9.Obicne diferencijalne jednacine

192

9 Numeriko reavanje obinih diferencijalnih jednaina

9.1 UVOD

Matematiki modeli velikog broja procesa u hemijskom inenjerstvu imaju formu diferencijalnih jednaina. Obina diferencijalna jednaina (ODJ) je jednaina u kojoj, u optem sluaju, figuriu: nezavisno promenljiva x, funkcija y(x) i njeni izvodi, poev od prvog pa do nekog n- tog. Dakle, ODJ definie vezu izmeu funkcije i njenih izvoda i moemo da je uopteno prikaemo kao:

bxayyyyxF n = ,0),...,,,,( )( , (9.1)

ili u eksplicitnom obliku (reeno po najviem izvodu):

bxayyyyxfdx

ydy nnn

n == ),,...,,,,( )1()( (9.1a)

gde interval definisanosti funkcija, [a, b] moe biti beskonaan. Diferencijalna jednaina (9.1) u kojoj je najvii izvod koji figurie, izvod n-tog reda zove se ODJ n-tog reda. Svaka funkcija y(x), koja zadovoljava diferencijalnu jednainu (9.1), predstavlja njeno reenje. Reenje moe biti,

opte, kada sadri n proizvoljnih konstanti, ci, i = 1,2,...,n, koje se zovu integracione konstante,

partikularno, koje se dobija iz opteg, odreivanjem brojnih vrednosti n integracionih konstanti iz isto toliko dodatnih uslova, koje moraju da zadovolje funkcija i njeni izvodi 1., 2.,..., (n - 1)-vog reda na granicama a i b oblasti definisanosti. Ti dodatni uslovi se zovu granini uslovi.

Primer 1: Promena koncentracije reaktanta A, koji se troi u nekoj hemijskoj reakciji, sa vremenom t , pri konstantnoj temperaturi i gustini reakcione smee i uz idealno meanje smee, opisana je diferencijalnom jednainom 1. reda:

193

),0[,)( 3

= t

smmolCr

dtdC

AA

gde je r(CA) kinetiki izraz, tj. izraz za brzinu hemijske reakcije u funkciji koncentracije reaktanta i temperature. Ako jednaini dodamo i podatak o poetnoj koncentraciji reaktanta (u momentu otpoinjanja reakcije, t = 0), kao granini uslov:

0)0( AA CC =

dobijamo matematiki model izotermskog arnog hemijskog reaktora. Traena funkcija CA(t) je partikularno reenje date ODJ, koje se dobija odreivanjem jedne integracione konstante (u pitanju je ODJ 1. reda) u optem reenju, iz zadatog graninog uslova u poetnom momentu, 0AC .

Primer 2: Promena koncentracije reaktanta A, koji se troi u istoj hemijskoj reakciji, du

stacionarnog cevnog hemijskog reaktora, pri konstantnoj temperaturi i gustini reakcione smee, opisana je diferencijalnom jednainom 2. reda:

Lzsm

molCrdz

dCwdz

CdD AAAA

= 0,0)( 32

2

gde su, z - rastojanje od ulaza u reaktorsku cev L - duina cevi DA - koeficijent difuzije reaktanta w - srednja brzina proticanja reakcione smee kroz reaktor

kojoj treba dodati i dva uslova: jedan za ulaz u reaktor (z = 0), a drugi za izlaz iz reaktora (z = L). Data ODJ i granini uslovi ine matematiki model izotermskog cevnog reaktora. Traena funkcija CA(z), predstavlja partikularno reenje, koje pored date ODJ zadovoljava i dva granina uslova.

Primer 3: Promena poloaja y (ugao tj. otklon u odnosu na vertikalu) matematikog klatna u toku vremena t, predstavlja partikularno reenje homogene dif. jednaine 2 reda sa konstantnim koeficijentima (bilans koliine kretanja klatna):

0),/(0)()( 2 =++ tsradbtyaty

sa dodatnim uslovima:

y(0) = y0 (zadat poetni poloaj otklon klatna)

y(0) = 0 (zadata ugaona brzina kretanja klatna u poetnom momentu )

Numeriko reenje ODJ

Mali broj diferencijalnih jednaina, koje su od praktinog interesa, se moe reiti

analitiki, tj. dobiti njeno reenje u vidu analitiki definisane funkcije y(x). Tako se partikularno reenje diferencijalne jednaine (9.1) dobija priblino ili numeriki u obliku tabele priblinih vrednosti traene funkcije: (xi, yi), i = 0,1,...,N u nizu taaka xi, i = 0,1,...,N. Pri tom se razlikuju dva tipa problema:

194

poetni problem (initial value problem), kada su svi neophodni granini uslovi (ukupno n) dati na levoj granici a, oblasti definisanosti funkcije. U ovom sluaju, za granine uslove se koristi termin poetni uslovi.

granini problem (boundary value problem), kada su neki uslovi dati na levoj, granici a, a neki na desnoj granici b oblasti definisanosti funkcije y(x). Kaemo da su granini uslovi razdvojeni (split boundary conditions)

Tako, Primeri 1 i 3 predstavljaju poetne probleme, a Primer 2 granini problem.

Sistem obinih diferencijalnih jednaina

Sistem ODJ, m-tog reda se sastoji od n obinih diferencijalnih jednaina, u kojima figurie isto toliko funkcija yi(x), i = 1,2,...,n, i njhovi izvodi, pri emu je najvii red izvoda koji je ukljuen jednak m. Tako, u najoptejem sluaju, sistem ODJ izgleda:

],[,,...,2,1,0))(),...,(...,),(),...,(),(),...,(,( )()(111 baxnixyxyxyxyxyxyxF

mn

mnni ==

ili u vektorskom obliku:

nibaxdxd

dxd

dxdxF m

m

i ,...,2,1],,[,0.,..,,,, 22

==

yyyy (9.2)

Specijalno, sistem ODJ prvog reda je:

nibxadxdxFi ,..,2,1,,0,, ==

yy (9.3)

ili u eksplicitnom obliku:

).,.,.,,(

).,.,.,,(

21

2111

nnn

n

yyyxfdxdy

yyyxfdxdy

=

=

M (9.4)

Partikularno reenje sistema ODJ je skup funkcija y1(x), y2(x),...,yn(x), koje zadovoljavaju sistem jednaina (9.2) i jo ukupno n m graninih uslova. Kao i u sluaju jedne ODJ, razlikujemo poetni i granini problem u zavisnosti da li su svi granini uslovi dati u levoj, ili su neki dati u levoj, a neki u desnoj granici oblasti definisanosti funkcija, [a, b]. Primer 4: Dobijanje temperaturnog profila T(x) fluida koji protie kroz cev i temperaturnog

profila )(xT , fluida koji protie kroz omota stacionarnog istostrujnog izmenjivaa toplote tipa cev u cevi, duine L, predstavlja poetni problem za sledei sistem od dve diferencijalne jednaine 1. reda (energetski bilansi za jedan i drugi fluid):

195

( ) ( )

( )( ) ( )smJTT

RRRK

dzTdwc

smJTTR

KdzdTwc

Tp

Tp

32

3

12

2

=

=

sa zadatim ulaznim temperaturama oba fluida, kao poetnim uslovima:

x = 0: T(0) = T0 , T(0) = T0 (oba granina uslova u x = 0) gde su, R, R - unutranji poluprenici unutranje i spoljnje cevi izmenjivaa , - gustine fluida cp, cp - specifine toplote fluida w, w - srednje brzine fluida KT - koeficijent prolaza toplote Primer 5: Dobijanje temperaturnog profila oba fluida u stacionarnom suprotnostrujnom

izmenjivau toplote tipa cev u cevi, duine L, predstavlja granini problem:

( )

( )( )TT

RRRK

dzTdwc

TTR

KdzdTwc

Tp

Tp

=

=

12

2

2

sa zadatim ulaznim temperaturama oba fluida, kao graninim uslovima:

T(0) = T0 , T(L) = T0 (granini uslovi su "razdvojeni")

9.2 PREVOENJE ODJ, REDA n U SISTEM ODJ 1. REDA

ODJ n- tog reda:

F(x, y, y, y,..., y (n)) = 0, (a x b) (9.1)

sledeim smenama:

)1(

3

2

1

,,

,

=

=

==

nn yy

yyyyyy

M

(9.5)

prevodimo u sledei ekvivalentan sistem od n ODJ 1. reda:

196

( )

( )

( )

( )),,,,(),,,,(

),,,,(

),,,,(

),,,,(

2121

2111

21232

21121

nnnn

nnnn

n

n

yyyxfyyyxfdxdy

yyyxfydx

dy

yyyxfydxdy

yyyxfydxdy

KK

K

M

K

K

==

==

==

==

(9.6)

u kome se poslednja jednaina dobija, imajui u vidu da je:

( ) )()1( nnn yydxd

dxdy

==

reavanjem polazne diferencijalne jednainu po najviem izvodu i uvoenjem datih smena:

),...,,,(),...,,,(0),...,,,( 21smene

)1()()(n

nnnn yyyxfyyyxfdxdyyyyyxF ===

Primer 6: Diferencijalna jednaina 2. reda:

042 22 =+ yyyy

se smenama:

yyyy == 21 ,

prevodi u sistem:

1

21

22

222

21

24

24

yyy

yyyy

dxdy

ydxdy

=

==

=

U sluaju poetnog problema,

10

)1(

0

0

)(

)()(

=

==

nn yay

yayyay

M

poetni uslovi za uvedene funkcije glase:

10

02

01

)(

)()(

=

==

nn yay

yayyay

M (9.6a)

197

9.3 NUMERIKO REAVANJE ODJ 1. REDA OJLEROVA METODA

Traimo funkciju y(x), definisanu u oblasti [a, b], kao reenje poetnog problema: 0)(,),( yayyxfy == (9.7) odnosno, koja zadovoljava datu ODJ 1. reda i dati poetni uslov. Numeriko reenje dobijamo u vidu priblinih vrednosti traene funkcije, yi, i = 1,2,..., N u nizu ekvidistantnih taaka:

bxax

NiN

abhihxx

N

i

==

=

=+=

,

,...,2,1,)(,

0

0 (9.8)

odnosno u vidu tabele: (xi, yi), i = 0,1,...,N. Kae se da smo izvrili diskretizaciju domena [a, b] nezavisno promenljive. Na Sl. 9.1 prikazani su: tano reenje, tj. neka (nepoznata) funkcija (x) i numeriko reenje, tj. niz taaka (xi, yi), i = 0,1,...,N.

Pretpostavimo sada, za momenat, da je poznata vrednost funkcije u taki xi, )( ii xyy = . Kako odrediti vrednost funkcije yi+1 u sledeoj taki? Ojlerova (Euler) metoda se zasniva na aproksimaciji prvoga izvoda kolinikom prirataja:

( ) ( )iiiiiii

ii yxfxyh

yyxxyy ,1

1

1 =

= +

+

+

iz koje sledi (rekurentna) formula za dobijanje priblinog reenja: ( ) 1,...1,0,,1 =+=+ Niyxhfyy iiii (9.9) korak diskretizacije h (9.8) naziva se korak integracije ili integracioni korak.

Slika 9.1 - Tano i numeriko reenje ODJ 1. reda

(x)

tana vrednost ( ) ( )iti xy =

xi x0

yi

y0

y

198

Zadatak 9.1 Potrebno je reiti numeriki diferencijalnu jednainu:

1)0(

10,25

=

=

y

xydxdy

a) Dobiti numeriko reenje, delei interval definisanosti funkcije (interval integracije) na N=10 podintervala (koraka) i uporediti ga sa tanim reenjem:

xexy 25)( =

b) Ponoviti proraun sa N = 15 integracionih koraka i uporediti ga sa tanim reenjem.

c) Ponoviti proraun i poreenje za N = 50

d) Poveavati broj integracionih koraka, dok maksimalno odstupanje priblinog od tanog reenja na intervalu integracije ne postane manje od 0.01

Reenje (Mathcad):

i 0 N..:= y yt:=

yt

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10.082

6.73810 -3

5.53110 -4

4.5410 -5

3.72710 -6

3.05910 -7

2.51110 -8

2.06110 -9

1.69210 -10

1.38910 -11

=y

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1-1.5

2.25

-3.375

5.063

-7.594

11.391

-17.086

25.629

-38.443

57.665

=yti xi( ):=yt0 1:=

Tacne vrednosti:

yi yi 1 h f xi 1 yi 1,( )+:=xi x0 i h+:=

i 1 N..:=

Integracija:

y0 1:=x0 a:=h 0.1=hb a

N:=Korak integracije:N 10:=

a)

b 1:=a 0:=f x y,( ) 25 y:=Podaci:

x( ) e 25 x:=Tacno resenje:

199

Priblizno resenje osciluje oko tacnog, ali se greska po apsolutnoj vrednosti smanjuje.

0 5 10 151

0

1

yi

yti

i

i 0 N..:=

y yt:=Greske:

yt

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

10.189

0.036

6.73810 -3

1.27310 -3

2.40410 -4

4.5410 -5

8.57510 -6

1.6210 -6

3.05910 -7

5.77810 -8

1.09110 -8

2.06110 -9

3.89310 -10

7.35310 -11

1.38910 -11

=y

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1-0.667

0.444

-0.296

0.198

-0.132

0.088

-0.059

0.039

-0.026

0.017

-0.012

7.70710 -3

-5.13810 -3

3.42510 -3

-2.28410 -3

=yti xi( ):=Tacne vrednosti:

yi yi 1 h f xi 1 yi 1,( )+:=xi x0 i h+:=

i 1 N..:=Integracija:

h 0.067=hb a

N:=

N 15:=b)

Racunski proces je nestabilan! Numericko resenje osciluje oko tacnog,pri cemu odstupanje raste.

0 5 1050

0

50

100

i

i0 5 10

0

100

yi

yti

i

200

Racunski proces je stabilan, aline dovoljno tacan

Greska ima stalni znak i po apsolutnoj vrednostimonotono opada.

5 10 15 200.15

0.1

0.05

0

i

i

Priblizno resenje ne osciluje

0 5 10 15 200

0.5

1

yi

yti

i

i 0 N..:=

max ( ) 0.118= y yt:=yti xi( ):=

Greske:

yi yi 1 h f xi 1 yi 1,( )+:=xi x0 i h+:=i 1 N..:=Integracija :

h 0.02=hb a

N:=Korak integracije:N 50:=

c)

max ( ) 0.856=Greska metode je velika

Racunski proces je stabilan

5 101

0

1

i

i

d)

N 100:= Korak integracije: hb a

N:= h 0.01=

201

Integracija:

i 1 N..:= xi x0 i h+:= yi yi 1 h f xi 1 yi 1,( )+:=Greske:

yti xi( ):= y yt:= max

( ) 0.051=

Povecavati broj integracionih koraka dok se ne dobiju prihvatljivirezultati: 0.01<

Lokalna greka i red numerike metode

Lokalna greka neke numerike metode, 1+iE je greka na (i + 1)-vom integracionom koraku (i = 0,1,...,N-1), tj. odstupanje tanog prirataja traene funkcije kada se x promeni sa xi na xi+1, od prirataja )( 1 ii yy + izraunatog posmatranom metodom. Njena apsolutna vrednost opada sa smanjivanjem integracionog koraka i u optem sluaju je proporcionalana nekom celobrojnom pozitivnom stepenu koraka, hn. Tako je ona, kada h tei nuli, beskonano mala veliina reda hn i piemo:

( )ni hOE =+1 Po dogovoru, kaemo da je metoda p - tog reda tanosti, ako je njena lokalna greka reda hp+1:

( )11 ++ = pi hOE (9.10)

Globalna greka i stabilnost numerike metode

Pod globalnom grekom numerike metode integracije dif. jednaine, podrazumeva se

odstupanje tanog od numerikog reenja. Tako je globalna greka, i+1 u nekoj taki xi+1 u intervalu integracije, jednaka:

( ) 11111 )( +++++ == itiiii yyyxy (9.11) Na Sl. 9.1, globalne greke u pojedinim takama su odstupanja krive (tano reenje dif. jednaine) od taaka (priblino reenje).

Jasno je da ako lokalna greka metode raste iz koraka u korak, to e prouzrokovati poveanje globalne greke sa poveanjem x odnosno i, tj. propagaciju greke u toku raunskog procesa. U skladu sa definicijom stabilnosti raunskog procesa, takva numerika

202

metoda je nestabilna. U problemu 9.1 uoava se nestabilnost Ojlerove metode pri priblinom reavanju zadate ODJ, sa korakom integracije 0.1 (a).

Poveanje globalne greke tokom raunskog procesa moe biti prouzrokovano i akumulacijom greaka zaokruivanja. Tako, sa smanjenjem integracionog koraka, radi poveanja tanosti metode moe doi do propagacije greaka zaokruivanja (veliki broj raunskih operacija) i poveanja nestabilnosti procesa. Propagacija greaka zaokruivanja se moe minimizovati ako se proraun izvodi sa velikim brojem znaajnih cifara, to je sluaj pri korienju Mathcad-a, ili pri proraunu u dvostrukoj preciznosti u nekom programskom jeziku (Pogl. 1.5).

9.4 TANOST I STABILNOST OJLEROVE METODE

Da bi izveli izraz za lokalnu greku Ojlerove metode, pretpostavimo da je vrednost yi

tana. Tanu vrednost za yi+1 bi dobili integracijom diferencijalne jednaine (9.7) u granicama xi do xi+1:

( )( ) ( )( )+++

+== +111

,, 1i

i

i

i

i

i

x

xii

x

x

y

y

dxxyxfyydxxyxfdy

Ojlerov metod se bazira na aproksimaciji podintegralne funkcije Tajlorovim polinomom nultog reda - konstantom. Naime, funkcija f(x, y), tj. prvi izvod traene funkcije y(x) se uzima konstantnim i jednakim f(xi, yi) u celom intervalu ],[ 1+ii xx , odakle sledi formula (9.9). Tana vrednost yi+1 bi bila:

( ) ( ) ( ) ( ) 1ijeaproksimac greska

1

1

!1, ++

203

nagib = f(xi,yi )

f(xi,yi)

1+iE

ii yy +1

xi xi+1 xi+1

f(x,y(x))

yi+1

( )tiy 1+1+iE

xi

yi

y

Slika 9.2 - Lokalna greka Ojlerove metode

Propagacija greke u raunskom procesu

Neka je globalna greka procene funkcije u taki xi jednaka: ( ) itii yy = . Ova greka

prouzrokuje greku procene funkcije u sledeoj taki xi+1 (pojava irenja ili propagacije greke), poto vrednost funkcije koja se zamenjuje u formulu (9.9) nije tana. Na greku koja potie od greke vrednosti yi treba dodati lokalnu greku metode i greku zaokruivanja. Ako greku zaokruivanja zanemarimo, globalnu greku vrednosti funkcije u taki xi+1 dobijamo kao:

1,...,1,0,1),(1 =++= ++ NiEiyxhfii ii

Drugu od greaka procenjujemo kao:

[ ] iiiixyxhf yxyfhyxhf

y iii

=

= ),(),(),(

pa je:

1,...,1,0,)],(1[ 11 =+

+= ++ NiEyxyfh iiiii (9.13)

Ako kao primer uzmemo jednostavnu diferencijalnu jednainu:

0)(, yayyy == (9.14)

gde je neka konstanta, imaemo:

.,),(,),()12.9(

1 constEEyxyfyyxf iii ===

= + (9.14a)

i (9.13) dobija jednostavan oblik:

204

1,...,1,0,]1[1 =+=++= + NiEEh iii (9.13a)

Uzastopnom primenom formule (9.13a) moemo, polazei od 0 = 0, da izraunamo greku n funkcije u nekoj taki xn, koja je rezultat irenja greke na intervalu ],[ 0 nxx :

NnhhEE n

n

n ,...,2,1,]1)1[(11

=+

=

= (9.15)

Ako bi uveli neku srednju vrednost lokalne greke E na posmatranom intervalu ],[ 0 nxx , kao i srednju vrednost , funkcije,

),()( yxyfx

=

na istom intervalu, iz (9.13) bi dobili procenu globalne greke na n-tom koraku n , za opti oblik ODJ (9.7):

NnhhE n

n ,...,2,1,]1)1[( =+= (9.16)

Stabilnost raunskog procesa

Iz (9.16) je jasno da e globalna greka priblinog reenja ODJ u toku Ojlerovog

postupka (n raste), da raste, ako je izraz )1( + h , koji se stepenuje sa n, po apsolutnoj vrdnosti vei od jedinice. Tako iz (9.16) sledi dovoljan uslov stabilnosti Ojlerove metode na nekom intervalu ],[ 0 nxx :

)0(],,[,1)(1 0 >+ hxxxxh n (9.17)

U specijalnom sluaju = )(x (9.14), dovoljan uslov stabilnosti (9.16) je i potreban i glasi: )0(11 >+ hh , odnosno,

)0(02 > hh

Dakle,

za pozitivne vrednosti parametra , Ojlerova metoda je nestabilna, sa bilo koliko malim korakom integracije h,

za negativne vrednosti , metoda e biti stabilna, ako i samo ako integracioni korak (h > 0) zadovoljava uslov: 02 h , odnosno,

205

2h (9.17a)

Primer 7: U Zadatku 9.1 smo Ojlerovom metodom integrisali ODJ oblika (9.14) sa = -25, sa poetnim uslovom y0 = 1. Stabilnu (to ne znai i dovoljno tanu) raunsku proceduru obezbeuje izbor veliine integracionog koraka:

08.0252 =h

to objanjava nestabilnost prorauna sa N = 10, h = 0.1 (a). Nestabilan raunski proces u (a) ima oscilatoran karakter. To se moe objasniti na sledei nain. Za datu ODJ, Ojlerova metoda (9.9), za priblinu vrednost funkcije u taki xi+1 daje:

( ) 1,...,1,0,1),(1 =+=+=+=+ Niyhyhyyxhfyy iiiiiii Oigledno je da reenje osciluje, tj. naizmenino menja znak (a time i globalna greka) u toku nestabilnog prorauna (a), jer je:

01)1( >

206

xi+0.5h posmatranog intervala ],[ 1+ii xx (Sl. 9.3), ime se poveava tanost procenjenog prirataja (yi+1 - yi). Rezultat je formula:

)(1,...,1,0),5.0,5.0(

00

1

xyyNihfyhxfhyy iiiii

==+++=+ (9.18)

Slika 9.3 Ojlerova metoda srednje take

Metoda srednjeg nagiba

Kod ove metode se pomeranje iz take (xi, yi) vri du prave, iji je nagib izraunat kao srednji nagib tangenti na krivu y(x) u poetnoj i krajnjoj taki posmatranog intervala

],[ 1+ii xx :

[ ])(

1,,1,0,),(),(2

00

1

xyy

Nihfyhxfyxfhyy iiiiiii

=

=++++=+ K (9.19)

x

y

xi+1xi

yi+1

yi

k1

k2

k2

ks ( )( )

2

,,

21

2

1

kkk

hfyhxfkfyxfk

s

iii

iii

+=

++===

Slika 9.4 - Ojlerova metoda srednjeg nagiba

y

x

k2yi+1

xi+1xi xi +h/2

yi

k1

k2

k1,k2- nagibi pravih

( )( )iii

iii

hfyhxfkfyxfk

5.0,5.0,

2

1

++===

207

9.6 RUNGE KUTA METODA 4. REDA

Zbog svoje tanosti i relativne jednostavnosti, ovo je najverovatnije najire koriena metoda za numeriku integraciju ODJ 1. reda. Formule su:

( )

),()2,2()2,2(

),(

1,...,1,0,2261

34

23

12

1

43211

KyhxhfKKyhxhfKKyhxhfK

yxhfK

NiKKKKyy

ii

ii

ii

ii

ii

++=++=++=

=

=++++=+

(9.20)

Geometrijska interpretacija je sledea. Taka (xi+1, yi+1) se dobija pomeranjem iz take (xi, yi) po pravoj, iji je nagib izraunat kao srednja vrednost 4 nagiba, pri emu su 2. i 3. nagib uzeti sa dvostrukom teinom u odnosu na 1. nagib (nagib tangente u poetnoj taki) i 4. nagib (nagib tangente u krajnjoj taki). Naime, u formulama (9.20), prepoznajemo:

1. f (xi, yi) nagib u poetnoj taki

2. f (xi+h/2, yi+K1/2) nagib u sred.taki dobijenoj iz po.take nagibom 1

3. f (xi+h/2, yi+K2/2) nagib u sred.taki dobijenoj iz po.take nagibom 2

4. f (xi+h, yi+K3) nagib u krajnjoj taki dobijenoj iz po.take, nagibom 3

Zadatak 9.2 Diferencijalna jednaina koja opisuje promenu koncentracije reaktanta u reakciji prvog reda BA koja se odigrava u idealno meanom i idealno izolovanom (adijabatski reim) arnom reaktoru glasi:

)()(

)0(,

00

0)(0

AAp

RA

AAACTR

EA

CCcHTCT

CCCekdt

dCA

+=

==

gde su:

00 , ACT - poetna temperatura i koncentracija k0, E - predeksponencijalni faktor i energija aktivacije u Arenijusovom izrazu R - univerzalna gasna konstanta RH - toplota reakcije cp, - specifina toplota i gustina reakcione smee Potrebno je za date podatke (Praktkum) odrediti koncentraciju reaktanta nakon 2500s od startovanja reaktora, a) Ojlerovom metodom s razliitim integracionim koracima b) Runge - Kuta (Runge- Kutta) metodom 4. reda sa razliitiom integracionim koracima i uporediti rezultate

208

Reenje: (Praktikum, XIII-3)

9.7 KLASIFIKACIJA NUMERIKIH METODA ZA INTEGRACIJU ODJ 1. REDA

Jedna podela metoda je na:

jednokorane, koje za izraunavanje vrednosti funkcije yi+1 u narednoj taki koriste samo vrednost funkcije i izvoda u prethodnoj taki (yi, fi ) To su prethodno izloene Ojlerove metode i metoda Runge-Kuta.

viekorane, koje za izraunavanje yi+1 pored yi i fi koriste i vrednosti funkcije i izvoda u nizu prethodnih taaka: yi-1, fi-1 = f(xi-1, yi-1), yi-2, fi-2 = f(xi-2, yi-2), ...

Druga podela je na:

eksplicitne, kod kojih je formula za izraunavanje vrednosti funkcije u narednoj taki, yi+1 ekplicitno izraena po yi+1. Izloene Ojlerove metode i metoda Runge Kuta su eksplicitne jednokorane metode

implicitne, kod kojih je formula za izraunavanje yi+1 implicitna.

9.8 IMPLICITNA OJLEROVA METODA SREDNJEG NAGIBA

Implicitne jednokorane metode se baziraju se na ideji da se pri aproksimaciji izvoda f(x,y) funkcije y(x), radi procenjivanja vrednosti funkcije u narednoj taki, yi+1 ukljui taka xi+1 u kojoj je vrednost funkcije f(xi+1, y(xi+1)) nepoznata i da se onda zahvaljujui iterativnom odreivanju yi+1 iz tako dobijene implicitne formule (metod uzastopnih zamena) povea stabilnost raunskog procesa. Implicitne metode sadre dve formule:

prediktor formulu, koja slui za odreivanje prve procene za yi+1, pomou neke eksplicitne jednokorane metode

korektor formulu, koja je implicitna i ijim se iterativnim korienjem (metod uzastopnih zamena) dobija yi+1 sa unapred zadatom preciznou.

Tako se implicitnom metodom srednjeg nagiba, koja je, kao i odgovarajua eksplicitna metoda, drugog reda, vrednost funkcije yi+1 rauna kao:

( )

)(

1,...,1,0,),(),(2

00

111

xyy

Niyxfyxfhyy iiiiii

=

=++= +++ (9.21)

a prediktor i korektor formule su: prediktor: ),()0( 1 iiii yxhfyy +=+ (9.21a)

209

korektor: [ ] 1...,1,0;,...1,0),(),(2

)(11

)1(1 ==++= +++

+ Nikyxfyxfhyy kiiiii

ki (9.21b)

izlazni kriterijum:

210

( ) ( ) ( ) ( ) ( )21122 2!21

!21

++

++=+

++= iiiiiiiii fffffffffP

i za odabrano k = 3, izvodi se sledea formula, 4 - tog reda:

( ) ( )52131 ,1,...,4,3,2234 hOENifffhyy iiiii ==++= +

Ona oigledno zahteva prethodno izraunavanje prve tri vrednosti funkcije, nekom jednokoranom metodom. to se tanosti eksplicitnih viekoranih metoda tie, moe se, integracijom greaka interepolacije, izvesti:

( )( )

=

+

+

neparno za,parno za ,

3

2

rhOrhO

E rr

9.10 VIEKORANE IMPLICITNE METODE

Izvode se analogno eksplicitnim viekoranim metodama, s tim to se za aproksimaciju podintegralne funkcije f(x,y(x)) koristi IP koji prolazi i kroz taku (xi+1, yi+1):

( ) ( ) ( )1111 ,,1

++++ =+= +

iiir

x

xrkii yxfxPdxxPyy

i

ki

Rezultat je implicitna formula (korektor formula). Kao prediktor formula koristi se neka viekorana eksplicitna metoda.

Milne ova metoda

To je metoda 4. reda i jedna je od najpoznatijih viekoranih implicitnih metoda. Njena prediktor formula je izvedena na opisani nain, sa k = 3, r = 2, a korektor formula sa k = 1, r=2 je:

prediktor: 1,...,4,3),22(3

4213

)0(1 =++= + Nifff

hyy iiiii (9.24a)

korektor: ,...2,1,0,)4(3 1

)(11

)1(1 =+++= ++

+ kfffhyy ii

kii

ki (9.24b)

Za dobijanje prve tri take numerikog reenja, koristi se neka jednokorana metoda, najbolje, istog reda tanosti. To je metoda Runge-Kuta 4. reda (Pogl. 9.6). Ako se Milne-ova implicitna viekorana metoda uporedi sa eksplicitnom Runge-Kuta metodom, moe se, imajui u vidu efekat korektora, konstatovati:

211

obe metode imaju lokalne greke istog reda, O(h5) Milneova metoda je stabilnija, tj. otpornija na propagaciju greaka u toku

raunskog procesa, pa u optem sluaju ima manju globalnu greku. Zadatak 9.4 Problem formulisan u Zadatku 9.2 reiti Milne-ovom metodom. Reenje: (Praktikum, XIII-5)

9.11 NUMERIKA INTEGRACIJA SISTEMA ODJ PRVOG REDA

Poetni problem za sistem od n ODJ 1. reda se moe formulisatu kao:

0,0

21

)(

,...,2,1,),,,,(

ii

nii

yxy

niyyyxfdxdy

=

== K


00 )(,),( yyyfy

== xxdxd (9.25)

Numeriko reavanje problema zahteva diskretizaciju domena nezavisno promenljive:

x0 x xN , xk = x0 + kh , k = 0,1,..., N (9.26a) yi,k = yi(xk), i = 1,2,...,n , k = 0,1,..., N (9.26b)

Dakle, za oznaavanje razliitih funkcija koristiemo indeks i, a za oznaavanje diskretnih vrednosti x i odgovarajuih vrednosti funkcija, indeks k. Za numeriku integraciju sistema (9.25) koriste se metode numerike integracije jedne ODJ 1. reda, pri emu se primenjuju simultano na sve jednaine u sistemu. Opisaemo primenu Ojlerove metode i metode Runge-Kuta.

Primena Ojlerove metode

( ) 1,...,1,0,,...,2,1,)(),...,(),(,)()( 211 ==+=+ Nknixyxyxyxhfxyxy knkkkikiki (9.27a)


1,..,1,0),,(1 =+=+ Nkxh kkkk yfyy (9.27b)

212

Primena Metode Runge - Kutta 4. reda

1,,0,...,2,1)22(61)()( 43211 ==++++=+ NkniKKKKxyxy iiiikiki K (9.28)

gde su:

( )

( ) ,...,2,1,)(,,)(,

,2

)(,,2

)(,2

,2

)(,,2

)(,2

,)(),...,(

31314

21213

11112

11

niKxyKxyhxhfK

KxyKxyhxhfK

KxyKxyhxhfK

x yx, yx = hfK

nknkkii

nknkkii

nknkkii

knkkii

=+++=

+++=

+++=

KK

KK

KK

(9.28a)


1,...,1,0),22(61 )(

4)(

3)(

2)(

11 =++++=+ Nkkkkk

kk KKKKyy (9.29)

gde su:

,=

2,

2=

2+,

2+=

),(

)(3

)(4

)(2)(

3

)(1)(

2

)(1

)( kkk

k

kk

k

kk

kkk

hxh

hxh

hxh

xh

KyfK

KyfK

KyfK

yfK

++

++

=

(9.29a)

9.12 NUMERIKA INTEGRACIJA ODJ U MATHCAD-U Integracija ODJ 1. reda

Za priblino reavanje ODJ prvog reda (9.7) ili uopte reavanje jedne ODJ vieg reda (za detalje videti Help System Mathcad-a), namenjen je Odesolve block:

prvi deo bloka poinje reju Given (analogija sa Solve block-om) iza koje se daje formulacija problema (diferencijalna jednaina i poetni uslov), u obliku vrlo slinom izvornom (9.7)

drugi deo bloka je poziv funkcije Odesolve, koja definie funkciju y(x) kao interpolacionu funkciju za izraunatu tabelu - numeriko reenje.

213

Znaenja argumenata (x, xmax, nk) funkcije Odesolve su: x - nezavisno promenljiva xmax - gornja granica intervala integracije nk - broj integracionih koraka, N (neobavezan)

Ako se nk izostavi iz pozivne liste u okviru funkcije se automatski bira integracioni korak da se zadovolji tanost sa kriterijumom definisanim sistemskim parametrom TOL. Funkcija se bazira na Runge-Kuta metodi 4. reda sa konstantnim integracionim korakom du intervala integracije. Postoji mogunost izbora (desnim klikom na Odesolve) iste metode uz promenljivi korak, du intervala integracije sa ciljem dostizanja zadovoljavajue tanosti. Pozivom funkcije y(x), ije ime je definisano u formulaciji problema, moe se dobiti vrednost funkcije, koja predstavlja reenje date ODJ, u bilo kojoj taki iz intervala

]max.[ xa , (a = x0) .

Zadatak 9.5 Problem formulisan u zadatku 9.2. reiti pomou Odesolve block-a. Reenje: (Praktikum, XIII-6)

Poetni problem za sistem ODJ 1. reda Od vie funkcija kojima raspolae Mathcad za numeriko reavanje sistema ODJ

(9.25), odabraemo dve: rkfixed, koja se bazira na Runge-Kuta metodi, sa konstantnim integracionim

korakom u celom intervalu integracije ],[ 0 Nxx (9.26a), Rkadapt, koja za razliku od rkfixed menja korak du intervala integracije da bi se

zadovoljio kriterijum tanosti, definisan sistemskim parametrom TOL. Obe funkcije imaju identinu listu argumenata: y, x0, xmax, nt, D:

y - vektor poetnih vrednosti funkcija [x0, xmax] interval integracije (9.26a) nt - broj izraunatih vrednosti funkcija traenih 1,...,1,0),( = nixyi , koje korisnik

dobija D - prethodno definisana vektorska funkcija f(x,y) (9.25)

Funkcije vraaju matricu dimenzija [(nt+1)x(nt+1)] ija prva kolona sadri levu granicu x0 i nt ekvidistantnih vrednosti nezavisno promenljive, a ostale kolone odgovarajue vrednosti traenih funkcija 1,...,1,0),( = nixyi .

Zadatak 9.6 Diferencijalne jednaine koje opisuju promene koncentracija uesnika u reakcijama prvog reda:

121

0 05.0,1.0,10 == skskCBA

kk

sa vremenom, u arnom, idealno meanom reaktoru, su:

214

0)0()0(,1)0( 31

10

0

===

=

=

=

CBA

BC

BAB

AA

CCmkmolC

Ckdt

dC

CkCkdt

dC

Ckdt

dC

a) Pomou funkcije rkfixed nai numeriko reenje datog sistema u vremenskom intervalu (s) ]60,0[ , sa N = 20 integracionih koraka i krajnje koncentracije komponenata.

b) Proveriti da li je odabrani broj koraka dovoljno veliki da obezbedi tanost krajnjih koncentracija od 4 sigurne cifre.

c) Isti problem reiti pomou funkcije Rkadapt, pri emu se trae koncentracije u 5 ekvidistantnih vremenskih momenata u datom intervalu. Uporediti reenja.

Reenje: (Prakt., XIV-2) Funkcije rkfixed i Rkadapt mogu da se koriste za integraciju jedne ODJ 1. reda, pri

emu se ona posmatra kao specijalan sluaj sistema ODJ.

Zadatak 9.7 Problem definisan u Zadatku 9.2, reiti pomou funkcija rkfixed i Rkadapt Reenje: (Prakt., XIV-3)

9.13 GRANINI PROBLEM ZA ODJ 2. REDA

Za teoriju hemijskih reaktora je od posebnog interesa reavanje ODJ 2. reda (videti Primer 2), iji je opti oblik:

y + g1(x, y)y + g2(x, y) = g3(x), a x b (9.30)

sa razdvojenim graninim uslovima, koji u najoptijem sluaju (Robinov problem) glase:

Ay(a) + B y (a) = c (9.31a)

A1y(b) + B1 y (b) = c1 (9.31b)

Specijalan sluaj ODJ (9.30) je linerna ODJ:

y + g1(x)y + g2(x)y = g3(x) (9.30a)

Specijalni sluajevi problema (graninih uslova) su:

Dirihleov (Dirichlet) problem (A = A1 = 1, B = B1 = 0)

y(a) = c (9.32a)

y(b) = c1 (9.32b)

215

Nojmanov (Neuman) problem (A = A1 = 0, B = B1 = 1)

y(a) = c (9.33a)

y(b) = c1 (9.33b)

Treba rei, da u optem sluaju, tip graninog uslova na levoj granici ne mora da bude isti kao tip uslova na drugoj granici. Recimo na levoj granici moemo imati Dirihleov uslov (9.32a), a na desnoj Nojmanov (9.33b)

9.13 METOD PROBE I GREKE

Dirihleov problem (9.32a,b)

Uzmimo kao primer Dirihleov problem. Uz diskretizaciju domena nezavisno promenljive:

ihxxbxaxn

abh in +===

= 00 ,,,

diferencijalna jednaina (9.30) se reava numerikom integracijom ekvivalentnog sistema ODJ prvog reda (9.34):

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ?

,,

,

002

01

1221132

2121

===

=

===

xyxycxy

yxgyyxgxgdxdy

yyyyydxdy

(9.34)

Meutim, za otpoinjanje numerike integracije sistema nedostaje vrednost prvog izvoda traene funkcije u taki x0 = a. Probajui sa razliitim poetnim vrednostima za )(xy , dobijali bi razliite vrednosti funkcije )( nn xyy = na kraju intervala integracije i traimo onu vrednost )( 0xy za koju se za yn dobija zadata vrednost c1, tj. dok se ne zadovolji uslov (9.32b) na desnoj granici, x = b:

1. k = 0, usvaja se polazna procena )(0 )(kxy

2. Integrie se sistem ODJ 1. reda:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )kxyxy

cxy

yxgyyxgxgdxdy

ydxdy

002

01

1221132

21

,,

=

=

=

=

216

3. Ako je zadovoljen uslov

217

Robinov problem (9.31a,b)

Problem se moe reavati kao problem reavanja jednaine:

F(y(x0)) = A1y(xn) + B1y(xn) - c1 = 0 (9.38)

Iz procene poetne vrednosti funkcije y(x0)(k), dobijene metodom sekante, poetnu vrednost njenog prvog izvoda dobijamo iz graninog uslova (9.31a):

])([1)( )(0)(0 kk xAycBxy =

Alternativno, ako se kao nezavisno promenljiva uzme poetna vrednost prvog izvoda y(x0)(k), iz istog graninog uslova se dobija procena poetne vrednosti funkcije y(x0)(k). Zadatak 9.8 U tankom filmu tenosti, debljine L, koji je sa jedne strane (x = 0) u kontaktu sa turbulentnom masom fluida, a sa druge (x = 1), sa vrstim zidom, odvija se reakcija:

BA k

i bezdimenzioni koncentracijski profil y(x) reaktanta A u filmu, opisan je diferencijalnom jednainom:

0)1(1)0(

05.0222

==

=

yy

ydx

yd

gde je bezdimenzioni parametar 2 (Tilov modul), definisan kao:

DkL22 =

k - konstanta brzine reakcije D - koeficijent difuzije reaktanta kroz film tenosti

Izraunati koncentracijski profil reaktanta u filmu za 8.02 =

Reenje: (Mathcad)

Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jed. 1. reda:

D x z,( )

z1

2 z0( )0.5

:=

Funkcija ciju nulu trazimo : f z0 1( )( ) 1 z0 0( )gde z0 0( ) predstavlja dobijenu vrednost y(0) numerickom integracijom sistema od desne

granice x=1 do leve granice x=0 (negativan korak integracije) uz zadatu pocetnu vrednost prvog izvoda : z1(1)=0 i pretpostavljenu pocetnu vrednost funkcije y(1), odnosno z0(1).

Iteraciona promenljiva : pocetna vrednost koncentracije y(1), tj. funkcije z 0(1)

218

2. iteracija

X Xp FpXp Xpp

Fp Fpp:= z

X

0

:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:=

vrednosti: X 0.6617= X Xp:= 1.742 103

= F 2.035 10 5=

priprema za novu iteraciju: Xpp Xp:= Xp X:= Fpp Fp:= Fp F:=

3. iteracija

X Xp FpXp Xpp

Fp Fpp:= z

X

0

:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:=

vrednosti: X 0.6617= X Xp:= 1.633 105

= F 2.623 10 9=


Polazni broj integracionih koraka za Rkadapt: n 5:=

1. polazna procena i integracija :

Xpp 0.5:= zXpp

0

:= S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):= S

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.5

0.511

0.546

0.604

0.686

0.796

0

0.114

0.23

0.351

0.479

0.616

=

Fpp 1 S1 ( )

n:= Fpp 0.204=

2. polazna procena i integracija

Xp 0.8:= zXp

0

:= Fp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:= Fp 0.171=

Metod sekante

1. iteracija

X Xp FpXp Xpp

Fp Fpp:= z

X

0

:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:=

vrednosti: X 0.6634= X Xp:= 0.137= F 2.151 103

=


219

(Smanji TOL) f X( ) 4.233 10 5=X 0.6616=X root f x( ) x,( ):=x 0.5:=

Poziv funkcije root:

f x( ) zx

0

f 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,

freturn

:=

Definisanje funkcije cija nula se trazi:

Resenje problema koriscenjem funkcije root:

y x( )

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

10.966

0.934

0.904

0.875

0.849

0.824

0.802

0.781

0.761

0.744

0.728

0.714

0.702

0.691

0.682

=

0.5 0 0.5 10.6

0.8

1

1.2

y x( )

x

y z( ) interp k x, y, z,( ):=

k cspline x y,( ):=Definisanje kubnog splajna:

y reverse S 1 ( ):=x reverse S 0 ( ):=Definisanje vektora x i y:

S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):=Racunanje konacnog profila:

n 20:=Povecanje broja tacaka profila radi preciznije interpolacije:

Definisanje funkcije koja daje koncentraciju u bilo kojoj tacki interpolacijom u tabeli x - y numericki dobijenog resenja.

Zadatak 9.9 Bezdimenzioni matematiki model reakcije:

BA k

n - tog reda, u poroznom zrnu katalizatora oblika ploice, debljine L je:

zrna) inaspovrspoljnja(11:1

)zrna simetrijeravan (0:0

10,0222

(==

==

=

ydxdy

Bix

dxdyx

xydx

yd n

gde su 2 i Bi bezdimenzione grupe (Tilov modul i Bajotov broj). Izraunati koncentracijski profil u zrnu za: 5,5.0,2 === Bin

220

Reenje: (Mathcad)

Metod sekante

1. iteracija

X Xp FpXp Xpp

Fp Fpp:= z

X

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1 ( )

n S2 ( )

n,

:=

vrednosti: X 0.0466= X Xp:= 0.053= F 0.098=


2. iteracija

X Xp FpXp Xpp

Fp Fpp:= z

X

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1 ( )

n S2 ( )

n,

:=

Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jed 1. reda:

D x z,( )

z1

2

z0( )0.5

:=

f y 0( )( ) y 1( ) 11Bi x

y 1( )dd

+Funkcija ciju nulu trazimo :

gde je nezavisno promenljiva pretpostavljena pocetna vrednost funkcije y(0), odnosno z0(0). y(1), odnosno z0(1) predstavlja dobijenu vrednost funkcije na desnoj granici numerickom integracijom sistema od leve granice x=0, a dy(1)/dx, odnosno z1(1) dobijenu vrednost prvog izvoda na desnoj granici.

Iteraciona promenljiva :pocetna vrednost koncentracije y(0), tj. funkcije z 0(0)

Polazni broj integracionih koraka za Rkadapt: n 5:=

f u v,( ) u 11Bi

v+:=


Xpp 0.01:= zXpp

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Fpp f S1 ( )

n S2 ( )

n,

:= Fpp 0.313=


Xp 0.1:= zXp

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Fp f S1 ( )

n S2 ( )

n,

:= Fp 0.457=

221

F 2.355 10 3=


itd....

Resenje problema koriscenjem funkcije root:

Definisanje funkcije cija nula se trazi:f x( ) z

x

0

S Rkadapt z 0, 1, n, D,( )

f S 1 ( )

n 11Bi

S 2 ( )

n+

freturn

:=

Poziv funkcije root: TOL 0.0001:=

x 0.1:= X root f x( ) x,( ):= X 0.03535= f X( ) 1.083 10 6=

zX

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= S

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.035

0.051

0.103

0.208

0.385

0.663

0

0.161

0.376

0.685

1.114

1.686

=

vrednosti: X 0.032= X Xp:= 0.015= F 0.032=


3. iteracija

X Xp FpXp Xpp

Fp Fpp:= z

X

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1 ( )

n S2 ( )

n,

:=

vrednosti: X 0.0356= X Xp:= 3.615 103

=

9.13 LINEARNA ODJ METODA SUPERPOZICIJE

Moe se pokazati, da ako je diferencijalna jednaina linearna (9.30), algebarska jednaina koja se reava metodom probe i greke (9.35, 9.37 ili 9.38) je takoe linearna, pa se njeno reenje dobija u prvoj iteraciji metode sekante, iz dve polazne procene, odnosno reenje dif. jednaine se dobija u treoj integraciji ekvivalentnog sistema od 2 ODJ 1. reda.

Metoda superpozicije

Za linearnu diferencijalnu jednainu vai princip superpozicije: linearna kombinacija dva partikularna reenja,

222

( ) ( ) ( )xyxyxy 2211 += (9.39)

takoe parikularno reenje. Tako se reenje Robinovog problema moe dobiti na sledei nain:

1. Sa polaznom procenom y1(a) dobijamo numeriki prvo partikularno reenje y1 u obliku dva niza: y1=( y1,i , y1,i )i = 0,n

2. Sa polaznom procenom y2(a) dobijamo numeriki drugo partikularno reenje y2=(y2,i , y2,i)i = 0,n

3. Iz uslova da traeno reenje y = 1y1 + 2y2 zadovolji granine uslove (9.31a,b), tj. iz sistema od dve linearne jednaine:

( ) ( )( ) ( ) 1,22,111,22,111

0,220,110,220.11

cyyByyAcyyByyA

nnnn =+++

=+++

dobijamo parametre 1 i 2

4. Konano, reenje dobijamo superpozicijom:

niyyy iii ,...,1,0,,22,11 =+=

Zadatak 9.10 Za reakciju prvog reda u tankom filmu tenosti (Zad.9.8), koncentracijski profil reaktanta je opisan linearnom ODJ 2. reda:

0)1(1)0(

0222

==

=

yy

ydx

yd

Izraunati za 8.02 = , koncentracijski profil, a) metodom probe i greke b) metodom superpozicije

Reenje: (Mathcad)

a) D x z,( )z1

2 z0

:= n 5:=


Xpp 0.5:= zXpp

0

:= S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):= S

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.5

0.508

0.532

0.574

0.634

0.714

0

0.08

0.163

0.252

0.348

0.456

=

Fpp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:= Fpp 0.286=


Xp 0.8:= zXp

0

:= Fp 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:= Fp 0.142=

223

Definisanje kubnog splajna: k cspline x y,( ):=


0.5 0 0.5 10.6

0.8

1

1.2

y x( )

x

y x( )

00123

45

67

8910

1112

1314

15

10.9690.94

0.913

0.8880.864

0.8420.822

0.8040.7870.772

0.7580.746

0.7350.726

0.718

=

b) n 5:=


X1 0.5:= zX1

0

:= S1 reverse Rkadapt z 1, 0, n, D,( )( ):= S1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.714

0.634

0.574

0.532

0.508

0.5

0.456

0.348

0.252

0.163

0.08

0

=


X2 0.8:= zX2

0

:= S2 reverse Rkadapt z 1, 0, n, D,( )( ):= S2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.142

1.014

0.918

0.852

0.813

0.8

0.729

0.557

0.403

0.261

0.129

0

=

Metod sekante

1. iteracija

X Xp FpXp Xpp

Fp Fpp:= z

X

0

:= F 1 Rkadapt z 1, 0, n, D,( )n 1,:=

vrednosti: X 0.7006= X Xp:= 0.099= F 0=

Resenje dobijeno u 1. iteraciji !

Racunanje profila:

n 20:= S Rkadapt z 1, 0, n, D,( ):=

Definisanje vektora x i y: x reverse S 0 ( ):= y reverse S 1 ( ):=

224

Jednacine iz kojih se odredjuju parametri 1 i 2 su:

y 0( ) 1 y1 0( ) 2 y2 0( )+ 1 (1) y1 0( ) S10 1, S10 1, 0.714=

xy 1( )d

d1 x

y1 1( )dd

2 xy2 1( )

dd

+ 0 y2 0( ) S20 1, S20 1, 1.142=(2)

Druga se svodi na identitet pa ostaje samo prva jednacina, sto znaci da mozemo dabiramo proizvoljno jedan od parametara , a drugi odredimo iz prve jednacine:

1 0:= 21 1 S10 1,

S20 1,:= 2 0.876=

Racunanje profila :

y 1 S11 2 S2

1 +:= y

1

0.888

0.804

0.746

0.712

0.701

=

Zadatak 9.11 Za reakciju 1. reda u poroznoj ploici katalizatora (Zad.9.9), matematiki model glasi:

11:1

0:0

10,0222

==

==

=

ydxdy

Bix

dxdyx

xydx

yd

Izraunati koncentracijski profil u zrnu za: 5,2 == Bi a) metodom probe i greke b) metodom superpozicije

Reenje: (Mathcad)

Definicija desne strane ekvivalentnog sistema od dve dif. jednacine 1. reda:

D x z,( )

z1

2

z0

:= n 5:= f u v,( ) u 11Bi

v+:=


Xpp 0.01:= zXpp

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Fpp f S1 ( )

n S2 ( )

n,

:= Fpp 0.948=

225

Resenje dobijeno u 1. iteraciji !

Racunanje profila:

n 10:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Definisanje vektora x i y: x S 0

:= y S 1

:=

Definisanje kubnog splajna: k cspline x y,( ):=


0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

y x( )

x

y x( )

001

23

456

78

910

0.1920.196

0.2070.227

0.2570.2960.347

0.4130.494

0.5960.722

=

b)


X1 0.01:= zX1

0

:= S1 Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=


Xp 0.1:= zXp

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=

Fp f S1 ( )

n S2 ( )

n,

:= Fp 0.479=

Metod sekante

1. iteracija

X Xp FpXp Xpp

Fp Fpp:= z

X

0

:= S Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):= F f S 1 ( )

n S2 ( )

n,

:=

vrednosti: X 0.1918= X Xp:= 0.092= F 0=

226

y

0

01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.1920.196

0.207

0.227

0.257

0.296

0.347

0.413

0.494

0.596

0.722

=y 1 S11 2 S2

1 +:=Racunanje profila :

2 1.918=2

1 1 S1n 1,1Bi

S1n 2,+

S2n 1,1Bi

S2n 2,+:=1 0:=

Prva jednacina se svodi na identitet pa ostaje samo druga jedn., sto znaci da mozemo da biramo proizvoljno jedan od parametara , a drugi odredimo iz druge jednacine:

S2n 2, 0.725=xy2 1( )

dd

S2n 2,S1n 2, 0.073=xy1 1( )

dd

S1n 2,

S2n 1, 0.376=y2 1( ) S2n 1,S1n 1, 0.038=y1 1( ) S1n 1,

(2) 1 y1 1( )1Bi x

y1 1( )dd

+

2 y2 1( )1Bi x

y2 1( )dd

+

+ 1

(1) xy 0( )d

d1 x

y1 0( )dd

2 xy2 0( )

dd

+ 0

Jednacine iz kojih se odredjuju parametri 1 i 2 su:

S2 Rkadapt z 0, 1, n, D,( ):=zX1

0

:=X1 0.1:=

2. polazna procena i integracija :0

9.13 LINEARNA ODJ METODA KONANIH RAZLIKA

Alternativan nain priblinog reavanja graninog problema za linearnu ODJ (9.30a) je metoda konanih razlika, koja se zasniva na aproksimaciji izvoda konanim razlikama. Izvodi koji figuriu u dif. jednaini (9.30a) aproksimiraju se u unutranjim takama xi, i=1,2,... n-1 diskretizovanog domena nezavisno promenljive, konanim razlikama:

( ) ( )

( ) ( )22 11122

2111

,2

,22

hOEh

yyyh

hyhyh

yxy

hOEh

yyh

yyxy

iiiiiii

iiiii

=+

=

=

=

=+

+

+

(9.40)

227

(greka aproksimacija je reda h2) ime se diferencijalna jednaina zamenjuje sledeim sistemom od (n -1) linearne algebarske jednaine sa, u usluaju Robinovog problema, ukupno (n +1) nepoznatih: yi, i = 0,1,..., n,

1,...,2,1,)()()(2 321112 11 ==+

++ ++ nixgyxg

hyyxg

hyyy

iiiii

iiii (9.41)

Nedostajue 2 jednaine su granini uslovi (9.31a,b) u kojima su prvi izvodi aproksimirani konanim razlikama unapred ili u nazad (greke aproksimacija su reda h): c

hyyBAy =+ 010 (9.42a)

1111 chyyByA nnn =

+ (9.42b)

Rezultujui SLJ ima trodijagonalnu strukturu i reava se Thomasovim algoritmom.U specijalnom sluaju Dirihleovih graninih uslova, vrednosti funkcije u krajnjim takama, y0 i yn su zadate, pa se reavaju samo jednaine (9.40) po y1,...,yn-1. Zadatak 9.12 Bezdimenzioni koncentracijski profil reaktanta c(z) u cevnom reaktoru, u koome se odvija reakcija prvog reda:

BAk

opisan je diferencijalnom jednainom:

reaktora) iz (izlaz0:1

reaktor)u (ulaz11:0

10,01 22

==

==

=

dzdcz

dzdc

Pecz

zcDdzdc

dzcd

Pe a

Potrebno je, za vrednosti bezdimenzionih parametara: Pe = 1, Da = 2 a) Izraunati i nacrtati koncentracijski profil c(z) b) Izraunati postignu stepen konverzije reaktanta u reaktoru:

)0()1()0(

cccx =

c) Uporediti dobijeni rezultat za x sa onim izraunatim iz analitikog reenja problema:

aeeeaeee

rrrre

xrrxrre

DPPPrDPPPr

eerrererPererPrrzc

421

21,4

21

21

)()()(),,(

22

21

2112

1221 2112

2112

+=++=

+

=++

228

d) Poveavati broj integracionih koraka (za po 100), dok se numerikim postupkom ne dobije stepen konverzije sa tanou od 3 sigurne cifre.

Reenje: (Prakt., XVI-4)

Documents

9.Obicne diferencijalne jednacine