Bài tập toán cao cấp A3trantuananhlikemysite.weebly.com/uploads/7/4/0/5/7405544/...Bài tập toán cao cấp A3 Mục lục 1 Vi phân hàm nhiều biến 3 1.1 Vi phân cấp

Trường Đại học Công nghiệp TP.HCM

Bài tập toán cao cấp A3

Mục lục

1 Vi phân hàm nhiều biến 3

1.1 Vi phân cấp 1, cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Tích phân bội hai 11

3 Tích phân bội ba 24

4 Tích phân đường 31

4.1 Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Phương trình vi phân 43

5.1 Phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Phương trình vi phân cấp II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6 Tích phân mặt 56

6.1 Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.2 Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2

Chương 1

Vi phân hàm nhiều biến

1.1 Vi phân cấp 1, cấp 2

Câu 1. Cho hàm số z D f .x; y/ D e2xC3y , chọn đáp án đúng

A. z.n/xn D 5ne2xC3y . B. z

.n/xn D 2ne2xC3y .

C. z.n/xn D 3ne2xC3y . D. z

.n/xn D e2xC3y .

Câu 2. Cho hàm số z D f .x; y/ D cos.xy/, chọn đáp án đúng

A. z.n/yn D yn cos.xy C n�

2/ . B. z

.n/yn D xn cos.xy C n�

2/ .

C. z.2n/xnyn D .xy/n cos.xy C n�

2/. D. z

.2n/xny D ynx cos.xy C n�

2/.

Câu 3. Cho hàm số z D f .x; y/ D exCy , chọn đáp án đúng

A. z.nCm/ynxm D z

.n/yn C z

.m/xm . B. z

.nCm/ynxm D z

.n/yn :z

.m/xm .

C. z.nCm/ynxm D z

.n/yn . D. z

.nCm/ynxm D �z

.m/ym :z

.n/xn .

Câu 4. Cho hàm số z D f .x; y/ D sin.x C y/, chọn đáp án đúng

A. z.6/

x3y3 D sin.x C y/. B. z.6/

x3y3 D cos.x C y/ .

C. z.6/

x3y3 D � sin.x C y/. D. z.6/

x3y3 D � cos.x C y/.

Câu 5. Cho hàm số z D f .x; y/ D x20 C y20 C x10y11, chọn đáp án đúng

A. z.22/

x3y19 D z.22/

y3x19 D 1. B. z.22/

x7y15 D z.22/

y6x16 D 0 .

C. z.22/

x13y9 D z.22/

y6x16 D 2 . D. z.22/

x11y11 D z.22/

y11x11 D 3.

Câu 6. Cho hàm số z D f .x; y/ D xy C y cos x C x sin y, chọn đáp án đúng

A. z.4/

xyx2 D 0 . B. z.4/

xyx2 D cos x .

C. z.4/

xyx2 D sin x . D. z.4/

xyx2 D 1.

Câu 7. Cho hàm số z D f .x; y/ D xey . chọn đáp án đúng

3

A. z.5/

y4xD 0. B. z

.5/

y4xD 1 .

C. z.5/

y4xD x . D. z

.5/

y4xD ey .

Câu 8. Cho hàm số z D f .x; y/ D ey ln x, chọn đáp án đúng

A. z.4/

yxy2 D ey . B. z.4/

yxy2 D ey

x.

C. z.4/

yxy2 D �ey

x. D. z

.4/

yxy2 D 1x.

Câu 9. Cho hàm số z D f .x; y/ D exy , chọn đáp án đúng

A. z.5/

x5 D y5exy . B. z.5/

x5 D x5exy .

C. z.5/

x5 D exy . D. z.5/

x5 D 0.

Câu 10. Tìm đạo hàm riêng cấp hai z2xx của hàm hai biến z D xey C y2 C y sin x

A. z2xx D �y sin x. B. z2

xx D ey � y sin x .

C. z2xx D ey C y cos x . D. z2

xx D y sin x.

Câu 11. Tìm vi phân cấp một của hàm z D x2 C 4y

A. dz D 2xdx C 4ydy. B. dz D 2xdx C 4y ln 4dy.

C. dz D 2xdx C y4y�1dy. D. dz D 2xdx C y4y ln 4dy.

Câu 12. Tìm vi phân cấp một của hàm z D ln�p

x � y�

A. dz D dx � dy

x � y. B. dz D dy � dx

x � y. C. dz D dx � dy

2.x � y/. D. dz D dy � dx

2.x � y/.

Câu 13. Tìm vi phân cấp một của hàm z D arctan.y � x/

A. dz D dx C dy

1 C .x � y/2.B. dz D dx � dy

1 C .x � y/2. C. dz D dy � dx

1 C .x � y/2. D. dz D �dx � dy

1 C .x � y/2.

Câu 14. Tìm vi phân dz của hàm z D x2 � 2xy C sin.xy/

A. dz D .2x � 2y C y cos.xy//dx.

B. dz D .�2x C x cos.xy//dy.

C. dz D .2x � 2y C y cos.xy//dx C .�2x C x cos.xy//dy.

D. dz D .2x � 2y C cos.xy//dx C .�2x C cos.xy//dy.

Câu 15. Tính vi phân cấp 2 của hàm z D sin2x C ey2

A. d 2z D 2 sin xdx2 C 2yey2

dy2. B. d 2z D 2 cos 2xdx2 C ey2

.4y2 C 2/dy2.

C. d 2z D �2 cos 2xdx2 C 2yey2

dy2. D. d 2z D cos 2xdx2 C ey2

dy2.

Câu 16. Tìm đạo hàm riêng cấp hai z00xx của hàm hai biến z D xey C y2 C y sin x

A. z00xx D �y sin x. B. z00

xx D y sin x.

C. z00xx D ey C y cos x. D. z00

xx D ey � y sin x.

4

Câu 17. Cho hàm hai biến z D exC2y . Kết quả nào sau đây đúng?

A. z00xx D exC2y . B. z00

yy D 4:exC2y .

C. z00xy D 2:exC2y . D. Các kết quả trên đều đúng..

Câu 18. Tìm vi phân cấp hai d 2z của hàm hai biến z D y ln x: Biết x; y là các biến độc lập.

A. d 2z D 1

ydxdy C x

y2dy2. B. d 2z D 2

xdxdy � y

x2dx2.

C. d 2z D 2

ydxdy C x

y2dy2. D. d 2z D 1

xdxdy � y

x2dy2.

Câu 19. Tìm vi phân cấp hai d 2z của hàm hai biến z D x2 C xsin2y: Biết x; y là các biến độc

lập.

A. d 2z D 2 cos 2ydxdy � 2x sin 2ydy2. B. d 2z D 2dx2 C 2 sin 2ydxdy C 2x sin 2ydy2.

C. d 2z D 2dx2 � 2sin2ydx2 � 2x cos 2ydy2. D. d 2z D 2dx2 C 2 sin 2ydxdy C 2x cos 2ydy2.

Câu 20. Tìm vi phân cấp hai d 2z của hàm hai biến z D x2 C xcos2y: Biết x; y là các biến độc

lập.

A. d 2z D 2 cos 2xdxdy � 2x sin 2ydy2. B. d 2z D 2dx2 C 2 sin 2ydxdy C 2x sin 2ydy2.

C. d 2z D 2dx2 � 2 sin 2ydxdy � 2x cos 2ydy2. D. d 2z D 2dx2 � 2 sin 2ydxdy C 2x cos 2ydy2.

Câu 21. Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z D x2y3: Biết x; y là các biến độc lập.

A. d 2z D 2y3dx2 C 12xy2dxdy C 6x2ydy2. B. d 2z D 2y3dx2 � 12xy2dxdy C 6x2ydy2.

C. d 2z D y3dx2 C 6x2ydy2. D. d 2z D .2xy3dx C 3x2y2dy/2.

Câu 22. Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z D sin.x C y/ C cos.x C y/: Biết x; y là các biến

độc lập.

A. d 2z D�

dx2 C dxdy C dy2�

Œsin.x C y/ C cos.x C y/�.

B. d 2z D�

dx2 C 2dxdy C dy2�

Œ� sin.x C y/ C cos.x C y/�.

C. d 2z D�


Œ� sin.x C y/ � cos.x C y/�.

D. d 2z D�


Œsin.x C y/ C cos.x C y/�.

1.2 Cực trị tự do

Câu 23. Cho hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừng M.x0I y0/. Đặt

A D f 00xx.x0; y0/; B D f 00

xy.x0; y0/; C D f 00yy.x0; y0/, � D B2 � AC . Khẳng định nào sau đây

đúng?

A. Nếu � < 0 và A > 0 thì f đạt cực đại tại M.

B. Nếu � < 0 và A < 0 thì f đạt cực đại tại M.

5

C. Nếu � > 0 và A > 0 thì f đạt cực tiểu tại M.

D. Nếu � > 0 và A < 0 thì f đạt cực tiểu tại M.

Câu 24. Cho hàm z D x2 � 2x C y2. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực đại tai M(1, 0). B. z đạt cực tiểu tại M(1, 0).

C. z có một cực đại và một cực tiểu. D. z không có cực trị.

Câu 25. Cho hàm z D x4 � 8x2 C y2 C 5. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực đại tại I(0, 0). B. z đạt cực tiểu tại J(-2, 0) và K(2, 0).

C. z chỉ có hai điểm dừng là I(0, 0) và K(2, 0). D. z không có cực trị.

Câu 26. Cho hàm z D x2 � 2xy C 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực đại tai M(0, 0). B. z đạt cực tiểu tại M(0, 0).

C. z có một cực đại và một cực tiểu. D. z có một điểm dừng là M(0, 0).

Câu 27. Cho hàm z D x2 C xy C y2. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực đại tại O(0, 0). B. z không có cực trị.

C. z đạt cực tiểu tại O(0, 0). D. Các khẳng định trên sai.

Câu 28. Cho hàm z D x2 � y2 C 2x � y C 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực đại tại M�

�1; �12

�

. B. z đạt cực tiểu tại M�

�1; �12

�

.

C. z không có cực trị. D. Các khẳng định trên sai.

Câu 29. Cho hàm z D x3 C 27x C y2 C 2y C 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z có hai điểm dừng. B. z có hai cực trị.

C. z có một cực đại và một cực tiểu. D. z không có cực trị.

Câu 30. Cho hàm z D 2x2 � 6xy C 5y2 C 4. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực đại tại M(0, 0). B. z đạt cực tiểu tại M(0, 0).

C. z không có cực trị. D. z có một cực đại và một cực tiểu.

Câu 31. Cho hàm z D x3 C y3 � 12x � 3y. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực đại tại M(2, 1). B. z đạt cực tiểu tại N(-2, 1).

C. z có đúng 4 điểm dừng. D. z có đúng 2 điểm dừng.

Câu 32. Cho hàm z D x4 � y4 � 4x C 32y C 8. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực đại tại M(1, 2). B. z đạt cực tiểu tại M(1, 2).

C. z không có điểm dừng. D. z không có điểm cực trị.

Câu 33. Cho hàm z D 3x2 � 12x C 2y3 C 3y2 � 12y. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z có một cực đại và một cực tiểu. B. z chỉ có một điểm cực đại.

6

C. z không có điểm dừng. D. z chỉ có một cực tiểu.

Câu 34. Cho hàm z D x3 � y2 � 3x C 6y. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực đại tại M(1, 3). B. z đạt cực tiểu tại N(-1, 3).

C. z có hai điểm dừng. D. Các khẳng định trên đều đúng.

Câu 35. Cho hàm z D x6 � y5 � cos2x � 32y. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực đại tại M(0, 2). B. z đạt cực tiểu tại N(0, -2).

C. z không có điểm dừng. D. z có một cực đại và một cực tiểu.

Câu 36. Cho hàm z D x2 � 4x C 4y2 � 8y C 3. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực tiểu tại M(2, 1). B. z đạt cực đại tại M(2, 1).

C. z có một điểm dừng là N(1, 2). D. z không có cực trị.

Câu 37. Cho hàm z D �x2 C 4xy � 10y2 � 2x C 16y. Khẳng định nào sau đây đúng?


C. z đạt cực tiểu tại N(-1, -1). D. z đạt cực đại tại N(-1, -1).

Câu 38. Cho hàm z D x3 � 2x2 C 2y3 C 7x � 8y. Khẳng định nào sua đây đúng?

A. z có 4 điểm dừng. B. z không có điểm dừng.

C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z có hai cực đại và hai cực tiểu.

Câu 39. Cho hàm z D �2x2 � 2y2 C 12x C 8y C 5. Khẳng định nào sau đây đúng?


C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z không có điểm dừng.

Câu 40. Cho hàm z D �3x2 C 2ey � 2y C 3. Khẳng định nào sau đây đúng?



Câu 41. Cho hàm z D x2 � y � ln jyj � 2. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực tiểu tại M(0, -1). B. z đạt cực đại tại M(0, -1).

C. z luôn có các đạo hàm riêng trên R. D. z có điểm dừng nhưng không có cực trị.

Câu 42. Cho hàm z D 3x3 C y2 � 2x2 C 2x C 4y C 2. Khẳng định nào sau đây đúng?


C. z đạt cực tiểu tại M(-1, -2). D. z đạt cực đại tại M(-1, -2).

Câu 43. Cho hàm z D �2x2 C 8x C 4y2 � 8y C 3. Khẳng định nào sau đây đúng?


7

C. z có một điểm dừng là N(1, 2). D. z không có cực trị.

Câu 44. Cho hàm z D x2 C 4xy C 10y2 C 2x C 16y. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực đại tại M(-1, 1). B. z đạt cực tiểu tại M(-1, 1).

C. z đạt cực đại tại N(1, -1). D. z đạt cực tiểu tại N(1, -1).

Câu 45. Cho hàm z D x3 � 2x2 C 2y3 C x � 8y. Khẳng định nào sau đây đúng?


C. z có điểm dừng nhưng không có cực trị. D. z có hai cực đại và hai cực tiểu.

Câu 46. Cho hàm z D �x2 C 2y2 C 12x C 8y C 5. Khẳng định nào sau đây đúng?



Câu 47. Cho hàm z D x:ey C x3 C 2y2 � 4y. Khẳng định nào sau đây đúng?



Câu 48. Cho hàm z D 2x2 � 4x C sin y � y=2 với x 2 R; �� < y < � . Khẳng định nào sau đây

đúng?

A. z đạt cực đại tại M .1; �=3 /. B. Z đạt cực tiểu tại M .1; ��=3 /.

C. Z đạt cực tiểu tại M .1; �=3 /. D. Z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Câu 49. Cho hàm z D ln x � x C ln jyj � y2=2. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z không có cực trị. B. z có hai điểm cực đại.

C. z có hai điểm cực tiểu. D. z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Câu 50. Cho hàm z D xy.3 � x � y/. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. z đạt cực tiểu tại A(1,1), đạt cực đại tại các điểm B(1,0), C(0,1) và không đạt cực trị tại

D(0,0) .

B. z đạt cực đại tại A(1,1), đạt cực đại tại các điểm B(3,0), C(0,3) và không đạt cực trị tại

D(0,0).

C. z đạt cực đại tại A(1,1) và không đạt cực trị tại các điểm B(3,0), C(0,3), D(0,0).

D. z đạt cực đại tại A(1,1) và đạt cực tiểu tại các điểm B(3,0), C(0,3), D(0,0).

8

1.3 Cực trị có điều kiện

Câu 51. Tìm cực trị của hàm z D ln.x2 � 2y/ với điều kiện x � y � 2 D 0. Khẳng định nào sau

đây đúng ?

A. z đạt cực đại tại M(1, -1). B. z đạt cực tiểu tại M(1, -1).

C. z không có cực trị. D. Các khẳng định trên đều sai.

Câu 52. Tìm cực trị của hàm z D lnˇ

ˇ1 C x2yˇ

ˇ với điều kiện x � y � 3 D 0. Khẳng định nào sau

đây đúng ?

A. z không có cực trị.

B. z có hai điểm dừng là A(0, -3) và D(3, 0).

C. z đạt cực đại tại A(0, -3) và B(2, -1).

D. z đạt cực tiểu tại A(0, -3) và đạt cực đại tại B(2, -1).

Câu 53. Tìm cực trị của hàm z D x2.y � 1/ � 3x C 2 với điều kiện x � y C 1 D 0. Khẳng định

nào sau đây đúng ?

A. z đạt cực đại tại A(-1, 0) và B(1, 2).

B. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và B(1, 2).

C. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và đạt cực đại tại B(1, 2).

D. z đạt cực đại tại A(-1, 0) và đạt cực tiểu tại B(1, 2).

Câu 54. Tìm cực trị của hàm z D 2x2 C y2 � 2y � 2 với điều kiện �x C y C 1 D 0. Khẳng định


A. z đạt cực tiểu tại A .2=3I �1=3 /.

B. z đạt cực đại tại A .2=3I �1=3 /.

C. z đạt cực đại tại M(1, 0) và N .1=3I �2=3 /.

D. z đạt cực tiểu tại M(1, 0) và N .1=3I �2=3 /.

Câu 55. Tìm cực trị của hàm z D x2.y C 1/ � 3x C 2 với điều kiện x C y C 1 D 0. Khẳng định


A. z đạt cực đại tại A(-1, 0) và B(1, -2).

B. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và B(1, -2).

C. z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và đạt cực đại tại B(1, -2).

D. z không có cực trị.

Câu 56. Tìm cực trị của hàm z D x3=3 � 3x C y với điều kiện �x2 C y D 1. Khẳng định nào

sau đây đúng ?

9

A. z đạt cực đại tại M(-3, 10) và N(1, 2).

B. z đạt cực tiểu tại M(-3, 10) và N(1, 2).

C. z đạt cực đại tại M(-3, 10) và cực tiểu tại N(1, 2).

D. Các khẳng định trên sai.

10

Chương 2

Tích phân bội hai

Câu 57. Xác định cận của tích phân I D’

D

f .x; y/dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các

đường y D x C x2; y D 2x.

A. I D0R

�1

dxx2CxR

2x

f .x; y/dy. B. I D0R

�2

dx2xR

x2Cx

f .x; y/dy.

C. I D1R

0

dxx2CxR

2x

f .x; y/dy. D. I D1R

0

dx2xR

x2Cx

f .x; y/dy.


D


đường y D 3x; y D x2.

A. I D3R

0

dxx2R

3x


0

dx3xR

x2

f .x; y/dy.

C. I D9R

0

dy

py

R

y=3

f .x; y/dx. D. I D3R

0

dy

py

R

y=3

f .x; y/dx.


D


đường y D 2x2 � x; y D x2 C 2x C 4.

A. I D4R

�1

dx2x2�x

R

x2C2xC4

f .x; y/dy. B. I D�1R

�4

dxx2C2xC4

R

2x2�x

f .x; y/dy.

C. I D�1R

�4

dx2x2�x

R

x2C2xC4


�1

dxx2C2xC4

R

2x2�x

f .x; y/dy.


D


đường y D 2p

x; y D x.

A. I D4R

0

dxxR

2p

x


0

dx2

px

R

x

f .x; y/dy.

C. I D4R

0

dx2

px

R

x


0

dyyR

py

f .x; y/dx.

11


D


đường y D x2; y D x3.

A. I D1R

0

dxx3R

x2


0

dxx2R

x3

f .x; y/dy.

C. I D1R

�1

dxx2R

x3


�1

dxx3R

x2

f .x; y/dy.


D


đường y D x2 C 2; y D 3x.

A. I D2R

1

dx3xR

x2C2


1

dxx2C2R

3x

f .x; y/dy.

C. I D1R

2

dx3xR

x2C2


2

dxx2C2R

3x

f .x; y/dy.


D


đường x D 3; x D 5; 3x � 2y C 4 D 0; 3x � 2y C 1 D 0.

A. I D5R

3

dx

3x C 1

2R

3x C 4

2


3

dx

3x C 4

2R

3x C 1

2

f .x; y/dy.

C. I D5R

3

dx

2y � 1

3R

3y � 4

3


3

dx

2y � 4

3R

3y � 1

3

f .x; y/dy.


D


đường D W x2 C y2 � 1; x � 0; y � 0.

A. I D1R

0

dx

p1�y2

R

0


0

dx1R

0

f .x; y/dy.

C. I D1R

0

dx

p1�x2R

0

f .x; y/dy. D. Các kết quả trên đều sai.


D


đường D W x C y � 1; x � y � 1; x � 0.

A. I D1R

0

dx1�xR

x�1


0

dxx�1R

1�x

f .x; y/dy.

C. I D1R

0

dx1R

0


0

dx1R

�1

f .x; y/dy.

12


D


đường D W y � x2; y � 4 � x2.

A. I Dp

2R

�p

2

dxx2R

4�x2

f .x; y/dy. B. I Dp

2R

�p

2

dx4�x2R

x2

f .x; y/dy.

C. I D2R

�2

dx4�x2R

x2

f .x; y/dy. D. I Dp

2R

�p

2

dx4R

0

f .x; y/dy.


D

f .x; y/dxdy trong đó D là hình tròn D W .x � 2/2 C

.y � 3/2 � 4.

A. I D2R

0

dx3R

0


0

dx5R

1

f .x; y/dy.

C. I D4R

0

dx3C

p4x�x2R

3�p

4x�x2


0

dx3C

px2�4xR

3�p

x2�4x

f .x; y/dy.


D


đường y D x2; y Dp

x.

A. I D1R

0

dxx2R

px


0

dx

px

R

x2

f .x; y/dy.

C. I D1R

0

dx1R

0



D

f .x; y/dxdy trong đó D là elípx2

4C y2

9� 1.

A. I D2R

�2

dx

3

2

p4�x2

R

�3

2

p4�x2


�2

dx3R

�3

f .x; y/dy.

C. I D2R

0

dx

3

2

p4�x2

R

0


Câu 70. Trên miền lấy tích phân D W a � x � b; c � y � d , viết tích phân kép thành tích phân

lặp, khẳng định nào sau đây đúng?

A.’

D

f .x; y/dxdy DbR

a

f .x/dxdR

c

f .x; y/dy.

B.’

D

f .x C y/dxdy DbR

a

f .x/dx CdR

c

f .y/dy.

C.’

D

Œf .x/ C g.x/� dxdy DbR

a

f .x/dx CdR

c

g.y/dy.

13

D.’

D

Œf .x/g.y/� dxdy DbR

a

f .x/dxdR

c

g.y/dy.

Câu 71. Đổi thứ tự tính tích phân I D1=4R

1

dx

px

R

x

f .x; y/dy. Kết quả nào sau đây đúng?

A. I D1=4R

1

dyyR

y2

f .x; y/dx.

B. I D1=2R

1

dyy2R

y

f .x; y/dx.

C. I D1=4R

1

dyyR

y2

f .x; y/dx C1=2R

1=4

dy1=4R

y2

f .x; y/dx.

D. I D1=4R

1

dyy2R

y

f .x; y/dx.

Câu 72. Đổi thứ tự tính tích phân I D2R

1

dxx2R

2

f .x; y/dy.

A. I D4R

1

dy2R

1

f .x; y/dx. B. I D2R

1

dy2R

py

f .x; y/dx.

C. I D4R

1

dy2R

py


1

dy

py

R

1

f .x; y/dx.


1

dx4�xR

2

f .x; y/dy.

A. I D2R

1

dy4�yR

2


2

dy4�yR

1

f .x; y/dx.

C. I D3R

2

dy1R

4�y


1

dy1R

4�y

f .x; y/dx.


0

dxx3R

0

f .x; y/dy.

A. I D1R

0

dy

3p

yR

1


0

dy1R

3p

y

f .x; y/dx.

C. I D1R

0

dy

3p

yR

0


0

dy0R

3p

y

f .x; y/dx.


0

dxexR

1

f .x; y/dy.

A. I DeR

0

dyln yR

1

f .x; y/dx. B. I DeR

1

dyln yR

1

f .x; y/dx.

14

C. I DeR

0

dy1R

ln y

f .x; y/dx. D. I DeR

1

dy1R

ln y

f .x; y/dx.

Câu 76. Đổi thứ tự tính tích phân I Dln 2R

0

dx2R

ex

f .x; y/dy.

A. I D2R

0

dy2R

lny

f .x; y/dx. B. I DeR

1

dyln yR

0

f .x; y/dx.

C. I D2R

0

dyln yR

0


1

dyln yR

0

f .x; y/dx.

Câu 77. Cho tích phân I D2R

1

dx

p2x�x2R

2�x

f .x; y/dy. Thay đổi thứ tự tính tích phân ta được:

A. I D1R

0

dy1R

0


0

dy

1Cp

1�y2

R

2�y

f .x; y/dx.

C. I D1R

0

dy2�yR

1Cp

1�y2

f .x; y/dx. D. I Dp

2x�x2R

2�x

dy2R

1

f .x; y/dx.

Câu 78. Cho tích phân I DeR

1

dxln xR

0


A. I D1R

0

dyeyR

e

f .x; y/dx. B. I Dln xR

0

dyeR

1

f .x; y/dx.

C. I D1R

0

dyeR

1


0

dyeR

ey

f .x; y/dx.

Câu 79. Cho tích phân I D1R

0

dx

px

R

x


A. I D1R

0

dyyR

y2


0

dy1R

0

f .x; y/dx.

C. I Dp

xR

x

dy1R

0


0

dyy2R

y

f .x; y/dx.

Câu 80. Thay đổi thứ tự tính tích phân I D1R

�1

dx

p1�x2R

0

f .x; y/dy.

A. I D1R

�1

dy

p1�y2

R

�p

1�y2


0

dy

p1�y2

R

�p

1�y2

f .x; y/dx.

C. I D1R

0

dy1R

�1


0

dy

p1�y2

R

0

f .x; y/dx.


0

dy

4p

yR

py

f .x; y/dx.

15

A. I D1R

0

dxx4R

x2


0

dxx2R

x4

f .x; y/dy.

C. I D1R

�1

dxx4R

x2


0

dxx2R

x4

f .x; y/dy.


1

dyy2R

y

f .x; y/dx.

A. I D16R

1

dx

px

R

x


1

dxxR

px

f .x; y/dy C16R

8

dx4R

2p

2

f .x; y/dy.

C. I D4R

1

dxxR

px

f .x; y/dy C16R

4

dx4R

px


1

dxxR

1

f .x; y/dy C16R

4

dx4R

px

f .x; y/dy.


1

dx2xR

x

f .x; y/dy

A. I D2R

1

dy1R

y

f .x; y/dx C4R

2

dyy=2R

2


1

dyyR

1

f .x; y/dx C4R

2

dy2R

y=2

f .x; y/dx.

C. I D4R

1

dy2R

1


0

dy2R

1

f .x; y/dx.


0

dx

p2�x2R

x

f .x; y/dy.

A. I D1R

0

dy

p2�y2

R

y


0

dy1R

0

f .x; y/dx Cp

2R

1

dy

p2

R

0

f .x; y/dx.

C. I D1R

0

dy

p2�y2R

0

f .x; y/dx Cp

2R

1

dyyR

0

f .x; y/dx.D. I D1R

0

dyyR

0

f .x; y/dx Cp

2R

1

dy

p2�y2R

0

f .x; y/dx.

Câu 85. Đặt I D’

D

f .x; y/dxdy, trong đó D là tam giác có các đỉnh là O(0, 0); A(1, 0) và B(1,

1) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. I D1R

0

dxxR

0

f .x; y/dy D1R

0

dy1R

y

f .x; y/dx.

B. I D1R

0

dxxR

0

f .x; y/dy D1R

0

dyyR

1

f .x; y/dx.

C. I D1R

0

dy1R

y

f .x; y/dx D1R

0

dx1R

0

f .x; y/dy.

D. I D1R

0

dy1R

y

f .x; y/dx D1R

0

dx1R

x

f .x; y/dy.


D


1). Khẳng định nào sau đây là đúng?

16

A. I D1R

0

dx1R

x

f .x; y/dy D1R

0

dy1R

y

f .x; y/dx.

B. I D1R

0

dx1R

x

f .x; y/dy D1R

0

dyyR

0

f .x; y/dx.

C. I D1R

0

dy1R

y

f .x; y/dx D1R

0

dxxR

0

f .x; y/dy.

D. I D1R

0

dy1R

y

f .x; y/dx D1R

0

dx1R

x

f .x; y/dy.


D



A. I D1R

0

dy1�yR

0

f .x; y/dx D1R

0

dxxR

1


0

dy1�xR

0

f .x; y/dx D1R

0

dx1�yR

0

f .x; y/dy.

C. I D1R

0

dx1�xR

0

f .x; y/dy D1R

0

dyy�1R

0

f .x; y/dx.D. I D1R

0

dx1�xR

0

f .x; y/dy D1R

0

dy1�yR

0

f .x; y/dx.


D

f .x; y/dxdy, trong đó D là tam giác có các đỉnh là A(0, 1); B(1, 0) và C(1,


A. I D1R

0

dy1�yR

0

f .x; y/dx D1R

0

dxxR

1


0

dy1R

1�x

f .x; y/dx D1R

0

dx1�yR

0

f .x; y/dy.

C. I D1R

0

dx1R

1�x

f .x; y/dy D1R

0

dy1R

1�y

f .x; y/dx.D. I D1R

0

dx1�xR

0

f .x; y/dy D1R

0

dy1�yR

0

f .x; y/dx.

Câu 89. Chuyển tích phân sau sang toạ độ cực: I D’

D

f .x; y/dxdy, trong đó D là hình tròn

x2 C y2 � 4y. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. I D2�R

0

d�4R

0

f .r cos �; r sin �/dr . B. I D�=2R

0

d�4 cos �

R

0

rf .r cos �; r sin �/dr .

C. I D�R

0

d�4 sin �R

0

rf .r cos �; r sin �/dr . D. I D�R

0

d�2R

0

rf .r cos �; r sin �/dr .

Câu 90. Cho tích phân I D’

D

f .x; y/dxdy. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. Với D là hình tròn x2 C y2 � R2.R > 0/ ta có: I D2�R

0

d�RR

0

f .r cos �; r sin �/rd� .

B. Với D là hình tròn x2 C y2 � ax.a > 0/ ta có: I D�=2R

��=2

d�a cos �

R

0

f .r cos �; r sin �/rdr .

C. Với D là hình tròn x2 C y2 � bx.b > 0/ ta có: I D�R

0

d�b sin �

R

0

f .r cos �; r sin �/rdr .

D. Các khẳng định trên đều đúng.

17

Câu 91. Chuyển tích phân sang hệ toạ độ cực I D’

D

f .p

x2 C y2/dxdy, trong đó D là nửa hình

tròn x2 C y2 � 1; y � 0 ta có:

A. I D2�R

0

d�1R

0

rf .r/dr . B. I D�=2R

0

d�1R

0

rf .r/dr .

C. I D �1R

0

rf .r/dr . D. I D�=2R

0

d�1R

0

f .r/dr .

Câu 92. Tính tích phân I D1R

0

dyy2R

0

3y3:exydx

A. I = 2 - e. B. I = 0. C. I = e - 2. D. I = e + 2.


0

dx2xR

0

3.x C y/dy

A. I = 3. B. I = -3. C. I = -4. D. I = 4.

Câu 94. . Tính tích phân I D�R

0

dxxR

0

3x: sin ydy

A. I D �2 � 4. B. I D �2 � 2. C. I D �2 C 4. D. I D �2 C 2.

Câu 95. Tính tích phân I D 21R

0

dyyR

0

exCydx

A. I D e2 C e. B. I D e2 C e � 2. C. I D e2 � e. D. I D e2 � 2e C 1.

Câu 96. Tính tích phân I D�=2R

0

dyyR

0

sin.x C y/dx

A. I = 0. B. I = 2. C. I = 1. D. I = 1/2.


1

dxln xR

0

6xeydy

A. I = 0. B. I = 1. C. I = 3. D. I = 5.

Câu 98. Tính tích phân kép I D’

D

.sin x C 2 cos y/dxdy trong đó D là hình chữ nhật 0 � x ��=2I 0 � y � �

A. I D � . B. I D �� . C. I D 2� . D. I D �2� .


D

xy3dxdy trong đó D là hình chữ nhật 0 � x � 1I 0 � y � 2

A. I = 0. B. I = 2. C. I = 4. D. I = 8.

Câu 100. Tính tích phân I D’

D

x3.y2 C 1/dxdy trong đó D là hình chữ nhật �m � x � mI 0 �

y � 1, m là hằng số thực dương.

A. I D 0. B. I D 2m. C. I D 2m2. D. I D 3m2.


D

xydxdy trong đó D là hình chữ nhật 0 � x � 1I 0 � y � 2

18

A. I = 1. B. I = 2. C. I = 1/2. D. I = 1/4.


D

x

yln ydxdy trong đó D là hình chữ nhật 0 � x � 2I 1 � y � e

A. I = 1/2. B. I = 1. C. I = 1/4. D. I = 2.


D

sin5xcos10ydxdy trong đó D là hình chữ nhật 0 � x � 2�I 0 �y � �=4

A. I D 1=2. B. I Dp

2. C. I Dp

2=2. D. I D 0.


D

exCydxdy trong đó D là hình vuông 0 � x � 1I 0 � y � 1

A. I D e2. B. I D e2 � 1. C. I D .e � 1/2. D. I D 2.e � 1/.


D

x2

y2 C 1dxdy trong đó D là hình vuông 0 � x � 1I 0 � y � 1

A. I D �=12. B. I D �=4. C. I D � . D. I D �2=4.


D

dxdy

.x C y C 1/2trong đó D là hình vuông 0 � x � 1I 0 � y � 1

A. I = ln3 - ln4. B. I = ln4 - ln3. C. I = ln4. D. I = - ln3.


D

dxdy

.x C y/2trong đó D là hình vuông 1 � x � 2I 0 � y � 1

A. I = ln3 - ln4. B. I = ln4 + ln3. C. I = ln4 - ln3. D. I = 0.


D

.ex C ey/dxdy trong đó D là hình vuông 0 � x � 1I 0 � y � 1

A. I D e2. B. I D e2 � 1. C. I D .e � 1/2. D. I D 2.e � 1/.


D

.sin x C cos y/dxdy trong đó miền D định bởi D W 0 � x �2�I 0 � y � �

A. I D 0. B. I D �1. C. I D 2� . D. I D 4� .


D

cos y

xdxdy trong đó D là miền được giới hạn bởi các đường

x D 1; x D 2; y D 0; y D �=2

A. I D � ln 2. B. I D �

2ln 2. C. I D � . D. I D ln 2.


D

x ln ydxdy trong đó D là miền được giới hạn bởi các đường

x D 0; x D 2; y D 1; y D e

A. I = 2. B. I = 2e. C. I =2(e-1). D. I = 2(e + 1).


D

.x C y/dxdy trong đó D là miền được giới hạn bởi các đường

x D �1; x D 0; y D 0; y D 2

19

A. I = 3. B. I =1. C. I = -1. D. I = -3.


D

dxdy trong đó D là miền định bởi D W 0 � x � a; 0 � y �p

x

A. I D 3p

a2. B. I D 3

2

pa3. C. I D 2

3

pa3. D. I D

pa3.


D

y

xdxdy trong đó D là miền định bởi D W 2 � x � 4; x � y � 2x

A. I = 1/9. B. I = 3. C. I = 12. D. I = 9.


D

exdxdy trong đó D là miền định bởi D W 1 � y � 2; 0 � x � ln y

A. I D 1=2. B. I D 1. C. I D e � 1. D. I D e2.


D

sin ydxdy trong đó D là miền định bởi D W � � x � 3�; � �y � x

A. I D 2� . B. I D �2� . C. I D 0. D. I D 1.


D

.x C y/dxdy trong đó D là miền định bởi D W 0 � y � 1; 0 �0 � y

A. I = 1. B. I = 2. C. I = 3/2. D. I = 1/2.


D

2x2ydxdy trong đó D là tam giác với các đỉnh O(0, 0); A(1,

0); B(1, 1).

A. I = 1. B. I = 2. C. I = 1/5. D. I = 1/4.


D

.3x C 2/dxdy trong đó D là tam giác OAB với O(0, 0); A(1,

0); B(1, 1).

A. I = 0. B. I = 1. C. I = 2. D. I = 3.


D

2.x C y/dxdy trong đó D là tam giác OAB với O(0, 0); A(1,

0); B(0, 1).

A. I = 0. B. I = 1. C. I = 1/3. D. I = 2/3.


D

cos.x C y/dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường

x D 0; y D �; y D x.

A. I = 2. B. I = 1. C. I = -1. D. I = -2.


D

ey=xdxdy trong đó D là tam giác giới hạn bởi các đường

x D 1; y D 0; y D x.

A. I D e � 1

2. B. I D e C 1

2. C. I D 0. D. I không tồn tại.

20


D

xdxdy trong đó D là tam giác với các đỉnh O(0, 0); A(0, 1);

B(1, 0).

A. I = 1/2. B. I = 0. C. I = 1. D. I = 1/6.


D

2xydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi đường thẳng y=x và

parabol y Dp

x.

A. I D 1

12. B. I D 1

6. C. I D 7

12. D. I D 0.


D

ydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi đường thẳng y = x và

parabol y D x2.

A. I D 1. B. I D 1

2. C. I D 8

15. D. I D 1

15.


D

�

�1

2

�

dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y D x2

và y D �x2 � 2x.

A. I D �1

6. B. I D 1

6. C. I D 5

6. D. I D �5

6.


D

�dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y D x2 � 2x

và y D 2x2 � 4x.

A. I D 2� . B. I D �4

3� . C. I D 4

3� . D. I D �4

3.


D

.x2 C y2/dxdy trong đó D là hình tròn x2 C y2 � 1.

A. I D �=2. B. I D 2�=3. C. . D. .


D

.x2 C y2/2dxdy trong đó D là hình tròn x2 C y2 � 1.

A. I D ��=3. B. I D 2�=3. C. I D 2�=5. D. I D �=3.


D

dxdyp

x2 C y2trong đó D là hình tròn x2 C y2 � 9.

A. I D 3� . B. I D 6� . C. I D 9� . D. I D 18� .


D

p

x2 C y2dxdy trong đó D là hình vành khăn 1 � x2 Cy2 �4.

A. I D �=2. B. I D � . C. I D 2� . D. I D 14�=3.


0

dy

p1�y2R

0

.x2 C y2/dx

A. I D �=6. B. I D 2� . C. I D �=4. D. I D �=8.

Câu 133. Tính tích phân bội hai I D’

D

p

x2 C y2dxdy trong đó D là phần hình tròn x2Cy2 � 4

thuộc góc phần tư thứ nhất.

21

A. I D 4�=3. B. I D 2�=3. C. I D 8�=3. D. I D 3�=4.


0

dx

p4�x2R

�p

4�x2

dy

A. I D �=8. B. I D 2� . C. I D �=4. D. I D � .


D

x2y3dxdy trong đó D là nửa hình tròn x � 0; x2 C y2 � 1.

A. I D 0. B. I D � . C. I D �=2. D. I D �=4.


D

p

x2 C y2dxdy trong đó D là hình tròn D W x2 C y2 � a2.

A. I D 2�a3. B. I D 2�a2. C. I D 2�a3=3. D. I D 2�a2=3.


D

.x2 C y2/dxdy trong đó D là nửa hình tròn D W x2 C y2 �4; y � 0.

A. I D 2� . B. I D 4� . C. I D 8� . D. I D � .


D

xydxdy trong đó D là miền định bởi D W x2 C y2 � R2; x �0; y � 0.

A. I D 0. B. I D R4=4. C. I D R4=16. D. I D R4=8.


D

ex2Cy2

dxdy, trong đó D là 1/4 hình vành khăn giữa hai đường

tròn tâm O( gốc toạ độ) có bán kính lần lượt là 1 và 2, thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt

phẳng Oxy.

A. I D �.e4 � e2/

2. B. I D �.e4 � e2/

4. C. I D �e.e3 � 1/

4. D. I D �e.e3 � 1/

2.

Câu 140. Tìm giá trị trung bình của hàm số f .x; y/ D sin x C cos y trên hình chữ nhật 0 � x �2�; 0 � y � �

A. f D 0. B. f D �

2. C. f D �

4. D. f D 4

�.

Câu 141. Gọi S là diện tích miền giới hạn bởi các đường y D x và y Dp

x. Khẳng định nào sau

đây đúng?

A. S D1R

0

dx

px

R

x

dy D1R

0

dxxR

px

dy. B. S D1R

0

dyyR

y2

dx D1R

0

dyy2R

y

dx.

C. S D1R

0

dx1R

0

dy D1R

0

dy1R

0

dx. D. Các khẳng định trên đều sai.

Câu 142. Tính diện tích S của miền giới hạn bởi các đường y D 3x2 C x C 1I 7x � y C 1 D 0

A. S = 1. B. S = 8. C. S = 4. D. S = 1/2.

Câu 143. Tính diện tích S của miền giới hạn bởi các đường y D x2 C 2x C 1I x � y C 1 D 0

A. S = 1/3. B. S = 3. C. S = 1/6. D. S = 6.

22

Câu 144. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y Dp

x C xI y D 2x

A. S = 1/2. B. S = 1/2. C. S = 1. D. S = 1/3.

Câu 145. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y D ex C xI y D e�x C x và x

= 1.

A. S = e - 2 + 1/e. B. S = e - 2 - 1/e. C. S = e + 2 + 1/e. D. S = e - 1/e.

Câu 146. Gọi S là diện tích của miền giới hạn bởi các đường x D 2yI x D y2=3. Ta có:

A. S = 3. B. S = 6. C. S = 12. D. S = 24.

Câu 147. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y Dp

x; y D x3

A. S = 1/3. B. S = 2/3. C. S = 5/6. D. S = 5/12.

Câu 148. Gọi S là diện tích của miền giới hạn bởi các đường y D sin x; y D cos x; x D 0; x D �=4.

Ta có:

A. S Dp

2 � 1. B. S Dp

2 C 1. C. S D 2 �p

2. D. S Dp

3 � 1.

Câu 149. Tính diện tích miền giới hạn bởi các đường y2 D 4 � x và 2y2 D x C 8

A. S = -16. B. S = 16. C. S = 32. D. S = 64.

23

Chương 3

Tích phân bội ba

Câu 150. Xét tích phân bội ba trên hình hộp chữ nhật � W a1 � x � a2I b1 � y � b2I c1 � z � c2.

Công thức nào sau đây đúng?

A.”

�

f .x; y; z/dxdydz Da2R

a1

f .x/dxb2R

b1

f .y/dyc2R

c1

f .z/dz.

B.”

�

f .x/g.y/h.z/dxdydz Da2R

a1

f .x/dxb2R

b1

g.y/dyc2R

c1

h.z/dz.

C.”

�

.x C y C z/dxdydz Da2R

a1

xdx Cb2R

b1

ydy Cc2R

c1

zdz.

D.”

�

xydxdydz Dc2R

c1

xdxb2R

b1

ydy.

Câu 151. Xác định cận của tích phân”

�

f .x; y; z/dxdydztrong đó �là miền giới hạn bởi các

mặt x = 1, y = 2, z = 1, z = 2, x = 0, y = 0.

A. I D1R

0

dx2R

1

dy2R

1

f .x; y; z/dz. B. I D1R

0

dx2R

0

dy2R

1

f .x; y; z/dz.

C. I D2R

0

dx2�xR

0

dy2R

1

f .x; y; z/dz. D. I D2R

1

dx2R

0

dy1�x�2y

R

1

f .x; y; z/dz.

Câu 152. Xét tích phân bội ba”

�

f .x; y; z/dxdydztrong đó �là miền trong không gian được

giới hạn bởi các mặt: x = 0, y = 0, x + y = 2, z = 0 và z = 2. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. I D2R

0

dx2R

0

dy2R

0


0

dx2�xR

0

dy2R

0

f .x; y; z/dz.

C. I D2R

0

dx2�xR

0

dy2�x�y

R

0


0

dx2�xR

0

dyxCyR

0

f .x; y; z/dz.


�


giới hạn bởi các mặt: x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 và z = x2 + y2. Đẳng thức nào sau đây

đúng?

24

A. I D1R

0

dx1R

0

dyx2Cy2

R

0


0

dx1R

0

dy2R

0

f .x; y; z/dz.

C. I D1R

0

dx1R

0

dy1R

0

f .x; y; z/dz. D. Các đẳng thức trên đều sai.


�


giới hạn bởi các mặt phẳng: x = 0, y = 0, z = 0, z = 2 và y + x = 1. Đẳng thức nào sau đây

đúng?

A. I D2R

0

dz1R

0

dy1�yR

0

f .x; y; z/dx. B. I D1R

0

dx2R

0

dz1�xR

0

f .x; y; z/dy.

C. I D1R

0

dy1�yR

0

dx2R

0

f .x; y; z/dz. D. Các đẳng thức trên đều đúng.


�


giới hạn bởi các mặt phẳng: x = 0, x = 2, y = 0, z = 0 và y + z = 1. Đẳng thức nào sau đây

đúng?

A. I D2R

0

dz1R

0

dy1�yR

0


0

dy2R

0

dx1�xR

0

f .x; y; z/dz.

C. I D1R

0

dy1�yR

0

dz2R

0

f .x; y; z/dx. D. Các đẳng thức trên đều sai.


�

f .x; y; z/dxdydztrong đó � là miền giới hạn bởi các

mặt: x + y + z – 5 = 0, x = 0, y = 0, z = 0.

A. I D5R

0

dy5R

0

dz5R

0


0

dy5�yR

0

dz5�y�z

R

0

f .x; y; z/dx.

C. I D1R

0

dy5�yR

0

dz5�z�z

R

0

f .x; y; z/dx. D. I D5R

1

dy5�zR

0

dz5�x�y

R

0

f .x; y; z/dx.

Câu 157. Xét tích phân”

�

f .x; y; z/dxdydztrong đó �là tứ diện được giới hạn bởi các mặt

phẳng: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. I D1R

0

dx1�xR

0

dy1�x�y

R

0


0

dy1�yR

0

dz1�y�z

R

0

f .x; y; z/dx.

C. I D1R

0

dz1�zR

0

dx1�z�x

R

0

f .x; y; z/dy. D. Các đẳng thức trên đều đúng.

Câu 158. Tính tích phân”

�

2xydxdydz, trong đó � là miền định bởi � W 0 � x � 1; 0 � y �1; 0 � z � 2:

A. I = 1/2 . B. I = 1. C. I = 1/4. D. I = 2.


�

3z2dxdydz, trong đó � là hình lập phương � W 0 � x � 1; 0 � y �1; 0 � z � 1:

25

A. I = 3. B. I = 1. C. I = 9. D. I = 6.

Câu 160. Tính tích phân bội ba:”

�

xyezdxdydz, trong đó � là miền: 0 � x � 2; �2 � y �2; ln 2 � z � ln 4:

A. I = 2. B. I = 4. C. I = 8. D. I = 0.


�

x sin 2ydxdydz, trong đó � là miền: 0 � x � 1; 0 � y ��=2; 0 � z � 2:

A. I = 1/2. B. I = 1. C. I = 1/4. D. I = 2.


�

xyezdxdydz, trong đó � là miền: 0 � x � 1; 0 � y � 2; 0 �z � ln 3:

A. I = 1/2 . B. I = 1. C. I = 3. D. I = 2.


�

.10x3/.11y2/zdxdydz, trong đó � là miền định bởi � W 0 � x �1; 0 � y � x; 0 � z � xy:

A. I = 110 . B. I = 11. C. I = 1. D. I = 121000.

Câu 164. Tính tích phân bội ba của hàm số f .x; y; z/ D sin101x ln.y C z/trên miền� W 0 � x �2�; 1 � y � e; 1 � z � e:

A. I = 0. B. I D 1eC1

.

C. I = 2ln(e + 1) + ln2. D. Các kết quả trên đều sai.

Câu 165. Cho � là miền x2 C y2 � 4I 0 � z � 2. Tính”

�

dxdydzpx2Cy2

A. I D 4� . B. I D 8� . C. I D � . D. I D 2� .

Câu 166. Cho � là miền x2 C y2 � �2I 0 � z � 3. Tính”

�

cos

px2Cy2dxdydzp

x2Cy2

A. I D 0. B. I D 4� . C. I D 4�2. D. I D 9� .

Câu 167. Tính tích phân I D”

�

2xdxdydz, trong đó � là phần z � 0của miền được giới hạn

bởi các mặt: z = xy( mặt paraboloid hyperboli x + y = 1, z = 0.

A. I = 1/60. B. I = 1/30. C. I = 47/60. D. Các kết quả trên đều sai.


�

y3dxdydz, trong đó � là hình hộp �1 � x � 0; �1 � y �0; �1 � z � 0

A. I = -1. B. I = -1/4. C. I = 0. D. I = 1/4.


�

x cos ydxdydz, trong đó � là hình hộp 0 � x � 2; 0 � y ��=2; 0 � z � 3

A. I = 2. B. I = 3. C. I = 6. D. I = 12.

26


�

ze2xdxdydz, trong đó � là hình hộp 0 � x � ln 2; 0 � y �2; 0 � z � 2

A. I = 4. B. I = 6. C. I = 8. D. I = 16.


�

f .x; y; z/dxdydztrong đó � là miền giới hạn bởi các

mặt: x + 2y = 2, z = 1, z = 2, x = 0, y = 0.

A. I D2R

0

dx1R

0

dy2R

1


0

dx1=2R

0

dy2R

1

f .x; y; z/dz.

C. I D2R

0

dx1�x=2

R

0

dy2R

1


0

dx1�x=2

R

0

dy1�y�x=2

R

1

f .x; y; z/dz.


�

xy cos zdxdydz, trong đó � là hình hộp 0 � x � 1; 0 � y �2; 0 � z � �=2

A. I = 0. B. I = 1. C. I = 1/2. D. I = 2.


�

x.y2 C 1/tgzdxdydz, trong đó � là miền �1 � x � 1; 0 �y � 2; 0 � z � �=4

A. I = 0. B. I = ln2. C. I = 2ln2. D. I = 4ln2.


�

.xyz/2dxdydz, trong đó � là miền được giới hạn bởi các mặt

x = -1, x = 1, y = -1, y = 1, z = -1, z = 1.

A. I = -8/27. B. I = 8/27. C. I = 8 . D. I = 0.


�

.x � y C z/dxdydz, trong đó � là miền định bởi � W 0 � x �1; 0 � y � 1; 0 � z � 1

A. I = 1. B. I = 1/2. C. I = 1/4. D. I = 2.


�

sin x sin y sin z cos x cos y cos zdxdydz, trong đó � là miền

0 � x � �=4; 0 � y � �=4; 0 � z � �=4

A. I = 0. B. I = 1/2. C. I = 1/16. D. I = 1/64.

Câu 177. Cho miền � giới hạn bởi các mặt: z D 4�x2 �y2; z D 0: Đặt I D”

�

f .x; y; z/dxdydz

Chuyển sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân, ta có:

A. I D2�R

0

d�4�r2R

0

dr4R

0

f .r: cos �; r: sin �; z/dz. B. I D2�R

0

d�2R

0

rdr4�r2R

0

f .r: cos �; r: sin �; z/dz.

C. I D2�R

0

sin �d�4R

0

r2dr4�r2R

0

f .r: cos �; r: sin �; z/dz.D. I D2�R

0

d�4R

0

rdr4�r2R

0


Câu 178. Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ: I D”

�

cosp

x2 C y2dxdydz, trong đó � là

miền giới hạn bởi các mặt: z D 1 � x2 � y2 và z = -8.

27

A. I D2�R

0

d�3R

0

dr1�r2R

�8

r: cos rdz. B. I D2�R

0

d�3R

0

dr�8R

1�r2

r: cos rdz.

C. I D2�R

0

d�1R

0

dr�8R

1

r: cos rdz. D. I D2�R

0

d�3R

0

dr1R

�8

r: cos rdz.

Câu 179. Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ: I D”

�

ln.p

x2 C y2 C 1/dxdydz, trong đó �

là miền giới hạn bởi các mặt: x2 C y2 � 4; z D 0 và z = 3.

A. I D2�R

0

d�2R

0

dr3R

r2

ln.r C 1/dz. B. I D2�R

0

d�2R

0

dr3R

0

r ln.r C 1/dz.

C. I D2�R

0

d�2R

0

dr3R

r2�4

r: ln.r C 1/dz. D. I D2�R

0

d�2R

0

dr3R

r2�4

r: ln.r C 1/dz.

Câu 180. Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân: I D”

�

p

x2 C y2dxdydz,

trong đó � là miền giới hạn bởi các mặt: x2 C y2 D 9; z D 1 và z = 2.

A. I D2�R

0

d�3R

0

r2dr2R

1

dz. B. I D2�R

0

d�3R

0

rdr2R

1

dz.

C. I D�=2R

0

d�9R

0

r2dr2R

1

dz. D. I D�=2R

0

d�9R

0

rdr1R

2

dz.


�

f .x; y; z/dxdydz,

trong đó � là miền giới hạn bởi các mặt: z D x2 C y2 và z = 4.

A. I D�R

0

d�2R

0

drr2R

4

f .r cos �; r sin �; z/dz. B. I D�R

0

d�2R

0

rdrr2R

4

f .r cos �; r sin �; z/dz.

C. I D2�R

0

d�2R

0

dr4R

r2

f .r cos �; r sin �; z/dz. D. I D2�R

0

d�2R

0

rdr4R

r2


Câu 182. Cho �là phần hình trụ: x2 Cy2 � 1; 1 � z � 4: Đặt I D”

�

f .x; y; z/dxdydz Chuyển

sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân, ta có:

A. I D2�R

0

d�1R

0

dr4R

1

f .r: cos �; r: sin �; z/dz. B. I D2�R

0

d�1R

0

rdr4R

1


C. I D2�R

0

sin �d�1R

0

rdr4R

1

f .r: cos �; r: sin �; z/dz.D. I D2�R

0

d�1R

0

rdr2R

1



�

f .x; y; z/dxdydz,

trong đó � là miền giới hạn bởi các mặt: x2 C y2 D 2x; z D x2 C y2 và z = 0.

A. I D2�R

0

d�2 cos �

R

0

rdrr2R

0

f .r cos �; r sin �; z/dz. B. I D2�R

0

d�1R

0

rdrr2R

0


C. I D�=2R

��=2

d�2 cos �

R

0

rdrr2R

0

f .r cos �; r sin �; z/dz.D. I D�=2R

0

d�2 sin �R

0

rdrr2R

0


28


�

f .x2 C y2; z/dxdydz,

trong đó � làphần chung của hai hình cầu: x2 C y2 C z2 � R2 và x2 C y2 C .z � R/2 � R2.

A. I D2�R

0

d�R=2R

0

rdrRR

0

f .r2; z/dz . B. I D2�R

0

d�R=2R

0

rdrRR

pR2�r2

f .r2; z/dz.

C. I D2�R

0

d�R

p3=2

R

0

rdr

pR2�r2R

R�p

R2�r2

f .r2; z/dz. D. I D2�R

0

d�R

p3=2

R

0

rdrRR

�p

R2�r2

f .r2; z/dz.

Câu 185. Tính tích phân: I D”

�

xy4z5dxdydz, trong đó � làphần chung của hai hình cầu:

x2 C y2 C z2 � R2 và x2 C y2 C .z � R/2 � R2.

A. I D 0. B. I D �Rp

3. C. I D �Rp

3=2. D. I D 2�Rp

3.

Câu 186. Cho � là phần hình nón z2 � x2 C y2.z � 0/nằm trong hình cầu x2 C y2 C z2 � 42.

Đặt I D”

�

f .x2 C y2 C z2/dxdydz Chuyển sang tọa độ cầu và xác định cận tích phân, ta có:

A. I D2�R

0

d��=4R

0

sin �:d�2R

0

�2f .�2/d�. B. I D�R

0

d��=2R

0

sin �:d�2R

0

�2f .�2/d�.

C. I D�R

0

d��=4R

0

sin �:d�2R

0

�2f .�2/d�. D. I D2�R

0

d��=4R

0

d�2R

0

�2f .�2/d�.

Câu 187. Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu và xác định cận tích phân: I D”

�

.x2 C y2 C z2/dxdydz,

trong đó � là miền: 1 � x2 C y2 C z2 � 4

A. I D2�R

0

d�2R

1

r4dr�R

0

sin �:d� . B. I D2�R

0

d�2R

1

r2dr�R

0

sin �:d� .

C. I D2�R

0

d�2R

1

r3dr�=2R

0

d� . D. I D2�R

0

d�4R

1

r4dr�=2R

0

sin �:d� .


�

p

x2 C y2 C z2dxdydz,

trong đó � là miền: x2 C y2 C z2 � 4; z � 0

A. I D2�R

0

d�2R

0

r3dr�R

0

sin �:d� . B. I D�R

0

d�2R

0

r2dr�R

0

sin �:d� .

C. I D�R

0

d�2R

0

r2dr�=2R

0

sin �:d� . D. I D2�R

0

d�2R

0

r3dr�=2R

0

sin �:d� .


�

f .x; z/dxdydz,

trong đó � là 1/8 hình cầu: x2 C y2 C z2 � R2 thuộc tam diện toạ độ thứ nhất.

A. I D�=2R

0

d��=2R

0

sin �:d�RR

0

�2f .� sin � cos �; � cos �/d�.B. I D�=2R

0

d��=2R

0

sin �:d�RR

0

f .� sin � cos �; � cos �/d�.

C. . D. .


�

f .x2 C y2; z/dxdydz,

trong đó � là 1/2 hình cầu: x2 C y2 C z2 � R2; x � 0

29

A. I D2�R

0

d��=2R

0

sin �:d�RR

0

�2f .�2sin2�; � cos �/d�.B. I D�=2R

��=2

d��R

0

sin �:d�RR

0

�2f .�2sin2�; � cos �/d�.

C. I D�R

0

d��R

0

sin �:d�RR

0

�2f .�2sin2�; � cos �/d�.D. I D�=2R

��=2

d��R

0

sin �:d�RR

�R

�2f .�2sin2�; � cos �/d�.

Câu 191. Gọi V là thể tích hình cầu bán kính R, khẳng định nào sau đây đúng?

A. V D2�R

0

d��R

0

sin �:d�RR

0

�2d� D 43�R3. B. V D 2

2�R

0

d��=2R

0

sin �:d�RR

0

�2d� D 43�R3.

C. V D 8�=2R

0

d��=2R

0

sin �:d�RR

0

�2d� D 43�R3. D. Các khẳng định trên đều đúng.

Câu 192. Gọi V là thể tích miền � phần nằm trong mặt nón z Dp

x2 C y2được giới hạn bởi

mặt cầu x2 C y2 C z2 D a2, khẳng định nào sau đây đúng?

A. V D2�R

0

d��=2R

0

sin �:d�aR

0

�2d�. B. V D2�R

0

d��=4R

0

sin �:d�aR

0

�2d�.

C. V D2�R

0

d��=4R

��=4

sin �:d�aR

0

�2d�. D. V D�R

0

d��=2R

�=4

sin �:d�aR

0

�2d�.

Câu 193. Gọi V là thể tích miền � được giới hạn bởi các mặt x2 C y2 C z2 D a2, x2 C y2 C z2 Db2.0 < a < b/ z D

p

x2 C y2, khẳng định nào sau đây đúng?

A. V D2�R

0

d��=4R

0

sin �:d�bR

a

�2d�. B. V D2�R

0

d��=2R

�=4

sin �:d�bR

a

�2d�.

C. V D2�R

0

d��=2R

0

sin �:d�bR

a

�2d�. D. V D�R

0

d��=4R

0

sin �:d�bR

b�a

�2d�.

Câu 194. Tính thể tích V của vật thể: � W 0 � x � 1; 0 � y � 2x; 0 � z � y

A. V = 2/3. B. V = 1. C. V = 1/2. D. V = 1/6.

Câu 195. Tính thể tích V của vật thể: � W 0 � x � 1; 0 � y � 1 � x; 0 � z � 1 � 2y

A. V = 1. B. V = 1/2. C. V = 1/3. D. V = 1/6.

Câu 196. Tính thể tích V của vật thể: � W 0 � x � 1; 0 � y � 1; 0 � z � 1 � x2

A. V = 2/3. B. V = 3/2. C. V = 2. D. V = 1/2.

Câu 197. Tìm giá trị trung bình của hàm số f .x; y; z/ D .xyz/2trên hình hộp � W 0 � x � 1; 0 �y � 3; �1 � z � 2

A. f D 0. B. f D 1. C. f D 3. D. f D 9.

Câu 198. Tìm giá trị trung bình của hàm số f .x; y; z/ Dp

x2 C y2 C z2 trên miền � W x2 Cy2 C z2 � 4; z � 0

A. f D �3=2. B. f D 1. C. f D 3=2. D. f D 2=3.

Câu 199. Tính khối lượng M của khối lập phương � W �1 � x � 0; �1 � y � 0; 0 � z � 1 Có

khối lượng riêng là ı.x; y; z/ D xyz:

A. M = 1/4. B. M = 1. C. M = 1/6. D. M = 1/8.

Câu 200. Tính khối lượng M của khối lập phương � W 0 � x � 1; 0 � y � 2; 0 � z � 3 Có khối

lượng riêng là ı.x; y; z/ D x C y C z:

A. M = 18. B. M = 9. C. M = 3. D. M = 3/2.

Câu 201. Tính khối lượng M của vật thể �, trong đó � là phần hình cầu x2 Cy2 Cz2 � 2 thuộc

tam diện toạ độ thứ nhất có khối lượng riêng là ı.x; y; z/ Dp

2:

A. M D 4p

2=3 . B. M D 2�=3. C. M D 2�p

2=3. D. M D 8�p

2=3.

30

Chương 4

Tích phân đường

4.1 Tích phân đường loại một

Câu 202. Tính khối lượng M của hình vuông D W 0 � x � 1; 0 � y � 1, có khối lượng riêng là

ı.x; y/ D x C y.

A. M = 2. B. M = 1. C. M =1/2. D. M = -1.

Câu 203. Trong mặt phẳng Oxy, mảnh phẳng đồng chất D là hình tròn .x � a/2 C .y � b/2 � R2

có khối lượng riêng là hằng số ı0. Gọi M là khối lượng của mảnh D, khẳng định nào sau đây đúng?

A. M D’

D

ı0dxdy D ı0�R2. B. M D’

D

ı20dxdy D ı2

0�R2.

C. M D’

D

ı0dxdy D ı0�R.a C b/. D. M D’

D

ı20dxdy D ı2

0�Rab.

Câu 204. Tính tích phân đường I DR

C

.x C y/dl , trong đó C có phương trình x C y D 1; 0 �x � 1.

A. I Dp

2. B. I D 1. C. I D 1=2. D. I D 2.


C

.x C y/2dl , trong đó C có phương trình x C y D a; 0 �x � a.

A. I D a2. B. I D 2a2. C. I D a2p

2. D. I D a3p

2.


C

.x � y/dl , trong đó C có phương trình x C y D 1; 0 �x � 1.

A. I D 1. B. I D �p

2. C. I D 0. D. I Dp

2.


C

.x � y/dl , trong đó C là đoạn thẳng nối các điểm O(0,

0) và A(2, 2)

A. I D �p

2. B. I Dp

2. C. I D 2. D. I D 0.

31


C

x5y2dl , trong đó C có phương trình y D x; 0 � x � a.

A. I D 0. B. I D 2p

2. C. I D a8p

2=4. D. I D a8p

2=8.


C

sin5 ydl , trong đó C có phương trình y D x; 0 � x � 2� .

A. I Dp

2. B. I D 0. C. I D �p

2. D. I Dp

2=6.


K

.x � y/dl , trong đó K là đoạn thẳng nối các điểm O(0,

0) và M(1, 2)

A. I Dp

5. B. I D �p

5. C. I Dp

5=2. D. I D �p

5=2.


K

dl

x C y, trong đó K là đoạn thẳng nối các điểm A(3, 0) và

B(0, 3)

A. I D 2p

2. B. I D �p

2. C. I Dp

2. D. I Dp

2=3.


K

dl

x C y, trong đó K là đoạn thẳng có phương trình

x C y D a; 0 � x � a.

A. I Dp

2. B. I Dp

a. C. I D �p

a. D. I D �p

2.


K

dl

x � y, trong đó K là đoạn thẳng nối các điểm A(2, 0) và

B(0, -2)

A. I Dp

2=2. B. I D �p

2=2. C. I Dp

2. D. I D �p

2.


C

xydl , trong đó C là phần đường thẳng x + y - 1 = 0 bị

chắn giữa hai trục toạ độ.

A. I Dp

2=6. B. I D 5p

2=6. C. I Dp

2. D. I D �p

2=6.


C

ydl , trong đó C có phương trình x C y D 1; 0 � x � 1.

A. I Dp

2. B. I Dp

2=2. C. I D 3p

2=2. D. I D 1=2.


C

.6x C 6y C 2/d l , trong đó C có phương trình 3y C 4x D0; 0 � x � 1.

A. I = 5. B. I = 15. C. I = 5/3. D. I = 1.


C

.2x C 3y2/d l , trong đó C là đoạn thẳng nối các điểm

A(0, 0) và B(1, 1)

A. I D 2. B. I D 4p

2. C. I Dp

2. D. I D 2p

2.


C

.6x � 6y C 3/d l , trong đó C có phương trình 3y � 4x D0; 0 � x � 1.

32

A. I = 15. B. I = 10/3. C. I = 5. D. I = 5/3.


C

.26x C 8y/d l , trong đó C là đoạn thẳng có phương trình

3x C 4y C 1 D 0 nối A(0, -1/4) và B(1, -1)

A. I = -10. B. I = 8. C. I = 10. D. I = -8.


C

.x C y/dl , trong đó C là đoạn thẳng nối A(0, 1) và B(1,

2)

A. I D 2. B. I D �2. C. I D �2p

2. D. I D 2p

2.


C

.x C y/2dl , trong đó C là đoạn thẳng nối A(2, 0) và B(0,

2)

A. I D 4. B. I D 8. C. I D 4p

2. D. I D 8p

2.


C

.x C 2y/2dl , trong đó C là đoạn thẳng nối O(0, 0) và

B(2, 2)

A. I D 24. B. I D 48. C. I D 24p

2. D. I D 48p

2.


C

8xp1 C 4x2

dl , trong đó C: y D x2 nối điểm A(0, 0) và

B(1, 1)

A. I D 2p

2. B. I D �2p

2. C. I D 4. D. I D 0.


C

xydl , trong đó C là đường biên của hình vuông 0 � x �2; 0 � y � 2.

A. I = 8. B. I = 16. C. I = 24. D. I = 36.


C

.x C y/dl , trong đó C là đường biên của hình vuông

0 � x � 2; 0 � y � 2.

A. I = 8. B. I = 16. C. I = 24. D. I = 36.


C

.x C y/dl , trong đó C là đường biên của tam giác với các

đỉnh O(0, 0); A(1, 0) và B(0, 1).

A. I D 3p

2. B. I Dp

2. C. I D 1 Cp

2. D. I D 2.


L

xydl , trong đó L là đường biên của hình chữ nhật với

các đỉnh O(0, 0); A(2, 0), B(2, 1) và C(0, 1).

A. I D 3. B. I D 6. C. I Dp

2. D. I D 6p

2.


L

xydl , trong đó L là đường biên của tam giác với các đỉnh

A(-1, 0), B(0, 1) và C(1, 0).

33

A. I Dp

2=3. B. I D 1 Cp

2=3. C. I D �p

2=3. D. I D 0.


C

.x2 C y2/d l , trong đó C là đường tròn x2 C y2 D R2

A. I D 2�R3. B. I D 2�R3=3. C. I D �R4=3. D. I D 2�R2.


C

p

x2 C y2dl , trong đó C là 1/2 đường tròn x2 C y2 D4; x � 0

A. I D 4� . B. I D 8� . C. I D 16� . D. I D 32� .

Câu 231. Hãy tính tích phân đường I DR

C

.x2 C y2/d l , trong đó C là 1/4 đường tròn x2 C y2 D16; x � 0; y � 0.

A. I D � . B. I D 8� . C. I D 16� . D. I D 32� .


C

xydl , trong đó C là cung tròn x2 C y2 D R2 nằm ở góc

phần tư thứ nhất.

A. I D 0. B. I D R3. C. I D R3=2. D. I D �R4=2.


C

x2dl , trong đó C là đường tròn x2 C y2 D 4

A. I D 2� . B. I D 2� . C. I D 6� . D. I D 8� .


C

p

x2 C y2dl , trong đó C là cung tròn x2 C y2 D R2 nằm

ở góc phần tư thứ nhất.

A. I D �R2=2. B. I D 2�R2. C. I D �R2. D. I D �R3=4.

Câu 235. Tìm độ dài cung tròn x D a cos t; y D a sin t với �=6 � t � �=3.

A. l D 2a�=3. B. l D a�=3. C. l D a�=6. D. l D �a2=12.

Câu 236. Tìm giá trị trung bình của hàm số f .x; y/ Dp

x2 C y2 trên đường tròn x2 C y2 D R2

A. f D R. B. f D �R. C. f D 2R. D. f D R=2.

Câu 237. Tìm giá trị trung bình của hàm số f .x; y/ D xy trên đường biên của hình chữ nhật

với các đỉnh O(0, 0); A(2, 0); B(2, 1) và C(0, 1)

A. f D 1. B. f D 1=2. C. f D 2. D. f D 2=3.

Câu 238. Tính khối lượng M của đoạn thẳng AB với A(-2, 0); B(0, -2) và tỉ khối tuyến tính là

ı.x; y/ D .x C y/2.

A. M D 8p

2. B. M D 4p

2. C. M D �8p

2. D. M D �4p

2.

Câu 239. Tính khối lượng M của đoạn thẳng AB trong đó AB là phần đường thẳng x + y = a (

a > 0) được giới hạn bởi các trục toạ độ và có tỉ khối tuyến tính là ı.x; y/ D 1

x C y.

A. M Dp

2=a. B. M D ap

2. C. M Dp

2. D. M D 2p

2.

34

4.2 Tích phân đường loại hai

Câu 240. Cho điểm A(0, 1) và B(1, 1), tính tích phân đường I DR

AB

.2xy C 4x3 C 1/dx �.2xy C

4y3 � 1/dy Lấy theo đường y = 1 đi từ điểm A đến B.

A. I = 0. B. I = -4. C. I = 3. D. I = -3.


AB

.2xy C 4x3 C 1/dx � .2xy C 4y3 � 1/dy lấy theo đường

x = 2 đi từ điểm A(2, 1) đến B(2, 0).

A. I = 2. B. I = -2. C. I = 3. D. I = -3.

Câu 242. Cho điểm A(0, 1) và B(1, 0), tính tích phân đường I DR

AB

.y C 2x C 1/dxC.y � 1/dy

lấy theo đường y = -x + 1 đi từ điểm A đến B.

A. I = 4. B. I = 3. C. I = 1. D. I = 2.

Câu 243. Cho điểm A(-1, 1), tính tích phân đường I DR

OA

2xydxCx2dy lấy theo đường x + y

= 0 gốc toạ độ O đến A.

A. I = 0. B. I = 1. C. I = 2. D. I = 3.


OA

.xy2 � 1/dx C .yx2 C 3/dy lấy theo đường y D 2x2 từ

gốc toạ độ O đến A(1, 2).

A. I = 7. B. I = 9. C. I = 6. D. I = 0.

Câu 245. Tính I DR

OA

3xydx � .3x2 � 2y/dy lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) đến A(-1, -1).

A. I = -1. B. I = 1. C. I = -2. D. I = 2.


OA

.x � y/2dx C .x C y/2dy lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) đến A(3, 0).

A. I = 9. B. I = 8. C. I = 27. D. I = 18.

Câu 247. Tính tích phân đường loại I DR

AB

2xydxCx2dy ở đây AB là cung parabol y D x2 từ

A(-1, 1) đến B(1, 1).

A. I = 0. B. I = 2. C. I = 3/4. D. I = -3/4.


OA

x.4y C 1/dx �2.x2 C1/dy ở đây OA là cung parabol

y D x2=4 từ O(0, 0) đến A(2, 1).

A. I = 0. B. I = 1. C. I = -2. D. I = 2.


OA

.y2 � 2xy/dx C .2xy � x2/dy lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) đến

A(1, 2).

A. I = 0. B. I = 1. C. I = 2. D. I = 3.

35


OA

4x.x2 � y/dx � 2.x2 � y/dy lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) đến A(2,

1).

A. I = 0. B. I = 3. C. I = 6. D. I = 9.


OA

x.4y C 1/dxC2.x2 C1/dy ở đây OA là cung parabol

y D x2=4 từ O(0, 0) đến A(2, 1).

A. I = 0. B. I = 4. C. I = 8. D. I = 12.


OA

.y C 2x/dx C .4y C x/dy ở đây OA là cung y3 D x

từ O(0, 0) đến A(1, 1).

A. I = -4. B. I = 4. C. I = 8. D. I = 0.


OA

.2x C y/dx C .3y2 C x/dy ở đây OA là cung của

y2 D x nối từ O(0, 0) đến A(1, 1).

A. I = -3. B. I = 2. C. I = 3. D. I = 0.


OA

ydx C .y3 C x/dy ở đây OA là cung y2 D 2x từ

O(0, 0) đến A(2, 2).

A. I = -4. B. I = 4. C. I = 8. D. I = 0.


AB

6x2ydx C 2x3dy ở đây AB là cung y D x4 từ A(-1,

1) đến B(1, 1).

A. I = 2. B. I = -2. C. I = 4. D. I = -4.


AB

2xydx C .x2 C 2y/dy lấy theo đường y D 2: sin�x

4C 1

từ A(0, 1) đến B(2, 3).

A. I = 10. B. I = 20. C. I = 5. D. I = 1.


AB

.12y � 1/dx C .12x C 2/dy lấy theo đường y D 4x2 � 3x C 1 từ A(0, 1)

đến B(1, 2).

A. I = 0. B. I = 25. C. I = 17. D. Các kết quả trên đều sai.


AB

ydx C xdy lấy theo đường y D 2x2 C 1 từ A(0, 1) đến

B(1, 3).

A. I = 3. B. I = 4. C. I = 1. D. I = 2.

Câu 259. Cho I DH

C

.x2 C y2/dx C .x C y/2dy, trong đó C là biên của hình tròn D. Đẳng thức

nào sau đây đúng?

A. I D’

D

2.x C 2y/dxdy.B. I D’

D

2xydxdy. C. I D’

D

2ydxdy. D. I D’

D

2xdxdy.

36

Câu 260. Gọi S là diện tích của miền giới hạn bởi đường cong kín C. Khẳng định nào sau đây

đúng?

A. S DH

C

xdy. B. S D �H

C

ydx.

C. S D 1

2

H

C

xdy � ydx. D. Các khẳng định trên đều đúng.

Câu 261. Cho C là biên của hình vuông D = [-1; 1] x [0; 2]. Tính tích phân đường:

I DI

C

y sin xdx � cos xdy

A. I = 0. B. I = 2. C. I = 4. D. I = 1.

Câu 262. Cho C là biên của hình chữ nhật D = [0; 1] x [0; 2]. Tính tích phân đường:

I DI

C

xy2dx C 3x2ydy

A. I = 0. B. I = 2. C. I = 4. D. I = 1.

Câu 263. Cho C là đường tròn tâm O bán kính 1. Tính tích phân:

I DI

C

.x C y2 � 3/dx C .2xy C 3x C 2/dy

A. I D 2� . B. I D 3� . C. I = 2. D. I = 3.

Câu 264. Cho C là đường tròn tâm O bán kính R. Đặt: I DH

C

.x C y C 3/dx C .x � 3y C 5/dy.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. I D 0. B. I D 4.

C. I D’

D

.2x � 2y C 5/dxdy. D. I D’

D

.�4y C 2/dxdy.

Câu 265. Cho C là đường tròn tâm O bán kính R. Tính tích phân: I DH

C

.3x C y2/dx C 2x.y C 1/dy

A. I D �R2. B. I D 2�R2. C. I D 0. D. I D 2�R.

Câu 266. Cho C là đường tròn x2 C y2 D 16. Tính tích phân đường loại hai:

I DI

C

.y C 3 sin x/dx C .2x C cos y/dy

A. I D �� . B. I D � . C. I D �16� . D. I D 16� .

37

Câu 267. Cho C là hình tròn x2 C y2 D 9. Tính tích phân đường loại hai: I DH

C

ydx C xdy

A. I D 6� . B. I D 3� . C. I D 9� . D. I D 0.

Câu 268. Cho C là elíp x2=16 C y2 D 1. Tính tích phân đường loại hai:

I DI

C

.3y � 4 cos x/dx C .4x C 5 cos y/dy

A. I D 0. B. I D � . C. I D 4� . D. I D �4� .

Câu 269. Cho C là hình tròn .x � 1/2 C .y � 2/2 D 4. Tính tích phân đường loại hai: I DH

C

eydx C x.2 C ey/dy

A. I D 4� . B. I D 8� . C. I D �4� . D. I D 0.

Câu 270. Cho C là hình tròn x2 C y2 D 4. Tính tích phân đường loại hai:

I DI

C

.5y � 4 cos x/dx C .4y C 5 cos y/dy

A. I D 0. B. I D �4� . C. I D 10� . D. I D �20� .

Câu 271. Cho C là biên của hình chữ nhật 1 � x � 3; 0 � y � 3. Tính tích phân đường loại :

I DH

C

.x C 2y/dx C .x � 2y/dy

A. I = -5. B. I = -6. C. I = 6. D. I = 5.

Câu 272. Cho C là elípx2

4C y2

9D 1. Tính tích phân đường loại hai

I DI

C

.2x C y/dx C .3x � 2y/dy

A. I D �24� . B. I D �12� . C. I D 12� . D. I D 24� .


4C y2

9D 1.a; b > 0/. Tính tích phân đường loại hai

I DI

C

.2x C y/dx C .2x � y/dy

A. I D �ab. B. I D 2�ab. C. I D ab. D. I D 0.


4C y2

9D 1. Tính tích phân đường

I DI

C

y.sin x C 1/dx C .x � cos x/dy

38

A. I D 6� . B. I D 36� . C. I D 0. D. I D � .

Câu 275. Cho C là nửa đường tròn tâm O bán kính 2 nằm phía trên trục hoành Ox từ A(-2, 0)

đến B(2, 0). Tính tích phân đường I DR

C

x2dx C y2dy

A. I D 13=3. B. I D 16=3. C. I D �4� . D. I D 0.

Câu 276. Cho điểm A(2, 2), tính tích phân đường

I DZ

OA

.2xy2 C 3x C 2/dx C .2yx2 C y � 2/dy

Lấy theo đường y D x2=2 từ gốc toạ độ O đến A.

A. I = 0. B. I = 8. C. I = 16. D. I = 24.

Câu 277. Tính tích phân đường loại : I DR

OA

.y � 3x/dx C .4y C x/dy ở đây OA là cung

y D 2x4 � x từ O(0, 0) đến A(1, 1).

A. I = -1. B. I = 2. C. I = 1/8. D. I = 0.


OA

3y2dy �4xdx ở đây OA là cung y D 2x3 C2x2 �2x

từ O(0, 0) đến A(1, 2).

A. I = 0. B. I = 2. C. I = 4. D. I = 6.


OA

.2x C y/dx C .3y2 C x/dy ở đây OA là cung

2y2 D x nối từ O(0, 0) đến A(2, 1).

A. I = -7. B. I = 2. C. I = 7. D. I = 0.

Câu 280. Tính tích phân đường I D.2;3/R

.�1;2/

ydx C xdy

A. I = 2. B. I = 4. C. I = 6. D. I = 8.

Câu 281. Tính tích phân đường I D.3;�4/

R

.0;1/

xdx C ydy

A. I = 12. B. I = -12. C. I = -8. D. I = 8.

Câu 282. Tính tích phân I D.1;1/R

.1;�1/

.x � y/.dx � dy/

A. I = 2. B. I = -2. C. I = -4. D. I = 4.

Câu 283. Tính tích phân I D.1;2/R

.2;1/

2ydx � 2xdy

x2theo đường không cắt trục Oy.

A. I = -3. B. I = 3. C. I = -4. D. I = 4.

39

Câu 284. . Tính tích phân I D.2;3/R

.0;1/

.y C x/dx C .x � y/dy

A. I = -3. B. I = 3. C. I = -4. D. I = 4.

Câu 285. Cho biết hàm U D x3 C y3 C 2xy C 4x C 1 có vi phân toàn phần là dU D .3x2 C

2y C 4/dx C .3y2 C 2x/dy Tính I D.1;0/R

.0;1/

.3x2 C 2y C 4/dx C .3y2 C 2x/dy

A. I = -3. B. I = 3. C. I = -4. D. I = 4.

Câu 286. Cho biết hàm U D xey � yex C 2x C 1 có vi phân toàn phần là dU D .ey � yex C

2/dx C .xey � ex/dy Tính I D.1;0/R

.1;1/

.ey � yex C 2/dx C .xey � ex/dy

A. I = -1. B. I = 1. C. I = -2. D. I = 2.

Câu 287. Tích phân đường nào sau đây không phụ thuộc vào các đường trơn từng khúc nối hai

điểm A và B?

A. I DR

AB

.4xy3 C 2x/dx C .y4 C 2y � x/dy.

B. I DR

AB

.4xy3 C 2x/dx � .y4 C 2y � x/dy.

C. I DR

AB

.4xy3 C 2x � 1/dx C .y4 C 6x2y2 � 1/dy.

D. I DR

AB

.4xy3 C 2x � 1/dx � .y4 C 6x2y2 � 1/dy.


điểm A và B?

A. I DR

AB

x.x2dx � y2/dy. B. I DR

AB

x2dx C y2dy.

C. I DR

AB

x2dy � y2dx. D. I DR

AB

x2dy C y2dx.


điểm A và B?

A. I DR

AB

.tgy � y2tg2x � y2/dx C .x � xtg2y � 2ytgx/dy.

B. I DR

AB

.tgy � y2tg2x C y2/dx C .x C xtg2y � 2ytgx/dy.

C. I DR

AB

.tgy � y2tg2x � y2/dx C .x C xtg2y C 2ytgx/dy.

D. I DR

AB

.tgy � y2tg2x � y2/dx C .x C xtg2y � 2ytgx/dy.


điểm A và B?

A. I DR

AB

.ey � 2ye2x/dx � .xey � e2x/dy.

40

B. I DR

AB

.ey C 2ye2x/dx C .xey � e2x/dy.

C. I DR

AB

.ey � 2ye2x/dx C .xey � e2x/dy.

D. I DR

AB

.ey C 2ye2x/dx � .xey C e2x/dy.


điểm A và B?

A. I DR

AB

.2x3 C 2y2/dx C .4xy C y � 1/dy.

B. I DR

AB

.2x3 � 2y2/dx C .4xy C y � 1/dy.

C. I DR

AB

.cos x C cos y/dx C x sin ydy.

D. I DR

AB

.cos y C y cos x/dx � y sin ydy.


điểm A và B?

A. I DR

AB

.ey C 2y sin 2x/dx C .xey C cos 2x/dy.

B. I DR

AB

.ey � y sin 2x/dx C .xey C cos 2x/dy.

C. I DR

AB

.ey � 2y sin 2x/dx C .xey C cos 2x/dy.

D. I DR

AB

.ey � 2y sin 2x/dx C .xey � cos 2x/dy.


điểm A và B?

A. I DR

AB

.2x3 � 3y/dx C .3x C y � 1/dy. B. I DR

AB

.2x3 � 3y/dx � .3x C y � 1/dy.

C. I DR

AB

.cos y C cos x/dx C x sin ydy. D. I DR

AB

.cos y C cos x/dx C sin ydy.


điểm A và B?

A. I DR

AB

.cos y C x sin y/dx � .x sin y � sin x/dy.

B. I DR

AB

.tgy C 1 C cos x/dx C .x.1 C tg2y/ C sin y/dy.

C. I DR

AB

.cos y C sin x/dx � x cos ydy.

D. I DR

AB

.sin y C cos y/dx C cos ydy .

41


điểm A và B?

A. I DR

AB

.x2 � 2xy2 � 3/dx C .y2 � 2x2y � 5/dy.

B. I DR

AB

.x2 C 2xy2 � 3/dx C .y2 � 2x2y � 3/dy.

C. I DR

AB

.exCy C cos.x � y//dx C .exCy C cos.x � y//dy.

D. I DR

AB

.ex�y C cos.x � y//dx C .ex�y � cos.x � y//dy.

42

Chương 5

Phương trình vi phân

5.1 Phương trình vi phân cấp I

Câu 296. Cho biết một phương trình vi phân nào đó có nghiệm tổng quát là y = Cx. Đường

cong tích phân nào sau đây của phương trình trên đi qua A(1, 2)?

A. y = 2. B. y = 3x. C. y = 2x. D. y = x/2.

Câu 297. Hàm số y D 2x C Cex , C là hằng số tuỳ ý, là nghiệm tổng quát của phương trình vi

phân nào sau đây ?

A. y0 � y D .1 C x/2. B. y0 � y D 2.1 � x/.

C. y0 C y D .1 C x/2. D. y0 C y D 2.1 � x/.

Câu 298. Phương trình vi phân nào sau đây được đưa về dạng phương trình tách biến ?

A. x2.x C 1/ arctan ydx C x.1 C y2/dy D 0. B. x2.x C y/ ln ydx C .1 C y2/.x � 1/dy D 0.

C. x2.x C 1/ ln ydx C .x C y2/.x � 1/dy D 0. D. Œx2 C .x C y/2� ln ydx C .1 C y2/.x � 1/dy D 0.

Câu 299. Phương trình vi phân nào sau đây được đưa về dạng phương trình tách biến ?

A. x2.x C 1/ ln ydx C .x C y2/.x � y/dy D 0. B. x2.x C y/ ln ydx � .1 C y2/.x � 1/dy D 0.

C. x2.x C y/ ln ydx C .x C y2/.x � 1/dy D 0. D. Œx2 C .x C 1/2� ln ydx � .1 C y2/.x C 1/dy D 0.

Câu 300. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0 D tan x tan y

A. sin x cos y D C . B. cos x sin y D C .

C. cos y sin x D C . D. sin x sin y D C .

Câu 301. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0 C y

x C 1D 0

A. .x C 1/y D C . B. .x C 1/ C y D C .

C. C1.x C 1/ C C2y D 0. D. .x C 1/2 C y2 D C .

43

Câu 302. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phândx

sin yC dy

cos xD 0

A. sin x C cos y D C . B. sin x � cos y D C .

C. C1 sin x C C2 cos y D 0. D. C1 cos x C C2 sin y D 0.

Câu 303. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phândx

1 C x2C dy

p

1 � y2D 0

A. arcsin x C arctan y D C . B. arcsin x � arctan y D C .

C. arctan x C arcsin y D C . D. arctan x C ln jy Cp

1 � y2j D C .

Câu 304. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 2xydx C dy D 0

A. x2y C y D C . B. xy2 C y D C .

C. 2xy C 1 D C . D. x2 C ln jyj D C .

Câu 305. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân .1 C y2/dx C x ln xdy D 0

A. .1 C y2/x C x ln x D C . B. ln j ln xj C arcsin y D C .

C. ln j ln xj Cp

1 C y2 D C . D. ln j ln xj C arctan y D C .

Câu 306. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phânp

.1 � y2/dx C x ln xdy D 0

A. xp

1 C y2 C xy ln x D C . B. ln j ln xj C arcsin y D C .

C. ln j ln xj Cp

1 � y2 D C . D. ln j ln xj C arctan y D C .

Câu 307. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

p

1 � y2

ydx C

p1 C x2dy D 0

A. arctan x �p

1 � y2 D C . B. arctan x � ln j1 � y2j D C .

C. ln jx Cp

1 C x2j �p

1 � y2 D C . D. ln jx Cp

1 C x2j � ln.1 � y2/ D C .


1 C y2dx C xy ln xdy D 0

A. xp

1 C y2 C xy ln x D C . B. ln j ln xj C arcsin y D C .

C. ln j ln xj Cp


Câu 309. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân x.y2 C 1/dx C y.x2 C 1/dy D 0

A. arctan.x2 C 1/ C arctan.y2 C 1/ D 0. B. arctan.x C y/ D C .

C. arctan x C arctan y D C . D. ln.x2 C 1/ C ln.y2 C 1/ D C .

Câu 310. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xdy � 2y ln xdx D 0

A. y D ln2x C C . B. y D ln x

xC C .

C. ln jyj D x.1 C ln x/ C C . D. ln jyj D ln x2 C C .

Câu 311. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân x.y2 � 1/dx C y.x2 � 1/dy D 0

A. arctan.x2 � 1/ C arctan.y2 � 1/ D C . B. arc cot g.x2 � 1/ C arc cot g.y2 � 1/ D C .

44

C. ln jx2 � 1j C ln jy2 � 1j D C . D. arctan x C arctan y D C .


1 C y2dx C xy ln xdy D 0

A. .1 C y2/x C xy ln x D C . B. ln j ln xj C arcsin y D C .

C. ln j ln xj Cp


Câu 313. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0 D tan x tan y

A. sin x cos y D C . B. cos x cos y D C .

C. cos x sin y D C . D. sin x sin y D C .

Câu 314. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xp

y2 C 1dx C yp

x2 C 1dy D 0

A.

px2 C 1

p

y2 C 1D C . B. ln.x C

px2 C 1/ � ln.y C

p

y2 C 1/ D C .

C. ln.x Cp

x2 C 1/ C ln.y Cp

y2 C 1/ D C . D.p

x2 C 1 Cp

y2 C 1 D C .

Câu 315. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình đẳng cấp?

A.dy

dxD 2x C 3y C 5

x C 5. B.

dy

dxD x2 C y2

x C y.

C.dy

dxD x2 C y2

xy. D.

dy

dxD x2y C y2x

x2 C y2.

Câu 316. Chọn cách đổi biến đúng, thích hợp để giải phương trình vi phân y0 D x2 � y2

y2 � xy(1)

A. Đặt u D y2 , (1) trở thànhu0

2p

uD x2 � u

u � xp

u.B. Đặt u D x2 , (1) trở thành y0 D u � y2

y2 � yp

u.

C. Đặt y D ux , (1) trở thành u0 D 1 � u3

x.u2 � u/. D. Đặt y D ux , (1) trở thành u0 D 1 � u3

u2 � u.

Câu 317. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0 D y

x� y2

x2

A. y D �x

C C ln jxj . B. y D x

C C ln jxj .

C. y D x

C � ln jxj . D. y D �x

C ln jxj .

Câu 318. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy0 D y C x

A. y D x.C C ln jxj/. B. y D x.C � ln jxj/.C. y D x=.C C ln jxj/. D. y D x=.C � ln jxj/.

Câu 319. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân .x2 C 2xy/dx C xydy D 0

A. ln jx C yj � x

x C yD C . B. ln jx C yj C x

x C yD C .

C. ln jx C yj � x C y

xD C . D. ln jx C yj � x C y

xD C .

Câu 320. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân toàn phần?

45

A. .yex � xex/dx C .ex � y2 sin y/dy D 0.

B. .yex C xex/dx C .ex C x2 sin y/dy D 0.

C. .yex C xey/dx C .ex C y2 sin y/dy D 0.

D. .yex � xey/dx C .ex � y2 sin y/dy D 0.

Câu 321. Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân toàn phần?

A. .y sin x � cos y/dx C .cos x � x sin y/dy D 0.

B. .y sin x � cos y/dx � .cos x � x sin y/dy D 0.

C. .y sin x C cos y/dx C .cos x C x sin y/dy D 0.

D. .y sin x C cos y/dx � .cos x � x sin y/dy D 0.

Câu 322. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân ydx C xdy D 0

A. xy D C . B. y D Cx. C. x C y D C . D. x � y D C .

Câu 323. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân .y C ex/dx C xdy D 0

A. xy � ex D C . B. xy C ex D C .

C. x C y C ex D C . D. x � y C ex D C .

Câu 324. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.ey C 1/dx C .xey C 1/dy D 0

A. xy � xey D C . B. xy C xey D C . C. x C y C xey D C . D. x � y C xey D C .

Câu 325. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân .1 C cos y/dx � .1 C x sin y/dy D 0

A. xy � x cos y D C . B. xy C x cos y D C .

C. y � x C x cos y D C . D. x � y C x cos y D C .

Câu 326. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân .x � x=y/dy C .y � ln y/dx D 0

A. x ln y C xy D C . B. x ln y � xy D C . C. y ln x C xy D C . D. y ln x � xy D C .

Câu 327. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân .cos y � 2y sin 2x/dx � .x sin y �cos 2x/dy D 0

A. x cos y � y cos 2x D C . B. x cos y C y cos 2x D C .

C. x sin y � y sin 2x D C . D. x sin y C y sin 2x D C .

Câu 328. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0 C 2y

xD 0

A. y D C

x2. B. y D 2C

x3.

C. y D C

x. D. y D �C

x.

Câu 329. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân .1 C x2/ arctan x:y0 � y D 0

A. y.x C x3=3/ � y2=2 D C . B. y D C:e1=arctg2x.

46

C. y D C: arctan x. D. y D C= arctan x.

Câu 330. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0cos2x C y D 0

A. y D C e�tgx. B. y D C etgx.

C. y D C C etgx. D. y D eC:tgx.

Câu 331. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0 � 3y D 0

A. y D C e�3x. B. y D C � e3x.

C. y D C e3x. D. y D C C e3x.

Câu 332. Phương trình y0 � y cos x D 0 có nghiệm tổng quát là:

A. y D Cxe� cos x. B. y D Cx C esin x.

C. y D C C e� sin x. D. y D C:e� sinx.

Câu 333. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân .1 C sin x/y0 � y cos x D 0

A. y.x C cos x/ � sin x:y2=2 D C . B. y D C ln.1 C sin x/.

C. y D C:.1 C sin x/. D. y D C=.1 C sin x/.

Câu 334. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0.1 C tgx/ � .1 C tg2x/y D 0

A. y.x � ln j cos xj/ � .tgx/x:y2=2 D C . B. y D C.1 C tgx/.

C. y D C=.1 C tgx/. D. y D C ln.1 C tgx/.

Câu 335. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0 sin x D 4y cos x

A. y D C:cotgx. B. y D C C 4tgx.

C. y D C:sin4x. D. y D C C sin4x.

Câu 336. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân .1 C sin x/y0 C y cos x D 0

A. y.x C cos x/ � sin x:y2=2 D C . B. y D C ln.1 C sin x/.

C. y D C:.1 C sin x/. D. y D C=.1 C sin x/.

Câu 337. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0.x2 C x C 1/ D y.2x C 1/

A. y D C C .x2 C x C 1/. B. y D C=.x2 C x C 1/.

C. y D C:.x2 C x C 1/. D. y D C:.2x C 1/.

Câu 338. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0.1 � ex/ � exy D 0

A. y.x � ex/ � exy2=2 D C . B. y D C ln.1 � ex/.

C. y D C.1 � ex/. D. y D C=.1 � ex/.

Câu 339. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0p

4 C x2 C y D 0

A. y D C.x Cp

4 C x2/. B. y arctan.x=2/ D C .

47

C. y arcsin.x=2/ D C . D. y.x Cp

4 C x2/ D C .

Câu 340. Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình

y0 C 2y

xD 4x ln x dưới dạng

A. y D C.x/

x2. B. y D C.x/

x3.

C. y D C.x/

x. D. y D �C.x/

x.


y0 � 3y

xD x4 ln x dưới dạng

A. y D C.x/

x3. B. y D C.x/ � x3.

C. y D C.x/ C x3. D. y D C.x/x3.


y0cos2x C y D 1 C tg2x dưới dạng

A. y D C.x/e�tgx. B. y D C.x/etgx .

C. y D C.x/ C etgx. D. y D C.x/ � etgx.


xy0 C 3y D x4 ln x dưới dạng

A. y D C.x/e3x . B. y D C.x/e�3x .

C. y D C.x/=x3. D. y D C.x/x3.

Câu 344. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y0 � y

x ln xD x ln x thỏa điều kiện y.e/ D

e2

2

A. y D x2 C ln x � 1

2. B. D x2 ln x

2.

C. D x2 ln2 x

2. D. y D x2 C ln x � 1

4.

Câu 345. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy0 � y D 3x4

A. y D x4 C C=x. B. y D x4 C Cx.

C. y D x3 C C . D. y D 9x2 C C .

Câu 346. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy0 � 2y D 2x3

A. y D x4 C C=x. B. y D x4 C Cx.

C. y D 2x3 C C x2. D. y D �2x3 C C x2.

Câu 347. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy0 C 2y D 3x

A. y D x C C=x2. B. y D x C C x2.

48

C. y D x3 C C x2. D. y D x3 C C=x2.

Câu 348. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy0 C 2y D 5x3

A. y D x C C=x2. B. y D x C C x2.

C. y D x3 C C x2. D. y D x3 C C=x2.

Câu 349. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0 � 2y D e2x

A. y D .�x C C /e2x. B. y D .x C C /e2x.

C. y D .�x C C /ex. D. y D .x C C /ex .

Câu 350. Chọn cách đổi biến đúng, thích hợp để giải phương trình vi phân 5y0 � 4y D x4=y4 (1)

A. Đặt z D y5 , (1) trở thành z0 � 20z D 5x4.

B. Đặt z D y5 , (1) trở thành z0 � 4z D x4.

C. Đặt y D ux , (1) trở thành.

D. Đặt u D x=y , (1) trở thành 5u0 � 5x=u D u2.


A. Đặt y D ux , (1) trở thành 4u0x C 4u � 4ux D 1=u2.

B. Đặt u D x=y , (1) trở thành 4u0 � 4x=u D u2.

C. Đặt z D y4 , (1) trở thành 44p

z0 � 4 4p

z D x2 4p

z3.

D. Đặt z D y4 , (1) trở thành z0 � 4z D x3.

Câu 352. Chọn cách đổi biến đúng, thích hợp để giải phương trình vi phân y0 � 4y D x2=y2 (1)

A. Đặt z D y3 , (1) trở thành z0 � 12z D 3x2.

B. Đặt z D y3 , (1) trở thành z0 � 4z D x2.

C. Đặt y D ux , (1) trở thành u0x C u � 4ux D 1=u2.

D. Đặt u D x=y , (1) trở thành u0 � 4x=u D u2.

Câu 353. Chọn cách đổi biến đúng, thích hợp để giải phương trình vi phân y0 �xy D 2.x2 C1/y3

(1)

A. Đặt z D y�2 , (1) trở thành z0 � 2xz D 4.x2 C 1/.

B. Đặt z D y�2 , (1) trở thành z0 C 2xz D �4.x2 C 1/.

C. Đặt x D uy , (1) trở thành x0 D u0y C y.

49

D. Đặt y D ux , (1) trở thành y0 D u0x C x.


A. Đặt z D y4 , (1) trở thành 5zy0 � 4zy D x4. B. Đặt z D y5 , (1) trở thành z0 � 20z D 5x4.

C. Đặt u D x=y , (1) trở thành 5u0 � 5x=u D u2.D. Các cách đổi biến trên đều không thích hợp.

Câu 355. Chọn cách đổi biến đúng, thích hợp để giải phương trình vi phân y0 �xy D 2.x2 C3/y3

(1)

A. Đặt z D y�2 , (1) trở thành z0 � 2xz D �4.x2 C 3/.

B. Đặt z D y�2 , (1) trở thành z0 C 2xz D �4.x2 C 3/.

C. Đặt x D uy , (1) trở thành x0 D u0y C y.

D. Đặt y D ux , (1) trở thành y0 D u0x C x.

Câu 356. Xét phương trình vi phân .2x3 C x/y2dx C y3x3dy D 0 (1). Khẳng định nào sau đây

đúng?

A. (1) là phương trình vi phân đẳng cấp.

B. (1) là phương trình vi phân đưa được về dạng tách biến.

C. (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

D. (1) là phương trình vi phân Bernoulli.

Câu 357. Xét phương trình vi phân .y2 C 3xy/dx C .7x2 C 4xy/dy D 0 (1). Khẳng định nào

sau đây đúng?


B. (1) là phương trình vi phân tách biến.

C. (1) là phương trình vi phân Bernoulli.

D. (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

Câu 358. Xét phương trình vi phân .y2 � 2xy/dx C .x2 � 5xy/dy D 0 (1). Khẳng định nào sau

đây đúng?


B. (1) là phương trình vi phân tách biến.

C. (1) là phương trình vi phân Bernoulli.

D. (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

50

5.2 Phương trình vi phân cấp II

Câu 359. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 � 2y0 C 5y D 0

A. y D e2x.C1 cos x C C2 sin x/. B. y D ex.C1 cos 2x C C2 sin 2x/.

C. y D C1 cos 2x C C2 sin 2x. D. y D C1ex C C2e2x.

Câu 360. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 C 4y D 0

A. y D e2x.C1 cos x C C2 sin x/. B. y D ex.C1 cos 2x C C2 sin 2x/.

C. y D C1 cos 2x C C2 sin 2x. D. y D C1e2x C C2e�2x.


A. y D C1 cos 2x C C2 sin 2x. B. y D ex.C1 cos 2x C C2 sin 2x/.

C. y D ex.C1ex C C2e2x/. D. y D C1ex C C2e2x.

Câu 362. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 � y D 0

A. y D C1ex C C2e�x. B. y D .C1x C C2/ex.

C. y D C1 C C2ex. D. y D C1 C C2 sin x.


A. y D C1e4x C C2e5x. B. y D C1e�4x C C2e�5x.

C. y D e4x.C1 cos 5x C C2 sin 5x/. D. y D e5x.C1 cos 4x C C2 sin 4x/.


A. y D e3x.xC1 C C2/. B. y D e�3x.xC1 C C2/.

C. y D C1e3x.C1 cos x C C2 sin x/. D. y D .C1 C C2/e3x.

Câu 365. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 4y00 � 16y D 0

A. y D C1e2x C C2e�2x. B. y D C1e2x C C2e2x.

C. y D e2x.C1 cos 2x C C2 sin 2x/. D. y D e�2x.C1 cos 2x C C2 sin 2x/.


A. y D e11x.xC1 C C2/. B. y D e�11x.xC1 C C2/.

C. y D C1e11x.C1 cos x C C2 sin x/. D. y D .C1 C C2/e11x.

Câu 367. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 C 4y0 C 3y D 0

A. y D C1ex C C2e�3x. B. y D C1e�x C C2e�3x.

C. y D C1e�x C C2e3x. D. y D C1ex C C2e3x.


A. y D ex.C1 cos 3x C C2 sin 3x/. B. y D e3x.C1 cos x C C2 sin x/.

51

C. y D e�x.C1 cos 3x � C2 sin 3x/. D. y D e�x.C1 cos 3x C C2 sin 3x/.


A. y D C1ex C C2e2x. B. y D C1e�x C xC2e�2x.

C. y D ex.C1 cos 2x C C2 sin 2x/. D. y D e2x.C1 cos x C C2 sin x/.

Câu 370. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 3y00 C 18y0 C 27y D 0

A. y D C1e�3x C C2e�3x. B. y D e3x.xC1 C C2/.

C. y D C1e�3x C xC2e�3x. D. y D C1 cos.�3x/ C C2 sin.�3x/.

Câu 371. Cho biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân y00 � 2y0 C 2y D 2ex là y D x2e2

, hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình trên

A. y D x2ex C C ex. B. y D C x2e2.

C. y D x2ex C C1ex C C2xex . D. y D x2ex C C1ex C C2ex.

Câu 372. Cho biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân y00 C y0 D 2 sin x C 3 cos 2x là

y D � cos 2x � x cos x , hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình

A. y D C1 cos 2x C C2x cos x. B. y D cos 2x C x cos x C C1ex C C2e�x.

C. y D � cos 2x � x cos x C C1ex C C2e�x. D. y D � cos 2x � x cos x C C1 cos x C C2 sin x.

Câu 373. Cho biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân y00 � 4y0 � 5y D 4 sin x � 6 cos x

là y D cos x , hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình

A. y D cos x C ex.C1 cos 5x C C2 sin 5x/. B. y D 4 sin x � 6 cos x C e�x.C1 cos 5x C C2 sin 5x/.

C. y D cos x C C1e�x C C2e5x. D. y D 4 sin x � 6 cos x C C1e�x C C2e5x.

Câu 374. Cho biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân y00 C 2y0 C 26y D 29ex là y D ex

, hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình

A. y D ex C e�x.C1 cos 5x C C2 sin 5x/. B. y D 29ex C e�x.C1 cos 5x C C2 sin 5x/.

C. y D ex C C1e�x C C2e5x. D. y D 29ex C C1e�x C C2e5x.

Câu 375. Phương trình y00 � 4y0 C 4y D e2x.x3 � 4x C 2/ có một nghiệm riêng dang:

A. y D x2e2x.Ax3 C Bx2 C Cx C D. B. y D x2.Ax3 C Bx2 C Cx C D.

C. y D e2x.Ax3 C Bx2 C Cx C D. D. y D Ax3 C Bx2 C Cx C D.

Câu 376. Phương trình y00 C 4y0 D 2e2x có một nghiệm riêng dạng:

A. y D .x C Ae2x. B. y D Ax C B.

C. y D Ae2x. D. y D Ax.

Câu 377. Phương trình y00 C 4y0 C 4y D cos x có một nghiệm riêng dạng

A. y D A sin x. B. y D e�2x.A sin x C B cos x/.

52

C. y D e2x.A sin x C B cos x/. D. y D A sin x C B cos x.

Câu 378. Phương trình y00 � 4y0 C 3y D e3x sin x có một nghiệm riêng dạng:

A. y D A sin x C B cos x C C . B. y D e3x.A sin x C B cos x/.

C. y D xe3x.A sin x C B cos x/. D. y D x.A sin x C B cos x/.

Câu 379. Phương trình y00 C 6y0 C 8y D 2x sin x C cos x có một nghiệm riêng dạng:

A. y D �2x..Ax C B/ sin x � 4x.Cx C D/ cos x/.B. y D e � 2x.Ax C B/ sin x.

C. y D .Ax C B/ sin x C .Cx C D/ cos x. D. y D e�4x.Ax C B/ cos x.

Câu 380. Phương trình y00 � 8y0 C 12y D e2x.x2 � 1/ có một nghiệm riêng dạng:

A. y D x2.Ax2 C Bx C C /e2x. B. y D x.Ax2 C Bx C C /e2x.

C. y D .Ax2 C Bx C C /e2x. D. y D .Ax2 C B/e2x.

Câu 381. Phương trình y00 C 3y0 C 2y D exx2 có một nghiệm riêng dạng:

A. y D .e�x C e�2x/.Ax2 C Bx C C /. B. y D e�2x.Ax2 C Bx C C /.

C. y D ex.Ax2 C Bx C C /. D. y D xex.Ax2 C Bx C C /.

Câu 382. Phương trình y00 C 3y0 C 2y D e�xx2 có một nghiệm riêng dạng

A. y D .e�x C e�2x/.Ax2 C Bx C C /. B. y D xe�2x C Ax2 C Bx C C .

C. y D xe�x.Ax2 C Bx C C /. D. y D e�x.Ax2 C Bx C C /.

Câu 383. Phương trình y00 � 6y0 C 10y D xe3x sin x có một nghiệm riêng dạng:

A. y D xe�2x.Ax C B/ sin x. B. y D e3xŒ.Ax C B/ sin x C .Cx C D/ cos x/�.

C. y D xe3xŒ.Ax C B/ sin x C .Cx C D/ cos x/�. D. y D xe3x.A sin x C B cos x/.

Câu 384. Phương trình y00 C 3y D x2 sin x có một nghiệm riêng dạng:

A. y D .Ax2 C Bx C C / sin x.

B. y D .Ax2 C Bx C C / cos x.

C. y D .Ax2 C Bx C C /.sin x C cos x/.

D. y D .Ax2 C Bx C C / sin x C .C x2 C Dx C E/ cos x.

Câu 385. Phương trình y00 � 6y0 C 8y D e2x sin 4x có một nghiệm riêng dạng:

A. y D e2x.A sin 4x C B cos 4x/.

B. y D xe2x.A sin 4x C B cos 4x/.

C. y D x2e2x.A sin 4x C B cos 4x/.

D. y D A sin 4x C B cos 4x C C .

53

Câu 386. Chọn cách đổi biến đúng, thích hợp để giải phương trình vi phân y00 D x � xy0 (1)

A. Đặt p D y , (1) trở thành p00 � xp0 D x.

B. Đặt p D y0 , (1) trở thành p0 C xp D x.

C. Đặt p D y0 , (1) trở thành p00 � xp0 D 0.

D. Cả ba cách biến đổi trên đều không thích hợp..

Câu 387. Chọn cách đổi biến đúng, thích hợp để giải phương trình vi phân y00 D yy0 C y0 (1)

A. Đặt p D y , xem y’, y” như là các hàm theo p, (1) trở thành p00 � .y C 1/p0 D 0.

B. Đặt p D y0 , xem p như là hàm theo y, (1) trở thành p0 � .y C 1/p D 0.

C. Đặt p D y0 , xem p như là hàm theo y, (1) trở thành pdp

dy� .y C 1/p D 0.

D. Cả ba cách biến đổi trên đều không thích hợp..

Câu 388. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 C 3y0=x D 0

A. y D C1x3 C C2. B. y D C1=x3 C C2.

C. y D C1=x2 C C2. D. y D C1 ln jxj C C2.

Câu 389. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 C y0=x D 0

A. y D C1x C C2. B. y D C1=x C C2.

C. y D C1=x2 C C2. D. y D C1 ln jxj C C2.

Câu 390. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 C 4y0=x D 0

A. y D C1=x3 C C2. B. y D C1x3 C C2.

C. y D C1x2 C C2. D. y D C1=x2 C C2.

Câu 391. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 � 2y0=x D 0

A. y D C1x2. B. y D C1x3 C C2.

C. y D C1x3 C C2. D. y D C1x2 C C2=x.

Câu 392. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 C y0=x D x

A. y D x3

9C C1 ln2 x C C2. B. y D x3

3C C1 ln x C C2.

C. y D x3

9C C1 ln x C C2. D. y D �x3

9C C1 ln x C C2.

Câu 393. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 D 6x

A. y D x2 C C1x C C2. B. y D x3 C C1x C C2.

C. y D x2 C Cx. D. y D x3 C Cx.

54

Câu 394. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 D cos x

A. y D sin x C Cx. B. y D cos x C C .

C. y D � sin x C C1x C C2. D. y D �cosx C C1x C C2.

Câu 395. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 D e�x=2

A. y D 2e�x=2 C C . B. y D �4e�x=2 C C1x C C2.

C. y D 2ex=2 C C1x C C2. D. y D 4e�x=2 C C1x C C2.

Câu 396. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00cos2x � 1 D 0

A. y D � ln j sin xj C C1x C C2. B. y D ln j sin xj C C1x C C2.

C. y D � ln j cos xj C C1x C C2. D. y D ln j cos xj C C1x C C2.

Câu 397. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân e2xy00 � 4 D 0

A. y D 2e�2x C C1x C C2. B. y D 2e2x C C1x C C2.

C. y D e�2x C C1x C C2. D. y D e2x C C1x C C2.

Câu 398. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 � 4x

.4 C x2/2

D 0

A. y D � arctan.x=2/ C C1x C C2. B. y D ln.x2 C 4/ C C1x C C2.

C. y D 1

4 C x2C C1x C C2. D. y D ln

x � 2

x C 2C C1x C C2.

Câu 399. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00 C 1

cos2xD 0

A. y D ln j cos xj C C1x C C2. B. y D � ln j cos xj C C1x C C2.

C. y D tg3x

3C C1x C C2. D. y D ln j sin xj C C1x C C2.

55

Chương 6

Tích phân mặt

6.1 Tích phân mặt loại 1

Câu 400. Tính tích phân mặt loại một: I D’

S

ds, trong đó S là mặt z D 3; 0 � x � 1; 0 � y � 2.

A. I = 0. B. I = 4. C. I = 6. D. I = 12.

Câu 401. Tính: I D’

S

.2x � 2y C z/ds, trong đó S là mặt 2x � 2y C z � 2 D 0; 1 � x � 2; 0 �y � 2.

A. I D 0. B. I D 4. C. I D 12. D. I D 4p

3.


S

ds, trong đó S là mặt z D 2x; 0 � x � 1; 0 � y �2.

A. I Dp

5. B. I D 2p

5. C. I Dp

2. D. I D 2p

2.


S

xyds, trong đó S là mặt z D 2x; 0 � x � 1; 0 �y � 2.

A. I Dp

5. B. I D 2p

5. C. I Dp

5=2. D. I Dp

5=4.


S

.xy C y2 C yz/ds, trong đó S là mặt x Cy Cz D1; 0 � y � 1; 0 � z � 2.

A. I D 2p

3. B. I Dp

3. C. I D 2p

2. D. I Dp

2=4.


S

ds, trong đó S là mặt z D 2; x2 C y2 � 4.

A. I D � . B. I D 4� . C. I D 6� . D. I D 8� .


S

ds, trong đó S là mặt x D 4; y2 C z2 � 6.

A. I D � . B. I D 4� . C. I D 6� . D. I D 24� .

56


S

.x2 � xz C 1/ds, trong đó S là mặt z D x; x2 C

y2 � 1.

A. I D 2� . B. I D � . C. I D �p

2. D. I D 2�p

2.


S

xds, trong đó S là mặt x Cy Cz D 0; x2 Cy2 � 1.

A. I D 0. B. I D �p

3. C. I D 4�p

3. D. I D 6�p

3.


S

.x C y C z/ds, trong đó S là mặt 2x C 2y C 2z � 1 D 0; x C y � 4; x �0; y � 0.

A. I D 3p

3. B. I D 3. C. I D 4p

3. D. I D 4.


S

.x C 4y C 2z/ds, trong đó S là mặt x C4y C2z �2 D 0; 1 � x2 Cy2 � 2.

A. I D �p

21. B. I D �p

21=2. C. I D ��p

21=2. D. I D 2� .


S

.x C 2y C z/ds, trong đó S là mặt x C 2y C z � 2 D 0; x C y � 1; x �0; y � 0.

A. I Dp

6. B. I Dp

6=2. C. I D 2p

6. D. I Dp

6=4.


S

.3x � 4y C z/ds, trong đó S là mặt 3x � 4y C z � 3 D 0; x2 C y2 � 1.

A. I D 3�p

26. B. I D 15�p

26. C. I D 2�p

26. D. I D �p

26.


S

3xds, trong đó S là mặt z � x D 0; x C y � 1; x � 0; y � 0.

A. I Dp

2. B. I D 2p

2. C. I Dp

2=2. D. I D 4.


S

.2x2 � xy C 3/ds, trong đó S là mặt y D 2x; x2 C

z2 � 1.

A. I D �p

2. B. I D 3�p

2. C. I D �p

5. D. I D 3�p

5.


S

.x2 � y2 � xz C yz C 2/ds, trong đó S là mặt

z D x C y; x2 C y2 � 9.

A. I D �p

3. B. I D 3�p

3. C. I D 9�p

3. D. I D 18�p

3.


S

ds, trong đó S là mặt x C2y Cz D 0; y2 Cz2 � 6.

A. I D �p

6. B. I D 3�p

6. C. I D 6�p

6. D. I D 9�p

6.


S

xds, trong đó S là mặt của hình lập phương

[0,1]x[0,1]x[0,1].

A. I = 3. B. I = 6. C. I = 9. D. I = 12.

57


S

.x C y C z/ds, trong đó S là mặt của hình lập

phương [0,1]x[0,1]x[0,1].

A. I = 6. B. I = 9. C. I = 3. D. I = giá trị khác.


S

xyzds, trong đó S là mặt của hình lập phương

[0,1]x[0,1]x[0,1].

A. I = 0. B. I = 1/4. C. I = 3/4. D. I = 1.


S

xyds, trong đó S là mặt của hình lập phương

[0,1]x[0,1]x[0,1].

A. I = 0. B. I = 1/2. C. I = 3/4. D. I = 3/2.


S

.x C y C z/ds, trong đó S là mặt x C y C z D2; 0 � x � 1; 0 � y � 1.

A. I D 2. B. I D 2p

3. C. I Dp

3. D. I D �p

3.


S

.x C y C z/ds, trong đó S là mặt x C y C z D1; 0 � x � 1; 0 � y � 1.

A. I D 2. B. I D 2p

3. C. I Dp

3. D. I D �p

3.


S

.x C y C z/ds, trong đó S là mặt x C y C z D1; 0 � x � 1; 0 � y � 1; z � 0.

A. I D 1=2. B. I D 2p

3. C. I Dp

3=2. D. I D �p

3.


S

.x C y C z/ds, trong đó S là mặt x C y C z D1; x � 0; y � 0; z � 0.

A. I D 1=2. B. I D 2p

3. C. I Dp

3=2. D. I D �p

3.


S

xy.2x C 2y C z/ds, trong đó S là mặt 2x C 2y Cz D 2; 0 � x � 2; 0 � y � 2.

A. I Dp

3. B. I D 2p

3. C. I D 8. D. I D 24.


S

y.2x C 2y C z/ds, trong đó S là mặt 2xC2yCz D2; 0 � y � 1; 0 � z � 2.

A. I Dp

3. B. I D 2p

3. C. I D 3. D. I D 4.


S

dsp

1 C 4x2 C 4y2, trong đó S là mặt z D x2 C

y2; 0 � x � 2; 0 � y � 3.

A. I = 1. B. I = 4. C. I = 6. D. I = 8.

58


S

dsp

1 C 4y2 C 16z2, trong đó S là mặt x D

y2 C 2z2; y2 C z2 � 4

A. I D � . B. I D 4� . C. I D 6� . D. I D 8� .

Câu 429. Tính diện tích S của mặt 2x � 2y C z D 1; 0 � x � 1; 0 � y � 2

A. S D 6. B. S D 3. C. S Dp

3. D. S Dp

3=2.

Câu 430. Tính diện tích S của mặt 2x � 2y C z D 1; 0 � y � 1; 0 � z � 2

A. S D 6. B. S D 3. C. S Dp

3. D. S Dp

3=2.

Câu 431. Tính diện tích S của mặt x2 C y2 � 2x; z D 2

A. S D � . B. S D 2� . C. S D 3� . D. S D 4� .

Câu 432. Tính diện tích S của mặt z D 2x C 2y; x2 C y2 � 4x

A. S D �p

3. B. S D 2�p

3. C. S D 4� . D. S D 12� .

Câu 433. Tính diện tích S của mặt x2=4 C y2=9 � 1; z D 2

A. S D �p

3. B. S D 3�p

3. C. S D 6� . D. S D 12� .

Câu 434. Tính diện tích S của mặt 2x � 2y C z D 3; x2=4 C y2 � 1

A. S D �p

3. B. S D 3�p

3. C. s D 2� . D. S D 6� .

Câu 435. Tính diện tích S của mặt z Dp

x2 C y2; x2 C z2 � 1

A. S D �p

2. B. S D 2�p

2. C. S D 4�p

2. D. S D � .

Câu 436. Tính diện tích S của mặt z Dp

x2 C y2; x2 C z2 � 4x

A. S D �p

2. B. S D 2�p

2. C. S D 4�p

2. D. S D 4� .

Câu 437. Tính diện tích S của mặt S W 2x C 2y � z � 1 D 0; 0 � x � 2; 1 � y � 3

A. S = 4. B. S = 12. C. S = 6. D. S = 18.

Câu 438. Tính diện tích S của mặt x C 4y C z D 1; x2=4 C y2=9 � 1

A. S D 2�p

2. B. S D 18�p

2. C. S D 6� . D. S D 6�=p

2.

Câu 439. Tính diện tích S của mặt x � y D 0; x C y � 1; x � 0; y � 0

A. S Dp

2=2. B. S Dp

2. C. S D 2. D. S D 2p

2.

Câu 440. Tính diện tích S của mặt 2x C 2y C z D 1; x2=16 C y2=9 � 1

A. S D 36� . B. S D 6�p

3. C. S D 18�p

3. D. S D 18� .

Câu 441. Tính diện tích S của mặt 2x C y � z D 1; x C y � 1; x � 0; y � 0

A. S D �p

3. B. S D 3=2. C. S D 3. D. S D 1=2.

Câu 442. Tính diện tích S của mặt 2x C 2y C z D 1; 0 � x � 2; 0 � y � 4

A. S = 24. B. S = 36. C. S = 72. D. S D 8p

3.

Câu 443. Tính diện tích S của mặt S W x C y � z D 0; x2 C y2 � 4

A. S D 4� . B. S D 4�p

3. C. S D 2� . D. S D 2�=p

3.

59

6.2 Tích phân mặt loại 2

Câu 444. Tính tích phân mặt I D’

S

zdxdy trong đó S là mặt trên của mặt 0 � x � 2; 0 � y �2; z D 2:

A. I = 0. B. I = 4. C. I = 6. D. I = 8.


S

zdxdy trong đó S là mặt trên của mặt 0 � x � 2; 0 � y �3; z D 1:

A. I = 0. B. I = 3. C. I = 6. D. I = 9.


S

dxdy trong đó S là mặt định hướng với pháp vector đơn

vị dương (2/3, -2/3, 1/3) của mặt 2x � 2y C z D 1; 0 � x � 2; 0 � y � 3:

A. I = 0. B. I = 4. C. I = 6. D. I = 8.


S

zdxdy trong đó S là mặt trên của mặt x C y � 1; x �0; 0 � y � 1; z D 2:

A. I = 1. B. I = 2. C. I = 4. D. I = 0.


S

dxdy trong đó S là mặt định hướng với pháp vector đơn

vị dương (-2/3, 2/3, -1/3) của mặt �2x C 2y � z D 2; x C y � 1; x � 0; 0 � y � 1:

A. I = 1/2. B. I = -1/2. C. I = 1/6. D. I = 0.


S

zdxdy trong đó S là mặt định hướng với pháp vector đơn

vị dương (0, 3/5, -4/5) của mặt 3y � 4z D 2; x C y � 1; x � 0; 0 � y � 1:

A. I = 3/10. B. I = -3/10. C. I = -4/10. D. I = 0.


S

dxdy trong đó S là mặt trên của mặt x2 C y2 � 2; z D 4:

A. I D 0. B. I D 2� . C. I D �4� . D. I D 8� .


S

dxdy trong đó S là mặt 2x C 3y D 4; x2 C y2 � 2:

A. I D 0. B. I D 2� . C. I D �4� . D. I D 8� .


S

dxdy trong đó S là mặt dưới của mặt x2 C y2 � 2; z D 4:

A. I D �2� . B. I D 2� . C. I D �4� . D. I D 8� .

Câu 453. Tính I D’

S

dxdy trong đó S là mặt định hướng với pháp vector đơn vị dương (1/3,

2/3, 2/3) của mặt x C 2y C 2z D 4; x2 C y2 � 4:

A. I D �=3. B. I D 2� . C. I D 4�=3. D. I D 4� .

60


S

dxdyp

x2 C y2trong đó S là mặt dưới của mặt x2 Cy2 � 9; z D

4:

A. I D �9� . B. I D 9� . C. I D �6� . D. I D 6� .

Câu 455. Tính tích phân mặtI D’

S

dxdyp

x2 C y2trong đó S là mặt định hướng với pháp vector

đơn vị dương (3/5, 0, -4/5) của mặt 3x � 4z D 4; x2 C y2 � 9:

A. I D �6� . B. I D 12� . C. I D 24�=5. D. I D �24�=5.


S

.x � y C z/dxdz trong đó S là mặt x�yCz D 0; x2Cz2 � 1

ứng với pháp vector đơn vị dương �!n D .1=p

3; �1=p

3; 1=p

3/:

A. I D �2� . B. I D 2� . C. I D �2�p

3. D. I D 2�p

3.


S

.2x C 2y � z/dxdy trong đó S là mặt 2x C 2y � z D 1; 0 �

x � 2; 1 � y � 3 ứng với pháp vector đơn vị dương �!n D .2=3; 2=3; �1=3/:

A. I = -12. B. I = 18. C. I = -4. D. I = 6.


S

dxdy trong đó S là mặt dưới của mặt x2=4Cy2=9 � 1; z D2:

A. I D 6� . B. I D �6� . C. I D 4� . D. I D �12� .


S

dydz trong đó S là mặt định hướng với pháp vector đơn vị dương (0, 3/5,

4/5) của mặt 3y C 4z D 2; x2=4 C y2=9 � 1:

A. I D 18�=5. B. I D �18�=5. C. I D 24�=5. D. I D 0.


S

x2dydz trong đó S là mặt trên của mặt x2 C y2 C z2 D1; z � 0:

A. I D 0. B. I D 2� . C. I D 4� . D. I D 6� .


S

dxdy trong đó S là mặt trên của mặt x2=4Cy2=9 � 1; z D�3:

A. I D 36� . B. I D �36� . C. I D 6� . D. I D �6� .


S

dxdy trong đó S là mặt dưới của mặt x2=9 C y2=25 �1; z D 2:

A. I D 15� . B. I D �15� . C. I D 135� . D. I D �135� .

ạu : Tính tích phân mặt I D’

S

dxdy trong đó S là mặt dưới của mặt x2 C y2=9 � 1; z D 2:

A. I D 9� . B. I D 3� . C. I D �3� . D. I D �9� .

61


S

dxdy trong đó S là mặt trên của mặt x2Cy2Cz2 D 4; z � 0:

A. I D 0. B. I D 2� . C. I D 4� . D. I D 6� .


S

xydxdy trong đó S là mặt ngoài của mặt x2 C z2 D 1; 0 �z � 2:

A. I D 0. B. I D � . C. I D 2� . D. I D 4� .


S

xydxdy trong đó S là mặt ngoài của mặt x2 C z2 D 4; 0 �y � 1:

A. I D 0. B. I D � . C. I D 2� . D. I D 4� .

Câu 466. Cho S là mặt trên của nửa mặt cầu x2 C y2 C z2 D 4, ứng với z � 0 ; D là hình tròn

x2 C y2 � 4: trong mặt phẳng xOy. Đặt: I D’

S

z2dxdy, ta có:

A. I D’

D

2.4 � x2 � y2/dxdy. B. I D’

D

.4 � x2 � y2/dxdy.

C. I D �’

D

.4 � x2 � y2/dxdy. D. I D �’

D

2.4 � x2 � y2/dxdy.

Câu 467. Cho S là mặt biên ngoài của miền � trong R3, hãy dùng công thức Gauss – Ostrogradski

biến đổi tích phân mặt sau đây sang tích phân bội 3 I D’

S

.y2dzdy C z2dxdz C x2dydx/

A. I D”

�

.x C y C z/dxdydz. B. I D 2”

�

.x C y C z/dxdydz.

C. I D”

�

dxdydz. D. I D 0.

Câu 468. Cho S là mặt phía ngoài của hình cầu có thể tích V. Ta có:

A. V D’

S

dydz C dxdz C dxdy. B. V D’

S

xdydz C ydxdz C zdxdy.

C. V D 1

3

’

S

dydz C dxdz C dxdy. D. V D 1

3

’

S

xdydz C ydxdz C zdxdy.

Câu 469. Cho S là mặt phía ngoài của hình lập phương �. Đặt I D’

S

x2dydz C y2dxdz C z2dxdy.

Ta có:

A. I D”

�

.x C y C z/dxdydz. B. I D”

�

2.x C y C z/dxdydz.

C. I D”

�

3.x C y C z/dxdydz. D. I D”

�

6dxdydz.

Câu 470. Cho S là mặt phía ngoài của hình cầu W: x2Cy2Cz2 � 9. Đặt I D’

S

z3dydz C y3dxdz C z3dxdy.

Ta có:

A. I D”

W

9dxdydz. B. I D”

W

3.x2 C y2 C z2/dxdydz.

C. I D”

W

3.y2 C 2z2/dxdydz. D. I D”

W

3.y2 C z2/dxdydz.

62

Câu 471. Cho S là mặt phía ngoài của hình lập phương �. Đặt I D’

S

y3dydz C 3.x C y C z/ydxdz C x3dxd

Ta có:

A. I D”

�

.3x C 3y C z/dxdydz. B. I D”

�

3.x C y C z/dxdydz.

C. I D”

�

3.x C 2y C z/dxdydz. D. I D”

�

6dxdydz.


S

.zdxdy C 2xdydz C ydzdx/ trong đó S là mặt biên ngoài

của hình hộp � W 0 � x � 1; 0 � y � 2; 0 � z � 3:

A. I = 4. B. I = 6. C. I = 12. D. I = 24.


S

.zdxdy C 3xdydz � 3ydzdx/ trong đó S là mặt biên ngoài

của hình trụ � W x2 C y2 � 4; 0 � z � 4:

A. I D 2� . B. I D 8� . C. I D 16� . D. I D 32� .


S

.zdxdy � xdydz C ydzdx/ trong đó S là mặt biên ngoài

của hình cầu � W x2 C y2 C z2 � 1:

A. I D � . B. I D 4�=3. C. I D 8�=3. D. I D 4� .


S

.zdxdy � 2ydydz C 2ydzdx/ trong đó S là mặt biên ngoài

của hình cầu � W x2 C y2 C z2 � 4z:

A. I D 0. B. I D 32�=3. C. I D 32� . D. I D 24� .


S

.2xydxdy � 2xdydz C 2ydzdx/ trong đó S là mặt biên

ngoài của hình cầu � W x2 C y2 C z2 � 4z:

A. I D 0. B. I D 32�=3. C. I D 32� . D. I D 32.


S

.2xydxdy C 2xdydz C 4ydzdx/ trong đó S là mặt biên

ngoài của elipsoid � W x2 C y2=4 C z2=9 � 1:

A. I D 0. B. I D 32�=3. C. I D 36� . D. I D 48� .


S

.2ydxdy C 3xdydz C ydzdx/ trong đó S là mặt biên ngoài củahình

elipsoid � W x2=4 C y2=9 C z2 � 1:

A. I D 192� . B. I D 32� . C. I D 12� . D. I D 0.


S

.2xdxdy C xdydz C 3ydzdx/ trong đó S là mặt biên ngoài của hình trụ

� W x2 C y2 � 1; 0 � z � 1:

A. I D 0. B. I D 4� . C. I D 6� . D. I D 3� .


S

.2zdxdy C 3ydydz C 6zdzdx/ trong đó S là mặt biên ngoài của hình trụ

� W x2=4 C y2=9 � 1; 0 � z � 1:

63

A. I D 36� . B. I D 132� . C. I D 4� . D. I D 6� .


S

.zdxdy C xdydz � ydzdx/ trong đó S là mặt biên ngoài của hình cầu

� W x2 C y2 C z2 � 9:

A. I D 3� . B. I D 12� . C. I D 24� . D. I D 36� .


S

.3xdxdy C 2xdydz � ydzdx/ trong đó S là mặt biên ngoài của elipsoid

� W x2 C y2=4 C z2=9 � 1:

A. I D 32� . B. I D 144� . C. I D 36� . D. I D 8� .


S

.4zdxdy C 3ydydz � ydzdx/ trong đó S là mặt biên ngoài của elipsoid

� W x2 C y2=4 C z2=9 � 1:

A. I D 18� . B. I D 36� . C. I D 24� . D. I D 48� .


S

.zdxdy � 3zdydz C ydzdx/ trong đó S là mặt biên ngoài của hình cầu

� W x2 C y2 C z2 � 9:

A. I D 18� . B. I D 36� . C. I D 48� . D. I D 72� .

64

Documents

Bài tập toán cao cấp A3trantuananhlikemysite.weebly.com/uploads/7/4/0/5/7405544/...Bài tập toán cao cấp A3 Mục lục 1 Vi phân hàm nhiều biến 3 1.1 Vi phân cấp