diferencijalne spuki

Poglavlje 3a

ZADACI IZ DIFERENCIJALNIH

JEDNACINA

Pod diferencijalnom jednaeinom n-tog reda (n EN), podrazumevamo bilo koju jednaeinu oblika

(1) F(x, y, yl, ... , y(n») = 0,

pri cemu je nepoznata funkcija y = y(x) n-puta diferencijabilna na nekom intervalu (a, b). Reiiiti ovakvu diferencijalnu jednaeinu znaei naei bilo kakvu funkciju y = y(x) koja je identicki zadovoIjava.

Broj n se tada naziva redom date diferencijalne jednaeine. Tako postoje diferencijalne jednaeine prvog, drugog, treeeg reda itd.

U nastavku resavaeemo neke jednostavnije tipove diferencijalnih jednaeina i to pre svega diferencijalne jednaeine prvog reda koje osim promenljive x i nepoznate funkcije y = y(x) sadrze jos sarno prvi izvod y'(X) nepoznate funkcije y(x). Dakle to su jednaeine oblika

F(x, y, y') = o.

1. Diferencijalna jednacina koja razdvaja promenljive

Pod diferencijalnom jednaeinom koja razdvaja promenljive podrazumevamo bilo koju jednaeinu oblika

(1) y' = f(x-)g(V),

pri cemu je f(x) data neprekidna funkcija na nekorn intervalu (a,b) i g(y) je data neprekidna funkcija na nekom intervalu (c, d). Ovakva diferencijalna jednaeina pod pretpostavkom da je g(y) i' 0 na intervalu (c, d) moze se napisati u obliku

dyd; = f(x)g(y),

-152

odnosno

Odavde primenom

tj.

(2)

pri cemu je C proizvoljna Dobijena jednaeina Ako se pritom jedDI

naei inverzna funkcija G-

Cime resenje date diferenc:i

Zadatak 1. 1l

i naci njeno partikular

Resenje. Ova di

pn cemu je f(x) =

jednacinu kaja razdvaj Aka datu jednaei

integracijam leve i desr

tj.

153

l

3. DIFERENCI.JALNE JEDNACINE

odnosno dy

- = f(x)dx.g(y)

Odavde prirnenom integracije dobijamo da je

! ~ = !f(x)dx,g(y)

tj.

(2) C(y) = F(x) + C.

pri cemu je C proizvoljna realna kOllstanta. Dobijena jednaeina (2) definise opste reiienje jednaeine (1) u implicitnom obliku. Ako se pritom jednaeina (2) moze eksplicitno reiiiti po y, tj. ako se iz nje eksplicitno moze

naii inverzna funkcija C- l , dobijarno da je

y = C-I(F(x) + C),

Cime resenje date diferencijalne jednaeine dobijamo u eksplicitnom obliku.

inu Zadatak 1. Resiti diferencijalnu jednacinu

, y y = --,

X

siti i naci njeno partikularno rdenje koje zadovoljava uslov y(l) = 2. YO-

Resenje. Ova diferencijalna jednaCina moze se napisati u obliku me

ega y' = -~y = f(x)g(y), X

IrZe

pn cemu je f(x) = -l/x; g(y) = y, pa oCigledno predstavlja diferencijalnu jednaCinu koja razdvaja promenljive.

Ako datu jednaeinu napisemo u obliku:

dy 1 . dy dx -d = --y, tJ.

X X Y X

integracijom leve i desne strane dobijamo da je oju

Jdy = -J dX, Y .7:

tj.dna

je lnlyl = -In Ixl + c, Iyl = e- 1n jxl+C = eln Th+c =

= cCClll I;', =

_C(~\_C~ ,C\ ;> 0). - 1 ~ [xi) - IX!

154 PREDAVANJA I VEZBE IZ MATEMATIKE 2

odnosno C

y= (CyfO,xyfO). X

Kakoje Y = 0 takodje resenje ove jednatine, dobijamo sa je opste resenje posmatrane jednaCine y = C/x za proizvoljnu konstantu C E R i za svako x ;;eO.

Iz ovog opsteg resenja date diferellcijalne jedllatine i iz uslova da je y(l) =,2, dobijamo da jc C = 2, pa traicno partikularuo resenjc date difcrencijaillc jcdnatillc glasi:

2 Yo(x) = -.

x

Zadatak 2. Resiti diferencijalnu jednacinu

Resenje. Data diferencijalna jednatina se moze napisati u obliku

(1)

odnosno dy dx (y+ 1)2'

pa oCigledno predstavlja diferencijalnu jednaCinu koja razdvaja promenljive, pri cemu je

1 g(y) = (y + 1)2

Iz jednatine (1) integracijom nalazimo da je

j(Y+ 1)2dy = - j x 3 dx,

(y+ 1)3 x 4

3 = -4+ C,

3 3 4 3x4

(y + 1) = -4x + 3C = -4 + C I ,

y + 1 = (-3x4 /4 + C)I/3,

Y = -1 + (C - 3x4 /4)1/3 (C E R).

Zadatak 3. Resiti diferencijalnu jednacinu ~

ydx + (x2 - 4x) dy = o.

patakodje Aka I

neposredIw

tj.

Kako

dobijamo d

Odav(

Pod bo jfJdnKinu obIi

(1)

-----

155 3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

ReSenje. Data diferencijalna jednaeina moze se napisati u obliku

(x2 - 4x) dy = -yd3J,

dy _ Y /je dx - - x2 - 4x' /I. 2. pa takodje predstavIja diferencijalnu jednaeinu koja razdvaja promenIjive.

it' Ako ovu jednaeinu napisemo u obliku

dy dx Y x2 - 4x'

neposredno nalazimo da je

dy J dx J dx J 11 = - x2 - 4x = - x(x - 4)'

tj.

J dx In Iyl = - (xx-4)"

Kako je daIje

1 x - (x - 4) 1 1 1 x(x - 4) 4x(x - 4) 4x-44x'

dobijamo da je

IJ dx IJdXIn Iyl = - - -- + - - = )ri 4 x-4 4 x

1 1 = --Inlx - 41 + -Inlxl =

4 4 1 x

= -Inl-I +c=4 x-4 Ixl ) 1/4

= In ( Ix _ 41 + c.

Odavde najzad dobijamo da je

1Iyl = C1 Vlxl: 41' (C1 > 0),

y=C2V1x:41 (x#4, C2 E R).

2. Homogena diferencijalna jednaCina

Pod homogenom diferencijalnom jednaeinom podrazumevamo bilo koju diferencijalnu jednatinu oblika

(1) y' = !(x,y),

156

K

P,

odakle j

dobij3111

ij.

PREDAVANJA 1 VEZBE 12 MATEMATIKE 2

pri cemu je f(x, y) homogena funkcija stepena k (k E No), tj. ima osobinu vaja pl'l

f(tx, ty) = t k f(x, y).

Svaka takva jednaeina se uvodjenjem smene y = xz, pri cemu je z = z(x) = y/x nova

nepoznata funkcija, svodi na diferencijalnu jednaeinu koja razdvaja promenljive (sa nepoznatom

funkcijom z(x».

Zadatak 4. Rditi dijerencijalnu jednacinu

(2x + 3y) dx + (y - :.1:) dy = O.

Resenje. Data difcrenc~jalnajednaNna se maze napisati u oblikll pri Cem

dy 2x + 3y dx y-x

odnosno

y' = j(x, y),

pri cemu je

j(x, y) = 2x + 3y. x-y

Kako je pritom funkcija j(x, y) homogena funkcija stepena 0 jer je

_ 2tx + 3ty _ 2x + 3y _ 0j( )j(tx, ty) - . -_. - t x, Y , tx - ty x - Y

data diferencijalna jednaeina predstavlja homogenll diferencijalnu jednaCinu. Ako sOOa uvedemo smenu y = xz, dobijamo da je

y' = (xz)' = z + xz',

odaklc zamenom u datoj jednaCini oua postaje

, 2x + 3xz 2 + 3z z+xz= =---,

x - xz 1 - z

, 2 + 3z - z + z2 + 2 + 3z xz = -z + --- = ------

1-z 1-z , Z2 + 2z + 2

xz - ----- l--;z '

odnosno , 1 z2 + 2z + 2

z =-----x 1- z


Poslednja jednaeina oCigledno predstavlja diferencijalnu jednaeinu koja razdvaja promenljive. Ona se moze napisati u obliku

1- z dz _ dx z2 + 2z + 2 - x'

odakle je integracijom 1-z d JdXJ z2 + 2z + 2 z = ~.

Kako je daljc

1-z (z + 1) 2-t2

Z2 + 2z + 2 (z + 1)2 + 1 t 2 + l'

pri cemu je t = z + 1, i pritom je

2-t 2 t

t 2 + 1 t2 + 1 - t 2 + l'

dobijamo da je integral sa leve strane poslednje jednaeine jednak

1 J = 2arctgt - 2ln (t 2 + 1) =

1 = 2arctg (z + 1) - 2"ln ((z + 1)2 + 1).

Odavde dobijarno da jednaCina po z postaje

2arctg (z + 1) - ~ln ((z + 1)2 + 1) = lnx + C (C E R),

tj.

2arctg (~+ 1) - ~ln ((~ + 1)2 + 1) = lnx + C (C E R). x 2 x


(x - y)ydx - x 2dy = O.

Resenje. Data diferencijalna jednaCina se moze napisati u ohliku

x 2 dy = (x - y)ydx,

tj. dy (x-y)y

= dx x2


Kako funkcija Za =(X-y)y

f( x,y) 2 X

ima osobinu da je R.e

- (tx - ty)ty _f( )tx, ty - (tX)2

t2(x - y)y (X - y)y tj. t2x2 x2

= f(x,y) (t =I- 0),

Kal zakljucujemo da je f(x,y) homogena funkcija stepena 0, pa data diferencijalna jednacina predstavlja homogenu diferencijalnu jednaCinu.

Ako sada uvedcmo smcnu y = XZ, dobijamo da je y' = Z+ xz', pa zamcnom u oatoj jeonaCini ova jeonaCina postaje hOfiogeDJ

stavlja hL , (x - xz)xz daje y' = z + xz = = (1 - z)z =

x 2

= Z - z2,

tj.

odnosno dz 1 2 -=--z dx x

Poslednja jednaeina predstavlja diferencijalnu jednacinu koja razdvaja promenljive. Iz ove jednaCine dobijamo redom da je

dz dx pa integrl Z2 X

Jdz = -J dX,z2 X

1 -- = -lnlxl + C,

z 1 - = lnlxl + C1 , (C1 E R),z

1 Z=

In Ixl + CJ .

Stat Odavde konaeno dobijamo da je

x (C E R).y = xz = In Ixl + C pri refiu,

159 3. DlFERENCIJALNE JEDNACINE


x dy - y dx = Vx 2 + y2 dx.

Resenje. Ova diferencijalna jednaeina moze se napisati u obliku

x :~ = y + Vx 2 + y2,

tj.

y' = y + J x2 + y2

X

Kako se daIje neposredno moze videti da je fnnkcija

=y+vx2+y2f( x,y) ,

x

homogena funkcija o-tog stepena, data diferencijalna jednaeina takodje predstavIja homogenu diferencijalnu jednaeinu. Ako uvedemo smenu y = xz, dobijamo da je y' = z + xz', pa zamenom n datoj jednaeini dobijamo jednacinn

, xz + v'x2 + x 2Z2 Z + xz = ------

x

=xz+x~ =z+~. x

Odavde je

xz'=~,

dz ~ x- = 1 + z2 dx '

dz dx

v'1 + Z2 x

pa integracijom dobijamo

In (z + ~) = In Ixl + c, z +)1 + Z2 = elnlxl+C = C1 1xl, (C1 > 0),

VI + z2 = C1 1xl - z.

Odavde kvadriranjem nalazimo da je

1+ Z2 = (C1x - Z)2 = C~X2 - 2C1xz + Z2,

C2 X 2 -1 ' 2C1xz = C~X2 - 1, z = 1 .

2C1x

Stoga neposredno sledi da je opste resenje date diferencijalne jednaeine:

C2x 2 -1 y = xz(x) = 1 '

2C1

pri cemu je C1 proizvoIjna realna konstanta.

1


3. Linearna diferencijalna jednaCina prvog reda

Pod linearnom diferencijalnom jednacinom prvog reda podrazumevamo bilo koju diferencijalnu jednaCinu oblika

(1) y' + p(x)y = q(x),

pri cemu su funkcije p(x), q(x) definisane i neprekidne na nekom intervalu (a,b). Ako uvcdcmo funkcije

u(x) =e-fp(xldx,

vex) =!cfp(;CldXq(x)dx =! q(x) dx,u(x)

tada je opste resenje ove diferencijalne jednaCine dato sa

y(x) = u(x)[C + vex)],

pri (,emu je C proizvoljna realna konstanta.

Zadatak 7. Re§iti diferencijalnu jednacinu

y' - (tgx) Y = cosx.

Resenje. Data diferencijalna jednaCina je ocigledno linearna diferencijalna jednaCina prvog reda pri cemu je

u(x) = e- fp(x)dx = eftgxdx = Sinxdx _fd(.C08:r)

=== ef cos x == e cos x == 1 ,

cosx

v(x) = f ~~~~ dx = f (cos x) cosx dx =

1+COS2X2= cos x dx = 2 dx =f f = f d;' +f COS~XdX =

x sin2x = '2+ -4-'

Odavde dobijamo da jc opste rcsenje date diferencijalne jednaCine:

_ 1 f(C x sin 2X)yx( ) --- +-+--,

cos x 2 4

pri cemu je C proizvoljna realna konstanta.

Be

Za

KaI

Cemu SU


Zadatak 8. Resiti diferencijalnu jednacinu , y 1

Y - 1- x 2 = + x.

Resenje. Ova diferencijalna jednaeina je takodje linearna i prvog reda, pri cemu su njeni koeficijenti

1 1 p(x) = --1-- = -2--1' q(x) = x + l.2-x x-

Stoga je u(x) = c- fp(x)dx = cf 1~:2.

Kako je daIje

1 l+x+(I-x) 1 1

1- x 2 2(1 - x 2 ) = 2(1 - x) + -=-2("-'-I-+-x--'-) '

dobijamo da je dX IjdX IjdX

j 1 - x2 = 2 1 - x + 2 1 + x = 1

= In .JT=X + In vT+X = I-x

=InJl+X. I-x

Odavdc jc

InJ'+x /fg+x1l(x) = C I-x = --. I-x

DaIje je:

q(X)dX j~-Xv(x) = -(-)- = --(1 + x) dx = j u x 1 +x

= j VI=XvT+Xdx= j ~dx. Kako je sada podintegralna funkcija definisalla samo za vrednosti Ixl < 1

mozemo da llvedcmo smenu x = sin t, hme dobijamo sIcdece:

j ~dx = j Vl- sin2 t costdt =

2= j (cos t)(cos t) dt = j cos t dt =

= j 1 + ~os 2t dt = j ~t + j cos ~t dt =

t sin 2t = 2+-4- =

arcsin x sin t cos t ---+---

2 2 arcsin x x~

= 2 + 2 .


Odavde sledi da je resenje date diferencijalne jednacine

y(x) = u(x)(C + v(x)) =

= J1 + x (C xv'f=X2 arcsin .T)I-x + 2 + 2 '


Zadatak 9. Nab opste resenje diferencijo,lne jednacine

X y' + y - eX = 0,

kao i parlikulamo rdenje koje zadovoljava uslov y(l) = 1.

Resenje. Kako se data diferencijalna jednaCina moze napisati u obliku

x , I e y + -y=-,

x x

ona je ocigledno linearna diferencijalna jednacina prvog reda, pri cemu je

1 eX p(x) = -, q(x) = -.

x x

Odavde je:

u(x) =e-!p(x)dx =e-!~dx =

= e -In X = e1n ~ = ~ , X

I q(x) I eX I xv(x)=. u(x)dx=. x-;;dx=. eXdx=e ,

pa je opste reSenje date diferencijalne jednaCine:

y(x) =u(x)[C+v(x)] = ~[C+eX]. x

Najzad iz uslova da je y(l) = 1 dobijamo da je

C + e = 1, C = 1 - e,

pa je traZeno partikularno resenje

I

~


4. Bernulijeva diferencijalna jednaCina

Pod Bernulijevom difercncijalnotl\ jedml.i;iuotl\ podrazunwvamo bilo koju diferencijalnu jcdnaCinu oblika

y' + p(x) y = q(x) y"',

pri cemu su p(x), q(x) date neprekidne funkcije na nekom intervalu (a,b) i Q # 0; 1 (broj Q nije jednak ni 0 niti 1). Ova diferencijalna jednacina se svodi na linearnu diferencijalnu jednacinu prvog reda smenom

1 y(x) = Z T"="<;,

pri cemu je z = z(x) nova ncpoznata funkcija.

Zadatak 10. Relliti dijerencijalnu jednai'imL

, 4Y = -y+x.jY.

X

Resenje. Data diferencijalna jednaeina je oCigledllo Bernulijeva sa koeficijcntima

4p(x) = --, q(x) = :1:,

x

Ako uvedemo smenu

1 1 1 2Y = z T"="<; = Z 1-1!2 = z 172 = z ,

sledi da je y' = 2z z'.

Stoga zamenom data jednaeina postaje

I 4 22zz = -z +xz. x

.leono rcsenje ove oiferencijalne jeonai"inp jP oi"igleono Zl (x) == 0, ooaklc jc

Yl(X) = zi(x) == O. Drugo resenje nalazimo iz uslova da je

, 4 I 2 x2z = -z+x, z - - z = -.

x x 2

Poslednja jednaCina je linearna diferencijalna jednaCina. Ako uvedemo funkcije:

'f 2 dx 2 f dx 21 2u(x)=e- -x-=e x=c nx=x,

x Jdx 1v(x)= 2-d.r= -=-Inx,J1 x 2 2.1: 2

dobijamo da je

2 In X) 4 IIlX)2z(x) = x (C + 2 ' Y = Z2 = x ( C + 2 '

164


Zadatak 11. Resiti dijerencijalnu jednacinu

,y 2 Y + - = -xy

x

Resenje. I ova jednaeina .ie oCigledno Bmnulijeva pri (-pmu .ip a = 2. Ako uvedemo smenu:

11 1 1 -_0.0-:- 1y :::=: z~ == z12 == z-=l' :

z sledi da je

, z' y = _0 z2'

Stoga zamenom data diferencijalna jednacina postaje

z' 1 x --+-=-z2 xz z2'

odnosno , z

z - - = x. x

Dobijena diferencijalna jednacina je linearna, pa uvodimo funkcije:

J - d", J dx 1 xU ( ) X = e- -x- = e x = en. = x,

v(x) = ~ xdx = dx = x..I JStoga je

z(x) = x (C + x) = x2 + ex,

pri cemu je C proizvoljna realna konstanta. Odavde dobijamo da je opste resenje date diferencijalne jednacine:

1 1 y (x) = - = ----=----=.,- (C E R).

z(x) x 2+ Cx

Zadatak 12. Resiti dijerencijalnu jednacintL

y' + 2 x y + X y4 = o.

Resenje. Data diferencijalna je~naCina je takodje Bernulijeva sa parametrom Cl' = 4. Ako uvedemo smenu

1 1 1 1Y = z-r:=<> = zT=4 = Z-3 = Z-3,

Daljl

dobijamo

Stoga zam

------------3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE 165

dobijamo da je 1y' = -- z-4/3 z'. 3

Stoga zamenom data diferencijalna jednaeina postaje

ko DaIje mnoienjem sa z4/3 dobijamo jednacinu

-31

z' + 2x z + x = 0,

odnosno jednaCinu z' - 6x z = 3x,

dakle linearnu diferencijalnu jednaCinu prvog reda. Odavde je

u(x) = c-f(-6x)dx = c6 fxdx = c 3x2 ,

3x2 3x2v(x) = f e- . (3x) dx = -~ f e- d( -3x2

) =

= -~ feu du = _~eU (u = -3x2 ),

1 2= __e-3x

2 '

= Ce3x2z(x) = e 3x2 (C _~e-3x2) _ ~.

Stoga je opste resenje date difercncijalne jednai':ille

oje

5. Diferencijalna jednacina sa totalnim diferencijalom

Pod diferencijalnom jednahmo sa totalnim diferencijalom podrazumevamo bilo koju dife"encijalnu jednacinu oblika

(1) P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,

pri cemu su funkcije P(x,y), Q(x,y) diferencijabilne na nekom pravougaoniku a < x < b, c y < d i vaZi uslov

(2) P~(x, y) == Q~(x, V). K't-

Pod navedenim uslovima pokazuje se da postoji diferencijabilna funkcija u(x,y) (a < x <: b, c < Y < d) (tzv. potencijal posmatrane jednaCine) takva da vaZi

u~ == P(x, V), u~ == Q(x, V),

:


tj. identicki je ispunjeno

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = u~ dx + u~ dy = du(x, y).

Stoga data diferencijalna jednacina postaje

du(x, y) = 0, tj. u(x, y) = C.

Poslednja rclacija eksplicitno opisuje sva resenja y = y(x) ove diferencijalne jednaeine.


Resenje. Ova diferencijalna jednaCina je oblika (1) pri cemu je

Kako je

p~ = ~ (3x2 + 6xy2) = 12xy,

Q~ = d~ (6x2 y + 4y3) = 12xy,

imamo da je p~ == Q~, pa ova jednaCina predstavlja difcrcncijalnll jednaCinll sa totalnim diferencijalom (TD). Stoga postoji njen potencijal u(x, y) takav da je

u~(x, y) = P(x, y) = 3x2 + 6xy2,

u~(x, Y) = Q(x, y) = 6x2y + 4y3.

Iz prve jednaCine

u~ = 3x2 + 6xy2,

intcgracijom po x dobijamo da je

pri ccmu jc f(y) izvcsna funkcija po y. Odavdc sledi da je

u~ = 6x2y + f'(y) = 6x2y + 4y3,

J'(y) = 4y3, f(y) = y4 + C,

odakle je zamenom: u(x, y) = x 3 + 3x2 y2 + y4 + C.

Odavde neposredno dobijamo da r~senje date diferencijalna jednaeina moze da se napise u obliku

odnosno

pri cemu je ~

Osimt po y = y(x).

Zada

Re§eq

Stoga data ( jalom.

Njen 1>4

Iz prvq

paje

Stogaj4

Odavde

pri cemu jf' C ~apom(

feSiti po y =

167

odnosno

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

pri remu je C2 proizvoljna reallla konstanta. Osim toga, nije tesko videti da poslednjajednaCina moze da se resi eksplicitno

po y = y(x).


(x + y) dx + (x + 2y) dy = O.

Resenje. Ovde ccmo imati da jc

P(x,y) =x+y, Q(x,y) =x+2y,

P~ = .!£(x + y) == 1,dy

Q~ = d~ (x + 2y) == 1,

P'-Q'y = x'

Stoga data diferencijalna jednacina predstavlja jednaeinu sa totalnim diferenci

1 sa jalom.

e Njen potencijal u(x, y) nalazimo iz uslova da je

u~ = P(x,y) = x+y, u~ = Q(x,y) = x+2y.

Iz prvog uslova sledi da jc

2x u(x, y) = 2 + xy + f(y),

pa je

u~ =x+!'(y) =x+2y.

Stoga je f'(y) = 2y, f(y) = y2 + C, pa zamenom sledi da je

2xu(x,y) = 2 + xy + y2 + C.

Odavde sledi da je opste resenje posmatrane diferencijalne jedllabne dato sa

2x2 +xy+y'2 = C,

DoZe pri cemu .if' C proizvoljna rcalna konstanta.

Napomenimo da .ie oCiglcdno da se i poslf'dn.ia jednaCina mo7.c f'ksplicitno resiti po y = y(x).

,

]

168 PREDAVANJA 1 VEZBE 1Z MATEMATIKE 2

Zadatak 15. ReSiti diferencijalnu jednaCinu pricemusujigd Ako stavim<J

2xdx y3 - 3x2 dobijamo lineamu -3- + 4 dy=O. x = x(p,C), tada 0y y

(2)

Resenje. Ovde cemo imati da je Osim toga, J:

lama reSenje oblika 2x y3 _ 3x2

P(x,y) = 3' Q(x,y) = 4 ' y Y

pri cemu je chilo lEI I 6x

Py = -4' y Zadatak P' - Q'y =- x·

Stugaje i ova diferencijalna jednaeina - jednacina sa totalnim diferencijalom. Potcncijal ovc difcrcncijalne jcdnaeine nalaziwo iz uslova da je:

Resenje. 1 3x2

I () 2x je f(y') = 2y', g( U x = P x,y = 3' u~ = Q(x,y) = - - -4 .

y Y Y

Iz prvog uslova intcgracijom po x dobijamo da je

2 DiferenciraJx u(x, y) = 3 + f(y),

y

odaklc je 3x2 1 3x2

u' = - - + l' (y) = - - -,Y y4 Y y4

1'(y) = ~, f(y) = In IYI + c. y

Odavde zamenom dobijamo da jc

2 Time smo ( xu(x,y) = 3 + In Iyl + c, Njenim resavanje y

pa je opste resenje date diferencijalne jednaCine:

2x3+lnlyl = C, Stogaje opy

pri cemu jc C proizvoljna rcalna konstanta.

6. Lagranzova diferencijalna jednacina Ispitajmo i

larna resenje. Ka Pod Lagranzovom diferendjalnom jednai'inom podrazumevamo bilo koju difercncijalnu

difercllcijailla jL'<ijednai'inu oblika

(1) y = X f(y') + g(y'),


pri cemu su fig date diferencijabilne funkcije. Ako stavimo y' = p, sledi da je dy = y'dx = pdx, i diferenciranjem jednacine (1) po x

dobijamo lineamu diferencijalnu jednaeinu prvog reda po x = x(p). Ako je njeno opste rffienje x = x(p, C), tada opste resenje jednaeine (1) dobijamo u sledeeem parametarskom obliku:

(2) x = x(p,C), y = x(p,C) f(p) + g(p) (p E R).

Osim toga, pokazujc se da Lagranzova difcrcncijalna jcdnaCina moze da ima i tzv. singulama rffienjc ohlika

y = f(c) x + g(c),

pri cemu je chilo koji koren jednaCinc f(c) = c.

Zadatak 16. ReJiti diferencijaln1l jednai'inll

y = 2x y' + in y'. [OIll.

Resenje. Data diferencijalna jednaCina je oCigledno Lagranzova, pri cemu je f(y') = 2y', g(y) = In y'. Ako stavimo y' = p, ona postaje

y = 2xp + lnp.

Diferenciranjem poslednje jednacine po x nalazimo da je

dy = pdx = 2p(dx) + 2x dp + dlnp,

dppdx + 2xdp + - = 0,

P dp dp

dx + 2x - + - = 0,P p2

dx 2 1 -+-x=--.dp P p2

Time smo dobili linearnu diferencijainu jednacinu prvog reda po x = x(p).

Njenim resavanjem dobijamo da je

1 C x(p) = -- + - (C E R).

P p2

Stoga je opste resenje date diferencijalne jednaCine:

1 C 2C x = -- +- y = inp+ - - 2.

P p2' p

Ispitajmo jos da Ii ova diferencijalna jednacina eventuaino poseduje singlllarno resenje. Kako jednaCina f(c) = 2c = c ima resenje c = 0, dobijamo da data

jalnu difcrencijalna jcdnaCina ima singularno rcScnjc

y = f(O) x + g(O) = 2·0· x + In (0).

.


Medjutim, kako In 0 nije dcfinisano, zakljucujemo da data diferencijalna jednacina nema singularnih resenja.

Zadatak 17. Re.5iti diferencijalnu jednacinu

3, , y = -xy +cY •

2

Resenje. Data diferencijalna jednaCina je takodje Lagranzova, pri <'emu je f(y') = ~y', g(y') = eY'. Ako stavimo y' = p, ova jednacina postaje

pa diferenciranjcm po x slcdi:

, 3 3 dy = y dx = p dx = - p dx + -:r dp + eP dp,

2 2 Pdx 3x dp ~1J d-2- + -2- + e- p = 0,

pdx + 3xdp + 2eP dp = 0,

dx p dp + 3x + 2eP = 0,

dx 3 eP -+-x=-2-. dp p p

Dobijena diferencijalna jednaCina je linearna diferencijalna jednacina prvog reda po x = x(p). Njenirn resavanjern dobijamo da je

x(p) = :.' (C + (p2 - 2p + 2)eP).

Stoga je opste resenje date diferencijalne jedllacine:

x(p) = p~ (C + (p2 - 2p + 2)eP) ,

y(p) = 2;2 (C + (p2 - 2p + 2)eP) + eP.

Dalje cerna posrnatrati jednaCinu

3 !(c)=2'c=c.

Kako ova jednaCina irna jedno jed,Jnstveno resenje c = 0, data diferencijalna jednaeina imaee singularno resenje

y = j(O)x + g(O) = 0 . x + eO =1,

dalde reSenje

171 3. DIFERENClJALNE JEDNACINE

dakle resenje y( X) == 1.

7. Kleroova diferencijalna jednaCina

Pod Kleroovom diferencijalnom jedna.cinom podrazumevamobilo koju diferencijalnu jedna.cinu oblika

(1) y = Ty' + g(y'),

pri cemu je g(y') data diferencijabilna fUllkcija. Ona ocigledno predstavlja poseban slucuj Lagranzove diferencijalne jednacine pri cemu je

fly') = yi Stoga se moze koristiti isti metod resavanja kao i kod Lagranzove dieferencijalne jednacine.

Takodje, moze se koristiti i sledeei metod. Poznato je da opste resenje jednaCine (1) glasi

(2) y=Cx+g(C).

Osim toga, Kleroova diferencijalna jedllaCina moze irnati i singularllo resenje koje se dohija iskljucenjem parametra l' iz jednaCina

(3) y = x1' + 9(1'), x = -g'(1')'

Zadatak 18. Re.siti diferencijalnu jednacinu

Resenje. Data difp-wnc:ijalna jf'duahna jf' ohgkdno Kkroova pri cmlll .if'

g(y') = ---?-z' tj, g(p) = - ;2' Stoga.if' njf'IlO opstc' wsp-n.ip

1 y = C x + g(C) = C T - C2'

pri CP-ffill .if' C proizvoljna realna konst.anta. Singlilarno resenje date jednaCinc nala:ziffio iz uslova da je

I Y = x P + g(p) = x p - -;-,

p'2

l' (1)':r = - 9' (p) = - ( - p2) = p2

Odavde je

.r

pa zalllCUO[l\ dohijaillo siuguluruo )('scn.ic a ohlikll:

21/3 2/3'.r . 1 "I 'J, 'JY = -:r-,-,.' -- --;--;- = -- '2 I- .1'""

1:' /.) 4"/,J I: :,

( l' 0 1 ._ \) X?/'.') = __ = - !' + 4lI3 I~2 .



, ,2y=xy+y.

Resenje. Data diferencijalna jednacina je takodje Kleroova, pri cemu je g(y') = y,2, tj. g(p) = p2. Stoga je njeno opste resenje

y=Cx+g(C)=Cx+C2 (C E R).

Singularno resenje date diferencijalne jednaCine nalazimo iz uslova da je

y=xp+g(p) =Xp+p2,

x = ---g'(p) = _(p2)' = -2p.

Odavde je p = -x/2, pa zamenom dobijamo da je

2 (X) ( X)2y=xp+p =X -2" + -2" = 2 2 2x x x

=--+-=--. 2 4 4

Stoga je funkcija y = -x2 /4 singularno resenje date diferencijalne jednacine.

8. Rikatijeva diferencijalna jednaCina

Pod Rikatijevom diferencijalnom jednacinom podrazumevamo bilo koju diferencijalnu jednaeinu oblika

(1) y' +p(x) y2 + q(x) y + r(x) = 0,

pri <'emu su p(x), q(x), r(x) date neprekidne funkcije na nekom intervalu (a, b). Ova diferencijalna jednaeina se u opstem slucaju ne moze resiti pomotu kvadratura. Me

djutim, ako je poznato jedno partikularno reSenje yo(x) ove diferencijaIne jednaeine, onda se ona uvodjenjem smene

1 y=yo+

z svodi na linearnu difcrcncijalnll jednaCinu prvog rcda po nepoznatoj funkciji z(x), pa sc daklc

moze reSiti po funkciji z = z(x), a time i po nepoznatoj funkciji y = y(x).


ako se zna da je funkcija Yo co, eX jedno njeno partikulamo resenje.

Resenje. Proverimo najpre da Ii je funkcija Yo(x) = eX jedno partikularno resenje date diferencijalne jednaCine. Imacemo da je

yb - Y6 + 2ex Yo = (eX)' - (ex )2 + 2eX(eX) = 2x + 2 c2x= eX _ c = e2x + eX,

pa je funJrcija J jednaCine

KaIIojedl

Odavdeje


pa je funkcija YO(X) = eX zaista jedno partikularno resenje date diferencijalne jednaCine.

Kako je data diferencijalna jednacina ocigledno Rikatijeva, uvescemo smenu

1 :r 1je Y = Yo + - = e + -. z z

Odavde je 1

y' = eX - - z' z2

pa zamenom data jednaCina postaje:

X I, (;r. 1)2 x(x 1)e - - +;-. + 2c' e +;- = c 2x + eX.z2 Z C

odakle jc sredjivanjem

leo

z' 1 - + = 0, z' + 1 = 0,z2 z

z'=-l, Z=--.T+C (CER).

Odavde sledi da je opste resenje date difNcncijalne jednacinf'

X 1 y=c +C-.T (C E R).

Zadatak 21. Resiti dzjerencijalnu jednaCinu

If'na

y' + y2 _ 2y sin x + sin2 x - cos.r = 0,

klc

ako je poznato jedno partikularno rei3enje Yo (x) Cine.

= sin x ave dijc7'cncijalne jcdn ((

Resenje. Data dif(~rellcijalllajcdllacilla je ociglcdllo Rikatijeva. pet SllH'tl{)!l

Y = 1

Yo + z

. 1 = sm x +

z

no

sledi da je ,

y = cos;/,

Zamenom. data jf'dnahna postajf': ;

z' _2 . ~

( cos:r - ;~) + ( sin.r + ~) 2 - 2 sin ,r ( sin x + ~) + sin2 x - cos T = 0,


Sredj ivanjem, ova diferencijalna jednaCina dobija oblik: odnosno (>' + 2J Kako su I

z' 1--+--0 alna i razlicita.,

z2 z2 - , {e- 2T , eX}, a I

z' = 1, z = x + O.

Odavde sledi da je opste resenje date diferencijalne jednaeine:

pri cemu su Olt~1. 1 Y = Yo + - = SIll X + -0'

z +x

Iii- A2

..

Zadatall pri cemu je 0 proizvoljna realna konstanta.

9. Homogena linearna diferencijalna jednaCina n-tog reda sa konstantnim koeficijentima ReSenje.

jednaeina drllgOl Pod homogenom linearnom diferendjalnom jcdnaeinom n-tog reda sa konstantnim kodi teristicna jednaC

djentima podrazumevamobilo koju jednaCinu oblika

(1) y(n) + al y(n-l) + ... + an y = 0, . odnosno (>' - 3)2

pri cemu su koeficijenti al, . .. ,an dati realni brojevi. .cIakle realna i jI Diferencijalnoj jednaeini (1) pridruzuje se odgovarajuca kamkteristicna jednacina

Je'ienja {e3x ,

(2)

koja, kao sto je poznato uvek ima n realnih iii kompleksnih resenja UfaeunavajuCi tu i njihove visestrukosti.

Ako je pritom >"0 realan koren jednaeine (2) algebarske visestrukosti m, onda funkcije Zadatak

formiraju odgovarajuci deo fundamentalnog sistema reSenja pnsrnatrane jednacine. Ako je >"0 = Q + i ,8 ({3 # 0) kompleksan koren jedna6ne (2) algebarske visestrukosti m,

onda je odgovarajuCi deo fundamentalnog sistema reSenja formiran od funkcija ReSenje. 4 me"'''' cos{3x, e"'''' sin{3x, xe"'''' cos{3x, xe"'''' sin{3x, ... , x - 1 e"'''' cos{3x, 'jalna jednaCil

xm-1e"'''' sin{3x. karakteristiCm

Opste resenje jednaeine (1) dobija se onda kao linearna kombinacija funkcija iz fundalllen

talnog sistema resenja imajucu u vidu sve korene karaketristicne jednaeine (2).

= -4. Oda Zadatak 22. Naci opste resenje diferencijalne jednacine Stoga je od.t!

{cos 2%, sin 2: y" + y' - 2 y = O.

Resenje. Data difcrcllcijalna jedllaCilla jc oeigledno hOlllogclla lillearna diferencijalna jednaeina drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Njcna odgovarajuca karakteristicna jednacina glasi: Zadatak

>.2 + >. _ 2 = 0,

x


odnosno (A + 2)(A - 1) = O. Kako su resenja karakteristicne jednaCine Al = -2, A2 = 1, dakle re

alna i razliCita, odgovarajuci fundamenatlni sistem resenja date jednacine bice {e- 2x , eX}, a odgovarajuce opste resenje

-2x C xyx=() CIe + 2C,

.pri cemu su C1 ,C2 proizvoljne realne konstante.

Zadatak 23. Naci opste resenje diferencijalne jednacine

y" - 6y' + 9y = O.

Resenje. I ova diferencijalna jednaCina je hOlllogena linearna diferencijalna jednacina drugog reda sa konstalltnilll kodicijentillla. Njena odgovarajuca karakteristicna jednacina glasi

A2- 6A + 9 = 0,

odnosno (A - 3)2 = O. Stoga su resenja ove karakteristicne jednaCinc Al = A2 = 3, dakle realna i jednaka. Odavde sledi da je odgovarajuCi fundamentalni sistem resenja {e3x , x e3x }, a opste resenje date jcdnacine

Zadatak 24. Nati opste rcSenje difeTencijalnc jcdna(:inc

y" + 4y = O.

Resenje. Ova diferencijalna jedllaCina je takodje homogcna linearna diferencijalna jednaCina drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Njcna odgovarajuca karakteristicna jednacina glasi:

tj. A2 = -4. Odavde je Al = 2i, A2 = -2i. Stoga je odgovarajuci fundamentalni sistem resenja date diferencijalne jP'l!u

cine {cos 2x, sin 2x}, pa je opstc resenje date difl~ren('ijalne jednaCine

Zadatak 25. Naci opste 'T-eSenJc ddcr-eru:ijalne jcdna(:inc

y" ~ 2y' + 2y = O.


Resenje. I ova diferencijalna jednaeina je oCigledno homogena linearna diferencijalna jednacina drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Njena odgovarajuca karakteristicna jednacina glasi:

I

pa su njcna resenja A1,2 = 1 ± i. Stoga je a = 1, f3 = 1, pa je odgovarajuCi fundamentalni sistem reSenja {eX cos x, eX sin x}, a opste rescllje date jednaCiue:

y = C1 eX cos x + C2 eX sin x = eX (C 1 cos X + C2 sin x)

Zadatak 26. NaCi opste nosenje difer'encijalne jednacine

y'" - 2y" - 3y' = o.

Resenje. Odgovarajuca karakteristicna jednaCina glasi

odnosno A (A2 - 2A - 3) = 0, tj. A(A - 3)(A + 1) = 0. Odavde je Al = -1, A2 = 0, A3 = 3. Kako su sva tri resenja ove jednaCine realna i razlihta, odgovarajuCi fundamentalni sistem resenja glasife:

a opste resenje date diferencijalne jednaCine


ylll + 2y" + y' = 0.

Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaeine glasi:

tj. A(A2 + 2A + 1) = 0, tj. A(A +1)2 = O. Odavde je Al = A2 = -1 i A3 = 0, paje odgovarajuCi fllndamentalni sistem resenja

-Xe ,

I

prif

tj. A funru

aopS

177

jOCi inc:

= 0, jufi

>a je

3. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

Stoga je opste resenje date diferencijalne jednacine:

pri i'pmu su C1 , C2 , C3 proizvoljne realne kOllstante.


yl1l + 4 y" + 13y' = o.

Resenje. Odgovarajub:t karakteristicna jednai':iua glasi:

tj. ,\ (,\2 + 4,\ + 13) = 0, odakle je '\1 = 0, '\2,3 = -2 ± 3i. Stoga je odgovarajuci fundamentalni sistem resenja ove jednaCine

{1, e~ 2x cos 3x, e- 2x sin 3x} ,

a opste resenje date jednaCine:

Zadatak 29. Nafi aplite resenje diferenriJalne jednarine

yiV + 4 yl1l + 8y" + 8y' + 4y = o.

Resenje. Karakteristicna jednai'ina date diferencijalne jednaCinc glasi:

odnosno (,\2 + 2,\ + 2)2 = o. Odavde je

'\1 ='\2 = -1 + i, '\3 ='\4 = -1 - i.

Stoga je a + i (3 = -1 + i dvostruki kompleksan koren karakteristicne jednaCine, pa je opste resenje ove jednacine:

pri cemu su C1 , C2 , C3 , C4 proizvoljne realne konstante.

Zadatak 30. Naci opste resenje diferenrijalne jednacine

yV _ 2 yiv + 2 ylll _ 4y" + y' - 2y = o.


Resenje. Odgovarajuca karakteristicna jednaCina glasi:

A5 - 2A4 + 2A3 - 4A2 + A - 2 = 0,

(A -- 2)(A4 + 2A2 + 1) = 0,

(A - 2)(A2 + 1)2 = O.

Odavdc jc Al = 2, A2 = A3 = i, A4 = A5 -1" pa je opste resellje date difercllcijallle jedlla(;iue:

y = C l c2x + C2 cosx + C:~ sin x + x(C4 cosx + C5 sin x),

Zadatak 31. Naci opgte 1denje diferencijalne jednacine

yll/ - 3y" + 3y' - y = 0,

kao i paTiikularno resenje Yo koje zadovoljava Kosijeve uslove

y(O) = 1, y'(O) = 2, y"(O) = 3.

Resenje. Karakteristiclla jednacilla date diferencijalne jedllacine glasi:

A:~ - 3A2 + 3A - 1 = 0,

(A - 1)(A2 - 2A + 1) = 0,

(A _l)a = 0,

odaklc jc Al = A2 = A:~ = 1. Stoga je opste wsellje date diferellcijallle jedlla(;ille

pri cemu su C l , C2 , C3 proizvoljne realne konstante.

Odavde diferenciranjem dobijamo da je

y' = C l eX + C2 eX + C2xex + 2C3 xex + C3x 2ex =

= [Cl + C2 + (C2 + 2C3 )x + C:3x2 Jex,

y" = [C2 + 2C3 + 2C3xJex + [C1 + C2 + (C2 + 2C3 )x + C3 X2]eX =

= [C l + 2C2 + 2C3 + (C2 + 4C3 )x + C3x 2Jex.

Ako sada iskoristimo uslove da je b(O) = 1, y'(O) = 2, y"(O) = 3, dobijamo

daje

OdavdE I"eSenje

10. 1


Odavde nalazimo da je C I 1, C3 = 0, pa je trazeno partikularno resenje

10. Nehomogena linearna diferencijalna jednaCina

sa konstantnim koeficijentima

Pod nehomogenom linearnolll diferencijalnom jednacinom n-tog reda sa konstantnim koeficijentima podrazumevamo bilo koju diferencijalnu jednafinu oblika

(1) yen) + aI yen-I) + ... + anY = j(x),

pri cemu su koeficijenti f11, . .. , an dati realui brojevi i funkcija j(x) nije identicki jednaka nuh ua posmatrauolll intervalu (a, b).

Resavanje ovakve diferencijalne jednacine je veoma te,mo povezano sa reSavanjem odgovarajuce homogene linearne diferencijalne jednaCine

(2) yen) + al y(n-l) + ... + anY = O.

Posehno, pod karakteristicnom jednai:inom diferencijalne jednacine (1) podrazumevamo odgovarjucu karakteristicnu jednai:inu diferencijalne jednaeine (2). Dakle joona(-inu

An + aIA,,-1 + ... + an = O.

Kao najvazniji korak u resavanju jednacine (1) pokazuje se da je. ako mozcmo da (·<In'dinu) opste rcsenje YH jedna.Cinc (2) i har jedno partikularno resenje Yo jednai"'ille (1), opst,> resenj(' jcdnaCine (1) dato sa

Y = YH -1- Yo-

Partikularno resenjc jednadne (1) moze se odrooiti u nekim posehnim sIui":ajcvima koji s," odnose na funkciju j(;c). Naprimcr, ako funkcija j(.T) ima oblik

(*) j(x) = eOx [Pm (:1:) cos{3x + Qn(:D) siuiJx],

pri remu je Pm(x) polinom stepena m (m 2: 0) i Qn(x) polinom stepena n (n 2: 0). Tlda, ako je '"Y = Q + i 13, razlikujemo dva sIucaja.

(10). Ako kompleksan broj '"Y nije reSenje karakteristicne jednafine homogene jednahne (2), tada partikularno reSenje Yo trazimo u ohliku:

pri cemu su Rl(X), 51 (x) polinomi stepena I = max{m, n} .

(2°). Ako kompleksau broj ') jeste resenje karakteristicne jednacine odgovarajure hOlllo-, gene jednaeine algebarske visestrukosti 8 (82: 1), tada partikularno reSenje Yo trazimo 11 obliku

Pritom koeficijentc polinoma R l , 51 odredjujemo iz pretpostavke da je Yo partikularno

reSenje date diferencijalne jednaeine.

I



y"' - y" + y' - Y = x 2 + x.

Resenje. Karakteristifna jednaCina date difcreacijalne jcdnaCinc glasi:

tj. (A - 1)(A2 + 1) = O. Odavde je Al = 1, A2,3 = ±i. Stoga je opste resenje odgovarajuce hOlllogene jednaCine:

Kako je f(x) = x2 + x, funkcija f(x) je oblika (*) pri cemu je

0: = (3 = 0, 'I = 0: + i(3 = 0, n = 2.

Kako pritolll broj 'I = 0 nije resenje karakteristicne jednacine, partikularno resenje yo(x) date nehomogene jednaCine trazimo u obliku

pri remu Sll ao, aI, a2 7.a sada neodwdjeni kocficijenti. Odavde je

Yo' = 2aox + aI, yO" = 2ao, YOIll == 0,

pa zamenom u datu diferencijalnu jednaCinu dobijamo

Drugim reCima dobijamo da je

Odavdc i7.jednaravanjcm koeficijenata dobijamo jednaCinc:

-ao = 1, 2ao - al = 1, -2ao + al - a2 = 0,

tj. ao = -1, al = -3, a2 = -1. Stoga je

2Yo = _x - 3x - 1,

pa je opste resenje date nehomogene d{ferencijalne jednacine:

2 y = YH + Yo = C1 eX + C2 cos X + C3 sin x - x - 3x - 1.

R.eil jednatine

njeni kOmi

homogene

Kallo

Kako je hi traZimo u (



ylll - y" = 12 x2 + 6x.

Resenje. Kako je odgovarajuca karakteristiclla jedllacilla date diferellcijalne jednaeine

njeni koreni su Al = A2 = 0 i A3 = 1. Stoga je opste resellje odgovarajuce homogene diferellcijalne jednaeine

Kako je dalje funkcija f(x) = 12x2 + 6x, dobijamo da je a = (3 = 0, 'Y = o. Kako je broj 'Y = 0 dvostruko resenje karakteristicne jednaCine, funkciju yo(x) trazimo u obliku

Odavde je

Yo' = 4aox3 + 3a1x2 + 2a2x, Yo" = 12aox2 + 6a1x + 2a2,

YOIll = 24aox + 6a1,

pa zamenom u datoj diferencijalnoj jedllahni dobijamo da je

(24aox + 6a1) - (12aox:.! +6a1x + 2a2) = 12x2 + 6x,

- I2aox2 + 6(4ao - adx + 6a1 - 2a2 = I2x2 + 6x.

Odavde nalazimo da jc

-I2ao = 12, 4ao - a1 = 1, 6al - 2a2 = 0,

odnosno

ao = -1, a1 = -5, a2 = -15.

Stoga je Yo = x 2 ( ~X2 - 5x - 15),

pa je opste resenje date nehomogene jedllfthllf'



Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaCine glasi:

A2 + A = A(A + 1) = 0,

odakle je Al -1. Stoga je opste resenje odgovarajuce homogene jednaCine:

Kako jc j(x) = 4x2e dobijamo da jc a = 1, fJ = 0, 'Y = 0: + i fJ = 1. Kako daljc komplcksan broj 'Y = 1 llije koren odgovarajucc karakteristicllC jedllaCinc, partikularno resenje yo(x) trazimo 11 obliku:

Odavde diferenciranjem llalazimo da je

Yo' = (2aox + ad eX + (aox2 + alx + 0,2) eX = T= [aox2 + (0,1 + 2ao)x + 0,1 + 0,2] e ,

Yo" = [2aox + 0,1 + 20,0] eX + [aox2 + (0,1 + 2ao)x + 0,1 + 0,2] eX = = [aox 2 + (0,1 + 4ao)x + 20,0 + 20,1 + 0,2] eX,

pa zamenOlIl u datoj difewncijalnoj jcdnaCini, posle skracivallja sa e, dobijamo da jc

2aox2 + (60,0 + 2adx + 20,0 + 30,1 + 20,2 = 4x2.

Odavde izjednacavanjem koeficijenata sledi da je

20,0 = 4, 60,0 + 20,1 = 0, 20,0 + 30,1 + 20,2 = 0,

odakle je 0,0 = 2, 0,1 = -6, 0,2 = 7. Stoga je

Yo = (2x 2 - 6x + 7) eX,

pa je opste resenje date diferencijalne jednaCine

Zadatak 35. Naci opste rdenje dijerencijalne jednacine

y" + lOy' + 25y = 4e-5x .

Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaeine glasi

A2 + lOA + 25 = 0, (A + 5)2 = 0,

odakle je Al =

Kako je. dalje broj 'Y = . rcsenje Yo date

Odavde sI

Yo'

Zamenom

odakle je B = : jedniltine:

Zadatal

Odavde je ~1 =

Kakoje !( ·.,=l+inije". ahIiku

Am.... L::...~.~ ........ PA._


odakle je >'1 = >'2 = -5. Stoga je

Kako je f(x) = 4e-5x dobijamo da je a = ~5, (3 = 0, -y = ~5. Kako je daljc broj -y = -fi koren karakteristicne jedna6ne visestrukosti s = 2, partikularno resenje Yo date diferencijalne jednacine trazimo U oblikll

Ie,

5xodakle je B = 2, dakle Yo = 2x2 e- . Stoga je opste reSenje date diferencijalne jednlj.Cine:

no

Zadatak 36. NaCi opste 'T'!'senje diferencijalne jednacine

y" .- 6y' + 9y = 25 eX sin x.

Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaCine glasi:

>.2 _ 6>' + 9 = 0, (>' - 3)2 = 0.

Odavde je >'1 = >'2 = 3, pa je

Odavde sledi da je

Zamenom u datoj jednafini sledi da je

Kako je f(x) = 25 eX sinx, sledi da je 0: = 1, (3 = 1, -y = 1 + i. Kako pritom -y = 1 + i nije koren karakteristicne jeduaCine, partikularuo rescllje Yo tra~il1l() u obliku

Yo = eX(a cos x + b sin:r).

Ako sada nadjemo Yo', Yo" i zamenimo u datoj diferencijalnoj jednaCini, dobijamo jednacinu

(3a - 4b) cos x + (4a+ 3b) sinx = 25 sinx.


Odavde nalazimo 3a - 4b = 0, 4a + 3b = 25,

dakle a = 4, b 3. Stoga je traieno partikularno relienje date diferencijalne jednacine:

Yo = eX (4 cos x + 3 sin x) ,

i oplite resenje posmatrane diferencijalne jednaeine


y" + 2y' + 5y = e- X cos 2x.

Resenje. Karakteristicna jednaCina date diferencijalne jednaeine glasi:

>.2 + 2>' + 5 = 0,

pa su njeni koreni >'1,2 = -1 ± 2i. Stoga je

xKako je dalje f(x) = e- cos2x, sledi da je a = -1, (3 = 2, 'Y = -1 + 2i. Kako je 'Y koren karakteristicne jednaCine visestrukosti s = 1, partikularno reSenje yo(x) traiimo u obliku

Yo = xe-X(A cos 2x + B sin 2x).

Ako sada nadjemo Yo', Yo II , zamenimo u datoj jednaeini i skratimo sa e-x ,

dobijamo uslov -4A sin 2x + 4B cos 2x = cos 2x.

Odavde je A = 0, B = 1/4, dakle

yo(x) = ~e-x sin2x. . 4

Stoga je opste resenje date diferencijalne jednacine:

1x xy(x) = (C1 cos 2x + C2 sin 2x) e- + 4x e- sin2x,

pri cenu su C1 , C2 proizvoljne realne konstante.

11. Sistemi diferencijalnih jednacina prvog reda

U OVOII

konstantnim ~

Nepozn

Zada nih jednacir.

(a) x

(b) x

(c) x

ReSeD

Odgovarajuc

i ima reilenja Za >. =

linearnih jedJ

odnosno

dakle iz jedm da je q2 =-]

Za >. jednaeina

odnosno ql =

Stoga je opStA

X(t) = (


U ovorn delu posrnatraeerno sarno linearne sisterne diferencijalnih jednaCina prvog reda sa konstantnirn koeficijentirna.

Nepoznate funkcije cerna obicno oznacavati sa x(t), y(t) (a < t < b).

Zadatak 38. NaCi opste resenje sledeeih homogenih sistema diferencijalnih jednacina sa konstantnim koeficijentima.

(a) x' = x+ 2y, y' = 2x + y;

(b) x' = 2x - y, y' = x + 4y;

(c) x' = 2x + 5y, y' = -2x.

Resenje. (a) Dati sistem u matricnom obliku glasi:

Odgovarajuca karakteristiclla jednaCilla glasi:

I 2 1 -2 A

1 _ 2 A = (1 - A) - 4 = A2 - 2A - 3 = (A - 3)(A + 1) = 0, 1

i ima resenja Al = -1, A2 = 3, dakle ima realna i medjusobno razliCita resenja. Za A = -1 odgovarajuCi sopstveni vektor nal~illlo i:l hOlllogenog sistema

lincarnih jedllaCilla

2 ) (ql) = 0I-A q2 '

odnosno

dakle i:l jednaCine ql +q2 = O. Ako u ovoj jednacini stavimo da je ql = 1, dOJijamo da je q2 = -1, pa jc odgovarajllCi sopstveni vcktor

Za A 3, odgovarajuCi sopstveni vcktor Q nalazimo iz sistema lincarnih jednaCina

odnosno ql = q2· Odavde za ql = 1 dobijamo da je q2 = 1, pa je

Stoga je opste resenje datog sistema:

tX(t) = (X(t)) = Ce- ( 1)+ Ce3t (1)y(t) I -1 2 1


odnosno:

pri cemu su CI , C2 proizvoljne realne konstante.

(b) Odgovarajl1Ci sistem 11 matricnom obliku glasi:

Stoga je odgovarajnca karakteristicna jednaCina:

2 A- -1 I1 4 _ A = (2 - A)(4 - A) + 1 = A2 - 6A + 8 + 1 = A2 - 6A + 9 = 0, 1

dakle (A - 3)2 = O. Stoga ona ima realno i dvostruko resenje Al = A2 = 3. Za A = 3 jedan njen sopstveni vektor nalazimo iz sistema linearnih jednaCina

-qI - q2 = 0, qI + q2 = 0,

odakle je q2 = -qI. Ako ovde stavimo qI = 1, dobijamo da je q2 = -1. Stoga je jedan njen sopstveni vektor

Odavdc slcdi da je opste resenje datog sistema difcfellcijalnih jednatilla:

X(t) = (x(t)) =C C t 31( 1)' =3t (1) (Cle3t+C2te3t)y(t) Ie -1 + 2 e -1 --CI e3t - C2 te3t ,

odllosno:

pri cemu su CI, C2 proizvoljne realne konstante.

(c) Odgovaraj uca matrica datog sistema glasi

a odgovarajuca karakteristicna jednacina

2 - A 5 I = A2 - 2A + 10 = O. 1

-2 -A

Odavde nalazimo da je AI,2 = 1 ± 3i. Stoga opstc rcsenje datog sistema trazimo 11

obliku ~

t t x (t) = et cos 3t (PI) + et sin 3t (qI) = (PI e cos 3t + qI e s~n 3t) .

P2 q2 P2et cos 3t + q2 ct sm 3t

X(t) :

Ako vekt skraCivanjem s

Odavde, sistem lineamil

odnosno

Diskusijol

oaprimer qI, 92 Be proostale dw

187 3. DlFERENCIJALNE JEDNACINE

Ako vektorsku funkciju X(t) diferenciramo i zamenimo u dati sistem, tada tskraCivanjem sa e , dobijamo sistem jednaCina

(PI + 3qI) cos 3t + (qI - 3pd sin 3t = (2pI + 5p2) cos 3t + (2qI + 5q2) sin 3t,

(P2 + 3q2) cos3t + (q2 - 3p2) sin3t = -2PI cos3t - 2q2 sin3t.

Odavde, izjednacavanjem koeficijenata uz funkcije cos 3t i sin 3t, dobijamo sistem linearnih jednaCina po PI, P2, qI, q2:

PI + 3qI = 2PI + 5P2, qI - 3PI = 2qI + 5q2,

P2 + 3q2 = -2PI, qz - 3P2 = -2qI,

odnosno PI + 5P2 = 3qI, qI + 5q2 = - 3PI ,

2PI + P2 = -3qz, 2qI + q2 = 3p2.

Diskusijom dobijenog sistema jednacina sledi da se dye njegove nepoznate, naprimer qI, q2 mogu uzeti potpuno proizvoljno, recimo qI = 3CI, q2 = 3C2, dok se preostale dye PI, P2 mogu izraziti pomocu njih, tj.

Odavde dobijamo da je opste resenje datog sistema diferencijalnih jednaCina:

t (-CI - 5C2 ) t· (3CI )X( t ) = e cos3t 2C + C + c sm3t 3C = I 2 2

_ C t (- cos 3t + 3 sin 3t ) C t ( -5 cos 3t )- Ie + 2e .2 cos 3t cos 3t + 3 sm 3t '

pri cemu su C I , C2 proizvoljne realne konstante.

Zadatak 39. Naci opste resenje homogenog sistema diferencijalnih jc(ba

tina (n (~1 ~ T) m Zadatak sc ostavlja za samostalan rad.

Zadatak 40. Odrediti opste re.~enje nehomogenog sistema diferenri)abih jednaCina

2tx/(t) = yet) + e , y/(t) = x(t) - 4e2t ,

ako se zna da on ima parczkulamo resenje oblika

x = (x) = _ ~ e2t (p)a y 3 q'


pri cemu su p i q izvesne konstante.

Resenje. Iz datog uslova sledi da je

y(t) = _~e2t 3

partikularno resenje datog sistema, odakle dobijamo da je

Odavde skraeivanjem sa e2t dobijamo sistem linearnih jednacina

-2p/3 = -q/3 + 1, -2q/3 = -p/3 - 4,

odnosno 2p = q- 3, 2q = p+ 12.

Stoga je p = 2, q = 7, pa trazeno partikularno reSenje glasi

Dalje uocimo odgovarajuci homogeni sistem diferendjalnih jednaCina:

x'(t) = y(t), y'(t) = x(t),

tj.

Odgovarajuca karakteristicna jeduaCina glasi

odnosno ,\2 - 1 = 0, odakle je ,\) = 1 i >'2 = -1. Za,\ 1, posmatramo odgovarajuCi homogcni sistem linearnih jednaCina

-ql + q2= 0, ql - q2 = 0,

odakle je ql = q2, pa je jedan odgovarajuci sopstveni vektor

Za ,\ = -1, posmatramo odgovarajuCi homogeni sistem linearnih jednaCina

q) + q2 = 0, ql + q2 = 0,

Odavde

iz koga stavljI

odnosno:


iz koga stavljajuCi ql = 1 nalazimo da je odgovarajuCi sopstveni vektor

Odavde najzad dobijamo da je opste resenje datog nehomogenog sistema:

() x(t)) t(l) _t(l) 12t (2)X t = ( y(t) = Gle 1 + G2e -1 - 3e 7 1

odnosno:

t G -t 7 21Y(t) = GIe - 2e - 3e ,

pri cemu su GIl G2 proizvoljne realne kOllstante.

12. Parcijalne diferencijalne jednaCine

U ovom delu posmatraeemo najpre homogene linearnc pardjalne jednaeine prvog wda oblika

(1) XIPI + ... + XnPn = 0,

pri cemu su Xl = Xl (Xl, ... , xn ), .. . , X n = X,,(XI, ... , Xn) (n 2 2) date funkcije promenljivih XI,oo.,Xn ((XI,.",Xn ) E D ~ Rn), z = Z(XI, .. "Xn ) je nepoznata funkcija, i Pi = az/th;, (i = 1, ... , x n ) 8U njeni parcijalni izvodi.

Homogenoj jednadni (1), pridruzuje se pomocni Lagranzov sistem ohicnih difl'rcncijalnih jednaeina

d."l:l dXn(2) -=.":=--,

Xl X n

pri cemu pretpostavljamo da je u celoj posmatranoj ohlasti X I, ... , X n i' O. Ako su 'Pi (Xl, ... , X n ) = Ci (i == 1, ... , n - 1) njegovih n - 1 nezavisnih integrala, tada 8e

pokazuje da je opste reilcnje pardjalnc jedna(;ine (1) dato sa

o pri ccmu je F == F( iLL, ... , U n - Il proizvoljna diferencijabilna funkcija.

Osim jednaeine (1) posmatraeemo i tzv. nehomogenc iii kvazilinearne parcijallJe diferellcijalne jednaeine oblika

(3) XIPI + ... + XnPn = R,

pricemusu Xi == Xi(XI, ... ,Xn , z),R == R(:Cl, ... ,Xn,Z) (i = 1, ... ,n)datefllIlkcijepromellIjivilJ XI,".,Xn,z ((XI,oo.,Xn,z) E D ~ R n+1

), Z == Z(XI,oo.,Xn ) je nepozIlata funkcija, i Pi aZ/aXi (i = 1, ... , n) su njeni parcijalni izvodi.

I jednaeini ovakvog tipa se, pod pretpostavkom da je u eeloj posmatranoj obhwti X I, .

X n , R i' 0, pridruzuje sJii~an pomocni Lagranzov sistem obicnih difereneijalnih jednaCina oblika

dxn dz (4)

Xn R

190 PREDAVANJA 1 VEZBE 12 MATEMATIKE 2

Ako pretpostavimo da BU 'Pi(Xl, .. ·,Xn,z) = Ci (i = l, ... ,n) njegovih n nezavisnih integrala, tada se moze pokazati da je reSenje jednatine (3) dato u implicitnom obliku sa

pri cemu je F = F(Ub"" un) proizvoljna diferencijabilna fllnkcija.

Zadatak 41. Naci opste resenje parcijalnih diferencijalnih jednaCina

(a) xp + yq = 0; (b) xp + yq = 3z,

ako je z = z(x, y) nepoznata funkcija, i p = 8z/8x, q = 8z/8y.

Resenje. (a) Data parcijalna jcduaCilla je ol':igledllo hOIUogella lillearua parcijalna prvog reda po ncpoznatoj funkciji z = z(x, y). OdgovarajuCi POlllOCIli sistcm obicnih difercncijalnih jcdnaeina svodi se samo na jednu jcdnaCinll i glasi:

dx dy x y

Odavde integracijom neposrcdno dobijamo da jc jedan njegov integral y/x = C. Stoga je opste resenje posmatranc jcdnaeinc dato sa

z = F(y/x),

pri cemu je F = F(u) proizvoljna diferencijabilna fUllkcija.

(b) Posmatrana parcijalna jednaeina je oCigledno kvazilinearna jednaCina prvog reda sa nepoznatom funkcijom z = z(x, y). OdgovarajuCi sistem obicnih diferencijalnih jedIlaCiIla glasi:

dx dy dz

x y 3z

Iz jednaeine dx/x = dy/y dobijamojedan njen integral y/x = Ct. Iz jednaine dxjx = dz/3z dobijamo drugi njen integral z/x3 = C2. Stoga opste reSenje date jednaeine dobijamo u eksplicitnom obliku iz jednaeine

F(y/x,zjx3 ) = 0,

pri cemu je F = F(u, v) proizvoljna diferencijabilna funkcija dveju promenljivih u i v.

Dalje cemo navesti jednu jednostavnu osol.>inu tzv. produzellih jednakosti, koja se lako dokazuje, a moze veoma korisno da posluzi kod resavanja pridruzenih sistema obicnih diferencijalnih jednatina koje smo pomimuli prethodno.

Ova osobina gtasi: ~

Ako vaZi produzena jednakost


i postoje brojevi AI, ... , An takvi da je Albl + ... + Anbn = 0, tada takodje vazi i da je Alai + ... + Anan = O.

Zadatak 42. Naci opste resenje sledeeih parcijalnih diferencijalnih jednacina prvog reda.

(a) 2p+3q = 1; (b) y2zp-x2zq = x 2y; (c) (y-z)p+(x-y)q = z-:r;

(d) ap+bq+cz=O(a,b,c#O); (e) xp+yq+zr=xyz, pri cemu je p = au/ax, q = au/ay, r = au/az.

Resenje. Primetimo najpre da su I've posmatrane parcijalnc jedllacille 110mogelle ili kvazilinearne jednacine. Stoga se moze primeniti prethodni metod resavanja.

(a) U ovom slucaju odgovarajuCi pomocni sistem obicnih diferencijalnih jednaCina glasice:

dx dy dz

231

Iz dx/2 = dz/l integracijom dobijamo da je x - 2z = C I , a iz dx/2 ,= dy/3 dobijamo da je 3x - 2y = C2 . Stoga je opste resenje ove jednacine dato sa

F(x - 2z,3x - 2y) = 0,

pri cemu je F = F(u, v) proizvoljna difcrcncijabilna funkcija promcnljivih /1 i v.

(b) OdgovarajuCi sistem obicnih diferencijalnih jednCina glasi

dx dy dz y2 z -x2z x 2y'

Izjeduaeinc dz/x2y = dy/( -x2z), odnosno z dz+ydy = 0, nalazimo dajc y2+ z 2 =,

C\. Dalje iz dx/(y2z ) = dy/( -x2z) nalazimo da je x3 + y3 = C2. Stoga jl' opst('

resenje ove jednacine dato sa

pri cemu je F = F(u, v) proizvoljna diferencijabilna funkcija dveju promenjjivih.

(c) U ovom slucaju odgovarajuCi sistem obicnih diferencijalnih jed 'lacina glasi:

dx dy dz y-z x-y z-x

Kako je (y - z) + (x - y) + (z - x) = 0, iz osobina produzene jednakosti dobijamo

da je takodje i dx + dy + dz = 0, odnosno x + y + z = C\. Dalje, kako je

x(y - z) + z(x - y) + y(z - x) = 0,


slieno sledi da je x dx + z dy + y dz = 0, odakle je X 2 + 2yz = C2 . Stoga je opste resenje date jednaeine

F(x2 + 2yz, x + Y + z) = 0,

pri eernu je F = F(u, v) proizvoljna diferencijabilna funkcija dveju prornenljivih.

(d) U ovorn slllcajll odgovarajllCi pornor.ni sistern glasi:

dx dy dz

a b -cz

h dz/(-cz) = dx/a dobijamo daje z = Cle-ex/a. Iz dx/a = dy/b dobijalllo daje ay - bx = C2 . Stoga je opste resenje date parcijalne jednaCine

z = e-cx/ a f(ay - bx),

pri cernu je f = f(u) proizvoljna diferencijabilna funkcija.

(e) U ovorn slueaju su x, y, z nezavisne promenljive, a nepoznata funkcija je u = u(x, y, z). Pritorn je p = By/Bx, q = Bu/By, r = Bu/Bz. OdgovarajuCi sistern diferencijalnih jednaCina glasi:

dx dy dz d'U

X Y z xyz

Odavde neposredno dobijamo dva njegova prva integrala x/V = CJ i z/y = C2 .

TreCi nezavisni integral nalazirno koriScenjern faktora yz, xz, xy i -3. Nairne, kako

je x(yz) + y(xz) + z(xy) + xyz(-3) = 0,

iz osobine produzene jednakosti sledi da je takodje i

yzdx + xzdy + xydz - 3du = 0.

Odavde je d(xyz - 3u) = 0, odnosno xyz - 3u = C3 . Stoga je opste resenje date parcijalne jednaCine

F(x/y, z/y, xyz - 3u) = 0,

pri sernu je F = F(u,v,w) proizvoljna diferencijabilna funkcija tri prornenljive.

Pogla

DIFE

~inisllDOl

Documents

diferencijalne spuki