Београд2014.

ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ[ ЗА ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКА 4 ]

● ТЕОРИЈА СА ПРЕДАВАЊА И ЗАДАЦИ СА ВЕЖБИ ●

Стефан Ћировић

22.06.2010.

1. Матричном методом решити систем диференцијалних једначина:

dXA X

dt= ⋅ , где је

3 2 2

3 1 1

1 2 0

A

− = − − −

.

2. Решити систем диференцијалних једначина:

2 2( )

dx dy dz

x y z z xy zx z= =

− + +.

3. Квазилинеарна нехомогена парцијална диференцијална једначина.

17.06.2006.

1. Наћи опште решење система диференцијалних једначина,

2 7 3

2 1

tdxx y te

dtdy

x ydt

−= + − −

= − + −

а затим издвојити оно решење које остаје ограничено када t → +∞ . 2. Одредити опште решење парцијалне диференцијалне једначине

( ) ( )2 2 2z zx x y x y z z

x y

∂ ∂+ + = + −∂ ∂

,

а затим издвојити партикуларно решење које садржи криву: 1x = , 1y t= + ,2

1z

t= ( ), 0t t∈ ≠R .

3. Линеарна хомогена парцијална једначина првог реда.

05.02.2007.

1. Матричном методом решити систем диференцијалних једначина: dx

x y zdtdy

x y zdtdz

x y zdt

= − + +

= − +

= + +

2. Наћи опште решење парцијалне диференцијалне једначине

( ) ( ) ( )( )2 2z z

y x y x x y x y x y zx y

∂ ∂+ − + = − + +∂ ∂

,

а затим издвојити оно партикуларно решење које садржи криву: 2 2 2 2x y z a+ + = , x y b+ = .

3. Квазилинеарна нехомогена парцијална диференцијална једначина.

.

08.09.2006.

1. Решити систем диференцијалних једначина

2

5

3

t

t

dxx y e

dtdy

y x edt

+ + =

+ − =

2. Решити парцијалну диференцијалну једначину ( ) ( )2 2 2 2z zx y xy x y x y y x

x y

∂ ∂+ − + − − = −∂ ∂

.

3. Написати дефиниције свих решења парцијалних диференцијалних једначина.

06.09.2005.

1. Решити систем диференцијалних једначина

2

2

2

2

3 2

2

d xx y

dt

d yx y

dt

= −

= −

2. Решити парцијалну диференцијалну једначину

2 2 22 2z z

xz yz z x yx y

∂ ∂+ = − −∂ ∂

,

а затим издвојити оно решење које садржи криву: 2y x= , 2 2 2 2x y z a+ + = . 3. Матрична метода за решавање система диференцијалних једначина.

18.06.2005. 1. Матричном методом решити систем диференцијалних једначина:

11 2 3

21 2 3

31 3

2dx

x x xdtdx

x x xdtdx

x xdt

= − −

= − + +

= −

2. Одредити решење парцијалне диференцијалне једначине

2 2 22 2z z

xz yz z x yx y

∂ ∂+ = − −∂ ∂

,

које садржи криву: x a= , 2 2 2z y a− = .

3. Квазилинеарна нехомогена парцијална диференцијална једначина.

.

.

.

05.10.2006.

1. Решити систем диференцијалних једначина:

2

3 2

t

t

dxx y te

dtdy

x y edt

= + +

= + +

2. Решити систем диференцијалних једначина:

2

2

dyy z

dxdz z

yzdx x

=

= −

3. Линеарна парцијална диференцијална једначина првог реда.

05.05.2006.

1. Решити систем диференцијалних једначина:

4 3 sin( )

2 2cos( )

dxx y t

dtdy

x y tdt

= − +

= − −

2. Решити парцијалну диференцијалну једначину

2 2 22 2z z

xz yz z x yx y

∂ ∂+ = − −∂ ∂

,

а затим одредити оно решење које садржи криву: 2y x= , 2 2 2 2x y z a+ + = .

3. Системи линеарних диференцијалних једначина са константним коефицијентима.

24.02.2006. 1. Решити систем диференцијалних једначина:

24 2

13

6 31

t

t

dxx y

dt edy

x ydt e

= − − +−

= + −−

2. Матричном методом решити систем диференцијалних једначина:

11 2 3

21 2 3

31 2 3

2 2

4 2

5 3

dxx x x

dtdx

x x xdtdx

x x xdt

= − +

= + −

= + −

3. Квазилинеарна нехомогена парцијална диференцијална једначина.

.

.

.

.

.

10.07.2006. 1. Решити систем диференцијалних једначина

2

2

2

2

2 2

2

td xx y e

dt

d yx y

dt

= + +

= +

2. Наћи опште решење парцијалне диференцијалне једначине

( ) ( ) ( )2 2 2 2z zx y xy x y x y z y x

x y

∂ ∂+ − + − − = −∂ ∂

,

а затим издвојити оно решење које садржи криву: 2 2 2x y+ = , 1z = .

3. Систем диференцијалних једначина. Појам првих интеграла.

03.07.2007.

1. Решити систем диференцијалних једначина

22

2

22

2

3 4

3

t

t

d xx y e

dt

d yx y e

dt

= + −

= − − +

2. Одредити опште решење парцијалне диференцијалне једначине

( )2 2 2 2 2z z

x y z xy xzx y

∂ ∂− − + =∂ ∂

,

а затим одредити партикуларно решење које садржи криву: 2 2 2 1x y z+ + = ,1

2z = .

3. Хомогена парцијална диференцијална једначина првог реда.

06.07.2005.

1. Матричном методом решити систем:

11 2 3

21 3

31 2 3

2

3 2

dxx x x

dtdx

x xdtdx

x x xdt

= − −

= −

= − −

2. Решити систем:

2

2

dyy z

dxdz z

yzdx x

=

= −

3. Линеарна парцијална диференцијална једначина првог реда. Први интеграли система

диференцијалних једначина.

.

.

.

.