Estructuras Estaticamente Indeterminadas...JVG

7/23/2019 Estructuras Estaticamente Indeterminadas...JVG

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VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS, LLAMADAS TAMBIÉN

HIPERESTÁTICAS

______________________________________________________________________

Introducción a a! "!tructura! "!t#tica$"nt" ind"t"r$inada!, $%todo!

a&ro'i$ado! d" an#i!i!(

)( GENERALIDADES

Cuando una estructura tiene más reacciones externa o fuerzas internas que las que

pueden determinarse con las ecuaciones de la estática, la estructura es estáticamente

indeterminada o hiperestática o continua producirá fuerzas cortantes, momentos

flexionantes y deflexiones en las otras partes de la estructura. En otras palabras, cargas

aplicadas a una columna afectan a las vigas, a las losas, a otras columnas y viceversa.

Casi todas las estructuras de concreto reforzado son hiperestáticas. Las losas de

concreto, las vigas de apoyo, así como parte de las columnas pueden colarse al mismo

tiempo. Las barras de refuerzo se extienden de elemento a elemento estructural así como

de claro a claro. Cuando se tienen untas de construcci!n, las barras de refuerzo se dean

sobresalir del concreto para poder ser empalmadas a las barras del concreto para colarse

posteriormente. "demás, el concreto vieo se limpia de manera que el nuevo se adhiera

a #l tanto como sea posible. El resultado de todo esto es que las estructuras de concreto

reforzado son generalmente monolíticas o continuas y por ello estáticamente

indeterminadas.

$al vez la %nica manera de construir una estructura de concreto reforzado estáticamente

determinada sea a base de elementos prefabricados en una planta y ensamblados en el

lugar de la obra. &in embargo, aun estructuras como #stas tienen cierta continuidad ensus nudos.



*( ESTR+CT+RAS CNTIN+AS

En la medida en que se incrementan los claros de las estructuras simples, sus momentos

flexionantes aumentan rápidamente. &i el peso de una estructura por unidad de longitud

permanece constante, independientemente del claro, el momento por carga muerta

variará en proporci!n con el cuadrado de la longitud del mismo ' M =wl2

8 (. &in

embargo, esta proporci!n no es correcta, debido a que el peso de las estructuras debe

aumentar a medida que los claros son más grandes, con el fin de que sean lo

suficientemente fuertes y resistan el incremento de los momentos flexionantes) por

tanto, el momento por carga muerta crece más rápidamente que el cuadrado del claro.

Puente de arco sobre el rio Colorado, Utah Ruta 95



En ciertos casos es posible tener una viga con ambos extremos empotrados, en lugar de

una viga simplemente apoyada. En la fig. *+.* se comparan los momentos flexionantes

desarrollados en una viga simplemente apoyada con carga uniforme, con los de una viga

doblemente empotrada con carga tambi#n uniforme.

El momento flexionante máximo en la viga doblemente empotrada es s!lo dos tercios

del que se presenta en la viga simplemente apoyada. or lo general, es difícil empotrar o

fiar por completo los extremos de una viga, sobre todo en el caso de un puente.



El momento flexionante máximo en el caso de una viga continua es casi -/ menor que

cuando se tienen las vigas simples. 0esafortunadamente, no existe un correspondiente

-/ de reducci!n en el costo total de la estructura. El factor real de reducci!n de costo

probablemente sea de 1 o / del caso total, debido a que conceptos tales como

cimentaci!n, conexiones y sistemas de piso, no se reducen en forma importante al

reducirse los momentos.

En la explicaci!n anterior se vio que los momentos desarrollados en vigas se reducen

bastante por la continuidad en la estructura. Esta disminuci!n se produce en lugares

donde las vigas están rígidamente unidas entre sí, o bien, donde las vigas se conectan en

forma rígida a las columnas de una estructura. Existe continuidad de acci!n en la

resistencia a una carga aplicada en cualquier parte de una estructura continua, debido aque su acci!n es resistida por el efecto combinado de todos los elementos del sistema.

- VENTA.AS DE LAS ESTR+CT+RAS HIPERESTATICAS(

"l comparar las estructuras hiperestáticas con las isostáticas, la primera consideraci!n

deberá corresponder al costo. &in embargo, es imposible ustificar econ!micamente la

selecci!n de uno u otro tipo de estructura sin ciertas reservas.

A/orro d" $at"ria"!(Ma0or"! 1actor"! d" !"2uridad(



Ma0or ri2id"3 0 $"nor"! d"1"'ion"!(

E!tructura! $#! atracti4a!(Ada&ta5iidad a $onta6" "n 4oadi3o(

7 DESVENTA.AS DE LAS ESTR+CT+RAS HIPERESTATICAS(

2n análisis comparativo de las estructuras estáticamente determinadas, respecto de las

estáticamente indeterminadas, pone de relieve que estas %ltimas poseen ciertas

desventaas que las hacen poco prácticas en muchas aplicaciones. Estas desventaas se

explican detalladamente en los párrafos siguientes.

A!"nta$i"nto d" o! a&o0o!(

A&arición d" otro! "!1u"r3o!(

Di1icutad d" an#i!i! 0 di!"8o(

In4"r!ión d" a! 1u"r3a!(

9 ANALISIS APR:IMAD DE ESTR+CT+RAS HIPERESTATICAS(

Los procedimientos tienen muchas aplicaciones prácticas, como las siguientes3

*. ara la estimaci!n de costos de dise4os alternativos, los análisis aproximados en

ocasiones son de mucha utilidad.1. ara dise4ar miembros de una estructura estáticamente indeterminada, es

necesario hacer una estimaci!n de sus tama4os antes de proceder a analizarla por

medio de un m#todo 5exacto6.. "ctualmente se cuenta con computadoras que pueden efectuar análisis 5exactos6

y dise4os de estructuras sumamente indeterminadas en forma rápida y

econ!mica.-. Los análisis aproximados son muy %tiles para comprobar en forma somera las

soluciones 5exactas6 de la computadora 'lo que es de gran importancia(.7. 2n análisis 5exacto6 puede ser muy caro, sobre todo si se efect%an estimaciones

y dise4os preliminares. '&e supone que para tal situaci!n se dispone de un

m#todo aproximado aceptable y capaz de proporcionar una soluci!n aplicable(.8. 2na ventaa adicional de los m#todos aproximados es que permiten al

proyectista 5sentir6 el comportamiento de la estructura bao varias condiciones

de carga. Este recurso probablemente no se desarrollará a partir de soluciones

elaboradas por computadoras.

; ARMAD+RAS CN DS DIAGNALES EN CADA TABLER(



Dia2ona"! con &oca ri2id"3(

La armadura e la fig. *+. tiene dos diagonales en cada tablero. &i una de estas

diagonales se eliminase de cada uno de los seis tableros, la armadura se volvería

isostática. La estructura es hiperestática de sexto grado.

&i las diagonales son relativamente largas y esbeltas, como las formadas por un par de

perfiles angulares, podrán soportar tensiones razonablemente grandes, pero cargas de

compresi!n insignificantes. En este caso es l!gico suponer que la fuerza cortante en

cada tablero es soportada totalmente por la diagonal que estaría en tensi!n con ese tipo

de cortante. &e supone que la otra diagonal no toma ninguna fuerza.

Dia2ona"! con ri2id"3 con!id"ra5"(

En algunas armaduras se construyen con rigidez suficiente para resistir cargas de

compresi!n. En el caso de tableros con dos diagonales, pueden considerarse que la

fuerza cortante es resistida por ambas. La divisi!n del efecto de tal fuerza hace que una

diagonal est# sometida a tensi!n y la otra a compresi!n. La aproximaci!n acostumbrada

consiste en suponer que cada diagonal toma 7+/ de la fuerza cortante. &in embargo, es posible suponer otra forma de distribuci!n de la fuerza cortante, por eemplo un tercio

para la diagonal a compresi!n y dos tercios para la diagonal a tensi!n.

Las fuerzas calculadas para la armadura de la fig. *+.- se basan en una divisi!n

equitativa de la fuerza cortante en cada tablero.



< ANALISIS DE ESTRC+T+RAS IND+STRIALES(

En cuanto a las cargas de gravedad, estas armaduras se analizan como si estuvieran

simplemente apoyadas sobre muros en vez de estar unidas rígidamente a las columnas,

pero en lo que respecta a cargas laterales, las columnas y las armaduras deben analizarse

como una unidad. En edificios de oficinas de altura moderada, los muros y tabiques

internos ofrecen considerablemente resistencia al efecto del viento, proporcionando en

muchos casos la resistencia suficiente, las estructuras industriales deben ser analizadas y

dise4adas para resistir cargas de viento, ya que no contienen muros interiores que

ayuden a resistir tales cargas. "demás, en estas construcciones puede haber gr%as

viaeras cuyo funcionamiento provocará cargas laterales adicionales que necesitan

tomarse en cuenta en el dise4o. La estructura industrial de la fig. *+.7 se analiza para

una carga de viento de *7 9:;m distribuida a lo largo de su altura. En presencia decargas debidas a gr%as, estás se manearán exactamente de la misma manera.



Cuando una columna se encuentra rígidamente unida a la cimentaci!n, no puede haber

giros en la base. &i la armadura apoyada sobre los remates de las columnas es muy

rígida y está firmemente unida a ella, una tangente a una columna es su unta con la

armadura, permanecerá vertical. 2na columna empotrada en sus dos extremos, se

deformaría seg%n una curva en & por la acci!n de cargas laterales 'fig. *+.<(.

En un punto intermedio entre la base de la columna y la parte inferior de la armadura 'o

la cartela(, el momento flexionante se anula porque cambia de un valor que produce

tensi!n en un lado de la columna, a otro que la produce en el otro lado. El punto de

momento nulo se llama inflexi!n 'o punto de contraflexi!n(. &i cada columna contiene

un punto de inflexi!n, se tendrán dos de las tres hip!tesis necesarias 'se dispondrá de

dos ecuaciones de suma de momentos, ' ∑M =0 (.



&e supone a veces que los puntos de inflexi!n se encuentran entre *; y = de la altura,

entre la base de la columna y la base de la armadura, o bien, de la cartela en caso de se

emplee #sta.

En la fig. *+.> se analiza la estructura con base en las siguientes hip!tesis se supone que

el plano de inflexi!n se encuentra a *; de la altura de la columna, esto es, a *.>+ m de

arriba de su base y que la fuerza cortante total en el plano de inflexi!n, es de ?+ 9:, se

reparte de manera equitativa entre las dos columnas.

ara calcular la reacci!n vertical en la columna de la derecha, se toman momentos de

las fuerzas situadas arriba del plano de inflexi!n, con respecto al punto de inflexi!n en

la columna izquierda. 0e la condici!n ∑V =0 o se logra la reacci!n vertical en la

columna izquierda. &i el viento sopla de izquierda a derecha, la columna de la derecha

'la que se encuentra a sotavento( está sometida a compresi!n, en tanto que la de la

izquierda 'la que se halla a barlovento(, está sueta a tensi!n.

El momento flexionante en la base de cada columna se determina tomando momentos

respecto a la base de las fuerzas aplicadas a la columna en y abao del punto de

inflexi!n.

or ultimo, las fuerzas en la armadura se calculan mediante la estática. "l evaluar las

fuerzas en los elementos de esta armadura que est#n conectados a una columna, deben

tomarse en cuenta todas las fuerzas que act%en sobre esta %ltima, pues las columnas sehallan suetas tato a fuerza axial como a momento flexionante.



"l pasar el corte *@* en la armadura, por equilibrio de momentos con respecto al nudo

U 0 se determina la fuerza en L

0 L

1 se determina la fuerza U 0U

1 . 0e manera

similar, al pasar el corte 1@1 por la armadura, por equilibrio de momentos con respecto a

U 6 se calcula la fuerza L

5 L

6 y por momentos con respecto a L5 , las fuerzas

U 5U

6 . Las fuerzas resultantes se pueden determinar mediante el m#todo de los

nudos.

∑M izq P. L=O 0e las fuerzas de inflexi!n.

(15 ) (6 ) (3 )−14.4V R=0

V R=18.75

KN↑0=¿

Auerza axial en la columna derecha por



∑V =O ,

V L=18.75 KN↓0=¿ Auerza axial en la columna BD2BE0"

&uponiendo que la fuerza cortante horizontal total por encima del plano de inflexi!n,

igual a ?+ 9:, se reparte igualmente entre ambas columnas 'a raz!n de -7 9: en cada

una(.

H L=45+(15 ) (1.8 )072 KN←

H R=45←

Los momentos de reacci!n en cada columna se calculan por equilibrio de momentos de

las fuerzas que act%an sobre la misma, entre su base y el punto de inflexi!n, con

respecto a la base.

M L=(45 ) (1.8)+(15) (1.8) (0.9)=105.3 KN .m↺

M R=(45) (1.8)=81 KN .m↺

Auerza en L0 L

1

∑M UO=0

(45

) (6

)−

(15

) (6

) (3

)−2.4

L0 L1 F +

L0 L

1=0

Auerza en U 0U

1 3

∑M L1 F +



2.4U 0U

1+(18.75) (2.4 )+(15) (6 ) (0.6)−( 45) (3.6)=0

U 0U

1=−26.25 KN

= ARRISTRAMIENT LATERAL EN P+ENTES(

Las armaduras de puentes se refuerzan o arriostran transversalmente por medio de

sistemas de contraventeo o arriostramiento en los planos de las cuerdas superior e

inferior, y tambi#n en planos verticales o inclinados. El contraventeo transversal une las

armaduras principales, haciendo que toda la estructura act%e como un entramado rígido.

&irve para evitar vibraciones excesivas y resistir las cargas laterales producidas por

viento, sismo, cabeceo de locomotoras y por el efecto de fuerza centrifuga de transito deautom!viles en puentes con los sistemas de arriostramiento que se usarían en los planos

de las cuerdas superior e inferior.

" menudo se emplea un sistema de arriostramiento en el plano de los portales extremos,

semeante al mostrado en las figuras *+.? y *+.*+. Este tipo de refuerzo recibe el

nombre de contraventeo de p!rtico.

Fig 10.9 (a) armadura lateral superior.

(b) Planta. Armadura lateral inferior.

2n portal de puente tiene por obeto proporcionar la reacci!n de extremo al sistema

transversal superior, y transmitirla hasta los apoyos. La disposici!n de los contraventeos

o riostras en los portales es muy semeante a la de la estructura de tipo industrial, y es posible analizar dichos p!rticos exactamente como si así lo fueran.



Los portales para puentes como trabes de alma llena pueden ser de los tipos que se

muestran en la fig. *+.**, donde la viga horizontal está rígidamente conectada a las

columnas 'en realidad a las trabes laterales(. Garcos semeantes son parte fundamental

de las estructuras de acero para edificios, y tambi#n pueden analizarse con las mismas

hip!tesis empleadas para edificaciones industriales. En la fig. *+.** 'a( se analiza un

portal con las bases de sus columnas empotradas. En la fig. *+.** 'b( se muestra el

análisis de un portal con las bases de sus columnas articuladas. En cada caso se

muestran la configuraci!n deformada, las reacciones y los diagramas de momentos

flexionante.



> VIGAS CNTIN+AS(

Con frecuencia es práctico aislar una secci!n de un edificio y analizar esa parte de la

estructura. or eemplo, uno o más claros de vigas pueden aislarse como cuerpo libre y

hacer hip!tesis sobre los momentos en esos claros. ara facilitar tal análisis, se muestran

en la fig. *+.*1 los diagramas de momentos flexionantes para diferentes vigas cargadas

uniformemente.

"l analizar esta figura resulta obvia que el tipo de apoyo tiene un efecto considerable en

la magnitud de los momentos. or eemplo, la viga simple con cargas uniforme de la fig.

*+.*1 'a( tiene un momento máximo de wl 2

8 , en tanto que la viga doblemente

empotrada con carga uniforme tendrá uno de wl 2

12 . ara una viga continua cargada

uniformemente se podría estimar un momento máximo con un valor intermedio entre

los dos anteriores, digamos wl 2

10 , y utilizar este valor para el dimensionamiento

preliminar de la viga.

En las expresiones para los momentos positivos, H es la carga de dise4o en tanto que

ln es el claro libre para calcular los momentos positivos y el promedio de claros

adyacentes para calcular los momentos negativos. Estos valores de determinaron para

miembros con claros aproximadamente iguales 'el mayor de los dos claros adyacentes

no excede al menor en más de 1+/( y para casos en los que la relaci!n de la carga viva

uniforme de servicio con la carga muerta uniforme, tambi#n de servicio, no es mayor

que tres. Estos coeficientes no son aplicables a elementos de concreto pre reforzado. &i

estas condiciones limitantes no se cumplen deberá usarse un m#todo más preciso de

análisis.



ara el dise4o de una viga o de una losa continua, los coeficientes de momentos

proporcionan dos conuntos de diagramas de momento flexionante para cada claro de la

estructura. 2n diagrama resulta de colocar las cargas vivas de manera que produzcan un

momento máximo positivo en el claro, en tanto que el otro resulta de colocar las cargas

vivas de manera que produzcan un momento máximo negativo en los apoyos. &in

embargo, no es posible producir momentos máximos negativos en ambos extremos de

un claro, simultáneamente. &e necesita una posici!n de las cargas vivas para producir un

momento máximo negativo en un extremo del claro y otra posici!n para producir un

momento máximo negativo en el otro extremo.

Co"1ici"nt"! d" ACI



Gomento positivo

Claros extremos

&i el extremo discontinuo no esta rígido

1

11wl

2

n

&i el extremo discontinuo es monolítico con el apoyo

1

14wl

2

n

Claros interiores

1

16wl

2

n

Gomento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior

0os claros

1

9wl

2

n

Gas de dos claros

1

16wl

2

n

Gomento negativo en otras caras de apoyos interiores1

11wl

2

n

Gomento negativo en caras de todo apoyo para 'a(losas

con claros que no excedan de m y 'b( vigas y trabes donde

la relaci!n de la suma de las rigideces de las columnas con la

1

12

wl 2

n



rigidez de la viga exceda de ocho en cada extremo del claro

Cuando el soporte es una viga de fachada o una trabe1

24wl

2

n

Cuando el soporte es una columna

1

16wl

2

n

Auerza cortante en elemento extremos, en la cara del

primer apoyo interior

1.5wln

2

fuerza cortante en las caras de todos los demás apoyosw ln

2

&in embargo, la suposici!n de que ambos ocurren al mismo tiempo se encuentra del

lado de la seguridad, porque el diagrama resultante tendrá valores críticos mayores que

los producidos al considerar por separado las condiciones de carga.

Los coeficientes del "CB dan puntos máximos para una envolvente de momentos para

cada claro de una estructura continua. En la fig. *+.* se muestran envolventes típicas

para una losa continua construida monolíticamente con sus apoyos externos que son en

este caso trabes de fachada.

En algunas ocasiones el proyectista aislará una parte de sus estructuras que no soloincluya las vigas sino tambi#n las columnas de los pisos superiores e inferiores, como se



muestra en la fig. *+.*-. Este procedimiento, llamado m#todo del marco equivalente, es

s!lo aplicable a cargas de gravedad. Los tama4os de los elementos se estiman y se hace

un análisis usando un m#todo apropiado 5exacto6 tal como el de distribuci!n de

momentos de Cross que se describe en los capítulos *- y *7.

)? ANALISIS DE ESTR+CT+RAS DE EDI@ICIS PR CARGAS

VERTICALES

2n m#todo aproximado para analizar estructuras de edificios considerando cargasverticales, consiste en suponer que en las trabes existen puntos de inflexi!n localizadosaproximadamente a *;*+ de la longitud, desde cada extremo, y que además es nula lafuerza axial en dichas trabes '1(.

Los supuestos anteriores tienen el efecto de crear una viga simplemente apoyada entrelos puntos de inflexi!n, pudiendo determinarse por estática los momentos positivos enla viga. En las trabes aparecen momentos puede calcularse considerando que la parte dela viga hasta el punto de inflexi!n funciona como voladizo.

La fuerza cortante en el extremo de cada traba contribuye a las fuerzas axiales en lascolumnas. "nal!gicamente, los momentos flexionantes negativos de las trabes son

transmitidos a las columnas. En el caso de columnas intermedias, los momentosflexionantes sobre las trabes de cada lado se oponen entre sí y pueden cancelarse.

En las columnas exteriores hay momentos flexionantes %nicamente en un lado, producidos por las trabes unidas a ellas, y deben considerarse en el dise4o.

En la fig. *+.*7, la viga "I de la estructura de edificio se analiza suponiendo puntos deinflexi!n en puntos localizados a *;*+ de la longitud, y apoyos empotrados en losextremos de las vigas.



ara hacer estimaciones razonables sobre la posici!n delos puntos de inflexi!n, puede

ser muy conveniente esbozar la curva elástica aproximada de la estructura.

Como ilustraci!n se dibua a escala en la fig. *+.*8'a( una viga continua y en la fig.

*+.*8 'b( se esboza su curva elástica para las cargas mostradas. 0e tal esbozo puede

estimarse la posici!n aproximada de los puntos de inflexi!n. or %ltimo, en la parte 'c(

de la fig. se aísla la parte de la viga comprendida entre los puntos de inflexi!n del claro

central) esa parte de la viga se comporta como si estuviera simplemente apoyada.

&ería %til que el lector viera d!nde se presentan los puntos de inflexi!n en unas cuantas

vigas estáticamente indeterminadas. Esto lo ayudaría en la estimaci!n de las posiciones

de tales puntos en estructuras más complicadas. En la fig. *+.*< se muestran los

diagramas de momentos de varías vigas. Los puntos de inflexi!n ocurren obviamente

donde los momentos camban de signo.



))

ANALISIS DE ESTR+CT+RAS DE EDI@ICIS PARA CARGAS LATERALES

Las estructuras de edificios están suetas tanto a cargas laterales como a cargas

verticales. La necesidad de considerar cuidadosamente estas fuerzas aumenta con la

altura del edificio. :o s!lo debe tener suficiente resistencia lateral para impedir el

colapso, sino tambi#n la suficiente resistencia a la deformaci!n, para evitar alteracionesinaceptables en sus diferentes partes.



Jtro concepto importante es la provisi!n de suficiente rigidez lateral para dar a los

ocupantes una sensaci!n de seguridad, lo cual no podría ocurrir en edificios altos donde

se produesen desplazamientos laterales notables debido a intensas fuerzas de viento.

&uelen presentarse casos reales de personas que ocupan los pisos de mayores alturas y

quienes son aqueadas por mareo en días con vientos muy fuertes.

Las cargas laterales se pueden tomar por medio de arriostramiento en K o de otro tipo,

por medio de muros de cortante o por conexiones resistentes a momento. En este

capitulo s!lo se considerará este %ltimo procedimiento.

Los edificios construidos por marcos rígidos son sumamente hiperestáticos, y su análisis

mediante los m#todos 5exactos6 comunes es muy laborioso, por lo que se utilizan

mucho los m#todos aproximados. El grado total de indeterminaci!n estática de unedificio 'tanto interna como externa( se puede tener considerando que consta de p!rticos

independientes. En la fig. *+.*? se ve c!mo se descompone en un conunto de p!rticos,

un nivel de la estructura rígida mostrada en la fig. *+.*>.Cada portal estáticamente

indeterminado de tercer grado y el grado total de indeterminaci!n de un edificio es igual

a tres veces el n%mero de portales que constituyen la estructura.



En lo que sigue se analiza la estructura de un edificio mostrada en la fig. *+.*> mediante

los m#todos aproximados, comparándose los resultados así obtenidos con los de uno de

los m#todos 5exactos6 que se aplican en cada capítulo posterior. &e seleccionaron las

dimensiones y las cargas de manera que ilustren convenientemente los m#todos

aplicados y que los cálculos sean sencillos. Existen ? trabes en la estructura, lo cual da

un grado total de hiperestaticidad igual a 1<, por lo que se necesitará un total de 1<

hip!tesis para poder tener una soluci!n aproximada.



&e debe tener presente que en la actualidad, con la existencia y disponibilidad de accesode las calculadoras digitales, es factible realizar análisis 5exactos6 en un tiempo

considerablemente menor que el requerido por los m#todos aproximados 'sin el uso de

tales calculadoras(. Los valores más precisos obtenidos permiten el empleo de

elementos estructurales de menores dimensiones, por lo que el uso de la calculadora

ahorra tanto tiempo en la realizaci!n de los cálculos, como en los materiales. Es posible

analizar en unos cuantos minutos estructuras 'tales como edificios altos( estáticamente

indeterminadas con cientos o aun miles de redundantes, mediante el m#todo de losdesplazamientos. Los resultados para esas estructuras sumamente indeterminadas son



bastante mas precisos y pueden además, obtenerse en forma mas econ!mica que los

suministrados por los análisis aproximados.

Los dos m#todos considerados aquí son el portal y el de voladizo. "mbos se emplearon

con #xito en tantos dise4os de edificios, que llegaron a convertirse en el procedimientoestándar de dise4o de los ingenieros antes del empleo de las computadoras modernas.

En ninguno de ellos se toman en cuenta las propiedades elásticas de los elementos

estructurales. Estas omisiones pueden ser muy serias en marcos asim#tricos y en

edificios muy altos. " fin de ilustrar la seriedad del problema se expondrán los cambios

que experimentan las dimensiones en un edificio muy alto.

En tales edificaciones probablemente no hay grandes cambios en el tama4o de las vigas

desde el piso más alto hasta el más bao. ara las mismas cargas y claros los cambios

dimensionales se deberían a los momentos flexionantes causados por el viento en los

pisos inferiores. &in embargo, la variaci!n en el tama4o de las columnas entre los

niveles extremos puede ser considerable. El resultado es que los tama4os relativos de

columnas y vigas en los pisos superiores, son completamente diferentes a los de esos

elementos en los pisos inferiores. &i no se considera este hecho, se originarán graves

errores en el análisis.

$anto en el m#todo del portal como en el de voladizo se supone que las cargas

producidas por el viento son resistidas totalmente por la estructura o marco principal del

edificio, sin que los pisos y los muros contribuyan a la rigidez total. &e supone, además,

que son insignificantes los cambios de longitud en trabes y columnas. &in embargo, no

lo son en el caso de edificios elevados y esbeltos, cuya altura sea unas cinco veces la

dimensi!n horizontal mínima.

&i la altura del edificio es por lo menos cinco veces mayor que su mínima dimensi!nlateral, generalmente se considera que debería usarse un m#todo más exacto que el del

portal o el de voladizo. Existen varios excelentes m#todos aproximados, los cuales

emplean las propiedades elásticas de las estructuras y que dan valores muy cercanos a

los que se tienen con los m#todos 5exactos6. Entre ellos están3 el m#todo del factor '(,

el m#todo de itmer '-( de los porcentaes 9 y el m#todo de &purr '7(. &i se deseara

emplear un m#todo 5exacto6 manual, podría recomendarse en m#todo de la distribuci!n

de momentos o m#todo de Cross que se estudiará en los capítulos *- y *7.



M%todo d" &orta(

El m#todo aproximado más com%n para analizar las estructuras de edificios suetos a

cargas laterales es el del portal. 0ebido a su sencillez, probablemente se ha empleado

más que cualquier otro procedimiento aproximado para determinar las fuerzas internas producidas por carga de viento en estructuras de edificios. &e dice que este m#todo, que

fue expuesto por vez primera por "lbert &mith en la publicaci!n denominada Mournal of

the estern &ociety of Engineers 'abril, *?*7(, es satisfactorio para edificios hasta de 17

pisos '8(.

0eben formularse por lo menos tres hip!tesis por cada marco o por casa trabe. En este

m#todo, la estructura se considera dividida en p!rticos o marcos independientes 'fig.

*+.*?( y se establecen los tres supuestos siguientes3

*. Las columnas se deforman de manera que en su punto medio se forma un punto

de inflexi!n como se muestra en la fig. *+.** 'a(.1. Las trabes se deforman de modo que en su punto medio se forma un punto de

inflexi!n.. Las fuerzas cortantes horizontales en cada nivel están distribuidas

arbitrariamente entre las columnas. 2na distribuci!n que se emplea

com%nmente 'ilustrada aquí( consiste en suponer que la fuerza cortante sereparte entre las columnas seg%n la siguiente relaci!n3 una parte para las

columnas exteriores y dos para las interiores. En la fig. *+.*? puede verse la

raz!n de suponer esta relaci!n. Cada columna interior forma parte de los

marcos, en tanto que una columna exterior sirve s!lo para uno. Jtra distribuci!n

com%n consiste en suponer que la fuerza cortante N tomada por cada columna

es proporcional al área de piso que soporta. La distribuci!n de cortante realizada

mediante ambos procedimientos sería la misma para un edificio con claros deigual tama4o, pero en un con claros desiguales, los resultados diferirían de los

del m#todo del área de piso, dando probablemente resultados más reales.



En esta estructura existen 1< redundantes) para determinar sus valores se ha formado

una hip!tesis relacionada con la posici!n del punto de inflexi!n en cada una de las 1*columnas y trabes. &e establecen, además, tres supuestos en cada nivel respecto a la

distribuci!n de cortante en cada marco, o sea, que el n%mero de hip!tesis para cortante

es menor en una unidad al n%mero de columnas de cada nivel. ara la estructura se

formulan ? hip!tesis de cortante, dando así un total de + con s!lo 1< redundantes. &e

han establecido entonces más hip!tesis que las necesarias, pero esto es congruente con

la soluci!n 'es decir, si s!lo se usaran 1< y los valores restantes se obtuvieran por

estática, los resultados serían id#nticos(.

An#i!i! d" a "!tructura

La estructura se analiza en la fig. *+.1+ con base en las hip!tesis anteriores. Las flechas

mostradas en la figura dan el sentido de la fuerza cortante en las trabes y de la fuerza

axial en las columnas.



El lector puede visualizar las condiciones de esfuerzo en la estructura s!lo con suponer

que el empue del viento es de izquierda a derecha, y produce así tensi!n en las

columnas exteriores de la izquierda y compresi!n en las columnas exteriores de la

derecha. En resumen, los cálculos se realizaron como sigue.

)( Cortant" "n a! cou$na!

&e determinaron primero las fuerzas cortantes en cada columna para los diversos

niveles. La fuerza cortante total en el nivel más alto vale 8<+7 9:. Como existen dos

columnas exteriores y dos interiores, se puede escribir la siguiente expresi!n3

x+2 x+2 x+ x=6705 KN

x=11.25 KN

2 x=22.50 KN

La fuerza cortante en la columna &0 vale **.17 9:) en OP es de 11.7 9:, etc.

"simismo se determinaron las fuerzas cortantes para las columnas de los niveles

primero y segundo, donde las cortantes totales tienen valores de <.7 y 1+1.7 9:,

respectivamente.

*( Mo$"nto! "n a! cou$na!

&e supone que las columnas tienen puntos de inflexi!n en sus puntos medios, de ahí que

el momento flexionante, en sus partes superior e inferior, es igual al producto de la

fuerza cortante en la columna por la mitad de la altura.

-( Mo$"nto! 0 cortant"! "n tra5"!

En cualquier nudo de la estructura, la suma de los momentos flexionantes en las trabes

es igual a la suma de los momentos en las columnas, los cuales han sido determinados

previamente. Comenzando en la esquina superior izquierda del marco total, y



avanzando de izquierda a derecha, por suma o resta de los momentos, seg%n el caso, los

momentos flexionantes en las trabes se determinaron en el siguiente orden3 0P, PL, L,

CO, O9, etc. &e concluye que con los puntos de inflexi!n en el centro de cada trabe, la

fuerza cortante en #stas es igual al momento flexi!nate correspondiente, dividido entre

la mitad de la longitud de la trabe.

7( @u"r3a a'ia "n a! cou$na!

La fuerza axial en las columnas se puede determinar directamente a partir de las fuerzas

cortantes en las trabes. Comenzando en la esquina superior izquierda, la fuerza axial en

la columna C0 es num#ricamente igual a la diferencia entre las fuerzas cortantes en lastrabes 0P y PL, que es cero en este caso. '&i los marcos tienen el mismo ancho, las

fuerzas cortantes en la trabe de un nivel serán iguales, y la fuerza axial en las columnas

interiores será nula, ya que s!lo se consideran las cargas laterales(.

E $%todo d" 4oadi3o

Jtro m#todo sencillo para analizar estructuras de edificios suetos a fuerzas laterales, es

el de voladizo, presentado por vez primera por ".C ilson en el Engineering ecord de

septiembre del *?+>. &e dice que este m#todo es algo mas adecuado para edificios altos

y de relativamente poca anchura, que el del portal, pudi#ndose utilizar en forma

satisfactoria para edificios con no más de 17 a 7 pisos '<(. &in embargo, no es tan

popular como el m#todo del portal.

El m#todo de ilson emplea las hip!tesis del m#todo del portal relativas a las

posiciones de los puntos de inflexi!n en columnas y trabes) sin embargo, la tercera

hip!tesis es algo diferente. En vez de suponer que la fuerza cortante en un nivel

particular se reparte entre las columnas conforme a una cierta relaci!n, se considera que

la fuerza axial en cada columna es proporcional a su distancia al centro de la gravedad

de todas las columnas en ese nivel. &i se supone que las columnas en cada nivel tienen

la misma área transversal 'como se supondrá en todos los problemas relativos a este

m#todo en este capitulo(, entonces sus fuerzas variarán en proporci!n a sus distancias al

centro de la gravedad. Las cargas de viento tienden a volcar el edificio, comprimiendo



las columnas que se encuentran a sotavento y tensando las que están a barlovento.

Cuando mayor sea la distancia de una columna al centro de gravedad de todo el grupo,

tanto mayor será su fuerza axial.

La nueva hip!tesis equivale a formular un numero de supuestos para fuerza axial igual

al numero de columnas en cada nivel, menos uno. :uevamente, la estructura contiene

1< redundantes y + hip!tesis '1* para la posici!n de los puntos de inflexi!n en trabes y

columnas(, pero las suposiciones sobrantes son congruentes con la soluci!n.

An#i!i! d" a "!tructura

En la fig. *+.1* se muestra el análisis, mediante el m#todo del voladizo, de la estructura

analizada anteriormente por el procedimiento del portal. En resumen, los cálculos se

efectuarán como sigue3

)( @u"r3a a'ia "n cou$na



Considerando primero el nivel más alto, se toman momentos con respecto al punto de

inflexi!n de la columna C0, de las fuerzas que se encuentran sobre el plano de inflexi!n

en las columnas de ese nivel. &eg%n la tercera hip!tesis, la fuerza axial en OP será s!lo

*; de la de C0, siendo de tensi!n en OP y C0, en tanto que en 9L y J es de

compresi!n. La siguiente expresi!n se escribe, con respecto a la fig. *+.11, para

determinar los valores de las fuerzas axiales en las columnas del piso más alto.

(67.5 ) (3 )+(1S ) (6 )−(1S) (12 )−(3 S ) (18 )=0

S=3.375 KN

3S=10.125 KN

La fuerza axial en C0 vale *+.*17 9: y en OP vale .<7 9:, etc. &e efectuarán

cálculos semeantes para cada nivel, determinándose de esta manera las fuerzas axiales

en las columnas.

*( Cortant" "n tra5"!

El siguiente paso consiste en determinar la fuerza cortante en las trabes a partir de las

fuerzas axiales en las columnas. Estas fuerzas cortantes se determinan comenzando en

la esquina superior izquierda, recorriendo el nivel más alto, y sumando o restando las

fuerzas axiales en las columnas, seg%n su signo. Este procedimiento es semeante al

m#todo de los nudos empleados para calcular las fuerzas en los elementos de una

armadura.



-( Mo$"nto! "n cou$na! 0 tra5"! 0 cortant" "n cou$na!

Los pasos finales se pueden resumir rápidamente. Los momentos flexionantes en las

trabes, como antes, son iguales al producto de las fuerzas cortantes en ellas, por la mitad

de su longitud. Los momentos flexionantes en las columnas se logran comenzando en laesquina superior izquierda, recorriendo sucesivamente cada nivel, y sumando o restando

los momentos en trabes y en columnas, obtenidos previamente. La fuerza cortante en las

columnas es igual al momento flexionante en #stas divido entre la mitad de la altura de

una columna.

La tabla *+.1 compara los momentos en los miembros de este marco determinados con

los dos m#todos aproximados y con el m#todo de distribuci!n de momentos descrito en

los capítulos *- y *7. Jbs#rvese que para varios miembros los resultados aproximados

difieren bastante de los resultados obtenidos con el m#todo 5exacto6. Conforme se vaya

adquiriendo experiencia en el análisis de estructuras indeterminadas por medio de

m#todos 5exactos6, se verá que los puntos de inflexi!n no se presentan exactamente en

los puntos medios de los miembros. 2sando una posici!n meorada para tales puntos, se

tendrán meores resultados en el análisis. El m#todo de IoHman '>( establece la

posici!n de los puntos de inflexi!n en las columnas y en las trabes de acuerdo con un

conunto especificado de reglas que dependen del n%mero de pisos del edificio. "demás,

las fuerzas cortante se dividen entre las columnas de cada nivel, de acuerdo con un

conunto de reglas basadas tanto en los momentos de inercia de las columnas como en

los anchos de los vanos o cruías. La aplicaci!n del m#todo de IoHman proporciona

resultados mucho meores que los obtenidos por los m#todos del portal y del voladizo.

Ta5a )?(* MMENTS EN LS ELEMENTS DEL MARC

E"$"nto

Mo$"nto

D"

&orta

Mo$"nto

D"

4oadi3o

Mo$"nto d"

Cro!!

E"$"nto

Mo$"nto

D"

&orta

Mo$"nto d"

4oadi3o

Mo$"nto d"

Cro!!

"I *8>.<7 *7*.><7 18>.87 B M <.7+ 7-.<7 1?.-I" *8>.<7 *7*.><7 *<*.-7 M B <.7+ 7<.<7 1>.?7IC *+*.17 ?*.*17 >.< M A 1<+.++ 1-.++ *><.87IA 1<+.++ 1-.++ 177.*7 M 9 1+1.7 1*1.817 *8-.<CI *+*.17 ?*.*17 *1-.1 M : 1<+.++ 1-.++ 1*<.7

C0 .<7 +.<7 *.7 9 M 1+1.7 1*1.817 *?+.7



CO *7.++ *1*.7+ *<.< 9 O *7.++ *81.++ **1.+70C .<7 +.<7 ->.8+ 9 L 8<.7 <+.><7 -7.?+0P .<7 +.<7 ->.8+ 9 J *7.++ *1*.7+ *17.77EA <.7+ 7-.<7 +1.- L 9 8<.7 <+.><7 <7.8AE <.7+ 7-.<7 1>.?7 L P .<7 -+.7 7.*

AI 1<+.++ 1-.++ 1*<.7 L .<7 +.<7 -+.7AO 1+1.7 1*1.817 *8-.<+ G : *8>.<7 *7*.><7 18>.87AM 1<+.++ 1-.++ *><.87 : G *8>.<7 *7*.><7 *<*.-7OA 1+1.7 1*1.817 *?+.7 : M 1+1.7 1-.++ 177.*7

OC *7.++ *1*.7+ *17.77 : J *+*.17 ?*.*17 >.<OP 8<.7 <+.><7 -7.? J : *+*.17 ?*.*17 *1-.1O9 *7.++ *81.++ **1.+7 J 9 *7.++ *1*.7 *<.<PO 8<.7 <+.><7 <7.8 J .<7 +.<7 *.7P0 .<7 +.<7 -+.7 J .<7 <.<7 ->.8

PL .<7 -+.7 7.* L .<7 +.<7 ->.8

)* ANALISIS DE LA ARMAD+RA VIERENDEEL

2na 5armadura6 frecuentemente empleada en Europa y ocasionalmente en Estados

2nidos, es la desarrollada por G. Nierendeel en *>?8. Este tipo de estructura, ilustrado

en la fig. *+.1 no es realmente una armadura com%n y exige el empleo de los nudos

resistentes a momento flexi!nate. Las cargas están soportadas mediante la resistencia a

la flexi!n de sus elementos cortos y fuertes. "unque su análisis y dise4o son muy

difíciles, se trata de una estructura bastante eficiente.

Estas estructuras son sumamente hiperestáticas se pueden analizar en forma aproximada

con el m#todo del portal o del voladizo, ya descritos en la secci!n precedente. La fig.

*+.1- muestra los resultados logrados al aplicar el m#todo del portal a una armadura

Nierendeel. 'En este caso sim#trico el m#todo del voladizo daría los mismos

resultados(. ara seguir los cálculos, al lector puede facilitársele mirar la estructura de

lado, porque la fuerza cortante considerada es vertical, en tanto que las estructuras antes

analizadas era horizontal.



2n análisis 5exacto6 de esta armadura realizado con el programa para computadora

adunto a este texto 'v#ase el capitulo 1+(, da los valores mostrados en la fig. *+.17.





En este programa se supuso que los elementos tienen áreas transversales y momentos de

inercia constantes. uesto que los puntos de inflexi!n no se encuentran exactamente a la

mitad de los elementos, los momentos flexionantes en sus extremos varían hasta cierto

punto, y ambos momentos se indican en la figura. "unque los resultados obtenidosmediante el m#todo del portal parecen muy razonables para esta armadura particular,

podrían haberse meorado austando ligeramente las posiciones supuestas para los

puntos de inflexi!n.

En muchas estructuras Nierendeel, sobre todo las de varios pisos, los elementos

horizontales inferiores pueden ser mucho más grandes y rígidos que los demás

elementos horizontales. ara tener meores resultados con los m#todos del portal o del

voladizo, se debe tener en cuenta la falta de uniformidad de las dimensiones,

suponiendo que la mayor parte de la fuerza cortante es tomada por los elementos más

rígidos.



P

a b

A B

Fig. 1. Viga apoyada-empotrada.

P

VA VB

MB

ANALISIS DE VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

CASS PRBLEMAS

*.*. 0EAB:BCBQ:.

&e denomina de esta manera a una barra sueta a carga lateral) perpendicular a su eelongitudinal, en la que el n%mero de reacciones en los soportes superan al n%mero de

ecuaciones disponibles del equilibrio estático, esto es3 el n%mero de inc!gnitas es mayor

que3

+

+

+

=∑

=∑

=∑

M

F

F

!

La figura *, muestra una viga de este tipo con un extremo simple 5"6 y el otroempotrado 5I6 bao una carga puntual .

" continuaci!n se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En el

soporte 5"6 existe s!lo reacci!n vertical puesto que el rodillo no impide el

desplazamiento horizontal. En el empotramiento en 5I6 hay dos reacciones dado que

este soporte no permite ni desplazamientos ni rotaciones.



P Pw

L1 L2 L3

A B C D

Fig. 2. Viga continua

P Pw

MA

VA VB VC VD

uesto que existen tres reacciones desconocidas) las fuerzas cortantes N" y NI y el

momento flexionante GI y s!lo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio) G y

Ay, la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática pues no es posible conocer

las tres reacciones con solo dos ecuaciones. 'Pay más inc!gnitas que ecuaciones(.

Jtro tipo de viga hiperestática es aquella que tiene más de dos soportes, y que se

denomina Niga Continua, como la que se muestra en la figura 1.

Este caso corresponde a una barra mucho más complea de analizar puesto que ahora

existen cinco reacciones externas de soporte) las fuerzas cortantes verticales y el

momento flexionante en el empotramiento ubicado en 5"6.

ara la soluci!n de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del equilibrio

estático, un camino a seguir consiste en hacer el análisis de las deformaciones angulares

o rotaciones de los nodos cuando las barras se flexionan 'pandean(, bao el efecto de lascargas aplicadas. Este análisis se plantea más adelante.

*.1. B:0E$EGB:"CBQ: E&$"$BC".

&e define como el n%mero de acciones redundantes o exceso de reacciones internas y

externas, que no es posible determinar por medio del equilibrio estático. &e puede decir

que es la diferencia entre el n%mero de inc!gnitas y ecuaciones disponibles de equilibrio



Eje original no deformadoP

Cura e!"#tica de de$ormaci%n&angente

Fig. 3. Viga de$ormada por 'e(i%n

estático. or eemplo la viga de la figura * tiene tres reacciones desconocidas y solo se

dispone de dos ecuaciones de equilibrio, la viga es indeterminada en grado *3

:%mero de inc!gnitas F :B F

Ecuaciones de equilibrio F EE F 1

Orado de indeterminaci!n F OB F :B R EE F R 1 F *

Niga de la figura 13

:B F eacciones verticales y momento en el empotramiento F 7

EE F Equil. vertical y suma de momentos F 1

OB F 7 R 1 F

En ambos casos los OB representan el n%mero de ecuaciones adicionales para su

soluci!n.

*.. &JL2CBJ: 0E NBO"& PBEE&$"$BC"&.

&e analizan vigas estáticamente indetermindas con obeto de conocer las reacciones

externas e internas en los soportes, así como las deformaciones angulares y lineales que

ocuren a trav#s de su longitud cuando se les somete a carga axterna. Las deformaciones

angulares son las rotaciones o pendientes que se miden mediante una tangente trazada a

la curva elástica '0iagrama de deformaci!n( y las lineales son los desplazamientos

verticales que se miden entre el ee original de la viga y el ee cuando la barra se

flexiona. La figura muestra esta condici!n.



)** +g,m

1 2Fig.

F Carga aplicada.

F otaci!n o pendiente.

F 0eformaci!n lineal o flecha.

*..*. GE$J0J 0E L" 0JILE B:$EO"CBQ:.

Es uno de tantos m#todos que se basan en el análisis de las deformaciones, en particular

la de los soportes. El m#todo consiste en integrar sucesivamente una ecuaci!n

denominada 5Ecuaci!n 0iferencial de la Elástica6 dada por la expresi!n3

x M dx

yd

EI =

*

*

E F G!dulo elástico del material del que está hecha la viga.

B F Gomento de inercia de la secci!n transversal respecto al ee neutro.

Gx F Ecuaci!n de momentos a lo largo de toda la barra.

"l integrar sucesivamente la ecuaci!n de momentos, aparecen constantes que seránecesarios definir. Estas constantes se determinan en funci!n de las condiciones de

frontera, que generalmente las definen los tipos de apoyo o la simetría de la carga.

ecordemos que un apoyo simple tiene pendiente pero no tiene flecha y un apoyo

empotrado no tiene ni pendiente ni flecha. En un punto cualquiera de la viga, la

pendiente es la misma analizando las cargas y momentos a la izquierda o a la derecha

del punto.

Pro5"$a )(

0etermine los momentos flexionantes y las reacciones verticales en la viga de la figura

-(. $omar EB constante. El apoyo * es simple el 1 es empotramiento.



) * * + g , m

(V1

V2

M2Criterio de #igno#

/

Ecuaciones de momento. &e traza el diagrama de cuerpo libre indicando las reacciones

desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuaci!n de momentos y se le

integra sucesivamente.

80250 21 ≤xxxVMx

212

2

250xxVdx

dEI y

Bntegrando3

)CxxV

dx

EIdy1

3

250

2 1

321

)CxC

xxV

EIY 212

250

6 21

431

Cálculo de las constantes. La ecuaci!n *( proporciona la pendiente 'dy;dx( en cualquier

punto de la viga. El apoyo 1( está empotrado y no tiene pendiente por lo que

sustituyendo x F > e igualando a cero se tiene3

1

321

3

8250

2

80 C

)()(V

11 326666642 V.,C

La ecuaci!n 1( proporciona la flecha S en cualquier punto de la viga. El apoyo *( es

simple y no tiene flecha, sustituyendo x F + e igualando a cero, se tiene3 C1 F +

En la misma ecuaci!n 1( la flecha es cero en x F > y sustituyendo C* logramos obtener

una ecuaci!n en funci!n de la reacci!n N* la que al resolverse nos da su valor.



)** +g,m

.m

2500

1 2

Fig. 5)

832666664212

8250

6

80 1

431 )V.,(

)()(V

N* F *7++.++ Tg

or equilibrio de fuerzas verticales se obtiene la reacci!n N1.

N* U N1 @ 7++'>( F +

N1 F 17++.++ Tg

Conocidas las reacciones verticales, el momento G1 puede calcularse sumando

momentos en el nodo *( o en el 1( o sustituyendo x F > en la ecuaci!n de momentos.

G* F G1 U 7++'>(- @ 17++'>( F +

G1 F -+++.++ Tg.m

Pro5"$a *(

Jbtenga los momentos y reacciones verticales para la viga de la figura 7(. $race

tambi#n los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante. &i la secci!n

transversal es compacta rectangular de *7x17 cm, calcule la flecha al centro del claro

para un m!dulo elástico de 17+,+++.++ cm-.



(

X1

M1 M2

V1 V2Criterio de #igno#

/

Ecuaciones de momento. &e traza el diagrama de cuerpo libre indicando las reacciones

desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuaci!n de momentos y se le

integra sucesivamente.

)xMxVMx 15011

)x)x(MxVMx 21955800 111111

Bntegrando la ecuacion *(.

112

2

MxVdx

EIdy

)CxMxVdxEIdy 3

2 11

21

)CxCxMxV

EIY 426

21

21

31

En las ecuaciones ( y -(, la pendiente 'dy;dx( y la felcha 'S( son cero en el apoyo *,

esto es cuando x F +. ara esta condici!n C* y C1 son cero.

C* F C1 F +

Bntegrando la ecuaci!n 1(.

)x(MxVdx

EIdy5800 11112

1

2

)C

)x(

xM

xV

dx

EIdy

52

5800

2 3

21

11

211

1



.m.m

**

**

1***

1***1***

Fuer0a Cortante

Momento F!ector

)CxC)x(xMxV

EIY 66

5800

26 413

31

211

311

En las ecuaciones ( y 7( la pendiente es la misma cuando x F x* F 7. "l comparar estas

ecuaciones resulta C F +

En las ecuaciones -( y 8( la flecha es la misma cuando x F x* F 7. "l comparar estas

ecuaciones resulta C- F +

&e requieren ahora 1 ecuaciones de equilibrio. Estas ecuaciones se obtienen para x* F *+

en 7( y 8(, ya que en este apoyo la pendiente y la flecha son cero.

En 7( cuando x* F *+, 'dy;dx* F +(3

*

9)?=??)?

*

)??

*

)

*

)

M V

7+N* @ *+G R *+,+++.++ F + @@@@@@@@ <(

En 8( cuando x* F *+, 'S F +(3

0106

5)-10(800

2

10M

6

1043

321

31

=CC)()(V

*88.888 N* @ 7+ G* @ *8,888.888 F + @@@@@@@ >(

esolviendo las ecuaciones <( y >(.

N* F -++ Tg

G* F *+++ Tg.m

0iagramas de cortante y de momento.



12** +g,m

L

A B

12** +g,m

MA MB

VA VB

Alecha al centro del claro. &e obtiene en la ecuaci!mn -( para x F 7.++ m.

)CxCxMxV

EIY 426

21

21

31

EI

.,

Y

66616664

E F 17+,+++.++ Tg;cm1

43

255311912

2515cm.,

)(I =

cm.).,(.,

)(.,Y 8530255311900000250

1066616664 6=

Pro5"$a -(

La viga de la figura 8( tiene ambos extremos empotrados y recibe una carga

uniformemente variable de *1++ Tg;m. 0etermine los momentos y las reacciones

verticales en los empotramientos. $omar EB constante.

Bnc!gnitas y ecuaci!n de momentos.

Fig.



La altura 'y( de la carga triangular a la distancia 'x( se obtiene por triangulos

semeantes.

L

x wy

La resultante del triángulo ubicado en la longitud 'x( y de altura 'y( es su área 'yx;1( y

se ubica a 'x;( que es su centro de gravedad de derecha a izquierda. La ecuaci!n de

momentos es entonces3

Lx

xx

XVM Ax ≤

0M32L

wx

A

A

3

M6

L

x wXVM Ax

&e escribe la ecuaci!n diferencial y se integra sucesivamente.

A

3

2

2

M

6L

wx XV

dx

ydEIA

)(.EcCxL

xV

dx

dyEI A1M

24

wx

2 1A

42

En esta ecuaci!n cuando x F +, la pendiente dy;dx es cero y por tanto la constante C* F

+.

)(.EcCxL

xVEIY A 22

M120wx

6 2

2A53

En esta ecuaci!n cuando K F +, la flecha S F + y por tanto la constante C1 F +.

En las ecuaciones '*( y '1( cuando x F L, la pendiente y la flecha son cero. 0e aquí

resultan dos ecuaciones con dos inc!gnitas.

dy;dx F +. En la ecuaci!n *.

x F L



12** +g,m

21*.**1*

*4* 2)2*

)(.EcLMLV

AA 30

24

wL

2

32

=

S F +. En ecuaci!n 1.

K F L

)(.EcLLVA 402

M

120

wL

6

2A

43

=

La soluci!n de las ecuaciones '( y '-( dan los siguientes resultados3

m.kg.,)(L w

MA 00440130

61200

30

22

=

.kg.,)()( wL

va 00080120

612003

20

3=

La reacci!n vertical en I se obtiene por equilibrio de fuerzas.

.kg.,)()( wL wL

VB 00520220

612007

20

7

20

3wL

2=

El momento en I se obtiene por suma de momentos en " o en I.

020

7wl

30

wL

3

2

2

2

=

= BA MLL wL

M

m.kg.,)( wL

MB 00160220

61200

20

22

=

Pro5"$a 7(

La viga de la figura <( tiene ambos extremos empotrados y recibe una carga

uniformemente distribuida de *1++ Tg;m. 0etermine los momentos y las reacciones

verticales en los empotramientos. $omar EB constante.



3** +g,m

A BFig. 5

3** +g,m

MA MB

VBVA(

61

Bnc!gnitas y ecuaciones de momento.

)(.EcxxVM Ax 150M- A ≤

Bntegrando sucesivamente3

A2

2

M-xVdx

ydEIA

).(.EcCxxV

dx

dyEI A 2M2

1A

2

)(.EcCxCxxV

YEI A 32

M

6 21

2 A

3

En las Ec. '1( y '( la pendiente 5dy;dx6 y la flecha 5y6, son cero por estar el apoyo

empotrado y por tanto, las constantes C* y C1 son cero.

)(.Ecxx(xVM Ax 4105M2

)5-(x

)5300 1A

1

111 ≤

Bntegrando3

)(.EcCxxV

dx

dyEI A 5M6

)5-x(300

2 31A

31

21

1



)(.EcCxCxxV

YEI A 62

M

24

)5-x(300

6 413

21A

41

31

En las ecuaciones '1( y '7( la pendiente tiene el mismo valor cuando

5x F x* F 76, por tanto, al igualar estas ecuaciones, resulta C F +.

En las ecuaciones '( y '8( la flecha tiene el mismo valor cuando

5x F x* F 76, por tanto al igualar estas ecuaciones, resulta C- F +.

En la Ec. '7( la pendiente 5dy;dx6 es cero cuando x* F *+, sustituyendo este valor

resulta la siguiente ecuaci!n3

AA M

()(V10

6

)5-10300

2

100

32

)7(Ec.0002506M1050 A =.,VA

En la Ec. '8( la flecha es cero cuando x* F *+3

2

10M

24

)5-10(300

6

10

0

2A

43 )()(VA

)8(Ec.0508127M50666166 A =.,V. A

"l resolver las ecuaciones '<( y '>(, resulta3

G" F <>*.17 Tg.m

N" F 1>*.17 Tg

NI F*,1*>.<7 Tg &e obtiene por equilibrio vertical.

GIF*,<*>.<7 Tg.m

Nerificaci!n de los momentos con f!rmula3



3** +g,m

541.2)

241.2) 1214.5)

1514.5)

241.2)

1214.5)

.*2)

541.2)

2)

5).4

1514.5)

●1 2

** kg/m

Fig. 4

●

** kg/m

61

(

y

V1 V2

M2

m.kg.)()(L w

MA 25781192

103005

192

5 22

=

m.kg.)()(L w

MB 751718192

1030011

192

11 22

=

Pro5"$a 9(

0eterminar los momentos y trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento

flexionante para la viga de la figura >(.

eacciones desconocidas y ecuaciones de momento.

La altura 'y( del triángulo de base 'x( se obtiene por triángulos semeantes

'y F*++x( y su resultante es su área ' F yx;1( aplicada a 1; de la base 'x( a partir del

extremo izquierdo o *; del extremo derecho 'x;(.

)..Ecxx

xVxyx

xVMx

1406

100

32

3

11 ≤



6

100 3

12

2 xxV

dx

ydEI


)..EcCxxV

dx

dyEI2

24

100

2 1

421

)..EcCxCxxV

EIY 3120

100

6 21

531

En la Ec. (, cuando x F +, la flecha 'S( es cero, y por tanto C1 F +.

Ecuaci!n de momentos a la distancia x*3 ara esta distancia debe tomarse la resultante

total de la carga triangular ya que queda ubicada a la izquierda del punto donde se está

cortando, es decir3 ' F -++'-(;1 F >++ Tg( y se aplica al centroide, esto es a ' 1; de -

F >; F 1.888(.

846662800 1111 ≤x).x(xVMx

).x(xVdx

ydEI 6662800 1112

2


)..EcC).x(xV

dx

dyEI4

2

6662800

2 3

21

211

).EcCxC

).x(xV

YEI 56

6662800

6 43

31

311

Comparando las ecuaciones 1( y -( en x F x* F -, la pendiente es la misma3

2

66624800

24

4100 2

3

4

1

).(C

)(C

)..Ec.CC 655535531



Comparando las Ec. ( y 7( en xFx* F -, la flecha es la misma3

6

666248004

120

41004

3

43

5

1

).(CC

)(C

&ustituyendo Ec. 8(3

04943013163338535553554 433 .CC.).C(

C- F >>-.?> En Ec. -( cuando x* F >, la pendiente es cero 'dy;dx* F +(3

02

66628800

2

83

221= C

).()(V

13 327806237711 V.,C

En Ec. 7( cuando x* F >, la flecha es cero 'S F +(3

093838843278062377118

6

66628800

6

81

331

= .)V.,().()(V

N* F -1+.++ Tg.

or equilibrio vertical3

.kg..)(

V 00380004202

44002 =

or suma de momentos en el nodo *(3

m.kg.)()()(

M 6690683803

42

2

44002 =

=

Nerificaci!n con f!rmula3

m.kg.)()(L w

M 66906480

840017

480

17 22

2 =



** +g,m

2* 34*

7*.

.** .**

2*

34*

411.)2

7*.

13.3

Fuer0a Cortante

Momento F!e(ionanteunto donde la fuerza cortante es cero.

024

400420 =

xxVx

K F 1.>?>1<7 m

La ecuaci!n de momentos es3

4024

400420

3

≤xx

xM x

K F 1.>?>1<7 m

G F >**.71 Tg.m

K F -.++ m

G F 8*.- Tg.m

$EJEG"& 0E J$$J GJP.

Es un m#todo semigráfico ideado por Christian Jtto Gohr '*>7@*?*>( y que

representa una alternativa importante para calcular pendientes y flechas en puntos

específicos de una viga. El procedimiento se conoce tambi#n como G#todo del "rea de

Gomentos y consiste en establecer de manera independiente la variaci!n de la pendiente

y de la flecha en los puntos extremos de un intervalo cualquiera, generalmente definido

por los apoyos. En este intervalo intervienen las áreas de los diagramas de momentos y

el momento de tales áreas. Es recomendable utilizar las áreas de los diagramas de



8AB

Vi

&an

Cam

MDiagrama de momento# cua!9uiera..

g. 7;. Viga #imp!e con carga cua!9uiera.

momentos por partes ya que estos facilitan el cálculo del área así como de su centro de

gravedad. El m#todo consta de dos teoremas, a saber3rimer $eorema de Gohr. 5La

variaci!n o incremento de la pendiente 'V"I( entre las tangentes trazadas a la elástica en

dos puntos cualquiera " y I es igual al producto *;EB por el área del diagrama de

momentos flectores entre estos dos puntos6. En la figura ?( se indica esta condici!n.

0onde3

W"I F Cambio de pendiente entre las tangentes a la curva elásica.

""I F "rea del diagrama de momentos entre " y I.

EI

Aθ ABAB



P

L

A B

Viga con carga cua!9uiera.

M Diagrama de momento# cua!9uiera y centro de graedad re#pecto a! punto B.

Fig. 1*;. Viga #imp!e con carga cua!9uiera.

<BA

●cg

(

EB F igidez a la flexi!n.

&egundo $eorema de Gohr. 5La desviaci!n de un punto cualquiera I respecto de la

tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera ", en direcci!n perpendicular al

ee inicial de la viga, es igual al producto de *;EB por el momento respecto de I del áreade la porci!n del diagrama de momentos entre los puntos " y I6. La figura *+( muestra

esdta condici!n.

0onde3

XI"F 0esplazamiento vertical en I trazado perpendicularmente al ee original

de la viga hasta intersectar con la tangente por ".

"I" F "rea del diagrama de momentos entre los puntos I y ".

K F cg F Centro de gravedad del diagrama de momentos medidos desde I.

Pro5"$a ;(

EI

XAδ BABA =



.,m

A B

Fig. 11;. Viga apoyada-empotrada.

.,m

MB

VA VB

.,m

MB/

2** 2** MB, MB,

1**

1**

MB

.** .**

((

L

cg●

(

A ML,=n / 1;

6 L,=n / 2;

n grado de !a cura

M

●cg M

2L,3 L,3

2

LMA =

Calcular el momento en el empotramiento para la viga de la figura **(. 0eterminar

tambi#n las reacciones verticales.

Bncognitas en la viga.

0iagrama de momentos por partes. &e obtienen dos vigas equivalentes simplemente

apoyadas) una con la carga de >++ Tg;m y la otra con GI.

El obetivo es obtener el momento GI y puesto que la viga está empotrada en I la

pendiente es cero y una tangente por ese punto es horizontal y entonces en el punto " el

desplazamiento vertical es tambien cero. La ecuaci!n que se requiere se obtiene

sumando momentos en " para las áreas de los diagramas de momento, es decir es el

producto de las áreas y el centro de gravedad de cada una medido desde ". Las áreas

arriba del ee 5x6 se toman positivas.

&e recuerdan las áreas y centroides de algunas figuras geom#tricas.



.,m3**

14** 3***

.,m

MB/

2** 2** MB, MB,

MB

.**

((

3.** 3.**

Mm"x.

[ ] [ ] [ ] 042

6504

3

6144004

2

614400=

BA

M.

)()(MΣ

GI F 8++.++ Tg.m

eacciones verticales.

06360036800 =BA V)(MΣ

NI F +++.++ Tg.

N" F >++'8( R +++ F *>++.++ Tg.

Jtra forma de resolver el problema. Considerense los diagramas de momentos reales

para cada viga simple.

El área total del diagrama de la carga uniforme es 1GL;. El momento máximo paraesta carga es HL1;> F 8++ Tg.m.

[ ] [ ] 042

63

3

636002=

BA

M)(MΣ

GI F 8++.++ Tg.m

Pro5"$a <(



3.** 3.**

yB >*

>1...

<m"(.

3**

3**

A B

Calcular la pendiente en el extremo " y la flecha al centro del claro de la viga del

problema anterior, Aig. *1(. $omar EB constante.

$razar una tangente a la curva elástica por el punto " y una vertical por I.

El desplazamiento 5SI6 se obtiene sumando momentos en 5I6 para las áreas de los

diagramas de momentos.

00600212

2

636003

3

636002.,)(

)()(EIYB =

La pendiente en 5"6 se obtiene dividiendo 5SI6 entre la longitud.

EI

.,

EI

.,φA

006003

6

0060021=

El valor de la flecha al centro del claro 5Xmáx.6 se obtiene relacionando geom#tricamente

los desplazamientos indicados en la figura anterior.

Xmáx. F So @ S*

0onde 5So6 se obtiene por triángulos semeantes y 5S*6 se obtiene sumando momentos

para las áreas situadas a la izquierda del centro del claro.

36

oB YY=



3.** 3.**

yB >* >1

...<m"(.

3**

14**

A B

M

L

A ML,3

Cg 3L,

EI

.,

EI

),(Yo

0080010

6

600213=

Cg F Centro de gravedad de derecha a izquierda.

0040053

3

2

31800

4

33

3

33600501336001 .,

)()()(.)(EIY =

EI

.,Y

0040051 =

EI

..

EI

.,

EI

.,δ .Máx

0040050040050080010=

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