CURSO DE CLCULO - MDULO 2

LIMITES

SUMRIO

Unidade 1- Sequncias Reais e seus Limites

1.1- Introduo 1.2- Noo Intuitiva de Limites 1.3- Definio 1.4- Sequncias de Nmeros Reais 1.5- Limites de Sequncias de Nmeros Reais

Unidade 2- Limites de Funes

2.1- Conceito de Limite de uma Funo 2.1.1- Definio Informal 2.1.2- Definio de Limite 2.2- Propriedades dos Limites de Funes 2.3- Limites Laterais 2.4- Limites Infinitos 2.4.1- Teoremas do Limite 2.4.2- Formas Indeterminadas 2.5- Limites Envolvendo Funes Compostas 2.6- Limite Envolvendo os Smbolos e

Unidade 3- Teorema do Confronto e Limites Fundamentais

3.1- Teorema do Confronto 3.2- Limite Trigonomtrico Fundamental 3.3- Limite Exponencial Fundamental

Unidade 4- Funes Contnuas

4.1- Conceito de Continuidade 4.2- Continuidade de uma Funo em um Ponto 4.3- Continuidade de uma Funo em um Intervalo 4.4- Propriedade da Permanncia de Sinal 4.5- Propriedades das Funes Contnuas 4.6- Composio e Continuidade

Unidade 1- Sequncias Reais e seus Limites

1.1- Introduo

O conceito de limite fundamental no clculo diferencial, um campo

da Matemtica que iniciou se no sculo XVII sendo bastante produtivo em

resultados e aplicaes em vrias reas do conhecimento, como a Fsica, a

Engenharia, a Economia, a Geologia, a Astronomia, a Biologia, entre outras.

Com o desenvolvimento do clculo diferencial, matemticos como

Huygens (1629 1695), Newton (1642 1727) e Leibniz (1646 1716) tiveram

papel marcante. Buscando aperfeioar a conceituao de limites, tiveram

destaques as contribuies de d Alembert (1717 1783) e de Cauchy ( 1789

1857).

Na Matemtica atual, as definies de convergncia, divergncia,

continuidade, derivada e integral esto baseadas no conceito de limite. A falta

de compreenso da noo de limite, no passado, levou a vrios paradoxos,

sendo os mais antigos devidos a Zeno de Eleia.

A primeira vez que limites foram necessrios foi para a resoluo dos

quatro paradoxos de Zeno (cerca de 450 a.C.). No primeiro paradoxo, a

Dicotomia, Zeno colocou um objeto se movendo uma distncia finita entre

dois pontos fixos em uma srie infinita de intervalos de tempo (o tempo

necessrio para se mover metade da distncia, em seguida o tempo

necessrio para se mover metade da distncia restante, etc.) durante o qual o

movimento deve ocorrer.

A concluso surpreendente de Zeno foi que o movimento era

impossvel! Aristteles (384 322 a.C.) tentou refutar os paradoxos de Zeno

com argumentos filosficos. Em matemtica, uma aplicao cuidadosa do

conceito de limite resolver as questes levantadas pelos paradoxos de Zeno.

Para suas demonstraes rigorosas das frmulas para certas reas e

volumes, Arquimedes (287 212 a.C.) encontrou vrias sries infinitas somas

que contm um nmero infinito de termos. No possuindo o conceito de limite

propriamente dito, Arquimedes inventou argumentos muito engenhosos

chamados de reduo ao absurdo duplo, que, na verdade, incorporam alguns

detalhes tcnicos do que agora chamamos de limites.

Um dos problemas propostos por Zeno era equivalente ao seguinte:

Imagine que um atleta deva correr, em linha reta, de um ponto a outro

distando 1km. Quando o atleta chegar na metade do caminho, ainda faltaro

500 m para chegar ao seu destino. Quando ele percorrer a metade dessa

metade do caminho, ainda faltaro 250 m e quando percorrer a metade dessa

distncia ainda faltaro 125 m e, assim, sucessivamente. Repetindo esse

raciocnio indefinidamente, argumentava Zeno, o atleta nunca chegaria ao

destino, pois no importando a distncia percorrida, sempre restaria alguma

distncia a ser percorrida.

Observe que a distncia que separa o atleta de sua meta se tornar to

prxima de zero quanto ele quiser, sendo necessrio para isso que ele repita

os deslocamentos descritos anteriormente um nmero suficientemente grande

de vezes.

O paradoxo de Zeno somente se sustentava porque no levava em

considerao o fator tempo, implcito em qualquer movimento, e o fato de que,

ao somar sucessivamente as distncias percorridas,

o resultado

limitado por 1 e dele se aproxima o quanto desejarmos.

1.2- Noo Intuitiva de Limites

Exemplos:

a) Considerando uma regio quadrada de rea igual a 1. Inicialmente vamos colorir a metade do quadrado.

Parte colorida =

da figura

Aps, vamos pintar a metade da regio e mais metade do que restou.

Parte colorida =

da figura

No prximo , vamos colorir o que havia sido colorido e mais metade do que restou:

Parte colorida =

da figura

E assim, sucessivamente e indefinidamente, a rea da regio colorida

resultante vai tendendo a 1. Dizemos, ento, que o limite desse

desenvolvimento, quando o nmero de momentos tende ao infinito, colorir a

figura toda, ou seja, obter uma rea colorida igual a 1.

b) Seja a funo f(x) = 2x + 1. Vamos associar valores de x que se aproximem

de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores

menores que 1) e calcular o valor correspondente de y.

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da funo 3.

De maneira geral, escrevemos , se, quando x se aproxima de a

( x a), f (x) se aproxima de b ( f(x) b).

c) Estudo do comportamento de uma funo f nas proximidades de um ponto. Seja

.

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita de forma mais simples.

.

Analisando o comportamento dessa funo nas vizinhanas do ponto x = 1,

pois esse ponto no pertence ao domnio de f.

Logo quando nos aproximamos de x = 1, pela esquerda e pela direita, o valor

dessa funo se aproxima de 2. Assim, dizemos que

Observa-se que a noo de limite fcil de ser captada intuitivamente. Por

exemplo, imagine uma placa metlica quadrada que se expande uniformemente

quando est sendo aquecida. Considerando x o comprimento do lado, a rea da placa

dada por A = x. Quanto mais x se aproxima de 3 cm, a rea A tende a 9 cm; ou

seja, quando x se aproxima de 3, x se aproxima de 9 como um limite.

Simbolicamente, escreve se , em que a notao x 3 indica que x

tende a 3 e lim significa o limite de .

Exerccios:

1- Considere a regio do plano limitada pelo tringulo retngulo de base fixa e

igual a 4cm. Faa a altura ir se aproximando de 3, mas sem nunca atingir 3,

isto , faa a altura tender a 3. Complete a tabela dada e verifique para que

valor esteja tendendo a rea dessa regio.

Base Altura rea

4 1

4 1,5

4 2,0

4 2,5

4 2,9

4 2,999

4 2,999999

2- O que ocorre, no limite, com a medida da hipotenusa de um tringulo

retngulo se mantivermos a medida de um cateto constante e a do outro cateto

for diminuindo, tendendo a 0 (mas nunca 0).

Hipotenusa = cateto + cateto

3- Considere a sequncia

a) Explicite essa sequncia, escrevendo os valores para

n=1,2,3,4,5,...,10,...,100, ..., 1000, ... .

b) Escreva na forma de nmero decimal os temos da sequncia do item

anterior.

c) Para que valor est tendendo essa sequncia, quando n tende para o

infinito?

4- Considere o grfico da funo logartmica e responda.

a) medida que x tende a 1, f(x) tende para que valor?

b) medida que x tende para um valor cada vez maior, f(x) tende para quanto?

1.3- Definio

Considerando uma funo f(x), definida num intervalo I, temos que o

limite de f(x), quando x tende a a, o nmero b, se para todo > 0 , existir,

em correspondncia , um nmero > 0, de modo que x a e a < x < a +

b < f(x) < b + . Assim:

Exemplos:

a) Considere a funo f: R R, tal que f(x) = x 4 e o seu grfico.

x y

2,5 2,25

2,6 2,76

2,7 3,29

2,8 3,84

2,9 4,41

3,2 6,24

3,1 5,61

Sendo que o domnio de f(x) o conjunto dos nmeros reais, que f(3)=5

e que os valores de f(x) se aproximam de 5 (conforme mostra a tabela), para

valores de x prximos de 3, ento

.

b) Considere a funo f: R R, tal que:

{

e o seu grfico cartesiano.

x y

2,7 4,7

2,8 4,8

2,9 4,9

3,3 10,89

3,2 10,24

3,1 9,61

Temos que:

Quando x tende a 3, com valores menores de 3, ou seja, pela esquerda,

o limite 5.

Quando x tende a 3, com valores maiores de, ou seja, pela direita, o

limite 9.

Nesse caso, no existe o limite de f(x) quando x tende a 3, embora f(x)

seja definida para x = 3. Para que o limite de f(x) exista, necessrio que

f(x) se aproxime de um mesmo nmero, seja pela esquerda ou pela direita.

c) Considerando a funo f: R R, tal que:

{

Observe que:

Quando x tende a 2 para valores menores que 2, isto , pela esquerda,

o limite de f(x) 2.

Quando x tende a 2 para valores maiores que 2, ou seja, pela direita, o

limite de f(x) 2.

Nesse caso , existe o limite de f(x), quando x tende a 2, mesmo que a

funo no esteja definida para x = 2.

1.4- Sequncias de Nmeros Reais

A experincia fictcia de Zeno gera uma infinidade de nmeros

que correspondem aos pontos de imagem da funo x : definida por

x(n)=

Tal fato nos leva ao conceito fundamental de sequncia

juntamente com as propriedades a ele relacionadas.

Definio 1: Uma sequncia de nmeros reais uma funo x : que a

cada nmero natural n associa um nmero real xn = x(n), chamado n-simo

termo da sequncia.

Denota-se por ( x1, x2, x3, ... , xn, ... ), ou por ( xn ), com n , ou

simplesmente, por ( xn ), a sequncia x : . relevante fazer a distino

entre o conjunto formado pelos termos da sequncia e a sequncia

propriamente dita. De fato, a sequncia ( 1,1,1, ...) tem como conjunto de seus

termos o conjunto unitrio X = { 1 }. Dessa forma, a funo x a funo

constante definida por xn = 1, para todo n . Chama-se sequncia constante

a toda sequncia cujos termos so iguais entre si.

Exemplos de sequncias:

a) (

) (

)

b) (

) (

)

c)

d)

e) (

) (

)

Observao: As sequncias so casos particulares de funes reais, assim

elas podem se somadas, subtradas, multiplicadas ou divididas. Considerando

as sequncias (xn) e (yn) pode-se formar as sequncias (xn yn), (xn . yn) e (

) no

quociente yn 0.

Definio 2: Uma sequncia (xn) dita limitada, se existe c > 0 tal que |x | < c,

para todo n . Quando uma sequncia (xn) no limitada, pode-se dizer

que ela ilimitada.

Definio 3: Uma sequncia (xn) ser dita decrescente se xn + 1 < xn para todo

n . Uma sequncia ser no crescente se xn + 1 xn, para todo n .

Por exemplo, a sequncia (

) classificada como no

crescente, pois tem a propriedade xn + 1 xn para todo n , mas no pode ser

decrescente, pois no satisfaz condio xn + 1 < xn para todo n.

Definio 4: Uma sequncia (xn) ser crescente se xn + 1 > xn para todo n .

Uma sequncia ser no decrescente se xn + 1 xn, para todo n .

Observao: As sequncias crescentes, no decrescentes, decrescentes, no

crescentes so denominadas de sequncias montonas.

Exemplos:

a) sequncia crescente

b) sequncia crescente

c) (

) sequncia decrescente

d) sequncia decrescente

e) ( 1,0, 1,0, 1,0, 1,0,...) sequncia no montona

Definio 5: Subsequncia

Dada uma sequncia (xn) n N de nmeros reais, uma subsequncia de

(xn) a restrio da funo x que define (xn) a um subconjunto infinito

1 = {n1< n2 < n3 < ... < nk < ...}. Denota-se a subsequncia por (xn) n N1 , ou

(xn1< xn2 < xn3 < ... < xnk < ...) ou ainda (xni) i N .

1.5- Limites de Sequncias de Nmeros Reais

Observa-se na argumentao de Zeno que o atleta nunca chegaria a

sua meta, embora fique prximo dela quanto quiser, ou seja, a distncia que

separa o atleta da meta se torna to prxima de zero quanto ele desejar.

Exemplos

1- Observe a sequncia da qual representamos alguns termos na reta

numrica.

Todos os elementos dessa sequncia so diferentes de zero, sendo

positivos os elementos correspondentes a n mpar (1, 1/3, 1/5, ...), e negativos

os correspondentes a n par ( -1/2, -1/4, -1/6, ...).

2- Considere a sequncia:

Observa-se que todos os termos da sequncia pertencem ao intervalo

[0,1]. Alm disso

, dessa forma segue-se que a sequncia xn

crescente, pois medida que n cresce, subtrai-se de 1 um nmero cada vez

menor.

Exerccios

1- Mostre que as sequncias abaixo so limitadas e montonas. Descreva o

tipo de monoticidade de cada uma delas.

a)

b)

c)

Gabarito

. x1 = 1 e para valores maiores de n estaremos

subtraindo de 2, valores cada vez menores, logo xn [1,2], Portanto,

xn limitado.

Rascunho:

Monotonicidade de xn

Sabendo que

para todo n natural, temos:

.

Logo, xn montona crescente.

Ou

a)

(

) (

)

x1 = 1, x2 = 1 +

, x3 = 1 +

, x4 = 1 +

A sequncia montona crescente, . Quando n grande,

pequena, de forma que

se aproxima de 2.

x [1,2] ( 3 , 3 ). Logo, existe c > 0 tal que | xn | < c , assim xn limitada.

b)

(

) (

)

A sequncia montona decrescente, . Quando n grande,

se

aproxima de 0, assim

se aproxima de 1.

c)

(

) (

)

A sequncia montona decrescente, . Para n grande,

se

aproxima de 0, assim x [ 0, 1] ( 2 , 2 ). Logo, existe c > 0 tal que | x n |< c,

portanto x n limitada.

2) Ache os limites das sequncias ( xn )n 1 abaixo.

a)

b)

c)

d)

Gabarito

a)

(

) (

)

b)

(

)

c)

(

)

d)

(

)

(

)

(

) (

) (

)

Unidade 2- Limites de Funes

2.1- Conceito de Limite de uma Funo

O conceito bsico sobre o qual o Clculo se sustenta o de limite de

funo. O desenvolvimento terico de grande parte do Clculo foi feito

utilizando a noo de limite. Por exemplo, as definies de derivada e de

integral definida, independente de seu significado geomtrico ou fsico so

estabelecidas usando limites.

2.1.1- Definio Informal

Considere uma funo f definida para valores de x prximos de um

ponto a sobre o eixo x, mas no necessariamente definida no prprio ponto a.

Suponha que exista um nmero real L com a propriedade de que f(x) fica cada

vez mais prximo de L, quando x se aproxima mais de a. Diz-se ento que L

o limite de f quando x tende para a, que simbolicamente expressa-se por:

Obs.: Se no existe um nmero L com essa propriedade diz-se que no existe

Notao Significao Intuitiva Interpretao Grfica

Podemos tomar f(x)

to prximo de L

quanto quisermos,

escolhendo x

suficientemente

prximo de a e x a.

O conceito de limites de funes tem grande utilidade na determinao

do comportamento de funes nas vizinhanas de um ponto fora do domnio,

no comportamento de funes quando x aumenta muito (tende ao mais infinito)

ou diminui muito (tende ao menos infinito).

Exemplos:

a) Verificar como a funo

se comporta para valores prximos

de 2.

Determinao do domnio:

3x 6 0 3x 6 x 2, logo para x = 2, a funo no est definida.

Verificando para valores prximos de 2.

Simplificao da funo

. logo a funo

Verificao grfica

Pode-se concluir que

(

)

(

)

b) Verifique como a funo abaixo se comporta para valores prximos de 1.

Simplificao

Anlise grfica

Observa-se que quando x tende a 1 o valor de y tende a 3, ou seja,

, pois o que importa o comportamento da funo quando se

aproxima de 1 e no o que ocorre com a funo quando x = 1.

2.1.2- Definio de Limite

Diz-se que o limite da funo f(x) quando x tende a a igual ao nmero

real L se, e somente se, os nmeros reais f(x) para os infinitos valores de x

permanecem prximos a L, sempre que x estiver muito prximo de a.

Indica-se .

2.2- Propriedades dos Limites de Funes

Ao definir limite, chegou-se expresso

Sejam as funes f(x) e g(x), definidas em certo domnio D, tais que

e

A seguir esto descritas algumas propriedades que auxiliam obteno

de b.

1) Limite de uma constante.

O limite de uma constante a prpria constante.

Exemplo: .

2) Limite da soma.

O limite da soma de duas funes a soma dos limites dessas funes.

[ ]

Exemplo:

[ ]

3) Limite da diferena.

O limite da diferena de duas funes a diferena dos limites dessas

funes.

[ ]

Exemplo:

[ ]

4) Limite do produto

O limite do produto de duas funes o produto dos limites dessas

funes.

[ ]

Exemplo:

5) Limite do quociente

O limite do quociente de duas funes o quociente dos limites dessas

funes, desde que o denominador seja diferente de zero.

[

]

Exemplo:

[

]

6) Limite de uma potncia

O limite de uma potncia ensima de uma funo igual potncia

ensima do limite.

[ ]

Exemplo:

(

)

7) Limite da raiz

O limite da raiz ensima de uma funo igual raiz ensima do limite

dessa funo.

Obs.: L > 0 e n um nmero natural ou se L 0 e n um natural mpar.

Exemplo:

Exerccios

1- Calcule os limites utilizando as propriedades estudadas para justificar os

clculos.

2- Calcule o limite, caso existir.

3- Calcule o limite, caso existir.

4- Calcule os seguintes limites, caso existam.

2.3- Limites Laterais

Se x se aproxima de a por meio de valores maiores que a ou pela

sua direita, denota-se:

.

Esse limite chamado de limite lateral direita de a.

Se x se aproxima de a por meio de valores menores que a ou pela

sua esquerda, denota-se:

.

Esse limite chamado de limite lateral esquerda de a.

O limite de f(x) para xa existe se, e somente se, os limites laterais direita e

esquerda so iguais, ou seja:

Se

Se

Exemplos:

1- Um gs (tal como vapor dgua ou oxignio) mantido temperatura

constante no pisto da figura abaixo. medida que o gs comprimido, o

volume V decresce at que atinja uma certa presso crtica. Alm dessa

presso, o gs assume forma lquida. Use o grfico abaixo para calcular e

interpretar.

a) Pela figura acima se observa que, quando a presso P (em torrs) baixa, a

substncia um gs e o volume V (litros) grande. Se P se aproxima de 100

por valores inferiores a 100, V decresce e se aproxima de 0,8, isto

O limite 0,8 representa o volume no qual a substncia

comea a se transformar de gs em lquido.

b) Se P > 100, a substncia um lquido. Se P se aproxima de 100 por valores

superiores a 100, o volume V aumenta muito lentamente (pois os lquidos so

quase incompressveis) e O limite 0,3 representa o volume

no qual a substncia comea a se transformar em lquido em gs.

c) no existe, pois os limites laterais direita e esquerda em (a) e

(b) so diferentes. (Em P=100, as formas gasosa e lquida coexistem em

equilbrio, e a substncia no pode ser classificada seja como gs ou como

lquido).

2- A funo sinal definida por

a) Faa um esboo do grfico dessa funo .

b) Determine e , se existirem.

Como sgn = 1 se x < 0 e sgn = 1 se x > 0, tem se

Obs.: . Como os limites esquerda e direita no

so iguais, o limite bilateral no existe.

3- Um atacadista vende um produto por quilo (ou frao de quilo); se forem

pedidos no mais de 10 quilos, o atacadista cobrar $ 1 por quilo. No entanto,

para incentivar pedidos maiores, ele cobra $0,90 por quilo, se mais do que 10

quilos forem comprados. Assim se x quilos do produto forem comprados e C(x)

for o custo total do pedido, ento

Um esboo do grfico de C est representado abaixo.

Observa-se que C(x) foi obtido da igualdade C(x) = x quando 0 x 10

e da igualdade C(x) = 0,9 x quando x > 10. Devido a essa situao, ao

considerar o limite C(x) para x tendendo a 10, precisa se distinguir entre o

limite lateral esquerdo e o limite lateral direito em 10. Para a funo C, tem se

Como , conclui se no

existe. Observa-se que em x = 10 h uma quebra no grfico da funo C.

4- Seja g definida por

a) Faa um esboo do grfico de g.

b) Calcule , se existir.

Como

Observa se nesse exemplo que g(0) = 2, o que no afeta .

Observa se tambm que h uma quebra no grfico de g em x = 0.

5- Seja h definida por

a) Faa um esboo do grfico de h.

b) Calcule cada um dos seguintes limites, se existirem: ,

.

Como = e ambos so iguais a 3, .

6- Seja f definida por

a) Faa um esboo do grfico de f.

b) Calcule, se existirem, cada um dos seguintes limites: , ,

, , , .

2.4- Limites Infinitos

Sero discutidas funes cujos valores aumentam ou diminuem sem

limitao, quando a varivel independente aproxima-se cada vez mais de um

nmero fixo.

Exemplo: Considerar a funo definida por .

O domnio de f o conjunto de todos os nmeros reais exceto 2 e a

imagem o conjunto de todos os nmeros positivos.

Foram pesquisados os valores funcionais de f quando x est prximo de

2. Os dados da Tabela 1 mostram x se aproximando de 2 pela direita. Observa

se que medida que x se aproxima de 2 por valores maiores que 2, f(x)

cresce indefinidamente.

Para indicar que f(x) cresce indefinidamente quando x tende a 2 por

valores maiores do que 2, escreve se

.

Conforme dados da Tabela 2, x foi se aproximando de 2 pela esquerda e

observa se que medida que x aproxima se de 2 por valores menores que

2, f(x) cresce sem limites e pode se escrever que

.

Assim sendo, quando x tende a 2 pela direita ou pela esquerda, f(x)

cresce sem limites e pode se escrever que

.

Dos dados apresentados nas Tabelas 1 e 2 pode se esboar o grfico

a seguir.

Observa se que ambos os ramos da curva aproximam se da reta

pontilhada x = 2, quando x cresce indefinidamente. Essa reta pontilhada

denominada de assntota vertical.

Definio formal de valores funcionais que crescem indefinidamente

Outra forma de escrever a definio anterior a seguinte: Os valores

funcionais de f(x) crescem indefinidamente quando x tende a um nmero a, se

f(x) puder se tornar to grande quanto se deseja (isto , maior do que qualquer

nmero positivo N) para todos os valores de x suficientemente prximos de a,

mas no iguais a a.

Deve se enfatizar que no o smbolo de um nmero real; logo,

, no tem o mesmo significado que , em que

L um nmero real.

A igualdade pode ser lida como o limite de f(x)

quando x tende a a infinito positivo. Nesse caso, o limite no existe, mas o

smbolo indica que o comportamente dos valores funcionais f(x) quando x

aproxima se cada vez mais de a.

De maneira anloga, pode se indicar o comportamento de uma funo

cujos vaores funcionais decrescem indefinidamente.

Exemplo: Considerar a funo definida por .

Esboo do grfico:

Os valores funcionais dados por so os

negativos dos valores dados por .

Assim, para a funo g, quando x tende a 2, pela direita ou pela

esquerda, g(x) decresce indefinidamente e pode ser representado por

.

A igualdade pode ser lida como o limite de f(x)

quando x tende a a infinito negativo, lembrando que o limite no existe e que

o smbolo indica somente o comportamento dos valores funcionais quando

x tende a a.

Pode se considerar limites laterais infinitos, especificando

, se f estiver definida em todo nmero de algum intervalo

aberto (a,c) e se para todo N 0 existir tal que se

Definies anlogas podem ser dadas para ,

e .

Exemplo: Considerar a funo definida por .

Esboo do grfico:

Observar que:

Para a funo h, medida que x se aproxima de 1 por valores menores

do que 1, a funo decresce indefinidamente e, medida que x se aproxima de

1 por valores, maiores do que 1, os valores funcionais crescem

indefinidamente.

2.4.1- Teoremas do Limite

I-

Prova: (i) Precisa se mostrar que para todo N > 0 existe tal que

Exemplos:

Obs.: A prova de (ii) anloga.

Exemplos:

II- O Teorema de Limite, a seguir, trata do limite de uma funo racional para a

qual o limite do denominador 0 e o limite do numerador uma constante no-

nula.

Prova: (i)

Para provar que necessrio mostrar que para todo N >0 existe um tal que

se

Como , tomando

, segue que existe tal que se

Aplicando

Segue que existe um tal que se

Pode se concluir que para todo existe um tal que

Aplicando o Teorema II, pode se obter uma indicao de que o resultado ser

+ ou , tomando um valor adequado de x prximo de a para assegurar de que

o quaociente positivo ou negativo .

Exemplos:

1-Calcule.

Soluo:

Ento,

Soluo:

Logo:

2- Ache.

Soluo:

Soluo:

3-Calcule.

Soluo:

Obs.: Para calcular limites no infinito, primeiro dividimos o numerador e o

denominador pela maior potncia de x que ocorre no denominador. Nesse

caso, a maior potncia de x x, ento temos:

2.4.2- Formas Indeterminadas

Existem smbolos que no tm significado e so denominados como

smbolos de indeterminao que so

Obs.: Se o limite de uma funo apresentar uma dessas indeterminaes

no significa que o limite no existe, deve se levantar a indeterminao e

encontrar o limite da funo.

2.5- Limites Envolvendo Funes Compostas

Inicialmente, precisa se entender que funo uma relao entre dois

conjuntos. Uma funo composta uma relao de outra relao, ou seja,

uma relao que depende de outra para existir. Matematicamente:

Considerando trs conjuntos distintos A,B e C. Entre eles existem as

seguintes funes: e Existe outra funo , assim a

funo chamada funo composta. Essa funo composta

tambm pode ser indicada por . (l se: g composta com f).

Exemplo de funo composta:

Dados trs conjuntos A= { 2, 1, 0, 3}, B= {3,0, 1,8} e C= {6,0,2, 16}.

Entre eles existem as seguintes funes.

definida por e definida por

Diagrama

Para cada elemento de A existe um elemento em B tal que

tal que para cada elemento de B existe um elemento C Assim,

pode se concluir que existe uma funo definida por

, ou seja,

Retomando os limites envolvendo funes compostas.

Exemplo:

2.6- Limite Envolvendo os Smbolos e

O smbolo (infinito) no est associado ideia de nmero, portanto

no pode ser considerado um nmero.

Analisemos as seguintes funes:

a)

, sendo f: R* R.

Observe que, quando x tende a zero pela direita, f(x) assume

valores cada vez maiores e, quando x tende a zero pela esquerda, f(x)

assume valores cada vez menores. Assim, podemos escrever que

e

Como os limites laterais so diferentes, no existe

.

Por outro lado, quando x assume valores cada vez maiores, f(x)

se aproxima cada vez mais de zero. Assim:

E quando x assume valores cada vez menores, f(x) se aproxima

de zero. Assim

b)

, sendo x 3

Do grfico temos,

e . Assim, no existe .

Fazendo x tender a e x tender a , temos e

c) |

| , sendo x 0.

Observando o grfico, temos:

; ;

Exemplos:

Revisando: Limites Envolvendo Infinitos

Exemplo:

Unidade 3- Teorema do Confronto e Limites Fundamentais

3.1- Teorema do Confronto

Introduo

O Teorema do Confronto, tambm conhecido como Teorema do

Sanduche, utilizado no clculo de limite e na demonstrao de outros

teoremas.

Teorema 1: Teorema do Confronto

Suponhamos que f(x) g(x) h(x) e que exista r > 0, tal que ,

0 < I x a I < r. Nessas condies, se , ento

.

Esse teorema vlido tambm se no lugar de colocarmos

O Teorema do Confronto - Demonstrao

Teorema: Sejam f, g e h trs funes tais que , para todo

. Se , ento existe e tambm igual a L.

Demonstrao:

Por hiptese, dado >0, existem 1>0 e 2>0 tais que

se ento (1)

e

se ento (2)

Ento, de (1), temos que ou seja, para todo

x tal que .

E de (2), temos que ou seja, para todo x

tal que .

Tomemos .

Ento se , temos

e

ou seja, como , podemos escrever:

Logo, se , temos , ou seja, , o que

significa que , como queramos demonstrar.

Exemplo:

Calcular

Usando o Teorema do Confronto, podemos escrever o seguinte

teorema:

Teorema 2: Sejam f e g duas funes com mesmo domnio A e tais que

e Ig(x)I M para todo x em A, sendo M um nmero real fixo.

Nessas condies, .

Esse teorema continua vlido se no lugar de de colocarmos

Exemplos:

i)Calcular , sendo {

Soluo:

Como e Ig(x)I 1, usando o teorema 2 conclumos que

.

ii)Calcular

Soluo:

Como e |

| , usando Teorema 2 conclumos que

iii) Calcular

Soluo:

Como

e | | , usando Teorema 2 conclumos que

d) Aplicando o Teorema do Confronto, calcular

a) e b) , sendo medido em radianos.

Soluo:

Consideremos o desenho a seguir.

iv) Ache o limite, se existir.

a)

b)

c)

Usando a identidade trigonomtrica

3.2- Limite Trigonomtrico Fundamental

Seja a funo f: R* R, definida por

.

Considerando

, vamos tomar alguns valores para x e

calcular

.

x sen x

0,04 0,039989 0,999733

0,03 0,029995 0,999850

0,02 0,019998 0,999993

0,01 0,009999 0,999933

0,001 0,000999 0,999999

0,04 0,039989 0,999733

0,03 0,029995 0,999850

0,02 0,019998 0,999933

0,01 0,009999 0,999983

0,001 0,000999 0,999999

Observando a tabela, notamos que, para valores cada vez mais

prximos de 0, obtemos valores de

cada vez mais prximos

de 1. Assim, temos

.

Exemplos:

c) Calcular

Obs.: sin = sen

3.3- Limite Exponencial Fundamental

O limite da funo (

)

, de base positiva, quando x tende a

, ou x tende a , o nmero irracional ( nmero de

Euler) que base dos logaritmos naturais. Ou seja:

(

) e (

)

Grfico Cartesiano de f

Exemplos:

c) Determinar

Soluo:

d)

Soluo:

Exerccios:

Unidade 4- Funes Contnuas

Uma funo contnua uma funo que no apresenta interrupo ou

seja, uma funo que tem um grfico que pode ser desenhado sem tirar o lpis

do papel. Assim, verificar que uma funo no contnua, a partir do seu

grfico, muito simples.

Observe os grficos a seguir:

Observaes:

As funes, f(x) e r(x), no apresentam interrupes, logo so contnuas

para todo valor de x. Elas so contnuas em todo o seu domnio, ou

seja, para todo x no conjunto dos nmeros reais.

As funes, g(x), h(x), p(x) e q(x), apresentam interrupes em x = 2,

logo elas no so contnuas em x = 2. Elas so contnuas em qualquer

intervalo que no contm x = 2.

4.1-Conceito de Continuidade

Um conceito fundamental no Clculo, no que diz respeito ao estudo de

funes, o de continuidade de uma funo num ponto de seu domnio.

Exemplos:

4.2-Continuidade de uma Funo em um Ponto

O conceito de continuidade de uma funo em um ponto de seu domnio

pode ser colocado na forma de uma definio precisa:

Definio: f contnua num ponto a de seu domnio quando .

Quando f contnua em cada ponto de seu domnio, dizemos que f contnua.

Observamos que para questionarmos se uma dada funo contnua

em determinado ponto, precisamos tomar o cuidado de verificar se esse ponto

pertence ao domnio da funo. Se tal ponto no est no domnio, a funo no

contnua nesse ponto.

Assim, uma funo contnua em todos os pontos de seu

domnio , porm no contnua no conjunto R, pois no contnua

em x=0, uma vez que no est definida nesse ponto.

Uma propriedade importante relaciona a continuidade de uma funo

num ponto de seu domnio com a derivabilidade dessa funo, ou seja, com a

existncia de reta tangente ao grfico nesse mesmo ponto.

Teorema: Se f derivvel num ponto x0 de seu domnio, ento f contnua em

x0.

Obs.: Dessa forma, a existncia de reta tangente ao grfico de uma funo num ponto de seu domnio acarreta necessariamente na continuidade da funo nesse ponto.

Por hiptese, temos que f derivvel num ponto x0 de seu domnio, ou seja,

existe

A tese a ser demonstrada que f contnua em x0, ou seja,

existe .

Demonstrao:

Observemos inicialmente que mostrar a existncia do e

que , equivalente a mostrar a existncia do e

que .

Vejamos ento:

como queramos provar.

A recproca desse Teorema falsa.

Para verificar esse fato, basta exibir um contra-exemplo: .

Essa funo evidentemente contnua em todo seu domnio, em particular,

em x=0. Entretanto, no derivvel na origem.

Temos: cujo grfico

Observamos que e que no existe f'(0).

Por outro lado, f contnua para todo x>0 ou x

Observe ainda, que

Caso 2 Considere os grficos descritos a seguir.

Observe que as funes h(x) e p(x) so descontnuas, pois existe uma

interrupo em x = 2 ( as funes do um salto em x = 2). Nesse caso,

tambm dizemos que as funes h(x) e p(x) so descontnuas em x = 2 ( e

apenas em x = 2). Diferente do caso 1, as funes esto definidas em x = 2 e,

portanto, x = 2 faz parte do Domnio. Escrevemos ento:

Observe ainda, que

Caso 3 Considere os grficos descritos a seguir.

As funes f(x) e r(x) so contnuas em x = 2 ( e em qualquer outro valor

de x), pois as funes no apresentam interrupo em x = 2 ( e nem em

nenhum outro valor de x). Nesse caso, dizemos que as funes f(x) e r(x) so

contnuas para todo valor de x.

Observe o que acontece com o valor das funes em x = 2 e com o

limite das funes quando x se aproxima de 2, para que se possa comparar

com os casos anteriores em que as funes eram descontnuas em x = 2.

Voc pode observar que

Observando os grficos de f(x) e r(x), podemos concluir que

Observando as expresses em destaque vemos que

o que no ocorria nos casos 1 e 2, nos quais as funes eram descontnuas.

Observao: Dizemos que uma funo y = f(x) contnua em um ponto x = a se a condio a seguir estiver satisfeita.

Exemplos:

1) Considere a funo

Mostre que f contnua em todo ponto de seu domnio.

Soluo:

Temos:

cujo grfico o seguinte:

Em primeiro lugar, observemos que Dom f=R.

Em segundo lugar, a funo claramente contnua em cada um dos trs intervalos abertos onde foi definida por uma diferente expresso. De fato,

para x

a) O grfico de g o seguinte:

O domnio da funo R. Graficamente podemos "desconfiar" do que est acontecendo, para depois formalizar nossas observaes.

b)

A funo claramente contnua em cada um dos intervalos em que foi definida por uma diferente expresso. O problema acontece com os pontos de "emenda":

x=1

Temos: g(-1)=0

sendo que

e

o que garante que , ou seja, g contnua em x=1.

x=0

Temos: g(0)=1

sendo que

e

o que garante que , ou seja, g contnua em x=0.

Desse modo, g contnua em todo o seu domnio.

3) Descubra condies sobre os parmetros a, b, c, m e n para

que seja contnua em x=1.

Soluo:

Pela maneira como foi definida a funo, f(1) = a + b + c e, para que f seja

contnua em x = 1, necessrio que a + b + c = m + n. Essa condio garante

que ,isto , f contnua em x = 1.

Lembretes:

4) Verifique a continuidade das funes abaixo, nos pontos indicados.

i)

; x = 0.

Soluo:

(a) f(0). Assim, a primeira condio de continuidade j no satisfeita, o que implica que f no contnua em x = 0. Observe a descontinuidade no grfico.

ii)

; x = 1

Soluo:

iii) Soluo:

4.3-Continuidade de uma Funo em um Intervalo

Uma funo f dita contnua em um intervalo aberto (a,b) se for

contnua em todos os valores de x contidos neste intervalo. A funo f dita

contnua no intervalo fechado [a,b] se for contnua no aberto (a,b) e, alm

disso, e .

Para verificar se uma funo contnua em um intervalo que contm

infinitos elementos existem duas maneiras:

Pode se tomar um ponto genrico do intervalo, por exemplo, x0, e

verificar usando a definio, se f contnua nesse ponto. Se for, ser

em todo o intervalo, uma vez que x0 representa um ponto qualquer do

intervalo em questo.

Ou utilizar as propriedades vlidas para continuidade apresentadas a

seguir.

Propriedades: 1. Toda funo polinomial contnua em todos os reais.

2. Toda funo racional (diviso de polinmios) contnua em seu domnio.

3. As funes f(x) = sen (x) e f(x) = cos(x) so contnuas para todo nmero real

x.

4. A funo exponencial f(x) = ex contnua para todo nmero real x.

5. Se f e g so funes contnuas em um ponto a, ento:

(i) f + g contnua em a;

(ii) f g contnua em a;

(iii) f x g contnua em a;

(iv) f / g contnua em a, desde que g(a) 0 .

6. Sejam f e g funes tais que e g contnua em a.

Ento,

7.Se f contnua em a e g contnua em f(a), ento a funo composta gof contnua em a.

8. Seja y = f(x) definida e contnua em um intervalo real I. Seja J= Im(f). Se f admite uma funo inversa f -1: JI, ento f -1 contnua em todos os pontos de J.

Observao: Devido a essa propriedade, a funo f(x) = ln(x) contnua em todo o seu domnio ( R+*), uma vez que a inversa da funo exponencial, que contnua.

Exemplos:

Investigue a continuidade das funes abaixo, ou seja, determine os pontos ou intervalos nos quais elas sejam contnuas ou descontnuas.

1. f(x) = tg(x)

2.

3.

Resumindo:

Uma funo f(x) contnua no ponto x = a se, e somente se,

, ou seja, o limite da funo para x tendendo a a igual ao

valor da funo nesse ponto.

Para que uma funo f(x) seja contnua em x = a, necessrio verificar

a existncia de f(a), definida num ponto x = a.

a existncia do .

Se o limite

A expresso no ponto x = a quer dizer no ponto do grafico de

abscissa igual a a.

Se f:AB contnua para todo x A, diremos que f contnua em A ou

simplesmente f contnua.

De modo geral, o grfico de uma funo contnua em um intervalo real,

representado por uma curva que no apresenta ponto de descontinuidade, isto

, no possui saltos e nem furos.

Exemplo:

Dada a funo {

, verificar se existe algum ponto de

descontinuidade.

Soluo:

Como

, temos que o que indica que a funo

contnua no ponto x = 3.

Para k 3,

Para k > 3, e f(k) = 4

Ento, f contnua em R e no h ponto de descontinuidade.

Em geral, restringimos a anlise aos valores de x que no verificam as

condies de existncia de f ou que quebram o domnio de f (nesse exemplo,

x = 3).

Exerccios

Verifique a existncia de algum ponto de descontinuidade nas seguintes

funes.

4.4-Propriedade da Permanncia de Sinal

Esta propriedade garante, por exemplo, que ao estudarmos os sinais de

uma funo contnua, com zeros isolados, definida em um dado intervalo, s

haja eventuais mudanas de sinais em torno desses pontos. Isso ocorre, no

caso de funes polinomiais.

Vamos partir de um exemplo, no qual a funo indica a temperatura ao

longo de um fio, para ilustrar esta importante propriedade das funes

contnuas.

Exemplo:

Suponha que um fio de certo metal ocupa o intervalo [0,60] da reta real. A

cada posio x [0,60], medida em centmetros, associamos T(x), a

temperatura do fio neste ponto, medida em graus Celsius. Considerando que o

metal um meio que conduz calor com facilidade, como seria o grfico de uma

tal funo? Segue uma possibilidade.

Grfico da funo temperatura T(x)

O grfico sugere que uma pequena variao na posio corresponder

uma pequena variao na temperatura. Se a temperatura alta em

determinado ponto do fio, ento esperamos que nos pontos prximos, a

temperatura tambm seja alta.

Proposio: Permanncia do sinal

Sejam f: DR uma funo e D tal que todo intervalo aberto

contendo intersecta D { }. Suponha que f seja contnua em e f() > 0.

Ento, existe um nmero r > 0 tal que, x (r - , + r) D, f(x) > 0.

Demonstrao:

4.5-Propriedades das Funes Contnuas

As propriedades operatrias dos limites de funes, de alguma forma

herdadas das propriedades dos limites de sequncias, que do praticidade aos

clculos, transparecem tambm na continuidade de funes.

Proposio: Operaes com Funes

Demonstrao:

e

4.6-

Composio e Continuidade

Uma importante forma de obter funes a partir de funes dadas a

composio. Essa operao diferente das operaes apresentadas

anteriormente, cujas definies dependiam fortemente das correspondentes

operaes dos nmeros reais. De qualquer forma, a composio preserva a

continuidade.

Proposio: Composio de funes contnuas

Demonstrao:

Exemplo:

Determine se a funo dada contnua no pontoo indicado.

{

no ponto 2.

Soluo:

Temos

f(2) = 2 + sen 2 = 2

Ento f contnua em x = 2.

Lembretes: Propriedades dos Limites Infinitos

Avaliao B1

Esta avaliao corresponde a 50% da nota do primeiro mdulo.

Cursista: ________________________________________________________

1 Questo: Calcular

2 Questo: Dada a funo

, determine

a)

b)

c)

d)

3 Questo: Calcule o seguinte limite:

| | .

4 Questo: Calcule os limites abaixo.

a)

b)

5 Questo: Calcule (

)

.

Avaliao B2

Esta avaliao corresponde a 50% da nota do primeiro mdulo.

Cursista:_______________________________________________________

1 Questo: Determinar.

a)

b)

2 Questo: Calcular

3 Questo: Calcular.

a)

b)

c)

4 Questo: O [

] tem valor igual a

A) 4 B)

C)

D)

E)

5 Questo: Determinar os seguintes limites.

a)

b)