GV: Bùi Thị Thu Phương - ffs.iuh.edu.vnffs.iuh.edu.vn/files/buithithuphuong/baigiang/Bai giang toan A2.pdf · Đƣờng chéo còn lại gọi là đường chéo phụ. - Ma

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Thạc sĩ Bùi Thị Thu Phƣơng

BÀI GIẢNG

TOÁN CAO CẤP A2 –C2

Trình độ: Đại học

Thời lƣợng giảng dạy: 45 tiết

Ngành: Khối kinh tế và khối kỹ thuật

TP. HỒ CHÍ MINH – 2016

LƢU HÀNH NỘI BỘ

Th.s Bùi Thị Thu Phƣơng Trƣờng ĐHCN TP.HCM

1

MỤC LỤC

Chƣơng 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC …………………………………………………………..2

§1. MA TRẬN………………………………………………………………………...... …….2

§2. ĐỊNH THỨC………………………………………………………………………............6

Chƣơng 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH………………………………………............12

§1. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT……………………………………………............12

§2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT………………………………………………….18

Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTOR…………………………………………………………...19

§1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR…………………………………………............19

§2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH……………………...........21

§3. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KGVT, TỌA ĐỘ CỦA VECTOR……………………............24

§4. KHÔNG GIAN SINH BỞI HỆ VECTOR……………………………………………......29

§5. KHÔNG GIAN EUCLIDE………………………………………………………………. 30

Chƣơng 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH……………………………………………………………..35

§1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH………………………………………………………………….35

§2. TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG………………………………………………………… 37

§3. CHÉO HÓA MA TRẬN VUÔNG………………………………………………………..40

Chƣơng 5. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TOÀN PHƢƠNG…………………………..44

§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN…………………………………………………………………....44

§2. ĐƢA DẠNG TOÀN PHƢƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC……………………………....46


2

CHƢƠNG 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

§1. MA TRẬN

------------------------------------------------------

1. Một số định nghĩa về ma trận

• Ma trận cấp m n là bảng các số thực hình chữ nhật gồm có m dòng và n cột

nhƣ sau:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...( )

... ... ... ...

...

n

n

ij m nm n

m m mn

a a a

a a aA a M R

a a a

• Tập hợp các ma trận thực A cấp m n đƣợc ký hiệu là ( )m nM R .

• Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 đƣợc gọi là ma trận không.

• Ma trận có số dòng bằng số cột gọi là ma trận vuông.

- Ma trận vuông có n dòng, n cột gọi là ma trận vuông cấp n.

- Tập hợp các ma trận vuông cấp n ký hiệu ( )nM R

- Đƣờng chéo chứa các phần tử có chỉ số dòng bằng chỉ số cột gọi là đường

chéo chính. Đƣờng chéo còn lại gọi là đường chéo phụ.

- Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía dƣới (trên) đƣờng chéo chính

bằng 0 đƣợc gọi là ma trận tam giác trên (dưới).

- Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đƣờng chéo chính bằng 0

đƣợc gọi là ma trận chéo.

- Ma trận vuông cấp n có tất cả các cặp phần tử đối xứng nhau qua đƣờng

chéo chính bằng nhau (a aij ji) đƣợc gọi là ma trận đối xứng.

2. Các phép toán về ma trận


3

2.1 Phép cộng về ma trận

- Điều kiện thực hiện: cùng cấp.

- Cách thực hiện: cộng các phần tử tƣơng ứng.

VD:

Tính chất.

1) A B B A.

2) A B C A B C

.

3) A A0 .

2.2 Phép nhân một số thực với một ma trận

- Điều kiện thực hiện: luôn thực hiện đƣợc.

- Cách thực hiện: nhân số thực với tất cả các phần tử của ma trận.

Tính chất.

1) A B A B

.

2) A A A

.

3) .A0 0.

2.2 Phép nhân một ma trận với một ma trận

- Điều kiện thực hiện: số cột (I) = số dòng (II).

- Cách thực hiện:

m q q n m n ij

d c

ij i j

A B C c

c A B

VD:

Tính chất.

1) Nói chung phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán

A B B A nhƣng n nA I I A


4

2) t/c kết hợp AB C A BC

.

3) t/c phân phối A B C AB AC

.

A B C AC BC

.

2.3 Phép lũy thừa ma trận

• Cho n

A M. Lũy thừa ma trận A đƣợc định nghĩa bằng quy nạp nhƣ

sau:

nA I0 ;

A A1 ;

.A A A2 ;

.k kA A A1 với mọi k .

Tính chất.

1) k

n n0 0 ;

2) k

n nI I ;

3) k l k lA A A ;

4) lkl kA A

.

VD . Cho ma trận A

1 1

0 1

. Tính ,A A2 3.

Giải. Ta có

. . ;A A A2 1 1 1 1 1 2

0 1 0 1 0 1


5

. . .A A A3 2 1 2 1 1 1 3

0 1 0 1 0 1

VD . Cho hàm số f x x x3 22 4 và A

1 1

0 1

. Tính f A I2.

VD . Cho A

2 0

1 0

. Tính I A2011

2.

A. 1 1

0 1

B. 1 1

1 0

C. 0 1

1 1

D. 1 0

1 1

Chú ý. Nếu diag , ,...,

nnA a a a11 22

thì

diag , ,...,k k k knn

A a a a11 22.

VD . Tìm ma trận D ABC5, trong đó

A2 1

1 0

, B

3 0

8 1

, C

0 1

1 2

.

VD . Cho i jA a

là ma trận vuông cấp 40 có các phần tử i ji ja 1 . Tìm phần

tử a25 của A2.

2.4 Phép chuyển vị ma trận

Cho A aij m n

. Khi đó, TA a ji n m

đƣợc gọi là ma trận chuyển vị của A .

VD . Với A

1 2 3

4 5 6

thì

.TA

1 4

2 5

3 6

Tính chất.

1) T T TA B A B ;


6

2) T TA A ; TT

A A;

3) T T TAB B A

.

VD . Cho

A

1 1

0 2

3 2

, B

0 1 2

1 0 3

.

a) Tính TAB .

b) Tính T TB A .

3. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận

- Đổi chỗ 2 dòng.

- Nhân một dòng với một hằng số k khác không.

- Cộng vào một dòng, một dòng khác nhân hằng số k khác không.

Tƣơng tự ta có phép biến đổi sơ cấp trên cột của ma trận.

VD: dùng phép BDSC trên dòng đƣa A về B với

1 2 32 1 1

71 2 3 0 1

53 1 2

0 0 0

A B

4. Ma trận bậc thang:

a) Định nghĩa

- Dòng 0 là dòng có tất cả các phần tử đều bằng 0.

- Phần tử cơ sở của một dòng là phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang.

- Ma trận bậc thang là ma trận thoả đk :

+ Dòng 0 (nếu có) nằm ở phía dƣới.

+ Phần tử cơ sở của dòng dƣới nằm bên phải phần tử cơ sở của dòng trên.


7

- Hạng của ma trận A ký hiệu r(A) là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang

tƣơng đƣơng với nó.

VD : Câu 56,57/5 ; 62/6

§2. ĐỊNH THỨC

1. Định nghĩa

Cho A Mn. Định thức của A, ký hiệu là det A hay A , là một số thực đƣợc

định nghĩa:

n=1 có A a11 thì det A a11;

n=2 có a aA

a a

11 12

21 22

thì det . .A a a a a11 22 12 21;

n 3 thì a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

=…

VD: Tính

1 2 0

1 3 2

2 1 2

VD: câu 66/7

n=4 det A là định thức cấp 4 đƣa về định thức cấp 3 để tính.

n=5 det A là định thức cấp 5, đƣa về cấp 4 để tính.

…

Định lý Laplace Cho A Mn

o Định thức con bù của ija kí hiệu ijM là định thức nhận đƣợc từ detA sau

khi bỏ đi dòng i cột j.


8

o Phần bù đại số của ija kí hiệu ( 1)i j

ij ijA M

VD:

- Khai triển detA theo dòng i ta có:

...det A a A a A a Ai i i i in in1 1 2 2 . ,i n1

- Khai triển detA theo cột j ta có:

det ...A a A a A a Aj j j j nj nj1 1 2 2 ,j n1

VD: Tính detA bằng cách khai triển theo cột 1; dòng 2

1 2 4 1

0 1 0 0

2 3 1 2

0 2 1 3

A

2. Tính chất của định thức

a) Tính chất 1

d di j

A B thì B A .

c ci j

A B thì B A .

b) Tính chất 2

d di iA B thì B A .

c ci iA B thì B A .

c) Tính chất 3

d d di i j

A B thì B A .


9

c c ci i j

A B thì B A .

Hệ quả : Định thức có 2 dòng hoặc 2 cột tỉ lệ thì bằng 0

VD : Tính

1 2 1 3

2 1 3 2

4 1 1 2

3 2 1 2

3. Định thức của một số ma trậm đặc biệt

A là ma trận tam giác hay

( ... ) det ...11 22 11 22

A diag a a a A a a ann nn

0n

m

AA B

C B

.0

( 1)n m n

m

AA B

B C

VD : Câu 77, 78/9

det( . ) det .detA B A B

VD : Tính định thức của ma trận

T

D

2 1 4 3 1 4

2 1 3 0 1 2

1 2 1 1 2 1

4. Ma trận khả nghịch

4.1 Định nghĩa

• Ma trận n

A M đƣợc gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận

nB M

sao cho

AB BA In.


10

• Khi đó, B đƣợc gọi là ma trận nghịch đảo của A . Ký hiệu: B A1

.

VD. Xét A

2 5

1 3 và

B3 5

1 2. Hai ma trận này là nghịch đảo nhau vì

AB BA I2.

4.2 Tính chất.

1) Ma trận nghịch đảo của A, nếu có, thì duy nhất.

2) AA A A In1 1 .

3) A A

11 ; I In n1 .

4) AB B A1 1 1.

5) Nếu ad bc 0 thì

a b d b

c d c aad bc

11 .

4.3 Định lý về điều kiện cần và đủ để A khả nghịch

A khả nghịch det 0 ( )A r A n

VD : Câu 31, 34/5

Chú ý.

• Nếu A là ma trận khả nghịch thì

AX B X A B1

.

XA B X BA1

.

• Nếu ,A B là các ma trận khả nghịch thì

AXB C X A CB1 1

.


11

VD Câu 20,21/4

4.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

PP1: bằng phép biến đổi sơ cấp trên dòng

1...n nA I I A

VD. Tìm ma trận nghịch đảo của

A

1 1 2

1 2 2

1 3 3

.

PP2 : bằng ma trận phụ hợp

- Tính detA

- Lập ij n

A

- Lập ( )T

ijadj A A gọi là ma trận phụ hợp của A

- 1 1( )

detA adj A

A

VD : Tìm ma trận nghịch đảo của

A

1 1 2

1 2 2

1 3 3

bằng PP dùng ma trận phụ hợp

VD: Câu 55/5


12

CHƢƠNG 2:

HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

§1. Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát

§2. Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất

--------------------------------------------------

§1. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1. Các khái niệm về hệ PTTT

• Hệ gồm m phƣơng trình và n ẩn xi ( ,...,i n1 ) dạng

...

...

...................................... ...

...

a x a x a x bn n

a x a x a x bn n

a x a x a x bm m mn n m

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

(*)

đƣợc gọi là một hệ phương trình tuyến tính.

• , ,...,a a amn11 12 là các hệ số của hệ;

• , ,...,x x xn1 2 là các ẩn số của hệ;

• , ,...,b b bm1 2 là các hệ số tự do của hệ.

Chú ý. Nếu ...b b bm 01 2 thì hệ phƣơng trình đã cho đƣợc gọi là hệ

thuần nhất.

• Bộ , ,..., n1 2 đƣợc gọi là một nghiệm của hệ (*) nếu khi ta thay x1 1,

x2 2, ..., xn n vào hệ thì tất cả các phƣơng trình trong hệ đều thỏa mãn.

• Giải một hệ phƣơng trình tuyến tính là ta đi tìm tập hợp nghiệm của nó.

• Đặt


13

...

...

... ... ... ...

...

a a a n

a a a nA

a a am m mn

11 12 1

21 22 2

1 2

,

...

x

xX

xn

1

2 ,

thì hệ (*) đƣợc viết lại dƣới dạng

AX B.

• Xét hệ phƣơng trình tuyến tính (*). Khi đó, ma trận

...

...

... ... ... ... ...

...

a a a bn

a a a bnA A B

a a a bm m mn m

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

đƣợc gọi là ma trận mở rộng của hệ.

VD 1. Viết ma trận mở rộng của hệ phƣơng trình

;

;

.

x y z

x y z

x y z

9 5 1

2 3 11 7

3 11 7 1

2. Các phƣơng pháp giải hệ PTTT

2.1. Phƣơng pháp Gauss

Cho hệ phƣơng trình AX B. Để giải hệ, ta thực hiện các bƣớc sau:

• Bước 1. Đƣa ma trận mở rộng A A B về dạng bậc thang.

• Bước 2. Từ dạng bậc thang có đƣợc, ta viết lại thành hệ và giải ngƣợc từ dòng

dƣới lên trên.

Lưu ý.


14

Khi thực hiện bƣớc 1, nếu ta gặp một dòng có dạng ... a0 0 0 với

a 0 thì ta kết luận hệ vô nghiệm.

Nếu ma trận bậc thang có đƣợc có hạng bằng số ẩn thì hệ có duy nhất nghiệm.

Nếu ma trận bậc thang có đƣợc có hạng nhỏ hơn số ẩn thì hệ có vô số nghiệm.

VD 2. Giải hệ phƣơng trình tuyến tính

;

;

.

x y z

y z

x y z

2 1

3 3

2 1

VD 3. Giải hệ phƣơng trình tuyến tính

;

;

.

x x x x

x x x x

x x x

5 2 5 3 31 2 3 44 3 2 51 2 3 42 7 11 2 3

VD 4. Tìm nghiệm của hệ phƣơng trình

;

;

.

x y z

x y z

x y z

4 5 1

2 7 11 2

3 11 6 1

A. , ,x y z15 4 0; B. Vô số nghiệm;

C.

.

x

y

z

15 79

4 21 D.

.

x

y

z

15 79

4 21

VD 5. Giải hệ phƣơng trình


15

;

;

;

.

x x x

x x x

x x x

x x x

3 2 01 2 32 3 01 2 33 5 4 01 2 3

17 4 01 2 3

Giải. Ta có

Hệ ,

,

.

x

x x xx

x x

x

33 2 01 2 3 27 0 72 3

111

7

VD 6. Định m để hệ sau có vô số nghiệm:

;

;

.

x y m z

x y z

x y mz

2 7 2

2 4 5 1

3 6 3

A. m 1 B. m 1

C. m 7 D. m 7

Chú ý.

Khi hệ phƣơng trình tuyến tính có vô số nghiệm thì ta gọi nghiệm phụ thuộc

tham số là nghiệm tổng quát.

Nếu cho các tham số bởi các giá trị cụ thể thì nghiệm nhận đƣợc gọi là nghiệm

riêng hay nghiệm cơ bản.

VD 7. Giải hệ phƣơng trình tuyến tính sau:


16

;

;

;

.

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

2 3 5 11 2 3 43 13 22 11 2 3 4

3 5 2 51 2 3 42 3 4 7 41 2 3 4

2.2. Phƣơng pháp Cramer

Cho hệ AX B, với A là ma trận vuông cấp n .. Để giải hệ, ta thực hiện các bƣớc

sau:

• Bước 1. Tính các định thức:

...

...det

... ... ... ...

...

a a a n

a a a nA

a a an n nn

11 12 1

21 22 2

1 2

,

det Aj j,

, ,...,j n1 2

,

trong đó A j là ma trận A xóa đi cột j và thay cột

• Bước 2. Hệ phƣơng trình có nghiệm 1,iix i n

VD 8. Giải hệ bằng phƣơng pháp Cramer :

;

;

.

x y z

y z

x y z

2 1

3 3

2 1

VD 9. Định m để hệ phƣơng trình sau có nghiệm:

.

m x y m

x m y

1 2

1 0


17

Giải. Ta có

;m

m m m mm

1 1 22 2

1 1

;

mm m

m

2 12 11 0 1

.

m mm

1 222 1 0

• Với ,m m0 0 2. Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất.

• Với ,m m0 0 2.

+ Khi m 0 thì 1 2 0. Do đó, hệ vô nghiệm.

+ Khi m 2 thì 1 2 0. Khi đó, hệ trở thành x y x y0 .

Hệ có vô số nghiệm.

Vậy hệ đã cho có nghiệm khi .m 0

3. Định lý Kronecker – Capelli

Hệ AX B có nghiệm r A r A .

Trong trƣờng hợp hệ có nghiệm thì:

r A số ẩn thì hệ có duy nhất nghiệm.

r A số ẩn thì hệ có vô số nghiệm. Số tham số phụ thuộc là: r A số

ẩn.

VD 10. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:


18

.

mx z t m

x my z t m

mz t m

z mt m

8 7 13 2 4

25 1

5 2 2

A. m 0 B. m 1

C. m 1 D. m 5.

§2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT

1. Định nghĩa: Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất là hệ phƣơng trình tuyến

tính có dạng . 0A X (1)

2. Nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất:

- (1) luôn có nghiệm X=0 gọi là nghiệm tầm thƣờng.

- Nếu 1 2,x x là nghiệm của hệ thì 1 2 1, . ( )x x k x k R cũng là nghiệm của hệ.

- ( )nA M R (1) có nghiệm duy nhất X=0 khi và chỉ khi det(A) 0

det(A)=0 thì (1) vô số nghiệm.


19

CHƢƠNG 3. KHÔNG GIAN VECTOR Rn

§1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR

§2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

§3. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KGVT, TỌA ĐỘ CỦA VECTOR

§4. KHÔNG GIAN SINH BỞI HỆ VECTOR

§5. KHÔNG GIAN EUCLIDE

----------------------------------------

§1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR

1. Khái niệm về không gian vector Rn

1.1. Định nghĩa

• Với là tập các số thực, ta định nghĩa

, ,..., | , ,...,n

x x x x x xn n1 2 1 2.

• Trên tập n

, ta định nghĩa 2 phép toán:

Phép cộng:

,..., ,..., ,...,x x y y x y x yn n n n1 1 1 1.

Phép nhân vô hướng:

,..., ,...,x x x xn n1 1, .

• Trên tập n , ta định nghĩa sự bằng nhau:

,

, ..., , ..., ...........

x y

x x y yn nx yn n

1 11 1

1.2. Mệnh đề. Tập hợp n

cùng với các phép toán trên thỏa 8 tính chất sau:

x y y x .

x y z x y z .


20

, :n n

x x x .

, :n n

x x x x .

, , :n

x y k k x y kx ky .

, , :n

x k t k t x kx tx .

, , :n

x k t kt x k tx .

, .n

x x x1 .

• Tập hợp n

cùng với các phép toán thỏa 8 tính chất nhƣ trên đƣợc gọi là một

không gian vector.

• Mỗi phần tử của n

đƣợc gọi là một vector.

• đƣợc gọi là vector không, x đƣợc gọi là vector đối của vector x .

1.3. Định nghĩa (Không gian vector con)

• Cho n

W . Ta nói W là không gian vector con của n

nếu:

a) ,x y W x y W ;

b) ,x W x W .

VD 1. Chứng minh các tập sau là không gian con của 3

:

a) , , |W a a0 0 .

b) , , |W x x x x x x 01 2 3 1 2 3 .


21

VD 2. Chứng minh tập hợp , , , |W a a1 1 1 không phải là không

gian con của 4

.

Mệnh đề. Tập n

W là không gian vector con của n

nếu và chỉ nếu

x y W , ,x y W , .

§2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

1. Hệ vector độc lập tuyến tính- phụ thuộc tuyến tính

• Trong n

, cho các vector , ,...,u u um1 2 . Vector

...u u u um m1 1 2 2

đƣợc gọi là một tổ hợp tuyến tính của , ,...,u u um1 2 .

Bài toán: Trong n

, cho các vector , ,...,u u um1 2 và vector u . Khi nào u

là tổ hợp tuyến tính của , ,...,u u um1 2 ?

Ta xét phƣơng trình:

...u u u um m1 1 2 2 (ẩn: , ,..., m1 2 )

Nếu phƣơng trình trên có nghiệm thì u là tổ hợp tuyến tính của

, ,...,u u um1 2 .


22

Nếu phƣơng trình trên vô nghiệm thì u không là tổ hợp tuyến tính của

, ,...,u u um1 2 .

VD 3. Trong 3

cho các vector:

, ,u 2 3 3 , , ,u 1 2 31 , , ,u 0 1 32 .

Hỏi u có phải là tổ hợp tuyến tính của ,u u1 2 không ?

VD 4. Trong 3

cho các vector:

, ,u m1 1 , , ,u 1 1 01 , , ,u 2 1 12 , , ,u 3 2 13 .

Tìm m để u là tổ hợp tuyến tính của , ,u u u1 2 3 ?

Đáp số: m 0.

• Trong n

, cho tập , ,...,S u u um1 2 . Ta nói S là tập độc lập tuyến tính

nếu

... ...u um m m 01 1 1 2 .

Ngƣợc lại, ta nói S là tập phụ thuộc tuyến tính.

VD 5. Trong 3

, hãy xét tính độc lập tuyến tính của hệ các vector sau:

a) , , , , , , , ,S u u u1 1 0 1 0 1 0 1 11 1 2 3 .

b) , , , , , , , ,S v v v1 2 1 2 1 1 7 4 12 1 2 3 .


23

Mệnh đề. Tập , ,...,S u u um1 2 là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có

một vector trong S là tổ hợp tuyến tính của n 1 vector còn lại.

Điều này có nghĩa là tồn tại một u Sj sao cho

... ...u u u u uj j j j j m m1 1 1 1 1 1 .

Hệ quả.

Hệ vector S có chứa vector không thì bao giờ cũng phụ thuộc tuyến tính.

Nếu S là tập phụ thuộc tuyến tính và F S thì F cũng phụ thuộc tuyến

tính.

• Trong n

, cho hệ vector , ,...,S u u um1 2 , với

, , ..., , , , ...,u a a a i mi i i in 1 21 2 .

Ma trận A aijm n

đƣợc gọi là ma trận dòng của hệ các vector S .

VD 6. Ma trận dòng của hệ vector

, , , , , , , ,S u u u5 1 0 1 0 1 0 1 11 2 3

là

A

5 1 0

1 0 1

0 1 1

.

Mệnh đề. Cho hệ vector , ,...,S u u um1 2 có ma trận dòng là A . Khi đó,


24

S độc lập tuyến tính r A m ;

S phụ thuộc tuyến tính r A m .

Hệ quả. Cho hệ vector , ,...,n

S u u un1 2 có ma trận dòng là A . Khi

đó,

S độc lập tuyến tính det A 0 .

VD 7. Trong 3

, hãy xét tính độc lập tuyến tính của các hệ vector:

a) , , , , ,S u u1 2 3 3 7 41 1 2 .

b) , , , , , , , ,S v v v1 1 2 1 2 5 0 1 32 1 2 3 .

VD 8. Tìm m để hệ vector dƣới đây là một tập con độc lập tuyến tính của 3

:

, , , , , , , ,S u u m u m1 1 1 2 3 1 31 2 3 .

§3. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KGVT nR , TỌA ĐỘ CỦA VECTOR

1. Cơ sở của Rn

• Trong n

, hệ vector độc lập tuyến tính có số vector nhiều nhất (tối đại) là n.

, , ...,e 1 0 01 , , , ...,e 0 1 02 , … , , ...,en 0 0 1

(nghĩa là vector ei có thành phần thứ i bằng 1, các thành phần còn lại đều bằng 0)


25

, , ...,E e e en1 2 độc lập tuyến tính.

Hệ vector , ,...,B u u um1 2 ( )m n phụ thuộc tuyến tính.

Ta nói KGVT n

có số chiều là n và viết dimRn n .

Ta nói B là một cơ sở của n

nếu nó thỏa 2 điều kiện:

B là tập độc lập tuyến tính.

B có n véc tơ.

Nhƣ vậy , , ...,E e e en1 2 là một cơ sở của n

.Ta gọi cơ sở này là cơ

sở chính tắc.

, ... .n

u u u u um m1 1 2 2

VD 9. Chứng tỏ rằng hệ vector sau đây là một cơ sở của 2

:

, , ;B u u1 0 1 11 2 .

VD 10. Hệ vector dƣới đây có là cơ sở của 3

hay không ?

, , , , ,B u u1 0 0 0 1 01 2 .

VD 11. Chứng minh hệ vector

1, 1, 1 , 1, 1, 0 , 1, 0, 01 2 3

B u u u

là một cơ sở của 3

.


26

VD 12. Tìm m để hệ vector sau là cơ sở của 3

:

1, 2, 2 , 2, 2, 5 , , 1, 1B m m m m .

2. Tọa độ vector theo cơ sở

• Trong n

, cho cơ sở đƣợc sắp thứ tự , , ...,B u u un1 2 . Khi đó, với mọi

vector n

u , tồn tại duy nhất , , ..., n1 2 , sao cho

...u u u unn1 21 2 .

• Các số thực , , ..., n1 2 thỏa đẳng thức trên đƣợc gọi là các tọa độ của

vector u trong cơ sở B . Ta viết

...u

B

n

1

2 .

Vậy từ định nghĩa, ta có

......

u u u u un nB

n

1

21 1 2 2 .

VD 13. Tìm tọa độ của các vector trong các cơ sở tƣơng ứng:


27

a) ;u 3 5 , 2; 1 , 1; 11 2

B u u .

b) ; ;u 1 2 1 , 1; 2; 0 , 1; 3; 2 , 0; 1; 3B .

c) ; ;u 2 4 6 , 1; 0; 0 , 0; 1; 0 , 0; 0; 1B .

Mệnh đề. Nếu , , ...,n

x x x xn1 2 và E là cơ sở chính tắc của n

thì

...

x

xx

E

xn

1

2 .

Mệnh đề. Cho ,n

u v , , B là cơ sở của n

.

u v u vB B B

.

u uB B

.

3. Ma trận chuyển cơ sở

Mệnh đề. Trong n

, cho hai cơ sở đƣợc sắp

, , ...,B u u un1 2 , , , ...,C v v vn1 2 .

Ma trận chuyển cơ sở từ B sang C . Ký hiệu: PB C đƣợc xác định nhƣ sau:


28

...P v v vB C nB B B1 2

VD 14. Trong 2

, cho hai cơ sở

1; 0 , 0; 11 2

,B u u

2; 1 , 1; 1 .1 2

C v v

Tìm ma trận PB C và PC B .

Mệnh đề. Cho , ,B C D là ba cơ sở của n

. Khi đó

P IB B n .

P PB C C B

1.

.P P PB C B D D C .

Mệnh đề. Cho ,B C là các cơ sở của n

. Khi đó

. ,n

u P u uB CB C.

VD 15. Trong 3

, cho cơ sở

1, 1, 0 , 1, 0, 1 , 0, 1, 11 2 3

B u u u .

a) Tìm PB E .


29

b) Tìm PB C , với cơ sở

1, 0, 0 , 1, 1, 0 , 1, 1, 11 2 3

C v v v .

§4. KHÔNG GIAN VECTOR SINH BỞI HỆ VECTOR

1. Định nghĩa: Trong KGVT nR cho 1 2 3, , ,..., nS u u u u . Ta dễ dàng chứng

minh đƣợc tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector trong hệ S tạo thành

KGVT con của nR . Ta gọi KGVT con này là KGVT sinh bởi S kí hiệu S .

Nhƣ vậy :

1

/ , 1,m

i i i

i

S u R i m

2. dim ?S cơ sở của S ?

1

2

...

( ) dim ( )

m

u

uA

u

r A S k

Hệ gồm k vector độc lập tuyến tính trong S tạo thành một cơ sở của S .

VD Trong 3R cho 1 2 3(1,2,3), (1,0,1), (2,2,4)S u u u

a) Tìm dim ?S cơ sở của S ?

b) Cho 1 2,B u u . Tìm ?B

u

3. Không gian nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất A.X=0 (1)

Ta dễ dàng chứng minh đƣợc tập hợp tất cả các nghiệm của (1) là KGVT con

của nR ta gọi KGVT con này là không gian nghiệm của (1) (W)


30

W? dim ?W cơ sở của W?

VD1: Tìm số chiều và 1 cơ sở của không gian nghiệm của hệ phƣơng trình

tuyến tính sau:

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 3 4 0

2 2 0

2 2 0

x x x x x

x x x x x

x x x x x

VD 2: Tìm hệ PTTT thuần nhất có KG nghiệm là

1 2 3( 2,1,0,0,0); (1,0,1,0,0); ( 5,0,0,3,1)W u u u

§5. KHÔNG GIAN EUCLIDE

6. Không gian Euclide

• Với , , ...,xx x xn1 2 , , , ...,n

x y y yn1 2 , ta định nghĩa

, : ...n

x y x y x y x y x yn n k kk

1 1 2 21

.

• ,x y đƣợc gọi là tích vô hướng của x và y .

• Không gian vector n

có trang bị tích vô hƣớng đƣợc gọi là không gian

Euclide.

Mệnh đề. Với mọi ,u v , ,n

u v ; k , ta có

,u u 0 , ,u u u0 0 ,

, , ,ku v u kv k u v ,

, , ,u u v u v u v ,


31

, , ,u v v u v u v ,

, ,u v v u .

• Với , , ...,n

x xx xn1 2 , ta đặt

, ...x x x x x xn2 2 21 2 ,

và gọi x là chuẩn (độ dài) của vectơ x .

• Với , , ...,xx x xn1 2 , , , ...,n

y y y yn1 2 , ta đặt

, ...d x y x y x y x yn n

221 1 ,

và gọi ,d x y là khoảng cách giữa hai vectơ x và y .

VD 16. Cho , , , , ,x y3

2 3 4 1 2 3 . Ta có

, . . .x y 2 1 3 2 4 3 20 ,

,x x x2 2 22 3 4 29 ,

,d x y2 2 2

2 1 3 2 4 3 3 .

• Cho , , ...,xx x xn1 2 , , , ...,n

y y y yn1 2 . Ta nói x và y là

hai vector trực giao, ký hiệu x y , nếu ,x y 0 .


32

• Cho tập hợp , , ...,n

S u u um1 2 . Ta nói S là tập trực giao nếu

u ui j với mọi i j .

• S là tập trực chuẩn nếu S là tập trực giao và ui 1 với mọi

, , ...,i m1 2 .

VD 17. Cho hệ , ,S e e e3

1 2 3 . Ta có S là tập trực giao, hơn nữa, S

còn là tập trực chuẩn.

Định lý. Mọi hệ trực giao trong n

không chứa vectơ không đều độc lập tuyến

tính.

Quá trình trực giao hóa Gram - Schmidt

Trong n

, cho một cơ sở bất kỳ , , ...,B u u un1 2 . Quá trình xây dựng một

cơ sở trực giao , , ...,S v v vn1 2 mới từ B đƣợc thực hiện nhƣ sau:

v u1 1 và tính v21 .

,u v

v u v

v

2 12 2 12

1

và tính v22 .


33

, ,u v u v

v u v v

v v

3 1 3 23 3 1 22 2

1 2

và tính v23 .

………………………………………………

,

.

u vn n jv u vn n j

jv j

1

21

Khi đó, tập , , ...,S v v vn1 2 là một cơ sở trực giao của n

.

Ta đặt v

w

v

11

1

, v

w

v

22

2

, …, vn

wnvn

thì tập hợp

, ,...,H w w wn1 2 là một cơ sở trực chuẩn của n

.

VD 18. Trong 3

, hãy trực giao hóa cơ sở

, , , , , , , ,B u u u2 3 6 5 3 8 8 5 31 2 3 .

Giải. Đặt

, ,v u 2 3 61 1 ,

,, ,

,

u vv u v

v v

2 13 6 22 2 1

1 1

,


34

, ,, ,

, ,

u v u vv u v v

v v v v

3 1 3 26 2 33 3 1 2

1 1 2 2

.

Ta đƣợc , ,v v v1 2 3 là một cơ sở trực giao của 3

.

Hơn nữa, với

, ,w v

v

1 12 3 61 1

71

,

, ,w v

v

1 13 6 22 2

72

,

, ,w v

v

1 16 2 33 3

73

,

thì , ,w w w1 2 3 là một cơ sở trực chuẩn của 3

.

VD 19. Trong 2

, hãy trực chuẩn cơ sở , , ,B u u1 2 3 41 2 .


35

CHƢƠNG 4. ÁNH XẠTUYẾN TÍNH

§1. Ánh xạ tuyến tính

§2. Giá trị riêng và vector riêng

§3. Chéo hóa ma trận

……………………………………………………………..

§1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

Ánh xạ : n mf R R đƣợc gọi là AXTT nếu thỏa 2 điều kiện:

1. , ( ) ( ) ( )

2. , ( ) ( )

( ) ( ) ( )

nx y R f x y f x f ynx R R f x f x

f x y f x f y

VD: Xét ánh xạ sau đây có là AXTT không?

3 2:

( , , ) (2 , )1 2 3 1 3 2 3

f R R

x x x x x x x

Chú ý: là AXTT nếu các thành phần của vector ảnh là tổ hợp tuyến tính các thành

phần của vector tạo ảnh.

1.2 Ma trận của AXTT

1.2.1 Định nghĩa: Cho AXTT : n mf R R và 2 cơ sở

, ,..., ,v ,...,v1 1 2 2 1 2

B u u u B vn n

Khi đó ma trận của AXTT f đối với cặp cơ sở ký hiệu

2 ( ) ( ) ( )1 2 3

1 2 2 2

Bf f u f u f u

B B B B


36

VD: Cho AXTT

3 2:

3 : (1,0,0); (1, 1,0), (0,1,1)1 2 31

2 ?1

f R R

R B u u u

Ef

B

là một cơ sở

1.2.2 Tính chất

Tính chất 1: Cho AXTT : n mf R R với cặp cơ sở ,1 2

B B

2( ) ( ) .2 1 1

( ) ( ) .

1

Bnu R f u f u uB B B

Emf u f u uE Em n B

Cho ta biểu thức của AXTT f

VD:

Tính chất 2: ChoAXTT : n mf R R là song ánh với cặp cơ sở ,1 2

B B

VD:

Tính chất 3: 1

' . .B P A P

VD:


37

§2. GIÁ TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG

2.1 Đa thức đặc trƣng, phƣơng trình đặc trƣng của ma trận vuông và của

PBĐTT

Định nghĩa: Cho A M n Đa thức đặc trưng của A , ký hiệu là PA ,

đƣợc xác định bởi

P A IA n . (2)

• PA 0 đƣợc gọi là phương trình đặc trưng.

VD . Tìm đa thức đặc trƣng của A1 3

2 4.

VD . Tìm đa thức đặc trƣng của ma trận

A

1 3 1

1 2 1

1 1 2

.

2.2 Giá trị riêng và vector riêng của PBĐTT của ma trận

2.2.1Các định nghĩa

• Số thực đƣợc gọi là một giá trị riêng của A M n nếu

\ { } :n

x A x x , (1)

trong đó x chỉ tọa độ của vector x theo cơ sở chính tắc E của n

.


38

• Vector \ { }n

x thỏa (1) đƣợc gọi là một vector riêng của A tƣơng ứng

với trị riêng .

VD 1. Cho A4 2

1 1. Chứng minh

• 3 là một giá trị riêng của A; ;x 2 1 là vector riêng của A tƣơng ứng

với trị riêng 3 .

VD 2. Chứng minh 1 là một trị riêng của A

0 0 1

0 1 0

1 0 0

, vector riêng

tƣơng ứng là ; ;x 1 0 1 . (2)

Mệnh đề. Cho A Mn . Khi đó,

là trị riêng của A PA 0 .

2.2.2 Phƣơng pháp tìm trị riêng và vector riêng

Bước 1. Tìm đa thức đặc trƣng PA .

Bước 2. Giải PA 0 để tìm trị riêng của A .

Bước 3. Giải hệ phƣơng trình:

A I xn E E.

Nghiệm không tầm thƣờng của hệ này là vector riêng của A ứng với trị riêng .


39

VD 5. Tìm trị riêng và vector riêng của ma trận

A

3 1 1

7 5 1

6 6 2

.

VD 6. Tìm trị riêng và vector riêng của ma trận

B

4 2 1

6 4 3

6 6 5

.

Mệnh đề. Cho là một trị riêng của A M n . Khi đó, tập hợp

:n

E x A x x (3)

là một không gian vector con của n

.

Ta nói E là không gian riêng của A tƣơng ứng với trị riêng .

VD 7. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian riêng ứng với các trị riêng của ma

trận

C

4 2 1

6 4 3

6 6 5

.


40

§3. CHÉO HÓA MA TRẬN VUÔNG

3.1. Định nghĩa

• Ma trận vuông A đƣợc gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một ma trận khả nghịch

P sao cho

diag , , ...,P AP n1

1 2 .

Lúc đó, P đƣợc gọi là ma trận làm chéo hóa A .

VD 8. Ma trận A1 0

6 1 chéo hóa đƣợc vì

. .

A PP

11 0 1 0 1 0 1 0

3 1 6 1 3 1 0 1

1

.

VD 9. Ma trận B

0 0 0

0 1 0

1 0 1

chéo hóa đƣợc vì với ma trận

P

1 0 0

0 1 0

1 0 1

thì .P AP

0 0 01

0 1 0

0 0 1

3.2. Điều kiện cần và đủ cho sự chéo hóa

Ma trận vuông A chéo hóa đƣợc nếu và chỉ nếu 2 điều kiện sau đƣợc thỏa mãn:

a) Đa thức đặc trƣng PA tách được, nghĩa là


41

... ;rk

kPA

r r

121

2

b) dim E rj j , , , ...,j k1 2 .

VD 10. Các ma trận sau có chéo hóa đƣợc hay không ?

a) 1 3

2 5A .

b)

3 1 1

2 2 1

2 2 0

A .

3.3. Thuật toán chéo hóa

Bước 1. Tìm đa thức đặc trƣng PA .

Nếu AP không tách đƣợc thì kết luận A không chéo hóa đƣợc.

Nếu PA tách đƣợc thì chuyển sang bƣớc 2.

Bước 2. Tìm các cơ sở B j của các không riêng E j , , , ...,j k1 2 .

Nếu tồn tại , , ...,j k1 2 mà dim E rj j thì kết luận A không

chéo hóa đƣợc.

Nếu dim E rj j với mọi , , ...,j k1 2 thì chuyển sang bƣớc 3.


42

Bước 3. Đặt ...B B B Bk1 2 và P PE B . Khi đó, P khả nghịch

và 1

diag , , ..., .1 2

P APk

VD 11. Chéo hóa các ma trận sau (nếu đƣợc):

a) 1 0

6 1A .

b)

4 2 1

6 4 3

6 6 5

A .

Mệnh đề. Cho A Mn . Nếu A có n trị riêng thực phân biệt thì A chéo

hóa đƣợc.

3.4. Ứng dụng của chéo hóa

• Cho A M n là ma trận chéo hóa đƣợc và k . Ta cần tìm k

A .

• A chéo hóa đƣợc nên tồn tại P khả nghịch sao cho

diag , ...,P AP m1

1

diag , ...,

kk k

P AP m1

1

diag , ...,k k k

P A P m1

1


43

diag , ...,k k k

A P Pm1

1 .

VD 12. Tìm A2013

với A3 0

8 1.


44

CHƢƠNG 5: DẠNG TOÀN PHƢƠNG

§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

• Dạng toàn phương trên n

là một ánh xạ :n

q đƣợc xác định bởi

, , ...,n

q x x x a x a x xn ii i ij i ji i j

221 2

1.

VD 1. Ánh xạ ,q x x x x x x2 2

2 5 41 2 1 2 1 2 là dạng toàn phƣơng trên

2.

VD2. Ánh xạ

q x x x x x x x x x x2 2 2

2 7 6 91 2 3 1 2 2 3 1 3

với , ,x x x x1 2 3 , là dạng toàn phƣơng trên 3

.

• Nếu giả sử a aji ij với j i , thì ma trận

...

...

... ... ... ...

...

a a a na a a nA

a a an n nn

11 12 1

21 22 2

1 2

đƣợc gọi là ma trận của dạng toàn phương q .

VD3. Tìm ma trận của dạng toàn phƣơng

,q x x x x x x2 2

41 2 1 2 1 2 .


45

VD4. Tìm ma trận của dạng toàn phƣơng

, ,q x x x x x x x x x x2 2 2

2 3 2 51 2 3 1 2 3 1 2 1 3 .

• Nếu A là ma trận của dạng toàn phƣơng q thì

,T n

q x x A x x .

• Giả sử trong n

, ta có một cơ sở B . Khi đó, với mọi n

x , vì

x P xE BE B, nên

Tq x x A xBB B

,

trong đó

TA P APB E B E B .

Ta gọi AB là ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở B .

VD 5. Tìm ma trận của dạng toàn phƣơng

,q x x x x x x2 2

3 4 21 2 1 2 1 2

trong cơ sở ; , ;B u u1 1 2 31 2 .

• Nếu trong n

, tồn tại một cơ sở B mà ma trận của dạng toàn phƣơng q trong

cơ sở này có dạng

diag , , ...,AB n1 2 ,


46

thì ta nói q đƣợc đƣa về dạng chính tắc.

§2. ĐƢA DẠNG TOÀN PHƢƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Thuật toán chéo hóa trực giao

Cho DTP , ...,q x xn1 trên n

có ma trận của DTP là A . Để đƣa

, ...,q x xn1 về dạng chính tắc thì ta thực hiện các bƣớc sau:

Bước 1. Tìm trị riêng j và cơ sở B j cho các không gian riêng E j ,

, ...,j k1 .

Bước 2. Đặt ... , , ...,B B B B u u uk n1 2 1 2 . Trực chuẩn hóa

Gram-Schmidt cơ sở , ...,B u un1 thành cơ sở trực chuẩn

, ...,S w wn1 .

Bước 3. Đặt P PE S thì P là ma trận trực giao. Dùng phép đổi biến

x P y thì ta nhận đƣợc dạng chính tắc

, ..., ...g y y y yn n n2 2

1 1 1 .

VD6. Đƣa dạng toàn phƣơng sau về dạng chính tắc bằng thuật toán biến đổi trực

giao

a) ,q x x x x x2

3 41 2 2 1 2 .


47

b) , ,q x x x x x x x x x x2 2 2

5 9 9 12 61 2 3 1 2 3 1 2 1 3 .

----------Hết ----------

Documents

GV: Bùi Thị Thu Phương - ffs.iuh.edu.vnffs.iuh.edu.vn/files/buithithuphuong/baigiang/Bai giang toan A2.pdf · Đƣờng chéo còn lại gọi là đường chéo phụ. - Ma