Funkcionalne jednacine inverzna

FUNKCIONALNE JEDNAČINE, INVERZNA FUNKCIJA I KOMPOZICIJA FUNKCIJA

FUNKCIONALNE JEDNAČINE Postupak rešavanja: i ) “ Ono “ što je u zagradi stavimo da je t ( smena) ii) Odatle izrazimo x

iii) Vratimo se u početnu jednačinu , f ( t ) =... i gde vidimo x zamenimo ga sa onim što smo izrazili

iv) Sredimo taj izraz koji je sad sve ” po t ” i zamenimo t sa x

ZADACI 1) Rešiti funkcionalnu jednačinu: f ( x+1) = x2 –3x + 2

Rešenje: f ( x+1) = x2 –3x + 2 “ Ono “ što je u zagradi stavimo da je t x +1 = t Odatle izrazimo x x = t - 1 Vratimo se u početnu jednačinu , f ( t ) =... i gde vidimo x zamenimo ga sa onim što smo izrazili f ( t ) = (t – 1)2 – 3 (t – 1 ) + 2 f ( t ) = t2- 2t + 1 – 3t +3 + 2 Sredimo taj izraz koji je sad sve ” po t ” f ( t ) = t2 – 5t + 6 zamenimo t sa x f (x) = x2 – 5x + 6 i evo konačnog rešenja date funkcionalne jednačine.

2) Rešiti funkcionalnu jednačinu: 211

xxx

f

Rešenje:

211

xxx

f

tx

1 pa je odavde x

t

1 ovo zamenimo u datoj jednačini

2

11

1)(

tttf

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

2

2 11)(

t

t

ttf

t

t

ttf

11)(

2

t

ttf

11)(

2 zamenimo t sa x

x

xxf

11)(

2 je konačno rešenje

3) Rešiti funkcionalnu jednačinu: 2)1

( xx

xf

Rešenje:

2)1

( xx

xf

tx

x

1

x = t ( x+1) x = t x + t x – tx = t izvučemo x kao zajednički na levoj strani... x ( 1 – t ) = t

t

tx

1 vratimo se sad na početnu jednačinu...

2)

1( xx

xf

2)

1()(

t

ttf

zamenimo t sa x ... 2)

1()(

x

xxf

je konačno rešenje

4) Reši funkcionalnu jednačinu: 35)12

2(

xx

xf

Rešenje:

35)12

2(

xx

xf

tx

x

12

2 www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

x + 2 = t (2x + 1) x + 2 = 2tx + t x – 2tx = t – 2 x (1 – 2t ) = t – 2

t

tx

21

2

35)12

2(

xx

xf

f ( t ) = 5 t

t

21

2

+ 3 sredimo… f ( t ) = t

t

21

105

+ t

t

21

)21(3

= t

tt

21

63105

=t

t

21

7

izvučemo minus gore i

ubacimo ga u imenilac, koji onda promeni redosled … A - B = - (B – A)

f ( t ) = 12

7

t

t

f ( x ) = 12

7

x

x je konačno rešenje

5) Ako je 2)1()1

(

xx

xf , izračunati f(3).

Rešenje: Najpre moramo naći f(x).

2)1()1

(

xx

xf

tx

x

1

x = t ( x+1) x = t x + t x – tx = t x ( 1 – t ) = t

t

tx

1 vraćamo se u početnu jednačinu… www.matematiranje.com

2)1()

1(

x

x

xf

f ( t ) = (t

t

1 - 1 )2 Sada umesto t stavljamo 3 jer se traži f(3)…

f ( 3 ) = (31

3

- 1 )2 =

4

25

6) Rešiti funkcionalnu jednačinu: 2

2 1)

1(

xx

xxf

Rešenje:

22 1

)1

(x

xx

xf uzimamo smenu x

x1

= t , ako odavde probamo da izrazimo x kao što bi trebalo,

zapadamo u probleme...

xx

1 = t sve pomnožimo sa x…

x2 + 1 = xt x2 – xt + 1 = 0 ovo je kvadratna jednačina po x i ne vodi rešenju… TRIK : OVDE SMENU TREBAMO KVADRIRATI

xx

1 = t kvadriramo…

(x

x1

)2 = t2

2

22 11

2 txx

xx pokratimo x-seve…

2

22 1

2 tx

x

21 2

22 t

xx E sad se vratimo u datu početnu jednačinu...

22 1

)1

(x

xx

xf pa je f ( t ) = t2 – 2 odnosno f(x) = x2 – 2 je konačno rešenje

www.matematiranje.com

7. Rešiti funkcionalnu jednačinu: xx

xf

x

xf

1

22

2

1

Rešenje:

xx

xf

x

xf

1

22

2

1

I ovaj zadatak ne možemo uraditi “ klasično” već se moramo poslužiti trikom...

Ako uzmemo smenu tx

x

1

2 , onda je

tx

x 1

2

1

i

tx

x

1

2 odavde x-2 = t (x +1) pa je x – 2= tx + t , x – tx = t + 2 , x (1-t )= t + 2 i odavde je x =

t

t

1

2

Vratimo se u datu jednačinu:

xx

xf

x

xf

1

22

2

1

f (t

1 ) + 2 f ( t ) =

t

t

1

2 dobili smo jednu jednačinu...E sad je trik da umesto t stavimo

t

1

f( t ) + 2 f(t

1) =

t

t1

1

21

=

t

tt

t

1

21

= 1

21

t

t dobismo i drugu jednačinu

Sada pravimo sistem od dve jednačine:

f (t

1 ) + 2 f ( t ) =

t

t

1

2

f( t ) + 2 f( t

1 ) =

1

21

t

t

Prvu jednačinu pomnožimo sa -2 pa saberemo ove dve jednačine...

- 4 f ( t ) - 2 f (t

1 ) = -2

t

t

1

2

f( t ) + 2 f( t

1 ) =

1

21

t

t

- 3 f ( t ) = t

t

1

42+

1

21

t

t=

1

42

t

t+

1

21

t

t=

1

54

t

t dakle


- 3 f ( t ) = 1

54

t

t podelimo sve sa –3 i dobijamo

f ( t ) = )1(3

54

t

t odnosno f ( t ) =

t

t

33

54

umesto t stavimo x i dobijamo:

f ( x ) = x

x

33

54

konačno rešenje

INVERZNA FUNKCIJA Definišimo najpre bijektivno preslikavanje: Za preslikavanje f: AB kažemo da je : 1) “jedan – jedan” (obostrano jednoznačno) , što skraćeno pišemo “ 1-1 “, ako važi ))()()(,( 212121 xfxfxxAxx 2) “na” ako je ))()()(( yxfAxBy 3) bijektivno ako je “1-1” i “na”

Preslikavanje skupa A na sebe , u oznaci iA , sa osobinom ))()(( xxiAx A naziva se identičkim (jediničnim) preslikavanjem skupa A. Ako je f: AB bijektivno preslikavanje, onda sa f –1 ozačavamo preslikavanje skupa B na skup A, koje ima osobinu da je Aiffff 11 . U tom slučaju f –1 nazivamo inverznim preslikavanjem preslikavanja f. Postupak za rešavanje zadataka : i) Umesto f(x) stavimo y ii) Odavde izrazimo x preko y

iii) Izvršimo izmenu : umesto x pišemo f –1 (x) , a umesto y pišemo x.


1. Data je funkcija f(x) = 2x – 1. Odrediti njenu inverznu funkciju i skicirati grafike funkcija f(x) i f –1(x). Rešenje: f(x) = 2x – 1 Umesto f(x) stavimo y y = 2x – 1 Odavde izrazimo x preko y 2x = y + 1

x = 2

1y Izvršimo izmenu : umesto x pišemo f –1 (x) , a umesto y pišemo x.

f –1(x) = 2

1x i evo nam inverzne funkcije.

Pošto obe funkcije predstavljaju prave, uzećemo po dve proizvoljne tačke( prvo x = 0, pa y = 0) i nacrtati ih. f(x) = 2x – 1 x 0 1/2 f(x) -1 0

f –1(x) = 2

1x

x 0 -1 f –1(x) 1/2 0

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

...

.

.

f(x)=2x-1

f (x) = -1 x+1

2

y = x

Primetimo da su grafici simetrični u odnosu na pravu y = x .


2. Data je funkcija ( ) 3 3f x x . Odrediti njenu inverznu funkciju i skicirati grafike funkcija f(x) i f –1(x). Rešenje:

1

( ) 3 3

3 3

3 3

3 3( )

3 3

f x x

y x

x y

y xx f x

za ( ) 3 3f x x x 0 1 f(x) -3 0

za 1 3( )

3

xf x

x 0 -3 f –1(x) 1 0

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

0

y=x( ) 3 3f x x

1 3( )

3

xf x

Opet su grafici simetrični u odnosu na pravu y = x. Šta mislite, da li će uvek tako biti?


3. Odrediti inverznu funkciju za 3

( )7

xf x

x

Rešenje:

1

3( )

73

73

množimo unakrsno1 7( 7) 1( 3)

7 3

3 7

( 1) 3 7

3 7 3 7( )

1 1

xf x

xx

yx

y x

xy x x

yx y x

yx x y

x y y

y xx f x

y x

4. Data je funkcija

2 4 1 3 5

a b c d ef

. Odrediti njenu inverznu funkciju f –1(x).

Rešenje: Ovde nam je funkcija zadata na drugi način. Direktno znamo koji elemenat se u koji preslikava: Šta će biti inverzna funkcija? Pa jednostavno, elementi iz drugog skupa se slikaju u prvi…

Ili zapisano na drugi način: 1 2 4 1 3 5

f

a b c d e


a. .1

.2

.3

.4

.5

b.

c.

d.

e.

f

a. .1

.2

.3

.4

.5

b.

c.

d.

e.

f -1

KOMPOZICIJA FUNKCIJA Neka su :f A B i :g B C funkcije. Tada sa g f označavamo kompoziciju ( proizvod ) preslikavanja

i f g , i definišemo ga sa ( ) (( )( ) ( ( ))x A g f x g f x . Na ovaj način smo ustvari dobili preslikavanje :g f A C ( kompozicija se najčešće obeležava sa , a čita se “ kružić” primer 1.

Date su funkcije 1 2 3 4

a c b df

i a b c d

6 8 7 9g

odrediti ( )( )g f x

Rešenje: Ajmo najpre da ovo predstavimo dijagramom da vidimo šta se zapravo dešava a onda ćemo ispisati i rešenje:

a..1

.2

.3

.4

b.

c.

d.

.6

.7

.8

.9

f g

Za svaki element radimo posebno: ( )( ) ( ( )) ( (1)) (a) 6g f x g f x g f g Na slici uočite crvene strelice. ( )( ) ( ( )) ( (2)) ( ) 7g f x g f x g f g c Na slici uočite crne strelice. ( )( ) ( ( )) ( (3)) ( ) 8g f x g f x g f g b Na slici uočite plave strelice. ( )( ) ( ( )) ( (4)) ( ) 9g f x g f x g f g d Na slici uočite žute strelice.


primer 2.

Ako je 1 2 3 4

c b df

a

, p q r s

1 4 3 2g

i b c d

r p q s

ah

odrediti:

a) f g = ? b) ?g h c) ( ) ?g h f Rešenje: a) f g = ?

Kako je 1 2 3 4

c b df

a

i p q r s

1 4 3 2g

,idemo redom:

( )( ) ( ( )) ( ( )) (1)f g x f g x f g p f c ( )( ) ( ( )) ( ( )) (4)f g x f g x f g q f d ( )( ) ( ( )) ( ( )) (3)f g x f g x f g r f b ( )( ) ( ( )) ( ( )) (2)f g x f g x f g s f a

Odavde imamo da je: p q r s

c d b f g

a

b) ?g h

p q r s

1 4 3 2g

i b c d

r p q s

ah

, pa je :

( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ) 3g h x g h x g h a g r ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ) 1g h x g h x g h b g p ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ) 4g h x g h x g h c g q ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ) 2g h x g h x g h d g s

Pa je : b c d

3 1 4 2

ag h


c) ( ) ?g h f Slično radimo , samo što sada imamo tri funkcije u kompoziciji:

1 2 3 4

c b df

a

, b c d

r p q s

ah

p q r s

1 4 3 2g

[( ) ]( ) ( ( ( )))g h f x g h f x Prvo radimo f, pa h i na kraju g... Ovako smemo da radimo jer važi asocijativni zakon ( ) ( )g h f g h f . Dakle: [( ) ]( ) ( ( ( ))) ( ( (1)) ( ( )) ( ) 4g h f x g h f x g h f g h c g q [( ) ]( ) ( ( ( ))) ( ( (2)) ( ( )) ( ) 3g h f x g h f x g h f g h a g r [( ) ]( ) ( ( ( ))) ( ( (3)) ( ( )) ( ) 1g h f x g h f x g h f g h b g p [( ) ]( ) ( ( ( ))) ( ( (4)) ( ( )) ( ) 2g h f x g h f x g h f g h d g s

Ova kompozicija je 1 2 3 4

( )4 3 1 2

g h f

primer 3.

Date su funkcije ( ) 3 2f x x i ( ) 5 7g x x . Odrediti: a) f g b) g f c) f f d) g g Rešenje: Ovo je drugi tip zadatka vezan za kompoziciju funkcija. a) f g ( )( ) ( ( ))f g x f g x Sad zamenimo funkciju koja je “ unutra”, znači ( )g x

( )( ) ( ( ) ) (5 7)f g x f g x f x = nadjemo kako izgleda funkcija f ( ( ) 3 2f x x ) i gde vidimo x stavimo sve

iz zagrade...

( )( ) ( ( )) (5 7) 3 (5 7) 2f g x f g x f x x i još da ovo malo prisredimo...

( )( ) ( ( )) (5 7) 3(5 7) 2 15 21 2 15 19f g x f g x f x x x x


b) g f ( )( ) ( ( ))g f x g f x opet prvo zamenimo funkciju unutar... ( )( ) ( ( )) (3 2)g f x g f x g x , sad posmatramo funkciju g i gde vidimo x stavimo sve iz zagrade... ( )( ) ( ( )) (3 2) 5(3 2) 7g f x g f x g x x opet malo sredimo... ( )( ) ( ( )) (3 2) 5(3 2) 7 15 10 7 15 3g f x g f x g x x x x c) f f ( )( ) ( ( )) (3 2) 3(3 2) 2 9 6 2 9 8f f x f f x f x x x x d) g g ( )( ) ( ( )) (5 7) 5(5 7) 7 25 35 7 25 42g g x g g x g x x x x

primer 4. Date su funkcije ( 1) 5 3f x x i (2 3) 3 1g x x . Odrediti:

a) f g b) 1 1g f Rešenje: Ovo je zadatak u kome vas profesor proverava sve tri stvari: funkcionalnu jednačinu, inverznu funkciju i kompoziciju funkcija. Prvo da nadjemo f(x) i g(x).


( 1) 5 3

1

1

( ) 5( 1) 3

( ) 5 5 3

( ) 5 8 ( ) 5 8

f x x

x t

x t

f t t

f t t

f t t f x x

(2 3) 3 1

2 3

2 3

3

23

( ) 3 12

3 9 2( )

2

3 11 3 11( ) ( )

2 2

g x x

x t

x t

tx

tg t

tg t

t xg t g x

Dalje tražimo inverzne funkcije:

Sada možemo naći:

3 11 3 11 15 55 16 15 39( )( ) ( ( )) ( ) 5 8

2 2 2 2

x x x xf g x f g x f

1 1 1 1 1

8 2 16 55 2 392 118 2 395 5 5( )( ) ( ( )) ( )

35 3 3 151

x x xx x

g f x g f x g


1

( ) 5 8

5 8

5 8

8 8( )

5 5

f x x

y x

x y

y xx f x

1

3 11( )

23 11

23 11 2

3 2 11

2 11 2 11( )

3 3

xg x

xy

x y

x y

y xx g x

Documents

Funkcionalne jednacine inverzna