el conocimiento certero de los valores de f(x) en ciertos puntos.

En un experimento fsico la funcin f(x) se conoce a travs (x,y), y una aproximacin del error; vale decir:

yi = F(x) + ii = 1,2,...,m

Siendo n el error o ruido y m el nmero de datos.

El objetivo del ajuste de datos es aproximar los datos mediante una funcin, que represente la mayor parte de la informacin y escaso ruido: anlisis conocido como de regresin.

Aproximacin de mnimos cuadrados La forma de la funcin F(x) depende del problema (La tendencia de los datos); sea :

donde n es nmero de sumando y fi son funciones bsicas, determinadas al conocerse un problema.

La evaluacin de xi en las fj genera :

equivalente en modo matricial :

La matriz de valores de las funciones bsicas

es :x ij = fj (xi )

del sistema de ecuaciones Xc = y + , se tiene :

=Xc - y

Al minimizar la proximacin de los errores, se minimiza la norma del error. Se usa la solucin por mnimos cuadrados :

desde

Minimizando con referencia a ck

equivalente a : (Xc y)T X = 0 X T (Xc y ) = 0 X T Xc = X T y

que son conocidas como ecuaciones normales.

Tcnica de DoolittePartiendo de una recta de regresin para F(x)

F(x) = c1 + c2 x + c3 x2

se encuentra que la matriz de funcin bsica es de orden n = 3.

X =

X TX es

X TX = y

X T y =

Sean los datos : (-2,2), (-1,-1), (0,0), (1,-1), (2,2)

X =

X T =

X T X =

y =

X T y =

El sistema :

( X T X) c = ( X T y) es :

obtenindose: c1 = -2, c2 = 0 , c3 = 1

luego :F(x) = -2 + x2

Fig. 4.18 : Mincua.m

A continuacin se presenta el caso de F(x) es una recta de regresin

F(x) = c1 + c2 x

y los puntos : (1,3), (2,4), (3,5) y (4,6)

X =

X T =

X T X =

X T y

el sistema de ecuaciones es :

tiene solucin: c1 = 2 y c2 = 1

yF(x) = 2 + x

Interpolacin segmentaria o spline Cuando se interpola polinomios de grado grande, el tamao del error tambin es considerable. Se sugiere dividir el intervalo de los puntos x0 , x1 ,....., xn en varios segmentos y buscar el polinomio interpolante para cada caso; haciendo que los cambios entre ellos no sean abruptos, sino suavizados.

La interpolacin segmentaria o spline tiene su origen en las plantillas que hacen uso los dibujantes para suavizar las curvas entre los puntos de un segmento.

Interpolacin segmentaria linealDefiniendo :

y

se tiene la forma

en x = 8.0

La expresin general para un spline lineal es :

S(x) = yi + mi (x xi ) para xi x xi+1

donde mi = ( yi+1 yi ) / (xi+1 xi ) , y

Fig. 4.19

Fig. 4.20 : Spline1.m

Spline cbico Sea el intervalo [a,b] con (n+1) puntos con:

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b

la funcin S es llamada un spline cbico, si cumple :

1. Es diferenciable y continua en [a,b].2. S coincide en cada intervalo [xi , xi+1], i = 0,1,...,(n-1) con un polinomio de grado 3.

La funcin S spline cbico posee n polinomio cbicos S(x), con las siguientes propiedades :1.

2. S(xi ) = yi el spline pasa por cada punto, i = 0,1,..., n.

3. Si (xi+1) = Si+1(xi+1) el spline forma una funcin continua, i = 0,1,..., n-2

4. Si (xi+1) = Si+1(xi+1) el spline forma una funcin suavisada, i = 0,1,..., n-2

5. Si (xi+1) = Si+1(xi+1) la segunda derivada es continua, i = 0,1,..., n-2

Para cada particin en [a,b], se tiene :

hi+1 = xi+1 xii = 0,1,..., n-1

Mi = S(xi ), siendo Mi el momento de S.

De la definicin de la interpolacin de Lagrange y sabiendo que la derivada segunda en una funcin cbica es una lnea, se tiene :

al integrar Si (x) ,

De Si (xi ) = yi y Si (xi+1) = yi+1

las constantes de integracin Ai , Bi son :

Para determinar los coeficientes i , i , i y i , se plantea :

Fig. 4.21 : Spline3.m

Por cada [xi , xi+1 ] existen cuatro incgnitas, luego el spline cbico tiene aparentemente 4n incgnitas. Se plantean las siguientes ecuaciones:

1. De la propiedad 4, Si (xi+1 ) = Si+1(xi+1) , con :

Se tiene un conjunto de ecuaciones :

Como , , , , son funcin de M0 , M1, ..., Mn , entonces slo se requieren (n+1) incgnitas.

2. Se tienen (n-1) ecuaciones y las otras dos ecuaciones se encuentran cuando se cumple :

S0(a) = M0 = 0 = Mn = Sn-1(b)

en este caso se dice que el spline es natural; o cuando :

S0(a) = y0 y Sn-1(b) = yn ,

y se tiene las ecuaciones :

en este caso que el spline es tipo grampa empalme (clamp).

Introduciendo las siguientes abreviaturas :

en el spline empalme, 0 = 0 , b0 = 0 , n = 0 , bn = 0 para i = 0 y n (en el spline natural); se tiene el sistema de ecuaciones lineales :

En notacin matricial :

que es un sistema triagonal (ver captulo 4) con:

con a0 = 0 y cn = 0.

Para n = 3 y los puntos (x,y) : (0,0) , (1 , 0.5), (2,3), (3,2) ; con la modalidad natural se tienen los resultados

x(x0 , x1)(x1 , x2)(x2 , x3)00.53.0-0.2672.0331.13302.300-3.2000.767-1.8331.067

Problemas1. Asumir f continua en [a,b] y x0 es un valor [a,b]f (x) = Pn(x) + Rn(x) Donde :

a) Si |x| < 1 la aproximacin :

Sen(x) = x x3/3! + x5/5! x7/7! + x9/9!

Encontrar P5(0.8) , P7(0.8) , R5(0.8) , R7(0.8)

b) Plantear un programa que evale Sen(x).

2. Definiendo

probar que :

3. Usar los polinomios de Lagrange para calcular y(1.18), a partir de la tabla :

xy1.051.101.151.201.251.301.0251.0491.0731.0951.1181.140

4. Usar la Interpolacin de Newton para calcular y(15), teniendo la tabla :

5. Encontrar la ecuacin de regresin para los puntos:

ixiyi01261020104160370

6. Encontrar la ecuacin de regresin para los puntos:

y la funcin:

7. Una interpolacin lineal en dos dimensiones, consiste en buscar un polinomio: z = P(x,y) = A + Bx + Cy que pasa por tres puntos (x0, y0, z0), (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2).

8. Una serie de la forma :

es llamada una aproximacin polinomial trigonomtrica de orden n ; siendo el grado m (n-1)/2.

Los coeficientes aj y bj son calculados por las frmulas :

Asumir que los pares ( xi , yi ) estn definidos como :

9. Utilizar la funcin griddata de MATLAB, para generar variables aleatorias (matrices x,y)

x ~ U(-2,2)y ~ U(-2,2)

10. Utilizar la funcin Lagrange.m para graficar el uso de la interpolacin de Lagrange.

Respuestas1. P5(x) = x x3 / 3! + x5 / 5! = 0.71739733

P5(x) = x7 / 7! = - 0.00004161

P7(x) = x x3 / 3! + x5 / 5! x7 / 7! = 0.71735572

P7(x) = x9 / 9! = 0.00000037

2. De

luego , y

De la definicin del polinomio :

reemplazando :

3.

P(x) = 1.08623

if (xi )Li (x)0123451.0241.0491.0731.0951.1181.1400.01075-0.087360.465920.69888-0.099840.01165

4. Para las diferencias divididas finitas :

P(x) = 104 + 14(x-x0) + 0.50 (x-x0)(x-x1) = 252.50

ixiF(xi )120126102010416037014210.50

5. Para los siguientes puntos :

con F(x) = c1 + c2x

El sistema : (XT X) c = (XT y) es:

con solucin : c1 = 1 , c2 = 1

6. Desde los datos

y la funcin F(x) = c1 + c2 x + c3 x2

con solucin : c1 = 1 , c2 = -1 , c3 = 1

7. Sea el sistema de ecuaciones :

para los puntos (x,y,z) : (1,1,5),(2,1,3),(1,2,9), el sistema de ecuaciones es :

el vector solucin es : A = 3 , B = -2 , C = 4 y la ecuacin resultante es : z = 3 2x + 4y

8. Sea f(x) = x/2 sobre [-, ], con n = 12 y m = 15. Los vectores resultantes :

a = (0.26180, -0.26180, 0.26180, -0.26180, 0.26180, -0.26180) , y

b = (0, 0.97705, -0.45345, 0.26180, -0.15115, 0.07015)

9. griddata Demox = rand (100,1)*4-2;y = rand (100,1)*4-2;z = x.*exp(-x.^2 y. ^2);t = 2:0.20:2;[xI,yI] = meshgrid(t,t);zI = griddata (x,y,z,xI,yI);mesh (xI,yI,zI);holdplot (x,y,z,o);hold off

Fig. 4 : griddata Demo

10.

Fig. 4 : lagranDemo.m

Fig. 4 : Ejecucin de lagranDemo.h

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