ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS gian

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI

METODOS NUMERICOS

APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL

ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS,

MÉTODOS APROXIMADOS DE ANÁLISIS.

1 GENERALIDADES.

Cuando una estructura tiene más reacciones externa o fuerzas internas que las

que pueden determinarse con las ecuaciones de la estática, la estructura es

estáticamente indeterminada o hiperestática o continua producirá fuerzas

cortantes, momentos flexionantes y deflexiones en las otras partes de la

estructura. En otras palabras, cargas aplicadas a una columna afectan a las

vigas, a las losas, a otras columnas y viceversa.

Hasta ahora este texto se ha dedicado por completo a las estructuras

determinadas y el lector podría considerar, equivocadamente que tales

estructuras son las más comunes en la práctica. La verdad es que es difícil

encontrar una viga real simplemente apoyada; las conexiones atornilladas o

soldadas entre vigas y columnas no son en realidad condiciones verdaderas de

apoyo simple con momento nulo.

2 ESTRUCTURAS CONTINUAS

En la medida en que se incrementan los claros de las estructuras simples, sus

momentos flexionantes aumentan rápidamente. Si el peso de una estructura

por unidad de longitud permanece constante, independientemente del claro, el

momento por carga muerta variará en proporción con el cuadrado de la

longitud del mismo ( ). Sin embargo, esta proporción no es correcta,

debido a que el peso de las estructuras debe aumentar a medida que los claros

son más grandes, con el fin de que sean lo suficientemente fuertes y resistan el

incremento de los momentos flexionantes; por tanto, el momento por carga

muerta crece más rápidamente que el cuadrado del claro.


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3. VENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS.

Al comparar las estructuras hiperestáticas con las isostáticas, la primera

consideración deberá corresponder al costo. Sin embargo, es imposible

justificar económicamente la selección de uno u otro tipo de estructura sin

ciertas reservas. Cada forma estructural presenta una situación diferente y, por

tanto, deberán tenerse en cuenta todos los factores, ya sean de índole

económica o de otro tipo. En general, las estructuras estáticamente tienen

ciertas ventajas que se describen a continuación.

Ahorro de materiales.

Los menores momentos flexionantes desarrollados en las estructuras

estáticamente indeterminadas permiten la utilización de elementos de menor

escuadría, con un ahorro de material posiblemente del orden de 10 a 20 % del

acero utilizado en puentes ferroviarios, permite sólo ahorros o economías de un

10 por ciento.

Un elemento estructural de dimensiones dadas podrá soportar más carga si es

parte de una estructura continua, que si estuviese simplemente apoyado. La

continuidad permite el uso de elementos de menores dimensiones para las

mismas cargas y claros, o bien, un mayor espaciamiento de los apoyos para

elementos de iguales dimensiones. La posibilidad de utilizar menos columnas

en edificios, o un menor número de pilares en el caso de puentes, puede

ocasionar una reducción global de los costos.

Mayores factores de seguridad.

Las estructuras estáticamente indeterminadas tienen con frecuencia mayores

factores de seguridad que las estáticamente determinadas. El estudiante

aprenderá en los cursos sobre estructuras de acero y de concreto reforzado

que cuando parte esas estructuras resultan sobrefatigadas, éstas tienen la

capacidad de redistribuir parte de esos sobreesfuerzos a zonas menos

fatigadas. Las estructuras estáticamente determinadas no tienen generalmente

esta capacidad.

Mayor rigidez y menores deflexiones.

Las estructuras estáticamente indeterminadas son más rígidas que las

estáticamente determinadas y sus deflexiones son menores. Gracias a su

continuidad son más rígidas y tienen mayor estabilidad frente a todo tipo de

cargas (horizontal, vertical, móvil, etc.).


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Estructuras más atractivas.

Es difícil imaginar a las estructuras estáticamente determinadas con la belleza

arquitectónica de muchos arcos y marcos rígidos hiperestáticos que se

construyen hoy en día.

Adaptabilidad al montaje en voladizo.

El método de montaje en voladizo de puentes es de gran valor cuando las

condiciones en el sitio de erección (tráfico naval o niveles muy profundos del

agua) obstaculizan la erección de la obra falsa. Los puentes continuos

estáticamente indeterminados y los de tipo en voladizo pueden eregirse

convenientemente con el método de montaje en voladizo.

4 DESVENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS.

Un análisis comparativo de las estructuras estáticamente determinadas,

respecto de las estáticamente indeterminadas, pone de relieve que estas

últimas poseen ciertas desventajas que las hacen poco prácticas en muchas

aplicaciones. Estas desventajas se explican detalladamente en los párrafos

siguientes.

Asentamiento de los apoyos.

Las estructuras hiperestáticas no son convenientes en todos aquellos casos

donde las condiciones de cimentación sean impropias, pues los asentamientos

o ladeos que se presenten en los apoyos de la estructura por leves que

parezcan, pueden causar cambios notables en los momentos flexionantes,

fuerzas cortantes, esfuerzos totales y reacciones. En casos donde se realice la

construcción de puentes con estructura hiperestática, a pesar de condiciones

de cimentación deficientes, suele ser necesario modificar las reacciones

debidas a carga muerta. Los puntos de apoyo se levantan o se bajan

mecánicamente hasta un nivel en donde se presente la reacción calculada,

después de lo cual los apoyos de la estructura se construyen hasta dicho nivel.


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Aparición de otros esfuerzos.

El hundimiento de los apoyos no es la única condición que altera los esfuerzos

que se producen en estructuras estáticamente indeterminadas. Los cambios en

la posición relativa de los elementos estructurales causados por variación de

temperatura, fabricación deficiente o deformaciones internas por acción de la

carga, pueden causar cambios graves en las fuerzas en toda estructura.

Dificultad de análisis y diseño.

Las fuerzas en las estructuras estáticamente indeterminadas dependen no

únicamente de sus dimensiones, sino también de sus propiedades elásticas

(módulo de elasticidad, momentos de inercia, secciones transversales, etc.).

Esta situación da lugar a una seria dificultad en cuanto a su diseño: no podrán

determinarse las dimensiones si no que se conocen antes las fuerzas que

actúan en ellos. El problema se resuelve suponiendo las dimensiones de sus

elementos para dichas fuerzas y evaluando las fuerzas para las nuevas

dimensiones supuestas y así sucesivamente, hasta lograr el diseño final. El

cálculo mediante este procedimiento (método de aproximaciones sucesivas) es

más tardado que el que se requiere para diseñar una estructura isostática

similar, pero el costo adicional solo es una pequeña parte del costo total de la

estructura. Tales diseños se llevan mejor a cabo por medio de una interacción

con una computadora. Este tipo de interacción se usa ampliamente en la

actualidad en la industria automotriz y aeronáutica.

Inversión de las fuerzas.

Generalmente en las estructuras hiperestáticas se produce un mayor número

de inversiones de fuerzas que en las estructuras isostáticas. En ocasiones se

requiere de más material de refuerzo en ciertas secciones de la estructura,

para resistir los diferentes estados de esfuerzos.

5 ANALISIS APROXIMADO DE ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS.

Las estructuras estáticamente indeterminadas pueden ser analizadas ya sea

en forma “exacta” o bien de modo “aproximado”. En este capitulo se presentan

métodos aproximados que exigen el empleo de hipótesis simplificadas. Tales

procedimientos tienen muchas aplicaciones prácticas, como las siguientes:

Para hacer un análisis “exacto” de una estructura complicada estáticamente

indeterminada, es necesario que el proyectista competente “modele” la

estructura, o sea, que haga ciertas hipótesis sobre su comportamiento. Por

ejemplo, los nudos pueden suponerse simples o semirrígidos. Además pueden

suponerse ciertas características del comportamiento del material así como de

las condiciones de carga. La consecuencia de todas esas hipótesis es que

todos los análisis son aproximados (o dicho de otra manera, aplicamos un

método de análisis “exacto” a una estructura que en realidad no existe).


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Además, todos los métodos de análisis son aproximados en el sentido de que

toda estructura se construye con ciertas tolerancias, ninguna estructura es

perfecta ni su comportamiento puede determinarse con precisión.

Se espera que los métodos aproximados descritos en este capitulo

proporcionen al lector un conocimiento del conjunto o le permitan “sentir” un

gran número de tipos de estructuras indeterminadas estáticamente antes de

considerar las técnicas “exactas” de solución. No todos los tipos de estructuras

estáticamente indeterminadas se considerarán en este capitulo. Sin embargo,

se espera que con base en las ideas presentadas aquí, el estudiante sea capaz

de hacer hipótesis razonables cuando encuentre otros tipos de estructuras

indeterminadas.

Existen muchos métodos diferentes para efectuar análisis aproximados. Se

presentarán aquí algunos de los más comunes, especialmente los aplicables a

marcos y a armaduras.

6 VIGAS CONTINUAS.

Antes de comenzar un análisis “exacto” de una estructura es necesario estimar

los tamaños de sus elementos. Los tamaños preliminares de las vigas pueden

determinarse considerando sus momentos aproximados. Con frecuencia es

práctico aislar una sección de un edificio y analizar esa parte de la estructura.

Por ejemplo, uno o más claros de vigas pueden aislarse como cuerpo libre y

hacer hipótesis sobre los momentos en esos claros. Para facilitar tal análisis, se

muestran en la fig. 10.12 los diagramas de momentos flexionantes para

diferentes vigas cargadas uniformemente.

Al analizar esta figura resulta obvia que el tipo de apoyo tiene un efecto

considerable en la magnitud de los momentos. Por ejemplo, la viga simple con

cargas uniforme de la fig. 10.12 (a) tiene un momento máximo de , en

tanto que la viga doblemente empotrada con carga uniforme tendrá uno de

. Para una viga continua cargada uniformemente se podría estimar un

momento máximo con un valor intermedio entre los dos anteriores, digamos

, y utilizar este valor para el dimensionamiento preliminar de la viga.

Un método muy común para analizar en forma aproximada estructuras de

concreto reforzado continuas, estriba en emplear los coeficientes de momentos

y fuerzas cortantes del Instituto Americano del Concretoe (ACI)(1). Estos

coeficientes, que en la tabla 10.1, proporcionan los momentos y cortantes

estimados máximos para edificios de proporciones normales. Los valores

calculados de esta manera serán en general un poco mayores que los que de

lograrían con un análisis exacto. Se considera que estos coeficientes son de

máxima utilidad en marcos continuos que tengan más de tres o cuatro claros.


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Para determinar estos coeficientes, los valores de los momentos negativos se

redujeron para tomar en cuenta los anchos comunes de apoyo y también la

redistribución plástica de los momentos que ocurre antes del colapso. Por esta

última razón se incrementaron un tanto los momentos positivos. Se observará

que los coeficientes toman en cuenta el hecho de que en la construcción

monolítica los soportes no son simples y que se presentan momentos en los

apoyos extremos, sobre todo cuando tales apoyos están constituidos por vigas

o columnas.

En las expresiones para los momentos positivos, w es la carga de diseño en

tanto que es el claro libre para calcular los momentos positivos y el promedio

de claros adyacentes para calcular los momentos negativos. Estos valores de

determinaron para miembros con claros aproximadamente iguales (el mayor de

los dos claros adyacentes no excede al menor en más de 20%) y para casos

en los que la relación de la carga viva uniforme de servicio con la carga muerta

uniforme, también de servicio, no es mayor que tres. Estos coeficientes no son

aplicables a elementos de concreto pre reforzado. Si estas condiciones

limitantes no se cumplen deberá usarse un método más preciso de análisis.


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Para el diseño de una viga o de una losa continua, los coeficientes de

momentos proporcionan dos conjuntos de diagramas de momento flexionante

para cada claro de la estructura. Un diagrama resulta de colocar las cargas

vivas de manera que produzcan un momento máximo positivo en el claro, en

tanto que el otro resulta de colocar las cargas vivas de manera que produzcan

un momento máximo negativo en los apoyos. Sin embargo, no es posible

producir momentos máximos negativos en ambos extremos de un claro,

simultáneamente. Se necesita una posición de las cargas vivas para producir

un momento máximo negativo en un extremo del claro y otra posición para

producir un momento máximo negativo en el otro extremo.

Sin embargo, la suposición de que ambos ocurren al mismo tiempo se

encuentra del lado de la seguridad, porque el diagrama resultante tendrá

valores críticos mayores que los producidos al considerar por separado las

condiciones de carga.

Los coeficientes del ACI dan puntos máximos para una envolvente de

momentos para cada claro de una estructura continua. En la fig. 10.13 se

muestran envolventes típicas para una losa continua construida

monolíticamente con sus apoyos externos que son en este caso trabes de

fachada.


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En algunas ocasiones el proyectista aislará una parte de sus estructuras que

no solo incluya las vigas sino también las columnas de los pisos superiores e

inferiores, como se muestra en la fig. 10.14. Este procedimiento, llamado

método del marco equivalente, es sólo aplicable a cargas de gravedad. Los

tamaños de los elementos se estiman y se hace un análisis usando un método

apropiado “exacto” tal como el de distribución de momentos de Cross que se

describe en los capítulos 14 y 15.

MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN:

Para aplicar este método a cualquier tipo de estructura tenemos que hallar

esas ecuaciones de relación fuerza-desplazamiento en función de cualquier

tipo de desplazamiento que sufra un elemento dado, ya sea giro, alargamiento

o desplazamiento relativo en los apoyos de tal manera que encontremos una

relación general F=k* Δ donde k es la rigidez del elemento para cualquier

desplazamiento.

Adicionalmente se ha planteado que el método parte de escribir las ecuaciones

de equilibrio en los nudos en la dirección de los grados de libertad libres. Estas

ecuaciones implican que las fuerzas estén aplicadas en los nudos y no en las

luces. Sería casi imposible decir que todas las estructuras que analicemos

tendrán sus cargas aplicadas en los nudos, entonces la forma en que se

analizan estas estructuras es considerar los elementos que la componen

totalmente empotrados y encontrar los momentos de extremo producido por las

cargas actuantes en la luz. Una vez planteados estos momentos se sueltan los

grados de libertad que son libres y se determina la modificación de estos

momentos de extremo por el hecho de producirse los movimientos de estos

grados de libertad. El trabajo a realizar es por superposición, donde el

momento total en un extremo es la suma de los efectos de rotación y de los

momentos de empotramiento debidos a las cargas.


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APORTE DEL METODO DE GAUSS JORDAN

Cuando una estructura tiene dos dos o mas tramos se dice que es

indeterminada ya que posee multiples variables a calcular, aplicando principios

e la estatica y asiendo uso del método de GAUSS JORDAN, se pueden

resolver con mucha facilidad y asu vez con mucha presicion estas ecuaciones

que aparecen al momento de calcular una estructura.

EJEMPLO DEMOSTRATIVO DEL METODO DE GAUSS JORDAN

APLICADO ALA INGENIERIA CIVIL EN LA SOLUCION DE CALCULO DE

ESFUERZOS EN UNA VIGA INDETERMINADA

(análisis estructural)


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EJEMPLO DEMOSTRATIVO DEL METODO DE GAUSS JORDAN

APLICADO ALA INGENIERIA CIVIL

(MATLAB)

METODO GAUSS JORDAN:

function x=gaussj(A,b) A=[A b]; n=size(A,1); for i=1:n A(i,:)=A(i,:)/A(i,i); for j=1:n if i~=j A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i); end end end x=A(:,n+1); end

INTRODUCIENDO DATOS :

>> gaussj([2/5 1/5 0; 1/5 9/10 1/4; 0 1/4 1/2],[-7.2; -21.87; 40])

ans =

1.0e+002 *

RESULTADOS (comprobados)

0.103481481481481

-0.566962962962963

1.083481481481482


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CONCLUSIONES

Cuando se tiene vigas de mas de dos tramos como en el caso de puentes para

poder analizarlas estas estructuras existen diferentes métodos , con la ayuda

del método de gauss jordan permite a los ingenieros desarrollar multiples

sistemas de ecuaciones de manera presisa, además estos métodos en los

últimos años han permitido evolucionar el análisis de estructuras con ayuda de

un ordenador, permitiendo realizar análisis a estructuras en tres dimensiones,

el caso mas conocido es el programa SAP 2000 y ETABS los cuales fueron

desarrollados íntegramente de forma matricial.


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BIBLIOGRAFIA

- ANALSIS ESTRUCTURAL, hibbeler

- RESISTENCIA DE MATERIALES Ed. MIR

- ANALISIS ESTRUCTURAL Jeffrey P. Laible

- ANALISIS ESTRUCTURAL Harry H. West

- Métodos numéricos aplicados a la ingeniería civil , CHOPRA

- Métodos numéricos con matlab , NAKAMURA

- www.metodosnumericosaplicadosalaingenieriacivil.com

- www.aplicacionesdeingenienriaenmatlab.com

- http://estructuras.eia.edu.co/estructurasII/metodo%20de%20la%20rigide

z/pendiente%20deflexion/método_pendiente_deflexión.htm

http://www.metodosnumericosaplicadosalaingenieriacivil.com/

http://www.aplicacionesdeingenienriaenmatlab.com/

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