INTERPOLASI

Rumus Interpolasi Newton Maju dan Mundur

Pandang y = f(x) suatu fungsi yang mempunyai nilai – nilai y0, y1, . . . , yn pada x0,

x1, . . . , xn. Andaikan Pn(x) adalah suatu polinomial dalam x derajat n, maka Pn(x) dapat

ditulis sebagai berikut :

Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2 (x-x0) (x-x1) + a3(x-x0) (x-x1) (x-x2) + . . . . . . . . . . . . . . .

+ an(x-x0) (x-x1) (x-x2) . . . . . . . . (x-xn-1) (2)

Akan ditentukan koefisien – koefisien a0, a1, . . . . . . , an sehingga Pn(xi) = yi(i = 0, 1, . . .

. . ., n). Dengan xs = x0 + sh, dimana s bilangan bulat positif, maka :

=

=

=

Akhirnya didapat :

Nilai ai (i = 0, 1, . . . . . .. . ., n) dimasukkan dalam (1) diperoleh :

8

(2)

Ini disebut rumus Newton untuk interpolasi maju; digunakan untuk mendapatkan nilai

yang mendekati awal dari tabel.

Dengan mengambil dan xs = x0 + sh (s bilangan bulat positif), didapat

Maka rumus Newton (2) menjadi sederhana :

atau :

Rumus Newton yang lain adalah rumus Newton untuk interpolasi mundur. Rumus ini

digunakan untuk mendapatkan nilai yang mendekati nilai akhir dari tabel.

Untuk memperoleh rumus Newton mundur didapat dari rumus Newton maju dengan

mengganti x0 dengan xn, x1 dengan xn-1, .........................................................................

..........................................................., .............................., xk dengan xn-k, sehingga :

Dengan mengambil dan , ; dip[eroleh :

x –x n = uh

x – xn-1 = x (xn – h) = uh + h = h(u+1)

x – xn-2 = x (xn – 2h) = uh + 2h = h(u+2)

x – xn-3 = x (xn – 3h) = uh + 3h = h(u+3)

Maka didapat rumus Newton untuk interpolasi mundur :

9

+

Untuk rumus Newton mundur dipakai tabel beda-horisontal, sedangkan untuk rumus

Newton maju dipakai tabel beda-diagonal. Dengan tabel untuk beda yang mundur,

rumus Newton-mundur ditulis sebagai berikut :

+

Contoh 1 :

Diberikan : tabel Log x berikut dimana misalnya 0.0414 ditulis 414 ; 0.0378 ditulis 378.

x y = log x Δ y Δ2 y Δ3 y Δ4 y

10 1.0000

4114

11 1.0414 -36

378 5

12 1.0792 -31 1

347 6

13 1.1139 -25

322

14 1.1461

Ditanyakan : 1). log 11.4 dan 2). log 14.5 ; s/d 4D.

Penyelesaian :

1). Oleh karena 11.4 da di dekat awal dari tabel, maka : digunakan rumus interpolasi

Newton Maju.

= 11.4 – 10 = 1.4

10

=

= 1.05692624 = 1.0569.

Jadi log 11.4 = 1.0569

2). Oleh karena 14.5 ada di dekat akhir tabel, maka gunakan rumus interpelasi Newton

Mundur :

= 14.5 – 14 = 0.5

=

Jadi log 14.5 = 1.1614

Contoh 2 :

Diberikan : sin 450 = 0.7071 ; sin 500 = 0.7660 ;

sin 550 = 0.8192 ; sin 600 = 0.8660

Ditanyakan : Agar penulisan tidak panjang maka pada tabel, tanda desimal dihilangkan

dengan mengambil Ux = 104 sin (450 + 5x).

Misalkan θ = 5x + 450 ; maka untuk θ = 520 berarti x = 1.4

θ x Ux Δ Ux Δ2 Ux Δ3 Ux

450 0 7071

589

500 1 7660 -57

532 -7

550 2 8192 -64

468

550 3 8660

Pandang Δ3 Ux konstan. Ini berarti bahwa fungsi interpolasi adalah sebuah polinomial

derajat tiga.

11

Maka :

x = 1.4 U1.4 = 7071 + 1.4 (589) +

= 7071 + 824.6 – 15.96 + 0.392 = 7880.032

Jadi sin 520 = 0.7880

Beda Terbagi

Untuk f(x) yang terdiferensialkan, maka yang dimaksud dengan beda terbagi yang

pertama untuk titik x0 dan x1 didefinisikan sebagai :

Beda terbagi yang ke dua untuk titik-titik x0 , x1 dan x2 adalah :

Untuk beda terbagi yang ke-n adalah :

Tabel untuk beda terbagi adalah sebagai berikut :

x y = f(x) f1 f2 f3

x0 y0

f(x1,x0)

x1 y1 f(x2,x1,x0)

f(x2,x1) f(x3,x2,x1,x0)

x2 y2 f(x3,x2,x1)

f(x3,x2) f(x4,x3,x2,x1)

x3 y3 f(x4,x3,x2)

f(x4,x3) f(x5,x4,x3,x2)

. . .

. . .

. . .

. . f(xn-2,xn-3) f(x3,x2,x1,x0)

12

. .

x y = f(x) f1 f2 f3

f(xn-1,xn-2,xn-3)

xn-2 yn-2

f(xn-1,xn-2) f(xn,xn-1,xn-2,xn-3)

xn-1 yn-1 f(xn,xn-1,xn-2)

f(xn,xn-1)

xn yn

Keterangan :

f1 = beda terbagi pertama

f2 = beda terbagi ke dua

Beda terbagi adalah merupakan suatu fungsi yang simetris, karena :

f(x0 , x1 , x2) = f(x2 , x1 , x0)

Juga :

f(x0 , x1 , x2 ,......,xn ) = f(xn , x0 , x1 ,......,xn-1 )

= f(x0 , xn , x1 ,......,xn-1 )

Hubungan antara beda terbagi dan beda biasa adalah sebagai berikut :

→ f (x0 , x1 , x2 ,......,xn ) =

Rumus Interpolasi Newton Umum

13

Bentuk lain dari beda tertinggi adalah sebagai berikut :

f(x) = f(x0) + (x – x0) f(x,x0)

f(x,x0) = f(x0,x1) + (x-x1) f(x,x0,x1)

f(x,x0,x1) = f(x0,x1,x2) + (x-x2) f(x,x0,x1,x2)

. . .f(x,x0,.....,xn-1) = f(x0,x1,........,xn) + (x-xn) f(x,x0,.........,xn)

Maka :

f(x) = f(x0) + (x-x0) f(x0,x1) + (x-x1) f(x,x0,x1)

= f(x0) + (x-x0) f(x0,x1) + (x-x0) (x-x1) f(x,x0,x1)

= f(x0) + (x-x0) f(x0,x1) + (x-x0) (x-x1) f(x0,x1,x2) + (x-x0) (x-x1) (x-x2) f(x0,x1,x2,x3)

+ ............+ (x-x0) (x-x1) .....(x-xn-1) f(x0,x1,x2,.........,xn)

y = y0 + (x-x0) f(x0,x1) + (x-x0) (x-x1) f(x0,x1,x2) + (x-x0) (x-x1) (x-x2) f(x0,x1,x2,x3)

+ .......+ (x-x0) (x-x1) .........(x-xn-1) f(x0,x1,x2,.............,xn)

Ini disebut rumus Newton untuk beda terbagi atau disebut rumus interpolasi Newton

umum

Contoh. Dari tabel dibawah ini tentukan log 323.5

x log x f1 f2 f3

321.0 2.50651

0.00134444

322.8 2.50893 -0.00000158

0.00134286 0.00000022

324.2 2.51081 -0.00000244

-0.00133750

325.0 2.51188

Penyelesaian : x0 = 322.8 ; y0 = 2.50893 ; x1 = 324.2

x2 = 325.0 ; x = 323.5

y = log 323.5 = 2.50893 + (323.5 – 322.8) (0.00134286) + (323.5 – 322.8)

(323.5 – 324.2) (-0.00000244)

= 2.50893 + 0.000940 + 0.0000012

= 2.50987

Rumus Interpolasi dari Lagrange

14

Berikut ini diuraikan rumus interpolasi Lagrange yang dapat digunakan jika

penambahan variabel bebas adalah sama atau tidak sama.

Pandang tabel dari nilai-nilai x dan y berikut, dimana y = Ux untuk (n+1) nilai-nilai x

yang diberikan dan dimana Uxi = Ui’. Seperti biasanya Ux adalah fungsi interpolasi

untuk y = f(x).

x x0 x1 x2 x3 ............... xn-1 xn

y = Ux U0 U1 U2 U3 ............... Un-1 Un

Misalkan

Ux = AO (x-x1) (x-x2) (x-x3) ................ (x-xn) +

= A1 (x-x1) (x-x2) (x-x3) ................ (x-xn) +

= A2 (x-x1) (x-x2) (x-x3) ................ (x-xn) +

....................................................................

....................................................................

An (x-x1) (x-x2) (x-x3) ................ (x-xn-1) +

Jadi masing-masing suku dari (1) adalah derajat n karena itu (1) adalah suatu

polinomial derajat n.

Untuk menentukan (n+1) buah konstanta-konstanta A0 , A1 , A2 , A3 , .........., An

memerlukan (n+1) himpunan nilai-nilai yang diberikan yang memenuhi (1)

Ambil (xo,Uo) yang memenuhi (1), maka :

Uo = Ao (x0-x1) (x0-x2) ............ (x0,xn)

atau

Dengan memenuhi (x1,U1) , (x2,U2) , ............ , (xn,Un) yang masing-masing memenuhi

(1), maka diperoleh :

...................................................................

Nilai-nilai A0 , A1 , A2 , ............. , An ini disubstitusikan dalam (1) maka diperoleh

rumus Interpolasi Lagrange :

15

..................................................+

Contoh :

Dapatkan log 656 jika diberikan log 654 = 2.8156 , log 658 = 2.8182 , log 659 =

2.8189 , log 661 = 2.8202

Penyelesaian

= 2.8168

Contoh 2

Tentukan suatu polinomial yang memenuhi nilai-nilai berikut :

X 1 3 4 6

Y -7 5 8 14

Penyelesaian :

=

Karena rumus Lagrange hanya suatu hubungan antara dua variabel saja, maka x atau y

dapat sebagai variabel bebas. Kalau y sebagai variabel bebas, maka rumus Lagrange

menjadi :

Contoh 3. Tentukan nilai x yang memenuhi

dengan menggunakan daftar dibawah ini :

16

x

0.4846555 0.46

0.4937452 0.47

0.5027498 0.48

0.5116683 0.49

Penyelesaian : Dengan menggunakan rumus (3), dimana :

y = ½ = 0.50 , x = 0.45 , x1 = 0.47 , x2 = 0.48 , x = 0.49

; maka didapat x = 0.476937

Rumus Interpolasi Gauss, Stirling dan Bessel

Dengan bantuan tabel beda dapat diturunkan rumus-rumus interpolasi yang berguna

x Ux

-3 U-3

ΔU-3

-2 U-2 Δ2U-3

ΔU-2 Δ3U-3

-1 U-1 Δ2U-2 Δ4U-3

ΔU-1 Δ3U-2 Δ5U-3

0 U0 Δ2U-1 Δ4U-2 Δ6U-3

ΔU0 Δ3U-1 Δ5U-2

1 U1 Δ2U0 Δ4U-1

ΔU1 Δ3U-0

2 U2 Δ2U1

ΔU2

3 U3

Dari tabel beda diagonal aiatas tampak bahwa :

Δ2U0 = Δ2U-1 + Δ3U-1

Δ3U0 = Δ3U-1 + Δ4U-1 = Δ3U-1 + Δ4U-2 + Δ5U-2

Substitusikan kedalam rumus Newton maju :

17

diperoleh rumus interpolasi Gauss maju :

(1)

Rumus ini menggunakan beda-beda gasal tepat dibawah garis sentral dari U0 dan beda-

beda genap pada garis sentral.

Bentuk lain dari rumus Gauss :

Karena ΔU0 = ΔU-1 + Δ2U-1

Δ3U-1 = Δ3U-2 + Δ4U-2

Δ5U-2 = Δ5U-3 + Δ6U-3 ; masuk (1)

maka diperoleh rumus interpolasi Gauss mundur :

(2)

Rumus ini menggunakan beda-beda gasal tepat diatas garis sentral melalui U0 dan

beda-beda genap pada garis sentral.

Rata-rata dari (1) dan (2) memberikan rumus interpolasi dari Stirling :

Rumus ini menggunakan rata-rata dari beda gasal diatas dan dibawah garis sentral ; dan

beda genap pada garis sentral. Rumus interpolasi dari Bessel diperoleh demikian :

18

dimana :ΔU = ½ (ΔU-1 + ΔU0) (3)

Δ3U = ½ (Δ3U-1 + Δ3U-2)

Δ5U = ½ (Δ5U-3 + Δ5U-2)

Dari tabel : Δ3U-1 = Δ2U0 - Δ2U-1

Δ5U-2 = Δ4U-1 - Δ4U-2

Δ7U-3 = Δ6U-2 - Δ6U-3 ; masuk (1) ;

diperoleh rumus interpolasi dari Bessel :

Contoh :

Nilai-nilai dari diberikan pada tabel berikut dari

t = 0 s/d t = 3 dengan jarak interval t = 0.5

t x Ux

0.00 -2 0.000000

0.19146146

0.50 -1 0.0919646 -0.00108156

0.14988988 -0.01605645

1.00 0 0.0433134 -0.00805803 0.00609669

0.09185 0.01024 -0.01666

1.50 1 0.43319 -0.04779 0.01003

0.04406 0.02027 -0.01446

2.00 2 0.47725 -0.02752 -0.00443

0.01654 0.01584

2.50 3 0.49379 -0.01168

0.00486

3.00 4 0.49865

Ditanyakan : Ut bila t = 1.22 dengan :

a). Rumus interpolasi Stirling

19

dimana :Δ2U = ½ (Δ2U-1 + Δ2U0)

Δ4U = ½ (Δ4U-2+ Δ4U-1)

b). Rumus interpolasi Bessel

Penyelesaian :

Karena pada t = 1.22 ada didekat tengah dari tabel, maka dipilih x = 0 pada t = 1.

Agar supaya ordinat berjarak sama pada unit interval ; diambil x = 2t – 2. Bila t

= 1.22 maka x = 0.44

a). ΔU = ½ (ΔU-1 + ΔU0) = ½ (0.14988 + 0.09185) = 0.120865

Δ3U = ½ (Δ3U-1 + Δ3U-2) = ½ (0.01024 – 0.01645) = -0.003105

= 0.34134 + 0.05318 – 0.00562 + 0.00018 – 0.00017

= 0.38891

b) Δ2U = ½ (Δ2U-1 + Δ2U0) = ½ (-0.05803 – 0.04779)

= 0.05291

Δ4U = ½ (Δ4U-2+ Δ4U-1) = ½ (0.02669 + 0.01003)

= 0.01836

= 0.34134 + 0.04011 + 0.00652 + 0.00003 + 0.00041 + 0.000005

= 0.38873

Interpolasi Trigonometrik

Jika fungsi diketahui periodik maka digunakan interpolasi trigonometrik.

Rumus Hermite untuk interpolasi fungsi periodik adalah :

Fungsi ini mempunyai periode 2π, seperti tampak jika x diganti x + 2π dan bahwa y

= y0 untuk x = x0 , y = y1 untuk x = x1 , dan seterusnya

20

Rumus Hermite ini untuk fungsi-fungsi periodik sesuai dengan rumus Lagrange

untuk fungsi-fungsi yang non-periodik dan digunakan untuk nilai-nilai x yang

berjarak sama atau tidak.

Contoh. Diketahui :

x 0.4 0.5 0.7 0.8

y 0.0977 0.0088 -0.1577 -0.2192

Tentukan nilai dari y untuk x = 0.6 radian

Penyelesaian

x0 = 0.4 , x1 = 0.5 , x2 = 0.7 , x3 = 0.8 , x = 0.6

atau y = -0.01684 + 0.00592 – 0.10601 + 0.03778

= - 0.07915

21

Soal-Soal Latihan

1. Diberikan

x 2 4 6 8 10

y 9.34 10.56 12.24 13.48 15.34

Ditanyakan : y(2,4) dengan rumus interpolasi Newton-Maju

2. Diberikan

x 0.1 0.6 1.1 1.6 2.1

y 1.1567 1.8762 3.2234 4.8562 8.2354

Ditanyakan : e2.00 dengan rumus interpolasi Newton mundur

3. Diberikan

x(radian) 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

y = sin x 0.1494 0.1986 0.2474 0.2955 0.3429

Ditanyakan : sin 0.32 dengan rumus interpolasi Gauss maju / mundur

4. Selesaikan soal no.3 dengan rumus interpolasi dari Stirling dan Bessel

22