Identificação de Sistemas Dinâmicos · III. Algoritmos a. Métodos Determinísticos b. O Estimador de Mínimos Quadrados c. Estimadores não polarizados d. Estimadores Recursivos

III Colóquio de Controle e Automação da UTFPR-CP

Identificação de Sistemas Dinâmicos 8 de Novembro de 2011

Adolfo Bauchspiess

Laboratório de Automação e Robótica

Departamento de Engenharia Elétrica

Faculdade de Tecnologia

Universidade de Brasília

®ABauchspiess LARA/UnB – Identificação de Sistemas Dinâmicos - Colóquio Cornélio Procópio 8/11/2011

Sumário

I. Introdução

II. Sinais e Sistemas Dinâmicos

III. Algoritmos a. Métodos Determinísticos

b. O Estimador de Mínimos Quadrados

c. Estimadores não polarizados

d. Estimadores Recursivos

IV. Identificação na Prática a. Processo Térmico

b. Nível de Líquido 2ª Ordem

c. Nível de Líquido 4ª Ordem

V. Conclusões 2


3

1 - INTRODUÇÃO


I - Introdução

Modelos:

Caixa Branca

Caixa Preta

Caixa Cinza

Identificação de Sistemas

4


5

Sinais e Sistemas

Sistema

Dinâmico

w

u

v

y

Sinais:

u - entrada (variável manipulada)

y – saída (variável controlada)

w – perturbação mensurável

v – perturbação não mensurável


6

Exemplo –

Conforto Térmico

Sala

w

u

v

y

Sinais:

u – ar condicionado, calefação

y – temperatura

w – temperatura externa

v – radiação solar

N

24.3°C

22.4°C

23.6°C

To

Conf.

Room

Air Cond.

Heaters

Sistema:


7

Exemplo –

Processo de nível

Processo

w

u

v

y

Sistema:

Sinais:

u – qi1, vazão [cm3/s]

y – nível [cm]

w – qi3

v – ?


8

Exemplo – Helicóptero

Processo

w

u

v

y

Sistema:

Sinais:

u – motores

y – posição e orientação

w – ?

v – vento


Principais Etapas numa Identificação

Coleta de dados

Escolha da representação matemática

Determinação da estrutura

Estimação dos parâmetros

Validação

9


10

II – SINAIS

E

SISTEMAS DINÂMICOS


11

II. Sinais e Sistemas Dinâmicos

Sistemas dinâmicos lineares

invariantes no tempo

Sistemas discretos

Sistemas não-lineares

Sistemas a parâmetros distribuídos

Paradigmas de controle de sistemas dinâmicos

Breve revisão de conceitos vistos em

Análise Dinâmica Linear, Controle Dinâmico e Controle Digital


Tipos de Modelos

Estáticos x Dinâmicos

Discretos x Contínuos

Autônomos x Não autônomos

Monovariáveis x Multivariáveis

Determinísticos x Estocásticos

Paramétricos x Não paramétricos

12


13

Sistemas lineares invariantes no tempo

Princípio da superposição

Função de transferência

Todos os sistemas reais são não lineares:

Saturação

Zona-Morta

Dependência do ponto de operação

etc


14

Sistemas Discretos

Amostragem

Transformada Z

Computadores, CLPs, Microcontroladores & etc

Identificação de Sistemas

utiliza amostras dos sinais


15

Sistemas LTI discretos

Sistema

DiscretoSistema

Continuo

u(t) y(t) u(kT) y(kT)

0

00

)()(

,...2,1,0),()()()()()(

t

t

k

c

ciaTransferêndeFunçãoqkhqH

tktukhtydtuhty

Obs: q-1 operador deslocamento unitário

z freqüência discreta


16

Sistemas a Parâmetros Distribuídos

Fenômenos de Transporte

Exemplo: Transferência de Calor

Simulação da velocidade do vento em Modelica, por Felgner, ASIM2002

2

2

2

2

tK

x


Modelo Paramétrico x Modelo Não P.

17

15,0

1)(

2

ss

ssH Modelo Paramétrico

0 5 10 15 20 25-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Impulse Response

Time (seconds)

Am

plit

ude -40

-30

-20

-10

0

10

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-135

-90

-45

0

45

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Modelo Não Paramétrico: Resp. Impulso

Modelo Não Paramétrico: Diagrama de Bode


Modelo Discreto

18

6065,08828,0

3319,0056,1)(

2

zz

zzH Modelo Paramétrico Discreto

Modelo Não Paramétrico: Resp. pulso

Modelo Não Paramétrico: Diagrama de Bode

0 5 10 15 20 25-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Impulse Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

-10

-5

0

5

10

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)


19

Perturbações

)()()()(0

tvktukgtyk

Sistema Discreto

v (t)

y (t)u(t)

Causas: ruído de medida, entradas não controláveis

20 30 40 50 60 70 80 9010

15

20

25

30

35

40Temperatura lado Sul - Kaiserslautern 4-7 Jul 2003

t/horas

Tem

pera

tura

/°C

20 30 40 50 60 70 80 9022

23

24

25

26Temperatura sala de conferencias - Kaiserslautern 4-7 Jul 2003

t/horas

Tem

pera

tura

/°C

Ex. Temperatura medida com ruído


20

Caracterização de perturbações

),0()()

),,0(;,)(

1,0)()

1s

1)(:

)(

)()()(0

Nteb

normalãodistribuiçNradeprobabilidcomrte

adeprobabilidcomtea

sHExemplos

brancoruídote

ktekhtvk

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

a)

b)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3


21

Covariância

)()()(:

)()(

)()()(

)()()()()()(

:

0)()()(:

0

00

00

0

tvtEvRvprocessodoiânciavarCo

khkh

stshkh

stektEeshkhtvtEv

iânciavarCo

ktEekhtEvMédia

v

s

sk

sk

k

Assumindo e(t) com média 0 e variância λ,


22

Funções de Transferência

)()()(

)()(

)()(

)()(

)()()()()()()()()(

0

1

1

111

teqHtv

zkhqH

zkgzG

qkgqG

tuqGtuqkgtuqkgktukgty

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

)()()()()( teqHtuqGty

Resposta do sistema

Funções de Transf.

Resposta à perturbação

Sistema Discreto

Filtro do ruído branco

v (t)

y (t)u(t)

e(t)


23

Resposta no domínio da freqüência

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

)(argcos)()( ii eGteGty

Sistema

Continuo

u(t)=cos(ωt)=Re(eωit)

estáveissistemaspara

kg

tk

kitiii

tk

ekgeeGteGty

ttupara

0)(

)(Re)(argcos)()(

,00)(


24

Periodograma

2

1

2

1

2

2/

2/1

2

1

)(:

)()2

(:

)2

(1

)(:

)(

,...2,1),2

(:

)(1

)(:

,...2,1),(

N

N

t

N

k

N

N

Nk

ktN

i

N

N

N

t

ti

N

UmaPeriodogra

tukN

UParseval

ekN

UN

tuinversaDFT

DFT

NkkN

UDiscretaFourierdedaTransforma

etuN

UFourierdedaTransforma

NttufinitaSequência


25

Propriedades do Periodograma

)()()(

)()2(

*

NN

NN

UUrealétuse

UUadeperiódicid


26

Exemplos

senão

paraA

NU

sNNNcomtAtu

N

,0

,4)(

,/2,cos)(

0

2

2

000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

y1

Input and output signals

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

Time

u1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Normalized Frequency ( rad/sample)

Pow

er/

frequency (

dB

/rad/s

am

ple

)

Power Spectral Density Estimate via Periodogram

10-2

10-1

100

101

102

10-10

10-5

100

105

y1

Periodogram

10-2

10-1

100

101

102

10-5

100

105

Frequency (rad/s)

u1


27

Sinal Periódico

senão

Nr

N

kseAs

U

etuN

Acom

eAN

tu

sNNNNtutu

rN

N

t

Nitr

r

N

Nr

Nitr

r

,0

2,...1,0,

2,

)(

)(1

1)(

],,1[),()(

0

0

22

1

/2

0

2/

12/

/2

0

00

0

0

0

0

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

0

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60

-40

-20

0

20

40


Pow

er/

frequency (

dB

/rad/s

am

ple

)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

0

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20


Pow

er/

frequency (

dB

/rad/s

am

ple

)



28

Filtro ou Sistema Dinâmico:

→ Transformada de Fourier

Sistema

Continuo

w(t)

1

1

1

)(,2)(

)()()()(

)(1

)(

)(1

)(

)()()(

)()(

t

GG

wN

NN

i

N

N

t

ti

N

N

t

ti

N

kgkCcomN

CCRonde

RWeGS

etwN

W

etsN

S

twqGts

estávelteestritamensistemaumporosrelacionadsãotwets


29

Processos Estocásticos

Uma seqüência de variáveis aleatórias com uma pdf conjunta

Definições:

ariânciavtxEttRtxVar

cruzadacorrelaçãotytExtR

ariânciavcotmtxtmtxEttC

correlaçãotxtExtR

médiatExtm

x

T

yx

T

xxx

T

x

x

)(),( )(

)()( )(

)()()()( ),(

)()( )(

)()(

2

21

221121

21


30

Estacionariedade

x(t) é estacionário no

sentido amplo (WSS) se:

)(),(

)(

2121 ttRttR

ttetanconsmtm

xx

xx

Gu y

nExperimento

(determinístico)

Ruído

(estocástico)

Saída

(mista)

ioestacionármaisénãoctetuqGtEy )()()()(


31

Processos quasi-estacionários

)(),(

1lim

),(),()()()2

)()()()1

1

s

N

t

sN

ss

ss

RttRN

e

CrtRrtRrstEs

tCtmtmtEs

Se s(t) é um processo estacionário, então satisfaz 1 e 2.

Se s(t) é determinístico então:

)()()(1

lim)2

)()1

1

s

N

tN

RtstsN

Cts


32

Exemplo

uxux

ux

s

s

N

t

N

t

mmRRt-τstsE

mmtsE

tRstsE

ctemtsEiaestacionárquasiSituação

NE:Notação

ticodeterminísoestocástic

tutxtsgeralem

NuN

tutuN

finitaenergiatemts

2)()()()(

)(

)()()(

)(

(.)1

lim(.)

)()()(

01

)()(1

)(

1

2

21


33

Espectro de Potência

Para um processo quasi-estacionário:

)()(4

)(

)cos(2

)(cos)cos(1

lim)(

)cos()(:

))(()()(

00

2

0

2

1

00

0

Ae

AtAtA

NR

tAtxSenoidalSinalExemplo

RdeFourierdedaTransformaeRe

i

x

N

tN

x

x

i

x

i

x


34

Espectro de processo estacionário

2

2

0 0

)(

)0,max(

)0,max(

0

0000

)()(

)()()(

)()(

)()()()(

)()(

)()()()()()()()()(

i

v

iik

s k

is

ki

k

ik

k

ii

vv

s

sksk

eH

eHekhesh

ekhekh

khkheeR

khkh

stshkhstektEeshkhtvtEv

Espectro de um processo estocástico descrito por

v(t) = H(q) e(t),

onde a seqüência de variáveis aleatórios {e(t)}

tem média 0 e covariância λ

10-2

10-1

100

100

101


35

Exemplo:

Processo estacionário

10-2

10-1

100

101

10-2

10-1

100

101

102

103

w/[rad/s]

Spectro de H(q)=(1 + .5 q-1)/(1 -1.5 q-1 + .7 q-2)

Periodograma x Espectro

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

0

0.5e(t) seqüência de variáveis aleatórias

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4

-2

0

2

4v(t) sinal estocástico v(t) = H(q)*e(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-50

-40

-30

-20

-10

0

10


Pow

er/

frequency (

dB

/rad/s

am

ple

)



36

Exemplo:

Processo estacionário

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20


Pow

er/

frequency (

dB

/rad/s

am

ple

)


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.5

0

0.5e(t) seqüência de variáveis aleatórias

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-2

0

2

4v(t) sinal estocástico v(t) = H(q)*e(t)

10-2

10-1

100

101

10-2

10-1

100

101

102

103

w/[rad/s]

Spectro de H(q)=(1 + .5 q-1)/(1 -1.5 q-1 + .7 q-2)

Periodograma x Espectro


37

Sinal misto: determinístico + estocástico

)()()(

.0)()(

)()(

)()()()(

)()()()()()(

)(,0,)(

)()(

)()()(

vus

vu

v

u

tutvEpois

RR

tvtvEtutvE

tvtuEtutuEtstsE

espectroemédiaoestocástictv

espectrotico,determinístu

tvtuts


38

Periodograma x Espectro de Potência

)()(lim

,0

,4)(

?2

0

2

2

i

xNN

N

eX

senão

paraNA

X

)(

.)(

)()()()(lim2

ãodistribuiçcomoiaConvergênc

suavementesuficientefunçãotodapara

ddSE sNN

Resultado, para s(t) quasi-estacionário:

"")(

"")(

:.

2

comportadabemfunçãoumaée

erráticafunçãoumaéS

Obs

i

s

N


39

Espectro

i

xy

i

xy eRe )()(

Espectro cruzado

Motivação:

O espectro é uma propriedade de segunda ordem dos sinais.

Descreve apenas certos aspectos do sinal, é, no entanto

suficiente para caracterizar várias propriedades relacionadas

à identificação de sistemas dinâmicos.


40

Espectro de sinais filtrados

)()()(

)()()(

)}({)()()(

)}({

2

w

i

sw

w

i

s

eG

eG

ioestacionárquasitstwqGts

ioestacionárquasitw

Sistema

Continuo

w(t) s(t)


41

Modelo para sistemas com saídas ruidosas

Gu y

e

quasi-estacionário

Ruído

Saída

H

v

Ruído branco

)()()(

)()()()(

)(

)()(

)()()()()(

22

u

i

yu

i

u

i

y

u

eG

eHeG

iânciavardebrancoruídote

espectrorio,estacionáquasitu

teqHtuqGty

Relações fundamentais em

Indentificação de Sistemas

→Métodos de correlação


42

MODELOS DE SISTEMAS LTI


43

Modelo Completo

Gu y

e

H

v

d

k

k

k

k

e

D

teqHtuqGty

adoParametrizModelo

qkhqHqkgqG

PDFfcomruídote

saídaty

entradatu

teqHtuqGty

)(),()(),()(

)(1)()()(

)(.)()(

)(

)(

)()()()()(

11

Conjunto de Modelos

“Estrutura”


44

Modelos de Funções de Transferência

AH

A

BGHeGuyelomodopara

qbqbqB

qaqaqA

brancoruídoumétebbaa

tentubtub

ntyatyaty

tuqBtyqA

ógenaeentradacomgressivoeutoARX

b

b

a

a

ba

b

a

n

n

n

n

nn

bn

an

1,

...)(

...1)(

)(,

)()(...)1(

)(...)1()(

)()()()(

)(

1

1

1

1

11

1

1

XRA

B/Au y

e

1/A

v


45

ARMAX

A

CH

A

BGHeGuyelomodopara

qcqcqC

qbqbqB

qaqaqA

ccbbaa

ntectecte

ntubtub

ntyatyaty

tuqBteqCtyqA

ógenaeentradacomMóvelMédiagressivoeutoARMAX

c

c

b

b

a

a

cba

c

b

a

n

n

n

n

n

n

nnn

cn

bn

an

,

...1)(

...)(

...1)(

)(...)1()(

)(...)1(

)(...)1()(

)()()()()()(

)(

1

1

1

1

1

1

111

1

1

1

XRA

B/Au y

e

C/A

v


46

Estrutura equação de erro

Bu y

e

C/D

v

1/A

)()(

)()()()()(

)()(

1)()()()(

)(

teqD

qCtuqBtyqA

ARARMAX

teqD

tuqBtyqA

ARARXoumóvelmédiacomoerroErrodeEquaçãoModelo


47

Modelo OE – Erro de saída

B/Fu y

e

1,

)(ˆPr

)()(

11

HF

BG

uF

Btypassoumdeeditor

ffbb

teuF

Bty

OEModelo

fb nn


48

Preditor OE

B/Fu y

e

)(ˆ),(

),()(ˆ

),(),1()()1(),(

),()()(

)()(ˆ

)()()()(

ktyktwrealidadena

ttyeditorPr

ntwtwntutut

twtuqF

qBty

tetwteuF

Bty

OEModelo

T

T

fb


49

Estrutura Box-Jenkins

B/Fu y

e

C/D

...)()(

)()(

)(

)()()(

...

)()(

)()()(

)()(

)()()(ˆ

)()(

)()(

)(

)()(

teqD

qCtu

qF

qBtyqA

aindagenéricoMais

tyqC

qDqCtu

qFqC

qBqDty

teqD

qCtu

qF

qBty

ARMAouJenkinsBox


50

Estrutura Espaço de Estados

)()()(

)(

)(

)(

)()(

)()()()(

)()()()()()1(

1221

RvEREvvRE

saídaderuídotv

operturbaçãt

cosbranassumidosgeralmenteruídodescomponenteDuas

CA

tvtxCty

ttuBtxAtx

TTT

pxnnxn


51

Projeto do sinal de entrada

• Sinais mais utilizados:

- Degrau

- Seqüência Binária Pseudo-Randômica (PRBS)

- Processo ARMA

- Sinais periódicos: soma de senóides

- Condições para “excitação suficiente”

- Degeneração do projeto do sinal de entrada

- Relação entre PRBS & ruído branco

- Propriedades no domínio da freqüência destes sinais


52

Exemplos de sinal de entrada

• Entrada degrau

• Seqüência binária pseudo-randômica

• sinal periódico

• chaveamento entre dois níveis, segundo um certo padrão

• níveis ± a, período = M

senão

ttu

0

01)(


53

III – ALGORITMOS


54

III.a ALGORITMOS

–

MÉTODOS DETERMINÍSTICOS


55

MÉTODOS

NÃO PARAMÉTRICOS


56

Métodos não paramétricos

Métodos no domínio do tempo

Resposta ao impulso

Resposta ao degrau

Análise da correlação / tempo

Métodos no domínio da freqüência

Teste da senóide

Análise da correlação / freqüência

Análise de Fourier

Análise Espectral


57

Definição do problema

y(t)Caixa

Pretau(t)

v(t)

)()()(

0)(

)()(*)(

)()()()(

,

0

0

0

tvtgty

temamplitudedepulsotupara

tvtugty

tvtuqGty

temponoiantevarinelinearestáveléSistema

Métodos no domínio do tempo

→ estimam g0

Métodos no domínio da freqüência

→ estimam G0(eiω)


58

Critérios

)(ˆ)(sup)

)(ˆ)()

0)(ˆ)()

0,)(ˆ)()

0

0

0

0

0

ii

t

ii

eGeGd

tgtgc

ttgtgb

TeGeGa


Ex. Processo de 2ª Ordem

Não há tratamento específico ao ruído

→ Relação Sinal/Ruído deve ser alta!

59

14,0

1)(:

2

sssGEx

)(12

2

2

22

2

22

/21

;;

)(1

1)(

2)(ˆ:

TT

dnd

n

d

t

nn

n

eBB

T

A

tsene

ty

ss

AsGModelo

degrauaorespostadapartirA



60

14,0

1)(:

2

sssGEx

1;1825,0;03,1

:

/21

;;

)(1

1)(

2)(ˆ:

)(12

2

2

22

2

22

A

gráficodo

eBB

T

A

tsene

ty

ss

AsGModelo

degrauaorespostadapartirA

n

TT

dnd

n

d

t

nn

n

062,13762,0

062,1)(ˆ

2

sssG



61

14,0

1)(:

2

sssGEx

062,13762,0

062,1)(ˆ

2

sssG

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

g

g__hat


62

III.b ALGORITMOS –

O ESTIMADOR DE MÍNIMOS

QUADRADOS


O Estimador de Mínimos Quadrados

Sistema de equações sobredeterminado

63

y

y

y

TT

TT

XXX

XXX

X

1][

Matriz pseudo-inversa


64

Modelos ARX

e o método dos Mínimos Quadrados

)()|(

)(

)()1()()1()(

)(...)1()(...)1()(

)(...)1()(...)1()(

11

11

11

tty

ty

mtutuntytyt

bbaa

mtubtubntyatyaty

mtubtubntyatyaty

T

T

T

T

mn

mn

mn

“Um problema Arquétipo”

Modelo:

Notação Compacta:

Vetores:

Estimativa dependente dos parâmetros


65

O Estimador de Mínimos Quadrados

N

t

N

t

T

N

N

N

N

NN

N

t

TN

t

N

N

N

N

N

tyttt

ZVd

d

ZV

ttyN

tytyN

ZV

ZV

NyNuyuZ

1

1

1

1

2

1

2

)()()()(

0),(

),(minarg

))()((1

))|(ˆ)((1

),(

),(min

)()()1()1(

Dados do Processo:

MMQ:

Função de custo de erro quadrado:


66

Ex.: Equação a diferenças de 1a ordem

)1()(

)1()(

)1()1()1(

)1()1()1(ˆ

)1()1()(

1

2

2

tuty

tuty

tututy

tutyty

b

a

tbutayty

N

N


67


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

7408.0

1728.0)(

7408.0

1728.0)(

303

7408.0

1728.0)(

3

2)( 1.0

zzg

zzg

NN

zzg

ssgc T

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1


68


y=y+0.1rand()

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5996.0

2854.0)(

7123.0

2031.0)(

5395.0

2357.0)(

300303

7408.0

1728.0)(

3

2)(

300303

1.0

zzg

zzg

zzg

NNN

zzg

ssgc T

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


69


u = sin(2t) y = y + 0.1rand()

7428.0

1718.0)(

300

7408.0

1728.0)(

3

2)(

300

1.0

zzg

N

zzg

ssgc T

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


70

Regressão Linear

)()|(

)()1()()1()(

)(...)1()(...)1()(

11

11

tty

mtutuntytyt

bbaa

mtubtubntyatyaty

T

T

T

mn

mn

Regressão Linear:

Calcular y utilizando os valores passados contidos em φ

y é função linear dos parâmetros em θ

Modelo ARX:

Auto-Regressivo – y depende de valores passados de y

X – entrada eXterna (u), variável eXógena

^

^

^


Polarização do Estimador MQ

Polarização (bias)

Modelo:

71

TTAA 1

,ˆ y

]ˆ[Eb

sregressoredosdependequematrizumaéAAθ

kekky T

,ˆ

)()1()(

y

ey

][][

][])([

)]([

][

AeEIAE

AeEIAE

eAE

AEb

y

b=0 → =0 =0

)()()( kekyky i Variáveis aleatórias


Estimadores Não Polarizados

EMQ - Estimador estendindo de mínimos quadrados

GMQ – Estimador de mínimos quadrados generalizado

VI – Estimador das variáveis instrumentais

72


73

MÉTODOS

DE ESTIMAÇÃO DE

PARÂMETROS


74

Princípios subjacentes

de métodos de estimação de parâmetros

),(),())],,(1[)

:

)(),()(),()(

:

)))|(ˆ:)(

:

.

|)(

)(

11

*

qGqH(q,θWqH(q,θW

com

teqHtuqGty

adiantepassoumdepreditoroPara

)(q,θW(q,θWty

preditorcomolinearFiltro

futurassaídasaspredizerdemaneiraumaelomodCada

elosmoddeconjuntoD

parâmetrosdevetorD

adosparametrizelosmod

uy

uy

d

M

MM

M

M

M


75

Princípios subjacentes

de métodos de estimação de parâmetros

NtparacalculadoserpodeerroconhecidoZPara

prediçãodeerrotytyt

candidatoelomodumdeAvaliação

parâmetrosdeestimaçãodemétodoumé

DZ

mapeamentoO

dadosdevetorNuNyuyuyZ

N

NN

N

,...2,1

)|(ˆ)(),(

:

.

ˆ

)(),(),...,2(),2(),1(),1(

**

M


76

Minimização do erro de predição

),(minarg)(ˆˆ

:

.,(.)

)),((1

),(

:

,...2,1),,()(),(:

?""

.,

,...2,1),|(ˆ)(),(

1

**

NN

NNN

N

t

FN

N

F

N

N

ZVZ

parâmetrosdeEstimador

positivaetipicamentescalarfunçãoumaéonde

tN

ZV

Norma

NttqLtestávellinearFiltragem

prediçãodeerrooégrandeQuão

nãoouqudráticaemnormaqualquerporAvaliado

emerrodevetorNttytyt

PEM

Prediction-error

Identification Methods

e.g.: LS, ML


77

III.d Estimadores Recursivos

Estimação em batelada

Estimação seqüencial

Estimação recursiva

Estimação off-line

Estimação on-line

Estimação em tempo real


III. Estimadores Recursivos

Seja o sistema

Algoritmo recursivo

78

RkekeEcomkeky T )](cov[,0)]([),()(

k

T

k kky ˆ)1()(

)ˆ)((ˆˆ11 k

T

kkkk kyK

Inovação


79

Aplicação: Controle Adaptativo

Processo

Estimador

(recursivo)

Controlador

K(t)

)(ˆ t

r yu

.)( temponovarianteestávelsistemaumétKrcontroladoO


80

PARTE IV

IDENTIFICAÇÃO NA PRÁTICA a) Processo Térmico

b) Nível de Líquido 2ª Ordem

c) Nível de Líquido 4ª Ordem


81

PARTE IV

a) PROCESSO TÉRMICO


Processo Térmico

Experimento de Controle de Digital

82


Processo Térmico

Visão Esquemática

83


Processo Térmico

Identificação – Process Model

84

1. ident

2. Carregar os sinais de u,y

3. Remover a média

4. Selecionar faixas: [identificação, validação]

5. Process Models

6. Estimate: P1D, P1, P2, P2D, P2DZ,...

7. Model Output


Processo Térmico

Modelo de Processo

85

...

)1)(1(

)1()(2

)1)(1()(2

1)(1

21

21

1

sTsT

esTKsDZP

sTsT

eKsDP

sT

KsP

pp

sT

zp

pp

sT

p

p

p

d

d


Identificação do Processo Térmico

86

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

20

30

40

50

60

y1


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

100

150

200

250

300

Time

u1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

-10

0

10

y1


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

-100

0

100

Time

u1

Procedimento:

- Excluir transição p/ P.O.

- Conjunto de Identificação

- Conjunto de Validação

- Subtrair média

Sinais medidos

~9h30



87

Fit:

P2DZ: 93.43

P3DZ: 93.42

P1: 87.66

P2D: 86.9

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

x 104

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

Time

Measured and simulated model output

P3DZ

P1

P2D

P2DZ

data

2.4 2.42 2.44 2.46 2.48 2.5 2.52 2.54 2.56

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

Time


P3DZ

P1

P2D

P2DZ

data



88

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

x 104

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

Time


P2D

data

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

x 104

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

Time


P2DZ

data

Fit:

P2D: 86.9

P2DZ: 93.43

)1)(1(

)1()(2

)1)(1()(2

21

21

sTsT

esTKsDZP

sTsT

eKsDP

pp

sT

zp

pp

sT

p

d

d

P2D

Kp = 0.084231

Tp1 = 116.15

Tp2 = 0.001

Td = 0

P2DZ

Kp = 0.091263

Tp1 = 308.19

Tp2 = 41.164

Td = 4.8147

Tz = 200.4

P1 !!

)1( 1sT

K

p

p



89

)1)(1(

)1()(2

21 sTsT

esTKsDZP

pp

sT

zpd

Kp = 0.091263

Tp1 = 308.19

Tp2 = 41.164

Td = 4.8147

Tz = 200.4

Temperatura

Ambiente

u

yid

y_real

ZOH

Scope

Sat

0-1023

30.5

uid

PRBS

1

s

1

s1/300

1/300

0.4

0.60.091/40

1/40

Delay 5 seg

y

0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 104

35

40

45

50

55

t/[seg]

id

data

Zero ? Influência do meio ambiente !


90

PARTE IV

b) NÍVEL DE LÍQUIDO

2ª ORDEM


Identificação em Malha Fechada

Processo de Nível – 2ª Ordem

91




92




93

Atuadores

SensoresPlaca de

condicionamento

de sinais

Placa de

acionamentoEnergia

Vazão

Altura dos níveis Resistência

Sistema de nível de líquidos

Placa de controle

Módulo de

PWM

Conversor A/DMódulo

USART

Sinal de PWM

Sinal analógico

Dados

Controlador

Porta Serial




94

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000-5

0

5

10

15

t/[seg]

r,h2/[

cm

]

2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 30008

10

12

14

t/[seg]

r,h2/[

cm

]




95




96

222112212 ||)( hkhhkhhsign

dt

dhAr

||)( 2112211 hhkhhsignq

dt

dhA ir


Identificação

Malha Aberta x Malha Fechada?

97

Experimento de 3h30:

Malha fechada OK

uid=idinput(12600,'PRBS',[0 0.025],[-.5 .5]);

Malha aberta ->

seria necessário aumentar muito o tempo do experimento!!

8600 8800 9000 9200 9400 9600 9800 10000

10.44

10.46

10.48

10.5

10.52

10.54

10.56

t/[seg]

h2,h

2m

a/[

cm

]


Identificação

Pequenos Sinais?

98

uid=idinput(12600,'PRBS',[0 0.025],[-.5 .5]);

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t/[seg]

h2/[

cm

]

valores normalizados

0,1

1

3

1050 1100 1150 1200 1250 1300

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t/[seg]

h2/[

cm

]valores normalizados

0,1

1

3

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

2

4

6

8

10

12

14

t/[seg]

h2/[

cm

]

valores absolutos

0,1

1

3


Taxa de Amostragem

99

uid=idinput(12600,'PRBS',[0 0.025],[-.5 .5]);

1050 1100 1150 1200 1250 1300

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t/[seg]

h2/[

cm

]

valores normalizados

0,1

1

3

Teorema de Nyquist

REGRA: 5 a 8 amostras durante o tempo de subida.

Em geral é melhor realizar o experimento numa taxa mais alta

e posteriormente decimar o sinal.

Considerar a operação em malha fechada.



100

KKppspps

KK

sR

sYTs

p21212

-p

+ )( +

e

)(

)(

0.007676 + 0.05741 +

0.0073637e

)(

)(2

-4.7

sssR

sY s

segTsegT 164,35;19,48 21

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000-5

0

5

10

15

t/[seg]

r,h2/[

cm

]

2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 30008

10

12

14

t/[seg]

r,h2/[

cm

]

pKr y

w1

))(( 11 psps

Ke Ts

Controladorw2

Processou

Identificação em Malha Fechada:

~2h

em M.F.!

Malha Aberta:

-Processo muito lento

-Ponto de Operação?

21212

-

+ )( +

e

)(

)(

ppspps

K

sU

sY Ts

0,0061)+0,0513)(+(

0,0002945e

)(

)( -4,7

sssU

sY s

0,0003123+0,05741+

0,0002945e

)(

)(2

-4,7

sssU

sY s

Kp=25, P.O.=12cm, PRBS, Banda [0 0,025]


101

PARTE IV

c) NÍVEL DE LÍQUIDO

4ª ORDEM


LEARn

Laboratorio de Ensino de Automação Remoto da UnB


Processo de Nível de Líquido 4ª Ordem

103

qih

1

A1

h

2

A2

h

3

A3

h

4A4

k4k12 k23 k34


Processo de Nível

104

sqrt

sqrt

sqrt

sqrt

sqrt

sqrt

sqrt

[t uid]

sinal PRBS

r4

r3

r2

r1

r

1

s

h4

1

s

h3

1

s

h2

1

s

h1Zero-Order

Hold

Scope1

Scope

Saturação

do atuador10

Ponto

de

Operação

1/A2

k2

k12

k23

k34

k4

k3

k1

10

1/A4

1/A3

1/A1

|u|

|u|

|u|

|u|

|u|

|u|

|u|

simout

2WS -

amostragem

uniforme

h4

h4h4

h3

h2

h2

h1

h1h1


Processo de Nível de Líquido

Linearização em Ponto de Operação (u, y)

P1: r = 10; h1=19,1; h2=11,7; h3=7,31; h4=3,87

P2: r = 30; h1=84,3; h2=51,9; h3=32,3; h4=17,1

105

In1Out1

Subsystem

Scope

Saturação

do atuador30

Ponto

de

Operação

4simout

2WS -

amostragem

uniforme

[t uid]

ref

u

u

r y


Linearização em Ponto de Operação (u, y)

P1: r = 10; h1=19,1; h2=11,7; h3=7,31; h4=3,87

P2: r = 30; h1=84,3; h2=51,9; h3=32,3; h4=17,1

106

005)-8.453e 0.007496s (s 0.001432) 0.07416s (s

008-2.1978e

)(

)(:2

22

sU

sYP

Pole-Zero Map

Real Axis (seconds-1)

Imagin

ary

Axis

(seconds-1

)

-0.04 -0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0 500 1000 15000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

From: u To: y

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

0.0002536) + 0.02073s (s 0.005785) + 0.151s (s

007-2.0446e

)(

)(:1

22

sU

sYP

Pole-Zero Map


Imagin

ary

Axis

(seconds

-1)

-0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0 100 200 300 400 500 6000

0.05

0.1

0.15

0.2

From: u To: y

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude


Linearização Analítica em P.O.

P1: r = 10; h1=19,1; h2=11,7; h3=7,31; h4=3,87

P2: r = 30; h1=84,3; h2=51,9; h3=32,3; h4=17,1

107

0.002796)+(s 0.01031)+(s 0.0287)+(s 0.03976)+(s

008-2.1982e

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0-1

-0.5

0

0.5

1

Pole-Zero Map


Imagin

ary

Axis

(seconds-1

)

0 500 1000 1500 2000 25000

0.2

0.4

0.6

0.8

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

0.00588)+(s 0.02168)+(s 0.06036)+(s 0.08362)+(s

007-2.0448e

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0-1

-0.5

0

0.5

1

Pole-Zero Map


Imagin

ary

Axis

(seconds-1

)

0 200 400 600 800 1000 12000

0.1

0.2

0.3

0.4

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude


Identificação em P.O. (em Malha Fechada)

uid=idinput(10000,'PRBS',[0 0.05],[-1 1])

P2: r = 30; h1=84,3; h2=51,9; h3=32,3; h4=17,1

n4s4 – Best Fit = 97,62

108

0.001025) + 0.06255s + (s^2 0.002666)+(s 0.01119)+(s

0.2038) + 0.5737s - (s^2 0.2757)+(s 007-3.6002e

)(

)(

sU

sY

-0.03 -0.02 -0.01 0-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3Pole-Zero Map


Imagin

ary

Axis

(seconds-1

)

0 500 1000 1500 2000 25000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

From: u1

To: y1

0 500 1000 1500 2000 2500

From: v@y1

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude


Identificação em P.O. - Malha Aberta

uid=idinput(10000,'PRBS',[0 0.05],[-1 1])

P2: r = 30; h1=84,3; h2=51,9; h3=32,3; h4=17,1

n4s4 – Best Fit = 95,63

109

0.002808)+(s 0.01034)+(s 0.02876)+(s 0.03914)+(s

0.1151) + 0.3814s - (s^2 0.2777)+(s 007-6.7775e

)(

)(

sU

sY

0 500 1000 1500 2000 25000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

From: u1

To: y1

0 500 1000 1500 2000 2500

From: v@y1

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

From u1

To y

1

[t uid]

sinal PRBS

In1Out1

Subsystem

Scope1

Scope

Saturação

do atuador51.6022

Ponto

de

Operação

simout

2WS -

amostragem

uniforme

u

u

y


Identificação P.O. – Control Design – Linear Analysis

P2: u = 51.6; h1=84,3; h2=51,9; h3=32,3; h4=17,1

zpk(Model_sys2)

Modelo Analítico:

uid=idinput(10000,'PRBS',[0 0.01],[-1 1]):

n4s4: Fit 98.55 zpk(d2c(n4s4)

110

0.002809)+(s 0.01032)+(s 0.02881)+(s 0.03972)+(s

008-2.198e

)(

)(

sU

sY

-0.04 -0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0-1

-0.5

0

0.5

1

Pole-Zero Map


Imagin

ary

Axis

(seconds-1

)

0.002796)+(s 0.01031)+(s 0.0287)+(s 0.03976)+(s

008-2.1982e

)(

)(

sU

sY

0.02969)+(s 0.01025)+(s 0.002816)+0.03846)(s+(s

0.8185) + 1.054s - (s^2 0.7369)+(s 008-3.6168e

)(

)(

sU

sY

0 500 1000 1500 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

t/[seg]

Lin.

Ident.


V Conclusões

111

Teoria já bem estabelecida

Dificuldades Práticas

Principal Ferramenta: MMQ e variantes

“Arte” na escolha de:

estrutura, taxa de amostragem, algoritmos etc

Algoritmos Recursivos

Sistemas não-lineares


Referências

112

1) Aguirre, L.A. (2007): Introdução à Identificação de

Sistemas, 3a ed, Editora UFMG

2) Lennart Ljung (1999): System Identification - Theory

For the User, 2nd ed, PTR Prentice Hall, Upper Saddle

River, N.J.

3) Landau, I.D; Zito, G. (2006): Digital Control Systems;

Design, Identification and Implementation, Springer.

4) Haykin, S. (2001): Redes Neurais – Princípios e Prática,

2ª Ed., Ed. Bookman

5) Rossiter, J. A. (2003): Model-based predictive control: a

practical approach, CRC press.

6) MatLab - Control System Toolbox, System Identification

Toolbox, Model Predictive Control Toolbox

7) www.periodicos.capes.gov.br

http://www.periodicos.capes.gov.br/


FIM

113

Contato: Prof. Adolfo Bauchspiess

Tel. +55 61 3107 5571

adolfobs AT lara unb br

http://lara.unb.br/~adolfo

Endereço: Sala B1-34/18 (Caixa Postal 04386)

Departamento de Engenharia Elétrica - ENE/FT/UnB

Campus Universitário Darcy Ribeiro - Asa Norte

70904-970 Brasília-DF BRASIL

Página da Disciplina – Identificação de Sistemas Dinâmicos:

http://lara.unb.br/~bauchspiess/index.php?option=com_content&view=article&id=69&Itemid=68

http://lara.unb.br/~adolfo

Documents

Identificação de Sistemas Dinâmicos · III. Algoritmos a. Métodos Determinísticos b. O Estimador de Mínimos Quadrados c. Estimadores não polarizados d. Estimadores Recursivos