INTEGRALES DE SUPERFICIE (1).doc

Vctor Daniel Rojas Cerna

Matemtica III

INTEGRALES DE SUPERFICIE TEOREMA DE STOKESPreliminares

Es de nuestro inters inicialmente trabajar con superficies

donde , donde x, y, z estn variando en su determinada extensin. Adems inicialmente consideraremos que: (a veces se suele decir que la superficie la suave). Podemos definir y determinar el rea de esta superficie mediante una integral doble sobre su proyeccin R en algn plano coordenado (en la figura el plano piso o sea xy). Sabemos tambin que la proyeccin sobre el plano coordenado es de uno a uno.

ConsecuenciaAhora tomemos un diferencial de la superficie S, que la denotamos como y es el paralelogramo que determina proyectado al plano tangente.Hemos considerado un punto de y tambin estara en un lado del paralelogramo que se encuentra en el plano tangente.

Tenemos que si el paralelogramo es paralelo al piso y por ende a . ser congruente con , en caso contrario el rea de ser mayor que el rea de .

Denotemos un el vector normal del plano piso pero unitario (si el piso es el plano XY, en este caso ), el plano tangente a la superficie S es .

Visualizando la grfica:

Podemos apreciar que la suma , es una aproximacin de lo que llamamos el rea de la superficie S, cuando ms reducida sea la particin .REA DE UNA SUPERFICIEDeducimos el rea de una superficie sobre una regin plana, cerrada y acotada en , as veremos que:

Donde es un vector unitario normal a y , y .

Casos EspecialesCuando z se puede despejar de , o sea z definida explcitamente por x e y, adems que tenga derivadas parciales continuas en una regin R de R2 (del plano xy), entonces se tiene:

Caso ParamtricoToda superficie grfica de una funcin , se podra decir que se trata de un punto el cual tendra dos grados de libertad. En realidad tenemos que podramos representar implcitamente a la superficie en tanto de no podemos despejar z, en caso contrario si podemos expresar diremos que z est representado explcitamente en trminos de x e y. O sea que podemos expresar . Es decir:

un conjunto simplemente conexo de , as interpretamos que al variar u y v de manera que se advierte que hay dos grados de libertad (2 variables toman valores arbitrarios en un determinado conjunto).

O sea tenemos esta es la conocida ecuacin vectorial de la superficie S.S es la imagen de , a travs de la aplicacin , ella se denomina producto vectorial fundamental. Sea admitiendo que x, y, z son diferenciables en , podemos ver que:

El producto vectorial se denomina el producto vectorial fundamental de la representacin de .

As tenemos:

Si , para el cual y son continuos y , el punto imagen se denomina punto regular de . Si o no son continuas o si el punto se denomina punto singular de la superficie de .

SUPERFICIE REGULAR

se dice que es una superficie regular si todos sus puntos son regulares.

Toda superficie S tiene ms de una representacin paramtrica. Podemos dar ejemplos de puntos los cuales una representacin paramtrica es regular y con otra singular.

Significado Geomtrico

Sabemos que:

Razn por la cual el vector, el vector se denomina normal a la superficie el vector es no nula. El plano que pasa por P y tiene este vector como normal se denomina plano tangente a la superficie en P.SUPERFICIE PARAMTRICA SUAVEUna superficie es suave si: y son continuas y nunca es nulo para . Definamos una superficie paramtrica general dada por la ecuacin .Como inicio consideremos un rectngulo, partimos en un rectngulo Rij por comodidad (rectngulo), en la parte de la superficie correspondiente a Rij denotada Sij tomamos un punto como el vrtice inferior de Rij. La parte Sij de la superficie S cuya proyeccin es Rij se denomina parche y tiene el punto Pij como vector posicin , sean:

Los vectores tangentes en Pij

Observemos que:

Aclaremos la grfica en , especficamente .

En la figura se aprecia que los dos bordes del parche con vrtice en se puede aproximar mediante vectores tangentes y .

Consecuencia

Un rectngulo que tenga un rea se convierte en una porcin de que se puede aproximar por el paralelogramo determinado por los vectores y .As podemos aproximar por dicho paralelogramo, lo que significa que:

Cuando la particin se refina, o sea la suma converge a la integral doble, as:

Como deber aproximarse, cada vez ms al rea de la superficie conforme .Definicin

Si una superficie paramtrica suave S, dada por , S se cubre solo una vez cuando , entonces el rea de la superficie S es:

REA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIN

Si tenemos una curva suave la cual no corta al eje Z con parametrizacin . Determinemos el rea de la superficie obtenida al girar esta curva alrededor del eje oz.

De la grfica:

rea de la superficie de un cono trucado:

Regin Esfrica (Casquete Esfrico)

Ejemplo de Aplicacin:Encuentre el rea de la superficie sobre el paraboloide y el cilindro . Proyectamos sobre el piso Pxz para evitar que no sea uno a uno sobre la proyeccin. La curva de interseccin ser:

(OJO: la ecuacin simtrica de )

INTEGRALES DE SUPERFICIE

Una integral de lnea generaliza la integral definida, de manera anloga una integral de superficie generaliza una integral doble.

Definicin

Sea una superficie paramtrica descrita por la funcin vectorial diferenciable en el dominio , determina una regin en el plano uv y consideramos una funcin escalar definida y acotada en S. La integral de superficie se representa con el smbolo (a veces ) definida por:

Obviamente, en caso exista dicha integral.Definicin

Si es una regin que es la proyeccin de una superficie S (a veces se le denomina la sombra de S), si es una funcin continua en todos los puntos de S, entonces:

Donde es un vector unitario normal a y .Centro de Gravedad (Centroide)

Si el campo escalar f se interpreta como densidad (masa por unidad de rea) de una lmina delgada adaptada a la superficie S, la masa total de la superficie se define por:

El centroide viene dado por:

CENTROIDE:

Momento de InerciaEl momento de inercia con respecto a la recta , la denotamos y tenemos que

Donde: representa la distancia del punto genrico de S a la recta L (eje).Cambio de representacin paramtrica:

Si S podemos representarla de dos formas admitiendo que existe una , se tiene que:

Entonces tenemos el siguiente teorema:TeoremaSean y dos funciones regularmente equivalentes que cumplen , donde es una aplicacin uno a uno y con derivadas continuas en la regin B del plano st sobre una A del plano uv, entonces tenemos:

Donde las derivadas parciales y estn calculadas en el punto . Es decir el producto vectorial fundamental de es igual al de , multiplicado por el jacobiano de la transformacin G.

TeoremaSi y son dos funciones regularmente equivalentes como las descritas en el teorema anterior, y si entonces , adems:

INTEGRACIN DE SUPERFICIE EN CAMPOS VECTORIALES

Consideramos el campo vectorial definido sobre S y representacin paramtrica , la integral de superficie sobre denotado por:

SUPERFICIES ORIENTADAS

Tenemos que los vectores y vectores normales de una superficie en un determinado punto.

Definicin

Una superficie orientada es una superficie de dos lados, uno de ellos el lado exterior o positivo, el otro el lado interior o negativo.

En cada punto tenemos dos normales y , cada uno asociado a un lado de la superficie. As para especificar un lado de la superficie de S, en cada punto escogemos un vector normal unitario en que apunta hacia afuera desde el lado positivo de S en ese punto.

Una superficie suave, es orientable o tiene dos lados, si es posible definir un campo de vectores unitarios normales a S que vare continuamente con la posicin, cualquier parte de S orientable, tambin es orientable.

Las superficies cerradas como el elipsoide son orientables. Por convencin lo tomamos hacia afuera.

Una vez elegido , diremos que hemos orientado S y llamaremos a S con su campo normal una superficie orientada.Definicin

Si es un campo vectorial continuo en una superficie S orientada con un vector unitario normal , entonces la integral de superficie de sobre S es:

Esta integral se llama flujo de a travs de S.

SIGNIFICADO GEOMTRICO Y FSICO DE LA INTEGRAL DE SUPERFICIEEl volumen del paraleleppedo es el valor absoluto del triple producto escalar.

El vector es una normal a la superficie en y apunta hacia afuera desde el lado exterior de la superficie.

En general, el paraleleppedo est en el lado donde apunta .Si pensamos como un campo de velocidad de un fluido apunta en la direccin en la cual se mueve el fluido a travs de la superficie rea , adems el nmero:

Es la cantidad de fluido que pasa a travs del paralelogramo tangente por unidad de tiempo, como el signo de es positivo si el vector apunta hacia afuera en , o negativo si apunta hacia adentro es una medida aproximada de la cantidad de fluido que fluye hacia afuera a travs de la superficie por unidad de tiempo.

Luego es la cantidad neta del flujo de un fluido en tres dimensiones. El flujo de a travs de S es la tasa neta con el que el fluido atraviesa S en la direccin positiva tomada.

Ejemplo:

Encontrar el flujo de a travs de S, cuando:

a) S es la helicoide recta

(OJO: )b) , S es el cubo de vrtices

R

M

H

CASO NO ANALIZADO INICIALMENTE

CASO POR ANALIZAR

T

R

S

S

Al punto H le corresponden los puntos M y T. (O sea la proporcin de M y T es H)

EMBED Equation.DSMT4



S

El rea de la proyeccin ortogonal del paralelogramo determinado por EMBED Equation.DSMT4 y EMBED Equation.DSMT4 sobre cualquier plano con normal EMBED Equation.DSMT4 es:


(Valor absoluto del triple producto escalar)

Luego por conocimientos elementales de clculo vectorial tenemos:



EMBED Equation.DSMT4 , donde: EMBED Equation.DSMT4



CASO POR ANALIZAR



S









EMBED Equation.DSMT4 =constante











U= cte.



V= cte.

PLANO TANGENTE































































2R

R


Por simetra tendremos que:


























































1

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