Upload
miljan-veljovic
View
63
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
TEK Cetvoropoli
Citation preview
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Теорија електричних кола
Милка Потребић
Дејан Тошић
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Једначине електричног кола
Постављање и решавање
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Једначине кола
• Математички модел кола су једначине које пресликавају повезивање елемената (КЗ) и врсту елемената (ЈЕ)
• Променљиве кола су напони и струје грана (приступа)
• Систем једначина кола (СЈК) је скуп најмањег броја независних једначина из кога се могу одредити променљиве кола
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Број једначина кола
• Коло са b грана има 2b променљивих:b струја и b напона
• Систем једначина кола има 2b једначина
• Једначине елемената (ЈЕ) чине b једначина СЈК
• Кирхофови закони (КЗ) образују b једначина СЈК
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Једначине КЗ
• Једначина по Кирхофовим законима за струје (КЗС) има n
• Једначина по Кирхофовим законима за напоне (КЗН) има m
• Број грана стабла, n, је једнак броју једначина по КЗС
• Број спојница, m, је једнак броју једначина по КЗН
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Како постављамо КЗ?
• КЗС постављамо, обично, за све чворове осим једног
• КЗН обично постављамо за сва окца или за све главне (фундаменталне) контуре
• Постављању КЗ претходи усвајање смерова струја приступа (грана)
• Смерове напона усвајамо као стандардне
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Какав је састав једначина? (1)
• Посматраћемо временски-непроменљиве линеарне елементе
• КЗ су алгебарске једначине са коефицијентима +1 или –1
• Једначине резистивних елемената, као што су отпорник и зависни извори, су линеарне хомогене алгебарске једначине са константним коефицијентима
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Какав је састав једначина? (2)
• Једначине кондензатора су линеарне хомогене диференцијалне једначине првог реда са константним коефицијентима
• Једначине калемова су линеарне хомогене диференцијалне једначине првог реда са константним коефицијентима
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
СЈК је систем АДЈ
• Систем једначина кола (СЈК) је систем алгебарско-диференцијалних једначина
• СЈК решавамо на два основна начина:1) решавањем система једначина стања
2) решавањем једне једначине по једној изабраној променљивој – диференцијалне једначине одзива
• Обновите решавање диференцијалних једначина из курсева математике!
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Пример постављања СЈК
1R
2Rgu
L
C
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Обележавање чворова
1R
2Rgu
L
C
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Обележавање приступа
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Усвајање смерова струје
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Усвајање смерова напона
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Граф кола
p1
p2
p4p3
p5
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Стабло и спојнице
p1
p2
p4p3
p5
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Који су смерови пресека и контура?
• Чворни пресеци су усмерени од чвора: струја гране са смером од чвора улази у КЗС са плус предзнаком
• Контуре се усмеравају у правцу казаљке на сату: напон гране чији се смер поклапа са смером контуре улази у КЗН са плус предзнаком
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Пребрајање једначина
• Број грана је
• Број променљивих је
• Број чворова је
• Број грана стабла графа је
• Број једначина КЗС је
• Број спојница је
• Број једначина КЗН је
5b
4c102 b
31 cn
2 nbm
3n
2m
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Систем једначина кола
021 ii
0432 iii
0543 iii
05321 uuuu
043 uu
g1 uu
t
iLu
d
d 22
323 iRu
t
uCi
d
d 44
515 iRu
КЗС
КЗН
ЈЕ
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Променљиве кола
54321 ,,,, iiiii
54321 ,,,, uuuuu
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Вредности елемената
gu 21,,, RRLC
Вредности елемената који нису независни извори зову се параметри кола
Напони и струје независних извора зову се побуде, екситације, инпути или улази кола
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Mathematica1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
1R
2Rgu
L
C
p1
p2
p4p3p5
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Функције побуде
Одскочна и импулсна побуда
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Одскочна побуда
• Одскочна или Хевисајдова побуда је напон (или струја) који је константан за позитивно време а једнак нули за остале тренутке времена
• Одскочна побуда описује напон (или струју) који се од вредности нула за бесконачно кратко време успоставља на задату вредност
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Настанак одскочне побуде
gu
0 t
U
0,0
0,1)(
t
tt
)(g tUu
Јачина или скок побуде
Одскочна побуда се обележава и са )h(t
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Импулсна побуда
• Импулсна или Диракова побуда је напон (или струја) који бесконачно кратко траје а има коначан интеграл по оси времена
• Импулсна побуда описује процесе који се одигравају у занемарљиво малом интервалу времена у коме се практично тренутно размењује коначна енергија
Механичко тумачење: сила којом треба покренути предмет јединичне масе, који мирује, тако да предмет тренутно почиње да се једнолико креће јединичном брзином (а да важе закони класичне, Њутнове, механике).
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Настанак импулсне побуде
gi
0 t
Q0,0)δ( tt
)δ(g tQi
Јачина или удар побуде
1d)δ(
tt
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Делта функција као дистрибуција
• Јединична импулсна побуда се још назива и делта-функција
• Теорија дистрибуција и теорија генералисаних функција су математичке области које се баве специјалним функцијама као што је импулсна побуда
• Користићемо ставове (теореме) за рад са делта-функцијом не улазећи у доказе
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Својства делта функције
0,0)δ( tt
0,1d)δ(
atta
a
)δ()0()δ()( tfttf
0)δ(0 t
)δ(d
)(dt
t
t
f(t) је елементарна функција као што су полиноми, триг. функције, експ. и слично
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Четворополи
Једначине и примена
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Четворополи
1i 2i
1u 2u
p1 p2
Четворопол или двоприступна мрежа је мрежа са четири краја који образују два приступа
Граф четворопола
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Отпорнички четворопол
• Отпорнички или резистивни четворопол је двоприступна мрежа сачињена од елемената описаних алгебарском везом напона и струје, као што су отпорници и зависни извори
• Посматраћемо четворополе у којима нема независних извора
• Проучићемо једначине четворопола
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Једначине четворопола
• На приступима четворопола постоје четири променљиве, 2 напона и 2 струје
• Две променљиве се могу одабрати и изразити преко преостале две
• Постоји шест система од две једначине који описују четворопол
• Посматраћемо отпорнички четворопол
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Пример четворопола: Т-мрежа
1R 2R
3R
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Једначине Т-мреже
)(
)(
213222
213111
iiRiRu
iiRiRu
2221212
2121111
iriru
iriru
3222
321
312
3111
RRr
Rr
Rr
RRr
Једначине r-параметара
1i 2i
1u 2u
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Остале једначине четворопола
2221212
2121111
uдuдi
uдuдi
)(
)(
2222211
2122111
iauai
iauau
2221212
2121111
uhihi
uhihu
Погонски параметри
д-параметри
Хибридни параметри
1i 2i
1u 2u
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Како одређујемо параметре четворопола?
• Претпоставимо да на приступима делују извори (независни генератори) који стварају напоне и струје приступа (ове изворе не цртамо на шеми)
• Поставимо СЈК, а не постављамо две једначине за претпостављене изворе
• Уклонимо све променљиве осим напона и струја приступа (добијемо две једначине)
• Преуредимо две добијене једначине на облик који одговара траженим параметрима
• Препознамо тражене параметре као коефицијенте у преуређеним једначинама
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Представљање четворопола
11r 22r
212ir 121ir
2i1i
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Пасивност четворопола
• Отпорнички четворопол је пасиван ако је његова улазна снага ненегативна
• Из услова пасивности можемо одредити везу параметара, и обрнуто, на основу познатих параметара можемо испитати да ли је четворопол пасиван
• Четворопол сачињен од отпорника је пасиван• Четворопол је без губитака ако је његова
улазна снага једнака нули
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Пример услова пасивности
2221212
2121111
iriru
iriru
2211 iuiup
0p
221122211
2211
)(4
0,0
rrrr
rr
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Примена четворопола
• Четворополе користимо у заменским шемама када део кола представљамо двоприступном мрежом познатих параметара, на пример погонских
• Заменске шеме са четворополима дају прегледнију слику сложеног кола
• Четворополи обично представљају склопове или функционалне делове кола
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
ОТА жиратор
VCCS (OTA) 1
VCCS (OTA) 2
u1 u1д
u2u2д
1
0 0
2
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Риорданов жиратор
R 1
R 3
R 4
1
4
R 2
0
3
5
2
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Питања (1)
• Шта су променљиве кола?• Шта су једначине кола (систем једначина кола)?• Колико има променљивих кола, једначина кола,
једначина елемената, једначина КЗ, једначина КЗС, једначина КЗН?
• Какав је састав једначина кола (ког типа, облика, су једначине кола)?
• Шта је одскочна побуда?• Шта је Диракова побуда?• Која су својства делта-побуда?
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Питања (2)
• Шта је четворопол? Којим једначинама (параметрима) се он описује?
• Описати поступак за одређивање r-параметара четворопола.
• Како се може представити отпорнички четворопол помоћу зависних извора?
• Шта је пасиван четворопол? Извести услов пасивности преко r-параметара.
• Извести услов пасивности преко д-параметара.
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Задатак (1)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Задатак (2)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Задатак (3)
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Oliver Heaviside 1850–1925
Један од највећих прегалаца модерне електротехнике и Теорије електричних кола. Увео је одскочну функцију. Рођен у Лондону, Уједињено Краљевство.
"I do not refuse my dinner simply because I do not
understand the process of digestion."
Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор
Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.
Paul Dirac 1902–1984
Теоријски физичар. Добитник Нобелове награде. Увео је делта функцију. Рођен у Бристолу, Уједињено Краљевство.
"The aim of science is to make difficult things understandable in a simpler way."