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1
7. FLUJO DE GAS BAJO CONDICIONES ESTABLES
Nomenclatura
Simbolo Dimensiones
A Área L2
C Constante de conversión de unidades
D Diámetro L
d diámetro en unidades prácticas
E Eficiencia de flujo
e Rugosidad absoluta L
Rugosidad relativa adimensional
f Factor de fricción adimensional
g Aceleración de la gravedad 32,2 ft/s2
9.8 m/s2
h entalpía específica L2/t
2
L Longitud
l Longitud en unidades prácticas
M Peso molecular
m Masa
NRe Número de Reynolds adimensional
P Presión M/Lt2
Pb Presión base
q Tasa de flujo L3/t
q Calor ML2/t
2
qb Tasa de flujo a condiciones base L3/t
qsc Tasa de flujo a condiciones base en unidades
prácticas
R Constante universal de los gases
S Entropía ML2/t
2T
t Tiempo
T Temperatura
u Velocidad, flujo volumétrico L/t
v Volumen específico L3/m
W Trabajo mL2/t
2
w Trabajo específico L2/t
2
x Distancia L
Z Factor de compresibilidad de los gases adimensional
z altura L
2
Introducción
La tubería es el medio de transporte más común para llevar el gas de un sitio a otro, aunque
cuando ya las distancias son demasiado grandes en algunos casos se tiene que transportar el
gas en tanqueros (metaneros). El gas puede viajar por tuberías a presiones altas o bajas, en
el primer caso por ejemplo cuando se tienen redes de recolección, gasoductos o redes de
inyección en sistemas de bombeo neumático, en el segundo caso, por ejemplo, cuando se
tienen redes de distribución de gas.
7.1 Ecuación General para Flujo de Gas en Tuberías (2, 12)
El problema de flujo en tuberías para cualquier fluido se puede analizar partiendo de la
primera ley de la termodinámica o ley conservación de energía, la cual se puede expresar en
unidades de energía por libra masa como:
21h u g z q w
2
(7.1)
donde:
h : Cambio en entalpia
u2 : Cambio en el cuadrado de velocidad
z : Cambio en altura
q : Calor entregado o recibido por el fluido
w : Trabajo realizado por o sobre el fluido
Para el caso de flujo de gas, se pueden hacer las siguientes suposiciones:
u2= 0
z= 0
T= Constante (flujo isotérmico)
w= 0
o sea que la ecuación (7.1) queda como:
h q (7.2)
Pero de acuerdo con la termodinámica:
h T s v P
o en forma diferencial:
dh Tds vdP
y
wTds dq dL
o sea que llevando estas tres últimas expresiones a la ecuación (7.2) se tiene:
wvdP dL 0 (7.3)
donde dLw se conoce como las pérdidas irreversibles de energía ocasionadas, por ejemplo,
por fricción, y v y P son volumen específico y presión respectivamente .
3
Se tienen varias expresiones para calcular dLw, una de las más conocidas es la ecuación de
Moody la cual tiene la siguiente forma: 2
WdL fu
dL 2D
(7.4)
donde:
u : velocidad del fluido,
L : longitud a través de la cual ocurre las pérdidas de energía,
D : Diámetro de la tubería
Llevando la ecuación (7.4) a la ecuación (7.3) se tiene: 2fu dL
vdP 02D
(7.5)
pero volumen específico es el inverso de densidad y de acuerdo con la expresión para
calcular la densidad de un gas:
ZRTv
PM
donde P y T son las condiciones de presión y temperatura a las que se encuentra el gas, M
es el peso molecular del mismo , R la constante universal de los gases cuyo valor depende
de las unidades usadas para las variables de la ecuación de estado y Z es el factor de
compresibilidad..
Además:
qu
A
y si se expresa q en términos de volumen medido a condiciones base se tiene:
bb
b b
P T Zq q
P T Z
donde el subíndice b se refiere a condiciones base y qb es la tasa de flujo de gas medida a
condiciones base; o sea que entonces velocidad queda como:
bb
b b
P T Z 1u q
P T Z A
bb 2
b b
P T Z 4u q
P T Z D
y llevando las expresiones anteriores a la ecuación (7.5), recordando que M=29g y Zb =1,
se tiene: 22 2 2
2 bb 5
g b
PZRT f 4 T ZdP *q dL
P*29 2 T P D
Simplificando y separando variables, se puede escribir:
4
1
2
2 pL
b b
5 0b g p
q Pf R 1 PdP0,8106 dL
D T 29 ZT
y después de integrar y despejar qb
1
2
0,50,5 5P
bb
Pb g
TR D PdPq
29*0,8106 P f L ZT
la cual , finalmente se puede dejar como
1
2
0,55
Pb
bP
b g
T D PdPq C
P f L ZT
(7.6)
donde C es una constante que depende de las unidades usadas para las variables. Cuando se
usan unidades absolutas del sistema internacional (SI), la constante vale 18,8 y cuando se
usan unidades absolutas del sistema inglés la constante vale 46,1
La ecuación (7.6) es la forma general de la ecuación de flujo para gas en tuberías
suponiendo flujo horizontal y en estado estable. Se conoce como la ecuación de Clinedinst
y para aplicarla se requiere resolver el integral el cual se transforma en términos de la
presión y temperatura seudorreducida y su valor se puede obtener de tablas existentes en la
literatura.(ver referencia 1)
Una forma más común de la ecuación general par flujo de gas en tuberías se obtiene de la
ecuación (7.6) tomando las variables Z y T como valores promedios y constantes , lo cual
permite sacarlas del integral y además efectuar analíticamente éste ; la ecuación queda de la
siguiente forma: 0,5
5 2 2
b 1 2b g
b g
T d *(P P )q C
P f LZT
(7.7)
donde Z y T son los valores promedios de Z y T tomados como constantes, Cg es una
constante que depende de las unidades de las variables. La tabla 27 muestra valores de Cg
para diferentes grupos de unidades en los sistemas SI e Inglés.
Con respecto a la ecuación (7.7) se debe hacer claridad sobre los factores Z y f. Z es el
factor de compresibilidad calculado a condiciones promedias, P y T . Con respecto aT,
normalmente se considera flujo isotérmico y por tanto T = T = temperatura de flujo; en
cuanto a la presión ésta sí varía ampliamente y por lo tanto se deben proponer formas de
calcular un valor promedio, y entre las más conocidas se tienen
2
PPP 21
2
2
2
1
3
2
3
1
PP
PP
3
2P
(7.8)
(7.9)
5
Tabla 27. Valores de la constante Cg en la ecuación (53) para diferentes grupos de unidades en los sistemas
inglés y S.I.
Grupo
Unidades
qh P T d L C
Sistema
Inglés
1
2
3
4
PC/s
PC/hr
MPC/D
KPC/D
lb/pie.S2
lpca
lpca
lpca
°R
°R
°R
°R
pie
pulg.
pulg.
pulg.
pie
milla
milla
pie
32,64
3,23
7,75210-5
5,633
Sistema
Métrico
(S.I)
1
2
3
4
5
m3/s
m3/hr
m3/hr
m3/D
m3/D
Pa
kPa
kPa
kPa
bars
K
K
K
K
K
m
cms
mm
mm
mm
m
m
km
km
km
13,36
0,4786
4,78610-5
1,1510-3
1,1510-3
o también se puede calcular Z de
ZZ Z
1 2
2
(7.10)
La ecuación (7.9) se obtiene de la siguiente manera (2)
:
La presión promedia también se puede plantear de la siguiente forma: Supongamos que se
tuviera un gráfico del comportamiento de la presión con la distancia, o sea:
De acuerdo con el Teorema del valor medio: L
0
2
P(x)dx
PX
(7.11)
o sea que si se tuviera una expresión para P(x) se podría calcular la integral P entre 0 y X2
6
Una expresión para P(x) se puede obtener así: Supongamos un punto cualquiera x entre 0 y
X2; en tal punto se puede establecer aplicando la ecuación general de flujo en tuberías
(ecuación (7.7)):
b
1/2 1/22 2
5b 1g
b g
T P P1q C d
P xZT f
1/2 1/22 2
5b 2g
b 2g
T P P1C d
P X xZT f
De estas dos expresiones se puede obtener: 2 2 2 2
1 2P P P P
x L x
, donde L = X2
1/2
2 2 2
1 1 2
xP P P P
L
(7.12)
Llevando la ecuación (7.12) a la (7.11) se tiene:
0.5L
2 2 2L
3/21 1 20
2 2 2
1 1 22 2
1 2 0
xP P P dx
2 1 x 1LP L P P P
L 3 L LP P
3/2
2 2 2 2
1 1 2 12 2
1 2
2 1P P P P
3 P P
3 3
1 2
2 2
1 2
P P2
3 P P
(7.9)
El factor 1
f se conoce como factor de transmisión.
1
f
El factor de fricción f, depende de un parámetro conocido como número de Reynolds y de
la rugosidad de la tubería, aunque cuando el número de Reynolds es grande f, depende
solamente de la rugosidad de la tubería.
El número de Reynolds se define como:
Re
uDN
donde:
: Densidad del fluido
u : Velocidad del fluido
D : Diámetro de la tubería
: Viscosidad del fluido
7
El término u se conoce como flujo másico que es tasa másica por unidad de área y se
representa por G, o sea que la expresión anterior quedaría como:
g
Re
q *DGDN
A
y cuando se da la tasa de flujo en términos de qb y se reemplaza por su definición a partir
de la ecuación de estado de los gases , se tiene
gbRe b
b
PN C q
T D
(7.13)
donde C es una constante que depende de las unidades usadas para las variables y las
variables conservan las definiciones que se han venido dando en el texto. Cuando se usan
unidades absolutas del sistema inglés el valor de C es 7.42*10-4
y cuando se usan unidades
absolutas del sistema SI el valor de C es 0.0044, y cuando se usan las siguientes unidades
de campo del sistema inglés: P en Lpc., q en KPCN/D, en cp. , y D en pulgadas, la
constante es 711.8
La expresión para NRe dada por la ecuación (7.13) es para el caso particular en el que el
conducto sea circular. La expresión general para Nre es
eRe
udN
(7.14)
donde de es el diámetro equivalente y es igual a 4 veces el radio hidráulico definido por
MojadoPerimetro
FlujodeAreaR h
Para el caso de un conducto circular:
AT = d2/4 2r = d = Perímetro mojado.
4
d
d
4d
R
2
h
de = 4Rh = d
para el caso de flujo anular:
2 2
o id dÁrea de Flujo:
4
Perímetro Mojado : do di
2 2
o i
o i o i
h
o i o i
d dd d d d14R
d d 4 d d
o id d
4
(7.15)
e o i hd d d 4*R
8
De acuerdo con el valor del número de Reynolds se define el régimen de flujo y de acuerdo
con éste último se tienen expresiones para calcular f, de la siguiente manera (2)
.
Flujo laminar (NRe < 2.000)
5,0
ReN125,0f
1
(7.16)
Flujo crítico (2.000 < NRe < 4.000)
0,15
Re
11,4142N
f
(7.17)
Flujo de transición
1,16
Re
D4.000 <N < 200
e
Re
1 e 9,341,14 2log
Df N f
(7.18)
Flujo turbulento
1,16
Re
DN > 200
e
D
elog214,1
f
1
(7.19)
En las expresiones anteriores D es el diámetro de la tubería y e es la rugosidad absoluta o
sea la magnitud de las irregularidades que se presentan en la superficie de la tubería.
Ikoku (8)
, plantea la siguientes expresiones para calcular el factor de fricción considerando
que solo hay dos regímenes de flujo: laminar y turbulento. La expresión para el flujo
laminar es la ecuación (7.16), pero cuando se tiene flujo turbulento la expresión para f
depende de si se trata de tuberías suaves o rugosas.
Para tuberías suaves: -0,32
Ref = 0,0056 + 0,5N (7.20)
La ecuación (7.20) se conoce como ecuación de Drew - Koo y McAdams y se aplica para
NRe entre 3103 y 310
6.
Cuando se trata de tuberías rugosas se utiliza la ecuación de Colebrook and White:
Re
1 2e 18,71,74 2log
Df N * f
(7.21)
9
La ecuación (7.21) tiene la desventaja de que no es explícita en f y por tanto para hallarlo se
debe recurrir a ensayo y error.
Una ecuación posterior, de (1976), la de Colebrook es de (1939), es la de Jain(9)
9,0
ReN
25,21
D
elog214,1
f
1
(7.22)
Las ecuaciones (7.21) y (7.22) son las más usadas para obtener f.
En el caso de flujo de gas se acostumbra generalmente hablar, para valores de NRe > 2000,
de flujo parcialmente turbulento y flujo totalmente turbulento(10)
. Se habla de flujo
parcialmente turbulento cuando cerca a la pared de la tubería hay una zona de fluido donde
aún permanece el flujo laminar y en la parte central de la tubería hay flujo turbulento;
cuando desaparece la zona de flujo laminar se habla de flujo totalmente turbulento.
En general, en la zona de flujo parcialmente turbulento el factor de fricción depende del
número de Reynolds y en la zona totalmente turbulento depende de la rugosidad relativa de
la tubería y para un valor dado de esta variable se mantiene constante con el número
Reynolds.
El régimen parcialmente turbulento está muy asociado con tuberías lisas (de baja
rugosidad) y para obtener f
1 se plantea una expresión conocida como ley de flujo en
tuberías lisas, dada por
f1
Nlog4
f
1 Re
(7.23)
Por otro lado el flujo totalmente turbulento está asociado con tuberías rugosas (rugosidad
alta) y el factor de transmisión
f1 se calcula con una expresión conocida como ley de
flujo en tuberías rugosas, dada por
7,3log4
f
1
(7.24)
donde es la rugosidad relativa de la tubería.
Para aplicar la ecuación (7.23) o (7.24) es necesario definir si se tiene flujo parcialmente
turbulento o totalmente turbulento y aunque existen procedimientos para ello(10)
, un criterio
aproximado es que para valores de NRe entre 4.000 y 500.000 se puede considerar flujo
parcialmente turbulento y para valores de NRe mayores de 500.000 se considera flujo
totalmente turbulento.
10
Es importante además observar que para calcular f usando la ecuación (7.23) se debe
recurrir a un proceso de ensayo y error, y para aplicar la ecuación (7.24) se requiere
conocer ; las referencias (2), (9) y (10) muestran criterios para determinar este valor.
Serghides (10)
partiendo de la ecuación de Colebrook y aplicando un método numérico
iterativo para su solución obtuvo una expresión para calcular directamente el factor de
fricción f.
La ecuación de Colebrook usada por Serghides fué
Re
e1 2,51D2log
3,7f N f
(7.25)
y llego a la siguiente expresión de tres parámetros, que es válida para NRe > 2100 y
cualquier valor de rugosidad relativa (/D):
2
2B A
f AC 2B A
(7.26)
donde,
Re
e12DA 2log
3,7 N
Re
e2,51ADB 2log
3,7 N
Re
e2,51BDC 2log
3,7 N
(7.27)
(7.28)
(7.29)
Serghides además hizo un estudio comparativo de la ecuación (7.25) y otras 7 ecuaciones
comunes usadas para calcular f y encontró que la ecuación propuesta por él arrojaba
desviaciones promedia y máxima de 0.0002% y 0.0023% respectivamente; mientras las
demás ecuaciones la de mejor comportamiento mostraba para estas mismas variables
valores de 0,027% y 0,138% respectivamente.
Finalmente, f se puede obtener de gráficos existentes en la literatura como los que se
muestran en las figuras 82 y 83, pero se debe tener claro que cuando se vaya a determinar f
de gráficos (Moody o Fanning) es necesario saber de cual gráfico se trata pues fMoody = 4
fFanning; el criterio de aclaración es que en el gráfico de Moody f = 0.064 cuando NRe =
1.000 y en el de Fanning f = 0,016 cuando NRe = 1.000.
Cuando no se conoce la rugosidad de la tubería se recomienda los siguientes valores para
las rugosidades absolutas en pulgadas:
Tubería de Producción nueva: t = 0,0006
11
Figura 82. Factor de Fricción de Moody.
12
Figura 83. Factor de Fricción de Fanning
Línea de Flujo: t = 0,0007
Tubería Galvanizada t = 0,006
Tubería Recubierta t = 0,01 – 0,1
Ejemplo 7.1
Un gas de g = 0.7 y g = 0.2 cp fluye a 30 pies/s a través de una tubería de 6 pulgadas de
diámetro. La tubería es de acero comercial y es nueva.
Calcular f por:
Ecuación de Colebrook
Ecuación de Jain
Ecuación de Serghides
13
Gráficos
Solución
Calculo de qg (Suponiendo flujo a condiciones normales)
2
g
86.400q u*A = 30*( d / 4)
1.000
26 86.400
= 30*4 12 1.000
508,94 KPCN / D
Cálculo de Rugosidad
Para una tubería nueva de acero comercial se toma como rugosidad absoluta 0.00015 pies;
o sea que:
0003,0
126
00015,0
D
e
Cálculo por Método de Jain
9,0
ReN
25,21
D
eLog*214,1
f
1
El número de Reynolds, usando ecuación (7.13), es:
gbRe g
b
PN 711,8 *q
T D
14,7 0,7711 * *508,94*
520 0,02*6
59671,6 → Flujo Turbulento
4
0,9
1 21,251,14 2log 3*10
59.671,6f
f 0,0212
Método de Colebrook:
Supongamos inicialmente para f un valor 0,021, y el valor calculado será, usando
ecuación (65): 2
Re
1f
e 18,71,74 2log 2
D N 0,021
= 0,0213
14
Método de Serghides: Usando las ecuaciones (7.25) - (7.28) se tiene:
Re
e12DA 2log 7,1
3,7 N
Re
e2,51ADB 2log 6,8439
3,7 N
Re
e2,51BDC 2log 6,8666
3,7 N
02122,0
AB2C
ABAf
22
7.2. Ecuaciones Prácticas para Flujo de Gas (12)
Observando la ecuación general para el flujo de gas en tuberías ecuación (7.7) y el
procedimiento para calcular f 1
f
se encuentra que la aplicación de esta ecuación es un
proceso de ensayo y error (si se desconoce qb y/o d), por lo tanto para simplificar un poco
esta ecuación se han propuesto diferentes alternativas para manejar el término relativo al
factor de fricción.
El término 1/ f de la ecuación (7.7) se ha llamado factor de transmisión y de acuerdo a la
forma como se considere este factor se tienen tres tipos de ecuaciones así:
Factor de transmisión constante
Factor de transmisión en función del diámetro de la tubería
Factor de transmisión en función del número de Reynolds
El primer caso será para cuando se tiene flujo laminar, el segundo caso, como ya se
mencionó , será aplicable al régimen totalmente turbulento y el tercero al régimen
parcialmente turbulento.
Esto ha dado origen a varias ecuaciones para analizar el flujo de gas en tuberías, y se verán
a continuación algunas de las más usadas en las diferentes situaciones donde es común
trabajar con flujo de gas: redes de recolección y gasoductos, redes de distribución y redes
domiciliarias.
15
7.2.1. Ecuación de Weymouth.
Se obtiene reemplazando el factor de transmisión en la ecuación (7.7) por la siguiente
expresión:
1/61C*d
f
(7.30)
donde d es el diámetro de la tubería y C es una constante que depende de las unidades de d.
Cuando d está en pies, C = 8.46 y cuando d está en metros, C = 10.31
Llevando la ecuación (7.30) a la ecuación (7.7) se obtiene la siguiente expresión general
para la ecuación de Weymouth:
0,5
16/30,5
2 2bb w 1 2
b g
T dq C P P
P ZTL
(7.31)
donde Cw es la constante de la ecuación de Weymouth y las demás variables ya fueron
definidas en la ecuación (7.7).
El valor de Cw depende de las unidades usadas para las variables . La tabla 28 muestra el
valor para esta constante cuando se usan diferentes grupos de unidades en los sistemas
inglés e internacional.
De acuerdo con la ecuación (7.30) la ecuación de Weymouth se aplica a flujo totalmente
turbulento y generalmente se recomienda para presiones medias ( entre 100 y 500
lpca.(690.5 y 3452 Kpa.)) y diámetros medios (entre 6 y 12 pulgs. (152 y 305
mm)),situación que normalmente se da en redes de distribución primarias.
De acuerdo con la ecuación (7.30) la ecuación de Weymouth se aplica a flujo totalmente
turbulento y generalmente se recomienda para presiones medias (entre 100 y 500 lpca.
(690.5 y 3452 Kpa.)) y diámetros medios (entre 6 y 12 pulgs. (152 y 305 mm)), situación
que normalmente se da en redes de distribución primarias.
Tabla 28. Constante de la Ecuación de Weymouth para Diferentes Grupos de Unidades en los Sistemas Inglés
y S.I. de Unidades.
Grupo
Unidades
qh P T L d Cw
Sistema Inglés
1
2
3
4
PC/s
MPC/D
KPC/D
PC/hr.
Lbm/pie.s2
lpca
lpca
Lpca.
°R
°R
°R
°R
pie
millas
millas
millas
pie
pulgs.
pulgs.
pulg.
276.1344
4.33*10-4
4.33*10-1
18.062
Sistema
Internacional,
S.I
1
2
3
4
5
m3/s
m3/hr
m3/hr
m3/D
m3/D
Pa
kPa
kPa
kPa
bars.
K
K
K
K
K
m
m
kms
kms
kms
m
cms
mm
mm
mm
137.75
2.301
1.568*10-4
3.76*10-3
3.76*10-3
16
7.2.2. Ecuación de Panhandle.
Esta ecuación aplica para f
1 una expresión en términos del número de Reynolds, y
mientras que la ecuación de Weymouth se aplica a condiciones de presiones medias y
diámetros medios, la de Panhandle se recomienda para presiones altas (mayores de 500
lpca. (3452 Kpa.)) y diámetros grandes (mayores de 12 pulgs. ( 305 mm.)) .
Se tiene dos versiones de la ecuación de Panhandle conocidas como ecuaciones A y B de
Panhandle, como la B es la más reciente se mostrará esta última.
La expresión propuesta por Panhandle para f1 es
0,01961
Re
116,7*N
f
(7.32)
donde NRe es el número de Reynolds que para el caso de flujo de gas en tuberías se puede
calcular de acuerdo con la ecuación (7.13).
De acuerdo con la ecuación (7.32), la ecuación de Panhandle es aplicable al régimen
parcialmente turbulento ya que f es función de Nre.
Llevando la ecuación (7.13) a la (7.32) y luego esta a la ecuación (7.7) se obtiene la
siguiente expresión como la ecuación de Panhandle 0,51
2 22,53
b 1 2b p 0,49 0,020
b g g
T P Pd 1q C
P ZTL
(7.33)
donde Cp es la constante de la ecuación de Panhandle y su valor depende de las unidades
utilizadas para las variables. La tabla 29 muestra valores de Cp para diferentes grupos de
unidades en los sistemas inglés y S.I.
Tabla 29. Valores para Cp en la Ecuación (7.33) para diferentes Grupos de Unidades en los Sistemas Inglés
y S.I. (métrico).
Grupo
Unidades
qh P T L d g C
Sistema
Inglés
1
2
3
4
PC/s
PC/hr
MPC/D
kPC/D
Lbm./pie.s2
lpca
lpca
lpca
°R
°R
°R
°R
pies
millas
millas
millas
pies
pulg.
pulg.
pulg.
lb/pie.seg
cp.
cp.
cp.
535.2985
62.059
1.4910-3
1.49
Sistema
S.I
1
2
3
4
5
m3/s
m3/hr
m3/hr
m3/D
m3/D
Pa
kPa
kPa
kPa
bars
K
K
K
K
K
m
m
kms
kms
kms
m
cms
mm
mm
mm
Pa.s
mPa.s
mPa.s
mPa.s
mPa.s
222.88
9.2153
8.026*10-4
1.926*10-2
2.11*10-2
17
7.2.3. Ecuación de Spitzglass
Esta ecuación es aplicable a casos de caída de presión baja y presiones bajas (menores de
30 lpc.(207 Kpa.)) asociadas a tasas de flujo y tamaños de tubería bajos ( menores de 4
pulgs. (10.2 mm.)).
Aplica para f
1 la siguiente expresión
0,5
12
1 100
Cf 1 C *dd
(7.34)
donde d es el diámetro de la tubería y C1 y C2 son constantes que dependen de las unidades
utilizadas para el diámetro. En el sistema inglés C1 = 3,6 y C2 = 0,03 cuando el diámetro
está en pulgadas y C1 = 0.3 y C2 = 0.036 cuando el diámetro está en pies. En el sistema S.I.
C1 = 91,44 y C2 = 1,18*10-3
cuando el diámetro está en mm, C1 = 9,144 y C2 = 1,18*10-2
cuando el diámetro está en centímetros y C1 = 0,09144 y C2 = 1,18 cuando el diámetro
está en metros.
Algunos autores presentan la ecuación (7.34) con una constante de 88,5 en lugar de
100.(ref.10, pag.88)
Según la ecuación (7.34), la ecuación de Spitzglass es aplicable al régimen completamente
turbulento.
Spitzglass manipula la ecuación (7.34) de la siguiente manera:
2121
2
2
2
1 PPPPPP
1 2P P P
supone que
P2 0,9 P1 y por tanto (P1 +P2) 1,9P1, T = 520°R en el sistema inglés y 298,8K en
sistema S.I., Z=1.
Y reemplaza la caída de presión por
w wP *gh
donde hw es la altura de una columna de agua que ejerce una presión igual a P, w es la
densidad del agua y g es la aceleración debida a la gravedad.
Aplicando las modificaciones y suposiciones anteriores y llevando la ecuación (7.34) a la
ecuación (7.7) y recordando los valores para w y g en los sistemas inglés y S.I de unidades,
se obtiene la siguiente expresión general conocida como ecuación de Spitzglass:
18
0,5
5
b w 1b s
1bg 2
T h *P *dq C
CP*L 1 C *d
d
(7.35)
donde,
qb, Tb, Pb, d, g, L y P1 tienen la misma definición dada en la ecuación (7.7) y hw es la caída
de presión (P1 - P2) dada en el equivalente a una columna de agua. Cs es la constante de la
ecuación de Spitzglass y su valor depende de las unidades para las variables; C1 y C2 son
constantes, cuyos valores fueron dados dependiendo de las unidades usadas para el
diámetro.
La tabla 30 muestra valores para Cs, para diferentes grupos de unidades en los sistemas
inglés y S.I
Tabla 30. Valores de Cs en la Ecuación (7.35) para diferentes Grupos de Unidades en los Sistemas Inglés y
S.I. (métrico)
Grupo
Unidades
qb P T d L hw C
Sistema
Inglés
1
2
3
4
5
PC/s
PC/hr
PC/s
MPC/D
kPC/D
Lbm./pie.s2
lpca
lpca
Lpca.
Lpca.
°R
°R
°R
°R
°R
pie
pulg.
pulg.
pulg.
pulg.
pie
millas
pie
millas
millas
pie
pulg.
pulg.
pulg.
pulg.
884.39
0.372
7.5110-3
8.93*10-6
8.93*10-3
Sistema
S.I
1
2
3
4
5
m3/s
m3/hr
m3/hr
m3/hr
m3/hr
Pa
kPa
kPa
bars
mbars
K
K
K
K
K
m
cm
mm
mm
mm
m
m
kms.
m
m
m
cm
mm
mm
mm
1054.64
0.1201
3.8*10-6
1.201*10-5
3.8*10-4
7.2.4. Ecuación de Mueller
Esta ecuación es similar a la de Panhandle, porque considera el factor de fricción de Moody
(f) como una función del número de Reynolds; pero a diferencia de la ecuación de
Panhandle, se aplica a situaciones de presión baja y diámetros pequeños.
La expresión propuesta por Mueller para el factor de transmisión es:
0,130
Re
11,675N
f
(7.36)
donde f es el factor de fricción de Moody y NRe es el número de Reynolds.
Recordando la expresión para el número de Reynolds dada por la ecuación (7.13), llevando
esta a la ecuación (7.36) y luego la expresión resultante a la ecuación (7.7) se obtiene la
siguiente expresión para la ecuación general de Mueller
19
0,5752 22,725
b 1 2b M 0,425 0,15
b g g
T P Pdq C
P ZTL
(7.37)
donde, todas las variables con excepción de g fueron definidas en la ecuación (7.7) y g es
la viscosidad del gas; y CM es una constante que depende del sistema de unidades usado.
La tabla 31 muestra valores de CM para diferentes grupos de unidades en los sistemas inglés
y S.I.
Tabla 31. Valores de CM en la Ecuación (7.37) para diferentes Grupos de Unidades en los Sistemas Inglés y
S.I. (métrico).
Grupo
Unidades
qh P T L d CM
Sistema
Inglés
1
2
3
4
5
PC/s
PC/hr
kPC/hr
MPC/D
PC/s
lbf/pie2
lpca
lpca
lpca
lb/pie.s2
°R
°R
°R
°R
°R
pies
millasp
ies
millas
pies
pies
pulgs.
pulgs.
pulgs
pies
lb/pie.s
CP
lb/pie.s
CP
lb/pie.s
56,965
10,750
0,4966
2,5810-4
33,84
Sistema
S.I
1
2
3
4
5
m3/s
m3/hr
m3/hr
m3/D
m3/D
Pa
kPa
kPa
kPa
bars
K
K
K
K
K
m
kms
kms
kms
Kms
m
cm
mm
mm
mm
Pa.s
mPa.s
mPa.s
mPa.s
mPa.s
15,83
0,0302
5,7410-5
1,3810-3
2,7510-3
7.2.5. Ecuación de Mueller para Baja Presión.
De las ecuaciones vistas, la de Spitzglass, como se planteó, es una ecuación para aplicar a
presiones bajas. Generalmente una presión baja está asociada a un tamaño de tubería
pequeño.
Cualquiera de las ecuaciones vistas se puede modificar para llevarla a una ecuación para
presiones bajas de la siguiente manera:
El término P P1
2
2
2 se puede escribir como:
2 2
1 2 1 2 1 2P P P P P P
1 2
1 2
P P2 P P
2
1 22P P P (7.38)
y el termino (P1 - P2) de la ecuación (16) se puede expresar en términos de la altura de una
columna de agua que ejerce una presión igual a (P1 - P2) así
1 2 w wP P *g*h (7.39)
20
donde w es la densidad del agua, hw es la altura de la columna de agua que ejerce una
presión igual a (P1 - P2), g es la aceleración de la gravedad cuyo valor en el sistema inglés
equivale a 32.2 pies/s2 y en el S.I. a 9.8 m/s
2.
Recordando que en el sistema inglés w es 62.4 lbs/pie3 y en el S.I. 1000 Kg/m
3, y llevando
la ecuación (7.39) a la (7.38) se tiene
2 2
1 2 wP P C*P*h (7.40)
donde C es una constante que en el sistema inglés vale 4018.56 y en el S.I. 19600 cuando
se tienen unidades absolutas para ambos sistemas.
La ecuación (7.40) se puede llevar a cualquiera de las ecuaciones vistas y así se obtiene la
versión de dicha ecuación para presiones bajas.
De esta manera, la ecuación de Mueller para presiones bajas tiene la siguiente forma
general 0,575
2,725' b w
b M 0,425 0,15
b g g
T Phdq C *
P TL
(7.41)
donde se ha asumido que Z = 1, por ser una ecuación para presiones bajas, y CM
' es la
constante de la ecuación de Mueller para presiones bajas cuyo valor depende de las
unidades usadas.
La tabla 32 muestra valores de CM
' para diferentes grupos de unidades en los sistemas
inglés y S.I.
Tabla 32. Valores de la Constante CM
' en la Ecuación (7.41) para diferentes Grupos de Unidades en los
Sistemas Inglés y S.I.
Grupo
Unidades
qh P T L hW g d CM
'
Sistema
Inglés
1
2
3
4
PC/s
PC/hr
PC/D
PC/s
lbf/pie2
lpca
lpca
Lb/pie.s2
°R
°R
°R
°R
pies
pies
pies
pies
pies
pulgs
pulgs
pies
lb/pies
CP
CP
Lb/Pie.s
pies
pulg.
pulg.
pie.
911,803
326,2
7,83103
3997,74
Sistema
S.I
1
2
3
4
5
m3/s
m3/hr
m3/hr
m3/hr
m3/D
Pa
kPa
kPa
mbars
bars
K
K
K
K
K
m
m
m
m
m
m
cms
mm
mm
mm
Pa.s
mPa.s
mPa.s
mPa.s
mPa.s
m
cms
mm
mm
mm
4,65*103
0,63
3,1510-4
8,3810-4
1,06*10-3
21
7.3. Selección de la Ecuación Adecuada
Como ya se menciono, antes de entrar a realizar cálculos de flujo de gas en tuberías es
necesario definir el régimen de flujo existente: laminar o turbulento y en este último caso si
parcial o totalmente turbulento.
Cuando NRe < 2000 se tiene flujo laminar y en este caso f
1 se calcula usando la ecuación
(7.16) y este valor se lleva a la ecuación (7.7).
Cuando NRe > 2.000 se puede hablar de flujo turbulento parcial o total. Aunque es posible
determinar si es parcial o totalmente turbulento, se considera que para NRe < 400000 se
tiene parcialmente turbulento y cuando NRe > 400000 se tiene flujo totalmente turbulento.
Una vez definido si es flujo parcial o totalmente turbulento, se podría usar la ecuación
(7.23) en el primer caso y la (7.24) en el segundo caso para calcular f
1 y luego usar la
ecuación (7.7).
En lugar del procedimiento anterior se puede pensar en usar alguna de las ecuaciones
presentadas en el numeral 1.2, algunas de las cuales son para flujo parcialmente turbulento
(Panhandle, Mueller) y otras para flujo totalmente turbulento (Weymouth, Spitzglass).
En general se puede decir lo siguiente (3, 10, 12)
En redes de recolección y gasoductos (presiones altas y diámetros grandes) usar
Panhandle.
En redes de distribución primarias (presiones medias y diámetros medios), usar
Weymouth para flujo totalmente turbulento y Mueller para totalmente turbulento.
En redes de distribución secundarias (presiones bajas y diámetros pequeños) usar
Mueller de baja presión cuando se tiene flujo parcialmente turbulento o Spitzglass para
flujo totalmente turbulento.
En redes domiciliarias, los mismos criterios de las redes secundarias.
7.4. Eficiencia de Tubería (E)
Las ecuaciones planteadas para flujo de gas suponen que toda la tubería está ocupada por
gas; esto puede no ser cierto por la presencia de líquidos en el gas o la presencia de
escamas, sólidos o productos de corrosión en la paredes de la tubería. Esto hace que el lado
derecho de las ecuaciones (7.7) y cualquiera otra de las ecuaciones para flujo de gas
presentadas en el numeral 1.2 se deba multiplicar por un factor E conocido como eficiencia
de la tubería y el cual es menor de 1. Un valor para E de 0.9 se considera satisfactorio y se
podrá usar cuando el gas a transportar es seco y la tubería es nueva.
22
Normalmente y con el fin de mantener la eficiencia de las tuberías removiendo el líquido
condensado (hidrocarburos y agua) y los sólidos depositados se envían raspadores
(conocidos como marramos, y el proceso se denomina “marraneo” (pigging)).
Suponiendo tuberías nuevas, se recomiendan los siguientes factores de eficiencia
dependiendo de tipo de gas que se esté transportando:
Gas Seco E = 0.92
Gas de Cabeza de Pozo E = 0.77
Gas y Condensado E = 0.60
Cuando se tiene tuberías viejas, para los mismos fluidos mencionados antes se deben usar
valores menores.
7.5. Presiones de Trabajo Permisibles en Tuberías
Teóricamente en un gasoducto las tuberías deben trabajar a presiones altas para tener una
mayor capacidad, pero en la práctica la presión máxima que puede soportar una tubería
depende de las propiedades mecánicas del acero y de las condiciones en que ésta tenga que
trabajar. Para obtener una expresión que permita relacionar el espesor de la tubería con la
presión máxima de trabajo permisible se parte de la ecuación general de esfuerzos de arco
que se puede deducir fácilmente y presenta la siguiente forma (1)
t2Do
ts2P
(7.42)
donde:
P : Presión máxima permisible,
t : Espesor de la tubería,
S : Límite de proporcionalidad del acero,
Do : Diámetro externo de la tubería .
Con base en la ecuación (7.42) el Instituto Americano de Normas Nacionales, ANSI por sus
iniciales en inglés, ha propuesto una serie de normas para seleccionar espesor de tuberías
dependiendo del fluido que transporta y las condiciones en que debe trabajar. Para el caso
de gasoductos la norma es la ANSI-31.8 que presenta la siguiente forma:
P*Dot
2*S*F*E*T
(7.43)
donde:
F : Es un factor de localización que depende del sitio por donde pase la línea; es menor
de 1 y se alejará más de este valor mientras mayor sea la posibilidad de pérdidas
humanas en caso de accidente.
E : Es un factor de eficiencia de las uniones, es menor de 1 y se aleja más de éste valor
mientras menor sea la calidad de la soldadura y el control de calidad de ésta.
T : Es un factor de temperatura el cual es menor de 1 si la temperatura es mayor de
250°F.(121.1°C)
23
Otra norma propuesta por la ANSI para tuberías de gasoductos es la siguiente (2)
P*Dot C
2(S*E P*T)
(7.44)
donde:
C: Es una tolerancia por corrosión y por penetración de rosca. y los demás términos
tienen el mismo significado que en las ecuaciones (7.42) y (7.43).
En cuanto al factor de localización F, que aparece en la ecuación (7.43) se debe agregar lo
siguiente(1)
:
La inclusión de este factor se debe a que los costos (humanos y económicos) en el caso de
una falla de la tubería, varían dependiendo del sitio por donde esta pasa; pues unas veces la
tubería pasa por zonas despobladas donde si se presenta la falla los costos serán bajos, pero
otras veces puede pasar por zonas pobladas y en este caso una falla en la tubería será
costosa y lamentable. Esto quiere decir que a lo largo de la tubería el valor de S
(resistencia a la cedencia) debe ser multiplicado por un factor de localización F, que puede
variar desde 0.72 en el caso más favorable hasta 0.4 en los casos más severos.
Para definir el valor de F se consideran cuatro tipos de localizaciones, de acuerdo con un
concepto conocido como “índice de una milla” o “índice de las 10 millas”. El índice de una
milla se establece de la siguiente manera: Se toma una zona de una milla de longitud y
media de ancho y se cuentan los sitios donde habitan o hay posibilidad de que habiten o hay
posibilidad de que habiten personas, este número es el índice de una milla”. El índice de 10
millas es el promedio de los índices de 1 milla a lo largo de una longitud de 10 millas. Con
base en los valores del índice de una milla y de 10 millas, se establecen las siguientes clases
de localizaciones:
Clase 1: Incluye baldios, zonas desérticas o montañosas, o planas en las que el índice
de 10 millas es menor de 12 y el de 1 milla para cualquier sección es menor de 20; para
este tipo de localización se toma una valor de 0.72.
Clase 2: Incluye zonas limítrofes alrededor de ciudades o pueblos, o áreas cultivables o
industriales donde el índice de 1 milla excede 20 o el de 10 millas excede 12. En este
caso se toma una factor de localización de 0.6.
Clase 3: Zonas subdivididas para propósitos residenciales o comerciales donde al
menos el 10% de los lotes están sobre el derecho de vía en la cual se va a tender la
tubería. También incluye zonas en las que se encuentran edificaciones residenciales o
comerciales de tres pisos o menos. Aquí se toma F = 0.5.
Clase 4: Son localizaciones donde prevalecen edificios de más de 4 pisos, hay tráfico
pesado y denso y existen instalaciones en el subsuelo. Se le asigna un factor de 0.4.
7.6. Velocidad Permisible en Tuberías (2,11)
La velocidad de un fluido a través de una tubería es algo que se debe analizar pues si ésta es
demasiado alta se presentan problemas de desgaste de las paredes corrosión por fricción la
cual puede destruir la película de inhibidor que en algunos casos protege la pared de la
24
tubería dejándola expuesta a la corrosión o si la fricción es muy alta se puede presentar
desgaste de la tubería por abrasión; por otra parte si la velocidad es demasiado baja se
pueden presentar problemas de depositación de sólidos y esto reduce el tamaño de la
tubería.
Experimentalmente se ha encontrado que la máxima velocidad permisible de un gas en una
tubería para que no haya erosión se puede calcular de (2)
5,0c
Cv
(7.45)
donde:
vc : Velocidad erosional,
: Densidad del fluido
C : Constante cuyo valor está entre 75 y 150 , y 366.3 y 732.6 cuando se usan
unidades absolutas de los sistemas inglés y SI de unidades respectivamente ; normalmente
se toma 100 y 488.
Recordando que v = q/A y la expresión para calcular densidad de un gas, la ecuación (7.45)
se convierte en : 5,0
g
2
sceZT
PdC)q(
(7.46)
donde:
(qe)sc : Es la tasa máxima permisible para evitar erosión de la tubería medida a
condiciones normales.
d : Diámetro de la tubería
P : Presión en la línea
g : Gravedad específica del gas
Z : Factor de compresibilidad a P y T
T : Temperatura de flujo
C es una constante que depende de las unidades usadas para las variables. Cuando se usan
unidades absolutas su valor es 24.82 y 17.72 para los sistemas ingles y SI de unidades
respectivamente ; y cuando se usan las unidades del grupo 4 para los mismos sistemas
inglés y SI que aparecen en la tabla 2 su valor es 1012.435 y 48.4 respectivamente.
Como en una tubería la presión varía desde P1 hasta P2 y el volumen de gas aumenta al
diminuir la presión , para aplicar la ecuación (7.46) se debe usar la presión mínima a la que
se encontrará el gas en la tubería.
25
7.7. Determinación del Diámetro de Tubería Requerido
Cuando se quiere transportar una cantidad dada de gas a través de una distancia dada y con
una determinada caida de presión, el diámetro de la tubería requerida se calcula de la
siguiente manera:
Haciendo uso de las ecuaciones de flujo (Weymouth, Pan-Handle u otra) se determina
d, diámetro interno de la tubería.
Usando la ecuación (7.46) se despeja d, el cual es el diámetro requerido para que no
haya velocidad erosional. El mayor de los dos diámetros calculados se selecciona como
el diámetro interno requerido.
Usando las ecuaciones (7.43) o (7.44) se encuentra el espesor de la tubería, recordando
que Do = DI + 2d y de ésta forma se puede seleccionar el tamaño comercial de tubería
requerida.
7.8. Denominación de Tuberías (3)
Para identificar adecuadamente la tubería que se requiere para trabajar en unas condiciones
dadas se deben especificar una serie de características relacionadas con tamaño, espesor
tipo de acero y condiciones de trabajo. En general los parámetros a especificar son: (Ver
tabla 33, Norma ANSI-B31.3).
Tamaño Nominal. Generalmente es un número entero, el más próximo al diámetro
externo de la tubería cuando este es menor de 14 pulgadas (355mm.) o el mismo
diámetro externo cuando este es mayor de 14 pulgadas (355 m.m.).
Diámetro Externo. En el diámetro interno seleccionado para la tubería más el espesor
requerido.
Espesor. Es el valor de t, obtenido por ejemplo de las ecuaciones (7.43) o (7.44).
Peso. En el peso de la tubería en lbs/pie. (Kgs/m).
Clase de Peso. Se habla de peso estándar (STD), extra - estándar (XS) y ultra - estándar
(XXS). Normalmente el peso STD, es el menor y el XXS es el máximo peso para una
tubería de un diámetro dado.
Código de la Tubería. Para un tamaño dado, es un número de dos o tres cifras,
terminando siempre en cero, con el cual se identifica el tipo de tubería.
Para seleccionar una tubería requerida, conociendo el tipo de acero, el diámetro interno, la
presión y la temperatura de trabajo, se va a la norma AINSI apropiada con esta información
y allí se obtiene el diámetro nominal, el espesor, el peso, la clase de peso y el código de la
tubería.
26
Tabla 33. Norma ANSI – 31.3
27
Tabla 33. (Cont.)
28
Ejemplo 7.2 (Tomado de referencia (8))
Se tiene una tubería de 12.09 pulgadas de diámetro interno y 1000millas de longitudcon
una rugosidad absoluta de 0.0006 pulgadas para transportar un gas de g = 0.60 pulgadas
con P1 =400 Lpca. y P2 = 200 Lpca. y una temperatura de flujo promedia de 520°R. Las
condiciones base son: Tb = 520°R y Pb = 14,7 Lpca.
Se desea calcular la capacidad de la tubería en PC/hr.
Solución
1. Utilizando la ecuación (7.7)
a. Cálculo de Propiedades del Gas , para g = 0,6
1
1
pPc 672 Lpca.
pTc 358 R
P 400 200 / 2 300 Lpca.
pPr 300 / 672 0,446
pTr 520 / 358 1,453
Z 0,950
a 60 F 0,0103
a 300 Lpca y60 F 1,05
a 300 Lpca y60 F 1,05*0,0103 0,01082 cp.
Número de reynolds usando la ecuación (7.13)
g bh hRe
b
h
Pq 0,6*14,7*qN 711,8 711,8
24*1.000 D T 520*24*1.000*0,01082*12,09
2,2016q
donde qh es la tasa de flujo en PCN/hr
e 0,00060,00005
D 12,09
b. Cálculo de qh por ensayo y error:
Primer ensayo:
h
5
Re
q 100.000 PCN / hr.
N 2,2*10
f 0,0158
29
Usando la ecuación (7.7) y el grupo 2 de unidades del sistema inglés de la tabla 25
se tiene
0,52 2 50,5
1 2bh
b g
0,50,5 5
P P DT 1q 3,23
P f ZTL
160.000 40.000 (12,09)520 13,23
14,7 0,0158 0,6*0,95*520*100
929.560PCN / hr.
Segundo ensayo:
h
6
Re
h
q 500.000 PCN / hr.
N 1,1*10
f 0,012
q 1'045.083 PCN / hr
Tercer ensayo:
h
6
Re
h
q 1'000.000 PCN / hr
N 2,2*10
f 0,012
q 1'066.633PCN / hr.
2. Usando la ecuación de Weymouth se tendría para el grupo de unidades de la tabla 26
7.9. Correcciones por Cambio de Altura (2), (5)
Cuando en una línea de gasoducto se presenta territorio ondulado se deben hacer
correcciones por cambio de altura; para ello solo se requiere tener en cuenta los cambios de
altura y calcular el peso de una columna de gas.
El peso de una columna de gas es:
g*dh dP
PM*gdh dP
ZRT
y suponiendo que h aumenta y la presión disminuye hacia arriba,
g29 *gdh ZT*dP / P
R
2
1
h Pg
0 P
g*29dh ZT dP / P
R
1
P2
Pg
1 2
g*29 hZT dP / P ZTln P / P
R
30
g1
2
29 h *gPEXP
P ZRT
12
g
PP
g*29 hEXP
ZRT
,
donde h = h2 - h1; llamando
g g29 h hS g C
ZRT ZT
(7.47)
donde C = 0,0342 y 0,01875 para los sistemas métrico e inglés respectivamente, y como
S121e
11PPPP , entonces
S
S
1e
1ePP
(7.48)
P1 en el punto donde se inicia el ascenso o el descenso y P2 el punto donde termina. Como
h es positivo hacia arriba, será negativo hacia abajo y esto afectara el valor de S que puede
ser negativo o positivo; h es la diferencia entre h2 y h1.
La corrección total sería entonces
Si
T 1 Sih
e 1P P
e
(7.49)
En algunos casos es necesario corregir la capacidad de la tubería por cambio de altura, ya
que debido a estos cambios la tubería puede transportar mayor o menor cantidad de gas.
Una forma de calcular la verdadera capacidad de una tubería es desarrollando una ecuación
para flujo inclinado partiendo a la ecuación de balance de energía (ecuación 7.1).
wqhv2
1H 2
y suponiendo que v2 0, w = 0 y reemplazando H por Tds + VdP, y Tds por q + dLw se
tiene:
0d2
dLfvdhgdPV
2
(7.50)
Una relación entre dh y dL se obtiene de la siguiente manera:
Supongamos que h y L tienen la siguiente orientación:
31
donde h es la dirección vertical y L la dirección de flujo. De acuerdo con las orientaciones
propuestas, se puede escribir
dL
dh
L
h , y por tanto
LdL dh
h
y llevando la anterior expresión para dL a la ecuación (7.50) queda
0
L/hd2
fvgdhVdP
2
Ahora, en la ecuación anterior se reemplaza v por la ecuación
bb 2
b b
P T Z 4u q
P T Z D
2
bh 2
b
Pf T 4VdP dh g q Z 0
2d h / L P T d
22 2
2bh5
b
Pf 4 ZTVdP dh g q 0
2d h / L T P
y separando variables se tendría:
2 2
2bh5
b
VdPdh
Pf L 4 ZTg q
2d h T P
1 2
2 1
P h
2 2P h
2bb5
b
VdPdh
Pf L 4 ZTg q
2d h T P
1 2
2 1
P h
2 2P h
2bb5
b
ZT / PdP Mgdh
R4*Pf L ZT1 q
2gd h T P
gC h (7.51)
donde C tiene los mismos valores que se plantean en la ecuación (7.47).
32
La ecuación (7.51) permite calcular la presión P1 en el fondo de una columna de gas cuando
la columna es estática o cuando se presenta flujo. Cuando es estática qb = 0 y la ecuación
se convierte en:
1
2
P
gP
ZTdP 0,01875 h
P
(7.52)
Cuando qb es diferente de cero se aplica la ecuación (7.51).
Para aplicar la ecuación (7.51) se requiere resolver la integral, la cual no es directa, por
tanto dependiendo del método aplicado se tendrán diferentes soluciones(2)
. El método más
sencillo es el conocido como de Z y T constantes; en este caso la ecuación (48) se
transforma en:
1
2
P
22P
2bb5
b
dP / P Mgh
RZTPf *L / h 4 ZT1 q
2gd T P
1
2
P
2P
2 2bb5
b
PdP Mgh
RZTP *ZTf *L / h 4P q
2gd T
(7.53)
El integral de la ecuación (7.53) es de la forma:
1
2
P
P 22 CP
PdP
donde, 0,5
2 2bb5
b
P ZTf *L / h 4C q
2gd T
el cual se puede resolver directamente como
22 CPln2
1
por tanto la ecuación (7.53) se puede llevar a
TZ/hR
gM
CP
CPln
2
122
2
22
1
2 2
1
2 2
2
P C MgEXP 2 h / ZT
P C R
y llamando STZ
h
R
gM se tiene:
S2
22
2
22
1 eCP
CP
(7.54)
Si se despeja P1 se tiene:
33
2 2 2S 2 2S
1 2P P e C e 1 (7.55)
La ecuación (52) permite calcular la presión en el fondo de un pozo de gas.
Cuando el pozo está cerrado C2=0 y la ecuación (7.55) se convierte en
S
1 2P P e (7.56)
La Presión obtenida con la ecuación (7.56) se conoce como presión de fondo estática.
La presión obtenida con la ecuación(7.55) se conoce como presión de fondo fluyente.
Para resolver la ecuación (7.55) o (7.56) se debe recurrir a un proceso de ensayo y error
pues S y C involucran Z y para conocerlo se requiere la presión promedia.
Un procedimiento para calcular la presión en el fondo de un pozo de gas puede ser el
siguiente:
Suponer 1 2 2P P 0,25 P /100 h /100
Calcular 1 2P P P / 2
Calcular Z
Calcular S y C, este último si se está calculando presión de fondo fluyente.
Calcular P1 con ecuaciones (7.55) o (7.56) según el caso.
Comparar P1 supuesto con P1 calculado. Si no coinciden tomar el valor calculado como
el supuesto y repetir procedimiento.
El valor de P1 obtenido por el procedimiento anterior se puede mejorar si el proceso se hace
por tramos, o sea se divide la profundidad del pozo en un determinado número de tramos de
igual longitud y a cada tramo, empezando por el primero al cual se le conoce su presión en
la cabeza se le aplica el procedimiento anterior para encontrarle su respectiva P1, la cual es
también la P2 del tramo siguiente al cual se le pasa entonces a determinar su P1 aplicando el
procedimiento descrito. Así se continua hasta llegar al fondo del pozo.
Si se despeja ahora C2 de la ecuación (7.54) se tiene:
2 2S 2 2S 2
2 1
2 2S 2 2S
1 2
C 1 e P e P
C e 1 P P e
C
P P e
e
P P e
e
S
S
S
S
2 1
2
2
2
2
1
2
2
2
21 1
En la ecuación anterior P1 es la presión mayor y P2 es la presión menor.
Reemplazando ahora C2 por su expresión equivalente se tiene:
34
22 2S
2b 1 2b5 2S
b
LP P P e4hf ZT q
2gd T e 1
y despejando qb se tiene:
22 2S5
2 b 1 2b 2 2S
b
T P P e2g*d 1q
L 4P 1 ef ZTh
25 2 2Sb 1 2
2 2 2S
b
2g*d *h * T P P e1
1 e4P L*f ZT
2 2 2 S5b 1 2
2 S
b
T P P e2gd 2SR
2Mg 1 e4P L ZT
0,50,5 2 2 S
5b 1 2b S
b g
T P P eR 2S 1q d
29 4 P L 1 e ZTf
(7.57)
La ecuación (7.57) es similar a una de las formas de la ecuación para flujo horizontal, si se
escribe de la siguiente forma
0,5
0,5 52 2 2sb
b 1 2
b g
TR dq P P e
29 4 P Le ZTf
donde 2sL e 1
Le2S
0,5
50,5
2 2 2sb1 2
b g
T dC P P e
P Le ZTf
(7.58)
donde C es una constante que depende de las unidades; cuando se usan absolutas su valor
es 13.3 y 32.55 para los sistemas S.I e Inglés, respectivamente.
Ahora si se aplica Weymouth a la ecuación (7.58) y se usan las unidades del grupo 1 del
sistema inglés mostrado en la tabla 26 se tiene:
0,516
3 0,52 2 2Sb
b 1 e
b g
T dq 17,44 P P e
P Le ZT
(7.59)
y si se usan las unidades del grupo 2 del sistema inglés de la misma tabla la ecuación (7.59)
se transforma en:
0,516
3 0,54 2 2 2sb
b 1 2
b g
T dq 4,1856*10 P P e
P Le ZT
(7.60)
35
Cuando el flujo es horizontal h=0 y por tanto S=0 y Le debe ser igual a L, tal como se
puede ver retomando la expresión para Le
2sL e 1Le
2S
Al hacer S=0 la expresión anterior se vuelve indeterminada pero tomando el límite cuando
S tiende a cero y aplicando la regla de L’hopital se tiene:
2S 2S 2S
eS 0 S 0 S 0 S 0
e 1 d / dS e 1 2elimL L*lim L*lim L*lim L
2S d / dS 2S 2
36
Bibliografia
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12. Naranjo, A.A. “Flujo de Gas bajo Condiciones Estables”, Universidad Nacional de
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