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M. Mendes de Oliveira Excerto das notas pessoais sobre:
TEORIA DA ESTIMAO E ESTIMADORES DE MXIMA VEROSIMILHANA
Introduo Definio 1 (Estimador; estimativa) Seja Y = [Y1 Y2 Yn]'
uma amostra aleatria de n realizaes de uma varivel aleatria Y com
funo de densidade de probabilidade (f.d.p.) f(Y; ) caracterizada
pelo vector (q1) de parmetros . Chama-se estimador (pontual) de a
qualquer funo (Y) que faa uso da informao contida numa amostra da
populao f(Y; ) para obter um conjunto de nmeros que se possa
considerar representarem aproximadamente o valor desconhecido dos
parmetros em . Chama-se estimativa concretizao da funo (Y) para uma
dada amostra. No acarreta nenhuma modificao substancial da Definio
1 a extenso ao caso em que Y um vector p-dimensional de variveis
aleatrias. Nesse caso, a cada amostra corresponder uma matriz (np),
em vez de um vector (n1). Definio 2 (Espao da amostra e espao dos
parmetros) Chama-se espao da amostra ao conjunto de todas as
matrizes Y possveis (de dimenso (n1) no caso univariado ou de
dimenso (np) no caso multivariado). Por sua vez, designa-se por
espao dos parmetros o conjunto de todos os vectores que satisfazem
as restries do modelo. Se Y uma varivel aleatria unidimensional, o
espao da amostra , geralmente, n ou um subconjunto de n. Se Y uma
varivel aleatria p-dimensional, o espao da amostra np ou um seu
subconjunto.O espao dos parmetros q, se as restries sobre se
limitarem dimenso, q. Designando por A o espao da amostra e por B o
espao dos parmetros, um estimador uma aplicao de A em B. Definio 3
(Identificabilidade e estimabilidade) Diz-se que um vector de
parmetros identificvel se (1) (2) implica f(Y; (1)) f(Y; (2)) para
algum Y, em que (1) e (2) designam dois elementos de B. Diz-se que
um vector de parmetros estimvel se (1) (2) implica L(Y; (1)) L(Y;
(2)) para quase todo o YA , em que se designou por L(Y; ) a famlia
de funes de densidade de probabilidade definida sobre A B. Exemplo
1
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Teoria da Estimao e Estimadores de Mxima Verosimilhana M. Mendes de
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Considere-se o modelo
Y = 1
0
,
,
se Y ,
se Y
*
*
>
em que Y* = + u e u ~ N(0, 2). Tem-se, ento,
P(Y = 1) = P(Y* > ) = P( + u > ) = P(u
>
) = 1 (
),
em que (x) designa a funo de distribuio normal reduzida,
(x) = 12
2
2
e
tx
dt ,
e, para P(Y = 0),
P(Y = 0) = (
).
Ento, para a funo de probabilidade f(Y;,,), tem-se
f(Y;,,) = [1 (
)]Y [(
)](1Y).
Sejam (1) e (2), respectivamente, os vectores de componentes , ,
e 2, 2, 2, com > 0. Apesar de ser (1) (2), f(Y; (1)) = f(Y; (2))
e os parmetros , e
no so identificveis. Contudo, identificvel o parmetro =
, j que, a (1) e
(2) diferentes, correspondero, geralmente, f(Y;(1)) e f(Y;(2))
diferentes. Exemplo 2 Considere-se, agora, o modelo Y = + u, com u
~ N(0, 2). Vem
f(Y;,) = 12
2 2
e
-(Y- )2
e, para amostras aleatrias de Y de dimenso n,
L(Y;,) = (22)n/2 exp[ 1
2 2(Y - i)'(Y - i)],
em que Y o vector de componentes Y1, Y2, , Yn e i o vector (n1)
de componentes todas iguais a 1. Os parmetros e so identificveis e
podem, geralmente, ser
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estimados. Contudo, h matrizes Y com as quais no possvel estimar
: por exemplo, todas as matrizes com uma nica componente (n = 1) ou
as de frmula geral Y = ci, em que c designa uma constante qualquer.
Propriedades dos estimadores Um estimador no seno uma frmula ou uma
"receita" (Kennedy (1998), p. 4) para transformar dados em
estimativas. Havendo uma infinidade de estimadores possveis em cada
situao, a escolha entre eles ter de fazer-se segundo algum critrio.
Um primeiro, e muitas vezes esquecido, critrio o da exequibilidade:
um estimador ter de ser definido em funo, apenas, de grandezas
observveis. Custo de clculo outro factor a ter em conta. Critrios
mais exigentes a que se recorre usualmente na comparao entre
estimadores so passados em revista na sequncia. Definio 4
(Estimador cntrico) Diz-se que (Y) um estimador cntrico do vector
de parmetros se for E( ) = . Um estimador cntrico de pode no
existir, ou pode suceder que no exista o valor esperado de um "bom"
estimador de . Por outro lado, interessam-nos, geralmente,
estimadores cuja distribuio de probabilidade esteja "concentrada"
em torno do verdadeiro valor do parmetro. O grau de disperso pode
ser aferido pelo erro quadrtico mdio, E( )2 para um estimador
escalar, ou E[( )'( )] para um vector de estimadores. Mas no h
estimadores que minimizem o erro quadrtico mdio para qualquer B: o
estimador (Y) tem erro quadrtico mdio nulo se for = , enquanto o
estimador ~ (Y) tem erro quadrtico mdio nulo se for = ~ . Por outro
lado, o critrio de minimizao do erro quadrtico mdio conduz
frequentemente a estimadores que dependem de grandezas
desconhecidas. usual, por isso, restringir-se a seleco de
estimadores com erro quadrtico mdio mnimo ao conjunto dos
estimadores cntricos, o que conduz busca de estimadores cntricos
com varincia mnima. Definio 5 (Estimador cntrico de varincia mnima)
Diz-se que (Y) o estimador cntrico de varincia mnima de (ou
estimador MVU, do ingls minimum variance unbiased) se for
semi-definida positiva a matriz [Var( ~ ) Var( )], qualquer que
seja o estimador ~ tal que E( ~ ) = . H uma forma equivalente de
expressar a condio referida na definio anterior que , muitas vezes,
de emprego mais prtico. Considere-se uma qualquer combinao linear
dos estimadores em , seja c , em que c um vector (1q) de
constantes. Tem-se
Var(c ) = c Var( ) c' e, para um estimador alternativo, ~ ,
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Var(c ~ ) = c Var( ~ ) c'.
Ento, a condio "[Var( ~ ) Var( )] semi-definida positiva"
equivalente condio "Var(c ~ ) Var(c ) para todo o c", permitindo
substituir uma comparao entre matrizes por uma comparao entre
escalares. Faz-se uso dessa equivalncia na demonstrao da proposio
seguinte. Proposio 1 (Teorema da unicidade do estimador MVU) Se
existir um estimador MVU, nico. Demonstrao: Sejam (1) e (2) dois
estimadores MVU de , com matrizes de varincias e covarincias A =
Var( (1)) e B = Var( (2)), respectivamente. Comece-se por
estabelecer que ter de ser A = B, porquanto, sendo (1) MVU, ter,
por definio, de ser semi-definida positiva a matriz (B A) e, sendo
(2) MVU, ter, tambm, de ser semi-definida positiva a matriz (A B).
As duas condies s so compatveis se for A = B. Considere-se, agora,
para qualquer c, o escalar Var(c (1) c (2)) que, sendo uma
varincia, ter de ser necessariamente no negativo. Mas Var(c (1) c
(2)) 0 cAc' + cBc' 2 Cov(c (1), c (2)) 0 2 cAc' 2 Cov(c (1), c (2))
0 cAc' Cov(c (1), c (2)) para qualquer c. Seja, por ltimo, um
terceiro estimador de , dado por
(3) = 12
( (1) + (2)).
fcil verificar que se trata de um estimador cntrico e tem matriz
de varincias e covarincias
Var( (3)) = 14
Var( (1)) + 14
Var( (2)) + 12
Cov( (1), (2)).
Para qualquer c, ter-se-
Var(c (3)) = 14
Var(c (1)) + 14
Var(c (2)) + 12
Cov(c (1), c (2))
= 12
cAc' + 12
Cov(c (1), c (2))
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e, tendo em ateno a relao de ordem entre os escalares cAc' e
Cov(c (1), c (2)) que se mostrou acima,
Var(c (3)) cAc' = Var(c (1)) = Var(c (2)). O resultado anterior
s no ser contraditrio com a hiptese de serem (1) e (2) estimadores
MVU se for
Var(c (3)) = cAc'. Mas, nesse caso, ter de ser cAc' = Cov(c (1),
c (2)) e, por conseguinte, Var(c (1) - c (2)) = 0. Ento, se a
varincia nula, (c (1) c (2)) uma constante, para todo o c possvel,
e os estimadores (1) e (2) apenas podero diferir por uma constante.
Como tm ambos, por hiptese, o mesmo valor mdio, essa constante
igual a 0. Ento, ter de ser (1) (2). Quando existem estimadores
cntricos de um parmetro, frequente ser possvel encontrar o
estimador MVU. Contudo, h casos em que no se dispe de estimadores
cntricos, ou podem no ser definidos os momentos de 1 e 2 ordem da
distribuio de um estimador. Uma alternativa poder ser a pesquisa de
estimadores consistentes. Definio 6 (Estimador consistente) Diz-se
que (Y) um estimador consistente de se, e s se, for plim( ) = . A
definio apresentada corresponde ao caso de consistncia fraca
(quando a convergncia apenas se d em probabilidade), que alguns
autores distinguem da consistncia forte (quando h convergncia quase
certa) (v.g., Davidson e MacKinnon (1993), p. 119). H estimadores
que so cntricos e consistentes, mas conhecem-se tambm casos de
estimadores cntricos que no so consistentes e de estimadores
consistentes que no so cntricos. Nem sequer verdade que um
estimador consistente haja de ser, pelo menos, assimptoticamente
cntrico, expresso cujo significado, de resto, no claro. Vejam-se as
discusses em Davidson e MacKinnon (1993), p. 124, e Greene (2000),
p. 121. Um estimador consistente no nico e, encontrado um estimador
consistente, frequentemente possvel derivar dele uma infinidade de
estimadores consistentes; so-no, por exemplo, todos os que lhe
sejam proporcionais por um factor do tipo (n - a)/(n - b), com a e
b constantes. Por isso, h interesse em restringir a escolha a
estimadores que, de algum modo, exibam uma propriedade comparvel da
varincia mnima requerida dos estimadores MVU. frequente que tal
exija a considerao da distribuio-limite do estimador e, por fora do
teorema do limite central, os estimadores com distribuio
assimpttica normal so candidatos naturais a esse papel.
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Definio 7 (Estimador assimptoticamente normal eficiente) Seja
(Y) um estimador consistente de tal que
n ( ) d
N(0, ). Diz-se que (Y) um estimador assimptoticamente normal
eficiente de , se for semi-definida positiva a matriz ( ) para
qualquer outro estimador ~ que seja
consistente e possua distribuio-limite normal tal que n ( ~ )
d
N(0, ). O teorema seguinte tem um papel fundamental na pesquisa
de estimadores que satisfaam o requisito de eficincia assimpttica.
Teorema de Cramr-Rao O teorema de Cramr-Rao considera uma amostra
aleatria {Y1, Y2, ..., Yn} de uma populao caracterizada pela funo
de densidade f(Yi; ) e a funo de densidade conjunta
L(Y; ) = fi
n
( ; )Yi =
1,
em que Yi designa a i observao de um vector p-dimensional de
variveis aleatrias. O teorema pressupe, relativamente s funes L(Y;
) e ln L(Y; ), condies habitualmente condensadas na expresso "as
funes L(Y; ) e ln L(Y; ) so regulares". Essas condies de
regularidade so complexas e, na avaliao da generalidade dos
autores, raramente violadas nas aplicaes de Econometria. Para uma
discusso dessas condies, veja-se, por exemplo, Gouriroux e Monfort
(1995), pp. 131-132, Greene (2000), p. 127, ou Theil (1971),
pp.??-??. Entre as condies de regularidade, incluem-se a de
existncia de derivadas parciais finitas de L(Y; ) e de ln L(Y; ) at
3 ordem e a de no dependncia do espao da amostra (o conjunto de
todas as matrizes Y para as quais L(Y; ) > 0) relativamente aos
parmetros em . Esta ltima condio violada, por exemplo, em
amostragens de uma populao com distribuio uniforme no intervalo [0;
], porquanto o espao da amostra o conjunto dos vectores Y de
componentes Y1, Y2, , Yn tais que 0 Yi , i = 1, 2, , n. Proposio 2
(Teorema de Cramr-Rao) Sob determinadas condies de regularidade, a
matriz de varincias e covarincias de um estimador cntrico (Y), seja
Var( ), tal que excede a matriz
EY '
1
lnL( ; )
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por uma matriz semi-definida positiva. Demonstrao: 1. Por
definio de funo de densidade de probabilidade, o integral de L(Y; )
sobre todo o espao da amostra, A, igual a 1:
L( ; ) dY YA = 1, onde a notao empregue deve ser entendida como
uma abreviatura do integral mltiplo
... L( , ,..., ; ) d d ... dY Y Y Y Y Y1 2 n 1 2 n .
Diferenciando ambos os membros em ordem a , vem
L( ; )
d
Y
YA = 0;
notando que
L( ; ) Y
=
L( ; )
lnL( ; ) lnL( ; )
Y
YY
= L(Y; )
lnL( ; )
Y
,
o resultado anterior pode apresentar-se na forma
L( ; ) lnL( ; )
dY
YY
A
= 0.
Recordando que, se X uma varivel aleatria com funo de densidade
de
probabilidade f(x) e g(X) uma funo de X tal que exista o
integral g x( ) f(x) dx
,
ento, E[g(x)] = g x( ) f(x) dx
, obtem-se uma primeira concluso importante,
E[
lnL( ; )
Y
] = 0,
isto , o vector de derivadas parciais, em ordem a , da funo ln
L(Y; ) tem valor esperado igual a um vector nulo. Diferenciando
novamente em ordem a , vem
lnL( ; )
L( ; ) + lnL( ; )
L( ; )
d
YY
Y YY
' '
A = 0
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ou, pondo L(Y; ) em evidncia e usando equivalncia justificada
acima,
lnL( ; )
+ lnL( ; )
lnL( ; )
L( ; ) d
Y Y YY Y
' '
A = 0.
Passando a valores esperados, tem-se
EY
EY Y' '
lnL( ; )
+
lnL( ; )
lnL( ; )
= 0.
Na segunda esperana matemtica deve reconhecer-se a matriz de
varincias e
covarincias Var[
lnL( ; )
Y
], uma vez que j se mostrou ser E[
lnL( ; )
Y
] = 0.
Infere-se, ento, da ltima equao que
Var[
lnL( ; )
Y
] = EY '
lnL( ; )
.
2. Considere-se, agora, um estimador (Y). Se o seu valor
esperado existir, ter-se-
E( ) = L( ; ) dY YA e, diferenciando ambos os membros em ordem a
,
[ ]
( )
E'
= L( ; )
d
YY
'
A =
lnL( ; )
L( ; ) d
YY Y
'
A .
Se o estimador for cntrico e, portanto, E( ) = , o primeiro
membro desta equao uma matriz identidade de ordem q, supondo ser
essa a dimenso de . Por sua vez,
o integral que figura no segundo membro da equao a matriz EY
'
lnL( ; )
,
que a matriz de covarincias entre o estimador considerado e o
vector de derivadas parciais de ln L(Y; ). De facto, essa matriz de
covarincias seria, por definio,
Cov( ,
lnL( ; )
Y
) = [ ]E E Y E Y'
( )
( )
lnL( ; )
lnL( ; )
e no caso vertente, em que E( ) = e E[
lnL( ; )
Y
] = 0, fcil verificar que
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Cov( ,
lnL( ; )
Y
) = EY '
lnL( ; )
.
Ento, concluiu-se que
Cov( ,
lnL( ; )
Y
) = Iq.
3. Considere-se, por ltimo, a matriz
Var
lnL( ; ) Y
,
que, por simplificao da notao, se designar doravante pelo smbolo
. Coligindo resultados alcanados em passos anteriores, vem
= Var I
I Q
q
q1
( )
,
em que se fez uso de outra conveno para simplificao notacional e
se designou por
Q-1 a matriz EY '
lnL( ; )
, j que (ver passo 1.)
Var[
lnL( ; )
Y
] = EY '
lnL( ; )
.
Como matriz de varincias e covarincias, dever ser semi-definida
positiva e o escalar cc' ter de ser no-negativo, qualquer que seja
o vector c de dimenso (12q). Seja c o vector
c = [ ]a - aQ em que a, por sua vez, um qualquer vector (1q).
Tem-se cc' = a Var( ) a' a Q Iq a' a Iq Q' a' + a Q Q-1 Q' a' = a
Var( ) a' a Q a', por serem simtricos os dois ltimos termos. Tendo
estabelecido que
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a Var( ) a' a Q a' 0,
qualquer que seja a, fica provado que [Var( ) Q]]]]
semi-definida positiva, com
Q = EY '
1
lnL( ; )
.
Na forma como acima se enunciou e demonstrou, o teorema de
Cramr-Rao teria interesse apenas para estabelecer um limite
inferior varincia de qualquer estimador cntrico. Se, relativamente
a um estimador cntrico, fosse possvel verificar que era Q a sua
matriz de varincias e covarincias, ficaria provado que esse era o
(nico) estimador MVU. Na verdade, o resultado de Cramr-Rao tem um
alcance mais amplo. possvel mostrar que a matriz Q ainda a "menor"
varincia susceptvel de ser atingida pela generalidade dos
estimadores consistentes com que se lida em Econometria (Davidson e
MacKinnon (1993), p. 270). A essa luz, o teorema constitui um
instrumento poderoso para a seleco, de entre o universo dos
estimadores consistentes, daqueles que apresentem melhor
comportamento quanto a eficincia. No entanto, e ao contrrio do que
se passa com amostras finitas e com o estimador MVU, no
necessariamente nico o.estimador consistente e assimptoticamente
eficiente (no sentido de ter matriz de varincias e covarincias dada
por Q). De facto, no raro que estimadores com comportamentos
diferentes em amostras finitas tenham a mesma distribuio-limite e,
sendo a eficincia assimpttica uma propriedade da distribuio-limite,
se revelem todos como assimptoticamente eficientes. Estimadores de
mxima verosimilhana Revistas as principais propriedades dos
estimadores, passa-se agora ao estudo de mtodos de estimao. Um dos
mtodos de aplicao mais geral e que conduz a estimadores com algumas
propriedades desejveis o mtodo da mxima verosimilhana. O mtodo tem
por base essencial a chamada funo de verosimilhana, L(Y; ). Antes
de apresentar a definio, algumas consideraes sobre a funo L(Y; )
podem ser teis. Para a discusso seguinte, suponha-se uma varivel
aleatria discreta, Y, com distribuio de Bernoulli tal que P(Y = 1)
= p e P(Y = 0) = q, (q = 1 - p), isto , com funo de
probabilidade
f(Y;p) = pY Y q , se Y = 0 ou Y = 1,
0 , se Y 0 e Y 1.
1
Para uma amostra aleatria de dimenso n, Y = [Y1 Y2 Yn]',
seja
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L(Y;p) = f Y pii
n
( ; )=
1= p Y Yi i q n- .
A funo L(Y;p) pode ser "lida" de vrias maneiras. Para um dado p,
a funo reparte a probabilidade de obteno de Y entre todas as
amostras possveis de dimenso n. Por exemplo, para p = 0,3 e n = 2,
a amostra (Y1 = 1, Y2 = 1) ocorrer com probabilidade 0,32 (9%), o
par (0, 0) com probabilidade 0,72 (49%) e cada um dos pares (1, 0)
e (0, 1) com probabilidade 0,30,7 (21%). Nessa acepo, L(Y;p) , para
cada p, a funo de probabilidade conjunta de (Y1, Y2), definida no
espao da amostra A = {(Y1, Y2): Y1 = 0 Y1 = 1, Y2 = 0 Y2 = 1}. Uma
segunda perspectiva corresponde ao caso em que, para um certo Y, se
v L(Y;p) como funo de p; para enfatizar esse ponto, escreve-se, por
vezes, L(p|Y) ou, simplesmente, L(p). Ento, L(p|Y) indica, para
cada valor possvel de p, a probabilidade de obteno da particular
amostra Y. Por exemplo, a amostra (Y1 = 1, Y2 = 0) ocorrer com
probabilidade 0,21 se p = 0,3, com probabilidade 0,25 se p = 0,5,
com probabilidade 0,09 se p = 0,1, e assim sucessivamente.
Concretizado Y, a funo definida no espao dos parmetros B = {p: 0 p
1} e no uma funo de probabilidade. Uma terceira acepo possvel de
L(Y;p) aquela que se empregou em referncias anteriores, com a funo
definida sobre A B. L(Y;p) tambm no , nesse caso, uma funo de
probabilidade, mas corresponde a uma famlia de funes de
probabilidade, indexada pelo parmetro p. Se, em vez de discreta, Y
for uma varivel aleatria contnua, necessrio adaptar alguns dos
aspectos evocados na ilustrao que se discutiu. Assim, L(Y; ) no
mede, para dado, a probabilidade de ocorrncia de cada amostra Y de
dimenso n (em rigor, essa probabilidade nula), mas ainda uma funo
de densidade de probabilidade definida sobre A. Para cada Y, por
sua vez, L(Y; ) no mede uma probabilidade, nem uma f.d.p.. Como se
precisa na definio seguinte, no contexto da estimao por mxima
verosimilhana esta ltima a perspectiva a que se atribui maior
realce. Frise-se, no entanto, que, apesar do nfase colocado em , a
funo de verosimilhana depende tambm do vector (ou matriz) Y, que
tem natureza aleatria. Trata-se de procurar, no espao dos
parmetros, B, a funo (Y) para a qual L(Y; ) mxima. Definio 8
(Estimador de mxima verosimilhana) Seja a funo de verosimilhana
L(Y; ). Se existir uma funo (Y) tal que
L(Y; ) L(Y; ), B, (Y) chamado o estimador de mxima verosimilhana
(ML) de . Notem-se os aspectos seguintes: i) O estimador ML pode no
existir.
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ii) O estimador ML pode no ser nico. S-lo- se for estrita a
desigualdade acima, isto , se for L(Y; ) > L(Y; ), B, . iii) O
estimador ML pode no ser definido para algum Y. iv) Se L(Y; ) tem
um mximo para = , a funo logartimica de verosimilhana, lnL(Y; ),
ter tambm um mximo para = . , frequentemente, mais fcil identificar
o mximo de lnL(Y; ) do que o da funo de verosimilhana propriamente
dita. Por outro lado, a definio apresentada no , por vezes, a mais
adequada para identificao concreta do estimador. Se a funo de
verosimilhana verificar certas condies de regularidade e o mximo
ocorrer num ponto interior do espao dos parmetros, o sistema das
chamadas equaes de verosimilhana,
lnL( ; ) Y
= 0,
fornece um indicador mais operacional para identificao do
estimador ML. Alguns autores (v.g., Davidson e MacKinnon (1993))
distinguem o estimador ML conforme a definio acima, que designam
por estimador de tipo 1, do estimador de tipo 2. Este seria
definido como a soluo das equaes de verosimilhana que satisfizer,
cumulativamente, duas outras condies: obedecer s condies de 2 ordem
para um
mximo e ser tal que a sucesso {1n
lnL( ;Y)} tenha, para essa soluo , limite em
probabilidade no inferior ao limite em probabilidade de {1n
lnL( ~ ;Y)}, para
qualquer outra soluo das equaes de verosimilhana, ~ , que
corresponda tambm a um mximo. A primeira destas duas condies tem o
alcance bvio de excluir da anlise as solues do sistema
lnL( ; ) Y
= 0
que correspondam a mnimos ou a pontos de inflexo, enquanto a
segunda visa garantir que, entre mltiplas solues encontradas para
uma amostra, seja seleccionada aquela que, na generalidade das
amostras, conduz a valores mais elevados da funo de verosimilhana.
Embora as duas definies conduzam, muitas vezes, ao mesmo estimador,
na literatura conhecem-se casos em que um estimador de tipo 2
existe, mas no o de tipo 1, ou em que existe este e no existe o
primeiro (Davidson e MacKinnon (1993), pp. 249-250). Apresenta-se,
a seguir, um exemplo clssico desta ltima situao. Exemplo 3 Seja Y
uma varivel aleatria com distribuio uniforme no intervalo [0, ],
isto , com f.d.p.
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f(Y;) = 1
0
0
, se Y ,
0 , se Y ou Y .
< >
o parmetro a estimar; o espao dos parmetros o conjunto dos
nmeros reais positivos. Considere-se uma amostra de dimenso n, Y =
[Y1 Y2 Yn]', e admita-se, sem perda de generalidade, ser Yn o maior
dos valores amostrais de Y. Como se depreende da definio da f.d.p.,
ter de ser Yn . Ento, a funo de verosimilhana
L(Y;) = 1
n n
n
, se Y ,
0 , se Y ,
