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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad Nacional Experimental Politécnica
“Antonio José de Sucre”
Vice-Rectorado Puerto Ordaz
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Laboratorios de Circuitos Eléctricos
Profesor Bachiller
Perfecto García Maryury Tineo
C.I 20886698
Puerto Ordaz, Enero de 2012
Teore
mas de
Theven
in,
INTRODUCCION
Las técnicas de análisis nodal y de malla representan métodos muy confiables y extremadamente poderosos. Sin embargo, ambos requieren de desarrollo de un conjunto completo de ecuaciones a fin de describir un circuito particular como regla general, aun cuando solo sea de interés un valor de corriente, de tensión o de potencia. En este informe se hace referencia a las diferentes técnicas para aislar partes específicas de un circuito a fin de simplificar el análisis, tales como el Teorema de Thevenin y Norton. El primer teorema establece que cualquier circuito eléctrico o red eléctrica lineal que contenga una o más fuentes de voltaje (tensión) o corriente (intensidad) puede ser reemplazado por una fuente equivalente de voltaje y una resistencia equivalente en serie. A la fuente equivalente de voltaje se le llamara “Voltaje Equivalente de Thevenin” y a la resistencia equivalente se le llamara “Resistencia Equivalente de Thevenin”. Este teorema es el dual del Teorema de Norton, el cual establece que un circuito eléctrico o red lineal puede ser reemplazado por una fuente de corriente o intensidad equivalente y una resistencia equivalente en paralelo. Por otra parte el Teorema de Transferencia máxima de potencia establece que la potencia máxima será desarrollada en la carga cuando la resistencia RL sea igual a la resistencia de Thevenin RTH. El objetivo de esta práctica es estudiar la validez de estos teoremas para las fuentes que se tengan disponibles en el laboratorio y analizar el comportamiento de un circuito de un circuito DC mediante la aplicación del principio de la Máxima Transferencia de Potencia.
Objetivos
Demostrar experimentalmente el cumplimiento del teorema de Thevenin
y el principio del teorema de Transferencia de máxima potencia.
Demostrar experimentalmente el cumplimiento del teorema de Norton y
el principio del teorema de Transferencia máxima de potencia.
Materiales Utilizados
Fuente de alimentación Volt DC Power Supply Gp 3003
Resistencias de: 20Ω(0.45A), 10Ω(0.64A) y 87Ω(0.20A) y 50Ω(0.28A)
Cables
Protoboard
Multimetro digital Excel DT9205A
Potenciometro con resistencia variable de 0-500Ω
Marco Teórico
Teorema de Thevenin
Cualquier parte de un circuito formada por fuentes y resistencias puede ser reemplazado por una única fuente de tensión con una resistencia en serie. Esto quiere decir que si una resistencia está conectada a un circuito entre los puntos A y B y reemplazamos el circuito por el otro equivalente, por la resistencia circula la misma corriente.
El valor de la fuente del circuito equivalente se denomina tensión de Thevenin y
se obtiene calculando la tensión del circuito entre A y B sin la resistencia de
carga (circuito abierto).
El valor de la resistencia en serie se denomina resistencia de Thevenin y se
calcula como la resistencia que existiría entre los puntos A y B sin la resistencia
de carga y poniendo en cortocircuito a todas las fuentes (reemplazándolas por
un conductor).
Teorema de Norton
Existe otro circuito equivalente muy simple que igualmente puede sustituir a
cualquier circuito lineal hecho de fuentes de voltaje y resistencias. Recibe el
nombre de circuito equivalente de Norton y consiste en una fuente de corriente,
IN, conectada en paralelo con una resistencia, RN. Una fuente de corriente
ideal suministra una corriente de valor constante, independientemente de cuál
sea la resistencia de carga RL que se conecte al circuito. El circuito de Norton
tiene la forma mostrada en la siguiente figura
Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia.
Cualquier circuito o fuente de alimentación posee una resistencia interna. Si
consideramos que el valor de tensión y el valor de la resistencia interna
permanecen constantes, podemos calcular cuando la potencia entregada a la
carga es máxima. Esto ocurre cuando la resistencia de carga es igual a la
resistencia interna de la fuente.
Ri = RL
Ri = Resistencia interna
RL = Resistencia de carga
Si la resistencia de carga es más baja que la interna, aumenta la corriente por
el circuito pero la resistencia interna en serie disipa más potencia (al estar en la
misma rama la corriente que pasa por ambas es la misma por lo tanto la
resistencia de mayor valor disipa mayor potencia). Si la resistencia de carga es
más alta, disipa mayor potencia que la resistencia interna, pero disminuye la
corriente total de tal forma de ser menos a la que circula cuando ambas
resistencias son del mismo valor y por lo tanto la potencia entregada a la carga
es menor.
Experiencia 1: Demostrar experimentalmente el cumplimiento
del teorema de Thevenin y el principio del teorema de Máxima
Transferencia de Potencia.
Para la experiencia 1 elaboramos el siguiente circuito con 4 resistencias
distintas en serie-paralelo y evaluamos el circuito original, midiendo la caída de
tensión y la intensidad de corriente en cada una de las resistencias. Sabiendo
que la suma de la caída de tensión de todas las resistencias es igual al voltaje
que manda la fuente.
A
20Ω 87Ω
10Ω RL= 50Ω
Vf
B
Es importante ser precavidos antes de suministrarle las diferentes tensiones a
las resistencias, es decir, se debe conocer cuál es el voltaje máximo que se le
puede aplicar a cada una de las resistencias, ya que así se evita quemarlas o
dañarlas. Para ello se utiliza la Ley de Ohm V=IXR; cada resistencia teórica
tiene un valor de corriente máximo que es el que se utilizará en la ecuación
anterior, de tal manera que nos quedaría que Vmax= Imax X R.
Vmax para la resistencia de 20Ω Vmax para la resistencia de 10 Ω
Vmax= (0.45)(20) Vmax=(0.64)(10)
Vmax=9V Vmax=6.4V
Vmax para la resistencia de 87Ω Vmax para la resistencia de 50Ω
Vmax= (O.20)(87) Vmax=(0.28)(50)
Vmax=17.4 V Vmax=14V
20Ω 10Ω 87Ω 50ΩVoltaje Máximo (V) 9 6.4 17.4 14Corriente Imax (A)) 0.45 0.64 0.20 0.28
Tabla N°1. Valores máximos de tensión y corriente.
+ -
Conociendo el voltaje máximo que se le puede suministrar al circuito, partimos
a alimentar todo el circuito con un voltaje de 4 voltios, para que de esta manera
no haya un exceso de tensión en los elementos resistivos.
Al realizar el procedimiento antes explicado se obtuvieron los siguientes datos:
Vf=4V 20Ω 10Ω 87Ω 50ΩVoltaje (V) 2,8 1.2 0.8 0.4Corriente (A) 0.13 0.12 0.0085 0.0085
Tabla N°2. Valores experimentales.
Para hallar los valores teóricos se procede a usar la Ley de Kirchhoff de
Voltaje.
20Ω 87Ω
4v I1 10Ω I2 50Ω
Malla I1:
20I1+10(I1-I2)-4=0
30I1-10I2=4 ………..(i)
Malla I2:
87I2+50I2+10(I2-I1)=0
-10I1+147I2=0 …….(ii)
Haciendo un sistema de ecuaciones y multiplicando por (3) a (ii)
30I1-10I2=4
(3) -10I1+147I2=0
30I1-10I2=4
+ -30I1+441I2=0
431I2=4
I2=4/441=9.070 mA(iii)
+ -
Sustituyendo (iii) en (i) tenemos:
30I1-10(9.070X 10−3)=4
30I1=(40/441)+4
I1=(1804/441)/(30)
I1=0.136 A
Cabe resaltar que la I! es la corriente que pasa por la resistencia de 20Ω y la I2
es la corriente que pasa por las resistencia de 87Ω y 50Ω, mientras que por la
resistencia de 10Ω pasa la corriente que resulta de la resta de I1-I2= 0.126
Teniendo los valores teóricos de las corrientes que pasan por cada resistencia
se procede a usar la Ley de Ohm para hallar los voltajes teóricos
Voltaje 1
V1=(0.136)(20)
V1=2.72V
Voltaje 2
V2=(0.126)(10)
V2=1.26V
Voltaje 3
V3=(9.070X10−3 ¿(87)
V3=0.789V
Voltaje 4
V4=(9.070X10−3 ¿(50)
V4=0.4535V
Vf=4V 20Ω 10Ω 87Ω 50ΩVoltaje (V) 2.72 1.26 0.789 0.4535Corriente (A) 0.136 0.126 0.009 0.009
Tabla N°3. Valores Teóricos.
Para calcular los errores de voltaje y corriente se utiliza la siguiente expresión
respectivamente:
E%=|Vteo−VexpVteo |∗100
E%=| Iteo−IexpIteo |∗100
Cálculo de errores de V e I de R1=20Ω respectivamente:
Para un voltaje de 4V
E%=|2.72−2.82.72 |∗100=2.94 %
E%=|0.136−0.130.136 |∗100=4.41%
Cálculo de errores de V e I de R2=10Ω respectivamente:
Para un voltaje de 4V
E%=|1.26−1.21.26 |∗100=4.76 %
E%=|0.126−0.120.126 |∗100=4.76 %
Cálculo de errores de V e I de R3=87Ω respectivamente:
Para un voltaje de 4V
E%=|0.789−0.80.789 |∗100=1.39 %
E%=|0.009−0.00850.009 |∗100=5.55 %
Cálculo de errores de V e I de R4=50Ω
E%=|0.4535−0.40.4535 |∗100=11.78 %
E%=|0.009−0.00850.009 |100=5.55 %
Vf=4V 20Ω 10Ω 87Ω 50ΩE%Voltaje (V) 2.94 4.76 1.39 11.78E%Corriente (A) 4.41 4.76 5.55 5.55 Tabla N°4. Errores Porcentuales de voltajes y corrientes
Luego de evaluar el circuito original, procedemos a hacer la evaluación del
mismo utilizando el Teorema de Thevenin. Que consiste en retirar la resistencia
variable para realizar el cálculo del voltaje de Thevenin mientras que para el
cálculo de RTH se retira la fuente y por ella se sustituye un cortocircuito para el
desarrollo de la equivalente en los extremos A y B.
Circuito para el cálculo de Thevenin
20Ω 87Ω
A
+
4v 10Ω Vth
-
B
Al calcular el voltaje de Thevenin experimentalmente en los terminales A y B y
la resistencia de Thevenin el circuito se reduce de esta manera :
Dónde:
Vth experimentalmente: 1.33 Volts
Rth experimentalmente 93Ω
Tabla de valores experimentales y teóricos del voltaje y corriente de la
resistencia variable.
Resistencia RLVoltaje AB EXP(V)
Voltaje Teó (V)Corriente RL
Exp(mA)Corriente RL
Teo(mA)50Ω 0.4 0.4 8.926 9.26
+ -
Cálculo de los errores:
E%=|Vteo−VexpVteo |∗100
E%=| Iteo−IexpIteo |∗100
Resistencia RL Error % en VAB ERROR % en I50Ω 0 3.9
Tabla de error de voltaje y corriente.
La potencia absorbida por la carga RL:
PL= VTH 2
(RTH +RL)2∗RL
Para el cálculo de la potencia absorbida por la carga RL se sustituyen los
valores experimentales del cálculo de Thevenin, donde:
VTH=1.33
RTH=93
RL=50Ω, RL=60Ω, RL=93Ω
PL1=(1.33)2
(93+50)2∗50=4.32 X10−3Watts
PL2=(1.33)2
(93+60)2∗60=4.53 X 10−3Watts
PL3=(1.33)2
(93+93)2∗93=4.75 X10−3Watts
Resistencia RL Potencia Carga RL(mW)50Ω 4.3260Ω 4.5393Ω 4.75
La máxima transferencia de Potencia es 4.75, ya que ésta se da cuando la RL
toma el valor de la RTH.
Experiencia 2: Demostrar experimentalmente del cumplimiento del
Teorema de Norton y el principio de la máxima transferencia de potencia.
El equivalente de Thevenin para el circuito lineal, para cada caso con el
voltaje de la fuente aplicado, como lo antes planteado en el marco teórico, es
una fuente de voltaje Vthe, conectada en serie con Rthe, que son equivalentes
del circuito lineal, pero este circuito equivalente es más reducido, pero resulta
ser el mismo, por lo que la caída de tensión en RL es la misma para el circuito
lineal, como para el circuito de Thevenin, y sabiendo que:
Inorton=VtheRthe
Con esta relación, también se puede obtener un circuito equivalente de
NORTON, el cual consiste en una fuente de corriente conectada en paralelo
con Rthe.
Al calcular la corriente de Norton el circuito equivalente nos queda:
Inorton=1.3393
=0.014 A
Dónde:
IN experimentalmente= 0.014A
RN experimentalmente=93Ω
Tabla de valores experimentales y teóricos del voltaje y la corriente de la
resistencia variable.
Resistencia RLVoltaje AB EXP(V)
Voltaje AB Teó (V)Corriente RL
Exp(mA)Corriente RL
Teo(mA)50Ω 0.45 0.46 9.090 9.26
Para el cálculo de los errores:
E%=|Vteo−VexpVteo |∗100E%=|0.46−0.450.46 |∗100=2.17 %
E%=| Iteo−IexpIteo |∗100
E%=|9.26 X 10−3−9.090 X 10−3
9.26 X 10−3 |∗100=1.84 %
Tabla de Errores de voltaje e intensidad de corriente
Resistencia RL Error % en VAB ERROR % en I50Ω 2.17 1.84
La Potencia absorbida por la carga RL:
PL=(INXRN )2
(RN+RL)2∗RL
Para el cálculo de la potencia absorbida por la carga RL se sustituyen los
valores experimentales de la experiencia 2 donde:
IN=0.014 A
RN=93Ω
RL=50Ω, RL=60Ω, RL=93Ω
PL1=(0 .014 X 93)2
(93+50)2 ∗50=4 .14 X 10−3 Watts
PL2=(0.014 X 93)2
(93+60)2 ∗60=4.34 X10−3Watts
PL3=(0.014 X 93)2
(93+93)2 ∗93=4.557 X 10−3Watts
Resistencia RL Potencia Carga RL(mW)50Ω 4.1460Ω 4.3493Ω 4.557
La Máxima Transferencia de Potencia es: 4.557 mW ya que la máxima
transferencia se da cuando el valor de la RL es igual a la RN.
Conclusión
Un gran circuito puede ser sustituido por uno equivalente (más
pequeño), aplicando el Teorema de Thevenin o Norton antes expuesto, con el
cálculo de un Voltaje de Thevenin y una Resistencia de Thevenin, el cual nos
permite mantener la caída de tensión y corriente en determinados terminales y
sustituir el circuito a simplificar por estos valores de Vthe y Rthe
De igual manera un gran circuito puedo ser sustituido, por una Corriente
de Norton y una Resistencia de Norton, en vez de un Vth y una Rth; que nos
permita mantener la misma caída de tensión y corriente en dichos terminales y
sustituir el circuito a simplificar por estos valores de I y R de Norton. Cundo
realizamos este tipo de cambio nos damos cuenta que aquí lo que ocurre es
una transformación de fuente, ya que si transformamos la V y R de Thevenin a
una fuente de corriente nos damos cuenta que esa fuente de corriente es la
misma de Norton y que la Resistencia de Thevenin y la resistencia de Norton
son iguales.
La máxima transferencia de potencia se obtiene cuando en un circuito
formado por la Vth, Rth (o en su defecto, un circuito de Norton, que resulta
equivalente al de Thevenin) y una resistencia de carga RL, el valor de la
potencia absorbida por la RL es máximo, y esto ocurre cuando Rth y RL son
iguales, ya que para valores menores y mayores que Rth la potencia absorbida
por RL disminuye.
En toda practica de laboratorio existe cierto margen de error, en este
caso hubo pequeños porcentajes los cuales son causados generalmente por la
mala lectura de los diversos instrumentos, también la exactitud de los equipos,
perdida en los cable, resistencia internas en los instrumentos, desgastes en las
resistencias, mal contacto en los conectores, etc.
Pudimos comprobar que aplicándole el Teorema de Thevenin y Norton a un
circuito dado, los cálculos son equivalentes a los del circuito original.
