4

Sadržaj:

1. Osnovni pojmovi,definicije i modeli .......................................... 2,3,4,5

2. Osobine diferencijala .......................................................................... 5

3. Primene diferencijala ......................................................................... 6

4. Diferencijalne jednačine prvog reda .................................................. 6

4.1. Opšti pojmovi .................................................................................. 6

4.2.Pregled metoda rešavanja najpoznatijih tipova običnih diferencijalnih jednačina prvog reda ....................................................... 7

4.2.1.Razdvojne promenljive .................................................................. 7

4.2.2.Homogena diferencijalna jednačina ............................................ 8,9

4.2.3.Linearna diferencijalna jednačina ............................................. 9,10

4.2.4.Bernulijeva jednačina ................................................................... 11

4.2.5.Rikartijeva jednačina ................................................................... 12

4.2.6.Klerova jednačina ........................................................................ 13

4.2.7.Lagranževa jednačina ................................................................... 14

4.2.8.Jednačina prvog reda drugog stepena .......................................... 15

4.2.9.Totalni diferencijal .................................................................. 16,17

5.Primeri ............................................................................ 18,19,20,21,22

6.Literatura ............................................................................................ 23

4

1. Osnovni pojmovi, definicije i modeli

Problemi matematike, fizike, tehnike, astronomije i drugih nauka mogu se često matematički izraziti pomoću jednačina u kojima su sadržane veze između nepoznatih funkcija i njenih izvida. Takve se jednačine zovu diferencijalne jednačine.

Jednačina koja sadrži izvode jedne ne poznate funkcije jedne ili više promenljivih,

pri čemu je bar jedan izvod ne poznate funkcije reda , naziva se

diferencijalna jednačina.

Primer:

a.) je konstanta

b.)

c.)

Ako ne poznata funkcija zavisi samo od jedne ne zavisne promenljive, pa se javljaju samo obični izvodi, onda se takva diferencijalna jednačina naziva obična, a ako nepoznata funkcija zavisi od više promenljivih pa se javljaju njeni parcijalni izvodi, onda se takva diferencijana jednačina naziva parcijalna. Tako su jednačine a.) i b.) obične, a c.) parcijalna.

4

Red jednačine je najvišeg izvoda nepoznate funkcije koji se javlja u datoj jednačini. Tako je diferencijalna jednačina a.) obična diferencijana jednačina prvog reda, b.) obična diferencijalna jednačina drugog reda, a c.) parcijalna diferencijalna jednačina drugog reda.

Sistem jednačina, kod kojeg svaka jednačina datog sistema sadrži bar jedan izvod

reda jedne od ne poznatih funkcija jedne ili više promenljivih je sistem

diferencijalnih jednačina.

Primer:

d.)

e.)

Ako su ne poznate funkcije u sistemu funkcije jedne promenljive, onda se takav sistem naziva sistem običnih diferencijalnih jednačina, a ako ne poznate funkcije zavise od više promenljivih, onda se takav sistem naziva sistem parcijalnih diferencijalnih jednačina.

U opštem slučaju, koji se izučava, uzima se da su najviši izvodi nepoznatih funkcija u sistemu istog reda (na primer, ako su ti izvodi prvog reda tada je to sistem diferencijalnih jednačina prvog reda, ako su ti izvodi drugog reda tada je to sistem diferencijalnih jednačina drugog reda, itd.

Pored toga u posmatranim sistemima je broj nepoznatih funkcija jednak broju jednačina u sistemu i on je u tom smislu određen.

Primer: sistemi c.) i d.) su određeni sistemi diferencijalnih jednačina prvog reda, dok se jednačina

f.)

4

koja sadrži dve nepoznate funkcije i , može se smatrati kao

neodređen sistem, jer je broj nepoznatih funkcija veći od broja jednačina

.

Modeli

Diferencijalne jednačine opisuju najraznovrsnije (prirodne) pojave i stoga se danas primenjuju u praktično svim oblicima nauke i tehnike.

Tako jednačina:

a.) je proizvoljna konstanta predstavlja Maltusov zakon

rasta populacije,

b.) , p je proizvoljna konstanta je Ermitova

jednačina čija su rešenja talasne funkcije kvantne mehanike,

c.) je jednodimenzionalna jednačina provođenja

toplote,

d.) (L je dužina klatna, g gravitaciona konstanta, uglovno

udaljenje od ravnotežnog položaja) predstavlja jednačinu matematičkog klatna.

Razlog za mogućnost tako široke upotrebe diferencijalnih jednačina leži u činjenici

da izvod predstavlja veličinu promene funkcije u zavisnosti od , a

prirodni zakoni se obično izražavaju nekom vezom između posmatrane veličine i njene promene.

4

Jednačine a.) – d.) predstavljaju matematičke metode pojava koje se opisuju. Pri korišćenju modela uvek se moraju jasno razlikovati stvarne pojave od modela jer informacije koje daje matematički model ne moraju potpuno odgovarati toku pojave. Odstupanja, dakle zavise od izbora modela, pogotovo što uopšteno govoreći, nema jednoznačne korespodencije između stvarnosti i modela jer jednoj pojavi može odgovarati više modela i obrnuto, jedan model može opisivati više pojava – čak disparatnih sa gledišta nauka. Da bi se napravio matematički model pojave polazi se od njene aproksimacije koja se sastoji u zanemarivanju faktora koji neznatno utiču na pojavu. Zatim se bitni faktorimatematički povežu na osnovu odgovarajućih matematičkih znakova. Ako matematički model ima rešenje, njihovim upoređivanjem sa stvarnom pojavom koju on treba da opisuje, proveriće se tačnost modela.

2. Osobine diferencijala

Ako su funkcije diferencijabilne u tački ,tada važi:

1.)

2.)

4

3.) .

4.)

3. Primene diferencijala

Kako je za diferencijabilnu funkciju

zaključujemo da u određenom smislu priraštaj možemo aproksimirati

diferencijalom kada , tj.

Na osnovu toga sledi da je:

4. Diferencijalne jedna č ine prvog reda

4

4.1. Opšti pojmovi

Opšti oblik diferencijalnih jednačina prvog reda je:

, a normalni oblik :

Gde je promenljiva, nepoznata funkcija od , a ΄ njen izvod, a G i F su

poznate funkcije.

4.2.Pregled metoda rešavanja najpoznatijih tipova običnih diferencijalnih jednačina prvog reda

4.2.1.Razdvojne promenljive

To je jednačina oblika , čija se desna strana može napisati kao

proizvod dve funkcije, od kojih jedna zavisi samo od , a druga samo od , tj.

4

Jednačina koja razdvaja promenljive i pored svog vrlo specijalnog oblika predstavlja model za raznovrsne važne probleme matematike, tehnike, fizike, itd. Egzistencija, jednoznačnost i konstrukcija rešenja date su sledećom teoremom:

Ako je neprekidna nad intervalom , a neprekidna i različita

od nule nad intervalom , tada postoji jednostavno rešenje jednačine

koje zadovoljava početni uslov

i definisano je u nekoj okolini od . To je rešenje dato obrascem:

gde su primitivna funkcija funkcije nad intervalom , a je njena

inverzna funkcija.

4

4.2.2.Homogena diferencijalna jednačina

To je jednačina koja se može svesti na oblik ,

gde je neprekidna funkcija nad intervalom (a,b)

Smenom: polazna jednačina postaje

, tj. diferencijalna jednačina oblika.

Primedba: diferencijalna jednačina oblika

gde je: a,b,c,A,B,C = const, može se svesti na jednačinu oblika.

Moguća su 2 slučaja:

1.) Ako je smenom: jednačina postaje:

Sistem jednačina:

4

ima rešenje po a i b pa postaje

, a to je jednačina oblika.

2.) Neka je ,tj. gde je k konstanta. Smenom , gde je u nova nepoznata funkcija promenljive x.

Jednačina postaje:

, odnosno jednačina oblika.

4.2.3.Linearna diferencijalna jednačina

To je jednačina koja se može svesti na oblik:

Ako je jednačina se naziva homogena linearna diferencijalna jednačina.

1.) Homogena jednačina:

4

Za postaje:

, tj. jednačina oblika čije je rešenje:

Može se uzeti kao rešenje jednačine.

2.) Da bi rešili predpostavimo :

, ako se jn-e i zamene u dobija se:

, odnosno:

, pa je opšte rešenje jednačine:

4

U eksplicitnom obliku opšte rešenje jednačine dato je kao:

4.2.4.Bernulijeva jednačina

To je jednačina koja se može svesti na oblik:

Gde je , za jednačina postaje linearna (za ona je i

jednačina koja razdvaja promenljive jer je u tom slučaju:

Uvodjenjem smene , gde je z postaje nova nepoznata funkcija a k konstanta, jednačina postaje:

Konstantu k treba izabrati tako da je:

, posle ove smene jednačina glasi:

, a to je linearna jednačina.

Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

4

Prema tome, opšte rešenje Bernulijeve jednačine može se izraziti u eksplicitnom obliku:

4.2.5.Rikartijeva jednačina

Za jednačina postaje Bernulijeva jednačina, odnosno linearna jednačina. U opštem slučaju jednačina se ne može rešiti.

Ako je poznato jedno partikularno rešenje može se dobiti i opšte rešenje jednačine.

Smenom gde je y1(x) jedno partikularno rešenje a z nova nepoznata funkcija jednačina postaje:

,a to je linearna jednačina. Opšte rešenje ove jednačine ima oblik:

Prema tome opšte rešenje Rikartijeve jednačine ima oblik:

gde je C proizvoljna konstanta, a F,G,H, i K određene funkcije.

4

4.2.6.Klerova jednačina

To je jednačina oblika:

Ovde je interensantno primetiti da je za svako realno za koje je definisano

rešenje jednačine .

Rezonojući po analogiji sa normalnim oblikom jednačine očekivalo bi se da su

gornjom familijom pravih obuhvaćena sva rešenja jednačine Da

to nije tačno pokazuje sledeća teorema:

4

Neka funkcija ima nad intervalom neprekidan drugi izvod koji je

različit od nule i neka je inverzna funkcija od . Tada su rešenja

jednačine ove funkcije:

a.) je konstanta), ,

b.) ,

definisano nad intervalom , gde je i ,

c.) svaka kriva sastavljena od proizvoljnog luka AB krive i na nju nastavljenih tangenata u tačkama A i B.

4.2.7.Lagranževa jednačina

Lagranževa diferencijalna jednačina je jednačina oblika:

4

Ova jednačina se slično rešava kao i Klerova. Posle smene jednačina dobija oblik:

odakle se, nakon diferenciranja, dobija:

Ako je jednačina je Klerova, predpostavimo onda da je tada jednačina postaje :

,a to je linearna jednačina. Jednačina ima rešenje oblika:

,pa je opšte rešenje Langraževe jednačine u parametarskom obliku:

4.2.8.Jednačina prvog reda drugog stepena

4

Ako se jednačina može napisati u obliku:

tada se rešavanje jednačine svodi na rešavanje 2 jednačine prvog stepena:

Opšta rešenja ovih jednačina ovih jednačina su pa je opšte rešenje jednačine:

gde je C proizvoljna konstanta.

4.2.9.Totalni diferencijal

4

Opšta jednačina prvog reda u normalnom obliku može se pisati u

obliku . Upoređivanjem sa jednačinom:

vidi se da se one za mogu svesti na jedno,

gde funkcije P i Q imaju neprekidne parcijalne izvode po x i z. Ako postoji funkcija u(x,y) takva da važi:

tada se jednačina naziva jednačina sa totalnim diferencijalom, ili egzaktna diferencijalna jednačina...

Opšte rešenje egzaktne diferencijalne jednačine određeneo je relacijom:

,gde je C proizvoljna konstanta.

Da bi se odredila funkcija u, za koju važi, treba poći od jednakosti

odakle se, upoređivanjem dobija:

,odnosno:

4

Ovi mešoviti izvodi su po pretpostavci neprekidni, pa su i jednaki, pa je, prema

tome potreban uslov da jednačina bude sa totalnim diferencijalom.

Ako je ovaj uslov ispunjen iz prve jednačine u dobija se:

,gde je f(x) neprekidna funkcija. Diferenciranjem izraza dobija se:

Druga jednačina u i jednačina daju:

,gde je K proizvoljna konstanta.

Konacno se dobija

,pa je opšte rešenje dato sa:

,gde je C proizvoljna konstanta.

4

5. Primeri

Diferencijalne jednačine koje razdvajaju promenljive :

4

Homogene diferencijalne jednačine :

4

4

Linearne diferencijalne jednačine :

4

4

6. Literatura

Matematička anliza I ( Ilija Kovačević, Momčilo Novković Vojislav Marić, Biljana Rodić)

Internet ( Svet nauke – Milan Milošević)

Beleške (nastava iz srednje škole)