Estructuras Estaticamente Indeterminadas Unidad i

ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS

ESTRUCTURA II Pgina 1

ESTRUCTURAS ESTTICAMENTE INDETERMINADAS Estructuras Estticamente Indeterminadas. Definicin Estructuras Estticamente indeterminadas, Equilibrio, Compatibilidad, Relacin Fuerza-Desplazamiento, Condiciones a Satisfacer en la resolucin de estructuras estticamente indeterminadas, Mtodos de generales de anlisis de estructuras estticamente indeterminadas.

2013

SECCION: V VIRTUAL

FACILITADOR: ING. LORENZO MANTILLA



INDICE.

INTRODUCCION -------------------------------------------------------------------- 2

ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS ------------------------- 3

EQUILIBRIO ------------------------------------------------------------------------- 7

COMPATIBILIDAD ------------------------------------------------------------------ 11

RELACION FUERZA DESPLAZAMIENTO --------------------------------------- 15

CONDICIONES A SATISFACER ---------------------------------------------------- 16

METODOS GENERALES ------------------------------------------------------------- 19

CONCLUSION ------------------------------------------------------------------------- 31



INTRODUCCIN.

Las estructuras estticamente indeterminadas pueden estudiarse,

utilizando distintas teoras de deformaciones elsticas. Cualquier estructura

estticamente indeterminada puede convertirse en una estticamente

determinada y estable, al suprimir las ligaduras adicionales llamadas acciones

sobrantes o hiperestticas, o simplemente hiperestticas, esto es, aquellas

fuerzas que exceden del mnimo necesario para que la estructura este en

equilibrio esttico.

Las estructuras indeterminadas tienen ms reacciones en los apoyos o

miembros, o ambas cosas, que los requeridos por la estabilidad esttica, las

ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la determinacin

de las reacciones y las fuerzas internas de esas estructuras y deben

complementarse por medio de relaciones basadas en la configuracin

geomtrica de la deformacin de las estructuras.

Cuando una estructura tiene ms reacciones externa o fuerzas internas

que las que pueden determinarse con las ecuaciones de la esttica, la

estructura es estticamente indeterminada o hiperesttica o contina

producir fuerzas cortantes, momentos flexionantes y deflexiones en las otras

partes de la estructura. En otras palabras, cargas aplicadas a una columna

afectan a las vigas, a las losas, a otras columnas y viceversa.

Casi todas las estructuras de concreto reforzado son hiperestticas.



Estructuras Estticamente indeterminadas.

En esttica, una estructura es hiperesttica o estticamente

indeterminada cuando est en equilibrio, pero las ecuaciones de la esttica

resultan insuficientes para determinar todas las fuerzas internas o las

reacciones. [Una estructura en equilibrio estable que no es hiperesttica es

isosttica]. Existen diversas formas de hiperestaticidad:

Una estructura es internamente hiperesttica si las ecuaciones

de la esttica no son suficientes para determinar los esfuerzos

internos de la misma.

Una estructura es externamente hiperesttica si las ecuaciones

de la esttica no son suficientes para determinar fuerzas de

reaccin de la estructura al suelo o a otra estructura.

Una estructura es completamente hiperesttica si es internamente y

externamente hiperesttica. Este tipo de estructura tambin llamada

hiperesttica, se conoce como aquella que se encuentra en equilibrio,

destacando que las ecuaciones que expone la esttica no son suficientes para

saber las fuerzas externas y reacciones que posee, pero que necesita ms

elementos de los necesarios para mantenerse estable; la supresin de uno de

ellos no conduce al colapso, pero modifica sus condiciones de funcionamiento

esttico; El grado de indeterminaciones es el nmero de reacciones

redundantes de la viga. Se determina restando el nmero de componentes

reactivas que puede colocarse por medio de la esttica, del nmero total de

componentes reactivas de la viga.

Casi todas las estructuras de concreto reforzado son hiperestticas.

Las losas de concreto, las vigas de apoyo, as como parte de las columnas



pueden colarse al mismo tiempo. Las barras de refuerzo se extienden de

elemento a elemento estructural as como de claro a claro. Cuando se tienen

juntas de construccin, las barras de refuerzo se dejan sobresalir del concreto

para poder ser empalmadas a las barras del concreto para colarse

posteriormente. Adems, el concreto viejo se limpia de manera que el nuevo

se adhiera a l tanto como sea posible. El resultado de todo esto es que las

estructuras de concreto reforzado son generalmente monolticas o continuas

y por ello estticamente indeterminadas.

Una estructura es hiperesttica cuando su Grado de Indeterminacin

es > 0. En ese caso el nmero de ecuaciones de equilibrio es menor que el

nmero de incgnitas estticas.

Una estructura hiperesttica tiene infinitas configuraciones

estticamente admisibles. Ser, por lo tanto, estticamente indeterminada

(para obtener la configuracin esttica real tendramos que consideras las

condiciones de compatibilidad y las leyes de comportamiento).



Veremos que, en general, las estructuras de barras estn

estticamente indeterminadas. Se llaman entonces hiperestticas y para

resolverlas es necesario, imponer adicionalmente, condiciones de

compatibilidad sobre sus movimientos.

Si la estructura es articulada, sus barras trabajan a esfuerzo axial y

resolver la estructura consiste en hallar los valores de los axiales que actan

sobre las distintas barras. Si la estructura es hiperesttica, ser necesario

considerar explcitamente los movimientos de estos que, a su vez, debern

ser compatibles con los alargamientos o acortamientos que sufran las

diferentes barras concurrentes, por efecto del esfuerzo axial.

Si la estructura es reticulada, sus barras trabajan, en general, a flexin

compuesta y torsin, y resolver la estructura consiste en determinar las leyes

de momentos flectores, esfuerzos cortantes y axiales y, en su caso,

momentos torsores que actan sobre las distintas barras. Si la estructura es

hiperesttica, ser necesario considerar en a resolucin los movimientos

(desplazamiento y giros) de los nudos que, a su vez, debern ser compatibles

con las deformaciones que sufran las diferentes barras concurrentes en ellos.

La multiplicidad de esfuerzos que actan, en este tipo de estructura, hace

que este tipo de estructura, hace que este tipo de proceso sea mas complejo

que en las estructuras articuladas.



En la figura se muestran dos ejemplos de estructuras hiperestticas.

En ambos casos, las incgnitas que implican las reacciones exteriores no

pueden determinarse utilizando solo las ecuaciones, ya que su nmero es

superior al de las ecuaciones.

Para el mtodo de anlisis de las estructuras hiperestticas es

necesario considerar conjuntamente las condiciones de equilibrio y

compatibilidad, dado el grado de indeterminacin esttica y cinemtica que

tienen estas estructuras, en el esquema de la figura se muestra como la

imposibilidad de resolver a priori la indeterminacin esttica, o bien la

cinemtica, produce un bucle cerrado en el cual es imposible proceder de

forma secuencial. Esta dificultad se resuelve de dos maneras alternativas,

dando lugar al mtodo de compatibilidad y al mtodo de equilibrio, que se

describen a continuacin.



Equilibrio

Se refiere a la suma de fuerzas y la suma de momentos iguales a cero.

Se dice que un sistema material est en equilibrio cuando todas sus partculas

se encuentran en reposo, y permanecen en el mismo estado de reposo.

Para que se verifique el equilibrio y ste sea estable han de darse una

serie de condiciones, cuyo anlisis constituye el objeto de la esttica. sta

permitir analizar diversos tipos de problemas:

1. Para un sistema sometido a un conjunto de fuerzas dadas, establecer

la existencia de una o ms posibles configuraciones de equilibrio y

determinar stas.

2. Analizar la estabilidad de las posiciones de equilibrio. El concepto de

estabilidad consiste en garantizar si ante pequeas perturbaciones

respecto de la posicin de equilibrio se mantiene el movimiento

prximo a dicha configuracin, o si por el contrario se aleja

indefinidamente de la misma.

3. Para un sistema en una configuracin geomtrica determinada,

determinar las acciones necesarias (tanto en lo que respecta a fuerzas

activas como a reacciones) para el equilibrio y su estabilidad.

Las aplicaciones prcticas de la esttica en la ingeniera son muy

numerosas, siendo quiz la parte de la mecnica ms empleada. Esto es as

especialmente en la ingeniera civil y en el anlisis estructural: por lo general

las estructuras se disean para estar y permanecer en reposo bajo las cargas

de servicio estticas, o para que su movimiento bajo cargas dinmicas sea

pequeo y estable (vibraciones).



Mtodo de Equilibrio

El mtodo de equilibrio es un mtodo general de anlisis de

estructuras, ya que puede aplicarse tambin para resolver estructuras

isostticas, bsicamente, el mtodo consiste en identificar el nmero de

movimientos incgnita que determinan la deformacin de la estructura,

satisfaciendo a priori las condiciones de compatibilidad de movimientos en los

nudos de la estructura. El nmero de incgnitas del problema es, pues, igual

al grado de indeterminacin cinemtica del problema. De forma general,

estas son los giros y desplazamientos de los nudos, aunque consideraciones

adicionales de compatibilidad pueden reducir el nmero de incgnitas.

Es obvio que el hecho de elegir estas incgnitas implica liberar, en

principio, ciertas condiciones de equilibrio que deben satisfacerse en los

nudos de la estructura original. Imponiendo ahora las condiciones de

compatibilidad en las piezas individuales, estas estn cinematicamente

determinadas; por tanto, se pueden calcular, en funcin de las incgnitas

cinemticas, los esfuerzos que actan sobre las barras y, en particular, los

valores de estos en los extremos de las piezas. Entonces, se pueden imponer



a posteriori las condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos en los nudos

en que concurren diferentes barras y en los apoyos. Esto proporciona el

nmero de ecuaciones necesarias para resolver las incgnitas cinemticas.

Una vez obtenidas estas, se tiene resuelta la estructura.

Este procedimiento de resolucin se muestra en el esquema de la

figura. Como se observa, el proceso secuencial consiste en, a partir de la

geometra de la estructura y de la definicin de las acciones:

1. Identificar el nmero mnimo de movimientos incgnita que

determinan la deformacin de la estructura, a base de considerar las

correspondientes condiciones de compatibilidad en los nudos.

2. Resolver las piezas individuales, en funcin de las incgnitas

cinemticas, a base de satisfacer las condiciones de compatibilidad en

las piezas.



3. Determinar las incgnitas cinemticas, a base de imponer las

necesarias condiciones de equilibrio en los nudos.

4. Determinar los movimientos, esfuerzos y reacciones en la estructura.

Se puede decir que el mtodo de equilibrio resuelve el BUCLE de la

anterior figura a base de recorrerlo, en el sentido horario, en dos iteraciones,

una antes de determinar las incgnitas cinemticas y otra despus de haberlo

hecho.

El mtodo de equilibrio fue propuesto y utilizado por primera vez por

Axel Bendisen en 1.914. Recibe este nombre porque las ecuaciones que se

plantean para resolver el problema son ecuaciones de equilibrio. Se le conoce

tambin con los nombres de mtodo de los movimientos de los nudos, o

mtodo de rigidez, ya que los coeficientes que aparecen en las ecuaciones

que se plantean son de rigidez.



Compatibilidad.

Establecen condiciones de congruencia geomtrica y se las conoce

tambin como relaciones cinemticas.

El mtodo de compatibilidad se basa en un planteamiento intuitivo y

fcil de entender. Bsicamente, consiste en transformar la estructura

hiperesttica en otra isosttica a base de suprimir los apoyos (o enlaces)

redundantes y sustituirlos por fuerzas (o esfuerzos) incgnita. El nmero de

incgnitas del problema es, pues, igual al grado de hiperestatismo del

problema.

Es obvio que el hecho de suprimir estos apoyos implica liberar, en

principio, ciertas condiciones de compatibilidad que debe satisfacer la

deformacin de la estructura original. A la estructura resultado de este

proceso se le llama isosttica base; sobre ella se pueden satisfacer las

necesarias condiciones de equilibrio a priori y, por lo tanto, puede ser

resuelta siguiendo el esquema de la figura que se mostrara a continuacin.

En particular, se podrn expresar los movimientos de la estructura en

funcin de las incgnitas hiperestticas. Por tanto, se pueden imponer a

posteriori las condiciones de compatibilidad, anteriormente liberadas. Esto

proporciona el nmero de ecuaciones necesarias para resolver las incgnitas

hiperestticas. Una vez obtenidas estas, se tiene resuelta la estructura.

Este procedimiento de resolucin se muestra en el esquema de la

figura. Se observa que el proceso secuencial consiste en, a partir de la

geometra de la estructura y de la definicin de las acciones:



1. Definir la estructura isosttica base, seleccionando las incgnitas

hiperestticas y liberando las correspondientes condiciones de

compatibilidad.

2. Resolver la estructura isosttica base, en funcin de las incgnitas

hiperestticas, y satisfaciendo las condiciones de equilibrio.

3. Determinar las incgnitas hiperestticas, imponiendo las necesarias

condiciones de compatibilidad.

4. Determinar las reacciones, esfuerzo y movimiento en las estructuras

hiperestticas original.

Se puede decir que el mtodo de compatibilidad resuelve el mismo

problema anterior a base de recorrerlo, en el sentido antihorario, en dos

iteraciones, una antes de determinar las incgnitas hiperestticas y otra

despus de haberlo hecho.



El mtodo de compatibilidad fue propuesto y utilizado por primera vez

por Louis Navier en 1.826. Fue utilizado intensamente durante el siglo XIX, la

poca de expansin del ferrocarril, en el anlisis de arcos, vigas continuas y

estructuras articuladas hiperestticas. Recibe este nombre porque las

ecuaciones que se plantean para resolver este problema son ecuaciones de

compatibilidad. Se le conoce tambin con los nombres de mtodo de las

fuerzas, dado que las incgnitas hiperestticas seleccionadas para resolver el

problema son fuerzas o momentos hiperestticos, o mtodo de flexibilidad,

ya que los coeficientes que aparecen en las ecuaciones que se plantean son

de flexibilidad.



Relacin Fuerza Desplazamiento.

Esta relacin se definen como vectores quienes contienen

simultneamente fuerzas y desplazamientos. Si las fuerzas y los

correspondientes grados de libertad de un elemento se dividen en dos

grupos, representados por subndices s y f, para los apoyos o soportes y los

restantes grados de libertad respectivamente, la forma general de una

representacin mixta puede escribirse como:

Una forma de la relacin mixta fuerza-desplazamiento es la matriz de

transferencia, en la cual las fuerzas y los desplazamientos en el extremo de

un miembro {Ff Df} se transfieren al extremo opuesto {Fs Ds} mediante la

matriz [].

Es posible pasar de una formulacin en fuerza a una de

desplazamiento o a una mixta.



Considrese por ejemplo la transformacin de rigidez a flexibilidad. Para

construir la matriz de flexibilidad se requiere que la estructura sea

estticamente determinada y estable. Ordenando el sistema de acuerdo con

la expresin anterior, la matriz de rigidez puede describirse en:

Otras formas de ecuaciones mixtas fuerza-desplazamientos pueden

derivarse directamente de la aplicacin de los conceptos bsicos de la

formulacin variacional. La formulacin mixta contiene campos de

desplazamiento y fuerza mezclados como incgnitas (e.g. energa de

Reissner, principios energticos mixtos, etc). Los principios variacionales

multicampo conducen directamente a formulaciones mixtas. El mtodo de

fuerza o de desplazamiento pueden tambin formularse por principios de la

energa potencial, energa complementaria. Estos conceptos slo se aplicarn

a la formulacin en desplazamientos. Por otro lado la formulacin mixta no

ser ms tratada, ya que no es frecuente en el anlisis de estructuras



convencionales (e.g. armaduras, marcos, parrillas) y generalmente se

presenta en textos sobre el mtodo de los elementos finitos.

Condiciones a Satisfacer en la resolucin de

estructuras estticamente indeterminadas.

Cuando se habla de solucionar una estructura hablamos de encontrar

las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de reaccin, las fuerzas

internas en todos los puntos y las deformaciones.

Para estructuras estticas solo es necesario plantear las ecuaciones de

equilibrio para encontrar fuerzas de reaccin ya que estas no sobrepasan en

nmero a las ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las reacciones

procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de secciones y de

ah encontramos las deformaciones por los mtodos de la doble integracin o

trabajo virtual.

En la solucin de estructuras estticamente indeterminadas tenemos

que solucionar simultneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad

de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes

constitutivas del material). Observe que para las estructuras estticas los

mtodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las

relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben

cumplir en todo tipo de estructura.

La manera como se manipulan estos tres tipos de ecuaciones en el

proceso de solucin determina el mtodo. Por ejemplo, en el mtodo de las

fuerzas vimos que planteamos unas ecuaciones de compatibilidad de

deformaciones en el sentido de las redundantes y despus reemplazamos en



estas ecuaciones, los desplazamientos en funcin de las fuerzas redundantes,

quedando como incgnitas a solucionar las fuerzas redundantes. Note que

aqu se ha resuelto parte de la estructura, o sea, solo la parte de llevarla a

ser estticamente determinada, de ah debemos completar la solucin por

medio de las ecuaciones de equilibrio esttico. En conclusin, se plantean

tantas ecuaciones como redundantes halla, por lo tanto en este mtodo el

nmero de incgnitas es el nmero de redundantes, y las matrices a resolver

son de ese orden.

Las ventajas de las estructuras hiperestticas sobre las isostticas,

para tipologas similares sometidas a las mismas cargas, son principalmente,

tres:

1. Mayor rigidez: son ms rgidas aquellas estructuras en las que el

hiperestatismo introduce un mayor nmero de condiciones de

compatibilidad. As, una viga empotrada bajo carga lateral uniforme

exhibe flechas mucho menores que una viga doblemente apoyada

de la misma luz y con la misma carga. La condicin de giro nulo en

los apoyos resulta en una rigidez a flexin muy superior.

2. Ahorro de material: un nmero ms elevado de condiciones de

continuidad y equilibrio en los nudos suele conducir a una mejor

distribucin de las cargas y a leyes de esfuerzos con valores

mximos menores. As, una viga empotrada bajo carga lateral

uniforme soporta flectores (positivos y negativos) menores que los

que aparecen (siempre positivos) en una viga doblemente apoyada

de la misma luz y con la misma carga. Menores esfuerzos suelen

traducirse en ahorro de material al dimensionar adecuadamente las

piezas.



3. Mayor seguridad: el hecho de ser hiperesttica le proporciona a la

estructura una reserva de resistencia y una relativa capacidad de

redistribucin de esfuerzos en situaciones excepcionales. As, si una

viga empotrada bajo carga lateral uniforme sufre un grado de

figuracin que llega a partirla en dos partes, cada una de estas es

isosttica y mantiene su capacidad de soportar cargas. Si le ocurre

lo mismo a una viga doblemente apoyada, la pieza se convierte en

dos mecanismos separados y colapsa.

Mtodos generales de anlisis de estructuras

estticamente indeterminadas.

Sin importar si una estructura es estticamente determinada o

indeterminada, su anlisis completo requiere el uso de tres tipos de

relaciones:

1. Ecuaciones de Equilibrio.

2. Condiciones de Compatibilidad.

3. Relaciones de fuerza. Deformacin de los miembros.

.- Las ecuaciones de equilibrio relacionan las fuerzas que actan sobre la

estructura o sus partes), garantizando que la estructura completa as como

sus partes permanezcan en equilibrio.

.- Las ecuaciones de compatibilidad relacionan los desplazamientos de la

estructura de modo que sus diversas partes se ajustan entre si.



.- Las relaciones de fuerza - deformacin en los miembros, las cuales

comprenden las propiedades de los materiales y de las secciones

transversales (E, I y A) de los miembros, proporcionan el enlace necesario

entre las fuerzas y los desplazamientos de la estructura.

En el anlisis de las estructuras estticamente indeterminadas, las

ecuaciones de equilibrio por si solas no son suficientes para la determinacin

de las reacciones y las fuerzas internas. Por lo tanto, se vuelve necesario

resolver las ecuaciones de equilibrio en conjuncin con las de condiciones de

compatibilidad de la estructura, para determinar su repuesta. En virtud de

que las ecuaciones contienen las fuerzas desconocidas, en tanto que las

condiciones de compatibilidad comprenden los desplazamientos como

incgnitas, se utilizan las relaciones fuerza- deformacin de los miembros

para expresar las fuerzas desconocidas en trminos de los desplazamientos

desconocidos o viceversa.

Entonces se resuelve el sistema resultante de ecuaciones, que solo

contiene un tipo de incgnitas, para las fuerzas o desplazamientos

desconocidos, los cuales entonces se sustituyen en las relaciones

fundamentes para determinar las caractersticas restantes de respuestas de la

estructura.

Mtodos de anlisis

Desde mediados del siglo XIX, se han desarrollado muchos mtodos

para analizar las estructuras estticamente indeterminadas. Estos mtodos se

pueden clasificar en trminos generales en dos categoras, a saber:



Los mtodos de las fuerzas (flexibilidad).

Los mtodos de los desplazamientos (rigidez).

Dependiendo del tipo de incgnitas (fuerza o desplazamiento,

respectivamente) que intervengan en la solucin de las ecuaciones que rigen.

El objetivo del anlisis estructural es a partir de una estructura con

caractersticas geomtricas y mecnicas conocidas, sometidas a acciones

(cargas o deformaciones impuestas), determinar los desplazamientos

(translaciones y/o rotaciones) de todos sus puntos, los esfuerzos internos y

las reacciones de apoyo. Este anlisis es clasificado como lineal, cuando la

estructura tiene comportamiento lineal, es no lineal en caso contrario. Para

que una estructura tenga comportamiento lineal, ella debe sufrir pequeos

desplazamientos y deformaciones especficas y su material debe ser elstico

lineal (validad de la ley de Hooke). Esto permite la aplicacin del principio de

la superposicin de los efectos.

Este tipo de estructuras no pueden ser analizadas nicamente

mediante las ecuaciones de la esttica o de equilibrio, ya que stas ltimas

proporcionan un nmero insuficiente de ecuaciones. Los problemas

hiperestticos requieren condiciones adicionales usualmente

llamadas ecuaciones de compatibilidad que involucran fuerzas o esfuerzos

internos y desplazamientos de puntos de la estructura.

Existen varios mtodos generales que pueden proporcionar estas

ecuaciones:

Mtodo matricial de la rigidez



Es un mtodo de clculo aplicable a estructuras hiperestticas de

barras que se comportan de forma elstica y lineal. El mtodo matricial se

basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver

las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador.

El mtodo consiste en asignar a la estructura de barras un objeto

matemtico, llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de

un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas

exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las

componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a

desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas

nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura,

mediante la siguiente ecuacin:

(1)

Donde: son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas

exteriores aplicadas sobre la estructura; son las reacciones hiperestticas

inicialmente desconocidas sobre la estructura; los desplazamientos nodales

incgnita de la estructura y el nmero de grados de libertad de la

estructura.

La energa de deformacin elstica tambin puede expresarse en trminos de

la matriz de rigidez mediante la relacin:



Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser

simtrica y por tanto:

Teoremas de Castigliano

Primer teorema de Castigliano

Sea un cuerpo elstico sobre el que actan el conjunto de

fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del slido A1,...,An y

llamamos a la energa potencial elstica o potencial

interno donde es el movimiento- desplazamiento o giro- en el punto Ai en

la direccin de la fuerza Pi. Entonces la fuerza ejercida Pi en el punto Ai viene

dada por:

Segundo teorema de Castigliano

Sea un cuerpo elstico sobre el que actan un conjunto de

fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del slido A1,...,An y

llamamos a la energa potencial elstica o potencial interno.

Entonces el movimiento- desplazamiento o giro- i del punto Ai proyectado

sobre la direccin de Pi viene dada por:

Teoremas de Mohr



Los teoremas de Mohr, describen la relacin entre el momento

flector y las deformaciones que ste produce sobre una estructura, permiten

calcular deformaciones a partir del momento y viceversa. Son mtodos de

clculo vlidos para estructuras isostticas e hiperestticas regidas por un

comportamiento elstico del material.

Primer teorema de Mohr: variaciones angulares

El ngulo que hay comprendido entre dos tangentes en dos puntos

cualesquiera A y B de la curva elstica plana, es igual al rea total del trozo

correspondiente del diagrama de momentos reducidos:

(1)

Donde los ngulos deben expresarse en radianes. El teorema de Mohr dice

que el giro de un punto de una elstica (la deformada) respecto de otro

punto de la elstica, se puede obtener mediante el rea de momentos

flectores entre A y B, dividido por la rigidez a flexin "EI".

Deduccin

Esta frmula puede ser obtenida directamente integrando la ecuacin de la

curva elstica linealizada:

Teniendo en cuenta que las derivadas de la flecha transversal al eje pueden

coincidir aproximadamente con los ngulos girados por la seccin, la ecuacin

anterior nos lleva que:



Expresin no linealizada

El "primer teorema de Mohr" en realidad proporciona una expresin

aproximada para pequeos desplazamientos. Si se considera la expresin

completa de la elstica (no-linealizada) el primer teorema de Mohr resultara:

(1b)

Para probar esta expresin se procede igual que antes, integrando la

expresin de la curva elstica, considerando esta vez la expresin completa:

Teniendo en cuenta ahora que:

De la cual se deduce trivialmente la expresin (1b)

Segundo teorema de Mohr: flechas

Dados dos puntos A y B pertenecientes a una lnea elstica, y dada una recta

vertical que pasa por la abscisa de A, la distancia vertical entre la curva

elstica en A y la interseccin de la tangente que pasa por B y la recta

vertical anterior es igual al momento esttico con respecto a A del rea de

momentos reducidos comprendida entre A y B:



(2)

El momento esttico recientemente mencionado puede calcularse en forma

muy simple multiplicando el rea total del diagrama de momentos reducidos

comprendida entre A y B por la distancia entre A y su centro de gravedad.

Por otro lado, si la figura que representa el diagrama puede descomponerse

en figuras elementales tales como rectngulos, tringulos, parbolas, etc., el

momento esttico total resultara ser la suma de los correspondientes a cada

una de las figuras elementales.

Deduccin

Existen muchas deducciones diferentes basadas en principios fsicos. Sin

embargo, realmente el segundo teorema de Mohr puede considerarse un

caso particular de desarrollo de Taylor hasta primer orden con residuo en

forma integral. Si aproximamos la flecha o desplazamiento transversal al eje

de la viga mediante el teorema de Taylor obtenemos:

Reescribiendo las derivadas segundas en trminos de la curva elstica y las

derivadas primeras en trminos de giros angulares:

Se tiene que:



E interpretando geomtricamente los trminos se aprecia que la diferencia

entre el descenso en A y el punto de corte de la tangente en B al cruzar la

vertical a es precisamente :

Que es precisamente la expresin (2).

Teorema de los tres momentos

El teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una relacin

deducida de la teora de flexin de vigas y usada en anlisis estructural para

resolver ciertos problemas de flexin hiperesttica. La resolucin de las

ecuaciones de compatibilidad del Mtodo de las Fuerzas para vigas continuas

se simplifica notoriamente eligiendo como la estructura isosttica

fundamental al conjunto de vigas simplemente apoyadas obtenidas

introduciendo articulaciones en los apoyos.

De esta forma, se obtiene una secuencia repetitiva que facilita el clculo de

coeficientes de la matriz de flexibilidad, ya que es posible deducir una forma

general de los mismos que no requiere resolver explcitamente las integrales

involucradas en su formulacin.

Eligiendo como incgnitas hiperestticas a los momentos flectores sobre los

apoyos, las ecuaciones de compatibilidad establecen que el "giro relativo"

entre los extremos de las barras que concurren a la articulacin es nulo (para

mantener la continuidad elstica).



Resulta importante remarcar que este mtodo es una forma particular del Mtodo de las Fuerzas, en la que las ecuaciones de compatibilidad se plantean de una manera sistemtica eligiendo como incgnitas hiperestticas i M a los momentos flectores sobre los apoyos. La ecuacin de compatibilidad para el giro en el apoyo "i" resulta:



Mtodo de cross

El Mtodo de redistribucin de momentos o mtodo de Cross es un

mtodo de anlisis estructural para vigas estticamente indeterminadas y

marcos/prticos planos, desarrollado por Hardy Cross. El mtodo slo calcula

el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiale y cortantes, lo

cual es suficiente para fines prcticos en barras esbeltas.

Implementacin

En disposicin de aplicar el mtodo de redistribucin de momentos para

analizar una estructura, lo siguiente debe ser considerado.



Momentos de empotramiento en extremos fijos

Momentos de empotramiento en extremos fijos son los momentos producidos

al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas estn fijas.

Rigidez a la Flexin

La rigidez flexional (EI/L) de un miembro es representada como el producto

del mdulo de elasticidad (E) y el Segundo momento de rea, tambin

conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del

miembro, que es necesaria en el mtodo de distribucin de momentos, no es

el valor exacto pero es la Razn aritmtica de rigidez de flexin de todos los

miembros.

Coeficientes de reparto

Los factores de distribucin pueden ser definidos como las proporciones de

los momentos no equilibrados llevados por cada uno de los miembros.

Coeficientes de transmisin

Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del

miembro cuando se permite el giro en el apoyo. La razn de momento

acarreado sobre el otro extremo entre el momento en el extremo fijo del

extremo inicial es el coeficiente de transmisin.

-Valores tpicos:

0,5 para nodos sin empotramiento

0 para nodos empotrados

Convencin de signos

Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto

difiere de la [convencin de signos] usual en ingeniera, la cual emplea un



sistema de coordenadas cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje

positivo Y hacia arriba, resultando en momentos positivos sobre el eje Z

siendo antihorarios.

Estructuras de marcos

Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el

mtodo de distribucin de momentos.



CONCLUSION.

Queda demostrado en lo visto en este trabajo que las estructuras

hiperestticas son ms complejas de analizar que las estructuras isostticas,

y tanto ms cuanto mayor sea su grado de hiperestatismo y/o su grado de

traslacionalidad.

Cuando se habla de solucionar una estructura hablamos de encontrar

las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de reaccin, las fuerzas

internas en todos los puntos y las deformaciones.

La principal desventaja de las estructuras hiperestticas frente a las

isostticas consiste en su imposibilidad de adaptarse, sin generar esfuerzos y

tensiones, a movimientos y deformaciones impuestos. Cuando este tipo de

acciones es previsible, debe contemplarse con cuidado el grado de

indeterminacin esttica y cinemtica de las estructuras que se proyectan.

Para estructuras estticas solo es necesario plantear las ecuaciones de

equilibrio para encontrar fuerzas de reaccin ya que estas no sobrepasan en

nmero a las ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las reacciones

procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de secciones y de

ah encontramos las deformaciones por los mtodos de la doble integracin o

trabajo virtual.

En la solucin de estructuras estticamente indeterminadas tenemos

que solucionar simultneamente las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad

de deformaciones y las de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes

constitutivas del material). Observe que para las estructuras estticas los

mtodos de encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las



relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones se deben

cumplir en todo tipo de estructura.

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Estructuras Estaticamente Indeterminadas Unidad i