Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET
DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU
Danijela Popović
PRIMENA DIFERENCIJALNE GEOMETRIJE U TEORIJI RELATIVNOSTI
-master rad-
Mentor: dr Nevena Pušić
Novi Sad, 2012
4
SADRŽAJ UVOD .......................................................................................................................... 4
1. OSNOVI TENZORSKE ANALIZE ........................................................................... 6
1.1. Osnovni pojmovi diferencijalne geometrije. Diferenciranje na mnogostrukostima ........ 6
1.2. Skalari, vektori i tenzori ............................................................................................. 15
1.3. Skalarne funkcije i invarijante .................................................................................... 16
1.4. Vektorske transformacije, kontravarijante komponente ............................................. 17
1.5. Vektorske transformacije, kovarijantne komponente.................................................. 18
1.6. Tenzori višeg reda ..................................................................................................... 19
1.6.1. Opšta definicija ................................................................................................ 20
1.7. Operacije sa tenzorima ............................................................................................. 24
1.7.1. Sabiranje i oduzimanje ..................................................................................... 24
1.7.2. Množenje (spoljašnji proizvod) tenzora ............................................................ 24
1.7.3. Kontrakcija tenzora .......................................................................................... 25
1.7.4. Množenje (unutrašnji proizvod) tenzora............................................................ 26
1.7.5. Konjugovani metrički tenzor ............................................................................. 29
1.7.6. Asocirani tenzori .............................................................................................. 30
2. PROSTOR MINKOVSKOG ................................................................................... 32
2.1. Vektori i tenzori u prostoru Minovskog ....................................................................... 32
3. OSNOVI RIMANOVE GEOMETRIJE .................................................................... 36
3.1. Rimanova mnogostrukost .......................................................................................... 36
3.2. Fudamentalna teorema Rimanove geometrije ........................................................... 39
4. KRISTOFELOVI SIMBOLI .................................................................................... 44
4.1. Povezanosti .............................................................................................................. 44
4.1.1. Povezanosti na vektorskim raslojenjima ........................................................... 44
4.2. Kristofelovi simboli prvog reda ................................................................................... 52
4.3. Kristofelovi simboli drugog reda ................................................................................ 53
4.4. Kovarijantno diferenciranje ........................................................................................ 55
4.4.1. Kovarijantni izvod kovarijantnog i kontravarijantnog vektora ............................. 57
4.4.2. Kovarijantni izvod tenzora ................................................................................ 58
4.4.3. Kovarijantni izvod fudamentalnog tenzora ........................................................ 59
4.4.4. Paralelni prenos tenzora .................................................................................. 60
4.4.5. Geodezijske linije ............................................................................................. 62
4.4.6. Normalne geodezijske koordinate .................................................................... 67
4.4.7. Segmentna krivina ........................................................................................... 77
5. TENZOR RIMAN – KRISTOFELA ........................................................................ 82
5.1. Promena redosleda kovarijantnog diferenciranja ....................................................... 82
5.2. Svojstva Riman – Kristofelovog tenzora .................................................................... 83
5
5.3. Ričijev i Ajnštajnov tenzor ......................................................................................... 88
6. PRIMENA GAUSOVE TEOREME NA IZVOĐENJE AJNŠTAJNOVIH JEDNAČINA IZ VARIJACIONOG PRINCIPA ........................................................ 90
6.1. Integraljenje na mnogostrukostima ............................................................................ 90
6.2. Lanci i granice ........................................................................................................... 91
6.3. Teorema Stoksa za lance .......................................................................................... 92
6.4. Stoksova teorema za orijentisane mnogostrukosti ..................................................... 94
6.5. Operacija Hodžova zvezda (Hodge star operation) ................................................... 96
6.6. Stoksova teorema za Rimanove mnogostrukosti ....................................................... 98
6.7. Izvođenje Ajnštajnovih jednačina iz varijacionog principa ........................................ 101
ZAKLJUČAK ........................................................................................................... 108
LITERATURA .......................................................................................................... 109
BIOGRAFIJA ........................................................................................................... 111
4
UVOD
Ovaj master rad je nastao iz želje da se znanja iz difererencijalne geometrije sagledaju, ne samo sa matematičkog aspekta, već i sa aspekta njoj srodne nauke – fizike. Sam rad ima šest poglavlja, sa velikim brojem definicija i osnovnih teorema koje su bile neophodne za bolje razumevanje osnovnih pojmova diferencijalne geometrije na kojima je izgrađena Opšta teorija relativnosti (OTR) čiji tvorac je Albert Ajnštajn, a kojom su se bavili Elvin Kristofel, Stiven Hoking i mnogi drugi fizičari. Ono što je autora privuklo samoj ideji pisanja master rada na ovu temu je upoznavanje nekih neeuklidskih prostora, gde neka tvrđenja koja važe u Euklidovom prostoru, u neeuklidskom prostoru su netačna, a najbolji način za razumevanje takvog prostora je sama primena istog.
U prvom poglavlju rada su date osnovne operacije sa tenzorima, koji čine osnovni aspekt za shvatanje OTR. Važna tvrđenja, definicije, kao i slike neophodne za razumevanje osnovnih pojmova su preuzete i detaljnije dokazane i objašnjene u [17].
Drugo poglavlje je posvećeno kratkom upoznavanju sa specijalnom teorijom relativnosti, koje je dato više zbog istorijskog uvoda u tok nastajanja OTR, stoga se autor nije previše zadržavao na prostoru Minkovskog, već su date neke osnovne karakteristike. Specijalna teorija relativnosti je važna jer je ona podstakla OTR, koja je proširila revoluciju u našim idejama o prostoru i vremenu. Osnovne osobine prostora i metrike, u prostoru Minkovskog su preuzete iz [20]. Slike u ovom poglavlju su preuzete iz [10].
U poglavlju Osnovi Rimanove geometrije je dokazana fudamentalna teorema koja govori o postojanju metrički kompatibilne povezanosti na mnogostrukosti, što je bitno za stvaranje uslova neophodnih za proces diferenciranja na mnogostrukostima. Pojmovi iz datog poglavlja su detaljnije objašnjeni u [13].
Četvrto poglavlje je logički sled prvog i trećeg poglavlja. Tu je objašnjeno detaljnije kovarijantno diferenciranje, da su geodezijske linije izuzetno važne u Rimanovoj geometriji jer za zakrivljen prostor predstavljaju isto što i prave u Euklidskom prostoru. Tvrđenja iz datog poglavlja se mogu pogledati u [20] i [13].
Peto poglavlje daje bitnu razliku između Euklidovog i Rimanovog prostora, da samo u slučaju kada je Riman-Kristofelov tenzor jednak nuli, prostor je ravan. Za detaljnija objašnjenja i tvrđenja koja nisu izvedena u ovom poglavlju, autor upućuje čitaoca na [20], [3], [16].
U šestom poglavlju se vidi direktna primena diferencijalne geometrije na izvođenje Anštajnovih jednačina. Tvrđenja čiji dokazi nisu dati u ovom poglavlju, čitalac može pogledati u [20], [16].
Ovo je bilo samo kratak pregled rada, u samom radu su svi prethodni pojmovi objašnjeni detaljnije.
Na samu ideju za pisanje master rada na ovu temu, autor je došao u saradnji sa profesorkom dr Nevenom Pušić, kojoj bih se ovom prilikom zahvalila za svu neophodnu podršku koju mi je pružila, ne samo pri pisanju master rada, već i tokom studija. Takođe se
5
zahvaljujem i profesoru dr Milanu Pantiću i profesorki dr Sanji Konjik na korisnim sugestijama pri nastajanju rada. Zahvaljujem se roditeljima Mileni i Radušku, bratu i sestri Aleksandru i Dragani, za pruženu podršku u dosadašnjim životnim pobedama i porazima. Za tehničku podršku zahvaljujem se Mladenu Karakliću.
Ime i prezime Novi Sad, avgust 2012. Danijela Popović
6
1. OSNOVI TENZORSKE ANALIZE
1.1. Osnovni pojmovi diferencijalne geometrije. Diferenciranje na mnogostrukostima
Definicija 1.1.1. Regularna parametrizovana kriva je neprekidno definisana na nekom intervalu 퐼 ⊆ ℝ, tako da važi 푐(푡) = (푡) ≠ 0 za sve 푡 ∈ 퐼.
Definicija 1.1.2. Regularna kriva je klasa ekvivalencije regularnih parametrizovanih krivih s obzirom na sledeću relaciju ekvivalencije: neka su 푐 : 퐼 → ℝ , 푐 : 퐼 → ℝ regularne parametrizovane krive. Tada je 푐 ekvivalentno sa 푐 ako postoji difeomorfizam 휑: 퐼 → 퐼 (tj. 휑 je bijekcija i 휑, 휑 su 퐶 ) takvo da je 푐 ∘ 휑 = 푐 i 휑 > 0 (takvo 휑 očuvava orijentaciju).
SLIKA 1.1. PARAMETRIZACIJA KRIVE
Teorema 1.1.3. (Teorema o inverznoj funkciji) Neka je 푈 ⊆ ℝ otvoren, 푓:푈 → ℝ , 푓 ∈ 풞 (푈), 푝 ∈ 푈, 푦 ≔ 푓(푝 ) i 퐷푓(푝 ) invertibilno (det퐷푓(푝 ) ≠ 0). Tada je lokalno oko 푝 , 푓 difeomorfizam, tj. postoji 푈 ⊆ 푈, otvorena okolina od 푝 i 푉 otvorena okolina od 푦 , takva da je 푓:푈 → 푉 bijekcija i 푓 :푉 → 푈 je takođe 풞 preslikavanje.
Teorema 1.1.4. (Teorema o implicitnoj funkciji) Neka su 푈 ⊆ ℝ i 푉 ⊆ ℝ otvoreni, 푓:푈 × 푉 → ℝ , 푓 ∈ 풞 , (푝 , 푦 ) ∈ 푈 × 푉, 푓(푝 ,푦 ) = 0 i neka je (푝 ,푦 ):ℝ → ℝ invertibilno (푑푒푡 (푝 , 푦 ) ≠ 0). Tada postoje otvorene okoline
푈 ⊆ 푈 od 푝 , 푉 ⊆ 푉 od 푦 , takve da: ∀푝 ∈ 푈 ∃! 푦 = 푦(푝) ∈ 푉 i važi da je 푓 푝, 푦(푝) = 0. Preslikavanje 푝 ⟼ 푦(푝) je 풞 .
Pojam mnogostrukosti je izuzetno važan pojam u diferencijalnoj geometriji i teoriji relativnosti, jer omogućava da se komplikovanije strukture izraze i shvate u okviru dobro razumljivih svojstava jednostavnijih prostora. Krive i površi su primeri mnogostrukosti dimenzija 1 i 2, respektivno. U samom izračunavanju mnogostrukosti se i polazi od krivih i površi u ℝ , dok apstraktne mnogostrukosti ne moraju da budu date u euklidskom prostoru.
Definicija 1.1.5. Neka je 푈 ⊆ ℝ otvoren skup i 휑:푈 → ℝ 풞 -preslikavanje. 휑 je regularno akko je za sve 푥 ∈ 푈 rang jakobijana 퐷휑(푥) maksimalan, tj. jednak sa 푚푖푛{푘, 푛}. Tada za rang 푟푘(퐷휑) od 퐷휑 imamo 푟푘 퐷휑(푥) = dim 퐼푚 퐷휑(푥) = dim(ℝ ) − dim 퐾푒푟퐷휑(푥) . Dakle, ako je 푘 ≤ 푛,
7
tada je 퐾푒푟퐷휑(푥) = {0} i 퐷휑(푥) je injektivno za sve 푥. U ovom slučaju se 휑 naziva imerzijom. Za 푘 ≥ 푛, 퐷휑(푥) je sirjekcija sve 푥 i 휑 se naziva submerzija.
Definicija 1.1.6. Podskup 푀 od ℝ je 푘-dimenziona podmnogostrukost od ℝ (푘 ≤ 푛) ako važi: Za svako 푝 ∈ 푀 postoji otvorena okolina 푊 od 푝 u ℝ , otvoreni podskup 푈 od ℝ i imerzija 휑:푈 → ℝ takva da je 휑:푈 → 휑(푈) homomorfizam i 휑(푈) = 푀 ∩푊. Takvo 휑 je lokalna parametrizacija od 푀.
SLIKA 1.2. LOKALNA PARAMETRIZACIJA
Definicija 1.1.7. Neka su 푀 ⊆ ℝ i 푁 ⊆ ℝ podmnogostrukosti. Preslikavanje 푓:푀 → 푁 je 풞 , ako za sve 푝 ∈ 푀 postoji okolina 푈 od 푝 u ℝ i neko glatko preslikavanje 푓:푈 → ℝ tako da važi 푓 ∩ = 푓| ∩ . Ako je 푓 bijekcija, 푓 i 푓 glatki, 푓 je difeomorfizam.
Definicija 1.1.8. Neka je 푀 푘-dimenziona podmnogostrukost od ℝ . Karta (휓,푉) od 푀 je difeomorfizam otvorenog skupa 푉 ⊆ 푀 u otvoren podskup od ℝ .
Karte su bitan pojam u diferencijalnoj geometriji, jer se pomoću njih može preći lokalno iz nekog nepoznatog prostora u kom se nalazi podmnogostrukost, koji može da bude neeuklidski, u prostor ℝ koji je intuitivno bliži, jasniji, koncept datog prostora i njegove osobine su poznatije, nego proizvoljni prostor u kom se nalazi podmnogostrukost.
Teorema 1.1.9. Neka su 푀 ⊆ ℝ , 푁 ⊆ ℝ podmnogostrukosti i 푓:푀 → 푁. Sledeći uslovi su ekvivalentni: 1) 푓 je glatko. 2) Za sve 푝 ∈ 푀 postoji karta (휑,푈) od 푀 u 푝, (휓,푉) od 푁 u 푓(푝) takva da je domen 휑 푈 ∩ 푓 (푉) lokalne reprezentacije 휓 ∘ 푓 ∘ 휑 otvoren i 휓 ∘ 푓 ∘ 휑 :휑 푈 ∩ 푓 (푉) → 휓(푉) je glatko.
3) 푓 je neprekidno i za sve 푝 ∈ 푀 postoje karte (휑,푈) od 푀 u 푝, (휓,푉) od 푁 u 푓(푝) takve da je lokalna reprezentacija 휓 ∘ 푓 ∘ 휑 :휑 푈 ∩ 푓 (푉) → 휓(푉) je glatka.
4) 푓 je neprekidno i za sve 푝 ∈ 푀, za sve karte (휑,푈) od 푀 u 푝 i sve karte (휓,푉) od 푁 u 푓(푝), lokalna reprezentacija 휓 ∘ 푓 ∘ 휑 :휑 푈 ∩ 푓 (푉) → 휓(푉) je glatka.
8
Napomena 1.1.10. Prethodne teoreme u datom poglavlju su navedene bez dokaza, jer bi njihovo navođenje učinilo rad preobimnim. Za dokaze datih teorema pogledati u [17]. Osnovna tvrđenja o glatkim preslikavanjima i podmnogostrukostima su navedena, radi boljeg razumevanja aparata diferencijalne geometrije koji će biti korišćen u OTR. U nastavku će biti navedene teoreme i definicije u kojima se daju neke osnovne osobine i pojmovi vezani za apstraktnu mnogostrukost, kao i uvođenje pojmova diferenciranja i integraljenja na mnogostrukostima.
Definicija 1.1.11. Neka je 푀 skup. Karta (휓,푉) od 푀 je bijektivno preslikavanje 휓 iz 푉 ⊆ 푀 u otvoreni podskup 푈 od ℝ , 휓:푉 → 푈. Dve karte (휓 ,푉 ), (휓 ,푉 ) su 풞 -kompatibilne ako su 휓 (푉 ∩ 푉 ) i 휓 (푉 ∩ 푉 ) otvoreni u ℝ , i promena karti 휓 ∘ 휓 :휓 (푉 ∩ 푉 ) → 휓 (푉 ∩ 푉 ) je 풞 -difeomorfizam (dati uslov je simetričan, po 휓 i 휓 ). 풞 -atlas od 푀 je familija 풜 = {(휓 ,푉 )|훼 ∈ 퐴}, u kojoj su svake dve karte 풞 -kompatibilne, takva da je 푀 = ⋃ ∈ 푉 . Dva atlasa 풜 i 풜 su ekvivalentna ako je 풜 ∪풜 i sam atlas od 푀, tj. ako su sve karte iz 풜 ∪풜 kompatibilne. Diferencijabilna mnogostrukost je skup 푀 zajedno sa klasom ekvivalencije atlasa. Takva struktura ekvivalencije se naziva diferencijabilna struktura na 푀.
SLIKA 1.3. DEFINICIJA KARTE
Propozicija 1.1.12. Neka je 푀 mnogostrukost sa maksimalnim atlasom 풜 = {(휓 ,푉 )|훼 ∈ 퐴}. Tada je ℬ = {푉 |훼 ∈ 퐴} baza topologije, tzv. prirodna ili topologija mnogostrukosti od 푀.
Definicija 1.1.13. Neka su 푀 i 푁 풞 mnogostrukosti, 푓:푀 → 푁, preslikavanje 푓 je glatko ako je neprekidno, ako je neprekidno, i za svako 푝 ∈ 푀 postoji karta 휑 od 푀 oko 푝 i karta 휓 od 푁 oko 푓(푝), tako da je 휓 ∘ 푓 ∘ 휑 glatko preslikavanje. 푓 je difeomorfizam, ako je bijekcija i 푓 i 푓 su glatki.
1.4. DEFINICIJA GLATKOG PRESLIKAVANJA
9
Propozicija 1.1.14. Neka je 푀 mnogostrukost. 푀 zadovoljava drugu aksiomu prebrojivosti akko 푀 ima prebrojiv atlas. Definicija 1.1.15. Neka je 푀 mnogostrukost. Nosač bilo kog preslikavanja 푓:푀 → ℝ je definisan kao skup 푠푢푝푝(푓) ≔ {푝 ∈ 푀|푓(푝) ≠ 0}. Familija podskupova 휈 od 푀 je lokalno konačna ako svako 푝 ∈ 푀 ima okolinu koja seče samo konačno mnogo skupova iz 휈. Neka je 풰 otvoren pokrivač od 푀. Particija jedinice koja odgovara 풰 je familija {휒 |훼 ∈ 퐴} glatkih preslikavanja 휒 :푀 → ℝ takva da: 1) {푠푢푝푝휒 |훼 ∈ 퐴} je lokalno konačna. 2) Za svako 훼 ∈ 퐴 postoji neko 푈 ∈ 풰 tako da važi 푠푢푝푝휒 ⊆ 푈. 3) Za svako 푝 ∈ 푀, važi da je ∑ 휒 (푝)∈ = 1.
Teorema 1.1.16. Neka je 푀 Hauzdorfova mnogostrukost koja zadovoljava drugu aksiomu prebrojivosti. Tada za svaki otvoreni pokrivač 풰 od 푀 postoji particija jedinice 휒 푗 ∈ 푁 koja odgovara pokrivaču 풰, takva da je za sve 푠푢푝푝휒 kompaktan skup i sadržan u karti.
Napomena 1.1.17. 1) U nastavku će se pod glatkom mnogostrukošću podrazumevati mnogostrukost čija je
prirodna topologija Hauzdorfova i zadovoljava drugu aksimu prebrojivosti. 2) Da bi se uveo pojam diferenciranja na mnogostrukostima, mora se na neki način doći do
strukture vektorskog prostora, zato se mnogostrukost mora aproksimirati vektorskim prostorom (tangentnim prostorom, koji odgovara tangentnoj ravni na površ). Kada se formira neophodna vektorska struktura, sam postupak nije nimalo jednostavan, tada se iskoristi ideja iz ℝ za definisanje izvoda preslikavanja. U ℝ je izvod preslikavanja odgovarajuća linearna aproksimacija preslikavanja.
Teorema 1.1.18. Neka je 푀 podmnogostrukost od ℝ i 푝 ∈ 푀. Sledeći podskupovi u ℝ se poklapaju: 1) 퐼푚퐷휑(0), gde je 휑 lokalna parametrizacija od 푀, gde važi 휑(0) = 푝. 2) {푐′(0)|푐: 퐼 → 푀,풞 , 퐼 ⊆ ℝ, 푐(0) = 푝} 3) 퐾푒푟퐷푓(푝), gde je lokalno oko 푝, 푀 nula skup regularnog preslikavanja 푓:ℝ → ℝ
(푘 = 푑푖푚푀) 4) 푔푟푎푝ℎ 퐷푔(푝′) , gde je lokalno oko p, 푀 grafik glatkog preslikavanja 푔 i 푝 = 푝 ,푔(푝 ) .
Definicija 1.1.19. Neka je 푀 podmnogostrukost od ℝ i 푝 ∈ 푀. Linearni podskup od ℝ koji je okarakterisan u Teoremi 1.1.18. se naziva tangentnim prostorom od 푀 u 푝 i označava se sa 푇 푀. Elementi od 푇 푀 se nazivaju tangentni vektori od 푀 u 푝. Ako je 푁 podmnogostrukost od ℝ i 푓:푀 → 푁 je glatko, tada je 푇 푓:푇 푀 → 푇 ( )푁, 푐 (0) ⟼ (푓 ∘ 푐) (0). 푇 푓 je tangentno preslikavanje od 푓 u 푝.
Lema 1.1.20. (Lančano pravilo) Neka su 푀,푁,푃 podmnogostrukosti, 푓:푀 → 푁, 푔:푁 → 푃, 푓, 푔 풞 -preslikavanja, 푝 ∈ 푀. Tada važi 푇 (푔 ∘ 푓) = 푇 ( )푔 ∘ 푇 푓.
10
Definicija 1.1.21. Neka je 푀 mnogostrukost, 푝 ∈ 푀 i (휓,푉) karta oko 푝. Dve 풞 -krive 푐 , 푐 : 퐼 → 푀 sa 푐 (0) = 푝 = 푐 (0) se nazivaju tangentnim u 푝 s obzirom na 휓 ako je (휓 ∘ 푐 ) (0) = (휓 ∘ 푐 ) (0).
Slika 1.5. Tangentne krive
Definicija 1.1.22. Tangentni prostor mnogostrukosti 푀 u 푝 ∈ 푀 je 푇 푀 = [푐] 푐: 퐼 → 푀,풞 , 퐼 ⊆ ℝ, 푐(0) = 푝 .
Definicija 1.1.23. Neka su 푀 i 푁 mnogostrukosti i 푓:푀 → 푁 glatko preslikavanje. Tada je 푇 푓:푇 푀 → 푇 ( )푁 [푐] → [푓 ∘ 푐] ( )
Tangentno preslikavanje od 푓 u 푝.
Propozicija 1.1.24. (Lančano pravilo) Neka su 푀, 푁 i 푃 mnogostrukosti, 푓:푀 → 푁 i 푔:푁 → 푃 glatki i 푝 ∈ 푀. Tada 푇 (푔 ∘ 푓) = 푇 ( )푔 ∘ 푇 푓. Pošto je 푇 (푖푑 ) = 푖푑 , za bilo koji difeomorfizam 푓:푀 → 푁, 푇 푓
je bijektivno i 푇 푓 = 푇 ( )푓 .
Lema 1.1.25. Neka je 푈 ⊆ ℝ otvoren i 푝 ∈ 푈. Tada je 푖:푇 푈 → ℝ , 푖 [푐] ≔ 푐 (0) bijekcija, pa se 푇 푈 može identifikovati sa ℝ . S obzirom na ovu identifikaciju, za bilo koje glatko preslikavanje 푓:푈 → 푉, 푉 ⊆ ℝ važi da je 푇 푓 = 퐷푓(푝).
Slika 1.6. Identif ikacija tangentnog prostora sa ℝ풏
Propozicija 1.1.26. Neka je 푀 mnogostrukost, 푝 ∈ 푀 i (휓,푉) karta oko 푝. Struktura vektorskog prostora indukovanog na 푇 푀 pomoću bijekcije 푇 휓:푇 푀 → 푇 ( )휓(푉) ≅ ℝ je nezavisna od izbora
11
karte (휓,푉). Napomena 1.1.27. i) Bilo koja karta od 푀 daje odgovarajuću bazu od 푇 푀. Neka je (휓,푉) karta od 푀 u 푝, i 휓(푝) = 푥 (푝), … ,푥 (푝) (푥 su koordinatne funkcije od 휓). Za 1 ≤ 푖 ≤ 푛, neka je 푒 , 푖-ti standardni jedinični vektor od ℝ . Neka je 휓(푝) = 0. Tada se definiše
휕휕푥 ≔ 푇 휓 (푒 ) ∈ 푇 푀.
Preciznije se prethodna formula zapisuje u obliku 휕휕푥 ≔ 푇 휓 ([푡 ⟼ 푡푒 ] ) = [푡 ⟼ 휓 (푡푒 )] .
Kako je 푇 휓 linearni izomorfizam, , … , zaista čini bazu od 푇 푀.
ii) Neka je 푣 = [푐] ∈ 푇 푀, 푓 ∈ 풞 (푀,ℝ).Tada je definisana operacija 휕 :풞 (푀,ℝ) → ℝ sa 휕 푓 ≔ 푇 푓(푣). Imamo da važi
휕 (푓) = 푇 푓(푣) = 푇 푓 [푐] = [푓 ∘ 푐] ( ) = (푓 ∘ 푐) (0)(1.1)
koja odgovara diferenciranju u pravcu 푣. Specijalno za 푣 = , važi (푣 se piše umesto 휕 ):
휕휕푥 = 푓 ∘ 휓 (푡 ⟼ 푡푒 ) (0) = 퐷 (푓 ∘ 휓 ) 휓(푝) (1.2)
pa odgovara parcijalnom diferenciranju u karti 휓.
Definicija 1.1.28. Preslikavanje 휕:풞 (푀) → ℝ je izvod u 푝 ∈ 푀, ako je 휕 linearno i zadovoljava Lajbnicovo pravilo:
1) 휕(푓 + 훼푔) = 휕푓 + 훼휕푔. 2) 휕(푓 ⋅ 푔) = 휕푓 ⋅ 푔(푝) + 푓(푝) ⋅ 휕푔, za sve 푓,푔 ∈ 풞 (푀) i za sve 훼 ∈ ℝ. Vektorski prostor
svih izvoda u 푝 se označava sa 퐷푒푟 (풞 (푀),ℝ).
Teorema 1.1.29. Preslikavanje 퐴:푇 푀 ⟼ 퐷푒푟 (풞 (푀),ℝ) 푣 ⟼ 휕
je linearni izomorfizam.
U nastavku će biti uvedeni pojam vektorskog polja i tangentnog raslojenja, koji su neophodni za povezivanje pojedinačnih vektorskih prostora koji su pridruženi svakoj tački mnogostrukosti, u jednu celinu.
Definicija 1.1.30. Neka je 푀 glatka mnogostrukost. Tangentno raslojenje (tangentni prostor) od 푀 je definisan
12
kao unija vektorskih prostora 푇 푀(푝 ∈ 푀):
푇푀 ≔ 푇 푀∈
= {푝} × 푇 푀∈
.
Preslikavanje 휋 :푇푀 → 푀, (푝, 푣) ⟼ 푝 je kanonička projekcija. Ako je 푓:푀 → 푁 glatko, tada
je njeno tangentno preslikavanje 푇푓 od 푓 definisano sa 푇푓(푝, 푣) = 푓(푝),푇 푓(푣) .
Lema 1.1.31. (Lančano pravilo) Neka su 푓:푀 → 푁 i 푔:푁 → 푃 glatka preslikavanja. Tada je 푇(푔 ∘ 푓) = 푇푔 ∘ 푇푓. Štaviše, 푇(푖푑 ) = 푖푑 , pa za bilo koji difeomorfizam 푓:푀 → 푁 važi da je (푇푓) = 푇푓 .
Definicija 1.1.32. 1) Lokalno vektorsko raslojenje:
Neka su 퐸, 퐹 konačno dimenzioni vektorski prostori u 푈 ⊆ 퐸 otvoren skup. Tada se 푈 × 퐹 naziva lokalno vektorsko raslojenje sa bazom 푈. 푈 se identifikuje sa 푈 × {0}. Za 푢 ∈ 푈, {푢} × 퐹 je vlakno nad 푢. Vlakno ima strukturu vektorskog prostora iz 퐹. Projekcija 휋:푈 × 퐹 → 푈, (푢, 푓) ⟼푢 se naziva projekcija od 푈 × 퐹. Tada je vlakno nad 푢 baš 휋 (푢). Preslikavanje 휑:푈 × 퐹 → 푈 × 퐹 lokalnog vektorskog raslojenja (lokalni vektorski izomorfizam), ako je 휑 glatko (difeomorfizam), zapisuje se u obliku 휑(푢, 푓) = (휑 (푢),휑 (푢) ⋅ 푓), gde je 휑 (푢) linearno (linearni izomorfizam) iz 퐹 u 퐹 za sve 푢 ∈ 푈.
Slika 1.7. Lokalno vektorsko raslojenje
2) Vektorsko raslojenje: Neka je 퐸 skup. Karta lokalnog vektorskog raslojenja od 퐸 je (훹,푊), gde je 푊 ⊆ 퐸 i 훹:푊 → 푊 × 퐹 je bijekcija na lokalno vektorsko raslojenje 푊 × 퐹 (gde 푊 i 퐹 zavise od 훹). Atlas vektorskog raslojenja je familija {(훹 ,푊 )|훼 ∈ 퐴} lokalno vektorskih karti takvih da 푊 pokriva 퐸 i bilo koje dve karte vektorskog raslojenja (훹 ,푊 ), 훹 ,푊 u 풜, 푊 ∩푊 ≠ ∅ su kompatibilne u smislu da je
훹 ∘ 훹 :훹 푊 ∩푊 → 훹 푊 ∩푊
izomorfizam lokalnog vektorskog raslojenja, i da su 훹 푊 ∩푊 i 훹 푊 ∩푊 lokalna vektorska raslojenja.
13
Slika 1.8. Vektorsko raslojenje
Dva atlasa vektorskog raslojenja 풜 i 풜 su ekvivalentna, ako je 풜 ∪풜 atlas vektorskog raslojenja. Struktura vektorskog raslojenja 휈 je klasa ekvivalencije atlasa vektorskog raslojenja. Vektorsko raslojenje je skup 퐸 zajedno sa strukturom vektorskog raslojenja. Kako je svaki atlas vektorskog raslojenja istovremeno i 풞 -atlas, 퐸 je i 풞 -mnogostrukost. Za topologiju mnogostrukosti se pretpostavlja da je Hauzdorfova i da zadovoljava drugu aksiomu prebrojivosti.
Napomena 1.1.33. U svakom vektorskom raslojenju 퐸 postoji podskup 퐵, baza od 퐸, definisana sa: 퐵 ≔ {푒 ∈ 퐸|∃푉푅 − 푘푎푟푡푎(훹,푊), 푡푎푘표푑푎푗푒푒 = 훹 (휔 , 0)푧푎푛푒푘표휔 ∈ 푊 }.
Definicija 1.1.34. Neka je (퐸,퐵,휋) vektorsko raslojenje. Preslikavanje 푋:퐵 → 퐸 se naziva presek od 퐸 (preciznije od 휋:퐸 → 퐵), ako je
휋 ∘ 푋 = 푖푑 .
Skup svih glatkih preseka od 퐸 se označava sa 훤(퐵,퐸) il i 훤(퐸).
Napomena 1.1.35. Vektorsko polje je presek od 푇푀 휋 푋 = 푝∀푝 . Ako je (훹,푉), 훹 = (푥 , … ,푥 ) karta
od 푀, tada za svako 푝 ∈ 푉, čine bazu od 푇 푀. Pošto 푋 ∈ 푇 푀, za svako 푝 postoji
jedinstveno određeno 푋 (푝) ∈ ℝ, takvo da važi 푋 = ∑ 푋 (푝) .
Propozicija 1.1.36. Neka je 푋 vektorsko polje na mnogostrukosti 푀. Sledeći uslovi su ekvivalentni: 1) 푋:푀 → 푇푀 je glatko, tj. 푋 ∈ 훤(푇푀). 2) Za svako 푓 ∈ 풞 , 푝 ⟼ 푋 (푓):푀 → ℝ je glatko. 3) Za svaku kartu (훹,푉) od 푀, 훹 = (푥 , … , 푥 ) važi da je u lokalnoj reprezentaciji 푋(푝) =∑ 푋 (푝) , 푋 ∈ 풞 (푉,ℝ) za sve 푖 = 1, … , 푛.
14
Definicija 1.1.37 Prostor glatkih vektorskih polja na 푀 se označava sa 픛(푀).
Definicija 1.1.38. ℝ-linearno preslikavanje 퐷:풞 (푀) → 풞 (푀) je izvod algebre 풞 (푀), ako zadovoljava pravilo proizvoda:
퐷(푓 ⋅ 푔) = 푓 ⋅ 퐷(푔) + 푔 ⋅ 퐷(푓).
Prostor izvoda na 풞 (푀) se označava sa 퐷푒푟 풞 (푀) .
Definicija 1.1.39. Neka su 푋,푌 ∈ 픛(푀). Lijeva zagrada od 푋 i 푌 je definisana na sledeći način:
[푋,푌](푓) ≔ 푋(푌푓) − 푌(푋푓), 푓 ∈ 풞 (푀).
Sledi da je [푋,푌]:풞 (푀) → 풞 (푀) linearno i da zadovoljava pravilo proizvoda, tako da važi [푋,푌] ∈ 픛(푀).
Propozicija 1.1.40.1 (Osobine Lijeve zagrade) Neka su 푋,푌,푍 ∈ 픛(푀), 푓,푔 ∈ 풞 (푀). Tada: 1) (푋,푌) ⟼ [푋,푌] je ℝ-bil inearno. 2) [푋,푌] = −[푌,푋] ([, ] je kososimetrična). 3) 푋, [푌,푍] + 푌, [푍,푋] + 푍, [푋,푌] = 0 (Jakobijev identitet). 4) [푓푋,푔푌] = 푓푔[푋,푌] + 푓푋(푔)푌 − 푔푌(푓)푋. 5) [, ] je lokalno. Ako je 푉 otvoreno u 푀, tada je [푋,푌]| = [푋| ,푌| ]. 6) Lokalna reprezentacija: Ako je (훹,푉) karta, 훹 = (푥 , … ,푥 ), 푋| = ∑ 푋 ,
푌| = ∑ 푌 , tada: [푋,푌]| = ∑ ∑ 푋 − 푌 .
Definicija 1.1.41. Preslikavanje 퐴푙푡:푇 (퐸) → 푇 (퐸)
퐴푙푡(푡)(푓 , … ,푓 ) ≔1푘! 푠푔푛(휎)푡 푓 ( ), … ,푓 ( )
∈
se naziva alternator.
Definicija 1.1.42. Neka je E konačnodimenzioni vektorski prostor. Λ E∗ ∶= L (E,ℝ)je prostor svih multil inearnih alternirajućih funkcija iz 퐸 = E × … × Eu ℝ.
Lema 1.1.43 퐴푙푡 je l inearna projekcija 푇 (퐸) na Λ E∗, tj.
1) 퐴푙푡 je l inearno,퐴푙푡(푇 (퐸)) ⊆ Λ E∗ 2) 퐴푙푡| ∗ = 푖푑 ∗
1 Dokaz propozicije se može pogledati u [17].
15
3) 퐴푙푡 ∘ 퐴푙푡 = 퐴푙푡 4) 퐴푙푡 푇 (퐸) = Λ E∗. Definicija 1.1.44. Neka je 푑푖푚(퐸) = 푛, 휔 ∈ 훬 퐸∗,휔 ≠ 0.휔 se naziva zapreminski element na 퐸. Dva zapreminska elementa 휔 i 휔 su ekvivalentna ako je 휔 = 푐 ∙ 휔 , za neko 푐 > 0. Klasa ekvivalencije zapreminskih elemenata na 퐸 se naziva orijentacija od 퐸. Definicija 1.1.45. Neka je 휙 ∈ 퐿(퐸,퐹),훼 ∈ 푇 (퐹). PULL-BACK od 훼 pod dejstvom 휙 je funkcija
휙∗:푇 (퐹) → 푇 (퐸) 휙∗(훼)(푒 , . . , 푒 ) ≔ 훼 휙(푒 ), … ,휙(푒 ) ,푒 , … , 푒 ∈ 퐸.
Ako je 휙 bijekcija, tada je PUSH-FORWARD 휙∗:푇 (퐸) → 푇 (퐹) 휙∗ ∶= (휙 )∗, pa je
휙∗훼(푓 , . . , 푓 ) = 훼 휙 (푓 ), … ,휙 (푓 ) , 푓 , … ,푓 ∈ 퐹. Tada je 휙∗ = 휙 . Definicija 1.1.46. Neka je (퐸,퐵,휋) vektorsko raslojenje, 퐸 = 휋 (푏) vlakno nad 푏 ∈ 퐵. Tada je
Λ E∗ ≔ Λ E∗
∈
= {푏} × Λ E∗
∈
i 휋 :Λ E∗ → B,휋 (푒) = 푏, za 푒 ∈ Λ E∗ . Za 퐴 ⊆ 퐵 važi
Λ E∗| = Λ E∗
∈
.
Definicija 1.1.47. Neka je M mnogostrukost, 훬 푇∗푀 ≔ 훬 (푇푀)∗ se naziva vektorsko raslojenje spoljašnjih k-formi na TM. Prostor glatkih preseka od 훬 푇∗푀 se označava sa 훺 (푀)i njegovi elementi se nazivaju diferencijalne forme reda k il i (spoljašnje) k-forme na M.Za 푘 = 0 važi da je 훺 (푀) = 풞 (푀). Definicija 1.1.48. Neka 훼 ∈ 푇 (퐸), 훽 ∈ 푇 (퐸). Spoljašnji proizvod (eng exterior il i wedge product) 훼 i 훽 se definiše kao
훼 ∧ 훽 ≔(푘 + 푙)!푘! 푙! 퐴푙푡(훼 ⊗ 훽).
Za 훼 ∈ 푇 (퐸) = Λ E∗ = ℝ je 훼 ∧ 훽 = 훽 ∧ 훼 = 훼 ⋅ 훽. Propozicija 1.1.49. Neka su 훼 ∈ 푇 (퐸), 훽 ∈ 푇 (퐸) i 훾 ∈ 푇 (퐸). Tada je: 1) 훼 ∧ 훽 = 퐴푙푡(훼) ∧ 훽 = 훼 ∧ 퐴푙푡(훽) 2) ∧ je bil inearno 3) 훼 ∧ 훽 = (−1) ⋅ 훽 ∧ 훼 4) ∧ je asocijativno: 훼 ∧ (훽 ∧ 훾) = (훼 ∧ 훽) ∧ 훾.
1.2. Skalari, vektori i tenzori
Tenzori su veličine koje podležu određenim zakonima transformacije. Skalari, vektori, matrice i nizovi višeg reda se mogu smatrati komponentama tenzorske veličine. Informacije
16
o ovim transformacionim zakonima su neophodne, da bi se mogli da predstaviti fizički zakoni u obliku koji je nezavistan od izabranog koordinatnog sistema. Biće pokazano u nastavku kako se ove komponente mogu predstaviti u nekoliko koordinatnih sistema.
Pre nego što budu uvedeni različiti tipovi tenzora, biće ispitano šta se smatra pod koordinatnim transformacijama. Posmatraju se koordinatne transformacije od sistema koordinata (푥,푦, 푧) u (푢,푣,휔) definisane sistemom transformacionih jednačina
푥 = 푥(푢, 푣,휔) 푦 = 푦(푢,푣,휔) 푧 = 푧(푢, 푣,휔).
Date koordinatne transformacije mogu se generalizovati u višim dimenzijama. Neka 푥 , 푖 = 1, … ,푁 označava N promenljivih. Ove veličine se mogu uzeti za predstavljanje tačke (푥 , … ,푥 ) u N-dimenzionalnom prostoru VN. Drugi skup od N veličina푥 , 푖 = 1, … ,푁 može se koristiti za predstavljanje tačke(푥 , … , 푥 ) u N-dimenzionalnom prostoru 푉N. Postoji transformacija između koordinata 푥 i 푥 , 푖 = 1, … ,푁 kada su 푥 i 푥 povezani jednačinama oblika: 푥 = 푥 (푥 , … , 푥 ), 푖 = 1, … ,푁.(1.3)
Kada su relacije (1.3) funkcionalno nezavisne, jednoznačno određene, imaju parcijalne izvode takve da je Jakobijan transformacije
퐽푥푥 = 퐽
푥 , … ,푥푥 , … , 푥 =
휕푥휕푥
휕푥휕푥 …
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥 …
휕푥휕푥
različit od nule, tada postoji inverzna transformacija 푥 = 푥 (푥 , … ,푥 ), 푖 = 1, … ,푁.(1.4)
Neka je dat niz transformacija iz 푥 u 푥, a zatim iz 푥 u 푥. Radi jednostavnijeg zapisa, neka je 푥 = 푦, 푥 = 푧. Neka su sa 푇 i 푇 označene transformacije:
푇 : 푦 = 푦 (푥 , … ,푥 ), 푖 = 1, … ,푁 ili 푇 푥 = 푦 푇 : 푧 = 푧 (푦 , … , 푦 ), 푖 = 1, … ,푁 ili 푇 푦 = 푧.
Tada se transformacija 푇 dobijena zamenom 푇 u 푇 naziva proizvodom dve uzastopne transformacije i zapisuje se u obliku:
푇 : 푧 = 푧 푦 (푥 , … ,푥 ), … , 푦 (푥 , … , 푥 ) , 푖 = 1, … ,푁 ili 푇 푥 = 푇 푇 푥 = 푧.
Ovaj proizvod transformacija se označava sa 푇 = 푇 푇 . Jakobijan proizvoda transformacija je jednak proizvodu Jakobijana koji odgovaraju transformacijama 푇 i 푇 , 퐽 = 퐽 퐽 .
1.3. Skalarne funkcije i invarijante
Prvo se uvodi definicija za skalarnu invarijantu odnosno za tenzor nultog reda.
Definicija 1.3.1. (Apsolutno skalarno polje)
17
Neka postoji koordinatna transformacija oblika 푥 = 푥 (푥 , … , 푥 ), 푖 = 1, … ,푁 sa Jakobijanom različitim od nule. Neka je skalarna funkcija 푓 = 푓(푥 , … ,푥 ), (1.5) funkcija koja zavisi od 푥 , 푖 = 1, … ,푁 u prostoru VN. Kada postoji funkcija
푓 = 푓(푥 , … , 푥 ),(1.6)
koja je funkcija koordinata 푥 , 푖 = 1, … ,푁 takva da je 푓 = 퐽 푓, tada se f zove tenzorom ranga (reda) nula, veličine W u prostoru VN. Kada je W=0 skalar f se naziva komponentom apsolutnog skalarnog polja u odnosu na apsolutni tenzor ranga (reda) nula.
Apsolutno skalarno polje je invarijantni objekat u prostoru VN s obzirom na grupu koordinatnih transformacija. Ima po jednu komponentu u svakom koordinatnom sistemu. U bilo koju skalarnu funkciju koja je definisana jednačinom (1.5), mogu se zameniti transformacione jednačine (1.3), i dobija se
푓 = 푓(푥 , … , 푥 ) = 푓 = 푓 푥 (푥), … , 푥 (푥) = 푓(푥 , … , 푥 ).(1.7)
1.4. Vektorske transformacije, kontravarijante komponente
Neka je u VN data kriva c, definisana sistemom parametarskih jednačina 푐 ∶ 푥 = 푥 (푡), 푖 = 1, … ,푁, gde je t parametar. Tangentni vektor na krivu c je vektor
푇 , … , . U indeksnoj notaciji koja se više fokusira na komponente, ovaj tangentni
vektor se označava sa 푇 = , 푖 = 1, … ,푁. Za koordinatnu transformaciju tipa definisanog jednačinom (1.3), sa svojom inverznom transformacijom definisanom jednačinom (1.4), kriva c je predstavljena u prostoru sa koordinatama 푥 = 푥 (푥 (푡), … , 푥 (푡)) = 푥 (푡), 푖 =1, … ,푁, sa nepromenljivim t.
Tangenta krive u koordinatnom sistemu 푥 je predstavljena na sledeći način: 푑푥푑푡 =
휕푥휕푥 ∙
푑푥푑푡 , 푖 = 1, … ,푁.(1.8)
Neka su sa 푇 , 푖 = 1, … ,푁 označene komponente ovog tangentnog vektora u koordinatnom sistemu 푥, jednačina (1.8) se može zapisati u obliku
푇 =휕푥휕푥 푇 , 푖, 푗 = 1, … ,푁.(1.9)
Ova jednačina definiše transformacioni zakon apsolutnog kontravarijantnog tenzora prvog ranga (reda jedan). Kada je N=3 matrica ove transformacije je predstavljena na sledeći način:
푇푇푇
=
⎝
⎜⎜⎜⎛
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥 ⎠
⎟⎟⎟⎞ 푇
푇푇
(1.10)
Definicija 1.4.1. (Kontravarijantni tenzor)
18
Neka je N veličina 퐴 u koordinatnom sistemu (푥 , … , 푥 ) povezano sa 푁 veličina 퐴 u koordinatnom sistemu (푥 , … , 푥 ) tako da je Jakobijan različit od nule. Ako je tada
transformacioni zakon 퐴 = 퐽 퐴 ispunjen, ove veličine se nazivaju komponentama relativnog tenzora prvog ranga (reda jedan) veličine W. Kada je 푊 = 0 ove veličine se nazivaju komponentama apsolutnog tenzora prvog ranga (reda jedan).
Primer 1.4.2. (Tranzitivna osobina kontravarijante transformacije) Kompozicija kontravarijantnih transformacija je takođe kontravarijantna transformacija.
Rešenje Neka je data transformacija vektora iz koordinatnog sistema (푥 , … , 푥 ) u (푥 , … , 푥 ). Vektor ili apsolutni tenzor prvog ranga 퐴 = 퐴 (푥), 푖 = 1, … ,푁 transformisaće se kao u jednačini (1.9), odnosno važiće
퐴 (푥) =휕푥휕푥 퐴 (푥).(1.11)
Druga transformacija koordinata 푥 → 푥 će dati komponente
퐴 (푥) =
퐴 (푥).(1.12)
Ovde je korišćena notacija 퐴 (푥) da bi bila naglašena zavisnost komponenata 퐴 od koordinata 푥. Menjajući indekse i zamenjujući jednačinu (1.11) u (1.12) dobija se da važi
퐴 (푥) =휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 퐴 (푥).(1.13)
Iz činjenice da je
∙ = , jednačina (1.13) se svodi na 퐴 (푥) = 퐴 (푥) i zato je
ova transformacija takođe kontravarijantna.
Napomena 1.4.3. Iz “pravila lanca” se dobija
∙ =
∙ +
∙ +
∙ = = 훿 .
1.5. Vektorske transformacije, kovarijantne komponente
Neka je data skalarna invarijanta퐴(푥) = 퐴(푥) što je skraćeno od jednačine 퐴(푥 , … ,푥 ) = 퐴(푥 , … , 푥 ) koja uključuje koordinatne transformacije (1.3) . Pravilom za izvod složene funkcije, diferencira se ova invarijanta i dolazi se do zaključka da komponente gradijenta moraju da zadovoljavaju relaciju
= ∙
.(1.14)
Neka su 퐴 = i 퐴 =
, tada se jednačina (1.14) može izraziti kao transformacioni
zakon
19
퐴 = 퐴휕푥휕푥 .(1.15)
Ovo je transformacioni zakon za apsolutni kovarijantni tenzor ranga ili reda jedan. Uopštenija definicija je:
Definicija 1.5.1. (Kovarijantni tenzor) Kada je N veličina 퐴 u koordinatnom sistemu (푥 , … ,푥 ) povezano sa N veličina 퐴 u koordinatnom sistemu (푥 , … , 푥 ), pri čemu je Jakobijan J različit od nule, takoda je
transformacioni zakon 퐴 = 퐽퐴 zadovoljen, onda se ove veličine nazivaju
komponentama relativnog kovarijantnog tenzora prvog ranga (reda jedan) koji ima veličinu W. Kada je W=0 ove veličine se nazivaju komponentama apsolutnog kovarijantnog tenzora prvog ranga (reda jedan). Za apsolutne tenzore prvog ranga (reda jedan) se uzimaju vektori dok se za apsolutne tenzore prvog ranga (reda nula) uzimaju skalari.
Primer 1.5.2. 2(Tranzitivna osobina kovarijantne transformacije) Neka je data kompozicija transformacija definisanih jednačinom (1.15)
푥 → 푥퐴 (푥) = 퐴 (푥)휕푥휕푥
푥 → 푥퐴 (푥) = 퐴 (푥)휕푥휕푥
Transformacija komponenata s obzirom na koordinatnu transformaciju 푥 → 푥 se može
izraziti u obliku 퐴 (푥) = 퐴 (푥)
= 퐴 (푥) , koji pokazuje tranzitivnu osobinu
kovarijantne transformacije.
1.6. Tenzori višeg reda
Pokazano je da su tenzori prvog reda veličine koje zadovoljavaju određene transformacione zakone. Tezori višeg reda su definisani na sličan način i takođe zadovoljavaju osobine grupe. Neka su date transformacije oblika predstavljenog u jednačinama (1.3) i (1.4), koje su jednoznačno određene, neprekidne, sa Jakobijanom J koji je različit od nule. U nastavku će veličine 푥 i푥 , 푖 = 1, … ,푁 predstavljati koordinate u bilo koja dva koordinatna sistema. Sledeći transformacioni zakoni definišu tenzore drugog i trećeg reda.
Definicija 1.6.1. (Kontravarijantni tenzor drugog reda) Kada je 푁 veličina 퐴 u koordinatnom sistemu (푥 , … ,푥 ) povezano sa 푁 veličina 퐴 u koordinatnom sistemu (푥 , … , 푥 ), tako da su ispunjeni transformacioni zakoni
퐴 (푥) = 퐴 (푥)퐽휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ,(1.16)
2 Detaljnije o kontravarijantnim i kovarijantnim transformacijama se može pogledati u [15] i [12].
20
onda se ove veličine nazivaju komponentama relativnog kontravarijantnog tenzora drugog ranga (reda dva) sa veličinom W. Kada je W=0 ove veličine se nazivaju komponentama apsolutnog kontravarijantnog tenzora drugog ranga (reda dva).
Definicija 1.6.2. (Kovarijantni tenzor drugog reda) Kada je 푁 veličina 퐴 u koordinatnom sistemu (푥 , … , 푥 ) povezano sa 푁 veličina 퐴 u koordinatnom sistemu (푥 , … , 푥 ) tako da je transformacioni zakon ispunjen
퐴 (푥) = 퐴 (푥)퐽휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ,(1.17)
tada se ove veličine nazivaju komponentama relativnog kovarijantnog tenzora drugog ranga (reda dva) veličine W. Kada je W=0 ove veličine se nazivaju komponentama apsolutnog kovarijantnog tenzora drugog ranga (reda dva).
Definicija 1.6.3. (Mešoviti tenzor drugog reda) Kada je 푁 velicina 퐴 u koordinatnom sistemu (푥 , … ,푥 ) povezano sa 푁 velicina 퐴 u koordinatnom sistemu (푥 , … , 푥 ) tako da je transformacioni zakon
퐴 (푥) = 퐴 (푥)퐽휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 (1.18)
ispunjen, tada se ove veličine nazivaju komponentama relativnog mešovitog tenzora drugog ranga (reda dva) veličine W. Ako je W=0 ove veličine se nazivaju komponentama apsolutnog mešovitog tenzora drugog ranga (reda dva). Dati tenzor je jedanput kontravarijantan i jednom kovarijantan.
Tenzori višeg reda se definišu na sličan način. Na primer ako se može naći 푁 veličina
퐴 tako da je 퐴 (푥) = 퐴 (푥)퐽 ∙∙
onda je ovo relativni mešoviti tenzor trećeg
reda veličine W. On je jedanput kontravarijantan i dva puta kovarijantan .
1.6.1. Opšta definicija3
Definicija 1.6.4. Neka su 퐸 , … ,퐸 ,퐹 konačnodimenzioni vektorski prostori. Prostor multilinearnih preslikavanja iz 퐸 × … × 퐸 u 퐹 se označava sa 퐿 (퐸 , … ,퐸 ;퐹). Za 푘 = 1 se dobija 퐿(퐸,ℝ) = 퐸∗, dualni prostor od 퐸, tj. vektorski prostor linearnih funkcionela na 퐸. Ako je
ℬ = {푒 , … , 푒 } baza od 퐸, tada funkcioneli definisani sa 훼 (푒 ) = 훿 = 1, 푖 = 푗0, 푖 ≠ 푗
(푗 = 1, … , 푛) formiraju bazu od 퐸∗, dualnu bazu od ℬ .
Napomena 1.6.5. Za svako 푒 ∈ 퐸 važi 푒 = ∑ 훼 (푒)푒 , za sve 훼 ∈ 퐸∗, dobija se 훼 = ∑ 훼(푒)훼 . Bidualni prostor 퐸∗∗ = (퐸∗)∗ je kanonički izomorfan sa 퐸:
3 Teoreme koje su navedene u ovom podnaslovu bez dokaza, detaljnije su obrađene u [17].
21
푖:퐸 → 퐸∗∗푖(푒) = 훼⏟∗⟼ 훼(푒)
Preslikavanje푖 je linearni izomorfizam.
Definicija 1.6.6.
Neka je 퐸 vektorski prostor. Tada 푇 (퐸) ≔ 퐿 퐸∗, … ,퐸∗ ,퐸, … ,퐸 ;ℝ je prostor 푟-puta
kontravarijantnih i 푠-puta kovarijantnih tenzora, ili kraće tenzori tipa 푟푠 . Za 푡 ∈ 푇 (퐸),
푡 ∈ 푇 (퐸), tenzorski proizvod 푡 ⊗ 푡 je definisan sa: 푡 ⊗ 푡 훽 , … ,훽 , 훾 , … , 훾 , 푓 , … , 푓 ,푔 , … ,푔 ≔ ≔ 푡 훽 , … ,훽 ,푓 , … ,푓 ⋅ 푡 훾 , … , 훾 ,푔 , … ,푔 (1.19)
훽 ,훾 ∈ 퐸∗, 푓 ,푔 ∈ 퐸 .
Napomena 1.6.7. Iz same definicije proizvoda sledi da je ⊗ asocijativno i bilinearno.
Propozicija 1.6.8. Neka je 푑푖푚(퐸) = 푛. Tada je 푑푖푚 푇 (퐸) = 푛 . Ako je {푒 , … , 푒 } baza od 퐸 i {훼 , … ,훼 } odgovarajuća dualna baza, tada je
ℬ ≔ 푒 ⊗ …⊗푒 ⊗ 훼 ⊗ …⊗훼 1 ≤ 푖 , 푗 ≤ 푛
baza od 푇 (퐸).
Definicija 1.6.9. Neka je 휑 ∈ 퐿(퐸,퐹) bijekcija. Tada je 푇 (휑) = 휑 ∈ 퐿(푇 퐸,푇 퐹) definisano sa (휑 푡)(훽 , … ,훽 ,푓 , … ,푓 ) ≔ 푡 휑∗(훽 ), … ,휑∗(훽 ),휑 (푓 ), … ,휑 (푓 ) za 푡 ∈ 푇 (퐸), 훽 , … ,훽 ∈ 퐹∗, 푓 , … ,푓 ∈ 퐹, gde je 휑∗ ∈ 퐿(퐹∗,퐸∗) za 훽 ∈ 퐹∗, 푒 ∈ 퐸, 휑∗(훽)(푒) ≔ 훽 휑(푒) .
Napomena 1.6.10. Prostor 푇∗ je dualan prostor tangentnom prostoru 푇 i naziva se kotangentni prostor.
Propozicija 1.6.11. Neka je 휑:퐸 → 퐹, 휓:퐹 → 퐺 linearni izomorfizam. Tada je: 1) (휓 ∘ 휑) = 휓 ∘ 휑 . 2) (푖푑 ) = 푖푑 ( ). 3) 휑 :푇 퐸 → 푇 퐹 je linearni izomorfizam i (휑 ) = (휑 ) . 4) Ako je 푡 ∈ 푇 (퐸), 푡 ∈ 푇 (퐸), tada važi 휑 (푡 ⊗ 푡 ) = 휑 (푡 )⊗휑 (푡 ).
Definicija 1.6.12. Neka je 휑:푈 × 퐹 → 푈 × 퐹 , 휑(푢,푓) = (휑 (푢),휑 (푢)푓) 퐿푉푅 (lokalno vektorsko raslojenje) izomorfizam. Tada se 휑 definiše na sledeći način:
휑 :푈 × 푇 퐹 → 푈 × 푇 퐹 ,
휑 (푢, 푡) = 휑 (푢), 휑 (푢) (푡) (푡 ∈ 푇 퐹).
Definicija 1.6.13.
22
Neka je (퐸,퐵,휋) vektorsko raslojenje, sa 퐸풷 = 휋 (풷) je definisano vlakno nad 풷. Neka je
푇 (퐸) ≔ 푇 (퐸풷)풷∈
= {풷} × (퐸풷)풷∈
푟푠 -tenzorsko raslojenje nad 퐸. Neka 휋 :휋(퐸) → 퐵, 휋 (푒) = 풷 za 푒 ∈ 푇 (퐸풷) označava
konačnu projekciju. Za 퐴 ⊆ 퐵 neka je 푇 (퐸)| ≔ ∐ 푇 (퐸풷)풷∈ .
Definicija 1.6.14. Neka su 퐸 i 퐸 vektorska raslojenja i 푓:퐸 → 퐸 . 푓 je homomorfizam vektorskog raslojenja, ako za svako 푒 ∈ 퐸 postoji 푉푅- karta (훹,푊) oko 푒 i 푉푅- karta (훹 ,푊 ) oko 푓(푒), tako da je 푓(푊) ⊆ 푊 i 푓 ≔ 훹 ∘ 푓 ∘ 훹 je 퐿푉푅- homomorfizam. Ako je 푓 difeomorfizam i 푓|
풷 :퐸풷 → 퐸 (풷) linearni izomorfizam za sve 풷 ∈ 퐵, tada je 푓 izomorfizam vektorskog
raslojenja. Definiše se 푓 :푇 퐸 → 푇 퐸 sa 푓 | ( 풷) ≔ 푓|풷 ∀풷 ∈ 퐵.
Teorema 1.6.15. Neka je (퐸,퐵,휋) vektorsko raslojenje sa atlasom vektorskog raslojenja 풜 = {(훹 ,푊 )|훼 ∈ 퐴}. Tada je (푇 퐸,퐵,휋 ) vektorsko raslojenje sa atlasom vektorskog raslojenja 풜 = (훹 ) , (푇 퐸)| ∩ 훼 ∈ 퐴 . (푇 퐸,퐵,휋 ) je tenzorsko raslojenje tipa 푟
푠
nad 퐸.
Definicija 1.6.16. Neka je 푀 mnogostrukost. Tada se 푇 (푀) ≔ 푇 (푇푀) naziva raslojenjem 푟-puta kontravarijantnih i 푠-puta kovarijantnih tenzora na 푀. 푇∗푀 ≔ 푇 (푀) se naziva kotangentno raslojenje od 푀.
Definicija 1.6.17. Glatki preseci od 푇 푀 (tj. glatka preslikavanja 푡:푀 → 푇 푀 sa 휋 ∘ 푡 = 푖푑 ) se nazivaju 푟푠 -tenzori (respektivno 푟
푠 -tenzorska polja) na 푀. Prostor 훤(푀,푇 푀) 푟푠 -tenzorskih polja
se označava sa 풯 (푀). Specijalno, 풯 (푀) = 픛(푀). Takođe se koristi oznaka 훺 (푀) za 풯 (푀). Elementi od 훺 (푀) se nazivaju diferencijalnim formama reda 1 (1-forme, kovektorska polja).
Napomena 1.6.18. Ako 푡 ∈ 풯 (푀) i 푓 ∈ 풞 (푀), tada je 푓푡: 푝 ⟼ 푓(푝)푡(푝) ∈ 푇 푀 tenzorsko polje na 푀. 풯 (푀) sa operacijama +, 푓 ⋅ je 풞 (푀)-modul. Biće posmatran specijalan slučaj opštih tenzorskih polja 훺 (푀) = 풯 (푀) = 훤(푀,푇 푀), kako bi bila izvedena lokalna reprezentacija vektorskog polja u karti.
푇 (푀) = 푇 푀∗
∈
= {푝} × 푇 푀∗
∈
.
푉푅 (vektorsko raslojenje) karte od 푇 푀 = 푇∗푀 su oblika (푇휓) 푀:푇 푀| → 휓(푉) × (ℝ ) =휓(푉) × (ℝ )∗, za bilo koju kartu (훹,푉) od 푀. 푉푅-karte se koriste da bi se definisala baza od
푇 푀∗. Za 푇 푀 je baza koja se dobija korišćenjem karti, data kao skup 1 ≤ 푖 ≤ 푛 ,
23
gde je = 푇 휓 (푒 ) tj. = 푝 ⟼ (푇휓) (휓(푝),푒 ). Za 푇 푀, neka je 훼 1 ≤ 푗 ≤ 푛
dualna baza od {푒 |1 ≤ 푖 ≤ 푛} u (ℝ )∗. Tada je za bilo koje 푝 ∈ 푉 familija 푑푥 ≔
[(푇휓) ] 휓(푝),훼 (1 ≤ 푖 ≤ 푛) baza od 푇 푀∗. Važi da je
푑푥 = [(푇휓) ] 휓(푝),훼 = 푝, 푇 휓 훼 =
= 푝, 푇 휓∗
훼 = 푝, 푇 휓∗훼 .
Kako je 푑푥 ∈ 푇 푀∗ i 푑푥 ∈ 푇 푀, može se primeniti 푑푥 na :
푑푥휕휕푥 = 푇 휓
∗훼 푇 휓 (푒 ) =
= 훼 푇 휓 푇 휓 (푒 ) = 훼 (푒 ) = 훿
Sledi da je 푑푥 1 ≤ 푗 ≤ 푛 dualna baza od 1 ≤ 푖 ≤ 푛 u 푇 푀∗.
Definicija 1.6.19. Neka je 푓 ∈ 풞 (푀). Tada je 푑푓:푀 → 푇∗푀, 푝 ⟼ 푇 푓 spoljašnji izvod od 푓.
Napomena 1.6.20. 1) 푑푓 ∈ 풯 (푀). Za svako 푝 ∈ 푀, 푇 푓 ∈ 퐿 푇 푀,ℝ = 푇 푀
∗. Štaviše, 푑푓 je glatko, pošto za
bilo koju kartu 휓 oko 푝 (휓(푝) = 푥), važi da je:
(푇휓) ∘ 푑푓 ∘ 휓 (푥) = 푥, 푇 휓∗∘ 푇 푓 = 푥,푇 푓 ∘ 푇 휓 =
= 푥,푇 (푓 ∘ 휓 ) = 푥,퐷(푓 ∘ 휓 )(푥)
2) Ako je 푓 ∈ 풞 (푀) i 푋 ∈ 픛(푀), tada za sve 푝 ∈ 푀, 푋 ∈ 푇 푀 i 푑푓| ∈ 푇 푀∗, tako da je
푑푓(푋) ≔ 푝 ⟼ 푑푓| 푋 :푀 → ℝ dobro definisano, važi da je: 푑푓| 푋 = 푇 푓 푋 = 푋(푓)| .
Stoga je 푑푓(푋) = 푋(푓). Specijalno, 푑푓(푋) ∈ 풞 (푀).
3) Neka je (휓,푉) karta, 휓 = (푥 , … , 푥 ). Tada, 푑 푥 u smislu Definicije 1.6.19. je baš 푑푥 .
푑 푥 = 푥 = 훿 , tj. 푑 푥 1 ≤ 푗 ≤ 푛 je dualna baza od 1 ≤ 푖 ≤ 푛 za
svako 푝 ∈ 푉. Ako je (휓,푉) karta od 푀, 휓 = (푥 , … , 푥 ), tada za svako 푝 ∈ 푀 푛-torka
1 ≤ 푖 ≤ 푛 je baza od 푇 푀, a 푑푥 1 ≤ 푗 ≤ 푛 je odgovarajuća dualna baza od
푇 푀∗. Stoga je za svako 푝 ∈ 푀, 푛-torka: 휕휕푥 ⊗ …⊗
휕휕푥 ⊗푑푥 ⊗ …⊗푑푥 1 ≤ 푖 , 푗 ≤ 푛
24
baza od 푇 푀 . Dakle, ako je 푡 sečenje od 푇 푀, tada postoje jedinstveno određene
funkcije 푡 …… na 푉, takve da važi
푡| = 푡 …… ⊗
휕휕푥 ⊗ …⊗
휕휕푥 ⊗ 푑푥 ⊗ …⊗푑푥 .(1.20)
Propozicija 1.6.21. Neka je 푡 presek od 푇 푀. Uslovi 1) i 2) su ekvivalentni: 1) 푡 je glatko, tj. 푡 ∈ 풯 (푀). 2) U svakoj reprezentaciji u karti iz Napomene 1.6.20. pod 3) svi koeficijenti 푡 …
… su glatke funkcije.
1.7. Operacije sa tenzorima4
U nastavku su date neke bitne operacije sa tenzorima koje se koriste za izvođenje i dokazivanje nekoliko identiteta.
1.7.1. Sabiranje i oduzimanje
Tenzori istog tipa i veličine mogu se sabirati i oduzimati. Neka su 퐴 i 퐵 dva mešovita tenzora trećeg reda. Kada se saberu, dobija se neki mesovit tenzor trećeg reda. Njihova suma se označava 퐶 = 퐴 + 퐵 . U nastavku se pokazuje da je suma takođe mešoviti tenzor. Po pretpostavci su 퐴 i 퐵 mešoviti tenzori trećeg reda i zato zadovoljavaju transformacione zakone:
퐴 = 퐴휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥
퐵 = 퐵휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥
Sa 퐶 = 퐴 + 퐵 će biti označena suma u transformisanim koordinatama. Tada, sabiranje prethodne dve transformacione jednačine daje
퐶 = 퐴 + 퐵 = 퐴 + 퐵휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥
Iz prethodnog, se kao posledica dobija da se suma transformiše kao mešoviti tenzor trećeg reda.
1.7.2. Množenje (spoljašnji proizvod) tenzora
Proizvod dva tenzora je ponovo tenzor. Rang ili red rezultujućeg tenzora je zbir rangova tenzora koji učestvuju u množenju. Kao primer će biti uzeto da je sa 퐴 označen mešoviti tenzor trećeg reda, a sa 퐵 je označen mešoviti tenzor drugog reda. Spoljašnji proizvod ova dva tenzora je tenzor petog reda
4 O operacijama sa tenzorima se može pogledati detaljnije u [12],[15].
25
퐶 = 퐴 퐵 ,푖, 푗, 푘, 푙,푚 = 1, … ,푁.
Neka su sa 퐴 i 퐵 označene komponente datih tenzora u (푥 , … , 푥 ) sistemu koordinata. Sa 퐶 je definisan spoljašnji proizvod ovih komponenata. Treba primetiti da je퐶 tenzor kada su po pretpostavci퐴 i 퐵 tenzori i otuda zadovoljavaju transformacione zakone
퐴 = 퐴휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ,
퐵 = 퐵휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 .
Spoljašnji proizvod ovih komponenata je dat u obliku:
퐶 = 퐴 퐵 = 퐴 퐵휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 = 퐶
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥
Prethodna jednačina pokazuje da se 퐶 transformiše kao mešoviti apsolutni tenzor petog reda.
1.7.3. Kontrakcija tenzora
Operacija kontrakcije bilo kog mešovitog tenzora ranga m se izvodi tako što se gornji indeks izjednači sa donjim indeksom, pri čemu se koristi konvencija o sumiranju. Kada je izvedena sumacija preko ponovljenih indeksa, veličina koja se dobija kao rezultat je takođe tenzor reda (푚 − 2). Na primer, neka je sa 퐴 , 푖, 푗, 푘 = 1, … ,푁 označen mešoviti tenzor, kontrakcija se izvodi tako što se postavi da je j jednako sa i.Dobija se
퐴 = 퐴 + 퐴 + ⋯+ 퐴 = 퐴 ,(1.21)
gde je k slobodan indeks. Da bi bilo pokazano da je 퐴 tenzor, posmatra se kontrakcija na transformisanim komponentama od 퐴 , neka je 퐴 = 퐴 . Po pretpostavci je 퐴 mešoviti tenzor, stoga komponente moraju da zadovoljavaju transformacioni zakon
퐴 = 퐴휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 .(1.22)
Kada se izvši kontrakcija, izjednačavanjem indeksa 푗 sa 푖, sumiranjem po ponovljenim indeksima, dobija se sledeće:
퐴 = 퐴 = 퐴 ∙∙
= 퐴 ∙
= 퐴 훿
= 퐴
= 퐴
. (1.23)
Otuda se kontrakcijom dobija tenzor čiji je rang za dva manji od polaznog tenzora. Kontrakcije na drugim mešovitim tenzorima se na sličan način mogu analizirati. Novi tenzori se mogu izvesti od već postojećih tenzora primenjujući kontrakciju na gornji i donji indeks. Ovaj proces se može ponavljati sve dok postoji gornji i donji indeks nad kojim se moze vršiti kontrakcija. Svaki put kada se izvrši kontrakcija, rang rezultujećeg tenzora je za dva manji od ranga polaznog.
26
1.7.4. Množenje (unutrašnji proizvod) tenzora
Unutrašnji proizvod tenzora se dobija tako sto se prvo izvrši spoljašnji proizvod nad datim vektorima, nakon toga se izvrši kontrakcija na dva indeksa.
Primer 1.7.1. (unutrašnji proizvod) Neka su sa 퐴 i 퐵 označene komponente dva tenzora prvog reda (vektora). Spoljašnji proizvod ovih tenzora je 퐶 = 퐴 퐵 , 푖, 푗 = 1, … ,푁.
Unutrašnji proizvod ovih tenzora je skalar 퐶 = 퐴 퐵 = 퐴 퐵 + 퐴 퐵 + ⋯+ 퐴 퐵 .
Zakon količnika Neka su 퐵 i 퐶 proizvoljni apsolutni tenzori. U nastavku se posmatra veličina 퐴(푖푗푘), za koju se smatra da je mešoviti tenzor trećeg reda 퐴 . Ako se pokaže da je ispunjena jednačina
퐴 퐵 = 퐶 ,(1.24)
tada će važiti da 퐴 mora da bude tenzor. Ovo je primer zakona količnika. Ovaj rezultat se može generalizovati i primeniti na tenzore bilo kog reda odnosno ranga.
Pokazuje se u nastavku da je 퐴 iz (1.24) tenzor. Neka su sa 푥 i 푥 označeni sistemi koordinata koji su povezani transformacijama koje su definisane u jednačinama (1.3) i (1.4).
U koordinatnom sistemu 푥 , 푖 = 1, … ,푁 se pretpostavlja da je 퐴 퐵 = 퐶 ,(1.25)
gde su po pretpostavci 퐵 i 퐶 proizvoljni apsolutni tenzori, stoga moraju da zadovoljavaju transformacione jednačine
퐵 = 퐵휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥
퐶 = 퐶휕푥휕푥
휕푥휕푥 .
Zamenom 퐵 i 퐶 u jednačini (1.25) dobija se jednačina
퐴 퐵휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥 = 퐶
휕푥휕푥
휕푥휕푥 = 퐴 퐵
휕푥휕푥
휕푥휕푥 .
Pošto su indeksi po kojima se sumira nemi, mogu se zameniti drugim oznakama. Zamenom푙 u 푗, 푞 u 푖,푟 u 푘, prethodne jednačine su sledećeg oblika:
휕푥휕푥 퐴
휕푥휕푥
휕푥휕푥 − 퐴
휕푥휕푥 퐵 = 0.
Koristeći unutrašnji proizvod sa , pojednostavljuje se prethodna jednačina na oblik
훿 퐴 − 퐴
= 0ili 퐴
− 퐴
퐵 = 0.
Pošto je 퐵 proizvoljan tenzor, veličina unutar zgrade je nula i stoga važi
27
퐴 − 퐴
= 0.
Ova jednačina se pojednostavljuje unutrašnjim proizvodom sa
, i dobija se
훿 훿 퐴 − 퐴
= 0,
odnosno 퐴 = 퐴
je transformacioni zakon za mešoviti tenzor trećeg reda.
Primer 1.7.2. Metričke komponente 푔 su kovarijantni tenzori drugog reda.
Rešenje U koordinatnom sistemu 푥 , 푖 = 1, … ,푁 kvadrat dužine luka je 푑푠 = 푔 푑푥 푑푥 dok se u koordinatnom sistemu 푥 , 푖 = 1, … ,푁 kvadrat dužine luka predstavlja u obliku 푑푠 = 푔 푑푥 푑푥 .
Kvadrat dužine luka treba da bude invarijantan, zato mora da bude ispunjeno 푔 푑푥 푑푥 = 푔 푑푥 푑푥 .(1.26)
Ovde se pretpostavlja da postoji koordinatna transformacija data jednačinama (1.3) i (1.4). Uopšteno, ako je 푥 = 푥 (푥), tada za 푖 = 1, … ,푁 važi da je
푑푥 =푑푥 i 푑푥 =
푑푥 .(1.27)
Kada se ovi diferencijali zamene u jednačinu (1.26), dobija se
푔 푑푥 푑푥 = 푔
푑푥 푑푥 ili 푔 − 푔
푑푥 푑푥 = 0.
Za proizvoljne promene 푑푥 iz ove jednačine sledi da je 푔 =
, iz datog sledi da se 푔 transformiše kao apsolutni kovarijantni tenzor drugog reda.
Primer 1.7.3. (Krivolinijske koordinate) Neka je dat skup generalnih transformacionih jednačina iz pravougaonih koordinata (x, y ,z) u krivolinijske (u, v, w). Ove transformacione jednačine i odgovarajuće inverzne transformacije su predstavljene u sledećem obliku :
푥 = 푥(푢,푣,푤) 푢 = 푢(푥, 푢, 푧) 푦 = 푦(푢, 푣,푤) 푣 = 푣(푥, 푢, 푧) 푧 = 푧(푢, 푣,푤)푤 = 푤(푥,푢, 푧).(1.28)
Ovde su 푦 = 푥, 푦 = 푦,푦 = 푧i푥 = 푢, 푥 = 푣, 푥 = 푤 Dekartove i uopštene koordinate. Presek koordinatnih površi 푢 = 푐 , 푣 = 푐 ,푤 = 푐 definiše koordinatne krive krivolinijskog koordinatnog sistema. Zamenom datih transformacionih jednačina (1.28) u vektor položaja 푟 = 푥푒 + 푦푒 + 푧푒 dobija se vektor položaja koji je funkcija uopštenih koordinata 푟 = 푟(푢, 푣,푤) = 푥(푢, 푣,푤)푒 + 푦(푢, 푣,푤)푒 + 푧(푢,푣,푤)푒 . Iz prethodnog se dobija
푑푟 = 푑푢 + 푑푣 + 푑푤, gde su:
28
퐸 =휕푟휕푢 =
휕푥휕푢 푒 +
휕푦휕푢 푒 +
휕푧휕푢 푒
퐸 =휕푟휕푣 =
휕푥휕푣 푒 +
휕푦휕푣 푒 +
휕푧휕푣 푒
퐸 =휕푟휕푤 =
휕푥휕푤 푒 +
휕푦휕푤 푒 +
휕푧휕푤 푒
tangentni vektori na koordinatne krive.
Kvadrat dužine luka u krivolinijskim koordinatama je dat sa
푑푠 = 푑푟 ∙ 푑푟 = ∙ 푑푢푑푢 + ∙ 푑푢푑푣 + ∙ 푑푢푑푤 + ∙ 푑푣푑푣 + ∙ 푑푣푑푢 + ∙ 푑푣푑푤 + ∙ 푑푤푑푢 + ∙ 푑푤푑푣 + ∙ 푑푤푑푤.
Definišu se veličine:
푔 =휕푟휕푢 ∙
휕푟휕푢 , 푔 =
휕푟휕푢 ∙
휕푟휕푣 , 푔 =
휕푟휕푢 ∙
휕푟휕푤
푔 =휕푟휕푣 ∙
휕푟휕푢 , 푔 =
휕푟휕푣 ∙
휕푟휕푣 , 푔 =
휕푟휕푣 ∙
휕푟휕푤
푔 =휕푟휕푤 ∙
휕푟휕푢 , 푔 =
휕푟휕푤 ∙
휕푟휕푣 , 푔 =
휕푟휕푤 ∙
휕푟휕푤.
Neka je 푥 = 푢, 푥 = 푣, 푥 = 푤. Tada se kvadrat dužine luka može napisati u obliku
푑푠 = 퐸 퐸 푑푥 푑푥 = 푔 푑푥 푑푥 , 푖, 푗 = 1,2,3 gde se 푔 = 퐸 ∙ 퐸 = ∙ = , (푖, 푗 su slobodni indeksi) nazivaju metričkim komponentama krivolinijskog koordinatnog sistema. Metričke komponente se mogu posmatrati kao elementi simetrične matrice, pošto je 푔 = 푔 . U pravouglom koordinatnom sistemu x, y, z kvadrat dužine luka 푑푠 = 푑푥 + 푑푦 + 푑푧 . U ovom prostoru metričke komponente su date sa
푔 =1 0 00 1 00 0 1
.
Primer 1.7.4. (Cilindrične koordinate (풓,휽,풛)) Transformacija pravouglih koordinata u cilindrične koordinate se može izraziti u obliku 푥 = 푟푐표푠휃, 푦 = 푟푠푖푛휃, 푧 = 푧. Ovde su 푦 = 푥, 푦 = 푦, 푦 = 푧 i 푥 = 푟, 푥 = 휃, 푥 = 푧 i vektor položaja se može izraziti u obliku
푟 = 푟(푟, 휃, 푧) = 푟푐표푠휃푒 + 푟푠푖푛휃푒 + 푧푒
퐸=휕푟휕푟 = 푐표푠휃푒 + 푠푖푛휃푒
퐸=휕푟휕휃 = −푟푠푖푛휃푒 + 푟푐표푠휃푒
퐸=휕푟휕푧 = 푒
Pošto je 푔 =퐸 ∙ 퐸 , metričke komponente ovog prostora su
푔 =1 0 00 푟 00 0 1
.
29
Pošto je 푔 = 0, za 푖 ≠ 푗, koordinatni sistem je ortogonalan.
Primer 1.7.5. Kronekerov delta simbol 훿 je mešoviti tenzor drugog reda.
Dokaz Neka je data koordinatna transformacija (1.3)i (1.4). Neka su sa 훿 i 훿 označeni Kronekerovi delta simboli u 푥 i 푥 (푖 = 1, … ,푁) koordinatnim sistemima. Prema definiciji Kronekerovog delta simbola važi
훿 = 훿 = {0,푎푘표푗푒푖 ≠ 푗1,푎푘표푗푒푖 = 푗 .
Koristeći pravilo lanca za diferenciranje, dobija se 휕푥휕푥 =
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 =
휕푥휕푥 ∙
휕푥휕푥 ∙ 훿 .
Po pretpostavci su 푥 , 푖 = 1, … ,푁 nezavisne koordinate i zato važi
= 훿 prethodna
jednačina se svodi na 훿 = 훿 ∙ ∙. Zato se Kronekerov delta simbol transformiše kao
mešoviti tenzor drugog reda.
1.7.5. Konjugovani metrički tenzor
U nastavku se navodi teorema iz algebre, bez dokaza, koja predstavlja osobinu determinante, a ona glasi:
Teorema 1.7.6. Determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata jedne vrste (ili kolone) i njihovih odgovarajućih algebarskih kofaktora. Neka je A matrica 퐴 = [푎 ] × , tada važi: |퐴| = ∑ 푎 ∙ 퐴 , gde je 퐴 algebarski kofaktor koji odgovara elementu 푎 matrice A.
Neka je sa 푔 označena determinanta matrice kojoj su elementi metrički tenzori 푔 , 푖, 푗 = 1, … ,푛 i naziva se fundamentalnom determinantom. Prema Teoremi 1.7.6. važi
푔 = 푔 퐺( , ) + ⋯+ 푔 퐺( , ),(1.29)
gde su 퐺( , ) algebarski kofaktori koji odgovaraju elementima 푔 matrice 푔.
Ako se elementi 푖-te vrste zamene elementima 푘-te vrste, dobija se da je vrednost ove determinante jednaka nuli, dato se zapisuje u sledećem obliku:
푔 퐺( , ) + ⋯+ 푔 퐺( , ) = 푔훿 푔 퐺( , ) = 푔훿
Kada se podeli prethodna relacija sa 푔 i dobija se
푔퐺( , )
푔 = 훿 .(1.30)
30
Neka je ( , ) = 푔( , ), relacija (1.30) se zapisuje u obliku 푔 푔( , ) = 훿 . Pokazuje se da
je 푔( , ) kontravarijantni tenzor drugog ranga. Primenom zakona količnika jednačina(1.30) se može pisati u obliku
푔 푔( , ) = 훿 (1.31)
pri čemu je Kronekerov simbol 훿 mešoviti tenzor drugog reda sto je pokazano u Primeru 1.7.5.
Prelaskom na sistem koordinata 푆 , dobija se 푔 ∙ 푔( , ) = 훿 .(1.32)
Primenom zakona transformacije na tenzorske veličine 푔 i 훿 dobija se
푔 ( , )휕푥휕푥
휕푥휕푥
푔 =휕푥휕푥
휕푥휕푥
훿 .
Posle zamene 훿 iz jednačine (1.31),tj. 훿 = 푔 푔( , ) i 휀 → 훽 jer su 휀 i 훾 nemi indeksi, dobija se
푔 ( , )휕푥휕푥
휕푥휕푥
−휕푥휕푥
휕푥휕푥
푔( , ) 푔 = 0
Pošto je 푔 proizvoljni tenzor važi da je :푔 ( , ) − 푔( , ) = 0.
Unutrašnjim množenjem ove jednačine sa i , dobija se
[훿 푔 ( , ) −휕푥휕푥
휕푥휕푥 푔( , )]훿 = 0,
푔 ( , ) =휕푥휕푥
휕푥휕푥 푔( , ).(1.33)
Na osnovu zakona transformacije 푄 = 푄 zaključuje se da veličina
푔( , ) = ( , ) predstavlja kontravarijantni tenzor drugog ranga 푔 koji se naziva konjugovani
metrički tenzor.
1.7.6. Asocirani tenzori5
Definicija 1.7.7. (Asocirani tenzor) Bilo koji tenzor koji nastaje unutrašnjim množenjem datog tenzora sa metričkim ili konjugovanim metričkim tenzorom se naziva asocirani tenzor.
Asocirani tenzori su različiti načini predstavljanja tenzora. Množenje tenzora metričkim ili konjugovanim metričkim tenzorom utiče na podizanje ili spuštanje indeksa tenzora. Na
5 Detaljnije o asociranim tenzorima se može pogledati u [20],[12], [15].
31
primer kovarijantne i kontravarijantne komponente vektora su različita predstavljanja istog vektora u različitim oblicima. Ovi oblici su povezani na način na koji su povezani metrički i konjugovani metrički tenzori 푔 퐴 = 퐴 ,푔 퐴 = 퐴 .
Primer 1.7.8. Neka su 퐴 i 퐴 označene respektivno kovarijantne i kontravarijantne komponente vektora 퐴. Ove komponente su povezane jednačinama
퐴 = 푔 퐴 (1.34) i 퐴 = 푔 퐴 ,(1.35)
gde su 푔 i 푔 metričke i konjugovane metričke komponente prostora.
Dokaz Neka je jednačina (1.34) pomnožena sa 푔 (unutrašnjim proizvodom) i koristeći jednačinu 푔 푔 = 훿 , pojednostavljuje se rezultat na:
푔 퐴 = 푔 푔 퐴 = 훿 퐴 = 퐴 .
Zamenjujući 푖 → 푗,푚 → 푘 dobija se jednačina (1.35). Obrnuto, ako se pođe od jednačine (1.35) i pomnoži se sa 푔 (unutrašnjim proizvodom) dobija se
푔 퐴 = 푔 푔 퐴 = 훿 퐴 = 퐴 ,
što je oblik jednačine (1.34) sa promenjenim indeksima. Kao posledica jednačina (1.34) i (1.35) dobija se da su u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu kontravarijantne i kovarijantne komponente identične.
Iz푔 =1 0 00 1 00 0 1
, i푔 =1 0 00 1 00 0 1
dobija se퐴 = 푔 퐴 + 푔 퐴 + 푔 퐴 = 퐴 .
Primeri asociranih tenzora: 퐴 = 푔 퐴 ,퐴. = 푔 퐴 , 퐴 ..
. = 푔 푔 퐴 퐴 = 푔 퐴 ,퐴 . = 푔 퐴 , 퐴 = 푔 퐴.
Uobičajeno se ”tačke” koriste da bi se označio položaj indeksa koji su podignuti ili spušteni. Ako je tenzor simetričan, položaj indeksa nije bitan zato tačka nije potrebna. Ako je 퐴 simetričan tenzor, tada su 퐴. i 퐴. jednaki i zato se može pisati 퐴 .
Ako je dat kovarijantni tenzor 푇 može se izvesti kontravarijantni tenzor 푇 pomoću relacije 푇 = 푔 푔 푔 푔 푇 . Dati tenzor četvrtog reda se može izraziti kao mešoviti tenzor. Mešoviti tenzori asocirani sa datim kovarijantnim tenzorom četvrtog reda su 푇. = 푔 푇 ,푇.. = 푔 푇. .
32
2. PROSTOR MINKOVSKOG
2.1. Vektori i tenzori u prostoru Minovskog
Da bi se u potpunosti okarakterisao neki dogagađaj u fizici, neophodno je zadati prostorne koordinate tog događaja i vreme. Zbog toga se fizički događaji u n-dimenzionom prostoru karakterišu sa četiri broja: trima prostornim koordinatama 푥, 푦, 푧 i vremenskom koordinatom 푡. Tačka u 3-dimenzionom prostoru karakteriše se skupom od tri broja 푥, 푦, 푧. Po analogiji sa ovim može se reći da četiri broja, 푥,푦, 푧, 푡 karakterišu tačku u četvorodimenzionom (4-dimenzionom) prostoru (svetu).
U 4-dimenzionom prostoru STR, prelaz sa jednog sistema koordinata na drugi realizuje se pomocu Lorencovih transformacija6. Koordinate tačke (događaja) u ovom 4-dimenzionom prostoru će biti definisane na sledeći način:
푥 = 푐푡,푥 = 푥, 푥 = 푦,푥 = 푧. (2.1)
U nastavku se koristi važna karakteristika prostor-vremena, koju je otkrio Minkovski i koja se sastoji u tome da je geometrija prostorno-vremenskog kontinuuma pseudoeuklidska. Naime, rastojanje 푑푠 između dve bliske tačke (interval između dva infinitezimalno bliska događaja), odnosno metrička forma u prostoru sa koordinatama 푥 ,푥 , 푥 ,푥 , jednaka je
푑푠 = (푑푥 ) − (푑푥 ) − (푑푥 ) − (푑푥 ) = 휂 푑푥 푑푥 .(2.2)
Kao što se vidi, 4-dimenzioni metrički tenzor 휂 određen je dijagonalnom matricom (dimenzije 4x4)
휂 = 휂 = 푑푖푎푔[1,−1,−1,−1] (2.3)
i očigledno je da se podudara sa svojim inverznim (휂 ) ≡ 휂 = 휂 , (2.4)
ovako definisan 4-dimenzioni prostor naziva se prostor ili svet Minkovskog. Metrika prostora Minkovskog se nikakvim transformacijama i realnim promenljivim ne može svesti na sumu kvadrata diferencijala koordinata 푑푠 = (푑푥 ) + (푑푥 ) + (푑푥 ) + (푑푥 ) , tj. na euklidsku metriku. Zbog toga se ovaj prostor, koji je realan ali nije euklidski, često naziva pseudoeuklidski ili prostor Minkovskog. On je specijalan slučaj jednog 4-dimenzionog neeuklidskog Rimanovog prostora koji je ravan i realan. Sveukupnost svih mogućih vrednosti 푥, 푦, 푧, 푡 naziva se svetom događaja, a svaki odvojeni događaj, koji se dešava u prostornoj tački 푥,푦, 푧 u trenutku vremena 푡, naziva se svetskom tačkom tog događaja.
Zbog specifičnosti prostora Minkovskog, definišu se dve vrste komponenata 4-dimenzionog vektora, koje se označavaju slovima 퐴 i 퐴 sa indeksom gore i dole. Veličine 퐴 nazivaju se kontravarijantnim, a 퐴 -kovarijantnim komponentama 4-vektora.
6 O Lorencovim transformacijama se može pogledati detaljnije u [5].
33
Skup veličina 퐴 , 퐴 , 퐴 ,퐴 , koje se pri Lorencovim transformacijama koordinata transformišu na sledeći način
퐴 =휕푥휕푥 퐴 = 훼 퐴 ,(2.5)
naziva se kontravarijantni vektor ili kontravarijantni tenzor prvog ranga. Slično, skup veličina 퐴 ,퐴 ,퐴 ,퐴 (sa donjim indeksima) koji se transformišu prema pravilu
퐴 =휕푥휕푥 퐴 = 훼 퐴 ,(2.6)
predstavlja kovarijantni vektor ili kovarijantni tenzor prvog ranga.
Analogno slučaju 3-dimenzionih vektora mogu se definisati i vektori, tzv. kvadrivektori ili četvorovektori u prostoru Minkovskog. Tako, kvadrivektor položaja (ili 4-dimenzioni vektor) tačke 푥 (휇 = 0,1,2,3) određen je skupom
푥 = (푥 ,푥 , 푥 ,푥 ) = (푐푡,푥,푦, 푧) ≡ (푐푡, 푟) (2.7)
Lorencove transformacije između dva sistema reference u stanju relativnog uniformnog kretanja duž zajedničke 푥 − 푥 - ose, imaju oblik
푥 = 훾 ∙ 푥 − 훾푢/푐 ∙ 푥 + 0 ∙ 푥 + 0 ∙ 푥 푥 = −훾푢/푐 ∙ 푥 + 훾 ∙ 푥 + 0 ∙ 푥 + 0 ∙ 푥
푥 = 0 ∙ 푥 + 0 ∙ 푥 + 1 ∙ 푥 + 0 ∙ 푥 푥 = 0 ∙ 푥 + 0 ∙ 푥 + 0 ∙ 푥 + 0 ∙ 푥 (2.8)
gde je 훾 = . Ove transformacije7 se mogu zapisati u konciznom obliku kao
푥 = 훼 푥 = 훼 푥 ; (휇 = 0,1,2,3),(2.9)
gde koeficijenti 훼 definišu matricu Lorencovih transformacija L koja je određena sa
퐿 =
⎝
⎜⎜⎛
훾 −훾푢푐
−훾푢푐 훾
0 00 0
0 00 0
1 00 1⎠
⎟⎟⎞(2.10)
Prema transformacionom pravilu (2.5) i (2.6) za kvadrivektore, može se uočiti da se koordinate kvadrivektora tačke, pri Lorencovim transformacija, transformišu kao kovarijantni vektori sa opštim članom 훼 ≡ 휕푥 /휕푥 .
Odgovarajuća inverzna transformacija je oblika
7 U radu će biti korišćena Ajnštajnova konvencija o sumiranju, koja se sastoji u tome da kada se indeksi ponavljaju, po njima se vrši sumiranje.
34
푥 =휕푥휕푥 푥 = 훼 푥 , 훼 ≡
휕푥휕푥 ,(2.11)
pri čemu je 훼 inverzna matrica matrice 훼 . Nije teško pokazati da koeficijenti훼 koji su definisani matricom zadovoljavaju relaciju:
훼 훼 = 훿 (2.12)
Sve što je rečeno za transformacije koordinata kvadrivektora položaja 푥 može se uopštiti. Naime, bilo koji skup 퐴 , 퐴 , 퐴 ,퐴 (퐴 , 휇 = 0,1,2,3) koje se transformiše pri prelasku sa jednog sistema koordinata na drugi prema zakonu (2.5) i (2.6)
퐴 =휕푥휕푥 퐴 = 훼 퐴 ,퐴 =
휕푥휕푥 퐴 = 훼 퐴 ,(2.13)
gde su koeficijenti 훼 definisani matricom (2.9), predstavlja kontravarijantni kvadrivektor u prostoru Minkovskog.
Navedene transformacione relacije za kontravarijantne vektore se mogu napisati u eksplicitnom obliku. Na osnovu matrice (2.9) se dobija
퐴 = 훼 퐴 = 훼 퐴 + 훼 퐴 + 훼 퐴 + 훼 퐴 = 훾(퐴 + 훽퐴 ) 퐴 = 훼 퐴 = 훼 퐴 + 훼 퐴 + 훼 퐴 + 훼 퐴 = 훾(퐴 + 훽퐴 )
퐴 = 훼 퐴 = 훼 퐴 = 퐴 퐴 = 훼 퐴 = 훼 퐴 = 퐴
Konačno, komponente kontravarijantnog kvadrivektora pri Lorencovim transformacijama se transformisu prema zakonu:
퐴 = 훾(퐴 + 훽퐴 ),퐴 = 훾(퐴 + 훽퐴 ),퐴 = 퐴 ,퐴 = 퐴 .(2.14)
Uobičajeno je da se tri prostorne koordinate kvadrivektora (퐴 , 퐴 , 퐴 ) objedine u jedan 3-dimenzioni vektor i da se piše
퐴 = 퐴 , 퐴 (2.15)
Kontravarijantnom vektoru 퐴 (휇 = 0,1,2,3), mogu se pomoću metričkog tenzora 휂 , pridružiti kontravarijantne komponente 4-vektora 퐴 , obrazujući njegov unutrašnji proizvod sa metričkim tenzorom 휂 kao
퐴 = 휂 퐴 .(2.16)
Za 퐴 i 퐴 eksplicitno se dobija: 퐴 = 휂 퐴 = 휂 퐴 + 휂 퐴 + 휂 퐴 + 휂 퐴 = 1 ∙ 퐴 퐴 = 휂 퐴 = 휂 퐴 + 휂 퐴 + 휂 퐴 + 휂 퐴 = −1 ∙ 퐴
Analogno se nalazi 퐴 = −퐴 , 퐴 = −퐴 . Prema tome 퐴 = 퐴 ,퐴 = −퐴 ,퐴 = −퐴 ,퐴 = −퐴 ,(2.17)
ili koncizno 퐴 = (퐴 ,−퐴 ,−퐴 ,−퐴 ) = 퐴 ,−퐴 .
Po analogiji sa slučajem 3-dimenzionih vektora u Euklidskom prostoru, definiše se skalarni proizvod dva proizvoljna kvadrivektora u prostoru Minkovskog, kao
(퐴,퐵) = 퐴 퐵 = 퐴 퐵 + 퐴 퐵 + 퐴 퐵 + 퐴 퐵 .
35
Imajući u vidu (2.17), može se pisati 퐴 퐵 = 퐴 퐵 − 퐴 퐵 − 퐴 퐵 − 퐴 퐵 .(2.18)
Ova veličina je skalar, tj ne menja se pri Lorencovim transformacijama, što je lako proveriti.
Specijalno, iz (2.18) sledi izraz za kvadrat inteziteta kvadrivektora 퐴 = (퐴 ) = 퐴 ,퐴 = (퐴 ) − (퐴 ) − (퐴 ) − (퐴 ) (2.19)
I ova veličina je takođe invarijanta: (퐴 ) − (퐴 ) − (퐴 ) − (퐴 ) = 푖푛푣.(2.20)
Upravo zbog pogodnosti zapisa kvadrata veličine proizvoljnog 4-vektora u prostoru Minkovskog, uvode se dve “sorte” komponenata 4-vektora: kontravarijante i kovarijanne komponente. Specijalno, za kvadrat intenziteta kvadrivektora položaja 푥 , gde je 푥 = (푐푡, 푟) i 푥 = (푐푡,−푟) dobija se: 푥 푥 = 푐 푡 − 푥 − 푦 − 푧 , što jasno ukazuje da je ova veličina invarijantna, jer predstavlja interval između nultog događaja sa koordinatama 푥 .
Slika 2.1. Svetlosni konus
36
3. OSNOVI RIMANOVE GEOMETRIJE
Georg Riman8 (1826-1866) je 10. juna 1854. godine izložio svoj poznati ”Habilitationsvortrag” na simpozijumu na filozofskom fakultetu u Gotingenu. Govor9 koji je održao tada se smatra najvažnijim u istoriji diferencijalne geometrije. Rimanove revolucionarne ideje su generalizovale geometriju površi, koju su pre njega proučavali Gaus, Boljai i Lobačevski.
Diferencijalna geometrija koja se koristi u opštoj teoriji relativnosti je rezultat Rimanove generalizacije Gausovog rada na krivini dvodimenzionih površi u bilo kojoj dimenziji. Riman je 1854. godine generalizovao Gausovu10 formulu za krivinu dvodimenzione površi za bilo koju dimenziju i na taj način je nastao tenzor krivine koji je nazvan po njemu. Rimanov rad su nastavili Kristofel, Riči i Levi-Čivita. Rimanov doprinos matematici je izuzetan, zato što je u potpunosti napustio ideju razmišljanja o krivini kao osobini prostora koji je ugrađen kao potprostor u višedimenzioni Euklidov prostor. Riman je pokazao da za postojanje Euklidovih koordinata, sve komponente tenzora krivine, moraju biti jednake nuli. Takođe je uveo “normalni koordinatni sistem” u okolini tačke, koji čini da 푔 bude konstantno u maloj okolini oko date tačke. Postojanje takvog koordinatnog sistema je sadržaj principa ekvivalencije u OTR. Bio je to hrabar potez, razmišljati o našem trodimenzionom prostoru ne kao o homogenom Euklidovom prostoru, već kao suštinski definisanom zakrivljenom prostoru, koji nije površ nekog višedimenzionog Euklidovog prostora. Riman je ukazao, u jednom od svojih radova, da ako se pretpostave homogenost i izotropnost prostora (nezavisnost tela od pozicije u kojoj se nalazi), prostor je konstantne krivine i mera odstupanja od Euklidovog prostora se vidi samo na veoma velikim rastojanjima, verovatno, suviše dalekim da bi se moglo posmatrati. Ali, ako prostor nije homogen, ne postoji takva restrikcija, i moguće je da, na beskonačno malim rastojanjima, mogu da se dese odstupanja od Euklidove geometrije, koja ne moraju biti uočljiva na uobičajenim rastojanjima. Riman predlaže da, ako je neophodno, čak se i kvadratna forma linijskog elementa može zameniti uopštenijim izrazom. Takođe, tvrdi da je fizička koncepcija rastojanja zasnovana na krutom telu i svetlosnim zracima, i da je za ove pojave neophodno preispitivanje za beskonačno malu skalu.
3.1. Rimanova mnogostrukost
Definicija 3.1.1. Ako je 푀 data 푚-dimenzionalna glatka mnogostrukost, 푔 svuda nedegenerisan simetričan kovarijantni tenzor reda 2, tada je 푀 uopštena Rimanova mnogostrukost, a 푔 se naziva fudamentalni tenzor ili metrički tenzor na 푀. Ako je 푔 pozitivno definitan, tada se 푀 naziva Rimanova mnogostrukost. U smislu atlasa {(푢 ,푀 )|훼 ∈ 퐼}, za svako 훼 ∈ 퐼 postoji 푔 , takvo da je za dato (훼,훽) ∈ 퐼 × 퐼, 푢 ∘ 푢 : 푢 푀 ∩푀 ⟼ 푢 푀 ∩푀 izometrija.
8 Georg Friedrich Bernhard Riemann,nemački matematičar 9”푈ber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen” 10 O Gausovoj krivini zainteresovani čitalac može pogledati u [17].
37
Napomena 3.1.2. i) Neka je 푈; 푥 lokalni koordinatni sistem na 푀, tada se metrički tenzor 푔 može napisati u
obliku 푔 = 푔 푑푥 ⊗ 푑푥 ,(3.1)
na 푈, gde je 푔 = 푔 glatka funkcija na 푈. Na 푇 푀, 푔 omogućuje bilinearnu funkciju u
svakoj tački 푝 ∈ 푀. Neka je 푋 = 푋 , 푌 = 푌 , tada je
푔(푋,푌) = 푔 푋 푌 .(3.2)
ii) Za tenzor 푔 se kaže da je nedegenerisan u tački 푝, ako važi 푋 ∈ 푇 푀 i 푔(푋,푌) = 0, za sve 푌 ∈ 푇 푀, mora da bude 푋 = 0. Dato implicira da je 푔 nedegenerisan u 푝 akko sistem
linearnih jednačina 푔 (푝)푋 = 0, 1 ≤ 푗 ≤ 푚 ima nulu kao jedino rešenje, tj.푑푒푡 푔 (푝) ≠
0. iii) Ako za sve 푋 ∈ 푇 푀 važi :
푔(푋,푋) ≥ 0(3.3)
i ako jednakost važi samo ako je 푋 = 0, tada se za 푔 kaže da je pozitivno definitan u 푝. Iz linearne algebre je poznato da je potreban i dovoljan uslov da 푔 bude pozitivno definitan ako je matrica 푔 pozitivno definitna. Stoga je pozitivno definitan tenzor 푔 obavezno nedegenerisan.
iv) Za uopštenu Rimanovu mnogostrukost 푀, (3.2) definiše unutrašnji proizvod na tangentnom prostoru 푇 푀 u svakoj tački 푝 ∈ 푀. Za svako 푋,푌 ∈ 푇 푀, neka je
푋 ∙ 푌 = 푔(푋,푌) = 푔 (푝)푋 푌 .(3.4)
v) Ako je 푔 pozitivno definitan, onda je značajno definisati dužinu tangentnog vektora i ugla između dva tangentna vektora u istoj tački, tj.
|푋| = 푔 푋 푋 ,(3.5)
푐표푠 ∢(푋,푌) =푋 ∙ 푌
|푋| ∙ |푌| .(3.6)
Stoga je Rimanova mnogostrukost diferencijabilna mnogostrukost koja ima pozitivno definitan unutrašnji proizvod na tangentnom prostoru u svakoj tački. Neophodno je da unutrašnji proizvod bude gladak: ako su 푋 i 푌 glatka tangentna vektorska polja, tada je 푋 ∙ 푌 glatka funkcija na 푀.
Definicija 3.1.3. Diferencijalna 2-forma
푑푠 = 푔 푑푥 푑푥 (3.7)
je nezavisna od izbora lokalnog koordinatnog sistema 푥 i naziva se metričkom formom ili Rimanovom metrikom. Element dužine luka, 푑푠, je dužina infinitezimalnog tangentnog vektora.
38
Definicija 3.1.4. Neka je 푐:푥 = 푥 (휏), 휏 ≤ 휏 ≤ 휏 , neprekidna i po delovima glatka parametrizovana kriva na 푀. Dužina luka krive 푐 je definisana sa
푠 = 푔푑푥푑휏
푑푥푑휏 푑휏.(3.8)
Teorema 3.1.5. Postoji Rimanova metrika na bilo kojoj 푚-dimenzionalnoj glatkoj mnogostrukosti 푀.
Dokaz Neka je izabran lokalno konačan koordinatni pokrivač {(푈 ;푥 )} na 푀. Neka je {ℎ } odgovarajuća particija jedinice, takva da je 푠푢푝푝ℎ ⊂ 푈 . Neka je
푑푠 = 푑푥 ,(3.9)
푑푠 = ℎ ∙ 푑푠 ,(3.10)
gde su ℎ ∙ 푑푠 definisane sa
(ℎ ∙ 푑푠 )(푝) = ℎ (푝)푑푠 , 푝 ∈ 푈0,푝 ∉ 푈 .(3.11)
Jednačine (3.9) i (3.10) definišu glatke diferencijalne 2-forme na 푀. Kako je desna strana od (2.10) suma konačno mnogo izraza u svakoj tački 푝 ∈ 푀, formula je smislena. Štaviše, ako se bira koordinatna okolina 푈; 푥 takva da je 푈 kompaktno, tada 푈 preseca samo konačno mnogo 푈 , … ,푈 jer je familija {푈 } lokalno konačna. Stoga je restrikcija (3.10) na 푈 data u obliku
푑푠 = ℎ ∙ 푑푠 = 푔 푑푥 푑푥 ,
gde je
푔 = ℎ휕푥휕푥
휕푥휕푥 .(3.12)
Pošto je 0 ≤ ℎ ≤ 1 i ∑ ℎ = 1, postoji indeks 훽 takav da je ℎ (푝) > 0. Stoga važi 푑푠 (푝) =ℎ ∙ 푑푠 . Dakle, 푑푠 je pozitivno definitna svuda na 푀. ∎
Napomena 3.1.6. Postojanje Rimanove metrike na glatkoj mnogostrukosti je izvanredan rezultat. U opštem slučaju, ne mora da postoji negativno definitna Rimanova metrika na 푀 (što je teže za dokazivanje).
Napomena 3.1.7. Pomoću fudamentalnog tenzora, može se identifikovati tangentni prostor sa kotangentnim prostorom, i stoga kontravarijantni vektor i kovarijantni vektor mogu se posmatrati kao
39
različita predstavljanja istog vektora. Štaviše, za 푋 ∈ 푇 푀 neka je
훼 (푌) = 푔(푋,푌), 푌 ∈ 푇 푀.(3.13)
Tada je 훼 linearna funkcionela na 푇 푀, tj. 훼 ∈ 푇∗푀. Obrnuto, pošto je 푔 nedegenerisano, bilo koji element od 푇∗푀 može se predstaviti u obliku 훼 . Dakle, 훼 uspostavlja izomorfizam
između 푇 푀 i 푇∗푀. U komponentnom obliku, ako je 푋 = 푋 , 훼 = 푋 푑푥 , tada se dobija iz formule (3.13) da je
푋 = 푔 푋 , 푋 = 푔 푋 .(3.14)
3.2. Fudamentalna teorema Rimanove geometrije
Definicija 3.2.1. Neka je (푀,푔) uopštena 푚-dimenzionalna Rimanova mnogostrukost, i 훻 afina povezanost na 푀. Ako važi
훻푔 = 0,(3.15)
tada je 훻 metrički kompatibilna povezanost na (푀,푔).
Napomena 3.2.2.
i) Uslov (3.15) označava da je fudamentalni tenzor 푔 paralelan s obzirom na metrički kompatibilnu povezanost.
ii) Ako je matrica povezanosti 훻 u lokalnim koordinatama 푥 , data sa 휔 = 휔 , tada je 훻푔 = 푑푔 − 휔 푔 −휔 푔 ⊗ 푑푥 ⊗ 푑푥 .(3.16)
Stoga je (3.15) ekvivalentno sa 푑푔 = 휔 푔 + 휔 푔 ,(3.17)
u matričnom obliku zapisano: 푑푔 = 휔 ⋅ 푔 + 푔 ⋅ 휔 ,(3.18)
gde 푔 i 휔 predstavljaju matrice
푔 =푔 ⋯ 푔⋮ ⋱ ⋮
푔 ⋯ 푔,(3.19)
휔 =휔 ⋯ 휔⋮ ⋱ ⋮휔 ⋯ 휔
.(3.20)
Geometrijsko značenje metrički kompatibilne povezanosti je da paralelna pomeranja očuvavaju metriku.
iii) Na Rimanovoj mnogostrukosti dužina tangentnih vektora i ugla između dva tangentna vektora su invarijantni pri paralelnom pomeranju. Ako su 푋(푡) i 푌(푡) paralelna vektorska polja duž krive 푐:푥 = 푥 (휏) (1 ≤ 푖 ≤ 푚) s obzirom na metrički kompatibilnu povezanost,tada je
40
푑푋푑휏 + 훤 푋
푑푥푑휏 = 0
푑푌푑휏 + 훤 푌
푑푥푑휏 = 0⎭
⎬
⎫,(3.21)
stoga važi 푑푑휏 푔 푋 푌 =
푑푔푑휏 푋 푌 + 푔
푑푋푑휏 푌 + 푔 푋
푑푌푑휏 =
=푑푔푑휏 − 푔 훤
푑푥푑휏 − 푔 훤
푑푥푑휏 푋 푌 .(3.22)
Iz (3.17) sledi da je desna strana jednakosti (3.22) jednaka nuli. Stoga, duž 푐 važi 푔 푋 푌 = 푐표푛푠푡.(3.23)
Teorema 3.2.3. (Fudamentalna teorema Rimanove geometrije) Neka je 푀 푚-dimenziona uopštena Rimanova mnogostrukost. Tada postoji jedinstvena, metrički kompatibilna povezanost na 푀, koja se naziva Levi-Čivitina povezanost na 푀 ili Rimanova povezanost na 푀.
Dokaz Neka je ∇ metrički kompatibilna povezanost, bez torzije na 푀. Matrica povezanosti ∇ u lokalnim koordinatama, neka je označena sa 휔 = 휔 , gde je
휔 = 훤 푑푥 .(3.24)
Tada važi da je 푑푔 = 휔 푔 + 휔 푔 ,(3.25)
훤 = 훤 .(3.26) 훤 , = 푔 훤 , 휔 = 푔 휔 .(3.27)
Iz (3.25) i (3.26) sledi da je 휕푔휕푥 = 훤 , + 훤 , ,(3.28)
훤 , = 훤 , .(3.29)
Ciklično menjajući indekse u (3.28), dobija se 휕푔휕푥 = 훤 , + 훤 , ,(3.30)
휕푔휕푥 = 훤 , + 훤 , .(3.31)
Od zbira (3.30) i (3.31) se oduzima (3.28), dobija se
훤 , =12
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 ,(3.32)
훤 =12푔
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 .(3.33)
41
Iz prethodnog se vidi da je metrički kompatibilna povezanost, bez torzije, jedinstveno određena metričkim tenzorom.
Obrnuto, 훤 definisano u (3.33), zaista zadovoljava transformacione jednačine za koeficijente povezanosti pri promeni lokalnih koordinata. Stoga, oni definišu afinu povezanost ∇ na 푀. Jednostavnim računanjem se pokazuje da oni, takođe, zadovoljavaju formule (3.28) i (3.29). Stoga je ∇ povezanost bez torzije i metrički kompatibilna povezanost na 푀. ∎
Napomena 3.2.4. Neka je data proizvoljna baza (frame field) umesto prirodne baze u okolini Rimanove mnogostrkosti. Lokalna baza (local frame field) na mnogostrukosti je lokalni presek baznog raslojenja (frame bundle). Neka je (푒 , … , 푒 ) lokalna baza (local frame field) sa ko-bazom (coframe field)(휃 , … , 휃 ). Neka je
훻푒 = 휃 푒 ,(3.34)
gde je 휃 = 휃 matrica povezanosti od 훻, s obzirom na lokalnu bazu (푒 , … , 푒 ). Ovde su 휃 , 휃 forme dobijene “povlačenjem” (pulling) diferencijalnih 1-formi 휃 i 휃 sa baznog raslojenja 푃 nazad na lokalne preseke (koristi se ista notacija ovde za 휃 i 휃 ). Iz strukturnih jednačina povezanosti, zna se da je tvrđenje da je 훻 povezanost bez torzije, ekvivalentno sa tvrđenjem da 휃 zadovoljava jednačine
푑휃 − 휃 ∧ 휃 = 0.(3.35) 푔 = 푔 푒 , 푒 푑푠 = 푔 휃 휃 .
Pošto je 푔 = 푔 휃 ⊗ 휃 , važi da je 훻푔 = 푑푔 − 푔 휃 − 푔 휃 ⊗ 휃 ⊗ 휃 .(3.36)
Stoga je uslov da 훻 bude metrički kompatibilna povezanost 푑푔 = 휃 푔 + 휃 푔 .(3.37)
Prethodna teorema se može preformulisati na sledeći način.
Teorema 3.2.5.11 Neka je (푀,푔) uopštena Rimanova mnogostrukost, i 휃 1 ≤ 푖 ≤ 푚 je skup diferencijalnih 1-formi u okolini 푈 ⊂ 푀, koji je linearno nezavistan svuda. Tada postoji jedinstveni skup od 푚 diferencijalnih 1-formi 휃 na 푈, takvih da važi
푑휃 = 휃 ∧ 휃 = 0, 푑푔 = 휃 푔 + 휃 푔 ,
11 Dokaz teoreme je dat u [13].
42
gde su 푔 komponente od 푔 s obzirom na lokalnu ko-bazu (local coframe field) 휃 , tj. 푔 = 푔 휃 ⊗ 휃 .(3.38)
Napomena 3.2.6.12 Uslov 훻푔 = 0 u fundamentalnoj teoremi Rimanove geometrije je ekvivalentan sa uslovom 푍 < 푋,푌 >=< 훻 푋,푌 > +< 푋,훻 푌 >, gde su 푋,푌,푍 ∈ 픛(푀).
Definicija 3.2.7. Neka su 퐸 ,…,퐸 ,퐹 konačnodimenzioni vektorski prostori. Sa 퐿 (퐸 , … ,퐸 ;퐹) se označava prostor multilinearnih preslikavanja iz 퐸 × … × 퐸 u 퐹.
Definicija 3.2.8. Neka je E vektorski prostor. Tada se 푇 (퐸):퐿 (퐸∗, … ,퐸∗,퐸, … ,퐸;ℝ), gde postoji 푟-puta dualni prostor od 퐸, (퐸∗) i 푠-puta prostor 퐸, naziva 푟-puta kontravarijantan i 푠-puta kovarijantan tenzor, ili kraće tenzor tipa .
U specijalnom slučaju za 푔 = 훿 se Rimanov prostor svodi na Euklidov prostor. Kvadrat dužine luka definisan jednačinom 푑푠 = 푔 푑푥 푑푥 se naziva Rimanovom metrikom i bilo koja geometrija koja koristi ovu metriku se naziva Rimanovom geometrijom. Prostor je ravan ako je moguće naći koordinatnu transformaciju gde je kvadrat dužine luka dat sa 푑푠 = 휀 푑푥 gde je svako 휀 ili +1 ili -1. Prostor koji nije ravan je zakrivljen.Tangentni prostor 푇 푀 sa na njemu zadatom metrikom 휌 je Euklidov vektorski prostor.
Metrički tenzor 푔 na diferencijabilnoj mnogostrukosti 푀 se naziva takođe Rimanovom metrikom tangentnog raslojenja 푇푀, zato što g indukuje Euklidovu metriku na svakom sloju 푇 푀. Metrički tenzor na 푀 se naziva jos i Rimanovom metrikom na M. U nastavku će biti izložen način izgrađivanja Rimanove metrike na diferencijabilnoj mnogostrukosti 푇푀, koja proizilazi iz metričkog tenzora na M. Bitno je primetiti da unutrašnji proizvod “na diferencijalni način zavisi od 푝”, tj. preslikavanje 푝 → 푔(푋푝,푌푝) se diferencira po svim diferencijabilnim vektorskim poljima na 푀, što proizilazi direktno iz definicije tenzora.
Napomena 3.2.9. Rimanova geometrija je uopštenje Euklidove geometrije, jer zadavanje Rimanove metrike označava na diferencijabilnoj mnogostrukosti, na diferencijabilan način zavisnost od tačaka Euklidove strukture. Svakoj tački 푝 se dodeljuje funkcija ∢:푇푝푀 × 푇푝푀 → [0,휋], gde je 푇푝푀 = 푇푝푀 ∖ {0}, data formulom
푐표푠∢(푣,휔) =푔(푣,휔)
퐼퐼푣퐼퐼퐼퐼휔퐼퐼 .(3.39)
Funkcija ∢(푣,휔) se naziva (neorijentisanim) uglom između 푣 i 휔, 푣,휔휖푇푝푀 . Vektori 푣,휔 ∈ 푇푝푀 su ortogonalni ako važi < 푣,휔 >=0 (푣,휔휖푇푝푀 ).
12 Dokaz teoreme sa ekvivalentnim uslovom je izložen u [2].
43
Ako su 푐 , 푐 : 퐽 → 푀 glatke krive, 푡 ∈ 퐽, 푐 (푡 ) = 푐 (푡 )i 푐 (푡 ) ≠ 0, 푐 (푡 ) ≠ 0 ugao∢ 푐 (푡 ), 푐 (푡 ) je ugao preseka krivih 푐 , 푐 u 푡 . Neka je (푥,푈) karta na M,
푋 = ∈ 픛(푈). Tada se vektorska polja 푋,푌 ∈ 픛(푈) predstavljaju u obliku 푋 = ∑ 휑 푋 ,
푌 = ∑ 휓 푋 gde su 휑 i 휓 ∈ 풞 (푈).Iz bilinearnosti preslikavanja g proizilazi predstavljanje < 푋,푌 >= ∑ 휑 휓 푔, . Funkcije 푔 =< 푋 ,푋 >∈ 풞 (푈) se nazivaju
komponentama tenzora g s obzirom na kartu 푥. Definiše se za tenzore 휔 ,휔 tipa 푟0 i 푠0
tenzorski proizvod 휔 ⨂휔 tj (푟 + 푠) −forma zadata formulom (휔 ⨂휔 )(푋 , … ,푋 ,푌 , … ,푌 ) = 휔 (푋 , … ,푋 )휔 (푌 , … ,푌 ), 푋 ,푌 ∈ 픛(푀),푖 = 1, … , 푟, 푗 = 1, … , 푠.Tenzor g se takođe naziva “prvom osnovnom formom” Rimanove mnogostrukosti.
44
4. KRISTOFELOVI SIMBOLI
4.1. Povezanosti13
4.1.1. Povezanosti na vektorskim raslojenjima14
Da bi se mogao „diferencirati“ presek vektorskog raslojenja, odnosno vektorsko polje na mnogostrukosti, u nastavku će biti uvedena struktura koja se naziva povezanost na vektorskom raslojenju. Afina povezanost je struktura vezana za diferencijabilnu mnogostrukost, kako bi se mogla „diferencirati“ njena tenzorska polja. Vektorsko raslojenje i njegov presek su uvedeni u 1.6.1. podnaslovu.
Definicija 4.1.1. Povezanost na vektorskom raslojenju (퐸,퐵,휋) (퐸 je konačnodimenzioni prostor dimenzije 푛) je preslikavanje 훻:훤(퐸) → 훤(푇∗푀⊗퐸) koje zadovoljava uslove: 1) Za sve 푡 , 푡 ∈ 훤(퐸) 훻(푡 + 푡 ) = 훻푡 + 훻푡 . 2) Za svako 푡 ∈ 훤(퐸) i svako 훼 ∈ 풞 (푀), 훻(훼푡) = 푑훼 ⊗ 푡 + 훼훻푡.
Neka je 푋 glatko tangentno vektorsko polje na 푀 i 푡 ∈ 훤(퐸). Neka je 훻 푡 = ⟨푋,훻푡⟩,(4.1)
gde ⟨, ⟩ predstavlja par sa elementima iz 푇푀 i 푇∗푀. Tada je 훻 푡 presek od 퐸, koji se naziva kovarijantnim izvodom preseka 푡 duž 푋.
Napomena 4.1.2. Neka je 훼 = −1. Tada iz osobine 2) iz Definicije 4.1.1. sledi da važi
훻(−푡) = −훻푡.(4.2)
Stoga 훻preslikava nula presek u nula presek. Zato je 훻linearni operator iz 훤(퐸) u 훤(푇∗푀⊗퐸).
Napomena 4.1.3. Neka su 푋,푌 neka dva glatka tangentna vektorska polja na 푀, 푡, 푡 , 푡 preseci od 퐸 i 훼 ∈ 풞 (푀). Tada važi: 1) 훻 푡 = 훻 푡 + 훻 푡. 훻 푡 = ⟨푋 + 푌,훻푡⟩ = ⟨푋,훻푡⟩+ ⟨푌,훻푡⟩ = 훻 푡 + 훻 푡.
2) 훻 푡 = 훼훻 푡. 훻 푡 = ⟨훼푋,훻푡⟩ = 훼⟨푋,훻푡⟩ = 훼훻 푡.
3) 훻 (푡 + 푡 ) = 훻 푡 + 훻 푡 .
훻 (푡 + 푡 ) = ⟨푋,훻(푡 + 푡 )⟩ =⏞)
⟨푋,훻푡 + 훻푡 ⟩ = ⟨푋,훻푡 ⟩ + ⟨푋,훻푡 ⟩ = 훻 푡 + 훻 푡 .
4) 훻 (훼푡) = (푋훼)푡 + 훼훻 푡.
13 Umesto termina povezanost se u literaturi koriste termini koneksija ili konekcija. U ovom radu će u nastavku biti korišćen termin povezanost. U literaturi na engleskom jeziku, termin glasi: connection. 14 Opštija tvrđenja o povezanostima se mogu pogledati u [13].
45
훻 (훼푡) = ⟨푋,훻(훼푡)⟩ = ⟨푋,푑훼 ⊗ 푡 + 훼훻푡⟩ = ⟨푋,푑훼 ⊗ 푡⟩ + ⟨푋,훼훻푡⟩ = = ⟨푋, 푑훼 ⊗ 푡⟩ + 훼훻 푡 = (푋훼)푡 + 훼훻 푡.
Napomena 4.1.4. Kovarijantni presek 푡 duž 푋(훻 푡) ima sledeće lokalne osobine: 1) Ako su 푋 ,푋 tangentna vektorska polja sa istom vrednošću u 푝 ∈ 푀, tada za bilo koji
presek 푡 od 퐸, 훻 푡 i 훻 푡, takođe, imaju istu vrednost u 푝. Može se definisati apsolutni diferencijalni količnik (훻 푡) preseka od 퐸 s obzirom na tangentni vektor od 푀 u 푝. Za 푋 ∈ 푇 푀, 훻 :훤(퐸) → 퐸 .
2) Za preslikavanje 훻 :훤(퐸) → 퐸 푋 ∈ 푇 푀 , 훻 푡 = 훻 푡 , vrednosti na presecima 푡 i 푡 na parametrizovanoj krivoj na 푀 koja je tangentna na 푋 su iste. Povezanost je lokalno data skupom diferencijalnih 1-formi.
Definicija 4.1.5. Neka je 푈 koordinatna okolina od 푀 sa lokalnim koordinatama 푥 , 1 ≤ 푖 ≤ 푚. Neka je izabrano 푛 glatkih preseka 푡 (1 ≤ 훼 ≤ 푛) od 퐸 na 푈, tako da su oni linearno nezavisni svuda. Takav skup od 푛 glatkih preseka se naziva lokalna baza (local frame field) od 퐸 na 푈. U svakoj tački 푝 ∈ 푈, 푑푥 ⊗ 푡 , 1 ≤ 푖 ≤ 푚, 1 ≤ 훼 ≤ 푛 formira bazu tenzorskog proizvoda 푇∗⊗퐸 .
Napomena 4.1.6. Pošto je 훻푡 lokalni presek na 푈 raslojenja 푇∗(푀)⊗퐸, može se pisati
훻푡 = 훤 푑푥 ⊗ 푡,
,(4.3)
gde su 훤 glatke funkcije na 푈. Neka je
휔 = 훤 푑푥 .(4.4)
Tada se (4.3) može zapisati u obliku
훻푡 = 휔 ⊗ 푡 .(4.5)
U nastavku se uvodi matrična notacija, radi kraćeg zapisivanja i lakšeg računanja. Neka je sa 푆 označena kolona matrica koju čini lokalna baza, a sa 휔 je označena matrica sa elementima 휔 , tj.
푆 =푡⋮푡
, 휔 =휔 ⋯ 휔⋮ ⋱ ⋮휔 ⋯ 휔
.(4.6)
Tada se (4.5) može zapisati u matričnom obliku 훻푆 = 휔⊗ 푆.(4.7)
Matrica 휔 je matrica povezanosti, koja zavisi od izbora lokalne baze.
46
Napomena 4.1.7. Ako je 푆 = [푡 , … , 푡 ] neka druga lokalna baza na 푈, pretpostavlja se da je
푆 = 퐴 ⋅ 푆,(4.8)
gde je
퐴 =푎 ⋯ 푎⋮ ⋱ ⋮푎 ⋯ 푎
.
U matrici 퐴 su 푎 glatke funkcije na 푈 i neka je 푑푒푡퐴 ≠ 0. Neka je matrica povezanosti 훻 s obzirom na lokalnu bazu 푆 označena sa 휔 . Tada se iz uslova Definicije 4.1.1. dobija da je
훻푆 = 푑퐴⊗ 푆 + 퐴 ⋅ 훻푆 = (푑퐴 + 퐴 ⋅ 휔) ⊗푆 = (푑퐴 ⋅ 퐴 + 퐴 ⋅ 휔 ⋅ 퐴 ) ⊗푆 .(4.9)
Stoga je 휔 = 푑퐴 ⋅ 퐴 + 퐴 ⋅ 휔 ⋅ 퐴 .(4.10)
Formula (4.10) predstavlja transformacionu formulu matrice povezanosti pri promeni lokalne baze.
Teorema 4.1.8. Povezanost uvek postoji na vektorskom raslojenju.
Dokaz Neka je dat koordinatni pokrivač {푈 } ∈ od 푀. Kako su vektorska raslojenja trivijalno lokalna, može se pretpostaviti da postoji lokalna baza 푆 za svako 푈 . Zbog dobijanja lokalne strukture povezanosti treba konstruisati matricu 휔 reda 푛 × 푛 na svakom 푈 , tako da konstruisane matrice zadovoljavaju (4.10) pri promeni lokalne baze. Može se pretpostaviti da je {푈 } ∈ lokalno konačan i {푔 } ∈ je odgovarajuća particija jedinice, takva da 푠푢푝푝푔 ⊆ 푈 . Kada je 푈 ∩ 푈 ≠ ∅, tada prirodno postoji nedegenerisana matrica 퐴 glatkih funkcija na 푈 ∩ 푈 takva da je
푆 = 퐴 ⋅ 푆 , 푑푒푡퐴 ≠ 0.(4.11)
Za svako 훼 ∈ 퐴, bira se proizvoljna 푛 × 푛 matrica 휑 diferencijalnih 1-formi na 푈 . Neka je
휔 = 푔 ⋅ 푑퐴 ⋅ 퐴 + 퐴 ⋅ 휑 ⋅ 퐴∈풜
,(4.12)
gde su izrazi u sumi po 훽 sa 푈 ∩ 푈 ≠ ∅ jednaki nuli . Tada je 휔 matrica diferencijalnih 1-formi na 푈 . Treba samo pokazati da važi sledeća transformaciona formula za 푈 ∩ 푈 ≠ ∅:
휔 = 푑퐴 ⋅ 퐴 + 퐴 ⋅ 휑 ⋅ 퐴 .(4.13)
Ovo će biti urađeno direktnim računanjem. Prvo treba razmotriti da kada je 푈 ∩ 푈 ∩ 푈 ≠ ∅, sledeća formula je tačna u preseku: 퐴 ⋅ 퐴 = 퐴 .
Na 푈 ∩ 푈 ≠ ∅, važi da je
퐴 ⋅ 휔 ⋅ 퐴 = 푔 ⋅ 퐴 ⋅ 푑퐴 ⋅ 퐴 + 퐴 ⋅ 휑 ⋅ 퐴 ⋅ 퐴∩ ∩ ∅
=
47
= 휔 − 푑퐴 ⋅ 퐴 .
Što je i trebalo pokazati. Iz prethodnog se može videti da postoji velika sloboda u izboru povezanosti. ∎
Teorema 4.1.9. Neka je 훻 povezanost na vektorskom raslojenju 퐸 i 푝 ∈ 푀. Tada, postoji lokalna baza 푆 u koordinatnoj okolini od 푝, tako da je odgovarajuća matrica povezanosti 휔 nula u 푝.
Dokaz Neka je izabrana koordinatna okolina 푈; 푥 od 푝 takva da je 푥 (푝) = 0, 1 ≤ 푖 ≤ 푚. Neka je 푆 lokalna baza na 푈 sa odgovarajućom matricom povezanosti 휔 = 휔 , gde je
휔 = 훤 푥 ,(4.14)
a 훤 su glatke funkcije na 푈. Neka je
푎 = 훿 − 훤 (푝)푥 .(4.15)
Tada je 퐴 = 푎 identička matrica u 푝. Stoga, postoji okolina 푉 ⊂ 푈 od 푝, takva da je 퐴 nedegenerisana na 푉. Dakle,
푆 = 퐴 ⋅ 푆 (4.16)
je lokalna baza na 푉. Pošto je 푑퐴(푝) = −휔 (푝), iz formule (4.13) se dobija da je 휔(푝) = (푑퐴 ⋅ 퐴 + 퐴 ⋅ 휔 ⋅ 퐴 )(푝) = −휔 (푝) + 휔 (푝) = 0(4.17)
Stoga je 푆 tražena lokalna baza. ∎
Definicija 4.1.10. 훺 = 푑휔 − 휔 ∧ 휔 je matrica krivine povezanosti 훻 na 푈.
Napomena 4.1.11. Neka su 푋 i 푌 dva proizvoljna tangentna vektorska polja na 푀. Tada matrica krivine 훺 definiše linearnu transformaciju 푅(푋,푌) iz 훤(퐸) u 훤(퐸). Neka su 푋,푌 ∈ 푇 푀 푝 ∈ 푈. Tada se može definisati linearna transformacija 푅(푋,푌) iz vlakna 휋 (푝) u 휋 (푝) pomoću matrice krivine 훺. Neka je 푡 ∈ 휋 (푝). Koristeći lokalnu bazu 푆 = [푡 , … , 푡 ] vektorskog raslojenja 퐸 na 푈, 푡 se može izraziti kao 푡 = ∑ 휆 푡 | , 휆 ∈ ℝ. Neka je
푅(푋,푌)푡 = 휆 ⟨푋 ∧ 푌,훺 ⟩푡,
.(4.18)
Pošto se 훺 = 훺 transformiše prema formuli 훺 = 퐴 ⋅ 훺 ⋅ 퐴 , pri promeni lokalne baze,
⟨푋 ∧ 푌,훺 ⟩ je 11 -tenzor na linearnom prostoru 휋 (푝). Stoga 푅(푋,푌), koja je definisana u
(4.18), je linearna transformacija iz 휋 (푝) u 휋 (푝) nezavisna od izbora lokalnih koordinata.
48
Napomena 4.1.12. Neka su 푋 i 푌 dva glatka tangentna polja na glatkoj mnogostrukosti 푀, tada je 푅(푋,푌) linearni operator na 훤(퐸): za svako 푡 ∈ 훤(퐸), 푝 ∈ 푀,
(푅(푋,푌)푡)(푝) = 푅 푋 ,푌 푡 .(4.19)
Operator 푅(푋,푌) ima sledeće osobine: 1) 푅(푋,푌) = −푅(푌,푋). 2) 푅(푓푋,푌) = 푓 ⋅ 푅(푋,푌). 3) 푅(푋,푌)(푓푡) = 푓 ⋅ (푅(푋,푌)푡), gde su 푋,푌 ∈ 훤 푇(푀) , 푓 ∈ 풞 (푀), 푡 ∈ 훤(퐸). 푅(푋,푌) se
naziva operator krivine povezanosti 훻.
Teorema 4.1.13. Neka su 푋 i 푌 dva proizvoljno izabrana tangentna vektorska polja na mnogostrukosti 푀. Tada je
푅(푋,푌) = 훻 훻 − 훻 훻 − 훻[ , ].(4.20)
Dokaz Pošto su apsolutni diferencijalni količnik i operator krivine lokalni operatori, treba razmatrati operacije u (4.20) sa leve i desne strane na lokalnom preseku. Neka se 푡 ∈ 훤(퐸) može lokalno izraziti u obliku 푡 = ∑ 휆 푡 . Tada je
훻 푡 = 푋휆 + 휆 ⟨푋,휔 ⟩ 푡 ,(4.21)
i 훻 훻 푡 =
= 푌(푋휆 ) + 푋휆 ⟨푌,휔 ⟩ + 푌휆 ⟨푋,휔 ⟩ + 휆 푌⟨푋,휔 ⟩ + ⟨푋,휔 ⟩ ⟨푌,휔 ⟩ 푡 .
Stoga je
훻 훻 푡 − 훻 훻 푡 =
= [푋,푌]휆 + 휆 ⟨[푋,푌],휔 ⟩ + ⟨푋 ∧ 푌, 푑휔 − 휔 ∧ 휔 ⟩ 푡 =
= 훻[ , ] + 휆 ⟨푋 ∧ 푌,훺 ⟩푡,
,(4.22)
tj. važi da je 푅(푋,푌)푡 = 훻 훻 푡 − 훻 훻 푡 − 훻[ , ]푡.∎
Teorema 4.1.14. Matrica krivine 훺 zadovoljava Bjankijev identitet.
푑훺 = 휔 ∧ 훺 − 훺 ∧ 휔.(4.23)
49
Dokaz Na obe strane jednakosti 훺 = 푑휔 − 휔 ∧ 휔 se primenjuje spoljašnje diferenciranje:
푑훺 = −푑휔 ∧ 휔 + 휔 ∧ 푑휔 = −(훺 + 휔 ∧ 휔) ∧ 휔 + 휔 ∧ (훺 + 휔 ∧ 휔) = = −훺 ∧ 휔 + 휔 ∧ 훺.∎
Definicija 4.1.15. Ako presek 푡 vektorskog raslojenja 퐸 zadovoljava uslov
훻푡 = 0,(4.24)
tada je 푡 paralelni presek.
Definicija 4.1.16. Neka je 푐 parametrizovana kriva u 푀, a 푋 je tangentno vektorsko polje duž 푐. Ako presek 푡 vektorskog raslojenja 퐸 na 푐 zadovoljava
∇ c = 0,(4.25)
tada je 푡 paralelan duž krive 푐.
Napomena 4.1.17. Neka je kriva 푐 data u lokalnoj koordinatnoj okolini 푈 od 푀 sa 푥 = 푥 (휏), 1 ≤ 푖 ≤ 푛.
Tangentno vektorsko polje od 푐 je 푋 = ∑ . Neka je 푆 lokalna baza na 푈. Tada je 푡 = ∑ 휆 푡 paralelni presek duž 푐 akko zadovoljava sledeći sistem jednačina:
⟨푋,훻푡⟩ =푑휆푑휏 + 훤
푑푥푑휏 휆
,
푡 = 0,
tj. 푑휆푑휏 + 훤
푑푥푑휏 휆
,
= 0, 1 ≤ 훼 ≤ 푛.(4.26)
Pošto je (4.26) sistem običnih diferencijalnih jednačina, jedinstveno rešenje postoji za bilo koje početne uslove. Dakle, za bilo koji dati vektor 퓋 ∈ 퐸 u tački 푝 ∈ 푐, određeno je jedinstveno vektorsko polje paralelno duž 푐, koje se naziva paralelnim pomeranjem od 퓋 duž 푐. Očigledno je da paralelna pomeranja duž 푐 definišu izomorfizam između vlakana vektorskog raslojenja 퐸 u različitim tačkama na 푐.
Napomena 4.1.18. Povezanost ∇ vektorskog raslojenja 퐸, takođe indukuje povezanost (koja se takođe označava sa ∇) na dualnom raslojenju 퐸∗. Neka je 푡 ∈ 훤(퐸), 푡∗ ∈ 훤(퐸∗), i par ⟨푡, 푡∗⟩ je glatka funkcija na 푀. Tada je indukovana povezanost ∇ na 퐸∗ određena jednačinom
푑⟨푡, 푡∗⟩ = ⟨∇푡, 푡∗⟩ + ⟨푡,∇푡∗⟩,(4.27)
gde ⟨, ⟩ na desnoj strani označava uparivanje elemenata iz 퐸 i 퐸∗. Neka 푡 (1 ≤ 훼 ≤ 푛) predstavljaju lokalnu bazu na 퐸, i neka je dualna lokalna baza na 퐸∗, 푡∗ (1 ≤ 훽 ≤ 푛), tj.
⟨푡 , 푡∗ ⟩ = 훿 .(4.28)
Neka je
50
∇푡∗ = 휔∗ ⊗ 푡∗ .(4.29)
Tada iz (4.27)važi da je 휔 = ⟨∇푡 , 푡∗ ⟩ = −⟨푡 ,∇푡∗ ⟩ = −휔∗ .
Stoga je
∇푡∗ = − 휔 ⊗ 푡∗ .(4.30)
Ako je presek 푡∗ od 퐸∗ izražen lokalno 푡∗ = ∑ 푥 푡∗ , tada se iz (4.30) dobija
∇푡∗ = 푑푥 − 푥 휔 ⊗ 푡∗ .(4.31)
Prethodne teoreme u ovom podnaslovu su se odnosile na opšte povezanosti, a u nastavku rada će biti razmatrane povezanosti na 푇푀, koje se još nazivaju i afinim povezanostima, a mnogostrukost sa datom afinom povezanošću se naziva afin povezani prostor. Iz prethodnog opšteg razmatranja o mnogostrukostima, proizilazi da afina povezanost obavezno postoji na 푀.
Napomena 4.1.19. Neka je 푈;푥 bilo koji koordinatni sistem na 푀. Tada prirodna baza 푡 = , 1 ≤ 푖 ≤ 푛
formira lokalnu bazu tangentnog raslojenja 푇푀 na 푈. Tada je ∇푡 = 휔 ⊗ 푡 = 훤 푑푥 ⊗ 푡 (4.32)
gde su 훤 glatke funkcije na 푈, koje se nazivaju koeficijentima povezanosti ∇ s obzirom na lokalne koordinate 푥 .
Napomena 4.1.20. Koeficijenti 훤 ne zadovoljavaju transformaciono pravilo za tenzore. Zato se definiše veličina
푇 = 훤 − 훤 .(4.33)
푇 = 푇휕휕푥 ⊗ 푑푥 ⊗ 푑푥 .(4.34)
koja je -tenzor koji se naziva tenzorom torzije afine povezanosti ∇. Iz (4.33) sledi da su komponente tenzora torzije 푇 kososimetrične s obzirom na donje indekse, tj.
푇 = −푇 .(4.35)
푇 se može posmatrati kao preslikavanje iz 훤(푇푀) × 훤(푇푀) u 훤(푇푀). Neka su 푋 i 푌 proizvoljna tangentna vektorska polja na 푀. Tada je 푇(푋,푌) tangentno vektorsko polje na 푀, u lokalnim koordinatama dato u obliku
푇(푋,푌) = 푇 푋 푌휕휕푥 .(4.36)
51
푇(푋,푌) = ∇ 푌 − ∇ 푋 − [푋,푌](4.37)
Definicija 4.1.21. Ako je tenzor torzije afine povezanosti jednak nuli, povezanost je bez torzije.
Napomena 4.1.22. Afina povezanost bez torzije uvek postoji. Koeficijenti 훤 povezanosti ∇ određuju koeficijente povezanosti bez torzije ∇ na sledeći način:
훤 =12 훤 + 훤 (4.38)
Bilo koja povezanost se može predstaviti kao suma tenzora torzije povezanosti bez torzije.
훤 = −12 푇 + 훤 (4.39)
Zapisano u obliku vektorskih polja
∇ 푍 =12 푇
(푋,푍) + ∇ 푍(4.40)
Teorema 4.1.23. Neka je ∇ afina povezanost bez torzije na 푀. Tada za svaku tačku 푝 ∈ 푀 postoji lokalni koordinatni sistem 푥 takav da su odgovarajući koeficijenti povezanosti 훤 jednaki nuli u 푝.
Dokaz Neka je 푊;휔 lokalni koordinatni sistem u 푝 sa koeficijentima povezanosti 훤 . Neka je
푥 = 휔 +12훤 휔 −휔 (푝) 휔 −휔 (푝) .(4.41)
Tada važi 휕푥휕휔 = 훿 ,
휕 푥휕휔 휕휔 = 훤 (푝).(4.42)
Stoga je matrica nedegenerisana u okolini od 푝, a (4.41) omogućava promenu lokalnih
koordinata u okolini od 푝. Formula za transformaciju koeficijenata povezanosti 훤 pri promeni koordinata je
훤 = 훤휕휔휕푥
휕푥휕휔
휕푥휕휔 +
휕 푥휕휔 휕휔 ⋅
휕휔휕푥 .(4.43)
Iz (4.43) se dobija da koeficijenti povezanosti 훤 u novom koordinatnom sistemu 푥 zadovoljavaju sledeće:
훤 (푝) = 0, 1 ≤ 푖, 푗, 푘 ≤ 푚.∎
Teorema 4.1.24.
Neka je ∇ povezanost bez torzije na 푀. Tada važi Bjankijev identitet 푅 , + 푅 , + 푅 , = 0.(4.44)
Dokaz
52
Iz Teoreme 4.1.15. važi da je 푑훺 = 휔 ∧ 훺 − 훺 ∧ 휔 , odnosno 휕푅휕푥 푑푥 ∧ 푑푥 ∧ 푑푥 = 훤 푅 − 훤 푅 푑푥 ∧ 푑푥 ∧ 푑푥 .
Stoga je 푅 , 푑푥 ∧ 푑푥 ∧ 푑푥 = − 훤 푅 − 훤 푅 푑푥 ∧ 푑푥 ∧ 푑푥 = 0,
gde je u poslednjoj jednakosti korišćena osobina povezanosti bez torzije. Dakle važi da je 푅 , + 푅 , + 푅 , 푑푥 ∧ 푑푥 ∧ 푑푥 = 0.(4.45)
Pošto su koeficijenti u (4.45) kososimetrični s obzirom na 푘, 푙,ℎ, važi 푅 , + 푅 , + 푅 , = 0.∎
4.2. Kristofelovi simboli prvog reda15
Dati simboli su dobili naziv po Elvinu Brunu Kristofelu, nemačkom matematičaru i fizičaru, jer je on za određene kombinacije parcijalnih izvoda uveo posebne oznake. Dati koeficijenti predstavljaju izvode potencijala gravitacionog polja, čime se manifestuje gravitacija kroz zakrivljenost mnogostrukosti.
Važe jednačine prelaza sa jednog sistema koordinata na drugi, tenzora 푔 i 푔
푔 = 푔휕푥휕푥
휕푥휕푥 .
Data jednačina će biti diferencirana po 푥 휕푔휕푥 =
휕푔휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥 + 푔
휕 푥휕푥 휕푥
휕푥휕푥 +
휕푥휕푥
휕 푥휕푥 휕푥 .(4.46)
Veličine se ne transformišu kao tenzori. Cikličnom permutacijom indeksa 휇, 휈,휎 odnosno 훼,훽, 훾 se dobija
휕푔휕푥 =
휕푔휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥 + 푔
휕 푥휕푥 휕푥
휕푥휕푥 +
휕푥휕푥
휕 푥휕푥 휕푥 ,(4.47)
휕푔휕푥 =
휕푔휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥 + 푔
휕 푥휕푥 휕푥
휕푥휕푥 +
휕푥휕푥
휕 푥휕푥 휕푥 .(4.48)
Kada se saberu (4.46) i (4.47) i od njihovog zbira oduzme (4.48), a zatim se dobijena jednačina podeli sa 2, dobija se:
12
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 =
15Detaljnija objašnjenja Kristofelovih simbola prvog reda mogu se pogledati u [20], [3], [8]. Drugačiji dokaz za Bjankijev identitet se može pogledati u [20].
53
=휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥
12
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 + 푔
휕 푥휕푥 휕푥
휕푥휕푥 .(4.49)
Uvode se sledeće oznake:
훤 , =12
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 .(4.50)
Veličina 훤 , se naziva Kristofelov simbol prve vrste.
Iz definicije od 훤 , se dobija da je Kristofelov simbol prve vrste simetričan u odnosu na prva dva indeksa, tj.
훤 , = 훤 , (4.51)
Na osnovu (4.50), jednačina (4.51) se može napisati u obliku:
훤 , =휕푥휕푥
휕푥휕푥 훤 , + 푔
휕 푥휕푥 휕푥
휕푥휕푥 ,(4.52)
što predstavlja zakon transformacije ovih simbola. Ako se izvrši kontrakcija dobijenog
izraza sa i uzme u obzir da je = 훿 , dobija se
훤 ,휕푥휕푥 =
휕푥휕푥
휕푥휕푥 훤 , + 푔
휕 푥휕푥 휕푥 .(4.53)
4.3. Kristofelovi simboli drugog reda16
Dati simboli se uvode tako što se izvrši kontrakcija sa metričkim tenzorom 푔 훤 = 푔 훤 , .(4.54)
Kada su poznati Kristofelovi simboli drugog reda 훤 , mogu se naći Kristofelovi simboli prvog reda:
훤 푔 = 푔 훤 , 푔 = 훤 , 푔 푔 = 훤 , 훿 = 훤 , .(4.55)
Zbog simetrije 훤 , = 훤 , sledi da je Kristofelov simbol drugog reda simetričan u odnosu na donje indekse
훤 = 훤 .(4.56)
Formula za transformaciju Kristofelovih simbola drugog reda pri prelasku sa jednog sistema koordinata na drugi se izvodi na sledeći način:
훤 = 푔 훤 , .(4.57)
Koristeći da je 푔 = 푔 i 훤 , = 훤 , + 푔 dobija se
16 Detaljnija objašnjenja Kristofelovih simbola drugog reda mogu se pogledati u [20], [3], [8].
54
훤 = 푔휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥 훤 , + 푔
휕 푥휕푥 휕푥
휕푥휕푥 =
= 푔휕푥휕푥 훿
휕푥휕푥
휕푥휕푥 훤 , + 푔
휕 푥휕푥 휕푥 =
=휕푥휕푥
휕푥휕푥 훤 + 푔 푔
휕 푥휕푥 휕푥
휕푥휕푥 =
=휕푥휕푥
휕푥휕푥 훤 +
휕 푥휕푥 휕푥
휕푥휕푥
Zakon transformacije za Kristofelove simbole drugog reda, dat je sledećom jednačinom:
훤 =휕푥휕푥
휕푥휕푥 훤 +
휕 푥휕푥 휕푥
휕푥휕푥 .(4.58)
Ako se izvrši kontrakcija sa , dobija se
훤휕푥휕푥 =
휕푥휕푥
휕푥휕푥 훤 +
휕 푥휕푥 휕푥 .(4.59)
Napomena 4.3.1. Kristofelovi simboli prvog i drugog reda, u opštem slučaju nisu tenzori. Ako se posmatraju samo linearne transformacije, drugi članovi u (4.53) i (4.59) postaju indentički jednaki nuli i u tom slučaju su dati simboli kovarijantni i mešoviti tenzori trećeg ranga. Dati simboli zavise isključivo od metrike posmatranog prostora. Kada je posmatrani prostor Euklidov, u pravouglim Dekartovim koordinatama sve komponente metričkog tenzora 푔 su konstantne, pa su svi izvodi ovih veličina jednaki nuli. Kako se u datom slučaju metrička forma može svesti na prostu sumu kvadrata diferencijala koordinata, zaključuje se da u Euklidovom prostoru postoji bar jedan sistem koordinata u kome su svi Kristofelovi simboli prvog i drugog reda jednaki nuli.
Definicija 4.3.2. U lokalnom koordinatnom sistemu, neka je 푥 = 휕 , 푔 = 푔 푥 , 푥 i 푔 = 푔 , tako da je 푔 = ∑ 푔 푑푥 ⊗ 푑푥 . Definiše se 훤 = ∑ 푔 푔 훻 휕 ,휕 . Prethodnom formulom su definisani Kristofelovi simboli povezanosti.
Napomena 4.3.3. U prethodnoj definiciji je 훻 skraćena notacija od 훻 . Alternativna definicija za Kristofelove simbole je data relacijom
훻 휕 = 훤 휕 .
U nastavku će biti pokazano da su prethodne dve definicije za Kristofelove simbole ekvivalentne, tj. ako su Kristofelovi simboli na Rimanovoj mnogostrukosti (푀,푔) definisani sa 훤 = ∑ 푔 푔 훻 휕 , 휕 , i ako je 훤 definisano sa 훻 휕 = ∑ 훤 휕 , tada je 훤 = 훤 .
55
U 훤 = ∑ 푔 푔 훻 휕 ,휕 se zamenjuje 훻 휕 sa ∑ 훤 휕 , koristeći linearnost od 푔 i definiciju 푔(휕 ,휕 ) = 푔 , ∑ 푔 푔 = 훿 dobija se
훤 = 푔 훤 푔(휕 ,휕 ) = 훤 푔 푔,
= 훤 훿 = 훤 .
4.4. Kovarijantno diferenciranje17
Geodezijske linije18 Rimanovog prostora obrazuju familiju krivih, određenih na invarijantan način zbog svojstva stalnosti intervala izmerenog duž bilo koje od krivih. Zato date krive ne zavise od posebnih oblika sistema koordinata i predstavljaju jedinstvenu krivu pri premeštanju iz jedne tačke prostora u drugu. Tako se mogu koristiti za računanje promene vektora ili tenzora iz jedne tačke u drugu, može se zamisliti da se dati objekti “prenose” duž geodezijske linije, spajajući te dve tačke. Neka je 푥 neka tačka na geodezijskoj liniji, a 푥 + 푑푥 susedna tačka, takođe na datoj liniji, i neka je 휆 = jedinični tangentni vektor geodezijske linije. Neka je 푉 kontravarijantni vektor, njegov kovarijantni oblik je 푉 , tada je 푉 푉 skalar. Vektor 푉 (푥 + 푑푥) određuje rezultat prenošenja 푉 iz tačke 푥
u tačku 푥 + 푑푥 tako da 푉 휆 = 푔 푉 휆 mora biti skalar, nezavisno od toga kakve se dve tačke na geodezijskim linijama posmatraju. Dato razmatranje dovodi do nekog mešovitog tenzora drugog ranga, koji se naziva kovarijantnim izvodom od 푉 .
Ubacivanjem u prethodni izraz, izraze za Kristofelove simbole prvog reda i jednačinu geodezijske linije, dobija se:
푑푑푠 푔 푉 휆 = 푔
휕푉휕푥 + 푉
휕푔휕푥 − 훤 푔 푉 휆 휆 =
= 푔휕푉휕푥 +
휕푔휕푥 − 훤 , 푉 휆 휆 =
=휕푉휕푥 + 훤 푉 휆 휆 .
Leva strana date jednakosti je skalar, tada kada je na desnoj strani unutrašnji proizvod kontravarijantnog vektora 휆 , kovarijantnog vektora 휆 i veličine + 훤 푉 tenzor nultog reda. Prema teoremi o količniku, poslednja veličina mora biti komponenta tenzora drugog ranga kontravarijantnog po indeksu 휈 i kovarijantnog po indeksu 휎. Dati tenzor se naziva kovarijantnim izvodom vektora 푉 i označava sa 푉; , zapisuje se u obliku:
푉; =휕푉휕푥 + 훤 푉 .(4.60)
Unutrašnji proizvod kovarijantnog izvoda od 푉 sa jediničnim tangentnim vektorom 휆 geodezijske linije je kontravarijantni vektor, koji se može zapisati u obliku
17 Detaljnije o kovarijantnom diferenciranju se može pogledati u [20], [5], [4], [22]. 18 Geodezijske linije će biti uvedene i detaljnije objašnjene u 4.4.5
56
푉; 휆 =푑푉푑푠 + 훤 푉 휆 .(4.61)
Prethodni vektor se naziva potpunim kovarijantnim izvodom polaznog vektora 푉 . Ako se za vektor 푉 bira jedinični tangentni vektor iz jednačine geodezijske linije, dobija se da je potpuni kovarijantni izvod jediničnog tangentnog vektora jednak nuli. Na ovaj način se dobija još jedna definicija geodezijske linije, da su krive čiji je potpuni kovarijantni izvod jediničnog tangentnog vektora jednak nuli.
Invarijantnost duž geodezijske linije unutrašnjeg proizvoda kovarijantnog vektora 푈 i jediničnog tangentnog vektora, određuje kovarijantni izvod 푈 ; od 푈 . Dato je
푑푑푠 푈 휆 =
휕푈휕푥 + 훤 푈 휆 휆
푈 ; =휕푈휕푥 + 훤 푈 .(4.62)
Kovarijantno diferenciranje tenzora ranga većeg od jedan sastoji se u tome da se obrazuje skalar pomoću unutrašnjeg proizvoda tenzora i jediničnog tangentnog vektora geodezijske linije, a zatim se na dobijeni skalar primeni . Tada, ako je 푌 kovarijantni tenzor drugog ranga, veličina 푌 휆 휆 je skalar, dobija se
푑푑푠 푌 휆 휆 =
휕푌휕푥 − 훤 푌 − 훤 푌 휆 휆 휆 .
Zbog teoreme o količniku suma veličina
푌 ; =휕푌휕푥 − 훤 푌 − 훤 푌 ,(4.63)
je kontravarijantni tenzor trećeg ranga i predstavlja kovarijantni izvod od tenzora 푌 . Kovarijantni izvod mešovitog tenzora drugog ranga 푋 je dat sa
푋 ; =휕푋휕푥 − 훤 푋 − 훤 푋 .(4.64)
Kovarijantni izvod kontravarijantnog tenzora drugog ranga 푍 je
푍; =휕푍휕푥 − 훤 푍 − 훤 푍 .(4.65)
Izjednačavanjem formula (4.63), (4.64), (4.65) sa formulama (4.60) i (4.62) pokazuje da članovi, koji uključuju Kristofelove simbole u prve tri pomenute formule, zadovoljavaju sledeća pravila: svaki kovarijantni indeks polaznog tenzora dovodi do pojave člana, koji sadrži Kristofelov simbol, dati član je takvog oblika kao i odgovarajući član u kovarijantnom izvodu kovarijantnog vektora. Svaki kontravarijantni indeks dovodi do pojave člana, analognog članu u kovarijantnom izvodu kontravarijantnog vektora.
Prethodno pravilo se očuvava u slučaju tenzora bilo kog ranga.
Važan tenzor koji se može dobiti iz kovarijantnog izvoda nekog zadatog tenzora drugog ranga se naziva vektorska divergencija. Da bi se pokazalo kako se dobija vektorska
57
divergencija, koristi se sledeći rezultat o sumi Kristofelovih simbola. Ako je 푔 determinanta, koja se dobija iz metričkih koeficijenata, po pravilu za izvod determinante važi da je:
휕푔휕푥 = 푎푙푔푒푏푎푟푠푘푖푘표푓푎푘푡표푟푔 푢푔
휕푔휕푥
,
= 푔푔휕푔휕푥 .
훤 =12푔
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 =
12푔
휕푔휕푥 .
Zato važi da je
훤 =12
1푔휕푔휕푥 =
1푔휕 푔휕푥 =
휕푙푛 푔휕푥 .(4.66)
Neka je 푉 kontravarijantni vektor i 푉; njegov kovarijantni izvod, tada je 푉; skalar, koji se naziva divergencijom od 푉 .
푉; =휕푉휕푥 + 훤 푉 =
휕푉휕푥 +
1푔휕 푔휕푥 푉 =
1푔휕 푔푉휕푥 .(4.67)
Neka je 푇 kontravarijantni tenzor drugog ranga i 푇; njegov kovarijantni izvod, tada
se vektor 푇; , asociran sa 푇 , naziva vektorska divergencija. Formula za vektorsku divergenciju ima oblik:
푇; =휕푇휕푥 + 훤 푇 + 훤 푇 =
1푔휕 푔푇
휕푥 + 훤 푇 .(4.68)
Postoji i druga vektorska divergencija, koja se dobija kontrakcijom po prvom kontravarijantnom indeksu tenzora 푇 , odnosno
푇; =1푔휕 푔푇
휕푥 + 훤 푇 .
Date dve vektorske divergencije su jednake, ako je tenzor 푇 simetričan, tj. njegove komponente su takve da je 푇 = 푇 . U drugim slučajevima, date dve vektorske divergencije dobijene iz datog tenzora drugog ranga se ne poklapaju.
4.4.1. Kovarijantni izvod kovarijantnog i kontravarijantnog vektora
Kao što je poznato, formule transformacije kovarijantnog vektora pri prelazu sa sistema koordina 푆 na 푆 , imaju oblik
푉 =휕푥휕푥 푉 .
Diferenciranje po 푥 daje 휕푉휕푥 =
휕푉휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥 .(4.69)
Iz (4.69) se vidi da drugi član narušava tenzorski karakter veličine . Samo u
slučaju linearnih transformacija, izvodi transformisali bi se kao tenzori. Iako ne
58
obrazuju tenzor, ipak pomoću njega može se formirati tenzor. Ako se ranije dobijena formula (4.58) pomnoži sa 푉 , dobija se
훤 푉 =휕푥휕푥
휕푥휕푥 훤 +
휕 푥휕푥 휕푥
휕푥휕푥 푉 =
휕푥휕푥
휕푥휕푥 훤 +
휕 푥휕푥 휕푥 푉 .(4.70)
Oduzimajući (4.70) od (4.69), nehomogeni članovi se potiru,dobija se 휕푉휕푥 − 훤 푉 =
휕푉휕푥 − 훤 푉
휕푥휕푥
휕푥휕푥 .(4.71)
Iz ove jednačine sledi da se veličine − 훤 푉 transformišu kao tenzori. Na taj
način, se došlo do definicije kovarijantnog izvoda vektora 푉 po 푥 , koji se označava sa 푉 ;
푉 ; =휕푉휕푥 − 훤 푉 .(4.72)
Kovarijantni izvod 푉 ; kovarijantnog vektora 푉 pri prelazu sa jednog sistema koordinata na drugi, transformiše se, s obzirom na (4.71), po formuli
푉 ; =휕푥휕푥
휕푥휕푥 푉 ; .
Iz jednačine (4.72) se dobija da kovarijantno diferenciranje predstavlja uopštenje običnog diferenciranja. Slično se može definisati i kovarijantni izvod kontravarijantnog vektora 푉 . Ako se pođe od jednakosti 푉 = 푔 푉 , tada jednačina (4.72) uz korišćenje (4.50), postaje
푉 ; =휕푉휕푥 − 훤 푉 =
휕 푔 푉휕푥 − 훤 푔 푉 =
휕푔휕푥 푉 + 푔
휕푉휕푥 − 훤 , 푉 =
= 푔휕푉휕푥 +
12 2
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥
푉 = 푔휕푉휕푥 + 훤 , 푉 =
= 푔휕푉휕푥 + 푔 훤 푉 = 푔
휕푉휕푥 + 훤 푉 .
Ako se izvrši kontrakcija poslednje jednačine sa 푔 , dobija se
푔 푉 ; = 푔 푔휕푉휕푥 + 훤 푉 =
휕푉휕푥 + 훤 푉 .
Na ovaj način je definisan kovarijantni izvod kontravarijantnog vektora
푉; =휕푉휕푥 + 훤 푉 .
Kovarijantni izvod kontravarijantnog vektora 푉 predstavlja mešoviti tenzor drugog ranga i za njega se u literaturi koriste oznake: 훻 푉 i (푉 ) .
4.4.2. Kovarijantni izvod tenzora
Pravila kovarijantnog diferenciranja vektora (tenzora prvog ranga) mogu se analogno proširiti i na tenzore bilo kog ranga.
U slučaju tenzora drugog ranga važe sledeće formule:
59
푄 ; =휕푄휕푥 − Γ 푄 − Γ 푄 ,(4.73)
푄; =휕푄휕푥 + Γ 푄 + Γ 푄 ,(4.74)
푄 ; =휕푄휕푥 − Γ 푄 + Γ 푄 .(4.75)
Kovarijantni izvod po 푥 mešovitog tenzora je
푄 … ;… =
휕푄 ……
휕푥 − Γ 푄 …… − Γ 푄 …
… −⋯− Γ 푄 …… +
+Γ 푄 …… + Γ 푄 …
… +. . . +Γ 푄 …… .(4.76)
Kombinovanjem kovarijantnog diferenciranja sa algebarskim operacijama koje su definisane ranije, dolazi se do formula analognih običnom diferenciranju. Specijalno, kada su 푉 i 푊 tenzori istog ranga sa istim brojem gornjih i istim brojem donjih indeksa, važi:
1. Kovarijantni izvod tenzora pomnoženog proizvoljnom konstantom svodi se na prosto množenje konstante i kovarijantnog izvoda samog tenzora
(푘푉); = 푘푉; , 푘 = 푐표푛푠푡.(4.77) 2. Kovarijantni izvod sume tenzora sa konstantnim koeficijentima 훼 i 훽 jednak je sumi
kovarijantnih izvoda svakog tenzora: (훼푉 + 훽푊); = 훼푉; + 훽푊; .(4.78)
3. Kovarijantni izvod direktnog proizvoda tenzora 푉 i 푊 izvodi se po Lajbnicovom pravilu:
(푉푊); = 푉; 푊 + 푉푊; .(4.79)
4.4.3. Kovarijantni izvod fudamentalnog tenzora
1. Kovarijantni izvod kovarijantnog fudamentalnog tenzora 푔 identički je jednak nuli. Na osnovu (4.54) i (4.73), kovarijantni izvod metričkog tenzora jednak je
푔 ; =휕푔휕푥 − Γ g − Γ g =
휕푔휕푥 − Γ , + Γ , =
=휕푔휕푥 −
12
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 −
12
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 = 0.(4.80)
2. Kovarijantni izvod mešovitog fudamentalnog tenzora takođe je indentički jednak nuli. Ako se uzme u obzir da je
푔 = 훿 = 0, 휇 ≠ 휈1, 휇 = 휈,
s obzirom na činjenicu da su Kronekelovi simboli 훿 konstante, onda se može, na osnovu (4.75) pisati
푔 ; =휕푔휕푥 − Γ 푔 + Γ 푔 =
휕푔휕푥 − Γ + Γ ≡ 0.(4.81)
3. Na analogan način se može pisati da je kovarijantni izvod kontravarijantnog fudamentalnog tenzora takođe identički jednak nuli. Naime, polazeći od jednakosti
60
푔 ; = 푔 푔;
= 0,
dobija se 푔 ; 푔 + 푔 푔; = 0.
Kako je, s obzirom na (4.80), 푔 ; = 0, sledi da je 푔 푔; = 0. Ako se izvrši kontrakcija ovog izraza sa 푔 , dobija se
푔 푔 푔; = 0, ili
푔 푔; = 푔; = 0. Ova činjenica, da je kovarijantni izvod fudamentalnog tenzora identički jednak nuli, veoma često se koristi pri izračunavanjima. Tako na primer, sledi da ako je kovarijantni izvod bilo kakvog tenzora jednak nuli, onda je kovarijantni izvod konjugovanog njemu tenzora, takođe, jednak nuli. Na primer
0 = 푔 푉 ; = (푔 푉 ); = 푉; .
Važnost operacije kovarijantnog diferenciranja proizilazi iz sledećeg svojstva: ona prevodi jedne tenzore u druge i u odsustvu gravitacije, tj. kada je Γ = 0 prelazi u obično diferenciranje.
Tvrđenje 4.4.1. Kovarijantni izvod Kronekerovog simbola jednak je nuli.
Dokaz Zaista, na osnovu (4.75) se dobija
훿 ; =휕훿휕푥 − Γ 훿 + Γ 훿 = 0 − Γ + Γ = 0.∎
4.4.4. Paralelni prenos tenzora
Jedna od najvažnijih osobina afinog prostora je mogućnost da se dati vektor prenese iz bilo koje tačke. Postavlja se pitanje kako se prenos vektora može realizovati kada je posmatrana oblast Ω data u krivolinijskim koordinatama 푥 . Neka je dat vektor 휉 zadat svojim koordinatama 휉 u nekoj tački 푀 , i neka se prenosi dati vektor u neku drugu tačku 푀 . U nastavku će biti objašnjeno kako će se izmeniti 휉 , da bi u lokalnom okviru tačke 푀 , one određivale prethodni vektor 휉 . Bitan je neprekidan prenos vektora 휉 po nekoj krivoj 푀 푀 , pri čemu se posmatra neprekidna promena njegovih koordinata 휉 na svakom beskonačno malom segmentu krive.
Neka je kriva 푀 푀 zadata parametarskim jednačinama 푥 = 푥 (푡)(푖 = 1, … ,푛), 푡 ≤ 푡 ≤ 푡 , gde su 푥 (푡) neprekidno diferencijabilne funkcije. Koordinate 휉 datog vektora zavise od parametra 푡, tj.
휉 = 휉 (푡).(4.82)
Kako su funkcije 푥 (푡) neprekidno diferencijabilne, dobija se da su duž krive vektori lokalnog okvira 푥 (푥 , … , 푥 ), to znači i 휉 , neprekidno diferencijabilne funkcije po 푡. U tački 푀(푡), s obzirom na lokalni okvir, 휉 se piše u obliku
61
휉 = 휉 (푡)푥 (푥 , … , 푥 ).(4.83)
Diferencirajući prethodnu relaciju po 푡, pri 휉 = 푐표푛푠푡, dobija se: 0 = 푑휉 푥 + 휉 푑푥 .(4.84)
Da bi se razumeo prethodni rezultat moraju se vektori 푑푥 predstaviti preko vektora lokalnog okvira. Prema formuli totalnog diferencijala, dobija se
푑푥 (푥 , … ,푥 ) = 푥 푑푥 ,(4.85)
gde je
푥 =휕 푥(푥 , … ,푥 )
휕푥 휕푥 .
Vektori 푥 koji su definisani u svakoj tački oblasti Ω (a ne samo duž posmatrane krive) mogu se razložiti po vektorima lokalnog okvira 푥 u datoj tački:
푥 = 훤 푥 .(4.86)
Sa 훤 su označeni koeficijenti razlaganja. Iz 푥 = 푥 dobija se 훤 = 훤 .(4.87)
훤 zavisi od tačke, gde se vrši razlaganje (4.86), jer je 훤 (푀) = 훤 (푥 , … , 푥 ).(4.88)
Zamenjujući (4.86) u (4.85), dobija se: 푑푥 = 훤 푥 푑푥 ,
nakon čega jednakost (4.84) dobija osnovni oblik: 0 = 푑휉 푥 + 훤 푥 휉 푑푥 .
Zbog linearne nezavisnosti vektora 푥 , njihova linearna kombinacija koja je jednaka nuli označava da su i svi njihovi koeficijenti jednaki nuli, dobija se 푑휉 + 훤 휉 푑푥 = 0, odnosno
푑휉 = −훤 휉 푑푥 .(4.89)
Formula (4.89) je formula paralelnog prenosa vektora u beskonačno malom. Ona rešava pitanje: ako u datoj tački 푀(푥 ) vektor ima koordinate 휉 , kakve će koordinate imati vektor u beskonačno bliskoj tački 푀 푥 + 푑푥 ?
Odgovor na dato pitanje neće biti dat tačno, već koristeći beskonačno male višeg reda. Diferencijalne koordinate 휉 se izražavaju pri prelazu sa 푀 na 푀 . 푑휉 linearno zavise i od datih koordinata 휉 i od diferencijala 푑푥 koordinata tačaka. Koeficijenti 훤 služe da se pomoću njih povežu vektori iz 푀 sa vektorima iz 푀 , odatle i potiče naziv “koeficijenti povezanosti”. Da bi dobijena formula (4.89) mogla da se primeni na prenos vektora po konačnoj krivoj 푀 푀 , mora se integraliti sistem odgovarajućih diferencijalnih jednačina. U specijalnom slučaju, kada su 푥 afine 푥(푥 , … , 푥 ) = 푥 푒 , 푥 = 푒 , 푥 = 0 iz (4.86) sledi 훤 = 0.
62
Obrnuto, ako su u bilo kom krivolinijskom koordinatnom sistemu 훤 (푥 , … , 푥 ) identički jednaki nuli, to iz (4.86) sledi da je 푥 = 0, 푥 = 푐표푛푠푡. Ako se označi 푥 = 푒 , dobija se
푥 = 푥 푒 + 푥 .
Takav izraz za radijus-vektor (gde je 푥 = 푐표푛푠푡) pokazuje da su 푥 -afine koordinate. Na ovaj način je pokazano tvrđenje:
Tvrđenje 4.4.2. U posmatranoj oblasti 훺, da bi krivolinijske koordinate bile specijalni slučaj, prostoafinih, potreban i dovoljan uslov je da su u tim koordinatama 훤 indentički jednaki nuli.
4.4.5. Geodezijske linije19
Geodezijske linije u prostoru afine povezanosti imaju približnu ulogu kakvu imaju prave linije u afinom prostoru. Imaju istu osnovnu karakteristiku - konstantan pravac.
Definicija 4.4.3. Kriva u prostoru afine povezanosti se naziva geodezijskom, ako svaki vektor 휉 (≠ 0), koji je tangentan na datu krivu u bilo kojoj tački 푀 , ostaje tangentan na nju pri paralelnom prenosu duž nje. Neka je geodezijska linija zadata jednačinama 푥 = 푥 (푡), 푎 ≤ 푡 ≤ 푏, gde su 푥 (푡) dva puta neprekidno diferencijabilne funkcije i neka je 휉 (푡) tangentni vektor koji se paralelno prenosi duž geodezijske linije. Zbog kolinearnosti tangetnih vektora u svakoj tački krive, može se pisati:
푑푥푑푡 = 훼푑휉 ,(4.90)
gde 훼 = 훼(푡) zavisi od tačke na krivoj i nigde nije jednak nuli, u suprotnom bi bili jednaki
nuli istovremeno, što se isključuje kao slučaj.uvek se može preći na takav parametar 휏 duž geodezijske linije, tako da koeficijent 훼 bude identički jednak jedinici. Za to je dovoljno staviti da je 휏 = ∫훼(푡)푑푡, tako da je
푑휏 = 훼(푡)푑푡,(4.91)
zato formula (4.90) dobija oblik 푑푥푑휏 = 푑휉 .(4.92)
Definicija 4.4.4.
Parametar 휏 na geodezijskoj liniji za koji je paralelno prenosiv tangentni vektor, naziva
se kanoničkim parametrom. Uslov da se vektor paralelno prenosi duž željene krive,
istovremeno označava da je kriva geodezijska i da je 휏 na njoj kanonički parametar.
Primenom formule paralelnog prenosa na vektor , dobija se:
19 O geodezijskim linijama se može detaljnije pogledati u [20],[16], [22].
63
푑푑푥푑휏 = −훤
푑푥푑휏 푑푥 ,
deljenjem sa 푑휏, dobijaju se diferencijalne jednačine geodezijskih linija 푑 푥푑휏 = −훤
푑푥푑휏
푑푥푑휏
(4.93)
s obzirom na kanonički parametar.
Tvrđenje 4.4.5. Jednačine geodezijskih linija (4.93) ne menjaju svoj oblik pri proizvoljnim transformacijama koordinata, kovarijantne su.
Dokaz Jednačine geodezijskih linija zadovoljavaju jednačinu (4.93) gde je 휏 neki parametar uzet duž trajektorije. Oba izraza zajedno u ovoj jednačini imaju tenzorski karakter (tenzor prvog ranga), dok pojedinačno uzeti nemaju tenzorski karakter. Ovo će biti dokazano direktno. Jednačina (4.93) je invarijantna u odnosu na proizvoljne transformacije koordinata 푥 → 푥 . Može se pisati:
푑 푥푑휏 =
푑푑휏
휕푥휕푥
푑푥푑휏 =
휕푥휕푥
푑 푥푑휏 +
휕 푥휕푥 휕푥
푑푥푑휏
푑푥푑휏 .(4.94)
U izrazu za Kristofelove simbole drugog reda
훤 =휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥 훤 +
휕 푥휕푥 휕푥
휕푥휕푥 ,(4.95)
transformiše se nehomogeni član. Diferenciranjem jednakosti = 훿 po 푥 , dobija se
휕푥휕푥
휕 푥휕푥 휕푥 +
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕 푥휕푥 휕푥 = 0.
Zbog toga se (4.95) može zapisati u obliku:
훤 =휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕푥휕푥 훤 −
휕푥휕푥
휕푥휕푥
휕 푥휕푥 휕푥 ,
koji se dalje može zapisati u ekvivalentnom obliku
훤푑푥푑푥
푑푥푑푥 =
휕푥휕푥 훤
푑푥푑휏
푑푥푑휏 −
휕 푥휕푥 휕푥
푑푥푑휏
푑푥푑휏 .(4.96)
Sabirajući (4.94) i (4.96) dobija se da leva strana jednakosti predstavlja tenzor prvog ranga (vektor), tj.
푑 푥푑휏 + 훤
푑푥푑푥
푑푥푑푥 =
휕푥휕푥
푑 푥푑휏 + 훤
푑푥푑휏
푑푥푑휏 .(4.97)
Jednačina (4.91) je kovarijantna. Kako je ova jednačina tenzorske prirode, na osnovu principa opšte kovarijantnosti, da ako je ona zadovoljena u jednom sistemu (lokalno-inercijalnom), tada ona važi i u proizvoljnom gravitacionom polju.∎
64
Da li geodezijske linije postoje zavisi od toga da li postoje rešenja diferencijalnih jednačina kojima su zadate geodezijske linije.
Funkcije 푥 (푡) posmatraju se kao nepoznate. Drugi izvod svake nepoznate funkcije je ovde izražen preko samih nepoznatih funkcija (koje ulaze kao argumenti u 훤 ) i preko njihovih prvih izvoda. Postoji specijalan slučaj kanoničkog sistema običnih diferencijalnih jednačina. Rešenje takvog sistema je na jedinstven način određeno potencijalnim vrednostima nepoznatih funkcija, i svih njihovih izvoda izraženih, u diferencijalnim jednačinama. Mogu se proizvoljno zadati vrednosti nepoznatih funkcija 푥 i njihovih prvih
izvoda za bilo koju početnu vrednost parametra 휏:
푥 = 푎 ,푑푥푑휏 = 푏 .(4.98)
Prema opštoj teoremi o egzistenciji rešenja, može se utvrditi da u nekoj okolini vrednosti 휏 = 휏 postoje i na jedinstven način su određene funkcije 푥 (푡) koje zadovoljavaju sistem diferencijalnih jednačina (4.92) i početne uslove (4.98). Za neizotropne geodezijske linije, dužina luka 푠 služi kao kanonički parametar, a svi ostali kanonički parametri 휏 se od 푠 razlikuju samo zbog množenja konstantom. Geodezijske linije, s obzirom na parametar 푠, imaju diferencijalne jednačine
푑 푥푑푠 = −훤
푑푥푑푠
푑푥푑푠 .(4.99)
Teorema 4.4.6. Geodezijska linija, koja prolazi kroz datu tačku 푀 u izotropnom pravcu, biće izotropna na celom svom toku.
U nastavku će biti razmotren problem izračunavanja varijacije dužine luka proizvoljne neizotropne krive u Rimanovom prostoru, koji je označen sa 푉 . Data kriva
푥 = 푥 (푡)(푡 ≤ 푡 ≤ 푡 )(4.100)
se varira i uključena je u nekoliko familija krivih 푥 = 푥 (푡,훼)(푡 ≤ 푡 ≤ 푡 )(4.101)
koje zavise od parametra 훼. Na ovaj način, za određenu vrednost 훼, jednačine (4.101) se poklapaju sa jednačinama (4.100). Pretpostavka je da za 푡 ≤ 푡 ≤ 푡 i u tom intervalu variranja20, koji prolazi kroz 훼, funkcije 푥 (푡,훼) su dva puta neprekidno diferencijabilne. Dužina krive iz familije se računa prema formuli
푠 = 푔푑푥푑푡
푑푥푑푡 푑푡.
20 O varijaciji dužine geodezijske linije se može pogledati u [7].
65
Prema dogovoru se označavaju parcijalni izvodi po 푡 simbolom 푑, a parcijalni izvodi po 훼 simbolom 훿. Dobijena dužina 푠 krive iz familije krivih zavisi od izbora date krive, tj. parametra 훼. Izračunava se varijacija dužine krive 푠, tj. njen izvod 훿푠 po argumentu 훼:
훿푠 = 훿 푔푑푥푑푡
푑푥푑푡 푑푡 =
훿 푔 푑푥푑푡
푑푥푑푡
2 푔 푑푥푑푡
푑푥푑푡
푑푡 .(4.102)
Pretpostavka o neizotropnosti krive, dužini luka koja varira je veoma važna, jer bi u suprotnom imenilac podintegralnog izraza,koji je jednak 2 , bio jednak nuli.
Običan izvod 훿 od invarijante 푔 , može se zameniti odgovarajućim apsolutnim
diferencijalom 퐷 (pri beskonačno malom pomeranju po liniji 훼 pri konstantnom 푡):
훿 푔푑푥푑푡
푑푥푑푡 = 퐷 푔
푑푥푑푡
푑푥푑푡 = 푔 퐷
푑푥푑푡
푑푥푑푡 + 푔
푑푥푑푡 퐷
푑푥푑푡 =
= 2푔푑푥푑푡 퐷
푑푥푑푡 .(4.103)
Ovde su korišćene jednakosti 퐷푔 = 0 i 푔 = 푔 . Zbog poslednje jednakosti mogu se
objediniti dva dobijena člana. Zapisano u proširenom obliku 퐷 :
퐷푑푥푑푡 = 훿
푑푥푑푡 + 훤
푑푥푑푡 훿푥 =
푑푑푡 훿푥 + 훤 훿푥
푑푥푑푡 =
퐷훿푥푑푡 .
U procesu transformisanja je izmenjen redosled parcijalnih izvoda 푑 i 훿, ispermutovani su donji indeksi u 훤 , dato važi jer je Rimanova povezanost bez torzije. Sa 퐷 je označen apsolutni diferencijal, koji odgovara beskonačno malom pomeranju 푑푡 po krivoj iz familije krivih (pri konstantnom 훼).
Sada (4.102) dobija oblik
훿 푔푑푥푑푡
푑푥푑푡 = 2푔
푑푥푑푡
퐷훿푥푑푡 .
Vraćanjem na formulu (4.102), i zamenom brojioca sa dobijenim izrazom, a imenilac sa 2 . Kao rezultat se dobija
훿푠 = 푔푑푥푑푠 퐷훿푥 푑푡 .(4.104)
Proširivanjem dejstva simbola 퐷 na svaki podintegralni izraz i oduzimanjem rezultata zbog ovog dodatnog člana, dobija se:
훿푠 = 퐷 푔푑푥푑푠 훿푥 푑푡 − 푔 퐷
푑푥푑푠 훿푥 푑푡 .(4.105)
66
Pod znakom prvog integrala je apsolutni diferencijal 퐷 od invarijanti. Zbog toga, se on može zameniti sa običnim diferencijalom 푑. Integraljenjem se dobija:
훿푠 = 푔푑푥푑푠 훿푥 − 푔
푑푥푑푠 훿푥 − 푔 퐷
푑푥푑푠 훿푥 푑푡 .(4.106)
Brojevi 1 i 2 u (4.106) označavaju da se odgovarajući izrazi računaju za 푡 = 푡 i 푡 = 푡 , tj. u početnoj i krajnjoj tački krive. Kada se od date krive iz familije krivih sa određenom vrednošću parametra 훼, pređe na beskonačno blisku krivu 훼 + 훿훼, pri čemu svaka tačka krive 훼 prelazi u tačku krive 훼 + 훿훼, sa istom vrednošću 푡, vektori za beskonačno mala pomeranja tačke su dati sa 훿푥 (푡,훼). Zato su integraljeni članovi projekcija vektora
beskonačno malog pomeranja 훿푥 na jedinični vektor na početku i na kraju krive.
Ako se krajevi krive koja varira fiksiraju, tj. 푥 (푡 ,훼) = 푐표푛푠푡, 푥 (푡 ,훼) = 푐표푛푠푡(4.107)
pri promeni 훼, 훿푥 na krajevima krive je nula, integraljeni članovi nestaju i (4.106) dobija oblik
훿푠 = − 푔 퐷푑푥푑푠 훿푥 푑푡 .(4.108)
Neka je posmatrana kriva u (4.90) konstantne dužine. Pod datim se smatra da variranjem date krive na proizvoljan način, ali pod uslovom da se krajevi ne pomeraju, uvek
se dobija 훿푠 = 0. Tada iz (4.108) se dobija ∫ 푔 퐷 훿푥 푑푡 = 0, pri svakom izboru ,
neprekidno diferencijabilna funkcija po 푡. Po osnovnoj Lemi varijacionog računa, sledi izjednačavanje sa nulom datih funkcija po 푡, koji su koeficijenti za 훿푥 pod znakom integrala:
푔 퐷푑푥푑푠 = 0.
Zbog prethodnog, tenzor 퐷 je jednak nuli:
퐷푑푥푑푠 = 0.
Data jednakost označava da se tangentni vektor paralelno prenosi duž krive. Odavde se dobija da je kriva geodezijska, a dužina luka 푠 služi duž nje kao kanonički parametar.
Obrnuto, neka je kriva (4.90) neizotropna geodezijska linija. Tada je tangentni vektor koji se paralelno prenosi duž geodezijske linije, tako da
퐷푑푥푑푠 = 0,(4.109)
i (4.108) daju za svako 훿푥 da je 훿푠 = 0.
67
Zbog ovoga je varijacija dužine geodezijske linije sa fiksiranim krajevima uvek jednaka nuli.
Teorema 4.4.7. Da bi neizotropna linija u Rimanovom prostoru imala stacionarnu dužinu, potrebno je i dovoljno da ona bude geodezijska linija (u specijalnom slučaju, u Euklidovom prostoru ℝ , ona bi bila prava).
Napomena 4.4.8. U slučaju pravog Rimanovog prostora 푉 sve linije su neizotropne, tako da ustaljenost stanja dužine može da se koristi kao definicija geodezijske linije. Za geodezijsku liniju formula (4.106) dobija jednostavniji oblik
훿푠 = 푔푑푥푑푠 훿푥 − 푔
푑푥푑푠 훿푥 .(4.110)
Varijacija dužine geodezijske linije u potpunosti određuje vektore beskonačno malih pomeranja njenih krajeva. Pri datom ne treba razmišljati o tome da pri varijaciji geodezijske linije ona treba ponovo da bude geodezijska, familija kojoj ona pripada ostaje proizvoljna.
Posmatra se formula (4.108) još u slučaju krive opšteg oblika, kada nije geodezijska.
Tada = 휈 , i po prvoj formuli Frenea = 휅 휈 , tako da je 퐷 = 휅 휈 푑푠.
⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎧퐷휈푑푠 = 휅 휈
퐷휈푑푠 = ±휅 휈 + 휅 휈
퐷휈푑푠 = ±휅 휈 + 휅 휈 … … … … … … … … … … … … … …퐷휈푑푠 = ±휅 휈 + 휅 휈
퐷휈푑푠 = ±휅 휈 .
Date formule su Frenove formule za krive u Rimanovom prostoru. Koeficijenti 푘 ,푘 , … ,푘 su prva, druga,...,(푛 − 1)-va krivina krive u datoj tački.
Sada formula (4.108) ima oblik
훿푠 = − 푘 (푠)푔 휈 훿푥 푑푠 .(4.111)
Varijacija dužine krive sa fiksiranim krajevima se dobija na sledeći način: projekcija vektora beskonačno malog pomeranja 훿푥 na prvu normalu 휈 , pomnoži se sa prvom krivinom 푘 i sa 푑푠, integrali se po celoj krivoj i rezultat se uzima sa suprotnim predznakom.
4.4.6. Normalne geodezijske koordinate
68
푋 = je tangentni vektor krive 푐. Po definiciji je tangentni vektor geodezijske linije paralelan duž krive s obzirom na Levi-Čivitinu povezanost, zato je dužina tangentnog vektora 푋 geodezijske linije konstantna, tj. važi = 푐표푛푠푡. Iz datog se vidi da parametar geodezijske krive na Rimanovoj mnogostrukosti mora da bude linearna funkcija dužine luka 푠, tj. 휏 = 휆푠 + 휇, gde su 휆(≠ 0) i 휇 konstante. U nastavku će biti razmatran specijalni koordinatni sistem u datoj tački, takav da su koordinate bilo koje geodezijske linije sa početkom u datoj tački linearne funkcije dužine luka.
Neka je sistem funkcija geodezijskih linija u koordinatnom sistemu 푈; 푥 dat sa 푑 푥푑휏 + 훤
푑푥푑휏
푑푥푑휏 = 0.(4.112)
Iz teorije ODJ se dobija da za svako 푝 ∈ 푈 postoji okolina 푊 ⊂ 푈 od 푝 i pozitivni brojevi 푟,훿 takvi da za bilo koju početnu vrednost 푝 ∈ 푊 i 훼 ∈ ℝ koja zadovoljava ‖훼‖ < 푟, sistem jednačina (4.112) ima jedinstveno rešenje na 푈:
푥 = 푓 (휏, 푝 ,훼 ), |휏| < 훿,(4.113)
koje zadovoljava početne uslove 푥 (0) = 푓 (0,푝 ,훼 ) = 푝 푑푥푑휏
(0) =휕푓 (휏, 푝 ,훼 )
휕휏 = 훼 (4.114)
Ako je izabrana konstanta 푐, različita od nule, tada će funkcije 푓 (푐휏,푝 ,훼 ), 푥 ∈ 푊,‖훼‖ < 푟, 휏 <
| | i dalje zadovoljavati (4.114), tj. važiće
푓 (푐휏, 푝 ,훼 ) = 푝 휕푓 (푐휏,푝 ,훼 )
휕휏 = 푐훼(4.115)
Zbog osobine jedinstvenosti rešenja (4.114) kada je ‖훼‖, ‖푐훼‖ < 푟 i |휏| |푐휏| < 훿, važi 푓 (푐휏,푝 ,훼 ) = 푓 (휏, 푝 , 푐훼 )(4.116)
Leva strana gornje jednačine je uvek dobro definisana kada važi 푥 ∈ 푊, ‖훼‖ < 푟, |휏| <
| |. Prethodno će biti iskorišćeno za definisanje desne strane jednačine (4.116). Zato je
funkcija 푓 (휏, 푝 , 푐훼 ) uvek definisana za 푥 ∈ 푊, 휏 ≤ 1 i ‖훼‖ < |푐|푟. Neka je 푥 = 푓 (1,푝 ,훼 ).(4.117)
Tada je 푓 (1,푝 , 0) = 푓 (0,푝 ,훼 ) = 푝 .(4.118)
Stoga, za fiksno 푝 ∈ 푊, (4.117) obezbeđuje glatko preslikavanje iz početka tangetnog prostora 푇 푀(= ℝ) u okolinu od 푝 na mnogostrukosti 푀. Zbog
휕푓 (1,푝 , 휏훼 )휕휏 =
휕푓 (1,푝 ,훼 )휕훼 ∙ 훼 ,
69
i, sa druge strane, 휕푓 (1,푝 , 휏훼 )
휕휏 =휕푓 (휏,푝 ,훼 )
휕휏 = 훼 ,
dobija se da je 휕푥휕훼 = 훿 (4.119)
tj. preslikavanje (4.117) je regularno u početku 훼 = 0. Zato se 훼 mogu birati da budu lokalne koordinate od 푝 u 푀 i nazivaju se geodezijske normalne koordinate od 푝 ili, jednostavno, normalne koordinate. Pošto je tangentni prostor linearan, i bilo koja dva koordinatna sistema u njemu su ista do na nedegenerisanu linearnu transformaciju, normalni koordinatni sistem tačke na 푀 je određen do na nedegenerisanu linearnu transformaciju. Neka je 훼 = 훼 . Kako se 휏 menja, 휏훼 opisuje pravu liniju u 푇 (푀) počevši iz početka, opisujući geodezijsku krivu na mnogostrukosti, koja počinje u 푝 i tangentna je na tangentni vektor 훼 . Stoga je jednačina ove geodezijske krive u normalnom koordinatnom sistemu 훼 , data sa
훼 = 휏훼 ,(4.120)
gde je 훼 konstantno.
Teorema 4.4.9.21 Ako je 푀 prostor afine povezanosti bez torzije (torzija je jednaka nuli), tada su s obzirom na normalni koordinatni sistem 훼 u tački 푝, koeficijenti povezanosti 훤 jednaki nuli u 푝.
Dokaz Pošto geodezijska kriva 훼 = 휏훼 zadovoljava (4.112) u normalnom koordinatnom sistemu 훼 , za bilo koje 훼 važi
훤 (0)훼 훼 = 0.(4.121)
Pošto je 훤 simetričan po donjim indeksima za povezanosti bez torzije, važi da je 훤 (0) = 0, 1 ≤ 푖, 푗,푘 ≤ 푚(4.122)
∎
Teorema 4.4.10. Za bilo koju tačku 푝 u prostoru afine povezanosti 푀, postoji okolina 푊 od 푝 takva da svaka tačka u 푊 ima normalnu koordinatnu okolinu koja sadrži 푊.
Dokaz Neka je 푈;푥 normalni koordinatni sistem u tački 푝 . Neka je
21 O normalnoj koordinatnoj okolini se može detaljnije pogledati u [13] i [21].
70
푈(푝 ; 휌) = 푝 ∈ 푈 푥 (푝) < 휌 (4.123)
Iz prethodne diskusije rešenja jednačine (4.112), postoji okolina 푊 = 푈(푝 , 푟) od 푝 i 훿 > 0 takav da za bilo koje 푝 ∈ 푊 i 훼 ∈ ℝ , ‖훼‖ < 훿 postoji jedinstvena geodezijska kriva.
푥 = 푓 (휏,푝 ,푎 ), |휏| < 2,(4.124)
sa početnim uslovima (푝, 푎 ). U nastavku će biti korišćena oznaka 퐵(0;훿) za obeležavanje skupa {훼 ∈ ℝ |‖훼‖ < 훿}. Tada se iz (4.124) dobija preslikavanje 휑:푊 × 퐵(0;훿) →푊 × 푈 takvo da je
휑(푝,훼) = 푝 ,푓 1,푝 ,훼 ,(4.125)
gde 푝 ∈ 푊, 훼 ∈ 퐵(0;훿). Pošto funkcija 푓 zavisi glatko od 푝 i 훼, preslikavanje 휑 je glatko. Iz (4.119) se dobija
휕(푝 , 푓 )휕(푝 ,훼 )
( , )= 1
Stoga je Jakobijan preslikavanja 휑 nedegerisan u okolini tačke (푝 , 0) ∈ 푊 × 퐵(0;훿). Iz teoreme o inverznoj funkciji, postoji okolina 푉 tačke (푝 , 0) ∈ 푊 × 퐵(0;훿) i 0 < 푎 < 훿 takva da je 휑:푉 → 푈(푝 , 푎) × 푈(푝 , 푎) difeomorfizam.
Za bilo koje 푝 ∈ 푈(푝 ,푎), neka je 퐵 = {훼 ∈ 퐵(0;푎)|(푝,훼) ∈ 푉}.(4.126)
Tada preslikavanje 푥 = 푓 (1,푝 ,훼 ),훼 ∈ 퐵 (4.127)
dato sa (4.124) je difeomorfizam iz 퐵 u 푈(푝 ; 푎). Bira se 푊 = 푈(푝 ;푎). Poslednja jednačina pokazuje da za bilo koju tačku u 푊 postoji normalna koordinatna okolina koja sadrži 푊 . ∎
Propozcija 4.4.11. Za svaku tačku 푝 u prostoru afine povezanosti 푀, postoji okolina 푊 od 푝 , takva da bilo koje dve tačke u 푊 mogu biti povezane geodezijskom krivom.
Teorema 4.4.12. Afina povezanost bez torzije je u potpunosti određena tenzorom krivine.
Dokaz Neka je dat normalni koordinatni sistem u nepokretnoj tački 푂. Neka je izabrana prirodna baza u 푂 i neka se paralelno pomera duž geodezijske krive, počevši od tačke 푂. Na ovaj način se dobija polje baza (frame field) {푒 , 1 ≤ 푖 ≤ 푚} u okolini od 푂. Neka je θ dualna diferencijalna 1-forma od 휏,훼 . Kada su 훼 konstante, θ , θ su restrikovane na geodezijske krive 훼 휏. Pošto je polje baza paralelno duž geodezijske krive 훼 휏, važi da je
휃 ≡ 훼 푑휏(푚표푑푑훼 )휃 ≡ 0(푚표푑푑훼 )
(4.128)
71
odnosno važi 휃 = 훼 푑휏 + 휃 , 휃 = 휃 (4.129)
gde su θ i θ delovi od θ i θ bez 푑휏.
Strukturne jednačine povezanosti su date formulama
푑휃 − 휃 ∧ 휃 =12푃 휃 ∧ 휃
푑휃 − 휃 ∧ 휃 =12 푆 휃 ∧ 휃
,(4.130)
gde su funkcije 푃 i 푆 nezavisne od izbora lokalnih koordinata, date sa 푃 = 푋∗ 푋 푋 푇 푆 = 푋∗ 푋 푋 푋 푅
.
Kada se jednačine (4.129) uvrste u strukturne jednačine (4.130), dobijaju se sledeće dve jednačine:
푑휃 − 휃 ∧ 휃 = 0
푑휃 − 휃 ∧ 휃 =12 푆 휃 ∧ 휃
Upoređujući izraze sa 푑휏, dobija se
푑훼 −휕휃휕휏 + 훼 휃 ∧ 푑휏 = 0,
휕휃휕휏 − 훼 푆 휃 ∧ 푑휏 = 0.
gde i predstavljaju diferencijalne 1-forme, dobijene traženjem parcijalnog izvoda
koeficijenata θ , θ , respektivno, po 휏. Pošto se 푑휏 ne javlja u zagradama, dobija se: 휕휃휕휏 = 푑훼 + 훼 휃
휕휃휕휏 = 훼 푆 휃
⎭⎪⎬
⎪⎫
(4.131)
Ovo je sistem običnih diferencijalnih jednačina u kojima je 휏 nezavisna promenljiva. Diferenciranjem prve jednačine ponovo po 휏, dobija se:
휕 휃휕휏 = 훼
휕휃휕휏 = 훼 훼 푆 휃 (4.132)
Pošto je baza 푒 paralelna duž bilo kog pravca koji prolazi kroz tačku 푂, važi da je: 휃 = 0.(4.133)
Štaviše, po definiciji se dobija: 휃 = 훼 푑휏(4.134)
72
Stoga je: 휃 = 0.(4.135)
Zato se iz (4.133) i prve formule iz (4.131), dobija: 휕휃휕휏 = 푑훼 .(4.136)
Za dati tenzor krivine, sistem običnih diferencijalnih jednačina drugog reda (4.132) ima jedinstveno rešenje za θ za početne uslove (4.135) i (4.136), θ je potpuno određen prvom formulom u (4.131). Stoga, tenzor krivine u potpunosti određuje lokalno afinu povezanost bez torzije. ∎
Napomena 4.4.13. Neka je 푀 푚-dimenzionalna Rimanova mnogostrukost. Neka je 푝 ∈ 푀 i neka je izabran nepokretan ortogonalni okvir (frame) 퐹 u tangentnom prostoru 푇 (푀). Tada se normalni koordinantni sistem 푥 u 푝 može izraziti sa
푥 = 훼 푠,(4.137)
gde je 훼 jedinični vektor u 푇 (푀) i 푠 je dužina luka geodezijske krive sa početkom u 푝 . Pomerajući okvir 퐹 paralelno, duž geodezijske krive koja počinje u 푝 , dobija se ortogonalna baza u okolini od 푝 . Iz dokaza prethodne teoreme može se pisati:
휃 = 훼 푑푠 + 휃휃 = 휃
(4.138)
gde 휃 i 휃 , ne sadrže diferencijal 푑푠, i zadovoljavaju jednačine 휕휃휕푠 = 푑훼 + 훼 휃
휕휃휕푠 = 훼 푆 휃
휃 + 휃 = 0⎭⎪⎬
⎪⎫
,(4.139)
sa početnim uslovima
휃 = 0, 휃 = 0,휕휃휕푠 = 푑훼 .(4.140)
Ako je 휃 = 푠푑훼 + 퐴 푑훼 ,(4.141)
tada 퐴 zadovoljava polazne uslove
퐴 = 0,휕퐴휕푠 = 0(4.142)
Stoga se element dužine u okolini tačke 푂 može izraziti formulom
푑휎 = 휃 = 푑푠 + 2푑푠 훼 휃 + 휃 (4.143)
73
Pošto je ∑ 푎 푑푎 = 0, θ + θ = 0, važi
휕휕푠 훼 휃 = 훼 푑훼 + 훼 θ = 0
훼 휃 = 0.
Stoga je
훼 θ = 0.(4.144)
Dakle, iz (4.143), element dužine luka u okolini tačke 푂 je
푑휎 = 푑푠 + 휃 .(4.145)
Teorema 4.4.14. Za svaku tačku 푂 na Rimanovoj mnogostrukosti, postoji normalna koordinatna okolina 푊, takva da važi:
1) Svaka tačka u 푊 ima normalnu koordinatnu okolinu koja sadrži W. 2) Geodezijska kriva koja povezuje 푂 i tačku u 푊 je jedinstvena najkraća kriva u 푊
koja spaja date dve tačke.
Dokaz Primenjujući Teoremu 4.4.10. na Levi-Čivitinu povezanost na 푀, dobija se dokaz za 1).
Neka je 푥 normalni koordinatni sistem tačke 푂, dat sa (4.137). normalna koordinatna okolina 푊 koja se traži pod 1) je definisana na sledeći način:
푊 = 푝 ∈ 푀 ∑ 푥 (푝) < 휀 , gde je 휀 dovoljno mail, pozitivan broj. Pošto je 푊
normalna koordinatna okolina, za bilo koju tačku 푝 ∈ 푊, postoji jedinstvena geodezijska kriva 훾 u 푊, koja spaja 푂 sa 푝. Neka je dužina od 훾 jednaka 푠 . Prvo će biti pokazano da je 훾 najkraći put u 푊 koji spaja 푂 i 푝. Neka je 푐 bilo koja po delovima glatka kriva u 푊 koja spaja 푂 i 푝. Može se pretpostaviti da je parametrizovana jednačina za 푐 data sa 푥 = 푥 (푠), gde je 푠 parametar dužine luka od 훾. Tada je dužina luka od 푐
푑휎 = 푑푠 + (휃 ) ≥ 푑푠 = 푠 .(4.146)
Ako je 푐 najkraći put u 푊 spajajući 푂 i 푝, tada jednakost (4.146) važi. Stoga, duž krive 푐 mora biti 휃 = 0.
Iz (4.141) sledi
푑훼 + 퐴푑훼푠 = 0.(4.147)
74
Pošto 퐴 zadovoljava početne uslove (4.142), 퐴 = 표(푠). Kada se pusti da je 푠 → 0 u (4.147), tada je 푑훼 = 0, 훼 = 푐표푛푠푡., tj. 푐 je geodezijska kriva koja povezuje 푂 i 푝. Zato je 푐 = 훾. ∎
Teorema 4.4.15. Neka je 푈 normalna koordinatna okolina tačke 푂. Postoji 휀 > 0 takvo da, za svako 0 < 훿 <
휀, hipersfera 훴 = 푝 ∈ 푈 ∑ 푥 (푝) < 훿 ima sledeće osobine:
1) Svaka tačka na 훴 može biti spojena sa 푂 jedinstvenom, najkraćom geodezijskom krivom u 푈.
2) Bilo koja geodezijska kriva tangentna na 훴 je striktno izvan 훴 u okolini tangentne tačke.
Dokaz Neka je 푊 normalna koordinatna okolina kao u Teoremi 4.4.14. Može se pretpostaviti da je 푊 sferna okolina sa radijusom 휀:
푊 = 푝 ∈ 푈 푥 (푝) < 휀 .
Kada važi 0 < 훿 < 휀, pošto je Σ ⊂ 푊 ⊂ 푈 i 푈 je normalna koordinatna okolina, osobina 1) je posledica prethodne teoreme pod 1).
U nastavku dokaza se povećava 휀 tako da 2) date teoreme bude tačno.
Pošto je 푈, 푥 normalni koordinatni sistem sledi iz Teoreme 4.4.9. da je 훤 (0) = 0.(4.148)
Jednačina za hipersferu Σ se može napisati kao
퐹(푥 , … ,푥 ) =12
[(푥 ) + ⋯+ (푥 ) − 훿 ] = 0(4.149)
Neka je 훾 geodezijska kriva tangentna na Σ u 푝, i neka je njena jednačina 푥 = 푥 (휎),(4.150)
gde je 휎 dužina luka od 훾, merena od 푝. Tada je 퐹 푥 (휎) = 0.(4.151)
Pošto je hipersfera Σ ortogonalna na geodezijske krive, koje počinju u tački 푂, geodezijska kriva 훾 tangentna na Σ u tački 푝, treba da bude normalna na geodezijsku krivu koja povezuje 푂 i 푝. Dakle, važi
푥 (휎)푑푥푑휎 = 0.(4.152)
Direktnim računanjem se dobija
75
푑푑휎퐹(푥 (휎)
푑푥푑휎 = 푥 (휎)
푑푥푑휎 = 0,(4.153)
푑푑휎 퐹(푥 (휎)
푑푥푑휎 = 훿 − 푥 (푝)훤 (푝)
푑푥푑휎
푑푥푑휎
,
.(4.154)
Zato je, dalje,
퐹(푥 (휎) =12 훿 − 푥 (푝)훤 (푝)
푑푥푑휎
푑푥푑휎
,
휎 + 표(휎 ).(4.155)
Zbog (4.148) mogu se vrednosti od 훤 načiniti proizvoljno malim u okolini tačke 푂. Stoga se može birati dovoljno malo 휀, takvo da kada je 0 < 훿 < 휀, (4.154) je stalno pozitivno. Zbog toga geodezijska kriva (4.150) leži striktno izvan Σ u okolini od 푝, i ima jednu zajedničku tačku sa Σ , tačku 푝. ∎
Kada se proučava Rimanova mnogostrukost, korisna tehnika je definisanje rastojanja na mnogostrukosti, kako bi postala metrički prostor, koji je bliži našoj intuiciji.
Definicija 4.4.16. Neka je 푀 povezana Rimanova mnogostrukost, neka su 푝 i 푞 dve proizvoljne tačke u 푀. Neka je
휌(푝, 푞) = 푖푛푓푝푞,(4.156)
gde 푝푞 označava dužinu luka krive koja spaja 푝 i 푞 čija je dužina luka merljiva. Tada se 휌(푝,푞) naziva rastojanjem između tačaka 푝 i 푞.
Napomena 4.4.17. Pošto je 푀 povezana, uvek postoji kriva koja povezuje 푝 i 푞, čija je dužina luka merljiva. Stoga je funkcija (4.156) smislena i definiše realnu funkciju na 푀 × 푀.
Teorema 4.4.18. Funkcija 휌:푀 × 푀 → ℝ ima sledeće osobine:
1) za bilo koje 푝, 푞 ∈ 푀, 휌(푝,푞) ≥ 0, jednakost važi samo kada je 푝 = 푞; 2) 휌(푝,푞) = 휌(푞,푝); 3) za bilo koje tri tačke 푝, 푞, 푟 ∈ 푀, važi 휌(푝, 푞) + 휌(푞, 푟) ≥ 휌(푝, 푟).
Stoga je, 휌 funkcija rastojanja na 푀, pa je (푀, 휌) metrički prostor. Topologija na 푀, kao metričkog prostora i polazne topologije na 푀 kao mnogostrukosti su ekvivalentne.
Dokaz
Prema (4.156), Definiciji 4.4.16. dobija se da osobina 2) važi zbog same definicije od 휌, jer je 푝푞 dužina luka krive koja spaja 푝 i 푞.
3) Važi 푝푞 + 푞푟 ≥ 푝푟 ∀푝, 푞, 푟 ∈ 푀. Treba pokazati da važi 푖푛푓푝푞 + 푖푛푓푞푟 ≥ 푖푛푓푝푟. ∀푝, 푞, 푟 ∈푀, važi 푝푟 ≤ 푝푞 + 푞푟.
푝푟 − 푝푞 ≤ 푞푟(4.157)
76
푝푟 ≥ 푖푛푓푝푟(4.158) 푝푞 ≤ 푠푢푝푝푞 ⇒ −푝푞 ≥ −푠푢푝푝푞(4.159)
Uvrsti se (4.158) i (4.159) u (4.157) i dobija se nejednakost 푖푛푓푝푟 − 푠푢푝푝푞 ≤ 푞푟(4.160) 푖푛푓푝푞 ≤ 푠푢푝푝푞
−푖푛푓푝푞 ≥ −푠푢푝푝푞(4.161)
Uvrsti se (4.161) u (4.160) 푖푛푓푝푟 − 푖푛푓푝푞 ≤ 푞푟(4.162)
Kako leva strana nejednakosti (4.162) predstavlja jedno od donjih ograničenja za 푞푟, iz definicije infimuma se dobija
푖푛푓푝푟 − 푖푛푓푝푞 ≤ 푖푛푓푞푟(4.163)
Na kraju iz (4.163) se dobija 푖푛푓푝푟 ≤ 푖푛푓푝푞 + 푖푛푓푞푟, što je trebalo dokazati.
1) Biće pokazano da je 휌(푝, 푞) > 0, kad god je 푝 ≠ 푞. Neka su 푝,푞 ∈ 푀, 푝 ≠ 푞. Pošto je 푀 Hauzdorfov prostor, postoji okolina 푈 od 푝 takva da 푞 ∉ 푈. Iz Teoreme 4.4.14., postoji normalna koordinatna okolina 푊 ⊂ 푈 od 푝, takva da su njene normalne koordinate 푢 = 훼 푠, gde je ∑ 훼 = 1 i 0 ≤ 푠 ≤ 푠 . Biće izabrano takvo 훿 da važi 0 ≤ 훿 ≤ 푠 . Neka je hiperpovrš takva da važi Σ ⊂ 푊. Neka je 훾 merljiva kriva koja povezuje 푝 i 푞. Tada je dužina od 훾 najmanje 훿, tj. 휌(푝, 푞) ≥ 훿 > 0. Iz Teoreme 4.4.15. unutrašnjost od Σ je skup {푞 ∈ 푀|휌(푝,푞) < 훿}, tj. unutrašnjost od Σ je okolina od 푝, 훿-lopta, kada se 푀 posmatra kao metrički prostor. Stoga su topologija od 푀, kada se posmatra kao metrički prostor, i polazna topologija ekvivalentne. ∎
Napomena 4.4.19. Treba primetiti da ako je 푊 normalna koordinatna okolina u obliku lopte, u tački 푂 konstruisana, kako je objašnjeno u Teoremi 4.4.14., tada za bilo koju tačku 푝 ∈ 푊, postoji jedinstvena geodezijska kriva koja povezuje 푂 i 푝 u 푊 ima dužinu 휌(푂, 푝).
Teorema 4.4.20. Postoji 휇-lopta koja je okolina od 푊 u bilo kojoj tački 푝 na Rimanovoj mnogostrukosti 푀, gde je 휇 dovoljno mali pozitivan broj, takav da bilo koje dve tačke u 푊 mogu biti spojene jedinstvenom geodezijskom krivom.
Dokaz Neka je 푝 ∈ 푀. Iz Teoreme 4.4.14. postoji normalna koordinatna okolina 푈 od 푝 u obliku lopte sa radijusom 휀 takva da za bilo koju tačku 푞 u 푈 postoji normalna koordinatna okolina 푉 koja sadrži 푈. Neka 휀 takođe zadovoljava uslove Teoreme 4.4.15.. Bira se pozitivan broj 휇 ≤ . Tada je 휇-lopta okolina u 푊 od 푝, geodezijska konveksna okolina od 푝. Biraju se bilo koje 푞 ,푞 ∈ 푊. Tada je
휌(푞 ,푞 ) ≤ 휌(푝,푞 ) + 휌(푝, 푞 ) < 2휇 ≤휀2 .
(4.164)
77
Neka je 푈 푞 ; okolina od 푞 , -lopta. Tada formula (4.164) ukazuje da je 푞 ∈ 푈 푞 ; .
Za bilo koje 푞 ∈ 푈 푞 ; važi 휌(푝, 푞) ≤ 휌(푝, 푞 ) + 휌(푞 ,푞) < .
Stoga, važi:
푈 푞 ;휀2 ⊂ 푈 ⊂ 푉 ,(4.165)
tj. –lopta je okolina od 푞 sadržana u normalnoj koordinatnoj okolini od 푞 . Iz
Teoreme 4.4.14. i Napomene 4.4.19., postoji jedinstvena geodezijska kriva 훾 u 푈 푞 ;
koja povezuje 푞 i 푞 , čija je dužina 휌(푞 ,푞 ). Specijalno, ako 푟 ∈ 훾, tada je 휌(푞 , 푟) ≤ 휌(푞 , 푞 ).(4.166)
U nastavku se dokazuje da geodezijska kriva 훾 leži u 푊. Pošto važi 훾 ⊂ 푈 푞 ; ⊂ 푈,
funkcija 휌(푝, 푞), (푞 ∈ 훾) je ograničena. Ako 훾 ne leži cela u 푊, i 푞 , 푞 ∈ 푊, tada funkcija 휌(푝,푞), (푞 ∈ 훾) mora dostići svoj maksimum u unutrašnjoj tački 푞 ∈ 훾. Neka je 훿 = 휌(푝,푞 ). Tada je 훿 < 휀, i hipersfera Σ je tangentna na 훾 u 푞 . Iz Teoreme 4.4.15., 훾 leži u potpunosti izvan Σ u blizini 푞 , što je u kontradikciji sa tim da 휌(푝, 푞), (푞 ∈ 훾) dostiže svoj maksimum u 푞 . Stoga je 훾 ⊂ 푊. ∎
4.4.7. Segmentna krivina
Neka je 푀 푚-dimenziona Rimanova mnogostrukost, čiji je tenzor krivine 푅 kovarijantni tenzor četvrtog ranga, i neka je 푥 lokalni koordinatni sistem na 푀. Tada se 푅 može izraziti u obliku:
푅 = 푅 푑푥 ⊗ 푑푥 ⊗ 푑푥 ⊗푑푥 ,(4.167)
gde je 푅 definisan kao u svojstvima Riman-Kristofelovog tenzora. Kovarijantni tenzor četvrtog reda se može posmatrati kao linearna funkcija na prostoru kontravarijantnih tenzora četvrtog reda, tako da u svakoj tački 푝 postoji multilinearna funkcija 푅:푇 푀 × 푇 푀 × 푇 푀 × 푇 푀 → 푅, definisana sa
푅(푋,푌,푍,푊) = ⟨푋 ⊗ 푌⊗ 푍⊗푊,푅⟩(4.168)
gde je oznaka ⟨, ⟩ definisana u poglavlju 1.Osnovi tenzorske analize. Ako je
푋 = 푋휕휕푥 , 푌 = 푌
휕휕푥 , 푍 = 푍
휕휕푥 , 푊 = 푊
휕휕푥 ,(4.169)
tada je 푅(푋,푌,푍,푊) = 푅 푋 푌 푍 푊 .(4.170)
Tenzor krivine povezanosti ∇ se interpretira kao operator zakrivljenosti na sledeći način: za bilo koje 푍,푊 ∈ 푇 푀, 푅(푍,푊) je linearno preslikavanje iz 푇 푀 u 푇 푀, definisano sa
푅(푍,푊)푋 = 푅 푋 푍 푊휕휕푥 .(4.171)
Ako je ∇ Levi-Čivitina povezanost Rimanove mnogostrukosti 푀, tada je
78
푅(푋,푌,푍,푊) = (푅(푍,푊)푋) ∙ 푌,(4.172)
gde je operacija ∙ na desnoj strani definisana u Rimanovoj mnogostrukosti, formula (4.116). Iz Teoreme 5.2.2., 4-linearna funkcija 푅(푋,푌,푍,푊) ima sledeće osobine:
1) 푅(푋,푌,푍,푊) = −푅(푋,푌,푊,푍) = −푅(푌,푋,푍,푊); 2) 푅(푋,푌,푍,푊) + 푅(푋,푍,푊,푌) + 푅(푋,푊,푌,푍) = 0; 3) 푅(푋,푌,푍,푊) = 푅(푍,푊,푋,푌).
Definicija 4.4.21. Neka je 푔 metrički tenzor. Neka je 퐺 4-linearna funkcija definisana na sledeći način:
퐺(푋,푌,푍,푊) = 푔(푋,푍)푔(푌,푊) − 푔(푋,푊)푔(푌,푍).(4.173)
Napomena 4.4.22.
i) 퐺 je 4-linearna funkcija koja ima iste osobine kao funkcija 푅(푋,푌,푍,푊), što sledi iz osobina metričkog tenzora i same definicije funkcije 퐺.
ii) Ako su 푋,푌 ∈ 푇 푀, tada je 퐺(푋,푌,푍,푊) = |푋| ∙ |푌| − (푋 ∙ 푌) = |푋| ∙ |푌| ∙ 푠푖푛 ∢(푋,푌).(4.174)
Stoga, ako su 푋 i 푌 linearno nezavisni, 퐺(푋,푌,푋,푌) je kvadrat površine paralelograma, određene tangentnim vektorima 푋 i 푌. Zbog toga je 퐺(푋,푌,푋,푌) ≠ 0.
iii) Neka su 푋 ,푌′ druga dva linearno nezavisna tangentna vektora u tački 푝, takvi da oni određuju isti dvodimenzioni tangentni potprostor 퐸 koji određuju i vektori 푋 i 푌. Tada se može pretpostaviti da važi 푋 = 푎푋 + 푏푌, 푌 = 푐푋 + 푑푌, gde je 푎푑 − 푏푐 = 0. Iz osobina 1), 2) i 3) funkcije 푅, dobija se sledeće
푅(푋 ,푌 ,푋 ,푌 ) = (푎푑 − 푏푐) 푅(푋,푌,푋,푌), 퐺(푋 ,푌 ,푋 ,푌 ) = (푎푑 − 푏푐) 퐺(푋,푌,푋,푌).
Stoga važi , , ,
( , , , ) = ( , , , )( , , , ).
Iz prethodnog izraza se vidi da je 푅 funkcija od dvodimenzionog potprostora 퐸 od 푇 푀, i da ne zavisi od izbora vektora 푋 i 푌 u 퐸.
Definicija 4.4.22. Neka je 퐸 dvodimenzioni potprostor od 푇 푀, i 푋,푌 su dva linearno nezavisna vektora u 퐸. Tada je
퐾(퐸) = −푅(푋,푌,푋,푌)퐺(푋,푌,푋,푌),(4.175)
funkcija od 퐸 koja ne zavisi od izbora 푋 i 푌 u 퐸.
Data funkcija se naziva segmentna krivina od 푀 u (푝,퐸).
Teorema 4.4.23. Tenzor krivine Rimanove mnogostrukosti 푀 u tački 푝 je jedinstveno određen segmentnom krivinom svih dvodimenzionih tangentnih potprostora u 푝.
79
Dokaz Neka je 푅(푋,푌,푍,푊) 4-linearna funkcija, koja zadovoljava osobine 1), 2) i 3) tenzora krivine 푅(푋,푌,푍,푊), i da za bilo koja dva linearno nezavisna tangentna vektora 푋,푌 u 푝 važi:
푅(푋 ,푌 ,푋 ,푌 )퐺(푋 ,푌 ,푋 ,푌 ) =
푅(푋,푌,푋,푌)퐺(푋,푌,푋,푌).(4.176)
U nastavku će biti pokazano da za bilo koje 푋,푌,푍,푊 ∈ 푇 푀, važi 푅(푋,푌,푍,푊) = 푅(푋,푌,푍,푊).(4.177)
Neka je 푆 definisano sa 푆(푋,푌,푍,푊) = 푅(푋,푌,푍,푊) − 푅(푋,푌,푍,푊),(4.178)
tada je 푆, takođe 4-linearna funkcija koja zadovoljava osobine 1), 2) i 3), jer 푅 i 푅 zadovoljavaju date osobine, zbog (4.176) važi da za bilo koje 푋,푌 ∈ 푇 푀, važi
푆(푋,푌,푋,푌) = 0.(4.179)
Stoga je (4.177) ekvivalentno sa tvrđenjem da je 푆 nula funkcija.
Iz (4.179) se dobija 푆(푋 + 푍,푌,푋 + 푍,푌) = 0
푆(푋 + 푍,푌,푋 + 푍,푌) = 푆(푋,푌,푋 + 푍,푌) + 푆(푍,푌,푋 + 푍,푌) = = 푆(푋,푌,푋,푌) + 푆(푋,푌,푍,푌) + 푆(푍,푌,푋 + 푍,푌) =
= 푆(푋,푌,푋,푌) + 푆(푋,푌,푍,푌) + 푆(푍,푌,푋,푌) + 푆(푍,푌,푍,푌) = = 푆(푋,푌,푍,푌) + 푆(푍,푌,푋,푌) =
= 푆(푋,푌,푍,푌) + 푆(푋,푌,푍,푌) = 2푆(푋,푌,푍,푌)
Iz prethodnog se dobija da je 푆(푋,푌,푍,푌) = 0,(4.180)
gde su 푋,푌,푍 neka tri elementa iz 푇 푀. Stoga je 푆(푋,푌 + 푊,푍,푌 + 푊) = 0, daljim sređivanjem se dobija
푆(푋,푌,푍,푊) + 푆(푋,푊,푍,푌) = 0.(4.181)
Iz osobine 1) važi da je 푆(푋,푌,푍,푊) = −푆(푋,푊,푍,푌) = 푆(푋,푊,푌,푍) =
= −푆(푋,푍,푌,푊) = 푆(푋,푍,푊,푌).(4.182)
Sa druge strane, osobina 2) implicira da važi: 푆(푋,푌,푍,푊) + 푆(푋,푍,푊,푌) + 푆(푋,푊,푌,푍) = 0.
Stoga je 3푆(푋,푌,푍,푊) = 0,(4.183)
što je i trebalo dokazati. ∎
Napomena 4.4.24.
Ako je segmentna krivina 퐾(퐸) u tački 푝 konstantna (tj. ne zavisi od 퐸), tada se segmentna krivina od 푀 u 푝 označava sa 퐾(푝).
80
Stoga, za bilo koje 푋,푌 ∈ 푇 푀 važi da je 푅(푋,푌,푋,푌) = −퐾(푝)퐺(푋,푌,푋,푌).(4.184)
Iz dokaza prethodne teoreme, za bilo koje 푋,푌,푍,푊 ∈ 푇 푀 važi 푅(푋,푌,푍,푊) = −퐾(푝)퐺(푋,푌,푍,푊).(4.185)
Stoga je uslov za Rimanovu mnogostrukost da bude segmentna krivina u tački 푝 konstantna dat sa
푅 (푝) = −퐾(푝) 푔 푔 − 푔 푔 (푝),
ili u obliku
훺 (푝) =12푅
(푝)푑푥 ∧ 푑푥 = −퐾(푝)휃 ∧ 휃 (푝),(4.186)
gde je 휃 = 푔 푑푥 .(4.187)
Definicija 4.4.25. Ako je 푀 Rimanova mnogostrukost takva da je segmentna krivina konstantna funkcija na 푀, tada je 푀 prostor konstantne krivine.
Napomena 4.4.26. Sfere, ravni i pseudo-sfere (u svakoj tački proizvod dve krivine je -1 svuda, u određenom smislu su suprotne od uobičajene sfere) su sve površi u trodimenzionom Euklidovom prostoru, čija je potpuna krivina konstantna. Stoga su sve one dvodimenzioni Rimanovi prostori konstantne krivine.
Slika 4.1. Pseudo-sfera
Teorema 4.4.27. (Šurova teorema) Neka je 푀 povezana 푚-dimenziona Rimanova mnogostrukost koja u svakoj tački ima konstantnu segmentnu krivinu. Ako je 푚 ≥ 3, tada je 푀 prostor konstantne krivine.
Dokaz Pošto 푀 ima u svakoj tački konstantnu segmentnu krivinu, iz formule (4.186) se dobija da je
훺 = −퐾휃 ∧ 휃 ,(4.188)
gde je 퐾 glatka funkcija na 푀, a 휃 je data u (4.187). Spoljašnjim diferenciranjem formule (4.188) se dobija
푑훺 = −푑퐾휃 ∧ 휃 − 퐾푑휃 ∧ 휃 + 퐾휃 ∧ 푑휃 .(4.189)
81
푑휃 = 푑푔 ∧ 푑푥 = 푔 휔 + 푔 휔 ∧ 푑푥 = 휔 + 휔 ∧ 푑푥 ,
gde je 휔 = 푔 휔 = 훤 , 푑푥 .
Pošto je Levi-Čivitina povezanost bez torzije, važi da je: ω ∧ dx = Γ , dx ∧ dx .
Stoga je 푑휃 = 휔 ∧ 푑푥 = 휔 ∧ 휃 .(4.190)
Sa druge strane, iz Bjankijevog identiteta, se dobija 푑훺 = 푑 훺 ⋅ 푔 = 푑훺 ⋅ 푔 + 훺 ∧ 푑푔 =
= 휔 ∧ 훺 − 훺 ∧ 휔 ⋅ 푔 + 훺 ∧ 휔 + 휔 = = 휔 ∧ 훺 + 훺 ∧ 휔 .(4.191)
Dakle, važi da je 푑훺 = −퐾휔 ∧ 휃 ∧ 휃 − 퐾휃 ∧ 휃 ∧ 휔 =
= −퐾푑휃 ∧ 휃 + 퐾휃 ∧ 푑휃 .(4.192)
Upoređivanjem (4.192) i (4.189), dobija se: 푑퐾 ∧ 휃 ∧ 휃 = 0.(4.193)
Pošto su {휃 } i 푑푥 su oba lokalna kookvira, može se pretpostaviti da je
푑퐾 = 푎 휃 .
Pošto je 푚 ≥ 3, za bilo koja tri indeksa 1 ≤ 푖 ≤ 푗 ≤ 푘 ≤ 푚, važi da je 푑퐾 ∧ 휃 ∧ 휃 = 푑퐾 ∧ 휃 ∧ 휃 = 푑퐾 ∧ 휃 ∧ 휃 = 0. Stoga je 푎 = 0 (1 ≤ 푖 ≤ 푚), tj.
푑퐾 = 0.(4.194)
Kako je 푀 povezana mnogostrukost, 퐾 je konstantna funkcija na 푀. ∎
82
5. TENZOR RIMAN – KRISTOFELA
5.1. Promena redosleda kovarijantnog diferenciranja
Neka je 푉 dati kovarijantni vektor. Dva puta će biti kovarijantno diferenciran.
Postavlja se pitanje: da li se promenom redosleda kovarijantnog diferenciranja menja rezultat usled date promene redosleda?
Kao što je poznato u slučaju kod običnog diferenciranja funkcije, vrednost svih mešovitih parcijalnih izvoda n-tog reda funkcje u datoj tački ne zavisi od redosleda u kom se vrši uzastopno diferenciranje, ako je u toj tački posmatrana funkcija n-puta diferencijabilna. U nastavku će biti dokazana važna teorema o promeni redosleda kovarijantnog diferenciranja.
Teorema 5.1.1. Mešoviti kovarijantni izvodi drugog reda, u opštem slučaju nisu komutativni, tj. ne može se menjati redosled u kom se vrši uzastopno kovarijantno diferenciranje.
Dokaz Neka je sa (푉 ) označen drugi kovarijantni izvod od 푉 gde se prvo vrši diferenciranje po 푥 , a zatim po 푥 . Posmatra se razlika (푉 ) − (푉 ) , dobija se sledeće :
푉 − 푉 = 푉 − 푉 =
=휕 푉휕푥 − Γ (푉 ) − Γ 푉 −
휕 푉휕푥 + Γ (푉 ) + Γ 푉 =
=휕휕푥
휕푉휕푥 − Γ 푉 − Γ
휕푉휕푥 − Γ 푉 −
휕휕푥
휕푉휕푥 − Γ 푉 + Γ
휕푉휕푥 − Γ 푉 =
=휕 푉
휕푥 휕푥 −휕Γ휕푥 푉 − Γ
휕푉휕푥 − Γ
휕푉휕푥 + Γ Γ 푉 −
휕 푉휕푥 휕푥 +
휕Γ휕푥 푉 + Γ
휕푉휕푥 + Γ
휕푉휕푥
− Γ Γ 푉 =
= −휕Γ휕푥 푉 − Γ
휕푉휕푥 − Γ
휕푉휕푥 + Γ Γ 푉 +
휕Γ휕푥 푉 + Γ
휕푉휕푥 + Γ
휕푉휕푥 − Γ Γ 푉 =
=휕Γ휕푥 −
휕Γ휕푥 + Γ Γ − Γ Γ 푉 .
U prethodnom delu dokaza je iskorišćeno da je = . U pretposlednjem redu
dokaza zamenjena su mesta indeksima i ( ).
Sa početka na kraj se dobija:
푉 − 푉 =휕Γ휕푥 −
휕Γ휕푥 + Γ Γ − Γ Γ 푉 .(5.1)
83
5.2. Svojstva Riman – Kristofelovog tenzora22
Uvodi se oznaka
푅 =휕Γ휕푥 −
휕Γ휕푥 + Γ Γ − Γ Γ .
Tada (5.1) ima oblik
푉 − 푉 = 푅 푉 .
Pošto su kovarijantni izvodi vektora drugog reda tenzori trećeg ranga, na osnovu zakona količnika može se utvrditi da je 푅 tenzor četvrtog ranga. Dati tenzor se naziva Riman – Kristofelov ili tenzor krivine, jer definiše svojstvo Rimanovog prostora analogno krivini dvodimenzione površi. Važnost datog tenzora se sastoji u tome što je on neposredno povezan sa metrikom Rimanovog prostora i jedan je od najsloženijih tenzora Rimanovog prostora.
Teorema 5.2.1.23 Da bi metrika prostora bila ravna potreban i dovoljan uslov je da je Riman – Kristofelov tenzor jednak nuli.
Dokaz (Potreban uslov) Neka je metrika ravna, tj. metrika ravnog prostora. Tada se može izabrati takav koordinatni sistem u kom su svi Kristofelovi simboli u svim tačkama prostora indentički jednaki nuli. Tada su u svim tačkama prostora sve komponente Riman – Kristofelovog tenzora jednake nuli. Na ovaj način, ako je metrika ravna, tenzor 푅 indentički je jednak nuli u svim tačkama prostora.
Dokaz (Dovoljan uslov) Neka je u svim tačkama prostora, tenzor Riman – Kristofela indetički jednak nuli: 푅 ≡ 0. Neka u datom koordinatnom sistemu {푆} Kristofelovi simboli Γ nisu indentički jednaki nuli. U nastavku će biti pokazano da se pri 푅 ≡ 0 uvek može uvesti takav sistem koordinata {푆}, u kome su u svim tačkama Kristofelovi simboli Γ indentički jednaki nuli. Iz prethodnih poglavlja je poznato da su formule transformisanja Kristofelovih simbola pri prelazu iz jednog sistema koordinata u drugi oblik
휕푥휕푥 Γ = Γ
휕푥휕푥
휕푥휕푥 +
휕 푥휕푥 휕푥 .(5.2)
Pod pretpostavkom da je potreban sistem koordinata {푆} pronađen, dobija se 휕 푥휕푥 휕푥 = Γ
휕푥휕푥 .(5.3)
22 Detaljnije o svojstvima Riman-Kristofelovog tenzora se može pogledati u [20],[3]. 23Drugi dokaz za datu teoremu, koji je dat preko integraljenja po zatvorenoj konturi, zainteresovani čitalac može
pogledati u [3].
84
Potrebno je pronaći funkcije 푥 = 푥 (푥 , 푥 ,푥 , 푥 ) za koje su date diferencijalne jednačine (5.3). Date jednačine su iste za sve nepoznate funkcije 푥 , kao što za koeficijente indeks 휀 nije uključen. U n-dimenzionom prostoru broj jednačina je ( ), za 푛 = 4 ima 10 jednačina, nepoznatih funkcija je 4. Broj jednačina je veći od broja nepoznatih, zato sistem može da bude neodređen. Zato je neophodno posebno razmotriti pitanje o konzistentnosti sistema diferencijalnih jednačina (5.3). Postavlja se pitanje: da li se funkcije 푥 koje zadovoljavaju sisteme jednačina (5.3) mogu posmatrati kao koordinate sistema u kojim su simboli Kristofela indentički jednaki nuli? Pretpostavlja se da funkcije 푥 zadovoljavaju uslove transformacija koordinata koji su predstavljeni u prvom poglavlju. Neka funkcije 푥
zadovoljavaju jednačine (5.3). Tada iz (5.2) sledi da je Γ = 0. Vršeći kontrakciju
date jednačine sa dobija se Γ 훿 훿 = 0 ili Γ = 0 što je ekvivalentno sa 푔 = 푐표푛푠푡. Na ovaj način funkcije 푥 koje zadovoljavaju jednačine (5.3) mogu da se posmatraju kao koordinate sistema u kojima je Γ = 0.
Nepoznate funkcije 푥 koje zadovoljavaju jednačine (5.3) su dovoljan uslov da bi date funkcije bile koordinate sistema u kome su Kristofelovi simboli indentički jednaki nuli u svim tačkama prostora.
U nastavku se razmatra pitanje o postojanju rešenja sistema jednačina (5.3). Određuju se uslovi saglasnosti (integrabilnosti) datog sistema koji proizilaze iz uslova poklapanja mešovitih parcijalnih izvoda funkcije 푥 . Difererencira se (5.3)po 푥 :
휕 푥휕푥 휕푥 휕푥 =
휕Γ휕푥
휕푥휕푥 + Γ
휕 푥휕푥 휕푥
Drugi izvod sa desne strane dobijene jednačine će biti zamenjen izrazom iz jednačine (5.3) i menja se indeks 훼 sa 훽:
휕 푥휕푥 휕푥 휕푥 =
휕Γ휕푥
휕푥휕푥 + Γ Γ
휕푥휕푥
ili 휕 푥
휕푥 휕푥 휕푥 =휕푥휕푥
휕Γ휕푥 + Γ Γ .
Analogno se dobija: 휕 푥
휕푥 휕푥 휕푥 =휕푥휕푥
휕Γ휕푥 + Γ Γ .
Potrebna je nezavisnost mešovitih parcijalnih izvoda od redosleda u kom se vrši uzastopno diferenciranje. Kada se oduzmu dve poslednje jednakosti, dobija se :
0 =휕푥휕푥
휕Γ휕푥 −
휕Γ휕푥 + Γ Γ − Γ Γ
ili 휕푥휕푥 푅 = 0.(5.4)
85
Jednačine (5.4) predstavljaju uslove saglasnosti sistema (5.3). Pri indentičkoj jednakosti sa nulom tenzora krivine 푅 , uslovi saglasnosti (5.4) su ispunjeni indentički, tj.
za sve i 푥 .
U nastavku će biti razmotreno pitanje o postojanju funkcija 푥 koje zadovoljavaju
sisteme jednačina (5.3).Početni podaci ovde su vrednosti funkcija 푥 i njihovi prvi izvodi u nekim određenim vrednostima 푥 , jednakim sa 푥 . Pretpostavlja se da su funkcije koje se javljaju u (5.3), analitičke u nekoj okolini sistema vrednosti svojih argumenata u početnoj tački 푥 . Tada, saglasno sa teoremom Kovaljevske iz teorije diferencijalnih jednačina, sledi postojanje funkcije 푥 , koja je analitička u datoj okolini i zadovoljava sisteme jednačina (5.3) za sve početne uslove. Pošto funkcija 푥 (푥 ) predstavlja prelaz iz jednog sistema koordinata u drugi sistem koordinata, početni uslovi moraju biti tako zadati da bi jakobijan
transformacije 푑푒푡 u početnoj tački 푥 bio različit od nule. Nepoznate funkcije 푥 (푥 ) se nalaze iz (5.3) pri zadatim početnim uslovima. Ovakav izbor početnih uslova je moguć jer rešenje sistema jednačina (5.3) postoji za bilo koji izbor početnih uslova. Na ovaj način, pri indentičkoj ispunjenosti jednakosti 푅 = 0, uslovi saglasnosti sistema jednačina (5.3)
ispunjeni su za sve vrednosti 푥 i i postoje funkcije 푥 (푥 ) koje zadovoljavaju (5.3) za sve početne uslove. Ove funkcije određuju prelaz iz datog sistema koordinata {푆} u sistem koordinata 푆 u kome su u svim tačkama posmatrane okoline tačke 푥 simboli Kristofela jednaki nuli.
U zakrivljenom prostoru se uvek može birati sistem koordinata koji je lokalno-geodezijski u datoj tački. Ipak, tenzor krivie 푅 u toj tački nije jednak nuli, kao što izvodi Kristofelovih simbola Γ nisu jednaki nuli u toj tački, iako su vrednosti veličina Γ u datoj tački jednake nuli.
Zajedno sa tenzorom 푅 biće korišćen i njegov asocirani predstavnik 푅 = 푔 푅 .
Teorema 5.2.2. Tenzor 푅 ima sledeće osobine:
1. 푅 = −푅 2. 푅 = −푅 3. 푅 = 푅 4. 푅 + 푅 + 푅 = 0
Dokaz
1) 푅 = − + Γ Γ − Γ Γ
푅 =휕Γ휕푥 −
휕Γ휕푥 + Γ Γ − Γ Γ
Iz prethodne dve jednakosti se dobija: 푅 = −푅
86
푅 = 푔 푅 = −푔 푅 = −푅 .
2) Za dokazivanje drugog svojstva je neophodno transformisati 푅 .
푅 = 푔 푅 = 푔휕Γ휕푥 −
휕Γ휕푥 + Γ Γ − Γ Γ =
= 푔휕Γ휕푥 − 푔
휕Γ휕푥 + 푔 Γ Γ − 푔 Γ Γ (5.5)
Kada se transformišu prva dva člana u prethodnom izrazu,dobija se: Γ , = 푔 Γ , Γ , = 푔 Γ Računajući parcijalne izvode po koordinatama, dobija se:
푔휕Γ휕푥 =
휕Γ ,
휕푥 −휕푔휕푥 Γ
푔휕Γ휕푥 =
휕Γ ,
휕푥 −휕푔휕푥 Γ
Parcijalni izvodi metričkog tenzora po koordinatama mogu se izraziti pomoću Kristofelovih simbola prve vrste. 휕푔휕푥 = Γ , + Γ , (5.6)
휕푔휕푥 = Γ , + Γ ,
휕푔휕푥 = Γ , + Γ ,
휕푔휕푥 = Γ , + Γ ,
U nastavku će biti dokazan prvi i treći od prethodna četiri identiteta.
Γ , + Γ , =12
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 +
12
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 =
12
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 +
12
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 =
휕푔휕푥
Γ , + Γ , =12
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 +
12
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 =
휕푔휕푥
Zato je
푔휕Γ휕푥 =
휕Γ ,
휕푥 − Γ , + Γ , Γ
푔휕Γ휕푥 =
휕Γ ,
휕푥 − Γ , + Γ , Γ
Kada se zameni prethodno u (5.5),dobija se:
푅 =휕Γ ,
휕푥 − Γ , + Γ , Γ −휕Γ ,
휕푥 + Γ , + Γ , Γ +
+Γ , Γ −Γ , Γ
푅 =휕Γ ,
휕푥 −휕Γ ,
휕푥 − Γ , Γ + Γ , Γ .(5.7)
Iz jednakosti (5.6) se dobija:
Γ , =휕푔휕푥 − Γ ,
87
휕Γ ,
휕푥 =휕 푔휕푥 휕푥 −
휕Γ ,
휕푥
Γ , =휕푔휕푥 − Γ ,
휕Γ ,
휕푥 =휕 푔휕푥 휕푥 −
휕Γ ,
휕푥
Γ , Γ = 푔 Γ , Γ , = Γ Γ , = Γ Γ , = Γ Γ ,
Γ , Γ = 푔 Γ , Γ , = Γ Γ , = Γ Γ , = Γ Γ , Zamenom prethodnog u (5.7), se dobija:
푅 = −휕Γ ,
휕푥 −휕 푔휕푥 휕푥 −
휕Γ ,
휕푥 +휕 푔휕푥 휕푥 + Γ Γ , − Γ Γ ,
푅 = −휕Γ ,
휕푥 −휕Γ ,
휕푥 + Γ Γ , − Γ Γ , = −푅
3) Da bi bilo dokazano treće svojstvo, biće transformisana prva dva člana tenzora (5.7): 휕Γ ,
휕푥 =12
휕휕푥
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 =
12
휕 푔휕푥 휕푥 +
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥
휕Γ ,
휕푥 =12
휕휕푥
휕푔휕푥 +
휕푔휕푥 −
휕푔휕푥 =
12
휕 푔휕푥 휕푥 +
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥
Iz prethodnog se dobija da je:
푅 =12
휕 푔휕푥 휕푥 +
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 +
휕 푔휕푥 휕푥 −
−Γ , Γ + Γ , Γ
푅 =12
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 +
휕 푔휕푥 휕푥 − Γ , Γ + Γ , Γ (5.8)
U nastavku će biti izvršena sledeća zamena indeksa: 휇휎휈휌휎휇휌휈
Data zamena se primeni na (5.8) i dobija se:
푅 =12
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 +
휕 푔휕푥 휕푥 − Γ , Γ + Γ , Γ (5.9)
Prvi i drugi članovi tenzora (5.8) i (5.9) su jednaki, preostaje da se proveri jednakost trećih članova. Važi da je: Γ , Γ = Γ , 푔 Γ , = Γ Γ , = Γ Γ , Tenzori (5.8) i (5.9) su zaista jednaki, na ovaj način je dokazano treće svojstvo.
4) (Ričijev identitet)24
U proizvoljnoj tački je moguće uvesti lokalno–inercijalni sistem koordinata. U tom sistemu su vrednosti Kristofelovih simbola prve i druge vrste u datoj tački jednaki nuli, dok su
24 Detaljnije o Ričijevom identitetu se može pogledati u [20].
88
njihovi izvodi različiti od nule. Ako se pokaže da je leva strana jednakosti u četvrtom svojstvu u lokalno – inercijalnom sistemu koordinata jednaka nuli, tada zbog tenzorskog karaktera veličine sa leve strane jednakosti u četvrtom svojstvu, ona će biti jednaka i u bilo kom drugom sistemu koordinata. Iz (5.8) se dobija da važi:
푅 =12
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 +
휕 푔휕푥 휕푥 + 푔 Γ , Γ , − Γ , Γ ,
푅 + 푅 + 푅 =
=12 (
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 +
휕 푔휕푥 휕푥 +
+휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 +
휕 푔휕푥 휕푥 +
+휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 −
휕 푔휕푥 휕푥 +
휕 푔휕푥 휕푥 ) = 0.
U lokalno – inercijalnom sistemu koordinata, jednakost iz četvrtog svojstva je zadovoljena indentički. Zbog tenzorskog karaktera data jednakost važi i u bilo kom drugom sistemu koordinata. ∎
5.3. Ričijev i Ajnštajnov tenzor25
Tenzor Ričija 푅 će biti određen pomoću formule 푅 = 푅 , i predstavlja se u obliku determinante na sledeći način
푅 =휕휕푥
휕휕푥
훤 훤+
훤 훤
훤 훤.
Pošto važi 푙푛 푔 = 훤 , odatle se dobija
푅 =휕 푙푛 푔휕푥 휕푥 −
휕훤휕푥 + 훤 훤 − 훤
휕푙푛 푔휕푥 .
Iz prethodnog se zaključuje da je tenzor 푅 = 푅 simetričan, broj različitih
komponenata je ( ). U četvorodimenzionoj mnogostrukosti, ako se uzme da je 푅 = 0, dobija se deset diferencijalnih jednačina po parcijalnim izvodima, koje je Albert Ajnštajn uzeo kao jednačine koje opisuju gravitaciono polje u slobodnom prostoru opšte teorije gravitacije. U razvoju date teorije, važnu ulogu je imao i drugi uvedeni Ajnštajnov tenzor. Na jednostavan način se dati tenzor može dobiti iz Bjankijeve jednakosti
푅 , + 푅 , + 푅 , = 0.(5.10)
25 O Ričijevom i Ajnštajnovom tenzoru se može pogledati detaljnije u [20].
89
Pošto je kovarijantni izvod fudamentalnog tenzora 푔 jednak nuli, Bjankijev identitet se može zapisati u obliku
푅 , + 푅 , + 푅 , = 0.(5.11)
Ako se pomnoži jednačina (5.11) sa 푔 푔 i iskoriste kososimetrična svojstva Rimanovog tenzora 푅 , dobija se
푔 푅 , − 푔 푅 , − 푔 푅 , = 0.
Dati rezultat se može predstaviti u obliku 푅, − 2푅 , = 0, gde je 푅 ≡ 푔 푅 ili u obliku
푅 −12 훿 푅
,= 0(5.12)
gde je 푅 = 푔 푅 . Tenzor 푅 − 훿 푅 ≡ 퐺 u zagradi jednačine (5.12) je poznat pod nazivom Ajnštajnov tenzor.
90
6. PRIMENA GAUSOVE TEOREME NA IZVOĐENJE AJNŠTAJNOVIH JEDNAČINA IZ VARIJACIONOG PRINCIPA
6.1. Integraljenje na mnogostrukostima
U 1.1 je data definicija PULL-BACK preslikavanja, u sledećoj teoremi su date neke osnovne osobine PULL-BACK preslikavanja.
Teorema 6.1.1.26 Neka je 휙 ∈ 퐿(퐸,퐹),휓 ∈ 퐿(퐹,퐺). Neka je:
1) 휙∗:푇 (퐹) → 푇 (퐸) je linearno i 휙∗ Λ 퐹∗ ⊆ Λ 퐸∗. 2) (휓 ∘ 휙)∗ = 휙∗ ∘ 휓∗ 3) Ako je 휙 = 푖푑 , tada je 휙∗ = 푖푑 ( ). 4) Ako je 휙 bijekcija, tada je, takođe, i 휙∗ bijekcija, važi da je (휙∗) = (휙 )∗. 5) Ako 휔 ∈ Λ 퐹∗,휎 ∈ Λ 퐹∗, tada je 휙∗(휔 ∧ 휎) = 휙∗휔 ∧ 휙∗휎 6) 휙∗푑휔 = 푑휙∗휔. 7) (휙∗푓) = 푓 ∘ 휙. Napomena 6.1.2. Prve dve jednačine impliciraju da je 휙∗ potpuno određena time kako deluje na funkcije. Poslednja jednačina govori da je na funkciji 푓 휙∗ data “zamenom” funkcije 휙 u funkciju 푓. U lokalnim koordinatama na 푀 i 푁, 휙 je dato sa 휙(푥 , … , 푥 ) = (푦 , … , 푦 )
푦 = 휙 (푥 , … , 푥 ), 푖 = 1, … , 푛,
gde su 휙 glatke funkcije. Lokalni izraz za PULL-BACK od funkcije 푓(푦 , … , 푦 ) služi da zameni 휙 sa 푦 u izraz za 푓, da bi se dobila funkcija od 푥. PULL-BACK na diferencijalnim formama je definisan za bilo koje glatko preslikavanje, ne samo za difeomorfizme. Ovo je velika prednost kalkulusa diferencijalnih formi. Definicija 6.1.3. Neka je 훼 = 푓푑푥 ∧… ∧ 푑푥 푛 - forma na otvorenom skupu 푀 ⊂ ℝ . Definiše se:
훼 = 푓(푥)푑푥.
(Smene promenljivih) Ako je 휙 difeomorfizam iz 퐴 ⊂ ℝ u 휙(퐴) ⊂ ℝ . Tada je:
푓(푥)푑푥( )
= 푓 휙(푥) |푑푒푡퐷휙(푥)|푑푥,
gde je 퐷휙 Jakobijan od 휙.
26 Teorema je dokazana u [17].
91
Definicija 6.1.4. Skup 훥 = 푥 ∈ ℝ ∑ 푥 = 1,푥 ≥ 0 se naziva simpleks. Za 푛 = 0 po konvenciji se uzima da je 훥 = {0}.
Primer 6.1.5. Jednodimenzioni simpleks homeomorfan je sa zatvorenim intervalom. Dvodimenzioni simpleks je homeomorfan sa zatvorenim, popunjenim trouglom, trodimenzioni simpleks je homeomorfan sa zatvorenim, popunjenim tetraedrom.
Napomena 6.1.6. Simpleks se takođe može definisati kao podskup od ℝ . Prednost posmatranja simpleksa takođe kao podskupa od ℝ je taj što ima više simetrije u koordinatama.
Definicija 6.1.7. Neka je 푀 푛-dimenziona mnogostrukost. Singularni 푝-simpleks 휎 je preslikavanje 휎:훥 → 푀 koje se proširuje na gladak difeomorfizam iz okoline od 훥 ⊂ ℝ u 푀. 0-simpleks je preslikavanje iz tačke {0} u tačku iz 푀.
Primer 6.1.8. Smena promenljivih na početku ovog odeljka se može preformulisati kao:
휔( )
= 휙∗휔푑푥,
zbog 푛-forme 휔, 휙∗(휔)(푥) = det 퐷휙(푥) 휔 휙(푥) .
Definicija 6.1.9. Neka je 훼 푝-forma na 푀 i 휎 푝-simpleks. Integracija 푝-forme na 푝-simpleksu je data sa:
훼 = 휎∗훼.
6.2. Lanci i granice
Definicija 6.2.1. U 푀 푝-lanac je konačna linearna kombinacija 푐 = ∑ 푐 휎 , gde su 휎 푝-simpleksi, a 푐 realni brojevi.
Definicija 6.2.2. Integral 푝-forme 훼
훼 = 휎∗훼
se može produžiti od simpleksa do lanca linearnošću:
훼 = 훼∑
= 푐 훼.
Definicija 6.2.3. Za 푖 = 0, … ,푝 + 1 definišu se preslikavanja 푘 :훥 → 훥 sa
92
푘 (푥) = 푥 , … , 푥 , 0,푥 , … , 푥 , 푖 ≥ 1.
Skupovi 푘 (훥 ) se nazivaju strane (faces) simpleksa 훥 .
Definicija 6.2.4. Neka je 푀 mnogostrukost i 휎 푝-simpleks, definiše se da 푖-ta strana od 휎 da bude (푝 − 1)-simpleks 휎 = 휎 ∘ 푘 . Granica od 휎 je definisana kao (푝 − 1)-lanac 훿휎 = ∑ (−1) 휎 . Granično preslikavanje (boundary map) se može linearno produžiti na sve 푝-lance na sledeći način:
훿 푎 휎 = 푎 (−1) 휎 .
Lema 6.2.5.27 훿 ∘ 훿(퐶) = 0 za sve lance 푐.
6.3. Teorema Stoksa za lance
Sledeća teorema je generalizacija fudamentalne teoreme kalkulusa, koja kaže da važi ∫ 푓 = ∫ 퐷푓 za funkciju na jednodimenzionoj mnogostrukosti. Takođe, generalizuje teoremu Grina u ravni i teoreme Stoksa i Gausa u trodimenzionalnom prostoru.
Teorema 6.3.1. (Teorema Stoksa za lance) Neka je 푐 푝-lanac na mnogostrukosti 푀 i neka je 훼 (푝 − 1)-forma na okolini od 푐 u 푀. Tada je:
푑훼 = 훼.
Dokaz Zbog linearnosti, dovoljno je da se posmatra slučaj gde se 푝-lanac sastoji od jednog 푝-simpleksa. Tvrđenje ∫푑훼 = ∫ 훼 je po definiciji integrala ekvivalentan sa
푑(휎∗훼) = (−1) 휎∗훼 .(6.1)
Može se pretpostaviti da je 푝 ≥ 2, jer je za 푝 = 1
푑훼 휎(푡) 퐷휎(푡) 푑푡 = 훼 휎(1) − 훼 휎(0)
fudamentalna teorema kalkulusa.
Posmatraju se 푥 , … , 푥 koji su koordinate od Δ zbog 푥 = 1 − ∑ 푥 . U ovim koordinatama preslikavanja 푘 :Δ → Δ su data sa:
27 Dokaz date teoreme se može pogledati u [16].
93
푘 (푥 , … ,푥 ) = 1 − 푥 , 푥 , … , 푥 , 푖 = 0
푘 (푥 , … ,푥 ) = 푥 , … ,푥 , 0,푥 , … , 푥 , 푖 ≠ 0
Jedinstveno se može napisati (푝 − 1)-forma 훽 = 휎∗훼, koja je definisana u okolini od Δ , u obliku 훽 = ∑ 훽 푑푥 ∧…∧ 푑푥 ∧ …∧ 푑푥 , gde 푑푥 znači da se ovaj faktor ne nalazi u odgovarajućem sabirku. Zbog linearnosti može se pretpostaviti da samo jedan 훽 nije jednak nuli, tako da je 훽 = 훽 푑푥 ∧ …∧ 푑푥 ∧ …∧ 푑푥 .
Leva strana jednačine (6.1) je stoga
(−1)휕훽휕푥 푑푥 ∧ …∧ 푑푥 .
Neka su 푦 , … , 푦 koordinate u okolini Δ . PULL-BACK-ovi od 훽 za granična preslikavanja 푘 su dati sa :
푘∗훽(푦) = 훽 1 − 푦 , 푦 , … , 푦 푑푦 ∧ …∧ 푑푦 ,
푘∗훽(푦) = 0, 푖 ≠ 푗
푘∗훽(푦) = 훽 푦 , … ,푦 , 0, 푦 , … ,푦 푑푦 ∧…∧ 푑푦 , 푖 = 푗.
Stoga treba dokazati da važi: 휕훽휕푥
(푥)푑푥 ∧ …∧ 푑푥 =
= (−1) 훽 1 − 푦 , 푦 , … , 푦 − 훽 푦 , … ,푦 , 0, 푦 , … , 푦 푑푦 …푑푦 .
Leva strana
휕훽휕푥 푑푥
∑
푑푥 …푑푥 …푑푥
koja je posle računanja unutrašnjeg integrala jednaka
훽 푥 , … , 푥 , 1 − 푥 , 푥 , … , 푥 푑푥 …푑푥 …푑푥 −
− 훽 푥 , … , 푥 , 0, 푥 , … ,푥 푑푥 …푑푥 …푑푥 .
U datom izrazu u prvom integralu će biti izvršena smena promenljive
94
푥 , … ,푥 , … , 푥 ⟼ (푦 , … , 푦 ) = 푥 , … ,푥 , 1− 푥 ,푥 , … ,푥 , 푗 ≠ 2
푥 , … ,푥 , … , 푥 ⟼ (푦 , … , 푦 ) = 1 − 푥 , 푥 , … , 푥 , 푗 ≠ 2
koja ima Jakobijevu determinantu (−1) , a u drugom integralu će biti izvršena smena promenljive
푥 , … ,푥 , … , 푥 ⟼ (푦 , … , 푦 ) = 푥 , … , 푥 , 푥 , … , 푥
čija je Jakobijeva determinanta jednaka 1.
Dobija se
(−1) 훽 1 − 푦 , 푦 , … , 푦 푑푦 …푑푦 −
− 훽 푦 , … ,푦 , 0,푦 , … , 푦 푑푦 …푑푦
što predstavlja desnu stranu jednakosti koju je i trebalo dokazati. ∎
6.4. Stoksova teorema za orijentisane mnogostrukosti
Definicija 6.4.1. 푀, 푛-dimenziona mnogostrukost je orijentabilna, ako postoji 푛-forma na 푀 koja nigde nije jednaka nuli.
Napomena 6.4.2. Sa 훷 : 푥 ⟼ 푦 = 훷 (푥) su označene transformacije koordinata iz dve karte (푈 ,훷 ) i 푉 ,훷 koje imaju neprazan presek. PULL-BACK od 푛-forme 휔 = 푑푦 ∧ …∧ 푑푦 je dat sa
훷∗ 푑푥 ∧ …∧ 푑푥 = 푑푒푡 퐷훷 휔.
Mnogostrukost je orijentabilna akko postoji atlas {푈 ,훷 } od 푀 za koji sve promene koordinata 훷 zadovoljavaju 푑푒푡 퐷훷 > 0.
Definicija 6.4.3. Podskup 퐷 od 푀 je regularan domen ako za sve tačke 푥 ∈ 훿퐷 ⊂ 푀 postoji karta (푈,훷) sa 푥 ∈ 푈 takva da 훷(푈 ∩ 퐷) = 훷(푈) ∩ 퐻 , gde je 퐻 = {푥 ∈ ℝ |푥 > 0} poluprostor u ℝ .
Napomena 6.4.4. Regularni domen 퐷 je 푛-dimenzionalna mnogostrukost sa granicom unutar mnogostrukosti 푀.
Definicija 6.4.5. Kompaktni nosač ima 푛-forma 휔, ako je zatvorenje skupa kompaktno, gde je 휔 različito od nule.
95
Definicija 6.4.6. Neka je 휔 푛-forma sa kompaktnim nosačem, i neka je 퐷 regularni domen u orijentisanoj mnogostrukosti 푀. Definiše se 푈 = 푀 ∖ (푠푢푝푝(휔) ∩ 퐷). Neka je kompaktni skup 푠푢푝푝(휔) ∩ 퐷 prepokriven sa konačno mnogo pokrivača {푈 } . Neka postoje simpleksi 휎 takvi da 푈 ⊂ 휎 (훥 ) ili 휎(훥 ) ⊂ 푖푛푡(퐷) ili 푈 = 휎(푉 ∩ 훥 ), gde je 푉 ⊂ ℝ otvoren i takav da je 훿훥 ∩ 푉 otvoren podskup od strane koja je preslikana pomoću 휎 u 푈 ∩ 훿(퐷). Neka je {푔 } particija jedinice koja odgovara pokrivaču {푈 } .
Definiše se
휔 = 푔 휔.
Lema 6.4.7. Integral ∫ 휔 ne zavisi od izabranog pokrivača niti od izabrane particije jedinice.
Dokaz Neka je {푉 } neki drugi pokrivač i ℎ , … , ℎ neka druga particija jedinice i sa 휏 će biti označeni odgovarajući simpleksi. Važi da je ∑ ℎ = 1 na 푠푢푝푝(휔) ∩ 퐷 zbog ℎ = 0 na 푠푢푝푝(휔) ∩ 퐷. Dobija se
푔 휔 = ℎ 푔 휔 = ℎ 푔 휔,
.
Pošto je 휎 ∘ 휏 difeomorfizam koji čuva orijentaciju na otvorenom, moguće praznom skupu, na kom je definisan, i pošto je 푠푢푝푝 ℎ 푔 휔 ∩ 휎 Δ = 푠푢푝푝 ℎ 푔 휔 ∩ 휏 Δ , sledi da je:
ℎ 푔 휔 = 푑푒푡퐷(휎 )ℎ 푔 휔(휎 ) = 푑푒푡퐷(휎 )푑푒푡퐷 휎 휏 ℎ 푔 휔 휏 =
푑푒푡퐷 휏 ℎ 푔 휔 휏 = ℎ 푔 휔 .∎
Teorema 6.4.8. (Stoksova teorema za orijentisane mnogostrukosti) Neka je 퐷 regularan domen u orijentisanoj 푛-dimenzionoj mnogostrukosti 푀 i neka je 휔(푛 − 1)-forma sa kompaktnim nosačem. Tada je
휔 = 푑휔.
Dokaz Neka su 푔 , … ,푔 i 휎 , … ,휎 izabrani kao u definiciji integraljenja. Pošto je ∑ 푔 = 1 na okolini 푈 od 푠푢푝푝(휔) ∩ 퐷, važi da je 푑 ∑ 푔 = 0 na 푈 i
푑(푔 휔) = 푑(푔 )휔 + 푔 푑휔 = 푑휔.
Ako je 휎 푛-simpleks koji se preslikava u unutrašnjost od 퐷, tada
96
푔 휔 = 0 = 푔 휔,
jer 푠푢푝푝(푔 )휔 ⊂ 푖푛푡퐷. Neka je sada, 휎 푛-simpleks čija se slika preseca sa granicom od 퐷. U ovom slučaju je 푔 휔 jednak nuli na granici od 휎 (Δ ) osim ,možda, na 푛-toj strani 휎 . Sada je 휎 regularan (푛 − 1)-simpleks u 훿퐷 koji očuvava orijentaciju ako je 푛 paran, menja orijentaciju ako je 푛 neparan.
Sledi da je tada
푔 휔 = (−1) 푔 휔 = (−1) (−1) 푔 휔 = 푔 휔.
Koristeći Stoksovu teoremu za lance, dobija se
푑휔 = 푑(푔 휔) = 푑(푔 휔) = 푔 휔 = 푔 휔 = 휔 .∎
6.5. Operacija Hodžova zvezda (Hodge star operation)
U nastavku će se za
훼 = 훼 ,…, 푒 ∧ …∧ 푒⋯
koristiti kraća notacija 훼 = ∑ 훼 푒 , gde I prolazi kroz sve skupove indeksa 푖 , … , 푖 sa 푖 < 푖 < ⋯ < 푖 .
Definicija 6.5.1. Neka su dati 훼 = ∑ 훼 푒 ,훽 = ∑ 훽 푒 ∈ ⋀ (퐸) gde je 푒 ortogonalna baza s obzirom na metrički tenzor 푔 ∈ 푇 (퐸). Neka je 푔 = ∏ 푔(푒 , 푒 )∈ ∈ {−1,1}. Definiše se takođe 푔(훼,훽) = ∑ 푔 훼 훽 .
Propozicija 6.5.2. Metrički tenzor na 퐸 indukuje metrički tenzor na ⋀ (퐸) pomoću 푔(훼,훽) = ∑ 푔 훼 훽 .
Dokaz 푔 je simetrični tenzor u 푇 (⋀ (퐸)). Nedegenerisanost sledi iz nedegenerisanosti tenzora 푔 na 퐸: neka je 푔(훼,훽) = 0 za sve 훽. Tada 푔(훼, 푑푥 ) = 푔 훼 = 0 za sve I, tako da je 훼 = 0 za sve I, pa je 훼 = 0. ∎
Definicija 6.5.3. Neka je 푔 metrički tenzor na 퐸 i neka je ℎ metrički tenzor na 퐹. Formira se metrički tenzor 푔ℎ na ⋀ (퐸,퐹) na sledeći način: ako je 푓 , … ,푓 ortogonalna baza u 퐹, može se pisati 훼 = ∑ 훼 푓 i 훽 = ∑ 훽 푓 i 푔ℎ(훼,훽) = ∑ ℎ 푔 훼 훽, , gde su ℎ = ℎ(푓 , 푓 ) ∈ {−1,1}.
Ova definicija je nezavisna od baze odabrane u 퐸 i baze odabrane u 퐹.
Propozicija 6.5.4. (Postojanje Hodžovog operatora)
97
Neka je 퐸 konačnodimenzioni vektorski prostor dimenzije 푛. Neka je 푔 metrika na 퐸 i 휔 zapreminski element na 퐸 s obzirom na 퐸. Postoji jedinstveni izomorfizam
∗: (퐸) → (퐸)
takav da važi 훼 ∧∗ 훽 = 푔(훼,훽) , za sve 훼,훽 ∈ ⋀ (퐸).
Dokaz Za 훾 ∈ ⋀ (퐸) definiše se linearno preslikavanje Φ (α):⋀ (퐸) → ℝ
Φ (α) = α ∧ 훾.
Ovo preslikavanje je injektivno. Komparacijom dimenzija dobija se da je izomorfizam. Stoga za sve 훽 ∈ ⋀ (퐸), postoji jedinstveno 훾 ∈ ⋀ (퐸) takvo da je Φ (α) = g(α,β). Definiše se da je ∗ 훽 dato 훾. Jedinstvenost kao i postojanje ∗ se dokazuje koristeći koordinate. Neka je dato 푒 = 푒 ∧ …∧ 푒 ∈ ⋀ (퐸). Sa 푐 = 푔(푒 , 푒 ) se dobija
∗ 푒 = 푐 , … , 푐 (−1) , 푒
gde je I ∪ I = {1, … , 푛} i 휎(I, I ) je permutacija koja preslikava I ∪ I u {1, … ,푛} sa I = 푖 , … , 푖 , 푖 < ⋯ < 푖 i I = 푖 , … , 푖 . ∎
Propozicija 6.5.5. (Osobine operatora Hodžova zvezda) 1) Za 훼 ∈ ⋀ (퐸) važi ∗∗ 훼 = (−1) (−1) ( )훼 2) 푔(훼,훽) = (−1) 푔(훼∗,훽∗) 3) ∗ 1 = 휔, ∗ 휔 = (−1)
Dokaz 1) Neka je 훼 = 푒 ( ) ∧…∧ 푒 ( ).
Važi da je ∗ 훼 = 퐶푒 ( ) ∧…∧ 푒 ( ) za neku konstantu 퐶. Pošto je
훼 ∧∗ 훼 = (−1) 퐶 ( ) …퐶 ( ) 휔 ∗ 푒 ( ) ∧…∧ 푒 ( ) = 퐶 ( ) …퐶 ( )(−1) 푒 ( ) ∧ …∧ 푒 ( ).
Stoga je ∗∗ 푒 ( ) ∧ …∧ 푒 ( ) = (−1) ( ) 퐶 ( ) …퐶 ( ) ((−1) ) 푒 ( ) ∧…∧ 푒 ( ) =
= (−1) ( )(−1) 푒 ( ) ∧ …∧ 푒 ( ). 2) Koristeći tvrđenje pod 1) dobija se
푔(∗ 훼,∗ 훽)휔 =∗ 훼 ∧∗∗ 훽 = (−1) (−1) ( ) ∗ 훼 ∧ 훽 = (−1) 훽 ∧∗ 훼 = (−1) 푔(훼,훽)휔.
3) Sledi iz definicije i tvrđenja pod 2).
Primer 6.5.6. Neka je 푀 = ℝ i 푔 Lorencov unutrašnji proizvod, definisan sa 푔 = −1, 푔 = 푔 = 푔 = 1 i 푔 = 푔 푒 , 푒 = 0 za 푖 ≠ 푗. Operator Hodžova zvezda iz ⋀ (ℝ ) u ⋀ (ℝ ) je involucija data sa
98
∗ 푒 = −푒 ∧ 푒 ∧ 푒 ∗ 푒 = −푒 ∧ 푒 ∧ 푒 ∗ 푒 = 푒 ∧ 푒 ∧ 푒 ∗ 푒 = −푒 ∧ 푒 ∧ 푒
Zbog 푒 ∧ (∗ 푒 ) = −푒 ∧ 푒 ∧ 푒 ∧ 푒 = 푔 휔 푒 ∧ (∗ 푒 ) = −푒 ∧ 푒 ∧ 푒 ∧ 푒 = 푔 휔 푒 ∧ (∗ 푒 ) = 푒 ∧ 푒 ∧ 푒 ∧ 푒 = 푔 휔 푒 ∧ (∗ 푒 ) = −푒 ∧ 푒 ∧ 푒 ∧ 푒 = 푔 휔
6.6. Stoksova teorema za Rimanove mnogostrukosti28
Definicija 6.6.1. Neka je (푀,푔) orijentisana Rimanova mnogostrukost sa zapreminskim elementom 휔. Tačkasti Hodžov operator ∗:⋀ (푇 ,푀) → ⋀ (푇 ,푀) definiše preslikavanje ⋀ (푀) → ⋀ (푀) koje se naziva operator Hodžova zvezda na ⋀(푀).
Definicija 6.6.2. Neka je 푀 orijentisana Rimanova mnogostrukost sa zapreminskim elementom 휔. Za neprekidnu funkciju 푓 na 푀 sa kompaktnim nosačem definiše se
푓 ∶= ∗ 푓 = 푓휔
Neka je 푀 Rimanova mnogostrukost. Metrika 푔 definiše izomorfizam iz 푇 푀 u 푇∗푀. Oznake za dati izomorfizam su
♭:푇 푀 → 푇∗푀, ♯:푇∗푀 → 푇 푀,
One potiču iz činjenice da u muzici ♭ povećava indeks, a ♯ snižava indeks.
Definicija 6.6.3. Divergencija 푑푖푣(푣) vektorskog polja 푣 je funkcija 푑푖푣(푣) =∗ 푑 ∗ 푣♭.
Teorema 6.6.4. (Stoksova teorema za Rimanove mnogostrukosti) Neka je dato 푣 ∈ 훤(푇푀) sa kompaktnim nosačem i neka je 퐷 regularni domen u 푀 i 푛 spoljašnje normalno vektorsko polje na granici 훿퐷. Tada je
푑푖푣(푣) = 푔(푣, 푛).
Dokaz Koristeći Stoksovu teoremu za orijentisane mnogostrukosti i definiciju integrala da važi
28 O Stoksovoj teoremi za lance, orijentisane mnogostrukosti i Rimanove mnogostrukosti se može detaljnije
pogledati u [16].
99
푑푖푣(푣) = ∗ 푑 ∗ 푣♭ = 푑 ∗ 푣♭ = ∗ 푣♭ .
Na ovaj način se tvrđenje svodi na identitet
∗ 푣♭ = 푔(푣, 푛).
Bira se u proizvoljnoj tački u 훿퐷 karta takva da je 푛(푥) = 푒 spoljašnji jedinični normalni vektor. Neka je 푒 , … , 푒 ortogonalna baza i neka je 푒 , … , 푒 dualna baza. Koristeći odgovarajuću particiju jedinice, može se pretpostaviti da 푣 ima svoj nosač u karti 푈 koja je sadržana u simpleksu 휎, tako da je 휎 preslikan u 훿퐷. Sa 푣♭ = ∑ 푣 푒 gde je 푣 = 푔 푣 , dobija se
∗ 푣♭ = 푣 ,…, ,…, 푒 ∧ …∧ 푒 ∧ …∧ 푒 = 푔 (−1) 푣 푒 ∧ …∧ 푒 ∧…∧ 푒
tako da je ∫ ∗ 푣♭ = ∫ det(퐷휎 )푔 푣 ,…, .
Pošto je 푔(푣, 푛) = 푣 , dobija se po definiciji integraljenja na 훿퐷 takođe
det(퐷휎 ) 푣 = det(퐷휎 )푔 푣 ,…, .∎
Primer 6.6.5. Neka je 훼 1-forma data sa
훼 = 훼 푑푥 + 훼 푑푥 = ((푥 ) + 7푥 )푑푥 + (−푥 + 푥 sin((푥 ) ))푑푥
na mnogostrukosti 푀 = ℝ . Izračunati integral ∫훼 nad 1-lancem 푐 = 2휎 + 3휎 − 휎 , gde su simpleksi 휎 , 푖 = 1,2,3 dati sa:
휎 :Δ = [0,1] → 푀,휎 (푡) = (푡, 0) 휎 :Δ = [0,1] → 푀,휎 (푡) = (1− 푡, 푡) 휎 :Δ = [0,1] → 푀,휎 (푡) = (0,1− 푡)
Rešenje Integraljenje 1-forme na 1-simpleksu 휎:Δ → 푀 je definisano sa ∫ 훼 = ∫ 휎∗훼, koji je integral 1-forme nad podskupom od ℝ, što je najčešće integraljenje nad Δ = [0,1] ⊂ ℝ. Neka je 휎(푡) = 푥(푡),푦(푡) , tada je PULL-BACK (휎∗훼)(푡)(푢) definisan sa 훼 휎(푡) (퐷휎(푡)푢) za bilo
koje 푢 ∈ 푇 Δ. 퐴(푡) = 퐷휎(푡):ℝ → ℝ dat je sa 1 × 2 matricom 푥(푡)푦(푡) . Da bi se dobio
PULL-BACK od 훼(푥) = 훼 (푥)푑푥 + 훼 (푥)푑푥 i 휎∗훼(푡) = 훽(푡)푑푡 u koordinatama, koristi se 푑푥 (푒 ) = 0,푑푥 (푒 ) = 0,푑푥 (푒 ) = 1,푑푥 (푒 ) = 1.
Dobija se sledeće: 훽(푡)(푢) = 훼 휎(푡) (퐴(푡)푢) = 훼 휎(푡) 푑푥 (퐴(푡)푢) + 훼 휎(푡) 푑푥 (퐴(푡)푢) =
= 훼 휎(푡) 푑푥 ((퐴(푡)푢) 푒 + (퐴(푡)푢) 푒 ) + 훼 휎(푡) 푑푥 ((퐴(푡)푢) 푒 + (퐴(푡)푢) 푒 ) = = 훼 휎(푡) ((퐴(푡)푢) ) + 훼 휎(푡) ((퐴(푡)푢) ) =
= 훼 휎(푡) 푥(푡) + 훼 휎(푡) 푦(푡) 푢.
100
Stoga se integral
훼 = 훼 휎(푡) 푥(푡) + 훼 휎(푡) 푦(푡)푑푡,
svodi na običan krivolinijski integral nad krivom 휎:Δ = [0,1] → ℝ . Dobija se
퐷휎 (푡) = 10 ,퐷휎 (푡) = −1
1 ,퐷휎 (푡) = 0−1 .
훼 = 훼 휎(푡) ⋅ 1 + 훼 휎(푡) ⋅ 0 푑푡 = 푡 푑푡 =푡3 | =
13
훼 = 훼 휎(푡) ⋅ (−1) + 훼 휎(푡) ⋅ 1 푑푡 =
= − ((−푡) + 7푡 )푑푡 + (−푡) + 푡 sin(푡 ) 푑푡 =
= −13 −
73 −
12 + 푡 sin(푡 )푑푡 =
= −196 + 푡 sin(푡 )푑푡
훼 = −훼 휎(푡) 푑푡 = − (1− 푡) sin((1 − 푡) )푑푡.
Integral ∫ 푡 sin(푡 )푑푡 nema svoju primitivnu funkciju u skupu elementarnih funkcija.
Dati integral se može zapisati u obliku − − − … razvijanjem funkcije sin(푡 ) u Tejlorov red i integraleći svaki član reda posebno.
훼 = 2 ⋅13 + 3 −
196 + 푡 sin(푡 )푑푡 − (1− 푡) sin((1− 푡) )푑푡 =
= −536 + 4 푡 sin(푡 )푑푡
Definicija 6.6.6. Zapreminski integral funkcionog polja 푓 nad oblašću 퐺 u ℝ je dat sa
푓푑푉 = ∗ 푓,
gde je 휎 simpleks povezan sa oblašću 퐺. Desna strana jednakosti je integral 3-forme nad trodimenzionim simpleksom.
101
Primer 6.6.7. Neka je 휎 3-simpleks u ℝ i 훼 2-forma u ℝ . Primenjuje se teorema Stoksa za dokaz teoreme divergencije (Gausove teoreme), ∫ 푣 = ∫ 푑푖푣(푣) (oblast 퐺 će se indentifikovati sa trodimenzionim simpleksom 휎).
푑푖푣(푣)푑푉 = ∗ 푑푖푣(푣) = ∗∗ 푑 ∗ 푣♭ = 푑 ∗ 푣♭ = ∗ 푣♭ = 푣푑푂 .
6.7. Izvođenje Ajnštajnovih jednačina iz varijacionog principa29
U nastavku će biti dato izvođenje jednačina gravitacionog polja (Ajnštajnovih jednačina) uz korišćenje Hamiltonovog principa. Dakle, treba naći vezu između metričkog tenzora 푔 , s jedne strane, i raspodele materije (mase), s druge strane. Za to je neophodno, najpre odrediti dejstvo 푆 gravitacionog polja i dejstvo 푆 koje potiče od materije. Tražene jednačine se tada dobijaju iz principa stacionarnosti dejstva putem variranja sume dejstava 푆 i 푆 , kao
훿푆 = 훿 푆 + 푆 = 훿푆 + 훿푆 .(6.2)
Simbol 훿 ovde označava varijaciju. Dejstvo 푆 za gravitaciono polje treba da bude integral po 4-dimenzionom prostoru i ono je invarijantno u odnosu na ma kakve transformacije koordinata. Pošto je gravitaciono polje određeno metričkim tenzorom 푔 to u varijacionom principu za gravitaciono polje komponente 푔 se tretiraju kao nezavisno promenljive i po njima se varira.
Stoga se razmotra, najpre, dejstvo 푆 gravitacionog polja. Uvodi se funkcija ℒ –gustina lagranžijana gravitacionog polja. Dejstvo 푆 ima oblik
푆 = ℒ 푑풱∗ = ℒ −푔 푑4푥(6.3)
pri čemu se integracija vrši po nekoj oblasti 3-dimenzionog prostora 푥1, 푥2, 푥3 i po vremenskoj koordinati 푥0 između dva fiksirana trenutka. Veličina 푔 u gornjoj jednačini predstavlja fundamentalnu determinantu, dok je
푑풱∗ = −푔푑푥0푑푥1푑푥2푑푥3 = −푔푑4푥
element zapremine 4-dimenzionog prostor-vremena.
Kao što je poznato, gustina lagranžijana odgovarajućeg fizičkog polja zavisi od potencijala polja 푔 i njihovih izvoda. Pri izvođenju jednačina gravitacionog polja pretpostavlja se da te jednačine ne sadrže izvode metričkog tenzora (potencijala) 푔 više od drugog reda. S obzirom da se jednačine dobijaju putem variranja dejstva, to za dobijanje tih jednačina, prirodno je zahtevati da podintegralni izraz u (6.3) (tj odgovarajući ℒ ) treba da sadrži izvode od metrike 푔 koji nisu viši od prvog reda. Drugim rečima, gustina
29 U [20] se može pogledati detaljnije o varijacionom principu.
102
lagranžijana može zavisiti samo od 푔 i 훤 ~ . Međutim, iz samih veličina 푔 i , nemoguće je sastaviti invarijantu, jer izborom sistema koordinata (iz lokalno-inercijalnog sistema koordinata) moguće je uvek udesiti da sve veličineΓ u datoj tački budu jednake nuli. Ipak, postoji skalar (invarijanta) 푅 (푅 krivina 4-dimenzionalnog prostora), koji osim tenzora 푔 i njegovih prvih izvoda, sadrži još i druge izvode od푔 , koji ulaze samo linearno. Zahvaljujući toj linearnosti, kao što će biti pokazano u nastavku, integral ∫푅 −푔푑4푥 je moguće transformisati tako da
훿 푅 −푔푑4푥 = 훿 푄 −푔푑4푥 ,(6.4)
gde veličina 푄 sadrži samo tenzor gµ i njegove prve izvode. Izraz na levoj strani jednačine (6.4) je skalar, pa je prema tome i izraz na desnoj strani takođe skalar (dok sam integral∫푄 −푔푑4푥, naravno, nije skalar, ali njegova varijacija jeste).
Prema tome, zbog izbora gustine lagranžijana ℒ gravitacionog polja, koji je jednak 푅 (pri Λ = 0, Λ -kosmološka konstanata) ili 푅 − 2Λ (pri Λ ≠ 0), to prilikom izvođenja jednačina gravitacionog polja, jasno je da će one biti diferencijalne jednačine koje sadrže izvode od 푔 ne više od drugog reda.
Uvodi se dejstvo 푆 na sledeći način:
훽푆 = (푅 − 2Λ) −푔푑 푥(6.5)
gde je 훽 = = , konstanta koja obezbeđuje dimenziju dejstava. Tada je varijacija jednačine (6.5) jednaka
훽푆 = 훿 (푅 − 2Λ) −푔푑4푥 = 훿 푅 푔 − 2Λ −푔푑4푥 =
= 푅 −푔훿푔 + 푅 푔 훿 −푔 − 2Λ훿 −푔 푑4푥 + 푔 −푔훿푅 푑4푥.
Kako je : 훿푔 = 푔푔 훿푔 = −푔푔 훿푔
= −푔 훿푔 , 훿 −푔 = − −푔푔 훿푔 (6.6)
(pošto je 푔 푔 = 4, tada je 푔 훿푔 = −푔 훿푔 ), to je
훽훿푆 = 푅 −12푔 푅 + Λ푔 훿푔 −푔푑4푥 + 푔 훿푅 −푔푑4푥 .(6.7)
Koristeći Gausovu teoremu, poslednji član u jednačini (6.7) može se transformisati u integral po hiperpovršini koja obuhvata 4-zapreminu po kojoj se vrši integracija u (6.7). U tom smislu, uvode se pomoćne veličine 푤 .
푤 = −푔 Γ + 푔 Γ .(6.8)
Očigledno je
103
1−푔
휕휕푥 −푔푤 =
휕푤휕푥 + 푤
1−푔
휕 −푔휕푥 =
= −휕휕푥 푔 훿훤 +
휕휕푥 푔 훿훤 + −푔 훿훤 + 푔 훿훤 훤 =
= −휕푔휕푥 훿훤 − 푔 훿
휕훤휕푥 +
휕푔휕푥 훿훤 + 푔 훿
휕훤휕푥 + −푔 훿훤 + 푔 훿훤 훤 .
Kako je kovarijantni izvod metričkog tenzora jedanak nuli, tj. 푔; = 0, i s obzirom na već dokazane formule, važi da je
휕푔휕푥 = −푔 훤 − 푔 훤 ,
휕푔휕푥 = −푔 훤 − 푔 훤 .
Uzimajući u obzir ove jednakosti može se dalje pisati: 1−푔
휕휕푥 −푔푤 = 푔 훤 훿훤
↔ , ↔
+ 푔 훤 훿훤↔
− 푔 훤 훿훤↔
− 푔 훤 훿훤↔
−
−푔 훿휕훤휕푥
↔
+ 푔 훿휕훤휕푥 − 푔 훤 훿훤
↔ , ↔
+ 푔 훤 훿훤 =
= 푔 −훿휕훤휕푥 + 훿
휕훤휕푥 + 훤 훿훤 + 훤 훿훤 − 훤 훿훤 − 훤 훿훤 =
= 푔 훿 −휕훤휕푥 +
휕훤휕푥 + 훤 훤 − 훤 훤 = 푔 훿푅 .
Dakle,
푔 훿푅 =1−푔
휕휕푥 −푔푤 ,(6.9)
odnosno
푔 훿푅 −푔푑 푥 =휕휕푥 −푔푤 푑 푥.(6.10)
Na osnovu Gausove teoreme, integral ∫ −푔푤 푑 푥 može biti transformisan u integral od 푤 po hiperpovršini 훴 koja sadrži posmatranu 4-dimenzionu zapreminu, tj.
휕휕푥 −푔푤 푑 푥 = 푤 푑휎 .(6.11)
Kako su na granici oblasti integracije, varijacije polja jednake nuli, tj. na njoj je
훿푔 = 0, odnosno 훿 = 0 onda je i vektor 푤 , definisan jednačinom (6.8), takođe
jednak nuli (na granici oblasti integracije), tj. 푤 = 0. Prema tome, ∮ 푤 푑휎 = 0, odnosno
푔 훿푅 −푔푑 푥 = 0.(6.12)
Konačno, iz jednačine (6.7) sledi da je
104
훽훿푆 = 푅 −12푔 푅 + Λ푔 훿푔 −푔푑4푥 = 0.(6.13)
U nastavku se pokazuje da se integral ∫푅 −푔푑 푥 može transformisati u odgovarajući integral ∫푄 −푔푑 푥, tako da važi jednačina (6.4), i traži se čemu je jednako 푄.
U tom smislu se polazi od sledeće poznate jednakosti
−푔푅 = −푔푔 푅 = −푔 −푔휕Γ휕푥 + 푔
휕Γ휕푥 + 푔 Γ Γ − 푔 Γ Γ (6.14)
S obzirom da važi
− −푔푔휕훤휕푥 = −
휕휕푥 −푔푔 훤 + 훤
휕휕푥 −푔푔 ,(6.14a)
kao i
−푔푔휕훤휕푥 = −
휕휕푥 −푔푔 훤 + 훤
휕휕푥 −푔푔 ,(6.14b)
Jednačina (6.14) postaje
−푔푅 = − −푔푔휕훤휕푥 +
휕휕푥 −푔푔 훤 + 훤
휕휕푥 −푔푔 −
−훤휕휕푥 −푔푔 + −푔푔 훤 훤 − −푔푔 훤 훤 ,
tj.
−푔푅 =휕휕푥 −푔 −푔 훤 + 푔 훤 + 훤
휕휕푥 −푔푔 −
−훤휕휕푥 −푔푔 + −푔푔 훤 훤 − 훤 훤 (6.15)
Pošto je
−푔푔 = √ 푔 + −푔 = −푔훤 푔 − −푔 훤 푔 + 훤 푔 , (6.15a)
odnosno 휕휕푥 −푔푔 =
휕 −푔휕푥 푔 + −푔
휕푔휕푥 = −푔훤 푔 − −푔 훤 푔 + 훤 푔 , (6.15b)
Jednačina (6.15) prelazi u
−푔푅 =휕 −푔푓
휕푥 + −푔 훤 훤 푔↔
− 훤 훤 푔↔
− 훤 훤 푔↔
−
− −푔 훤 훤 푔 − 훤 훤 푔↔
− 훤 훤 푔↔
+ −푔푔 훤 훤 − 훤 훤 .
Nakon naznačenih prenumerisanja nemih indeksa, određeni članovi se skrate i konačno se dobija
−푔푅 =휕 −푔푓
휕푥 + −푔푔 훤 훤 − 훤 훤 .(6.16)
105
Ovde je uvedena sledeća oznaka 푓 = −푔 훤 + 푔 훤 .(6.16a)
Ako se integralno skrati jednačina (6.16) po celom prostor-vremenu dobija se
−푔푅푑 푥 = −푔푄푑 푥 +휕휕푥 −푔푓 푑 푥 ,(6.17)
gde je 푄 = 푔 훤 훤 − 훤 훤 .(6.18)
Koristeći Gausovu teoremu, drugi integral na desnoj strani jednačine (6.17) može se transformisati u integral od 푓 po hiperpovršini koja sadrži razmatranu 4-dimenzionalnu zapreminu.
Prema tome, 휕휕푥 −푔푓 푑 푥 = 푓 푑휎 ,(6.19)
pa jednačina (6.17) postaje:
−푔푅푑 푥 = −푔푄푑 푥 + 푓 푑휎 .
Ako se potraži varijacija ovog izraza, može se pisati
훿 −푔푅푑 푥 = 훿 −푔푄푑 푥 + 훿 푓 푑휎 = 훿 −푔푄푑 푥 + (훿푓 )푑휎 .(6.20)
Kako je varijacija polja 푔 na granici oblasti integracije jednaka nuli, tj. 훿푔 = 0,
kao i 훿 = 0, onda je 훿푓 = 0 pa je takođe ∮ (훿푓 )푑휎 = 0. Na taj način, jednačina (6.20) konačno postaje
훿 푅 −푔푑 푥 = 훿 푄 −푔푑 푥 .(6.21)
Treba primetiti da je dejstvo 푆 za gravitaciono polje definisano pomoću jednačine (6.5)
훽푆 = (푅 − 2훬) −푔푑 푥.
Neki autori dejstvo 푆 definišu jednačinom
훽푆 = (푄 − 2훬) −푔푑 푥
odnosno, uzimaju da je gustina lagranžijana 퐿 = (푄 − 2훬). Naravno, pri tome treba imati u vidu da veličina 푄 definisana jednačinom (6.18), nije invarijanta. Treba primetiti da je
(푅 − 2훬) −푔푑 푥 ≠ (푄 − 2훬) −푔푑 푥
tj. da su odgovarajući integrali različiti. Međutim i pored toga važi jednakost njihovih varijacija, tj.
106
훿 (푅 − 2훬) −푔푑 푥 = 훿 (푄 − 2훬) −푔푑 푥 .(6.22)
Razmatra se sada dejstvo 푆 koje odgovara materiji. Pretpostavlja se da se stanje materije karakteriše gustinom lagranžijana ℒ . Takođe, pretpostavlja se da ℒ ne sadrži izvode od 푔 više od prvog reda. Uvodi se dejstvo 푆 pomoću jednakosti
1푐 푆 = ℒ 푑푉 = ℒ −푔푑 푥 .(6.23)
Integracija u ovoj jednačini se vrši po istoj 4-dimenzionoj zapremini kao i u (6.2).
U nastavku se traži varijacija dejstava materije. Ako se pođe od toga da je
ℒ = ℒ 푔 ,휕푔휕푥 ,
očigledno je 1푐 훿푆 = 훿 ℒ −푔푑 푥 = 훿ℒ −푔푑 푥 =
=휕 ℒ −푔
휕푔 훿푔 +휕 ℒ −푔
휕 푔휕푥
훿푔휕푥 푑 푥 .(6.24)
Drugi član u ovoj jednačini može se transformisati koristeći sledeći identitet:
휕 ℒ −푔
휕 푔휕푥
훿푔휕푥 =
휕휕푥
휕 ℒ −푔
휕 푔휕푥
훿푔 −휕휕푥
휕 ℒ −푔
휕 푔휕푥
훿푔 .(6.25)
Zamenom (6.25) u (6.24), nalazi se 훿푆 u obliku:
1푐 훿푆 =
휕 ℒ −푔휕푔 −
휕휕푥
휕 ℒ −푔
휕 푔휕푥
훿푔 푑 푥 +
+휕휕푥
휕 ℒ −푔
휕 푔휕푥
훿푔 푑 푥 .(6.26)
Poslednji integral u gornjoj jednačini, može se pomoću Gausove teoreme, transformisati u površinski integral, koji je, zbog uslova 훿푔 = 0, na granici oblasti integracije jednak nuli.
Na taj način, za varijacije dejstava materije može se pisati
훿푆 =푐2 푇 훿푔 −푔푑 푥 ,(6.27)
gde je
푇 =2−푔
휕 ℒ −푔휕푔 −
휕휕푥
휕 ℒ −푔
휕 푔휕푥
(6.28)
107
Konačno, sabiranjem jednačina (6.13) i (6.27), i izjednačavanjem 훿푆 sa nulom, dobija se:
훿푆 =푐
2휅 푅 −12푔 푅 + 훬푔 + 휅푇 −푔훿푔 푑 푥 = 0.(6.29)
Zbog toga što su varijacije 훿푔 proizvoljne, očigledno je da izraz u zagradi mora biti jednak nuli, pa sledi
푅 −12푔 푅 + Λ푔 = −휅푇 ,(6.30)
što predstavlja Ajnštajnove jednačine gravitacionog polja.
Simetrični tenzor 푇 koji, između ostalih, ulazi u ove jednačine i koji je definisan jednačinom (6.28), očigledno zadovoljava jednakost:
푇 ; = 0.(6.31)
Stoga tenzor 푇 može biti identifikovan kao tenzor energije-impulsa i zbog toga se on naziva tenzorom energije-impulsa materije. Ovaj tenzor je različit za razne fizičke sisteme što, naravno, zavisi od njihovih struktura i interakcija. Koliko je značajan ovaj tenzor govori i činjenica da je Ajnštajn u svome radu o opštoj teoriji relativnosti, iz 1916. godine, posvetio posebnu pažnju upravo tenzoru energije-impulsa 푇 .
108
ZAKLJUČAK
Cilj ovog master rada je da sagleda kroz prizmu matematike (konkretno diferencijalne geometrije) opštu teoriju relativnosti. U samom radu je izložen matematički aparat, koji je iskorišćen za izvođenje Ajnštajnovih jednačina, na kraju šestog poglavlja. U većini modernih knjiga i udžbenika iz OTR se matematički pojmovi, tvrđenja, dakle matematički aparat neophodan za razumevanje OTR,se ne objašnjava ništa detaljnije ni u onoj meri koja je neophodna za bolje razumevanje OTR. Izuzetno je teško uspostaviti harmoniju u izlaganju matematičke materije neophodne za funkcionisanje OTR, i same OTR, predstavljene sa stanovišta fizike. Dosta je teško teoriju OTR predstaviti da ne bude ni čista matematička a ni čisto teorija iz fizike. OTR je izuzetno zanimljiva oblast fizike, jer je donela revoluciju, kako u fizici, tako i u geometriji, gde je poljuljala klasično razmišljanje o euklidskom prostoru, za koji se više od dve hiljade godina smatralo da je jedina večita istina, da je to jedini model prostora koji postoji, ne samo na Zemlji, već i u čitavom svemiru. Ajnštajnove teorije (specijalna teorija relativnosti, opšta teorija relativnosti) su otvorile vrata za nastajanje novih teorija, koje su aktuelne u današnje vreme, kao što je teorija struna, teorija multiverzuma, koje možda i ne bi nastale da istorijski sled događaja nije doveo do nastanka OTR. STR je pokazala da prostor i vreme nisu nezavisni i apsolutni, već povezani delovi celine: prostor-vremena. U OTR je pokazano da prostor-vreme koje sadrži materiju nije statično i ravno, već dinamično i zakrivljeno, ne samo da dati prostor deluje na materiju, već i materija deluje na prostor (prema jednačini polja). Posledica rezultata OTR-a je da se euklidska geometrija, koja se smatrala neprikosnovenom dvadeset vekova, ne može primeniti na gravitaciono polje. OTR je specifično naučno polje gde je nejasna granica između matematike i fizike, one se prožimaju međusobno, tu se može videti simbioza ove dve nauke.
Autor se nada da je ovom master radu uspeo, bar u određenoj meri, da izvrši sintezu znanja iz diferencijalne geometrije, neophodnih za dalje proučavanje teorije relativnosti, koja je aktuelna i danas. Što se tiče određenih pojmova i tvrđenja koja u ovom radu, iz tehničkih razloga, nisu dostupna, autor upućuje zainteresovanog čitaoca na navedenu literaturu na kraju rada.
109
LITERATURA
[1] Бергман, П. Г.: Введение в теорию относительности, Государственное издательство иностранной литературы, Москва, 1947.
[2] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В.: Риманова геометрия в целом, „Мир“, Москва, 1971.
[3] Зельманов ,А. Л., Агаков, В. Г.: Элементы общей теории относительности, „Наука“, Москва,1989.
[4] Коренев, Г. В.: Тензорное исчисление, МФТИ, Москва 2000.
[5] Ландау ,Л. Д. И Лифшиц, Е. М.: Теоретическая физика, „Наука“, Москва, 1988.
[6] Мак-Витти, Г. К.: Общая теория относительности и космология, издательство иностранной литературы, Москва, 1961.
[7] Постников, M. M.: Риманова геометрия, „Факториал“, Москва, 1998.
[8] Рашевский, П. К.: Риманова геометрия и тензорный анализ, „Наука“, Москва, 1967.
[9] Сokoльников, И. С.: Тензорный анализ, теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред, „Наука“, Москва, 1971.
[10] Хокинг, С., Эллис, Дж.: Крупномасштабная структура пространства-времени, Издательство, „Мир“, Москва 1977.
[11] Aldrovandi,R., Pereira, J.G. : An Introduction to General Relativity, IFT, March-April/2004.
[12] Bertschinger, Edmund: Introduction to Tensor Calculus for General Relativity, Massachusetts Institute of Technology Department of Physics, 2000.
[13] Chern, S. S., Chen, W. H., Lam, K. S.: Lectures on differential geometry, 2000
[14] Gudmundsson, Sigmundur: An Introduction to Riemannian Geometry, Lund University, 2011.
[15] Heinbockel, J.H.: Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Department of Mathematics and Statistics Old Dominion University, 1996.
[16] Knill, Oliver: Introduction to Geometry and geometric analysis, Caltech University, 1995.
[17] Kunzinger, M.: Differential Geometry 1, Lecture notes, University of Vienna, 2008.
[18] Lugo, Gabriel: Differential Geometry in Physics, Department of Mathematical Sciences and Statistics,University of North Carolina at Wilmington, 1992., 1998., 2006.
[19] Macdonald, Alan: Elementary general relativity, Luther College, Decorah, IA USA, 2010.
[20] Pantić, M.: Uvod u Ajnštajnovu teoriju gravitacije, Novi Sad, 2005.
110
[21] Sharan, Pankaj: Spacetime geometry, Geometry and gravitation, Hindustan Book Agency, 2009.
[22] Waner, Stefan: Introduction to Differential Geometry & General Relativity, Departments of Mathematics and Physics, Hofstra University, 2005.
111
BIOGRAFIJA
Danijela Popović je rođena 30.10.1987. godine u Šapcu. Završila je Osnovnu školu
„Janko Veselinović“ u Cerovcu, sa prosekom ocena 5,00 u svim razredima. Upisala je smer mašinski tehničar za kompjutersko konstruisanje u „Posavotamnavskoj srednjoj školi“, u Vladimircima. Završila je srednjoškolsko obrazovanje kao nosilac Vukove diplome i đak generacije „Posavotamnavske srednje škole“.
Na Prirodno-matematički fakultet, odsek za matematiku, smer profesor matematike, se upisala 2006.godine i diplomirala 11.09.2012. sa prosečnom ocenom 9,43. Nakon završenih osnovnih studija, upisala je master studije na Prirodno-matematičkom fakultetu Univerziteta u Novom Sadu, smer diplomirani matematičar-nastava matematike. U septembru 2011. godine je položila sve ispite na master studijama, i time stekla pravo za odbranu master rada.
Danijela Popović
Novi Sad, 2012
112
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET
KLJUČNA DOKUMENTACIJSKA INFORMACIJA
Redni broj: RBR
Identifikacioni broj: IBR
Tip dokumentacije: Monografska dokumenatcija TD
Tip zapisa: Tekstualni štampani materijal TZ
Vrsta rada: Master rad VR
Autor: Danijela Popović AU
Mentor: dr Nevena Pušić MN
Naslov rada: Primena diferencijalne geometrije u teoriji relativnosti NR
Jezik publikacije: srpski (latinica) JP
Jezik izvoda: s / e JI
Zemlja publikovanja: Srbija ZP
Uže geografsko područje: Vojvodina UGP
Godina: 2012 GO
Izdavač: IZ
Mesto i adresa: Novi Sad, Departman za matematiku i informatiku, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Novom Sadu, Trg Dositeja Obradovića 4 MA
113
Fizički opis rada: (6, 115, 20, 0, 10, 0, 0) (broj poglavlja, broj strana, broj literarnih citata, broj tabela, broj slika, broj grafika, broj priloga) FO
Naučna oblast: Matematika NO
Naučna disciplina: Diferencijalna geometrija i teorija relativnosti ND
Predmetna odrednica / Ključne reči: fundamentalna teorema Rimanove geometrije, Ajnštajnov tenzor, kovarijantno diferenciranje, geodezijske linije, Ajnštajnove jednačine, zakrivljeni prostor, Riman-Kristofelov tenzor, prostor Minkovskog, tenzor PO
UDK:
Čuva se: Biblioteka Departmana za matematiku i informatiku Prirodno-matematičkog fakulteta Univerziteta u Novom Sadu ČU
Važna napomena: VU
Izvod: U radu je predstavljen matematički aparat, koji je neophodan za izvođenje Ajnštajnovih jednačina iz varijacionog principa. Date su i teoreme na kojima se temelji Rimanova geometrija, koja je neophodna za izvođenje zaključaka u Opštoj teoriji relativnosti, kao i osnovni pojmovi iz Diferencijalne geometrije (tenzori, geodezijske linije, kovarijantno diferenciranje). Cilj rada je sagledavanje Ajnštajnovih jednačina sa stanovišta fizike i matematike. IZ
Datum prihvatanja teme od strane NN veća: DP
Datum odbrane: DO
Članovi komisije: KO Predsednik: dr Sanja Konjik, docent, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Novom
Sadu Član: dr Nevena Pušić, redovni profesor, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u
Novom Sadu Član: dr Milan Pantić, redovni profesor, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u
Novom Sadu
114
UNIVERSITY OF NOVI SAD FACULTY OF SCIENCE AND MATHEMATICS
KEY WORDS DOCUMENTATION
Accession number: ANO
Identification number: INO
Document type: Monograph type DT
Type of record: Printed text TR
Contents Code: Master’s thesis CC
Author: Danijela Popović AU
Mentor: Nevena Pušić, Ph.D. MN
Title: Application of differential geometry in the theory of relativity TI
Language of text: Serbian LT
Language of abstract: English LA
Country of publication: Serbia CP
Locality of publication: Vojvodina LP
Publication year: 2012 PY
Publisher: PU
Publ. place: Novi Sad, Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science and Mathematics, University of Novi Sad, Trg Dositeja Obradovića 4 PP
115
Physical description: (6, 115, 20, 0, 10, 0, 0) (chapters, pages, references, tables, pictures, charts, supplements) PD
Scientific field: Mathematics SF
Scientific discipline: Differential Geometry and the theory of relativity SD
Subject / Key words: fundamental theorem of Riemanian geometry,Einstein’s tensor, covariant differentiation, geodesic lines, Einstein’s equations, curved space, Riemann-Christoffel tensor, Minkowski space, tensor SKW
UC:
Holding data: The Library of the Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science and Mathematics, University of Novi Sad HD
Note: N
Abstract: This paper presents a mathematical apparatus, which is necessary for the performance of Einstein's equations from the variational principle. There are also a theorems on which the Riemann geometry is based on, which is necessary for drawing conclusions in the general theory of relativity and the basic concepts from differential geometry (tensors, geodesics, covariant differentiation). Aim of this thesis is to see Einstein's equations from the standpoint of physics and mathematics. AB Accepted by Scientific Board on: ASB
Defended: DE
Thesis defend board: DB President: Sanja Konjik, Ph.D, assistant professor, Faculty of Science and Mathematics,
University of Novi Sad Member: Nevena Pušić, Ph.D, full professor, Faculty of Science and Mathematics,
University of Novi Sad Member: Milan Pantić, Ph.D, full professor, Faculty of Science and Mathematics,
University of Novi Sad
![Diferencijalne jednacine[1]](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5571f44c49795947648f4ebd/diferencijalne-jednacine1.jpg)
