BÀI GIẢNG : TOÁN CAO CẤP A1files.tailieuhvh.webnode.vn/200000031-0dd150ecaf/BAI GIANG A1_SV.pdfChương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chương 3. Phép tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÀI GIẢNG : TOÁN CAO CẤP A1

HỆ ĐẠI HỌC

GIẢNG VIÊN : THS. HUỲNH VĂN HIẾU

NĂM HỌC 2015-2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HCM 09/2015

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN 1

TOÁN CAO CẤP A1 ĐẠI HỌCPHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH

Số tiết: 45 Chương 1. Hàm số một biến số Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Chương 4. Lý thuyết chuỗi

Tài liệu tham khảo

1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1 – C1 – ĐH Công nghiệp TP. HCM.

2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2) – NXB Giáo dục.

3. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 4) – NXB ĐHQG TP.HCM.

4. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1) – NXB Giáo dục.

5. Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (Tập 1) – NXB ĐHQG Hà Nội.

Giảng viên: ThS. Huỳnh Văn Hiếu

Tải Slide bài giảng Toán A1 Đại học tạiTailieuhvh.webnode.vn

Chương 1. Hàm số một biến số

2.1. Bổ túc về hàm số 2.1.1. Định nghĩa hàm số Cho hai tập khác rỗng ,X Y . Hàm số f (hoặc ánh xạ f ) từ X vào Y là một quy luật mà mỗi x X xác định được duy nhất một y Y .

Khi đó: Miền xác định (MXĐ) của f , ký hiệu

fD , là tập X .

Miền giá trị (MGT) của f là: ( )G y f x x X .

BÀI 1 : GIỚI HẠN DÃY SỐ (THAM KHẢO)BÀI 2 : GIỚI HẠN HÀM SỐ




Nếu ( )f X Y thì f là toàn ánh (hay tràn ánh). Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh.

VD 1. Các hàm số: • :f với ( ) 2xy f x là đơn ánh.

• : [0; )f với 2( )f x x là toàn ánh.

• : (0; )f với ( ) lnf x x là song ánh.

Hàm số ( )y f x được gọi là hàm chẵn nếu: ( ) ( ), .ff x f x x D

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.

Nếu 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x thì f là đơn ánh.


VD 2. Hàm số 2 2 22( 1) 1y x x là hàm hợp của 2( ) 2f x x x và 2( ) 1g x x .

Hàm số ( )y f x được gọi là hàm lẻ nếu: ( ) ( ), .ff x f x x D

Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

Chú ý. ( )( ) ( )( ).f g x g f x

2.1.2. Hàm số hợp Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện g fG D . Khi đó, hàm số ( ) ( )( ) [ ( )]h x f g x f g x được gọi là hàm số hợp của f và g .


2.1.3. Hàm số ngược Hàm số g được gọi là hàm số ngược của hàm số f nếu:

( ), fx g y y G .

Ký hiệu là: 1g f .

VD 3. Cho ( ) 2xf x thì: 1

2( ) log , 0f x x x .

Nhận xét

Đồ thị của hàm số 1( )y f x đối xứng với đồ thị của hàm số ( )y f x qua đường thẳng y x .




2.1.4. Hàm số lượng giác ngược a) Hàm số y = arcsin x • Hàm số siny x có hàm ngược trên ;

2 2

là

1 : [ 1; 1] ; 2 2

f

arcsinx y x .

VD 4. arcsin 0 0 ;

arcsin( 1)2

;

3arcsin

2 3

.


b) Hàm số y = arccos x • Hàm số cosy x có hàm ngược trên [0; ] là

1 : [ 1; 1] [0; ]f arccosx y x .

VD 5. arccos02

;

arccos( 1) ;

3arccos

2 6

; 1 2arccos

2 3

.

Chú ý

arcsin arccos , [ 1; 1].2

x x x


c) Hàm số y = arctan x • Hàm số tany x có hàm ngược trên ;

2 2

là

1 : ; 2 2

f

arctanx y x .

VD 6. arctan 0 0 ;

arctan( 1)4

;

arctan 33

.

Quy ước. arctan , arctan .2 2




d) Hàm số y = arccot x • Hàm số coty x có hàm ngược trên (0; ) là

1 : (0; )f cotx y arc x .

VD 7. cot02

arc

;

3cot( 1)

4arc

;

cot 36

arc

.

Quy ước. cot( ) 0, cot( ) .arc arc


2.2. Giới hạn hàm số 2.2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1. Cho hàm ( )f x xác định trong ( ; )a b .

Ta nói ( )f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x tiến đến

0 [ ; ]x a b nếu với mọi 0 cho trước, ta tìm được số0 sao cho khi 00 x x thì ( )f x L .

Ký hiệu là: 0

lim ( )x x

f x L

.

Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) Cho ( )f x xác định trong ( ; )a b . Ta nói ( )f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi 0 [ ; ]x x a b nếu với bất kỳ dãy { }nx trong 0( ; )\ { }a b x mà 0nx x thì ( )nf x L .


Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)

• Ta nói ( )f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x nếu với mọi 0 cho trước ta tìm được số 0M sao cho khi x M thì ( )f x L . Ký hiệu là: lim ( )

xf x L

.

• Ta nói ( )f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x nếu với mọi 0 cho trước ta tìm được số 0m sao cho khi x m thì ( )f x L . Ký hiệu là: lim ( )

xf x L

.




Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)

• Ta nói ( )f x có giới hạn là L khi 0x x nếu với mọi số 0M lớn tùy ý, ta tìm được số 0 sao cho khi 00 x x thì ( )f x M .

Ký hiệu là: 0

lim ( )x x

f x

.

• Ta nói ( )f x có giới hạn là L khi 0x x nếu với mọi số 0m tùy ý, ta tìm được số 0 sao cho khi

00 x x thì ( )f x m . Ký hiệu là:

0

lim ( )x x

f x

.


Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)

• Nếu ( )f x có giới hạn là L (L có thể là ) khi 0x x( 0x hữu hạn) và 0x x thì ta nói ( )f x có giới hạn phảitại 0x . Ký hiệu:

0 0lim ( )

x xf x L

hoặc

0

lim ( )x x

f x L

.

• Nếu ( )f x có giới hạn là L (L có thể là ) khi 0x x( 0x hữu hạn) và 0x x thì ta nói ( )f x có giới hạn tráitại 0x . Ký hiệu:

0 0lim ( )

x xf x L

hoặc

0

lim ( )x x

f x L

.

Chú ý

00 0

lim ( ) lim ( ) lim ( ) .x x x x x x

f x L f x f x L


2.2.2. Tính chất Cho

0

lim ( )x x

f x a

và 0

lim ( )x x

g x b

. Khi đó:

1) 0

lim [ . ( )] . ( )x x

k f x k a k

2) 0

lim [ ( ) ( )]x x

f x g x a b

3) 0

lim [ ( ) ( )]x x

f x g x ab

; 4) 0

( )lim ( 0)

( )x x

f x ab

g x b

5) Nếu 0 0( ) ( ), ( ; )f x g x x x x thì a b . 6) Nếu 0 0( ) ( ) ( ), ( ; )f x h x g x x x x và

0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x g x L

thì 0

lim ( )x x

h x L

.



Chương 1. Hàm số một biến sốMột số kết quả giới hạn cần nhớ

1) ( ) 0 ( ) 0

sin ( ) tan ( )lim lim 1

( ) ( )x x

x xx x

.

2) Nếu 1, 1 thì lnlim lim 0

xx x

x x

x

3) Nếu 0 0

lim ( ) 0, lim ( )x x x x

u x a v x b

thì:

0

( )lim [ ( )] .v x b

x xu x a

4) 1

0

1lim 1 lim 1

x

x

x xx e

x

.

Chương 1. Hàm số một biến sốMột số kết quả giới hạn cần nhớ

5) Xét 1

1 01

1 0

...lim

...

n nn n

m mxm m

a x a x aL

b x b x b

, ta có:

a) n

m

aL

b nếu n m ;

b) 0L nếu n m ;

c) L nếu n m .


2.2.3. Một số ví dụ

VD 1. Tìm giới hạn 0

1 3 1limx

xL

x

.


0

8 4 2limx

x xL

x

.




VD 3. Tìm giới hạn 2lim 2x

L x x x

.

VD 4. Tìm giới hạn 2lim 2 1x

L x x

.


VD 5. Cho hàm số 2 2

2

tan 1 , 1( ) sin 1

, 1.3 3

x xf x x

xx

Tính (1)f , 1

lim ( )x

f x

và 1

lim ( )x

f x

.


VD 6. Tìm giới hạn

212 1

lim3

xx

x

x xL

x

.

A. 9L ; B. 4L ; C. 1L ; D. 0L .

BTT. Tìm giới hạn

23 12

3 3

4 3lim

2

xx

x

xL

x

.




VD 7. Tìm giới hạn 2 3

2

2

3lim

1

x

x

x xL

x

.

A. L ; B. 3L e ; C. 2L e ; D. 1L .

BTT Tìm giới hạn 2

2

3 2lim 1

2 1

x

x

xL

x x

.

A. L ; B. 3L e ; C. 2L e ; D. 1L .


………………………………………

VD 8*. Tìm giới hạn 2

1

0

coslim

cos2

x

x

xL

x

.

A. L ; B. 32L e ; C.

12L e ; D. 1L .


§3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN 3.1. Đại lượng vô cùng bé a) Định nghĩa

Hàm số ( )x được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) khi 0x x nếu

0

lim ( ) 0x x

x

(0

x có thể là vô cùng).

VD 1. 3( ) tan sin 1x x là VCB khi 1x ;

2

1( )

lnx

x là VCB khi x .




b) Tính chất của VCB

1) Nếu ( ), ( )x x là các VCB khi 0x x thì ( ) ( )x x và ( ). ( )x x là VCB khi 0x x .

2) Nếu ( )x là VCB và ( )x bị chận trong lân cận 0x thì ( ). ( )x x là VCB khi 0x x .

3) 0

lim ( ) ( ) ( )x x

f x a f x a x

, trong đó ( )x là

VCB khi 0x x .


c) So sánh các VCB • Định nghĩa Cho ( ), ( )x x là các VCB khi 0x x ,

0

( )lim

( )x x

xk

x

.

Khi đó: – Nếu 0k , ta nói ( )x là VCB cấp cao hơn ( )x , ký hiệu ( ) 0( ( ))x x . – Nếu k , ta nói ( )x là VCB cấp thấp hơn ( )x . – Nếu 0 k , ta nói ( )x và ( )x là các VCB cùng cấp. – Đặc biệt, nếu 1k , ta nói ( )x và ( )x là các VCB tương đương, ký hiệu ( ) ( )x x .


VD 2. • 1 cosx là VCB cùng cấp với 2x khi 0x vì:

2

2 20 0

2 sin1 cos 12lim lim2

42

x x

xx

x x

.

• 2 2sin 3( 1) 9( 1)x x khi 1x .




• Tính chất của VCB tương đương khi x → x0

1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ( )) 0( ( ))x x x x x x .

2) Nếu ( ) ( ), ( ) ( )x x x x thì ( ) ( )x x .

3) Nếu 1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( )x x x x thì

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x x x .

4) Nếu ( ) 0( ( ))x x thì ( ) ( ) ( )x x x .


• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

Cho ( ), ( )x x là tổng các VCB khác cấp khi 0x x

thì 0

( )lim

( )x x

xx

bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp

nhất của tử và mẫu.


4 20

cos 1limx

x xL

x x

.


• Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0

1) sin x x ; 2) tanx x ;

3) arcsin x x ; 4) arctan x x

5) 2

1 cos2x

x ; 6) 1xe x ;

7) ln(1 )x x ; 8) 1 1n xx

n .

Chú ý

Nếu ( )u x là VCB khi 0x thì ta có thể thay x bởi ( )u x trong 8 công thức trên.




VD 4. Tính giới hạn 2

20

ln(1 2 sin )lim

sin . tanx

x xL

x x

.

VD 5. Tính 2 2

30

sin 1 1 3 tanlim

sin 2x

x x xL

x x

.


VD 6. Cho hàm số ( )y f x thỏa: 2

2 4

2

3

x t t

y t t

.

Khi 0x , chọn đáp án đúng?

A. 2

( )4x

f x ; B. 2

( )2x

f x ;

C. ( )2

xf x ; D. 2( ) 3f x x .


Chú ý

Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức.

3 3

0 0lim lim

tanx x

x xx x x x

(Sai!).

VD. 2 20 0

2 ( 1) ( 1)lim lim

x x x x

x x

e e e e

x x

20

( )lim 0x

x x

x

(Sai!).




VD 7. 3

cos 1

2 sin

x

x x

là VCL khi 0x ;

3

2

1

cos4 3

x x

x x

là VCL khi x .

Nhận xét. Hàm số ( )f x là VCL khi 0x x thì

1( )f x

là VCB khi 0x x .

3.2. Đại lượng vô cùng lớn a) Định nghĩa

Hàm số ( )f x được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) khi 0x x nếu

0

lim ( )x x

f x

( 0x có thể là vô cùng).


b) So sánh các VCL • Định nghĩa

Cho ( ), ( )f x g x là các VCL khi 0x x , 0

( )lim

( )x x

f xk

g x .

Khi đó: – Nếu 0k , ta nói ( )f x là VCL cấp thấp hơn ( )g x .

– Nếu k , ta nói ( )f x là VCL cấp cao hơn ( )g x .

– Nếu 0 k , ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL cùng cấp.

– Đặc biệt, nếu 1k , ta nói ( )f x và ( )g x là các VCL tương đương. Ký hiệu ( ) ( )f x g x .


VD 8.

• 3

3

x là VCL khác cấp với

3

1

2x x khi 0x vì:

3

3 3 3 30 0 0

3 1 2lim : 3 lim 3 lim

2x x x

x x x

x x x x x

.

• 3 32 1 2x x x khi x .




• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

Cho ( )f x và ( )g x là tổng các VCL khác cấp khi 0x x

thì 0

( )lim

( )x x

f xg x

bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất

của tử và mẫu.


VD 9. Tính các giới hạn: 3

3

cos 1lim

3 2x

x xA

x x

;

3 2

7 2

2 1lim

2 sinx

x xB

x x

.

…………………………………………………………


§4. HÀM SỐ LIÊN TỤC

• Hàm số ( )f x liên tục tại 0

x nếu 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

.

• Hàm số ( )f x liên tục trên tập X nếu ( )f x liên tục tại mọi điểm 0x X .

4.1. Định nghĩa • Số 0 fx D được gọi là điểm cô lập của ( )f x nếu 0 0 00 : ( ; )\ { }x x x x thì fx D .

Chú ý. Hàm ( )f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì có đồ thị là một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó.

Quy ước. Hàm ( )f x liên tục tại mọi điểm cô lập của nó.




4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại

0x là hàm số liên tục tại

0x .

• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó. • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.


• Định lý Hàm số ( )f x liên tục tại

0x nếu

0 0

0lim ( ) lim ( ) ( ).x x x x

f x f x f x

4.3. Hàm số liên tục một phía

• Định nghĩa Hàm số ( )f x được gọi là liên tục trái (phải) tại

0x nếu

0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

(0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

).


VD 1. Cho hàm số 2 23 tan sin

, 0( ) 2, 0

x xxf x xx

.

Giá trị của để hàm số liên tục tại 0x là:

A. 0 ; B. 12

; C. 1 ; D. 32

.




VD 2. Cho hàm số 2 2

ln(cos ), 0

( ) arctan 22 3, 0

xx

f x x xx

.

Giá trị của để hàm số liên tục tại 0x là:

A. 1712

; B. 1712

; C. 32

; D. 32

.


……………………………………………………………………………

4.4. Phân loại điểm gián đoạn • Nếu hàm ( )f x không liên tục tại

0x thì

0x được gọi là

điểm gián đoạn của ( )f x . O x

y( )C

0x

• Nếu tồn tại các giới hạn:

0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

,

0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

nhưng 0( )f x , 0( )f x và 0

( )f x không đồng thời bằng nhau thì ta nói

0x là điểm gián đoạn loại một.

Ngược lại, 0

x là điểm gián đoạn loại hai.

Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số

BÀI 1 : ĐẠO HÀM

BÀI 2 : VI PHÂM

BÀI 3 : CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI – CỰC TRỊ

BÀI 4 : KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN

BÀI 5 : QUY TẮC L’HOSPITAL




§1. ĐẠO HÀM 1.1. Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số ( )y f x xác định trong lân cận ( ; )a b của

0 ( ; )x a b . Giới hạn:

0 0

0 0

( ) ( )lim limx x

f x x f xyx x

(nếu có) được gọi là đạo hàm của ( )y f x tại 0

x . Ký hiệu là 0( )f x hay 0( )y x .


Nhận xét. Do 0x x x nên:

0

00

0

( ) ( )( ) lim .

x x

f x f xf x

x x

b) Đạo hàm một phía Cho hàm số ( )y f x xác định trong lân cận phải

0( ; )x b của 0x . Giới hạn 0

0

0

( ) ( )lim

x x

f x f x

x x

(nếu có)

được gọi là đạo hàm bên phải của ( )y f x tại 0x .

Ký hiệu là 0( )f x . Tương tự, 0( )f x . Nhận xét. Hàm số ( )f x có đạo hàm tại

0x khi và chỉ khi

0 0 0( ) ( ) ( ).f x f x f x


VD 1. Cho 3( ) (0)f x x f , ( ) (0 )f x x f .

c) Đạo hàm vô cùng

• Nếu tỉ số yx

khi 0x thì ta nói ( )y f x có

đạo hàm vô cùng tại 0

x .

• Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng một phía.

Chú ý

Nếu ( )f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại 0x thì tiếp

tuyến tại 0x của đồ thị ( )y f x song song với trục Oy .




1.2. Các quy tắc tính đạo hàm

1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: ( )u v u v ; ( )uv u v uv ;

2

,k kv

kv v

;

2

u u v uvv v

.

2) Đạo hàm của hàm số hợp ( ) [ ( )]f x y u x :

( ) ( ). ( )f x y u u x hay ( ) ( ). ( )y x y u u x .

3) Đạo hàm hàm số ngược của ( )y y x : 1

( )( )

x yy x

.


Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

1) 1.x x ; 2) 1

2x

x

;

3) sin cosx x ; 4) cos sinx x ;

5) 2

1tan

cosx

x

6) 2

1cot

sinx

x

;

21 tan x ;


7) x xe e ; 8) . lnx xa a a

;

9) 1ln x

x ; 10) 1

log.lna x

x a ;

11) 2

1arcsin =

1x

x

; 12)

2

1arccos =

1x

x

;

13) 2

1arctan

1x

x

; 14) 2

1cot

1arc x

x

.




1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số

Cho hàm số ( )y f x có phương trình dạng tham số ( ), ( )x x t y y t . Giả sử ( )x x t có hàm số ngược và hàm số ngược này có đạo hàm thì:

( )( ) .

( )t

xt

hayyy t

y x yx t x


VD 3. Tính (1)xy của hàm số cho bởi 2 2

tx e

y t t

.

VD 2. Tính ( )y x của hàm số cho bởi 2

3

2 1, 0

4

x tt

y t

.


1.4. Đạo hàm cấp cao • Giả sử ( )f x có đạo hàm ( )f x và ( )f x có đạo hàm thì

( ) ( )f x f x là đạo hàm cấp hai của ( )f x .

• Tương tự ta có:

( ) ( 1)( ) ( )n nf x f x là đạo hàm cấp n của ( )f x .




VD 4. Cho hàm số 2( ) sinf x x . Tính đạo hàm (6)(0)f . A. (6)(0) 32f ; B. (6)(0) 32f ; C. (6)(0) 16f ; D. (6)(0) 0f .

VD 5. Tính ( )( )nf x của hàm số 1( ) (1 )nf x x .


VD 6. Tính ( )ny của hàm số 2

1

3 4y

x x

.

VD 7. Tính đạo hàm ( )( )nf x của hàm số ( ) sinf x x .


1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn • Cho phương trình ( , ) 0F x y (*). Nếu ( )y y x là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế ( )y x vào (*) ta được đồng nhất thức thì ( )y x được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*).

• Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được . 0x y xF F y .

Vậy , 0.xx y

y

Fy F

F

( ) xy x y được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn ( )y x .




VD 8. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi 0x yxy e e . Tính ( )y x .

VD 9. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: ln 0xxy e y (*). Tính (0)y .


VD 10. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: 2 2ln arctan

yx y

x . Tính ( )y x .


Chú ý

Ta có thể xem hàm ẩn ( )y x như hàm hợp ( )u x và thực hiện đạo hàm như hàm số hợp.

VD 11. Cho hàm ẩn ( )y x xác định bởi: 3 2 4( 2) 2 0y x y x (*). Tính (1)y .

Giải. Đạo hàm hai vế phương trình (*) theo x , ta được: 2 2 33 2 ( 2) 8 0y y xy x y x (**)

3

2 2

8 2( )

3 2

x xyy x

y x

.




Thay 1x vào phương trình (*), ta được: 3 2 0 1 (1) 1y y y y .

Suy ra: 3

2 2

8.1 2.1.1 5(1)

23.1 1 2y

.

Đạo hàm hai vế phương trình (**) theo x , ta được: 2 2 2 23 2 ( ) 2 4 ( 2) 24 0.y y y y y xy x y x

Thay các giá trị 51, 1,

2x y y vào phương trình:

25 33 36 0 (1)

2 8y y y

.


§2. VI PHÂN

Nhận xét

• 0( ) . 0( )f x A x x 0( ) 0( )f x xA

x x

2.1. Vi phân cấp một Hàm số ( )y f x được gọi là khả vi tại 0 fx D nếu

0 0 0( ) ( ) ( )f x f x x f x có thể biểu diễn dưới dạng: 0( ) . 0( )f x A x x

với A là hằng số và 0( )x là VCB khi 0x . Khi đó, đại lượng .A x được gọi là vi phân của hàm số ( )y f x tại 0x . Ký hiệu 0( )df x hay 0( )dy x .


000

( )( )xf x

A f x Ax

.

0 0( ) ( ).df x f x x hay ( ) ( ).df x f x x . • Chọn ( ) ( )f x x df x x dx x .

Vậy ( ) ( ) .df x f x dx dy yh y xa d




VD 2. Tính vi phân cấp 1 của 2arctan( 1)y x .

VD 1. Tính vi phân cấp 1 của 2 3( ) xf x x e tại 0 1x .

VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số ln(arcsin )2 xy .


VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số ln(sin )y x .

2.2. Vi phân cấp cao Giả sử ( )y f x có đạo hàm đến cấp n thì:

1 ( )( )n n n nd y d d y y dx

được gọi là vi phân cấp n của hàm ( )y f x .


VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số 2xy e .

VD 6. Tính vi phân cấp 3 của ( ) tanf x x tại 0 4x

.



Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức

( )n n nd y y dx không còn đúng nữa.

Quy tắc tính vi phân cấp n

1) ( . ) .n nd k u k d u ; ( )n n nd u v d u d v ;

2) 0

( ) .n

n k n k kn

k

d uv C d u d v

với 0 0,d u u d v v .

VD 7. Tính vi phân cấp 10 của hàm số 3( ) xy x x e .

Giải. Đặt 3,xu e v x x y uv .


Nhận thấy 4 0d v , nên ta suy ra: 3

10 10 0 10 010 10

01 9 2 8 2 3 7 310 10 10

( ) . .

. . . ( ).

k k k

k

d uv C d u d v C d u d v

C d u dv C d u d v C d u d v

Ta có: , 7; 8; 9; 10n x nd u e dx n ;

0 3 2, (3 1)d v x x dv x dx ,

2 2 3 36 , 6d v xdx d v dx . Thay các vi phân trên vào (*), ta được:

10 3 2 10( 30 269 710) xd y x x x e dx . ………………………………………………


§3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

3.1. Các định lý

3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số ( )f x xác định trong ( ; )a b và có đạo hàm tại

0 ( ; )x a b . Nếu ( )f x đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) tại 0x trong ( ; )a b thì 0( ) 0f x .

3.1.2. Định lý Rolle

Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b và khả vi trong ( ; )a b . Nếu ( ) ( )f a f b thì ( ; )c a b sao cho ( ) 0f c .




3.1.3. Định lý Cauchy Cho hai hàm số ( )f x , ( )g x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b và ( ) 0, ( ; )g x x a b . Khi đó, ( ; )c a b sao cho:

( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( )f b f a f cg b g a g c

3.1.4. Định lý Lagrange Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b .

Khi đó, ( ; )c a b sao cho: ( ) ( )

( ).f b f a

f cb a


3.2. Cực trị của hàm số

3.2.1. Hàm số đơn điệu a) Định nghĩa Cho hàm số ( )f x liên tục trong trong ( ; )a b . Khi đó: • ( )f x được gọi là tăng ngặt trong ( ; )a b nếu

1 2

1 2

( ) ( )0

f x f x

x x

, 1 2, ( ; )x x a b và 1 2x x .

• ( )f x được gọi là giảm ngặt trong ( ; )a b nếu

1 2

1 2

( ) ( )0

f x f x

x x

, 1 2, ( ; )x x a b và 1 2x x .


• ( )f x được gọi là tăng hay giảm không ngặt trong ( ; )a b

nếu 1 2

1 2

( ) ( )0

f x f x

x x

hay 1 2

1 2

( ) ( )0

f x f x

x x

,

1 2, ( ; )x x a b và 1 2x x .

• ( )f x được gọi là đơn điệu trong ( ; )a b nếu ( )f x tăng ngặt hay giảm ngặt trong ( ; )a b .

• ( )f x đơn điệu trong ( ; )a b và liên tục trong ( ; ]a b thì ( )f x đơn điệu trong ( ; ]a b (trường hợp khác tương tự).




b) Định lý 1 Cho hàm số ( )f x khả vi trong trong ( ; )a b . Khi đó: • Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b thì ( )f x tăng ngặt trong ( ; )a b . • Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b thì ( )f x giảm ngặt trong ( ; )a b . • Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b hay ( ) 0, ( ; )f x x a b thì

( )f x tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong ( ; )a b .

c) Định lý 2 • Nếu ( )f x tăng ngặt trong ( ; )a b thì ( ) 0f x trong ( ; )a b

và không tồn tại ( ; ) ( ; )a b sao cho ( ) 0f x .

• Nếu ( )f x giảm ngặt trong ( ; )a b thì ( ) 0f x trong ( ; )a b và không tồn tại ( ; ) ( ; )a b sao cho ( ) 0f x .


VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của 2ln( 1)y x .

VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của 2

2

1( )

( 1)

xf x

x

.


VD 3. Tìm các khoảng đơn điệu của 2

1

2y

x x

.

VD 4. Tìm các khoảng đơn điệu của 3 4xy e .



Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.2.2. Cực trị a) Định nghĩa • Nếu ( )f x liên tục trong ( ; )a b chứa 0x và 0( ) ( )f x f x ,

0( ; ) \ { }x a b x thì ( )f x đạt cực tiểu tại 0x . • Nếu ( )f x liên tục trong ( ; )a b chứa 0x và 0( ) ( )f x f x ,

0( ; ) \ { }x a b x thì ( )f x đạt cực đại tại 0x .

b) Định lý Cho ( )f x có đạo hàm đến cấp 2n trong ( ; )a b chứa 0x

thỏa (2 1)0 0( ) ... ( ) 0nf x f x và (2 )

0( ) 0nf x . • Nếu (2 )

0( ) 0nf x thì ( )f x đạt cực tiểu tại 0x . • Nếu (2 )

0( ) 0nf x thì ( )f x đạt cực đại tại 0x .


VD 5. Tìm cực trị của hàm số 6 3( ) 2 3f x x x .

Giải. Ta có: D .

5 2( ) 6 6 0 1 0f x x x x x .

4 3( ) 30 12 , ( ) 120 12f x x x f x x .

• Tại 1x , ta có: ( 1) 0, ( 1) 18 0f f .

Vậy hàm số đạt cực đại tại 1x .


…………………………………………………

• Tại 0x , ta có: (0) (0) 0, (0) 12 0f f f .

Vậy hàm số không đạt cực trị tại 0x .




3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất a) Định nghĩa Cho hàm số ( )y f x có MXĐ D và X D .

• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của ( )f x trên X nếu:

0 0: ( )x X f x M và ( ) , f x M x X .

Ký hiệu là: max ( )x X

M f x

.

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của ( )f x trên X nếu: 0 0

: ( )x X f x m và ( ) , f x m x X . Ký hiệu là: min ( )

x Xm f x

.


Chú ý • Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X D .

• Nếu max ( )x X

M f x

và min ( )x X

m f x

thì: ( ) ,m f x M x X .


b) Phương pháp tìm max – min Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

Cho hàm số ( )y f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b . Để tìm

[ ; ]max ( )x a b

f x

và [ ; ]

min ( )x a b

f x

, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1. Giải phương trình ( ) 0f x . Giả sử có n nghiệm

1,..., [ ; ]

nx x a b (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b ).

• Bước 2. Tính 1

( ), ( ),..., ( ), ( )n

f a f x f x f b .

• Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm.




VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 23

( ) 32

f x x x x trên đoạn [0; 2].

Chú ý • Nếu đề bài chưa cho đoạn [ ; ]a b thì ta phải tìm MXĐ

của hàm số trước khi làm bước 1.

• Có thể đổi biến số ( )t t x và viết ( ) ( ( ))y f x g t x . Gọi T là miền giá trị của hàm ( )t x (ta thường gọi là điều kiện của t đối với x ) thì:

max ( ) max ( )x X t T

f x g t

, min ( ) min ( )x X t T

f x g t

.


VD 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2( ) 5 6f x x x .

Giải. Ta có điều kiện: 2 5 6 0 1 6 [ 1; 6]x x x D .

Hàm số 2( ) 5 6f x x x liên tục trên D .

2

2 5 5( ) 0

22 5 6

xf x x D

x x

.

Mặt khác: 5 7( 1) 6 0,

2 2f f f

.


Vậy 7max ( )

2x Df x

tại 5

2x ,

min ( ) 0x D

f x

tại 1 6x x .




VD 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

sin 1

sin sin 1

xy

x x

.

Giải. Hàm số liên tục trên . Đặt sint x , ta được:

2

1, [ 1; 1]

1

ty t

t t

.

2

2 2

20 0 [ 1; 1]

( 1)

t ty t

t t

;


2( 1) 0, (0) 1, (1)

3y y y .

Vậy max 1 sin 0 ,x

y x x k k

.

min 0 sin 1 2 ,2x

y x x k k

.


Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) Cho hàm ( )y f x liên tục trên ( ; )a b ( ,a b có thể là ).

Để tìm ( ; )

max ( )x a b

f x

và ( ; )

min ( )x a b

f x

, ta thực hiện các bước:

• Bước 1. Giải phương trình ( ) 0f x . Giả sử có n nghiệm

1,..., [ ; ]

nx x a b (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b ).

• Bước 2. Tính 1

( ),..., ( )n

f x f x và hai giới hạn

1 2lim ( ), lim ( )x a x b

L f x L f x

.




• Bước 3. Kết luận:

1) Nếu 1 1 2

max{ ( ),..., ( )} max{ , }n

f x f x L L thì

1( ; )max max{ ( ),..., ( )}

nx a bf f x f x

;

2) Nếu 1 1 2

min{ ( ),..., ( )} min{ , }n

f x f x L L thì

1( ; )min min{ ( ),..., ( )}

nx a bf f x f x

;

3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số không đạt max (hoặc min).


VD 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3

2( )

1

xf x

x

trên khoảng (1; ) .


3.3. Khoảng lồi, lõm của đồ thị – điểm uốn a) Định nghĩa • Hàm số ( )f x được gọi là hàm lồi trong ( ; )a b nếu ( )f x tăng trong ( ; )a b . Khi đó, đồ thị ( )y f x được gọi là đồ thị lõm trong ( ; )a b .

• Hàm số ( )f x được gọi là hàm lõm trong ( ; )a b nếu ( )f x giảm trong ( ; )a b . Khi đó, đồ thị ( )y f x được

gọi là đồ thị lồi trong ( ; )a b .

• Điểm 0 0 0( ; )M x y trên đồ thị nằm giữa phần lõm và lồi được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số ( )y f x .




VD 11. Hàm số 3 23 1y x x lõm và có đồ thị lồi trong ( ; 1) ;

hàm 3 23 1y x x lồi và có đồ thị lõm trong (1; ) .

(1; 1)M là điểm uốn của đồ thị. b) Định lý • Nếu ( ) 0f x (hay ( ) 0f x ) với mọi ( ; )x a b thì

đồ thị hàm số ( )y f x lõm (hay lồi) trong ( ; )a b .

• Nếu 0( ) 0f x và ( )f x đổi dấu khi x chuyển từ trái sang phải qua điểm 0x thì 0 0 0( ; )M x y là điểm uốn của đồ thị hàm số ( )y f x .


VD 12. Xác định tính lồi, lõm của hàm số: 2 8 lny x x .

VD 13. Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số: arccosy x .

VD 14. Xác định tính lồi, lõm của hàm số arctan2y x và đồ thị của hàm số arctan2y x .


§4. CÔNG THỨC TAYLOR 4.1. Công thức khai triển Taylor Cho hàm số ( )f x liên tục trên [ ; ]a b có đạo hàm đến cấp 1n trên ( ; )a b với 0, ( ; )x x a b ta có các khai triển: • Khai triển Taylor với phần dư Lagrange

( ) ( 1)10

0 00

( ) ( )( ) ( ) ( )

! ( 1)!

k nnk n

k

f x f cf x x x x x

k n

với ( ; )c a b . • Khai triển Taylor với phần dư Peano

( )0

0 00

( )( ) ( ) (( ) ).

!

knk n

k

f xf x x x O x x

k




b) Khai triển Maclaurin • Khai triển Taylor với phần dư Peano tại 0 0x được

gọi là khai triển Maclaurin.

Vậy ( )

0

(0( )

)( ) .

!n

knk

k

ff x x

kO x

• Khai triển Maclaurin được viết lại: 2

( )

(0) (0)( ) (0) ...

1! 2!(0)

... .!

( )nn

n

f ff x f x x

fx x

nO


VD 1. Khai triển Maclaurin của ( ) tanf x x đến 3x . 4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ

1) 211 ... 0( )

1n nx x x x

x

.

2) 2

1 ... 0( )1! 2! !

nx nx x x

e xn

.

3) 2 3 4

ln(1 ) ... 0( )1 2 3 4

nx x x xx x .

4) 2 4 6

cos 1 ... 0( )2! 4 ! 6!

nx x xx x .

5) 3 5 7

sin ... 0( )1! 3! 5! 7!

nx x x xx x .


2( 1)6) (1 ) 1 ...

2!( 1)...( 1)

... 0( ).!

m

n n

m mx mx x

m m m nx x

n

VD 2. Khai triển Maclaurin của 1( )

1f x

x

đến 3x .




Chú ý Nếu ( )u x là VCB khi 0x thì ta thay x trong các công thức trên bởi ( )u x .

VD 3. Khai triển Maclaurin hàm 2

1

1 3y

x

đến 6x .


VD 4. Khai triển Maclaurin của 2ln(1 2 )y x đến 6x .

VD 5. Khai triển Maclaurin của hàm số 2xy đến 4x .


VD 7. Khai triển Maclaurin của hàm số: 2

2

1( )

1

x xf x

x x

đến 4x và tính (4)(0)f .




VD 8. Cho hàm 3( ) cos 2f x x x . Giá trị của (7)(0)f là:

A. (7)(0) 480f ; B. (7)(0) 560f ;

C. (7)(0) 3360f ; D. (7)(0) 6720f .

Giải. Ta có:

2 4(2 ) (2 )cos 2 1 ...

2! 4 !x x

x

3 5 7 716( ) 2 ( )

4 !f x x x x O x

(7)

7 7 (7)(0) 16(0) 3360

7 ! 4 !f

x x f C .


4.3. Ứng dụng của công thức Taylor

• Từ công thức khai triển Taylor, ta có: ( )

00

0

( )( ) ( )

!

knk

k

f xf x x x

k

với sai số ( 1)

10

( )( ) ( )

( 1)!

nn

nf c

R x x xn

, ( ; )c a b .

• Nếu ( 1)( ) , [ ; ]nf x M x a b thì ta có đánh giá

sai số: 1

0( )( 1)!

n

nM

R x x xn

.

4.3.1. Tính giá trị gần đúng của hàm số (tham khảo)


VD 9. Tính số e chính xác đến 310 .

Giải. Ta có: 2

1 ... 0( )1! 2! !

nx nx x x

e xn

1 11 1 ...

2! !e

n .

với sai số ( ) , (0; 1)( 1)!

c

ne

R x cn

36

( 1)!n

n

.

Vậy 1 1 1 1 12

2! 3! 4! 5! 6!e .




4.3.2. Tìm giới hạn tỉ số của hai VCB a) Phần chính của VCB α(x) khi x → 0 (tham khảo)

Nếu ( )x là VCB khi 0x thỏa ( 1)(0) 0k và

( )(0) 0k ( 1, 2,...)k thì đại lượng ( )(0)

!

kkx

k được

gọi là phần chính của ( )x . Khi đó, ( )(0)

( )!

kkx x

k

.

VD 10. Xét tan( ) 1xx e . Khi 0x , ta có: (0) 0 , (0) 1 0 phần chính của ( )x là x .

Nhận xét. Khi 0x thì tan 1xe x .


b) Các ví dụ tìm giới hạn VD 11. Tìm giới hạn

0

2lim

sin

x x

x

e e xL

x x

.

Giải. Ta có: 2 3

31 0( )1! 2! 3!

x x x xe x ,

2 3

31 0( )1! 2! 3!

x x x xe x ,

3

3sin 0( )3!x

x x x .

Vậy 3 3

0 0 3 3

10( )2 3lim lim 2

sin 10( )

6

x x

x x

x xe e xL

x xx x

.


VD 12. Tính 0 6 3

ln(1 ) sin 2 1lim

1 1

x

x

x e xL

x

.

Giải. Ta có: 6 3 311 1

6x x ,

2 3

3ln(1 ) 0( )2 3x x

x x x ,

2 3

31 0( )2 6

x x xe x x ,

3 34sin 2 2 0( )

3x x x x

311ln(1 ) sin 2 1 11

6xx e x x L .




4.3.3. Tìm tiệm cận cong (hay xiên) của đồ thị hàm số Nếu ( ) ( ) ( )f x g x x với ( )g x là đa thức và ( )x làVCB khi x thì đồ thị ( ) : ( )C y f x có đường tiệm cận cong ( )y g x .

VD 13. Tìm tiệm cận xiên của ( )C : 23 ( 1)y x x . Giải. Khi x , ta có:

131

1y xx

2 2

1 1 11 0

3 9x

x x x

1 1 10

3 9x

x x

.

Vậy 13

y x là tiệm cận xiên của đồ thị ( )C .


VD 14. Tìm tiệm cận xiên của 3

( ) :1

xC y

x

.

Giải. Ta có:

121

11

y xx

. Khi x thì:

2 2

12( 1) 8( 1) ( 1)

x xy x O

x x x

.

• Khi x thì: 12( 1) 2

xy x x

x

.

• Khi x thì: 12( 1) 2

xy x x

x

.

Vậy 12

y x , 12

y x là 2 tiệm cận xiên của ( )C .


VD 15. Tìm tiệm cận cong của 4

2

2 3( ) :

1

x xC y

x

.

Giải. Ta có: 3 42

2

2 31

.1

1

x xy x

x

.

Đặt 10xt

x , ta suy ra:

2 3 42

1(1 2 3 ).

1y x t t

t

2 3 4 2 2(1 2 3 )(1 0( ))x t t t t




2 2 3 3(1 2 ( ))x t t O t

22 3 3

1 2 11x O

x x x

2 22 11 1x O x

x x

.

Vậy đồ thị có tiệm cận cong là 2 1y x .

Cách khác

2 2

2

4 21 1

1

xy x x

x

khi x .

………………………………………………………


§5. QUY TẮC L’HOSPITAL

Định lý (quy tắc L’Hospital) Cho hai hàm số ( )f x , ( )g x khả vi trong lân cận của điểm

0x và ( ) 0g x trong lân cận của 0x (có thể 0( ) 0g x ). Nếu

0 0

lim ( ) lim ( ) 0x x x x

f x g x

(hoặc ) và

0

( )lim

( )x x

f xk

g x

thì

0

( )lim

( )x x

f xk

g x .

Chú ý Chiều ngược lại trong định lý là không đúng.

Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.



2lim

x x

x

e eL

x

.

VD 2. Tìm giới hạn 2 2

2 20

sinlim

.arctanx

x xL

x x

.

A. 0L ; B. L ; C. 12

L ; D. 13

L .




Tổng quát:

0

lim ln 0, 0.x

x x


0lim ln

xL x x

(dạng 0).


VD 4. Tính 0

1lim cotx

L xx

(dạng ).


1lim xx

L x

(dạng 1).


lim ( 3 )x xx

L x

(dạng 0 ).

………………………………………………………

NỘI DUNG KIỂM TRA GIỮA KÌ

1. Tìm giới hạn của hàm một biến (giới hạn vô cùng, tại 1điểm, giới hạn một bên).

2. Hàm số liên tục.3. Tìm đạo cấp n của hàm một biến (dạng tường minh).4. Tìm đạo hàm cấp 1, 2,3 của hàm theo tham số.5. Tìm đạo hàm cấp 1, 2 của hàm ẩn.6. Tìm vi phân cấp n của hàm một biến (dạng tường minh).7. Vô cùng bé tương đương (tường minh, tham số).8. Tìm khoảng đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

của hàm một biến dạng tường minh; tiếp tuyến với đồ thịhàm tường minh.



Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

BÀI 1 : TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (NGUYÊN HÀM)

BÀI 2 : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

BÀI 3 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

BÀI 4 : TÍCH PHÂN SUY RỘNG


§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1.1. Định nghĩa • Hàm số ( )F x được gọi là một nguyên hàm của ( )f x trên

khoảng ( ; )a b nếu ( ) ( ), ( ; )F x f x x a b .

Ký hiệu ( )f x dx (đọc là tích phân).

Nhận xét • Nếu ( )F x là nguyên hàm của ( )f x thì ( )F x C cũng là

nguyên hàm của ( )f x .


Tính chất 1) . ( ) ( ) ,k f x dx k f x dx k

2) ( ) ( )f x dx f x C

3) ( ) ( )d

f x dx f xdx

4) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx .




MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ 1) . , aa dx ax C

2) 1

, 11

xx dx C

3) lndx

x Cx

; 4) 2dx

x Cx

5) x xe dx e C ; 6) ln

xx a

a dx Ca

7) cos sinxdx x C ; 8) sin cosxdx x C

9) 2

tancos

dxx C

x ; 10)

2cot

sin

dxx C

x


11) 2 2

1arctan

dx xC

a ax a

12) 2 2

arcsin , 0dx x

C aaa x

13) 2 2

1ln

2dx x a

Ca x ax a

14) ln tansin 2dx x

Cx

15) ln tancos 2 4dx x

Cx

16) 2

2ln

dxx x a C

x a


VD 1. Tính 24

dxI

x

.

A. 1 2ln

4 2x

I Cx

; B. 1 2

ln4 2

xI C

x

;

C. 1 2ln

2 2x

I Cx

; D. 1 2ln

2 2x

I Cx

.

Giải. 2 2

1 2ln .

4 22

dx xI C A

xx




Giải. Biến đổi:

2

1 1 1 1 1( 2)( 3) 5 3 26 x x x xx x

.

Vậy 1 1 15 3 2

I dxx x

1 1 3ln 3 ln 2 ln

5 5 2x

x x C Cx

.

VD 2. Tính 2 6

dxI

x x

.


1.2. Phương pháp đổi biến a) Định lý

Nếu ( ) ( )f x dx F x C với ( )t khả vi thì:

( ( )) ( ) ( ( )) .f t t dt F t C

VD 3. Tính 23 ln

dxI

x x

.

Giải. Đặt lndx

t x dtx

2arcsin

33

dt tI C

t

lnarcsin .

3

xC


VD 4. Tính 3( 3)

dxI

x x

.

Giải. Biến đổi 2

3 3( 3)

x dxI

x x

.

Đặt 3 23 3t x dt x dx

1 1 1 13 ( 3) 9 3

dtI dt

t t t t

3

3

1 3 1ln ln

9 9 3

t xC C

t x

.




VD 5. Tính 4

cot

2 sin 3

xI dx

x

.

Giải. Biến đổi:

4

cos

sin (2 sin 3)

xdxI

x x

3

4 4

sin cos.

sin (2 sin 3)

x xdx

x x

Đặt 4 32 sin 3 8 sin cost x dt x xdx .

1 1 1 14 ( 3) 12 3

dtI dt

t t t t

4

4

1 3 1 2 sinln ln

12 12 2 sin 3

t xC C

t x

.


VD 6. Tính 2

tan, 0;

2cos cos 1

xI dx x

x x

.

Giải. 0;2

x

, ta có:

22

tan

1cos 1

cos

xI dx

xx

2 2

tan.

cos 2 tan

xdx

x x

Đặt 2

2 2

tan2 tan

cos 2 tan

xdxt x dt

x x

.

Vậy 22 tanI dt t C x C .


Giải. Đặt 2ln

,2

u x dx xdu v

dv xdx x

21 1ln

2 2I x x xdx 2 21 1

ln2 4

x x x C .

1.3. Phương pháp tích phân từng phần a) Công thức

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx

hay .udv uv vdu

VD 16. Tính lnI x x dx .




Giải. Biến đổi .2 xI x dx .

Đặt 2,

2 ln 2

x

x

u xdu dx v

dv dx

.2 12

ln 2 ln 2

xxx

I dx

2

.2 2ln 2 ln 2

x xxC

.

Chú ý • Đối với nhiều tích phân khó ta phải đổi biến trước khi lấy từng phần.

VD 17. Tính 2x

xI dx .


Giải. Biến đổi 2 sin(1 sin ) cosxI x e x dx .

Đặt 2sin (1 ) tt x I t e dt .

Đặt 2 21

tt

du tdtu t

v edv e dt

2 2(1 ) 2 (1 ) 2 ( )t t t tI e t te dt e t t de

2(1 ) 2 2t t te t te e dt

2 sin 2( 1) (sin 1)t xe t C e x C .

VD 18. Tính 3 sincos xI x e dx .


VD 19. Tính 3cosI x dx .

Giải. Đặt 3 3 23t x x t dx t dt

2 23 cos 3 (sin )I t t dt t d t

23 sin 6 (cos )t t td t

23 sin 6 cos 6 sint t t t t C

3 3 3 323 6 sin 6 cosx x x x C

.




VD 20. Tính cos(ln )I x dx .

Giải. Đặt ln t tt x x e dx e dt

cos (sin )t tI e t dt e d t

sin (cos )t te t e d t

(sin cos ) cost tI e t t e tdt

1(sin cos )

2tI e t t C

[sin(ln ) cos(ln )]2x

x x C .


b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp

• Đối với dạng tích phân ( ) xP x e dx , ( )P x là đa thức, thì ta đặt:

( ), .xu P x dv e dx

• Đối với dạng tích phân ( )lnP x x dx , ( )P x là đa thức, thì ta đặt:

ln , ( ) .u x dv P x dx

………………………………………………………………………


0 1 1... n nx a x x x b .

Lấy điểm 1[ ; ]k k kx x tùy ý ( 1,k n ).

Lập tổng tích phân: 11

( )( )n

k k kk

f x x

.

§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số ( )f x xác định trên [ ; ]a b . Ta chia đoạn [ ; ]a b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

Ký hiệu là ( ) .b

a

I f x dx

Giới hạn hữu hạn (nếu có) 1max( ) 0

limk kk

x xI

được gọi

là tích phân xác định của ( )f x trên đoạn [ ; ]a b .




Tính chất

1) . ( ) ( ) ,b b

a a

k f x dx k f x dx k

2) [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

3) ( ) 0; ( ) ( )a b a

a a b

f x dx f x dx f x dx

4) ( ) ( ) ( ) , [ ; ]b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx c a b


5) ( ) 0, [ ; ] ( ) 0b

a

f x x a b f x dx

6) ( ) ( ), [ ; ] ( ) ( )b b

a a

f x g x x a b f x dx g x dx

7) ( ) ( )b b

a a

a b f x dx f x dx

8) ( ) , [ ; ]m f x M x a b

( ) ( ) ( )b

a

m b a f x dx M b a


9) Nếu ( )f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì

[ ; ] : ( ) ( )( )b

a

c a b f x dx f c b a .

Khi đó, đại lượng 1

( ) ( )b

a

f c f x dxb a

được gọi là

giá trị trung bình của ( )f x trên đoạn [a; b].




VD 1. Tích phân 1

2 20 cos

dx

x x bị chặn (hữu hạn) vì

hàm số 2 2

1( )

cosf x

x x

liên tục trên đoạn [0; 1].

VD 2. Giá trị trung bình của hàm số 1( )f x

x trên [1; ]e

là 1

1 1

1 1

edx

e x e

.


2.2. Công thức Newton – Leibnitz

Cho hàm ( )f x khả tích trên [ ; ]a b , với mỗi [ ; ]x a b thì

hàm số ( ) ( )x

a

x f t dt liên tục tại mọi 0 [ ; ]x a b

và ( ) ( )x f x .

VD 3. Xét 2

0

( ) , 0x

tx e dt x .

Ta có: 2

( ) tf t e và 2

( ) ( ) xx f x e .

2.2.1. Tích phân với cận trên thay đổi


Giải. Khi 0x thì sin 0, tan 0x x .


sin

0tan0

0

2

lim

sin

x

xx

t dt

L

t dt

.

Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta được:

0 0

2

cos 2 sin 2lim lim 2

1 tansin(tan )cos

x x

x x xL

xxx

.





2

0

2

(arctan )

lim1

x

x

t dt

Lx

.

Giải. Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta được:

2

0

2

(arctan )

lim

1

x

x

t dt

L

x


2

2

(arctan )lim

1

x

xx

x

2

2lim (arctan )4x

x

.


Nếu ( )f x liên tục trên [ ; ]a b và ( )F x là một nguyên hàm

tùy ý của ( )f x thì ( ) ( )x

a

x f t dt và ( ) ( )+F x x C

là nguyên hàm của ( )f x trên [ ; ]a b .

Vậy ta có:

( ) ( ) ( ) ( ).b

b

aa

f x dx F x F b F a

2.2.2. Công thức Newton – Leibnitz



Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số Nhận xét

1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1.

2) Hàm số ( )f x liên tục và lẻ trên [ ; ] thì:

( ) 0.f x dx

3) Hàm số ( )f x liên tục và chẵn trên [ ; ] thì:

0

( ) 2 ( ) .f x dx f x dx


4) Để tính ( )b

a

f x dx , ta dùng bảng xét dấu của ( )f x để

tách ( )f x thành tổng của các hàm trên mỗi đoạn nhỏ.

Đặc biệt

( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b .


Giải. Biến đổi 3

21 4 ( 1)

dxI

x

.

Đặt 1t x dt dx 22

200

1 1arctan arctan1

2 2 2 84

dt tI

t

.

VD 6. Tính tích phân 3

21 2 5

dxI

x x

.




Giải. Biến đổi 1 1

lnln

e ex

I x x dx dxx

.

• Đặt 2ln

,2

u x dx xdu v

dv x dx x

2 2

1 11

1 1ln ln

2 2 4

ee ex e

x x dx x x dx

.


1

( 1)lne

x xI dx

x

.


• 2

1 1 1

ln ln 1ln (ln )

2 2

ee ex x

dx x d xx

.

Vậy 2 34

eI

.

Giải. Do hàm số 2 3( ) 1.sinf x x x liên tục và lẻ trên đoạn [ 1; 1] nên 0I .


2 3

1

1.sinI x x dx

.


Giải. Ta có:

3 3

3 3

0 0

2 4 2 4I x x dx x x dx

2 3

3 3

0 2

2 4 2 4x x dx x x dx


3

3

4I x x dx

.




2 3

3 3

0 2

2 ( 4 ) 2 ( 4 )x x dx x x dx

25 412 4 2

4 2 .


§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng 3.1.1. Biên hình phẳng cho trong tọa độ Descartes a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát

S

2 1( ) ( )b

a

S f x f x dx

S

2 1( ) ( )d

c

S g y g y dy


VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường 2y x và 4y x .

A. 115

S ; B. 215

S

C. 415

S ; D. 815

S .




VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường 1xy e , 2 3xy e và 0x .

A. 1ln 4

2 ; B. ln 4 1

2 ; C. 1 ln 2

2 ; D. 1

ln 22


VD 4. Tính diện tích hình elip 2 2

2 2: 1x y

Sa b

.

Giải. Phương trình tham số của elip là: cos

, [0; 2 ]sin

x a tt

y b t

.

b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số

Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình ( ), ( )x x t y y t với [ ; ]t thì:

( ). ( ) .S y t x t dt

(THAM KHẢO)


2 2

2

0 0

sin .( sin ) sinS b t a t dt ab t dt

2

0

1 cos22

tab dt ab

.




VD 5. Tính diện tích S giới hạn bởi đường cong: 2 3( ) 1, ( ) 4x t t y t t t .

O x

y

1 3

Giải. Giao của đồ thị với Ox : 0 0, 2y t t .

Vậy 2

2

( ). ( )S y t x t dt

2

3

2

(4 )2t t t dt

2 2

2 4 2 4

0 0

2562 8 2 4 (4 )

15t t dt t t dt .


3.2. Tính độ dài l của đường cong a) Đường cong có phương trình tổng quát

Cho cung AB có phương trình ( ), [ ; ]y f x x a b thì:

21 [ ( )] .

b

ABa

l f x dx

VD 9. Tính độ dài l của cung ln(cos ), 0;4

y x x

.


Cho cung AB có phương trình tham số ( )

, [ ; ]( )

x x tt

y y t

thì:

2 2[ ( )] [ ( )] .

ABl x t y t dt

b) Đường cong có phương trình tham số




VD 10. Tính độ dài l của cung C có phương trình: 2

2

1, 0; 1

ln 1

x tt

y t t

.


3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay a) Vật thể quay quanh Ox Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( ), 0y f x y , x a , x b quay quanh Ox là:

2[ ( )] .b

a

V f x dx

Giải. 1

1

ln ( ln )e

eV x dx x x x .

VD 12. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi ln , 0, 1,y x y x x e quay xung quanh Ox .

(THAM KHẢO)


Giải. Ta có:

2 2 2

2 2 22 2 2

1x y b

y a xa b a

.

Vậy 2

2 2 22

43

a

a

bV a x dx ab

a

.

VD 13. Tính V do 2 2

2 2( ) : 1

x yE

a b quay quanh Ox .




b) Vật thể quay quanh Oy

Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )x g y , 0x , y c và y d quay quanh Oy là:

2[ ( )] .d

c

V g y dy

VD 14. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi 22 , 0y x x y quay xung quanh Oy .


Giải. Parabol 22y x x được viết lại:

2 22 ( 1) 1y x x x y

1 1 , 1

1 1 , 1

x y x

x y x

.

Vậy 1 2 2

0

1 1 1 1V y y dy

1 1

3

00

8 84 1 (1 )

3 3y dy y

.


Chú ý

Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi ( )y f x , 0y , x a và x b quay xung quanh Oy

còn được tính theo công thức:

2 ( ) (*).b

a

V xf x dx

Giải. 22 3 4

2

0 0

2 82 (2 ) 2 .

3 4 3x x

V x x x dx

VD 15. Dùng công thức (*) để giải lại VD 14.




3.4. Tính diện tích mặt tròn xoay a) Diện tích mặt tròn xoay S do đường cong ( )y f x , a x b , quay xung quanh trục Ox là:

22 ( ) 1 [ ( )] .b

a

S f x f x dx

VD 16. Tính diện tích mặt cầu 2 2 2 2x y z R .

Giải. Mặt cầu do nửa trên của đường tròn: 2 2 , [ ; ]y R x x R R quay quanh Ox .

(THAM KHẢO)


Vậy 2

2 2 22 2

2 . 1 4R

R

xS R x dx R

R x

.

b) Diện tích mặt tròn xoay S do đường cong ( )x g x , c y d , quay xung quanh trục Oy là:

22 ( ) 1 [ ( )] .d

c

S g y g y dy

VD 17. Tính diện tích mặt tròn xoay do đường cong 2y x , 0 1x xoay quanh Oy .


Giải. Ta có: 2, 0 1 , 0 1y x x x y y .

Vậy 1

0

12 . 1 5 5 1

4 6S y dy

y

.

……………………………………………………………………



CHƯƠNG 4TÍCH PHÂN SUY RỘNG

BÀI 1. TÍCH PHÂN SUY RỘNG VỚI CẬN VÔ HẠN

BÀI 2. TÍCH PHÂN SUY RỘNG VỚI CẬN HỮU HẠN

Chương 4. Tích phân suy rộng

x

y

Oa b

( )f x

S

( )b

a

f x dx

b

S

lim ( )a

b

bf x dx

1.1. Định nghĩa 1

( )f x Xác định trên [ ; )a

Liên tục trên [ ; ]a b

( ) lim ( )b

ba a

f x dx f x dx

Bài 1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn





Nếu giới hạn limb

ba

f x dx tồn tại hữu hạn thì ta

nói hàm f x có tích phân suy rộng từ a hay tích phân hội tụ.

Nếu giới hạn limb

ba

f x dx không tồn tại hoặc vô hạn

thì ta nói hàm f x không có tích phân suy rộng từa hay tích phân phân kỳ.

• Tương tự: ( ) lim ( ) ;a

b

a

b

f x dx f x dx

• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.



( )f xXác định trên ( ; )

Khả tích trên mọi [ ; ]a b

0

0

( ) lim ( ) lim ( )b

a ba

f x dx f x dx f x dx





Tích phân f x dx

được gọi là hội tụ nếu cả hai tích

phân 0

f x dx và

0

f x dx

hội tụ. Ngược lại, ta nói

tích phân f x dx

phân kỳ.


VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân 1

dxI

x

.

Giải • Trường hợp α = 1:

11

lim lim lnb

b

b b

dxI x

x

(phân kỳ).

• Trường hợp α khác 1:

1

11

1lim lim

1

b b

b b

dxI x

x

11

, 11lim 1 1

1 , 1.bb


2(1 )

dxI

x

.


I hội tụ về 11

1


dxI

x

.



3.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn 1

Nếu hàm số ,f x g x liên tục ,

0 ( ) ; )( ) , [g xf x ax và ( )a

g x dx

hội tụ thì

( )a

f x dx

hội tụ.

VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân

10

1

xI e dx

.


b) Tiêu chuẩn 2 Nếu f là hàm liên tục ( )

a

f x dx

hội tụ đến L thì

( )a

f x dx

cũng hội tụ với giới hạn nằm giữa –L

và L (ngược lại không đúng).

VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân 1

cos 3xI e x dx

.

Giải. 1 1

cos 3x xe x dx e dx

(hội tụ) I hội tụ.


c) Tiêu chuẩn 3 Cho ( ), ( )f x g x liên tục, luôn dương trên [ ; )a

và ( )lim

( )x

f xk

g x .

• Nếu 0k và ( )a

g x dx

hội tụ thì ( )a

f x dx

hội tụ.

• Nếu 0 k thì ( )a

f x dx

và ( )a

g x dx

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.




VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân 2 3

1 1 2

dxI

x x

.


• Nếu ( )

a

k

g x dx

phaân kyø

thì ( )a

f x dx

phân kỳ.


1 sindx

Ix x

.


VD 8. Điều kiện của để 3

1 . ln 1

dxI

x x

hội tụ là:

A. 3 ; B. 32

; C. 2 ; D. 12

.

VD 9. Điều kiện của để 2

41

( 1)

2 3

x dxI

x x

hội tụ?




2.1. Định nghĩa

( )f x( )f bXác định trên và[ ; )a b

Liên tục trên [ ; ] ( 0)a b

0

( ) lim ( )b b

a a

f x dx f x dx

Bài 2. Tích phân suy rộng với cận hữu hạn


• Tích phân suy rộng tại a :

0( ) lim ( )

b b

a a

f x dx f x dx

• Tích phân suy rộng tại a và b :

0( ) lim ( )

b

a

b

a

f x dx f x dx


VD 10. Khảo sát sự hội tụ của 0

( 0)b

dxI b

x .

Giải • Trường hợp α = 1:

0 0 0lim lim ln ln lim ln

bbdx

I x bx

.

• Trường hợp α khác 1:

1

0 0 0

1lim lim lim

1

b b bdxI x dx x

x




VD 11. Tính tích phân

13

216

3

1 9

dxI

x

.

A. 3

I

; B. 3

I

; C. 6

I

; D. I .

I hội tụ về 1

11b


VD 12. Tính tích phân 3 2

1 . ln

edx

Ix x

.


21

dxI

x x

.

2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng với cận vô hạn.

Chú ý. Nếu ( ) ( )f x g x khi x b (b là cận suy rộng)

thì ( )b

a

f x dx và ( )b

a

g x dx có cùng tính chất.




VD 14. Tích phân suy rộng 1

0 ( 1)(2 )

x dxI

x x x

hội tụ khi và chỉ khi:

A. 1 ; B. 12

; C. 12

; D. .


VD 15. Tích phân suy rộng 1

20

1

( 1)sin

xI dx

x x

phân kỳ khi và chỉ khi:

A. 1 ; B. 12

; C. 12

; D. .

Chú ý. Cho 1 2I I I với 1 2, ,I I I là các tích phân suy rộng ta có:

1) 1I và 2I hội tụ thì 1 2I I I hội tụ.

2) 1

2

( )

0

I

I

phaân kyø hoặc 1

2

( )

0

I

I

phaân ky ø

thì I phân kỳ.

3) 1

2

( )

0

I

I

phaân kyø hoặc 1

2

( )

0

I

I

phaân ky ø

thì chưa thể kết luận I phân kỳ.


VD 16. 1

20

1

sin

xI dx

x x

phân kỳ khi và chỉ khi:

A. 14

; B. 14

; C. 12

; D. .



sinxI dx

x

.



…………………………………………………………………………


Giải. Ta có: 2

1 1

cos sinx xI dx

x x

.

• 1

cos coslim cos1 cos1

x

x xx x

(1).

• 2 2 2

1 1 1

sin sinx dx xdx dx

x x x

hội tụ (2).

Từ (1), (2) ta suy ra I hội tụ.

Bài 2. BÀI TẬP ÔN TẬP

Bài 1 : Cho hai tích phân 2

31

1 xI dxx

và 3

1

0 1x

dxJe

.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây A. I phân kỳ, J hội tụ B. I hội tụ, J phân kỳ C. I hội tụ, J hội tụ D. I phân kỳ, J phân kỳ

Bài 2 : Xét sự hội tụ của hai tích phân sau :

0 2

21 0

cos2;1

xe xI dx J dxxx

A. I phân kỳ, J hội tụ B. I hội tụ, J phân kỳ C. I hội tụ, J hội tụ D. I phân kỳ, J phân kỳ


Bài 3 : Tìm tất cả các giá trị để tích phân

321

11

I dxx x

hội tụ .

A. 7 73 2

B. 1 4

C. 7 43

D. Không tồn tại giá trị

Bài 4 : Tìm tất cả các giá trị để tích phân

2 31

1 1

1I dx

x x x

hội tụ .

A. 1 14

B. 1 C. 1 D. 14




Bài 5 : Tích phân suy rộng: 2

5.0

3 54 1

x x dxx x

hội tụ khi và

chỉ khi A. > 1 B. > 3 C. tùy ý D. Không có giá trị nào

Bài 6 : Tính tích phân 2

2 1dxI

x x

A. I B. 14

I C. 4

I D. I


Bài 7 : Tính tích phân suy rộng: 2

61xI dx

x

A. 4

I B. 3

I C.

2I D. 0I

Bài 8 : Tính tích phân suy rộng: 20 x

xI dxe

A. 2I B. 1I C. 12

I D. I


Bài 9 : Tính tích phân suy rộng: 2

1 3 1dxx

I

A. 1I B. 32

I C. I D. 34

I

Bài 10 : Tính tích phân suy rộng: 23 3 2

dxIx x

A. I B. ln 2I C. I D. ln 2I

……………………………………………..



Chương 4. Lý thuyết chuỗi

§1. Khái niệm cơ bản về chuỗi số

§2. Chuỗi số dương

§3. Chuỗi số có dấu tùy ý

§4. Chuỗi hàm ……………………

§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ 1.1. Định nghĩa • Cho dãy số có vô hạn các số hạng 1 2, ,..., , ...nu u u Biểu thức

• Tổng n số hạng đầu tiên 1 2 ...n nS u u u được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số.

1 21

... ...n nn

u u u u

được gọi là chuỗi số.

• Các số 1 2, ,..., , ...nu u u là các số hạng và nu được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi số.


• Nếu dãy n nS

hội tụ đến số S hữu hạn thì ta nói

chuỗi số hội tụ và có tổng là S , ta ghi là 1

nn

u S

.

Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ.




VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi nhân 1

n

n

aq

với 0a .

Giải • 1q : nS na chuỗi phân kỳ.

• 1q : 1

1 1. .

1 1

n n

n

q qS u aq

q q

Với 1q thì 1naq

Sq

chuỗi hội tụ.

Với 1q thì nS chuỗi phân kỳ.

Vậy 1

1

n

n

aq

hội tụ 1q .


VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1

1( 1)n n n

.



1ln 1

n n

.


1

n n

.

1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ

• Nếu chuỗi 1

nn

u

hội tụ thì lim 0nn

u

,

ngược lại nếu lim 0nnu

thì

1n

n

u

phân kỳ.


41 3 2n

n

n n

.





41 1n

n

n

.

Giải. Ta có: 5

40

1n

nu

n

chuỗi phân kỳ.


1.3. Tính chất

• Nếu 1 1

, n nn n

u v

hội tụ thì:

1 1 1

( )n n n nn n n

u v u v

.

• Nếu 1

nn

u

hội tụ thì:

1 1n n

n n

u u

.

• Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng.

………………………………………………


§2. CHUỖI SỐ DƯƠNG

2.1. Định nghĩa

• 1

nn

u

được gọi là chuỗi số dương nếu 0, nu n .

Khi 0, nu n thì chuỗi số là dương thực sự.




2.2. Các định lý so sánh

Định lý 1. Cho hai chuỗi số dương 1 1

, n nn n

u v

thỏa:

00 , n nu v n n .

• Nếu 1

nn

v

hội tụ thì

1n

n

u

hội tụ.

• Nếu 1

nn

u

phân kỳ thì

1n

n

v

phân kỳ.



1

.2nn n

.

VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa 1

1

n n

bằng cách

so sánh với 1

1ln 1

n n

.


Định lý 2

Cho hai chuỗi số 1 1

, n nn n

u v

thỏa:

0nu và 0nv với n đủ lớn và lim n

nn

uk

v .

• Nếu 0k thì 1

nn

u

phân kỳ

1n

n

v

phân kỳ.

• Nếu k thì 1

nn

u

hội tụ

1n

n

v

hội tụ.

• Nếu 0 k thì 1 1

, n nn n

u v

cùng tính chất.





1

2 ( 1)

.3

n

nn

n

n

bằng cách

so sánh với 1

23

n

n

.


Chú ý

Chuỗi 1

1

n n

hội tụ khi 1 và phân kỳ khi 1 .


1

2 3n

n

n

.


2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ 2.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert

Cho chuỗi số dương 1

nn

u

và 1lim n

nn

uD

u

.

• Nếu 1D thì chuỗi hội tụ. • Nếu 1D thì chuỗi phân kỳ. • Nếu 1D thì chưa thể kết luận.


1 11

3

n

nn n

.



1

5 ( !)(2 )!

n

n

nn

.



2.3.2. Tiêu chuẩn Cauchy

Cho chuỗi số dương 1

nn

u

và lim n

nnu C

.

• Nếu 1C thì chuỗi hội tụ. • Nếu 1C thì chuỗi phân kỳ. • Nếu 1C thì chưa thể kết luận.

VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số

2

1

12

n

n

.


VD 8. Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 3

n

nn

n

.

Giải. Ta có: 3

nn

nu chuỗi phân kỳ.


VD 9. Xét sự hội tụ của chuỗi số 3 21

1

n n

.

2.3.3. Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy Cho hàm số ( )f x liên tục, không âm và giảm trên nửa khoảng [ ; ), k k .

Khi đó:

( ) ( )n k k

f n f x dx

hoäi tuï hoäi tuï.





2

1

lnn n n

.

………………………………………………


§3. CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý

VD 1. 1

( 1)n

n n

, 11

1

2 1( 1)

2

nn

nn

là các chuỗi đan dấu.

3.1. Chuỗi đan dấu

a) Định nghĩa. Chuỗi số 1

( 1)n nn

u

được gọi là

chuỗi số đan dấu nếu 0,nu n .


b) Định lý Leibnitz Nếu dãy { }n nu giảm nghiêm ngặt và 0nu thì chuỗi

1

( 1)n nn

u

hội tụ. Khi đó, ta gọi là chuỗi Leibnitz.


( 1)n

n n

.



1

2 1( 1)

2

nn

nn

.




( 1)

( 1)

n

nn n

.


3.2. Chuỗi có dấu tùy ý a) Định nghĩa

• Chuỗi 1

,n nn

u u

được gọi là chuỗi có dấu tùy ý.

• 1

nn

u

được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu

1n

n

u

hội tụ.

• 1

nn

u

được gọi là bán hội tụ nếu

1n

n

u

hội tụ và

1

nn

u

phân kỳ.

VD 5. Chuỗi số 1

( 1)n

n n

là bán hội tụ.


b) Định lý

Nếu 1

nn

u

hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý

1n

n

u

hội tụ.


1

cos( )n

n

n

n

.



1

( 1) ( 2)

3

n n

nn

.



§4. CHUỖI HÀM Chương 4. Lý thuyết chuỗi

4.1. Khái niệm chung về chuỗi hàm 4.1.1. Các định nghĩa • Cho dãy hàm 1 2( ), ( ),..., ( ),...nu x u x u x cùng xác định trên D . Tổng hình thức:

1 21

( ) ( ) ... ( ) ... ( )n nn

u x u x u x u x

(1)

được gọi là chuỗi hàm số hay chuỗi hàm trên D .

• Nếu tại 0x D , chuỗi số 01

( )nn

u x

hội tụ (phân kỳ)

thì 0x được gọi là điểm hội tụ (phân kỳ) của chuỗi (1).


• Tập hợp các điểm hội tụ 0x của chuỗi (1) được gọi là miền hội tụ của chuỗi (1). • Chuỗi (1) được gọi là hội tụ tuyệt đối tại 0x D nếu

chuỗi 01

( )nn

u x

hội tụ.

• Tổng 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )n nS x u x u x u x được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1). Trong miền hội tụ của chuỗi (1), tổng ( )nS x hội tụ về

một hàm số ( )f x nào đó.

• Hàm ( ) lim ( )nnf x S x

xác định trong miền hội tụ của

chuỗi (1) được gọi là tổng của chuỗi (1).


Ta viết là: 1

( ) ( )nn

u x f x

.

Khi đó, ( ) ( ) ( )n nR x f x S x được gọi là phần dư của (1) và tại mỗi x thuộc miền hội tụ thì lim ( ) 0nn

R x

.

VD 1. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 1

nx

n

ne

.


1 !

n

n

xn

.



4.2. Chuỗi lũy thừa 4.2.1. Định nghĩa

Chuỗi hàm 00

( )nnn

a x x

với 0,na x là các hằng số

được gọi là chuỗi lũy thừa.

Nhận xét

• Nếu đặt 0x x x thì chuỗi lũy thừa có dạng 0

nn

n

a x

.

• Miền hội tụ của 0

nn

n

a x

chứa 0x nên khác rỗng.


4.2.2. Bổ đề Abel

Nếu chuỗi hàm 0

nn

n

a x

hội tụ tại 0x thì chuỗi

hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm ;x .

• Hệ quả

Nếu chuỗi hàm 0

nn

n

a x

phân kỳ tại x thì phân kỳ

tại mọi x thỏa x .


4.2.3. Bán kính hội tụ a) Định nghĩa

• Số 0R để 0

nn

n

a x

hội tụ tuyệt đối trên ( ; )R R và

phân kỳ tại :x x R được gọi là bán kính hội tụ.

• Khoảng ( ; )R R được gọi là khoảng hội tụ.

Nhận xét

• Nếu chuỗi hội tụ x thì R . • Nếu chuỗi phân kỳ 0x thì 0R .




b) Phương pháp tìm bán kính hội tụ

Nếu tồn tại 1lim n

nn

ar

a

hoặc lim n

nna r

thì:

0,

1, 0

, 0

r

R rr

r

.


Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Bước 2. Xét sự hội tụ của các chuỗi số tại x R . Bước 3 • Nếu các chuỗi số phân kỳ tại x R thì kết luận:

miền hội tụ của chuỗi hàm là ( ; )R R .

Bước 1. Tìm bán kính hội tụ R , suy ra khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa là: ( ; )R R .

• Nếu chuỗi số phân kỳ tại x R và hội tụ tại x R thì kết luận: miền hội tụ của chuỗi hàm là [ ; )R R .

• Tương tự: miền hội tụ là ( ; ], [ ; ]R R R R .




n

n

xn

.


( 1)

.2

n

nn

x

n

.




VD 6. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

2

1

11

nn

n

xn

.


0

3 ( 2)n n

n

x

.


4.3. Sơ lược về chuỗi Fourier a) Chuỗi lượng giác

Chuỗi hàm dạng: 0

1

( cos sin )2 n n

n

aa nx b nx

(*)

được gọi là chuỗi lượng giác.

Nếu chuỗi (*) hội tụ đều trên [ ; ] đến hàm số ( )f x thì các hệ số ,

n na b được tính theo công thức:

1( )cos , 0, 1, 2,...

na f x nx dx n

(2);

1( )sin , 1, 2,...

nb f x nx dx n

(3).


b) Định nghĩa chuỗi Fourier

• Chuỗi lượng giác (*) có các hệ số được tính theo công thức (2), (3) được gọi là chuỗi Fourier của hàm ( )f x .

Các hệ số ,n n

a b được gọi là hệ số Fourier của ( )f x .

• Mọi hàm ( )f x khả tích trên [ ; ] tương ứng với chuỗi Fourier của nó và thông thường ta viết:

0

1

( ) ( cos sin )2 n n

n

af x a nx b nx

.




Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830)Nhà Toán học và Vật lý học Pháp.


VD 8. Tìm chuỗi Fourier của hàm số: 1, 0

( )1, 0 .

xf x

x

Giải. Do hàm ( )f x lẻ nên: ( ).cosf x nx lẻ và ( ).sinf x nx chẵn.

Suy ra:

• 1( )cos 0,

na f x nx dx n

.

• 0

1 2( )sin ( )sin

nb f x nx dx f x nx dx


0

2 2sin (cos 1)nx dx n

n

0, 2

2[1 ( 1) ] 4

, 2 1(2 1)

n

n k

n knk

.

Vậy 0

4 sin(2 1)( )

2 1k

k xf x

k

.




VD 9. Tìm chuỗi Fourier của ( )f x x trên [ ; ] . Giải. Do hàm ( )f x chẵn nên ta có:

• 1( )sin 0, 1,2,...

nb f x nx dx n

• 0

0

1 2a x dx x dx

,

0 2

0, 22

cos 4, 2 1n

n ka x nx dx

n kn

.

Vậy 2

0

4 cos(2 1)( )

2 (2 1)k

k xf x

k

.


c) Khai triển Fourier của hàm số

Định lý Dirichlet

Nếu hàm số ( )f x tuần hoàn với chu kỳ 2 , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [ ; ] thì chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm trên [ ; ] đến tổng là:

( ) ( )2

f x f x .


J.P.G.Lejeune Dirichlet

(1805 – 1859)Nhà Toán học Đức




VD 10. Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm số: 0, 0

( ), 0 .

xf x

x x

Giải. Hàm ( )f x thỏa mãn định lý. Ta có:

• 0

0

1 1( )

2a f x dx x dx

,

0 2

0, 21

cos 2, 2 1n

n ka x nx dx

n kn

.


• 0

1, 21

sin1

, 2 1.n

n knb x nx dx

n kn

Vậy: 1

20 1

2 cos(2 1) ( 1) sin( )

4 (2 1)

k

k k

k x kxf x

kk

.

NỘI DUNG KIỂM TRA CUỐI KÌ1. Khai triền Taylor-Maclaurin (dạng tường minh). Ứng dụng của

khai triển Taylor tìm đạo hàm cấp n.2. Ứng dụng của tích phân xác định (độ dài cung của hàm tường

minh và tham số).3. Tính tích phân suy rộng loại 1,2.4. Xét sự hội tích phân suy rộng loại 1,2 .5. Xét sự hội tụ theo tham số của tích phân suy rộng loại 1,2.6. Xét sự hội tụ của chuỗi dương.7. Xét sự hội tụ của chuỗi dương theo tham số.8. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu.9. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu theo tham số.10. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa.11. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa.

…………………………Hết…………………………

Documents

BÀI GIẢNG : TOÁN CAO CẤP A1files.tailieuhvh.webnode.vn/200000031-0dd150ecaf/BAI GIANG A1_SV.pdfChương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số Chương 3. Phép tính