�r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j + z (u, v) k

d�S = (�ru ⇥ �rv) dudv

d�S = n |�ru � �rv| dudv = ndS

dS = |�ru � �rv| dudv

ZZ

S

�d⇥S ⇥ZZ

S

⇥f · d⇥S ⇥ZZ

S

⇥f � d⇥S

ZZ⇥S

�d⇥S ⇤ZZ⇥S

⇥f · d⇥S ⇤ZZ⇥S

⇥f � d⇥S

Integrales de Superficie

Una superficie se representa por:�r

diferencial de área d�S

Donde es el vector de posición y u,v son parámetros de la superficie. El elementoestá dado por:

Esto se puede representar también como:

nDonde es el vector unitario normal a la superficie en el punto que corresponde a lascoordenadas x,y,z determinadas a través de los parámetros u,v de modo que:

Así, el vector diferencial de superficie es:

Por lo que se tiene que:

De la misma manera que en las integrales de línea, las integrales de superficie son:

Si S es una superficie cerrada, las integrales son:

Si S es una superficie abierta, las integrales se expresan como:

d�S = �ndS

n =�ru � �rv|�ru � �rv|

⇥ �ru � �rv = n |�ru � �rv| = �n

15

�r (x, y) = xi+ yj + z (x, y) k

⇥rx

=�⇥r

�x= i+

�z (x, y)

�xk ) ⇥r

y

=�⇥r

�y= j +

�z (x, y)

�yk

n =�ru ⇥ �rv|�ru ⇥ �rv|

=i�� �z

�x

�� j

⇣�z�y

⌘+ k

r��z�x

�2+

⇣�z�y

⌘2+ 1

dS = |⇥rx

� ⇥ry

| dxdy =

2

4s✓

�z

�x

◆2

+

✓�z

�y

◆2

+ 1

3

5 dxdy

ZZ

S

�f · d�S =

ZZ

S

�f · ndS

Para superficies cerradas es común suponer que la dirección positiva de la normal está dirigida hacia fuera.

� (x, y, z) = cte.

k.

Caso particular 1.- Si se tiene una función de superficie constante en dondeademás se puede despejar z como función de x,y es decir: z = (x,y), al obtener esta función seestá llevando a la superficie a ser una proyección sobre el plano xy, que por tanto tiene direcciónperpendicular a dicho plano, es decir Partiendo del vector de posición

y la normal es:

El diferencial de superficie queda como:

Así, para el caso de la integral de superficie: 16

ZZ

S

⇥f · ndS =

ZZ

S

⇥f ·

2

664i�� �z

�x

�� j

⇣�z�y

⌘+ k

r��z�x

�2+

⇣�z�y

⌘2+ 1

3

775

2

4s✓

�z

�x

◆2

+

✓�z

�y

◆2

+ 1

3

5 dxdy

ZZ

S

⇥f · d⇥S =

ZZ

S

⇥f ·i

✓��z

�x

◆� j

✓�z

�y

◆+ k

�dxdy

n =��

|��|

�f · nn · ˆk

�����z(x,y)

= proyeccion sobre el plano xy con direccion

ˆk

Sustituyendo las expresiones halladas nos queda:

Simplificando obtenemos:

Que es la proyección en el plano xy con dirección k.Caso particular 2.- Para el caso en el que la función de superficie (x,y,z) = cte. no se despeje y se quiera calcular la normal en función del gradiente, es necesario calcular la proyección a uno cualquiera de los planos, sin olvidar que estas proyecciones deben ser evaluadas en el punto de la superficie donde se calcula la normal, es decir

la proyección sobre el plano xy es

17

ZZ�S

�f · ndS =

ZZ

S1

�f · n1dS1 +

ZZ

S2

�f · n2dS2

ZZ⇥S

�f · ndS =

ZZ

S2

�f · n2dS2 �ZZ

S1

�f · n1dS1

�f = 4xzi+ xyz2j + 3zkZZ�S

�f · d�sz

2 = x

2 + y

2 ; z = 0 ; z = 4

Problema 4.88 Hwei P. Hsu.- Si Calcular la integral de superficie

donde S es la superficie limitada por

Solución.- Primero hagamos un bosquejo de la superficie donde se calculará la integral, para esto hagamos una proyección sobre el plano zy (por ejemplo), es decir hagamos x = 0, lo que se obtiene es una recta que pasa por el origen. Si ahora tomamos para una z positiva, vemos que tenemos una ecuación de un circulo. Por lo que podemos decir que la superficie es la de un cono que se abre hacia arriba.

n2dS2

n1dS1

Como se trata de una integral cerrada, existirán dos normales Asociadas a cada superficie.

En donde n1 está apuntando en general hacia afuera de la superficie, pero que en la proyección sobre el plano xy su dirección es hacia abajo, es decir:

n2 = k ; dS2 = dxdyPara la tapa del cono se tiene: Con z = 4 para esta tapa.ZZ

S2

�f · n2dS2 =

ZZ

S2

⇣4xzi+ xyz2j + 3zk

⌘���z=4

· kdxdy18

ZZ

S2

⇤f · n2dS2 = 3

ZZ

S2

(z|z=4) dxdy = 12

ZZdxdy = 12

4Z

⇤=0

2⇥Z

�=0

⇥d⇥d�

ZZ

S2

⌅f · n2dS2 = 12

⇤2

2

����4

0

!⇣�|2�0

⌘= 192⇥

z =p

x

2 + y

2 ) �z

�x=

xpx2 + y2

;�z

�y=

ypx2 + y2

ZZ

S1

⇥f · n1dS1 =

ZZ

S1

⇥f ·✓��z

�xi� �z

�yj + k

◆dxdy

Dado que la función z se puede despejar estamos en el primer caso, calculando las parciales:

La cara lateral de la superficie proyectada sobre el plano xy es:

⇥f ·✓��z

�xi� �z

�xj + k

◆= � 4x2zp

x2 + y2� xy2z2p

x2 + y2+ 3z

⇥f ·✓��z

�xi� �z

�xj + k

◆= �4x2

px2 + y2p

x2 + y2�

xy2⇣p

x2 + y2⌘2

px2 + y2

+3px2 + y2

Realizando el producto punto:

Dejando en función de x,y

⇥f ·✓��z

�xi� �z

�xj + k

◆= �4x2 � xy2

px2 + y2 + 3

px2 + y2simplificando

Realizando el producto punto:

obteniendo para la tapa superior

19

~

f ·✓�@z

@x

i� @z

@x

j + k

◆=⇣4xzi+ xyz

2j + 3zk

⌘· � xip

x

2 + y

2� yjp

x

2 + y

2+ k

!

ZZ

S1

�f · n1dS1 =

ZZ

S1

⇣�4x2 � xy2

px2 + y2 + 3

px2 + y2

⌘dxdy

A1 =

ZZ ��4x2

�dxdy A2 =

ZZ ⇣�xy

2p

x

2 + y

2⌘dxdy A3 =

ZZ ⇣3p

x

2 + y

2⌘dxdy

x = ⇥ cos� ; y = ⇥ sin� ; dxdy = ⇥d⇥d�

A3 = 3

ZZ q(⇤ cos�)2 + (⇤ sin�)2 (⇤d⇤d�) = 3

ZZ⇤2d⇤d� = 128⇥

A2 = �ZZ

(⇥ cos�) (⇥ sin�)2q

(⇥ cos�)2 + (⇥ sin�)2 (⇥d⇥d�)

A2 =

ZZ⇥5 cos� (sin�)2 d⇥d� = 0

ZZ

S1

⇥f · n1dS1 = �256� + 128� = �128�

ZZ⇥S

⇥f · ndS =

ZZ

S2

⇥f · n2dS2 �ZZ

S1

⇥f · n1dS1 = 192� � (�128�) = 320�

Sustituyendo en la integral

nos quedan tres integrales, que son:

Sustituyendo por coordenadas polares:

Finalmente la integral total es:

20

A1 = �4

ZZ(⇢ cos↵)2 (⇢d⇢d↵) = �256⇡

ZZ�S

�f · ndS =

ZZ

S1

�f · n1dS1 +

ZZ

S2

�f · n2dS2 +

ZZ

S3

�f · n3dS3

n1 = k ; n2 = �k

ZZ

S1

�f · n1dS1 =

ZZ

S1

⇣4xi� 2y2j + z2k

⌘���z=3

· kdxdy =

ZZ

S1

9dxdy

ZZ

S1

⌅f · n1dS1 = 9

2Z

⇤=0

2⇥Z

�=0

⇤d⇤d� = 9⇥ ⇤2��20= 36⇥

ZZ

S2

�f · n2dS2 =

ZZ

S2

⇣4xi� 2y2j + z2k

⌘���z=0

·⇣�k

⌘dxdy = 0

�f = 4xi� 2y2j + z2kZZ�S

�f · d�sx

2 + y

2 = 4 ; z = 0 ; z = 3

Problema 4.88 Hwei P. Hsu.- Si Calcular la integral de superficie

donde S es la superficie limitada por

n3dS3

n1dS1

n2dS2

Solución.- Como se trata de una integral cerrada, existirán tres normales una por cada superficie.

Las normales a las tapas del cilindro son:

El producto punto de la función y la normal 1 es:

El producto punto de la función y la normal 2 es:

Como la normal 3 es paralela al plano xy, se trata del caso particular 2.21

22

n3 =2xi+ 2yjp4 (x2 + y

2)=

xi+ yjpx

2 + y

2

ZZ

S3

�f · n3dS3 =

ZZ

S3

⇣4xi� 2y2j + z2k

⌘·

xi+ yjpx2 + y2

!dS3 =

ZZ

S3

4x2 � 2y3px2 + y2

!dS3

ZZ

S3

⇥f · n3dS3 =

ZZ

S3

4x2 � 2y3p

x2+ y2

!dS3 =

ZZ

S3

4 (2 cos �)2 � 2 (2 sin �)3q(2 cos �)2 + (2 sin �)2

2d�dz

ZZ

S3

⇥f · n3dS3 =

ZZ

S3

16 cos

2 � � 16 sin

3 �

2

2d�dz =

ZZ

S3

�16 cos

2 � � 16 sin

3 ��d�dz

cos (↵+ ✓) = cos↵ cos ✓ � sin↵ sin ✓ si ↵ = ✓ ) cos (2✓) = cos

2 ✓ � sin

2 ✓

cos (2✓) = cos

2 ✓ ��1� cos

2 ✓�= 2 cos

2 ✓ � 1 ) cos

2 ✓ =

1

2

[cos (2✓) + 1]

n3 n3 =��

|��| � = x2 + y2 ) r� = 2xi+ 2yjEn donde se calcula como: siendo

Por lo que la integral de la superficie lateral es:

Para la superficie lateral se tiene que el radio es constante e igual a 2

Para realizar la primera integral recordemos el coseno del ángulo doble:

23

16

ZZ

S3

cos

2 �d�dz = 16

ZZ

S3

1

2

[cos (2�) + 1] d�dz = 8

2�Z

0

[cos (2�) + 1] d�

3Z

0

dz

16

ZZ

S3

cos

2 �d�dz = 8

1

2

sin (2�) + �

�2�

0

[z]30 = 8 (2⇥) (3) = 48⇥

ZZ

S3

16 sin3 �d�dz = 16

2�Z

0

sin3 �d�

3Z

0

dz

2⇡Z

0

sin

3 �d� =

⇢u = sin

2 � ) du = 2 sin � cos �dv = sin �d� ) v = � cos �

�

2⇡Z

0

sin

3 �d� = � cos � sin2 ���2⇡0

+ 2

2⇡Z

0

sin � cos2 �

2⇡Z

0

sin

3 �d� = 2

2⇡Z

0

sin � cos2 �d� = 2

� cos

3 �

3

����2⇡

0

!= 0 )

ZZ

S3

16 sin3 �d�dz = 0

ZZ�S

⇥f · ndS =

ZZ

S1

⇥f · n1dS1 +

ZZ

S2

⇥f · n2dS2 +

ZZ

S3

⇥f · n3dS3 = 36� + 0 + 48� = 84�

sustituyendo

Para la segunda integral se tiene:

Realizando la integral del seno

La integral cerrada de área es:

24

ZZ

S

�A · ndS

n =2xi+ 2yjp4 (x2 + y

2)=

xi+ yjpx

2 + y

2

ZZ

S

⇥A · ndS =

ZZ

S

z (4 cos �) + (4 cos �) (4 sin �)

4

�4d�dz =

ZZ

S

[z (4 cos �) + (4 cos �) (4 sin �)] d�dz

ZZ

S

�A · ndS =

ZZ

S

⇣zi+ xj � 3y2zk

⌘·

xi+ yjpx2 + y2

!dS =

ZZ

S

zx+ xypx2 + y2

!dS

ZZ

S

⇥A · ndS = 4

�2Z

0

cos �d�

5Z

0

zdz + 16

�2Z

0

cos � sin �d�

5Z

0

dz

ZZ

S

⇥A · ndS = 4

✓sin �|

�20

◆ z2

2

����5

0

!+ 16

0

@ sin2 �

2

����

�2

0

1

A⇣z|50⌘= 50 + 40 = 90

�A = zi+ xj � 3y2zk

ZZ

S

�A · d�s

x

2 + y

2 = 16

z = 0 ; z = 5.

Problema.- Si Calcular la integral de superficie

donde S es la superficie limitada por situada en el primer octante entre

ndS

Solución.- Como se trata de una integral abierta, solo se tiene una normal la de la superficie lateral.

� = x2 + y2 ) r� = 2xi+ 2yjsiendo

n n =��

|��|En donde se calcula como:

Sustituyendo en la integral de área:

Para la superficie lateral se tiene que el radio es constante e igual a 4

25

n =r�

|r�| =2i+ jp4 + 1

=2i+ jp

5

ZZ

S

~

A · d~S =

ZZ

S

⇣yi+ 2xj � zk

⌘·⇣2i+ j

⌘dxdz =

ZZ

S

(2y + 2x) dxdz

ZZ

S

~

A · d~S =

ZZ

S

[2 (6� 2x) + 2x] dxdz =

4Z

0

dz

3Z

0

(12� 2x) dx

ZZ

S

~

A · d~S = (z|40⌘ �

12x� x

2���3

0= 108

ndS

n ·�j=

(2i+j)dxdzp51p5

= (2i+ j)dxdz

Solución.- la normal al plano se calcula como: 2x+ y = 6

n

d~Sla proyección al plano xz se establece con la relación:

la proyección de la integral al plano xz es:

b) �A =�x+ y2

�i� 2xj + 2yzk

2x+ y + 2z = 6

ZZ

S

�A · d�S

a) �A = yi+ 2xj � zk 2x+ y = 6

Problema 58 pag 104 Murray R. Spiegel.- Hallar en cada uno de los siguientes casos

; y S es la superficie del plano situada en el primer octante y

limitada por el plano z = 4. ; y S es la superficie del planosituada en el primer octante.

26

n =⇥�

|⇥�| =2i+ j + 2k�4 + 1 + 4

=2i+ j + 2k�

3

ndS

n · �k=

(2i+j+2k)dxdy323

= (i+1

2j + k)dxdy

ZZ

S

�A · d�S =

ZZ

S

h�x+ y2

�i� 2xj + 2yzk

i·✓i+

1

2j + k

◆dxdy

ZZ

S

�A · d�S =

ZZ

S

x+ y2 � x+ 2y

✓3� x� 1

2y

◆�dxdy =

ZZ

S

�y2 + 6y � 2xy � y2

�dxdy

ZZ

S

�A · d�S =

ZZ

S

(6y � 2xy) dxdy =

Z 3

x=0(6� 2x) dx

Z 6�2x

y=0ydy

ZZ

S

�A · d�S =

Z 3

x=0(6� 2x) dx

1

2y2dy

�6�2x

y=0

=1

2

Z 3

x=0(6� 2x)3 dx = �1

4

(6� 2x)4

4

�����

3

0

= 81

n

d~S

b) Hallemos los puntos en donde el plano corta a los ejes x, y, z. Haciendo x = 0, y = 0 ⇒ z = 3; haciendo z = 0, y = 0 ⇒ x = 3; finalmente, hacemos x = 0, z = 0 ⇒ y = 6.

2x+ y + 2z = 6La normal al plano se calcula como:

la proyección al plano xy se establece con la relación: