UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA DE SANTA ELENAFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA.

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

Tema:

ANÁLISIS DE VIGAS INDETERMINADAS Y MARCOS POR EL MÉTODO DE PENDIENTE-DEFLEXIÓN

Docente:

Ing. Pablo Lindao

Cátedra:

Estructuras

Curso:6/1

ANÁLISIS DE VIGAS INDETERMINADAS Y MARCOS POR EL MÉTODO DE PENDIENTE-DEFLEXIÓN

1. Introducción El método de pendiente-deflexión es un procedimiento para analizar vigas indeterminadas y marcos. Se conoce como método de los desplazamientos, ya que las ecuaciones de equilibrio empleadas en el análisis se expresan en función de los desplazamientos desconocidos de los nudos.El método de pendiente-deflexión es importante porque introduce al estudiante al análisis del método de rigideces. Este método es la base de muchos programas generales de cómputo que analizan todo tipo de estructuras: vigas, armaduras, cascarones, etc. Por otra parte, la distribución de momentos -un método manual usado por lo general para analizar rápidamente vigas y marcos- también se basa en la formulación de rigidez.En el método de pendiente-deflexión, la ecuación de pendiente-deflexión se utiliza para relacionar el momento en cada extremo de un miembro con los desplazamientos de sus extremos y con las cargas aplicadas al miembro entre los mismos. Los desplazamientos de los extremos de un miembro incluyen tanto rotación como traslación perpendicular con respecto al eje longitudinal del miembro.

2. Ilustración del método de pendiente-deflexiónPara introducir las principales características del método de pendiente-deflexión, se describe brevemente el procedimiento con el que se analiza una viga continua de dos claros. Como se muestra en la figura 12.10, la estructura consiste en un miembro único soportado por apoyos simples en los puntos A y B, y por un apoyo articulado en C. Los segmentos de viga AB y BC, así como los nudos A, B y C, se separan de la estructura mediante planos que atraviesan la viga a una distancia infinitesimal antes y después de cada apoyo (véase figura 12.1 b). Como los nudos son esencialmente puntos en el espacio, la longitud de cada miembro es igual a la distancia entre los nudos. En este problema, las incógnitas son las rotaciones de los nudos ѲA

ѲB y ѲC (que también son las rotaciones de los extremos de los miembros), y se muestran a una escala exagerada mediante la línea discontinua de la figura 12.1a. Puesto que los apoyos no se mueven verticalmente, los desplazamientos laterales de los nudos son nulos; así que en este ejemplo no existen incógnitas acerca de traslaciones en los nudos.

Figura 12.1: a) Viga continua con cargas aplicadas (la configuración deformada se muestra con líneas discontinuas); b) diagramas de cuerpo libre de los nudos y las vigas (convención de signos: el momento sobre el extremo de un miembro en el sentido de 12.1: a) Viga continua con cargas aplicadas (la configuración deformada se muestra con líneas discontinuas); b) diagramas de cuerpo libre de los nudos y las vigas (convención de signos: el momento sobre el extremo de un miembro en el sentido de las manecillas del reloj es positivo).

Para comenzar el análisis de la viga por el método de pendiente-deflexión, se utiliza la ecuación de pendiente-de flexión (que se deducirá posteriormente) para expresar los momentos en los extremos de cada miembro en función de los desplazamientos desconocidos en los nudos y de las cargas aplicadas. Este paso se representa mediante el siguiente conjunto de ecuaciones:

M AB=f (θ A , θB , P1 )MBA=f (θ A ,θB , P1 )MBc=f (θB , θC ,P2 )MCB=f (θB , θC ,P2)

}(12.1)

donde el símbolo f( ) significa una función de. En seguida, se escriben las ecuaciones de equilibrio que expresan la condición de que los nudos están en equilibrio con respecto a los momentos aplicados, es decir, la suma de los momentos aplicados a cada nudo por los extremos de las vigas que se conectan a dicho nudo es igual a cero. Como convención de signos, se supone que todos los momentos desconocidos son positivos y actúan en el sentido de las manecillas del reloj sobre los extremos de los miembros. Puesto que los momentos aplicados sobre los extremos de los miembros representan la acción del nudo sobre el miembro, deben ser iguales y de sentido opuesto a los que actúan sobre los nudos (véase figura 12.1b). Las tres ecuaciones de equilibrio de los nudos son:

Enel nudo A :M AB=0Enelnudo B :MBA+M BC=0

Enel nudoC :MCB=0}(12.2)

Sustituyendo las ecuaciones 12.1 en las ecuaciones 12.2, se generan tres ecuaciones que son función de las tres rotaciones desconocidas (así como de las cargas aplicadas y las propiedades de los miembros, que son datos conocidos). Estas tres ecuaciones simultáneas se resuelven para obtener los valores de las incógnitas rotacionales en los nudos. Después de obtener estas rotaciones, se calculan los momentos en los extremos de los miembros sustituyendo los valores de dichas rotaciones en las ecuaciones 12.1. Una vez encontrados el sentido y la magnitud de los momentos extremos, se aplican las ecuaciones de la estática a los cuerpos libres de las vigas para calcular los cortantes en los extremos. Como paso final, se calculan las reacciones en los apoyos considerando el equilibrio de los nudos (esto es, sumando fuerzas en la dirección vertical).En la sección 12.3, utilizando el método ele área-momento desarrollado en el capítulo 9, se deduce la ecuación de pendiente-deflexión para un miembro a flexión típico de sección transversal constante.

3. Deducción de la ecuación de pendiente-deflexiónPara desarrollar la ecuación de pendiente-deflexión, que relaciona los momentos en los extremos de los miembros con los desplazamientos en sus extremos y las cargas aplicadas, se analiza el claro AB de la viga continua mostrada en la figura 12.2a. Como los asentamientos diferenciales de los apoyos de los miembros continuos también generan momentos en los extremos, se incluye este efecto en la deducción. La viga, inicialmente recta, tiene una sección transversal constante, es decir, EI es constante a lo largo del eje longitudinal.Cuando se aplica una carga distribuida w(x), que puede variar arbitrariamente a lo largo del eje de la viga, los apoyos A y B se asientan una cantidad ∆A y ∆B, respectivamente, hasta llegar a los puntos A' y B'. La figura 12.2b muestra un cuerpo libre del claro AB con todas las cargas

aplicadas. Los momentos MAB y MBA y los cortantes VA y VB representan las fuerzas internas que ejercen los nudos sobre los extremos de la viga. Aunque se supone que no actúa carga axial, la presencia de valores pequeños o moderados de esta carga (digamos, de 10 a 15 por ciento de la carga de pandeo del miembro) no invalidaría la deducción. Sin embargo, una fuerza de compresión importante reduciría la rigidez flexionante del miembro, generando deflexiones adicionales producidas por los momentos secundarios debidos a la excentricidad de la carga axial; el efecto P-∆. Como convención de signos, se considera que los momentos que actúan sobre los extremos de los miembros en el sentido de las manecillas del reloj son positivos. Asimismo, las rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj de los extremos de los miembros se consideran positivas.

Figura 12.2: a) Viga continua cuyos apoyos se asientan bajo la acción de la carga; b) diagrama de cuerpo libre del miembro AB; c) diagrama de momentos graficado por partes, Ms es igual a la ordenada del diagrama de momentos como viga simple; d) deformaciones del miembro AB dibujadas a una escala vertical exagerada.

Los diagramas de momento producidos por la carga distribuida w(x) y por los momentos en los extremos MAB y MBA se dibujan por partes en la figura 12.2c. El diagrama de momentos asociado a la carga distribuida se llama diagrama de momentos como viga simple. En otras palabras, la figura 12.2c muestra la superposición de los diagramas de momento generado por tres cargas: 1) el momento MAB en un extremo, 2) el momento MBA en el otro extremo, 3) la carga w(x) aplicada entre los extremos de la viga. El diagrama de momentos para cada fuerza se dibuja en el lado de la viga que se encuentra en compresión debido a esa fuerza particular.

La figura 12.2d muestra la configuración deformada del claro AB en una escala exagerada. Todos los ángulos y las rotaciones se muestran en el sentido positivo, es decir, todos han experimentado rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj desde la posiciónhorizontal original del eje. La pendiente de la cuerda, que conecta los extremos del miembro en los puntos A' y B' de su posición deformada, se denota por ψAB. Para determinar si el ángulo de una cuerda es positivo o negativo, se dibuja una línea horizontal a través de cualquiera de los extremos de la viga. Si la línea horizontal debe hacerse rotar en el sentido de las manecillas del reloj a través de un ángulo agudo para hacerla coincidir con la cuerda, el ángulo de la pendiente es positivo. Si se requiere de una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj, la pendiente es negativa. De la figura 12.2d se observa que ψAB es positivo, independientemente del extremo de la viga que se evalúe; por cierto, ѲA y ѲB representan las rotaciones en los extremos del miembro. En cada extremo del claro AB, se dibujan tangentes a la curva elástica; t AB y tBA son las desviaciones tangenciales (esto es, la distancia vertical) desde las tangentes hasta la curva elástica.Para deducir la ecuación de pendiente-deflexión, se utiliza a continuación el segundo teorema de área-momento para establecer la relación entre los momentos de los extremos del miembro MAB y MBA y las deformaciones rotacionales de la curva elástica, mostrada en la figura 12.2d a una escala exagerada. Como las deformaciones son pequeñas, el ángulo ϒA entre la cuerda y la tangente a la curva elástica en el punto A se expresa como

γ A=tBA

L(12.3a)

De modo semejante, el ángulo ϒB entre la cuerda y la tangente a la curva elástica en B es igual a

γB=t AB

L(12.3b)

Puesto que ϒA = ѲA - ψAB y ϒB = ѲB - ψAB, las ecuaciones 12.3a y 12.3b se expresan como

θA−ψ AB=tBA

L(12.4 a )

θB−ψ AB=t AB

L(12.4b )

donde ψ A=ΔB+ΔA

L(12.4 c)

Para expresar tAB y tBA en función de los momentos aplicados, se dividen las ordenadas de los diagramas de momento de la figura 12.2c entre EI para generar los diagramas M/EI y,

aplicando el segundo principio de área-momento, se suman los primeros momentos del área bajo las curvas M/EI con respecto al extremo A del miembro AB para obtener tAB, y con respecto al extremo B para obtener tBA:

t AB=MBA

EIL22L3

−MAB

EIL2

L3−

( AM x )AEI

(12.5)

tBA=M AB

EIL22L3

−MBA

EIL2

L3

+(AM x )B

EI(12.6)

Los términos primero y segundo de las ecuaciones 12.5 y 12.6 representan los primeros momentos de las áreas triangulares asociadas a los momentos MAB y MBA en los extremos. El último término -- (AMx)A en la ecuación 12.5, y (AMx)B en la ecuación 12.6 -- representa el primer momento del área bajo el diagrama de momentos como viga simple con respecto a los extremos de la viga (el subíndice indica el extremo de la viga alrededor del cual se toman los momentos). Como convención de signos, se supone que la contribución de cada diagrama de momentos a la desviacióntangencial es positiva si ésta se incrementa, y negativa si disminuye.

Figura 12.3: Diagrama de momentos como viga simple generado por una carga uniforme

A fin de ilustrar el cálculo de (AMx)A para una viga que soporta una carga uniformemente distribuida w (véase figura 12.3), se dibuja el diagrama parabólico de momentos como viga simple, y se calcula el producto del área bajo la curva por la distancia x entre el punto A y el centroide del área:

( AM x ) A=area∙ x=2L3

wL2

8 ( L2 )=wL2

24(12.7)

Como el diagrama de momentos es simétrico, (AMx)B es igual a (AMx)A . Si a continuaciónse sustituyen los valores de tAB y tBA dados por las ecuaciones 12.5 y 12.6 en las ecuaciones 12.4a y 12.4b, se escribe

θA−ψ AB=1L [ MBA

EIL22L3

−M AB

EIL2

L3−

( AM x )AEI ](12.8)

θB−ψ AB=1L [ M AB

EIL22 L3

−M BA

EIL2

L3−

( AM x )BEI ](12.9)

Para establecer las ecuaciones de pendiente-deflexión, se resuelven las ecuaciones simultáneas 12.8 y 12.9 para obtener MAB y MBA

M AB=2EIL

(2θA+θB−3ψ AB )+2 ( AM x ) A

L2−4 ( AM x )B

L2(12.10)

MBA=2 EIL

(2θB+θ A−3ψ AB )+4 (AM x )A

L2−2 ( AM x )B

L2(12.11)

En las ecuaciones 12.10 y 12.11, los últimos dos términos, que contienen las cantidades (AMx)A

y (AMx)B , son función únicamente de las cargas aplicadas entre los extremos del miembro. Se les puede dar un significado físico a estos términos si se utilizan las ecuaciones 12.10 y 12.11 para calcular los momentos en una viga doblemente empotrada con las mismas dimensiones (sección transversal y longitud del claro) que soporte la misma carga que el miembro AB de la figura 12.2a (véase figura 12.4).

Como los extremos de la viga en la figura 12.4 están empotrados, los momentos en los extremos del miembro MAB y MBA también denominados momentos de empotramiento, pueden designarse como MEAB y MEBA. Debido a que los extremos de la viga de la figura 12.4 están empotrados contra rotación y no ocurren asentamientos en los apoyos, se entiende que

θA=0 θB=0 ψ AB=0Sustituyendo estos valores en las ecuaciones 12.10 y 12.11 para calcular los momentos en los extremos (o momentos de empotramiento) de la viga de la figura 12.4, se escribe

ME AB=M AB=2 ( AM x )A

L2−4 (AM x )B

L2(12.12)

MEBA=MBA=4 (AM x )A

L2−2 ( AM x )B

L2(12.13)

Utilizando los resultados de las ecuaciones 12.12 y 12.13, las ecuaciones 12.10 y 12.11 se simplifican reemplazando los últimos dos términos por MEAB y MEBA para obtener

M AB=2EIL

(2θA+θB−3ψ AB )+MEAB(12.14 )

MBA=2 EIL

(2θB+θ A−3ψ AB )+MEBA (12.15)

Como las ecuaciones 12.14 y 12.15 tienen la misma forma, se reemplazan con una ecuación única en la cual se señala el extremo donde se está calculando el momento como el extremo cercano (C) y el extremo opuesto como el extremo lejano (L). Con este ajuste, la ecuación de pendiente-deflexión se escribe como

MCL=2EIL

(2θC+θL−3ψCL )+MECL(12.16)

En la ecuación 12.16, las dimensiones del miembro aparecen en la relación I/L. Esta relación, llamada rigidez flexionante relativa del miembro CL, se denota con el símbolo K.

Rigidez flexionante relativa K= IL

(12.17)

Sustituyendo la ecuación 12.17 en la 12.16, la ecuación de pendiente-deflexión se escribe como

MCL=2 EK (2θC+θL−3ψCL)+MECL(12.16a)

El valor del momento de empotramiento (MECL) en las ecuaciones 12.16 o 12.16a se calcula para cualquier tipo de carga por medio de las ecuaciones 12.12 y 12.13. El ejemplo 12.1 ilustra el uso de estas ecuaciones para determinar los momentos de empotramiento generados por una carga concentrada aislada en el centro del claro de una viga doblemente empotrada (véase figura 12.5). Los valores de los momentos de empotramiento para otros tipos de carga y para desplazamientos de los apoyos se proporcionan en la página siguiente a la segunda de forros.

4. Análisis de estructuras por el método de pendiente-deflexión

El método de pendiente-deflexión se emplea para analizar cualquier tipo de viga indeterminada o de marco; sin embargo, en este texto la explicación del método se limita, en primer lugar, a vigas indeterminadas cuyos apoyos no se asientan y a marcos arriostrados cuyos nudos son libres de rotar pero no de desplazarse; esta restricción la proporcionan riostras (figura 3.23g) o apoyos. Para este tipo de estructuras, el ángulo de rotación de la cuerda ψCL en la ecuación 12.16 es igual a cero. Las figuras 12.7a y b muestran ejemplos de varias estructuras cuyos nudos no se desplazan lateralmente pero sí pueden rotar. En la figura 12.7a, el nudo A está restringido contra el desplazamiento por el empotramiento, y el nudo C por el apoyo articulado. Ignorando cambios de segundo orden en la longitud de los miembros, que pudieran generarse por la flexión y las deformaciones axiales, se supone que el nudo B está restringido contra el desplazamiento horizontal por el miembro BC, el cual se conecta a un apoyo fijo en C, y contra el desplazamiento vertical por el miembro AB, conectado al empotramiento en A. La configuración deformada aproximada de las estructuras cargadas de la figura 12.7 se muestra con líneas discontinuas en la misma figura.

Figura 12.7: a)Todos los nudos están restringidos contra desplazamiento: todas las rotaciones de cuerda ψ son igual a cero; b) debido a la simetría de la estructura y de la carga, los nudos tienen libertad de rotar pero no trasladarse: las rotaciones de cuerda son iguales a cero; c) y d) marcos no arriostrados con rotaciones de cuerda.

La figura 12.7b muestra una estructura cuya configuración y carga son simétricas con respecto al eje vertical que pasa por el centro del miembro BC. Como una estructura simétrica bajo una carga simétrica debe deformarse simétricamente, no ocurren desplazamientos laterales de los nudos superiores.

Las figuras 12.7c y d muestran ejemplos de marcos que contienen nudos libres de desplazarse lateralmente y de rotar bajo las cargas aplicadas. Bajo la carga lateral H, los nudos B y C de la figura 12.7c se desplazan hacia la derecha. Este desplazamiento genera rotaciones de la cuerda ψ = ∆/h en los miembros AB y CD. Como no suceden desplazamientos verticales de los nudos B y C -- ignorando deformaciones axiales y flexión de segundo orden de las columnas-, la rotación de la cuerda de la trabe ψBC es igual a cero. Si bien el marco de la figura 12.7d

soporta una carga vertical, los nudos B y C se desplazan lateralmente una distancia ∆ hacia la derecha, debido a las deformaciones por flexión de los miembros AB y BC. En la sección12.5 se considera el análisis de estructuras que contienen uno o más miembros con rotaciones de cuerda.Los pasos básicos del método de pendiente-deflexión, explicados en la sección 12.2, se sintetizan en seguida:

Resumen1) Se identifican todos los desplazamientos (rotaciones) desconocidos en los nudos para

establecer el número de incógnitas.2) Se utiliza la ecuación de pendiente-deflexión (ecuación 12.16) para expresar todos los

momentos en los extremos de los miembros en función de las rotaciones de los nudos y de las cargas aplicadas.

3) En cada nudo, excepto en los empotramientos, se escribe la ecuación de equilibrio de momentos, la cual establece que la suma de momentos (aplicados por los miembros que se unen en el nudo) es igual a cero. Las ecuaciones de equilibrio en empotramientos, que se reducen a la identidad 0 = 0, no proporcionan información útil. El número de ecuaciones de equilibrio tiene que ser igual al número de desplazamientos desconocidos.Como convención de signos, los momentos en el sentido de las manecillas del reloj en los extremos de un miembro se consideran positivos. Si el momento en el extremo de un miembro es desconocido, debe mostrarse en el sentido de las manecillas del reloj sobre dicho extremo. El momento aplicado por un miembro sobre un nudo es siempre igual y opuesto en sentido al momento que actúa sobre el extremo del miembro. Si la magnitud y el sentido del momento sobre el extremo de en miembro son conocidos, se muestran en el sentido real.

4) Las expresiones para los momentos en función de los desplazamientos (véase paso 2) se sustituyen en las ecuaciones de equilibrio del paso 3, y se resuelven para obtener los desplazamientos desconocidos.

5) Los valores de los desplazamientos del paso 4 se sustituyen en la expresión para los momentos en los extremos de los miembros del paso 2 con el fin de obtener el valor de dichos momentos. Una vez conocidos éstos, el resto del análisis -por ejemplo, el trazo de los diagramas de cortante y de momento o bien el cálculo de las reacciones- se completa mediante la estática.

Los ejemplos 12.2 y 12.3 ilustran el procedimiento descrito anteriormente.

5. :Análisis de estructuras con libertad para desplazarse lateralmente

Hasta el momento, se ha utilizado el método de pendiente-deflexión para analizar vigas indeterminadas y marcos cuyos nudos son libres de rotar pero que están restringidos contra el desplazamiento. En esta sección, el método se amplía a marcos cuyos nudos también son libres de desplazarse lateralmente.

Figura 12.14: a) Marco no arriostrado, configuración deformada mostrada a una escala exagerada con líneas discontinuas, las cuerda de las columnas rotan un ángulo ψ en el sentido de las manecillas del reloj; b) diagramas de cuerpo libre de las columnas y las trabes; los momento desconocidos se muestran en sentido positivo (en el sentido de las manecillas del reloj) sobre los extremos de los miembros (las cargas axiales en las comunas y los cortantes en el trabe se omiten para claridad.

Por ejemplo, en la figura 12.14a la carga horizontal provoca que la trabe BC se desplace

lateralmente una distancia ∆. Como la deformación axial de la trabe es insignificante, se considera que el desplazamiento horizontal de la parte superior de ambas columnas es igual a ∆. Este desplazamiento genera en ambas columnas del marco una rotación ψ de sus cuerdas, en el sentido de las manecillas del reloj, igual a

ψ= Δh

donde h es la longitud de la columna.Debido a que se desarrollan tres desplazamientos independientes en el marco [esto es, la rotación de los nudos B y C (ѲB y ѲC) y la rotación ψ de la cuerda], se requiere de tres ecuaciones de equilibrio para su solución. Dos ecuaciones de equilibrio se obtienen considerando el equilibrio de los momentos que actúan sobre los nudos B y C. Puesto que ya se han planteado ecuaciones de este tipo en la solución de ejemplos anteriores, en seguida se explica solamente el segundo tipo de ecuación de equilibrio, la ecuación de cortante, la cual se plantea sumando en la dirección horizontal las fuerzas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre de la trabe. Por ejemplo, para la trabe ele la figura 12.14b se escribe

❑→

+∑ Fx=0

V 1+V 2+Q=0 (12.18)

En la ecuación 12.18, el cortante V1 en la columna AB y el cortante V2 en la columna CD se calculan sumando los momentos de las fuerzas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre de la columna con respecto a la parte inferior de la misma. Como se planteó anteriormente, los momentos desconocidos que actúan sobre los extremos de la columna deben mostrarse siempre en sentido positivo, esto es, actuando en el sentido de las manecillas del reloj sobre el extremo de los miembros. Sumando momentos alrededor del punto A de la columna AB. se calcula V1:

↻+¿∑M A=0¿

M AB+MBA−V 1h=0

V 1=M AB+M BA

h(12.19)

De manera semejante, el cortante en la columna CD se calcula sumando momentos con respecto al punto D.

↻+¿∑MD=0¿

MCD+M DC−V 2h=0

V 2=M cd+M DC

h(12.20)

Sustituyendo los valores de V1 y V2 de las ecuaciones 12.19 y 12.20 en la ecuación 12.18, la tercera ecuación de equilibrio se escribe como

MAB+M BA

h+

MCD+M DC

h+Q=0(12.21)

Los ejemplos 12.8 y 12.9 ilustran el uso del método de pendiente-deflexión para analizar marcos que transmiten cargas laterales y que son libres de desplazarse lateralmente. Los marcos que toman únicamente carga vertical también desarrollan pequeñas cantidades de desplazamiento lateral, excepto cuando la estructura y el patrón de cargas son simétricos. El ejemplo 12.10 ilustra este caso.

6. Indeterminación cinemática

Para analizar una estructura por el método de flexibilidades, en primer lugar se establece el grado de indeterminación de la estructura. El grado de indeterminación estática indica el número de ecuaciones de compatibilidad que se deben escribir para poder calcular las redundantes, que son las incógnitas en las ecuaciones de compatibilidad.En el método de pendiente-deflexión, los desplazamientos -tanto las rotaciones corno las traslaciones de los nudos- son las incógnitas. Como paso básico en este método, tienen que plantearse tantas ecuaciones de equilibrio como sea el número de desplazamientos independientes de los nudos. El número de desplazamientos independientes de los nudos se denomina grado de indeterminación cinemática. Para conocer la indeterminación cinemática, simplemente se cuenta el número ele desplazamientos independientes que pueden desarrollarse en los nudos. Por ejemplo, si se ignoran las deformaciones axiales, la viga de la figura 12.18a es cinemáticamente indeterminada en primer grado. Si se tuviera que analizar esta viga por pendiente-deflexión, sólo se consideraría la rotación del nudo B como incógnita.

Si también se deseara considerar la rigidez axial en un análisis más general de rigideces, el desplazamiento axial en B se tomaría como una incógnita adicional, y la estructura se clasificaría como cinemáticamente indeterminada en segundo grado. Si no se especifica lo contrario, en este análisis se ignoran las deformaciones axiales.

En la figura 12.18b, el marco se clasifica como cinemáticamente indeterminado en cuarto grado puesto que los nudos A, B y C son libres de rotar y la trabe puede trasladarse lateralmente. Identificar el número de rotaciones posibles de los nudos es sencillo; sin embargo, en cierto tipo de problemas, el número de desplazamientos independientes de los nudos no es tan fácil de establecer. Un método para determinar el número de desplazamientos independientes de los nudos consiste en añadirles apoyos simples ficticios para restringirlos. El número de apoyos simples necesarios para impedir la traslación de los

nudos de la estructura es igual al número de desplazamientos independientes en los nudos. Por ejemplo, la estructura de la figura 12.18c es cinemáticamente indeterminada en octavo grado, puesto que se pueden desarrollar seis rotaciones de nudo y dos desplazamientos de nudo. Cada apoyo simple ficticio (identificado con los números 1 y 2) introducido en un nivel impide a todos los nudos de ese nivel desplazarse lateralmente.La armadura Vierendeel de la figura 12. 18d se clasifica como cinemáticamente indeterminada en un décimo grado (esto es, presenta ocho rotaciones y tres traslaciones independientes de nudo). Los apoyos simples ficticios marcados como 1,2 y 3 que se añaden a los nudos B, C y H impiden la traslación de todos los nudos,

Resumen El método de pendiente-deflexión es uno ele los procedimientos clásicos más

antiguos para analizar vigas indeterminadas y marcos rígidos. En este método, los desplazamientos de los nudos son las incógnitas.

Para estructuras altamente con un gran número de indeterminadas requiere que el ingeniero resuelva tantas ecuaciones simultaneas como número de desplazamientos desconocidos haya -una operación tardada-. Aunque el uso del método de pendiente-deflexión para analizar estructuras es impráctico dada la disponibilidad de programas de computadora, la familiaridad con el método proporciona a los estudiantes un entendimiento valioso del comportamiento estructural.

Como alternativa al método de pendiente-deflexión, en la de 1920 se desarrolló el método de distribución de momentos para analizar vigas indeterminadas y marcos por medio de la distribución del desbalance de momentos en los nudos de una estructura artificialmente restringida. Si bien este método elimina la necesidad de resolver ecuaciones simultáneas, es todavía relativamente largo, especialmente si se deben considerar un gran número de condiciones de carga. Sin embargo, la distribución de momentos es una herramienta útil como método aproximado de análisis tanto para verificar los resultados de un análisis de computadora como para realizar estudios preliminares. En el capítulo 13 se utiliza la ecuación de pendiente-deflexión para desarrollar el método de distribución de momentos.

Una variación del procedimiento de pendiente-deflexión, el método general de rigideces, utilizado para elaborar los programas generales de análisis por computadora, se presenta en el capítulo 16. Este método utiliza coeficientes de rigidez, es decir, fuerzas generadas por desplazamientos unitarios de los nudos.

Figura 12.18: Evaluación del grado de indeterminación cinemática: a) indeterminada en primer grado, ignorando las deformaciones axiales; b) indeterminada en cuarto grado; c) indeterminada en octavo grado, se añaden apoyos simples imaginarios en los puntos 1 y 2; d) indeterminada en undécimo grado, se añaden apoyos simples imaginarios en los puntos 1, 2 y 3.

EJEMPLO 12.1

Utilizando el método de pendiente-deflexión, determine los momentos en los extremos de los miembros y apoyos de la viga mostrada en la siguiente figura. Así mismo, calcule las reacciones en los apoyos, y dibuje los diagramas de cortante y de momento para toda la viga.

Solución

Con las fórmulas de momento por tramos calculamos los momentos de empotramiento en cada uno de los apoyos y empotramientos para luego reemplazarlos en las ecuaciones de pendiente-deflexión.

TRAMO AB

ME AB=−wL2

12 ME AB=

wL2

12

ME AB=−270 ME AB=270

TRAMO BC

MEBC=−PL8

MECB=PL8

MEBC=−225 MECB=225

TRAMO CD

MECD=−wL2

12 MEDC=

wL2

12

MECD=−180 MEDC=180

M AB=2 EK (2θ A+θB−3ψ AB )+ME AB

M AB=2 EK (θB )−270 (1)

MBA=2EK (θA+2θB−3ψ BA )+MEBA

MBA=4 EK (θB )+270 (2)

MBC=2 EK (2θB+θC−3ψBC )+MEBC

MBC=4 EK ¿ (3)

MCB=2EK (θB+2θC−3ψCB )+MECB

MCB=2EK ¿ (4)

MCD=2 EK (2θc+θD−3ψCD )+MECD

MCD=4 EK (θc)−180 (5)

MDC=2EK (θc+2θD−3ψ DC )+MEDC

MDC=2EK (θc )+180 (6)

Sumamos las ecuaciones 2 + 3 y 4 + 5 luego con las dos ecuaciones resultantes hallamos los valores de las incógnitas para obtener los momentos.

MBA+M BC=0

4 EK (θB )+270+4 EK ¿

8 EK ¿ (7)

MCB+MCD=0

2 EK ¿

2 EK ¿ (8)

8 EK ¿ −8 EK ¿

−30 EK (θC )=135 EK (θC )=−4.5

8 EK ¿ EK (θB )=−4.5

M AB=2 EK (θB )−270

M AB=−290 klb∗pieRespuesta

MBA=4 EK (θB )+270

MBA=252klb∗pie R espuesta

MBC=4 EK ¿

MBC=−252klb∗pieRespuesta

MCB=2EK ¿

MCB=198klb∗pie Respuesta

MCD=4 EK (θc)−180

MCD=−198klb∗pie Respuesta

MDC=2EK (θc )+180

MDC=171klb∗pieRespuesta

TRAMO AB+∑M

B=0

279+252−A (30 )+(3.6∗30 )( 302 )=0A=54.9klb

+↑∑ FY=0

54.9− (3.6∗30 )+B=0B=53.1klb

TRAMO BC+∑M

C=0

252−198−B (30 )+(60∗15 )=0B=31.8klb

+↑∑ FY=0

31.8−60+C=0C=28.2klb

TRAMO CD+∑M

B=0

198−171−C (30 )+ (2.4∗30 )( 302 )=0C=36.9klb

+↑∑ FY=0

36.9− (2.4∗30 )+D=0D=35.1klb

Con los valores de las reacciones, fuerzas distribuidas y fuerza puntual procedemos a graficar los diagramas de cortante y momento.

EJEMPLO 12.2

Utilizando el método de pendiente-deflexión, determine los momentos en los extremos de los miembros y apoyos de la viga mostrada en la siguiente figura. Así mismo, calcule las reacciones en los apoyos, y dibuje los diagramas de cortante y de momento para toda la viga.

Solución

Con las fórmulas de momento por tramos calculamos los momentos de empotramiento en el apoyo y empotramientos para luego reemplazarlos en las ecuaciones de pendiente-deflexión.

TRAMO AB

ME AB=−PL8

ME AB=PL8

ME AB=−62.5 ME AB=62.5

TRAMO BC

MEBC=−Pb2a

L2 MECB=

Pa2bL2

MEBC=−48 MECB=72

M AB=2 EK (2θ A+θB−3ψ AB )+ME AB

M AB=2 EK (θB )−62.5 (1)

MBA=2EK (θA+2θB−3ψ BA )+MEBA

MBA=4 EK (θB )+62.5 (2)

MBC=2 EK (2θB+θC−3ψBC )+MEBC

MBC=4 EK (θB )−48 (3)

MCB=2EK (θB+2θC−3ψCB )+MECB

MCB=2EK (θB )+72 (4)

Sumamos las ecuaciones 2 + 3 luego hallamos el valor de la incógnita para obtener los momentos.

MBA+M BC=0

4 EK (θB )+62.5+4 EK (θB )−48=0

EK (θB )=−1.182

M AB=2 EK (θB )−62.5

M AB=−66.125 Respuesta

MBA=4 EK (θB )+62.5

MB A=55.25 Respuesta

MBC=4 EK (θB )−48

MBC=−55.25Respuesta

MCB=2EK (θB )+72

MCB=−68.375 Respuesta

Con los valores de las reacciones, fuerzas distribuidas y fuerza puntual procedemos a graficar los diagramas de cortante y momento.

TRAMO AB+∑M

B=0

66.125 (25 )+20 (12.5 )−A (25 )−55.25=0A=10.435k

+↑∑ FY=0

10.435−20+B=0B=9.565 k

TRAMO BC+∑M

C=0

55.25−68.375+20 (10 )−B(25)=0B=7.475k

+↑∑ FY=0

7.475−20+C=0C=12.525 k

EJEMPLO 12.3

Utilizando el método de pendiente-deflexión, determine los momentos en los extremos de los miembros del marco arriostrado mostrado en la figura 12.9a. Así mismo, calcule las reacciones en el apoyo D, y dibuje los diagramas de cortante y de momento para los miembros AB y BD.

Solución

Como θA es igual a cero debido al empotramiento en A, entonces θB y θD son los únicos desplazamientos desconocidos en los nudos que se deben considerar. El

Figura 12.9: a) Detalle del marco; b) Nudo D; c) Nudo B (cortantes y fuerzas axiales omitidas para mayor claridad); d) Diagramas de cuerpo libre de los

miembros y los nudos utilizados para el cálculo de cortantes y reacciones (los momentos que actúan sobre el nudo B se omiten para mayor claridad).

momento aplicado sobre el nudo B por el voladizo BC debe incluirse en la ecuación de equilibrio del nudo; sin embargo, no se necesita incluir el voladizo en el análisis de pendiente-deflexión de la parte indeterminada del marco, puesto que el voladizo es determinado, es decir, el cortante y el momento en cualquier sección del miembro BC se determinan mediante las ecuaciones de la estática. En la solución de pendiente-deflexión, es posible considerar el voladizo como un instrumento que aplica al nudo B una carga vertical de 6 klb y un momento de 24 klb-pie en el sentido de las manecillas del reloj.

Utilizando la ecuación de pendiente-deflexión

MCL=2EIL

(2θc+θL−3ψcl )+MECL (12.16)

y expresando todas las variables en unidades de klb-pulgadas, e igualando los momentos de empotramiento producidos por la carga uniforme sobre el miembro AB (véase figura 12.5d) a los momentos en los extremos de los miembros se expresan como

ME AB=−wL2

12

MEBA=+wL2

12

M AB=2E (120)18 (12)

(θ ¿¿B)−2 (18 )2 (12 )12

=1.11EθB−648 (1)¿

MBA=2 E(120)18(12)

(2θ¿¿B)+2 (18 )2 (12 )12

=2.22 EθB+648(2)¿

MBD=2 E(60)9(12)

(2θ¿¿B+θD)=2.22 EθB+1.11EθD(3)¿

MBD=2 E(60)9(12)

(2θ¿¿D+θB)=2.22EθD+1.11EθB(4)¿

Para obtener los desplazamientos desconocidos de los tramos θB y θD, se escriben las ecuaciones de equilibrio en los nudos D y B.

En el nudo D (véase figura 12.9b) + ∑MD=0

∑M DB=0 (5)

En el nudo B (véase figura 12.9c) +∑MB=0

MBA+M BD−24 (12 )=0 (6)

Como la magnitud y el sentido del momento MBC en el extremo B del voladizo se calcula por estática (sumando momentos alrededor del punto B), se aplica en el sentido correcto (en el sentido contrario al de las manecillas del reloj) sobre el extremo del miembro BC, como se muestra en la figura 12.9c.Por otro lado, como la magnitud y el sentido de los momentos extremos MBA Y MBD, son desconocidos, se supone que actúan en sentido positivo (en el sentido de las manecillas del reloj sobre los extremos de los miembros y en sentido contrario sobre el nudo).Utilizando las ecuaciones 2, 3 y 4 para expresar los momentos de las ecuaciones 5 y 6 en función de los desplazamientos, las ecuaciones de equilibrio se escriben como

En el nudo D

2.22 EθD+1.11EθB=0 (7)

En el nudo B

(2.22 Eθ¿¿B+648)+(2.22EθB+1.11EθD )−288=0(8)¿

Resolviendo las ecuaciones simultáneas 7 y 8 se obtiene

θD=46.33

E

θB=−92.33

E

Para encontrar los valores de los momentos sobre los extremos de los miembros, los valores de θB y θD, anteriores se sustituyen las ecuaciones 1, 2 y 3, teniéndose

M AB=1.11E (−92.66E )−648 ¿−750.85klb∗pulgadas=−62.57klb∗pieRespuesta

MBA=2.22E (−92.66E )+648 ¿442.29 klb∗pulgadas=36.86klb∗pie Respuesta

MBD=2.22E (−92.66E )+1.11( 46.33E ) ¿−154.28klb∗pulgadas=−12.86 klb∗pieRespuesta

Ahora que se conocen los momentos en los extremos de los miembros, se completa el análisis utilizando las ecuaciones de la estática para determinar los cortantes en los extremos de todos los miembros.La figura 12.9d muestra los diagramas de cuerpo libre de los miembros y los nudos: salvo el voladizo, todos los miembros soportan fuerzas axiales así como cortante momento Luego de determinar los cortantes, se calculan las fuerzas axiales y las reacciones considerando el equilibrio de los nudos. Por ejemplo, el equilibro de las fuerzas verticales aplicadas al nudo B requiere que la fuerza vertical F en la columna BD sea igual a la suma dc los cortantes aplicados al nudo B por los extremos B de los miembros AB y BC.

EJEMPLO 12.4

Uso de la simetría para simplificar el análisis de una estructura simétrica con una carga simétrica

Determine las reacciones y dibuje los diagramas de cortante y de momento para las columnas y la trabe del marco rígido mostrado en la figura 12.10a. Datos: I AB=ICD=120 pulgadas4, IBC=360 pulgadas4, y E es constante para todos los miembros.

Solución

Los nudos B y C rotan, pero no se desplazan lateralmente puesto que tanto la estructura como su carga son simétricas con respecto a un eje vertical de simetría que pasa por el centro de la trabe. Más aún, θB y θC son iguales en magnitud; sin embargo, θB es positiva (rotación en sentido de las manecillas del reloj), mientras que θC es negativa (rotación en sentido contrario al de las manecillas de reloj). Como el problema contiene únicamente una rotación nodal desconocida, se puede determinar su magnitud escribiendo la ecuación de equilibrio ya sea para el nudo B o para el nudo C. Se selecciona arbitrariamente el nudo B.

Expresando los momentos en los extremos de los miembros con la ecuación 12.16, leyendo el valor del momento de empotramiento para el miembro BC de la figura 12.5d, expresando las unidades en klb-pulgada, y sustituyendo θB = θ y θC = - θ, es posible escribir

M AB=2E (120)16 (12)

(θ ¿¿B)=1.25 EθB(1)¿

MBA=2 E(120)16(12)

(2θ¿¿B)=2.5 EθB(2)¿

MBC=2 E(360)30(12)

(2θ ¿¿B+θC)−wL2

12¿

¿2 E [2θ+(−θ)]−2 (30 )2 (12 )12

=2 Eθ−1800(3)

Escribiendo la ecuación de equilibrio en el nudo B (véase figura 12.10b) se tiene

MBA+M BC=0(4)

Sustituyendo las ecuaciones 2 y 3 en la ecuación 4 y resolviendo para 0 se obtiene

2.5 Eθ+2.0 Eθ−1800=0

Figura: 2.10 a) Estructura y carga simétricas; b) momentos que actúan sobre el nudo B (fuerzas axiales y cortantes omitidos); c) diagramas de cuerpo libre de la trabe BC y de la columna AB utilizados para el cálculo de cortantes; también se muestran los diagramas finales de cortante y de momento.

θ=400E

(5)

Sustituyendo el valor de dado por la ecuación 5 en las ecuaciones 1, 2 y 3 se obtiene

M AB=1.25 E( 400E ) ¿500klb∗pulgadas=41.67klb∗pie Respuesta

MBA=2.5 E( 400E ) ¿1000klb∗pulgadas=83.33klb∗pie Respuesta

MBC=2 E( 400E )−1800 ¿−1000klb∗pulgadas=−83.33klb∗pieRespuesta

en sentidoal de lasmanecillas delreloj

La figura 12.10c muestra los resultados finales del análisis.