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INE5403 - Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação 2) Fundamentos 2.1) Conjuntos e Sub-conjuntos 2.1) Conjuntos e Sub-conjuntos 2.2) Números

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  • INE5403 - Fundamentos de Matemtica Discreta para a Computao2) Fundamentos 2.1) Conjuntos e Sub-conjuntos 2.2) Nmeros Inteiros 2.3) Funes 2.4) Seqncias e Somas 2.5) Crescimento de Funes

  • FunesDef.: Sejam A e B conjuntos no-vazios. Uma funo f de A em B, denotada por f:AB, uma relao de A em B tal que:para todo aDom(f), f(a) contm apenas um elemento.

  • FunesNO funo:Exemplo de funo:

  • FunesObservaes:Se aDom(f), ento f(a)=Se f(a)={b}, escreve-se f(a)=bA relao f como definida acima pode ser escrita como o conjunto dos pares:{(a,f(a)) | aDom(f)}o valor a chamado de argumento da funo e f(a) chamado de valor de f para o argumento a.

  • FunesExemplo1: Sejam A={1,2,3,4} e B={a,b,c,d} e sejaf={(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)}Assim, os valores de f de x, para cada xA so:f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={d}, f(4)={c}como cada conjunto f(x), para xA, tem um nico valor, ento f uma funo.

  • FunesExemplo2: Sejam A={1,2,3} e B={x,y,z} e considere as relaesR={(1,x),(2,x)} e S={(1,x),(1,y),(2,z),(3,y)}Ento:R uma funo com Dom(R)={1,2} e Im(R)={x}S no uma funo pois S(1)={x,y}Exemplo3: Seja A um conjunto arbitrrio no-vazio. A funo identidade de A, denotada por 1A, definida por1A(a)=a

  • Tipos especiais de funesDef.: Uma funo f de A em B dita um-para-um ou injetora se e somente se f(a) f(b) sempre que a b.Exemplo1: Determine se a funo f de {a,b,c,d} em {1,2,3,4,5}, com f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 e f(d)=3 injetora.

  • Funes injetorasExemplo2: Determine se a funo f(x)=x2, dos inteiros para os inteiros, injetora.Soluo: A funo f(x)=x2 no injetora pois, por exemplo, f(1)=f(-1)=1, mas 1 -1.Exemplo3: Determine se a funo f(x)=x+1 injetora.Soluo: A funo f(x)=x+1 injetora. Para provar isto, note que x+1 y+1 quando x y.

  • Tipos especiais de funesDef.: Uma funo f de A em B chamada de sobrejetora se e somente se para todo elemento bB h um elemento aA com f(a)=b.Equivalentemente, f sobrejetora se Im(f)=B (inteiro)Exemplo1: Seja f a funo de {a,b,c,d} em {1,2,3}, definida por f(a)=3, f(b)=2, f(c)=1 e f(d)=3. Esta funo sobrejetora?

  • Funes sobrejetorasExemplo2: A funo f(x) = x2, dos inteiros para os inteiros, sobrejetora?Soluo: A funo f no sobrejetora pois, por exemplo, no h inteiro x que fornea x2 = -1.Exemplo3: Determine se a funo f(x)=x+1, dos inteiros para os inteiros, sobrejetora.Soluo: Esta funo sobrejetora, pois:para todo inteiro y, sempre h um inteiro x tal que f(x)=y.

  • Tipos especiais de funesDef.: Uma funo f uma correspondncia de um-para-um, ou uma funo bijetora, se ela for injetora e sobrejetora.Resumindo: Exemplos de diferentes tipos de correspondncias:a) Injetora, mas no sobrejetora:b) Sobrejetora, mas no injetora:c) Injetora e sobrejetora:

  • Tipos especiais de funesResumindo: diferentes tipos de correspondncias (continuao):d) Nem injetora, nem sobrejetora:e) No funo:

  • Tipos especiais de funesDef.: Seja f:AB uma funo bijetora. A funo inversa de f a funo que associa a um elemento bB o elemento nico a em A tal que f(a)=b.A funo inversa de f denotada por f-1.Portanto, f-1(b) = a quando f(a)=b.Uma funo bijetora chamada de inversvel.

  • Funes inversasExemplo1: Seja f a funo de {a,b,c} para {1,2,3} tal que f(a)=2, f(b)=3 e f(c)=1. Verifique se a funo f inversvel e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.Soluo: A funo f inversvel, pois bijetora. A funo f-1 dada por:f-1(1)=c, f-1(2)=a e f-1(3)=b.

  • Funes inversasExemplo2: Seja f a funo de Z para Z com f(x)=x2. Esta funo inversvel?Soluo: - Como f(-1)=f(1)=1, f no injetora. - Se uma f-1 fosse definida, ela teria que associar dois elementos a 1 f no inversvel.

  • Composio de funesDef.: Sejam:g uma funo do conjunto A para o conjunto B e f uma funo do conjunto B para o conjunto C. A composio das funes f e g, denotada por f o g, definida por: (f o g)(a) = f(g(a))

    ou seja, f o g a funo que associa ao elemento aA o elemento associado por f a g(a)

  • Composio de funes

  • Composio de funesExemplo1: - Seja g a funo do conjunto {a,b,c} para ele mesmo tal que g(a)=b, g(b)=c e g(c)=a - Seja f a funo do conjunto {a,b,c} para o conjunto {1,2,3} tal que f(a)=3, f(b)=2 e f(c)=1. - Determine a composio de f e g e a composio de g e f.Soluo:A composio f o g definida por: (f o g)(a) = f(g(a)) = f(b)=2 (f o g)(b) = f(g(b)) = f(c)=1 (f o g)(c) = f(g(c)) = f(a)=3Note que g o f no est definida, pois o contradomnio de f no um subconjunto do domnio de g.

  • Composio de funesExemplo2: Sejam f e g as funes do conjunto dos inteiros para o conjunto dos inteiros definidas por:f(x) = 2x + 3 g(x) = 3x + 2Determine a composio de f e g e a composio de g e f.Soluo: (f o g)(x) = f(g(x)) = f(3x+2) = 2.(3x+2) + 3 = 6x+7 (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+3) = 3.(2x+3) + 2 = 6x + 11

  • FunesExemplo3: Seja A=Z, B=Z e C o conjunto dos inteiros pares. Seja f:AB e g:BC definida porf(a)=a+1,para aA g(b)=2.b, para bBEncontre g o f.

    Soluo: g o f(a) = g(f(a)) = g(a+1) = 2.(a+1) g o f(a) = 2.(a+1)

  • Composio de funesNote que a composio de funes no comutativa.A composio de uma funo e sua inversa, em qualquer ordem, leva funo identidade:Suponha que f uma funo bijetora de A para BA funo inversa reverte a correspondncia da funo original:f-1(b)=a quando f(a)=b f(a)=b quando f-1(b)=aPortanto:(f-1 o f)(a) = f-1(f(a)) = f-1(b) = a (f-1 o f)(b) = f-1(f(b)) = f-1(a) = bConsequentemente,f-1 o f = 1A f o f-1 = 1B