50
ан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор а електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015. Теорија електричних кола Милка Потребић Дејан Тошић

TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Embed Size (px)

DESCRIPTION

TEK Cetvoropoli

Citation preview

Page 1: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Теорија електричних кола

Милка Потребић

Дејан Тошић

Page 2: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Једначине електричног кола

Постављање и решавање

Page 3: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Једначине кола

• Математички модел кола су једначине које пресликавају повезивање елемената (КЗ) и врсту елемената (ЈЕ)

• Променљиве кола су напони и струје грана (приступа)

• Систем једначина кола (СЈК) је скуп најмањег броја независних једначина из кога се могу одредити променљиве кола

Page 4: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Број једначина кола

• Коло са b грана има 2b променљивих:b струја и b напона

• Систем једначина кола има 2b једначина

• Једначине елемената (ЈЕ) чине b једначина СЈК

• Кирхофови закони (КЗ) образују b једначина СЈК

Page 5: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Једначине КЗ

• Једначина по Кирхофовим законима за струје (КЗС) има n

• Једначина по Кирхофовим законима за напоне (КЗН) има m

• Број грана стабла, n, је једнак броју једначина по КЗС

• Број спојница, m, је једнак броју једначина по КЗН

Page 6: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Како постављамо КЗ?

• КЗС постављамо, обично, за све чворове осим једног

• КЗН обично постављамо за сва окца или за све главне (фундаменталне) контуре

• Постављању КЗ претходи усвајање смерова струја приступа (грана)

• Смерове напона усвајамо као стандардне

Page 7: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Какав је састав једначина? (1)

• Посматраћемо временски-непроменљиве линеарне елементе

• КЗ су алгебарске једначине са коефицијентима +1 или –1

• Једначине резистивних елемената, као што су отпорник и зависни извори, су линеарне хомогене алгебарске једначине са константним коефицијентима

Page 8: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Какав је састав једначина? (2)

• Једначине кондензатора су линеарне хомогене диференцијалне једначине првог реда са константним коефицијентима

• Једначине калемова су линеарне хомогене диференцијалне једначине првог реда са константним коефицијентима

Page 9: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

СЈК је систем АДЈ

• Систем једначина кола (СЈК) је систем алгебарско-диференцијалних једначина

• СЈК решавамо на два основна начина:1) решавањем система једначина стања

2) решавањем једне једначине по једној изабраној променљивој – диференцијалне једначине одзива

• Обновите решавање диференцијалних једначина из курсева математике!

Page 10: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Пример постављања СЈК

1R

2Rgu

L

C

Page 11: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Обележавање чворова

1R

2Rgu

L

C

Page 12: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Обележавање приступа

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

Page 13: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Усвајање смерова струје

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

Page 14: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Усвајање смерова напона

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

Page 15: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Граф кола

p1

p2

p4p3

p5

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

Page 16: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Стабло и спојнице

p1

p2

p4p3

p5

Page 17: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Који су смерови пресека и контура?

• Чворни пресеци су усмерени од чвора: струја гране са смером од чвора улази у КЗС са плус предзнаком

• Контуре се усмеравају у правцу казаљке на сату: напон гране чији се смер поклапа са смером контуре улази у КЗН са плус предзнаком

Page 18: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Пребрајање једначина

• Број грана је

• Број променљивих је

• Број чворова је

• Број грана стабла графа је

• Број једначина КЗС је

• Број спојница је

• Број једначина КЗН је

5b

4c102 b

31 cn

2 nbm

3n

2m

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

Page 19: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Систем једначина кола

021 ii

0432 iii

0543 iii

05321 uuuu

043 uu

g1 uu

t

iLu

d

d 22

323 iRu

t

uCi

d

d 44

515 iRu

КЗС

КЗН

ЈЕ

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

Page 20: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Променљиве кола

54321 ,,,, iiiii

54321 ,,,, uuuuu

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

Page 21: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Вредности елемената

gu 21,,, RRLC

Вредности елемената који нису независни извори зову се параметри кола

Напони и струје независних извора зову се побуде, екситације, инпути или улази кола

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

Page 22: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Mathematica1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

1R

2Rgu

L

C

p1

p2

p4p3p5

Page 23: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Функције побуде

Одскочна и импулсна побуда

Page 24: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Одскочна побуда

• Одскочна или Хевисајдова побуда је напон (или струја) који је константан за позитивно време а једнак нули за остале тренутке времена

• Одскочна побуда описује напон (или струју) који се од вредности нула за бесконачно кратко време успоставља на задату вредност

Page 25: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Настанак одскочне побуде

gu

0 t

U

0,0

0,1)(

t

tt

)(g tUu

Јачина или скок побуде

Одскочна побуда се обележава и са )h(t

Page 26: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Импулсна побуда

• Импулсна или Диракова побуда је напон (или струја) који бесконачно кратко траје а има коначан интеграл по оси времена

• Импулсна побуда описује процесе који се одигравају у занемарљиво малом интервалу времена у коме се практично тренутно размењује коначна енергија

Механичко тумачење: сила којом треба покренути предмет јединичне масе, који мирује, тако да предмет тренутно почиње да се једнолико креће јединичном брзином (а да важе закони класичне, Њутнове, механике).

Page 27: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Настанак импулсне побуде

gi

0 t

Q0,0)δ( tt

)δ(g tQi

Јачина или удар побуде

1d)δ(

tt

Page 28: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Делта функција као дистрибуција

• Јединична импулсна побуда се још назива и делта-функција

• Теорија дистрибуција и теорија генералисаних функција су математичке области које се баве специјалним функцијама као што је импулсна побуда

• Користићемо ставове (теореме) за рад са делта-функцијом не улазећи у доказе

Page 29: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Својства делта функције

0,0)δ( tt

0,1d)δ(

atta

a

)δ()0()δ()( tfttf

0)δ(0 t

)δ(d

)(dt

t

t

f(t) је елементарна функција као што су полиноми, триг. функције, експ. и слично

Page 30: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Четворополи

Једначине и примена

Page 31: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Четворополи

1i 2i

1u 2u

p1 p2

Четворопол или двоприступна мрежа је мрежа са четири краја који образују два приступа

Граф четворопола

Page 32: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Отпорнички четворопол

• Отпорнички или резистивни четворопол је двоприступна мрежа сачињена од елемената описаних алгебарском везом напона и струје, као што су отпорници и зависни извори

• Посматраћемо четворополе у којима нема независних извора

• Проучићемо једначине четворопола

Page 33: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Једначине четворопола

• На приступима четворопола постоје четири променљиве, 2 напона и 2 струје

• Две променљиве се могу одабрати и изразити преко преостале две

• Постоји шест система од две једначине који описују четворопол

• Посматраћемо отпорнички четворопол

Page 34: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Пример четворопола: Т-мрежа

1R 2R

3R

Page 35: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Једначине Т-мреже

)(

)(

213222

213111

iiRiRu

iiRiRu

2221212

2121111

iriru

iriru

3222

321

312

3111

RRr

Rr

Rr

RRr

Једначине r-параметара

1i 2i

1u 2u

Page 36: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Остале једначине четворопола

2221212

2121111

uдuдi

uдuдi

)(

)(

2222211

2122111

iauai

iauau

2221212

2121111

uhihi

uhihu

Погонски параметри

д-параметри

Хибридни параметри

1i 2i

1u 2u

Page 37: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Како одређујемо параметре четворопола?

• Претпоставимо да на приступима делују извори (независни генератори) који стварају напоне и струје приступа (ове изворе не цртамо на шеми)

• Поставимо СЈК, а не постављамо две једначине за претпостављене изворе

• Уклонимо све променљиве осим напона и струја приступа (добијемо две једначине)

• Преуредимо две добијене једначине на облик који одговара траженим параметрима

• Препознамо тражене параметре као коефицијенте у преуређеним једначинама

Page 38: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Представљање четворопола

11r 22r

212ir 121ir

2i1i

Page 39: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Пасивност четворопола

• Отпорнички четворопол је пасиван ако је његова улазна снага ненегативна

• Из услова пасивности можемо одредити везу параметара, и обрнуто, на основу познатих параметара можемо испитати да ли је четворопол пасиван

• Четворопол сачињен од отпорника је пасиван• Четворопол је без губитака ако је његова

улазна снага једнака нули

Page 40: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Пример услова пасивности

2221212

2121111

iriru

iriru

2211 iuiup

0p

221122211

2211

)(4

0,0

rrrr

rr

Page 41: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Примена четворопола

• Четворополе користимо у заменским шемама када део кола представљамо двоприступном мрежом познатих параметара, на пример погонских

• Заменске шеме са четворополима дају прегледнију слику сложеног кола

• Четворополи обично представљају склопове или функционалне делове кола

Page 42: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

ОТА жиратор

VCCS (OTA) 1

VCCS (OTA) 2

u1 u1д

u2u2д

1

0 0

2

Page 43: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Риорданов жиратор

R 1

R 3

R 4

1

4

R 2

0

3

5

2

Page 44: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Питања (1)

• Шта су променљиве кола?• Шта су једначине кола (систем једначина кола)?• Колико има променљивих кола, једначина кола,

једначина елемената, једначина КЗ, једначина КЗС, једначина КЗН?

• Какав је састав једначина кола (ког типа, облика, су једначине кола)?

• Шта је одскочна побуда?• Шта је Диракова побуда?• Која су својства делта-побуда?

Page 45: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Питања (2)

• Шта је четворопол? Којим једначинама (параметрима) се он описује?

• Описати поступак за одређивање r-параметара четворопола.

• Како се може представити отпорнички четворопол помоћу зависних извора?

• Шта је пасиван четворопол? Извести услов пасивности преко r-параметара.

• Извести услов пасивности преко д-параметара.

Page 46: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Задатак (1)

Page 47: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Задатак (2)

Page 48: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Задатак (3)

Page 49: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Oliver Heaviside 1850–1925

Један од највећих прегалаца модерне електротехнике и Теорије електричних кола. Увео је одскочну функцију. Рођен у Лондону, Уједињено Краљевство.

"I do not refuse my dinner simply because I do not

understand the process of digestion."

Page 50: TeorijaEKola02 Jednacine Pobude Cetvoropoli

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Др Милка Потребић, ванредни професор

Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2015.

Paul Dirac 1902–1984

Теоријски физичар. Добитник Нобелове награде. Увео је делта функцију. Рођен у Бристолу, Уједињено Краљевство.

"The aim of science is to make difficult things understandable in a simpler way."