ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADASEn todos los anlisis
precedentes se ha supuesto siempre que las fuerzas axiales en las
barras o elementos de estructuras podran determinarse por medio de
la esttica. Tales estructuras se llaman estticamente determinadas.
Sin embargo, hay otros casos en los que las ecuaciones de
equilibrio esttico no son suficientes para determinar todas las
fuerzas y reacciones que obran en los miembros de una
estructura.Para tales estructuras estticamente indeterminadas, las
fuerzas y las reacciones solo pueden hallarse si se toman en
consideracin los desplazamientos de la estructura.Hay dos mtodos
generales para obtener las ecuaciones adicionales que se necesitan
para resolver un problema estticamente indeterminado.En el primero
de estos mtodos, un sistema estticamente indeterminado se reduce
inicialmente a una determinado eliminando reacciones redundantes(o
superfluas) para mantener el equilibrio esttico. Luego estas
reacciones se consideran como cargas aplicadas exteriormente, y sus
magnitudes se ajustan para que satisfagan las condiciones de
deformacin prescritas en sus puntos de aplicacin. Una vez evaluadas
las reacciones redundantes, el sistema es isosttico y se puede
analizar segn sus caractersticas de resistencia o rigidez
utilizando los mtodos presentados con anterioridad. Este mtodo
ampliamente utilizado, por lo general recibe el nombre de mtodo de
las fuerzas (o mtodo de las flexibilidades).En el segundo mtodo,
conocido como mtodo de los desplazamientos( o de las rigideces),
los desplazamientos de las juntas de una estructura se tratan como
incgnitas. El sistema se reduce primero a una serie de elementos
cuyas juntas, o nudos, se consideran completamente impedidos de
todo movimiento. Las juntas van liberndose luego en el grado
suficiente para satisfacer las condiciones de equilibrio de fuerzas
en cada junta. Este mtodo es adecuado para el anlisis de
estructuras de gran tamao.Los mtodos de las fuerzas y los
desplazamientos son dos de los modernos enfoques para la solucin de
problemas en estructuras hiperestticas. Estos mtodos se pueden
formular tambin en un contexto mas general utilizando los
principios de energa en la mecnica de las estructuras. Luego
aplicables a los problemas lineales y no lineales.
METODO DE LAS FUERZASEn el anlisis de sistemas estructurales por
el mtodo de las fuerzas, el primer paso es la evaluacin del grado
de indeterminacin esttica, que es igual al nmero de reacciones
redundantes. Las reacciones redundantes se suprimen temporalmente
para tener una estructura isosttica que se denomina estructura
primaria o liberada. Luego, como la estructura es reducida
artificialmente a la determinacin esttica, es posible encontrar
cualquier deformacin o deflexin deseada por los mtodos antes
estudiados. Por ejemplo suprimiendo la reaccin redundante en A de
la viga indeterminada que se muestra en la siguiente figura.
a) Se puede hallar la deflexin v1 en A.b) Aplicando otra vez la
reaccin redundante suprimida RA a la misma vida determinada.c)
Tambin puede determinarse deflexin v2, hallada como funcin de RA.A
continuacin, superponiendo (o sumando) las dos deflexiones, puesto
que V1 +V2 = 0, se halla una solucin para RA. El efecto de esta
superposicin es que en realidad no se mueve el punto A por la accin
de las fuerzas aplicadas y la reaccin redundante.Este procedimiento
se llama; como ya se dijo; mtodo de las fuerzas, puesto que las
fuerzas redundantes se tratan como incgnitas en este enfoque.
Obsrvese en especial que, una vez que se determinan las reacciones
redundantes, el problema se vuelve estticamente determinado y el
anlisis de esfuerzos y deformaciones prosigue en la forma
usual.
EJEMPLO N1:Una barra escalonada esta empotrada por ambos
extremos en soportes inmviles, la parte izquierda de la barra tiene
un rea de seccin transversal A1; el area de la derecha es A2. Si el
material de la barra es elstico con un modulo de elasticidad E. Qu
valor tienen las reacciones R1 y R2 causadas por la aplicacin de un
fuerza axial P en el punto de discontinuidad de la seccin?
SOLUCION:La barra se considera seccionada en su soporte
izquierdo. Luego, en este miembro estticamente determinado, el
extremo cortado sufre un desplazamiento u1 debido a la fuerza
aplicada P. La reaplicacion de la fuerza desconocida R1, origina un
desplazamiento u2. Si se superponen estos desplazamientos a fin de
que no haya movimiento en el extremo izquierdo de la barra, como lo
requieren las condiciones del problema, se tiene.
Luego, utilizando la ecuacin , y tomando los desplazamientos
hacia la derecha como positivos,
La reaccin de la derecha se puede hallar mediante la condicin de
esttica:
METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOSEn el mtodo de las fuerzas descrito
en el artculo anterior, las fuerzas redundantes se consideraron
como incgnitas y una estructura liberada se obtuvo primero
omitiendo las redundantes. En el mtodo de los desplazamientos, por
otra parte, los desplazamientos-lineal y angular- de las juntas
(puntos de contacto de los elementos con los apoyos o soportes,
puntos de interseccin de dos o mas elementos, o bien, los extremos
libres de elementos voladizos) se consideran como incgnitas. El
primer paso para aplicar este mtodo, es impedir estos
desplazamientos de juntas, que se llaman tambin indeterminaciones
cinemticas o grados de libertad. La supresin de estos grados de
libertad resulta en un sistema modificado que se compone de una
serie de elementos, en cada uno de cuyos puntos extremos se han
restringido o evitado los movimientos de traslacin y rotacin. En
resumen, el segundo mtodo de anlisis comienza tomando como incgnita
un desplazamiento adecuado. Tal desplazamiento debe seleccionarse
de tal manera que las fuerzas en las diversas partes de la
estructura se puedan expresar en funcin del mismo. Luego tales
fuerzas se combinan en una ecuacin de equilibrio. Despus de
sustituir las expresiones de las fuerzas en funcin del
desplazamiento, se despeja el desplazamiento desconocido. Por
ultimo las fuerzas se determinan a partir del valor del
desplazamiento.Este mtodo de anlisis se llama mtodo de los
desplazamientos o mtodo de las rigideces. El primer nombre proviene
del uso de los desplazamientos como incgnitas, y el segundo se debe
al hecho de que los coeficientes (EA/a y EA/b) en la ecuacin de
equilibrio son rigideces. Este mtodo tambin es uno muy general que
puede emplearse para analizar muchas clases de estructuras.EJEMPLO
N1:Analicemos la armadura representada en la figura, por el mtodo
de desplazamientos. Suponiendo que la armadura es simtrica, se ve
que las fuerzas de traccin en las barras exteriores son
iguales.
SOLUCION:El desplazamiento de la junta D, ser la incgnita en el
anlisis.
Las lneas de trazos de la figura muestran la configuracin
desplazada de la armadura, los segmentos DD1 y DD2 representan los
alargamientos totales de las barras CD y AD, respectivamente, y el
DD representa el desplazamiento vertical del punto D. Del diagrama
vemos que los alargamientos citados en las dos barras inclinadas
son:
Y por tanto las fuerzas en dichas barras sern:
Asi mismo, la fuerza en la barra vertical es:
Las ecuaciones (a) y (b) expresan las fuerzas en las barras en
funcin de una sola incgnita, a saber, el desplazamiento . El
siguiente paso es hacer uso de la ecuacin de equilibrio
esttico:
De donde;
Conocido ya el desplazamiento, pueden hallarse las fuerzas en
las barras sustituyendo la ecuacin (c) en las ecuaciones (a) y
(b).
EJERCICIO:La barra representada en la figura esta firmemente
empotrada en sus extremos. Determinar los esfuerzos en cada
material cuando se aplica la fuerza axial P= 200Kn.
Compatibilidad de deformaciones:
Reemplazando, se obtiene:
