Integrales indeﬁnidas y el método de sustitucióntlacuatl.mx/docencia/ci/ci7.pdf · Integrales indeﬁnidas y el método de sustitución El teorema fundamental del cálculo establece

Integrales indefinidas y el método de sustitución

El teorema fundamental del cálculo establece que la integral definida de una funcióncontinua se puede calcular directamente, si podemos encontrar una antiderivada dela función.

En la lección previa estudiamos con cierto detalle las antiderivadas de una función.La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina elconjunto de todas las antiderivadas de una función dada.

Definición 7.0.1. La colección de todas las antiderivadas de la función f se llama laintegral indefinida de f respecto a x y se denota

∫

f (x)dx .

El símbolo∫

ya lo conocemos, pero en este caso adquiere otro significado. Ahora,∫

f dx representa a un conjunto de funciones, todas aquellas que sean antiderivadasde f . Este conjunto se puede describir de una forma muy simple, por lo antes visto.

∫

f (x)dx = F (x)+ c ,

donde F ′(x) = f (x). La expresión F (x) + c recibe el nombre de antiderivada generalde f . Por tanto, la antiderivación se considera como la operación para determinar elconjunto de todas las funciones que tienen una derivada dada.

Como la antiderivación es la operación inversa de la derivación, los teoremas deantiderivación se obtienen de los teoremas de diferenciación. Así, los siguientes re-sultados se pueden demostrar a partir de los correpondientes en diferenciación.

1.∫

dx =∫

1dx = x +C .

2.∫

a f (x)dx = a∫

f (x)dx , donde a es una constante.

3.∫

(f (x) + g (x))dx =∫

f (x)dx +∫

g (x)dx .

101

Universidad Autónoma Metropolitana IztapalapaProhibida su reproducción parcial o total con fines de lucro

102 CAPÍTULO 7. INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

4.∫

(c1 f1(x) + c2 f2(x)+ · · · + cn fn(x))dx = c1∫

f1(x)dx+ c2∫

f2(x)dx + · · ·+ cn∫

fn(x)dx ,donde c1, c2, . . . , cn son constantes.

Ejemplo 7.0.2.∫

2xdx = x2+ c

∫

cos xdx = sin x + c∫ (

sec2 x +1

2√x

)

dx = tan x +√x + c .

Ejemplo 7.0.3. Nos interesa evaluar,∫

(x2 − 2x + 5)dx .

Procedemos como a continuación se señala. Notamos que (x3/3) − x2+ 5x es una

antiderivada de x2 − 2x + 5, por lo que

∫

(x2 − 2x + 5)dx =

antiderivada︷︸︸︷

x3

3− x2+ 5x + c

︸︷︷︸

constante arbitraria

En caso de que no hubiésemos sido capaces de reconocer la antiderivada, la pode-mos generar usando la linealidad de la integral y resultados previos. A saber,

∫

(x2 − 2x + 5)dx =∫

x2dx − 2∫

xdx + 5∫

dx

=

(

x3

3+ c1

)

− 2(

x2

2+ c2

)

+ 5(x + c3)

=

x3

3+ c1 − x2 − 2c2 + 5x + 5c3.

Esta fórmula es inecesariamente complicada. En efecto, si combinamos c1,−2c2 y5c3 en una sola constante c , damos paso a

x3

3− x2+ 5x + c

y obtenemos todas las posibles antiderivadas. Por esta razón, es recomendable que seañada la constante al final.

∫

(x2 − 2x + 5)dx =∫

x2dx −∫

2dx +∫

5dx

=

x3

3− x2+ 5x + c .


103

Así, el teorema fundamental del cálculo establece que la integral definida de unafuncón continua se puede calcular directamente, si podemos determinar una an-tiderivada de la función. Dado que dos antiderivadas de f difieren sólo en unaconstante, la notación

∫

significa que para cualquier antiderivada F de f ,

∫

f (x)dx = F (x)+ c ,

donde c es una constante arbitraria. La relación entre antiderivada y la integraldefinida la ilustra el teorema fundamental,

∫ b

af (x)dx = F (b) − F (a)

= (F (b)+ c ) − (F (a)+ c )= [F (x)+ c ]ba

=

[∫

f (x)dx]b

a

.

Al encontrar la integral indefinida de una función f , recuerde que ésta siempreincluye una constante arbitaria c .

Un punto importante que hasta ahora no se ha hecho visible, es que no siemprees fácil determinar la antiderivada de una función. En lo sucesivo desarrollamosmétodos para encontrar antiderivadas, mejor conocidos como técnicas de integración.

Si u es una función de x diferenciable y n es cualquier número distinto de −1, laregla de la cadena establece que

d

dx

(

un+1

n + 1

)

= undu

dx.

Visto de otra forma, la misma ecuación indica que un+1/(n + 1) es una antiderivadade la función un(du/dx). Por lo tanto,

∫

undu

dxdx =

un+1

n + 1+ c . (1)

La ecuación (1) es igual a la integral más simple,

∫

undu =un+1

n + 1+ c ,

informalmente podemos decir que la expresión du se puede sustituir por (du/dx)dxal calcular la integral. Esto conduce al método de sustitución para calcular integral.Al igual que se hace para diferenciales, al calcular integrales ocurre

du =du

dxdx .



Ejemplo 7.0.4. ❶

∫

(5x4 − 8x3+ 9x2 − 2x + 7)dx

+ 5∫

x4dx − 8∫

x3dx + 9∫

x2dx − 2∫

xdx + 7∫

dx

= 5x5

2− 8 · x

4

4+ 9 · x

3

3− 3 · x

2

2+ 7x + c

= x5 − 2x4+ 3x3 − x2

+ 7x + c .

❷

∫

1x2dx =

∫

x−2dx

=

x−2+1

−2 + 1+C

=

x−1

−1+C

= −1x+C

❸

∫

3√xdx =

∫

x1/3dx

=

x13+1

13 + 1

+C

=

x4/3

43

+C

=

34x4/3+C .

❹

∫ √x

(

x +1x

)

dx =

∫

x1/2(x + x−1)dx

=

∫

(x3/2+ x−1/2)dx

=

x5/2

52

+

x1/2

12

+C

=

25x5/2+ 2x1/2

+C .


105

❺∫

5t2+ 7

t4/3dt = 5

∫

t2

t4/3dt + 7

∫

1t4/3

dt

= 5∫

t2/3dt +

∫

t−4/3dt

= 5

(

t5/3

53

)

+ 7

(

t−1/3

−13

)

+C

= 5(

35t5/3

)

+ 7(

−3t−1/3)

+C

= 3t5/3 − 21t1/3+C .

Otra vez, si apelamos a los resultados correspondientes en derivación, concluimoslas siguientes igualdades.

1.∫

sin xdx = − cos x +C

2.∫

cos xdx = sin x +C

3.∫

sec2 xdx = tan x +C

4.∫

csc2 xdx = − cot x +C

5.∫

sec x tan xdx = sec+C

6.∫

csc x cot xdx = − csc x +C

Recuerde las siguientes identidades trigonométricas.

1. sin x csc x = 1

2. tan x + sin xcos x

3. sin2 x + cos2 x + 1

4. cos x sec x = 1

5. cot x = cos xsin x

6. tan2 x + 1 = sec2 x

7. tan x cot x = 1

8. cot2 x + 1 = csc2 x

Ejemplo 7.0.5. ➀∫

(3 sec x tan x − 5 csc2 x)dx = 3∫

sec x tan xdx − 5∫

csc2 xdx

= 3 sec x − 5(− cot x) +C= 3 sec x + 5 cot x +C



➁

∫

2 cot x − 3 sin2 x

sin xdx

= 2∫

1sin x

cot xdx − 3∫

sin2 x

sin xdx

= 2∫

csc x cot xdx − 3∫

sin xdx

= 2(−c scx) − 3(− cos x)+C= −2 csc x + 3 cos x +C

➂∫

(tan2 x + cot2 x + 4)dx

=

∫

[(sec2 x − 1) + (csc2 x − 1) + 4]dx

=

∫

sec2 xdx +

∫

csc2 xdx + 2∫

dx

= tan x − cot x + 2x +C

Ejemplo 7.0.6. A partir de la gráfica de la función f mostrada en la figura, dibujeuna gráfica posible de F , una antiderivada de f , si F es continua en cualquier punto,F (0) = 4 y F (3) = 1.

Puesto que F es una antiderivada de f , f es la derivada de F . De la figura seobserva que f (3) = 0, de modo que F ′(3) = 0. Dado que f (x) < 0 cuando x < 3,entonces F ′(x) < 0 cuando x < 3. De forma semejante, F ′(x) > 0 cuando x > 3.Otro hecho que se observa de la figura es que f (0) = −2, esto es, F ′(0) = −2. Estainformación se incorpora en la tabla siguiente

A partir de esta tablas se dibuja una gráfica posible de F , que se muestra en lasiguiente figura.

En aplicaciones de antiderivación, con frecuencia se necesita determinar una an-tiderivada particular que satisfaga ciertas condiciones denominadas condiciones ini-ciales o de frontera, dependiendo de si ocurren en uno o en más de un punto. Por


107

ejemplo, si una ecuación que contine dy/dx está dada, así como la condición de quey = y1 cuando x = x1, después de que se determina el conjunto de todas las an-tiderivadas, si se sustituyen x y y por x1 y y1, respectivamente, se determina unvalor particular de la constante arbitraria C . Con este valor de C , se obtiene unaantiderivada particular.

Ejemplo 7.0.7. Suponga que se desea obtener una antiderivada particular que sat-isfaga la ecuación

dy

dx= 2x

y la condición inicial de que y = 6 cuando x = 2. A partir de la ecuación dada, se tiene

dy = 2xdx∫

dy =

∫

2xdx

y = x2+C

En la última ecuación sustituimos 2 por x y 6 por y para lograr

6 = 4 +CC = 2

Cuando sustituimos este valor de C en y = x2+C , obtenemos

y = x2+ 2

lo cual proporciona la antiderivada particular deseada.



Ejemplo 7.0.8. En cualquier punto (x , y) de una curva particular, la recta tangentetiene una pendiente igual a 4x − 5. Si la curva contiene al punto (3, 7), obtenga laecuación.

Como la pendiente de la recta tangente a una curva en cualquier punto (x , y) es elvalor de la derivada en ese punto, se tiene

dy

dx= 4x − 5

dy = (4x − 5)dx∫

dy =

∫

(4x − 5)dx

y = 4(

x2

2

)

− 5x +C

y = 2x2 − 5x +C (✡)

La ecuación (✡) representa una familia de curvas. Dado que se pretende determinarla curva particular de esta familia que contiene el punto (3, 7), se sustituye 3 por x y 7por y en (✡) para lograr,

7 = 2(9) − 5(3)+CC = 4

Al remplazar C por 4 en (✡) se obtiene la ecuación requerida, la cual es

y = 2x2 − 5x + 4.

Ejemplo 7.0.9. Calculemos∫

(x3+ x)5(3x2

+ 1)dx .Con este fin ponemos u = x3

+ x . Entonces,

du =du

dxdx = (3x2

+ 1)dx ,

así que, por substitución deducimos,∫

(x3+ x)5(3x2

+ 1)dx =∫

u5du sea u = x3+ x , du = (3x2

+ 1)dx ,

=

u6

6+ c integramos respecto a u

=

(x3+ x)66

+ c substituimos x3+ x por u .

En este caso, la integración resultó muy sencilla, pues al hacer la substitución u =x3+ x , la diferencial du aparecio automáticamente en el integrando (al hacer el cambio

a u) y pudimos integrar respecto a u . No siempre es tan sencillo.

Ejemplo 7.0.10. Encontremos la antiderivada∫ √

2x + 1dx .Esta vez la integral no se ajusta a la fórmula

∫

undu ,


109

con u = 2x + 1 y n = 1/2, pues

du =du

dxdx = 2dx ,

que no es precisamente dx , nos hace falta un 2. No obstante, podemos introducir estefactor si multiplicamos la integral que buscamos por 1, lo que no altera su valor. Peroescribimos el 1 como 2

2 .∫ √

2x + 1dx =22

∫ √2x + 1dx

=

12

∫ √2x + 1

︸︷︷︸

u

· 2dx︸︷︷︸

du

=

12

∫

u1/2du u = 2x + 1, du = 2dx

=

12u3/2

3/2+ c integramos respecto a u

=

13(2x + 1)3/2

+ c substituimos 2x + 1 por u .

Las substituciones que hicimos en los ejemplos previos, son casos particulares dela siguiente regla.

Teorema 7.0.11 (Regla de substitu ión). Si u = g (x) es una función diferenciable cuyorango es un intervalo I , y f es continua en I , entonces,

∫

f (g (x)) · g ′(x)dx =∫

f (u)du .

Demostración. Por la regla de la cadena, F (g (x)) es una antiderivada de f (g (x)) · g ′(x)siempre que F sea una antiderivada de f , porque

d

dxF (g (x)) = F ′(g (x)) · g ′(x) regla de la cadena

= f (g (x)) · g ′(x). F ′= f

hacemos la sustitución u = g (x), entonces∫

f (g (x))g ′(x)dx =∫

d

dxF (g (x))dx

= F (g (x)) + c= F (u) + c u = g (x)

=

∫

F ′(u)du

=

∫

f (u)du F ′= f .

�



Por supuesto, en la substitución podemos usar otras variables, a parte de u . Laregla proporciona un método para evaluar integrales de la forma

∫

f (g (x))g ′(x)dx entanto se satisfagan las hipótesis del teorema.

Hasta cierto punto, las siguientes etapas describen el método de substitución.

1. Substituya u = g (x) y du = (du/dx)dx = g ′(x)dx para lograr∫

f (u)du .

2. Integre respecto a u

3. Remplace u por g (x).

Ejemplo 7.0.12. Para evaluar∫

sec2(5x + 1)5dx , substituimos u = 5x + 1 y du = 5dx . Ental caso,

∫

sec2(5x + 1)5dx =∫

sec2 udu

= tanu + cd

dutan u = sec2 u

= tan(5x + 1) + c substituimos 5x + 1 por u .

Ejemplo 7.0.13. Para determinar∫

cos(7θ + 3)dθ, hacemos u = 7θ + 3, por lo que du =7dθ. El factor constante 7 no aparece en el término dθ en la integral. Remediamosesto multiplicando y dividiendo por 7, como antes lo hicimos. Entonces,

∫

cos(7θ + 3)dθ = 17

∫

cos(7θ + 3)7dθ

=

17

∫

cosudu

=

17

sin u + c

=

17

sin(7θ + 3)+ c .

Podemos describir otra solución. Si u = 7θ + 3 y du = 7dθ, despejamos dθ = 17du .

Entonces,∫

cos(7θ + 3)dθ =∫

cos u · 17du

=

17

sinu + c

=

17

sin(7θ + 3) + c .

Podemos comprobar que es solución simplemente derivando el resultado y verifcandoque obtenemos el integrando.


111

Ejemplo 7.0.14. En ocasiones la potencia de x que aparece en el integrando es menorque la potencia de x que aparece en el argumento de una función que pretendemosintegrar. Esta observación sugiere una substitución para la potencia mayor de x . Porejemplo,

∫

x2 cos x3dx =

∫

cos x3 · x2dx

=

∫

cos u · 13du u = x3, du = 3x2dx , (1/3)du = x2dx

=

13

∫

cosudu

=

13

sin u + c integramos respecto a u

=

13

sin x3+ c remplazando u por x3

Puede ocurrir que aparezca un factor x extra en el integrando al tratar de substituiru = g (x). En ese caso, es posible resolver la ecuación u = g (x) para x en términos de u .Remplazamos el factor extra x con la expresión puede dar lugar a una integral que sepuede evaluar.

Ejemplo 7.0.15. Considere la integral∫

x√

2x + 1dx . Por lo antes visto, procede lasubstitución u = 2x + 1 con du = 2dx . Entonces,

√2x + 1dx =

12√udu .

Sin embargo, en este caso la integral contiene un factor extra x que multiplica eltérmino

√2x + 1. Para remediar esto, despejamos x de u = 2x + 1 para obtener x =

(u − 1)/2, para dar paso a

x√

2x + 1dx =12(u − 1) · 1

2√udu .

Se sigue que,

∫

x√

2x + 1dx =14

∫

(u − 1)√udu

=

14

∫

(u − 1)u1/2du

=

14

∫

(u3/2 − u1/2)du

=

14

(

25u5/2 − 2

3u3/2

)

+ c

=

110

(2x + 1)5/2 − 16(2x + 1)3/2

+ c .



Ejemplo 7.0.16. 1.∫

sin2 xdx =

∫

1 − cos 2x2

dx

=

12

∫

(1 − cos 2x)dx

=

12x − 1

2sin 2x

2+ c

=

x

2− sin 2x

4+ c .

Empleamos la identidad sin2 x = 1−cos 2x2 .

2.∫

cos2 xdx =

∫

1 + cos 2x2

dx

=

x

2+

sin 2x4+ c

donde hemos usado la identidad cos2 x = 1+cos 2x2 .

Ejemplo 7.0.17. Tratemos de evaluar∫

2zdz3√z2+1

. Se ve complicada. Probemos con u =

z2+ 1, du = 2zd .

∫

2zdz3√z2+ 1=

∫

du

u1/3

=

∫

u−1/3du

=

u2/3

2/3+ c

=

32u2/3+ c

=

32(z2+ 1)2/3

+ c .

Intentemos con otro método. Sea u = 3√z2+ 1, u3

= z2+ 1, 3u2du = 2zdz .

∫

2zdx3√z2+ 1=

∫

3u2du

u

= 3∫

udu

= 3 · u2

2+ c

=

32(z2+ 1)2/3

+ c

A continuación presentamos numerosos ejemplos del método de substitución. Elalumno debe revisarlos con cuidado y emplearlos en lo posible para resolver los ejer-cicios.


113

Ejemplo 7.0.18.∫ √

3x + 4dx =∫

(3x + 4)1/2dx

=

∫

(3x + 4)1/2 13(3dx)

=

13

∫

(3x + 4)1/2(3dx)

13

∫

(3x + 4)1/2(3dx) = 13· (3x + 4)3/2

32

+ c

=

39(3x + 4)3/2

+ c .

Ejemplo 7.0.19. 1.∫

x2(5 + 2x3)8dx =∫

(5 + 2x3)8(x2dx)∫

x2(5 + 2x3)8dx = 16

∫

(5 + 2x3)8(6x2dx)

=

16(5 + 2x3)9

9+ c

=

154

(5 + 2x3)9 + c .

2.∫

x cos x2dx = 12

∫

(cos x2)(2xdx) = 12 sin x2

+ c .3.

∫

4x2

(1 − 8x3)4dx = 4

∫

(1 − 8x3)−4(x2dx)

= 4(

− 124

) ∫

(1 − 8x3)−4(−24x2dx)

= −16(1 − 8x3)−3

−3+ c

=

118(1 − 8x3)3

+ c .

Ejemplo 7.0.20. Queremos calcular∫

x2√

1 + xdx . Sea u = 1 + x , du = dx , x = u − 1.∫

x2√

1 + xdx =∫

(u − 1)2u1/2du

=

∫

(u2 − 2u + 1)u1/2du

=

∫

u5/2du − 2∫

u3/2du +

∫

u1/2du

=

u7/2

72

− 2u5/2

52

+

u3/2

32

+ c

=

27(1 + x)7/2 − 4

5(1 + x)5/2

+

23(1 + x)3/2

+ c



Presentamos otro método para calcular la integral. Considere

v =√

1 + x v2= 1 + x

x = v2 − 1 dx = 2vdv .

En consecuencia,

∫

x2√

1 + xdx =∫

(v2 − 1)2v(2vdv)

= 2∫

v6dv − 4∫

v4dv + 2∫

v2dv

=

27v7 − 4

5v5+

23v3+ c

=

27(1 + x)7/2 − 4

5(1 + x)5/2

+

23(1 + x)3/2

+ c .

Ejemplo 7.0.21. Para la siguiente integral ponemos u =√x , du = 1

2√xdx .

∫

sin√x

√x= 2

∫

sin√x

(

12√xdx

)

= 2∫

sin udu

= −2 cosu + c

= − cos√x + c .

Ejemplo 7.0.22. Queremos calcular∫

x4+2

(x5+10x)5dx . Ponemos u = x5

+ 10x , de modo que

du = (5x4+ 10)dx . En consecuencia,

∫

x4+ 2

(x5+ 10x)5

dx =

∫

x4+ 2u5

du

5x4+ 10

=

∫

x4+ 2

5(x4+ 2)

du

u5

=

∫

15du

u5

=

15

∫

du

u5

=

15

(

−14u−4

)

+ c

= − 120u4

+ c .


sin x√

1 − cos xdx , ponemos u = 1 − cos x , du = sin xdx .


115

Así,∫

sin x√

1 − cos xdx =∫

u1/2du

=

23u3/2+ c

=

23(1 − cos x)3/2

+ c .


tan x sec2 xdx empleamos dos métodos. Primero hace-mos u = tan x , du = sec2 xdx . De modo que

∫

tan x sec2 xdx =

∫

udu

=

u2

2+ c

=

12

tan2 x + c .

Como segunda opción proponemos v = sec x , dv = sec x tan xdx , de donde se sigue

∫

tan x sec2 dx =

∫

sec x(sec x tan xdx)

=

∫

vdv

=

v2

2+ c

=

12

sec2 x + c .

Parecería que los resultados son distintos. No obstante, notamos lo siguiente.Dado que sec2 x = 1+ tan2 x , las funciones definidas por 1

2 tan2 x y 12 sec2 x difieren por

una constante; de modo que cada una es una antiderivada de tan x sec2 x . Además, sepuede escribir

12

sec2 x + c =12(tan2 x + 1)+ c

=

12

tan2 x +12+ c

=

12

tan2 x + k k =12+ c .

Ejemplo 7.0.25. Una herida está sanando de manera que t días a partir del lunes elárea de la misma ha disminuido a una tasa de −3(t + 2)−2 centímetros cuadrados pordía. Si el martes el área de la herida fue de 2cm2; (a) ¿cuál era el área de la herida ellunes?; (b) ¿cuál será el área prevista de la herida el viernes si continúa sanando a esamisma tasa?



Sea A cm2 el área de la herida t días a partir del lunes. Entonces,

dA

dt= −3(t + 2)−2

A = −3∫

(t + 2)−2dt .

Debido a que d (t + 2) = dt , se obtiene

A = −3(t + 2)−1

−1+ c

A =3

t + 2+ c (❂)

Puesto que el martes el área de la herida fue de 2cm2, ocurre que A = 2 cuandot = 1. Al sustituir estos valores en (❂) se obtiene

2 = 1 + cc = 1.

Por tanto, de (❂) se cumple

A =3

t + 2+ 1 (✷)

(a) Para el lunes, t = 0. Sea A0 el valor de A cuando t = 0. De la ecuación (✷),

A0 =32+ 1

=

52

.

Por consiguiente, el área de la herida es de 2.5cm2.(b) Para el viernes, t = 4. Sea A4 el valor de A cuando t = 4. De la ecuación (✷),

deducimos

A4 =36+ 1

=

32

En consecuencia, para el viernes el área prevista de la herida será de 1.5cm2.

7.1 Substitución e integrales definidas

Existen dos métodos para evaluar integrales definidas por substitución. Uno es en-contrar la antiderivada mediante substitución y entonces evaluar la integral definida.El otros es extender el método de substitución a integrales definidas cambiando loslímites de integración.


7.1. SUBSTITUCIÓN E INTEGRALES DEFINIDAS 117

Teorema 7.1.1. Si g ′ es continua en [a, b] y f es continua en el rango de g (x) = u , entonces

∫ b

af (g (x)) · g ′(x)dx =

∫ g (b)

g (a)f (u)du .

Demostración. Sea F la antiderivada de f . Entonces,

∫ b

af (g (x)) · g ′(x) = F (g (x))

��x=b

x=a

pues ddxF (g (x)) = F ′(g (x))g ′(x) = f (g (x))g ′(x).

= F (g (b)) − F (g (a))= F (u)|u=g (b)

u=g (a)

=

∫ g (b)

g (a)f (u)du por el teorema fundamental

�

Para usar este teorema, hacemos la substitución u = g (x) y du = g ′(x)dx queemplearíamos para encontrar la integral indefinida correspondiente. Después inte-gramos la integral transformada respecto a u del valor g (a) (el valor de u en x = a) alvalor g (b) (el valor de u en x = b).

Ejemplo 7.1.2. Evaluemos∫ 1−1 3x2

√x3+ 1dx . Empleamos los dos métodos recién men-

cionados.Método 1. Transformamos la integral y evaluamos la integral nueva con los límite

dados por el teorema.

∫ 1

−13x2

√

x3+ 1dx =

∫ 2

0

√udu

Sea u = x3+ 1, du = 3x2dx . Cuando x = −1, u = (−1)3 + 1 = 0.

Cuando x = 1, u = (1)3 + 1 = 2.

=

23u3/2

��

2

0

=

23

[

23/2 − 03/2]

=

23[2√

2]

=

4√

23

.



Método 2. Transformamos la integral como una integral indefinida, integramos,regresamos a x y usamos los límites originales.

∫

3x2√

x3+ 1dx =

∫ √udu

Sea u = x3+ 1, du = 3x2dx .

=

23u3/2+ c Integramos con respecto a u

=

23u3/2+ c

=

23(x3+ 1)3/2

+ c remplazamos u por x3+ 1

∫ 1

−13x2

√

x3+ 1dx =

23(x3+ 1)3/2

��

1

−1

usamos la integral que acabamos de encontrar con límites de integración para x

=

23

[(

(1)3 + 1)3/2

−(

(−1)3 + 1)3/2

]

=

23

[

23/2 − 03/2]

=

23[2√

2]

=

4√

23

.

Ejemplo 7.1.3. 1.∫π/2

π/4cot θ csc2

θdθ =

∫ 0

1u · (−du)

Sea u = cotθ, du = − csc2θdθ,

−du = csc2θdθ. Cuando θ = π/4, u = cot(π/4) = 1.

Cuando θ = π/2, u = cot(π/2) = 0

= −∫ 0

1udu

= −[

u2

2

]0

1

= −[

(0)22

− (1)22

]

=

12

.


7.2. FUNCIONES SIMÉTRICAS 119

2.∫π/2

0

2 sin x cos x

(1 + sin2 x)3dx =

∫ 2

1

1u3du

Sea u = 1 + sin2 x , du = 2 sin x cos xdx .

Cuando x = 0, u = 1; si x = π/2, u = 2

= − 12u2

��

2

1

= −18−

(

−12

)

38

.

7.2 Funciones simétricas

Una función f definida en [−a, a] es par cuando f (x) = f (−x) para cualquier x ∈[−a, a]. En cambio, decimos que f es impar, si f (x) = −f (−x) o f (−x) = −f (x).

En la figura, (a) aparece una función par f (x) = x2, en (b) una función imparf (x) = x3.

La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y . Dado que f (−x) = f (x),un punto (x , y) está en la gráfica si y sólo si (−x , y) también lo está. Una reflexión sobreel eje y deja la gráfica sin cambio.

La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Dado que f (−x) =−f (x), un punto (x , y) está en la gráfica si y sólo si (−x ,−y) también lo esta. En forma



equivalente, una gráfica es simétrica respecto al origen si una rotación de 180 gradosalrededor del origen deja sin cambio a la gráfica

Ejemplo 7.2.1. 1. f (x) = x2 es una función par, pues (−x)2 = x2 para toda x .2. f (x) = x2

+ 1 es una función par.3. f (x) = x es una función impar.4. f (x) = x + 1 es impar.

Observe la siguiente figura. En (a) la integral de −a a a es dos veces la integral de0 a a, porque f es una función par. En cambio, en (b) se trata de una función impar,cuya integral de −a a a es 0.

Teorema 7.2.2. Supongamos que f es una función continua en [−a, a].

(a) Si f es par,∫ a

−a f (x)dx = 2∫ a

0 f (x)dx .

(b) Si f es impar,∫ a

−a f (x)dx = 0.


7.3. EJERCICIOS 121

Demostración. (a)

∫ a

−af (x)dx =

∫ 0

−af (x)dx +

∫ a

0f (x)dx

= −∫ a

0f (x)dx +

∫ a

0f (x)dx

= −∫ a

0f (−u)(−du) +

∫ a

0f (x)dx

=

∫ a

0f (−u)du +

∫ a

0f (x)dx

=

∫ a

0f (u)du +

∫ a

0f (x)dx

= 2∫ a

0f (x)dx .

(b) La demostración es muy parecida. �

Ejemplo 7.2.3. Queremos encontrar el valor de∫ 2−2(x

4 − 4x2+ 6)dx . Ya que f (x) =

x4 − 4x2+ 6 satisface f (−x) = f (x), se sigue que f es par en [−2, 2], lo que da lugar a,

∫ 2

−2(x4 − 4x2

+ 6)dx = 2∫ 2

0(x4 − 4x2

+ 6)dx

= 2[

x5

5− 4

3x3+ 6x

]2

0

=

(

325

− 323+ 12

)

=

23215

.

7.3 Ejercicios

1. Evalue las siguientes integrales emplenado la sustitución dada.

(a)∫

2(2x + 4)2dx , u = 2x + 4.

(b)∫

4x3

(x4+1)2dx , u = x4

+ 1.

(c)∫

(3x + 2)(3x2+ 4x)4dx , u = 3x2

+ 4x .

(d)∫ (1+

√x)1/3

√x

dx , u = 1 +√x .

(e)∫ √

x sin2(x3/2 − 1)dx , u = x3/2 − 1.

(f)∫

1x2 cos2

(

1x

)

dx , u = −1x .



(g)∫

csc2 2θ cot 2θθ, primero use u = cot 2θ; como segunda respuesta use u =csc 2θ.

2. Determine el valor de las siguientes integrales. Si usted no sabe que substituciónusar, trate de reducir la integral etapa por etapa, probando substituciones parasimplificar un poco la integral, luego haga otra...

(a)∫ √

3 − 2sds .

(b)∫

θ4√1 − θ2dθ.

(c)∫

1√x(1+

√x)2dx .

(d)∫ √

sin x cos3 dx .

(e)∫

sin5 x3 cos x

3dx .

(f)∫

tan2 x sec2 xdx .

(g)∫

tan7 x2 sec2 x

2dx .

(h)∫

r 4(

7 − r 5

10

)3dr .

(i)∫

x1/2 sin(x3/2+ 1)dx .

(j)∫

csc(v−π

2

)

cot(v−π

2

)

dv .

(k)∫ sin(2t+1)

cos2(2t+1)dt .

(l)∫

sec x tan z√sec z

dz .

(m)∫

1√t

cos(√t + 3

)

dt .

(n)∫

cos√θ√

θsin2 √θdθ.

(o)∫

√

x3−3x11 dx .

(p)∫

√

x4

x3−1dx .

3. Evalue∫

18 tan2 x sec2 x

(2 + tan3 x)2dx .

Recorra las siguientes etapas (esta idea puede servirle para resolver el ejercicioprevio).

(a) u = x − 1, seguida de v = sin u , entonces w = 1 + v2.

(b) u = sin(x − 1), seguida de v = 1 + u2.

(c) u = 1 + sin2(x − 1).

4. Determine el valor de las siguientes integrales.


7.3. EJERCICIOS 123

(a)∫ (2r − 1) cos

√

3(2r − 1)2 + 6√

3(2r + 1)2 + 6dr

(b)∫

sin√θ

√

θ cos3√θ

dθ.


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Integrales indeﬁnidas y el método de sustitucióntlacuatl.mx/docencia/ci/ci7.pdf · Integrales indeﬁnidas y el método de sustitución El teorema fundamental del cálculo establece