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CALCULO Hoja 9. Integrales dobles. - dma.aq.upm.esdma.aq.upm.es/profesor/patino_e/Docencia/Calculo/H9-INTEGRALES... · PDF fileIntegrales dobles. 1. Evaluar cada una de las siguientes

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    CALCULO

    Hoja 9. Integrales dobles.

    1. Evaluar cada una de las siguientes integrales siendo R = [0, 1] [0, 1]:

    a)

    R(x3 + y2)dxdy d)

    R(x2 + y)dxdy (:= 56)

    b)

    Ryexydxdy f)

    Rxydxdy (:= log 2)

    c)

    R(xy)2 cosx3dxdy g)

    Ry(x3 12x)dxdy, con R = [2, 1] [0, 1] (:= 578 )

    2. En las siguientes integrales, cambiar el orden de integracion, esbozar las regiones corre-spondientes y obtener el valor de la integral:

    a)

    10

    1x

    xydydx (:=1

    8) d)

    11

    1|y|(x+ y)2dxdy (:=

    2

    3)

    b)

    /20

    cos 0

    cos drd (:=1

    4) f)

    10

    1xey

    3dydx (:=

    1

    3e 1

    3)

    c)

    10

    2y1

    (x+ y)2dxdy (:=17

    12) g)

    21

    log y0

    exdxdy (:= 1 log 2)

    3. Hallar el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 y yx+ z = 1.(Solucion: 16).

    4. Calcular

    D(x2y)dxdy siendo D la region comprendida entre las graficas de las curvas

    y = x2, y = x2 y las rectas x = 1 y x = 1. (Solucion: 45).

    5. Hallar

    Dxydxdy siendo D

    a) el cuadrado de vertices (1, 0), (0,1), (1, 0) y (0, 1);b) el trapecio de vertices (1, 0), (0, 0), (1, 1) y (1, 1);c){(x, y) R2 : 0x3, y0, 4x2 + 9y236

    }{(x, y) R2 : 2x0, y0, x+ 2 y0

    }.

    Solucion: 236 .

    6. Se considera la funcion f(x, y) = xy definida sobre el conjunto

    D = {(x, y) R : 0 y ex, x 1, x 1 y2}

    Se pide:

    (a) Representar graficamente el conjunto D.

    (b) Expresar mediante una integral iterada la integral doble

    D f(x, y)dxdy y cambiarel orden de integracion.

    (c) Calcular

    D f(x, y)dxdy.

    (Sol.: 18e2 + 124)

    7. Hallar

    Dxydxdy siendo D la region del primer cuadrante encerrada entre las parabolas

    y = x2 e y = x4. (Solucion: 115).1

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    8. Hallar

    40

    ( 2x

    dy

    (x+ y2)12

    )dx. (Indicacion: se recomienda cambiar el orden de inte-

    gracion. (Sol.: 4 + 42).

    9. Dada la funcion f : R2 R definida por f(x, y) = e(x2y2)(x+y)(x + y) y el recintoD = {(x, y) R2|x 0, y 0, 1 x2 y2 4, 2 x+ y 3}.

    (a) Plantear en coordenadas cartesianas, con sus lmites de integracion correspondientesy en el orden indicado la integral

    D f(x, y)dydx.

    (b) Hallar

    D e(x2y2)(x+y)(x+ y)dxdy tomando para ello el cambio de variable:

    u = x2 y2, v = x+ y.

    (Sol.: 12(e e1 + e2 + e2

    ))

    10. Calculese

    De(yx)/(y+x)dxdy donde D =

    {(x, y) R2 : 0x, 0y, x+ y2

    }. Tomese

    para ello el cambio de variable y x = u, y + x = v. Solucion: e 1e

    11. Hallar la integral

    D(y2 x2)xy(x2 + y2)dxdy donde

    D ={(x, y) R2 : x > 0, y > 0, axyb, y2 x21, xy

    }con 0 < a < b. Se recomienda utilizar el cambio de variable u = y2x2, v = xy. Solucion:12 log

    1+b1+a .

    12. Hallar

    Dxydxdy siendo D la region del primer cuadrante delimitada por las curvas

    x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 9, x2 y2 = 4 y x2 y2 = 1. Utilizar el cambio de variableu = x2 + y2, v = x2 y2. Solucion: 158 .

    13. Dada la integral I =

    D(x+ y)dxdy, siendo D el recinto limitado en el primer cuadrante

    por las curvas y = x 3, y = x+ 3, y = 4x

    e y =10

    x,

    (a) escribir D como union de regiones del tipo {(x, y) x , (x) y (x)} , y ex-presar I en coordenadas cartesianas;

    (b) escribir el nuevo dominio, D, que resulta al hacer el cambio de variables u = y x, v = xy;

    (c) calcular la integral con estas nuevas variables. (Sol.: 36).

    14. Se considera la region plana D delimitada por las curvas y22 = x, x = y2+1 y las rectasy = 1, y = 1. Se pide:

    (a) Hallar el area de la region D. (Sol.: 6)

    (b) Utilizar el cambio de variable {u = x y2v = 3y

    .

    para calcular la integral doble Dexy

    2dxdy.

    Sol.: 2

    (e 1

    e2

    )2

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    15. Hallar

    D e

    y

    x+ y dxdy, siendo D el recinto limitado por x = 0, y = 0, x + y = 1.

    Sugerencia: utilizar el cambio de variable

    {x+ y = uy = v

    . Sea la integral I =

    D y2dxdy

    donde D es la region del primer cuadrante delimitada por las curvas xy = 1, xy = 4. y = xy y = 4x,

    (a) Representar graficamente el recinto D.

    (b) Representar graficamente el nuevo dominio que resulta al aplicar el cambio de variableu = xy, v = yx .

    (c) Calcular la integral con estas nuevas variables. (Sol.: 454 )

    16. Calcular

    Dex/ydxdy siendo D =

    {(x, y) R2 : y3xy2

    }. Solucion: 3e2 .

    17. Calcular el volumen comprendido entre el cilindro de ecuacion x2 + y2 = 1 y el cono de

    ecuacion x2 + y2 z2 = 0. (Sol.: 43).

    18. Calcular la integral de f(x, y) = x2y sobre el recinto situado en el primer cuadrante ylimitado por las circunferencias de radios 1 y 2 respectivamente y centro el origen. (Sol.:31/15).

    19. Calcular el volumen comprendido entre el cilindro elptico x2 + 4y2 = 1 y el paraboloidex2 + y2 = z, y limitado por z = 0.(Sol.:532 ).

    20. Calcular el volumen del solido interior al semiespacio z 0 y limitado por el elipsoidex2 + y2 + 2z2 8 y el cono x2 + y2 2z2.(Sol.: 203 ).

    21. Calcular el volumen del solido cubierto por la superficie

    z = 1 +x(y + 1)

    5

    sobre el rectangulo R = [0, 3] [1, 4].

    22. Sea la curva cerrada positivamente orientada formada por el arco de la circunferenciax2 + y2 = 1, el arco de la elipse x2 + 4y2 = 16 y los segmentos representados en la figura

    Hallar el volumen del solido que tiene por base el recinto delimitado por la curva y como

    cubierta el paraboloide z = x2 + 4y2. (Sol.:251

    16)

    23. Calcular el volumen comprendido entre el cono de revolucion x2 + y2 = z2 (z 0), elparaboloide de revolucion x2 + y2 + 3z = 4 y el plano z = 0,

    (a) para el caso x2 + y2 z2 y x2 + y2 + 3z 4 (Sol.: 136 )(b) para el caso x2 + y2 z2 y x2 + y2 + 3z 4

    3

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    24. Sea el solido limitado por x2 +y2

    4 z

    2

    4, x2 +

    y2

    4+

    z2

    4 1 con z 0.Se pide su

    volumen. (Sol.: 2(422

    3 )).

    25. Calcular el volumen del solido

    s = {(x, y, z) R3|x2 + y2 + z2 4, x2 + y2 3z, z 0}.

    26. Evaluar

    Dy3(x2 + y2)

    32dxdy, donde D es la region determinada por las condiciones

    12y1 y x

    2 + y21. (Solucion:3/4 ).

    27. Hallar el area limitada por las circunferencias x2 + y2 = 2x y x2 + y2 = 4x y las rectasy = x e y = 0. Solucion: 34 +

    32 .

    28. Hallar el volumen de los siguientes conjuntos de R3 :

    (a) A ={(x, y, z) : x2 + y2 + z2 42, x2 + y2 z2

    }(Sol.: 42

    2

    3 43)

    (b) B ={(x, y, z) : x2 + y2 + z2 1, x2 + y2 x, 0 z

    }(Sol.: 3

    49)

    29. Expresar mediante las integrales iteradas, la siguiente integral

    D f(x, y)dxdy siendo D el

    conjunto definido por las inecuaciones 0y1,yx1+

    1 y2. Calcular

    Dydxdy.

    Solucion: 1330 .

    30. Calcular el volumen cubierto por la superficie z =x sobre el recinto limitado, en el plano

    OXY, por la curva x2 + y2 x = 0. (Sol.:. 815).

    31. Calcular

    D(x2+y2)3/2dxdy siendoD =

    {(x, y) R2 : x y, x+ y 1, x2 + y2 1

    }.

    (Sol.: 1 4 ).

    32. Calcular

    D ydxdy siendoD ={(x, y) R2 : x 0, y 0, x2 + y2 1, x2 + y2 2x

    }.

    (Sol.: 1/8).

    33. Calcular

    D(x2+y2)dxdy siendoD =

    {(x, y) R2 : x2 + y2 1, x2 + y2 2y, x 0

    }.

    (Resolverlo con Maple).

    34. Hallar el volumen limitado por la cubierta interseccion de dos cilindros parabolicos deecuaciones C1 z = 36y2 y C2 z = 36x2 y la planta z = 0. (Resolverlo con Maple).4

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    35. Dada la funcion f(x, y) = (x2 + y2)3/2 en la region D caracterizada por x y 0,x+ y 2 y x2 + y2 4. Se pide:

    (a) Escribir D como union de regiones y plantear la integral en coordenadas cartesianas.

    (b) Efectuar un cambio de variable a coordenadas polares y calcular la integral en lasnuevas coordenadas.

    (Sol.: /8 + 1/2)

    36. Calcular el volumen de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 interior al cilindro (x 12)2 + y2 = 14 en

    el semiespacio {(x, y, z) R3, z 0}. (Sol.: 13 49)

    37. Calcular la siguiente integral

    D1

    (x2+y2)3/2dxdy, siendo el recinto de integracion D =

    {(x, y) : x2 + y2 1, y x+ 1}. (Sol.: 2 2 )

    38. Dado el conjunto

    D ={(x, y) R2 : x 0, x2 + y2 2y, x2 + y2 6y

    },

    se pide calcular

    D

    x

    x2 + y2dxdy. (Sol.: 2)

    39. Calcular el volumen del solido limitado por el hiperboloide x2 + 4y2 z2 + 4 = 0 y elcilindrox2 + 4y2 9 = 0.

    40. Hallar el volumen del solido acotado superiormente por el paraboloide z = 5 x2 y2, einferiormente por el paraboloide z = 4x2 + 4y2.

    41. Se considera el solido

    S = {(x, y, z) R3 : (x 1)2 + y2 1, 0 x 1, 0 y, 0 z 2}.

    Hallar su volumen.

    42. El recinto A = {(x, y) R2|x2+y22y 5 esta cubierto por la superficie z = x(y2)+6.Calcular el volumen que queda bajo la cubierta en A.

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