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43
CAPÍTULO III
LÍMITES Y CONTINUIDAD
3.1 DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE
La idea de límite que tenemos en nuestro diario vivir, es la que con mayor
propiedad nos puede acercar al concepto de límite, así por ejemplo, hablamos
de la capacidad límite de un recipiente, del máximo peso que puede sostener un
apoyo, del límite de velocidad en una zona escolar, del limite de tolerancia de
una persona, etc. Todo esto sugiere que el límite es un tipo de cota que puede
alcanzarse unas veces y otras no.
Decimos que el numero L es el límite de f(x) cuando x tiende a c una vez que
el número f(x) pueda acercarse a L cuanto nos plazca, simplemente escogiendo
x lo suficientemente cerca, aunque no sea igual al número c. Por tanto si f(x)
queda arbitrariamente cerca de un número L al tender x hacia c desde cualquier
lado, escribimos entonces:
Lxfcx
)(lim
Y decimos que el límite de f(x), al tender x hacia c, es L
Una forma muy simple de determinar un límite consiste en establecer valores
de x que se aproximen al valor límite y ver la tendencia de f(x)
Ejemplo. Hallar
3
6lim
2
3 x
xx
x
x
-3,2
-3,1
-3,01
-3,001
-3
-2,999
-2,99
-2,9
-2,8
f(x)
-5,2
-5,1
-5,01
-5,001
?
-4,999
-4,99
-4,9
-4,8
Claramente se puede observar que f(x) tiende a -5 por tanto
53
6lim
2
3 x
xx
x
Esta forma de cálculo permite conocer resultados de límites antes de iniciar las
operaciones de reducción de las expresiones algebraicas, en ocasiones conocer
el resultado con anterioridad puede ser de mucha utilidad.
44
3.2 DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LÍMITE 2
La ecuación
Lxfcx
)(lim
significa que para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que
│f(x) - L│ < ε siempre que 0 <│x - c│< δ
y
L + ε f(x)
L
L - ε
x
c - δ c c + δ
Para cada ε > 0 existe un δ > 0, esto quiere decir que si elegimos un valor
particular de ε para tal elección de ε hay un δ apropiado. No exigimos que
exista el mismo δ para más de una elección de ε. Además el número δ no es
único, puesto que si vale un δ, también sirve cualquier número positivo que sea
menor.
3.3 FORMAS INDETERMINADAS Y DETERMINADAS
Son formas indeterminadas las expresiones con un límite que no es evidente
por inspección, estos generalmente conducen a las formas 0/0 , / , - ,
01 , 0 , . Las formas determinadas son aquellas en las cuales luego de
haberse efectuado las reducciones algebraicas necesarias se presentan las
formas:
0 0
, , , 0 0, 0L
L en cuyo caso el límite es cero
2 LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica, Mc.Graw Hill 1987 Pag.89
45
o bien:
, , , ,0 0
L
L en cuyo caso el límite es infinito
3.4 LÍMITES LATERALES
La aproximación de x a c, a través de valores mayores que c se denomina
limite por la izquierda y la aproximación a través de valores menores a c, límite
por la derecha; se denotan por
lim ( )x c
f x (izquierda) lim ( )x c
f x (derecha)
Si f es una función, c y L son números reales, entonces
lim ( )x c
f x L
si y sólo si lim ( )x c
f x L y lim ( )x c
f x L
3.5 PROPIEDADES DEL LÍMITE
Si b, c, n, A y B son números reales, siendo f y g funciones tales que,
lim ( )x c
f x A y lim ( )x c
g x B , entonces:
1) limx c
b b 2) limx c
x c
3) lim ( )x c
b f x b A 4) lim ( ) ( )x c
f x g x A B
5) lim ( ) ( )x c
f x g x A B 6) ( )
lim 0( )x c
f x AB
g x B
7) nn
cxcxlim 8) ex x
x
1
0)1(lim
9) ex
x
x
11lim 10) a
x
a x
xln
1lim
0
Hallar los siguientes límites:
46
Ejemplo 1 2
32
4 9 0lim
2 3 0x
x
x
Solución
3 32 2
(2 3)(2 3) 3lim lim (2 3) 2 3 3 3 6
2 3 2x x
x xx
x
Ejemplo 2 3
1
1 0lim
1 0x
x
x
Respuesta: 2
2
1 1
( 1)( 1)lim lim( 1) 1 1 1 3
1x x
x x xx x
x
Ejemplo 3 1
5
1
1 0lim
1 0x
x
x
Respuesta:
Recuérdese que: x5 - 1 = (x - 1) (x
4 + x
3 + x² + 1)
Entonces x - 1 = (x1/5
- 1)(x4/5
+ x3/5
+ x2/5
+x1/5
+ 1)
)1)(1(
)1)(1(lim
51
52
53
54
51
52
53
54
51
1
xxxxx
xxxxxx
)1)(1(
)1(lim
51
52
53
54
1 xxxxx
xx
34 2 11 5 5 5 5
1 1 1lim
1 1 1 1 1 5( 1)x
x x x x
Ejemplo 4 31 2
5 5 5
10 2
1 0lim
0x
x x x
x
Solución:
47
1 1 3 1 2 1 7 11 91 1
5 2 5 2 5 2 10 10 102 2
0 0lim lim 0x x
x x x x x x x x
Ejemplo 5. 2/1
5/25/35/4
0lim
x
xxxx
x
Solución:
4 1 3 1 1 2 1 1 1
5 4 5 2 4 5 4 2 4
0limx
x x x x
21 11 13 3
20 20 20 4
0lim 0x
x x x x
Ejemplo 6
Si 3
lim(2 4) 10x
x y ε= 0,01 Hallar δ
Como│f(x) - L│ < ε siempre que 0 <│x - c│< δ
│(2x + 4) - 10│ < 0,01 siempre que 0 <│x - 3│< δ
│2x - 6│ < 0,01 siempre que 0 <│x - 3│< δ
2│x - 3│ < 0,01 siempre que 0 <│x - 3│< δ
│x - 3│ < 0,005 siempre que 0 <│x - 3│< δ
por tanto
δ = 0,005
Ejemplo 7. Para cualquier ε > 0, hallar un δ > 0 tal que;
│f(x) - L│ < ε siempre que 0 <│x - c│< δ
si 4
lim(2 1) 9x
x
│(2x + 1) - 9│ < ε siempre que │x - 4│< δ
│2x - 8│ < ε siempre que │x - 4│< δ
│x - 4│ < ε/2 siempre que │x - 4│< δ
Entonces δ = ε/2
48
Ejemplo 8 31
1lim
1x
x
x
Respuesta. Como quiera que el límite tiende a uno por izquierda, significa que
tomará un valor ligeramente menor a uno haciendo que en el denominador
prevalezca el signo de - 1, por tanto el denominador es un infinitésimo
negativo y el límite será igual a:
31
1lim
1x
x
x
Ejemplo 9.
Ejemplo 10.
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
)22(
11lim
22
11lim
22
22121lim1
22
121lim
(2 2)(2 2) (2 2)
(2 2)1 1lim 1 lim 1
(2 2) (2 2)
xx
x x xx
x xx x
x
x x
51lim
0;
5;
5
txsi
tx
xtSea
551
01lim et t
t
x
x x
x
22
12lim
49
/(2 2) (2 / 2 / ) 1
21
lim 1(2 2)
x xx x x x
xe
x
Ejemplo 11
20
)ln(coslim
x
x
x
221
2
0
1
020sin1limln)ln(coslim)ln(cos
1lim x
x
x
xxxxx
x
2
2
222
sin
sin
12
02
12
0)sin(1limln)sin(1limln
x
x
xx
xx
xx
2
1ln
2
1lnlnln 2
1sinsin
2
1lim
2
sinlim
02
2
0eeee x
x
x
x
x
x
xx
NOTA.- El estudiante debe resolver los problemas 11 al 22 de la práctica 1
páginas 246-247
3.6 CONTINUIDAD
Una función es continua en c si se dan estas tres condiciones
1) f(c) está definido
2) )(lim xfcx
existe.
3) )()(lim cfxfcx
y
c
x
Punto de discontinuidad
50
Se dice que una función es continua en un intervalo (a , b) si es continua en
cada punto del intervalo.[3]
Una función polinómica de la forma
f(x) = a0xn + a1x
n-1 + ........ + an-1x + an (a0╪0)
Es continua para todo número real
Una función racional f(x) = g(x) / h(x) es continua en todos los valores reales
de su dominio ( h(x) ╪ 0 ).
3.7 PROPIEDADES
Si las funciones f, g son continuas en c, las siguientes funciones son también
continuas en c:
1) f ± g
2) a f, donde a es una constante arbitraria.
3) f g
4) f /g, si g(c) ╪ 0.
5) f(g(x)) supuesta f continua en g(c) [4]
3.8 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
Si f es continua en [a , b] y k es un número cualquiera entre f(a) y f(b), existe
al menos un número c entre a y b, tal que f(c) = k
f(a)
k
f(b)
x
a c1 c2 c3 b
3.9 LÍMITES Y ASÍNTOTAS
Asíntota es la posición límite, si existe, a la cual tiende la recta tangente a una
línea plana cuando una o ambas coordenadas x, y del punto de contacto tienden
[3][4] LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica Mc. Graw Hill 1987 Pag.
65-69
51
hacia infinito.
3.9.1 ASÍNTOTAS VERTICALES
Existen cuatro clases de límites laterales infinitos:
1.- lim ( )x c
f x 2.- lim ( )x c
f x
3.- lim ( )x c
f x 4.- lim ( )x c
f x
En cada uno de estos casos, la recta x = c se llama asíntota vertical de f(x).
También
0
1lim
nx x 0
1lim
nx
n impar
n parx
Si la función F(x) = f(x)/g(x) es tal que f(c) ╪ 0, g(c) = 0, y tanto f como g son
continuas en un intervalo abierto que contiene a c, la gráfica de F tiene una
asíntota vertical en x = c. [5]
3.9.2 ASÍNTOTAS HORIZONTALES Si L es un número real y:
lim ( )
xf x L
lim ( )
xf x L
Entonces, en ambos casos, la recta y = L se llama asíntota horizontal de f(x).[6]
3.9.3 LÍMITES EN EL INFINITO
Si r es positivo y c un número real cualquiera, entonces
lim 0rx
c
x lim 0
rx
c
x
Si xr está definido para x<0
[5] [6] LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica Mc. Graw Hill 1987 Pag. 75
52
Ejemplo. Determinar asíntotas verticales, horizontales y graficar
10116
22 xx
xy
)23)(52(
2
xx
xy
Asíntotas verticales:
2x + 5 = 0 x = - 5/2
3x - 2 = 0 x = 2/3
Asíntota horizontal:
2
2
22 2 2
2 2
0lim lim 0
11 10 6 0 06 11 10 6x x
x
x x
x x
x xx x x
por tanto, la recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función.
x y
1 2/7
0 0
1/2 -1/3
-1 2/15
-3 -6/11
53
3.9.4 LÍMITES EN EL INFINITO DE FUNCIONES RACIONALES
Para la función racional f(x)/g(x), donde [8]
1
1 0( ) .......n nn nf x a x a x a
1
1 0( ) .......m mm mg x b x b x b
tenemos que:
0
( )lim
( )
n
xm
si n m
af xsi n m
g x b
si n m
Ejemplo 1. Hallar el siguiente límite:
4 3 2
7 5
3 8 3 12 8lim
6 8 3 33x
x x x x
x x x
En este caso se tiene que n < m por tanto el límite es cero.
Ejemplo 2 5 4 3 2
2
4 6 7 9 22lim
7 34x
x x x x x
x x
Como n > m entonces el límite es infinito.
Ejemplo 3 5 3 2
5 4 2
8 3 6 2lim
5 67 4x
x x x x
x x x
En este caso el grado del numerador es igual al grado del denominador, por
tanto, el límite es igual al cociente de los coeficientes de las mayores potencias
de x, en este caso 8/5.
[8] LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica Mc. Graw Hill 1987 Pag.82
54
Ejemplo 4. Hallar
15
432lim
x
xxx
x
La mayor potencia de x es 1/2, el problema puede resolverse dividiendo todo
entre la raíz cuadrada de x, sin embargo un método más simple consiste en
comparar las potencias del numerador y denominador, como son iguales se
tiene:
5
2
15
432lim
x
xxx
x
Ejemplo 5
1lim43
xxx
xxx
x
Ejemplo 6
xxx
5lim
xx
xx
xx
xxxx
xx 5
5lim
5
55lim
05
5
5lim
xxx
3.9.4.1 APLICACIONES A SUCESIONES
Una sucesión {an}, es una función cuyo dominio corresponde al conjunto de
los enteros positivos y tiene una ley de formación.
Una sucesión es monótona creciente si todo término es mayor o igual al
término anterior y monótona decreciente en caso contrario, finita si existe un
primer y último término e infinita si falta uno de ellos o ambos.
Ejemplo
nan
12;.........
4
12;
3
12;
2
12;
1
12
Esta sucesión es monótona decreciente e infinita.
55
3.9.4.2 LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
La sucesión {an} tiene límite finito L cuando n tiende a infinito, si a todo
número positivo ε por pequeño que sea, le corresponde un número natural N tal
que:
NnLaLa nnnlim
N es el número a partir del cual se cumple la desigualdad Lan . Si el
límite existe la serie es convergente, caso contrario es divergente.
Ejemplo 1
Hallar nn
12lim
n
n
n nn
12lim
12lim
Las potencias de n en el numerador y denominador son iguales, por tanto:
21
2limnn
Ejemplo 2
102
510lim
n
n
n
De manera similar a la anterior el límite corresponde al cociente de los
coeficientes de las mayores potencias de x
52
10
102
510lim
n
n
n
Ejemplo 3
Hallar el límite de la sucesión .......4
1;
3
1;
2
1;
1
11
nan
01
limnn
56
Ejemplo 4
42
8
234
228lim
3
23
nn
nn
n
Ejemplo 5
32
154lim
2
n
nn
n Diverge
3.9.5 ASÍNTOTAS OBLICUAS
Sea una función racional de la forma F(x) = f(x)/g(x) donde el grado del
numerador es mayor en una unidad que el grado del denominador, entonces al
dividir, se obtiene.
( )( ) ( )
( ) ( )
f x RF x mx b
g x g x
Donde R es el residuo de la división. Puesto que
lim 0( )x
R
g x
Entonces cuanto mayor sea x la función F(x) = f(x)/g(x) será más parecida a la
ecuación de la recta mx +b, es decir f(x)/g(x) tiende a la recta y = mx + b
cuando x tiende a . Esta recta se llama asíntota oblicua de la función.
Los valores de m y b de la ecuación de la recta que representa a la asíntota
oblicua pueden ser hallados también de la siguiente manera:
x
xF
abscisa
ordenadam
)(
x
F(x)
)(lim)(lim)(lim
xg
RbmxxF
xxx
)limlim)(lim bmxxFxxx
))((limlim)(lim mxxFmxxFbxxx
57
x
xFm
x
)(lim ))((lim mxxFb
x
Ejemplo 1. Determinar asíntotas y graficar
2 1x
yx
Esta función tiene una asíntota vertical en x = 0, no tiene asíntota horizontal
puesto que el límite de la función cuando x→ es , tiene asíntota oblicua
puesto que el grado del numerador es mayor en una unidad que el grado del
denominador, efectuando dicha división obtenemos:
2 1 1x
y xx x
Por tanto, la asíntota oblicua será y = x
Esta función es además simétrica respecto al origen ya que al reemplazar x por
-x , y por -y se obtiene una ecuación equivalente, por lo cual es suficiente hallar
la gráfica en un solo lado del eje y y por simetría trazar el otro.
x y
1 2
2 5/2
58
Ejemplo 2. Determinar asíntotas, simetría y graficar 3
22 8
xy
x
3
2
( )
2( ) 8
xy
x no es simétrica al eje y
3
22 8
xy
x no es simétrica al eje x
3
2
( )
2( ) 8
xy
x es simétrica al origen
2x² - 8 = 0 ===> x² = 4 ===> x = ± 2 asíntotas verticales
3
2lim
2 8x
x
x no existe asíntota horizontal
3
2 2
4
2 22 8 2 8
x x x xy y
x x asíntota oblicua
x y
1 -0.16
2.5 3.47
3 2.7
59
Ejemplo 3. Determinar asíntotas, simetría y graficar.
42
2
x
xy
Asíntotas verticales 2 4 0 2x x
Asíntota horizontal 2
2lim
4x
x
x No existe asíntota horizontal
Simetría
2
2
( )
( ) 4
xy
x Es simétrica al eje y
Asíntota Oblicua
14
lim4
lim2
2
2
x
x
x
x
x
mxx
04
4lim
4lim
2
22
2
2
x
xxxx
x
x
xx
La ecuación de la asíntota oblicua será:
xbmxy
Por simetría al eje y la otra asíntota oblicua será: xy
Campo de existencia 2 4 0 ( 2)( 2) 0
( , 2) (2, )
x x x
x y
2.5 4.16
3 4.02
4 4.62
60
Ejemplo 4. Graficar determinando simetría y asíntotas 2
2
1
1
xy
x
No existen asíntotas verticales ni oblicuas.
Asíntota horizontal 2
2
1lim 1
1x
x
x y=1 es la asíntota horizontal
Simetría 2
2
( ) 1
( ) 1
xy
x Es simétrica al eje y
NOTA. Determinar asíntotas simetría y graficar los problemas 1 al 10 de la
práctica 2, página 247
3.10 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
Los límites trigonométricos no pueden verificarse usando la definición de
límite directamente sino que requieren para su demostración de algunos
artificios.
Ejemplo. Demostrar que
0
sinlim 1x
x
x
Demostración
Puesto que se trabajará con el límite de la expresión al tender el arco x a cero,
el segmento de arco PQ puede igualarse al arco x, entonces se tiene.
sin tanx x x
x y
1 0
2 0.6
3 0.8
61
y
sin tan
sin sin sin
x x x
x x x
A C
x x sin
1 cosx
xx
B D
0 0 0
sinlim1 lim lim cosx x x
xx
x
AB = sin x CD = tan x
por tanto
0
sinlim 1x
x
x
Ejemplo. Demostrar que
0
1 coslim 0x
x
x
Demostración 2 2
0 0 0
1 cos 1 cos 1 cos sinlim lim lim
1 cos (1 cos ) (1 cos )x x x
x x x x
x x x x x x
0
sin sin 0lim 1 0
1 cos 1 1x
x x
x x
3.11 LEY DEL EMPAREDADO
Se conoce también con los nombres de, teorema de estricción o teorema de
encaje y expresa lo siguiente:
Si h(x) f(x) g(x) para todo x en un intervalo abierto que contiene a c
excepto posiblemente el mismo c y si;
lim ( ) lim ( )x c x c
h x L g x
Entonces
lim ( )x c
f x L
62
Ejemplo 1 2
20
sin 3limx
x
x
0
sin3 sin3lim9 9(1)(1) 9
3 3x
x x
x x
Ejemplo 2
0
sin 4lim
7x
x
x
0
4 sin4 4lim
7 4 7x
x
x
Ejemplo 3
0
1 cos6limx
x
x
0
1 cos66 lim (6)(0) 0
6x
x
x
Ejemplo 4 2
0 2
4lim
1 cos2
x
x
x
2
0 02
1 12(4)(4) lim 16 lim 16(1)(1) 16
sin sin sin2 2 2
2 2
x x
x
x x x
x x
Ejemplo 5
20
3sinlim
4 5x
x
x x
0 0
sin sin 1 1 33lim 3lim 3(1)
(4 5) 4 5 5 5x x
x x
x x x x
63
Ejemplo 6
1lim sinx
xx
Sea t = 1/x entonces si x ; t 0, por tanto
0 0
1 1 sinlim sin lim sin lim 1x t t
tx t
x t t
Ejemplo 7. Utilice la ley del emparedado para hallar
2
30
1lim sinx
xx
3
10 sin 1 0x
x
2 2 2
3
10 sin 1x x x
x
2 2
30 0 0
1lim 0 lim sin limx x x
x xx
2
30
10 lim sin 0
xx
x
Entonces
2
30
1lim sin 0x
xx
Ejemplo 8.
Hallar 4
3lim ( ) ( ) 4 2(3 )x
g x si g x x
Solución 4 4
4 4
2(3 ) ( ) 4 2(3 )
2(3 ) 4 ( ) 2(3 ) 4
x g x x
x g x x
sean: 4
4
( ) 2(3 ) 4
( ) 2(3 ) 4
f x x
h x x
3 3
lim ( ) 4 lim ( ) 4x x
f x h x
64
Por la ley del emparedado
3
( ) ( ) ( )
lim ( ) 4x
f x g x h x
g x
Ejemplo 9. Resolver
2 2
2 2
sin sinlim
(sin sin )(sin sin ) sin sin sin sinlim lim
( )( )
( ) (2sin cos
2sin 2 2lim2
2sin( )sin sin2lim lim cos( ) cos( )
2 22( )
2
sin 2sin cos sin(2 ) sin 2cos
2 2 2
Ejemplo 10
)4sin(
)3arctan(lim
0 x
x
x
x
xx
x
x
x
xx )4sin(
)3arctan(
lim)4sin(
)3arctan(lim
00
Para el límite del numerador sea
0;3
tantan3
0;)3arctan(
tt
xtx
xtx
65
4
3
4
)4sin(lim4
tanlim3
)4sin(lim
3
tanlim
0
0
0
0
x
xt
t
x
x
t
t
x
t
x
t
Ejemplo 11
x
x
x
sinhlim
0
x
ee
x
ee
x
x xx
x
xx
xx
11lim
2
12limsinh
lim000
x
e
x
e
x
eex
x
x
x
xx
x
1lim
1lim
2
1)1(1lim
2
1 1
000
122
1)ln(ln
2
1)ln(ln
2
1 1 eeee
Ejemplo 12 Utilizando la definición de límite para cualquier 0 halle un
0 tal que Lxf )( siempre que cx0 si:
4
1
4
4lim
4 x
x
x
4
1
4
2
x
x 4x
4
1
)2)(2(
2
xx
x 4x
2
24
x
x 4x
2)2(
)2)(2(
x
xx 4x
2)2(4 xx 4x
Considerando el intervalo (3,5)
66
2)32(4x 4x
Por tanto
))32(,1min( 2
Ejemplo 13 Graficar y hallar el límite de cada parte de:
xsix
xsi
xsix
xf
12
14
132
)(
2
5)32(lim
3)2(lim
1
2
1
x
x
x
x
El límite cuando x tiende a 1 no existe por que los dos límites laterales son
diferentes.
NOTA. El estudiante no debe olvidar resolver los problemas 11 al 20 de la
práctica 2, página 248
3.12 CÁLCULO DE LÍMITES CON APOYO DE DERIVE
Puede hallarse el límite de una expresión u cuando la variable x tiende al punto
a introduciendo la expresión LIM(u, x, a). Por defecto, se considera que a vale
0. Por ejemplo, para calcular el límite que permite obtener la derivada de x²,
debe hallarse el límite:
x
xxx
x
xfxxf
xx
22
00
)(lim
)()(lim
Para ello haga Δx = h e inserte en la Barra de Entrada de Expresiones
LIM(((x+h)^2-x^2)/h, h, 0)
≈ ≈
67
Barra de Entrada de Expresiones
Utilice el ícono introducir y simplificar para obtener:
h
xhx
h
22
0
)(lim
2x
Para hallar el límite por la derecha de
xx
1lim
0
Introduzca la expresión
LIM(1/x, x, 0, 1)
se simplifica a +∞ (mas infinito)
Para hallar el límite por la izquierda de
xx
1lim
0
Introduzca la expresión
LIM(1/x, x, 0, -1)
se simplifica a -∞ (menos infinito).
3.13 APLICACIONES PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES CON
DERIVE
Los siguientes resultados se obtienen al aplicar derive al cálculo de límites, de
acuerdo a las indicaciones del inciso anterior, la ventana de álgebra del derive
mostrará:
#1 3
6lim
2
3 x
xx
x
#2 -5
#3 x
xx
1
0)1(lim
#4 e
#5 32
94lim
2
23 x
x
x
68
#6 -6
#7 1
1lim
3
1 x
x
x
#8 3
#9 1
1lim
51
1 x
x
x
#10 5
1
#11 2
1
52
31
51
0
1lim
x
xxx
x
#12 0
PARA HALLAR δ CUANDO 10)42(lim3
xx
y ε = 0.01 SE PUEDE
RESOLVER EL SIGUIENTE SISTEMA DE INECUACIONES.
#13 SOLVE ),3001.01042( xX
#14 3005.033 xxx
DERIVE TAMBIÉN PERMITE RESOLVER LÍMITES LATERALES
COMO:
#15 3-1x )1(
1lim
x
x
#16 -∞
#17 31x )1(
1lim
x
x
#18 ∞
#19 2
1
21
21
21
)15(
)))43(2(lim
x
xxx
x
#20 5
10
69
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS CON DERIVE
#21 x
x
x
)sin(lim
0
#22 1
#23 x
x
x
)cos(1lim
0
#24 0
#25 2
2
0
)3sin(lim
x
x
x
#26 9
#27 )7sin(
4lim
0 x
x
x
#28 7
4
#29 x
x
x
)6cos(1lim
0
#30 0
#31 2
2
0
2cos1
4lim
x
x
x
#32 16
#33 xx
x
x 54
)sin(3lim
20
#34 5
3
#35 x
xx
1sinlim
#36 1
#37 3
1
2
0
1sinlim
xx
x
#38 ?
OBSERVE QUE ESTE ES UN LÍMITE QUE DERIVE NO PUDO
RESOLVER, FUE RESUELTO ANTES UTILIZANDO LA LEY DEL
EMPAREDADO.
70
#39 22
22 )sin()sin(lim
yx
yx
yx
#40 y
y
2
)2sin(
3.14 GRÁFICAS CON DERIVE
Una descripción en detalle puede encontrarse en el anterior capítulo, a
continuación mostramos gráficas construidas con apoyo del derive.
HALLAR ASÍNTOTAS Y GRAFICAR
#1 10116
22 xx
xy
PARA HALLAR LAS ASINTOTAS VERTICALES
#2 SOLVE( 6 x2 + 11 x – 10 , x )
#3 2
5
3
2xx
DESPUÉS DE REPRESENTAR ESTAS RECTAS SE PUEDEN GRAFICAR
#4 2
5x
#5 3
2x
PARA HALLAR LA ASÍNTOTA HORIZONTAL
#6 10116
2lim
2 xx
x
x
#7 0
71
HALLAR ASINTOTAS Y GRAFICAR LA SIGUIENTE FUNCIÓN
#8 x
xy
12
LA ASÍNTOTA VERTICAL ES x = 0
PARA HALLAR LA ASÍNTOTA OBLICUA DEBE DIVIDIRSE EL
NUMERADOR ENTRE EL DENOMINADOR, LO CUAL PUEDE
HACERSE MEDIANTE:
EXPAND permite expandir una expresión o subexpresión con respecto de
algunas (o todas) de sus variables. Si una expresión polinómica se expande, se
obtiene justamente la expansión de ese polinomio. Si se expande una
expresión racional, se obtiene su descomposición en fracciones simples.
Notemos que la función EXPAND no controla expansiones exponenciales,
logarítmicas ni trigonométricas.
Debe prestarse especial atención a ésta orden del derive ya que al aplicarse
debe buscarse el cociente en la expresión que contiene la variable x en el
numerador, las demás fracciones simples no tendrán esta característica.
#9 EXPAND xx
x,
12
72
#10 x
x1
POR TANTO, LA ASÍNTOTA OBLICUA ES:
#11 y = x
EJEMPLO. DETERMINAR ASÍNTOTAS Y GRAFICAR LA SIGUIENTE
FUNCIÓN
#11 82 2
3
x
xy
ASÍNTOTAS VERTICALES
#12 SOLVE( 2 x2 – 8, x )
#13 x = -2 o x = 2
#14 x = 2
#15 x = -2
ASÍNTOTA OBLICUA
73
#16 EXPAND xx
x,
82 2
3
#17 22
1
2
1 x
xx
#18 2
xy
74
