Cálculo 1

1.4 - Limites de Expressões Indeterminadas

Elano Diniz

Cálculo 1 - Limites

Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na expressão da função f(x).

No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se faz a substituição direta de x por seu valor de tendência e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou / ou /0). Veja os casos nos slides seguintes.

Cálculo 1 - Limites

Regras adicionais 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e

denominadores são 0 quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x - a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a.

422)2(lim2

)2)(2(lim24lim

00

2242

24lim

22

2

2

22

2

xxxx

xxxx

xxx

xIndeterminação

Cálculo 1 - Limites

Regras adicionais 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na

substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente se os limites laterais forem iguais.

.21lim..........

21lim

01

221

21lim

22

2

xe

x

x

xx

x

Portanto o limite não existe

Indeterminação

Cálculo 1 - Limites

Regras adicionais 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma

função racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou -∞ , são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos abaixo.

222

22323

).(5)5(lim)125(lim

).(22lim2lim2

352lim

xxx

xxx

xxxx

xx

xxx

1o exemplo (função racional):

2o exemplo (função polinomial):

Expressões indeterminadas Considere o seguinte limite:

Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:

327lim

3

3

xx

x

00

33273

327lim

33

3

xx

x

Cálculo 1 - Limites

Cálculo 1 - Limites

Expressões indeterminadas Mas vejamos o gráfico desta função:

x f(x)2,7

2,8

2,9

3,03,1

3,2

3,3

24,39

25,24

26,11

2727,9

128,8

429,7

9

L

Cálculo 1 - Limites

Apesar da função não estar definida no ponto x = 3, quando nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima de 27. Portanto:

Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar a este valor?

27327lim

3

3

xx

x

Cálculo 1 - Limites

Com os PRODUTOS NOTÁVEIS!!!

Neste exemplo,

Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:

Basta então calcular:

)93)(3(27 23 xxxx

93)3(

)93)(3()( 22

xx

xxxxxf

27)93(lim 2

3

xx

x

Cálculo 1 - Limites

Produtos Notáveis!!! Diferença de quadrados

Exemplos:

)).((22 bababa 2222 ..)).(( bababbaababa

)4).(4(162 xxx

)3).(3(9 22 ayayay

)94).(32).(32()94).(94(8116 2 xxxxxx

Cálculo 1 - Limites

Trinômio quadrado perfeito

Exemplos:2)2(22244 aaaaa

23232336 )34(33).4(2)4(92416 yyyyy

22222 2)).(()( bababbaababababa

22222 2)).(()( bababbaababababa

Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença

de quadrados a2 - b2.

Cálculo 1 - Limites

Soma e Diferença de Cubos

Exemplos:

)).(( 2233 babababa

)42).(2()22.).(2(8 2223 xxxxxxx

)252016).(54(5)4(12564 2333 aaaaa

)).(( 2233 babababa

Cálculo 1 - Limites

Cubo perfeito

Exemplos:

32233 33)( babbaaba

3322323 )2(22.32.38126 xxxxxxx3322332 )3(.3.3.3.3392727 aaaaaaa

32233 33)( babbaaba

Não confundir o cubo da soma (a + b)3, com a soma e cubos a3 + b3;Nem o cubo da diferença (a - b)3, com a diferença de cubos a3 - b3.

Cálculo 1 - Limites

Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito” Considere, por exemplo, a função

Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se aproximar cada vez mais de 0.

xxf 1)(

01lim xx

Cálculo 1 - Limites Os símbolos + e - , não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico.

Dado b IR, teremos as seguintes igualdades simbólicas: b + (+ ) = + b + ( - ) = - (+ ) + (+ ) = + (- ) + (- ) = - (+ ) + (- ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo - , é dito um símbolo de indeterminação.

(+ ) . (+ ) = + (+ ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

/ = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

Cálculo 1 - Limites

Exemplo: Calcule o limite, se existir, de:

Não basta apenas substituir “x” por “”, pois ao fazer isto, teria uma indeterminação do tipo

1413lim

xx

x

Cálculo 1 - Limites

Portanto, o método aqui consiste em dividir o numerador e o denominador por x:

Para calcular o limite de f(x) quando x tende a menos infinito, o raciocínio é análogo.

43

0403

1lim4lim

1lim3lim

)14(lim

)13(lim

14

13lim

1413lim

x

x

x

x

x

xxx

xx

xx

x

x

xx