Toán cao cấp Bài tập trắc nghiệm C1 - ffs.iuh.edu.vnffs.iuh.edu.vn/files/nguyenducphuong/baigiang/01. TracNghiem C1.pdf · Toán cao cấp C1 Nguyễn Đức Phương TP

Toán cao cấp

C1Nguyễn Đức Phương

TP. HCM, Ngày 4 tháng 10 năm 2017

Bài

tập

trắc

nghi

ệm

Họ và tên:

Mssv:

Mục lục

1 Hàm số một biến 11.1 Giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Giới hạn x → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Nhân lượng liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Dạng vô định 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Tính giới hạn sử dụng vô cùng bé tương đương . . . . . . . . . . . . 41.1.5 Tính giới hạn bằng quy tắc L’ Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Tìm vô cùng bé tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Dùng khai triển Maclaurin tìm vô cùng bé tương đương . . . . . . . . . . . . 91.4 Tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Đạo hàm 132.1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Đạo hàm hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Đạo hàm của hàm có chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.7 Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 Đơn điệu, cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.9 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.10 Khai triển Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Tích phân 273.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Đạo hàm của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Tích phân suy rộng loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5 Tích phân suy rộng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6 Ứng dụng tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Chuỗi số 504.1 Câu hỏi lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Tính tổng riêng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Trang ii Mục lục

4.3 Chuỗi hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 Sử dụng các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5 Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Phương trình vi phân 625.1 Vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1.1 Dạng tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.1.2 Dạng đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.1.3 Dạng toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.1.4 Tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.5 Dạng Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.1.6 Nhận dạng phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Hàm hai biến 726.1 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2 Vi phân hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3 Cực trị hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7 Bài toán kinh tế 797.1 Bài toán lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2 Tìm hàm doanh thu, lợi nhuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.3 Tìm mức sản lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Chương 1

Hàm số một biến

Mục lục chương 11.1 Giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Giới hạn x → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Nhân lượng liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Dạng vô định 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Tính giới hạn sử dụng vô cùng bé tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.5 Tính giới hạn bằng quy tắc L’ Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Tìm vô cùng bé tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Dùng khai triển Maclaurin tìm vô cùng bé tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Giới hạn

1.1.1 Giới hạn x → ∞

Câu 1. Tìm L = limx→+∞

x3√

x + x2 + x + 1

2x3√

x − x2 + 1A. L = 1. B. L = 1/2. C. L = 0. D. L = ∞.


x4 + x + 1

8x3√

x + x2 + x + 1A. L = 1. B. L = 1/8. C. L = 0. D. L = +∞ .

Câu 3. Tìm L = limx→∞

10x4 3√

x + x + 1

x5 + x4 + x + 2A. L = 10. B. L = 0. C. L = ∞. D. L = 1/2 .


(

x −√

x2 − 1

)10

+(

x +√

x2 − 1

)10

x10

A. L = 210. B. L = 2−10. C. L = −210. D. L = ∞ .

Trang 2 Chương 1. Hàm số một biến


3√

x2 + 1

x + 1A. L = 0. B. L = 1/3. C. L = 1/2. D. L = 1 .

1.1.2 Nhân lượng liên hợp


√x2 + x −

√x2 − x

A. L = 1/2. B. L = 1/3. C. L = 1. D. L = 2 .


x −√

x2 − 2x

A. L = +∞.C. L = 1.

B. L = 1.D. L = 1.

Câu 8. Tìm L = limx→−∞

x −√

x2 − 2x

A. L = −∞.C. L = 0.

B. L = 0.D. L = 0.


2x −√

x2 − 2x

A. L = ∞.C. L = 0.

B. L = 0.D. L = 0.


√2x2 + 1 −

√

2x2 − 2√

x

A. L = ∞.C. L = 0.

B. L = 0.D. L = 0.


x − 3√

x3 − 3x2 + 4

A. L = ∞. B. L = 0. C. L = 1. D. L = 2 .


3√

x3 − 3x2 + 3x + 1 − 3√

x3 − 3x2 + 4

A. L = ∞. B. L = 0. C. L = 1. D. L = 2 .


3√

2x3 + 3x2 + 1 − 3√

2x3 + x2 − 1

A. L = 3√

2/3. B. L = 3√

2. C. L = ∞. D. L = 0 .


3√

x3 − 3x√

x + 3x + 1 − 3√

x3 − 3x2 + 4

A. L = ∞. B. L = 0. C. L = −1. D. L = 1 .


3√

x3 − 3x√

x + 3x + 1 − 3√

x4 − 3x + 4

A. L = ∞. B. L = 1. C. L = −1. D. L = 0 .


3√

x3 − 4x + 2 − 3√

x3 − 3x2 + 4

A. L = ∞. B. L = 0. C. L = 1. D. L = 2 .


3√

x3 + 4x2 + 1 + 3√−x3 + 2x2 + 4

A. L = ∞. B. L = 0. C. L = 1. D. L = 2 .


3√

x3 + 4x2 + 1 − 3√

x3 − x2 + 4

A. L = ∞. B. L = 0. C. L = 1. D. L = 2 .

1.1 Giới hạn Trang 3


3√

2x3 + 4x2 + 1 + 3√−x3 − x2 + 4

A. L = ∞. B. L = 0. C. L = 1. D. L = −1 .


3√

2x3 + 4x2 + 1 + 3√−2x3 − x2 + 4

A. L = ∞. B. L = 0. C. L = 1. D. L = 3√

2/2 .

1.1.3 Dạng vô định 1∞


(

2 + x

3 − x

)x

A. L = −1. B. L = 1. C. L = 2. D. L = ∞ .

Câu 22. Tìm L = limx→0

(

1 + tan2√

x)

1

4x

A. L = ∞. B. L = 1. C. L =√

e. D. L = 4√

e .


(

1 +3x + 2

2x2 + x − 1

)2x

A. L = ∞. B. L = 1. C. L = e2. D. L = e3 .


(

x2 + x + 1

x2 − x − 1

)x

A. L = ∞. B. L = 1. C. L = e2. D. L = e3 .

Câu 25. Tính L = limx→∞

(

x2 − 1

x2 + 1

)x2+3

A. L = e−2. B. L = e−1. C. L = e. D. L = e−3 .

Câu 26. Tính L = limn→∞

(

1 +x2

n

)− n+12

A. L = e−x2

2 . B. L = e−x2 . C. L = e−

x3

2 . D. L = e.


(cos 3x)x2/2

A. L = ∞. B. L = 1. C. L = e−9 . D. L = e−3/2 .


(cos x + sin x)cot x

A. L = 1. B. L = e. C. L = 1/√

e . D. L = +∞ .


(cos x)cot2x

A. L = 1. B. L = e. C. L = 1/√

e . D. L = +∞ .


(cos 2x + x2)cot3x

A. L = 1. B. L = e. C. L = 1/√

e. D. L = +∞ .


(cos x + sin2x)cot x

A. L = 1. B. L = e. C. L = 1/√

e. D. L =√

e .



(cos x + sin2x)cot2x

A. L = 0. B. L = 2/3. C. L = −2/3. D. L = ∞ .

Câu 33. Tìm giới hạn L = limx→1

x1/(2x−2)

A. L = 1. B. L = e. C. L = e2. D. L =√

e .


(

3x + 4x

2

)1/x

A. L = 1. B. L = −2/√

3. C. L = 2/√

3. D. L = ∞ .


[

cos x + ln(1 + x2)]cot2x

A. L = 1. B. L =√

e. C. L = 2√

e. D. L = 1/2 .

Câu 36. Tìm giới hạn L = limx→2−

(2 − x)(x−2)

A. L = 0.C. L = e.

B. L = e.D. L = e.

Câu 37. Tìm giới hạn L = limx→0+

(sin x)1/ ln sin 2x

A. L = e. B. L = e2. C. L = 2√

e. D. L = 1 .


(sin 3x)2/ ln sin x

A. L = e. B. L = e2. C. L = 2√

e. D. L = 1 .


(cot x)ln(1+x2)

A. L = e. B. L = e2. C. L = 2√

e. D. L = 1 .

1.1.4 Tính giới hạn sử dụng vô cùng bé tương đương

Câu 40. Tìm A = limx→0−

(

1

1 + 21x

+sin x

x

)

, B = limx→0+

(

1

1 + 21x

+sin x

x

)

A. A = B = 2.C. A = −∞, B = 2.

B. A = −∞, B = 2.D. A = −∞, B = 2.


x − sin 5x + sin2x

4x + arcsin2x + x2

A. L = 1. B. L = −1. C. L = 2. D. L = 3 .


sin22x

sin 4xA. L = 0. B. L = 2. C. L = 1/2. D. L = 1/4 .


sin22x + sin x

sin 3xA. L = 0. B. L = 1/3. C. L = 2/3. D. L = 4/3 .


1 −√

cos 2x

sin2xA. L = 2. B. L = 1/2. C. L = 1. D. L = 1/4 .



1 − cos x

x sin 2xA. L = 0. B. L = 1. C. L = 1/2. D. L = 1/4 .


√x + 1 −

√1 − x

3√

x + 1 − 3√

1 − xA. L = 1/2. B. L = 1. C. L = 3/2. D. L = ∞ . .


5√

32 + 2x − 24√

16 + x − 2A. L = 4/5. B. L = 5/4. C. L = 3/4. D. L = 4/3 .


1 − cos x + ln(1 + tan22x) + 2arcsin3x

1 − cos x + sin2xA. L = 0. B. L = 1. C. L = 2. D. L = 3 .


arcsin(x3 + tan23x) + 2arcsin3x

1 − cos x + sin2xA. L = 0. B. L = 6. C. L = 8. D. L = 22/3 .


arcsin(x3 + tan23x) + 2arcsin3x

1 − cos x + sin3xA. L = 0. B. L = 6. C. L = 8. D. L = 18 .


x3 + sin23x + 3arcsin3x

ln(1 + 2x2) + sin2xA. L = 0. B. L = 6. C. L = 5/2. D. L = 3 .


ln(1 + tan 3x) +√

1 + 2 sin x − 1

arcsin 2x + x2

A. L = 4. B. L = 3. C. L = 2. D. L = 1 .


ln(cos x) +√

1 + 2sin2x − 1

(ex − 1)2

A. L = 1/2. B. L = 3/2. C. L = 5/2. D. L = −3/2 .


(x2 + tan 2x)(1 − 2 cos 2x) + (e2x − 1)2

ln(cos 4x + x3)A. L = −4/7. B. L = 1. C. L = −1/2. D. L = −8/7 .


(x2 + 3x + 4) ln(cos x) + (cos 2x − 1)

(2x2 + x + 1)(sin 2x + x2)2

A. L = 1. B. L = −1. C. L = 1/2. D. L = −1/2 .


(sin x + cos x)2 − 1

(x3 + 3x + 4)(sin 4x − sin 2x)A. L = −1/8. B. L = 1/8. C. L = −1/4. D. L = 1/4 .


(cos 2x − ex)(x2 + 1 − cos x)

x(cos 3x − cos x) ln(1 + e − cos x)A. L = 3/8. B. L = −3/8. C. L = −3/4. D. L = 3/4 .



arcsin3x + 2arcsin2x + 3 arcsin x

x3 − 2x2 + xA. L = 0. B. L = 1. C. L = 2. D. L = 3 .


(1 − cos x)2

x sin xtan2xA. L = 0. B. L = 1. C. L = 1/2. D. L = 1/4 .


1 − cos x − x3

sin4x + arctan xA. L = 0. B. L = 1/2. C. L = 2. D. L = 1 .


√1 + 3 sin x −

√1 − tan x

xA. L = 2. B. L = 1. C. L = 1/2. D. L = 0 .


√1 + 3 sin x +

√1 + sin x − 2

sin 2xA. L = 1. B. L = 3. C. L = 2. D. L = 0 .


1 −√cos x

x2

A. L = 1/4. B. L = 1/2. C. L = 1. D. L = 0 .


x − sin 5x + sin2x

sin x + arcsin2x + x2

A. L = 1. B. L = −1. C. L = 2. D. L = 3 .


arcsin 3x − sin25x + sin2x

4x + arcsin2x + x2

A. L = 3. B. L = −1. C. L = 0. D. L = 1 .


√x − 1

3√

x − 1A. L = 0. B. L = 1/2. C. L = 3/2. D. L = 2/3 .


ln(1 − x2 + 2x)

x − arctan2xA. L = −1. B. L = 2. C. L = −2. D. L = 1 .


e−x − 1

sin x + 2x2

A. L = 0. B. L = −1. C. L = 1. D. L = 1/2 .

Câu 69. Tìm giới hạn L = limx→∞

x(

e1/x − 1)

A. L = 0. B. L = −1. C. L = 1. D. L = 2 .

Câu 70. Tìm giới hạn L = limx→π

cosπ

2x − π

A. L = 0. B. L = 1/2. C. L = 1. D. L = −1/2 .


√1 + sin 2x −

√1 + sin x

x + x2 − 2x3

A. L = 0. B. L = 1. C. L = 2. D. L = 1/2 .



√cos x −

√cos 2x

x arcsin x + x3 − 2x4

A. L = 0. B. L = 3/4. C. L = 3/2. D. L = 2 .


√1 + x3 − 1

x arcsin x tan xA. L = 0. B. L = 3/4. C. L = 1/2. D. L = 2 .

Câu 74. Tìm giới hạn L = limx→π/4

cos x − sin x

cos 2xA. L =

√2. B. L =

√2/2. C. L = −

√2. D. L = −

√2/2 .


sin(πx/2)− 1

(x2 − 1)2

A. L = π2/16. B. L = −π2/16. C. L = π2/32. D. L = −π2/32 .


3√

x + 17 − 34√

x + 6 − 2A. L = 35/27. B. L = 32/27. C. L = 37/27. D. L = −32/27 .

1.1.5 Tính giới hạn bằng quy tắc L’ Hospital


x2 − 1

x2 − 4x + 3A. L = 0. B. L = −1. C. L = 2. D. L = ∞ .


√x − 1

x2 − 1A. L = 0. B. L = 1. C. L = 1/2. D. L = 1/4 .


3√

x − 1

x2 − 1A. L = 0. B. L = 1/2. C. L = 1/3. D. L = 1/6 .


x ln x

A. L = ∞. B. L = 0. C. L = 1. D. L = 2 .


x − arctan x

x3

A. L = 0. B. L = 1/3. C. L = 2. D. L = −1/3 .

Câu 82. Tìm giới hạn L = limx→+∞

x (ln x − ln(x + 1))

A. L = −1.C. L = 1.

B. L = 1.D. L = 1.

Câu 83. Tìm giới hạn L = limx→−∞

xex

A. L = −∞ .C. L = 0.

B. L = 0.D. L = 0.


ex − 1 − x

x2

A. L = 0. B. L = 1. C. L = 2. D. L = 1/2 .



ex3 − 1 − x3

sin6xA. L = 0. B. L = 1. C. L = 1/2. D. L = 2 .


ex−1 − e1−x

ln xA. L = 0.C. L = 1.

B. L = 1.D. L = 1.

Câu 87. Tìm giới hạn L = L = limx→1

(

x

x − 1− 1

ln x

)

A. L = 1. B. L = 1/2. C. L = 1/4. D. L = 1/8 .


1 + 2 ln | ln x|ln |x|

A. L = 0. B. L = 1. C. L = 2. D. L = ∞ .


2 tan x − tan 2x

arcsin32x + ln(1 + x3) + x4

A. L = 2/9. B. L = −2/9. C. L = 3/4. D. L = 1 .


2 sin x − sin 2x

2 tan x − tan 2xA. L = 1. B. L = −1. C. L = 1/2. D. L = −1/2 .


x − arcsin x

x − tan xA. L = 1. B. L = −1. C. L = 1/2. D. L = −1/2 .


2x − arcsin 2x

ln(1 + 2x2) + arcsin3xA. L = 0. B. L = −2/9. C. L = −4/9. D. L = 8/9 .


(cot x − 1/x)

A. L = 0. B. L = 1/2. C. L = −1/2. D. L = 1 .


(cot2x − 1/x2)

A. L = 0. B. L = 2/3. C. L = −2/3. D. L = ∞ .


5x − 4x

x2 + x

A. L = ln6

5. B. L = ln

5

4. C. L =

223

1000. D. L = 0 .

1.2 Tìm vô cùng bé tương đương

Câu 96. Cho f (x) = (cos 2x − ex)(x2 + 1 − cos x) + x(cos 3x − cos x) ln(1 + ex − cos x).Khi x → 0 thì

A. f (x) ∼ x3

3!. B. f (x) ∼ 2x2

3!. C. f (x) ∼ −3x3

3!. D. f (x) ∼ x2

3.

1.3 Dùng khai triển Maclaurin tìm vô cùng bé tương đương Trang 9

Câu 97. Cho f (x) = 1 − cos x + ln2(1 + tan22x) + 2arcsin3x Khi x → 0 thì

A. f (x) ∼ x

2. B. f (x) ∼ x3

2. C. f (x) ∼ x2

2. D. f (x) ∼ −x2

2.

Câu 98. Cho f (x) = (x2 + tan 2x)(1 − cos 2x) + (e2x − 1) ln(cos 4x) + 5√

ex − 1 Khi x → 0

thì

A. f (x) ∼ x2

5. B. f (x) ∼ x

5. C. f (x) ∼ −x

5. D. f (x) ∼ −x2

5.

Câu 99. Khi x → 0,

{

x = 2t − t2

y = 3t − t3VCB tương đương với

A. f (x) ∼ 3x

2. B. f (x) ∼ x3

3. C. f (x) ∼ 3x2

2. D. f (x) ∼ −x

2.

Câu 100. Khi x → 0,

{

x = t2 + t

y = t3 − 3t2 − 3t + 1VCB tương đương với

A. f (x) ∼ −6x . B. f (x) ∼ 6x. C. f (x) ∼ 3x. D. f (x) ∼ −3x .

1.3 Dùng khai triển Maclaurin tìm vô cùng bé tương đương

Câu 101. Khi x → 0, vô cùng bé ex − 1 − x − 1

2x2 tương đương với

A. −x3

3. B.

x3

3. C. −x3

6. D.

x3

6.

Câu 102. Khi x → 0 vô cùng bé sin x − x + x4 tương đương với

A. x4. B.x3

3. C. −x3

3. D. −x3

6.

Câu 103. Khi x → 0 vô cùng bé 1 − cos x − x2

2+ x4 tương đương với

A. x4. B.x4

24. C.

23

24x4. D.

25

24x4 .

Câu 104. Khi x → 0 vô cùng bé tan x − x + x2 tương đương với

A. x2. B.x3

3. C. −x3

3. D.

x3

6.

Câu 105. Khi x → 0 vô cùng bé1

1 − x− 1 − sin x tương đương với

A. −x. B. x2. C. −x3

3. D.

x3

6.

Câu 106. Khi x → 0 vô cùng bé1

1 + x− ex tương đương với

A. 2x. B. −2x. C. 2x2. D. −2x2 .

Câu 107. Khi x → 0 vô cùng bé x − ln (1 + x) + x2 tương đương với

A. x2. B.x2

2. C. −x2

2. D.

3x2

2.


Câu 108. Khi x → 0 vô cùng bé ln (1 − x) + x + x3 tương đương với

A. x3. B.x2

2. C. −x2

2. D.

3x2

2.

Câu 109. Khi x → 0 vô cùng bé x − arctan x + x5 tương đương với

A. x5. B.6x5

5. C.

x3

3. D.

x3

6.

Câu 110. Tìm cặp vô cùng bé tương đương khi cho x → 0

A. sin 2x và arcsin x .C. arcsin 3x và ln(1 + 3x).

B. arcsin 3x và ln(1 + 3x).D. arcsin 3x và ln(1 + 3x).

1.4 Tọa độ cực

Câu 111. Đưa phương trình x2 + y2 + 2x = 0 về tọa độ cựcA. r = 2 cos ϕ. B. r = −2 cos ϕ. C. r = −2 sin ϕ. D. r = −2ϕ .

Câu 112. Đưa phương trình trong tọa độ cực r = sin ϕ + cos ϕ về phương trình trong tọađộ Descartes ta được

A. x2 + y2 = x.C. x2 + y2 = y − x.

B. x2 + y2 = y − x.D. x2 + y2 = y − x.

1.5 Tiệm cận

Câu 113. Đồ thị của hàm y = ln(x2 − 3x + 2)A. Có hai tiệm cận trong đó có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang .B. Có hai tiệm cận đều là tiệm cận đứng .C. Có hai tiệm cận đều là tiệm cận ngang .D. Có hai tiệm cận trong đó có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận xiên .

Câu 114. Đồ thị của hàm số y =sin 2x

xA. Không có tiệm cận .B. Chỉ có tiệm cận ngang y = 0 .C. Có tiệm cận đứng x = 0 và tiệm cận ngang y = 0 .D. Chỉ có tiệm cận đứng x = 0 .

Câu 115. Đồ thị của hàm số y =ex

x − 1A. Có tiệm cận đứng x = 1 và không có tiệm cận ngang .B. Có tiệm cận đứng x = 1 và không có tiệm cận ngang y = 0 khi x → ∞ .C. Có tiệm cận đứng x = 1 và không có tiệm cận ngang y = 0 khi x → +∞ .D. Có tiệm cận đứng x = 1 và không có tiệm cận ngang y = 0 khi x → −∞

.

Câu 116. Đồ thị của hàm số y =ln x

xA. Không có tiệm cận .B. Chỉ có tiệm cận ngang y = 0 .C. Có tiệm cận đứng x = 0 và tiệm cận ngang y = 0 .D. Chỉ có tiệm cận đứng x = 0 .

1.6 Hàm số liên tục Trang 11

1.6 Hàm số liên tục

Câu 117. Cho hàm số y = 1/ ln(x2 + 1). Khẳng định nào đúng?A. y liên tục trên R \ {0}.B. y gián đoạn tại x = 0.C. y không xác định tại x = 0.D. Các khẳng định trên đều đúng .

Câu 118. Cho hàm số y =

x tan x

ln(1 + x2)khi x 6= 0

2a + 1 khi x = 0

Tìm a để hàm số trên liên tục tại x = 0.

A. a = 3. B. a = 1. C. a = 2. D. a = 0 .


{

sin x

xkhi x 6= 0

A khi x = 0


A. a = 0.C. a = 1.

B. a = 1.D. a = 1.


{ cos x

xkhi x 6= 0

A khi x = 0


A. a = 0.C. a = 1.

B. a = 1.D. a = 1.


x sin x + ln(1 + 2x)

sin xkhi −1/2 < x < 0

x2 + sin x + a khi x ≥ 0


A. a = 0. B. a = 2. C. a = 1. D. a = 3 .


x sin x + 2tan2x

x2khi x < 0

cos2x + 2a khi x ≥ 0


A. a = 0. B. a = 2. C. a = −1. D. a = 1 .


ex + e−x − 2

2x2khi x 6= 0

2a + 1 khi x = 0


A. a = 1/2. B. a = −3/2. C. a = 1. D. a = 2 .


ln(1 + x)− x

sin2xkhi x 6= 0

2a + 1 khi x = 0


A. a = −2. B. a = −3/2. C. a = −3/4. D. a = 1 .



e2x − 2x − 1

sin2xkhi x 6= 0

3a − 1 khi x = 0


A. a = 1. B. a = 2. C. a = −2. D. a = −1 .


arctan1

(x − 1)2khi x < 1

3x2 + 3x + a

x2 + 1khi x ≥ 1


A. a = π.C. a = π − 4.

B. a = π − 4.D. a = π − 4.


sin(π − πx)

x2 − 1khi x < 1

3x2 + 3x + a

x2 + 1khi x ≥ 1


A. a = −π/2 + 4.C. a = π − 4 .

B. a = π − 4 .D. a = π − 4 .


arctan1

x − 2khi x 6= 2

3x2 − 6x + a

x2khi x = 2


A. a = π/2.C. a = 2π .

B. a = 2π .D. a = 2π .


ln(1 + x)− x

sin2xkhi −1 < x < 0

2a + 1 khi x ≥ 0


A. a =−3

4. B. a = 1. C. a = −3

2. D. a = −2 .

Chương 2

Đạo hàm

Mục lục chương 22.1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Đạo hàm hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Đạo hàm của hàm có chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7 Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 Đơn điệu, cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.9 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.10 Khai triển Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Câu 130. Cho hàm y =

√2x + 1 − cos x

xkhi x 6= 0

m khi x = 0

Tìm m để hàm số liên tục tại x = 0 và tính f′(0) với m vừa tìm

A. m = 1; f′(0) = 0.

C. m = −1; f′(0) = 0.

B. m = −1; f′(0) = 0.

D. m = −1; f′(0) = 0.

Câu 131. Cho hàm y =

{

x khi x ≤ 1

−x2 + 2x khi x > 1

A. y′=

{

1 khi x > 1

−2x + 2 khi x < 1và không tồn tại khi x = 1 .

B. y′=

{

1 khi x < 1

−2x + 2 khi x > 1và không tồn tại khi x = 1 .

C. y′=

{

1 khi x < 1

−2x + 2 khi x ≥ 1.

D. y′=

{

1 khi x ≤ 1

−2x + 2 khi x > 1.

Trang 14 Chương 2. Đạo hàm

2.2 Đạo hàm cấp cao

Câu 132. Cho hàm y =320

(

x2 + 3x + 1)

(x + 3)19!. Tìm

A. y(20)(0) =3

20.

C. y(20)(0) =320

19!.

B. y(20)(0) =320

19!.

D. y(20)(0) =320

19!.

Câu 133. Cho y =1

2x + 1− 40 ln(2x + 1) . Tìm y(40)(0)

A. y(40)(0) = 240 × 39!.C. y(40)(0) = 240 × 40!.

B. y(40)(0) = 240 × 40!.D. y(40)(0) = 240 × 40!.

Câu 134. Cho hàm số y = ln(4x − 5). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. y(n) = (−1)n−1 22n(n − 1)!

(4x − 5)n .

C. y(n) = (−1)n 1

(4x − 5)n .

B. y(n) = (−1)n 1

(4x − 5)n .

D. y(n) = (−1)n 1

(4x − 5)n .

Câu 135. Cho hàm số y = ln(x2 + 4x − 5). Chọn khẳng định đúng sau đây

A. y(n) = (−1)n−1(n − 1)!

[

1

(x − 1)n +1

(x + 5)n

]

.

B. y(n) = (−1)n(n − 1)!

[

1

(x − 1)n +1

(x + 5)n

]

.

C. y(n) = (−1)n−1n!

[

1

(x + 1)n +1

(x − 5)n

]

.

D. y(n) = (−1)n−1(n − 1)!

[

1

(x + 1)n +1

(x − 5)n

]

.

Câu 136. Cho hàm số y = ln(x2 + 4x + 3). Chọn khẳng định đúng sau đây

A. y(n) = (−1)n−1(n − 1)!

[

1

(x + 1)n +1

(x + 3)n

]

.

B. y(n) = (−1)n(n − 1)!

[

1

(x + 1)n +1

(x + 3)n

]

.

C. y(n) = (−1)n−1n!

[

1

(x + 1)n +1

(x + 5)n

]

.

D. y(n) = (−1)n−1(n − 1)!

[

1

(x + 1)n +1

(x − 3)n

]

.

Câu 137. Tìm đạo hàm của hàm số y =ex2

cos x

A. y′=

2xex2+ ex2

sin x

cos2x.

C. y′=

2xex2+ ex2

sin x

cos2x.

B. y′=

2xex2+ ex2

sin x

cos2x.

D. y′=

2xex2+ ex2

sin x

cos2x.

2.3 Vi phân cấp một Trang 15

Câu 138. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = 2(x + 1) arctan(x + 1)− ln(x2 + 2x + 2).

A. y′′=

−2(x + 1)

(x2 + 2x + 2)2.

C. y′′=

2

x2 + 2x + 2.

B. y′′=

2

x2 + 2x + 2.

D. y′′=

2

x2 + 2x + 2.

Câu 139. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y = 5x + 2x

A. y = 5x.ln35 + 2.C. y = 5x.ln

25 .

B. y = 5x.ln25 .D. y = 5x.ln

25 .

Câu 140. Tìm đạo hàm của hàm số y = (x + 1)x

A. y′= (x + 1)x

[

ln(x + 1)− x

x + 1

]

.

C. y′= (x + 1)x

[

ln(x + 1) +x

x + 1

]

.

B. y′= (x + 1)x

[

ln(x + 1) +x

x + 1

]

.

D. y′= (x + 1)x

[

ln(x + 1) +x

x + 1

]

.

2.3 Vi phân cấp một

Câu 141. Tìm vi phân cấp 1 của hàm số y = (3x)x

A. dy = 3x(3x)x−1dx.

C. dy = (3x)xln 3xdx .

B. dy = (3x)xln 3xdx .

D. dy = (3x)xln 3xdx .

Câu 142. Tìm vi phân cấp 1 của hàm số y = 3ln(arccos x)

A. dy =3ln(arccos x)

arccos xdx.

C. dy =3ln(arccos x)

arccos x√

1 − x2dx .

B. dy =3ln(arccos x)

arccos x√

1 − x2dx .

D. dy =3ln(arccos x)

arccos x√

1 − x2dx .

Câu 143. Tìm vi phân dy = d

( x

cos x

)

A. dy =(cos x − x sin x)

cos2xdx.

C. dy =(cos x + x sin x)

cos2xdx .

B. dy =(cos x + x sin x)

cos2xdx .

D. dy =(cos x + x sin x)

cos2xdx .

Câu 144. Tìm vi phân cấp một của hàm số y = ln(arccot x)

A. dy = − dx

sin2x arccot x.

C. dy =dx

arccot x.

B. dy =dx

arccot x.

D. dy =dx

arccot x.

Câu 145. Tìm vi phân cấp một của hàm số y = 2√

tan x

A. dy =2√

tan x

x√

tan xdx.

C. dy =2√

tan x ln 2

2√

tan xcos2xdx .

B. dy =2√

tan x ln 2

2√

tan xcos2xdx .

D. dy =2√

tan x ln 2

2√

tan xcos2xdx .


Câu 146. Tìm vi phân cấp một của hàm số y = (4x)x

A. dy = 4x(4x)x−1dx.

C. dy = (4x)xln 4xdx .

B. dy = (4x)xln 4xdx .

D. dy = (4x)xln 4xdx .

Câu 147. Tìm vi phân cấp một của hàm số y = arctanln x

3

A. dy =3dx

x(9 + ln2x)

.

C. dy =3dx

9 + ln2x.

B. dy =3dx

9 + ln2x

.

D. dy =3dx

9 + ln2x

.

2.4 Vi phân cấp hai

Câu 148. Tìm vi phân cấp hai của hàm y = arccot(x2)

A. d2y = |cos x|dx2.

C. d2y =4(3x2 − 1)

(1 + x4)2

dx2.

B. d2y =4(3x2 − 1)

(1 + x4)2

dx2.

D. d2y =4(3x2 − 1)

(1 + x4)2

dx2.

Câu 149. Tìm vi phân cấp hai của hàm số y = ln(1 − x2)

A. d2y =2(1 + x2)

(1 − x2)2dx2.

C. d2y =−2(1 + x2)

(1 − x2)2dx2.

B. d2y =−2(1 + x2)

(1 − x2)2dx2.

D. d2y =−2(1 + x2)

(1 − x2)2dx2.

Câu 150. Tìm vi phân cấp hai của hàm số y = ln(1 + 2x2)

A. d2y =4(1 − 2x2)

(1 + 2x2)2dx2.

C. d2y =4(1 + 6x2)

(1 + 2x2)2dx2 .

B. d2y =4(1 + 6x2)

(1 + 2x2)2dx2 .

D. d2y =4(1 + 6x2)

(1 + 2x2)2dx2 .

2.5 Đạo hàm hàm ẩn

Câu 151. Tìm đạo hàm y′= y

′(x) của hàm ẩn được cho bởi tan y = xy

A. y′= − y

1 − x + tg2y.

C. y′=

y

1 − x + tg2y.

B. y′=

y

1 − x + tg2y.

D. y′=

y

1 − x + tg2y.


′(x) của hàm ẩn được cho bởi y = x + arctan y

A. y′=

1 + y

y2.

C. y′= −1 + y2

y2.

B. y′= −1 + y2

y2.

D. y′= −1 + y2

y2.

2.6 Đạo hàm của hàm có chứa tham số Trang 17


′(x) của hàm ẩn được cho bởi arctan(x + y) = x

A. y′=

1

1 + (x + y)2.

C. y′=

1

(x + y)2.

B. y′=

1

(x + y)2.

D. y′=

1

(x + y)2.


′(x) của hàm ẩn được cho bởi y = 1 + xey

A. y′= (x + 1)ey.

C. y′= ey.

B. y′= ey.

D. y′= ey.


′(x) của hàm ẩn được cho bởi ln y +

x

y= 1

A. y′= −1.

C. y′=

y

y + x.

B. y′=

y

y + x.

D. y′=

y

y + x.

Câu 156. Tìm đạo hàm y′(0) của hàm ẩn được cho bởi x3 + ln y − x2ey = 0

A. y′(0) = 0. B. y

′(0) = 1. C. y

′(0) = 2. D. y

′(0) = 3.

Câu 157. Tìm đạo hàm y′(0) của hàm ẩn được cho bởi ey − xy = e

A. y′(0) = e. B. y

′(0) = −e. C. y

′(0) = 1/e. D. y

′(0) = −1/e.

Câu 158. Tìm đạo hàm y′(0) của hàm ẩn được cho bởi x3 − xy − xey + y − 1 = 0

A. y′(0) = 0. B. y

′(0) = 1. C. y

′(0) = e. D. y

′(0) = 1 + e.

Câu 159. Tìm đạo hàm y′(π/2) của hàm ẩn được cho bởi y cos x + sin x + ln y = 0

A. y′(π/2) = 1. B. y

′(π/2) = e. C. y

′(π/2) =

1/e2.D. y

′(π/2) = e2.

2.6 Đạo hàm của hàm có chứa tham số

Câu 160. Tính đạo hàm y′= y

′(x) của hàm số được cho bởi

{

x = sin t

y = cos2tvới t ∈ (0, π/2)

A. y′= 2 sin t. B. y

′= −2 sin t. C. y

′= sin 2t. D. y

′= − sin 2t.


′(x) của hàm số được cho bởi

{

x = ln(1 + t2)

y = 2t − 2 arctan t

A. y′=

2t2

1 + t2. B. y

′=

−2t2

1 + t2. C. y

′= t. D. y

′= −t .


′(x) tại x0 = π/4 của hàm số

{

x = arctan t

y = ln t

A. y′(π/4) = 1 .

C. y′(π/4) = 2.

B. y′(π/4) = 2.

D. y′(π/4) = 2.



′(x) tại x0 = π/3 của hàm số

x = arctan t

y =t2

2A. y

′(π/3) = 4

√3 .

C. y′(π/3) = 0.

B. y′(π/3) = 0.

D. y′(π/3) = 0.

Câu 164. Tìm đạo hàm y′(x) tại x0 = 2 của hàm số

{

x = 2et

y = t + t2

A. y′(1) = 1/2.

C. y′(1) = 1.

B. y′(1) = 1.

D. y′(1) = 1.

Câu 165. Tìm đạo hàm cấp hai y′′= y

′′(x) của hàm số

{

x = ln(1 + t2)


A. y′′=

4t

(1 + t2)2.

C. y′′= − 2t2

1 + t2.

B. y′′= − 2t2

1 + t2.

D. y′′= − 2t2

1 + t2.

Câu 166. Tìm đạo hàm cấp hai y′′(x) tại x0 = π/4 của hàm số

x = arctan t

y =t2

2A. y

′′(π/4) = 0.

C. y′′(π/4) = 1.

B. y′′(π/4) = 1.

D. y′′(π/4) = 1.


x = arctan t

y =t2

2A. y

′′(π/3) = −16/

√3.

C. y′′(π/3) = 8/3.

B. y′′(π/3) = 8/3.

D. y′′(π/3) = 8/3.

Câu 168. Tìm đạo hàm cấp hai y′′(x) tại x0 = 1 của hàm số

{

x = ln t

y = t3

A. y′′(1) = −6e3. B. y

′′(1) = 9e3. C. y

′′(1) = 6e. D. y

′′(1) = 6.


{

x = 2et

y = t + t2

A. y′′(2) = 1/4. B. y

′′(2) = 1/8. C. y

′′(2) = 1/2. D. y

′′(2) = 0.



{

x = sin t

y = cos2tvới t ∈ (0, π/2)

A. y′= −2. B. y

′= −2 cos t. C. y

′= 2 cos t. D. y

′= −2 cos 2t .



{

x = ln(1 + t2)


2.7 Tiếp tuyến Trang 19

A. y′′=

4t

(1 + t2)2. B. y

′′= − 2t2

1 + t2. C. y

′′=

1 + t2

2t. D. y

′′= −1 + t2

2t.


{

x = arctan t

y = ln t

A. y′′(π/4) = 0.

C. y′′(π/4) = 1.

B. y′′(π/4) = 1.

D. y′′(π/4) = 1.


x = arctan t

y =t2

2A. y

′′(π/3) = −16/

√3 .

C. y′′(π/3) = 8/3.

B. y′′(π/3) = 8/3.

D. y′′(π/3) = 8/3.


{

x = ln t

y = t3

A. y′′(1) = −6e3. B. y

′′(1) = 9e3. C. y

′′(1) = 6e. D. y

′′(1) = 6.


{

x = 2et

y = t + t2

A. y′′(1) = 1/4. B. y

′′(1) = 1/8. C. y

′′(1) = 1/2. D. y

′′(1) = 0.

2.7 Tiếp tuyến

Câu 176. Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f (x) tại điểm (x0; y0) nếu có là:A. y + y0 = f

′(x0)(x + x0).

C. y + y0 = f′(x0)(x − x0).

B. y + y0 = f′(x0)(x − x0).

D. y + y0 = f′(x0)(x − x0).

Câu 177. Tìm phương trình tiếp tuyến với đường cong y = 5ln x tại điểm có hoành độx = 1 là:

A. y = x ln 5 + 1.C. y = x ln 5 + ln 5.

B. y = x ln 5 + ln 5.D. y = x ln 5 + ln 5.

Câu 178. Tìm phương trình tiếp tuyến với đường cong y = arcsin

(

5

2− 2 cos x

)

tại điểm

có hoành độ x = 0 là:A. y = 2x − π

6. B. y = −π

6. C. y =

π

6. D. y = 2x +

π

6.

2.8 Đơn điệu, cực trị

Câu 179. Cho hàm số y = ln(x2 + 1). Khẳng định nào sau đây đúng?A. y tăng trên (−∞, 0), giảm trên (0,+∞) .B. y tăng trên (0,+∞), giảm trên (−∞, 0) .C. y luôn luôn tăng .D. y luôn luôn giảm .


Câu 180. Cho hàm số y = x2 + 1 + 2/x. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y tăng trên (−∞, 1), giảm trên (1,+∞) .B. y giảm trên (−∞, 1), tăng trên (1,+∞) .C. y tăng trên các khoảng (−∞, 0) và (0, 1); giảm trên (1,+∞) .D. y giảm trên các khoảng (−∞, 0) và (0, 1); tăng trên (1,+∞) .

Câu 181. Cho hàm số y =x2 + 1

(x − 1)2. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. y giảm trên (−∞,−1) và (1,+∞), tăng trên (−1, 1) .B. y tăng trên (−∞,−1), giảm trên (−1, 1) .C. y giảm trên (−∞, 1) .D. y tăng trên (−∞, 1) .

Câu 182. Cho hàm số y = xex. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y tăng trên (−∞, 0), giảm trên (0,+∞) .B. y tăng trên (0,+∞), giảm trên (−∞, 0) .C. y tăng trên (−1,−∞), giảm trên (−∞,−1) .D. y tăng trên (−∞,−1), giảm trên (−1,+∞) .

Câu 183. Cho hàm số y = x ln x − x. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y tăng trên (0,+∞) .B. y giảm trên (0,+∞) .C. y tăng trên (1,+∞) .D. y giảm trên (1,+∞) .

Câu 184. Cho hàm số y =1√

x2 − 2x. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. y tăng trên (−∞, 0), giảm trên (2,+∞) .B. y tăng trên (2,+∞), giảm trên (−∞, 0) .C. y tăng trên (1,+∞), giảm trên (−∞, 1) .D. y tăng trên (−∞, 1), giảm trên (1,+∞) .

Câu 185. Cho hàm số y = e√

x3−4. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y đạt cực tiểu tại x = 0 .B. y đạt cực đại tại x = 0 .C. y luôn luôn tăng .D. y tăng trên (2,+∞), giảm trên (−∞,−2) .

Câu 186. Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 3x + 1. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y luôn luôn tăng .B. y luôn luôn giảm .C. y tăng trên (−∞, 1), giảm trên (1,+∞) .D. y tăng trên (1,+∞), giảm trên (−∞, 1) .

Câu 187. Cho hàm số y = x2 + 1 + 16/x. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y tăng trên (−∞, 2), giảm trên (2,+∞) .B. y giảm trên (−∞, 2), tăng trên (2,+∞) .C. y tăng trên các khoảng (−∞, 0), và (0, 2); giảm trên (2,+∞) .D. y giảm trên các khoảng (−∞, 0), và (0, 2); tăng trên (2,+∞) .

2.8 Đơn điệu, cực trị Trang 21

Câu 188. Cho hàm số y =3x

2x2 − 2. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. y giảm trên (−1, 1), tăng trên (−∞,−1)v(1,+∞) .B. y tăng trên (−1, 1), giảm trên (−∞,−1) và (1,+∞) .C. y giảm trên (−∞,−1), (−1, 1) và (1,+∞) .D. y giảm trên R \ ±{1} .

Câu 189. Cho hàm số y =√

x2 − 4x + 3. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y tăng trên (2,+∞), giảm trên (−∞, 2) .B. y tăng trên (−∞, 2), giảm trên (2,+∞) .C. y tăng trên (−∞, 1), giảm trên (3,+∞) .D. y tăng trên (3,+∞), giảm trên (−∞, 1) .

Câu 190. Cho hàm số y =1√

x2 − 4x + 3. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. y tăng trên (2,+∞), giảm trên (−∞, 2) .B. y tăng trên (−∞, 2), giảm trên (2,+∞) .C. y tăng trên (−∞, 1), giảm trên (3,+∞) .D. y tăng trên (3,+∞), giảm trên (−∞, 1) .

Câu 191. Cho hàm số y = ln(2x2 − 8). Khẳng định nào sau đây đúng?A. y tăng trên (0,+∞), giảm trên (−∞, 0) .B. y tăng trên (2,+∞), giảm trên (−∞, 2) .C. y tăng trên (2,+∞), giảm trên (−∞,−2) .D. y đạt cực tiểu tại x = 0 .

Câu 192. Cho hàm số y = xex2−3x+2. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y giảm trên (−∞, 1/2) và (1,+∞), tăng trên (1/2, 1) .B. y tăng trên (−∞, 1/2) và giảm trên (1/2,+∞) .C. y đạt cực đại tại x = 1/2 và đạt cực tiểu tại x = 1 .D. y đạt cực đại tại x = 1 và tại x = 1/2 .

Câu 193. Cho hàm số y =√−x2 + 4x − 3. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. y giảm trên (−∞, 2), tăng trên (2,+∞) .B. y tăng trên (−∞, 2), giảm trên (2,+∞) .C. y giảm trên (1, 2), tăng trên (2, 3) .D. y tăng trên (1, 2), giảm trên (2, 3) .

Câu 194. Cho hàm số y = x(1 − 2√

x). Khẳng định nào sau đây đúng?A. y giảm trên (0, 1/9), tăng trên (1/9,+∞) .B. y tăng trên (0, 1/9), giảm trên (1/9,+∞) .C. y giảm trên (−∞, 1/9), tăng trên (1/9,+∞) .D. y tăng trên (−∞, 1/9), giảm trên (1/9,+∞) .

Câu 195. Cho hàm số y = ln(x2 − 1). Khẳng định nào sau đây đúng?A. y tăng trên (0,+∞), giảm trên (−∞, 0) .B. y tăng trên (1,+∞), giảm trên (−∞, 1) .C. y tăng trên (1,+∞), giảm trên (−∞,−1) .D. y đạt cực tiểu tại x = 0 .


Câu 196. Cho hàm số y = x2/2 − x − 6 ln |x|. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y tăng trên (−∞,−2), (3,+∞); giảm trên (−2, 3) .B. y tăng trên (−2, 0), (3,+∞); giảm trên (−∞,−2), (0, 3) .C. y có 3 cực trị .D. Các khẳng định trên đều sai .

Câu 197. Cho hàm số y = ln |x| − 2 arctan x. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y giảm trên R .C. y tăng trênR \ {0} .

B. y tăng trênR \ {0} .D. y tăng trênR \ {0} .

Câu 198. Cho hàm số y = ln x − 2 arctan x. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y tăng trên R .B. y giảm trên R .C. y tăng trên (1,+∞), giảm trên (0, 1) .D. y tăng trên (0,+∞) .

Câu 199. Cho hàm số y =√

1 − x2 − arcsin x. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y luôn luôn tăng .B. y luôn luôn giảm .C. y tăng trên (−∞,−1), giảm trên (−1,+∞) .D. Đồ thị của y có các tiệm cận y = ±π/2 .

Câu 200. Cho hàm số y = x ln x − x. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y tăng trên (0,+∞) .C. y giảm trên (0,+∞) .

B. y giảm trên (0,+∞) .D. y giảm trên (0,+∞) .

Câu 201. Tìm cực trị địa phương của y = y(x) có phương trình ẩn ln x − x ln y = 0

A. y có điểm cực đại(

1

e; e−

1e

)

và không có cực tiểu .

B. y không có cực trị .

C. y có điểm cực tiểu(

1

e; e−

1e

)

và không có cực đại .

D. y có điểm cực đại (e; ee) và không có cực tiểu tại(

1

e; e−

1e

)

.

Câu 202. Cho hàm số y = x ln x. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y đạt cực tiểu tại x = 1/e .C. y đạt cực đại tại x = e .

B. y đạt cực đại tại x = e .D. y đạt cực đại tại x = e .

Câu 203. Cho hàm số y = arctan x − ln(1 + x2). Khẳng định nào sau đây đúng?A. y đạt cực đại tại x = 1/2 .C. y đạt cực tiểu tại x = 1 .

B. y đạt cực tiểu tại x = 1 .D. y đạt cực tiểu tại x = 1 .

Câu 204. Cho hàm số y = arctan 2x − ln(1 + 4x2). Khẳng định nào sau đây đúng?A. y đạt cực đại tại x = 1/8 .C. y đạt cực tiểu tại x = 1/8 .

B. y đạt cực tiểu tại x = 1/8 .D. y đạt cực tiểu tại x = 1/8 .

Câu 205. Cho hàm số y = 2x.e−x2+x + 3. Khẳng định nào sau đây đúng?

2.9 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Trang 23

A. y đạt cực đại tại x = −1/2 và x = 1 .B. y đạt cực tiểu tại x = −1/2 và x = 1 .C. y đạt cực đại tại x = −1/2 và đạt cực tiểu tại x = 1 .D. y đạt cực tiểu tại x = −1/2 và đạt cực đại tại x = 1 .

Câu 206. Cho hàm số y = 2 ln(1 + 4x2)− arctan 2x. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y đạt cực đại tại x = 1/8 .C. y đạt cực tiểu tại x = 1/8 .

B. y đạt cực tiểu tại x = 1/8 .D. y đạt cực tiểu tại x = 1/8 .

Câu 207. Cho hàm số y = ln(1 + 9x2) + 6 arctan 3x. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y đạt cực đại tại x = 1 .C. y đạt cực tiểu tại x = 1 .

B. y đạt cực tiểu tại x = 1 .D. y đạt cực tiểu tại x = 1 .

Câu 208. Cho hàm số y = 3x − 2sin2x. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y luôn luôn giảm .C. y đạt cực tiểu tại x = 3π/2 .

B. y đạt cực tiểu tại x = 3π/2 .D. y đạt cực tiểu tại x = 3π/2 .

2.9 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Câu 209. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = −x ln x trên [1, e]A. M = 0 .C. M = −e .

B. M = −e .D. M = −e .

Câu 210. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của y = e6+4x−2x2trên [0, 3]

A. M = e8, m = 1 .C. M = e6, m = 1 .

B. M = e6, m = 1 .D. M = e6, m = 1 .

Câu 211. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của y =√

1 − x2

A. M = 1, không có giá trị nhỏ nhất .C. m = 0, không có giá trị lớn nhất .

B. m = 0, không có giá trị lớn nhất .D. m = 0, không có giá trị lớn nhất .

Câu 212. Cho hàm số y = 1/√

x2 + 4. Khẳng định nào sau đây đúng?A. y có giá trị lớn nhất là M = 1/2, không có giá trị nhỏ nhất .B. y có giá trị nhỏ nhất là m = 0, không có giá trị lớn nhất .C. y có giá trị lớn nhất là M = 1/2 và có giá trị lớn nhất m = 0 .D. Các khẳng định trên đều sai .

Câu 213. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của y = ln(x2 − 6x + 8) trên [−2, 0]A. M = 24, m = 8 .B. M = ln 24, m = ln 8 .C. Không tồn tại các giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m .D. Các khẳng định trên đều sai.

Câu 214. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của y =√

x − 1 − x/2 trên [1, 10]A. M = −1/2, m = −2 .C. M = 0, m = −2 .

B. M = 0, m = −2 .D. M = 0, m = −2 .

Câu 215. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của y = ln(x2 + 1) trên [−1, 2]A. M = ln 5, m = 0 .C. M = ln 5, m = ln 2 .

B. M = ln 5, m = ln 2 .D. M = ln 5, m = ln 2 .



x2 − 4x + 3 trên [−2,−1]

A. M =√

15, m =√

8 .C. M =

√15, m = 1 .

B. M =√

15, m = 1 .D. M =

√15, m = 1 .


x − 1 − x/4 trên [1, 4]

A. M =√

3 − 1, m = −1/4 .C. M = 3/4, m = −1/4 .

B. M = 3/4, m = −1/4 .D. M = 3/4, m = −1/4 .

Câu 218. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của y = e√

x2+4 trên [−√

5,√

21]A. M = e5, m = e3 .C. M = e5, m = e2 .

B. M = e5, m = e2 .D. M = e5, m = e2 .

Câu 219. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của y = x4 + 4x + 3 trên [-2, 0]A. M = 11, m = 0 .C. M = 3, m = 0 .

B. M = 3, m = 0 .D. M = 3, m = 0 .

2.10 Khai triển Maclaurin

Câu 220. Cho f (x) = sin3x. Tìm f (5)(0)

A. f (5)(0) = −60

.B. f (5)(0) = 60 . C. f (5)(0) = 0 . D. f (5)(0) = 1 .

Câu 221. Viết triển khai Maclaurin của hàm số

{

x = ln t

y = t3đến số hạng x3

A. y = 1 + 3x +9x2

2+

x3

6+ 0(x3).

C. y = 1 + 3x +9x2

2− x3

6+ 0(x3).

B. y = 1 + 3x +9x2

2− x3

6+ 0(x3).

D. y = 1 + 3x +9x2

2− x3

6+ 0(x3).

Câu 222. Viết triển khai Maclaurin của hàm số y = y(x) cho bởi phương trình có dạng

hàm ẩn ln y +x

y= 1 đến số hạng x3

A. 1 − x − x2

2− 2x3

3+ 0(x3) .

C. 1 − x − x2

2+

2x3

3+ 0(x3).

B. 1 − x − x2

2+

2x3

3+ 0(x3).

D. 1 − x − x2

2+

2x3

3+ 0(x3).

Câu 223. Viết triển khai Maclaurin của hàm số y = esin x đến số hạng x3

A. 1 + x +x2

2+ 0(x3) .

C. 1 + x +x2

2+

x3

6+ 0(x3) .

B. 1 + x +x2

2+

x3

6+ 0(x3) .

D. 1 + x +x2

2+

x3

6+ 0(x3) .

Câu 224. Viết triển khai Maclaurin của hàm số y = 2x đến số hạng x3

2.10 Khai triển Maclaurin Trang 25

A. 1 − x ln 2 +(x ln 2)2

2!+

(x ln 2)3

3!+ 0(x3) .

B. 1 − x ln 2 +x2 ln 2

2!+

x3 ln 2

3!+ 0(x3) .

C. 1 + x ln 2 +x2 ln 2

2!+

x3 ln 2

3!+ 0(x3) .

D. 1 + x ln 2 +(x ln 2)2

2!+

(x ln 2)3

3!+ 0(x3) .

Câu 225. Viết triển khai Maclaurin của hàm số y = sin(tan x) đến số hạng x3

A. x− x3

6+ 0(x3)

.B. x +

x3

6+ 0(x3)

.C. x − x3

2+ 0(x3)

.D. x +

x3

2+ 0(x3)

.

Câu 226. Viết triển khai Maclaurin của hàm số y = arctan(sin x) đến số hạng x3

A. x− x3

2+ 0(x3)

.B. x +

x3

2+ 0(x3)

.C. x +

x3

3+ 0(x3)

.D. x − x3

3+ 0(x3)

.

Câu 227. Viết triển khai Maclaurin của hàm số y = cos(sin x) đến số hạng x4

A. x − x2

2!+

1

4!x4 + 0(x4) .

C. x − x2

2!+

5

4!x4 + 0(x4) .

B. x − x2

2!+

5

4!x4 + 0(x4) .

D. x − x2

2!+

5

4!x4 + 0(x4) .

Câu 228. Viết triển khai Maclaurin của hàm số y = tan(sin x) đến số hạng x3

A. x− x3

3+ 0(x3)

.B. x +

x3

3+ 0(x3)

.C. x − x3

6+ 0(x3)

.D. x +

x3

6+ 0(x3)

.

Câu 229. Viết triển khai Maclaurin của hàm số y =1

1 − sin xđến số hạng x3

A. 1 + x + x2 +1

6x3 + 0(x3) .

C. 1 + x + x2 − 1

6x3 + 0(x3) .

B. 1 + x + x2 − 1

6x3 + 0(x3) .

D. 1 + x + x2 − 1

6x3 + 0(x3) .

Câu 230. Viết triển khai Maclaurin của hàm số y =1

1 + tan xđến số hạng x3

A. 1 − x +1

2x2 + x3 + 0(x3) .

C. 1 − x − 1

2x2 + x3 + 0(x3) .

B. 1 − x − 1

2x2 + x3 + 0(x3) .

D. 1 − x − 1

2x2 + x3 + 0(x3) .

Câu 231. Viết triển khai Maclaurin của hàm số y = ln(1 − x2) đến số hạng x6

A. x2 +x4

2+

x6

3+ 0(x6) .

C. −x2 − x4

2− x6

3+ 0(x6) .

B. −x2 − x4

2− x6

3+ 0(x6) .

D. −x2 − x4

2− x6

3+ 0(x6) .

Câu 232. Viết triển khai Maclaurin của hàm số y = ln(cos x) đến số hạng x4


A. −x2

2− x4

12+ 0(x5) .

C.x2

2+

x4

12+ 0(x5) .

B.x2

2+

x4

12+ 0(x5) .

D.x2

2+

x4

12+ 0(x5) .

Câu 233. Viết triển khai Maclaurin của hàm số arctan(1 − cos x) đến số hạng x4

A. x +x3

3+ 0(x4) .

C. x − x3

3+ 0(x4) .

B. x − x3

3+ 0(x4) .

D. x − x3

3+ 0(x4) .

Câu 234. Viết triển khai Maclaurin của hàm số x sin 2x + x2 cos 3x đến số hạng x4

A. 3x2 − 35

24x4 + O(x4) .

C. 3x2 − 5

6x4 + O(x4) .

B. 3x2 − 5

6x4 + O(x4) .

D. 3x2 − 5

6x4 + O(x4) .

Chương 3

Tích phân

Mục lục chương 33.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Đạo hàm của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Tích phân suy rộng loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5 Tích phân suy rộng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6 Ứng dụng tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1 Tích phân bất định

Câu 235. Công thức tích phân nào sau đây đúng?

A.∫

sin xdx = cos x + C .

C.∫

dx

x2 + 1= arccos x + C .

B.∫

dx


D.∫

dx


Câu 236. Tính tích phân I =∫

tan xdx

A. I = ln | cos x|+ C .C. I = − ln | cos x|+ C .

B. I = − ln | cos x|+ C .D. I = − ln | cos x|+ C .

Câu 237. Tính tích phân I = 4

∫

dx

1 − x2

A. I = 2 ln

∣

∣

∣

∣

1 + x

1 − x

∣

∣

∣

∣

+ C .

C. I = 4 lny

x+ C .

B. I = 4 lny

x+ C .

D. I = 4 lny

x+ C .


dx

x2 − 4x + 4

A. I = ln |x − 2|+ C .

C. I =1

x − 2+ C .

B. I =1

x − 2+ C .

D. I =1

x − 2+ C .

Trang 28 Chương 3. Tích phân


dx

x2 − 3x + 2

A. I = ln

∣

∣

∣

∣

x − 1

x − 2

∣

∣

∣

∣

+ C .

C. I = ln

∣

∣

∣

∣

x − 2

x − 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

B. I = ln

∣

∣

∣

∣

x − 2

x − 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

D. I = ln

∣

∣

∣

∣

x − 2

x − 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

Câu 240. .Tính tích phân I =∫

dx√x(x + 1)

A. I = arctan√

x + C .C. I = 2 arctan

√x + C .

B. I = 2 arctan√

x + C .D. I = 2 arctan

√x + C .


∫

cos2xdx

A. I = 2x − sin x + C .C. I = 2x + sin x + C .

B. I = 2x + sin x + C .D. I = 2x + sin x + C .


∫

xdx

ex

A. I =e−2x

2+ C .

C. I = (x + 1)e−x + C .

B. I = (x + 1)e−x + C .D. I = (x + 1)e−x + C .


∫

sin2x. cos x.dx

A. I = sin3x + C .C. I = −sin3x + C .

B. I = −sin3x + C .D. I = −sin3x + C .


∫

sin3dx

A. I = 3 cos x + cos3x + C .C. I = −3 cos x + cos3x + C .

B. I = −3 cos x + cos3x + C .D. I = −3 cos x + cos3x + C .


sin x

cos3xdx

A. I = −tan2x + C .

C. I =−1

2cos2x+ C .

B. I =−1

2cos2x+ C .

D. I =−1

2cos2x+ C .


sin x√cos2x + 4

dx

A. I = ln(cos x + 4 +√

cos2x + 4) + C .C. I = ln(cos x + 2 +

√cos2x + 4) + C .

B. I = ln(cos x + 2 +√

cos2x + 4) + C .D. I = ln(cos x + 2 +

√cos2x + 4) + C .


sin(ln x)

xdx

A. I = cos(ln x) + C .C. I = − cos(ln x) + C .

B. I = − cos(ln x) + C .D. I = − cos(ln x) + C .


e√

x

√x

dx

3.1 Tích phân bất định Trang 29

A. I =√

xe√

x + C .

C. I = −π sin(x − 1)

cos(πx

2)

e√

x + C .

B. I = −π sin(x − 1)

cos(πx

2)

e√

x + C .

D. I = −π sin(x − 1)

cos(πx

2)

e√

x + C .


(x cos x + sin x + 2x)dx

A. I = x cos x − sin x + x2 + C .C. I = −x sin x − cos x + x2 + C .

B. I = −x sin x − cos x + x2 + C .D. I = −x sin x − cos x + x2 + C .


sin 2x

sin2x + 1dx

A. I = ln

∣

∣

∣

∣

sin x − 1

sin x + 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

C. I = ln

∣

∣

∣

∣

sin x + 1

sin x − 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

B. I = ln

∣

∣

∣

∣

sin x + 1

sin x − 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

D. I = ln

∣

∣

∣

∣

sin x + 1

sin x − 1

∣

∣

∣

∣

+ C .


ex

cos2x(ex)dx

A. I = extan(ex) + C .C. I = 2ex tan(ex) + C .

B. I = 2ex tan(ex) + C .D. I = 2ex tan(ex) + C .


2dx√x2 + 4x + 5

A. I = arctan(x + 2) + C .C. I = 2 arcsin(x + 2) + C .

B. I = 2 arcsin(x + 2) + C .D. I = 2 arcsin(x + 2) + C .


2dx

x2 − 6x + 8A. I = ln |x − 4| − ln |x − 2|+ C .C. I = ln |(x − 4)(x − 2)|+ C .

B. I = ln |(x − 4)(x − 2)|+ C .D. I = ln |(x − 4)(x − 2)|+ C .


(

2 − 3cot2x)

dx

A. I = 2x − 3 cot x + C .C. I = 3 cot x + 5x + C .

B. I = 3 cot x + 5x + C .D. I = 3 cot x + 5x + C .


3(ln x − 1)2

xdx

A. I = 3(ln x − 1)3 + C .C. I = (ln x − 1)3 + C .

B. I = (ln x − 1)3 + C .D. I = (ln x − 1)3 + C .

Câu 256. .Tính tích phân I =∫

6 sin 2x

9 − cos2xdx

A. I = ln

∣

∣

∣

∣

cos x + 3

cos x − 3

∣

∣

∣

∣

+ C .

C. I = ln

∣

∣

∣

∣

cos x − 3

cos x + 3

∣

∣

∣

∣

+ C .

B. I = ln

∣

∣

∣

∣

cos x − 3

cos x + 3

∣

∣

∣

∣

+ C .

D. I = ln

∣

∣

∣

∣

cos x − 3

cos x + 3

∣

∣

∣

∣

+ C .



2xdx

sin2(x2)A. I = x2 cot(x2) + C .C. I = −x2 cot(x2) + C .

B. I = −x2 cot(x2) + C .D. I = −x2 cot(x2) + C .


2exdx√2 + 2ex + e2x

A. I = 2 ln(ex+ 1+√

2 + 2ex + e2x)+C.C. I =

√2 + 2ex + e2x + C .

B. I =√

2 + 2ex + e2x + C .D. I =

√2 + 2ex + e2x + C .


exdx

ex − 2A. I = ln |ex − 2|+ C .C. I = 2 ln |ex − 2|+ C .

B. I = 2 ln |ex − 2|+ C .D. I = 2 ln |ex − 2|+ C .


1 + tan2x√2 + tan2x

dx

A. I =√

2 + tan2x + C .C. I = ln |2 + tan2x|+ C .

B. I = ln |2 + tan2x|+ C .D. I = ln |2 + tan2x|+ C .


∫

(x + 3x2)dx

2x3 + x2 + 1A. I = ln |2x3 + x2 + 1|+ C .C. I = 2 ln |2x3 + x2 + 1|+ C .

B. I = 2 ln |2x3 + x2 + 1|+ C .D. I = 2 ln |2x3 + x2 + 1|+ C .


dx

x(1 + ln x)2

A. I = − 1

1 + ln x+ C .

C. I = − ln | ln x +√

1 + ln2x|+ C .

B. I = − ln | ln x +√

1 + ln2x|+ C .D. I = − ln | ln x +

√

1 + ln2x|+ C .


sin 2xdx√

4 − sin2x

A. I = −2√

4 − sin2x + C .C. I = 2 ln | sin x +

√

4 − sin2x|+ C .B. I = 2 ln | sin x +

√

4 − sin2x|+ C .D. I = 2 ln | sin x +

√

4 − sin2x|+ C .


exdx√1 + e2x

A. I = ln(ex +√

1 + e2x) + C .C. I = arctan(ex) + C .

B. I = arctan(ex) + C .D. I = arctan(ex) + C .


ex(

1 + cot2(ex))

dx

A. I = −2 ln | cos(ex)|+ C .C. I = 2 ln | sin(ex)|+ C .

B. I = 2 ln | sin(ex)|+ C .D. I = 2 ln | sin(ex)|+ C .


dx

(1 + x2)arccot2xA. I = −1/ arccot x + C .C. I = 1/ arccot x + C .

B. I = 1/ arccot x + C .D. I = 1/ arccot x + C .



1 + tan2x

5 + tan xdx

A. I = ln | tan x + 5|+ C .

C. I =1

tan x + 5+ C .

B. I =1

tan x + 5+ C .

D. I =1

tan x + 5+ C .


1 + ln 2x

xdx

A. I = (ln 2x + 1)2 + C .

C. I =(ln 2x + 1)2

2+ C .

B. I =(ln 2x + 1)2

2+ C .

D. I =(ln 2x + 1)2

2+ C .


(2x − 1) ex2−x+3dx

A. I = ex2−x+3 + C .C. I = −ex2−x+3 + C .

B. I = −ex2−x+3 + C .D. I = −ex2−x+3 + C .


dx√1 − x2. arcsin x

A. I = ln | arcsin x|+ C .C. I = 2

√1 − x2 + C .

B. I = 2√

1 − x2 + C .D. I = 2

√1 − x2 + C .


5dx√1 − 25x2

A. I = ln |1 +√

1 − 25x2|+ C .C. I = arcsin(5x) + C .

B. I = arcsin(5x) + C .D. I = arcsin(5x) + C .


4x3dx√1 − x8

A. I = 2√

1 − x8 + C .C. I = ln(x4 −

√1 − x8) + C .

B. I = ln(x4 −√

1 − x8) + C .D. I = ln(x4 −

√1 − x8) + C .


ln 4xdx

x

A. I = − ln2x

2+ C .

C. I = − ln24x

2+ C .

B. I = − ln24x

2+ C .

D. I = − ln24x

2+ C .


dx√x(x − 1)

A. I = ln

∣

∣

∣

∣

√x + 1√x − 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

C. I = ln

∣

∣

∣

∣

√x − 1√x + 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

B. I = ln

∣

∣

∣

∣

√x − 1√x + 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

D. I = ln

∣

∣

∣

∣

√x − 1√x + 1

∣

∣

∣

∣

+ C .



dx√xsin2

(√x)

A. I = −2 ln | sin√

x|+ C .C. I = 2 ln | sin

√x|+ C .

B. I = 2 ln | sin√

x|+ C .D. I = 2 ln | sin

√x|+ C .


sin 2xdx

1 + sin4x

A. I = ln(1 + sin4x) + C .C. I = ln |sin2x +

√

1 + sin4x|+ C .B. I = ln |sin2x +

√

1 + sin4x|+ C .D. I = ln |sin2x +

√

1 + sin4x|+ C .


2 ln x − 1

xdx

A. I = ln2x − ln x + C .

C. I = ln2x − 2 ln x + C .B. I = ln

2x − 2 ln x + C .D. I = ln2x − 2 ln x + C .


dx

x√

ln xA. I = 2 ln(

√x) + C .

C. I = 2√

ln x + C .B. I = 2

√ln x + C .

D. I = 2√

ln x + C .


dx

x√

1 + ln2x

A. I = ln(ln x +√

1 + ln2x) + C .C. I = arcsin(ln x) + C .

B. I = arcsin(ln x) + C .D. I = arcsin(ln x) + C .


sin 2xdx

1 + cos2x

A. I =1

1 + cos2x+ C .

C. I = − ln x(1 + cos2x) + C .

B. I = − ln x(1 + cos2x) + C .D. I = − ln x(1 + cos2x) + C .


ex

√e2x + 1

dx

A. I = ln(ex +√

e2x + 1) + C .

C. I = ln

∣

∣

∣

∣

ex − 1

ex + 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

B. I = ln

∣

∣

∣

∣

ex − 1

ex + 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

D. I = ln

∣

∣

∣

∣

ex − 1

ex + 1

∣

∣

∣

∣

+ C .


sin x

1 + cos2xdx

A. I =− cos x

sin2x + sin x+ C .

C. I = arcsin

(

1 + cos x

2

)

+ C .

B. I = arcsin

(

1 + cos x

2

)

+ C .

D. I = arcsin

(

1 + cos x

2

)

+ C .


cos x.esin x+1dx

A. I = sin x.esin x+1 + C .C. I = cos x.esin x+1 + C .

B. I = cos x.esin x+1 + C .D. I = cos x.esin x+1 + C .



x3√

ex2dx

A. I = 33√

ex2 + C .C. I = −3

3√

ex2 + C .B. I = −3

3√

ex2 + C .D. I = −3

3√

ex2 + C .


2x arctan xdx

A. I = (x2 + 1) arctan x + x + C .C. I = (x2 + 1) arctan x − x + C .

B. I = (x2 + 1) arctan x − x + C .D. I = (x2 + 1) arctan x − x + C .


lne

xdx

A. I = x ln x − x + C .C. I = 2x − x ln x + C .

B. I = 2x − x ln x + C .D. I = 2x − x ln x + C .


x sin xdx

A. I = x cos x − sin x + C .C. I = −x cos x + sin x + C .

B. I = −x cos x + sin x + C .D. I = −x cos x + sin x + C .


xexdx

A. I = ex − x + C .C. I = ex + x + C .

B. I = ex + x + C .D. I = ex + x + C .


dx√x (1 + x)

A. I = ln

∣

∣

∣

∣

√x + 1√x − 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

C. I = ln

∣

∣

∣

∣

√x − 1√x + 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

B. I = ln

∣

∣

∣

∣

√x − 1√x + 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

D. I = ln

∣

∣

∣

∣

√x − 1√x + 1

∣

∣

∣

∣

+ C .


2 tan(ln x)

xdx

A. I = −2 ln | cos(ln x)|+ C .C. I = 2 ln | cos(ln x)|+ C .

B. I = 2 ln | cos(ln x)|+ C .D. I = 2 ln | cos(ln x)|+ C .


dx√x(√

x − 2)dx

A. I = ln |√x − 2|+ C .C. I = 2 ln |√x − 2|+ C .

B. I = 2 ln |√x − 2|+ C .D. I = 2 ln |√x − 2|+ C .


1 + tan2x√1 − tan2x

dx

A. I =√

1 − tan2x + C .C. I = ln |1 − tan2x|+ C .

B. I = ln |1 − tan2x|+ C .D. I = ln |1 − tan2x|+ C .


(x + 3x2)√2x3 + x2 + 1

dx

A. I = ln |2x3 + x2 + 1|+ C .C. I = 2 ln |2x3 + x2 + 1|+ C .

B. I = 2 ln |2x3 + x2 + 1|+ C .D. I = 2 ln |2x3 + x2 + 1|+ C .



sin 2x√cos4x + 1

dx

A. I =√

cos4x + 1 + C .C. I = − ln |cos2x +

√cos4x + 1|+ C .

B. I = − ln |cos2x +√

cos4x + 1|+ C .D. I = − ln |cos2x +

√cos4x + 1|+ C .


ln x

x2dx

A. I = − ln x − 1

x+ C.

C. I =ln x − 1

x+ C .

B. I =ln x − 1

x+ C .

D. I =ln x − 1

x+ C .


x

cos2xdx

A. I = x tan x − ln | cos x|+ C .C. I = tan x + ln | cos x|+ C .

B. I = tan x + ln | cos x|+ C .D. I = tan x + ln | cos x|+ C .


dx√x(1 − x)

A. I = ln

∣

∣

∣

∣

√x + 1√x − 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

C. I = ln

∣

∣

∣

∣

√x − 1√x + 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

B. I = ln

∣

∣

∣

∣

√x − 1√x + 1

∣

∣

∣

∣

+ C .

D. I = ln

∣

∣

∣

∣

√x − 1√x + 1

∣

∣

∣

∣

+ C .


cot(√

x)√x

dx

A. I = −2 ln | sin√

x|+ C .C. I = 2 ln | sin

√x|+ C .

B. I = 2 ln | sin√

x|+ C .D. I = 2 ln | sin

√x|+ C .


sin 2x√

1 − sin4xdx

A. I =√

1 − sin4x + C .C. I = ln | sin 2x +

√

1 − sin4x|+ C .B. I = ln | sin 2x +

√

1 − sin4x|+ C .D. I = ln | sin 2x +

√

1 − sin4x|+ C .


ln(√

x)√x

dx

A. I = ln(√

x) + C .C. I = 2 ln(

√x) + C .

B. I = 2 ln(√

x) + C .D. I = 2 ln(

√x) + C .

Câu 301. Tính tích phân I =∫ − sin x√

cos2x + 4dx

A. I = − ln(cos x +√

cos2x + 4) + C .C. I = ln(cos x −

√cos2x + 4) + C .

B. I = ln(cos x −√

cos2x + 4) + C .D. I = ln(cos x −

√cos2x + 4) + C .


8cot4xdx

A. I = −cot3x + 3 cot x + 3x + C .C. I = cot3x + 3 cot x + 3x + C .

B. I = cot3x + 3 cot x + 3x + C .D. I = cot3x + 3 cot x + 3x + C .



ln x

2√

xdx

A. I =√

x(ln x + 2) + C .C. I =

√x(ln x − 2) + C .

B. I =√

x(ln x − 2) + C .D. I =

√x(ln x − 2) + C .


ex

√e2x + 4

dx

A. I = ln(ex +√

e2x + 4) + C .C. I = ex +

√e2x + 4 + C .

B. I = ex +√

e2x + 4 + C .D. I = ex +

√e2x + 4 + C .


(3x2 − 1) ln(x3 − x)dx

A. I = (x3 − x).(ln(x3 − x)− 1) + C .C. I = ln2(x3 − x) + C .

B. I = ln2(x3 − x) + C .D. I = ln2(x3 − x) + C .


4(tan x + 1)3

cos2xdx

A. I = (tan x + 1)4 + C .C. I = 12(tan x + x) + C .

B. I = 12(tan x + x) + C .D. I = 12(tan x + x) + C .


2

cos2x√

tan x + 3dx

A. I = 2√

tan x + 3 + C .C. I = 4

√tan x + 3 + C .

B. I = 4√

tan x + 3 + C .D. I = 4

√tan x + 3 + C .


4

sin2x − 4dx

A. I = 4 ln

∣

∣

∣

∣

sin x − 1

sin x − 3

∣

∣

∣

∣

+ C .

C. I = ln

∣

∣

∣

∣

sin x − 2

sin x + 2

∣

∣

∣

∣

+ C .

B. I = ln

∣

∣

∣

∣

sin x − 2

sin x + 2

∣

∣

∣

∣

+ C .

D. I = ln

∣

∣

∣

∣

sin x − 2

sin x + 2

∣

∣

∣

∣

+ C .


(1 + tan2√

x)√x

dx

A. I =√

x tan√

x + C .C. I = 2

√x tan

√x + C .

B. I = 2√

x tan√

x + C .D. I = 2

√x tan

√x + C .


2ex

√3 + 2ex − e2x

dx

A. I = 2 ln |ex − 1+√

3 − 2ex + e2x|+C.C. I = 2

√3 − 2ex + e2x + C .

B. I = 2√

3 − 2ex + e2x + C .D. I = 2

√3 − 2ex + e2x + C .


16x3 ln xdx

A. I = 4x4 ln x − x4 + C .C. I = 4x4 ln x + x4 + C .

B. I = 4x4 ln x + x4 + C .D. I = 4x4 ln x + x4 + C .


sin x. cos x.esin xdx

A. I = (sin x + 1)esinx + C .C. I = sin 2xesinx/2 + C .

B. I = sin 2xesinx/2 + C .D. I = sin 2xesinx/2 + C .



3x2 ln xdx

A. I = ln3x + x3 + C .

C. I = x3/3 + C .B. I = x3/3 + C .D. I = x3/3 + C .


x cos 2xdx

A. I = 2x sin 2x − 2 cos 2x + C .C. I = 2x sin 2x + 2 cos 2x + C .

B. I = 2x sin 2x + 2 cos 2x + C .D. I = 2x sin 2x + 2 cos 2x + C .


4x ln 2xdx

A. I = −2x2 ln 2x − x2 + C .C. I = −2x2 ln 2x + x2 + C .

B. I = −2x2 ln 2x + x2 + C .D. I = −2x2 ln 2x + x2 + C .


9x2 ln xdx

A. I = x3(3 ln x − 1) + C .C. I = (x3 + x2) ln x + C .

B. I = (x3 + x2) ln x + C .D. I = (x3 + x2) ln x + C .


2 ln x(2x + 1)dx

A. I = (2x + 1) ln(2x + 1) + 2x + C .C. I = (2x + 1) ln(2x + 1)− 2x + C .

B. I = (2x + 1) ln(2x + 1)− 2x + C .D. I = (2x + 1) ln(2x + 1)− 2x + C .


∫

x sin 2xdx

A. I = 2x cos 2x − 2 sin 2x + C .C. I = −2x cos 2x + sin 2x + C .

B. I = −2x cos 2x + sin 2x + C .D. I = −2x cos 2x + sin 2x + C .


ln x

x2dx

A. I =ln 2x + 1

x+ C .

C. I =ln 2x − 1

x+ C .

B. I =ln 2x − 1

x+ C .

D. I =ln 2x − 1

x+ C .


ln x

x3dx

A. I = −2 ln x − 1

4x2+ C .

C. I = −2 ln x + 1

x2+ C .

B. I = −2 ln x + 1

x2+ C .

D. I = −2 ln x + 1

x2+ C .

3.2 Đạo hàm của tích phân

Câu 321. Cho F(x) =∫ 2

2x3x2t2dt. Tính F

′(x)

A. 27x9 − 8x6 + 9x10 − 16x7 .

C.2

3x(8 − 8x9)− 24x10 .

B.2

3x(8 − 8x9)− 24x10 .

D.2

3x(8 − 8x9)− 24x10 .

3.3 Tích phân xác định Trang 37

Câu 322. Tính giới hạn sau: L = limx→0

x∫

0

cos(t2)dt

xA. L = 0. B. L = 1/2. C. L = 1. D. L = ∞.

Câu 323. Tính giới hạn sau: L = limx→0

x∫

0

sin tdt

x2

A. L = 0. B. L = 1/2. C. L = 1. D. L = ∞.

Câu 324. Tính giới hạn sau: L = limx→0+

∫ x2

0tan

√tdt

x3

A. L = 0. B. L = 1. C. L = 1/3. D. L = 2/3.

Câu 325. Tính giới hạn sau:L = limx→0+

∫ x3

0(t2 + 3t + 2)(cos t − 1) sin 2tdt

x12

A. L = 0. B. L = −1. C. L = 1/12. D. L = −1/2.

Câu 326. Tính giới hạn sau:L = limx→0

∫ 0

x2(et − 1)

2ln(cos t)dt

x10

A. L = 1/10. B. L = −1/10. C. L = −1/20. D. L = 1/20.

3.3 Tích phân xác định

Câu 327. Tính tích phân: I =∫ 1

02xdx

A. I = ln 2. B. I = 2 ln 2. C. I = 1/ ln 2. D. I = 2/ ln 2.

Câu 328. Tính tích phân: I =∫ 1/

√2

0

2x

1 − x2dx

A. I = ln 2. B. I = − ln 2. C. I = 2 ln 2. D. I = −2 ln 2.

Câu 329. Tính tích phân: I =∫

√3−1

0

dx

x2 + 2x + 2A. I = π/3. B. I = π/6. C. I = π/12. D. I = π/24.

Câu 330. Tính tích phân: I =∫ e

1ln xdx

A. I = 0. B. I = 1. C. I = 2. D. I = 3.

Câu 331. Tính tích phân: I =∫ π/4

0

tan x + 1

cos2xdx

A. I = 1/2. B. I = 3/2. C. I = 1. D. I = 2.

Câu 332. Tính tích phân: I = 8

∫ 1

0

x3

3√

1 − x4dx

A. I = 2. B. I = 3. C. I = −2. D. I = −3.



1

ln x + 1

xdx

A. I = 3. B. I = 3/2. C. I = e2 − 1. D. I = e − 1.


14x ln dx

A. I = 1 − e2. B. I = 1 + e2. C. I = 1. D. I = e.


π/4

dx

sin x cos x

A. I =ln 3

2. B. I = − ln 3

2. C. I = ln 3. D. I = − ln 3.


0

cos(arctan x)

1 + x2dx

A. I =√

2. B. I =√

2/2. C. I = 0. D. I = 1.


02 arccos xdx

A. I = π + 2. B. I = π − 2. C. I = 2. D. I = 1.


1

dx

x(1 + ln2x)

A. I = 1. B. I = π. C. I = π/2. D. I = π/4.


0

dx

cos2x√

1 − tan2xA. I = π/2. B. I = π/3. C. I = π/4. D. I = π/6.


−2

dx

x2 + 2x + 2A. I = π/4. B. I = π/2. C. I = π. D. I = 1.


∫ 1

0

x2

1 + x3dx

A. I = ln 2. B. I = − ln 2. C. I = 1. D. I = −1.


π/62 cot xdx

A. I = 0. B. I = 1. C. I = ln 3. D. I = ln 2.


−1

2x√1 + x4

dx

A. I = 0.C. I = ln(

√2 + 1).

B. I = ln(√

2 + 1).D. I = ln(

√2 + 1).


−π/2

sin 2x

2√

3 + sin2xdx

A. I = 4. B. I = 2. C. I = 2√

2. D. I = 0.

Câu 345. Tính tích phân: I =∫ π

0(1 + sin x)2

dx

A. I = 16/3. B. I = 4/3. C. I = 0. D. I =√

3/2.

3.3 Tích phân xác định Trang 39


0

cos x√

1 + sin2xdx

A. I = ln(1 +√2).

B. I = 0. C. I = ln 2. D. I = − ln 2.


0

3x2

√1 + x3

dx

A. I = −√

2. B. I =√

2. C. I = 2√

2 − 2. D. I = 2√

2.


−1xex2

dx

A. I = 0. B. I = e/2. C. I = e. D. I = 2e.


1

2

x2 + 2xdx

A. I = ln 3 − ln 2. B. I = ln 2 − ln 3. C. I = 0. D. I = 1.


∫ 1

0

x2

√1 + x3

dx

A. I = ln 2. B. I = − ln 2. C. I = 2√

2 − 2. D. I = 2 − 2√

2.


0

cos x

(1 + sin x)2dx

A. I = ln 2. B. I = − ln 2. C. I = 1/2. D. I = −1/2.


0

x√x2 + 1

dx

A. I =√

2 − 1. B. I =√

2 + 1. C. I =√

2. D. I = 2√

2 − 1.


−π/364. cos x.sin3xdx

A. I = 0. B. I = 16. C. I = 8. D. I = −16.


0

√cos x. sin xdx

A. I = 2/3. B. I = 5/3. C. I = 1/3. D. I = 3/2.


0sin x. sin 3xdx

A. I = 0. B. I = 1. C. I = 1/2. D. I = 1/4.


0

sin(arctan x)

1 + x2dx

A. I = 0. B. I = 1. C. I = 1/2. D. I = 1/4.

Câu 357. Tính tích phân: I =∫ e2

1

2ln2x

xdx

A. I = 9. B. I = 4. C. I = 2. D. I = 8.


−2

dx

x2 + 4x + 5A. I = ln 3.C. I = arctan 3.

B. I = arctan 3.D. I = arctan 3.



π/4

dx

sin2x√

1 − cot2xA. I = π/2. B. I = π/4. C. I = −π/2. D. I = −π/4.


02 arcsin xdx

A. I = 2. B. I = π − 2. C. I = π + 2. D. I = 2π − 1.


0

12x2

1 + x6dx

A. I = 1. B. I = π/6. C. I = π/2. D. I = π.


0(2x − 1)e−x2+xdx

A. I = 0. B. I = e. C. I = e2. D. I = 1/e.


1xexdx

A. I = ee + 1. B. I = ee(e − 1). C. I = ee(e + 1). D. I = ee − e2.


12x−1dx

A. I = 2. ln 2. B. I = 7. ln 2. C. I = 3. ln 2. D. I = 7/ ln 2.


1

4

x(1 + ln2x)

dx

A. I = π/4. B. I = 4. C. I = π. D. I =√

2/2.


0

4x3

1 + x8dx

A. I = π/4. B. I = π/2. C. I = π. D. I = 4π.


0

sin 2x

1 + cos2xdx

A. I = − ln 2. B. I = ln 2. C. I = 0. D. I = 1.


0

2x√1 − x4

dx

A. I = π/4. B. I = π/3. C. I = π/2. D. I = π.


04 arctan(−x)dx

A. I = 2 ln 2 + 2. B. I = ln 2 − π. C. I = π − ln 2. D. I = 2 ln 2 − π.

Câu 370. Tính tích phân: I =∫ ln 2

04xe2xdx

A. I = ln 2. B. I = 8 ln 2 − 3. C. I = 8 ln 2 − 2. D. I = 8 ln 2.


1lnxdx

A. I = e + 1. B. I = e − 1. C. I = e. D. I = 1.


∫ e

1x ln xdx

A. I = e2 + 1. B. I = e2 − 1. C. I = e2. D. I = 1.

3.4 Tích phân suy rộng loại I Trang 41

Câu 373. Tính tích phân: I =∫ e2

e

dx

x.ln2xA. I = 0. B. I = 1. C. I = 1/2. D. I = −1/2.


1ln

2xdx

A. I = 2e. B. I = 2 − e. C. I = 2 + e. D. I = e − 2.

Câu 375. Tính tích phân: I =∫ e−2

−1ln(x + 2)dx

A. I = −1. B. I = 1. C. I = 1 − ln 3. D. I = ln 3 − 1.

Câu 376. .Tính tích phân: I =∫ 1

02 arctan xdx

A. I = π/2+ ln 2. B. I = π/2 − ln 2. C. I = π/4. D. I = ln 2.

3.4 Tích phân suy rộng loại I

Câu 377. Tính tích phân suy rộng: I =∫ +∞

1

dx

x5

A. I = 0. B. I = 1. C. I = 2. D. I = 1/4.

Câu 378. Tính tích phân suy rộng: I =∫ 0

−∞exdx

A. I = 0. B. I = 1. C. I = 2. D. I = 3.


−∞xexdx

A. I = −1. B. I = 1. C. I = −2. D. I = 2.


0

dx

x2 + 1A. I = 0. B. I = π/6. C. I = π/4. D. I = π/2.

Câu 381. Xét tích phân suy rộng: I =∫ +∞

−∞

dx

1 + x2. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. I = 0. B. I = π. C. I phân kỳ . D. Tất cả đều sai .


−∞

x

1 + x4dx

A. I = π/4. B. I = π/2. C. I = −π/4. D. I = −π/2.


e

dx

x ln xA. I = −1. B. I = e. C. I = 1. D. I = +∞.


0

3

(x + 3)2dx

A. I = 1. B. I = 2. C. I = 3. D. I = +∞.


2

2

1 + xdx

A. I = ln 3. B. I = − ln 3. C. I = 0. D. I = +∞.


Câu 386. Xét tích phân suy rộng: I =∫ +∞

0

dx

1 + x. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. I = 0. B. I = 1. C. I phân kỳ . D. Các khẳngđịnh trên đều sai.


−∞

ex + 1

exdx.

A. I = 1/2. B. I = π/2. C. I = ln 2. D. I = +∞.


0

x

ex2dx

A. I = 2. B. I = 1. C. I = 1/2. D. I = +∞.


0

dx

2e√

x

A. I = 2. B. I = +∞. C. I = 0. D. I = 1.


0

dx√2x + 4

A. I = 1. B. I = 1/2. C. I = 2. D. I = +∞.


−∞

x2

1 + x6dx

A. I = π/4. B. I = π/3. C. I = π/2. D. I = 0.


0

8arctan2x

1 + x2dx

A. I = 2π3/3. B. I = π3/3. C. I = π3/24. D. I = π.


−∞

arctan2x

1 + x2dx

A. I = −π3/3. B. I = π3/3. C. I = π3/24. D. I = 0.


e

dx

xln2x

A. I = 1. B. I = 2. C. I = +∞. D. I = 2e..

Câu 395. Tích phân suy rộng:∫ +∞

1

dx

xαhội tụ khi và chỉ khi

A. α < 1. B. α ≤ 1. C. α ≥ 1. D. α > 1.


3

xα

√

x(x − 1)(x − 2)dx hội tụ khi và chỉ khi

A. α < −1. B. α < 1/2. C. α > 1. D. Không có αnào .


3

x2 − 3x + 5

xα + 4x3 + 1dx hội tụ khi và chỉ khi

A. α > 1. B. α > 3. C. α tùy ý . D. Không có αnào .


.0

x2 − 3x + 5

xα + 4x5 + 1dx hội tụ khi và chỉ khi


3.4 Tích phân suy rộng loại I Trang 43


.0

(x2√

x − 3x + 1)2

(xα + 4x√

x + 1)3

dx hội tụ khi và chỉ khi



.0

sin αx

x2 + 1dx hội tụ khi và chỉ khi

A. α > 1. B. α < 1. C. α tùy ý . D. Không có αnào .


1

(

sin x

x+

3x + 5

xα + 4x + 1

)

dx phân kỳ khi và chỉ khi

A. α ≤ 1. B. α ≤ 2. C. α tùy ý . D. Không có αnào .


1

(

cos x

x+

α√

x

1 + sin2x

)


A. α = 0. B. α 6= 0. C. α tùy ý . D. Không có αnào .


1

(

ex

x+

3x + 5

xα + 4x + 1

)

dx phân kỳ khi và chỉ khi

A. α ≤ 1. B. α ≤ 2. C. α tùy ý . D. Không có αnào .


1

1 + |α|+ sin x

xdx phân kỳ khi và chỉ khi

A. α > 1. B. α < 1. C. α tùy ý . D. Không có αnào .


1

α + sin2x

xdx hội tụ khi và chỉ khi

A. α < −1. B. α = −1/2. C. α tùy ý . D. Không có αnào .


1

α + cos x

x√

xdx hội tụ khi và chỉ khi

A. α < −1. B. α = 0. C. α tùy ý . D. Không có αnào .


1

xα

exdx phân kỳ khi và chỉ khi

A. α < −1. B. α = 0. C. α tùy ý . D. Không có αnào .


1

ex

xαdx hội tụ khi và chỉ khi

A. α > 1. B. α < −1. C. α tùy ý . D. Không có αnào .


1

eαx

xβdx (α 6= 0) hội tụ khi và chỉ khi

A. α < 0 và β > 1. B. α < 0 và βty. C. α tùy ý và β >

1.D. α < −1 và β >

1.



1

xex

ex + xαdx hội tụ khi và chỉ khi

A. α > 1. B. α < 1. C. α > 2. D. Không có αnào .


1

x2ex

e2x + xαdx hội tụ khi và chỉ khi

A. α > 1. B. α < 2. C. α > 3. D. α tùy ý .


1

ex

eαxdx hội tụ khi và chỉ khi

A. α > 1. B. α < 1. C. α > 2. D. Không có αnào .


2

dx

xlnαx

phân kỳ khi và chỉ khi

A. α > 1. B. α ≤ 1. C. α ≥ 1. D. α < 1.


4

dx

x ln xlnα(ln x)

hội tụ khi và chỉ khi

A. α ≤ 1. B. α < 1. C. α > 1. D. α ≥ 1.


2

dx

lnαx


A. α > 1. B. α < 1. C. α = 1. D. Không có αnào .


2

dx

xα ln xphân kỳ khi và chỉ khi

A. α > 1. B. α ≥ 1. C. α ≤ 1. D. Không có αnào .


2

dx

xαln2x


A. α > 1. B. α ≥ 1. C. α tùy ý . D. Không có αnào .

3.5 Tích phân suy rộng loại II


1

dx3√

x − 1A. I = 1. B. I = 3/2. C. I = +∞. D. I = 3/4.

Câu 419. Tính tích phân suy rộng: I =∫ e

1

dx

x√

ln xA. I = 0. B. I = 1. C. I = 2. D. I = +∞26.

Câu 420. Tính tích phân suy rộng: I =∫ 1/2

0

dx

xln2x

A. I = ln2. B. I = −ln2. C. I =1

ln 2. D. I = − 1

ln 2.

3.5 Tích phân suy rộng loại II Trang 45


1/2

dx

xln2x

A. I = 0. B. I = 1. C. I = 2. D. I = +∞.

Câu 422. Tính tích phân suy rộng: I =∫ 1/3

1/6

3√1 − 9x2

dx

A. I = π/6.C. I = π/3.

B. I = π/3.D. I = π/3.


0ln xdx

A. I = −1. B. I = 0. C. I = 1. D. I = 2.

Câu 424. Tích phân suy rộng:∫ 1

0

dx

xαhội tụ khi và chỉ khi

A. α < 1. B. α ≤ 1. C. α ≥ 1. D. α > 1.


0

dx

(1 − x)α phân kỳ khi và chỉ khi

A. α < 1. B. α ≤ 1. C. α ≥ 1. D. α > 1.

Câu 426. Tích phân suy rộng: I =∫ 1

0

xα

√

x(x + 1)(2 − x)dx hội tụ khi và chỉ khi

A. α < −1. B. α < 1/2. C. α > −1/2. D. α tùy ý .

Câu 427. .Tích phân suy rộng: I =∫ 1

0

x + α√

x(x + 1)(2 − x)dxhội tụ khi và chỉ khi

A. α < −1. B. α < −1/2. C. α > 1/2. D. α tùy ý .


0

x2 + α√


A. α < −1.C. α > 1.

B. α > 1.D. α > 1.


1

xα

√


A. α < −1. B. α < −1/2. C. α > −1/2. D. α tùy ý .

Câu 430. Tích phân suy rộng: I =∫ π/2

1

1 − cos α

xαdx hội tụ khi và chỉ khi

A. α ≥ 1. B. α ≥ 3. C. α ≥ 4. D. α tùy ý .


0

dx

(1 −√x)

α hội tụ khi và chỉ khi

A. α ≥ 1.C. α ≥ 2.

B. α ≥ 2.D. α ≥ 2.


0

dx

eαx − 1hội tụ khi và chỉ khi

A. α < 1. B. α < −1/2. C. α > 1/2. D. α tùy ý .



1

(x − 1)α

ln xdx hội tụ khi và chỉ khi

A. α < −1. B. α < −1/2. C. α > 0. D. α > 2.


0

x3

lnα(1/ cos x)


A. α < 1. B. α < −1/2. C. α < 0. D. α < 2.

3.6 Ứng dụng tích phân

Câu 435. Tính diện tích S giới hạn: y = 6x2 − 6x và y = 0

A. S = −1. B. S = 1. C. S = 2. D. S = 3.

Câu 436. Tính diện tích S giới hạn: y = ex − 1; y = e2x − 3 và x = 0

A. S = ln 4 − 1/2.C. S = ln 4 + 1/2.

B. S = ln 4 + 1/2.D. S = ln 4 + 1/2.

Câu 437. Tính diện tích S giới hạn: y = 3x2 + x và x − y + 3 = 0

A. S = −3. B. S = 3. C. S = −4. D. S = 4.

Câu 438. Tính diện tích S giới hạn: y =2

1 + x2và y = 1

A. S = 2π. B. S = 2π − 2. C. S = π − 4. D. S = π + 2.


1 + x2; y =

x

1 + x2; x = 0; x = 1

A. S = π/4.C. S = (ln 2)/2.

B. S = (ln 2)/2.D. S = (ln 2)/2.


1 + x2; y =

x2

2.

A. S = (2π −3)/3.

B. S = (2π −3)/6.

C. S = (3π −2)/3.

D. S = (3π −2)/6.

Câu 441. Tính diện tích S giới hạn: y = 2x.ex2; y = 0; x = −1; x = 1

A. S = 0. B. S = 4(e − 1). C. S = 2(e − 1). D. S = 2(e + 1).

Câu 442. Tính diện tích S giới hạn: y = x3; y = xA. S = 0. B. S = 1/2. C. S = 1/4. D. S = 1/8.

Câu 443. Tính diện tích S giới hạn: y =4x

1 + x2; y = 2x3

A. S = 4 ln 2 − 1. B. S = 2 ln 2 −1/2.

C. S = 1/2 −2 ln 2.

D. S = 4 ln 2 + 1.

Câu 444. Tính diện tích S giới hạn: y =4x3

4 + x2; y = 2x

A. S = 24 ln 2− 4. B. S = 16 ln 2 − 8. C. S = 4 − 8 ln 8. D. S = 8− 16 ln 8.

Câu 445. Tính diện tích S giới hạn: y = 2x; y = 3√

x; x = 0; x = 1

A. S = 2. B. S = 1. C. S = 1/2. D. S = 1/6.

3.6 Ứng dụng tích phân Trang 47

Câu 446. Tính diện tích S giới hạn: x = 3√

y; y = x2

A. S = 1/12. B. S = 1/6. C. S = 1/3. D. S = 1/2.

Câu 447. Tính diện tích S giới hạn: y = 4 sin 2x; y = 0; x = 0; x = π/4

A. S = 1. B. S = π. C. S = (π − 1)/2. D. S = π/2 − 1.

Câu 448. Tính diện tích S giới hạn: y = x; x = y2

A. S = 1. B. S = 1/2. C. S = 1/6. D. S = 1/12..

Câu 449. Tính diện tích S giới hạn: x = 3y3 và x = 6y2

A. S = 1.C. S = 2.

B. S = 2.D. S = 2.

Câu 450. Tính diện tích S giới hạn: x = x3 và y = x4

A. S = 1/20.C. S = 1/10.

B. S = 1/10.D. S = 1/10.

Câu 451. Tính diện tích S giới hạn: y = x2 và y = x4

A. S = 1/15. B. S = 2/15. C. S = 4/15. D. S = 1.

Câu 452. Tính diện tích S giới hạn: x = y2 − 2y và x = 2y2 − 4yA. S = 20/3. B. S = 4/3. C. S = 6/3. D. S = 2/3.


1 + x2và y =

4x2

1 + x2

A. S = ln 2 − 4 + π.C. S = ln 2 − π + 4.

B. S = ln 2 − π + 4.D. S = ln 2 − π + 4.


1 + x2; x = ±1; y = 0

A. S = 1. B. S = π/2. C. S = π. D. S = +∞.

Câu 455. Tính diện tích S giới hạn: y =x

ex; y = 0; x = 0; x = 1

A. S = e. B. S = 2. C. S = (2 − e)/e. D. S = (e − 2)/e.

Câu 456. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

quay quanh trục Ox:

{

y = 4ex; y = 0

x = 0; x = ln 2

A. V = 4π. B. V = 8π. C. V = 16π. D. V = 24π.



{

y =√

ln x; y = 0

x = 1; x = e

A. V = π. B. V = 2π. C. V = eπ. D. V = πe2.



{

y =√

ln(x + 1); y = 0

x = 0; x = 1

A. V = n2/2. B. V = π(n2 − 1). C. V = π(2n2 −1).

D. V = πn2.




{

y =√

tan x; y = 0

x = 0; x = π/4

A. V = πn2. B. V = πn2/2. C. V = π/4. D. V = π −π2/16.



{

y = 2√

1 + sin 2x; y = 0

x = 0; x = π/4

A. V = 2π.C. V = π(π + 2).

B. V = π(π + 2).D. V = π(π + 2).



{

y =√

sin x; y = 0

x = 0; x = π/2

A. V = 1. B. V = π. C. V = 2. D. V = 2π.



y =ln x√

x; y = 0

x = 1; x = e

A. V = π/3. B. V = π/4. C. V = π/2. D. V = π.



y =ex

√1 + e2x

; y = 0

x = 0; x = 1

A. V = π[ln(1 + e2]− ln 2.C. V = π[ln

√1 + e2 − ln

√2].

B. V = π[ln√

1 + e2 − ln√

2].D. V = π[ln

√1 + e2 − ln

√2].



y =2√

ln x + 1√x

; y = 0

x = 1; x = eA. V = 2π. B. V = 6π. C. V = 3π. D. V = π.

Câu 465. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sauquay quanh trục Ox: x = e; x = 1; y =

√1 + 2 ln x; y = 0

A. V = π(π + e). B. V = π(π − 1). C. V = π(e − 2). D. V = π(e + 1).



{

y = cos x√

sin x; y = 0

x = 0; x = π

A. V = π/4. B. V = π/2. C. V = 2π/3. D. V = π.

3.6 Ứng dụng tích phân Trang 49



{

y = x√

x; y = 0

x = 0; x = 1

A. V = π. B. V = π/2. C. V = π/4. D. V = π/12.



{

y = x − 1; y = 0

x = 0; x = 1

A. V = 8π/2. B. V = 4π/3. C. V = 2π/3. D. V = π/3.


quay quanh trục Ox: y =

√

ln x

x; y = 0; x = e; x = e2

A. V = π. B. V = 3π/2. C. V = 3π/4. D. V = (e2 − e)π.



y =6 arcsin x√

1 + x2; y = 0

x = 0; x = 1

A. V = 24π3. B. V = 12π3. C. V = 3π4/2. D. V = 3π4/8.



y =ex/2

√1 + e2x

; y = 0

x = 0; x = ln(√

3)

A. V = π2/2. B. V = π2/6. C. V = π2/8. D. V = π2/12.



{

y = 2 tan x; y = 0

x = 0; x = π/4

A. V = 4 − π. B. V = π(4 −π)/4.

C. V = π(4 − π). D. V = 4π(4 −π).


đây quay quanh trục Ox:

{

y = cos x; y = 0

x = 0; x = π/2

A. V = π2. B. V = π(π −1)/4.

C. V = π2/2. D. V = π2/4..

Chương 4

Chuỗi số

Mục lục chương 44.1 Câu hỏi lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 Tính tổng riêng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 Chuỗi hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Sử dụng các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5 Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1 Câu hỏi lý thuyết

Câu 474. Cho chuỗi∞

∑n=1

un. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu hội tụ thì un → 0 khi n → ∞ .B. Nếu un → 0 khi n → ∞ thì hội tụ .C. Nếu phân kỳ thì un → 0khi n → ∞ .D. Nếu un → 0 khi n → ∞ thìphân kỳ .

Câu 475. Cho hai chuỗi số dương∞

∑n=1

un (1) và∞

∑n=1

vn(2) thỏa un ≤ vn, ∀n Mệnh đề nào

sau đây đúng?A. Nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) cũng hội tụ .B. Nếu chuỗi (1) phân kỳ thì chuỗi (2) cũng phân kỳ .C. Chuỗi (1) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi (2) hội tụ .D. Các mệnh đề trên đều sai .


∑n=1

un và∞

∑n=1

vnthỏa limn→∞

un

vn= k(k ∈ R) Trong điều

kiện nào sau đây hai chuỗi này sẽ đồng thời hội tụ hay phân kỳ?A. k < 1. B. k > 0. C. k < 2. D. k < 3.


∑n=1

un (1) và∞

∑n=1

un (2) thỏa limn→∞

un

vn= 0. Mệnh đề nào

sau đây đúng?

4.2 Tính tổng riêng phần Trang 51

A. Nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) cũng hội tụ .B. Nếu chuỗi (1) phân kỳ thì chuỗi (2) cũng phân kỳ .C. Chuỗi (1) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi (2) hội tụ .D. Các mệnh đề trên đều sai .


∑n=1

un (1) và∞

∑n=1

vn (2)thỏa limn→∞

un

vn= +∞. Mệnh đề nào

sau đây đúng?A. Nếu chuỗi (1) hội tụ thì chuỗi (2) cũng hội tụ .B. Nếu chuỗi (1) phân kỳ thì chuỗi (2) cũng phân kỳ .C. Chuỗi (1) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi (2) hội tụ .D. Các mệnh đề trên đều sai .

4.2 Tính tổng riêng phần

Câu 479. Cho chuỗi cóun =1

n(n + 1), n ≥ 1. Đặt Sn = u1 + u2 + · · ·+ un. Kết luận nào

sau đây đúng?

A. Sn =1

2(1 − 1

n + 1) và chuỗi hội tụ, có tổng S =

1

2.

B. Sn = 1 +1

n + 1và chuỗi hội tụ, có tổng S = 1 .

C. Sn = 1 − 1

n + 1và chuỗi hội tụ, có tổng S = 1 .

D. Chuỗi phân kỳ. .

Câu 480. Cho chuỗi có un =1

(2n − 1)(2n + 1).Đặt Sn = u1 + u2 + · · ·+ un. Kết luận nào

sau đây đúng?

A. Sn =1

2(1 − 1

2n + 1) và chuỗi hội tụ, có tổng S =

1

2.

B. Sn = 1 − 1

2n + 1và chuỗi hội tụ, có tổng S = 1.

C. Sn = 1 +1

2n + 1và chuỗi hội tụ, có tổng S = 1.

D. Chuỗi phân kỳ. .

4.3 Chuỗi hình học


∑n=1

2

qn(q là một tham số khác 0) hội tụ khi và chỉ khi:

A. −1 < q < 1.C. q > 1.

B. q > 1.D. q > 1.


∑n=1

(1 + q)n(q là một tham số) hội tụ khi và chỉ khi:

A. −1 < q < 1. B. −2 < q < 1. C. −2 < q < 0. D. −2 ≤ q ≤ 0.

Trang 52 Chương 4. Chuỗi số


∑n=1

[

p2n + (1 + q)2n]

(p, q là các tham số) hội tụ khi và chỉ khi:

A. −1 < p < 1.C. −2 < q < 0.

B. −2 < q < 0.D. −2 < q < 0.

Câu 484. Chuỗi∞

∑n=1

3.(q2 − 1)2n (q là tham số ) hội tụ khi và chỉ khi:

A. 0 < q <

√2. B. q > 1. C. −1 < q < 1. D. q 6= 0.


∑n=1

3

(q2 + 1)n (q là tham số ) hội tụ khi và chỉ khi:

A. 0 < q <

√2. B. q > 1. C. −1 < q < 1. D. q 6= 0.

4.4 Sử dụng các tiêu chuẩn hội tụ


∑n=1

1

nα−2(αlà một tham số) hội tụ khi và chỉ khi:

A. α ≥ 3. B. α > 3. C. α > 1. D. α ≥ 1.


∑n=1

(

1

nα−2+

1

n1−β

)

(α, βlà các tham số) hội tụ khi và chỉ khi:

A. α < 3 và β < 0.C. α > 3 và β > 0.

B. α > 3 và β > 0.D. α > 3 và β > 0.


∑n=1

(

2n +1

nα−1 + 3

)

(αlà các tham số). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi chỉ khi α > 1.C. Hội tụ khi chỉ khi α > 2.

B. Hội tụ khi chỉ khi α > 2.D. Hội tụ khi chỉ khi α > 2.


∑n=1

n3 + 2n2 + 1

(n + 1)4nα(α là một tham số ) hội tụ khi và chỉ khi:

A. α > 0. B. α ≤ 0. C. α > 1. D. α ≥ 1.


∑n=1

(

1

2n+

1

nα−1

)

(αlà một tham số). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi chỉ khi α > 1.C. Hội tụ khi chỉ khi α > 2 .

B. Hội tụ khi chỉ khi α > 2 .D. Hội tụ khi chỉ khi α > 2 .


∑n=1

n6 + 2n2 + 1

(n + 2)nα2−3(αlà một tham số) phân kỳ khi chỉ khi:

A. α ≥ −3. B. α ≤ 9. C. −3 ≤ α ≤ 3. D. −3 < α < 3.


∑n=1

4n

(2n + 1)nα+3(αlà một tham số) phân kỳ khi chỉ khi:

A. α ≤ −2. B. α < −2. C. α < 1. D. α ≤ 1.


∑n=1

n4 + 2n2 + 1

(n + 2)nα−3(αlà một tham số) hội tụ khi và chỉ khi:

A. α > 4. B. α ≥ 4. C. α ≥ 7. D. α > 7.

4.4 Sử dụng các tiêu chuẩn hội tụ Trang 53


∑n=1

n3 + 3

(n + 1)(nα + 1)(αlà một tham số) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi α > 1 .C. Hội tụ khi và chỉ khi α ≥ 2 .

B. Hội tụ khi và chỉ khi α ≥ 2 .D. Hội tụ khi và chỉ khi α ≥ 2 .


∑n=1

n

(n + 1)(2q)n (q là một tham số khác 0) hội tụ khi chỉ khi:

A. −1/2 < q < 1/2.C. q < −1/2.

B. q < −1/2.D. q < −1/2.


∑n=1

(

n2 + A

n3

)n

(A là một tham số ) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi −1 < A < 1 .C. Nếu −1 < A < 1 thì Phân kỳ .

B. Nếu −1 < A < 1 thì Phân kỳ .D. Nếu −1 < A < 1 thì Phân kỳ .


∑n=1

An3 + 1

2n(A là một tham số) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu |A| > 1 thì Phân kỳ .C. Hội tụ khi và chỉ khi −1 < A < 1 .

B. Hội tụ khi và chỉ khi −1 < A < 1 .D. Hội tụ khi và chỉ khi −1 < A < 1 .


∑n=1

p(n2 − 4)

2n(p là một tham số). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu |p| > 1 thì Phân kỳ .C. Hội tụ khi và chỉ khi −2 < p < 2 .

B. Hội tụ khi và chỉ khi −2 < p < 2 .D. Hội tụ khi và chỉ khi −2 < p < 2 .


∑n=1

(p2 − 3)n2

3n(p là một tham số). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu |p| > 2 thì Phân kỳ .C. Hội tụ khi và chỉ khi −2 < p < 2 .

B. Hội tụ khi và chỉ khi −2 < p < 2 .D. Hội tụ khi và chỉ khi −2 < p < 2 .

Câu 500. Bằng cách so sánh với chuỗi∞

∑n=1

1

nαphát biểu nào sau đây đúng?

A.∞

∑n=1

n + 1

n2 + 1hội tụ .

C.∞

∑n=1

n + 3

n(√

n3 + 1)hội tụ .

B.∞

∑n=1

n + 3

n(√

n3 + 1)hội tụ .

D.∞

∑n=1

n + 3

n(√

n3 + 1)hội tụ .


∑n=1

1

nαkết luận nào sau đây đúng?

A.∞

∑n=1

5n + 1

n2 + 1hội tụ .

C.∞

∑n=1

n + 1

n(√

n + 1)hội tụ .

B.∞

∑n=1

n + 1

n(√

n + 1)hội tụ .

D.∞

∑n=1

n + 1

n(√

n + 1)hội tụ .


∑n=1

1

nα. Kết luận nào sau đây đúng?

A.∞

∑n=1

n + 1

n2 + ln nhội tụ .

C.∞

∑n=1

2n + 1

5n2 + 1hội tụ .

B.∞

∑n=1

2n + 1

5n2 + 1hội tụ .

D.∞

∑n=1

2n + 1

5n2 + 1hội tụ .



∑n=1

1

nα. Phát biểu nào sau đây đúng?

A.∞

∑n=1

2n + 1

n2 + 8phân kỳ .

C.∞

∑n=1

3n2 + 3

n2(√

n3 + 1)phân kỳ .

B.∞

∑n=1

3n2 + 3

n2(√

n3 + 1)phân kỳ .

D.∞

∑n=1

3n2 + 3

n2(√

n3 + 1)phân kỳ .


∑n=1

1


A.∞

∑n=1

2n + 1

n2√

n + 8phân kỳ .

C.∞

∑n=1

3n2 + 3

n2(√

n3 + 1)phân kỳ .

B.∞

∑n=1

3n2 + 3

n2(√

n3 + 1)phân kỳ .

D.∞

∑n=1

3n2 + 3

n2(√

n3 + 1)phân kỳ .


∑n=1

1


A.∞

∑n=1

n2 + 5

2n3 + n2 + n + 12phân kỳ .

C.∞

∑n=1

3n + 5

n(√

2n3 + 3 − 2)phân kỳ .

B.∞

∑n=1

3n + 5

n(√

2n3 + 3 − 2)phân kỳ .

D.∞

∑n=1

3n + 5

n(√

2n3 + 3 − 2)phân kỳ .


∑n=1

1


A.∞

∑n=1

n2 + 5

n3 + 1phân kỳ .

C.∞

∑n=1

3n + 5

n(√

2n2 + 3 − 2

) phân kỳ .

B.∞

∑n=1

3n + 5

n(√

2n2 + 3 − 2

) phân kỳ .

D.∞

∑n=1

3n + 5

n(√

2n2 + 3 − 2

) phân kỳ .


∑n=1

1


A.∞

∑n=1

2n + 1

n2√

n + 8phân kỳ .

C.∞

∑n=1

3n2 + 3

n2(√

n3 + 1)phân kỳ .

B.∞

∑n=1

3n2 + 3

n2(√

n3 + 1)phân kỳ .

D.∞

∑n=1

3n2 + 3

n2(√

n3 + 1)phân kỳ .


∑n=1

1

nα, phát biểu nào sau đây đúng?

A.∞

∑n=1

n3 + n2

4n4 + n3 + 1phân kỳ .

C.∞

∑n=1

5n + 12

n(√

15n2 + 45 + 1)hội tụ .

B.∞

∑n=1

5n + 12

n(√

15n2 + 45 + 1)hội tụ .

D.∞

∑n=1

5n + 12

n(√

15n2 + 45 + 1)hội tụ .


∑n=1

1



A.∞

∑n=1

3n + 1

n2 + 8nhội tụ .

C.∞

∑n=1

3n2 − 3

n2(√

n3 + 1)phân kỳ .

B.∞

∑n=1

3n2 − 3

n2(√

n3 + 1)phân kỳ .

D.∞

∑n=1

3n2 − 3

n2(√

n3 + 1)phân kỳ .

Câu 510. Cho 2 chuỗi lần lượt có số hạng tổng quát: un =n + 1√

n4 + 2n3 + 1(1)và vn =

n + 1√n5 + 2

(2). Kết luận nào sau đây đúng?

A. Chuỗi (1) phân kỳ, chuỗi (2) hội tụ.C. Chuỗi (1) hội tụ, chuỗi (2) phân kỳ .

B. Chuỗi (1) hội tụ, chuỗi (2) phân kỳ .D. Chuỗi (1) hội tụ, chuỗi (2) phân kỳ .


∑n=1

1

2n(1 +

α

n)n (αlà một tham số). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi −1 < α < 1 .C. Phân kỳ khi và chỉ khi −1 ≤ α ≤ 1 .

B. Phân kỳ khi và chỉ khi −1 ≤ α ≤ 1 .D. Phân kỳ khi và chỉ khi −1 ≤ α ≤ 1 .


∑n=1

n2

n4 + nα + 1(αlà một tham số). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi α > 1.C. Hội tụ khi và chỉ khi α > 3.

B. Hội tụ khi và chỉ khi α > 3.D. Hội tụ khi và chỉ khi α > 3.


∑n=1

n3

n4 + nα + 1(αlà một tham số). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi α > 1.C. Hội tụ khi và chỉ khi α > 4.

B. Hội tụ khi và chỉ khi α > 4.D. Hội tụ khi và chỉ khi α > 4.


∑n=1

n4 + nα + 3

n5(αlà một tham số). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi α < 4..C. Hội tụ khi và chỉ khi α ≤ 4.

B. Hội tụ khi và chỉ khi α ≤ 4.D. Hội tụ khi và chỉ khi α ≤ 4.


∑n=1

n4 + 2nα + 3

n6(αlà một tham số). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi α < 5.C. Hội tụ khi và chỉ khi α ≤ 5.

B. Hội tụ khi và chỉ khi α ≤ 5.D. Hội tụ khi và chỉ khi α ≤ 5.


∑n=1

(−1)n n6 + 2n2 + 1

(n + 2)nα(αlà một tham số) hội tụ khi và chỉ khi:

A. α > 6.C. α > 5.

B. α > 5.D. α > 5.


∑n=1

α.n3 + 2n

(n + 1)!(αlà một tham số) .Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi α = 0.C. Phân kỳ khi và chỉ khi α = 0.

B. Phân kỳ khi và chỉ khi α = 0.D. Phân kỳ khi và chỉ khi α = 0.


∑n=1

α.n3!

n4(αlà một tham số) .Mệnh đề nào sau đây đúng?





∑n=1

α(n4 + 1)

n!(α là một tham số) .Mệnh đề nào sau đây đúng?




∑n=1

n + 3

(n2 + 1)(nα + 1)(αlà một tham số) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi α > 1.C. Hội tụ khi và chỉ khi α ≥ 1.

B. Hội tụ khi và chỉ khi α ≥ 1.D. Hội tụ khi và chỉ khi α ≥ 1.


∑n=1

2n + qn + 1

3n(q là một tham số) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi −1 < q < 1.B. Hội tụ khi và chỉ khi −3 < q < 3.C. Hội tụ khi và chỉ khi −1/3 < q < 1/3.D. Luôn luôn hội tụ .


∑n=1

An2 + 2n + 1

n!(A là một tham số) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu −1 < A < 1 thì Phân kỳ .C. Hội tụ khi và chỉ khi −1 < A < 1.

B. Hội tụ khi và chỉ khi −1 < A < 1.D. Hội tụ khi và chỉ khi −1 < A < 1.

Câu 523. Cho chuỗi dương∞

∑n=1

un, phát biểu nào sau đây đúng?

A. Nếu limn→∞

n√

un < 1 thì chuỗi hội tụ .

B. Nếu limn→∞

un + 1

un> 1 thì chuỗi phân kỳ .

C. Nếu limn→∞

un + 1

un= 1thì chuỗi hoặc hội tụ hoặc phân kỳ .

D. Các phát biểu trên đều đúng .


∑n=1

(

An2 + 2n + 1

3n2 + 2

)n

(A là một tham số) . Mệnh đề nào sau đây

đúng?A. Nếu −3 < A < 3 thì Hội tụ .C. Nếu −4 < A < 4 thì Hội tụ .

B. Nếu −4 < A < 4 thì Hội tụ .D. Nếu −4 < A < 4 thì Hội tụ .


∑n=1

(

An2

n3 + A

)n

(A là tham số dương) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi −1 < A < 1 .C. Nếu −1 < A < 1 thì Phân kỳ .

B. Nếu −1 < A < 1 thì Phân kỳ .D. Nếu −1 < A < 1 thì Phân kỳ .


∑n=1

α2n(1 +1

n) (α là tham số dương) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi α 6= 0.C. Phân kỳ khi và chỉ khi α 6= 0.

B. Phân kỳ khi và chỉ khi α 6= 0.D. Phân kỳ khi và chỉ khi α 6= 0.


∑n=1

(

n2 + 2n + 1

An2 + 2

)n

(A là một tham số) . Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Nếu −1 < A < 1 thì Hội tụ .C. Nếu −1 < A < 1 thì Hội tụ .

B. Nếu −1 < A < 1 thì Hội tụ .D. Nếu −1 < A < 1 thì Hội tụ .


∑n=1

(

n

3n2 + A

)n

(A là tham số ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. NếuA > 0thì Phân kỳ .C. Phân kỳ khi và chỉ khi −1 < A < 1.

B. Phân kỳ khi và chỉ khi −1 < A < 1.D. Phân kỳ khi và chỉ khi −1 < A < 1.

Câu 529. Cho chuỗisố dương∞

∑n=1

un Giả sử limn→∞

un + 1

un= C Trong điều kiện nào sau đây

Hội tụ?A. 0 < C < 2. B. C ≤ 1. C. C < 1. D. C > 1.

Câu 530. Cho chuỗisố dương∞

∑n=1

un Giả sử limn→∞

un + 1

un= D Trong điều kiện nào sau đây

Hội tụ?A. 0 < D < 2. B. D ≤ 1. C. D < 1. D. D > 1.


∑n=1

nα

2n(αlà tham số ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi α < 1.C. Hội tụ khi và chỉ khi α ≤ −1.

B. Hội tụ khi và chỉ khi α ≤ −1.D. Hội tụ khi và chỉ khi α ≤ −1.


∑n=1

2n

nα(αlà tham số ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ khi và chỉ khi α > 1.C. Hội tụ khi và chỉ khi α ≥ 1.

B. Hội tụ khi và chỉ khi α ≥ 1.D. Hội tụ khi và chỉ khi α ≥ 1.


∑n=1

(−1)n

nα(α là tham số ) hội tụ khi và chỉ khi:

A. α > 1. B. α ≥ 1. C. α > 0. D. α ≥ 0.


∑n=1

(−1)n

nα(α là tham số ) hội tụtuyệt đối khi và chỉ khi:

A. α > 1. B. α ≥ 1. C. α > 0. D. α ≥ 0.


∑n=1

(−1)n

n + A2(A là tham số ) hội tụ khi và chỉ khi:

A. A > 1. B. A ≥ 1. C. A > 2. D. Atùy ý .


∑n=1

(−1)n

n2 + A2(A là tham số ) , hội tụtuyệt đối khi và chỉ khi:

A. A > 1. B. A ≥ 1. C. A > 2. D. A tùy ý .


∑n=1

(−1)n

3n − 1, Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Chuỗi đan dấu hội tụ vì chuỗi hội tụ tuyêt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert .B. Chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz .C. Chuỗi đan dấu hội tụ vì chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy .D. Các phát biểu trên đều đúng.



∑n=1

(−1)n

lnn(n + 1)

(αlà tham số ) hội tụ khi và chỉ khi:

A. α > 1. B. α ≥ 1. C. α > 0. D. α ≥ 0 .

Câu 539. Xét chuỗiđan dấu∞

∑n=1

(−1)n

3n + 1, Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Chuỗi hội tụ tuyêt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert .B. Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz .C. Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy .D. Các phát biểu trên đều đúng .


∑n=1

(−1)nn

2n2 − 1, Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Chuỗi hội tụ tuyêt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert .B. Chuỗi hội tụ tuyêt đối theo tiêu chuẩn Leibnitz .C. Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy .D. Các phát biểu trên đều sai .


∑n=1

(−1)n(n2 + 1)

n3 + 2, Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert .B. Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz .C. Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy .D. Các phát biểu trên đều sai.

Câu 542. Cho chuỗiđan dấu∞

∑n=1

(−1)n

nn, Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz .B. Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert .C. Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy .D. Các phát biểu trên đều đúng .

Câu 543. Cho chuỗiđan dấu+∞

∑n=1

(−1)n 2n3 + 1

n5 + 4n + 2. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Phân kỳ .B. Hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối .C. Hội tụ tuyệt đối nhưng không hội tụ .D. Hội tụ tuyệt đối .


∑n=1

(−1)n

n + 2, Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối .B. Hội tụ tuyệt đối .C. Phân kỳ .D. Các khẳng định trên đều sai.



∑n=1

(−1)n

n√


A. Hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối.C. Hội tụ tuyệt đối .

B. Hội tụ tuyệt đối .D. Hội tụ tuyệt đối .


∑n=1

(−1)n arctann




∑n=1

(−1)n arctan3n

2n + 1, Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Phân kỳ. .B. Hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối .C. Hội tụ tuyệt đối nhưng không hội tụ .D. Hội tụ tuyệt đối .


∑n=1

(−1)n√n + 1

n + 2, Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert .B. Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz .C. Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy .D. Các phát biểu trên đều sai .


∑n=1

(−1)n

√n + 16

, Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. .B. Hội tụ tuyệt đối .C. Phân kỳ .D. Các khẳng định trên đều sai .


∑n=1

(−1)n 2n3 + 1

n4 + 4n + 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?



∑n=1

(−1)n

√n2 + n + 1

n2 + 2n + 3. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert .B. Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz .C. Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy .D. Các phát biểu trên đều sai .



∑n=1

(−1)n.n√

n4 + 1 + 7. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối .B. Hội tụ tuyệt đối .C. Phân kỳ .D. Các khẳng định trên đều sai .


∑n=1

(−1)n 2n3 + 1

n3 + 4n + 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?



∑n=1

(−1)n n4 + 1

n4 − 4n2 + 5. Mệnh đề nào sau đây đúng?


4.5 Chuỗi hàm

Câu 555. Xét chuỗi∞

∑n=1

(−1)n (x − 1)n

(n + 1)!. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Chuỗi hội tụ tại mọi số thực x .C. Chuỗi có bán kính hội tụ R = 1.

B. Chuỗi có bán kính hội tụ R = 1.D. Chuỗi có bán kính hội tụ R = 1.


∑n=1

n!xn có bán kính hội tụ là:

A. R = 1. B. R = 1/2. C. R = 0. D. R = +∞.


∑n=1

xn

(2n)n có bán kính hội tụ là:

A. R = 1. B. R = 2. C. R = 0. D. R = +∞.


∑n=1

(x − 1)n

3n + 1có bán kính hội tụ là:

A. R = 1/3. B. R = 3. C. R = 0. D. R = +∞.


∑n=1

xn

5ncó bán kính hội tụ là:

A. R = 1/5. B. R = 5. C. R = 0. D. R = +∞.


∑n=1

(

1 +1

n

)n2

có bán kính hội tụ là:

A. R = 1. B. R = 1/e. C. R = e. D. R = +∞.

4.5 Chuỗi hàm Trang 61


∑n=1

(−1)n xn

ncó miền hội tụ là:

A. [−1, 1]. B. (−1, 1]. C. [−1, 1). D. (−1, 1).


∑n=1

(−1)n (x − 5)n

nncó miền hội tụ là:

A. [4, 6]. B. (−1, 1]. C. [−1, 1). D. [−1, 1].


∑n=1

(−1)nn!(x − 2)n,có miền hội tụ là:

A. [−1, 1]. B. (−1, 1]. C. [−1, 3). D. {2}.

Câu 564. Miền hội tụ của chuỗi∞

∑n=1

3n + 1

nxn

A. [−13, 1/3]. B. [−1/3, 1/3). C. (−1/3, 1/3]. D. (−1/3, 1/3).


∑n=1

n!(x + 1)n là:

A. [−1, 1]. B. [−1, 1). C. {0}. D. {−1}.


∑n=1

(x − 1)n

n2.2n có miền hội tụ là:

A. [−1; 3]. B. (−1; 3]. C. [−1; 3). D. (−1; 3).


∑n=1

(x − 1)n

(n + 1)3nlà:

A. [−2, 4]. B. [−2, 4). C. (−2, 4]. D. (−2, 4).


∑n=1

(x − 2)n

(n + 1)2ncó miền hội tụ là:

A. [0; 4]. B. (0; 4]. C. [0; 4). D. (0; 4).

Câu 569. Tìm miền hội tụ của chuỗi∞

∑n=1

3n + 1

3n(n + 1)xn:

A. [−1/3, 1/3]. B. [−1/3, 1/3). C. (−1/3, 1/3]. D. (−1/3, 1/3).


∑n=1

(x − 2)n

n2.2n có miền hội tụ là:

A. [0; 4]. B. (0; 4]. C. [0; 4). D. (0; 4).

Câu 571. Tìm miền hội tụ của chuỗi∞

∑n=1

1

n.2n xn:

A. [−2, 2]. B. (−2, 2). C. (−2, 2]. D. [−2, 2).

Chương 5

Phương trình vi phân

Mục lục chương 55.1 Vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1.1 Dạng tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1.2 Dạng đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.1.3 Dạng toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.1.4 Tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.5 Dạng Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.1.6 Nhận dạng phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1 Vi phân cấp 1

5.1.1 Dạng tách biến

Câu 572. Phương trình vi phân nào sau đây được đưa về dạng phương trình tách biến ?A. x2(x + 1) arctan ydx + x(1 + y2)dy = 0 .B. x2(x + y) ln ydx + (1 + y2)(x − 1)dy = 0 .C. x2(x + 1) ln ydx + (x + y2)(x − 1)dy = 0 .D. [x2 + (x + y)2] ln ydx + (1 + y2)(x − 1)dy = 0 .

Câu 573. Phương trình vi phân nào sau đây được đưa về dạng phương trình tách biến ?A. x2(x + 1) ln ydx + (x + y2)(x − y)dy = 0 .B. x2(x + y) ln ydx − (1 + y2)(x − 1)dy = 0 .C. x2(x + y) ln ydx + (x + y2)(x − 1)dy = 0 .D. [x2 + (x + 1)2] ln ydx − (1 + y2)(x + 1)dy = 0 .

Câu 574. Tìm nghiệm tổng quát của y′+

y

x + 1= 0

A. (x + 1)y = C .C. (x + 1) + y = C .

B. (x + 1) + y = C .D. (x + 1) + y = C .

Câu 575. Tìm nghiệm tổng quát củadx

sin y+

dy

cos x= 0

5.1 Vi phân cấp 1 Trang 63

A. sin x + cos y = C .C. sin x − cos y = C .

B. sin x − cos y = C .D. sin x − cos y = C .

Câu 576. Tìm nghiệm tổng quát củadx

1 + x2+

dy√

1 − y2= 0

A. arcsin x + arctan y = C .C. arcsin x − arctan y = C .

B. arcsin x − arctan y = C .D. arcsin x − arctan y = C .

Câu 577. Tìm nghiệm tổng quát của 2xydx + dy = 0

A. x2y + y = C .C. xy2 + y = C .

B. xy2 + y = C .D. xy2 + y = C .

Câu 578. Tìm nghiệm tổng quát của (1 + y2)dx + x ln xdy = 0

A. (1 + y2)x + x ln x = C .C. ln | ln x|+ arcsin y = C .

B. ln | ln x|+ arcsin y = C .D. ln | ln x|+ arcsin y = C .

Câu 579. Tìm nghiệm tổng quát của√

(1 − y2)dx + x ln xdy = 0

A. x√

1 + y2 + xy ln x = C .C. ln | ln x|+ arcsin y = C .


Câu 580. Tìm nghiệm tổng quát của

√

1 − y2

ydx +

√1 + x2dy = 0

A. arctan x −√

1 − y2 = C .C. arctan x − ln |1 − y2| = C .

B. arctan x − ln |1 − y2| = C .D. arctan x − ln |1 − y2| = C .

Câu 581. Tìm nghiệm tổng quát của√

1 + y2dx + xy ln xdy = 0

A. x√

1 + y2 + xy ln x = C .C. ln | ln x|+ arcsin y = C .


Câu 582. Tìm nghiệm tổng quát của x(y2 + 1)dx + y(x2 + 1)dy = 0

A. arctan(x2 + 1) + arctan(y2 + 1) = 0 .C. arctan(x + y) = C .

B. arctan(x + y) = C .D. arctan(x + y) = C .

Câu 583. Tìm nghiệm tổng quát của xdy − 2y ln xdx = 0

A. y = ln2x + C .

C. y =ln x

x+ C .

B. y =ln x

x+ C .

D. y =ln x

x+ C .

Câu 584. Tìm nghiệm tổng quát của x(y2 − 1)dx + y(x2 − 1)dy = 0

A. arctan(x2 − 1) + arctan(y2 − 1) = C.C. arccot(x2 − 1) + arccot(y2 − 1) = C .

B. arccot(x2 − 1) + arccot(y2 − 1) = C .D. arccot(x2 − 1) + arccot(y2 − 1) = C .

Câu 585. Tìm nghiệm tổng quát của x√

y2 + 1dx + y√

x2 + 1dy = 0

A.

√x2 + 1

√

y2 + 1= C .

B. ln(x +√

x2 + 1)− ln(y +√

y2 + 1) = C .C. ln(x +

√x2 + 1) + ln(y +

√

y2 + 1) = C .D.

√x2 + 1 +

√

y2 + 1 = C .

Trang 64 Chương 5. Phương trình vi phân

5.1.2 Dạng đẳng cấp

Câu 586. nào sau đây là phương trình đẳng cấp?

A.dy

dx=

2x + 3y + 5

x + 5.

C.dy

dx=

x2 + y2

x + y.

B.dy

dx=

x2 + y2

x + y.

D.dy

dx=

x2 + y2

x + y.

Câu 587. Chọn cách đổi biến thích hợp để giải y′ =x2 − y2

y2 − xy(1)

A. Đặt u = y2, (1) trở thànhu′

2√

u=

x2 − u

u − x√

u. .

B. Đặt u = x2, (1) trở thành y′ =u − y2

y2 − y√

u. .

C. Đặt y = ux, (1) trở thành u′ =1 − u3

x(u2 − u). .

D. Đặt y = ux, (1) trở thành u′ =1 − u3

u2 − u. .

Câu 588. Tìm nghiệm tổng quát của y′ =y

x− y2

x2

A. y =−x

C + ln |x|.B. y =

x

C + ln |x| . C. y =x

C − ln |x|.D. y =

−x

C ln |x| . .

Câu 589. Tìm nghiệm tổng quát của xy′ = y + xA. y = x(C + ln |x|) .C. y = x(C − ln |x|) .

B. y = x(C − ln |x|) .D. y = x(C − ln |x|) .

5.1.3 Dạng toàn phần

Câu 590. nào sau đây là toàn phần?A. (yex − xex)dx + (ex − y2 sin y)dy = 0

.C. (yex + xex)dx + (ex + x2 sin y)dy = 0

.

B. (yex + xex)dx + (ex + x2 sin y)dy = 0

.D. (yex + xex)dx + (ex + x2 sin y)dy = 0

.

Câu 591. nào sau đây là toàn phần?A. (y sin x − cos y)dx + (cos x − x sin y)dy = 0 .B. (y sin x − cos y)dx − (cos x − x sin y)dy = 0. .C. (y sin x + cos y)dx + (cos x + x sin y)dy = 0. .D. (y sin x + cos y)dx − (cos x − x sin y)dy = 0. .

Câu 592. Tìm nghiệm tổng quát của ydx + xdy = 0

A. xy = C . B. y = Cx . C. x + y = C . D. x − y = C. .

Câu 593. Tìm nghiệm tổng quát của : (y + ex)dx + xdy = 0

A. xy − ex = C . B. xy + ex = C . C. x + y + ex = C.

D. x− y+ ex = C..


Câu 594. Tìm nghiệm tổng quát của : (ey + 1)dx + (xey + 1)dy = 0

A. xy − xey = C .C. xy + xey = C .

B. xy + xey = C .D. xy + xey = C .

Câu 595. Tìm nghiệm tổng quát của : (1 + cos y)dx − (1 + x sin y)dy = 0

A. xy − x cos y = C .C. xy + x cos y = C. .

B. xy + x cos y = C. .D. xy + x cos y = C. .

Câu 596. Tìm nghiệm tổng quát của(

x − x

y

)

dy + (y − ln y)dx = 0

A. x ln y + xy = C .C. x ln y − xy = C. .

B. x ln y − xy = C. .D. x ln y − xy = C. .

Câu 597. Tìm nghiệm tổng quát của (cos y − 2y sin 2x)dx − (x sin y − cos 2x)dy = 0

A. x cos y − y cos 2x = C.C. x cos y + y cos 2x = C .

B. x cos y + y cos 2x = C .D. x cos y + y cos 2x = C .

5.1.4 Tuyến tính cấp 1

Câu 598. Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm tổng quát của phương

trình y′ + 2y

x= 4x ln x dưới dạng

A. y =C(x)

x2. B. y =

C(x)

x3. C. y =

C(x)

x. D. y = −C(x)

x.

Câu 599. Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm tổng quát của y′ − 3y

x=

x4 ln x dưới dạng

A. y =C(x)

x3. B. y = C(x)− x3 . C. y = C(x) + x3 . D. y = C(x)x3 .

Câu 600. Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm tổng quát của phươngtrình y′cos2x + y = 1 + tan2x dưới dạng

A. y = C(x)e− tan x .C. y = C(x)etan x .

B. y = C(x)etan x .D. y = C(x)etan x .

Câu 601. Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm tổng quát của phươngtrình xy′ + 3y = x4 ln x dưới dạng

A. y = C(x)e3x . B. y = C(x)e−3x . C. y = C(x)/x3 . D. y = C(x)x3 .

Câu 602. Tìm nghiệm tổng quát của xy′ − y = 3x4

A. y = x4 + C/x .C. y = x4 + Cx .

B. y = x4 + Cx .D. y = x4 + Cx .

Câu 603. Tìm nghiệm tổng quát của xy′ − 2y = 2x3

A. y = x4 + C/x .C. y = x4 + Cx .

B. y = x4 + Cx .D. y = x4 + Cx .

Câu 604. Tìm nghiệm tổng quát của xy′ + 2y = 3xA. y = x + C/x2 .C. y = x + Cx2 .

B. y = x + Cx2 .D. y = x + Cx2 .


Câu 605. Tìm nghiệm tổng quát của xy′ + 2y = 5x3

A. y = x + C/x2 .C. y = x + Cx2 .

B. y = x + Cx2 .D. y = x + Cx2 .

Câu 606. Tìm nghiệm tổng quát của y′ − 2y = e2x

A. y = −x + e2x .C. y = x + e2x .

B. y = x + e2x .D. y = x + e2x .

Câu 607. Tìm nghiệm tổng quát của y′ + 2y

x= 0

A. y =C

x2. B. y =

2C

x3. C. y =

C

x. D. y = −C

x. .

Câu 608. Tìm nghiệm tổng quát của (1 + x2) arctan x.y′ − y = 0

A. y(x + x3/3)− y2/2 = C .C. y = C.e1/arctan2x .

B. y = C.e1/arctan2x .D. y = C.e1/arctan2x .

Câu 609. Tìm nghiệm tổng quát của y′cos2x + y = 0

A. y = Ce− tan x . B. y = Cetan x . C. y = C + etan x . D. y = eC. tan x. .

Câu 610. Tìm nghiệm tổng quát của y′ − 3y = 0

A. y = Ce−3x . B. y = C − e3x . C. y = Ce3x . D. y = C + e3x. .

Câu 611. Phương trình y′ − y cos x = 0 có nghiệm tổng quát là:A. y = Cxe− cos x .C. y = Cx + esin x .

B. y = Cx + esin x .D. y = Cx + esin x .

Câu 612. Tìm nghiệm tổng quát của (1 + sin x)y′ − y cos x = 0

A. y(x + cos x)− sin x.y2/2 = C .C. y = C ln(1 + sin x) .

B. y = C ln(1 + sin x) .D. y = C ln(1 + sin x) .

Câu 613. Tìm nghiệm tổng quát của y′(1 + tan x)− (1 + tan2x)y = 0

A. y(x − ln | cos x|)− (tan x)x.y2/2 = C.C. y = C(1 + tan x) .

B. y = C(1 + tan x) .D. y = C(1 + tan x) .

Câu 614. Tìm nghiệm tổng quát của y′ sin x = 4y cos xA. y = C. cot x .C. y = C + 4 tan x .

B. y = C + 4 tan x .D. y = C + 4 tan x .

Câu 615. Tìm nghiệm tổng quát của (1 + sin x)y′ + y cos x = 0

A. y(x + cos x)− sin x.y2/2 = C .C. y = C ln(1 + sin x) .

B. y = C ln(1 + sin x) .D. y = C ln(1 + sin x) .

Câu 616. Tìm nghiệm tổng quát của y′(x2 + x + 1) = y(2x + 1)A. y = C + (x2 + x + 1) .C. y = C/(x2 + x + 1) .

B. y = C/(x2 + x + 1) .D. y = C/(x2 + x + 1) .

Câu 617. Tìm nghiệm tổng quát của y′(1 − ex)− exy = 0

A. y(x − ex)− exy2/2 = C .C. y = C ln(1 − ex) .

B. y = C ln(1 − ex) .D. y = C ln(1 − ex) .

Câu 618. Tìm nghiệm tổng quát của y′√

4 + x2 + y = 0

A. y = C(x +√

4 + x2) .C. y arctan(x/2) = C .

B. y arctan(x/2) = C .D. y arctan(x/2) = C .


5.1.5 Dạng Bernoulli

Câu 619. Chọn cách đổi biến thích hợp để giải 5y′ − 4y =x4

y4(1)

A. Đặt z = y5, (1) trở thành z′ − 20z = 5x4. .B. Đặt z = y5, (1) trở thành z′ − 4z = x4. .C. Đặt y = ux, (1) trở thành 5u′x + 5u − 4ux = 1/u2. .D. Đặt u = x/y, (1) trở thành 5u′ − 5x/u = u2. .

Câu 620. Chọn cách đổi biến thích hợp để giải 4y′ − 4y = x3/y3 (1)A. Đặt y = ux, (1) trở thành 4u′x + 4u − 4ux = 1/u2. .B. Đặt u = x/y, (1) trở thành 4u′ − 4x/u = u2. .C. Đặt z = y4, (1) trở thành 4

4√

z′ − 4 4√

z = x2 4√

z3. .D. Đặt z = y4, (1) trở thành z′ − 4z = x3. .

Câu 621. Chọn cách đổi biến thích hợp để giải y′ − 4y = x2/y2 (1)A. Đặt z = y3, (1) trở thành z′ − 12z = 3x2. .B. Đặt z = y3, (1) trở thành z′ − 4z = x2. .C. Đặt y = ux, (1) trở thành u′x + u − 4ux = 1/u2. .D. Đặt u = x/y, (1) trở thành u′ − 4x/u = u2. .

Câu 622. Chọn cách đổi biến thích hợp để giải y′ − xy = 2(x2 + 1)y3 (1)A. Đặt z = y−2, (1) trở thành z′ − 2xz = 4(x2 + 1). .B. Đặt z = y−2, (1) trở thành z′ + 2xz = −4(x2 + 1). .C. Đặt x = uy, (1) trở thành x′ = u′y + y. .D. Đặt y = ux, (1) trở thành y′ = u′x + x. .

Câu 623. Chọn cách đổi biến thích hợp để giải 5y′ − 4y = x4/y4 (1)A. Đặt z = y4, (1) trở thành 5zy′ − 4zy = x4. .B. Đặt z = y5, (1) trở thành z′ − 20z = 5x4. .C. Đặt u = x/y, (1) trở thành 5u′ − 5x/u = u2. .D. Các cách đổi biến trên đều không thích hợp. .

Câu 624. Chọn cách đổi biến thích hợp để giải y′ − xy = 2(x2 + 3)y3 (1)A. Đặt z = y−2, (1) trở thành z′ − 2xz = −4(x2 + 3). .B. Đặt z = y−2, (1) trở thành z′ + 2xz = −4(x2 + 3). .C. Đặt x = uy, (1) trở thành x′ = u′y + y. .D. Đặt y = ux, (1) trở thành y′ = u′x + x. .

5.1.6 Nhận dạng phương trình vi phân cấp 1

Câu 625. Xét (2x3 + x)y2dx + y3x3dy = 0 (1). Khẳng định nào sau đây đúng?A. (1) là đẳng cấp. .C. (1) là dạng tách biến. .

B. (1) là dạng tách biến. .D. (1) là dạng tách biến. .

Câu 626. Xét (y2 + 3xy)dx + (7x2 + 4xy)dy = 0 (1). Khẳng định nào sau đây đúng?A. (1) là đẳng cấp. .C. (1) là tách biến. .

B. (1) là tách biến. .D. (1) là tách biến. .


Câu 627. Xét (y2 − 2xy)dx + (x2 − 5xy)dy = 0 (1). Khẳng định nào sau đây đúng?A. (1) là đẳng cấp. .C. (1) là tách biến. .

B. (1) là tách biến. .D. (1) là tách biến. .

5.2 Phương trình vi phân cấp hai

Câu 628. Chọn cách đổi biến thích hợp để giải y′′ = x − xy′ (1)A. Đặt p = y, (1) trở thành p′′ − xp′ = x .B. Đặt p = y′, (1) trở thành p′ + xp = x .C. Đặt p = y′, (1) trở thành p′′ − xp′ = 0 .D. Cả ba cách biến đổi trên đều không thích hợp. .

Câu 629. Chọn cách đổi biến thích hợp để giải y′′ = yy′ + y′ (1)A. Đặt p = y, xem y’, y” như là các hàm theo p, (1) trở thành .B. Đặt p = y′, xem p như là hàm theo y, (1) trở thành p′ − (y + 1)p = 0 .

C. Đặt p = y′, xem p như là hàmp′′ − (y + 1)p′ = 0 theo y, (1) trở thành pdp

dy− (y +

1)p = 0 .D. Cả ba cách biến đổi trên đều không thích hợp. .

Câu 630. Tìm nghiệm tổng quát của y′′ + 3y′/x = 0

A. y = C1x3 + C2 .C. y = C1/x3 + C2 .

B. y = C1/x3 + C2 .D. y = C1/x3 + C2 .

Câu 631. Tìm nghiệm tổng quát của y′′ + y′/x = 0

A. y = C1x + C2 .C. y = C1/x + C2 .

B. y = C1/x + C2 .D. y = C1/x + C2 .

Câu 632. Tìm nghiệm tổng quát của y′′ + 4y′/x = 0

A. y = C1/x3 + C2 .C. y = C1x3 + C2 .

B. y = C1x3 + C2 .D. y = C1x3 + C2 .

Câu 633. Tìm nghiệm tổng quát của y′′ − 2y′/x = 0

A. y = C1x2 .C. y = C1x3 + C2 .

B. y = C1x3 + C2 .D. y = C1x3 + C2 .

Câu 634. Tìm nghiệm tổng quát của y′′ = 6xA. y = x2 + C1x + C2 .C. y = x3 + C1x + C2 .

B. y = x3 + C1x + C2 .D. y = x3 + C1x + C2 .

Câu 635. Tìm nghiệm tổng quát của y′′ = cos xA. y = sin x + Cx .C. y = cos x + C .

B. y = cos x + C .D. y = cos x + C .

Câu 636. Tìm nghiệm tổng quát của y′′ = e−x/2

A. y = 2e−x/2 + C .C. y = −4e−x/2 + C1x + C2 .

B. y = −4e−x/2 + C1x + C2 .D. y = −4e−x/2 + C1x + C2 .

5.2 Phương trình vi phân cấp hai Trang 69

Câu 637. Tìm nghiệm tổng quát của y′′cos2x − 1 = 0

A. y = − ln | sin x|+ C1x + C2 .C. y = ln | sin x|+ C1x + C2 .

B. y = ln | sin x|+ C1x + C2 .D. y = ln | sin x|+ C1x + C2 .

Câu 638. Tìm nghiệm tổng quát của e2xy′′ − 4 = 0

A. y = 2e−2x + C1x + C2 .C. y = 2e2x + C1x + C2 .

B. y = 2e2x + C1x + C2 .D. y = 2e2x + C1x + C2 .

Câu 639. Tìm nghiệm tổng quát của y′′ − 4x

(4 + x2)2= 0

A. y = − arctan(x/2) + C1x + C2 .C. y = ln(x2 + 4) + C1x + C2 .

B. y = ln(x2 + 4) + C1x + C2 .D. y = ln(x2 + 4) + C1x + C2 .

Câu 640. Tìm nghiệm tổng quát của y′′ +1

cos2x= 0

A. y = ln | cos x|+ C1x + C2 .C. y = − ln | cos x|+ C1x + C2 .

B. y = − ln | cos x|+ C1x + C2 .D. y = − ln | cos x|+ C1x + C2 .

Câu 641. Tìm nghiệm tổng quát của y′′ − 2y′ + 5y = 0

A. y = e2x(C1 cos x + C2 sin x) .C. y = ex(C1 cos 2x + C2 sin 2x) .

B. y = ex(C1 cos 2x + C2 sin 2x) .D. y = ex(C1 cos 2x + C2 sin 2x) .

Câu 642. Tìm nghiệm tổng quát của y′′ + 4y = 0

A. y = e2x(C1 cos x + C2 sin x) .C. y = ex(C1 cos 2x + C2 sin 2x) .



A. y = C1 cos 2x + C2 sin 2x .C. y = ex(C1 cos 2x + C2 sin 2x) .


Câu 644. Tìm nghiệm tổng quát của y′′ − y = 0

A. y = C1ex + C2e−x .C. y = (C1x + C2)e

x .B. y = (C1x + C2)e

x .D. y = (C1x + C2)e

x .


A. y = C1e4x + C2e5x .C. y = C1e−4x + C2e−5x .

B. y = C1e−4x + C2e−5x .D. y = C1e−4x + C2e−5x .


A. y = e3x(xC1 + C2) .C. y = e−3x(xC1 + C2) .

B. y = e−3x(xC1 + C2) .D. y = e−3x(xC1 + C2) .

Câu 647. Tìm nghiệm tổng quát của 4y′′ − 16y = 0

A. y = C1e2x + C2e−2x .C. y = C1e2x + C2e2x .

B. y = C1e2x + C2e2x .D. y = C1e2x + C2e2x .


A. y = e11x(xC1 + C2) .C. y = e−11x(xC1 + C2) .

B. y = e−11x(xC1 + C2) .D. y = e−11x(xC1 + C2) .


Câu 649. Tìm nghiệm tổng quát của y′′ + 4y′ + 3y = 0

A. y = C1ex + C2e−3x .C. y = C1e−x + C2e−3x .

B. y = C1e−x + C2e−3x .D. y = C1e−x + C2e−3x .


A. y = ex(C1 cos 3x + C2 sin 3x) .C. y = e3x(C1 cos x + C2 sin x) .

B. y = e3x(C1 cos x + C2 sin x) .D. y = e3x(C1 cos x + C2 sin x) .


A. y = C1ex + C2e2x .C. y = C1e−x + xC2e−2x .

B. y = C1e−x + xC2e−2x .D. y = C1e−x + xC2e−2x .

Câu 652. Tìm nghiệm tổng quát của 3y′′ + 18y′ + 27y = 0

A. y = C1e−3x + C2e−3x .C. y = e3x(xC1 + C2) .

B. y = e3x(xC1 + C2) .D. y = e3x(xC1 + C2) .

Câu 653. Cho biết một nghiệm riêng của y′′ − 2y′ + 2y = 2ex là y = x2e2, hãy tìm nghiệmtổng quát của phương trình trên

A. y = x2ex + Cex .C. y = Cx2e2 .

B. y = Cx2e2 .D. y = Cx2e2 .

Câu 654. Cho biết một nghiệm riêng của y′′ + y′ = 2 sin x + 3 cos 2x là y = − cos 2x −x cos x, hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình

A. y = C1 cos 2x + C2x cos x .B. y = cos 2x + x cos x + C1ex + C2e−x .C. y = − cos 2x − x cos x + C1ex + C2e−x .D. y = − cos 2x − x cos x + C1 cos x + C2 sin x .

Câu 655. Cho biết một nghiệm riêng của y′′ − 4y′ − 5y = 4 sin x − 6 cos x là y = cos x, hãytìm nghiệm tổng quát của phương trình

A. y = cos x + ex(C1 cos 5x + C2 sin 5x) .B. y = 4 sin x − 6 cos x + e−x(C1 cos 5x + C2 sin 5x) .C. y = cos x + C1e−x + C2e5x .D. y = 4 sin x − 6 cos x + C1e−x + C2e5x .

Câu 656. Cho biết một nghiệm riêng của y′′ + 2y′ + 26y = 29ex là y = ex, hãy tìm nghiệmtổng quát của phương trình

A. y = ex + e−x(C1 cos 5x + C2 sin 5x) .C. y = 29ex + e−x(C1 cos 5x + C2 sin 5x).

B. y = 29ex + e−x(C1 cos 5x + C2 sin 5x).D. y = 29ex + e−x(C1 cos 5x + C2 sin 5x).

Câu 657. Phương trình y′′ − 4y′ + 4y = e2x(x3 − 4x + 2) có một nghiệm riêng dang:A. y = x2e2x(Ax3 + Bx2 + Cx + D.C. y = x2(Ax3 + Bx2 + Cx + D.

B. y = x2(Ax3 + Bx2 + Cx + D.D. y = x2(Ax3 + Bx2 + Cx + D.

Câu 658. Phương trình y′′ + 4y′ = 2e2x có một nghiệm riêng dạng:A. y = (x + A)e2x .C. y = Ax + B .

B. y = Ax + B .D. y = Ax + B .

5.2 Phương trình vi phân cấp hai Trang 71

Câu 659. Phương trình y′′ − 8y′ + 12y = e2x(x2 − 1) có một nghiệm riêng dạng:A. y = x2(Ax2 + Bx + C)e2x .C. y = x(Ax2 + Bx + C)e2x .

B. y = x(Ax2 + Bx + C)e2x .D. y = x(Ax2 + Bx + C)e2x .

Câu 660. Phương trình y′′ + 3y′ + 2y = exx2 có một nghiệm riêng dạng:A. y = (e−x + e−2x)(Ax2 + Bx + C) .C. y = e−2x(Ax2 + Bx + C) .

B. y = e−2x(Ax2 + Bx + C) .D. y = e−2x(Ax2 + Bx + C) .

Câu 661. Phương trình y′′ + 3y′ + 2y = e−xx2 có một nghiệm riêng dạngA. y = (e−x + e−2x)(Ax2 + Bx + C) .C. y = xe−2x + Ax2 + Bx + C .

B. y = xe−2x + Ax2 + Bx + C .D. y = xe−2x + Ax2 + Bx + C .

Câu 662. Phương trình y′′ + 4y′ + 4y = cos x có một nghiệm riêng dạngA. y = A sin x .C. y = e−2x(A sin x + B cos x) .

B. y = e−2x(A sin x + B cos x) .D. y = e−2x(A sin x + B cos x) .

Câu 663. Phương trình y′′ − 4y′ + 3y = e3x sin x có một nghiệm riêng dạng:A. y = A sin x + B cos x + C .C. y = e3x(A sin x + B cos x) .

B. y = e3x(A sin x + B cos x) .D. y = e3x(A sin x + B cos x) .

Câu 664. Phương trình y′′ + 6y′ + 8y = 2x sin x + cos x có một nghiệm riêng dạng:A. y = −2x((Ax + B) sin x − 4x(Cx + D) cos x) .B. y = e − 2x(Ax + B) sin x .C. y = (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x .D. y = e−4x(Ax + B) cos x .

Câu 665. Phương trình y′′ − 6y′ + 10y = xe3x sin x có một nghiệm riêng dạng:A. y = xe−2x(Ax + B) sin x .B. y = e3x[(Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x)] .C. y = xe3x[(Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x)] .D. y = xe3x(A sin x + B cos x) .

Câu 666. Phương trình y′′ + 3y = x2 sin x có một nghiệm riêng dạng:A. y = (Ax2 + Bx + C) sin x .B. y = (Ax2 + Bx + C) cos x .C. y = (Ax2 + Bx + C)(sin x + cos x) .D. y = (Ax2 + Bx + C) sin x + (Cx2 + Dx + E) cos x .

Câu 667. Phương trình y′′ − 6y′ + 8y = e2x sin 4x có một nghiệm riêng dạng:A. y = e2x(A sin 4x + B cos 4x) .C. y = xe2x(A sin 4x + B cos 4x) .

B. y = xe2x(A sin 4x + B cos 4x) .D. y = xe2x(A sin 4x + B cos 4x) .

Chương 6

Hàm hai biến

Mục lục chương 66.1 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2 Vi phân hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.3 Cực trị hàm hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.1 Đạo hàm riêng

Câu 668. Cho hàm số z = f (x, y) = e2x+3y.Chọn đáp án đúng

A. z(n)xn = 5ne2x+3y .

C. z(n)xn = 2ne2x+3y .

B. z(n)xn = 2ne2x+3y .

D. z(n)xn = 2ne2x+3y .

Câu 669. Cho hàm số z = f (x, y) = cos(xy). Chọn đáp án đúng

A. z(n)yn = yn cos(xy + n π

2) .

C. z(n)yn = xn cos(xy + n π

2) .

B. z(n)yn = xn cos(xy + n π

2) .

D. z(n)yn = xn cos(xy + n π

2) .

Câu 670. Cho hàm số z = f (x, y) = ex+y. Chọn đáp án đúng

A. z(n+m)ynxm = z

(n)yn + z

(m)xm .

C. z(n+m)ynxm = z

(n)yn .z

(m)xm .

B. z(n+m)ynxm = z

(n)yn .z

(m)xm .

D. z(n+m)ynxm = z

(n)yn .z

(m)xm .

Câu 671. Cho hàm số z = f (x, y) = sin(x + y). Chọn đáp án đúng:

A. z(6)x3y3 = sin(x + y) .

C. z(6)x3y3 = cos(x + y) .

B. z(6)x3y3 = cos(x + y) .

D. z(6)x3y3 = cos(x + y) .

Câu 672. Cho hàm số z = f (x, y) = x20 + y20 + x10y11. Chọn đáp án đúng

A. z(22)x3y19 = z

(22)y3x19 = 1 , .

C. z(22)x7y15 = z

(22)y6x16 = 0 .

B. z(22)x7y15 = z

(22)y6x16 = 0 .

D. z(22)x7y15 = z

(22)y6x16 = 0 .

Câu 673. Cho hàm số z = f (x, y) = xy + y cos x + x sin y. Chọn đáp án đúng

6.2 Vi phân hàm hai biến Trang 73

A. z(4)xyx2 = 0 .

C. z(4)xyx2 = cos x .

B. z(4)xyx2 = cos x .

D. z(4)xyx2 = cos x .

Câu 674. Cho hàm số z = f (x, y) = xey. Chọn đáp án đúng

A. z(4)

y4x= 0 .

C. z(4)

y4x= 1 .

B. z(4)

y4x= 1 .

D. z(4)

y4x= 1 .

Câu 675. Cho hàm số z = f (x, y) = ey ln x. Chọn đáp án đúng

A. z(4)yxy2 = ey .

C. z(4)yxy2 =

ey

x .

B. z(4)yxy2 =

ey

x .

D. z(4)yxy2 =

ey

x .

Câu 676. Cho hàm số z = f (x, y) = exy. Chọn đáp án đúng

A. z(5)x5 = y5exy .

C. z(5)x5 = x5exy .

B. z(5)x5 = x5exy .

D. z(5)x5 = x5exy .

6.2 Vi phân hàm hai biến

Câu 677. Tìm vi phân cấp một của hàm z = x2 + 4y

A. dz = 2xdx + 4ydy .C. dz = 2xdx + 4y ln 4dy .

B. dz = 2xdx + 4y ln 4dy .D. dz = 2xdx + 4y ln 4dy .

Câu 678. Tìm vi phân cấp một của hàm: z = ln (√

x − y)

A. dz =dx − dy

x − y.

C. dz =dy − dx

x − y.

B. dz =dy − dx

x − y.

D. dz =dy − dx

x − y.

Câu 679. Tìm vi phân cấp một của hàm: z = arctan(y − x)

A. dz =dx + dy

1 + (x − y)2.

C. dz =dx − dy

1 + (x − y)2.

B. dz =dx − dy

1 + (x − y)2.

D. dz =dx − dy

1 + (x − y)2.

Câu 680. Tìm vi phân dz của hàm z = x2 − 2xy + sin(xy)A. dz = (2x − 2y + y cos(xy))dx .B. dz = (−2x + x cos(xy))dy .C. dz = (2x − 2y + y cos(xy))dx + (−2x + x cos(xy))dy .D. dz = (2x − 2y + cos(xy))dx + (−2x + cos(xy))dy .

Câu 681. Tính vi phân cấp 2 của hàm z = sin2x + ey2

A. d2z = 2 sin xdx2 + 2yey2dy2 .

C. d2z = 2 cos 2xdx2 + ey2(4y2 + 2)dy2 .

B. d2z = 2 cos 2xdx2 + ey2(4y2 + 2)dy2 .

D. d2z = 2 cos 2xdx2 + ey2(4y2 + 2)dy2 .

Trang 74 Chương 6. Hàm hai biến

Câu 682. Tìm đạo hàm riêng cấp hai z′ ′xx của hàm hai biến z = xey + y2 + y sin xA. z′ ′xx = −y sin x .C. z′ ′xx = y sin x .

B. z′ ′xx = y sin x .D. z′ ′xx = y sin x .

Câu 683. Cho hàm hai biến z = ex+2y. Kết quả nào sau đây đúng?A. z′ ′xx = ex+2y .C. z′ ′yy = 4.ex+2y .

B. z′ ′yy = 4.ex+2y .D. z′ ′yy = 4.ex+2y .

Câu 684. Tìm vi phân cấp hai d2z của hàm hai biến z = y ln x

A. d2z =1

ydxdy +

x

y2dy2 .

B. d2z =2

xdxdy − y

x2dx2 .

C. d2z =2

ydxdy +

x

y2dy2 .

D. d2z =1

xdxdy − y

x2dy2 .

Câu 685. Tìm vi phân cấp hai d2z của hàm hai biến z = x2 + xsin2y.

A. d2z = 2 cos 2ydxdy − 2x. sin 2ydy2 .B. d2z = 2dx2 + 2 sin 2ydxdy + 2x. sin 2ydy2 .C. d2z = 2dx2 − 2sin2ydx2 − 2x. cos 2ydy2 .D. d2z = 2dx2 + 2 sin 2y.dxdy + 2x. cos 2y.dy2 .

Câu 686. Tìm vi phân cấp hai d2z của hàm hai biến z = x2 + xcos2yA. d2z = 2 cos 2xdxdy − 2x. sin 2y.dy2 .B. d2z = 2dx2 + 2 sin 2ydxdy + 2x. sin 2ydy2 .C. d2z = 2dx2 − 2 sin 2ydxdy − 2x. cos 2ydy2 .D. d2z = 2dx2 − 2 sin 2ydxdy + 2x. cos 2ydy2 .

Câu 687. Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z = x2y3

A. d2z = 2y3dx2 + 12xy2dxdy + 6x2ydy2 .B. d2z = 2y3dx2 − 12xy2dxdy + 6x2ydy2 .C. d2z = y3dx2 + 6x2ydy2 .D. d2z = (2xy3dx + 3x2y2dy)

2 .

6.3 Cực trị hàm hai biến

Câu 688. Cho hàm f (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừngM(x0; y0) Đặt A = f ′ ′xx(x0, y0), B = f ′ ′xy(x0, y0), C = f ′ ′yy(x0, y0) , ∆ = B2 − AC Khẳngđịnh nào sau đây đúng?

A. Nếu ∆ < 0 và A > 0 thì f đạt cực đại tại M .B. Nếu ∆ < 0 và A < 0 thì f đạt cực đại tại M .C. Nếu ∆ > 0 và A > 0 thì f đạt cực tiểu tại M .D. Nếu ∆ > 0 và A < 0 thì f đạt cực tiểu tại M.

Câu 689. Cho hàm z = x2 − 2x + y2 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực đại tai M(1, 0) .C. z đạt cực tiểu tại M(1, 0) .

B. z đạt cực tiểu tại M(1, 0) .D. z đạt cực tiểu tại M(1, 0) .

6.3 Cực trị hàm hai biến Trang 75

Câu 690. Cho hàm z = x4 − 8x2 + y2 + 5 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực đại tại I(0, 0) .B. z đạt cực tiểu tại J(−2, 0) và K(2, 0) .C. z chỉ có hai điểm dừng là I(0, 0) và K(2, 0) .D. z không có cực trị .

Câu 691. Cho hàm z = x2 − 2xy + 1 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực đại tai M(0, 0) .C. z đạt cực tiểu tại M(0, 0) .


Câu 692. Cho hàm z = x2 + xy + y2 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực đại tại O(0, 0) .C. z không có cực trị .

B. z không có cực trị .D. z không có cực trị .

Câu 693. Cho hàm z = x2 − y2 + 2x − y + 1 Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực đại tại M(

−1,− 12

)

.

C. z đạt cực tiểu tại M(

−1,− 12

)

. .

B. z đạt cực tiểu tại M(

−1,− 12

)

. .

D. z đạt cực tiểu tại M(

−1,− 12

)

. .

Câu 694. Cho hàm z = x3 + 27x + y2 + 2y + 1 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z có hai điểm dừng .C. z có hai cực trị .

B. z có hai cực trị .D. z có hai cực trị .

Câu 695. Cho hàm z = 2x2 − 6xy + 5y2 + 4 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực đại tại M(0, 0) .C. z đạt cực tiểu tại M(0, 0) .


Câu 696. Cho hàm z = x3 + y3 − 12x − 3y Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực đại tại M(2, 1) .C. z đạt cực tiểu tại N(−2, 1) .

B. z đạt cực tiểu tại N(−2, 1) .D. z đạt cực tiểu tại N(−2, 1) .

Câu 697. Cho hàm z = x4 − y4 − 4x + 32y + 8 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực đại tại M(1, 2) .C. z đạt cực tiểu tại M(1, 2) .


Câu 698. Cho hàm z = 3x2 − 12x + 2y3 + 3y2 − 12y Khẳng định nào sau đây đúng?A. z có một cực đại và một cực tiểu .C. z chỉ có một điểm cực đại. .

B. z chỉ có một điểm cực đại. .D. z chỉ có một điểm cực đại. .

Câu 699. Cho hàm z = x3 − y2 − 3x + 6y Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực đại tại M(1, 3) .C. z đạt cực tiểu tại N(−1, 3) .

B. z đạt cực tiểu tại N(−1, 3) .D. z đạt cực tiểu tại N(−1, 3) .

Câu 700. Cho hàm z = x6 − y5 − cos2x − 32y Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực đại tại M(0, 2) .C. z đạt cực tiểu tại N(0,−2) .

B. z đạt cực tiểu tại N(0,−2) .D. z đạt cực tiểu tại N(0,−2) .

Câu 701. Cho hàm z = x2 − 4x + 4y2 − 8y + 3 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực tiểu tại M(2, 1) .C. z đạt cực đại tại M(2, 1) .

B. z đạt cực đại tại M(2, 1) .D. z đạt cực đại tại M(2, 1) .


Câu 702. Cho hàm z = −x2 + 4xy − 10y2 − 2x + 16y Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực tiểu tại M(1, 1) .C. z đạt cực đại tại M(1, 1) .


Câu 703. Cho hàm z = x3 − 2x2 + 2y3 + 7x − 8y Khẳng định nào sau đây đúng?A. z có 4 điểm dừng .B. z không có điểm dừng .C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị .D. z có hai cực đại và hai cực tiểu .

Câu 704. Cho hàm z = −2x2 − 2y2 + 12x + 8y + 5 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực tiểu tại M(0, 0) .C. z đạt cực đại tại M(0, 0) .


Câu 705. Cho hàm z = −3x2 + 2ey − 2y + 3 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực tiểu tại M(0, 0) .C. z đạt cực đại tại M(0, 0) .


Câu 706. Cho hàm z = x2 − y − ln |y| − 2 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực tiểu tại M(0,−1) .B. z đạt cực đại tại M(0,−1) .C. z luôn có các đạo hàm riêng trên R2 .D. z có điểm dừng nhưng không có cực trị .

Câu 707. Cho hàm z = 3x3 + y2 − 2x2 + 2x + 4y + 2 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z có 4 điểm dừng.C. z không có điểm dừng. .

B. z không có điểm dừng. .D. z không có điểm dừng. .

Câu 708. Cho hàm z = −2x2 + 8x + 4y2 − 8y + 3 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực tiểu tại M(2, 1) .C. z đạt cực đại tại M(2, 1) .


Câu 709. Cho hàm z = x2 + 4xy + 10y2 + 2x + 16y Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực đại tại M(−1, 1) .C. z đạt cực tiểu tại M(−1, 1) .

B. z đạt cực tiểu tại M(−1, 1) .D. z đạt cực tiểu tại M(−1, 1) .

Câu 710. Cho hàm z = x3 − 2x2 + 2y3 + x − 8y Khẳng định nào sau đây đúng?A. z có 4 điểm dừng .B. z không có điểm dừng .C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị .D. z có hai cực đại và hai cực tiểu .

Câu 711. Cho hàm z = −x2 + 2y2 + 12x + 8y + 5 Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực tiểu tại M(6, 2) .B. z đạt cực đại tại M(6, 2) .C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị .D. z không có điểm dừng .

Câu 712. Cho hàm z = x.ey + x3 + 2y2 − 4y Khẳng định nào sau đây đúng?A. z đạt cực tiểu tại M(0, 1) .B. z đạt cực đại tại M(0, 1) .C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị .D. z không có điểm dừng .

6.3 Cực trị hàm hai biến Trang 77

Câu 713. Cho hàm z = 2x2 − 4x + sin y − y2

, với x ∈ R,−π < y < π Khẳng định nào sauđây đúng?

A. z đạt cực đại tại M(

1, π3

)

.B. z đạt cực tiểu tại M

(

1,−π3

)

. .C. z đạt cực tiểu tại M

(

1, π3

)

.D. z có một cực đại và một cực tiểu. .

Câu 714. Cho hàm z = ln x − x + ln |y| − y2

2. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z không có cực trị .B. z có hai điểm cực đại .C. z có hai điểm cực tiểu .D. z có một cực đại và một cực tiểu .

Câu 715. Tìm cực trị của hàm z = ln(x2 − 2y) với điều kiện x − y − 2 = 0 Khẳng địnhnào sau đây đúng ?

A. z đạt cực đại tại M(1,−1) .B. z đạt cực tiểu tại M(1,−1) .C. z không có cực trị .D. Các khẳng định trên đều sai. .

Câu 716. Tìm cực trị của hàm z = ln∣

∣1 + x2y∣

∣ với điều kiện x − y − 3 = 0 Khẳng địnhnào sau đây đúng ?

A. z không có cực trị. .B. z có hai điểm dừng là A(0,−3) và D(3, 0) .C. z đạt cực đại tại A(0,−3) và B(2,−1) .D. z đạt cực tiểu tại A(0,−3) và đạt cực đại tại B(2,−1) .

Câu 717. Tìm cực trị của hàm z = x2(y − 1)− 3x + 2 với điều kiện x − y + 1 = 0 Khẳngđịnh nào sau đây đúng ?

A. z đạt cực đại tại A(−1, 0) và B(1, 2) .C. z đạt cực tiểu tại A(−1, 0) và B(1, 2) .

B. z đạt cực tiểu tại A(−1, 0) và B(1, 2) .D. z đạt cực tiểu tại A(−1, 0) và B(1, 2) .

Câu 718. Tìm cực trị của hàm z = 2x2 + y2 − 2y − 2 với điều kiện −x + y + 1 = 0 Khẳngđịnh nào sau đây đúng ?

A. z đạt cực tiểu tại A(

23;− 1

3

)

.

B. z đạt cực đại tại A(

23;− 1

3

)

.

C. z đạt cực đại tại M(1, 0) và N(

13;− 2

3

)

.

D. z đạt cực tiểu tại M(1, 0) và N(

13;− 2

3

)

.

Câu 719. Tìm cực trị của hàm z = x2(y + 1)− 3x + 2 với điều kiện x + y + 1 = 0 Khẳngđịnh nào đúng ?

A. z đạt cực đại tại A(−1, 0) và B(1,−2) .B. z đạt cực tiểu tại A(−1, 0) và B(1,−2) .C. z đạt cực tiểu tại A(−1, 0) và đạt cực đại tại B(1,−2) .D. z không có cực trị .


Câu 720. Tìm cực trị của hàm z = x3

3− 3x + y với điều kiện −x2 + y = 1 Khẳng định nào

sau đây đúng ?A. z đạt cực đại tại M(−3, 10) và N(1, 2) .B. z đạt cực tiểu tại M(−3, 10) và N(1, 2) .C. z đạt cực đại tại M(−3, 10) và cực tiểu tại N(1, 2) .D. Các khẳng định trên sai .

Câu 721. Tìm cực trị của z = z(x, y) thỏa: x2 + y2 + z2 − 4x + 6y + 2z − 2 = 0

A. z đạt cực tiểu tại M(2,−3) và ZCT = −5 .B. z đạt cực đại tại M(2,−3) và ZCŒ = 3 .C. Cả a và b.D. z Chỉ có điểm dừng là M(2,−3) .

Câu 722. Tìm cực trị của z = z(x, y) thỏa: x2 + y2 + z2 + 4x + 2y − 14z − 10 = 0

A. z đạt cực tiểu tại M(−2,−1) .B. z đạt cực đại tại M(−2,−1) .C. Tại M(−2,−1) vừa là điểm cực vừa là điểm cực tiểu .D. z không có điểm dừng .

Câu 723. Tìm cực trị của z = z(x, y) thỏa: x2 + y2 + z2 − 8x + 2y − 2z + 2 = 0

A. z đạt cực tiểu tại M(4,−1) .B. z đạt cực đại tại M(4,−1) .C. Tại M(4,−1) vừa là điểm cực vừa là điểm cực tiểu .D. z không có điểm dừng .

Câu 724. Tìm cực trị của z = z(x, y) thỏa: x2 + y2 + z2 − 4x + 12y + 2z − 8 = 0

A. z đạt cực tiểu tại M(2,−6) và ZCT = −8 .B. z đạt cực đại tại M(2,−6) và ZCŒ = 6 .C. Cả a và b .D. z Chỉ có điểm dừng là M(2,−6) .

Chương 7

Bài toán kinh tế

Mục lục chương 77.1 Bài toán lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2 Tìm hàm doanh thu, lợi nhuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.3 Tìm mức sản lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.1 Bài toán lãi suất

Câu 725. Một số tiền 50 triệu đồng gởi ở ngân hàng với lãi suất 5% trên một năm. Hỏitổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu, nếu đầu tháng 1 năm 2007 đem gởi và cuối năm2007 tới nhận, tính lãi ghép liên tục?

A. 52 558 094 . B. 52 563 374 . C. 52 563 554. D. 52 500 000. .

Câu 726. Một số tiền 50 triệu đồng gởi ở ngân hàng với lãi suất 5% trên một năm. Hỏitổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu, nếu đầu tháng 1 năm 2007 đem gởi và cuối năm2007 tới nhận, nhưng cuối mỗi tháng ta đến ngân hàng rút cả vốn lẫn lãi và gởi tiếp?

A. 52 558 094 . B. 52 563 374 . C. 52 563 554. D. 52 500 000. .

Câu 727. Một số tiền 50 triệu đồng gởi ở ngân hàng với lãi suất 5% trên một năm. Hỏitổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu, nếu đầu tháng 1 năm 2007 đem gởi và cuối năm2007 tới nhận, nhưng cuối mỗi ngày ta đến ngân hàng rút cả vốn lẫn lãi và gởi tiếp?

A. 52 558 094 . B. 52 563 374 . C. 52 563 554. D. 52 500 000. .

Câu 728. Một số tiền 50 triệu đồng gởi ở ngân hàng với lãi suất 5% trên một năm. Hỏitổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu, nếu đầu tháng 1 năm 2007 đem gởi và cuối năm2007 tới nhận?

A. 52 558 094 . B. 52 563 374 . C. 52 563 554. D. 52 500 000. .

Câu 729. Một số tiền 40 triệu đồng gởi ở ngân hàng với lãi suất 2% trên một năm. Hỏitổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu, nếu đầu tháng 1 năm 2007 đem gởi và cuối năm2007 tới nhận, tính lãi ghép liên tục?

A. 40 800 000 . B. 40 807 374 . C. 40 808 031 . D. 40 808 053 .

Câu 730. Một số tiền 40 triệu đồng gởi ở ngân hàng với lãi suất 2% trên một năm. Hỏitổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu, nếu đầu tháng 1 năm 2007 đem gởi và cuối năm2007 tới nhận, nhưng cuối mỗi tháng ta đến ngân hàng rút cả vốn lẫn lãi và gởi tiếp?

Trang 80 Chương 7. Bài toán kinh tế

A. 40 800 000 . B. 40 807 374 . C. 40 808 031 . D. 40 808 053 .

Câu 731. Một số tiền 40 triệu đồng gởi ở ngân hàng với lãi suất 2% trên một năm. Hỏitổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu, nếu đầu tháng 1 năm 2007 đem gởi và cuối năm2007 tới nhận, nhưng cuối mỗi ngày ta đến ngân hàng rút cả vốn lẫn lãi và gởi tiếp?

A. 40 800 000 . B. 40 807 374 . C. 40 808 031 . D. 40 808 053 .

Câu 732. Một số tiền 40 triệu đồng gởi ở ngân hàng với lãi suất 2% trên một năm. Hỏitổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu, nếu đầu tháng 1 năm 2007 đem gởi và cuối năm2007 tới nhận?

A. 40 800 000. B. 40 807 374 . C. 40 808 031 . D. 40 808 053 .

7.2 Tìm hàm doanh thu, lợi nhuận

Câu 733. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và có hai thị trường tiêuthụ tách biệt. Biết hàm cầu trên hai thị trường và hàm tổng chi phí là:QD1

= 480 −P1; QD2

= 400 − P2

3; C = 20 + 90Q + Q2. Lợi nhuận của xí nghiệp có thể tính theo

công thức. (Q1, Q2 là lượng sản phẩm bán trên các thị trường)A. −2Q2

1 − 4Q22 − 2Q1Q2 + 390Q1 + 930Q2 − 20 .

B. −2Q21 − 4Q2

2 − 2Q1Q2 + 390Q1 + 1110Q2 − 20 .C. −2Q2

1− 2Q2

2 + 2Q1Q2 + 390Q1 + 930Q2 − 20 .D. −2Q2

1 − 2Q22 − 2Q1Q2 + 390Q1 + 1110Q2 + 20. .

Câu 734. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và có hai thị trườngtiêu thụ tách biệt. Biết hàm cầu trên hai thị trường và hàm tổng chi phí là:QD1

= 480 −P1; QD2

= 400 − P2

3; C = 20 + 90Q + Q2. Nếu mức thuế phải đóng trên các thị trường

lần lượt là 7; 8 đơn vị tiền tệ trên một đơn vị sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp có thểtính theo công thức. (Q1, Q2 là lượng sản phẩm bán trên các thị trường)

A. −2Q21− 4Q2

2 − 2Q1Q2 + 383Q1 + 1102Q2 − 20 .B. −2Q2

1 − 4Q22 − 2Q1Q2 + 390Q1 + 1110Q2 − 20 .

C. −2Q21 − 2Q2

2 + 2Q1Q2 + 390Q1 + 930Q2 − 20 .D. −2Q2

1− 2Q2

2 − 2Q1Q2 + 390Q1 + 1110Q2 + 20. .


= 480 −P1; QD2

= 400 − P2

3; C = 20 + 90Q + Q2. Doanh thu của xí nghiệp có thể tính theo

công thức. (Q1, Q2 là lượng sản phẩm bán trên các thị trường)A. −2Q2

1 − 4Q22 − 2Q1Q2 + 383Q1 + 1102Q2 − 20 .

B. −2Q21 − 4Q2

2 − 2Q1Q2 + 390Q1 + 1110Q2 − 20 .C. −Q2

1− 3Q2

2 + 480Q1 + 1200Q2 + 20 .D. −Q2

1 − 3Q22 + 480Q1 + 1200Q2. .

Câu 736. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổngchi phí là:QD = 480 − P; C = 20 + 60Q + Q2. Lợi nhuận của xí nghiệp có thể tính theocông thức.

7.2 Tìm hàm doanh thu, lợi nhuận Trang 81

A. 2Q2 + 420Q + 20.C. −2Q2 + 420Q .

B. −2Q2 + 420Q .D. −2Q2 + 420Q .

Câu 737. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổngchi phí là:QD = 480 − P; C = 20 + 60Q + Q2. Nếu mức thuế phải đóng là 10 đơn vị tiềntệ trên một đơn vị sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp có thể tính theo công thức.

A. −2Q2 + 410Q − 20.C. 2Q2 + 410Q − 20 .

B. 2Q2 + 410Q − 20 .D. 2Q2 + 410Q − 20 .

Câu 738. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổngchi phí là:QD = 480 − P; C = 20 + 60Q + Q2. Doanh thu của xí nghiệp có thể tính theocông thức.

A. Q2 − 480Q.C. −2Q2 + 420Q .

B. −2Q2 + 420Q .D. −2Q2 + 420Q .

Câu 739. Trong thị trường cạnh tranh hòan hảo, một Xí nghiệp sản xuất hai lọai sảnphẩm với giá bán trên thị trường lần lượt là P1 = 14; P2 = 16 đơn vị tiền tệ trên mộtđơn vị sản phẩm. Biết trong quá trình sản xuất Xí nghiệp bỏ ra chi phí tuân theo hàmC = Q2

1+ Q1Q2 + Q2

2. Lợi nhuận của Xí nghiệp được tính theo công thức.A. −Q2

1 + Q22 + Q1Q2 + 14Q1 + 16Q2.

C. −Q21 − Q2

2 + Q1Q2 + 14Q1 + 16Q2 .B. −Q2

1 − Q22 + Q1Q2 + 14Q1 + 16Q2 .

D. −Q21 − Q2

2 + Q1Q2 + 14Q1 + 16Q2 .


1 + Q1Q2 + Q22, và mức thuế phải đóng cho các sản phẩm lần lượt là 2; 3 đơn vị

tiền tệ trên một đơn vị sản phẩm. Lợi nhuận của Xí nghiệp được tính theo công thức.A. −Q2

1− Q2

2 − Q1Q2 + 12Q1 + 13Q2.C. −Q2

1 − Q22 + Q1Q2 + 14Q1 + 16Q2 .

B. −Q21− Q2

2 + Q1Q2 + 14Q1 + 16Q2 .D. −Q2

1 − Q22 + Q1Q2 + 14Q1 + 16Q2 .


1 + Q1Q2 + Q22. Doanh thu của Xí nghiệp được tính theo công thức.

A. −Q21 + Q2

2 + Q1Q2 + 14Q1 + 16Q2.C. 14Q1 + 16Q2 .

B. 14Q1 + 16Q2 .D. 14Q1 + 16Q2 .

Câu 742. Một Xí nghiệp sản xuất độc quyền hai lọai sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổngchi phí là QD1

= 40 − 2P1 + P2, QD2= 35 + P1 − P2, C = Q2

1 + Q1Q2 + Q22. Doanh thu

của Xí nghiệp có thể tính theo công thứcA. −Q2

1+ Q2

2 + Q1Q2 + 14Q1 + 16Q2 .B. −Q2

1− 2Q2

2 + 2Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .C. −Q2

1 − 2Q22 − 2Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .

D. −2Q21− Q2

2 + 2Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .


= 40 − 2P1 + P2, QD2= 35 + P1 − P2, C = Q2

1 + Q1Q2 + Q22. Lợi nhuận

của Xí nghiệp có thể tính theo công thức


A. −2Q21 − 3Q2

2 − 3Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .B. −Q2

1 − 2Q22 + 2Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .

C. −Q21− 2Q2

2 − 3Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .D. −2Q2

1 − Q22 + 2Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .


= 40 − 2P1 + P2, QD2= 35 + P1 − P2, C = Q2

1+ Q1Q2 + Q2

2 và mức thuếphải đóng cho các sản phẩm lần lượt là 5; 10 đơn vị tiền tệ trên một đơn vị sản phẩm. Lợinhuận của Xí nghiệp có thể tính theo công thức

A. −2Q21 − 3Q2

2 − 3Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .B. −Q2

1 − 2Q22 + 2Q1Q2 + 70Q1 + 100Q2 .

C. −Q21− 2Q2

2 − 3Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .D. −2Q2

1 − 3Q22 − 3Q1Q2 + 70Q1 + 100Q2. .


= 480 −P1; QD2

= 400 − P2; C = 120 + 100Q + Q2. Lợi nhuận của xí nghiệp có thể tính theocông thức. (Q1, Q2 là lượng sản phẩm bán trên các thị trường)

A. −2Q21− 2Q2

2 − 2Q1Q2 + 380Q1 + 300Q2 − 120 .B. −2Q2

1 − 4Q22 − 2Q1Q2 + 390Q1 + 1110Q2 − 20 .

C. −2Q21− 2Q2

2 + 2Q1Q2 + 390Q1 + 930Q2 − 120 .D. −2Q2

1− 2Q2

2 − 2Q1Q2 + 390Q1 + 1110Q2 + 20. .

Câu 746. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và có hai thị trường tiêuthụ tách biệt. Biết hàm cầu trên hai thị trường và hàm tổng chi phí là: QD1

= 480 −P1; QD2

= 400 − P2; C = 120 + 100Q + Q2. Nếu mức thuế phải đóng trên các thị trườnglần lượt là 10; 20 đơn vị tiền tệ trên một đơn vị sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp có thểtính theo công thức. (Q1, Q2 là lượng sản phẩm bán trên các thị trường)

A. −2Q21− 2Q2

2 − 2Q1Q2 + 380Q1 + 300Q2 − 120 .B. −2Q2

1 − 4Q22 − 2Q1Q2 + 390Q1 + 1110Q2 − 20 .

C. −2Q21 − 2Q2

2 + 2Q1Q2 + 390Q1 + 930Q2 − 120 .D. −2Q2

1− 2Q2

2 − 2Q1Q2 + 370Q1 + 280Q2 − 120. .

Câu 747. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và có hai thị trường tiêuthụ tách biệt. Biết hàm cầu trên hai thị trường và hàm tổng chi phí là: QD1

= 480 −P1; QD2

= 400 − P2; C = 120 + 100Q + Q2. Doanh thu của xí nghiệp có thể tính theocông thức. (Q1, Q2 là lượng sản phẩm bán trên các thị trường)

A. −2Q21− 2Q2

2 − 2Q1Q2 + 380Q1 + 300Q2 − 120 .B. −Q2

1 − Q22 + 380Q1 + 300Q2 .

C. −Q21 − Q2

2 + 480Q1 + 400Q2 .D. −2Q2

1− 2Q2

2 − 2Q1Q2 + 370Q1 + 280Q2 − 120. .

Câu 748. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổng

chi phí là:QD = 380 − P; C = 20+ 60Q + Q2 − 1

3Q3. Lợi nhuận của xí nghiệp có thể tính

theo công thức.

7.2 Tìm hàm doanh thu, lợi nhuận Trang 83

A.1

3Q3 − 2Q2 − 320Q + 20.

C. −1

3Q3 − 2Q2 + 320Q − 20 .

B. −1

3Q3 − 2Q2 + 320Q − 20 .

D. −1

3Q3 − 2Q2 + 320Q − 20 .

Câu 749. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổngchi phí là:QD = 480− P; C = 20+ 50Q + Q2. Nếu mức thuế phải đóng là 5 đơn vị tiền tệtrên một đơn vị sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp có thể tính theo công thức.

A. −2Q2 + 410Q − 20.C. −2Q2 + 425Q − 20 .

B. −2Q2 + 425Q − 20 .D. −2Q2 + 425Q − 20 .

Câu 750. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổngchi phí là:P = 420 − Q; C = 40 + 40Q + Q2. Doanh thu của xí nghiệp có thể tính theocông thức.

A. Q2 − 480Q. B. −2Q2 + 420Q . C. −Q2 + 420Q. D. −Q2 + 480Q. .


1+ Q1Q2 + Q2

2 + 6Q1 + 9Q2. Lợi nhuận của Xí nghiệp được tính theo công thức.A. −Q2

1 − Q22 − Q1Q2 + 9Q1 + 9Q2.

C. −Q21 − Q2

2 + Q1Q2 + 15Q1 + 18Q2 .B. −Q2

1 − Q22 + Q1Q2 + 15Q1 + 18Q2 .

D. −Q21 − Q2

2 + Q1Q2 + 15Q1 + 18Q2 .


1 + Q1Q2 + Q22 + 7Q1 + 8Q2 + 2, và mức thuế phải đóng cho các sản phẩm lần lượt

là 3; 2 đơn vị tiền tệ trên một đơn vị sản phẩm. Lợi nhuận của Xí nghiệp được tính theocông thức.

A. −Q21− Q2

2 + Q1Q2 + 10Q1 + 6Q2 − 2

.C. −Q2

1 − Q22 + Q1Q2 + 14Q1 + 16Q2 .

B. −Q21− Q2

2 + Q1Q2 + 14Q1 + 16Q2 .D. −Q2

1 − Q22 + Q1Q2 + 14Q1 + 16Q2 .


1 + Q1Q2 + Q22. Doanh thu của Xí nghiệp được tính theo công thức.

A. −Q21 + Q2

2 + Q1Q2 + 24Q1 + 26Q2 .C. 14Q1 + 16Q2 .

B. 14Q1 + 16Q2 .D. 14Q1 + 16Q2 .

Câu 754. Một Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổngchi phí là:QD = 380 − P; C = 60 + 70Q + Q2. Để lợi nhuận của Xí nghiệp là 11640 thì Xínghiệp nên sản xuất mức sản lượng là:

A. Q = 90.C. Q = 65 .

B. Q = 65 .D. Q = 65 .

Câu 755. Một Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàmtổng chi phí là:P = 12− 0.6Q; C = 5+ 4Q + 0.4Q2. Để lợi nhuận của Xí nghiệp là 7 thì Xínghiệp nên sản xuất mức sản lượng là:

A. Q = 2. B. Q = 3 . C. Q = 5. D. Q = 6. .


Câu 756. Một Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổngchi phí là:P = 12 − 0.4Q; C = 5 + 4Q + 0.6Q2. Xí nghiệp phải đóng mức thuế là 1 đơn vịtiền tệ trên một đơn vị sản phẩm. Để lợi nhuận của Xí nghiệp là 7 thì Xí nghiệp nên sảnxuất mức sản lượng là:

A. Q = 2. B. Q = 3 . C. Q = 4. D. Q = 5..


= 40 − 2P1 − P2, QD2= 35 + P1 − P2, C = Q2

1 + Q1Q2 + Q22. Doanh thu

của Xí nghiệp có thể tính theo công thức

A.−Q2

1

3− 2Q2

2

3+ 15Q1 + 50Q2 .

B.−Q2

1

3− 2Q2

2

3− 2Q1Q2 + 15Q1 + 50Q2 .

C.−Q2

1

3− 2Q2

2

3+ Q1Q2 + 15Q1 + 50Q2 .

D.−Q2

1

3− 2Q2

2

3+ 2Q1Q2 + 15Q1 + 50Q2. .


= 35 + P1 − P2, QD2= 40 − 2P1 + P2, C = Q2

1 + Q1Q2 + Q22 + 4Q1 + 6Q2.

Lợi nhuận của Xí nghiệp có thể tính theo công thứcA. −2Q2

1 − 3Q22 − 3Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .

B. −Q21− 2Q2

2 + 2Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .C. −Q2

1 − 2Q22 − 3Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .

D. −2Q21 − 2Q2

2 − 4Q1Q2 + 71Q1 + 104Q2. .


= 35 + P1 − P2, QD2= 40 − 2P1 + P2, C = Q2

1 + Q1Q2 + Q22 + 4Q1 + 6Q2,

và mức thuế phải đóng cho các sản phẩm lần lượt là 5; 10 đơn vị tiền tệ trên một đơn vịsản phẩm. Lợi nhuận của Xí nghiệp có thể tính theo công thức

A. −2Q21 − 3Q2

2 − 3Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .B. −Q2

1 − 2Q22 + 2Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2 .

C. −2Q21− 2Q2

2 − 4Q1Q2 + 66Q1 + 94Q2 .D. −2Q2

1 − 2Q22 − 4Q1Q2 + 71Q1 + 104Q2. .

7.3 Tìm mức sản lượng

Câu 760. Một Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổngchi phí là:QD = 480 − P; C = 80 + 60Q + Q2. Để lợi nhuận của Xí nghiệp là 21520 thì Xínghiệp nên sản xuất mức sản lượng là:

A. Q = 90.C. Q = 120 .

B. Q = 120 .D. Q = 120 .

Câu 761. Một Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàmtổng chi phí là:P = 12 − 0.4Q; C = 5 + 4Q + 0.6Q2. Để lợi nhuận của Xí nghiệp là 10 thìXí nghiệp nên sản xuất mức sản lượng là:

7.3 Tìm mức sản lượng Trang 85

A. Q = 5.C. Q = 3 .

B. Q = 3 .D. Q = 3 .

Câu 762. Một Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổngchi phí là:P = 12 − 0.4Q; C = 5 + 4Q + 0.6Q2. Xí nghiệp phải đóng mức thuế là 0.2 đơnvị tiền tệ trên một đơn vị sản phẩm. Để lợi nhuận của Xí nghiệp là 8 thì Xí nghiệp nên sảnxuất mức sản lượng là:

A. Q = 5.C. Q = 3.8603 .

B. Q = 3.8603 .D. Q = 3.8603 .

Câu 763. Một Xí nghiệp sản xuất độc quyền hai lọai sản phẩm. Biết lợi nhuận của Xínghiệp tuân theo công thức −Q2

1− 2Q2

2 − 3Q1Q2 + 75Q1 + 110Q2. Để có lợi nhuận nhiềunhất thì Xí nghiệp nên sản xuất mức sản lượng là:

A. Q1 = 30 ∨ Q2 = 5.C. Q1 = 30 ∧ Q2 = 5 .

B. Q1 = 30 ∧ Q2 = 5 .D. Q1 = 30 ∧ Q2 = 5 .

Câu 764. Một Công ty cung cấp độc quyền một lọai sản phẩm có hàm cầu về sản phẩm

của mình là P = 2700 − 5Q và tổng chi phí C =1

3Q3 − 15Q2 + 2400Q. Biết Công ty đang

theo đuổi mục đích lợi nhuận nhiều nhất. Khi bán được 20 đơn vị sản phẩm thì doanhthu của công ty lúc này là:

A. 50 000.C. 51 000.

B. 51 000.D. 51 000.


1− Q2

2 − Q1Q2 + 9Q1 + 9Q2. Để có lợi nhuận nhiều nhấtthì Xí nghiệp nên sản xuất mức sản lượng là:

A. Q1 = 3 ∧ Q2 = 3.C. Q1 = 30 ∧ Q2 = 5 .

B. Q1 = 30 ∧ Q2 = 5 .D. Q1 = 30 ∧ Q2 = 5 .

Câu 766. Một Công ty cung cấp độc quyền một lọai sản phẩm có hàm cầu về sản phẩmcủa mình là P = 12 − 0.4Q và tổng chi phí C = 5 + 4Q + 0.6Q2. Biết Công ty đang theođuổi mục đích lợi nhuận nhiều nhất. Khi bán được 3 đơn vị sản phẩm thì doanh thu củacông ty lúc này là:

A. 26.2. B. 28.2. C. 29. D. 31.2. .

Câu 767. Một Công ty cung cấp độc quyền một lọai sản phẩm có hàm cầu về sản phẩmcủa mình là P = 12 − 0.4Q và tổng chi phí C = 5 + 4Q + 0.6Q2. Để có lợi nhuận nhiềunhất thì công ty sẽ bán một đơn vị sản phẩm với giá là:

A. 10.4. B. 11.4. C. 12.4. D. 13.4. .

Câu 768. Một Xí nghiệp sản xuất độc quyền hai lọai sản phẩm. Biết lợi nhuận của Xínghiệp tính theo công thức −2Q2

1− 4Q2

2 − 4Q1Q2 + 71Q1 + 104Q2. Để có lợi nhuận nhiềunhất thì Xí nghiệp nên sản xuất mức sản lượng là:

A. Q1 = 8.25 ∨ Q2 = 9.5.C. Q1 = 30 ∧ Q2 = 5 .

B. Q1 = 30 ∧ Q2 = 5 .D. Q1 = 30 ∧ Q2 = 5 .


= 40 − 2P1 − P2, QD2= 35 + P1 − P2, C = Q2

1 + Q1Q2 + Q22. Để có lợi

nhuận nhiều nhất thì Xí nghiệp nên sản xuất mức sản lượng là:A. Q1 = 8.25 ∨ Q2 = 9.5.C. Q1 = 30 ∧ Q2 = 5 .

B. Q1 = 30 ∧ Q2 = 5 .D. Q1 = 30 ∧ Q2 = 5 .


Câu 770. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổngchi phí là:QD = 480 − P; C = 20 + 50Q + Q2. Nếu để Xí nghiệp sản xuất mức sản lượngtối thiểu là 100 đơn vị sản phẩm thì mức thuế đánh cho một đơn vị sản phẩm tối đa là:

A. 29. B. 30. C. 31. D. 32. .


1 − Q22 − Q1Q2 + 9Q1 + 9Q2. Lợi nhuận nhiều nhất của

Xí nghiệp là:A. 25. B. 27 . C. 29. D. 31. .

Câu 772. Một Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổngchi phí là:QD = 13 − P; C = 6 + Q + Q2. Lợi nhuận nhiều nhất của Xí nghiệp là:

A. 15. B. 17 . C. 12. D. 11. .

Câu 773. Một Xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu và hàm tổngchi phí là:P = 12 − 0.4Q; C = 5 + 4Q + 0.6Q2. Xí nghiệp phải đóng mức thuế là 2 đơn vịtiền tệ trên một đơn vị sản phẩm. Lợi nhuận nhiều nhất của Xí nghiệp là :

A. 4. B. 6 . C. 8. D. 10. .

Câu 774. Lượng một loại sản phẩm và giá bán tương ứng có trong một đơn vị thời giancho trong bảng sau.

Giá bán P 1 2 3 4 5Sản lượng Q 22 18 12 10 6

A. Q = 26 − 4P . B. Q = 26 − 3P . C. Q = 26 + 4P . D. Q = 26 + P..



A. Q =15

P. B. Q = 15 + P . C. Q = 26 + 4P . D. Q = 15 − P..



A. Q = 26 − 4P . B. Q = 21 + 2P . C. Q = 26 + 4P . D. Q = 26 + P..

Documents

Toán cao cấp Bài tập trắc nghiệm C1 - ffs.iuh.edu.vnffs.iuh.edu.vn/files/nguyenducphuong/baigiang/01. TracNghiem C1.pdf · Toán cao cấp C1 Nguyễn Đức Phương TP